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Prof. Drª Marília Brasil Xavier

REITORA

Prof. Rubens Vilhena Fonseca

COORDENADOR GERAL DOS CURSOS DE MATEMÁTICA

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MATERIAL DIDÁTICO

EDITORAÇÃO ELETRONICA

Odivaldo Teixeira Lopes

ARTE FINAL DA CAPA

Odivaldo Teixeira Lopes

REALIZAÇÃO

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)

F676t Fonseca, Rubens Vilhena

Transformada de Laplace e a série de Fourier / Rubens Vilhena Fonseca – Belém: UEPA / Centro de Ciências Sociais e Educação, 2011.

68 p.; iI. ISBN: 978-85-88375-64-2 1.Análise matemática. 2. Laplace, Transformada de. I.

Universidade Estadual do Pará. II. Título. CDU: 517.44

CDD: 515.723

Índice para catálogo sistemático 1. Análise matemática: 517.44

BELÉM – PARÁ – BRASIL

- 2011-

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5

Sabemos que resolver uma equação significa encontrarmos a variável que satisfaz uma

identidade pré-estabelecida pelo sinal de igual. Esta variável comumente chamada de

incógnita pode ser representada por: um número, um vetor, uma função ou um objeto

matemático qualquer.

Observe os exemplos

Quando temos uma equação algébrica, a variável será um número

Caso a equação seja vetorial, a solução será representada por um vetor.

Tratando-se de uma equação diferencial a variável procurada será uma função.

Au

la 01

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Existem diversas técnicas que nos permitem encontrar as soluções dos vários tipos de

equações. Laplace criou um método muito curioso que o conduziu às soluções de várias

equações diferenciais ordinárias. Este método, simples, foi desenvolvido do seguinte modo:

Consideremos a equação diferencial abaixo

f (x) – f (x) = f (0) = –1

LÊ-SE: “A derivada de certa função f(x) subtraída desta própria função, dá o resultado ”.

PERGUNTA-SE: Qual será esta função f(x) ?

RESPOSTA: A função procurada, ou seja, a função que satisfaz a

equação acima é: f(x) = – 2ex

Esta solução foi encontrada por Laplace do seguinte modo.

f (x) – f(x) = e2x

sx f (x) –

sx f(x) =

sx e

2x

sx f (x) dx –

sx f(x) dx =

(s-2)x dx

(1)

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Para resolver estas integrais, Laplace utilizou-se da identidade de Leibniz.

Assim teremos que:

u = f (x) v = sx

u = f(x) v‟ = -ssx

ou seja:

Substituindo (2) e (3) na equação (1)

No entanto, f (0) = –1, então:

Diante do resultado (4) pergunta-se:

A função f(x) que procuramos, multiplicada por sx

e integrada de zero a infinito

resultou . Qual será essa função?

A resposta a esta indagação é mostrada a seguir:

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8

PRIMEIRA INTEGRAÇÃO.

( 2)2 ( 2)

0 0

. .2 5

s xsx x s x

o

ee e dx e dx

2 1.

2

sx x

o

e e dxs

SEGUNDA INTEGRAÇÃO

( 1)( 1)

0 0

2.2 2 .

1 5

s xsx x s x

o

ee e dx e dx

2.2

1

sx x

o

e e dxs

TERCEIRA INTEGRAÇÃO

2 2

0

.( 2 ) . .2. .sx x x sx x sx x

o

e e e dx e e e e dx

2 1 2.( 2 )

2 1

sx x x

o

e e e dxs s

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9

A multiplicação da ambos os lados da equação diferencial por dx e posterior

integração de zero e infinito foi um artifício muito útil na obtenção da solução f(x) = e2x

– 2

ex. No entanto, foi necessário conhecermos antecipadamente a solução da integral (4). Sendo

assim, notamos que: Quanto mais funções forem multiplicadas por sx

e integradas de zero a

infinito, tanto mais cômodo será encontrar a solução de uma equação diferencial.

Um fato matemático interessante que surge na utilização deste procedimento pode ser

ilustrado do seguinte modo:

A transformação de variáveis acima ( ) é chamada de integração de Laplace ou de

Transformada de Laplace, ou seja:

Isto é:

Vamos exercitar um pouco a operacionalidade desta integral.

Au

la 02

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2. FUNÇÕES POLINOMIAIS

Exemplo a) f(x) = 1

Exemplo b) f(x) = x

Integrando por partes:

Exemplo c) f(x) = x2

por partes:

Exemplo d) f(x) = x3

Dos exemplos acima, podemos observar que existe uma lei de formação nos resultados

encontrados.

POLINÔMIO TRANSFORMADA

f(x) = 1

f(x) = x

f(x) = x2

f(x) = x3

Exemplo e) f(x) = x4

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f(x) = x4

– – –

– – –

– – –

f(x) = xn

Onde n é um número natural e n! indica o fatorial de n.

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3. A TRANSFORMAÇÃO DE LAPLACE DE ALGUMAS FUNÇÕES ESPECIAIS

Exemplo a) f(x) = eax (a R)

Exemplo b) f(x) = sen ax (a R)

Integrando por partes teremos:

v = sem ax u =

v‟ = a cós ax u‟ = sx

Integrando novamente por partes vem que:

v = cós ax u =

v‟ = – a sem ax u‟ = sx

Exemplo c) f(x) = (a R)

(b R)

Por partes:

Exemplo d) f(x) = cosh ax

Para simplificar podemos escrever este elemento matemático na sua forma exponencial.

f(x) = cosh ax =

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1. CONSIDERAÇÕES

Para empregarmos a transformada de Laplace na solução de equações diferenciais

ordinárias é fundamental conhecermos as transformadas das derivadas que surgem neste tipo

de equação.

2. DESENVOLVIMENTO

a) A da primeira derivada

Seja f‟ (x) a derivada da função f(x). A transformada desta derivada é dada por:

Embora pareça difícil dar o próximo passo, podemos fazê-lo integrando por partes.

u' = f‟(x) ................................ v =

u = f(x) ................................ v‟ = -s

ou seja

b) A da segunda derivada

Seja f”(x) a segunda derivada da função f(x). A transformada desta derivada pode ser

construída assim:

u' = f”(x) .......................... v =

u = f‟(x) .......................... v‟ = -s

Au

la 03

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L

Isto é:

- -

c) A da terceira derivada

Seja f” „ (x) a terceira derivada da função f(x). A transformada desta derivada é dada

por:

u' = f” „ (x) .......................... v =

u = f”(x) .......................... v‟ = -s

L

- - –

Você já deve ter notado que os resultados encontrados seguem uma lei de formação

muito bem definida.

Vamos rearranjá-los para melhor compreensão.

[f‟(x)] = sº [f(x)]

[f‟ (x)] = s1 [f(x)] – s

0 f (0)

[f”(x)] = s2 L [f (x)] – s

1 f(0) – s

0 f‟ (0)

[f” „ (x)] = s3 L [f(x)] – s

2 f(0) – s

1 f‟ (0) – s

0 f” (0)

. . . . .

. . . . .

. . . . .

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1. INTRODUÇÃO

Com este conhecimento que desenvolvemos podemos resolver uma grande quantidade

de equações diferenciais ordinárias.

Perceberemos nas soluções que seguem como é simples e útil a transformada de

Laplace.

2. APLICAÇÕES

Exemplo A

f‟ (x) – f(x) = 0 ............................. f(0) = 1

Lê-se “Qual função que derivada em relação a x e subtraída dela própria é igual azero”

Esta função pode ser encontrada se aplicarmos em ambos os lados da equação a

transformada de Laplace.

[f‟(x)] – [f(x)] = L [0]

No entanto sabemos que:

[0] = 0

[f‟ (x)] = s [f(x)] – f(0)

Assim ficamos com:

s [f(x)] – f(0) – [f(x)] = 0

[f(x)] =

O resultado acima permite o seguinte diálogo:

PERGUNTA: Qual é a função f(x) que tem sua transformada dada por –

?

RESPOSTA: Algumas páginas atrás encontramos o seguinte resultado: -

Então, se a constante “a” for igual ao número teremos:

[ex] =

ou seja:

f(x) = ex

(Solução da equação diferencial)

Au

la 04

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Exemplo B

f" (x) – 2 f‟ (x) = 2 e2x

....................... f(0) = 0

f‟ (0) = 1

Lê-se: “Qual função que derivada duas vezes em relação a x e subtraída de sua

primeira derivada multiplicada por dois é igual a 2e2x

?”

Aplicando a transformada nos dois lados da equação diferente teremos:

[f”(x)] – [2f‟ (x)] = [2e2x

]

[f” (x)] – 2 [f‟ (x)] = 2 [e2x

]

O número dois foi “para fora” da transformada por sabermos que a transformada de

um número vezes uma função é igual a transformada da função vezes o número, ou seja:

[N f(x) = N [f(x)]

Continuando então a solução da equação diferencial.

[f”(x)] – 2 [f‟ (x)] = 2 [e2x

]

A transformada de cada termo é dada por:

[f” (x) = s2 [f(x)] – sf(0) – f‟(0)

[f‟ (x)] = s [f(x)] – f (0)

[e2x

] =

Assim ficamos com:

s2 [f(x)] – sf(0) – f‟ (0) – 2 {s [f (x)] – f(0)} = 2

[f(x)] =

Se você consultar a relação de transformadas no final do texto, encontrará:

Isto é, a função que procuramos é dada por:

f(x) = x e2x

5 f(x) = x eax [f (x)] =

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Exemplo C

f(x) + f” (x) = 0 ........................ f (0) = 1

f‟ (0) = 0

Lê-se: “Qual função que somada com sua segunda derivada resulta em zero?”

Se aplicarmos a transformada de Laplace nos dois lados da equação teremos:

[f(x)] + [f”(x)] = [0]

[f(x)] + s2 [f(x)] – sf (0) – f‟ (0) = 0

[f (x)] + s2 [f(x)] – s – 0 = 0

[f(x)] =

Porém:

ou seja:

(solução da equação diferencial)

Exemplo D

f"(x) – f(x) = 1 ………………………….. f (0) = 0

f‟(0) = 1

Lê-se: “Qual função que subtraída de sua segunda derivada resulta no número um?”

Aplicando a transformada nos dois lados da equação

[f”(x)] – [f(x)] = [1]

s2 [f(x)] – sf(0) – f‟ (0) – [f(x)] =

Porém f(0) = 0 e f‟ (0) = 1, ou seja :

[f(x)] =

Para encontrarmos o resultado acima no quadro das transformadas, fazemos:

[f(x)] =

12 f(x) = cosax

[f (x)] =

f(x) = cosx

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Isto é:

(solução da equação)

Exemplo E

f" (x) + w2 f(x) = 0 ...................... f(0) = A e f‟(0) = 0

w e A são constantes

Lê-se: “Qual função que multiplicada por w2 e somada a sua segunda derivada resulta em

zero”.

A resposta a esta pergunta pode ser encontrada se aplicarmos a transformada de

Laplace na equação diferencial do oscilador harmônico simples, acima.

[f” 9x(x)] + w2 [f(x)] = [0]

s2 [f(x)] – sf(0) – f‟(0) + w

2 [f(x)] = 0

s2

[f(x)] – sA – 0 + w2 [f(x)] = 0

[f(x)] = A

No entanto:

(solução procurada)

Exemplo F

f‟ (x) + R f(x) = E …………………… f(0) = 0

, R e E são constantes

4 f(x) = eax

[f (x)] =

1 f(x) = 1 [f (x)] =

f(x) = ex – 1

11 f(x) = cós ax [f (x)] =

f(x) = A cos wx

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Lê-se: “Qual função que multiplicada por E somada com L vezes sua primeira derivada dá

E?”

A solução de equação diferencial do circuito R–L é construída assim:

[ f‟(x)] + [R f(x)] = [E]

[f‟(x)] + R [f(x)] = E [1]

{s [f(x)] – s f(0)} + R [f(x)] = E.

. {s [f (x)] – 0} + R [f(x)] =

[f(x)] =

Então:

(solução procurada)

1 f(x) = 1 [f (x)] =

4 f(x) = [f (x)] =

f(x) =

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Leonhard Euler descobriu em 1729 uma função-integral muito importante, tanto para a

Física quanto para a Matemática. Neste mesmo ano Euler espôs seus resultados extraídos

desta função ao matemático Golbach que recomendou a publicação da descoberta na revista

russa Comment Alad Petropolitanae and Annos.

Função Gama

O nome Função Gama foi dado por Legendre em seu livro Exercices de Calcul

Integral (vol. 1 – pg. 277) 1811.

Esta função-Integral apresenta uma série de propriedades importantes como podemos

verificar abaixo.

A função gama pode ser relacionada com a transformada de Laplace da seguinte

forma:

Para f(x) = xn teremos:

Mudando a variável do problema tem-se que:

Au

la 05

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1. INTRODUÇÃO

Neste capítulo pretendemos explorar a diferenciação da transformada de Laplace em

relação ao parâmetro s. Os resultados que encontraremos serão muito úteis na aquisição das

transformadas das funções do tipo: xn f(x).

2. DESENVOLVIMENTO

Primeira derivada em relação a s.

Segunda derivada em relação a s.

Terceira derivada em relação a s.

Au

la 06

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De modo geral concluímos que:

isto é: para n = 0, 1, 2, 3, ... teremos:

3. APLICAÇÕES

a) Qual será a transformada de Laplace da função:

b) Qual é a transformada da função: x2 . senx?

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24

TABELA DE TRANSFORMADAS

1 f(x) = 1 [f(x)] =

2 f(x) = x [f(x)] =

3 f(x) = xn [f(x)] =

4 f(x) = eax

[f(x)] =

5 f(x) = x eax [f(x)] =

6 f(x) = xn

[f(x)] =

7 f(x) = sen ax [f(x)] =

8 f(x) = sen (ax + b) [f(x)] =

9 f(x) = x sen ax [f(x)] =

10 [f(x)] =

11 [f(x)] =

12 f(x) = cosax [f(x)] =

13 f(x) = ebx

. cosax [f(x)] =

14 f(x) = xcosax [f(x)] =

15 f(x) = cos (ax + b) [f(x)] =

16 f(x) = 1 – cos ax [f(x)] =

17 f(x) = senax - axcosax [f(x)] =

18 f(x) = cosbx [f(x)] =

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25

19 f(x) = coshax [f(x)] =

20 f(x) = xcoshax [f(x)] =

21 f(x) = coshax [f(x)] =

22 f(x) = senhax [f(x)] =

23 f(x) = [f(x)] =

24 f(x) = [f(x)] =

25 f(x) = [f(x)] = arc . tag

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A SÉRIE DE FOURIER

BELÉM – PARÁ – BRASIL

- 2011 -

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27

APRESENTAÇÃO

Embora a série de Fourier tenha sido desenvolvida como subsídio matemático ao

estudo da transferência do calor (Théorie de la Chaleur), a aplicação desta soma de senos e

cossenos estendeu-se à todos os ramos da Física, Engenharia e Matemática. É como hoje em

dia encontrarmos o uso desta série nos mais diversos artigos publicados sobre o

conhecimento humano: da Biologia à Lingüística, da Cibernética à Paleontologia

defrontamos com o emprego desta série.

De modo geral, pode-se dizer que a série desenvolvida por Fourier tem permitido a

engenheiros e cientistas escreverem eficientemente os mais diversos tipos de funções. Com

estas podem controlar, prever e admirar o mundo que os circunda.

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28

São chamada de funções periódicas aquelas que se repetem de período em período:

Isto é:

Exemplo – A

Exemplo – B

Exemplo – C

Exemplo – D

Au

la 01

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Exemplo – E

Exemplo – F

Estas funções períodicas exemplificadas acima podem ser definidas do seguinte modo:

Diz-se que uma função f(x) tem período, ou que é periódica com período P, se para qualquer número

real x for verdadeira a identidade abaixo:

f(x) = f(x + P)

Exemplo – A

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Exemplo – B

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A SÉRIE DE FOURIER foi desenvolvida em 1822 por Jean Baptiste Joseph Fourier, que acreditava

ser possível através da SOMA DE FUNÇÕES SENO e COSSENO representar os mais diferentes tipos de

funções.

Para ilustrarmos a idéia de Fourier podemos reunir diversas funções trigonométricas e atribuir-lhes

valores.

Observe a variedade de curvas que obtemos com este procedimento.

Exemplo – A

f(x) = senx + cosx

Exemplo – B

f(x) = sen2x – cos3x

Exemplo – C

f(x) = 2 – senx – 3cosx

Au

la 02

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Exemplo – D

f(x) = senx – cos2x + 2cos3x

Exemplo – E

f(x) = senx – cos2x + cosx + cos2x

Exemplo – F

f(x) = 1 + senx + 3sen2x + cosx – 2cosx

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Exemplo – G

f(x) = 2 + senx + 3sen2x – 2sen3x + cosx + 2cos2x – cos3x

Através destes exemplos o engenheiro Fourier observou que uma função genêtica f(x), pode ser

representada por uma soma dos senos e cossenos.

Isto é:

f(x) = A + a1cos1x + a2cos2x + a3cos3x + ... +

+ b1sen1x + b2sen2x + b3sen3x + ...

ou seja:

f(x) = A + k k

1

a coskx+b senkxk

Neste ponto do estudo é natural questionar-mos:

“Dada uma função f(x), definida em um certo intervalo,

quais são os valores dos coeficientes A, ak e bk de modo

que a soma de senos e cossenos à represente?”

ou seja:

1 + x2 = A + k

k=1

a coskx + bxsenkx A = ?, ak = ?, bk = ?

x – ex = A + k

k=1

a coskx + bxsenkx A = ?, ak = ?, bk = ?

x3 – x

4 = A + k

k=1

a coskx + bxsenkx A = ?, ak = ?, bk = ?

Então, pode-se dizer que Fourier concentrou seus esforços no desenvolvimento de uma metodologia

matemática que lhe permitisse responder a esta pergunta.

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Os valores A, ak e bk de certa função f(x) definido no intervalo de – a foram encontradas por Fourier

em seu livro Theorie Analytique de la Chaleur, quando ocorreu o auge de sua criatividade matemática.

Observe:

Cálculo de A

Seja uma função representada de dois modos:

Representação – Descartes

Representação – Fourier

Como as áreas sob as curvas são idênticas, têm-se:

Au

la 03

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Do Apêndice – A:

sen(-x) = -senx função ímpar

cos(-x) = cosx função par

Então:

Cálculo de aK

Para obtermos o valor aK basta multiplicarmos a soma de funções senos e cossenos por

(coskxdx) e integrarmos de – a .

Verifique:

Por comodidade não escreverei o símbolo de somatória.

Do Apêndice – B têm-se:

Isto é:

Cálculo de bk

Este valor é obtido da multiplicação da soma de senos e cossenos por senkxdx e

posterior integração de – a

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Veja como é simples !

Do Apêndice – B

Isto é:

Assim, concluímos que a série de Fourier de uma função f(x) definida de – a é dada

por:

onde:

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PRIMEIRA APLICAÇÃO

Considere a função f(x) definida por:

Vamos escrevê-la em termos da série de Fourier.

Os coeficientes não dados por:

Au

la 04

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Do Apêndice – B, têm-se:

bk = 0 (Função par)

Ficamos com:

Podemos visualizar o desenvolvimento da série atribuindo valores para k.

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SEGUNDA APLICAÇÃO

Vamos desenvolver f(x) = x, - < x < , em Série de Fourier.

Precisamos achar os coeficientes da série

ak = 0 (Função Ímpar)

Do Apêndice –B, vêm que:

A= 0

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como k = 1, 2, 3, ... + senk = 0

Assim, teremos:

Observe a convergência da série à medida que k aumenta.

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TERCEIRA APLICAÇÃO

Seja a função f(x) definida por:

Escreva a série de Fourier para esta função.

Os coeficientes são dados por:

A = 0

ak = 0 (Função Ímpar)

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A convergência da série em função de k pode ser observada abaixa:

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QUARTA APLICAÇÃO

É dada a função:

Vamos construir a série de Fourier que a represente.

Primeiro encontramos os coeficientes da série, isto é:

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bk = 0 (Função Par)

Ficamos com:

Observe a convergência da série:

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Observação

Dos exemplos estudados conseguimos um resultado muito importante no

desenvolvimento de funções em série de Fourier:

Função Par

ak 0 bk = 0

Função Ímpar

ak = 0 bk 0

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Construção da Série

Seja uma função f(x) definida no intervalo de –L a L. A constante L é um número

positivo que será chamada de semi período.

A função desenhada pode ser representada por uma soma de funções senos e cossenos.

Isto é:

ou seja:

Como no Capítulo 3, será necessário encontrarmos os coeficientes A, ak e bk para que

a soma das funções trigonométricas represente a f(x).

Cálculo de A

Multiplicamos a série nos dois lados por dx e integramos de –L a L.

Cálculo de ak

Multiplicamos a série por cos e integramos de –L a L.

Au

la 05

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Cálculo de bk

Se multiplicarmos a série por sen e integrarmos de –L a L encontraremos:

Agora, após termos calculado os coeficientes de Fourier para uma f(x) definida de –L

a L façamos alguns exemplos:

APLICAÇÕES:

Primeira Aplicação

Seja uma função f(x) definida por:

Vamos escrevê-la em termos da série de Fourier:

Os coeficientes são dados por:

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AK = 0 para k = 1, 2, 3, ...

k = 1, 2, 3, ...

Agora podemos construir a série:

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A convergência da série em termos de k pode ser observada abaixo:

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SEGUNDA APLICAÇÃO

Escrever a série de Fourier para a função f(x) = x onde –3 < x < 3

Os coeficientes de Fourier A, ak e bk são dados por:

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A = 0

(Função Ímpar)

senk = 0 para K = 1, 2, 3, ...

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A série será dada por:

Pode-se observar abaixo a convergência da Série de Fourier à medida que a

escrevemos com mais termos.

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TERCEIRA APLICAÇÃO

Seja a função f(x) definida por:

Onde w é uma constante positiva.

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Vamos encontrar a série de Fourier que a represente:

pois,

Os coeficientes da série são dados por:

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Para resolvermos esta integral, será necessário a seguinte álgebra:

sen(wx + kwx) = senwxcoskwx + senkwxcosx (1)

sen(wx – kwx) = senwxcoskwx – senkwxcosx (2)

Somando (1) com (2), têm–se:

substituindo na integral, resulta:

Como o denominador não pode ser zero é necessário impormos k 1 para o

coeficiente ak.

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Podemos resolver esta integral do seguinte modo:

– cos(wx + kwx) = – coswxcoskwx + senwxsenkwx (3)

cos (wx – kwx) = coswxcoskwx + senwxsenkwx (4)

Somando (3) e (4):

Substituindo-se este resultado na integral acima têm-se:

Para k = 2, 3, 4, ... bk = 0. No entanto para k = 1 bk está indeterminado, ou seja:

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Para resolvermos a indeterminação faz-se necessário:

Por L‟ Hospital, têm-se:

Isto é:

Assim temos:

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TABELA DAS SÉRIE DE FOURIER

S-1 FUNÇÃO

SÉRIE

GRÁFICO

S-2 FUNÇÃO

SÉRIE

GRÁFICO

S-3 FUNÇÃO

f(x) = x para – < x <

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SÉRIE

GRÁFICO

S-4 FUNÇÃO

f(x) = x para –3 < x < 3

SÉRIE

GRÁFICO

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S-5 FUNÇÃO

SÉRIE

GRÁFICO

S-6 FUNÇÃO

f(x) = x para –0 < x < 2

SÉRIE

GRÁFICO

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S-7 FUNÇÃO

SÉRIE

GRÁFICO

S-8 FUNÇÃO

SÉRIE

GRÁFICO

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S-9 FUNÇÃO

para – < x <

SÉRIE

GRÁFICO

S-10 FUNÇÃO

para – < x <

SÉRIE

GRÁFICO

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S-11 FUNÇÃO

SÉRIE

GRÁFICO

S-12 FUNÇÃO

SÉRIE

GRÁFICO

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S-13 FUNÇÃO

f(x) = senhwx para – < x <

SÉRIE

GRÁFICO

S-14 FUNÇÃO

SÉRIE

GRÁFICO

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S-15 FUNÇÃO

f(x) = coshwx para – < x <

SÉRIE

GRÁFICO

S-16 FUNÇÃO

f(x) = -x(x- ) para 0 < x <

SÉRIE

GRÁFICO

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