Prof. Eng. Francisco LemosDisciplina: Mecânica Geral

Vetores Cartesianos

Vetores Cartesianos

Componentes Retangulares de um Vetor

Considere um vetor A localizado no espaço como ilustrado na figura abaixo (no sistema x, y, z).

Com duas aplicações sucessivas da lei do paralelogramo podemos decompô-lo em componentes, como:

A = A’ + Az; onde A’ = Ax + Ay

Logo: A = Ax + Ay + Az

Vetores Cartesianos

Vetor Unitário

- Vetor que especifica a direção do vetor A, tem esse nome porque apresenta intensidade 1 (vetor unitário).

Representação: uA = A/A (vetor adimensional)

logo A = AuA

- Essa última expressão indica que A define sua intensidade, e uA (vetor adimensional) define a direção e o sentido de A.

Representação de um Vetor Cartesiano

Vetores Cartesianos

- Como as três componentes de A atuam nas direções positivas i, j, k, podemos escrever sob a forma de vetor cartesiano como:

A = Axi + Ayj + Azk

Vetores Cartesianos

Intensidade de um Vetor Cartesiano

222zyx AAAA

Através de relações trigonométrica temos:

22'

22'

,

,

yx

z

AAAonde

AAA

Vetores Cartesianos

Direção de um Vetor Cartesiano- A orientação de A é definida pelos ângulos diretores coordenados α (alfa), β (beta) e γ (gama), medidos entre a origem de A e os eixos positivos x, y, z localizados na origem de A.

Vetores Cartesianos

A

Axcos

A

Aycos

A

Axcos

Direção de um Vetor Cartesiano

- Para determinamos α, β e γ, vamos considerar a projeção de A sobre os eixos x, y, z.

- Esses números são conhecidos como cossenos diretores de A.

A

Azcos

Vetores Cartesianos

kjiA

uA A

A

A

A

A

A

AZyX

Direção de um Vetor Cartesiano

- Outro modo fácil de obter os cossenos diretores de A é criar um vetor unitário na direção de A.

- Por comparação com a equação anterior vemos que as componentes de uA (i, j, K) representam os cossenos diretores de A, isto é:

k j i uA coscoscos

Vetores Cartesianos

- Como a intensidade do vetor é igual à raiz quadrada positiva da soma dos quadrados da intensidade de seus componentes e uA tem intensidade 1, então se pode estabelecer uma relação importante entre os cossenos diretores:

1coscoscos 222

Vetores Cartesianos

- Portanto se a intensidade e os ângulos de coordenada de direção de A são dados, A pode ser expresso sob forma vetorial cartesiana como:

k ji

k j i

uA

zyx

A

AAA

AAA

A

coscoscos

Adição e Subtração de Vetores

- Dados dois vetores A e B em função de suas componentes.

k j i

B AR

ResultanteVetor

kjiB

e

kjiA

zzyyxx

zyX

zyX

BABABA

BBB

AAA

Adição e Subtração de Vetores

k j i

B AR

ResultanteVetor

kjiB

e

kjiA

zzyyxx

zyX

zyX

BABABA

BBB

AAA

- Dados dois vetores A e B em função de suas componentes.

k j i

B AR

Subtração da ResultanteVetor

k j i

B AR

Adiçãoda ResultanteVetor

kjiB

e

kjiA

'

zzyyxx

zzyyxx

zyX

zyX

BABABA

BABABA

BBB

AAA

Adição e Subtração de Vetores

- Sistemas de forças Concorrentes

kjiFFzyxR FFF

Exemplo 5

Determine a intensidade e os ângulos diretores coordenados da força F que atua sobre a estaca.