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��� � = ���=���
��
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�� ����� ����.
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�������� �
eixo dos cossenos
eixo
do
s se
no
s
eixo
da
s ta
ng
ente
s
Prof. Gabriel Cremona Parma
Raio do círculo trigonométrico sempre o raio unitário (igual á uma unidade).
Simulação online das Funções Trigonométricas: http://alexsanderam.brinkster.net/geogebra/2.html
sen(α)=cos(90-α)cos(α)=sen(90-α)
sen(α)=sen(180-α)cos(α)=-cos(180-α)
sen(α)=-sen(180+α)cos(α)=-cos(180+α)
sen(α)=-sen(360-α)cos(α)=cos(360-α)
α α α
180 − α 180 + α 360 − α
X’
X’
X’
tan(X)
EQUIVALÊNCIAS180⁰ =π(rd)
1⁰ = 60’=3600”1’ = 60”
TRANSFORMARGraus/minutos/ segundos para graus decimais:30⁰16’46” = 30,2794445⁰Processo:30 + 16/60 + 46/3600 =
30 + 0,2666667 + 0,0127778 = 30,2794445⁰
TRANSFORMARGraus decimais para graus/minutos/segundos:
30,2794445⁰ = 30⁰16’46”Processo:graus: parte inteira do número
g = parte inteira do número = int(30,2794445)g = 30⁰Minutos:
m = int(0,2794445x60) = int(16,7666700)m = 16’Segundos:
s = int(0, 7666700x60) = int(46,0002000)s = 46” (nunca usar decimais para os seg.)Finalmente o valor transformado é:30⁰16’46
αα α
2 2 2
2 2 2 2 2 2
Funções Básicas
. .cos
.
.cos
.
. .tan cot
.
.cot tan
. .
Teorema Pitágoras
;
Relações Fundamentais
tan = , cotcos
a cat opsen
c hip
b cat adjsen
c hip
a cat op
c cat adj
b cat adj
a cat op
c a b
a c b b c a
sen
2 2
1
tan
cos 1sen
2 2 2
2 2 2
2 2 2
Teorema Seno
2
Teorema cosseno
2
2
2
Teoerma Tangentes
tan2 ; 90
2 2tan2
Teorema projeções
cos cos
cos cos
a b cR
sen sen sen
a c b c b cos
b c a c a cos
c a b a b cos
a b
a b
a b c
b a c
c b
cos cosa
2
2
raio circunf. inscrita
raio circunf. circunscrita
2
( )( )( )
Area ( )( )( )
Area 2
Area 2
Area base altura
r
R
a b cs
s a s b s cr
s
rs s s a s b s c
R sen sen sen
a b sen
a
bc
B C
A
α
β γ
180
: 90
90
se
a
bc
C
B
A
α
β
γ
90
90
90
180
tan ; tan ; tan2 ( ) 2 ( ) 2 ( )
( )( ); ...; ...
2 2 2
tan ; tan ...; tan ...cos
r r r
s a s b s c
s b s csen sen sen
bc
a sen
c a
Prof. Gabriel Cremona Parma
����çã� ��������� = 90°
� = 90° − �; c= � × ����
Solução básica� = 180° − � − �
c =� × ����
���� Segunda Solução �� = 180 − �
�� = 180° − � − ��
�� =� × �����
����
a) Se : � × ���� > � → �ã� ������ ���ℎ��� ����çã�.b) Se: � ≥ � → � < 90°: ��� ��� ����çã� ú���� ���� �:
c) Se: � < � →verificar possível segunda solução−Se: � × ���� < � → ������ ��� ������� ����çã�:−Se: � × ���� = � → ������ uma única ����çã� ��������:
Caso 1: um lado e dois ângulosadjacentes. Dados: c; α; β
Caso 2: dois lados e o ângulo compreendido. Dados: a; b; γ
Caso 3: 2 lados e o ângulo oposto. Dados: a; b; α (Caso duvidoso)
Caso 4: três lados. Dados: a; b; c
a
bc
C
B
α
β
γ
A
90
90
90
180
� = 180° − � − �
b =� × ����
����
a =� × ����
����
� = �� + �� − 2�� × ����
���� =� × ����
�
� = 180° − � − �
Método A: Método B:
������
�=
���
���×
�
����
�
→���
�= �
� + �
2= 90 −
�
2= �
� = � + �; β = � = �
c =� × ����
����
� =� + � + �
2; � =
(� − �)(� − �)(� − �)
�; ���� =
�
� − �; ���� =
�
� − �; � = 180° − � − �
���� =��������
���; ���� =
��������
���; � = 180° − � − �Método A:
Método B:
���� =� × ����
�
Verificação da Solução:
Prof. Gabriel Cremona Parma
Calcular primeiro:
�������� �� = ��
������� ��; ��; ��� ��; ��; ��
�����çõ�� �/��������� = �� − ������ = �� − ������ = �� − ��
�����. ������� �� �� (��������� �� ����� �)
�� ����ç� ���:
�� = ����; �;� ��
�� ����� ℎ��������� ��:
���� = �ℎ��; ��
����â����� ℎ��������� � ���������
�ℎ�� = ���� � + ���� �
���� = �ℎ�� � + ���� �
���� = ���� � + ���� � + ���� �
Â����� �� �������çã� �:
��� � =����
����; ��� � =
����
����; ��� � =
����
����
Â����� �� �������çã� ℎ��������� �:
��� � =����
����; ��� � =
����
����; ��� � =
����
����
Prof. Gabriel Cremona Parma
ORIGEM ORIENTAÇAO NO EIXO HORIZONTAL +Y (NORTE)
ARREDONDAMENTO DE NÚMEROS
• Medidas lineares com precisão de milímetros:– Três casas decimais depois da vírgula. CERTO: 234,233m ERRADO: 234,233441214m– Exemplos de arredondamentos ao milímetro (a três casas decimais):
• 15,6232m → 15,623m• 15,6237m → 15,624m• 15,6235m → 15,624m• 15,6245m → 15,624m
• Medidas angulares com precisão de segundos.– Sem decimas de segundos. CERTO: 124° 23' 34“ ERRADO: 124° 23' 34,23“– Exemplos de arredondamento ao segundo:
• 20⁰30’16,32” → 20⁰30’16”• 20⁰30’16,73” → 20⁰30’17” • 20⁰30’16,50” → 20⁰30’16”• 20⁰30’15,50” → 20⁰30’16”
• Cálculos/valores intermediários– Usar a precisão total da calculadora e usar a capacidade da calculadora de fazer cálculos complexos de
uma só vez. Porém, nunca use menos de seis casas decimais nos resultados parciais;• Recomenda-se não copiar resultados intermediários/parciais da calculadora na folha dos cálculos. • Matematicamente só deve-se indicar o modelo matemático, os valores das variáveis e o resultado final, sem
os resultados parciais (faça os cálculos de uma única vez na calculadora!)
Estas condições de precisões e formalismos serão cobradas nos resultados numéricos das provas, descontando-se nos cálculos (precisões) e no método (formalismos matemáticos)
No caso do “5” arredondar para o par mais próximo!
No caso do “5” arredondar para o par mais próximo!
X
X
Tecla “GRAUS” para trabalhar com graus, minutos e segundos sexagesimais nos dois formatos usuais (ggg/mm/ss ou g.ddddddd)
Exemplo: calcular o cosseno de 30⁰16’46”:
No ecrã da calculadora resulta:
cos ⁰ ’ ”3 1 ⁰ ’ ” 4 ⁰ ’ ” )0 6 6 =
Exemplo: calcular o arco cosseno de 0.923456 (descobrir o ângulo):
No ecrã da calculadora resulta:
SHIFT .cos 9 3 4 6 )0 2 5 = ⁰ ’ ”
Observação: os parênteses iniciais nas funções trigonométricas dependem do modelo de CASIO: se apertar a função e aparecer a abertura de parêntese, lembre-se de fechá-lo antes da tecla “=“
Exemplo: calcular a raiz quadrada de 5,32 menos 32 (metros):
No ecrã da calculadora resulta:
Neste caso, o resultado deve serconsiderado como 22°33’48”Nunca usar decimas de segundos
No mínimo, trabalhar com 6 casas decimais nas funções trigonométricas, se necessário valores intermediários. Neste caso seria: 0,833576
Nos resultados finais de comprimento de segmentos de retas, usar só três casas decimais: 4,369m neste caso.
5• �� - 3 ) =( 2 ��. 3
Classificações dos ângulosCom relação às suas medidas
• Giro: – ângulo que mede 360° (também pode ser chamado de Ângulo de uma volta ou
completo).– Um ângulo de 360 graus é aquele que completa o círculo. – A volta completa coincide com o ângulo de 0° mas possui a grandeza de 360°. – Tal identificação se assemelha à do ângulo negativo com o ângulo positivo que tem como
medida exatamente aquele (negativo) somado com a volta completa.
• Consecutivos: – dois ângulos são chamados consecutivos se um dos lados de um deles coincide com um
dos lados do outro ângulo;
• Adjacentes: – Ângulos adjacentes são aqueles que possuem um lado em comum, mas as regiões
determinadas não possuem pontos em comum;
• Opostos: – Dois ângulos são opostos pelo vértice quando os lados de um deles são semirretas
opostas aos lados do outro.
• Congruentes: – Dois ângulos são congruente (ou coincidentes) se quando sobrepostos os lados de um
deles são as mesmas semirretas dos lados do outro.
Classificações dos ângulosCom relação às suas medidas
• Nulo: – um ângulo nulo mede 0°;
• Agudo: – ângulo cuja medida é maior do que 0° e menor do que 90°;
• Reto: – um ângulo reto é um ângulo cuja medida é exatamente 90°; assim os
seus lados estão localizados em retas perpendiculares;
• Obtuso: – é um ângulo cuja medida está entre 90° e 180°;
• Raso: – ângulo que mede exatamente 180°, os seus lados são semirretas
opostas;
• Côncavo ou reentrante: – ângulo que mede mais de 180°e menos de 360°;
Classificações dos ângulosQuanto a suas complementações
• Complementares: – dois ângulos são complementares se a soma de suas medidas é
igual a 90°. Neste caso, cada um é o complemento do outro.
• Suplementares:– dois ângulos são Suplementares quando a soma de suas medidas
é igual a 180°. Neste caso, cada um é o suplemento do outro.
• Explementares:– Dois ângulos são Explementares quando a diferença de suas
medidas é igual a 180. Neste caso, cada um é o explemento do outro.
• Replementares:– dois ângulos são Replementares quando a soma de suas medidas
é igual a 360°. Neste caso, cada um é o replemento do outro.