Prof. Giovani Renato Zonta

Mecânica dos Fluidos

Prof. Giovani Renato Zonta

Indaial – 2019

1a Edição

Mecânica dos Fluidos.indd 1Mecânica dos Fluidos.indd 1 03/02/2022 10:52:4303/02/2022 10:52:43

Copyright © UNIASSELVI 2019

Elaboração:

Prof. Giovani Renato Zonta

Revisão, Diagramação e Produção:

Centro Universitário Leonardo da Vinci – UNIASSELVI

Ficha catalográfica elaborada na fonte pela Biblioteca Dante Alighieri

UNIASSELVI – Indaial.

Impresso por:

Z87m

Zonta, Giovani Renato

Mecânica dos fluidos. / Giovani Renato Zonta. – Indaial: UNIASSELVI, 2019.

246 p.; il.

ISBN 978-85-515-0371-3

1. Mecânica dos fluidos. – Brasil. II. Centro Universitário Leonardo Da Vinci.

CDD 532


III

apresentaçãoA Mecânica dos Fluidos é uma das disciplinas do ciclo básico para

qualquer curso de Engenharia. Os temas envolvidos nesta área de estudo são de grande importância e com diversas aplicações industriais, residen-ciais, biológicas e ambientais, principalmente em sistemas estáticos (fluidos em repouso) e dinâmicos (escoamentos). Atualmente, a pesquisa científica na área da Mecânica dos Fluidos é muito difundida em praticamente todas as universidades. Entretanto, esta disciplina encontra certo grau de resistência por parte dos acadêmicos. Essa resistência, em parte, deve-se ao fato de que muitos problemas práticos ou teóricos da mecânica dos fluidos requerem não apenas um bom conhecimento do assunto, mas certo grau de intuição, lógica e experiência prática para a compreensão do fenômeno físico e suas minúcias e particularidades.

O objetivo deste livro didático é apresentar os conceitos fundamentais e aplicações desses conceitos em problemas práticos de engenharia. Vários tópicos da Mecânica dos Fluidos serão discutidos teoricamente e aplicados em exemplos práticos que, eventualmente, poderão ser desenvolvidos em atividades experimentais em laboratório. Esta metodologia de ensino, conhe-cida como Aprendizagem Baseada em Problemas (do inglês, PBL – problem--based learning), é consagrada na área de Ciências Exatas e Engenharia. Ao longo dos anos, a Aprendizagem Baseada em Problemas mostrou-se satisfa-tória e eficiente no ensino de disciplinas específicas que envolvem aplicações práticas na engenharia.

Na Unidade 1, iniciaremos nosso estudo com a definição de fluido, características e suas propriedades fundamentais: massa específica, peso es-pecífico, densidade relativa, viscosidade, entre outras. Na sequência, discu-tiremos tópicos do comportamento do fluido em repouso, forças atuantes, manometria, pressão do fluido e flutuação.

Na sequência, a Unidade 2 apresentará os fundamentos da cinemá-tica e dinâmica dos fluidos, definição das características do escoamento, leis de conservação (balanços de massa e balanços de energia) para o escoamento interno incompressível, determinação de perdas de carga localizadas e distri-buídas, além dos tipos mais comuns de problemas de escoamento de fluidos.

Finalmente, na Unidade 3, complementaremos o estudo de escoa-mento de fluidos em tubulações com a apresentação de exemplos de dimen-sionamento hidráulico, sistemas de recalque e seleção de bombas centrífu-gas. Métodos experimentais e dispositivos para a determinação de vazão e velocidade de escoamento também serão discutidos. A análise dimensional será discutida com o conceito de homogeneidade dimensional de equações e com o teorema π de Buckingham, aplicado com o método de repetição de variáveis para identificação de parâmetros adimensionais, sendo um método de grande utilidade em diversas áreas de estudo na Engenharia.


IV

Você já me conhece das outras disciplinas? Não? É calouro? Enfim, tanto para você que está chegando agora à UNIASSELVI quanto para você que já é veterano, há novidades em nosso material.

Na Educação a Distância, o livro impresso, entregue a todos os acadêmicos desde 2005, é o material base da disciplina. A partir de 2017, nossos livros estão de visual novo, com um formato mais prático, que cabe na bolsa e facilita a leitura.

O conteúdo continua na íntegra, mas a estrutura interna foi aperfeiçoada com nova diagramação no texto, aproveitando ao máximo o espaço da página, o que também contribui para diminuir a extração de árvores para produção de folhas de papel, por exemplo.

Assim, a UNIASSELVI, preocupando-se com o impacto de nossas ações sobre o ambiente, apresenta também este livro no formato digital. Assim, você, acadêmico, tem a possibilidade de estudá-lo com versatilidade nas telas do celular, tablet ou computador. Eu mesmo, UNI, ganhei um novo layout, você me verá frequentemente e surgirei para apresentar dicas de vídeos e outras fontes de conhecimento que complementam o assunto em questão.

Todos esses ajustes foram pensados a partir de relatos que recebemos nas pesquisas institucionais sobre os materiais impressos, para que você, nossa maior prioridade, possa continuar seus estudos com um material de qualidade.

Aproveito o momento para convidá-lo para um bate-papo sobre o Exame Nacional de Desempenho de Estudantes – ENADE. Bons estudos!

NOTA

A disciplina de Mecânica dos Fluidos exige alguns pré-requisitos bá-sicos, atendidos pelas disciplinas de Álgebra, Cálculo Diferencial e Integral e Física. Utilizaremos diversos conceitos e analogias destas disciplinas na Mecânica dos Fluidos.

Esta disciplina integra a matriz curricular obrigatória de cursos de Engenharia no Brasil há pelo menos 50 anos, e, portanto, dispõe de vasta li-teratura para estudo, muitas delas em língua portuguesa. Ao longo dos seus estudos, procure pesquisar estas referências, evitando ficar limitado apenas ao seu livro didático. A apresentação ordenada dos tópicos de estudo desta disciplina permitirá um nivelamento necessário e desenvolverá a habilidade necessária a você, acadêmico, para um aperfeiçoamento individual e inde-pendente na área de Mecânica dos Fluidos ao longo do curso.

Bons estudos!

Giovani Renato Zonta


V

Olá, acadêmico! Para melhorar a qualidade dos materiais ofertados a você e dinamizar ainda mais os seus estudos, a UNIASSELVI disponibiliza materiais que possuem o código QR Code, que é um código que permite que você acesse um conteúdo interativo relacionado ao tema que você está estudando. Para utilizar essa ferramenta, acesse as lojas de aplicativos e baixe um leitor de QR Code. Depois, é só aproveitar mais essa facilidade para aprimorar seus estudos!

UNI


VI


VII

UNIDADE 1 - CONCEITOS FUNDAMENTAIS, VISCOSIDADE E ESTÁTICA DOS FLUIDOS ...................................................................................... 1

TÓPICO 1 - FLUIDO E CONCEITOS ................................................................................................ 31 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................... 32 SISTEMA DE UNIDADES................................................................................................................ 53 FLUIDOS: DEFINIÇÃO E CLASSIFICAÇÃO ............................................................................ 12

3.1 PROPRIEDADES DOS FLUIDOS .............................................................................................. 164 LEI DE NEWTON DA VISCOSIDADE ....................................................................................... 18

4.1 FLUIDOS NEWTONIANOS E NÃO NEWTONIANOS........................................................ 224.2 REOLOGIA BÁSICA ................................................................................................................... 23

5 EXEMPLOS DE APLICAÇÃO ........................................................................................................ 24RESUMO DO TÓPICO 1.................................................................................................................... 29AUTOATIVIDADE ............................................................................................................................. 30

TÓPICO 2 - VISCOSIDADE DE FLUIDOS ................................................................................... 331 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................. 332 DETERMINAÇÃO DA VISCOSIDADE DE FLUIDOS NEWTONIANOS.......................... 35

2.1 RELAÇÃO ENTRE TORQUE E VISCOSIDADE .................................................................... 352.2 DISPOSITIVOS PARA MEDIÇÃO DA VISCOSIDADE – VISCOSÍMETROS .................... 362.3 ESCALAS E GRADUAÇÃO DE VISCOSIDADE: SAE ......................................................... 39

3 TÓPICOS APLICADOS SOBRE LUBRIFICAÇÃO .................................................................. 404 EXEMPLOS DE APLICAÇÃO ........................................................................................................ 41RESUMO DO TÓPICO 2.................................................................................................................... 44AUTOATIVIDADE ............................................................................................................................. 45

TÓPICO 3 - ESTÁTICA DOS FLUIDOS ......................................................................................... 491 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................. 492 PRESSÃO DE UM FLUIDO EM REPOUSO ............................................................................... 49

2.1 PRESSÃO EM UM PONTO ........................................................................................................ 512.2 VARIAÇÃO DA PRESSÃO EM FUNÇÃO DA PROFUNDIDADE ..................................... 512.3 MANOMETRIA DOS FLUIDOS ............................................................................................... 55

3 DISPOSITIVOS PARA MEDIÇÃO DE PRESSÃO MANOMÉTRICA ................................. 563.1 MANÔMETROS DE TUBO EM “U” ........................................................................................ 563.2 MANÔMETRO DE BOURDON ................................................................................................ 58

4 FLUTUAÇÃO E EMPUXO .............................................................................................................. 585 EXEMPLOS DE APLICAÇÃO ........................................................................................................ 62LEITURA COMPLEMENTAR ........................................................................................................... 66RESUMO DO TÓPICO 3.................................................................................................................... 68AUTOATIVIDADE ............................................................................................................................. 69

UNIDADE 2 - ESCOAMENTO DE FLUIDOS – CINEMÁTICA E DINÂMICA .................... 73

TÓPICO 1 - LEIS DE CONSERVAÇÃO .......................................................................................... 751 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................. 75

suMário


VIII

2 BALANÇO DE MASSA EM ESCOAMENTOS – EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE ...... 753 CONSERVAÇÃO DA MASSA EM ESCOAMENTOS .............................................................. 774 DEFINIÇÃO DA VAZÃO DE UM FLUIDO ................................................................................ 805 BALANÇO DE ENERGIA EM ESCOAMENTOS – EQUAÇÃO DE BERNOULLI ............. 816 CONSERVAÇÃO DA ENERGIA MECÂNICA EM ESCOAMENTOS .................................. 827 LIMITAÇÕES E SIMPLIFICAÇÕES ADOTADAS NA EQUAÇÃO DE BERNOULLI ...... 938 APLICAÇÕES EM ESCOAMENTOS INTERNOS INCOMPRESSÍVEIS EM REGIME PERMANENTE......................................................................................................... 949 EXEMPLOS DE APLICAÇÃO ........................................................................................................ 95RESUMO DO TÓPICO 1.................................................................................................................. 102AUTOATIVIDADE ........................................................................................................................... 103

TÓPICO 2 - DIMENSIONAMENTO HIDRÁULICO E DETERMINAÇÃO DAS PERDAS DE CARGA – PARTE I ............................................................................. 1051 INTRODUÇÃO ............................................................................................................................... 1052 ESCOAMENTOS EM REGIME LAMINAR E TURBULENTO ............................................. 1053 DEFINIÇÃO DAS PERDAS DE CARGA .................................................................................. 1074 USO DA EQUAÇÃO DE COLEBROOK-WHITE E DE EQUAÇÕES EMPÍRICAS .......... 1105 USO DO DIAGRAMA DE MOODY .......................................................................................... 1126 EXEMPLOS DE APLICAÇÃO ...................................................................................................... 114LEITURA COMPLEMENTAR ......................................................................................................... 126RESUMO DO TÓPICO 2.................................................................................................................. 128AUTOATIVIDADE ........................................................................................................................... 129

TÓPICO 3 - DIMENSIONAMENTO HIDRÁULICO E DETERMINAÇÃO DAS PERDAS DE CARGA – PARTE II ............................................................................ 1331 INTRODUÇÃO ............................................................................................................................... 1332 PROBLEMAS TÍPICOS EM ESCOAMENTO DE FLUIDOS ................................................ 134

2.1 PROBLEMAS DO TIPO I – DETERMINAÇÃO DA QUEDA DE PRESSÃO OU PERDA DE CARGA COM VAZÃO E DIÂMETRO DE TUBULAÇÃO .................................................. 136

2.2 PROBLEMAS DO TIPO II – DETERMINAÇÃO DA VAZÃO COM PERDA DE CARGA ESPECIFICADA PARA UM DIÂMETRO DE TUBULAÇÃO CONHECIDO ................... 136

2.3 PROBLEMAS DO TIPO III – DETERMINAÇÃO DO DIÂMETRO DA TUBULAÇÃO COM VAZÃO ESPECIFICADA PARA UMA DADA PERDA DE CARGA ADMITIDA .......... 137

3 EXEMPLOS DE APLICAÇÃO ...................................................................................................... 138RESUMO DO TÓPICO 3.................................................................................................................. 159AUTOATIVIDADE ........................................................................................................................... 160

UNIDADE 3 - ESCOAMENTO DE FLUIDOS – SELEÇÃO DE BOMBAS CENTRÍFUGAS, MEDIÇÃO DE VAZÃO, VELOCIDADE E ANÁLISE DIMENSIONAL .................................................................................. 163

TÓPICO 1 - SELEÇÃO DE BOMBAS CENTRÍFUGAS ............................................................. 1651 INTRODUÇÃO ............................................................................................................................... 1652 DEFINIÇÃO E CARACTERÍSTICAS DA BOMBA CENTRÍFUGA .................................... 166

2.1 FUNCIONAMENTO DE UMA BOMBA CENTRÍFUGA .................................................... 1692.2 CURVA CARACTERÍSTICA DE BOMBA CENTRÍFUGA E CURVA DO SISTEMA ...... 172

3 SELEÇÃO DA BOMBA CENTRÍFUGA PARA UM SISTEMA DE TUBULAÇÃO ........... 1763.1 CÁLCULO DE PARÂMETROS HIDRÁULICOS ................................................................. 1773.2 CAVITAÇÃO E CÁLCULO DO NPSH .................................................................................. 1793.3 SELEÇÃO DE BOMBA CENTRÍFUGA ATRAVÉS DE CATÁLOGO DE FABRICANTES .................................................................................................................... 182


IX

3.4 USO DE CURVAS CARACTERÍSTICAS PARA SELEÇÃO DE BOMBAS CENTRÍFUGAS ......................................................................................................................... 182

4 EXEMPOS DE APLICAÇÃO ........................................................................................................ 183RESUMO DO TÓPICO 1.................................................................................................................. 199AUTOATIVIDADE ........................................................................................................................... 200

TÓPICO 2 - MEDIÇÃO DE VAZÃO E VELOCIDADE NO ESCOAMENTO DE FLUIDOS ............................................................................................................... 2031 INTRODUÇÃO ............................................................................................................................... 2032 CONCEITO ...................................................................................................................................... 2033 DISPOSITIVOS COMUNS PARA MEDIÇÃO DE VAZÃO E VELOCIDADE DE FLUIDOS ................................................................................................................................... 205

3.1 TUBO DE PITOT ........................................................................................................................ 2063.2 MEDIDORES DE VAZÃO POR OBSTRUÇÃO: PLACA ORIFÍCIO, BOCAL E VENTURI ................................................................................................................................. 209

4 OUTROS DISPOSITIVOS PARA MEDIÇÃO DE VAZÃO ................................................... 2175 EXEMPOS DE APLICAÇÃO ........................................................................................................ 220LEITURA COMPLEMENTAR ......................................................................................................... 224RESUMO DO TÓPICO 2.................................................................................................................. 226AUTOATIVIDADE ........................................................................................................................... 227

TÓPICO 3 - ANÁLISE DIMENSIONAL ....................................................................................... 2291 INTRODUÇÃO ............................................................................................................................... 2292 O TEOREMA DOS PI (π) DE BUCKINGHAM ........................................................................ 232

2.1 MÉTODO DE REPETIÇÃO DE VARIÁVEIS ......................................................................... 2333 EXEMPOS DE APLICAÇÃO ....................................................................................................... 235RESUMO DO TÓPICO 3.................................................................................................................. 241AUTOATIVIDADE ........................................................................................................................... 242REFERÊNCIAS ................................................................................................................................... 243


X


1

UNIDADE 1

CONCEITOS FUNDAMENTAIS, VISCOSIDADE E ESTÁTICA DOS

FLUIDOS

OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM

PLANO DE ESTUDOS

A partir do estudo desta unidade, você deverá ser capaz de:

• aplicar o sistema de unidades (SI) e os fatores de conversão entre unidades;

• compreender a definição de fluido;

• caracterizar e diferenciar um líquido e um gás;

• definir as propriedades básicas de um fluido, como massa específica, peso específico e densidade relativa;

• definir a propriedade viscosidade e aplicar o conceito da lei de Newton da viscosidade em problemas práticos;

• reconhecer os principais tipos de técnicas e dispositivos para medição de viscosidade de fluidos e a relação entre o torque aplicado e a viscosidade do fluido;

• diferenciar um fluido newtoniano e um fluido não newtoniano;

• definir a relação entre pressão absoluta, pressão atmosférica e pressão manométrica;

• determinar a variação de pressão de um fluido em repouso em função da variação da altura de coluna de fluido;

• reconhecer o princípio de operação de um manômetro de tubo em “U” e de um manômetro de Bourdon;

• compreender o conceito da força de flutuação ou empuxo do fluido sobre um corpo submerso.

Esta unidade está dividida em três tópicos. No decorrer da unidade você encontrará autoatividades com o objetivo de reforçar o conteúdo apresentado.

TÓPICO 1 – FLUIDO E CONCEITOS

TÓPICO 2 – VISCOSIDADE DE FLUIDOS

TÓPICO 3 – ESTÁTICA DOS FLUIDOS


2


3

TÓPICO 1UNIDADE 1

FLUIDO E CONCEITOS

1 INTRODUÇÃO

A mecânica dos fluidos é a ciência que trata do comportamento de um fluido em repouso (estática) e em movimento (dinâmica), além de suas interações com sólidos e outros fluidos. Neste estudo, muitas analogias com a mecânica tradicional do corpo rígido serão evidenciadas, conforme ilustradas a seguir.

De acordo com Çengel e Cimbala (2007; 2015), a ciência da mecânica dos fluidos é subdividida em várias categorias. Por exemplo, o estudo do movimento de fluidos considerados incompressíveis (tais como líquidos e gases a baixas velocidades) é chamado de hidrodinâmica. Uma outra subcategoria da hidrodinâmica, relativa ao estudo de líquidos em tubulações e canais abertos, é chamada de hidráulica. A dinâmica dos gases estuda o movimento de fluidos com significativa mudança de densidade (gases a altas velocidades, grandes variações de temperatura e pressão). A subcategoria aerodinâmica trata do escoamento de gases (especialmente o ar) a baixa ou alta velocidade sobre corpos e superfícies, tais como fuselagens de aviões e automóveis. Os escoamentos naturalmente induzidos também são estudados em subcategorias, como meteorologia, oceanografia e hidrologia.

Ao iniciar o estudo da mecânica dos fluidos, é interessante que você tente perceber e associar os conceitos fundamentais desta disciplina com aspectos do nosso cotidiano. Por exemplo, tente identificar onde você encontra sistemas estacionários e dinâmicos de fluidos pressurizados na sua vida. Considere o sistema hidrossanitário de um prédio ou o sistema de distribuição de água de uma cidade e de sua casa. Preste atenção em um canteiro de obras civis ou, quando for trocar o óleo de seu carro, como máquinas e dispositivos que operam fluidos pressurizados são usados para acionamentos diversos. Em escala industrial, imagine uma refinaria de petróleo e seu complexo sistema de tubulações que transportam líquidos e gases oriundos do processamento químico. Estes sistemas utilizam bombas e compressores para transferir fluidos de tanques e reservatórios para os vários destinos (Figura 1).


UNIDADE 1 | CONCEITOS FUNDAMENTAIS, VISCOSIDADE E ESTÁTICA DOS FLUIDOS

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FIGURA 1 – SISTEMA DE TRANSPORTE DE FLUIDOS TÍPICO EM UMA INDÚSTRIA

FONTE: <http://www.cencorefining.org/boiler-feed-water-pumps/>. Acesso em: 17 jul. 2018.

A seguir, um resumo de tópicos e conceitos importantes para o conheci-mento do futuro engenheiro na área de mecânica dos fluidos:

• A Mecânica dos fluidos é o estudo do comportamento de fluidos em repouso (estática) ou movimento (dinâmica).

• Fluidos podem ser líquidos ou gases e são caracterizados pelas suas proprieda-des físicas, tais como massa específica (densidade), peso específico, densidade relativa (gravidade específica), tensão superficial e viscosidade.

• A análise quantitativa e cálculos desta disciplina podem envolver unidades do sistema métrico (SI) ou do sistema inglês. É importante ter familiaridade com ambos e conhecer os principais parâmetros de conversão.

• A estática dos fluidos compreende o estudo da medição de pressão no fluido (manometria), forças do fluido em superfícies submersas devido à pressão do fluido, flutuação e estabilidade de corpos.

• Estudo e análise do comportamento de fluidos que escoam em tubulações, du-tos e canais abertos.

• Definição das formas de energia mecânica associadas ao movimento de um fluido (energia cinética, potencial e de pressão).


TÓPICO 1 | FLUIDO E CONCEITOS

5

• Quantificação das perdas de carga (energia) do fluido durante seu escoamento, sejam elas devido ao atrito com a superfície da tubulação (distribuídas) ou pela presença de acessórios (curvas, válvulas e outros equipamentos ou obstruções parciais).

• Dimensionamento de máquinas hidráulicas (bombas) que inserem energia ao fluido durante o escoamento e aumentam a sua pressão.

• Aproveitamento da energia dos fluidos como força motriz de turbinas ou atu-adores hidráulicos.

• Dispositivos para medição de pressão, velocidade e vazão do fluido em escoa-mento para controle do sistema.

2 SISTEMA DE UNIDADES

As grandezas físicas podem ser caracterizadas pelas suas dimensões e as magnitudes atribuídas às dimensões são chamadas de unidades físicas. Algumas dimensões básicas, como massa, comprimento, tempo e temperatura, são designa-das como dimensões primárias ou fundamentais, enquanto outras, como velocida-de, energia e volume, são expressas em função das dimensões primárias e chama-das de dimensões secundárias ou dimensões derivadas (ÇENGEL; BOLES, 2013).

Ao longo da história e do desenvolvimento científico, muitos sistemas de unidades foram criados. Desde a década de 1960, a comunidade científica e de engenharia empreende grandes esforços para unificar o mundo com um único sistema de unidades. Entretanto, alguma resistência a esta unificação ainda é observada e, hoje, ainda existem dois conjuntos de unidades em uso nas aplicações da Engenharia: o sistema inglês, adotado praticamente apenas nos EUA, e o SI métrico, também conhecido como Sistema Internacional.

De acordo com Çengel e Boles (2013), o Sistema Internacional (SI) é um sistema simples e lógico baseado no escalonamento decimal entre as diversas unidades, utilizado em trabalhos científicos e de engenharia na maioria das nações industrializadas, incluindo até mesmo a Inglaterra. O sistema inglês, porém, não tem uma base numérica sistemática aparente, e as diversas unidades desse sistema estão relacionadas entre si de forma totalmente arbitrária, o que o torna confuso e difícil de entender para usuários que não estão acostumados.

Em 1971, a Conferência Geral de Pesos e Medidas padronizou sete quantidades fundamentais de unidades, identificadas conforme a Figura 2.



6

FIGURA 2 – AS SETE DIMENSÕES FUNDAMENTAIS NO SISTEMA INTERNACIONAL (SI)

FONTE: Adaptado de Çengel e Boles (2013)

Outra padronização importante no Sistema Internacional (SI) é a escrita de todos os nomes de unidades na forma minúscula, mesmo as unidades derivadas de nomes próprios. Porém, a abreviação de uma unidade deve ser escrita com a primeira letra em maiúscula, caso esta unidade derive de um nome próprio. Por exemplo, a unidade de força no SI, uma homenagem a Sir Isaac Newton (1647-1723), é o newton (e não Newton), e sua abreviação é N (ÇENGEL; BOLES, 2013).

Outra regra importante refere-se ao nome completo de uma unidade, que pode ser colocado no plural, mas não sua abreviação. Por exemplo, o comprimento de um objeto pode ser 10m ou 10 metros, mas não 10 ms ou 10 metros. Finalmente, nenhum ponto deve ser usado nas abreviações de unidades, a menos que apareça no final de uma frase. A abreviação adequada de metro é m (e não m.) (ÇENGEL; BOLES, 2013).

De acordo com Çengel e Boles (2013), as indústrias envolvidas no comércio internacional (como as do setor automotivo, de refrigerantes e de bebidas alcoólicas) passaram rapidamente a utilizar o sistema métrico por questões econômicas (pois contariam com um único projeto mundial, menor número de tamanhos, estoques menores etc.). Hoje, quase todos os automóveis fabricados nos Estados Unidos seguem o sistema métrico. Porém, a maioria das indústrias desse país resistiu à mudança para o Sistema Internacional (SI), retardando assim o processo de conversão. Neste livro didático será dada ênfase às unidades do Sistema Internacional (SI).

Sendo o SI baseado em uma relação decimal entre as unidades, os prefixos usados para expressar os múltiplos e submúltiplos das diversas unidades estão listados na Figura 3. Esses prefixos são padrão para quaisquer unidades.



7

FIGURA 3 – RELAÇÃO DE PREFIXOS EM UNIDADES DO SI


Na Figura 4 estão listadas as unidades das principais quantidades utilizadas no estudo da mecânica dos fluidos e os fatores de conversão para o Sistema Internacional e o Sistema inglês.



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FIGURA 4 – FATORES DE CONVERSÃO DE UNIDADES DE DIMENSÕES NO SI E SISTEMA INGLÊS

FONTE: Adaptado de Mott e Untener (2015)



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Algumas considerações importantes devem ser ressaltadas com base nas in-formações da Figura 4. Verifica-se que no SI, as unidades de massa, comprimento e tempo são quilograma (kg), metro (m) e segundo (s), respectivamente. As unidades respectivas do sistema inglês são libra-massa (lbm), pé (ft) e segundo (s). Embora no idioma inglês a palavra libra se traduza por pound, o símbolo lb é a abreviação de libra.

No SI, a unidade de força é newton (N) e é definida como a força necessária para acelerar uma massa de 1 kg a uma taxa de 1 m/s2. No sistema inglês, a unidade de for-ça é a libra-força (lbf), por definição, a força necessária para acelerar uma massa de 32,174 lbm (1 slug) a uma taxa de 1 pé/s2. É importante não confundir a libra-massa (lbm) com libra-força (lbf). Geralmente, o contexto do problema esclarece a situação.

Outro ponto de confusão recorrente é em relação ao termo peso, que quase sempre é utilizado incorretamente para expressar massa. Ao contrário da massa, o peso é uma força. Ele é a força gravitacional aplicada a um corpo e sua magnitude é determinada pela segunda lei de Newton, onde peso é igual ao produto da massa do corpo e a aceleração gravitacional imposta no local. Na Terra, ao nível do mar, pode-mos adotar a aceleração gravitacional igual a 9,81 m/s².

A principal causa de confusão entre massa e peso é que a massa em geral é medida indiretamente calculando-se a força da gravidade exercida sobre ela. Essa abor-dagem também considera que as forças exercidas por outros efeitos, como o empu-xo, são desprezíveis. Isso é como medir a altitude de um avião por meio da pressão barométrica. A forma direta apropriada de medir a massa é compará-la a uma massa conhecida, porém este método é adotado apenas em aplicações muito específicas.

O trabalho, q ue é uma forma de energia, pode ser definido simplesmente como o produto da força e distância. Dessa forma, ele tem a unidade newton-metro (Nm), que é chamada de joule (J). No sistema inglês, a unidade de energia é o Btu (do inglês British Thermal Unit ou Unidade Térmica Britânica), definido como a energia necessária para elevar em 1°F a temperatura de 1lbm de água a 68°F. No sistema mé-trico, a quantidade de energia necessária para elevar em 1°C a temperatura de 1g de água a 14,5°C é definida como uma caloria (cal).

A unidade da taxa de transferência de energia em relação ao tempo é o joule por segundo (J/s), que é chamado de watt (W). No caso de a transferência de energia entre sistemas ser dada na forma de trabalho (e não calor), sua taxa é chamada de potência. Uma unidade comumente usada para a potência é o cavalo-vapor (hp, do inglês horse-power), que é equivalente a 746W.

Se você consultar o seu consumo mensal de energia elétrica na conta que recebe da concessionária que distribui eletricidade, notará que a energia elétrica é geralmente expressa em quilowatt-hora (kWh), que equivale a 3600 kJ. A técnica de conversão de unidades compostas ilustrada a seguir pode auxiliar o processo de cál-culo quando os fatores de conversão são conhecidos.

• Converter 1kWh para kJ:



10

1 kWh3600 s 1 kJ

s 3600 kJ3600 kJ

1 h 1 kW 1

Fazendo o produto dos numeradores e dividindo pelo produto dos denominadores, cancelamos as unidades e encontramos o valor equivalente de 3600 kJ para 1 kWh de energia.

Outro exemplo:

• Converter 1 milha/galão para km/L:

1 mi gal1,6km 1gal 1,6 km

0,423 km L1 mi 3,7854 L 3,7854 L

Um dos motivos do uso da unidade kWh para quantificar a energia é que o valor da quantidade de energia consumida fica mais curto na conta e de fácil análise e comparação. Entretanto, quando se trata de geração de energia elétrica, as unidades de kW e kWh são frequentemente trocadas e isso pode causar algu-ma confusão.

Para esclarecer esta diferença entre potência e energia, devemos definir o conceito de taxa e fluxo. De forma geral, a taxa é definida como sendo a razão entre uma quantidade e o tempo (Equação 1). Por isso definimos a taxa de trans-ferência de calor como a quantidade de energia térmica (calor) transmitida ao longo do tempo.

(1)

QuantidadeTaxatempo

=

O fluxo, por sua vez, é definido como a razão entre a taxa e a respectiva área de transferência (Equação 2).

TaxaFluxoÁrea

= (2)

Conforme já mencionado, a taxa é chamada de potência quando a quantidade transmitida ao logo do tempo é energia na forma de trabalho, e não na forma de calor.

IMPORTANTE



11

Portanto, no caso da quantidade de energia transferida, sua unidade no SI será joule e o tempo, segundo. A razão entre quantidade ao longo do tempo será a taxa de transferência de energia (joule por segundo (J/s) ou watt (W)). Se, além disso, definirmos qual a área de transferência desta quantidade de energia ao longo do tempo, poderemos determinar o fluxo de energia (W/m²), fazendo a razão entre a taxa de transferência de energia (W) e a respectiva área de transferência (m²).

A taxa ou potência nominal é constante em processos em regime permanente e na maioria dos equipamentos padronizados.

A afirmação de que uma usina hidrelétrica gera 50 kW de eletricidade por ano é incorreta. A afirmação correta seria que a usina hidrelétrica com potência instalada (nominal) de 50 kW gera 438.000 kWh de eletricidade por ano.

NOTA

NOTA

Considere um equipamento elétrico (chuveiro a resistência elétrica) com uma potência nominal de 4000 W. Esse chuveiro consome 4 kWh de eletricidade quando funciona continuamente por uma hora. Note que kW ou kJ/s é uma unidade de potência, enquanto kWh é uma unidade de energia.

Podemos utilizar a Equação 1 no seguinte exemplo: qual a quantidade de energia, em kWh, que uma usina hidrelétrica com potência de 50 kW gera por ano?

5024 365

438000

QuantidadeTaxatempo

QuantidadekW h diasdia ano

kWhQuantidadeano

=

=

=



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3 FLUIDOS: DEFINIÇÃO E CLASSIFICAÇÃO

Neste subtópico, discutiremos alguns conceitos intuitivos referentes à definição e classificação dos fluidos. Responder à pergunta ‘qual é a diferença entre um sólido e um fluido?’ geralmente é acompanhada de certas incertezas. Mas se a pergunta for ‘o que é um fluido?’, a resposta se torna um pouco mais complicada. Para responder à primeira pergunta, dizemos que um sólido é “duro” e não é facilmente deformado sob aplicação de um esforço de cisalhamento (cortante), enquanto um fluido é “macio” e é facilmente deformado pela aplicação de um esforço de cisalhamento.

Podemos invocar também a diferença de um sólido e fluido em função do estado físico da matéria (sólido, líquido, gasoso). Embora bastante descritivas, essas considerações gerais sobre as diferenças entre sólidos e fluidos não são muito satisfatórias de um ponto de vista científico ou de engenharia.

Uma força de cisalhamento ou tangencial (FT) é aquela aplicada em sentido oposto ou igual, mas em direções diferentes. Imagine você rasgando uma folha de papel com as mãos. O esforço aplicado para rasgar a folha é cisalhante.

O tensor tensão de cisalhamento (τ ) é a força tangencial aplicada sobre uma área de contato. O tensor tensão normal (θ) é a força normal, aplicada perpendicularmente à área de contato.

NOTA

NOTA

A Figura 5 apresenta um esquema simplificado do estudo da dinâmica dos corpos e suas subáreas de concentração. Basicamente, o estudo da dinâmica dos corpos divide-se em dois subgrupos: corpos rígidos, que são aqueles que não se deformam durante o movimento, por exemplo, uma pedra descrevendo uma trajetória; e corpos não rígidos, que se deformam durante o movimento. Os corpos não rígidos dividem-se em elásticos, cuja deformação causada pela força aplicada durante a trajetória é reversível (geralmente a deformação desses corpos é regida pela Lei de Hooke) e os fluidos, cuja deformação é irreversível. Nosso estudo



13

focará apenas a dinâmica dos fluidos, especialmente dos líquidos. Mesmo com esta abordagem bem específica dentro desta área de concentração, uma boa base de cálculo e mecânica básica será solicitada.

FIGURA 5 – ESTUDO DA DINÂMICA DOS CORPOS E SUAS SUBÁREAS DE CONCENTRAÇÃO

FONTE: O autor

Sem considerar as exceções, é possível caracterizar sólidos e fluidos em um panorama geral, com uma análise microscópica na estrutura molecular dos materiais. Constatamos que os sólidos têm moléculas densamente espaçadas com grandes forças coesivas intermoleculares que permitem que o sólido mantenha sua forma e não seja facilmente deformado por uma força cisalhante. Desta forma, os sólidos geralmente resistem à deformação e o seu arranjo molecular é permanente (Figura 6).

FIGURA 6 – CORPO RÍGIDO EM REPOUSO E SOB AÇÃO DE UMA TENSÃO DE CISALHAMENTO

FONTE: O autor



14

No entanto, para a matéria no estado líquido, as moléculas estão mais espaçadas, as forças intermoleculares são menores do que para sólidos, e as moléculas têm mais liberdade de movimento ou translação em torno umas das outras. Assim, os líquidos podem ser facilmente deformados pela ação de uma força cisalhante, mas são considerados incompressíveis, pois a variação de seu volume com o aumento da pressão é muito pequena (MUNSON; YOUNG; OKIISHI, 2004; WHITE, 2018).

Gases têm ainda maior espaçamento molecular e liberdade de movimento com coesão intermolecular insignificante. Suas partículas se movimentam aleatoriamente e, como consequência, são facilmente deformados sob ação de uma força. Os gases são compressíveis, visto que qualquer variação de pressão imposta causa uma considerável variação no seu volume.

Tanto os líquidos quanto os gases são caracterizados como fluidos. Os fluidos não resistem a uma deformação e o seu arranjo molecular não é permanente (Figura 7). Uma camada de fluido entre duas placas planas paralelas, na qual a placa inferior é fixa e a superior é móvel, sendo empurrada pela aplicação de uma tensão de cisalhamento. Com a aplicação desta força, o fluido é continuamente deformado e o arranjo molecular não será mais permanente.

A Figura 7 demonstra uma camada de fluido sendo deformada em função da aplicação de uma tensão de cisalhamento. O arranjo molecular não é permanente devido à diferença de velocidade das partículas do fluido durante o escoamento.

FIGURA 7 – DEFORMAÇÃO DE UMA CAMADA DE FLUIDO EM FUNÇÃO DA APLICAÇÃO DE UMA TENSÃO DE CISALHAMENTO

FONTE: O autor



15

Segundo Munson, Young e Okiishi (2004) e Canedo (2012), fluidos são definidos como substâncias que se deformam continuamente quando uma força cisalhante de qualquer magnitude atua sobre sua área. Esta deformação contínua (chamada de escoamento) é definida pela tensão de cisalhamento, já definida. Quando um sólido sofre a ação de uma tensão de cisalhamento, ele inicialmente deforma, resiste à deformação e não “escoa” continuamente.

Alguns materiais possuem carcaterísticas peculiares e são mais difíceis de classificar, por exemplo, alguns tipos de lamas, piche, asfalto, que se comportam como sólidos se a tensão de cisalhamento aplicada for pequena, mas escoam quando a tensão de cisalhamento aplicada atinge certo valor crítico.

Na mecânica dos fluidos, o estudo do comportamento de fluidos em função da tensão de cisalhamento aplicada e a deformação causada se referem à reologia dos fluidos.

Algumas diferenças entre líquidos e gases são importantes. Em um líquido, um grupo de moléculas pode se mover em relação ao outro, mas o volume permanece relativamente constante por causa das fortes forças de coesão entre as moléculas. Como resultado, um líquido toma a forma do recipiente em que está acondicionado e sempre forma uma superfície livre (fronteira do líquido com o sólido ou outro fluido) em um recipiente maior em um campo gravitacional (ÇENGEL; CIMBALA, 2007). Essa superfície livre, aparentemente plana e horizontal ao nosso referencial visual, é na verdade curvada, devido aos efeitos da tensão superficial e forças de atração na superfície livre do líquido. Se o recipiente for inclinado, uma tensão faz o líquido esparramar para manter esta superfície livre na horizontal.

Um gás, por outro lado, se expande até encontrar as paredes do recipiente e preenche todo o espaço disponível. Isso ocorre porque as moléculas de gás são amplamente espaçadas e as forças coesivas entre elas são muito pequenas. Ao con-trário de líquidos, um gás em um recipiente aberto não pode formar uma superfície livre (ÇENGEL; CIMBALA, 2007). Esse fenômeno está ilustrado na Figura 8.



16

FIGURA 8 – O LÍQUIDO SEMPRE FORMA UMA SUPERFÍCIE LIVRE

FONTE: Çengel e Cimbala (2015, p. 3)

3.1 PROPRIEDADES DOS FLUIDOS

Neste trecho, definiremos as propriedades fundamentais dos fluidos que serão usadas em cálculos desta disciplina.

• Massa específica ou densidade (ρ)

A massa específica ou densidade é indicada pela letra grega rho e é a razão entre a massa do fluido e o volume que ele ocupa. A densidade de um fluido depende da temperatura e pressão. Para os gases, a densidade é inversamente proporcional à temperatura e diretamente proporcional à pressão. Para os líquidos, por serem fluidos incompressíveis, a densidade praticamente não se altera com a influência da pressão. Em relação à temperatura, a densidade dos líquidos é inversamente proporcional. Entretanto, esta variação de densidade em função da temperatura é percentualmente pequena e pode ser desconsiderada em muitas aplicações práticas. Líquidos, portanto, são considerados fluidos de densidade constante em muitas aplicações.

• Peso específico (γ)

mV

ρ = (3)

gγ ρ= (4)

Líquido

Superfície livre

Gás



17

O peso específico do fluido é o produto da densidade e da aceleração gravitacional local. Inserindo a definição de densidade, podemos reescrever a equação (4), como:

(4.1)Peso

Vγ =

gmgV

γ ρ

γ

=

=

• Densidade relativa ou gravidade específica (d)

A densidade relativa de um fluido é a razão entre a sua densidade e a den-sidade de um fluido de referência. Geralmente o fluido de referência usado é água a 4 °C. Nesta temperatura, a água tem seu valor de densidade máxima (1000 kg/m³). A densidade relativa é um parâmetro adimensional. Se o valor da densidade relativa de um fluido é menor que “1”, significa que o fluido é “menos denso” do que a água e em uma mistura com água, este fluido menos denso ficará por cima.

(5)substância

referência

d ρρ

=

Você sabe por que a água tem sua maior densidade na temperatura de 4ºC? Este fato se deve por características peculiares da substância e pode ser explicado pelo fenômeno de dilatação anômala da água e pela presença de ligações de hidrogênio na molécula de água. Vale a pena pesquisar este tópico!

DICAS

Pesquise nas referências indicadas outras propriedades dos fluidos: pressão de vapor, energia e calor específico, coeficiente de compressibilidade, coeficiente de expansão volumétrica, tensão superficial e capilaridade.

IMPORTANTE



18

4 LEI DE NEWTON DA VISCOSIDADE

A Lei de Newton da viscosidade é assim chamada em homenagem a Sir Isaac Newton, que em seus estudos definiu e modelou matematicamente o fenômeno de deformação do fluido quando este sofre uma tensão de cisalhamento. Discutimos anteriormente que sólidos resistem a uma tensão de cisalhamento e, se a força aplicada não ultrapassar o limite elástico do material, quando cessada a força, o sólido volta à sua configuração estrutural original.

Os fluidos não resistem à tensão de cisalhamento e sempre se deformarão continuamente enquanto a força estiver sendo aplicada (BRUNETTI, 2008; BISTAFA, 2016; FOX et al., 2018).

De acordo com Munson, Young e Okiishi (2004), Potter e Wiggert (2013) e Potter, Wiggert e Ramadan (2014), quando dois corpos sólidos em contato se movem em relação um ao outro, uma força de atrito se desenvolve na superfície de contato dos corpos na direção oposta ao movimento. Para mover uma mesa no chão, por exemplo, temos que aplicar uma força tangencial sobre a mesa suficiente para superar a força de atrito. A magnitude da força tangencial necessária para mover a mesa depende do coeficiente de atrito entre a mesa e o chão.

Uma situação análoga ocorre quando um fluido se move em relação a um sólido ou quando dois fluidos se movem em relação um ao outro. Existe uma propriedade que representa a resistência interna de um fluido para o movimento ou escoamento e essa propriedade é chamada de viscosidade (ÇENGEL; CIMBALA, 2007; 2015).

Para formular uma relação matemática entre a viscosidade do fluido e sua deformação, considere uma camada fluida entre duas grandes placas paralelas separadas por uma distância, conforme ilustrado na Figura 9. A placa inferior é mantida fixa e a superior é móvel. Todos os elementos do fluido se deformam quando sujeitos a uma força de cisalhamento.

Imagine o experimento com uma prancha plana de isopor flutuando sobre a água da piscina e você na borda, empurrando a prancha.

NOTA



19

FIGURA 9 – DEDUÇÃO DA LEI DE NEWTON DA VISCOSIDADE

FONTE: Hibbeler (2016, p. 3)

Uma tensão superficial constante é aplicada na placa superior, enquanto a placa inferior é mantida fixa. De acordo com este experimento, observa-se que a placa superior se move continuamente sob a influência da força tangencial aplicada e com velocidade constante. O fluido possui uma característica de “grudar” na superfície em contato, chamada de condição de não escorregamento (FOX et al., 2018; HIBBELER, 2016). O fluido em contato com a placa superior adere à superfície da placa e se move com ela na mesma velocidade, e a tensão de cisalhamento agindo sobre esta camada de fluido é dada por:

Sendo A a área de contato do fluido com a placa.

Entre as camadas do fluido desenvolve-se uma espécie de atrito (resistência) que dificulta a transferência da quantidade de movimento ao longo da camada e faz o fluido desenvolver um perfil de velocidade na camada fluida de determinada espessura (e) (Figura 10).

FIGURA 10 – RESISTÊNCIA QUE OCORRE ENTRE AS CAMADAS DO FLUIDO QUANDO UMA FORÇA TANGENCIAL OU DE CISALHAMENTO É APLICADA

(6)tangencialFA

τ =




20

O fluido, em contato com a placa inferior, assume a velocidade dessa pla-ca, que é zero. Em um escoamento laminar e em regime permanente, a velocidade do fluido entre as placas varia linearmente entre 0 e uma velocidade máxima e assim o perfil de velocidade e o gradiente de velocidade são proporcionais:

De acordo com Çengel e Cimbala (2007) e Hibbeler (2016), a deformação é causada nas camadas do fluido durante um intervalo de tempo (dt), quando os lados das partículas fluidas ao longo de uma linha vertical MN giram através de um ângulo (b), enquanto a placa superior move uma distância diferencial (da) que pode ser expressa como o produto da velocidade máxima e do intervalo de tempo (Figura 11).

FIGURA 11 – ESQUEMA DO COMPORTAMENTO DIFERENCIAL DO FLUIDO COM ESCOAMENTO LAMINAR ENTRE DUAS PLACAS PLANAS PARALELAS EM QUE A PLACA SUPERIOR DESLOCA-SE

EM VELOCIDADE CONSTANTE


O deslocamento angular, deformação ou tensão de cisalhamento do fluido pode ser definido como:

máximav dtcatetoopostotancatetoadjacente e

b≈ = = =du dtdâ

dy

Ou seja, a variação do ângulo formado pela deformação das camadas do fluido ao longo do tempo (taxa de deformação) é proporcional ao gradiente de velocidade entre as camadas do fluido:

da

y

x

N N’ u = V

u = 0

dβ

M

Área AForça F

Velocidade

Perfil de velocidade

máximavdudy e

=



21

Experimentalmente, comprova-se que para a maioria dos fluidos, a relação entre a taxa de deformação (ou gradiente de velocidade) do fluido é proporcional à tensão de cisalhamento aplicada.

d dudt dyb τ= ∝

Dessa forma, a constante de proporcionalidade pode ser determinada através do coeficiente angular da reta de dados experimentais graficados (Figura 12). Esta constante de proporcionalidade (μ) é definida como a viscosidade dinâmica ou absoluta do fluido.

FIGURA 12 – RELAÇÃO LINEAR ENTRE A TENSÃO DE CISALHAMENTO SOBRE UM FLUIDO E SUA TAXA DE DEFORMAÇÃO

d dudt dyb=


Quanto maior for o coeficiente angular da reta dos dados, maior será o valor da viscosidade dinâmica do fluido e este valor será constante em função da tensão de cisalhamento. Esses fluidos são chamados de fluidos newtonianos.

Portanto, viscosidade é uma propriedade de um fluido que mede a resistência ao movimento de uma camada muito fina de fluido sobre uma camada adjacente. Quanto maior a viscosidade do fluido, mais difícil é o escoamento. A viscosidade dinâmica é expressa no SI na unidade Pa·s ou kg/m·s. Uma unidade também usual é o poise (P), sendo 1Pa·s = 10P.



22

A Lei de Newton da viscosidade, enfim, expressa que em um escoamento unidimensional de um fluido newtoniano, a tensão de cisalhamento é:

Na mecânica dos fluidos e na transferência de calor, a razão da viscosidade dinâmica e a densidade do fluido definem uma outra propriedade específica chamada viscosidade cinemática (ν). Sua unidade no SI é o m²/s mas utiliza-se também a unidade stoke (1St = 1cm²/s = 0,0001m²/s).

Em geral, a viscosidade de um fluido depende da temperatura e da pressão, embora a dependência da pressão seja bastante fraca. A viscosidade de líquidos é inversamente proporcional em relação à temperatura, enquanto a viscosidade dos gases é diretamente proporcional em relação à temperatura (Figura 13). Assim, a viscosidade dos líquidos reduz com o aumento da temperatura e a viscosidade dos gases aumenta com o aumento da temperatura.

FIGURA 13 – VARIAÇÃO DA VISCOSIDADE EM LÍQUIDOS E GASES EM FUNÇÃO DA TEMPERATURA

dudy

τ m= (7)


4.1 FLUIDOS NEWTONIANOS E NÃO NEWTONIANOS

Conforme já discutido, os fluidos classificados como newtonianos são aqueles que possuem uma relação linear entre a tensão de cisalhamento e a sua



23

deformação. Os fluidos não newtonianos são aqueles que não apresentam esse tipo de comportamento. Alguns exemplos são ilustrados na Figura 14.

FIGURA 14 – COMPORTAMENTO DE ALGUNS TIPOS DE FLUIDOS NÃO NEWTONIANOS


A inclinação da curva no gráfico da Figura 14 é chamada de viscosidade aparente do fluido, pois ela pode não ser constante. Fluidos para os quais a viscosidade aparente aumenta com a taxa de cisalhamento (tais como soluções de água com amido ou areia) são chamados de fluidos dilatantes. Fluidos que têm sua viscosidade aparente reduzida com o aumento da tensão de cisalhamento (tal como tintas e soluções de polímero) são referidos como fluidos pseudoplásticos. Alguns fluidos, como creme dental, podem resistir a uma tensão de cisalhamento até certo valor e só começar a deformar quando atingirem um determinado valor de tensão de escoamento ou tensão crítica. Esses fluidos se comportam como um sólido abaixo da tensão crítica aplicada, mas deformam-se continuamente quando a tensão de cisalhamento excede a tensão crítica. Esses fluidos são chamados de plásticos de Bingham (POTTER; WIGGERT, 2018; WHITE, 2011; 2018).

4.2 REOLOGIA BÁSICA

A reologia é a ciência que estuda o comportamento dos fluidos. De forma geral, os líquidos são fluidos muito mais viscosos do que os gases. Os líquidos, também de forma geral, são mais sensíveis com a influência da temperatura sobre sua viscosidade do que os gases. Alguns exemplos desses comportamentos podem ser analisados na Figura 15.



24

FIGURA 15 – COMPORTAMENTO DE ALGUNS TIPOS DE FLUIDOS NÃO NEWTONIANOS


Com exceção do mercúrio, a maioria dos líquidos apresenta variação sensível da viscosidade dinâmica ou absoluta com o aumento da temperatura.

5 EXEMPLOS DE APLICAÇÃO

1) Um sistema de dois cilindros concêntricos é usado para medir a viscosidade de um lubrificante. O cilindro menor, com peso igual a 4 N é mergulhado dentro do cilindro maior e, após um período transiente inicial, cai com velocidade



25

constante de 2m/s. O diâmetro do cilindro maior é 10,1 cm e do cilindro menor é 10 cm. O cilindro que é mergulhado tem altura de 5 cm. Calcule a viscosidade dinâmica do lubrificante colocado na folga entre os dois cilindros. Considere que a deformação no fluido causada pelo cisalhamento do cilindro tem um perfil linear.

Solução:

FONTE: O autor

Aplicamos um balanço de forças no corpo em movimento com base na 2ª Lei de Newton. Como o cilindro mergulha no fluido com velocidade constante, sua aceleração é nula, portanto:

0F maF

∑ =∑ =

O equilíbrio dinâmico do sistema é atingido quando as forças atuantes no cilindro em movimento são equilibradas. Neste caso, a força peso do cilindro tem como reação a força tangencial devido ao cisalhamento na camada do fluido. Desta forma:



26

Inserindo as definições de tensão de cisalhamento e da Lei de Newton da viscosidade:

( )0máxima

tangencial

vdudy e

FA

τ m m

τ

−= =

=

A deformação na camada do fluido tendo um perfil linear permite simplificar a equação da Lei de Newton da viscosidade, pois sendo uma função linear, cada diferença de velocidade entre as camadas do fluido é igual. Desta maneira, a determinação da variação total de velocidade do fluido na sua espessura de camada (deformação) pode ser expressa como:

( )

( )

( ) ( )

0

2 04 0,1 0,05

0,0005

ì 0,06366 Pa s

ì 0,6366 P

ì 63,66 cP

máxima

duPeso A DLdy

vPeso

e

τ m π

m

m π

= =

−=

−= ⋅ ⋅

≅ ⋅

≅

≅

2) Um sistema de dois cilindros concêntricos é usado para medir a viscosidade de um lubrificante. O cilindro menor, com peso igual a 4 N, é mergulhado dentro do cilindro maior e, após um período transiente inicial, cai com velocidade constante de 2m/s. O diâmetro do cilindro maior é 10,1 cm e do cilindro menor é 10 cm. O cilindro que é mergulhado tem altura de 5 cm. Calcule a viscosidade dinâmica do lubrificante colocado na folga entre os dois cilindros. Considere que a deformação no fluido causada pelo cisalhamento do cilindro tem um perfil não linear.

0tangencial

tangencial

Peso FPeso F

− =

=



27

Solução:

FONTE: O autor

Aplicamos um balanço de forças no corpo em movimento com base na 2ª Lei de Newton. Como o cilindro mergulha no fluido com velocidade constante, sua aceleração é nula, portanto:

0F maF

∑ =∑ =

O equilíbrio dinâmico do sistema é atingido quando as forças atuantes no cilindro em movimento são equilibradas. Neste caso, a força peso do cilindro tem como reação a força tangencial devido ao cisalhamento na camada do fluido. Desta forma:

0tangencial

tangencial

Peso FPeso F

− =

=

Inserindo as definições de tensão de cisalhamento e da Lei de Newton da viscosidade:



28

Como o sistema é baseado em coordenadas cilíndricas, a deformação do fluido ocorre na direção radial. Portanto, este ajuste da coordenada geométrica deve ser inserido:

( )2duPeso A rLdr

τ m π= = −

A equação diferencial ordinária pode ser resolvida com a separação de variáveis e integração das funções, definindo também os limites de integração (contornos do problema):

( )duPeso A DLdy

τ m π= =

Notamos que o valor da viscosidade dinâmica considerando a deformação não linear na camada do fluido ficou muito próximo do valor calculado para a deformação linear (O erro percentual entre os resultados, neste caso, é de 0,5%). Para situações práticas em que a espessura da camada do fluido é muito pequena, podemos adotar a simplificação da Lei de Newton, conforme resolução da questão 1.

NOTA


29

Neste tópico, você aprendeu que:

• Existem diversas aplicações da disciplina de Mecânica dos Fluidos.

• Diferentes sistemas de unidades podem ser utilizados na Mecânica dos Fluidos.

• É importante compreender as definições de grandezas físicas utilizadas na Mecânica dos Fluidos.

• A técnica de conversão de unidades é útil em vários problemas práticos.

• O fluido apresenta características particulares e as características definem líquidos e gases.

• As principais propriedades dos fluidos devem ser identificadas.

• O conceito de viscosidade do fluido e a dedução da Lei de Newton da viscosidade são aplicados para compreender o fenômeno de transferência de quantidade de movimento.

• A reologia de fluidos newtonianos e não newtonianos descreve o comportamento dos fluidos em função da tensão de cisalhamento e da taxa de deformação.

RESUMO DO TÓPICO 1


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1 A massa específica (densidade) de um óleo hidráulico usado em uma prensa é 53,1 lbm/ft³ a 68°F. A sua viscosidade dinâmica na mesma temperatura é 32,8 lbm/ft·h. Calcule as seguintes propriedades do óleo nas unidades entre parênteses:

a) massa específica (kg/m³)b) viscosidade dinâmica (Pa·s e cP) e viscosidade cinemática (m²/s e cSt) c) Compare as propriedades físicas do óleo com as da água a 20°C (ρ = 998,2

kg/m³ e μ = 1 cP). O óleo é mais denso que a água? O óleo é mais viscoso que a água?

Adote: 1 lbm = 0,4536kg 1 ft = 0,3048m

2 Uma placa plana quadrada com 5 m de lado e massa de 2 kg desliza sobre uma fina película de óleo em um plano inclinado com ângulo de 30°. A velocidade da placa é de 2 m/s e constante. Qual a viscosidade dinâmica (μ) de óleo se a espessura da película é 2 mm? Considere g=10m/s².

AUTOATIVIDADE

FONTE: Brunetti (2008, p. 12)

3 Em um experimento no laboratório de reologia, um cilindro com massa de 350 g, diâmetro de 9 cm e altura de 8 cm é inserido dentro de um cilindro maior, com diâmetro de 9,3 cm. No espaço vazio entre os dois cilindros concêntricos é inserido um óleo lubrificante com viscosidade dinâmica (μ) de 80 cP. Em um dado momento, o cilindro menor é largado e após um curto tempo de queda, adquire uma velocidade constante. Com base na Lei de Newton da viscosidade e na deformação causada no fluido pelo cilindro descendente, calcule:

a) A velocidade máxima que este corpo atinge, considerando que o perfil de velocidade formado no fluido seja linear.

2m/s

2mm

20 N

30°


31

b) A velocidade máxima que este corpo atinge, considerando que o perfil de velocidade formado no fluido seja não linear.

c) O laboratório de reologia estabelece um erro percentual máximo de 0,5% na comparação entre as duas metodologias empregadas no procedimento experimental e no cálculo para determinação da velocidade do cilindro. Com base neste critério, você adotaria a simplificação da Lei de Newton da viscosidade para este caso? Justifique.

FONTE: O autor

4 Um pistão com peso de 93,41 N escorrega por dentro de um tubo lubrificado. As dimensões do pistão estão ilustradas a seguir. A folga entre o pistão e o tubo é de 0,0254 mm e é preenchida por um lubrificante. A partir da velocidade máxima de 6,4m/s, o pistão começa a desacelerar a 0,64008 m/s². Calcule a viscosidade do lubrificante.

12,7 cm

15,24 cm

FONTE: Adaptado de Brunetti (2008)


32


33

TÓPICO 2

VISCOSIDADE DE FLUIDOS

UNIDADE 1

1 INTRODUÇÃO

Duas grandes subcategorias de fluidos não newtonianos são chamadas de fluidos dependentes do tempo e independentes do tempo. Fluidos independentes do tempo têm uma viscosidade constante em uma dada tensão de cisalhamento e esta viscosidade não muda com o tempo. Os três tipos de fluidos independentes do tempo são os fluidos não newtonianos definidos no Tópico 1:

• Pseudoplástico: Conforme mostrado na Figura 14, a curva começa abruptamente, indicando uma alta viscosidade aparente. A partir de certo valor de tensão de cisalhamento, a inclinação diminui com o aumento do gradiente de velocidade. Exemplos de fluidos com este comportamento são plasma sanguíneo, polímeros, látex, xaropes, adesivos, melaço e tintas.

• Dilatantes: Conforme mostrado na Figura 14, a curva começa com uma baixa inclinação, indicando uma baixa viscosidade aparente. A partir de certo valor de tensão de cisalhamento, a inclinação aumenta com o aumento do gradiente de velocidade. Exemplos de fluidos com este comportamento são lamas com altas concentrações de sólidos, como amido de milho, amido em água.

• Fluidos de Bingham: Conforme mostrado na Figura 14, os fluidos de Bingham requerem um nível de tensão mínima de cisalhamento antes do início da deformação. Após iniciada a deformação, esta é essencialmente linear, com a inclinação da curva indicando uma viscosidade aparente constante. Exemplos de fluidos de Bingham são chocolate, mostarda, maionese, creme dental, asfalto, algumas graxas e lodos de esgoto.

Fluidos dependentes do tempo são muito difíceis de analisar porque viscosidade aparente varia com o tempo, com a deformação e temperatura. Exemplos de fluidos dependentes do tempo são alguns óleos crus a baixas temperaturas, tinta da impressora, náilon líquido e outras soluções de polímero, algumas geleias, farinha massa, alguns tipos de graxas e tintas.

A Figura 16 ilustra o comportamento de dois tipos de fluidos dependentes do tempo em que, em cada caso, a temperatura é mantida constante. O eixo vertical é a viscosidade dinâmica aparente e o eixo horizontal é o tempo. Antes da linha pontilhada das curvas, a viscosidade dos fluidos é estável e a tensão de cisalhamento é mantida constante. Quando a tensão de cisalhamento começa a aumentar, a viscosidade aparente muda; aumentando ou diminuindo



34

dependendo do tipo de fluido. Os fluidos dependentes do tempo demoram um determinado tempo para atingir uma nova viscosidade de equilíbrio devido à variação na tensão de cisalhamento. Basicamente existem dois tipos de fluidos dependentes do tempo:

• Fluidos Tixotrópicos: É o fluido em que a viscosidade aparente diminui com o tempo quando uma taxa de cisalhamento maior é aplicada. Quando a tensão é retirada, eles voltam a ficar mais viscosos. Este é o mais comum tipo de fluido dependente do tempo. Emulsões e soluções proteicas se enquadram nessas características.

• Fluidos Reopéticos: É o fluido em que a viscosidade aparente aumenta com o tempo quando uma taxa de cisalhamento maior é aplicada. Quando a tensão é retirada, eles voltam a ficar menos viscosos. Fluidos Reopéticos são muito raros e a argila bentonita é um exemplo.

FIGURA 16 – COMPORTAMENTO DE FLUIDOS DEPENDENTES DO TEMPO


Outra classe de fluidos não newtonianos com comportamento específico é chamada de fluidos viscoelásticos. São fluidos que possuem características de líquidos viscosos com propriedades elásticas e de sólidos com propriedades viscosas, ou seja, possuem propriedades elásticas e viscosas acopladas. Estas substâncias quando submetidas à tensão de cisalhamento sofrem uma deformação, e quando esta cessa, ocorre certa recuperação da deformação sofrida, típico de um comportamento de corpo elástico, e não de um fluido.

NOTA


TÓPICO 2 | VISCOSIDADE DE FLUIDOS

35

2 DETERMINAÇÃO DA VISCOSIDADE DE FLUIDOS NEWTONIANOS

Fluidos newtonianos (que têm o comportamento reológico baseado na Lei de Newton da viscosidade) podem ter sua viscosidade determinada com base em vários experimentos e com auxílio de dispositivos específicos chamados de viscosímetros. Analisaremos alguns casos a seguir.

2.1 RELAÇÃO ENTRE TORQUE E VISCOSIDADE

Podemos relacionar o torque aplicado para rotacionar um eixo que está acoplado em um mancal lubrificado. A espessura do fluido oferece uma resistência ao movimento do eixo e, desta forma, o torque necessário para rotacionar o eixo a uma velocidade angular constante é proporcional à viscosidade dinâmica do lubrificante. A dedução matemática parte do princípio do torque, que na física pode ser definido como uma energia mecânica associada ao produto de uma força aplicada ao longo de uma distância (momento ou braço de alavanca).

( )

tangencial

máx

Torque F sTorque F r

Torque A rvTorque DL r

e

τ

m π

= ⋅∆= ⋅

= ⋅

= ⋅ ⋅

Devemos recordar que a velocidade do movimento rotacional do eixo é uma velocidade angular (ω), e não uma velocidade linear ou tangencial. A relação entre a velocidade linear e a velocidade angular é:

v rω= ⋅ , onde “r” é o raio do eixo.

A velocidade angular é dada em radiano/s, sendo a unidade radiano a razão entre o comprimento do arco equivalente ao raio da circunferência e o próprio valor do raio. O radiano é uma medida angular, assim como o grau, e é um número adimensional.

Inserindo esta definição e rearranjando a equação:

(8)

( )2rTorque rL re

ωm π⋅= ⋅ ⋅



36

Uma análise dimensional com as unidades das grandezas envolvidas comprova que o torque pode ser relacionado com a viscosidade do fluido através da equação (9).

Se multiplicarmos o torque aplicado para rotacionar um eixo pela sua velocidade angular, determinamos a potência de eixo necessária ao motor para executar esta ação:

Com uma análise dimensional para validação:

eixoW Torque ω= ⋅ (9)

3

3 32

radPa s m m Ns Pa m m Nmm m

⋅ × × ×= = ⋅ = ⋅ = =Torque J

2.2 DISPOSITIVOS PARA MEDIÇÃO DA VISCOSIDADE – VISCOSÍMETROS

Procedimentos e equipamentos para medir a viscosidade são numerosos. A maioria emprega princípios fundamentais da mecânica dos fluidos e proprieda-des dos fluidos para a medição da viscosidade em suas unidades básicas. Outras indicam apenas valores relativos para a viscosidade, que podem ser usados para comparar diferentes fluidos.

Os dispositivos usados para determinação da viscosidade de fluidos são chamados de viscosímetros ou reômetros. Alguns são projetados para uso labora-torial e outros podem ser instalados diretamente em um processo industrial, para medição constante da viscosidade e garantir a qualidade de determinado produto.

Algumas normas internacionais que padronizam metodologias e testes destes dispositivos são adotadas. As principais normas e parâmetros são editados e publicados por entidades como a ASTM (American Society for Testing and Materials), norte-americana; DIN (Deutsches Institut für Normung), alemã; SAE (Society of Auto-motive Enigneers), que normatiza testes em óleos, lubrificantes e combustíveis, e a ISO (International Organization for Standardization), para padronização da qualidade.

• Viscosímetro de tambor rotativo ou giratório: é representado na Figura 17.

rad JJs s

= ⋅ = =

eixoW W



37

FIGURA 17 – VISCOSÍMETRO DE TAMBOR ROTATIVO

FONTE: <https://pt.made-in-china.com/co_nanbei-china/image_Rotating-Drum-Viscometer-for-Testing-Latex-Viscosity_esgegoniy_fjLTcBuwarpH.html>. Acesso em: 31 jul. 2018.

O copo externo é mantido em posição enquanto o motor aciona o tambor rotativo. A folga entre o tambor de rotação e o copo é pequena. A parte do fluido em contato com o copo externo é estacionária, enquanto o líquido em contato com a superfície do tambor interno se move a uma velocidade determinada. Com o cisalhamento causado, um gradiente de velocidade ocorre na camada de fluido. A viscosidade do fluido pode ser relacionada com o torque aplicado para girar o tambor rotativo.

• Viscosímetro de tubo capilar (viscosímetro de Ostwald): É representado na Figura 18 e a viscosidade do líquido é calculada através da Lei de Poiseuille para escoamentos laminares. Dois reservatórios são conectados por um longo e pequeno tubo de diâmetro capilar. Como o fluido flui através do tubo com uma velocidade constante, alguma energia é dissipada, causando uma queda de pressão que pode ser medida com manômetros. A magnitude da queda de pressão está relacionada com a viscosidade do fluido. Existem diversas configurações para este tipo de viscosímetro.



38

FIGURA 18 – VISCOSÍMETRO DE TUBO CAPILAR

FONTE: <http://bit.ly/2J9m6xQ>. Acesso em: 31 jul. 2018.

• Viscosímetro de queda de uma esfera (viscosímetro de Stokes): É representado na Figura 19.

FIGURA 19 – ESQUEMA DE UM VISCOSÍMETRO DE STOKES

FONTE: <https://gardco.com/pages/viscosity/vi/bf_fallingball.cfm>. Acesso em: 31 jul. 2018.



39

O conceito do viscosímetro é de que um corpo cai em um fluido sob a influência da gravidade e acelerará até que a força descendente (seu peso) seja apenas equilibrado pela força de empuxo e a força de arrasto viscoso do flui-do agindo para cima. Sua velocidade neste momento de equilíbrio dinâmico é chamada de terminal. O viscosímetro de Stokes usa este princípio, fazendo com que uma esfera caia livremente através do fluido para medir o tempo necessário que a esfera leva para percorrer uma certa distância conhecida. Assim, a veloci-dade pode ser calculada. Vários tipos e tamanhos de esferas estão disponíveis para permitir que o viscosímetro seja usado para fluidos com uma ampla varia-ção de viscosidade.

Pesquise também outros dois tipos comuns de viscosímetros: o copo Ford e o viscosímetro universal Saybolt.

NOTA

2.3 ESCALAS E GRADUAÇÃO DE VISCOSIDADE: SAE

A SAE (Society of Automotive Engineers), ou Sociedade dos Engenheiros Automotivos, desenvolveu um sistema de classificação para óleos e lubrificantes de motores automotivos que indica a viscosidade dos óleos em várias temperaturas de uso. Este sistema é mundialmente utilizado pela indústria de óleos e lubrificantes.

É comum encontrarmos graduações para viscosidade de óleos de motor que informam óleo 0W, 5W, 15W, 20W, 25W, 20, 30, 40, 50, 60. Outros valores comuns, para lubrificantes de engrenagens e transmissões, são 70W, 75W, 80W, 85W, 80, 85, 90, 110, 140, 190, 250. Óleos com um sufixo ‘W’ são utilizados em países com climas muito frios e são baseados na máxima viscosidade dinâmica a temperaturas baixas (entre -10 °C e -40 °C) sob condições que simulam tanto a partida de um motor e o bombeamento do óleo pela bomba de óleo. Estes óleos também devem atingir certo valor de viscosidade cinemática acima de uma temperatura de 100 ºC.

Óleos sem o sufixo ‘W’ são classificados de acordo com a viscosidade a altas temperaturas por dois diferentes testes: a viscosidade cinemática sob condições de baixo cisalhamento à temperatura de 100 °C e a viscosidade dinâmica sob condições de alta tensão de cisalhamento a 65,5 °C. Essas condições de testes simulam condições de altas temperaturas e altas taxas de cisalhamento nos mancais e nas superfícies deslizantes das máquinas e engrenagens.



40

Óleos multiviscosos, comuns no Brasil, devem atender requisitos de am-bos os testes, a baixas e altas temperaturas. O óleo de motor 10W40 é um exemplo.

Os requisitos de valores de viscosidade máxima a baixa temperatura para óleos estão relacionados com a capacidade do óleo de escoar para as superfícies que necessitam de lubrificação no motor durante partidas a frio do motor. Caso contrário, o óleo pode ser tão viscoso que não conseguirá fluir para os espaços a serem lubrificados.

De forma geral, em países temperados, o óleo usado no inverno deve ser menos viscoso do que o usado no verão, além de atender características de proteção nos sistemas mecânicos do motor.

Óleos multiviscosos, projetados para operar em amplas faixas de temperatura, têm aditivos especiais para aumentar a viscosidade. Um exemplo é o óleo de motor multiviscoso 5W40, que deve atender a rigorosos limites de viscosidade à baixa temperatura mantendo uma viscosidade suficientemente alta em temperaturas de funcionamento do motor para uma lubrificação eficaz. Geralmente, a obtenção de características específicas de óleos multiviscosos exige a mistura de materiais poliméricos com o petróleo.

Faça uma pesquisa sobre as tabelas de graduação SAE e o conceito de Índice de Viscosidade, outro parâmetro usado nesta graduação.

NOTA

3 TÓPICOS APLICADOS SOBRE LUBRIFICAÇÃO

Alguns fluidos desenvolvidos recentemente são chamados de fluidos ati-vamente ajustáveis. São aqueles para as quais as propriedades reológicas, par-ticularmente a viscosidade, podem ser alteradas ativamente, com a variação de uma corrente elétrica ou mudando o campo magnético em torno do fluido. Ajus-tes podem ser feitos manualmente ou remotamente através de um sistema com-putacional e são totalmente reversíveis.

Aplicações recentes na indústria automobilística incluem amortecedores “mais duros ou macios” que se ajustam de acordo com a carga variável do veí-culo. O aumento no amortecimento também pode ser executado para reduzir a instabilidade de viagens em locais irregulares (off-road).



41

Usos em estruturas de edifícios e pontes para minimizar a vibração causa-da pelas intempéries e em dispositvos protéticos para pessoas com necessidades especiais também são aplicações desses tipos de fluidos.

Dois tipos principais de fluidos com estas características são:

• Fluidos eletrorreológicos (ERP): estas são suspensões com partículas finas, como amido, polímeros e cerâmicas em um óleo não condutor, tal como óleo mineral ou óleo de silicone. As propriedades dos fluidos são controladas pela aplicação de corrente elétrica. Quando nenhuma corrente é aplicada, eles se comportam como outros líquidos. Mas quando uma corrente é aplicada, eles viram um gel e se comportam com características de um sólido.

• Fluidos magnetorreológicos (MRF): são fluidos similares aos fluidos eletrorreológicos que contêm partículas suspensas em um determinado fluido. No entanto, neste caso as partículas são pó de ferro fino. O fluido pode ser um óleo de petróleo, óleo de silicone ou água. Quando não há campo magnético presente, o fluido magnetorreológico se comporta como outros fluidos, com uma viscosidade que varia de 0,2Pa·s a 0,3Pa·s a 25 ºC. A presença de um campo magnético pode fazer com que o fluido se torne virtualmente sólido de modo que ele pode suportar uma tensão de cisalhamento de até 100.000Pa. A mudança de característica no fluido pode ser controlada eletronica e instantaneamente.

A nanotecnologia também é aplicada para atingir características desejáveis em um fluido. São os chamados nanofluidos. Os nanofluidos contêm nanopartículas (menos de 100nm de diâmetro) em um fluido base, que pode ser água, etilenoglicol, óleos sintéticos, lubrificantes, entre outros.

O material das nanopartículas pode ser metal, como alumínio e cobre, carboneto de silício, dióxido de alumínio, óxido de cobre, grafite, nanotubos de carbono e vários outros. As nanopartículas têm uma razão superfície/volume muito maior do que a de fluidos convencionais, misturas ou suspensões, intensificando propriedades físicas do fluido, por exemplo, a condutividade térmica.

O principal uso de nanofluidos é melhorar o desempenho geral de fluidos usados para resfriar dispositivos eletrônicos. Usados em sistemas lubrificantes, os nanofluidos melhoram características do escoamento sem alterar o grau de proteção e lubrificação, além de dissipar o calor em superfícies críticas. Pesquisas e aplicações nas áreas biomédicas e de controle ambiental também estão sendo aperfeiçoadas.


1) Peso específico e densidade relativa são duas propriedades comumente utilizadas nos cálculos da mecânica dos fluidos. Considere um fluido com densidade igual a 886 kg/m³. Qual é o seu peso específico e sua densidade relativa (referência à água a 4 °C), respectivamente? Adote g=10m/s² e densidade da água de referência igual a 1000 kg/m³.



42

Solução:

2) A viscosidade de um fluido é medida com um viscosímetro construído com dois cilindros concêntricos de 75 cm de altura. O diâmetro do cilindro interno é 15 cm e a folga (espessura de fluido) entre os dois cilindros é 0,12 cm. O cilindro interno é rotacionado a 200 rpm (rotações por minuto) e o torque medido é de 0,8 Nm. Considere a densidade do fluido igual a 820 kg/m³. Determine a viscosidade dinâmica e cinemática do fluido e a potência de eixo necessária para rotacionar o cilindro interno.

Solução:

886 10 8860³ ² ³

886 ³ 0,8861000 ³

fluido

referência

Nkg mg m s mkg

md kgm

γ ρ

ρρ

= = ⋅ =

= = =

FONTE: Adaptado de Çengel e Cimbala (2007)



43

Cálculo da potência de eixo necessária:

3

3

2

200 2 0,075 2 0,75600,8

0,00120,023 23

r LTorquee

Pa s cP

mω π

πm π

m

=

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

= ⋅ ≈

200 20,860

16,75

eixo

eixo

eixo

W Torque

radW Nm s

Nm JW Ws s

ω

π

= ⋅

⋅ = ⋅

= = =

Aplicando a equação que relaciona torque e viscosidade do fluido:


44

RESUMO DO TÓPICO 2Neste tópico, você aprendeu que:

• Os fluidos não newtonianos constituem uma classe de fluidos especiais com características e comportamentos peculiares.

• Existe uma relação entre o torque aplicado para movimentar um eixo em mancal lubrificado e a viscosidade do fluido.

• Os principais viscosímetros utilizados para determinação de viscosidade de fluidos possuem princípios de operação distintos, indicados para cada do tipo de aplicação.

• A graduação SAE é utilizada para a classificação de óleos e lubrificantes automotivos em função da viscosidade.

• A lei de Newton da viscosidade é aplicada em problemas que envolvem lubrificantes e lubrificação de mecanismos.


45

1 Um mancal acoplado a um eixo de acionamento está lubrificado com um óleo de viscosidade igual a 0,1 Pa·s a 25 °C, que é a temperatura do sistema quando iniciada a operação (start-up). Após o sistema de acionamento atingir o regime permanente de operação, a temperatura do lubrificante se eleva para 80ºC, o que reduz a viscosidade do óleo lubrificante para 0,008 Pa·s. Considere o comprimento do mancal igual a 30 cm, o diâmetro do eixo de acionamento igual a 8 cm, a folga média entre o eixo e o mancal é de 0,8 mm e a velocidade angular do eixo igual a 500 rpm. Determine:

a) O torque necessário para o eixo de acionamento vencer o atrito com o lubrificante na condição de start-up e durante o regime permanente de operação.

b) A potência de eixo necessária para o eixo de acionamento vencer o atrito com o lubrificante na condição de start-up e durante o regime permanente de operação.

c) Qual o percentual de economia de energia quando o sistema atinge o regime permanente de operação devido à redução da viscosidade do lubrificante em função do aumento da temperatura?

AUTOATIVIDADE


2 Uma esteira para transporte de finos minérios tem largura de 60 cm e se movimenta parcialmente em contato com uma lâmina de água, conforme as figuras a seguir. Calcule a potência mínima necessária que deve ser aplicada para acionar a esteira e vencer a resistência da lâmina de água. Considere que


46

a viscosidade dinâmica da água é 1,31x10-3 kg/ms; o comprimento da correia é 4 m; a espessura da lâmina de água é de 2 mm e a velocidade da correia é de 10 m/s. Adote 1hp = 746W.

DIAGRAMA ESQUEMÁTICO DA ESTEIRA

FONTE: Adaptado de Bistafa (2016)

VISTA DA LARGURA DA ESTEIRA

FONTE: Adaptado de: <http://bit.ly/2xz7Rvv>. Acesso em: 31 jul. 2018.

3 Um bloco desliza para baixo em um plano inclinado sobre uma fina película de óleo lubrificante, conforme ilustrado na figura a seguir. Considerando um perfil de velocidade linear no filme de fluido, responda o solicitado com auxílio da Tabela 1 e da Lei de Newton da viscosidade.

a) Deduza uma equação que permita calcular a velocidade de escorregamento do bloco. Considere aceleração do bloco igual a zero.

60cm


47

b) Determine a velocidade de escorregamento do bloco se a massa dele é de 6 kg, a sua superfície de contato com o óleo é de 35 cm², o ângulo θ é de 15º e o óleo (SAE 30) tem uma espessura de película de 1mm a uma temperatura de 20 °C.

VISCOSIDADE DO ÓLEO SAE 30 A DIFERENTES TEMPERATURAS

FONTE: White (2011, p. 47)

T,°C 0 20 40 60 80 100

m,kg/(m.s) 2,00 0,40 0,11 0,042 0,017 0,0095

FONTE: White (2011, p. 47)

θ

V

Filme de líquido de espessura e

Área A de contatodo bloco


48


49

TÓPICO 3

ESTÁTICA DOS FLUIDOS

UNIDADE 1

1 INTRODUÇÃO

Neste tópico, direcionaremos nosso estudo em algumas áreas de maior aplicação da estática dos fluidos, tais como forças aplicadas pelo fluido em repouso, definição de pressão do fluido, diferença entre pressão absoluta e manométrica, pressão em um ponto, dedução matemática da equação geral da manometria (variação da pressão do fluido com a profundidade), principais dispositivos para medição de pressão e força de flutuação (empuxo).

A estática dos fluidos aborda os problemas da Mecânica dos Fluidos que não envolvem movimentos. Tais problemas tratam da distribuição da pressão em um fluido estático e seus efeitos sobre as superfícies sólidas e corpos flutuantes e submersos. Quando a velocidade do fluido é nula, a variação de pressão se deve apenas ao peso do fluido. Conhecido o fluido em um dado campo gravitacional, a pressão pode ser facilmente calculada por integração da equação da manometria.

2 PRESSÃO DE UM FLUIDO EM REPOUSO

A pressão é definida como uma força normal exercida por um fluido por unidade de área. Como a pressão é definida como força por unidade de área, ela tem a unidade de newton por metro quadrado (N/m²), que é chamado um pascal (Pa).

Existem diversas unidades de pressão no SI e no Sistema inglês que são empregadas na mecânica dos fluidos e é importante conhecer os parâmetros de conversão entre elas. A Figura 20 apresenta estas informações.


50


FIGURA 20 – FATORES DE CONVERSÃO DAS PRINCIPAIS UNIDADES DE PRESSÃO


A pressão real em uma dada posição é chamada de pressão absoluta e é medida em relação ao vácuo absoluto (isto é, pressão zero absoluta). A maioria dos dispositivos de medição de pressão, no entanto, é calibrada para ler “zero” na atmosfera e, assim, há diferença entre o valor da pressão absoluta e da pressão atmosférica local. Essa diferença é chamada pressão manométrica (ou efetiva). A pressão manométrica pode ser positiva ou negativa, mas as pressões abaixo da pressão atmosférica são, às vezes, chamadas de pressões de vácuo e medidas por medidores de vácuo (BRAGA FILHO, 2012).

FIGURA 21 – COMPARAÇÃO ENTRE PRESSÕES MANOMÉTRICAS E PRESSÃO ABSOLUTA



TÓPICO 3 | ESTÁTICA DOS FLUIDOS

51

Para ilustrar este conceito, o medidor usado para medir a pressão do ar em um pneu de automóvel registra a pressão manométrica. Portanto, a leitura comum de 32psi quando calibramos o pneu indica uma pressão de 32psi acima da pressão atmosférica. Em um local onde a pressão atmosférica é de 14,7psi, por exemplo, a pressão absoluta no pneu será de 46,7psi. Nas unidades do Sistema inglês, muitas vezes o subíndice “a” é usado para indicar um valor de pressão absoluta (psia) e "g" para indicar um valor de pressão manométrica (psig).

2.1 PRESSÃO EM UM PONTO

A pressão é uma força de compressão por unidade de área e dá a impressão de ser um vetor (ÇENGEL; CIMBALA, 2007; 2015; BISTAFA, 2016). No entanto, a pressão em qualquer ponto de um fluido é a mesma em todas as direções. Dessa forma, definimos que a pressão tem uma magnitude, mas não uma direção específica, sendo assim, a pressão é uma grandeza escalar. A pressão sobre um ponto no fluido tem a mesma magnitude em todas as direções. Esse resultado é aplicável a fluidos em movimento, bem como fluidos em repouso, pois a pressão é escalar, não um vetor (ÇENGEL; CIMBALA, 2007; 2015; ROMA, 2006; WHITE, 2011; 2018).

A seguir, faremos uma dedução matemática aplicada a estas considerações.

2.2 VARIAÇÃO DA PRESSÃO EM FUNÇÃO DA PROFUNDIDADE

Todos sabemos que a pressão em um fluido em repouso não muda na direção horizontal. No entanto, este não é o caso na direção vertical em um campo de gravidade. A pressão em um fluido aumenta com a profundidade porque uma maior coluna (mais massa) de fluido repousa sobre camadas mais profundas e o efeito desse "peso extra" em uma camada mais profunda é balanceado por um aumento na pressão. Isso pode ser demonstrado considerando uma análise diferencial em um elemento infinitesimal de fluido em equilíbrio de forças, conforme ilustra a Figura 22.


52


FIGURA 22 – ELEMENTO DIFERENCIAL DE FLUIDO E A ANÁLISE DAS PRESSÕES EM TODAS AS DIREÇÕES

FONTE: O autor

Para um fluido em repouso (equilíbrio estático), o somatório de forças atuantes em um elemento diferencial deve ser igual a zero.

0elemento infinitesimalF∑ =

As forças atuantes são: a força peso (massa do fluido sob ação da aceleração da gravidade) e as forças superficiais do fluido nas faces do elemento infinitesimal. Portanto, inserindo no balanço de forças, temos:

( ) ( ) ( ) 0

0superficiais elemento infinitesimal

x x x y y y z z z

F Peso

P P y z P P x z P P x y Vγ+∆ +∆ +∆

+ =

− ⋅∆ ∆ + − ⋅∆ ∆ + − ⋅∆ ∆ + =

Dividindo a equação pelo volume do elemento infinitesimal: V x y z= ∆ ∆ ∆

( ) ( ) ( ) 0y y yx x x z z zP PP P P Pg

x y zρ+∆+∆ +∆

−− −+ + + =

∆ ∆ ∆

Aplicando o conceito de limite de função para obter a taxa de variação da pressão do fluido em função de cada direção, ou seja, o gradiente da pressão nas três direções:



53

De forma compacta, podemos escrever a notação matemática em termos do gradiente da pressão:

P gρ∇ = −

Sendo:

0

0

x

z

y

P gxP gz

P gy

ρ

ρ

ρ

∂= =

∂∂

= =∂∂

=∂

Neste caso:

ydP gdy

ρ= −

Como a aceleração gravitacional na direção “y” e o vetor unitário nesta direção possuem sentidos contrários, gy = -g.

dP gdyρ=

Portanto, a variação de pressão em um fluido se dá apenas na direção vertical (eixo y). Aplicando esta dedução para calcular a diferença de pressão entre os pontos 1 e 2 de um líquido dentro de um recipiente aberto à pressão atmosférica (Figura 23):

( ) ( ) ( )0

0 0 0

lim

lim lim lim 0

0

n n n

n

y y yx x x z z z

x y z

f f dfn dn

P PP P P Pg

x y zP P P gx y z

ρ

ρ

+∆

∆ →

+∆+∆ +∆

∆ → ∆ → ∆ →

−=

∆−− −

+ + + =∆ ∆ ∆

∂ ∂ ∂− − − + =∂ ∂ ∂

Plano isobárico.Sem variação de

pressão.


54


FIGURA 23 – A PRESSÃO DE UM PONTO EM UM LÍQUIDO EM REPOUSO AUMENTA LINEARMENTE A PARTIR DA SUPERFÍCIE LIVRE


P1 = Patm

P2 = Patm + pgh

h

1

2

(10)

A equação 10 é a equação fundamental da manometria utilizada para determinação da pressão em um fluido com vários dispositivos, entre eles, os manômetros de tubo em “U”. Pode ser usada também para determinar a diferença de pressão entre dois pontos do fluido, que depende apenas da diferença de altura entre estes dois pontos, uma vez que a densidade em líquidos e a aceleração da gravidade são consideradas constantes.

2 1P P ghρ− =

2

1 0

P P y h

P P y

dP gdy

dP g dy

ρ

ρ= =

= =

=

=∫ ∫

Você conhece o paradoxo de Pascal? Ele estabelece que a pressão do fluido na base de um reservatório só depende da altura vertical de coluna de fluido e do tipo de fluido, e não depende da geometria ou tamanho do reservatório. A Figura 24 ilustra vários reservatórios de diferentes tamanhos e com volumes de água diferentes. Porém, a pressão da água na base de cada reservatório é igual!

NOTA



55

FIGURA 24 – A PRESSÃO É A MESMA NA BASE DE TODOS OS RESERVATÓRIOS SE O FLUIDO CONTIDO EM CADA RESERVATÓRIO FOR O MESMO

FONTE: Mott e Untener (2015, p. 45)

2.3 MANOMETRIA DOS FLUIDOS

A manometria é o estudo da medição da pressão dos fluidos. A equação 10 é uma forma útil para calcular a pressão dos fluidos em várias aplicações. Algumas considerações sobre a sua utilização merecem ser ressaltadas:

• a equação 10 é válida apenas para um líquido homogêneo em repouso;• dois pontos no mesmo nível horizontal em um mesmo fluido têm a mesma

pressão;• a mudança de pressão é diretamente proporcional ao peso específico (γ = ρg)

do líquido;• a pressão varia linearmente com a mudança de elevação ou profundidade;• quanto maior a altura da coluna de fluido sobre um ponto, maior será a pressão

sobre o ponto (Isso é o que acontece quando você vai mais fundo em uma piscina).

No aspecto mais criterioso, a equação 10 não se aplica a gases porque já discutimos que densidade de um gás muda com a variação de pressão (Tópico 1). Para um estudo mais elaborado, é necessário conhecer as relações matemáticas entre a mudança na pressão e a mudança no peso específico do gás, o que muda dependendo do tipo de gás. Este tipo de estudo requer uma análise de propriedades termodinâmicas do fluido.

Contudo, é necessária uma grande mudança na altura da coluna do gás para produzir uma mudança significativa na pressão no gás. Por exemplo,


56


um aumento na elevação de 300 m na atmosfera provoca uma diminuição na pressão do ar de apenas 3,45kPa ou 0,5psi. Este valor é muito baixo. Portanto, em aplicações mais práticas, podemos assumir que a pressão de um gás é uniforme, como se este fosse um fluido incompressível.

3 DISPOSITIVOS PARA MEDIÇÃO DE PRESSÃO MANOMÉTRICA

Os manômetros geralmente utilizam a relação entre uma mudança de pressão e uma mudança na elevação em um fluido estático. Dispositivos de medição mais modernos (chamados de transdutores de pressão) utilizam outras grandezas físicas para relacionar com a pressão ou diferença de pressão em fluidos.

3.1 MANÔMETROS DE TUBO EM “U”

O tipo mais simples de manômetro é o de tubo em “U”. Uma extremidade do tubo em “U” está conectada ao ponto onde a pressão deve ser medida e a outra extremidade é deixada aberta para a atmosfera (ou conectada a outro ponto de tomada de pressão, para então verificar a diferença de pressão entre os dois pontos). Este tipo de manômetro é indicado para baixas ou moderadas diferenças de pressão. O tubo contém um líquido chamado fluido de medição (ou manométrico), que não é miscível no fluido cuja pressão deve ser medida. Os fluidos manométricos mais comuns são água, mercúrio e óleos leves.

Considere o manômetro ilustrado na Figura 25 que é usado para medir a pressão no tanque. Como os efeitos gravitacionais dos gases são insignificantes, a pressão em qualquer lugar no tanque na posição 1 tem o mesmo valor. Além disso, já que a pressão em um fluido não varia na direção horizontal dentro de um fluido, a pressão no ponto 2 é a mesma que a pressão no ponto 1 (P2 = P1).

A manometria será usada também no estudo do fluido em movimento e escoamentos (dinâmica dos fluidos).

ATENCAO



57

FIGURA 25 – ESQUEMA BÁSICO DE UM MANÔMETRO DE TUBO EM “U”


A coluna de fluido diferencial da altura “h” está em equilíbrio estático e é

aberta para a atmosfera. Então a pressão no ponto 2 é determinada diretamente pela aplicação da equação fundamental da manometria:

2 atmosféricaP P g hρ= +

De acordo com Fox et al. (2018), a área da seção transversal do tubo não tem efeito sobre a altura diferencial “h”, nem sobre a pressão exercida pelo fluido. No entanto, recomenda-se que o diâmetro do tubo do manômetro seja suficientemente grande (maior que 5 mm) para garantir que os efeitos da tensão superficial e capilaridade não se manifestem e interfiram na leitura da pressão. Alguns manômetros de tubo em “U” podem ser inclinados para aumentar a precisão em pequenas variações de pressão.

Pesquise sobre os barômetros, dispositivos usados para medir a pressão atmosférica local.

NOTA


58


3.2 MANÔMETRO DE BOURDON

Outro tipo de dispositivo de medição de pressão mecânica comumente usado é o manômetro de tubo de Bourdon. Ele consiste em um tubo metálico oco dobrado, enrolado ou torcido, cuja extremidade está fechada e conectada a um dispositivo indicador. Quando o tubo está aberto para a atmosfera, o tubo é desviado, e o ponteiro indicador no mostrador neste estado é calibrado para marcar o valor “zero” (pressão manométrica). Quando o fluido dentro do tubo é pressurizado, o tubo estica e move o ponteiro indicador proporcionalmente à pressão aplicada (Figura 26).

FIGURA 26 – VISÃO FRONTAL E PARTES INTERNAS DO MECANISMO DE OPERAÇÃO DE UM MANÔMETRO DE TUBO DE BOURDON


Sensores de pressão modernos, chamados transdutores de pressão, usam várias técnicas para converter o efeito de pressão em um efeito como uma alteração na tensão, resistência ou capacitância. Transdutores de pressão são menores e mais rápidos e, geralmente, são mais sensíveis, confiáveis e precisos do que os manômetros de atuação puramente mecânica.

4 FLUTUAÇÃO E EMPUXO

Sempre que um corpo está flutuando ou completamente submerso em um fluido, está sujeito a uma força de flutuação (ou força de empuxo) que tende a empurrá-lo para cima, ajudando a sustentação. A força de flutuação é causada



59

pelo aumento da pressão com a profundidade de um fluido e tem uma magnitude igual ao peso do fluido deslocado pelo corpo e sempre na direção vertical para cima. Arquimedes foi quem interpretou e estabeleceu este princípio na Grécia antiga. A seguir, faremos a dedução da força de flutuação (Figura 27).

FIGURA 27 – FORÇA DE FLUTUAÇÃO ATUANTE SOBRE UM CORPO SÓLIDO SUBMERSO

FONTE: Adaptado de Çengel e Cimbala (2007) e Munson, Young e Okiishi (2004)

Considere uma placa plana submersa, com espessura “h” e área superficial “A”. Conforme deduzido nos tópicos sobre manometria, a pressão de um fluido sobre um ponto depende apenas da altura de coluna de fluido sobre ele (Equação 10). Portanto, fazendo um balanço de forças exercidas pelo fluido na área inferior e superior da placa plana submersa, podemos deduzir a força resultante, que é a força de flutuação. Note que a pressão executada pelo fluido na área inferior da placa plana é maior do que a pressão na área superior, pois a altura de coluna de fluido é maior (h+s).

( ) ( )inf sup

inf sup

flutuação erior erior

flutuação erior erior

F F F

F PA PA

= −

= −

Inserindo a definição de pressão manométrica:

( )

flutuação fluido fluido

flutuação fluido fluido fluido

F g h s A gh A

F g h A g s A g h A

ρ ρ

ρ ρ ρ

= + ⋅ − ⋅ = + −

flutuação fluido corpo

corpoSFendo V

gs

VA

ρ

×

=

= (11)


60


O volume do corpo submerso corresponde ao volume de fluido deslocado.

corpo fluido deslocadoV V=

Portanto, a força de flutuação atuante sobre um corpo submerso é proporcional à densidade do fluido e ao volume de líquido deslocado pelo corpo.

É importante ressaltar que a força de flutuação sobre corpos submersos ocorre em líquidos e gases. Entretanto, dadas as baixas densidades dos gases, a sua influência na maioria das aplicações é desprezível.

Com a definição de que a força de flutuação atuando em um corpo submerso em um fluido é igual ao volume (ou peso) do fluido deslocado pelo corpo e sempre age para cima, podemos definir a seguinte relação de propriedades do fluido e do corpo:

A força de flutuação em gases e no ar é considerada em fenômenos específicos, como correntes de convecção (ar quente sobe e ar frio desce), balões que flutuam devido ao aquecimento do ar ou uso de gases leves, como o hélio, e em fenômenos atmosféricos e meteorológicos.

NOTA

corpo fluido deslocado

fluido corpo

VV

ρρ

= (12)

flutuação corpo

fluido fluido deslocado corpo corpo corpo corpo

F PesogV V gVρ γ ρ

=

= =

Com a relação da equação 12, podemos analisar três casos (Figura 28):



61

FIGURA 28 – FORÇA DE FLUTUAÇÃO ATUANTE SOBRE UM CORPO SÓLIDO SUBMERSO OU UMA PARTÍCULA DE FLUIDO COM O MESMO VOLUME DO CORPO SÓLIDO É IDÊNTICA


• corpo fluidoSeρ ρ>

Então, para alcançar a flutuação, o volume de fluido que deve ser deslocado é maior do que o volume do corpo. A razão de densidade é maior que “1”, então, o corpo flutuante fica completamente submerso e o corpo afunda totalmente.

• corpo fluidoSeρ ρ=

Assim, para alcançar a flutuação, o volume de fluido que deve ser deslocado é igual ao volume do corpo. A razão de densidade é igual a “1”, logo, o corpo flutuante fica completamente submerso e permanece em repouso em qualquer ponto do fluido. Portanto, o corpo permanece estável (suspenso) e completamente submerso no fluido.

• corpo fluidoSeρ ρ<

Desse modo, para alcançar a flutuação, o volume de fluido que deve ser deslocado é menor do que o volume do corpo. A razão de densidade é menor que “1”, então o corpo flutuante sobe para a superfície do fluido e, portanto, flutua. Neste caso, para calcularmos o percentual do volume do corpo que fica submerso, basta calcular a razão entre a densidade do corpo e a densidade do fluido.


62



1) O manômetro é o instrumento utilizado na mecânica dos fluidos para se efetuar a medição da pressão efetiva ou manométrica. Com base no manômetro ilustrado na figura a seguir, determine a diferença de pressão (ΔP) entre os pontos A e B. Todos os fluidos estão à temperatura de 20ºC. Assuma g=10m/s².

Dados:ρBenzeno = 864 kg/m³ρMercúrio = 13600 kg/m³ρQuerosene = 785 kg/m³ρÁgua = 1000 kg/m³ρAr = 1,2 kg/m³

Solução:


De acordo com a equação fundamental da manometria, faz-se a substituição das densidades e alturas de coluna de fluido indicadas:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

864 10 0,2 13600 10 0,08 785 10 0,32 1000 10 0,26

1,2 10 0,09

9065,08

A BBenzeno Mercúrio Querosene Água Ar

A

B

A B A B

P gh gh gh gh gh P

P

P

P P P Pa

ρ ρ ρ ρ ρ

−

+ − − + − =

+ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ −

− ⋅ ⋅ =

− = ∆ =



63

2) O manômetro é o instrumento utilizado na mecânica dos fluidos para se efetuar a medição da pressão efetiva ou manométrica. Determine a leitura de diferencial de pressão entre A e B do manômetro ilustrado a seguir. O óleo, mercúrio e água possuem massas específicas de 900 kg/m³, 13600 kg/m³ e 1000 kg/m³, respectivamente. Adote g=10m/s².

Solução:

FONTE: Munson, Young e Okiishi (2004, p. 88)

De acordo com a equação fundamental da manometria, faz-se a substituição das densidades e alturas de coluna de fluido indicadas:

3) Um guindaste é usado para posicionar estruturas de concreto no fundo do mar em um projeto de construção de pilares submarinos. Determine a tensão (ou força de tração) no cabo do guindaste quando o bloco de concreto de dimensões (0,4 m x 0,4 m x 3 m) está suspenso no ar e quando ele está completamente submerso na água. A densidade da água do mar é 1025 kg/m³ e a densidade do concreto é 2300 kg/m³.

( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )900 10 0,1 13600 10 30º 0,05 1000 10 0,08

3500

A BÓleo Mercúrio Água

A B

B A B A

P gh gh gh P

P sen P

P P P Pa

ρ ρ ρ

−

+ + − =

+ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ =

− = ∆ =


64


Solução:


Bloco de concreto suspenso no ar:

2300 10 0,4 0,4 311040

Tração corpo

Tração corpo

Tração

Tração

F PesoF V

FF N

γ

=

=

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

=

Bloco de concreto completamente submerso na água:

( ) ( )

2300 10 0,4 0,4 3 1025 10 0,4 0,4 36120

Tração corpo flutuação

Tração corpo líquido deslocado

Tração

Tração

F Peso FF V gV

FF N

γ ρ

= −

= −

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

=

4) Um grande bloco cúbico de gelo (iceberg) está flutuando na água do mar. A densidade da água do mar é 1025 kg/m³ e a densidade do gelo é 920 kg/m³. Se 10 cm de altura do bloco estão acima (fora) da superfície da água, calcule a altura do bloco de gelo que está submersa.



65

Solução:


Como o bloco de gelo é cúbico, o volume do corpo é calculado pelo produto da área de base (A) e a sua altura total (h+0,1m).

( )

( )

920 A h 1025 A h 0,11025 920 9200

9200 0,87621025 920

h h

h m

⋅=

⋅ +

= +

= =−

Portanto, a altura do bloco de gelo submersa é 87,62 cm.

corpo fluido deslocado

fluido corpo

VV

ρρ

=


66


Tensão superficial e capilaridade

A tensão superficial da água pode ser identificada quando vemos pequenos insetos “caminhando” sobre a água ou quando colocamos um objeto sobre a superfície livre do líquido e ele premanece “apoiado” na superfície quando deveria afundar. Por exemplo, é fácil colocar uma pequena agulha na superfície da água para que seja suportada pela tensão superficial. Note que a agulha, neste caso, não é significativamente suportada pela força de flutuação (empuxo). Se a agulha estiver submersa, ela afundará rapidamente. Da mesma forma, se você colocar uma pequena quantidade de detergente ou outro tensoativo na água quando a agulha é suportada, ela irá afundar quase que imediatamente. Os detergentes reduzem a tensão superficial dos líquidos, melhorando a sua capacidade de “molhar” as superfícies.

Podemos imaginar a tensão superficial como um filme na interface entre a superfície livre do líquido e o ar acima dele. As moléculas de líquido abaixo da superfície são atraídas para cada molécula adjacente e para a superfície do reservatório. Quantitativamente, a tensão superficial é medida como o trabalho por unidade de área necessário para mover moléculas inferiores para superfície do líquido. Isto resulta em unidades de força por unidade de comprimento, como N/m ou lbf/ft.

A tensão superficial é também a razão pela qual as gotículas de água assumem uma forma quase esférica. Além disso, outro fenômeno interessante, a capilaridade, depende da tensão superficial. A ascensão ou depressão da superfície de um líquido dentro de um tubo capilar (muito fino) é explicada por esse fenômeno. A superfície livre de um líquido em um tubo de pequeno diâmetro assumirá uma forma curva, que depende da tensão superficial do líquido. A superfície de água estabelece uma cavidade que dá a impressão de o líquido “escalar” as paredes do tubo por uma pequena distância (formando o menisco). O mercúrio, por exemplo, tem um comportamento inverso, impedindo a ascensão da superfície do líquido pela parede do tubo. A imagem a seguir ilustra o fenômeno descrito:

LEITURA COMPLEMENTAR



67

A adesão do líquido às paredes do tubo contribui para esse comportamento. O movimento de líquidos dentro de pequenos espaços depende desta ação capilar. Vários fenômenos são explicados pela tensão superficial de líquidos e ação de capilaridade correspondente: O movimento dos líquidos nos solos, o transporte de seiva e nutrientes da raiz das plantas para seus galhos e folhas e a umidade transferida através de certas fibras têxteis (algodão).

FONTE: MOTT; UNTENER. Applied Fluid Mechanics. 7. ed. Pearson Education Limited, 2015. p. 14-15.


68

RESUMO DO TÓPICO 3


• A pressão é uma força de compressão por unidade de área e a pressão em qualquer ponto do fluido é igual em todas as direções.

• A pressão manométrica de um fluido pode ser relacionada com a altura de coluna de fluido.

• A manometria tem diversas aplicações na Engenharia.

• O manômetro de tubo em “U” e o manômetro de Bourdon são os dispositivos mais comuns para medição da pressão de um fluido.

• Todos os corpos submersos em um fluido sofrem a ação de uma força resultante de flutuação exercida pelo fluido.


69

1 A diferença de pressão manométrica entre uma tubulação escoando óleo e outra tubulação escoando água é determinada pelo manômetro de duplo fluido ilustrado a seguir. Para os dados fluidos e alturas de coluna especificadas, calcule a diferença de pressão entre o tubo B e o tubo A (ΔP = PB - PA). Assuma g = 10m/s².

AUTOATIVIDADE


2 Transdutores de pressão são normalmente usados para medir a pressão gerando sinais elétricos que, em geral, encontram-se na faixa de 4 mA a 20 mA, em resposta à pressão aplicada. O sistema cujo esquema é ilustrado a seguir pode ser usado para calibrar transdutores de pressão. Um recipiente rígido é preenchido com ar pressurizado e a pressão é medida pelo manômetro de tubo em “U” a ele conectado. Uma válvula é usada para regular a pressão do recipiente. Tanto a pressão quanto o sinal elétrico são medidos simultaneamente para diversas condições e os resultados são tabelados. Para o conjunto de medições fornecido na tabela a seguir, responda:

a) Obtenha a equação da curva de calibração na forma de P = aI ± b, onde a e b são constantes, P é a pressão em Pa e I a intensidade da corrente elétrica, em mA.

b) Calcule a pressão, em Pascal e em bar, que corresponde a um sinal de 13 mA, indicando a altura da coluna de mercúrio atingida nessa pressão.


70

DADOS OBTIDOS EXPERIMENTALMENTE PARA OBTENÇÃO DA CURVA DE CALIBRAÇÃO DO TRANSDUTOR DE PRESSÃO

h (cmHg) i (mA)2,8 4,21

18,15 5,7829,78 6,9741,31 8,1576,59 11,76102,7 14,43114,9 15,68136,2 17,86145,8 18,84153,6 19,64

DISPOSITIVO EXPERIMENTAL PARA CALIBRAÇÃO DO TRANSDUTOR DE PRESSÃO


3 Um tanque foi completamente cheio com tetracloreto de carbono. Após isso ele foi fechado no topo, eliminando o contato da superfície livre com o ar


71

atmosférico. A válvula B foi então aberta, permitindo que o nível de líquido no tanque reduzisse lentamente, conforme ilustrado a seguir. Com base nesta situação, responda:

a) Se a válvula B for fechada, criando um espaço de vácuo no topo do tanque (ponto A), determine a pressão do líquido sobre a válvula quando h=7,62m.

b) Determine em que nível “h” o tetracloreto deixará de sair do tanque se a válvula B permanecer aberta. Considere a Patmosférica igual a 101325Pa.

c) Se o tanque for cilíndrico com diâmetro de 2,1m determine o volume de tetracloreto, em litros, que sai do tanque entre as condições propostas nas letras “a” e “b”.

d) Por que o tetracloreto não reduz o nível abaixo do valor de “h” calculado no item “b”?

Dados: ρtetracloreto de carbono = 1600kg/m³

2

4cilindroDV hπ

=



72

FONTE: Adaptado de Potter, Wiggert e Ramadan (2014)

5 O tanque de um automóvel tem o nível de combustível registrado através de uma relação proporcional com a pressão manométrica no fundo do tanque. Esta pressão é medida através de um sensor instalado, conforme ilustrado a seguir. Neste caso, como o tanque é aberto à pressão atmosférica por uma ventosa, o espaço remanescente no topo do tanque é preenchido com ar quando ele não está completamente cheio de combustível. A altura total do tanque é de 32 cm. Se o tanque está contaminado no fundo com uma coluna de água de 3 cm, proveniente de combustível adulterado, qual a altura, em centímetros, da coluna de ar no topo do tanque quando o marcador do painel do carro indica “tanque cheio”? Adote ρcombustível = 667kg/m³; ρar = 1,18kg/m³.

4 Calcule a diferença de pressão entre os pontos “A” e “B” no manômetro diferencial ilustrado pela figura a seguir. A densidade relativa dos fluidos está indicada entre parênteses.

FONTE: Adaptado de Potter, Wiggert e Ramadan (2014)


73

UNIDADE 2

ESCOAMENTO DE FLUIDOS – CINEMÁTICA E DINÂMICA


PLANO DE ESTUDOS


• compreender as leis de conservação aplicadas ao escoamento de fluidos;• caracterizar o balanço de massa em um escoamento incompressível em

regime permanente e balancear as vazões de entrada e saída do sistema;• definir a equação da continuidade e as equações para cálculo de vazão do

fluido;• caracterizar o balanço de energia em um escoamento incompressível em

regime permanente e reconhecer as formas de energia mecânica associa-das ao escoamento de um fluido;

• definir a equação de Bernoulli, suas limitações e aplicações práticas;• caracterizar um escoamento em regime laminar ou turbulento a partir do

cálculo do número de Reynolds (Re);• definir o conceito de perda de carga de um escoamento em tubulações e

definir os requisitos de potência do escoamento e da máquina hidráulica; • diferenciar e determinar os dois tipos de perdas de carga (localizadas e

distribuídas) em um sistema de escoamento de fluidos;• compreender a relação entre o fator de atrito de Darcy (fD), o número de

Reynolds (Re) e a rugosidade relativa da tubulação (ε/D);• utilizar metodologias para calcular o fator de atrito de Darcy (fD), tais

como o uso de equações empíricas ou o diagrama de Moody;• identificar os parâmetros conhecidos e variáveis a serem determinadas

dos três principais problemas típicos de escoamentos de fluidos;• aplicar metodologias para solucionar problemas práticos de escoamentos

de fluidos.

Esta unidade está dividida em três tópicos. No decorrer da unidade, você encontrará autoatividades que têm o objetivo de reforçar o conteúdo apresentado.

TÓPICO 1 – LEIS DE CONSERVAÇÃO

TÓPICO 2 – DIMENSIONAMENTO HIDRÁULICO E DETERMINAÇÃO DAS PERDAS DE CARGA – PARTE I

TÓPICO 3 – DIMENSIONAMENTO HIDRÁULICO E DETERMINAÇÃO DAS PERDAS DE CARGA – PARTE II


74


75

TÓPICO 1

LEIS DE CONSERVAÇÃO

UNIDADE 2

1 INTRODUÇÃO

Segundo Çengel e Cimbala (2007), define-se cinemática dos fluidos como a descrição do movimento dos fluidos e sem considerar as forças e momentos atuantes que causam o movimento. Os diversos conceitos cinemáticos e proprie-dades fundamentais (como as taxas de translação, de rotação, de deformação linear e de deformação por cisalhamento), que descrevem as características de um escoamento de fluidos em uma abordagem matemática e analítica podem ser consultados nas referências da unidade. Nessa unidade apresentaremos os con-ceitos mais aplicados da cinemática dos fluidos em escoamentos incompressíveis em regime permanente.

Na dinâmica dos fluidos, utilizaremos os conceitos de balanço de massa e balanço de energia para descrever o movimento de um fluido considerando as forças atuantes e, assim, aplicar uma metodologia de dimensionamento para um sistema de escoamento de fluidos incompressíveis em regime permanente.

Entre os aspectos mais importantes no estudo estão a interpretação das formas de energias mecânicas associadas ao escoamento de um fluido (energia potencial, energia cinética e energia de pressão ou de escoamento) descritas na equação de Bernoulli, o princípio de conservação de energia durante um esco-amento e suas aplicações e o princípio de conservação de massa, descrito pela equação da continuidade.

Çengel e Cimbala (2015) definem as leis de conservação como as leis de conservação de massa, de energia e de impulso. Tais leis podem ser aplicadas a uma quantidade de matéria chamada de sistema fechado e em regiões no espaço chamadas de volumes de controle. As leis de conservação são também chamadas de equações de equilíbrio, já que qualquer quantidade conservada deve equili-brada durante um processo.

2 BALANÇO DE MASSA EM ESCOAMENTOS – EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE

A equação da continuidade para a hipótese do escoamento em regime permanente (vazão constante e propriedades do fluido invariáveis ao longo do tempo) ilustra que a massa de fluido que escoa por uma seção de um tubo de


UNIDADE 2 | ESCOAMENTO DE FLUIDOS – CINEMÁTICA E DINÂMICA

76

corrente a montante (1) é igual à massa de fluido que escoa por uma seção de um tubo de corrente a jusante (2). Podemos definir como o princípio da conservação da massa do fluido. O balanço de massa em um escoamento em regime permanente pode ser realizado efetuando as seções de entrada e saída do escoamento.

FIGURA 1 – PRINCÍPIO DO BALANÇO DE MASSA APLICADO AO ESCOAMENTO DE UM FLUIDO EM REGIME PERMANENTE

FONTE: O autor

A quantidade de massa que flui através de uma seção transversal por unidade de tempo é chamada de vazão mássica, denotada por Q ou m, dependendo da referência. Geralmente, o ponto sobre a letra indica uma quantidade ao longo do tempo (taxa). O fluxo é definido como a taxa ao longo de uma área de transferência da quantidade.

Um fluido escoa para dentro ou para fora de um volume de controle, geralmente através da área de seção transversal de tubulações. Na mecânica dos fluidos fazemos algumas distinções sobre tubos e dutos. De forma geral, um tubo é um condutor fechado de fluido com área de seção circular, enquanto um duto pode ter a sua área de seção não circular (retangular, quadrada etc.).

Neste livro de estudos, nós utilizaremos a definição de tubo para indicar o tipo de sistema de transporte do fluido e sua área de seção transversal sempre

será considerada circular, ou seja, 2

²4DA r ππ= = em que r é o raio do tubo e D

é o diâmetro do tubo.

A vazão mássica do fluido que escoa através de uma área de seção de tubulação é proporcional à própria área, à densidade do fluido e ao componente da velocidade do fluxo (ÇENGEL; CIMBALA, 2007; HIBBELLER, 2016; FOX;


TÓPICO 1 | LEIS DE CONSERVAÇÃO

77

McDONALD; PRITCHARD; MITCHELL, 2018; WHITE, 2011). Assim, a equação da continuidade para o escoamento de um fluido em regime permanente é descrita conforme a figura anterior, ou seja, o produto da densidade, velocidade média do fluido e da área de seção transversal do escoamento. As equações práticas aplicadas ao escoamento em regime permanente serão definidas na próxima seção deste tópico de estudo.

Para o escoamento compressível (gases), a densidade do fluido se altera durante o escoamento e uma densidade média do fluido deve ser considerada na seção transversal, além da consideração da variação da densidade (POTTER; WIGGERT, 2013; ROMA, 2006).

3 CONSERVAÇÃO DA MASSA EM ESCOAMENTOS

A partir desta unidade do livro didático, vamos considerar os problemas práticos que envolvem principalmente o escoamento interno de fluidos incompressíveis em regime permanente. Assim, devemos definir o balanço de massa para tal tipo de escoamento.

Durante um processo de escoamento em regime permanente, a quantidade total de massa contida não muda com o tempo. Assim, o princípio de conservação de massa exige que a quantidade total de massa que entra no volume de controle seja igual à quantidade total de massa que sai do volume de controle (ÇENGEL; CIMBALA, 2007). Imagine uma torneira no jardim com uma mangueira acoplada. Quando a torneira é aberta, a quantidade de água que sai e entra na mangueira ao longo do tempo é a mesma quantidade de água que sai da mangueira pelo bocal de descarga.

Quando o escoamento permanente for incompressível (líquido), o balanço de massa torna-se também um balanço volumétrico. O balanço de massa ou de volume de fluido pode ser aplicado com o conceito genérico de balanço para um volume de controle: ENTRADA – SAÍDA = ACÚMULO. A diferença entre a entrada e a saída se refere a uma taxa líquida, ou seja, a uma diferença das quantidades que entram e saem do sistema ao longo do tempo. O termo acúmulo se refere à variação da quantidade no sistema ao longo do tempo, e é geralmente descrito de forma diferencial na mecânica dos fluidos.

IMPORTANTE



78

FIGURA 2 – PRINCÍPIO DA CONSERVAÇÃO DE MASSA PARA UM SISTEMA DE ESCOAMENTO DE FLUIDO EM REGIME PERMANENTE COM DUAS ENTRADAS E UMA SAÍDA

FONTE: Adaptado de Çengel e Cimbala (2015, p. 191)

Para os principais problemas que envolvem escoamento em regime permanente, o cerne da abordagem está no cálculo das quantidades de massa de fluido que escoam ao longo do tempo. É o conceito já definido de vazão mássica. De acordo com Fox, McDonald, Pritchard e Mitchell (2018), muitos dispositivos na engenharia contam com apenas uma entrada e uma saída (bocais, difusores, compressores, bombas e turbinas hidráulicas). Assim, é prática comum utilizarmos o subscrito “1” para indicar a entrada no dispositivo ou fluxo a montante da tubulação e o subscrito “2” para indicar a saída do dispositivo ou fluxo a jusante de uma tubulação.

A equação da continuidade aplicada à discussão do balanço de massa é:

(1)

(2)

Q ( )ou V é a vazão volumétrica do escoamento.

Quando o escoamento é incompressível, ou seja, de líquidos, a densidade pode ser assumida como sendo constante ao longo do escoamento, mesmo com pequenas variações de temperatura. Assim, sem considerar a densidade na equação da continuidade do balanço massa:

• •

1 2

1 1 1 2 2 2

Q Q

v A v Aρ ρ

=

=

1 2

1 1 2 2

Q Q

v A v A

=

=



79

Embora não exista uma lei física para o princípio de conservação de vo-lume, para o escoamento de líquidos em regime permanente, as vazões volu-métricas de entrada e saída são iguais e permanecem constantes ao longo do tempo. As vazões mássicas de fluido na entrada e saída de um dispositivo são iguais quando o regime for permanente. Entretanto, as vazões volumétricas po-dem ser diferentes no caso de um escoamento de gases devido à densidade dos gases, que pode variar muito em função da temperatura e pressão. A figura a seguir ilustra como a vazão volumétrica de um gás na entrada de um compres-sor é maior do que a vazão volumétrica de saída, apesar da vazão mássica não se alterar (ÇENGEL; CIMBALA, 2007; FOX; McDONALD; PRITCHARD; MIT-CHELL, 2018; WHITE, 2011).

FIGURA 3 – AS VAZÕES EM MASSA SE CONSERVAM EM ESCOAMENTOS PERMANENTES DE GASES E LÍQUIDOS, PORÉM AS VAZÕES VOLUMÉTRICAS SÓ SE CONSERVAM EM

ESCOAMENTOS PERMANENTES DE LÍQUIDOS

Para o dimensionamento hidráulico de bombas centrífugas (Unidade 3), a vazão volumétrica também é chamada de capacidade da bomba.

IMPORTANTE




80

4 DEFINIÇÃO DA VAZÃO DE UM FLUIDO

As diferentes formas de calcular a vazão do fluido em um escoamento em regime permanente são definidas a seguir:

Vazão volumétrica: por definição, é a quantidade de fluido, em volume, que escoa pela área de seção transversal da tubulação ao longo de um intervalo de tempo. As unidades mais usuais de vazão volumétrica são m³/s; m³/h, L/s; L/h, no Sistema Internacional, e gal/min, gal/h, no Sistema Inglês de Unidades. Lembre-se de que 1 m³ equivale a 1000 L.

(3)Volumétrica

VQt

=∆

(4)Volumétrica escoamentoQ v Área= ⋅

(5)

mQt

•

=∆

(6)

•

VolumétricaMássicaQ Q

m VQ Qt t

ρ ρ

ρ

⋅=

∆

⋅

∆

=

= =

A vazão volumétrica também pode ser expressa como o produto da velocidade média do escoamento (m/s) e a área de seção transversal do tubo (m²). No caso, a vazão volumétrica será dada em m³/s. Neste livro didático sempre vamos considerar como velocidade média do escoamento os parâmetros relativos à velocidade do fluido que serão calculados. Para maiores detalhes sobre a dedução da relação entre vazão e velocidade de fluido, consulte os capítulos correlacionados a equações de conservação nas referências deste livro didático.

Vazão mássica: por definição, é a quantidade de fluido, em massa, que escoa pela área de seção transversal da tubulação ao longo de um intervalo de tempo. As unidades mais usuais de vazão mássica são kg/s; kg/h no Sistema Internacional.

A vazão mássica pode ser relacionada com o produto da densidade do fluido (kg/m³) e da vazão volumétrica (m³/s) da seguinte maneira:

Vazão em peso: por definição, é a quantidade de fluido, em peso, que escoa pela área de seção transversal da tubulação ao longo de um intervalo de tempo. A unidade mais usual de vazão em peso é N/s no Sistema Internacional.



81

(7)peso

PesoQt

=∆

(8)

Peso Volumétrica

pesoPeso mg VgQ

Q

Qt tQ

tρ γ

γ

= = = =∆ ∆

=∆

⋅

A vazão em peso pode ser relacionada com o produto do peso específico do fluido (N/m³) e da vazão volumétrica (m³/s) da seguinte maneira:

5 BALANÇO DE ENERGIA EM ESCOAMENTOS – EQUAÇÃO DE BERNOULLI

O princípio de conservação de energia é aplicado na definição da equação da conservação da energia mecânica para escoamentos de fluidos em regime permanente. Aplicando o mesmo conceito da equação da continuidade para a hipótese do regime permanente podemos definir a conservação de energia de um fluido durante o escoamento em regime permanente.

Como a energia pode ser apenas transformada pelo princípio da preservação da energia (ela se conserva em suas diversas formas), utiliza-se o princípio da equação, a continuidade para construir uma equação similar para o balanço de energia de um escoamento. A equação do balanço de energia de um escoamento e a equação da continuidade são importantes para a determinação de potência de máquinas hidráulicas, determinação de perdas de carga em escoamentos, perdas de energia no escoamento e dimensionamento de tubulações e sistemas de bombeamento de fluido.

Muitos sistemas de escoamento são projetados para transportar um fluido de um local para outro a uma vazão, velocidade e diferença de elevação. O sistema pode gerar trabalho mecânico em uma turbina ou pode consumir trabalho mecânico em uma bomba ou ventilador durante o processo (ÇENGEL; CIMBALA, 2007).

Os sistemas de escoamento não envolvem a conversão química ou térmica em energia mecânica. Ainda, eles não envolvem transferência de calor em quantidade significativa, escoando fluidos essencialmente em temperatura constante. Tais sistemas podem ser analisados convenientemente considerando apenas as formas mecânicas de energia e os efeitos de atrito que causam a perda ou dissipação de energia mecânica, a perda irreversível, isto é, energia mecânica convertida em energia térmica que normalmente não pode ser usada para qualquer finalidade útil (ÇENGEL; CIMBALA, 2007).



82

Uma bomba hidráulica transfere energia mecânica para um fluido, aumentando sua pressão, e uma turbina hidráulica extrai energia mecânica de um fluido, baixando sua pressão. Portanto, a pressão de um fluido em escoamento também pode ser definida como uma forma de energia mecância. De fato, a unidade de pressão no Sistema Internacional, Pa, é equivalente a N/m² ou Nm/m³ ou J/m³, que é energia por unidade de volume. O produto da pressão e do volume (P·V) tem unidade de energia (Nm ou J) e o equivalente pressão sobre densidade (P/ρ) tem a unidade J/kg ou m²/s², que é energia por quantidade de massa (ÇENGEL; CIMBALA, 2007). Na termodinâmica, energia por quantidade de massa é chamada de energia específica.

É importante ressaltar que a pressão em si não é uma forma de energia, mas quando uma força normal atua em uma área de contato surge uma pressão que age em um fluido através de uma distância, produzindo trabalho. Na mecânica dos fluidos, determinado tipo de trabalho, oriundo da pressão de um fluido que desloca um certo volume por uma distância, é chamado de trabalho de escoamento. É o trabalho mecânico (energia) necessário para empurrar um fluido para um volume de controle especificado por unidade de massa (POTTER; WIGGERT, 2013; MUNSON; YOUNG; OKIISHI, 2004). O trabalho de escoamento é expresso em termos de propriedades do fluido e ele é parte da energia mecânica de um fluido em escoamento: a energia do escoamento ou “energia de pressão” (ÇENGEL; CIMBALA, 2007).

6 CONSERVAÇÃO DA ENERGIA MECÂNICA EM ESCOAMENTOS

As formas de energias mecânicas associadas ao fluido em escoamento são:

Energia potencial: energia associada à posição do fluido no campo gravitacional em relação ao plano horizontal de referência. É traduzida como o potencial do fluido em realizar um trabalho no sistema de escoamento.

A energia mecânica é definida como a forma de energia que pode ser convertida diretamente e completamente em trabalho mecânico por um dispositivo mecânico ideal, como uma turbina ideal. Energias cinéticas e potenciais são formas comuns de energia mecânica. A energia térmica, porém, não é uma forma de energia mecânica, uma vez que não pode ser convertida em trabalho mecânico direta e completamente, conforme estabelece a 2ª Lei da Termodinâmica (ÇENGEL; BOLES, 2013).

IMPORTANTE



83

Para quantificar a Energia Potencial no balanço de energia do escoamento, é importante apenas o diferencial de altura (diferença de energia potencial entre dois pontos do fluido).

Energia cinética: energia associada ao movimento (velocidade) do fluido.

*

*

* *

fluido

fluido

fluido

fluido potencial

F d

Peso h

m g h

E mgh

τ

τ

τ

τ

=

=

=

= =

Energia de escoamento ou trabalho de escoamento: energia associada ao trabalho das forças de pressão, estas que atuam no escoamento do fluido, conforme já descrito no início da seção.

De forma didática, podemos entender o tipo de energia mecânica associado ao escoamento do fluido como no intervalo de tempo Δt. O fluido percorre uma distância Δs sob ação de uma força F, produzindo trabalho no escoamento.

2

2cinéticamvE =

O trabalho total ou energia mecânica do fluido em um escoamento é igual à energia cinética de movimento, energia potencial (o trabalho ou energia produzida pela ação gravitacional sobre a massa de fluido (força/peso) que está a determinada altura de um referencial), e a energia de pressão em um fluido é igual ao trabalho executado pela pressão e volume deslocado a uma certa distância.

A energia mecânica total do escoamento de um fluido é o somatório das parcelas de energias mecânicas definidas até aqui.

*

*

* *

*

FP F P AA

d F s

d P A s

d P V

τ

τ

τ

= =

= ∆

= ∆

= ∆

2

2

TOTAL potencial cinética pressão

TOTALV

E E E E

mvE mgh PdV

= + +

= + + ∫



84

Para a definição simplificada da equação de energia do escoamento de um fluido são adotadas, inicialmente, as hipóteses simplificadoras a seguir:

• Escoamento em regime permanente (propriedades do fluido uniformes nas seções de entrada e saída ao longo do tempo).

• Ausência de máquinas hidráulicas no trecho do escoamento (a máquina hidráulica fornece ou retira energia do fluido na forma de trabalho. Bombas e compressores adicionam energia e turbinas retiram energia).

• Sem perdas por atrito do fluido no escoamento.• Fluido incompressível (líquido).• Sem trocas térmicas no escoamento.

É importante ressaltar que as simplificações acarretam em desvios dos resultados quando comparados a resultados experimentais dos fenômenos físicos reais. Contudo, tais simplificações podem ser adotadas em situações práticas com resultados aproximados válidos. A eliminação das simplificações deve ser feita gradualmente, com a inserção de termos correspondentes ao escoamento, que proporcionarão mais exatidão aos resultados. De acordo com as hipóteses 2, 3 e 5, no trecho de escoamento não é retirada ou adicionada energia ao fluido. Para que o regime de escoamento seja permanente, não pode haver variação de energia no trecho do escoamento, o que significa:

Como a densidade do fluido é definida como ρ=m/V, então:

1 2

2 21 1 2 2

1 1 1 1 2 2 2 22 2

TOTAL TOTAL

V V

E E

m v m vm gh PdV m gh P dV

=

+ + = + +∫ ∫

De acordo com as hipóteses 1 e 4, no trecho de escoamento o fluido é incompressível (ρ1=ρ2) e o regime de escoamento é permanente pela equação da

continuidade 1 2

. .Q Q= e balanço de massa (m1=m2).

2 21 1 1 1 2 2 2 2

1 1 2 21 22 2

m v Pm m v P mm gh m ghρ ρ

+ + = + +

2 21 1 2 2

1 22 2v P v Pgh gh

ρ ρ+ + = + +

Como a massa de fluido multiplica cada termo das parcelas de energia do escoamento do fluido, a massa pode ser eliminada, pois (m1=m2). Divide-se a equação por “g”. Lembrando que o peso específico do fluido é gγ ρ= .



85

A Equação 9 é chamada de equação de Bernoulli, usada na mecânica dos fluidos em dimensionamentos hidráulicos de escoamentos incompressíveis em regime permanente. Na equação, é definida a expressão de balanço de energia mecânica de um fluido no escoamento. A soma das energias potencial, cinética e de escoamento (pressão) de uma partícula de fluido é constante ao longo de uma linha de corrente durante o escoamento em regime permanente quando os efeitos de compressibilidade e do atrito do fluido com o tubo são desprezíveis. Os efeitos de compressibilidade são desprezíveis para o escoamento de líquidos, que são fluidos incompressíveis e sua densidade permanece praticamente constante ao longo do escoamento.

(9)

A equação de Bernoulli relaciona as energias vinculadas à altura (potencial), velocidade (cinética) e pressão entre duas seções do escoamento de um fluido. Quando o escoamento é incompressível (líquidos), tanto a pressão absoluta quanto a pressão ma-nométrica podem ser usadas para definir a carga de escoamento (pressão) da equação de Bernoulli, já que o valor da P

atmosférica usada no cálculo da P

absoluta apareceria em ambos os

lados da equação.

IMPORTANTE

Os termos da equação de Bernoulli podem ser definidos como:

Energia potencial por peso de partícula de fluido

• potencialEmg mghh multiplicando pormg mg Peso

= = =

Energia cinética por peso de partícula de fluido

• 2 2 2

22 2 2cinéticaEv mg mgv mvmultiplicando por

g mg mg mg Peso= = = =

Energia do escoamento (pressão) por peso de partícula de fluido

2 21 1 2 2

1 2

2 21 1 2 2

1 2

2 2

2 2

v P v Ph hg g g g

v P v Ph hg g

ρ ρ

γ γ

+ + = + +

+ + = + +



86

• pressãoEP PV PV PV PVmultiplicando por V mV gV mg PesogVV

γ γ ρ= = = = = =

Portanto, a equação de Bernoulli expressa que, ao escoar por uma seção de entrada uma partícula de fluido de peso unitário, associadas as energias mecânicas potencial, cinética e de pressão, deve também escoar por uma seção de saída com o mesmo somatório de energias mecânicas da entrada, caracterizando que a energia é preservada no escoamento entre as seções de entrada e saída.

De acordo com Çengel e Cimbala (2007), as energias cinética, potencial e de escoamento (pressão) são formas mecânicas de energia e a equação de Bernoulli pode ser vista como o princípio de conservação da energia mecânica. É equivalente ao princípio da conservação geral da energia para sistemas que não envolvem qualquer conversão de energia mecânica e energia térmica entre si, e assim, a energia mecânica e a energia térmica são conservadas separadamente.

A equação de Bernoulli afirma que, durante o escoamento constante e incompressível, sem atrito na tubulação, as várias formas de energia mecânica são convertidas entre si, mas o seu somatório permanece constante. Em outras palavras, não há dissipação de energia mecânica durante tais escoamentos, uma vez que não há atrito que converta energia mecânica em energia térmica sensível (ÇENGEL; CIMBALA, 2007).

Evocando a 2º Lei de Newton do movimento, em que trabalho é definido como a energia transferida para um sistema quando uma força é aplicada ao longo de uma distância, a equação de Bernoulli pode ser definida como o trabalho realizado pelas forças de pressão e gravidade sobre a partícula de fluido em relação ao aumento de energia cinética da partícula (ÇENGEL; CIMBALA, 2007).

Apesar das aproximações altamente restritivas usadas em sua derivação, a equação de Bernoulli é comumente usada na prática desde que, com a equação, os problemas de escoamento de fluidos podem ser analisados com razoável precisão. A ação ocorre porque muitos escoamentos de interesse na engenharia prática são em regime permanente, os efeitos de compressibilidade são relativamente pequenos e as forças de atrito são insignificantes em algumas regiões de interesse no escoamento.

As formas análogas da Equação de Bernoulli que podem ser aplicadas são:

• Equação de Bernoulli em termos de unidade de energia mecânica por peso de partícula de fluido (metros ou mc.a. (metros de coluna de água em aplicações práticas)

2 21 1 2 2

1 22 2v P v Ph hg gγ γ

+ + = + +



87

Multiplicando cada termo da equação por ρg (peso de partícula de fluido):

• Equação de Bernoulli em termos de unidade de pressão (Pa ou N/m²)

2 21 2

1 1 2 22 2v vgh P gh Pρ ρρ ρ+ + = + +

• Equação de Bernoulli em termos de unidade de energia mecânica (J ou Nm ou kg·m²/s²)

2 21 1 1 1 2 2 2 2

1 1 2 21 2

2 21 1 2 2

1 1 1 1 2 2 1 1

2 2

2 2

m v Pm m v P mm gh m gh

m v m vm gh PV m gh PV

ρ ρ+ + = + +

+ + = + +

• Equação de Bernoulli em termos de unidade de energia mecânica específica ou energia por massa de fluido (J/kg ou Nm/kg ou m²/s²)

2 21 1 2 2

1 21 22 2

v P v Pgh ghρ ρ

+ + = + +

Podemos relacionar o termo de energia de escoamento com a pressão estática do fluido, que é chamada de carga ou altura de coluna de fluido:

coluna de fluidofluido

P hγ

=

Definindo, assim, a carga de pressão de um fluido. Então, os termos da equação de Bernoulli podem ser nomeados:

A unidade m surge nos termos da equação pois temos uma quantidade de energia por peso de partícula de fluido, ou seja, J/N = Nm/N = m).

IMPORTANTE



88

• Carga potencial ou carga de elevação no escoamento

h ou ghρ

• Carga cinética no escoamento

2 2

2 2v voug

ρ

• Carga de pressão ou de escoamento

P ou Pγ

A carga hidráulica do fluido no escoamento (H) é o somatório de todas as cargas (energia) mecânicas do fluido durante o escoamento. É rotina utilizarmos a letra “H” maiúscula em português devido à referência do termo original na língua inglesa, que define a carga hidráulica do fluido (Head).

H é a energia mecânica total por unidade de peso de fluido em uma seção, ou seja, a carga total do escoamento na seção. Portanto, a equação de Bernoulli em ter-mos de carga hidráulica de escoamento pode ser escrita, de forma resumida, como:

2

2v Ph Hg γ

+ + =

Para um escoamento em regime permanente, a taxa de variação de energia mecânica do volume de controle ao longo do tempo é zero (ÇENGEL; CIMBALA,

(10)1 2H H=

De acordo com as hipóteses simplificadoras, a equação significa que, se entre duas seções (ponto de entrada e saída) de um escoamento o fluido for incompressível, sem atritos na tubulação, em regime permanente, sem máquinas hidráulicas realizando trabalho no trecho entre as seções e sem trocas térmicas no sistema, as cargas do escoamento se mantêm constantes em qualquer ponto da seção (H

1=H

2), não havendo ganhos ou perdas

de energia mecânica (carga de escoamento).

IMPORTANTE



89

(11)1 2máquinaH H H± =

2007; HIBBELLER, 2016). A equação geral do balanço de energia (equação de Bernoulli) aplicada neste tipo de escoamento, considerando a presença de máquinas hidráulicas, é:

A máquina hidráulica é definida como um dispositivo mecânico entre as seções do escoamento que adicionam (bomba, ventilador ou compressor) ou retiram (turbina) energia mecânica do escoamento na forma de trabalho mecânico.

FIGURA 4 – PRINCÍPIO DO BALANÇO DE ENERGIA APLICADO AO ESCOAMENTO DE UM FLUIDO EM REGIME PERMANENTE COM A PRESENÇA DE MÁQUINA HIDRÁULICA

FONTE: O autor

Para mantermos a igualdade e o somatório de energia constante entre os pontos 1 e 2 do escoamento, devemos compensar a presença da máquina hidráulica na equação de Bernoulli. Assim:

H BOMBA = Carga hidráulica ou altura manométrica total da bomba. Energia mecânica fornecida pela bomba por peso de fluido que atravessa a máquina.

H TURBINA = Carga hidráulica da turbina. Energia mecânica retirada pela turbina por peso de fluido que atravessa a máquina.

Portanto, se a carga hidráulica da máquina for positiva, ela será uma bomba (adiciona energia no fluido). Se a carga hidráulica for negativa, a máquina hidráulica será uma turbina (extrai energia do fluido).

1 2

1 2

BOMBA

TURBINA

H H H

H H H

+ =

− =



90

Explicitando o termo carga hidráulica do fluido no escoamento (H) na equação 11:

A presença de uma máquina hidráulica no trecho de escoamento acarreta em variações na carga de elevação (energia potencial), carga cinética e carga de escoamento (energia de pressão) do fluido.

A potência de um fluido pode ser definida como o produto da energia mecânica por peso de partícula de fluido e vazão em peso do escoamento. Nada mais é do que o trabalho mecânico do fluido ao longo do tempo, que gera uma taxa ou quantidade de energia ao longo do tempo. A taxa de energia do fluido é usada para gerar potência em dispositivos como as turbinas hidráulicas. Podemos equacionar o conceito da seguinte maneira:

( )

2 21 1 2 2

1 2

2 22 1 2 1

2 1

2 2

2

MÁQUINA

MÁQUINA

v P v Ph H hg g

ou

P P v vH h hg

γ γ

γ

+ + ± = + +

− −= + + −

A unidade de potência de fluido é dada em W ou J/s, uma vez que a carga hidráulica é dada em m, o peso específico do fluido em N/m³ e a vazão volumétrica em m³/s.

A transmissão de potência para o fluido a partir da máquina hidráulica (bombas, ventiladores e compressores) ou para a máquina hidráulica a partir do fluido (turbinas) nunca ocorre com eficiência igual a 100% em termos de conversão de energia total em energia útil aproveitável (ÇENGEL; BOLES, 2013; WHITE, 2011; MUNSON; YOUNG; OKIISHI, 2004).

(12)

•

•

•

fluidomecânicafluido

fluido

fluido Peso

fluido fluido volumétrica

PesoEWPeso tempo

W car ga hidráulica de escoamento Q

W car ga hidráulica de escoamento Qγ

= ×

= ×

= × ×

fluido fluido fluido volumétricaW H Qγ•

= × ×



91

(13)

Existem perdas de energia irreversíveis associadas aos elementos de transmissão da máquina hidráulica (a maior parte é perda por atrito mecânico do eixo e dissipação da energia térmica não aproveitável). Portanto, a potência recebida ou cedida pelo fluido da máquina hidráulica não é igual à potência total da máquina instalada (chamada de potência de eixo nas bombas centrífugas). Assim, definimos o rendimento de uma máquina hidráulica da seguinte forma:

• Para o caso de uma bomba hidráulica: a potência da bomba é maior do que a potência do fluido. O termo de Perdas no balanço de energia da bomba se refere às perdas de energia que ocorrem dentro da máquina, devido a ineficiências nos processos de conversão de energia dos dispositivos (como o atrito mecânico no mancal do eixo). Tais perdas são levadas em consideração no parâmetro de eficiência ou rendimento da máquina (η). Portanto:

A potência total ou instalada de uma bomba, dada na unidade W, pode ser calculada em termos de carga hidráulica requisitada pelo fluido para escoamento no sistema de tubulação. A carga hidráulica disponível da bomba (altura manométrica total) deve ser igual à carga hidráulica necessária pelo fluido no sistema.

• •

• •

• •

BOMBA instalada cedida ao fluido

cedida ao fluido disponível ou útilBOMBA

total da bomba total

W W Perdas

W W

W Wη

= +

= =

Com a carga hidráulica da bomba em m ou m c.a., vazão volumétrica em m³/s e peso específico do fluido em N/m³.

• Para o caso de uma turbina hidráulica: a potência da turbina é menor do que a potência do fluido. O termo Perdas no balanço de energia da turbina se refere às perdas de energia que ocorrem dentro da máquina, devido a ineficiências nos processos de conversão de energia dos dispositivos (como o atrito mecânico no mancal do eixo). As perdas são levadas em consideração no parâmetro de eficiência ou rendimento da máquina (η). Portanto:

• •

• •

• •

TURBINA instalada retirada do fluido

cedida a turbina disponível ou útilTURBINA

total do fluido total

W W Perdas

W W

W Wη

= +

= =

bomba

instalada da bombaH QW γ

η⋅ ⋅

=



92

A potência total ou instalada de uma turbina, dada na unidade W, pode ser calculada em termos de carga hidráulica requisitada pelo fluido para escoamento no sistema de tubulação. A carga hidráulica útil da turbina deve ser igual à carga hidráulica do fluido que foi extraída e aproveitada.

útil da turbina turbinaW H Q γ η= ⋅ ⋅ ⋅ (14)

(15.1)

Com a carga hidráulica da turbina em m ou m c.a., vazão volumétrica em m³/s e peso específico do fluido em N/m³.

A perda de energia (carga) na tubulação devido ao atrito do fluido em escoamento em uma tubulação gera uma dissipação de energia térmica, reduz a carga de escoamento do fluido e provoca uma queda de pressão no escoamento. Entre dois pontos de um escoamento (ponto 1 e ponto 2), a perda de carga por atrito no transporte de fluido provoca a dissipação de energia, portanto a carga hidráulica do fluido reduz ao longo do escoamento (H1 > H2).

Para manter a igualdade de energia do balanço entre o trecho de escoamento

(equação de Bernoulli), deve-se somar um termo relacionado à energia dissipada ou perdida pelo fluido durante o escoamento. Definimos o termo como as perdas de carga (Hperdas) do sistema, que serão detalhadas no Tópico 2.

Por convenção, as perdas de energia irreversíveis da bomba ou turbina são analisadas separadamente das perdas de energia (carga) irreversíveis devido aos componentes do sistema de tubulação ou ao atrito do fluido na parede do tubo, além da presença de acessório na tubulação (ÇENGEL; CIMBALA, 2015).

IMPORTANTE

No escoamento em regime permanente entre um trecho sem máquinas e considerando a perda de carga da tubulação, a energia mecânica de escoamento é sempre maior a montante (seção 1) e diminui no sentido do escoamento (a jusante, seção 2). Se entre o trecho de escoamento das seções 1 e 2 existir uma máquina, a equação do balanço de energia mecânica em termos de cargas (equação de Bernoulli) será:

1 2

1 2

perdas

perdas

H H H

H H H

= +

= −



93

(15.2)

A potência dissipada, em função das perdas de carga do fluido na tubulação, pode ser determinada de forma similar à potência do fluido e da máquina hidráulica:

(16)

As perdas de carga e o procedimento de cálculo do termo serão detalhados no Tópico 2 desta unidade.

7 LIMITAÇÕES E SIMPLIFICAÇÕES ADOTADAS NA EQUAÇÃO DE BERNOULLI

A equação de Bernoulli é uma das equações mais famosas e utilizadas na mecânica dos fluidos. Sua versatilidade, simplicidade e facilidade de uso tornaram-na uma ferramenta muito valiosa para uso na prática. Contudo, os mesmos atributos tornam a equação suscetível à utilização de forma equivocada. Çengel e Cimbala (2015) comentam uma série de restrições à aplicabilidade e as observações devem ser compreendidas. Na sequência, os pontos mais importantes são destacados:

Escoamento em regime permanente: a primeira limitação da equação de Bernoulli é que ela só se aplica para escoamentos em regime permanente. Na prática, ela não deve ser usada em condições de start-up ou parada de um processo de escoamento ou durante modificações nas condições do escoamento.

Escoamento sem atrito: todo escoamento de fluido envolve algum atrito. Os efeitos podem ou não ser desprezíveis. Em geral, os efeitos de atrito são insignificantes para o escoamento em trechos curtos com áreas de seções grandes e baixas velocidades. Os efeitos de atrito são geralmente significativos em tubulações com comprimentos grandes, diâmeros pequenos, na região da esteira a jusante de um objeto, nas seções de escoamento divergente (difusores) devido à maior possibilidade do fluido se separar das paredes em tais geometrias. Os efeitos de atrito são também significativos perto de superfícies sólidas, e, portanto, a equação de Bernoulli é geralmente aplicável ao longo da região central do fluxo, mas não próxima à superfície. A figura a seguir ilustra os efeitos de atrito e os tipos de componentes que perturbam a estrutura de linha de corrente do escoamento em uma seção, tornando inválida a aplicação da equação de Bernoulli (ÇENGEL; CIMBALA, 2007; WHITE, 2011).

1 2

2 21 1 2 2

1 22 2

perdasMÁQUINA

perdasMÁQUINA

H H H H

v P v Ph H h Hg gγ γ

± = +

+ + ± = + + +

•

dissipada perdas fluido volumétricaW H Qγ= × ×



94

Ausência de trabalho de eixo: a equação de Bernoulli não é aplicável em uma seção de escoamento que envolva bomba, turbina, ventilador ou qualquer outra máquina hidráulica, desde que haja compensação com um termo de carga hidráulica na equação. Em tais casos, as cargas hidráulicas do fluido na equação de Bernoulli mudam a montante (entrada) e a jusante (saída) do dispositivo.

Escoamento incompressível: a equação de Bernoulli, de forma geral, deve ser aplicada apenas para escoamentos de líquidos (incompressíveis), necessitando de ajustes para a aplicação em escoamentos de gases (compressíveis). Entretanto, se o escoamento de gás puder ser considerado incompressível, a equação é aplicável.

Transferência de calor insignificante: a densidade de um gás é inversamente proporcional à temperatura e, portanto, a equação de Bernoulli não deve ser usada para seções de escoamento que envolvam mudanças significativas de temperatura.

FIGURA 5 – LIMITAÇÕES PARA APLICAÇÃO DA EQUAÇÃO DE BERNOULLI


8 APLICAÇÕES EM ESCOAMENTOS INTERNOS INCOMPRESSÍVEIS EM REGIME PERMANENTE

Como descrito anteriormente, a equação de Bernoulli possui ampla variedade de aplicações, mesmo com uma série de restrições e limitações de uso. O principal tópico que envolve a aplicação direta da equação são os escoamentos de líquidos em tubulações, em regime permanente, ou seja, quando a vazão e outras propriedades são constantes ao longo do tempo.



95

É importante ter uma boa experiência com o uso da equação para possibilitar a execução de projetos e dimensionamentos hidráulicos corretos. Então, os tópicos seguintes das Unidade 2 e 3 apresentarão novos conceitos que demandam a utilização das equações definidas neste tópico. Assim como a maioria dos tópicos de estudo na Engenharia, a melhor maneira de compreender tais conceitos é com a aplicação de exercícios. Na próxima seção, exemplos práticos serão resolvidos e comentados.


• Calcule a potência instalada da bomba para operar com eficiência de 80%. Considere o sistema de recalque de água em regime permanente ilustrado a seguir. Desconsidere as perdas de carga no sistema.

FIGURA 6 – SISTEMA DE RECALQUE DE ÁGUA EM REGIME PERMANENTE

FONTE: O autor

Solução: por comodidade, adotaremos g=10m/s², densidade da água igual a 1000 kg/m³ e desprezaremos as perdas de carga no sistema. Definindo os pontos para análise no sistema de recalque:



96

FIGURA 7 – PONTOS PARA ANÁLISE NO SISTEMA DE RECALQUE

FONTE: O autor

Com a Equação 13 para cálculo da potência de bomba instalada, precisamos conhecer a vazão do escoamento e a carga hidráulica da bomba (altura manométrica total), que é a quantidade total de energia mecânica que a bomba transfere ao fluido, aumentando sua pressão no escoamento para superar as resistências do sistema (elevação, perdas de carga e outras).

Portanto, o primeiro passo será aplicar a equação de Bernoulli entre os pontos 1 e 2 do tubo de Venturi, indicados na seção de recalque do escoamento:

A carga de elevação é anulada pois o tubo de Venturi é horizontal (h1=h2). Aplicamos a equação da manometria para determinar a diferença de pressão entre as seções 1 e 2 do tubo de Venturi, conforme o manômetro de tubo em “U” instalado:

Aplicamos também a equação da continuidade para escoamento de líquidos em regime permanente nas seções 1 e 2 do tubo de Venturi:



97

ou

Para calcular a velocidade do escoamento no recalque, substituímos as equações (**) e (***) na equação (*):

Com a velocidade determinada (v1 ou v2), calculamos a vazão do escoamento pelo Venturi, que é constante (Q1=Q2).

Para determinação da carga hidráulica da bomba (altura manométrica total), aplicamos a equação de Bernoulli nos pontos de sucção e recalque que possuem os manômetros indicativos de pressão manométrica da tubulação:



98

Assim, temos:

Desprezando as perdas de carga e a diferença de elevação entre os pontos adotados na aplicação da equação de Bernoulli na sucção e recalque (os dois pontos estão praticamente no mesmo nível da bomba):

Para o cálculo da potência instalada da bomba:

• Uma bomba centrífuga transporta água através de uma tubulação de entrada (sucção) e duas tubulações de saída (recalque), conforme figura a seguir. Todas as ramificações da tubulação de sucção e recalque podem ser consideradas na mesma altura do nível da bomba. A pressão de sucção e as pressões das ramificações do recalque são indicadas através de manômetros de Bourdon acoplados na tubulação. Qual é a potência instalada da bomba, em kW e em cv, considerando que ela opera com 85% de eficiência? Despreze as perdas de carga pela tubulação. Adote 1 cv ≈ 745 W.

FIGURA 8 – BOMBA CENTRÍFUGA

FONTE: Potter e Wiggert (2013, p. 158)



99

Solução: Por comodidade, adotaremos g=10m/s² e densidade da água igual a 1000 kg/m³. Definindo os pontos para análise no sistema sucção e recalque:

Tubo 1 = Pressão manométrica de 120kPaTubo 2 = Pressão manométrica de 500kPaTubo 3 = Pressão manométrica de 300kPa

Aplicação da equação da continuidade (balanço de massa) para escoamento de fluido incompressível (líquido) para a determinação da velocidade do fluido no tubo 2:

Como ρ1 = ρ2 = ρ3

O escoamento é em regime permanente, ou seja, a vazão do escoamento é constante em todos os tubos. Assim:

Aplicação da equação de Bernoulli (balanço de energia) para escoamento de fluido incompressível (líquido) para a determinação da carga hidráulica necessária para a bomba. Desconsideramos as perdas de carga do sistema (Hperdas = 0):



100

Como as tubulações de entrada e saída da bomba estão no mesmo nível da máquina, as cargas de elevação podem ser desprezadas no balanço de energia.

Cálculo da potência instalada da bomba:

• Um manômetro diferencial utiliza óleo como fluido manométrico e é conectado em dois pontos de uma tubulação que escoa ar em regime permanente, conforme a figura a seguir. Verifique as condições de equilíbrio do óleo no manômetro e responda:

a) O óleo do manômetro se moverá como na figura (I) ou na figura (II)? Justifique.

b) Se a direção do escoamento fosse invertida, qual seria a resposta correta?

FIGURA 9 – MANÔMETRO DIFERENCIAL




101

Solução:

a) Como o tubo converge para uma área de seção transversal menor, a velocidade do fluido aumenta para contemplar a equação da continuidade e manter a vazão constante, garantindo o princípio de conservação da massa de fluido. Pela equação de Bernoulli, os termos de carga de elevação são nulos, pois o tubo é horizontal. A carga cinética aumenta devido ao aumento de velocidade na área menor, o que causa uma redução da carga de escoamento (pressão) no ponto. Na verdade, uma parcela de carga de pressão do fluido se converte em carga cinética, aumentando a velocidade no ponto de menor área do tubo. Portanto, o princípio de conservação de energia mecânica é atendido. O lado direito do manômetro está conectado com a área de seção do tubo menor, em que a pressão do escoamento será menor e a velocidade do fluido será maior. Portanto, a figura (I) é a correta.

b) A análise feita no item “a” da questão é igual neste caso. A direção do

escoamento não interfere nas condições de equilíbrio do manômetro e no balanço de massa e energia aplicado no escoamento. Portanto, a figura (I) continua sendo a correta.


102


• As definições do balanço de massa podem ser simplificadas para um escoamento de fluido incompressível (líquido) em regime permanente.

• O conceito do balanço de massa é aplicado para a dedução da equação da continuidade.

• O fluxo volumétrico ou taxa de escoamento de fluidos por uma tubulação é determinado através do cálculo da vazão volumétrica, vazão mássica ou vazão em peso do fluido.

• Existem diferentes formas de energia associadas à dinâmica do escoamento de um fluido e as definições do balanço de energia são aplicadas no escoamento de fluidos em regime permanente.

• O conceito do balanço de energia é aplicado para a dedução da equação de Bernoulli.

• A equação de Bernoulli apresenta limitações e simplificações que devem ser consideradas em determinadas aplicações práticas.

• A presença de máquinas hidráulicas e as perdas de carga na tubulação devem ser consideradas no balanço de energia representado pela equação de Bernoulli.

• As aplicações práticas da equação da continuidade, equação de Bernoulli e cálculos de vazão incluem os sistemas de escoamento internos de fluidos incompressíveis.


103

AUTOATIVIDADE

1 Ar escoa através de um tubo com vazão de 200L/s. O tubo consiste em duas seções de 20 cm e 10 cm de diâmetro, conectadas por uma redução. A diferença de pressão do escoamento entre as duas seções do tubo é medida por um manômetro de tubo em “U” com água (ρ=1000 kg/m³). Desprezando os efeitos de atrito, determine a altura diferencial de água no manômetro entre as duas seções da tubulação. A densidade do ar é de 1,2kg/m³.

2 Um tanque cilíndrico, com volume de 1m³, ilustrado na figura a seguir, é alimentado com água pelas torneiras A e B e é esvaziado pelas torneiras C e D. A torneira A, sozinha, enche o tanque em quatro horas e, a torneira B, sozinha, enche o tanque em cinco horas. A torneira C, sozinha, esvazia o tanque em três horas e a torneira D, sozinha, esvazia o tanque em seis horas. Com o nível de água no tanque em ¼ da capacidade total, as quatro torneiras são abertas simultaneamente. Com base nas condições, responda:

a) O nível de água no tanque vai aumentar, reduzir ou permanecer constante? Justifique e discuta através dos cálculos de balanço de massa no tanque.

b) Se o nível de água no tanque aumentar ou reduzir, estime o tempo que levaria para encher ou esvaziar o tanque. Considere que as vazões das torneiras C e D não variam com o nível de água no tanque.

c) Se o volume do tanque fosse de 2m³, mantendo as condições de operação das torneiras iguais, os resultados obtidos nos itens “a” e “b” seriam diferentes? Justifique e discuta através dos cálculos de balanço de massa no tanque.


104

3 Uma torneira aberta despeja água em uma pia de banheiro com vazão constante de 7,5L/min. A pia possui 3 orifícios (drenos) de descarga que evitam o transbordamento da água no caso do ralo da pia estar fechado ou entupido. O diâmetro de cada orifício é de 10mm. Determine a velocidade média da água em cada orifício se o ralo da pia estiver fechado e o nível de líquido na pia permanecer constante.


105

TÓPICO 2

DIMENSIONAMENTO HIDRÁULICO

E DETERMINAÇÃO DAS PERDAS DE

CARGA – PARTE I

UNIDADE 2

1 INTRODUÇÃOO objetivo, a partir deste tópico de estudo, é desenvolver os conhecimentos

e habilidades que são necessários para projetar e analisar o desempenho de sistemas de escoamento de líquidos em tubulação com o uso de bombas centrífugas em aplicações industriais. Você aprenderá a analisar os efeitos da pressão, vazão e elevação do fluido no comportamento hidráulico. Um conceito fundamental usado para analisar sistemas de escoamento em tubulações é a aplicação da equação do princípio de conservação de energia, através da equação de Bernoulli, que proporciona uma maneira de explicar a relação entre os três tipos importantes de energias mecânicas de um fluido em escoamento.

O conceito de perdas de energia ou perdas de carga do fluido será detalhado neste tópico de estudos. Será apresentada uma metodologia de cálculo por etapas com o objetivo de quantificar as perdas de carga por tipo e por trecho de escoamento. A partir da Unidade 3 a metodologia será aplicada em problemas cujo objetivos são dimensionar e selecionar uma bomba centrífuga adequada para um determinado sistema de escoamento de líquido.

Algumas definições são importantes em relação à técnica utilizada na

mecânica dos fluidos em relação aos regimes de escoamento.

2 ESCOAMENTOS EM REGIME LAMINAR E TURBULENTOÉ possível notar que a fumaça de uma chaminé sobe em uma pluma

lisa nos primeiros centímetros e depois começa a flutuar aleatoriamente em todas as direções à medida que continua sua ascensão. Da mesma forma, uma inspeção cuidadosa no escoamento de um fluido em tubulações revela que o escoamento tem um comportamento aerodinâmico em baixas velocidades, mas se torna caótico e desordenado quando a velocidade é aumentada acima de um valor crítico.

De acordo com Fox, McDonald, Pritchard e Mitchell (2018), o regime do escoamento no primeiro caso é chamado de laminar, caracterizado por um escoamento suave e um movimento do fluido altamente ordenado. No segundo caso, o escoamento é chamado de turbulento, que é caracterizado por flutuações de velocidade e movimento altamente desordenado.



106

A transição do escoamento laminar para o turbulento não ocorre de repente. A transição ocorre em alguma região na qual o escoamento flutua entre os regimes laminares e turbulentos antes de se tornar totalmente turbulento (ÇENGEL; CIMBALA, 2007).

Muitos regimes de escoamento encontrados na prática são turbulentos. O regime de escoamento laminar é encontrado quando fluidos altamente viscosos, como óleos, escoam em tubos de pequenos diâmetros ou estreitos.

O conceito usado para caracterizar o regime de escoamento do fluido pode ser verificado experimentalmente injetando algumas pequenas listras contínuas de corante no escoamento em um tubo de vidro. A famosa experiência foi realizada pelo engenheiro britânico Osborne Reynolds (1842–1912). A partir da experiência, é possível observar que a linha de corante forma uma linha reta e suave a baixas velocidades quando o escoamento é laminar (podemos ver algum embaçamento por causa de difusão molecular e transferência de massa). A linha de corante apresenta pequenos surtos de flutuações no regime de escoamento de transição. No regime turbulento, a linha de corante movimenta-se aleatoriamente, rapidamente e desordenadamente.

Tais movimentos tortuosos e a dispersão do corante são indicativos das flutuações no escoamento principal e a mistura rápida de partículas de fluido a partir de camadas adjacentes. A intensa mistura do fluido em regime de escoamento turbulento como resultado de flutuações rápidas aumenta a transferência de movimento entre partículas fluidas, resultando em um aumento da força de atrito na parede do tubo (ÇENGEL; CIMBALA, 2007). Isso acarreta em maior necessidade de potência de bombeamento para o fluido. O fator de atrito atinge um valor máximo quando o fluxo se torna totalmente turbulento.

FIGURA 10 – COMPORTAMENTO DE UM TRAÇO DE CORANTE INSERIDO NO ESCOAMENTO EM REGIME LAMINAR E TURBULENTO



TÓPICO 2 | DIMENSIONAMENTO HIDRÁULICO E DETERMINAÇÃO DAS PERDAS DE CARGA – PARTE I

107

A transição do escoamento em regime laminar para turbulento depende da geometria e rugosidade da parede do tubo, velocidade do fluido, temperatura da superfície e tipo de fluido, entre outros aspectos. Depois de exaustivos experimentos na década de 1880, Osborne Reynolds descobriu que o regime de escoamento depende, principalmente, da razão entre forças inerciais e forças viscosas do fluido. A relação é um parâmetro adimensional chamado de número de Reynolds, expresso pela equação:

(17)

Os termos do numerador são densidade, velocidade média do fluido e diâmetro do tubo, respectivamente. O termo do denominador é a viscosidade dinâmica do fluido.

Para grandes números de Reynolds, as forças inerciais, que são proporcionais à densidade do fluido e ao quadrado da velocidade do fluido, são grandes em relação às forças viscosas e, portanto, as forças viscosas não podem impedir flutuações rápidas do fluido. Para números pequenos ou moderados de Reynolds, no entanto, as forças viscosas são grandes para suprimir as flutuações e manter o fluido "em linha ordenada". Assim, o fluxo é turbulento no primeiro caso e, laminar, no segundo (ÇENGEL; CIMBALA, 2007).

O número de Reynolds quando o escoamento se torna turbulento é chamado de número crítico de Reynolds. O valor do número crítico de Reynolds é diferente para diferentes geometrias e condições de escoamento. Para o escoamento interno em um tubo circular, o valor geralmente aceito do número crítico de Reynolds é 2300 (ÇENGEL; CIMBALA, 2007).

Não existem valores precisos de números de Reynolds que definem os regimes de escoamento. A transição de um regime de escoamento laminar para turbulento vai do grau de perturbação do escoamento por rugosidade da parede do tubo, vibrações da tubulação e flutuações no escoamento a montante. Os valores de números de Reynolds adotados na prática para classificação do regime de escoamento são definidos a seguir:

Re 23002300 Re 4000Re 4000

Regime laminarRegime de transição

Regime turbulento

< ⇒≤ ≤ ⇒

> ⇒

3 DEFINIÇÃO DAS PERDAS DE CARGAUma quantidade de interesse na análise do escoamento em tubulação é a

queda de pressão do fluido devido às perdas de carga. O cálculo do parâmetro



108

está diretamente relacionado ao requisito de energia do ventilador ou da bomba para manter o escoamento em regime permanente (ÇENGEL; CIMBALA, 2007).

Uma queda de pressão devido a efeitos viscosos representa uma perda de pressão irreversível. A queda de pressão é proporcional à viscosidade do fluido. A variação de pressão no fluido seria zero se não houvesse atrito. No caso, a queda de pressão entre dois pontos é inteiramente devido à viscosidade do fluido (resistência ao escoamento) (ÇENGEL; CIMBALA, 2007).

Na prática, é conveniente expressar a perda de pressão para todos os tipos

de escoamentos internos completamente desenvolvidos (escoamentos laminares ou turbulentos, em dutos circulares ou não circulares, superfícies lisas ou rugosas, tubos horizontais ou inclinados etc.).

Na análise de sistemas de tubulação, as perdas de pressão são comumente expressadas em termos da altura equivalente da coluna de fluido, esta chamada de perda de carga. Como a diferença de pressão é o produto , uma diferença de pressão representa uma carga de altura de coluna de fluido .

A perda de carga por atrito de um fluido escoando em uma tubulação é chamada de perda de carga distribuída (ou perdas de carga maiores). As perdas de carga distribuídas na tubulação podem ser calculadas a partir da equação de Darcy-Weisbach:

L é o comprimento total da tubulação; DH é o diâmetro hidráulico (para dutos não circulares) ou diâmetro para tubos circulares; v é a velocidade média do escoamento e fD é o fator de atrito de Darcy, um parâmetro adimensional que deve ser calculado.

Para calcular o fator de atrito, utilizamos dois parâmetros dimensionais (o número de Reynolds, Re e a rugosidade relativa ε/D) em conjunto com a leitura dos dados inseridos no diagrama de Moody ou pela solução de uma equação empírica para cálculo do fator de atrito. O diagrama de Moody é uma forma prática e rápida de determinar o valor do fator de atrito, porém o uso do diagrama pode apresentar grande imprecisão.

A perda de carga distribuída representa a altura adicional que o fluido precisa ser elevado por uma bomba, a fim de superar as perdas de atrito no tubo.

Uma vez que a perda de pressão (ou perda de carga) é conhecida, a potência do bombeamento necessário para superar a perda de pressão do fluido pode ser calculada da seguinte maneira:

gv

DLfh

HDf 2

2

= (18)



109

Segundo a Lei de Poiseuille aplicada para escoamentos em regime laminar para uma vazão especificada, a queda de pressão e, portanto, a potência necessária de bombeamento, são proporcionais ao comprimento do tubo e à viscosidade do fluido, mas são inversamente proporcionais à quarta potência do raio ou diâmetro do tubo (ÇENGEL; CIMBALA, 2007). Assim, a exigência de potência de bombeamento para um sistema de tubulação em regime laminar pode ser reduzida por um fator de 16, dobrando o diâmetro do tubo. Os benefícios da redução dos custos de energia devem ser ponderados em relação ao aumento do custo de construção devido ao uso de um tubo de maior diâmetro (ÇENGEL; CIMBALA, 2007).

O fluido, em um sistema típico de tubulação, passa por vários acessórios, válvulas, curvas, cotovelos, tês, entradas, saídas, expansões e contrações, além das seções retas da tubulação. Tais componentes interrompem o fluxo suave do fluido e causam perdas de energia (carga) adicionais por causa da separação de escoamento e devido à mistura (ÇENGEL; CIMBALA, 2007).

Em um sistema típico com tubos longos, as perdas são consideradas menores do que as perdas por atrito. Embora seja geralmente verdade, em alguns casos as perdas menores podem ser maiores que as perdas por atrito. É o caso, por exemplo, em sistemas com vários acessórios instalados na tubulação em uma curta distância (ÇENGEL; CIMBALA, 2007).

A perda de carga introduzida por uma válvula completamente aberta, por exemplo, pode ser insignificante. Contudo, uma válvula parcialmente fechada pode causar uma maior perda de carga no sistema, como evidenciado pela redução da vazão. A dinâmica do escoamento através de válvulas e acessórios é muito complexa. Assim, tal tipo de perda de carga de acessório é determinado experimentalmente, geralmente pelos fabricantes (ÇENGEL; CIMBALA, 2007).

Enquanto a maioria da perda de energia irreversível ocorre localmente perto do acessório, parte das perdas ocorre a jusante (após) da válvula devido a turbilhões de redemoinhos induzidos que são produzidos na válvula e continuam a jusante. Tais redemoinhos "desperdiçam" energia mecânica porque são dissipados em calor (ÇENGEL; CIMBALA, 2007). A instalação de medidores de pressão ou vazão do fluido na tubulação deve estar distante de acessórios para evitar a influência dos turbilhões e vórtices. As perdas de carga localizadas (singulares ou menores) em acessórios da tubulação podem ser calculadas a partir da equação 19:

( )acessóriosdeng

vkh acessórios º2

2

⋅⋅= (19)



110

kacessório é uma constante característica de perda de carga do acessório, definida em laboratório e, geralmente, é um dado fornecido pelo fabricante.

O cálculo do total de perdas de carga na tubulação é o somatório das perdas de carga localizadas e das perdas de carga distribuídas:

A rugosidade relativa é a rugosidade média da superfície do material dividida pelo diâmetro do tubo. A rugosidade da superfície do material é a altura média das saliências da superfície rugosa. O diagrama de Moody contém um quadro com o valor médio da rugosidade de diversos materiais usados na fabricação de tubulações para escoamento de fluidos.

IMPORTANTE

4 USO DA EQUAÇÃO DE COLEBROOK-WHITE E DE EQUAÇÕES EMPÍRICAS

A equação de Colebrook-White é a base utilizada para a construção do diagrama de Moody. É a equação mais exata para o cálculo do fator de atrito de Darcy, porém é a mais complexa, devido ao termo do fator de atrito (f) estar implícito na equação, o que demanda uma série de cálculos para a solução.

Vários autores desenvolveram equações aproximadas a partir da equação

de Colebrook-White para o cálculo do fator de atrito. A vantagem das equações é que o termo do fator de atrito está explícito na equação, o que facilita a resolução algébrica. As desvantagens são equações aproximadas, aumentando o erro relativo ao valor do fator de atrito. As equações empíricas para o cálculo do fator de atrito de Darcy mais comuns são listadas a seguir, juntamente com a equação de Colebrook-White. Cada uma das equações tem aplicações específicas, dependendo das características do escoamento.

Equação de Colebrook-White (1939)

1 2,512 log3,7 Re

Df f

ε = − ⋅ + ⋅

(20)fsperdas hhH ∑∑ +=



111

Equação de Haaland (1983)

1,11

1 6,91,8 logRe 3,7

Df

ε ≅ − ⋅ +

Equação de Churchill (1973)

0,91 72 log3,7 Re

Df

ε ≅ − ⋅ +

Equação de Swamme-Jai (1976)

0,9

1 5,742 log3,7 Re

Df

ε ≅ − ⋅ +

Equação de Barr (1972)

0,892

1 5,152 log3,7 Re

Df

ε ≅ − ⋅ +

Equação de Sousa-Cunha-Marques (1999)

0,87

1 5,16 5,092 log log3,7 Re 3,7 Re

D Df

ε ε ≅ − ⋅ − ⋅ +

As correlações empíricas para escoamento em tubos também podem ser empregadas para cálculos que envolvem dutos não circulares, desde que suas seções transversais não sejam demasiadamente grandes (FOX; McDONALD; PRITCHARD; MITCHELL, 2018). Assim, dutos com seções transversais quadradas ou retangulares podem ser tratados como dutos circulares se a razão entre a altura e a largura (aspect ratio ou razão de aspecto) for superior a 0,25 e inferior a 4. As correlações para escoamento turbulento em tubos são estendidas para uso com geometrias não circulares pela introdução do conceito de diâmetro hidráulico (DH). Portanto, o cálculo do diâmetro hidráulico para dutos não circulares é:

4H

ADp

= 0,25 4hcom ar e arb

= ≤ ≤



112

A é a área da seção transversal e p é o perímetro molhado, ou seja, o comprimento de parede em contato com o fluido escoando em qualquer seção transversal. O fator 4 é introduzido para que o diâmetro hidráulico seja igual ao diâmetro do duto para um tubo de seção circular. Para um duto circular, A = πD²/4 e p = πD, de modo que DH=D.

Sob tais condições, as correlações para o escoamento em tubos fornecem resultados com exatidão aceitáveis para dutos retangulares. Como a fabricação dos dutos em chapa metálica fina é fácil e barata, eles são comumente usados em sistemas de aquecimento, ventilação e condicionamento de ar. As perdas causadas por escoamentos secundários aumentam rapidamente para geometrias mais extremas, de modo que as correlações não se aplicam a dutos largos e achatados ou a dutos de seção triangular ou irregular. Dados experimentais devem ser utilizados quando informações precisas de projeto são requeridas para situações específicas (FOX; McDONALD; PRITCHARD; MITCHELL, 2018).

5 USO DO DIAGRAMA DE MOODYUm exemplo do método de leitura do diagrama de Moody é apresentado

na figura a seguir. No exemplo, supomos que o número de Reynolds do escoamento é Re=91520 ou 9,152x104 em notação científica, como são indicados os valores de números de Reynolds no eixo horizontal na base do diagrama. Supomos também que o valor da rugosidade relativa da tubulação é de ε/D = 0,00140625, com indicação no eixo vertical à direita do diagrama.

Para a determinação do fator de atrito de Darcy (fD) nas condições do escoamento e tubulação, devemos marcar os pontos relativos ao valor de Re e ε/D no diagrama. Em seguida, a partir do valor de Reynolds encontrado, traçamos uma linha vertical ascendente (linha destacada em vermelho).

A linha do número de Reynolds vai interceptar outra linha que deve ser traçada a partir do ponto do diagrama de Moody relativo ao valor da rugosidade relativa. É importante notar que a linha traçada a partir do valor de ε/D, no sentido da direita para esquerda, é uma linha reta até a linha tracejada que divide a região dos escoamentos turbulentos lisos e rugosos. Após cruzar a linha tracejada, devemos executar uma suave curva ascendente na linha da rugosidade relativa, acompanhando o sentido das curvas adjacentes até interceptar a linha vertical a partir do valor de Reynolds (linha destacada em preto).

A partir do ponto de encontro entre as linhas Re e ε/D, traçamos uma nova

linha reta horizontal (linha destacada em verde) até o eixo vertical da esquerda do diagrama. Estão inseridos os valores de fator de atrito de Darcy (fD). Assim, o valor de fD pode ser determinado. No exemplo, o valor aproximado do fator de atrito de Darcy é de fD=0,023.



113

É importante ressaltar que a técnica de leitura no diagrama de Moody é utilizada apenas para escoamento em regime turbulento (Re > 4000). Para os escoamentos em regime laminar (Re < 2300), que não sofrem influência da rugosidade relativa da tubulação, o cálculo do fator de atrito é feito apenas com o número de Reynolds, pois determinado tipo de escoamento é função apenas do parâmetro adimensional. Para escoamentos laminares, portanto, fD (fator de atrito de Darcy) e fF (fator de atrito de Fanning), podem ser calculados da seguinte forma:

Uma maneira de verificar se o diagrama de Moody apresenta valores de fD ou fF, é verificar a equação na linha do escoamento laminar. Se o numerador for 64, o fator de atrito é de Darcy; se o numerador for 16, o fator de atrito é de Fanning.

FIGURA 11 – DIAGRAMA DE MOODY




114

FIGURA 12 – DETALHE DA FORMA DE LEITURA DO FATOR DE ATRITO DE DARCY (FD) NO

DIAGRAMA DE MOODY


6 EXEMPLOS DE APLICAÇÃO• Após uma forte chuva, a água da rua (ρ = 1000 kg/m³ e μ = 0,001

Pa·s) escoa através de um esgoto de drenagem (coletores de água de temporais) e preenche totalmente um tubo de concreto novo liso de 46cm de diâmetro. Se a vazão do escoamento de água pelo tubo de concreto é de 280L/s, calcule:

a) A queda de pressão (P1-P2) para um trecho reto do tubo (ponto 1 para ponto 2 de referência) com comprimento de 30,48m.

b) A queda de pressão (P1-P2) para um trecho inclinado do tubo (ponto 1 para ponto 2 de referência) com comprimento de 30,48m cuja inclinação causa uma elevação de 0,61m no ponto 2. Considere o escoamento ascendente.

Considere apenas a perda de carga distribuída relevante para a queda de pressão do fluido.

Água → ρ = 1000 kg/m³ Concreto novo liso → ε = 0,305 mm

μ = 1x10-3 Pa·s



115

Solução: Cálculo da velocidade média do escoamento da água:

Cálculo do fator de atrito para determinação das perdas de cargas distribuídas em cada caso:

Com os valores de números de Reynolds e rugosidade relativa, podemos utilizar o diagrama de Moody ou a equação de Haaland (1983) para determinação do fator de atrito de Darcy. Pela leitura no diagrama de Moody:

Aplicação da equação de Bernoulli para determinação da queda de pressão entre os pontos do escoamento devido à perda de carga distribuída:

Para o item “a” da questão:

Como o tubo é horizontal e de diâmetro constante; h1=h2 e v1=v2:



116

Para o item “b” da questão:

O tubo agora possui uma inclinação, causando diferença de elevação entre os pontos 1 e 2 de referência. O diâmetro é constante, portanto v1=v2:

• Água escoa por uma tubulação inclinada de diâmetro constante, conforme figura a seguir. O trecho da tubulação considerado para análise não possui máquinas e acessórios. As condições do escoamento medidas na tubulação são:

- Pressão manométrica do fluido no ponto “a” = 223,39 kPa- Pressão manométrica do fluido no ponto “b” = 204,77 kPa- Elevação do ponto “a” = 17,31m- Elevação do ponto “b” = 20,79m

Com base na equação de Bernoulli e nas perdas de cargas distribuídas, verifique se o escoamento ocorre de “a” para “b” ou de “b” para “a”. Justifique sua resposta com base em seus cálculos. Adote g=10m/s² e ρágua = 1000kg/m³.

FIGURA 13 – ÁGUA ESCOA POR UMA TUBULAÇÃO INCLINADA DE DIÂMETRO CONSTANTE

FONTE: O autor



117

Solução: para definir a direção do escoamento entre os dois pontos, aplica-se a equação de Bernoulli para cada uma das situações:

Escoamento de “a” para “b”

Como o diâmetro da tubulação é constante, va=vb:

Escoamento de “b” para “a”

Como o diâmetro da tubulação é constante, va=vb:

Como as perdas de carga sempre devem ser quantidades positivas no termo da equação de Bernoulli, o escoamento do fluido nas condições propostas é de “b” para “a”. A carga de elevação maior no ponto “b” converte-se em carga de pressão no ponto “a”.

• Em uma indústria química, o clorofórmio escoa a uma vazão de 36m³/h por meio de uma tubulação horizontal de aço carbono comercial (ε=0,046mm) com 250m de comprimento, conforme ilustra a figura a seguir. A tubulação é nominal de 4” e schedule 40 (Dinterno=102,3mm). As propriedades do clorofórmio são: ρ=1470kg/m³ e μ=0,00053Pa·s.



118

FIGURA 14 – CLOROFÓRMIO ESCOA A UMA VAZÃO DE 36M³/H POR MEIO DE UMA TUBULAÇÃO HORIZONTAL DE AÇO CARBONO COMERCIAL (Ε=0,046MM) COM

250M DE COMPRIMENTO

FONTE: O autor

Com os dados, determine:

a) A velocidade média do escoamento na tubulação. b) O número de Reynolds (Re). Classifique o regime do escoamento. c) O fator de atrito de Darcy (fD) com o diagrama de Moody. d) Com a equação de Bernoulli e o fator de atrito, determine a queda de pressão

sofrida pelo fluido no trecho do escoamento. Não há acessórios na tubulação.e) Considere que a queda de pressão máxima admitida no escoamento do

clorofórmio seja de 0,23bar para cada 100m de tubulação. Sendo a queda de pressão linearmente proporcional ao comprimento da tubulação, verifique se o escoamento do clorofórmio contempla a especificação relativa à queda de pressão máxima. Demonstre o cálculo para justificar sua resposta. Adote 1 bar = 100.000Pa.

Solução:

a)

b)

Como o número de Reynolds é maior que 2100, o escoamento ocorre em regime turbulento.



119

d)

c) Com Re=345025,09 e rugosidade relativa:

Determinamos o fator de atrito através da leitura no diagrama de Moody:

Como o tubo é horizontal e de diâmetro constante; h1=h2 e v1=v2:

O fluido perde 0,4727 bar de energia de pressão devido às perdas de cargas por atrito nos 250m de comprimento de tubulação.

Sendo que a queda de pressão do escoamento varia linearmente em função do comprimento da tubulação, a verificação pode ser feita da seguinte maneira:

e)

0,23bar (queda de pressão máxima admitida)----------100m de tubo0,4727 bar (queda de pressão no escoamento)---------- “X” mX=205,52m

Seria o comprimento da tubulação para uma queda de pressão no valor crítico estabelecido. Como o fluido escoa por 250m de comprimento de tubulação com a mesma queda de pressão limitante a 205,52m, o projeto contempla a especificação de queda de pressão máxima admitida.

Alternativamente, é possível solucionar a questão da seguinte maneira:

0,23bar (queda de pressão máxima admitida) ---------- 100m de tubo“X” bar ----------------------------------- 250 m de tubo (comprimento real da tubulação)X=0,575bar



120

Seria a queda de pressão máxima admitida em um comprimento de tubulação de 250m. Como o escoamento há uma queda de pressão menor do que o valor (0,4727bar < 0,575bar). O projeto contempla a especificação de queda de pressão máxima admitida.

• Um reservatório de uma indústria alimentícia armazena óleo de milho a 25ºC (ρ=933kg/m³ e μ=0,0565 Pa·s), como ilustrado na figura a seguir. A tubulação de saída do tanque é formada por três segmentos de tubos com diâmetros decrescentes, isto é, D1>D2>D3. As relações entre os diâmetros são: D1=2,5·D3 e D2=1,5·D3. Os comprimentos da tubulação estão indicados na figura a seguir. A vazão mássica de descarga do óleo, que escoa por gravidade, deve ser de 12000kg/h, porém, devido a características do produto, é importante assegurar que o escoamento seja laminar (Re<2300) por todo o trecho de tubos.

As perdas de cargas localizadas devido às curvas e à saída do reservatório

podem ser desprezadas. Com base nos parâmetros, determine:

a) O diâmetro mínimo para D3 admissível no caso.b) A máxima altura (hóleo) de óleo de milho no reservatório necessária para que as

condições do problema sejam atendidas.

FIGURA 15 – RESERVATÓRIO DE UMA INDÚSTRIA ALIMENTÍCIA ARMAZENA ÓLEO DE MILHO A 25ºC

FONTE: Adaptado de Tadini, Tellis, Meirelles e Pessoa Filho (2016, p. 153)



121

:

Solução: Para garantir que o escoamento seja laminar em todos os trechos da tubulação, devemos limitar o valor do número de Reynolds a 2300 no trecho de tubulação de menor diâmetro (D3), que é onde o fluido terá a maior velocidade, portanto, é a pior condição. Se no trecho da tubulação o escoamento contemplar o regime laminar, nos outros trechos com diâmetros maiores (e velocidades menores de escoamento) o regime de escoamento também será laminar.

Cálculo da vazão volumétrica:

Sendo o escoamento em regime permanente

Cálculo do valor de diâmetro da tubulação 3 para contemplar o requisito de escoamento laminar

Substituindo a equação (**) na equação (*):



122

É o diâmetro mínimo da tubulação 3 para garantir o escoamento em regime laminar.

Determinação dos diâmetros das tubulações 1 e 2:

Cálculo das velocidades do escoamento nas tubulações 1, 2 e 3:

Cálculo das perdas de cargas distribuídas nas tubulações 1, 2 e 3:

Trecho “L1”:



123

No trecho, o escoamento é laminar (Re≤2300). No escoamento laminar, o fator de atrito não depende da rugosidade do tubo, sendo apenas função do número de Reynolds (fD=ϕRe). Portanto, podemos calcular o valor do fator de atrito para escoamentos laminares da seguinte forma (vide diagrama de Moody):

Trecho “L2”:


Trecho “L3”:




124

Agora, é possível determinar o total de perdas de cargas pelos trechos da tubulação:

Por fim, aplicamos a equação de Bernoulli entre os pontos A (superfície livre do líquido no tanque) e B (descarga do líquido), aplicando as seguintes hipóteses simplificadoras:

● Velocidade da superfície livre do líquido desprezível (tanque de grandes dimensões e tubulação de descarga pequena), portanto, vA≈0.

● Cargas de pressões nulas, pois os pontos estão abertos à pressão atmosférica.● Ponto horizontal de referência adotado no ponto “B”, portanto, hB = 0.

Portanto, a máxima altura de coluna de óleo de milho permitida no tanque para que o escoamento seja laminar nos trechos da tubulação é de até 7 metros.

Para escoamentos laminares, é recomendado multiplicar a carga cinética da equação de Bernoulli pelo fator de correção de energia cinética ou fator de Coriolis (α) devido às elevadas variações de velocidade na seção do tubo. Para escoamentos em regime laminar, o fator de correção de energia cinética pode ser assumido como α=2. O fator de correção de energia cinética para escoamentos turbulentos pode ser assumido com valores entre 1,04 e 1,11, mas geralmente é considerado α=1, já que os termos relativos à energia cinética na equação de Bernoulli quase sempre são pequenos quando comparados aos outros termos da equação e sua multiplicação por um fator menor que 2 não faz muita diferença. Ainda, para altas velocidades, o escoamento se torna turbulento e com pequenas variações de velocidade no perfil do escoamento.

IMPORTANTE



125

Como sugestão de exercício, repita o Exemplo de Aplicação 4, considerando o fator de correção de energia cinética, α=2, para o escoamento laminar do óleo de milho. Verifique o erro percentual no resultado da altura de coluna de líquido no tanque considerando as duas abordagens.

• Dióxido de carbono a 20ºC escoa por uma tubulação a uma vazão em peso de 0,04N/s. Determine qual o diâmetro máximo permitido ao tubo, em polegadas, para o escoamento do gás ser turbulento (Re ≥ 4000). Adote g=10m/s² e 1”=25,4mm. Propriedades físicas do dióxido de carbono (CO2):

ρ = 1,83 kg/m³μ = 1,47x10-5 Pa·s

Solução: conversão da vazão em peso em vazão volumétrica:

Para que o escoamento seja em regime laminar, o número de Reynolds deve ser inferior a 4000. Portanto, utilizamos a condição crítica para o cálculo do diâmetro de tubo requerido na equação do número de Reynolds com a velocidade (desconhecida) em função da vazão volumétrica:

O diâmetro máximo do tubo para garantir o escoamento turbulento é de 3,41”. Acima do valor de diâmetro, a velocidade será reduzida e o escoamento se tornará laminar. Como não existem tubos padronizados neste valor de diâmetro, podemos utilizar um tubo de 3” padronizado, pois com o diâmetro menor de tubo a velocidade do fluido será ainda maior, garantindo um escoamento turbulento.

IMPORTANTE



126


O DIAGRAMA DE MOODY E AS EQUAÇÕES EMPÍRICAS

O fator de atrito no escoamento turbulento e totalmente desenvolvido, ou seja, distante da entrada em um comprimento maior do que dez vezes o diâmetro da tubulação, é função do número de Reynolds e da rugosidade relativa, razão entre a altura média da rugosidade do tubo e do diâmetro do tubo. A forma funcional da dependência não pode ser obtida a partir de uma análise teórica e resultados disponíveis são obtidos a partir de experimentos meticulosos usando superfícies artificialmente rugosas (geralmente colando grãos de areia de tamanho conhecido na superfícies interna dos tubos). A maioria dos experimentos foi realizada pelo aluno de Ludwig Prandtl, J Nikuradse, em 1933, com trabalhos de outros.

O fator de atrito foi calculado a partir de medições de vazão e da queda de pressão. Os resultados experimentais são apresentados em tabelas, gráficos e equações obtidas por ajuste da curva de dados experimentais. Em 1939, Cyril F. Colebrook (1910-1997) combinou os dados disponíveis para o escoamento tanto em tubos lisos quanto rugosos, na relação empírica conhecida como equação de Colebrook. Notamos que o logaritmo da equação está na uma base 10 em vez de logaritmo natural. Em 1942, o engenheiro americano Hunter Rouse (1906-1996) validou a equação de Colebrook e produziu um gráfico de fator de atrito como uma função de número de Reynolds e do produto Re . Ele também apresentou a relação do escoamento laminar e uma tabela de rugosidade de tubo comercial.

Dois anos depois, Lewis F. Moody (1880–1953) refez o diagrama de Rouse no formato usado atualmente. O agora famoso diagrama de Moody apresenta o fator de atrito de Darcy para o escoamento em tubos em função do número de Reynolds e da rugosidade relativa do tubo em um amplo intervalo. É provavelmente um dos diagramas mais utilizados na Engenharia. Embora ele seja desenvolvido para tubos circulares, pode ser usado para tubos não circulares, substituindo o diâmetro pelo diâmetro hidráulico.

Tubos comercialmente disponíveis diferem daqueles usados nos experimentos, pois a rugosidade dos tubos comericiais não é uniforme e aumenta ao longo do tempo de uso, dificultando uma descrição precisa. Os valores de rugosidade equivalentes para alguns dos tubos no diagrama de Moody devem ser usados como referência, lembrando que tais valores são para tubos novos e a rugosidade dos tubos pode aumentar com o uso como resultado de corrosão, acúmulo de resíduos (incrustação) e precipitação. Como resultado, o fator de atrito pode aumentar em um fator de 5 a 10.

As condições operacionais reais devem ser consideradas no projeto de sistemas de tubulação. Da mesma forma, o diagrama de Moody e sua equação equivalente de Colebrook envolvem várias incertezas (o tamanho da rugosidade, erro experimental, ajuste de curva de dados etc.) e, portanto, os resultados obtidos não devem ser tratados como precisos. Eles são geralmente considerados precisos até sobre todo o intervalo no gráfico.



127

A equação de Colebrook está implícita em f e, assim, a determinação do fator de atrito requer um método matemático. Uma relação explícita aproximada para f foi dada por S. E. Haaland em 1983. Os resultados obtidos com a equação de Haaland geralmente diferem no máximo 2% dos resultados obtidos na equação de Colebrook. Se resultados mais precisos forem desejados, a equação de Haaland pode ser usada para obter uma estimativa inicial para o cálculo de iteração de Newton da equação de Colebrook.

Algumas observações em relação ao diagrama de Moody:

• Para escoamento laminar, o fator de atrito diminui com o aumento do número de Reynolds, e é independente da rugosidade da superfície.

• O fator de atrito é mínimo para um tubo liso (mas ainda não é zero por conta da condição de não deslizamento do fluido e forças viscosas) e aumenta com a rugosidade. A equação de Colebrook, no caso, com ε=0 se reduz para a equação de Prandtl.

• A região de transição do regime laminar para turbulento (2300 < Re < 4000) é indicada pela área sombreada no diagrama de Moody. O escoamento na região pode ser laminar ou turbulento, dependendo de distúrbios no escoamento, ou pode alternar entre laminar e turbulento e, portanto, o fator de atrito também pode alternar entre os valores de escoamento laminar e turbulento. Os dados no intervalo são os menos confiáveis. Em pequenas rugosidades relativas, o fator de atrito aumenta na região de transição e se aproxima do valor para tubos lisos.

• Para números de Reynolds muito grandes (à direita da linha tracejada do diagrama), as curvas do fator de atrito correspondentes às curvas de rugosidade relativas especificadas são quase horizontais e, portanto, os fatores de atrito não dependem do número de Reynolds. O escoamento na região é chamado de escoamento turbulento completamente rugoso porque a espessura da subcamada viscosa diminui com o aumento do número de Reynolds, e torna-se tão fina que é insignificante em comparação com a altura da rugosidade média da superfície do tubo. Os efeitos viscosos são produzidos no escoamento principal principalmente pelos elementos de rugosidade salientes e protuberantes, e a contribuição da subcamada viscosa laminar é desprezível. A equação de Colebrook na zona completamente rugosa se reduz à equação de von Kármán, que é explícita em f. Alguns autores chamam a zona de escoamento completamente (ou totalmente) de turbulenta, mas é enganoso, pois o escoamento à esquerda da linha azul tracejada do diagrama de Moody também é totalmente turbulento.

Nos cálculos, devemos nos certificar de que usamos o diâmetro interno real do tubo, que pode ser diferente do diâmetro nominal comercial. Por exemplo, o diâmetro interno de um tubo de aço cujo diâmetro nominal é 1 in é 1.049 in.

FONTE: ÇENGEL, Y. A.; CIMBALA, J. M. Mecânica dos fluidos: fundamentos e aplicações. 3. ed. Porto Alegre: AMGH, 2015. p.367-369.


128


• Durante o escoamento em tubulações, o fluido sofre uma redução da sua pressão devido às perdas de carga ou energia devido ao atrito e à presença de acessórios na tubulação.

• A queda de pressão sofrida pelo fluido durante o escoamento pode ser reversível ou irreversível.

• A queda de pressão do fluido no escoamento sofre influência das perdas de carga irreversíveis.

• As perdas de carga do fluido são caracterizadas como perdas localizadas (singulares ou menores) e perdas distribuídas (maiores).

• As perdas de carga localizadas ou menores (hs) são singulares em pontos específicos da tubulação.

• A perda de carga provocada pelo acessório da tubulação depende da sua constante característica (k acessório) definida experimentalmente pelo fabricante.

• As perdas de carga distribuídas ou maiores (hf) ocorrem devido ao atrito do fluido na superfície interna da tubulação.

• Existe uma relação entre a perda de carga distribuída com o fator de atrito de Darcy (fD) e outros parâmetros da tubulação.

• Vários parâmetros são importantes para o cálculo das perdas de carga do fluido no escoamento, tais como o número de Reynolds (Re), diâmetro de tubo (D), velocidade de escoamento (v), rugosidade relativa (ε/D), tipo e número de acessórios e comprimento da tubulação.

• O cálculo do fator de atrito de Darcy (fD) pode ser efetuado com base no uso do diagrama de Moody ou das equações empíricas, sendo as mais comuns a equação de Colebrook-White (1939), Churchill (1973) e Haaland (1983).

• A metodologia de cálculo de perdas de carga pode ser aplicada na prática em sistemas de escoamento de fluidos.


129

AUTOATIVIDADE

1 Uma tubulação de aço para condução de água é constituída por três trechos em série:

Trecho 1: D1 = 250mm; L1 = 1000mTrecho 2: D2 = 200mm; L2 = 1800mTrecho 3: D3 = 150mm; L3 = 2500m

A vazão é de 180m³/h. O fator de atrito de Darcy da tubulação pode ser considerado 0,014 por todo o comprimento dos trechos da tubulação. Adote g=9,81m/s². Calcule:

a) A perda de carga total pela tubulação.b) Se a queda de pressão máxima da água pelos trechos deve ser inferior a 15

bar, verifique se o sistema contempla o parâmetro.

2 Calcule a perda de carga total no escoamento de 18m³/h de água a 20 °C através de 30m de tubo horizontal de ferro galvanizado com diâmetro interno igual a 54,3mm.

Hipóteses e dados a serem considerados:

Escoamento permanente e incompressível; perdas de carga localizadas desprezíveis.

Propriedades da água a 20°C: ρ=998,2 kg/m³ e μ=0,001 Pa·s.

Determine o fator de atrito de Darcy com o diagrama de Moody e com a equação de Haaland (1983). Verifique qual é o erro percentual entre os dois valores.

3 A água de processo utilizada em uma indústria escoa a uma vazão de 56,6 L/s por um velho e enferrujado tubo com diâmetro interno de 6 in. A rugosidade relativa do tubo é de 0,01. Os operadores da fábrica sinalizam que a perda de pressão da água ao longo do comprimento do escoamento é muito alta no tubo velho. Um engenheiro, então, propõe que se o velho tubo for forrado em sua superfície interna com uma camada fina e lisa de um determinado polímero, com rugosidade relativa igual a zero, a queda de pressão ao longo do comprimento do tubo pode ser reduzida. Contudo, se o tubo for forrado com a camada de material plástico, o seu diâmetro interno reduzirá para 5 in, conforme ilustra a figura a seguir. O supervisor da fábrica orienta que a vazão do escoamento não pode mudar com a aplicação da camada lisa de plástico no tubo e que o projeto só será aceito se o procedimento sugerido reduzir a queda de pressão para cada 100m de comprimento em, no mínimo, 10%. Com base na situação, avalie:


130

a) A sugestão do engenheiro é verdadeira? A queda de pressão no escoamento para cada 100m de comprimento de tubo será menor com a aplicação da camada de plástico liso? Justifique com base nos cálculos.

b) Se confirmada a sugestão do engenheiro, qual a redução percentual na queda de pressão da tubulação? O projeto será aceito?

Água → ρ = 1000 kg/m³ μ = 1x10-3 Pa·s

4 Óleo escoa por uma tubulação horizontal de diâmetro constante conforme ilustra a figura a seguir. Um manômetro diferencial de tubo em U que usa mercúrio (ρ=13600 kg/m³) como fluido manométrico mede a queda de pressão do escoamento ao longo de dois pontos do tubo. Devido à alta viscosidade do óleo o escoamento é laminar.

Nas condições, calcule:

a) O valor máximo de “h” admissível para a altura do mercúrio no manômetro se o escoamento do óleo for laminar (Re ≤ 2100). O que aconteceria se o valor de “h” fosse igual a zero? Justifique.

b) A vazão do escoamento em m³/h?

Óleo → ρ = 890 kg/m³ Mercúrio → ρ = 13600 kg/m³ μ = 0,1 Pa·s


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5 Uma companhia instala um sistema de emergência de proteção contra fogo que consiste em um poço (fonte de água), uma bomba centrífuga de alta pressão movida à gasolina e um sistema de tubos para o edifício (vide esquema a seguir). Se a vazão da água a 21ºC for igual a 8,5L/s e a pressão de descarga da bomba (P1) for igual a 827kPa, determine:

a) A velocidade do escoamento de água pela tubulação. b) O fator de atrito de Darcy, considerando o diagrama de Moody e a equação

de Haaland. Calcule a diferença percentual no valor de f para as duas análises. c) O total de perdas de carga no sistema de escoamento, em bar e em psig. d) A pressão de saída (P2) no topo da instalação.e) O que causa a queda de pressão do fluido no trecho de escoamento?

Demonstre sua explicação com o auxílio da equação de Bernoulli. Se um parâmetro de projeto especifica que a queda máxima de pressão entre a descarga da bomba e saída no topo da instalação não pode ser maior que 2 bar, verifique se o projeto está bem dimensionado. Justifique.

Dados da água Dados da tubulação

ρ = 998kg/m³ Aço carbono comercialμ = 0,001002 Pa·s D = 152,4mm ε = 0,045mmDados do acessório

Joelho kacessório = 0,9


132


133

TÓPICO 3

DIMENSIONAMENTO HIDRÁULICO E

DETERMINAÇÃO DAS PERDAS DE CARGA

– PARTE II

UNIDADE 2

1 INTRODUÇÃOAo final da unidade, após serem apresentadas as definições de conceitos,

deduções de equações e aplicações práticas, algumas considerações sobre a dinâmica dos fluidos devem ser relembradas.

O escoamento de um líquido ou gás através de tubos ou dutos é comumente usado em aquecimento e aplicações de resfriamento e redes de distribuição de fluidos. O fluido, em tais aplicações, normalmente é forçado a fluir por um ventilador ou bomba através de uma seção do sistema de escoamento. O atrito, conforme já comentado, está diretamente relacionado à queda de pressão durante o escoamento através de tubos e dutos. A queda de pressão é, então, usada para determinar o requisito de potência de bombeamento. Uma tubulação de recalque de fluidos típica envolve tubos de diferentes diâmetros ligados entre si por várias conexões e curvas para direcionamento do fluido, válvulas para controle da taxa do escoamento (vazão) e bombas para poderem pressurizar o fluido (ÇENGEL; CIMBALA, 2015).

A maioria dos fluidos, especialmente líquidos, é transportada em tubos circulares. Isso ocorre porque os tubos com uma seção transversal circular podem suportar grandes diferenças de pressão entre o interior e o exterior sem distorção significativa (ÇENGEL; CIMBALA, 2015). Tubos não circulares são geralmente usados em aplicações como os sistemas de aquecimento e resfriamento de edifícios. A diferença de pressão é relativamente pequena, a fabricação e os custos de instalação são menores e o espaço disponível é limitado para serviços de dutos.

Embora a teoria que envolve o escoamento de fluidos seja razoavelmente conhecida e bem documentada, soluções teóricas exatas são obtidas apenas para alguns casos simples, como o desenvolvimento do fluxo laminar em um tubo circular. Portanto, geralmente, recorre-se a resultados experimentais e equações empíricas para a maioria dos problemas de escoamento ao invés de soluções analíticas de forma fechada para um problema (ÇENGEL; CIMBALA, 2015).

Observando que os resultados experimentais são obtidos sob condições laboratoriais cuidadosamente controladas e que nenhum equipamento ou sistema é exatamente igual ao outro, não é boa prática considerar os resultados obtidos como “exatos”. Por exemplo, um erro de 10% ou mais no cálculo de fatores de


134


atrito é absolutamente comum. A velocidade do fluido em um tubo varia de ‘zero’ na parede do tubo para contemplar a condição de não deslizamento para um valor máximo no centro da tubulação. Conforme discutido no Tópico 1, no escoamento de fluidos é conveniente utilizar uma velocidade média que permanece constante em escoamento incompressível quando a área da seção transversal do tubo é constante. A velocidade média em aplicações de aquecimento e resfriamento pode variar um pouco por conta de mudanças na densidade em função da temperatura. Contudo, na prática, as propriedades do fluido são avaliadas em uma temperatura média e elas são consideradas constantes (ÇENGEL; CIMBALA, 2015).

O atrito entre as partículas de fluido em um tubo causa um ligeiro aumento na temperatura do fluido como resultado da energia mecânica sendo convertida para energia térmica (calor sensível). Contudo, o aumento de temperatura devido ao aquecimnto em função do atrito é geralmente muito pequeno para justificar qualquer consideração nos cálculos (ÇENGEL; CIMBALA, 2015; MUNSON; YOUNG; OKIISHI, 2004). Assim, o fenômeno é desconsiderado.

Na ausência de transferência de calor, nenhuma diferença perceptível

pode ser detectada entre as temperaturas de entrada e saída de um fluido que escoa em um tubo. A principal consequência do atrito no escoamento de fluidos é queda de pressão e, portanto, qualquer alteração significativa na temperatura do fluido é devido à transferência de calor externa (ÇENGEL; CIMBALA, 2015).

2 PROBLEMAS TÍPICOS EM ESCOAMENTO DE FLUIDOSDe acordo com Çengel e Cimbala (2007), os problemas práticos de

Engenharia, envolvendo escoamento de fluidos que demandam o uso do diagrama de Moody ou equações empíricas para cálculo do fator de atrito de Darcy (fD), podem ser classificados de acordo com os parâmetros conhecidos e os parâmetros que necessitam de cálculo. Os tipos de problemas práticos de escoamentos de fluidos são categorizados no Quadro 1.

QUADRO 1 – PARÂMETROS E TIPOS DE PROBLEMAS EM ESCOAMENTO DE FLUIDOS

Tipo de problema Dados conhecidos Dados a determinar

I Diâmetro e vazãoQueda de pressão ou perdas de

carga na tubulação

IIDiâmetro e queda de pressão

(perdas de carga)Vazão ou velocidade do

escoamento

IIIVazão e queda de pressão (perdas

de carga)Diâmetro da tubulação

IV*Vazão, diâmetro e queda de

pressão (perdas de carga)Comprimento da tubulação

FONTE: A autora


TÓPICO 3 | DIMENSIONAMENTO HIDRÁULICO E DETERMINAÇÃO DAS PERDAS DE CARGA – PARTE II

135

O problema do tipo IV é similar ao problema do tipo I, com solução direta. Na maioria das referências sobre o assunto não é considerado um problema típico de escoamento de fluido. O tipo de problemas é resolvido com a equação de Bernoulli e de Darcy-Weisbach. A vazão (e velocidade do escoamento) conhecida leva ao número de Reynolds em função do diâmetro da tubulação. Com o número de Reynolds e rugosidade relativa da tubulação, calculamos o fator de atrito de Darcy para o escoamento com o diagrama de Moody. A equação de Bernoulli pode ser então rearranjada e resolvida diretamente para o comprimento de tubo e isolando a variável (L) em termos dos dados conhecidos ou calculáveis (FOX; McDONALD; PRITCHARD; MITCHELL, 2018).

Para os problemas práticos de escoamento de fluidos do tipo I, II e III, as propriedades físicas do fluido (densidade e viscosidade) e o comprimento da tubulação e sua rugosidade (em função do material do tubo) devem ser conhecidos.

IMPORTANTE

Para complementar os conceitos, segundo Fox, McDonald, Pritchard e Mitchell (2018), a análise do escoamento de fluidos em tubulações pode se tornar um desafio matemático, pois, geralmente, as equações não podem ser resolvidas diretamente de forma algébrica. Quando o escoamento é em regime laminar, as soluções das equações são diretas, pois a perda de carga varia linearmente com a velocidade do escoamento, tornando as equações simples o suficiente para serem resolvidas algebricamente.

Quando o escoamento é em regime turbulento, a perda de carga não varia linearmente com a velocidade do escoamento, tornando as equações complexas demais para serem resolvidas algebricamente (FOX; McDONALD; PRITCHARD; MITCHELL, 2018). Assim, quando o escoamento é em regime turbulento (a grande maioria dos casos na prática) são adotadas soluções de sistemas de equações com auxílio de programas computacionais aplicados ou adota-se o método tradicional de classificação do problema de escoamento de fluido em determinados tipos. A figura a seguir resume as estratégias usadas para resolução de problemas de escoamentos de fluidos em tubulações.


136


FIGURA 16 – ESTRATÉGIAS PARA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE ESCOAMENTO DE FLUIDOS EM TUBULAÇÕES

FONTE: O autor

2.1 PROBLEMAS DO TIPO I – DETERMINAÇÃO DA QUEDA DE PRESSÃO OU PERDA DE CARGA COM VAZÃO E DIÂMETRO DE TUBULAÇÃO

Os problemas do Tipo I têm uma abordagem de resolução direta e podem ser solucionados com o auxílio do diagrama de Moody. A equação de Bernoulli pode ser resolvida diretamente em termos dos dados conhecidos ou calculáveis. A informação da vazão (ou velocidade de escoamento) permite calcular o número de Reynolds e, portanto, o fator de atrito de Darcy para o escoamento. A equação de Bernoulli pode então ser usada diretamente para obter a queda de pressão ou perda de carga.

Tais tipos de problemas são etapas necessárias na determinação da carga hidráulica da bomba (Hbomba) necessária para o sistema de escoamento e sua potência instalada. Com os parâmetros hidráulicos calculados, é possível selecionar a bomba adequada para manter a vazão desejada em um sistema, ou seja, a bomba deve ser capaz de fornecer a carga hidráulica do sistema na vazão especificada de operação.

2.2 PROBLEMAS DO TIPO II – DETERMINAÇÃO DA VAZÃO COM PERDA DE CARGA ESPECIFICADA PARA UM DIÂMETRO DE TUBULAÇÃO CONHECIDO

De acordo com Çengel e Cimbala (2007), os problemas do tipo II, assim como os problemas do tipo III, são comumente encontrados no projeto de Engenharia na seleção do diâmetro do tubo, por exemplo, minimizando os custos totais de construção e de aquisição da tubulação. O uso do diagrama de Moody exige uma abordagem tradicional iterativa ou o uso de programas computacionais para resolução dos sistemas de equações (ÇENGEL; CIMBALA, 2007).



137

Nos problemas do tipo II, o diâmetro do tubo é conhecido mas a vazão volumétrica de escoamento não é conhecida. Durante o procedimento de resolução das equações, é necessário fazer uma estimativa inicial para o valor do fator de atrito de Darcy (fD). Para a primeira estimativa é um valor da região de escoamento completamente turbulento do diagrama de Moody para a rugosidade relativa fornecida. A região que se encontra é a de elevados números de Reynolds (escoamentos turbulentos), que ocorrem na maioria das vezes em aplicações práticas. Após obter o valor da vazão volumétrica a partir do cálculo com a estimativa inicial de fator de atrito, o valor pode ser corrigido com o diagrama de Moody ou uma equação empírica para cálculo do fator de atrito de Darcy.

O processo matemático iterativo continua até que a solução convirja contemplando critérios estabelecidos. Comparamos o valor de fator de atrito obtido no diagrama de Moody com o valor da estimativa inicial ou do cálculo iterativo. Geralmente, se a diferença absoluta for menor que 10-2, podemos considerar que o problema convergiu em uma solução. Segundo Çengel e Cimbala (2007) e Fox, McDonald, Pritchard e Mitchell (2018), se a estimativa inicial for adequada, poucas iterações são necessárias para a convergência da resposta com três ou quatro dígitos de precisão. Fox, McDonald, Pritchard e Mitchell (2018) complementam que os tipos de problemas requerem iterações manuais ou o uso de um aplicativo computacional (como o Microsoft Excel® ou o MathSoft-PTC MathCAD®).

A vazão ou a velocidade desconhecida é necessária antes do número de Reynolds e, assim, o fator de atrito não pode ser determinado diretamente. Para executar um procedimento de iteração manual, resolvemos primeiramente a equação de Bernoulli diretamente em termos das variáveis conhecidas e fator de atrito desconhecido. Para iniciar o processo iterativo, fazemos uma estimativa para fD e obtemos um valor para a velocidade do fluido. Em seguida, podemos calcular um número de Reynolds e, então, obtemos um novo valor para fD. O processo é repetido até a convergência, ou seja, até que o valor do fD anterior se iguale ou esteja próximo do novo valor de fD (FOX; McDONALD; PRITCHARD; MITCHELL, 2018).

2.3 PROBLEMAS DO TIPO III – DETERMINAÇÃO DO DIÂMETRO DA TUBULAÇÃO COM VAZÃO ESPECIFICADA PARA UMA DADA PERDA DE CARGA ADMITIDA

De acordo com Çengel e Cimbala (2007), nos problemas do tipo III, o diâmetro do tubo não é conhecido e, assim, o número de Reynolds e a rugosidade relativa não podem ser calculados. Portanto, a estimativa inicial deve ser um valor de diâmetro de tubo. Assim, o valor de queda de pressão (ou fator de atrito) calculado para o diâmetro escolhido como estimativa inicial é comparado com uma queda de pressão específica (ou fator de atrito obtido no diagrama de Moody com o valor da estimativa inicial do diâmetro de tubo usado para calcular


138


o número de Reynolds e a rugosidade relativa). Os cálculos são repetidos com outros valores de diâmetro de tubo de forma iterativa até que a solução atinja a convergência.

Fox, McDonald, Pritchard e Mitchell (2018) salientam que o tipo de problema de escoamento aparece quando é necessário projetar uma instalação de recalque de líquido e, para o sistema bomba/tubulação, desejamos escolher o melhor diâmetro de tubo. O melhor diâmetro de tubo significa o diâmetro mínimo (reduzindo, assim, o custo da tubulação) que fornece a vazão estabelecida no projeto. A solução dos problemas do tipo III também recorre a processos de iteração manual ou uso de um aplicativo computacional. O diâmetro desconhecido é requerido antes do número de Reynolds e da rugosidade relativa e, assim, o fator de atrito pode ser determinado diretamente. Para iteração manual, resolve-se diretamente a equação de Bernoulli para deixar o diâmetro (D) em função das variáveis conhecidas e do fator de atrito desconhecido.

Em seguida, são realizados cálculos iterativos a partir de um valor

estimado para fD de forma similar ao procedimento de resolução dos problemas de tipo II. Na prática, o processo é tedioso e pouco produtivo, de modo que, ao invés de buscarmos manualmente uma solução, podemos fazer estimativas sucessivas para o valor de diâmetro (D) até que a queda de pressão correspondente à vazão de escoamento dada (Q) calculada a partir da equação de Bernoulli coincida ou se aproxime o bastante da perda de carga máxima estabelecida pelo projeto (FOX; McDONALD; PRITCHARD; MITCHELL, 2018).

Na Seção 3 deste tópico de estudos os conceitos e procedimentos de resolução explanados até aqui serão aplicados em exemplos práticos. A resolução detalhada e comentada será apresentada em um exemplo de problema do tipo I, dois exemplos de problemas do tipo II e um exemplo de problema do tipo III.

3 EXEMPLOS DE APLICAÇÃONesta seção, exemplos de aplicação dos problemas do tipo I, II e III serão

resolvidos e comentados.

Problema do Tipo I: Determinação da queda de pressão ou perda de carga com vazão e diâmetro de tubulação conhecido.

Água com temperatura de 15 °C escoa pelo sistema de tubulação ilustrado a seguir. O diâmetro do tubo é de 19,05mm e a tubulação é feita de cobre (ε=0,001524mm). A vazão do escoamento é de 45,425 L/min e a água é descarregada por um bocal com diâmetro de 12,7mm. Na situação, determine:

a) A pressão do escoamento no ponto 1 e a queda de pressão entre os pontos 1 e 2, desconsiderando todas as perdas de carga.

b) A pressão do escoamento no ponto 1 e a queda de pressão entre os pontos 1 e 2 considerando apenas as perdas de carga distribuídas.



139

c) A pressão do escoamento no ponto 1 e a queda de pressão entre os pontos 1 e 2 considerando todas as perdas de carga.

Expresse todas as pressões nas unidades Pascal, bar e psi.

FIGURA 17 – ÁGUA COM TEMPERATURA DE 15°C ESCOA PELO SISTEMA DE TUBULAÇÃO

FONTE: Munson, Young e Okishii (2004, p. 446)

Propriedades do fluido:

T = 15 ºCρ = 999,83kg/m³μ = 0,0011204 Pa·s

Hipóteses simplificadoras:

Escoamento em regime permanente (vazão constante).Ponto horizontal de referência (PHR) = Ponto 1.

Solução: como o diâmetro da tubulação (em m) e a vazão do escoamento (em m³/s) são conhecidos, calculamos a velocidade do escoamento no ponto 1 da tubulação e classificamos o regime de escoamento através do cálculo do número de Reynolds. Com o diâmetro do bocal é conhecido, determinamos também a velocidade do fluido no jato livre de saída (ponto 2).


140


Como Re > 4000, temos um regime de escoamento turbulento.

A equação governante para os casos “a”, “b” e “c” é a equação de Bernoulli, que deve ser aplicada adotando as simplificações em cada caso:

Em todos os casos, a pressão manométrica no ponto 2 é zero (bocal aberto com jato livre) e a carga de elevação no ponto 1 é zero, pois é referência geométrica (h1=0). Portanto, a equação de Bernoulli para cálculo da pressão no ponto 1 do escoamento se resume a:

a) No caso, desconsiderando as perdas de carga (hs=0 e hf=0), a solução é direta:



141

A queda de pressão, no caso, se dará apenas devido à elevação entre os pontos 1 e 2 (efeito hidrostático) e ao aumento de velocidade (energia cinética) no bocal de descarga. O fluido aumenta sua velocidade com a redução do diâmetro para manter a continuidade (vazão constante) com a conversão de parte da sua energia de escoamento (pressão) em energia cinética. A conversão de energia de pressão em energia cinética é reversível.

Variação da carga de elevação:

Variação da carga cinética:

b) No caso, consideramos apenas as perdas de carga distribuídas (hf), que são calculadas com a equação de Darcy-Weisbach. Calculamos a rugosidade relativa do tubo de cobre e o número de Reynolds:

Com os valores, podemos utilizar o diagrama de Moody ou uma equação empírica para calcularmos o fator de atrito de Darcy (fD). Pela leitura do diagrama de Moody:

Para determinação das perdas de carga distribuídas:


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Utilizando a equação de Bernoulli para determinação da pressão do escoamento no ponto 1 com as perdas de carga distribuídas consideradas:

A queda de pressão, no caso, se dará aos efeitos considerados no item “a” (efeito hidrostático) e ao aumento de velocidade (energia cinética) no bocal de descarga mais o efeito de atrito do fluido no tubo. Portanto, a parcela da queda de pressão na tubulação devido às perdas distribuídas é:

c) No caso, consideramos todas as perdas de carga do sistema (localizadas e distribuídas). As perdas localizadas, devido aos acessórios da tubulação, podem ser calculadas com a equação que define o tipo de perda (hs). Assim, calculamos as perdas localizadas de cada acessório:

Cotovelo:

Válvula globo aberta:



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Bocal:

O total de perdas localizadas é:

Utilizando a equação de Bernoulli para determinação da pressão do escoamento no ponto 1 com as perdas de carga distribuídas e localizadas consideradas:

O cálculo da queda de pressão do item “c”, considerando as perdas de carga do sistema, obviamente é o mais real e correto entre os três casos analisados.

IMPORTANTE


144


A queda de pressão, no caso, se dará aos efeitos considerados no item “a” (efeito hidrostático), ao aumento de velocidade (energia cinética) no bocal de descarga, a todas as perdas de carga por atrito e devido à presença de acessórios na tubulação. Portanto, a parcela da queda de pressão na tubulação devido às perdas localizadas é:

Podemos analisar também que uma parte das perdas que causa a queda de pressão no escoamento entre os pontos 1 e 2 é totalmente reversível, não sendo, efetivamente, “perda”. As perdas de carga reversíveis são aquelas devido à variação de carga de elevação e à variação da energia cinética, enquanto as perdas de carga irreversíveis são aquelas devido ao atrito (distribuídas) e aos acessórios (localizadas). Nos casos, a dissipação da carga do escoamento (energia) será por calor, impossibilitando a sua recuperação. A queda de pressão total no escoamento é detalhada a seguir:

Queda de pressão reversível

≈35%

Queda de pressão irreversível

≈65%

Constatamos que 2/3 da energia necessária para o escoamento do fluido, proporcionados pela máquina hidráulica, são dissipados irreversivelmente na forma de calor devido ao atrito na superfície da tubulação e na passagem pelos acessórios (cotovelos, válvula e bocal). O restante da energia (na forma de carga de pressão, que é também chamada de carga ou trabalho de escoamento) é usado para o fluido conseguir escoar pela diferença de altura entre os pontos 1 e 2 e para aumentar sua velocidade pelo bocal de diâmetro menor. As últimas formas de energia conservam-se no fluido, por isso são reversíveis.



145

Evocando a 1ª Lei da Termodinâmica, não devemos esquecer que a equação de Bernoulli é uma equação de conservação de energia no escoamento do fluido. Portanto, embora tenhamos definido a energia utilizada para o fluido vencer as resistências (atrito e acessórios da tubulação), como perdas de carga (energia) irreversíveis, a energia não é perdida, ela se conserva. Apenas é convertida em energia térmica (calor).

IMPORTANTE

Problema do Tipo II: Determinação da vazão com perda de carga especificada para um diâmetro de tubulação conhecido.

A turbina, ilustrada no esquema a seguir, extrai 50cv de potência da água que escoa (potência total). A tubulação que conduz a água até a turbina tem diâmetro interno de 0,305m e comprimento total de 91,44m. O fator de atrito de Darcy na tubulação é de 0,02. As perdas de carga menores são desprezíveis. Calcule a vazão do escoamento na tubulação. Adote 1 cv = 745,7W e γágua=9802,26N/m³.

FIGURA 18 – TURBINA EXTRAI 50CV DE POTÊNCIA DA ÁGUA QUE ESCOA (POTÊNCIA TOTAL)


Solução: Aplicamos a equação de Bernoulli da superfície livre do fluido (ponto 1) até a descarga do jato livre (ponto 2). Ambos os pontos estão abertos à pressão atmosférica.


146


Sendo as extremidades abertas à pressão atmosférica, a pressão manométrica é nula (P1=P2=Patm). A velocidade da superfície livre do líquido no ponto 1 é muito baixa, considerando o tanque de grandes dimensões (Dtanque>>>Dtubo). Portanto, v1≈0. A referência geométrica do problema é o ponto mais baixo (ponto 2), portanto h2=0. Assim, aplicando na equação de Bernoulli:

ou(*)

Aplicando a equação de cálculo potência para turbina:

(**)

Aplicando a equação de Darcy-Weisbach para perda de carga distribuída:

(***)

Temos um sistema de três equações algébricas independentes com três incógnitas e que pode ser solucionado. Substituindo as equações (***) e (**) na equação (*), temos:

A solução da equação polinomial é:



147

A resolução da equação polinomial cúbica traz duas raízes reais positivas e uma raiz real negativa. A raiz negativa não tem validade física, pois estamos calculando a velocidade do escoamento e, portanto, pode ser desconsiderada. Utilizando as duas velocidades calculadas, podemos ter duas vazões diferentes como solução do problema:

Podemos também provar que as duas velocidades (e, consequentemente, as duas vazões) permitem que a turbina tenha potência total de 50cv (37285W). Os cálculos estão detalhados a seguir:

No caso, devido à baixa velocidade do escoamento, a perda de carga distribuída (devido ao atrito do fluido com a tubulação) é baixa e a carga hidráulica disponível para a turbina é alta.

No caso, devido à alta velocidade do escoamento, há maior perda de carga distribuída (devido ao atrito do fluido com a tubulação) e menor carga hidráulica disponível para a turbina.

Em ambos os casos, o produto da carga hidráulica da turbina (Hturbina) e da vazão (Q) é o mesmo, proporcionando uma mesma potência para vazões diferentes.


148


Problema do Tipo II: Determinação da vazão com perda de carga especificada para um diâmetro de tubulação conhecido.

O exaustor ilustrado a seguir é usado para eliminar os vapores tóxicos de uma capela usada para manipulação de produtos químicos através de um fluxo de ar. Para uma operação segura na capela, o escoamento de ar pelo exaustor deve ser entre 0,1699m³/s e 0,3398m³/s, garantindo, assim, a completa eliminação dos vapores tóxicos. Inicialmente, a vazão é de 0,2540m³/s e a constante característica de perda de carga pelos acessórios do duto é igual a 5. O duto é muito curto, portanto, as perdas de carga distribuídas podem ser desprezadas. Após um projeto de manutenção na capela, o comprimento do duto será aumentado em 30,48m (com perdas de carga por atrito a serem consideradas) e a constante característica de perda de carga pelos acessórios do duto será igual a 10. Determine se a vazão do escoamento de ar contemplará os limites estabelecidos após a reforma na capela.

Hipóteses simplificadoras: Escoamento de ar, portanto, a carga de elevação entre os pontos 1 e 2 é desprezível. A pressão no interior da capela (ponto 1) e na saída do exaustor (ponto 2) é igual à pressão atmosférica (sistema aberto). A velocidade do ar no interior da capela é nula (v1≈0).

Propriedades do ar: ρ=1,2266 kg/m³ μ=1,7907·10-5 Pa·s

FIGURA 19 – EXAUSTOR USADO PARA ELIMINAR OS VAPORES TÓXICOS DE UMA CAPELA




149

Solução: Em primeiro lugar, devemos calcular qual será a carga hidráulica que o exaustor adicionará ao ar para sua exaustão. Com as simplificações propostas, a equação de Bernoulli fica:

(*)

A carga do exaustor aumenta a energia do escoamento do ar, a energia mecânica converte-se em energia cinética e energia de pressão usada para vencer as perdas de carga do sistema.

Cenário inicial: vazão e perda de carga conhecidas.

Substituindo os valores na equação (*):

Cenário após a reforma: o exaustor é o mesmo equipamento, portanto a carga adicionada ao ar é a mesma. Contudo, como houve extensão no comprimento da tubulação, devemos calcular as novas perdas de carga que a carga hidráulica do exaustor deve compensar e a nova velocidade e vazão do escoamento.


150


Rearranjando a equação após algumas manipulações algébricas temos:

(**)

Na equação (**), “velocidade” e “fator de atrito” são as incógnitas, sendo que o fator de atrito depende do número de Reynolds (Re) e da rugosidade relativa (ε/D). Ainda, o número de Reynolds depende da velocidade.

(***)

(****)

Com o valor da rugosidade relativa determinado, podemos especificar qual a curva respectiva no diagrama de Moody. Temos agora um sistema com três equações, a equação (**), (***) e (****), que também é a curva relacionada no diagrama de Moody. Com as três relações, podemos calcular as três incógnitas (‘v’, ‘fD’ e ‘Re’). Utilizaremos um processo de cálculo iterativo da seguinte maneira: assumimos uma estimativa inicial para o valor do fator de atrito, calculamos a velocidade e o número de Reynolds e verificamos, no diagrama de Moody, o valor do fator de atrito correspondente ao ‘Re’ e ‘ε/D’ calculados. Comparamos o valor de fator de atrito obtido no diagrama de Moody com o valor da estimativa inicial. Se a diferença absoluta for menor que 10-2, podemos considerar que o problema convergiu em uma solução. Caso contrário, devemos usar o valor do fator de atrito obtido no diagrama de Moody e recalcular em um processo iterativo e repetir as análises.

O número de iterações numéricas depende fortemente da estimativa inicial adotada. Uma boa estimativa inicial para o fator de atrito é a região de escoamento turbulento rugoso no diagrama de Moody (onde as curvas passam a ter comportamento horizontal). Na região, o fator de atrito não é sensível à variação do número de Reynolds, apenas à rugosidade relativa. Na maioria das aplicações práticas de escoamentos, é a região onde se encontra o fator de atrito do escoamento.

Estimativa inicial: fD=0,02



151

Com Re=71620,91 e ε/D=0,00098425, e utilizando o diagrama de Moody, encontramos:

fD=0,02291

Determinação do erro entre a estimativa inicial e o valor obtido no diagrama de Moody:

100 = 14,55%

Iteração 1: fD=0,02291


fD=0,02295

Determinação do erro da 1ª iteração:

100 = 0,37%

Iteração 2: fD=0,02295


152



fD=0,022954

Determinação do erro da 2ª iteração:

100=0,017%

Portanto, a solução do problema convergiu em um valor de velocidade igual à 5,0662m/s. O valor é utilizado para determinar a nova vazão do escoamento após a reforma e extensão da tubulação de ar do exaustor da capela.

Como a vazão de exaustão de ar da capela deve estar entre 0,1699m³/s e 0,3398m³/s (parâmetro estabelecido pelo enunciado), concluímos que, após as reformas na capela, a nova vazão do escoamento de ar nem contemplará valores estabelecidos para a adequada exaustão dos gases e vapores químicos.

A vazão de ar fica um pouco abaixo do limite mínimo estabelecido. Na prática, seria necessário redimensionar o sistema. Entre as alternativas estão: a instalação de um exaustor mais potente (aumentando, assim, a carga inserida no escoamento), a redução no comprimento da tubulação (reduzindo a perda de carga distribuída) ou aumento do diâmetro da tubulação (reduzindo a velocidade e, consequentemente, a perda de carga distribuída). Cada uma das alternativas deve ser avaliada pelos engenheiros, considerando aspectos técnicos relativos ao layout da planta e aspectos econômicos relativos ao custo de equipamentos e materiais.

IMPORTANTE

Problema do Tipo III: determinação do diâmetro da tubulação com vazão especificada para uma dada perda de carga admitida.

Água a 15,55°C (ν=1,1241·10-6 m²/s) escoa com vazão de 0,7362m³/s. do reservatório “A” até o reservatório “B” (ambos abertos), conforme ilustração a seguir, por uma tubulação de 518,16m de comprimento. A rugosidade média (ε) do material da tubulação é de 0,0001524m. Os acessórios da tubulação consistem em quatro cotovelos flangeados a 45°(kcotovelo=0,2), uma saída com aresta viva (pontiaguda) do tubo “A” (ksaída=1) e uma entrada com aresta viva (pontiaguda)



153

no tubo “B” (kentrada=0,5). Determine o diâmetro da tubulação para contemplar os requisitos.

FIGURA 20 – ÁGUA A 15,55°C (Ν=1,1241·10-6 M²/S) ESCOA COM VAZÃO DE 0,7362M³/S. DO RESERVATÓRIO “A” ATÉ O RESERVATÓRIO “B” (AMBOS ABERTOS) POR UMA TUBULAÇÃO DE

518,16M DE COMPRIMENTO


Solução: Para determinarmos o diâmetro necessário, devemos calcular a velocidade do escoamento com as informações disponíveis. Aplicamos a equação de Bernoulli da superfície livre do fluido (ponto 1) no tanque “A” até a superfície livre do fluido (ponto 2) no tanque “B”:

Sendo h2=0 (referência geométrica); P1=P2=Patm (tanques abertos à pressão atmosférica); v1=v2=0 (velocidades muito baixas nas superfícies livres do líquido). A equação de Bernoulli após aplicação das hipóteses simplificadoras é:

(*)


154


A velocidade do escoamento e o diâmetro também ficam implícitos na fórmula da vazão volumétrica do escoamento:

(**)

(***)

(****)

Como conhecemos as constantes características dos acessórios, substituímos a equação (**) na equação (*) com os valores conhecidos do problema para eliminação da incógnita “velocidade” e a equação em função do “diâmetro”.

Simplificando após as manipulações algébricas:

A equação (***) indica que, para determinarmos o diâmetro do tubo, devemos calcular o fator de atrito de Darcy, que é função do número de Reynolds e da rugosidade relativa:

A equação do número de Reynolds está em função da viscosidade cinemática. A viscosidade cinemática é a razão entre a viscosidade dinâmica e a densidade do fluido.

IMPORTANTE



155

(*****)

Agora, temos um sistema de quatro equações (***; ****; *****; equação de Haaland ou diagrama de Moody) com quatro incógnitas (‘D’; ‘fD’; ‘Re’ e ‘ε/D’). Não podemos simplificar a situação, portanto, temos duas maneiras de resolver o problema e ambas requerem um método iterativo de cálculo, com uma estimativa inicial para ‘fD’ ou ‘D’. Com a estimativa inicial, realizamos os cálculos com as equações do sistema, verificamos se o valor de ‘fD’ assumido está correto com auxílio do diagrama de Moody ou de uma equação empírica para cálculo do fator de atrito. Uma técnica de cálculo do tipo ‘tentativa e erro’ também pode ser utilizada. Entre as equações a serem resolvidas está uma equação polinomial de 5ª ordem (fator de atrito em função do diâmetro), que é complexa, caso a estimativa seja dada para o fator de atrito. Assim, vamos resolver o problema com a estimativa inicial para o diâmetro do tubo. A estimativa inicial é arbitrária, porém, a experiência auxilia em escolher valores adequados para redução do número de iterações numéricas até o problema convergir em uma resposta exata.

Estimativa inicial: D=0,521m

Com ‘Re’ e ‘ε/D’ no diagrama de Moody (ou com uso de uma equação empírica para cálculo do fator de atrito), encontramos o fator de atrito:

Determinação do erro da estimativa inicial:


156


Iteração 1: D=0,4965m

Com ‘Re’ e ‘ε/D’ no diagrama de Moody:

Determinação do erro da 1ª estimativa:





157





Portanto, a solução para o problema é que a tubulação tenha um diâmetro interno de 497,1mm (aproximadamente 1,63 pés) para uma vazão de 0,7362m³/s com fator de atrito de Darcy igual a 0,01544.

Utilizamos o diagrama de Moody para determinar o valor do fD por comodidade, porém, para resultados mais exatos e precisos, podemos utilizar as equações empíricas, tais como a de Colebrook-White (1939) e Haaland (1983). As equações demandam um esforço matemático maior no cálculo e, frequentemente, demandam a utilização de uma técnica de cálculo de raízes em algum software computacional ou calculadora gráfica.

IMPORTANTE


158


Em problemas práticos, o critério de parada de iteração para obter a solução do problema (convergência) geralmente é dado para um erro absoluto igual ou menor do que 10-2. Para um maior refinamento do cálculo, devemos considerar mais casas decimais nos valores do fator de atrito, ação que, neste exemplo prático, pode ser desconsiderada.

IMPORTANTE


159

RESUMO DO TÓPICO 3


• Os conceitos discutidos nos Tópicos 1 e 2 são complementados e aplicados ao dimensionamento hidráulico de sistemas de escoamentos de fluidos mais comuns.

• Existem três tipos típicos de problemas em escoamentos de fluidos que exigem diferentes abordagens para a resolução.

• Cada tipo de problema de escoamento de fluidos (tipo I, tipo II e tipo III) possui particularidades e pode ser necessária a aplicação de métodos iterativos de cálculo para resolução do problema.

• A resolução de problemas é importante para desenvolver habilidades e experiência necessária aplicada ao dimensionamento hidráulico e à determinação das perdas de carga.


160

1 Um tubo liso (ε=0) horizontal de 100m de comprimento está conectado a um grande reservatório de água. Uma bomba é ligada ao final do tubo para transportar a água do reservatório a uma vazão de 10L/s, conforme ilustra a figura a seguir. Calcule a pressão manométrica que a bomba deve produzir no ponto 1 para contemplar a vazão de operação. Considere o diâmetro interno do tubo liso igual a 75mm. Adote as propriedades da água: densidade = 1000kg/m³ e viscosidade dinâmica = 1cP. Utilize o diagrama de Moody para determinar o valor do fator de atrito de Darcy (fD).

FONTE: Adaptado de: FOX, R. W.; McDONALD, A. T.; PRITCHARD, P. J.; MITCHELL, J. W. Introdução à mecânica dos fluidos. 9. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2018. p. 371.

AUTOATIVIDADE

2 Um sistema de proteção contra incêndio é suprido por um tubo vertical de 24,2m de altura a partir de uma torre de água, conforme ilustra a figura a seguir. O tubo horizontal do sistema tem 182,94m de comprimento e é feito de ferro fundido com cerca de 20 anos de uso. O tubo contém uma válvula gaveta completamente aberta e as outras perdas de carga localizadas podem ser desprezadas. O diâmetro do tubo é de 101,6mm. Determine a vazão máxima de água (em litros por segundo) através do tubo. Adote as propriedades da água: densidade = 998kg/m³ e viscosidade dinâmica = 1,0978cP. Utilize o diagrama de Moody para determinar o valor do fator de atrito de Darcy (fD).

Informações adicionais:


161

A rugosidade do tubo de ferro fundido novo tem rugosidade média de 0,26mm e dobra o valor após 20 anos de uso.O tubo vertical tem o mesmo diâmetro do tubo horizontal.Para a estimativa inicial de fD, admita que o escoamento é completamente turbulento e rugoso.Adote como critério de parada no cálculo iterativo uma diferença de velocidades menor de 2%.Utilize o conceito de comprimento equivalente para o cálculo da perda de carga da válvula gaveta:

Válvula gaveta completamente aberta:


3 Os borrifadores ou sprinklers de um sistema de irrigação agrícola devem ser supridos com água proveniente de uma bomba acionada por um motor de combustão interna através de 152,4m de tubos de alumínio trefilado (ε=0,0015mm), conforme ilustra a figura a seguir. Na sua faixa de operação de maior eficiência, a descarga (vazão) da bomba é de 0,0946m³/s a uma pressão manométrica não superior a 448,2kPa. Para garantir que os borrifadores tenham uma operação satisfatória, a sua pressão manométrica mínima de operação deve ser de 206,8kPa. As perdas de carga localizadas e diferenças de elevação podem ser desprezadas. Determine qual o valor do menor diâmetro de tubo padronizado que pode ser empregado no sistema. Adote as propriedades da água: viscosidade cinemática = 0,00000112m²/s e densidade = 998 kg/m³.



162

4 Óleo leve a uma temperatura de 65,5ºC é bombeado através de um tubo de aço galvanizado com diâmetro de 203,2mm e rugosidade de 0,1524mm ao longo de 304,8m de comprimento linear de tubo, conforme ilustra a figura a seguir. A pressão manométrica na saída da bomba (ponto 1) é de 413,7 kPa e a pressão manométrica de descarga (ponto 2) é nula, pois o tubo está aberto à pressão atmosférica. O óleo leve tem as seguintes propriedades:

ρ = 870 kg/m³μ = 0,007917 Pa·sν = 9,1·10-6 m²/s

Calcule a velocidade e a vazão do escoamento.

Informações adicionais: A vazão e a velocidade do escoamento não são conhecidas, portanto não é possível determinar o número de Reynolds para assim calcular o fator de atrito de Darcy. Atribua, como estimativa inicial do fator de atrito para o processo de cálculo iterativo, o valor de fD=0,023. O valor é uma boa estimativa e corresponde a um valor de rugosidade relativa (ε/D) de 0,00075 e a um número de Reynolds (Re) aproximado de 50000 no diagrama de Moody. Como o diagrama de Moody apresenta imprecisões na leitura na ordem de 15%, execute as iterações até que o erro percentual entre as velocidades calculadas seja menor que 8%.



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UNIDADE 3

ESCOAMENTO DE FLUIDOS – SELEÇÃO DE BOMBAS CENTRÍFUGAS, MEDIÇÃO

DE VAZÃO, VELOCIDADE E ANÁLISE DIMENSIONAL


PLANO DE ESTUDOS


• caracterizar uma máquina hidráulica e compreender o princípio de funcionamento de uma bomba centrífuga e de uma bomba de deslocamento positivo;

• entender a curva do sistema de escoamento de fluidos e a curva característica de uma bomba centrífuga;

• caracterizar parâmetros da bomba centrífuga tais como a vazão de operação, carga hidráulica da bomba ou altura manométrica total e o NPSHrequerido;

• calcular os principais parâmetros hidráulicos necessários para o dimensionamento e seleção de uma bomba centrífuga;

• utilizar catálogos e curvas características de motobombas disponibilizadas por fabricantes para selecionar o modelo mais adequado;

• caracterizar os principais dispositivos de medição de velocidade e vazão de fluido tipicamente aplicados na indústria;

• compreender o conceito de análise dimensional e sua importância no estudo da mecânica dos fluidos;

• aplicar o teorema dos π’s de Buckingham e o método de repetição de variáveis para determinação de grupos adimensionais em problemas típicos de Engenharia.

Esta unidade está dividida em três tópicos. No decorrer da unidade, você encontrará autoatividades que têm o objetivo de reforçar o conteúdo apresentado.

TÓPICO 1 – SELEÇÃO DE BOMBAS CENTRÍFUGAS

TÓPICO 2 – MEDIÇÃO DE VAZÃO E VELOCIDADE NO ESCOAMENTO DE FLUIDOS

TÓPICO 3 – ANÁLISE DIMENSIONAL


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TÓPICO 1

SELEÇÃO DE BOMBAS CENTRÍFUGAS

UNIDADE 3

1 INTRODUÇÃOBombas centrífugas são usadas para transporte de líquidos através

de sistemas de tubulação. As máquinas hidráulicas devem entregar o volume desejado de fluido enquanto fornecem o total de carga hidráulica necessária para o fluido escoar em regime permanente. É preciso levar em conta as necessidades de energia mecânica para o escoamento devido a mudanças de elevação, diferenças de pressão e variações de velocidade no sistema, além de toda a energia dissipida devido às perdas de carga por atrito e aos acessórios da tubulação.

Um engenheiro deve desenvolver a habilidade de especificar bombas centrífugas adequadas para satisfação dos requisitos de um sistema. É preciso também compreender como projetar sistemas de tubulação eficientes para a entrada de uma bomba (linha de sucção) e para a descarga de uma bomba (linha de recalque). É importante monitorar a pressão na entrada e na saída da bomba, pois os dados permitem estabelecer uma análise do funcionamento da máquina hidráulica.

Neste tópico de estudo, o foco será dado para a metodologia de cálculo aplicada no dimensionamento hidráulico de um sistema de recalque de líquidos e a seleção da bomba centrífuga adequada para atender aos requisitos do sistema de escoamento. A metodologia permitirá analisar o desempenho de bombas centrífugas e fazer a seleção de um modelo de bomba apropriado para determinada aplicação. Os benefícios da correta aplicação de uma bomba centrífuga garantem um sistema de transporte de líquido seguro, contemplando parâmetros hidráulicos relacionados à vazão de escoamento e à carga hidráulica necessária. Ainda, é preciso minimizar o consumo de energia para o acionamento da máquina, resultando em menores custos de operação. Os requisitos, quando atendidos, garantem o projeto de um sistema eficiente.

De acordo com Schmidt, Henderson e Wolgemuth (1996), ao selecionarmos uma bomba para uma aplicação específica, diversos fatores devem ser considerados:

• A natureza do líquido a ser bombeado.• A capacidade necessária da bomba ou vazão volumétrica de operação.• As condições da sucção (entrada) da bomba.• As condições de descarga ou recalque (saída) da bomba.


UNIDADE 3 | ESCOAMENTO DE FLUIDOS – SELEÇÃO DE BOMBAS CENTRÍFUGAS, MEDIÇÃO DE VAZÃO, VELOCIDADE E ANÁLISE DIMENSIONAL

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• A altura manométrica total ou carga hidráulica da bomba. O termo está presente na equação de Bernoulli (balanço de energia).

• O tipo de sistema de escoamento de fluido no qual a bomba será instalada.• O tipo de alimentação de energia para a máquina hidráulica (motor

elétrico, motor com combustão interna etc.).• Espaço para instalação, peso e limitações de posição.• Condições ambientais e normas reguladoras.• Custo de compra e instalação da bomba.• Consumo energético, custo de operação e manutenção da bomba.• O custo do ciclo de vida do sistema de bombeamento.

O estudo e o detalhamento dos fatores são realizados por engenheiros na indústria ou por equipes especializadas que prestam consultorias. Fornecedores e fabricantes de bombas e outras máquinas hidráulicas também auxiliam em diversas etapas do projeto e dimensionamento de um sistema hidráulico.

2 DEFINIÇÃO E CARACTERÍSTICAS DA BOMBA CENTRÍFUGAAs bombas hidráulicas são geralmente classificadas como bombas de

deslocamento positivo (ou volumétricas) e bombas dinâmicas (ou cinéticas). Bombas de deslocamento positivo impulsionam um volume específico de fluido para cada revolução do eixo da bomba ou cada ciclo de movimento dos elementos de bombeamento ativos. No tipo de bomba em questão, o fluido é direcionado para um volume fechado. Ocorre a transferência de energia para o fluido pelo movimento do limite do volume fechado, fazendo com que o volume se expanda ou contraia, aspirando fluido para dentro ou esguichando fluido para fora, respectivamente (ÇENGEL; CIMBALA, 2007; ROTAVA, 2012; TERRON, 2012; JANNA, 2016). As bombas hidráulicas geralmente produzem altas pressões e vazões volumétricas constantes baixas ou moderadas.

FIGURA 1 – BOMBAS DE DESLOCAMENTO POSITIVO COM AS CARCAÇAS ABERTAS: BOMBA PERISTÁLTICA (IMAGEM SUPERIOR) E BOMBA DE CAVIDADES PROGRESSIVAS (IMAGEM INFERIOR)


TÓPICO 1 | SELEÇÃO DE BOMBAS CENTRÍFUGAS

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FONTE: Mott e Untener (2015, p. 323)

As bombas dinâmicas operam transferindo energia cinética de um elemento rotativo, chamado de impulsor, impelidor ou rotor, para o fluido que se move para dentro e através da bomba (ÇENGEL; CIMBALA, 2007; ROTAVA, 2012; TERRON, 2012; SINGH; HELDMAN, 2016). Uma parte da energia é convertida em energia de pressão (trabalho de escoamento) na saída da bomba. As bombas centrífugas são o tipo mais comum e mais utilizado de bombas dinâmicas. Podem operar com grandes vazões volumétricas e fornecem grandes cargas hidráulicas ao fluido.

FIGURA 2 – BOMBAS CENTRÍFUGAS COM DESCARGA (RECALQUE) FLANGEADA (IMAGEM À ESQUERDA) E ROSQUEADA (IMAGEM À DIREITA)

FONTE: Famac Motobombas (2018, s.p.)

De acordo com Çengel e Cimbala (2015), a finalidade de uma bomba é adicionar energia a um fluido, resultando em um aumento de pressão do fluido no escoamento, mas não necessariamente em um aumento da velocidade do fluido. De acordo com o princípio de conservação da massa (equação da continuidade), e, no caso de um escoamento incompressível (líquidos), a quantidade volumétrica de fluido na entrada e na saída da bomba deve ser igual, portanto, a velocidade do escoamento está mais relacionada ao diâmetro e à área de seção da tubulação de sucção e recalque.



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A bomba centrífuga é o tipo de bomba hidráulica mais utilizado. O principal componente da bomba centrífuga é o rotor (impelidor). O fluxo de líquido entra na câmara da bomba axialmente ao longo do eixo do rotor (olho) e o fluxo é descarregado radialmente por ação centrífuga em um invólucro que envolve o rotor. O rotor gira com alta velocidade dentro da carcaça da bomba e seu movimento produz uma zona de baixa pressão (no centro) e outra zona de alta pressão (na periferia). O invólucro em forma de caracol que envolve o rotor é chamado de carcaça ou voluta. A voluta da bomba tem a forma de um difusor e desacelera o fluido em alta velocidade, que sai do rotor, converte a carga cinética do fluido em carga de pressão (trabalho de escoamento) e direciona o fluxo para a saída da bomba (ROTAVA, 2012; TERRON, 2012; JANNA, 2016).

FIGURA 3 – DETALHE DAS PARTES E COMPONENTES DE UMA BOMBA CENTRÍFUGA

FONTE: Adaptado de Terron (2012)

Os rotores de uma bomba centrífuga podem ser fechados, semiabertos ou abertos. Os rotores fechados têm as pás (ou palhetas) instaladas entre dois discos paralelos. São mais eficientes que os outros tipos de rotores e sua aplicação é para o bombeamento de líquidos limpos. O rotor aberto tem pás (ou palhetas) sem obstrução na parte frontal e quase livres na parte posterior. O rotor semiaberto tem as pás fixadas de um lado do disco, ficando o outro lado livre. Os dois tipos de rotores destinam-se a bombear líquidos viscosos ou sujos com materiais sólidos particulados em suspensão, que podem travar um rotor fechado.



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FIGURA 4 – TIPOS DE ROTORES OU IMPELIDORES DE BOMBAS CENTRÍFUGAS

FONTE: Adaptado de Terron (2012)

2.1 FUNCIONAMENTO DE UMA BOMBA CENTRÍFUGA

A base do funcionamento de uma bomba centrífuga está na criação de duas zonas de pressão diferenciadas: na sucção (baixa pressão) e no recalque (alta pressão). Para que ocorra a formação das duas zonas distintas de pressão, é necessário existir, no interior da bomba, a transformação de energia mecânica (potência mecânica da máquina), que é fornecida à bomba pela máquina motriz (motor), em energia cinética. Haverá o deslocamento do fluido e, além disso, posteriormente, a energia de pressão, que irá adicionar a carga hidráulica necessária ao fluido, aumentando sua pressão e fazendo com que o fluido tenha energia para vencer as alturas de deslocamento e as perdas de carga ao longo da tubulação (atrito no tubo e presença de acessórios).

De acordo com Mott e Untener (2015), para bombas centrífugas que

operam continuamente por longos períodos de tempo, o custo de energia é o maior componente do total do custo do ciclo de vida. Mesmo para uma bomba operando por apenas oito horas por dia e cinco dias por semana, o período cumulativo de tempo de operação é superior a 2000 horas por ano. Bombas de alimentação contínua em processos industriais, como a geração de energia elétrica, podem operar até 8000 horas por ano.

Portanto, minimizar a energia necessária para a operação de uma bomba é um dos principais objetivos de um bom sistema de escoamento de fluidos. A seguir, são apresentados alguns tópicos que devem ser levados em consideração para o projeto hidráulico e operação de bombas centrífugas. Tais tópicos visam reduzir o custo de energia e garantir uma operação confiável e segura (MOTT; UNTENER, 2015; ROTAVA, 2012; JANNA, 2016):

• É importante realizar uma análise criteriosa do projeto do sistema de tubulação para identificar onde perdas de carga e de energia ocorrem, além de prever com precisão o dimensionamento hidráulico do ponto de operação da bomba.



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• As perdas de carga na tubulação e acessórios são proporcionais à carga cinética do escoamento, ou seja, ao quadrado da velocidade do fluido. Portanto, reduzir o velocidade do escoamento proporciona uma redução dramática nas perdas de carga do sistema e na carga hidráulica total necessária para a bomba. Com a prática, uma bomba menor e mais barata pode então ser usada.

• Devemos utilizar o maior diâmetro prático de tubo para a linha de sucção e descarga do sistema para manter a velocidade do fluido em um valor mínimo (velocidade econômica). Tubos de maiores diâmetros são mais caros e exigem a instalação de acessórios mais caros também. Contudo, a economia de energia e a redução das perdas de carga do sistema geralmente compensam o custo e investimento inicial. O gráfico a seguir ilustra o ponto conceitual, comparando os custos do sistema (devido à instalação de acessórios e de tubulações maiores) com os custos de operação (que levam em conta as perdas de carga em função da velocidade do escoamento), sendo funções do diâmetro do tubo. Outra consideração prática é a relação entre os tamanhos dos tubos e os tamanhos das conexões de sucção e descarga da bomba. Alguns projetistas recomendam que os tubos tenham ‘um valor de diâmetro padronizado’ maior.

GRÁFICO 1 – CUSTOS DE UM SISTEMA DE ESCOAMENTO DE FLUIDOS EM FUNÇÃO DO DIÂMETRO DA TUBULAÇÃO




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• Selecionar uma bomba centrífuga que atenda aos requisitos do sistema com base nos parâmetros de carga hidráulica necessária e vazão volumétrica de escoamento. Assim, é possível garantir que a bomba opere próxima de seu melhor ponto de eficiência (BEP) e evita-se o superdimensionamento da bomba, fazendo com que ela opere com uma eficiência muito baixa. Sempre que possível, devemos usar uma bomba mais eficiente para a aplicação e operar a bomba o mais próximo possível do seu melhor ponto de eficiência (BEP).

• A operação de uma bomba em condições afastadas do ponto de melhor eficiência (BEP) causa maiores deteriorações em rolamentos, vedações e anéis de desgaste e há redução da vida útil da bomba.

• Usar motores elétricos de alta eficiência para acionar a bomba.

• Considerar o uso de inversores de frequência para motores de bombas e garantir que a vazão do sistema seja atendida de forma permanente.

• Associar duas ou mais bombas similares operando paralelamente em um sistema que exige altas vazões de escoamento ou bombas similares em série para sistemas que exigem altas cargas hidráulicas.

• Programar e executar manutenção periódica da bomba e tubulação para minimizar a queda do desempenho devido ao acúmulo de corrosão em superfícies de tubos metálicos, incrustações no interior do tubo e vazamentos. Monitorar a performance da bomba regularmente (pressões, temperaturas, vazões, vibrações e ruídos) e criar um manual procedimental de operação.

• Componentes internos das bombas centrífugas sofrem desgaste ao longo do tempo. Anéis de vedação em partes mecânicas móveis e gaxetas que fazem a selagem da bomba, impedindo o líquido de vazar do rotor pelo eixo da caixa de lubrificação até o motor elétrico, devem ser verificados periodicamente. Tadini et al. (2016) salienta que as superfícies do rotor podem se desgastar devido à abrasão do fluido, levando à necessidade de substituição do rotor.

• O alinhamento cuidadoso é essencial para evitar a deflexão excessiva do eixo da bomba e excentricidade de eixo, podendo causar a falha na operação da máquina hidráulica. É importante verificar o alinhamento da bomba periodicamente.

• Garantir que o escoamento e o fluxo na linha de sucção até a entrada da bomba sejam suaves, sem vórtices ou redemoinhos. Alguns engenheiros recomendam uma distância mínima equivalente a 10 diâmetros de tubo reto (10·D) entre qualquer tipo de acessório de tubo e a entrada da bomba. No entanto, se um redutor for necessário, ele deve ser instalado na própria entrada da bomba.

• Utilizar óleos limpos, graxas ou outros lubrificantes para os rolamentos da bomba.



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• Não operar a bomba com a linha de sucção ‘seca’. A escorva da bomba deve ser feita inserindo líquido na tubulação de sucção até a bomba. A escorva elimina o ar existente no interior da bomba e da tubulação de sucção. A entrada de ar na linha de sucção deve ser evitada com o projeto adequado das conexões entre a linha de sucção da bomba e o reservatório ou tanque.

2.2 CURVA CARACTERÍSTICA DE BOMBA CENTRÍFUGA E CURVA DO SISTEMA

As bombas centrífugas possuem forte dependência de vazão volumétrica com a carga hidráulica (altura manométrica total), tornando a avaliação de performance da máquina hidráulica um pouco mais complexa. Para auxiliar na questão, os fabricantes fornecem os dados experimentais da dinâmica de operação de uma bomba centrífuga em curvas e gráficos chamados de curvas características (ou de desempenho) da bomba. Há a relação da vazão volumétrica de operação da bomba com a respectiva carga hidráulica fornecida ao fluido.

De acordo com Çengel e Cimbala (2015), a vazão volumétrica máxima de escoamento através de uma bomba ocorre quando a sua carga líquida é zero (Hbomba=0). A vazão é chamada de fornecimento livre da bomba. As condições para o fornecimento livre (free delivery) da bomba ocorrem quando não há resistência para o escoamento na saída da bomba (não há tubulação conectada à bomba). No caso, a bomba não tem carga hidráulica, pois a vazão é muito alta e a carga hidráulica é nula. Se a equação de cálculo de potência instalada de bomba for aplicada, o resultado da eficiência da bomba será zero, ou seja, a bomba não está realizando trabalho útil de escoamento. Na condição oposta, a bomba opera na sua carga hidráulica máxima, que só ocorre quando a vazão volumétrica do escoamento é igual a zero. A carga é chamada de carga de fechamento (shutoff head) e ocorre quando a saída da bomba é bloqueada. Nas condições, a carga hidráulica (aumento de pressão do fluido) é alta, mas a vazão é nula. Também, no caso, a eficiência da bomba é zero, pois ela não está realizando trabalho útil de escoamento.

Entre os dois extremos, da carga de fechamento até o fornecimento livre, a carga hidráulica da bomba pode aumentar em relação ao seu valor de carga de fechamento à medida que a vazão aumenta, mas logo começa a redução da carga hidráulica da bomba até o valor ficar nulo à medida que a vazão aumenta até o seu valor de fornecimento livre. A eficiência máxima da bomba será em algum ponto entre os dois extremos (carga de fechamento e fornecimento livre).

O ponto de eficiência máxima da bomba é chamado de melhor ponto de eficiência (BEP – best efficiency point) e é indicado por asteriscos no gráfico a seguir (ÇENGEL; CIMBALA, 2007). Assim, os fabricantes fornecem curvas de desempenho da bomba (curvas características) que relacionam os valores de carga hidráulica (Hbomba), eficiência da bomba e potência instalada da máquina hidráulica como funções da vazão volumétrica de operação. Para cada velocidade de rotação do impelidor é plotada uma nova curva característica da bomba.



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GRÁFICO 2 – CURVA CARACTERÍSTICA DE DESEMPENHO PARA UMA BOMBA CENTRÍFUGA


Mais detalhes sobre a dependência dos parâmetros hidráulicos da bomba com a sua velocidade de rotação devem ser pesquisados nas Leis de Afinidade ou Regras de Semelhanças entre bombas.

IMPORTANTE

Segundo Çengel e Cimbala (2015), para escoamentos em regime permanente, uma bomba centrífuga só pode operar ao longo de sua curva de desempenho. Assim, o ponto de operação para um sistema de escoamento em tubulações é determinado quando os requisitos do sistema (carga hidráulica necessária para o fluido) coincidem com o desempenho da bomba, ou seja, com sua carga hidráulica líquida disponível (Hbomba). Geralmente, os dois valores de carga hidráulica (requisitados pelo sistema e bomba) coincidem com um valor exclusivo de vazão volumétrica, chamado então de ponto operacional ou de funcionamento do sistema. Podemos concluir, então, que o ponto operacional é estabelecido quando a vazão volumétrica converge com a igualdade entre a carga hidráulica da bomba e a carga hidráulica demandada pelo sistema de escoamento.

Para um sistema de escoamento em tubulações, considerando as perdas de carga do sistema e variações de pressão e elevação, a carga hidráulica líquida necessária aumenta com a vazão volumétrica. Já a carga hidráulica das bombas centrífugas geralmente diminui com a vazão em seu intervalo operacional.



174

Assim, a curva de desempenho da bomba deve cruzar a curva do sistema de escoamento para estabelecer o ponto de operação. Raramente a bomba terá seu ponto operacional convergente com o ponto de melhor eficiência da bomba. Se o requisito de eficiência for importante, uma nova bomba deve ser avaliada com outra curva característica. Caso o modelo de bomba não atenda aos parâmetros da curva do sistema (carga hidráulica necessária e vazão), deve-se pesquisar outros modelos e fabricantes (ÇENGEL; CIMBALA, 2007; JANNA, 2016; SINGH; HELDMAN, 2016).

GRÁFICO 3 – PONTO OPERACIONAL DE UM SISTEMA DE ESCOAMENTO. A VAZÃO VOLUMÉTRICA DEVE INTERCEPTAR O PONTO EM QUE AS CURVAS DA BOMBA E DO SISTEMA SE CRUZAM


Conforme exposto, a carga hidráulica da bomba deve atender à carga hidráulica necessária do sistema de escoamento com o objetivo de promover o escoamento do fluido em regime permanente. Assim, a equação de Bernoulli pode ser aplicada entre os pontos de entrada e saída de fluido no sistema, já que a carga hidráulica da bomba fornece um aumento de pressão estática do fluido entre os pontos de sucção e descarga do sistema (aumento da carga de pressão ou trabalho de escoamento), aumento da pressão dinâmica entre os pontos de



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sucção e descarga do sistema (aumento da energia cinética), aumento da carga de elevação entre os pontos de sucção e descarga do sistema (aumento de energia potencial) e fornecimento de energia hidráulica suficiente para que o fluido supere todas as perdas de carga irreversíveis no sistema de tubulação (perdas de carga localizadas e distribuídas).

Na prática, calculamos a carga hidráulica da bomba para uma vazão definida e selecionamos a bomba mais adequada em um catálogo de fornecedores. Frequentemente, selecionamos uma bomba com vazão e com altura manométrica total um pouco maiores do que o calculado para o sistema. Assim, deve haver uma bomba com potência instalada maior (ÇENGEL; CIMBALA, 2007). Se for necessário atingir exatamente os parâmetros requisitados e calculados para a vazão do sistema, uma válvula reguladora de vazão deve ser instalada na linha de recalque, diminuindo a vazão do escoamento, porém aumentando a perda de carga do sistema, que deve ser compensada pelo aumento da carga hidráulica da bomba devido à redução da sua vazão.

Segundo Çengel e Cimbala (2015), os fabricantes de bombas centrífugas costumam oferecer várias opções de diâmetro de rotor para uma única carcaça de bomba. A ação se deve ao fato de minimizar o custo de fabricação da bomba, pois é feita a fundição de uma única carcaça (voluta), que pode acomodar rotores de diâmetros diferentes, aumentando a capacidade de bombeamento da máquina hidráulica. Outro benefício é a possibilidade de reutilizar a bomba em outras aplicações, diferentes da planejada.

Um modelo de bomba que possui várias opções de diâmetro de rotor disponíveis é agrupado em uma “família” de bombas centrífugas com mesmo diâmetro de carcaça, mas diâmetros diferentes de rotor. É prática comum dos fabricantes combinarem as curvas características de toda uma família de bombas com diâmetros de rotor diferentes em um único gráfico (ÇENGEL; CIMBALA, 2007).

Podemos observar que o tipo de gráfico apresenta uma curva de carga hidráulica da bomba (H) em função da vazão volumétrica (Q ou ) para cada diâmetro de rotor. Adicionalmente, o gráfico ilustra linhas de curvas com valores de eficiência constante através dos pontos que têm o mesmo valor de eficiência de bomba para as opções de diâmetro de rotor. Da mesma forma, as linhas de curvas para potência instalada da bomba constante também são inseridas no gráfico.

É importante notar que a curva característica apresentada é aplicada em um modelo de bomba de carcaça padronizada que pode operar com cinco diâmetros de rotor diferentes. Outro fato a ser observado é que, geralmente, as curvas características não são projetadas graficamente até o ponto de fornecimento livre (vazão máxima e carga hidráulica nula). Obviamente, a ação ocorre porque os valores de carga hidráulica e eficiência da bomba são muito baixos. Se houver necessidade de aumentar a vazão ou carga hidráulica, é necessário avaliar a disponibilidade de uma bomba com maior rotor ou instalar uma associação de



176

bombas em paralelo (para aumento da vazão) ou em série (para aumento da carga hidráulica) (ROTAVA, 2012; TERRON, 2012).

O gráfico também ilustra que, para uma carcaça padronizada, quanto maior o diâmetro de rotor maior é a eficiência máxima da bomba. Entretanto, escolher a bomba de maior eficiência nem sempre é a melhor opção, pois cada aplicação exige uma combinação de dois parâmetros hidráulicos (carga hidráulica da bomba e vazão volumétrica). Se os parâmetros hidráulicos requisitados coincidem com um determinado diâmetro de rotor de bomba, é válido escolher uma bomba de menor eficiência para contemplar o requisito hidráulico, pois as bombas com maior diâmetro de rotor e maior eficiência demandam maior potência instalada, o que significa um maior consumo de energia e custo de operação.

GRÁFICO 4 – CURVA CARACTERÍSTICA DE FAMÍLIA DE BOMBAS CENTRÍFUGAS. CADA BOMBA POSSUI MESMA CARCAÇA COM DIÂMETRO DE ROTOR DIFERENTE


3 SELEÇÃO DA BOMBA CENTRÍFUGA PARA UM SISTEMA DE TUBULAÇÃO

Os dois parâmetros hidráulicos necessários para a especificação da bomba centrífuga adequada para uma instalação de bombeamento são a vazão volumétrica (Q) e a carga hidráulica da bomba ou altura manométrica total (Hbomba).



177

A vazão volumétrica geralmente é definida pelo processo. A carga hidráulica da bomba deve ser calculada considerando a diferença de pressão entre a linha de sucção e de descarga (recalque) do fluido para um sistema fechado, a diferença de velocidade entre a sucção e a descarga do fluido, a diferença de altura geométrica entre a sucção e a descarga do fluido, todas as perdas de carga do sistema devido ao atrito do fluido na tubulação, além da presença de acessórios na linha do escoamento, tais como curvas, válvulas, bocais, medidores de velocidade e vazão, equipamentos como filtros, trocadores de calor etc. (ÇENGEL; CIMBALA, 2007; TADINI et al., 2016).

3.1 CÁLCULO DE PARÂMETROS HIDRÁULICOS

A vazão mássica ou volumétrica de escoamento do fluido é uma informação estabelecida para um processo industrial, pois depende da capacidade nominal da planta industrial e da dinâmica de produção da fábrica (MOTT; UNTENER, 2015; JANNA, 2016). Portanto, geralmente o dimensionamento hidráulico para seleção da bomba centrífuga parte da necessidade de calcular o valor do parâmetro hidráulico relacionado à carga hidráulica da bomba ou altura manométrica total (Hbomba). É o total de energia mecânica que a bomba terá que adicionar ao fluido em função do sistema de tubulação instalado para o escoamento.

É necessário o conhecimento das propriedades físicas do fluido a ser bombeado, tais como densidade, viscosidade dinâmica, temperatura e pressão de vapor. Os dados podem ser consultados em literaturas técnicas ou determinados em laboratório.

As informações relacionadas ao dimensionamento da tubulação também devem estar disponíveis. A rugosidade média do material da tubulação, diâmetros de sucção e recalque, comprimento total da linha de escoamento e tipos e quantidades de acessórios instalados devem ser relacionados. As constantes características devem ser consultadas com os fabricantes.

Uma vez que todas as informações estejam disponíveis, o procedimento de cálculo do dimensionamento hidráulico pode ser descrito de acordo com as etapas a seguir:

As equações utilizadas neste roteiro de cálculo já foram definidas na Unidade 2 do livro didático. Organize um formulário com as principais equações que serão necessárias para acompanhamento do procedimento nos exemplos de aplicação.

IMPORTANTE



178

1. Considerando o trecho de sucção da bomba, calcule a velocidade média do fluido a partir da vazão volumétrica de escoamento e da área de seção transversal da tubulação de sucção (já com diâmetro conhecido).

2. Com a velocidade de sucção conhecida, calcule as perdas de carga localizadas (menores) para cada acessório instalado no trecho. Some todas as perdas de carga e determine o valor de hs da sucção.

3. Com a velocidade de sucção conhecida, calcule as perdas de carga distribuídas (maiores) do trecho da tubulação. Assim, devemos executar os seguintes cálculos paralelos:3.1. Determinar o número de Reynolds (Re) com a densidade e viscosidade do

fluido, diâmetro da tubulação e velocidade do escoamento. Classificar o regime de escoamento em laminar ou turbulento.

3.2. Determinar o valor da rugosidade relativa (ε/D) do tubo a partir do valor da rugosidade média do material e do diâmetro do tubo. O valor da rugosidade média dos principais materiais usados em tubulações está no diagrama de Moody (Unidade 2).

3.3. Com os parâmetros determinados nos itens 3.1 e 3.2, calcular o valor do fator de atrito de Darcy (fD):3.3.1. Através das equações empíricas. Colebrook-White (1939), Churchill

(1973) e Haaland (1983) são as mais utilizadas.3.3.2. Através da leitura no diagrama de Moody, com os valores de

Reynolds (Re) e rugosidade relativa (ε/D) do tubo.3.4. Utilizar a equação de Darcy-Weisbach para calcular a perda de carga

distribuída no trecho de sucção (hf). É necessário saber o comprimento total (L) do trecho e o diâmetro hidráulico (DH) da tubulação (no caso de um tubo de área de seção circular, o diâmetro hidráulico é o próprio diâmetro do tubo).

4. Somar as perdas de carga localizadas (item 2) e as perdas de carga distribuídas (item 3.4) e determinar o total de perdas de carga no trecho de sucção.

5. Repetir os procedimentos dos itens 1, 2, 3 e 4 para o trecho de recalque.6. Somar as perdas de carga na sucção e no recalque e determinar o total de perdas

de carga do sistema (Hperdas).7. Aplicar a equação de Bernoulli entre os trechos de sucção e descarga do sistema

para calcular a carga hidráulica da bomba ou altura manométrica total (Hbomba).7.1. Verificar se o sistema está aberto ou fechado (diferença de pressão entre a

sucção e a descarga de fluido), as diferenças de elevações entre a sucção e a descarga do fluido e as diferenças de velocidades do escoamento entre a sucção e a descarga do fluido. Considerar o total de perdas de carga do sistema. Em alguns casos é possível simplificar os termos da equação de Bernoulli.

Se todas as análises e considerações sobre o sistema de escoamento foram aplicadas corretamente e os cálculos executados de forma criteriosa, o parâmetro hidráulico relativo à carga hidráulica da bomba é determinado e, juntamente com a vazão volumétrica requisitada pelo sistema, podemos selecionar um modelo de bomba centrífuga adequado.



179

3.2 CAVITAÇÃO E CÁLCULO DO NPSH

No escoamento de líquidos pode ocorrer a redução da pressão local na linha de sucção ou dentro da bomba centrífuga. Se a pressão atingir ou cair, o líquido sofre mudança de fase (evapora), causando o fenômeno de cavitação na bomba. A pressão de vapor (ou de saturação) de um líquido é uma propriedade termodinâmica disponível em tabelas de vapor e depende da temperatura de saturação (ÇENGEL; BOLES, 2013).

Após as bolhas de vapor se formarem no líquido, elas são transportadas até regiões de pressões mais elevadas da bomba, causando o colapso repentino das bolhas de vapor. Ocorrendo nas superfícies do rotor da bomba, há cavitação. O colapso das bolhas é facilmente identificado devido ao ruído característico do fenômeno, similar ao efeito de esfregar uma lixa ou grãos de areia na parede do tubo. A cavitação também causa vibrações, reduz a eficiência da bomba e causa severa erosão nas pás do rotor da bomba ao longo do tempo, comprometendo a operação e a vida útil do equipamento.

FIGURA 5 – EROSÃO NO ROTOR DA BOMBA EM FUNÇÃO DA CAVITAÇÃO (DIREITA) EM COMPARAÇÃO A UM ROTOR QUE NÃO SOFREU CAVITAÇÃO (ESQUERDA)

FONTE: Potter e Wiggert (2013, p. 489)

De acordo com Rotava (2012), Terron (2012) e Çengel e Cimbala (2015), para evitar a cavitação, é necessário assegurar que a pressão local interna da bomba fique acima da pressão de vapor do líquido. Como a pressão interna da bomba é difícil de medir, a análise do fenômeno de cavitação é feita medindo a pressão e condições do escoamento na linha de sucção e entrada da bomba. Para a análise, emprega-se um parâmetro chamado de NPSH (Net Positive Suction Head) ou carga hidráulica líquida positiva de sucção.

Os fabricantes de bombas centrífugas realizam testes experimentais para avaliação da ocorrência de cavitação em seus modelos de bombas, variando a vazão de operação e a pressão de entrada da bomba (MOTT; UNTENER, 2015). Na prática, em determinada vazão e temperatura de líquido no escoamento, a



180

pressão na linha de sucção da bomba é reduzida até o momento que inicia a cavitação na bomba (ÇENGEL; CIMBALA, 2007). O procedimento é repetido para outras vazões e os resultados são plotados em um gráfico, com o parâmetro estabelecido pelo fabricante chamado de NPSH requerido ou necessário, que é a carga hidráulica mínima que o fluido deve ter na sucção para não ocorrer cavitação a uma determinada vazão.

O NPSH requerido pode ser definido como a energia mecânica necessária para o líquido vencer as perdas de carga entre a conexão de sucção da bomba e as pás do rotor e criação da velocidade desejada do líquido nas pás. Como o valor de NPSH requerido depende da vazão volumétrica da bomba, a curva é traçada juntamente com a curva característica da bomba. Para a maioria das bombas centrífugas, o NPSH requerido aumenta com a vazão volumétrica.

IMPORTANTE

Antes da instalação da bomba, devemos nos certificar que não ocorrerá cavitação, calculando o valor do NPSH disponível no sistema de escoamento. O valor do NPSH disponível deve ser maior do que o NPSH requerido para não ocorrer a cavitação. No procedimento de cálculo a seguir, é possível notar que o NPSH disponível depende de alguns fatores, sendo os mais importantes comentados a seguir:

• Pressão de vapor do líquido (Pvapor): quanto maior a temperatura do líquido, maior a sua pressão de vapor e, portanto, maior a possibilidade de ocorrer cavitação.

• Altura de sucção (hsucção): quanto maior for a altura de uma sucção negativa, menor será o NPSH disponível e maior a chance de ocorrer cavitação. Sempre que possível, devemos projetar instalações com altura de sucção positiva, reduzindo a possibilidade de cavitação do fluido.

• Perda de carga na sucção (Hperdas na sucção): Quanto maior a perda irreversível de energia na sucção da bomba, menor o NPSH disponível . Portanto, devemos evitar linhas de sucção muito longas ou com muitos acessórios na tubulação. Ainda, para minimizar a perda de carga por atrito, a velocidade de sucção deve ser menor que a de recalque. Por isso, o diâmetro do tubo de sucção deve ser, pelo menos, ‘1 valor de diâmetro padronizado’ maior que o diâmetro do tubo de recalque. Para linhas de sucção com pequeno comprimento, é possível admitir diâmetros iguais nas tubulações de sucção e recalque.

As perdas de carga irreversíveis na tubulação de sucção aumentam com a vazão volumétrica, aumentando assim o NPSH requerido. A carga hidráulica da bomba (Hbomba) diminui com a vazão volumétrica. Assim, o valor de NPSH disponível diminui com a vazão volumétrica (ÇENGEL; CIMBALA, 2007). A vazão volumétrica correspondente ao ponto de encontro das curvas do NPSH requerido e NPSH disponível é a vazão volumétrica máxima de operação da bomba sem que ocorra a cavitação.



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GRÁFICO 5 – A VAZÃO MÁXIMA DE OPERAÇÃO DA BOMBA SEM CAVITAÇÃO É O PONTO ONDE A CURVA DE NPSH

DISPONÍVEL ENCONTRA A CURVA DE NPSH

REQUERIDO


O método de cálculo da carga líquida positiva na sucção (NPSHdisponível) é descrito a seguir:

Se o NPSH disponível > NPSH requerido (dado pelo fabricante), a bomba não cavitará.

A altura de sucção pode ser negativa (quando o nível de sucção está abaixo da bomba) ou positiva (quando o nível de sucção está acima da bomba).

IMPORTANTE



182

3.3 SELEÇÃO DE BOMBA CENTRÍFUGA ATRAVÉS DE CATÁLOGO DE FABRICANTES

Conhecidas a vazão volumétrica e a carga hidráulica para o sistema de escoamento do fluido, é necessário realizar uma consulta em catálogos de fabricantes de bombas centrífugas e localizar um modelo de bomba que atenda aos parâmetros hidráulicos calculados.

Muitas vezes, em função da natureza do líquido, devemos consultar o fabricante sobre a necessidade de uso de materiais especiais na bomba ou configurações específicas, objetivando uma operação segura e garantia do atendimento dos requisitos do projeto hidráulico.

Geralmente, especificamos as seguintes informações da bomba de acordo com o catálogo do fabricante:

Fabricante:_______________Modelo:______________Estágios:_______________Altura Manométrica Total (Hbomba)_______________(m c.a. ou bar)Capacidade (Vazão)_______________(m³/h)Potência instalada:_______________(cv ou kW)Pressão máxima sem vazão (carga de fechamento):_______________(m c.a. ou bar)Altura máxima de sucção:_______________(m c.a.)Diâmetro de sucção recomendado: _______________(pol. ou mm)Diâmetro de recalque recomendado: _______________(pol. ou mm)Diâmetro do rotor:_______________(pol. ou mm)Tipo de rotor:_______________Eficiência:_______________(%)NPSH requerido:_______________(m c.a. ou bar)Tipo de motor elétrico disponível:_______________Rotação nominal:_______________(RPM)Frequência:_______________(Hz)

3.4 USO DE CURVAS CARACTERÍSTICAS PARA SELEÇÃO DE BOMBAS CENTRÍFUGAS

Praticamente todas as informações elencadas na consulta do catálogo de fabricante podem ser obtidas com as curvas características dos modelos de bomba ou famílias de bombas. Da mesma forma que é efetuada a consulta em catálogos, é necessário conhecer a vazão volumétrica e a carga hidráulica para o sistema de escoamento do fluido e verificar se os parâmetros hidráulicos coincidem com as curvas plotadas nos gráficos da bomba. Caso os parâmetros sejam atendidos pelo modelo de bomba centrífuga, algumas informações são lidas no gráfico a partir do ponto de interceptação da vazão volumétrica com a carga hidráulica, por exemplo, eficiência, potência instalada e diâmetro do rotor.



183

Outras informações são obtidas apenas com o valor da vazão volumétrica, por exemplo, NPSH requerido. O valor NPSH requerido geralmente é menor do que o valor da altura manométrica total da bomba (Hbomba) ao longo da maior parte da curva de desempenho. Assim, os valores de NPSH requerido são representados graficamente em um eixo vertical expandido ou separado em outra curva característica (ÇENGEL; CIMBALA, 2007).

4 EXEMPOS DE APLICAÇÃO1) Em uma instalação industrial de produção de alimentos, a água do processo

proveniente de um tanque-pulmão aberto sob a pressão atmosférica necessita ser transferida para um reservatório também aberto sob a pressão atmosférica, de acordo com o diagrama esquemático a seguir. A bomba deve ter capacidade de enviar 60m³ de água em um tempo de 1h. Considere que a água do processo está a uma temperatura média de 55ºC (Pvapor=15763Pa; γ=9832N/m³; μ=0,466 cP). A tubulação de sucção e recalque é de aço inoxidável (ε=0,002mm), sendo que o diâmetro de sucção é 3” e o diâmetro de recalque é 2”. Para o sistema de transporte de líquido, faça o dimensionamento hidráulico conforme solicitado nos itens a seguir:

a) Determine o total de perdas de carga do sistema (distribuídas e localizadas). Considere todos os acessórios descritos no diagrama e utilize a equação de Haaland (1983) para cálculo do fator de atrito de Darcy (fD). Adote g=10m/s² para todos os cálculos.

b) Determine a carga hidráulica da bomba (Hbomba) e a potência instalada da bomba centrífuga. Selecione uma opção adequada no catálogo do fabricante disponível (Famac Motobombas). Faça um resumo dos parâmetros hidráulicos da bomba centrífuga selecionada para a operação.

c) Calcule o NPSHdisponível da bomba. d) Determine o NPSHrequerido da bomba com a curva característica fornecida pelo

fabricante (Famac Motobombas). A bomba selecionada irá cavitar? Justifique. e) Calcule o consumo de eletricidade e o custo mensal de operação da bomba

selecionada se ela operar continuamente durante 24 horas por dia e 30 dias por mês. Considere a tarifa elétrica igual a R$0,61/kWh.



184

FIGURA 6 – ESQUEMA DO SISTEMA DE RECALQUE DE FLUIDO PARA O EXEMPLO DE APLICAÇÃO 1

FONTE: O autor



185

FIGURA 7 – INFORMAÇÕES TÉCNICAS DA BOMBA CENTRÍFUGA INDICADA AO EXEMPLO DE APLICAÇÃO 1

FONTE: Adaptado de Famac Motobombas (2018)

FIGURA 8 – CURVAS CARACTERÍSTICAS DA BOMBA CENTRÍFUGA INDICADA AO EXEMPLO DE APLICAÇÃO 1



186


A resolução e o dimensionamento hidráulico para seleção da bomba centrífuga são descritos na sequência:

Propriedades físicas da água:

T = 55°CPvapor= 15763Paγ = 9832 N/m³μ = 0,466 cP =0,000466Pa·s

Dados da tubulação:

Dsucção = 3” = 0,0762 mDrecalque = 2”=0,0508mε aço inoxidável = 0,002mm

Bomba centrífuga:

Qoperação = 60m³/h = 0,0167m³/sPressão na sucção do sistema aberto = 1,01bar = 101325PaPressão no recalque do sistema aberto = 1,01bar = 101325Pa

Cálculos relacionados ao trecho de sucção do sistema:



187

Cálculos das perdas de carga no trecho de sucção do sistema:

Perdas Localizadas ou Menores (hs)

Perdas Distribuídas ou Maiores (hf)

Escoamento em regime turbulento, pois Re > 4000.

Cálculo do fator de atrito de Darcy com a equação de Haaland:

(

(2



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Cálculos relacionados ao trecho de recalque do sistema:

Cálculos das perdas de carga no trecho de recalque do sistema:







189

(

(2

Cálculo da perda de carga total no trecho do escoamento:

Aplicação da equação de Bernoulli no trecho de escoamento para cálculo da carga hidráulica da bomba (altura manométrica total):

Seleção da motobomba centrífuga: De acordo com o catálogo do fornecedor Famac Motobombas, selecionamos a seguinte bomba centrífuga que contempla os parâmetros hidráulicos do sistema de escoamento:

Fornecedor: Famac MotobombasModelo: BC-20 F (230mm)



190

Diâmetro do rotor: 230mmAltura manométrica total (carga hidráulica da bomba) = 104m c.a.Vazão volumétrica da bomba = 60,3 m³/hPotência instalada da bomba = 50cvDiâmetro de sucção recomendado = 3” = 0,0762mDiâmetro de recalque recomendado = 2” = 0,0508mEficiência da bomba = 56%NPSH requerido≈ 5 m c.a.

Alternativamente, é possível selecionar os seguintes modelos de bomba caso ocorra necessidade de aumentar a carga hidráulica da bomba em função de aumento das perdas de carga ou variação na vazão de operação. A ação pode ser efetuada com a troca do rotor da bomba.

IMPORTANTE

Modelo: BC-20 F (240mm)Diâmetro do rotor: 240mmAltura manométrica total (carga hidráulica da bomba) = 114m c.a.Vazão volumétrica da bomba = 61,2 m³/hPotência instalada da bomba = 50cvDiâmetro de sucção recomendado = 3” = 0,0762mDiâmetro de recalque recomendado = 2” = 0,0508mEficiência da bomba = 54%NPSH requerido≈ 5 m c.a.

ou

Modelo: BC-20 F (250mm)Diâmetro do rotor: 250mmAltura manométrica total (carga hidráulica da bomba) = 124m c.a.Vazão volumétrica da bomba = 63,6 m³/hPotência instalada da bomba = 50cvDiâmetro de sucção recomendado = 3” = 0,0762mDiâmetro de recalque recomendado = 2” = 0,0508mEficiência da bomba = 53%NPSH requerido ≈ 5 m c.a.

Cálculo do NPSHdisponível da bomba: O cálculo deve ser executado para verificação da possibilidade de cavitação da bomba centrífuga.



191

Como NPSH disponível (6,47 m c.a.) é maior do que o NPSH requerido (5m c.a.) pela bomba, ela não sofrerá cavitação durante a operação, pois a pressão na linha de sucção ficará acima do valor da pressão de vapor do líquido, na sua temperatura de operação. A bomba centrífuga terá seu sistema de sucção com carga hidráulica disponível suficiente para a sucção do líquido.

Cálculo do consumo elétrico da bomba e custo de operação:

1) Em uma instalação industrial de processos químicos, o ácido sulfúrico diluído (H2SO4) proveniente de um tanque com pressão manométrica positiva de 0,1 bar necessita ser transferido para um reservatório fechado (reator) com pressão manométrica positiva de 4,5 bar, de acordo com o circuito fechado representado no diagrama esquemático a seguir. A bomba deve ter capacidade de enviar 38m³ de água em um tempo de 1h. Considere as seguintes propriedades do ácido sulfúrico diluído: Pvapor=0,0038 bar; γ=15000N/m³; μ=5,7cP. A tubulação de sucção e recalque é formada por trechos de aço-carbono teflonizado e aço-carbono vitrificado, que podem ser assumidos como tubos lisos (ε=0). O diâmetro da tubulação de sucção é igual a 2,5” e o diâmetro da tubulação de recalque é igual a 1,5”. Para o sistema de transporte de líquido, faça o dimensionamento hidráulico conforme solicitado nos itens a seguir:

a) Determine o total de perdas de carga do sistema (distribuídas e localizadas). Considere todos os acessórios descritos no diagrama e utilize a equação de Haaland (1983) para cálculo do fator de atrito de Darcy (fD). Adote g=10m/s² para todos os cálculos.




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c) Calcule o NPSHdisponível da bomba. d) Determine o NPSHrequerido da bomba com a curva característica fornecida pelo

fabricante (Famac Motobombas). A bomba selecionada irá cavitar? Justifique. e) Calcule o consumo de eletricidade e o custo mensal de operação da bomba

selecionada se ela operar continuamente durante 24 horas por dia e 30 dias por mês. Considere a tarifa elétrica igual a R$0,61/kWh.

FIGURA 9 – ESQUEMA DO SISTEMA DE RECALQUE DE FLUIDO PARA O EXEMPLO DE APLICAÇÃO 2

FONTE: O autor



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FIGURA 10 – INFORMAÇÕES TÉCNICAS DA BOMBA CENTRÍFUGA INDICADA AO EXEMPLO DE APLICAÇÃO 2


FIGURA 11 – CURVAS CARACTERÍSTICAS DA BOMBA CENTRÍFUGA INDICADA AO EXEMPLO DE APLICAÇÃO 2



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A resolução e o dimensionamento hidráulico para seleção da bomba centrífuga são descritos na sequência:

Propriedades físicas do ácido sulfúrico diluído (H2SO4)

Pvapor= 0,0038bar = 380Paγ = 15000 N/m³μ = 5,7cP = 0,0057Pa·s

Dados da tubulação:

Dsucção = 2,5” = 0,0635 mDrecalque = 1,5”=0,0381mε aço inoxidável vitrificado= 0mm

Bomba centrífuga:

Qoperação = 38 m³/h = 0,0105 m³/sPressão na sucção do sistema fechado = 0,1bar = 10000PaPressão no recalque do sistema fechado = 4,5bar = 450000Pa

Cálculos relacionados ao trecho de sucção do sistema:



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Cálculos das perdas de carga no trecho de sucção do sistema:





(

(2

Cálculos relacionados ao trecho de recalque do sistema:



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Cálculos das perdas de carga no trecho de recalque do sistema:







197

(

(2

Cálculo da perda de carga total no trecho do escoamento:

Aplicação da equação de Bernoulli no trecho de escoamento para cálculo da carga hidráulica da bomba (altura manométrica total):

Seleção da motobomba centrífuga: De acordo com o catálogo do fornecedor Famac Motobombas, selecionamos a seguinte bomba que contempla os parâmetros hidráulicos do sistema de escoamento:

Fornecedor: Famac MotobombasModelo: FNB Diâmetro do rotor: 240mmAltura manométrica total (carga hidráulica da bomba) = 102mVazão volumétrica da bomba = 44,8 m³/hPotência instalada da bomba = 40cv



198

Diâmetro de sucção recomendado = 2,5” = 0,0635mDiâmetro de recalque recomendado = 1,5” = 0,0381mEficiência da bomba = 55%NPSH requerido ≈ 3,5 m

Como o escoamento é de um líquido de processo químico (ácido sulfúrico diluído), é necessário consultar o fabricante para avaliar a disponibilidade de bombas centrífugas de processos químicos. É necessário contemplar condições para transportar líquidos corrosivos ou produtos químicos agressivos. Geralmente, as bombas precisam ter partes específicas construídas com materiais especiais, como aço inoxidável ou aço-carbono revestido com Teflon®. Outros fabricantes tradicionais de bombas centrífugas para processos químicos industriais são a Omel e KSB.

IMPORTANTE

Cálculo do NPSHdisponível da bomba: o cálculo deve ser executado para verificação da possibilidade de cavitação da bomba centrífuga.

Como NPSH disponível (12,35 m c.a.) é maior pela bomba, ela não sofrerá cavitação durante a operação, pois a pressão na linha de sucção ficará acima do valor da pressão de vapor do líquido, na sua temperatura de operação. A bomba centrífuga terá seu sistema de sucção com carga hidráulica disponível suficiente para a sucção do líquido.

Cálculo do consumo elétrico da bomba e custo de operação:


199

RESUMO DO TÓPICO 1


• As bombas centrífugas (cinéticas ou dinâmicas) e as bombas volumétricas (deslocamento positivo) são os principais tipos de máquinas hidráulicas aplicadas para transporte de fluidos.

• Existem diferenças nos princípios de funcionamento e características operacionais de aplicação de uma bomba centrífuga e uma bomba de deslocamento positivo.

• Os fabricantes disponibilizam curvas características para consulta de parâmetros hidráulicos da bomba centrífuga.

• O método de cálculo e dimensionamento de uma bomba centrífuga para um sistema de escoamento de fluidos em tubulação é importante para a seleção da bomba centrífuga mais adequada aos requisitos do sistema.

• É importante realizar a análise de parâmetros hidráulicos do sistema e o teste de cavitação.

• A pesquisa em catálogos de fornecedores para seleção de bomba centrífuga é fundamental para a escolha do melhor modelo de máquina hidráulica.


200

1 Uma bomba centrífuga deve ser instalada para encaminhar água de um tanque (A) em um condomínio residencial até a estação de tratamento de efluentes (B), conforme ilustra o diagrama esquemático a seguir. O sistema está aberto para a pressão atmosférica no tanque (A) e na descarga da água na estação de tratamento de efluentes (B). A tubulação que faz o transporte do líquido é de aço-carbono comercial (ε=0,045mm) e tem diâmetro de sucção e de recalque igual a 32mm. A vazão de operação da bomba deve ser estimada no número de habitantes do condomínio (2000 habitantes) e na quantidade média de água utilizada por cada habitante (100L/dia). Considere que a água tem os seguintes valores de propriedades físicas: Temperatura= 20°C; Pvapor= 2339,2Pa; γ= 10000N/m³; μ= 1cP. Faça o dimensionamento hidráulico do sistema conforme solicitado nos itens a seguir:

a) Determine o total de perdas de carga do sistema (distribuídas e localizadas). Considere como acessórios do sistema de tubulação apenas as curvas (k=1,5). Utilize a equação de Haaland (1983) para cálculo do fator de atrito de Darcy (fD). Adote g=10m/s² para todos os cálculos.


c) Calcule o NPSHdisponível da bomba. d) Determine o NPSHrequerido da bomba com a curva característica

fornecida pelo fabricante (Famac Motobombas). A bomba selecionada irá cavitar? Justifique.

e) Calcule o consumo de eletricidade e o custo mensal de operação da bomba selecionada se ela operar continuamente durante 24 horas por dia e 30 dias por mês. Considere a tarifa elétrica igual a R$0,58/kWh.

AUTOATIVIDADE


201


202


203

TÓPICO 2

MEDIÇÃO DE VAZÃO E VELOCIDADE

NO ESCOAMENTO DE FLUIDOS

UNIDADE 3

1 INTRODUÇÃOA medição do fluxo de escoamento refere-se à capacidade de medir a

velocidade, vazão volumétrica ou vazão mássica de líquidos ou gases. O controle e a precisão na medição do fluxo de escoamento de um fluido são essenciais para o controle de processos industriais, controle de consumo de fluidos e cálculos dos custos associados, avaliação do desempenho de motores, sistemas de refrigeração e outros processos industriais que empregam fluidos em movimento.

Existem muitos tipos de medidores de vazão e velocidade de fluidos disponíveis no mercado, que variam amplamente em seu nível de sofisticação, tamanho, custo, precisão, versatilidade, capacidade, queda de pressão e o princípio de funcionamento (ÇENGEL; CIMBALA, 2007).

As técnicas empregadas na medição variam desde métodos simples e rústicos até o uso de dispositivos extremamente engenhosos. É importante estar familiarizado com os métodos e dispositivos mais usados para medir vazão e velocidade de escoamentos em líquidos e gases que escoam através de tubulações.

2 CONCEITOA medição de vazão é uma função importante em qualquer indústria que

emprega fluidos para realizar suas operações. A medição de vazão é empregada em diversas situações do cotidiano, como quando abastecemos o carro com gasolina. A bomba do sistema de recalque do posto de combustível inclui um medidor de vazão para indicar quantos litros de combustível foram abastecidos no carro para que você pague corretamente pelo volume comprado. A quantidade de combustível vendida também é registrada pelo posto para controlar o volume total vendido em um dia. As ações ajudam no gerenciamento da necessidade de reabastecimento do estoque de combustível no posto. Mott e Untener (2015) elencam outras situações em que a medição de vazão de fluido é essencialmente aplicada na Engenharia e na Medicina:

• A avaliação de desempenho de um motor requer o uso de um combustível que fornece a energia básica necessária para acionamento. A indicação do


204


desempenho do motor pode ser feita medindo a potência do motor (energia por unidade de tempo) em relação à taxa de combustível utilizada (litros por hora). A ação está diretamente relacionada à eficiência de combustível medida que é usada para determinar o consumo do veículo, por exemplo, em quilômetros percorridos por litro de combustível utilizado.

• Controle de processo industrial: qualquer indústria que usa fluidos em seus processos deve monitorar o escoamento de fluidos. Por exemplo, bebidas são misturas de vários constituintes que devem ser precisamente controlados para haver o sabor que o cliente espera. O monitoramento e o controle contínuo da vazão de cada constituinte de um sistema de mistura são fundamentais para a garantia da qualidade dos produtos.

• Tratamento médico: o fluxo de oxigênio, transfusão de sangue ou medicamento líquido deve ser cuidadosamente monitorado e controlado para garantir que o paciente receba as dosagens adequadas. Medições imprecisas podem ser perigosas.

Muitos dispositivos estão disponíveis para medição do escoamento. Como descrito por Çengel e Cimbala (2015), alguns medidores de vazão medem a vazão diretamente descarregando e recarregando uma câmara de medição de volume conhecida continuamente e controlando o número de descargas ao longo do tempo. A maioria dos medidores de vazão, entretanto, mede a vazão do escoamento indiretamente, com a determinação da velocidade média de escoamento ou um parâmetro relacionado à velocidade média, tal como a pressão. A velocidade média do fluido pode ser convertida em vazão volumétrica multiplicando a velocidade pela área de seção transversal do escoamento. O tipo de sinal de saída varia consideravelmente para cada tipo de medidor. A indicação pode ser uma pressão, um nível de líquido, um contador mecânico, a posição de um indicador no fluxo de fluido, um sistema elétrico de sinal contínuo ou uma série de impulsos elétricos. O tamanho do medidor, seu custo, a pressão do sistema de escoamento e as habilidade necessárias para a correta operação do medidor de vazão devem ser considerados.

A escolha do tipo ideal de medidor de vazão de fluido e sua aplicação dependem de vários fatores, sendo os mais importantes (MOTT; UNTENER, 2015; JANNA, 2016):

Alcance ou amplitude de medição: Os medidores disponíveis comercialmente podem medir vazões de alguns mililitros por segundo (mL/s) para experiências laboratoriais até vários milhares de metros cúbicos por segundo (m³/s) para a água de irrigação ou sistemas municipais de água e esgoto. Então, para uma instalação particular do medidor, a magnitude da vazão deve ser conhecida, assim como o grau de variações da medida. Segundo Mott e Untener (2015), uma metodologia frequentemente usada na literatura de medição é o turndown. É preciso efetuar uma razão do valor máximo da vazão que o medidor pode medir e o valor da vazão mínima que o medidor pode captar dentro da precisão declarada. A razão é um indicativo da capacidade do medidor de funcionar sob todas as condições de vazões de escoamento esperadas na sua aplicação.


TÓPICO 2 | MEDIÇÃO DE VAZÃO E VELOCIDADE NO ESCOAMENTO DE FLUIDOS

205

Precisão exigida: praticamente qualquer dispositivo de medição instalado corretamente e operado pode produzir uma precisão dentro de 5% da vazão real do fluido. A maioria dos medidores comerciais é capaz de atingir 2% de precisão e os mais sofisticados chegam a precisões de até 0,5%. O custo do medidor se torna um fator importante quando deseja-se uma grande precisão na medida de vazão (FOX; McDONALD; PRITCHARD; MITCHELL, 2018).

Perda de carga (pressão): os detalhes na construção dos dispositivos de medição são diferentes e produzem quantidades diferentes de perda de carga no escoamento à medida que o fluido escoa. Alguns tipos de medidores realizam a medição colocando uma restrição ou um dispositivo mecânico no meio do escoamento do fluido, causando, assim, a perda de carga. A perda de carga, manifestada pela redução de pressão do fluido ao passar pelo dispositivo, é o princípio básico para determinar a velocidade de um escoamento através do uso das lei de conservação (equação da continuidade e equação de Bernoulli). O ideal é que o medidor de vazão de um fluido cause a menor perda de carga possível no escoamento.

Tipo de fluido: o desempenho de alguns medidores de vazão é afetado pelas propriedades e condições do fluido. Uma consideração básica inicial para escolha do medidor mais indicado é se o fluido é um líquido ou um gás. Outros fatores importantes na escolha do medidor ideal são: a viscosidade do fluido, sua temperatura, a condutividade elétrica, a corrosividade, propriedades ópticas, as propriedades lubrificantes e homogeneidade do fluido. Fluidos especiais, tais como lamas e fluidos multifásicos, requerem dispositivos especiais para medição de vazão.

3 DISPOSITIVOS COMUNS PARA MEDIÇÃO DE VAZÃO E VELOCIDADE DE FLUIDOS

Os dispositivos mais comuns para medição de vazão e velocidade de fluidos são baseados no princípio da equação de Bernoulli. Ocorre a variação de pressão em um fluido em função da sua variação de velocidade. O princípio mostra que a vazão de um fluido pode ser determinada restringindo a área de seção do escoamento e medindo a redução de pressão do fluido devido ao aumento de sua velocidade (ÇENGEL; CIMBALA, 2015). Portanto, a diferença de pressão entre os pontos antes e depois da restrição pode ser usada para indicar a vazão do escoamento. Os tipos mais comuns de medidores de vazão que utilizam o princípio de operação são chamados de medidores de vazão por obstrução, sendo os mais conhecidos o tubo de Venturi, o medidor de bocal e o medidor de placa-orifício. A relação entre a pressão causada pelo medidor no fluido e a vazão volumétrica do escoamento é a mesma, independentemente de qual tipo de dispositivo é usado.

Outros dispositivos medem a velocidade do escoamento de fluido. São chamados de sondas de velocidade, que funcionam com o princípio da


206


determinação de diferença da pressão total (ou de estagnação) e pressão estática do fluido, resultando na pressão dinâmica do escoamento, ou seja, a própria velocidade do fluido. Os medidores mais comuns são os tubos de Pitot e sondas de Pitot-Darcy.

3.1 TUBO DE PITOT

Quando um fluido em movimento é parado porque encontra um objeto estacionário, a energia cinética do fluido é convertida em carga de pressão, sendo a pressão maior que a pressão do escoamento de fluido. A magnitude do aumento da pressão está relacionada com a velocidade do fluido. O tubo de Pitot usa o princípio para indicar a velocidade do escoamento. O tubo Pitot é um tubo oco posicionado de modo que a ponta aberta aponte diretamente e perpendicularmente para a corrente de fluido para sentir o impacto da pressão do escoamento. A pressão na ponta faz com que uma coluna de fluido seja suportada. O fluido dentro do tubo de Pitot é estacionário ou estagnado e o ponto é referido como a pressão de estagnação. Podemos utilizar a equação de energia para relacionar a pressão no ponto de estagnação e a velocidade do fluido. Se o ponto 1 estiver em uma linha de corrente do escoamento não perturbada à frente do tubo e o ponto 2 estiver no ponto de estagnação, então a equação de Bernoulli pode ser aplicada entre os dois pontos.

FIGURA 12 – SONDAS DE PITOT-DARCY




207

A equação de Bernoulli afirma que a soma das energias potencial, cinética e de pressão (de escoamento) de um fluido a partir de sua linha de corrente é constante em escoamentos em regime permanente, portanto, as cargas (energias) potenciais e cinéticas do fluido podem ser convertidas em carga (energia) de pressão (assim como a carga de pressão pode ser convertida em carga potencial e cinética) durante o escoamento, causando a variação de pressão (ÇENGEL; CIMBALA, 2007; COELHO, 2016; WHITE, 2011). Com a equação de Bernoulli em termos de unidade de pressão, podemos definir os tipos de pressão no escoamento do fluido:

(1)

Multiplicando os termos pelo peso específico do fluido

Sendo “P” a pressão estática que não incorpora efeitos dinâmicos, ou seja, a pressão termodinâmica real do fluido; “ρv²/2” é a pressão dinâmica representada pelo aumento de pressão quando o fluido em movimento é parado de forma isentrópica e “ρgh” é a chamada pressão hidrostática que depende do nível de referência adotado, representa os efeitos da altura e peso do fluido sobre a pressão (ÇENGEL; CIMBALA, 2007; COELHO, 2016; WHITE, 2011). A soma de todas as pressões é chamada de pressão total, que é constante em uma linha de corrente do fluido durante um escoamento em regime permanente. A soma das pressões estáticas e dinâmicas de um fluido é chamada de pressão de estagnação.

FIGURA 13 – PRESSÕES ESTÁTICA, DINÂMICA E DE ESTAGNAÇÃO DE UM FLUIDO


(2)


208


Mott e Untener (2015) definem os tubos de Pitot e as sondas estáticas de Pitot como dispositivos que medem a velocidade local através da determinação da diferença de pressão em conjunto com a equação de Bernoulli. O dispositivo consiste em um delgado tubo duplo alinhado com o fluxo e conectado a um medidor de pressão diferencial. O tubo interno está totalmente aberto para o escoamento na ponta, e assim mede a pressão de estagnação naquele local (ponto 1). O tubo externo está vedado na ponta, mas tem furos no lado da parede externa (ponto 2) e assim mede a pressão estática (ÇENGEL; CIMBALA, 2007). Para fluxo incompressível com altas velocidades (para que os efeitos de atrito entre os pontos 1 e 2 sejam insignificantes), a equação de Bernoulli é aplicável e é expressa como:

Observando que h1 = h2 já que os orifícios de pressão estática da sonda estática de Pitot são dispostos circunferencialmente em torno do tubo e v1=0 por causa das condições de estagnação, a velocidade de escoamento de fluido (v2) torna-se:

ou

A equação é conhecida como a fórmula de Pitot. Se a velocidade do escoamento é medida em um local onde a velocidade local é igual à velocidade média do fluido, a vazão volumétrica pode ser calculada a partir da equação de vazão volumétrica, conhecendo a área de seção do escoamento.

Vários fabricantes fornecem dispostivos para medição da pressão diferencial em sondas de Pitot-Darcy. Se um manômetro diferencial for usado, a deflexão do fluido manométrico (h) pode estar relacionada diretamente com a velocidade e através de um ajuste na fórmula de Pitot. O termo (P2-P1)/γ na equação (4) equivale à diferença entre a pressão de estagnação (total) e a pressão estática do fluido, o que resulta na carga hidráulica (h), que representa a pressão vdinâmica do fluido. Assim, aplicando a manometria, obtemos a seguinte relação:

(5)

(3)

(4)



209

FIGURA 14 – MANÔMETRO DIFERENCIAL USADO EM UMA SONDA PITOT-DARCY


A sonda estática Pitot é um dispositivo simples, barato e altamente confiável, já que não tem partes móveis (ÇENGEL; CIMBALA, 2007). Também causa perda de carga (pressão) no escoamento muito pequena. No entanto, é importante que seja alinhada corretamente com o fluxo do escoamento para evitar erros significativos de leitura. Ainda, a diferença entre a pressão estática e a pressão de estagnação (que é a pressão dinâmica) é proporcional à densidade do fluido e ao quadrado da velocidade do fluido. Ela pode ser usada para medir a velocidade tanto em líquidos quanto em gases. Observando que os gases têm baixas densidades, a velocidade do fluido deve ser suficientemente alta quando a sonda estática de Pitot é usada para o escoamento de gás (ÇENGEL; CIMBALA, 2007; MUNSON; YOUNG; OKIISHI, 2004).

3.2 MEDIDORES DE VAZÃO POR OBSTRUÇÃO: PLACA ORIFÍCIO, BOCAL E VENTURI

A figura a seguir ilustra os três principais tipos de medidores de vazão por obstrução: medidor de orifício (ou placa-orifício), medidor de bocal e tubo de Venturi.


210


FIGURA 15 – TIPOS MAIS COMUNS DE MEDIDORES DE VAZÃO POR OBSTRUÇÃO


No caso do tubo de Venturi, o escoamento de fluido pelo tubo (seção 1) é obrigado a acelerar através de uma seção 2 mais estreita, chamada garganta, em que a pressão do fluido é reduzida. O escoamento segue então para a parte divergente do tubo, que volta ao mesmo diâmetro do tubo na seção 1, em que o fluido recupera parcialmente a sua pressão. As tomadas de pressão estão localizadas na parede do tubo principal (seção 1) e na parede da garganta (seção 2).



211

FIGURA 16 – MEDIDOR DO TIPO VENTURI COM UM MEDIDOR DE PRESSÃO DIFERENCIAL ADAPTADO PARA DETERMINAÇÃO DA VAZÃO VOLUMÉTRICA DE ESCOAMENTO


A pressão do fluido reduz na seção estreita do tubo de Venturi porque uma parcela da pressão do escoamento é convertida em energia cinética para manter a vazão constante no escoamento, aumentando, assim, a velocidade do fluido. Após o fluido passar a seção de restrição e voltar a escoar no diâmetro do tubo principal, uma parte da pressão é recuperada devido à redução da energia cinética do fluido (aumento do diâmetro do tubo implica em redução de velocidade). Contudo, parcelas significativas de pressão podem ser perdidas irreversivelmente devido aos efeitos de atrito na parede do tubo, aos efeitos de vórtices gerados pelo fenômeno da vena contracta e à separação do escoamento (ÇENGEL; CIMBALA, 2007; ROTAVA, 2012; TERRON, 2012).

IMPORTANTE

Um escoamento incompressível em regime permanente em um tubo horizontal de diâmetro D (ou D1), que é restrito a uma área de escoamento de diâmetro menor d (ou D2), pode ter as equações de balanço de massa (continuidade) e energia (Bernoulli) aplicadas entre um ponto antes da constrição e um ponto em que a constrição ocorre da seguinte forma:

Balanço de massa


212


(*)

Balanço de energia

(**)

Inserindo (*) em (**) e após as manipulações matemáticas:

sendo

Vazão teórica

A vazão teórica é calculada desconsiderando as perdas de carga no medidor, ou seja, a velocidade calculada na constrição é máxima quando não existem perdas de carga. Na prática, alguma perda ocorre e é inevitável, portanto, a velocidade do fluido na obstrução do medidor será menor (ÇENGEL; CIMBALA, 2007). Em conjunto, a vena contracta formada no fluido, após passar a constrição, continua a se contrair por certa distância e sua área de seção transversal é menor. Os fenômenos geram uma perda de carga que deve ser contabilizada com a incorporação de um parâmetro chamado coeficiente de descarga (Cd), cujo valor é determinado experimentalmente e varia de acordo com o tipo de medidor e vazão do escoamento.

Vazão real



213

O valor do coeficiente de descarga (Cd) depende do valor de β e do número de Reynolds (Re). Geralmente, as correlações e valores de Cd para diversos tipos de medidores de vazão por obstrução são fornecidos em gráficos e diagramas pelo fabricante do instrumento. As relações para cálculo do coeficiente de descarga (Cd) para medidores por obstrução são:

Placa Orifício

Válida para 0,25 < β < 0,75 e 104 < Re < 107

Para escoamentos com Re > 30.000 pode-se adotar o valor de Cd=0,61 em medidores de orifício.

Tubo de Venturi

Devido à característica e projeto mais aerodinâmico, os coeficientes de descarga do medidor tipo Venturi são altos e sua obtenção requer cálculos iterativos para ajuste de curvas. Entretanto, quando as informações não estão disponíveis, podemos utilizar valores de para o tubo de Venturi.

Bocal

Válida para 0,25 < β < 0,75 e 104 < Re < 107

Para escoamentos com Re > 30.000 pode-se adotar o valor de Cd=0,96 em medidores de bocal. Um medidor do tipo bocal é ilustrado na figura a seguir.


214


FIGURA 17 – MEDIDOR DO TIPO BOCAL COM UM MEDIDOR DE PRESSÃO DIFERENCIAL ADAPTADO PARA DETERMINAÇÃO DA VAZÃO VOLUMÉTRICA DE ESCOAMENTO


O medidor de orifício apresenta projeto mais simples e ocupa um espaço mínimo e menos invasivo, pois consiste em uma placa vazada, podendo apresentar variações consideráveis no desenho. Çengel e Cimbala (2015) e Munson, Young e Okiishi (2004) apresentam várias considerações sobre os medidores de vazão por obstrução.

Alguns medidores de orifício possuem arestas vivas, enquanto outros são chanfrados ou arredondados. A mudança repentina na área de escoamento em medidores de orifício provoca vórtices e redemoinhos consideráveis e, portanto, há um aumento da perda de carga ou pressão permanente, ou seja, uma parcela de pressão que o fluido não recupera depois de passar pela placa-orifício. Nos medidores de bocal, a placa-orifício é substituída por um bocal, tornando o escoamento mais aerodinâmico e sem grandes perturbações. A ação praticamente elimina o fenômeno da vena contracta e a perda de carga do fludo é menor. Contudo, os medidores de vazão do tipo bocal são mais caros (ÇENGEL; CIMBALA, 2007).



215

O medidor de Venturi é o mais preciso medidor de vazão, mas é o mais caro. Sua contração gradual e a expansão impedem a separação do fluxo e turbilhonamento do fluido, tendo perdas de carga por atrito nas superfícies internas da parede. Medidores de Venturi causam baixas perdas de carga e, portanto, devem ser preferidos para aplicações que não permitem grandes quedas de pressão (ÇENGEL; CIMBALA, 2007).

Quando um medidor de vazão por obstrução é instalado na tubulação, seu efeito no sistema de escoamento é semelhante a uma perda de carga por acessório. Deve-se considerar o coeficiente de perda de carga do acessório (medidor de vazão), que é disponibilizado pelo fabricante, no cálculo das perdas de carga menores do sistema de escoamento. Os medidores de orifício apresentam os maiores coeficientes de perdas menores (ou constantes características), enquanto os medidores de Venturi têm os valores mais baixos do parâmetro.

No caso de escoamento de gases, medidores de vazão por obstrução

podem ser utilizados, porém ajustes devem ser efetuados no cálculo da vazão, tais como a inserção de um coeficiente de compressibilidade (devido ao gás ser compressível). O cálculo da vazão deve ser feito na base mássica. Para gases, a equação da continuidade descreve o balanço de massa em regime permanente, mas não se aplica a um balanço volumétrico em função das variações de densidade do fluido.

FIGURA 18 – MEDIDOR DO TIPO ORIFÍCIO COM UM MEDIDOR DE PRESSÃO DIFERENCIAL ADAPTADO PARA DETERMINAÇÃO DA VAZÃO VOLUMÉTRICA DE ESCOAMENTO



216


Repare, na figura anterior, a formação de vórtices e redemoinhos devido à separação do escoamento pela vena contracta do fluido, antes e depois da placa-orifício. O fenômeno aumenta a perda de carga do fluido e causa uma perda de pressão irreversível no escoamento.

IMPORTANTE

FIGURA 19 – ASPECTO DE INSTALAÇÃO DA PLACA-ORIFÍCIO NA TUBULAÇÃO

FONTE: O autor

FIGURA 20 – DIVERSOS TIPOS DE PLACAS COM ORIFÍCIO SEGMENTADO, EXCÊNTRICO E CENTRALIZADO

FONTE: Adaptado de Rotava (2012)



217

4 OUTROS DISPOSITIVOS PARA MEDIÇÃO DE VAZÃOVários tipos de dispositivos podem ser aplicados para medição de

velocidade e vazão do escoamento de acordo com a necessidade específica. A engenhosidade no uso de fundamentos físicos aplicados para o funcionamento de alguns dos dispositivos é um aspecto interessante. Alguns dos medidores de vazão são extremamente simples e baratos, enquanto outros requerem certa automação para instalação e, portanto, são mais caros.

Os medidores de vazão de área variável (rotâmetros) são instrumentos simples, confiáveis, baratos e de fácil instalação com pequena queda de pressão e sem conexões elétricas, fornecendo uma leitura direta da vazão de escoamento para uma ampla variedade de fluidos (ÇENGEL; CIMBALA, 2007). O medidor de vazão de área variável também é chamado de rotâmetro ou medidor de flutuação.

Um rotâmetro de área variável consiste em um tubo cônico transparente vertical feito de vidro ou plástico com um flutuador no interior que está livre para se mover. Como o fluido escoa através do tubo cônico, o flutuador sobe dentro do tubo para um local onde o peso do flutuador, a força de arrasto e a força de empuxo se equilibram, tornando a força resultante nula. A vazão do escoamento é determinada simplesmente verificando a posição do flutuador contra a escala graduada fora do tubo transparente cônico.

FIGURA 21 – MEDIDORES DE VAZÃO DE ÁREA VARIÁVEL: ROTÂMETRO COM FLUTUADOR COM BASE NA GRAVIDADE (ESQUERDA) E MEDIDOR COM BASE NA MOLA OPOSTA (DIREITA)



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A força de arrasto aumenta com a velocidade do escoamento. O peso e a força de empuxo atuando no flutuador são constantes. Além disso, a velocidade ao longo do tubo cônico diminui na direção do fluxo por conta do aumento da área de seção transversal do tubo cônico. Existe uma certa velocidade que gera arrasto suficiente para equilibrar o peso do flutuador e a força de empuxo. A localização em que a velocidade ocorre em torno do flutuador é a localização onde o flutuador se estabiliza.

O grau de afinamento do tubo é feito para que a elevação vertical do flutuador mude linearmente com a vazão do escoamento e, assim, o tubo pode ser calibrado linearmente para vários valores de vazão. O tubo transparente também permite que o fluido seja acompanhado visualmente durante o escoamento.

Existem várias configurações de medidores de vazão de área variável. Alguns são baseados na ação da gravidade sobre o flutuador, sendo que, no caso, o tubo cônico deve ser posicionado verticalmente, com o fluido entrando pelo fundo do tubo cônico e saindo pelo topo.

Os medidores de área variável com mola oposta têm a força de arrasto do fluido equilibrada pela força de resistência e tais medidores de vazão podem ser instalados horizontalmente.

Segundo Mott e Untener (2015), a precisão dos medidores é, geralmente, em torno de 5%, portanto, esses tipos de medidores de vazão não são apropriados para aplicações que exigem medições altamente precisas. Um dos motivos da imprecisão está no fato do tipo de medidor depender da verificação visual da posição do flutuador e, portanto, não pode ser usado para medir a vazão de fluidos, estes que são opacos e sujos ou fluidos que cobrem o flutuador, uma vez que os fluidos dificultam a visualização do flutuador, fundamental para a leitura da vazão correspondente na escala graduada do tubo cônico. Outro aspecto se refere aos tubos de vidro que são propensos a quebrar, causando vazamentos que representam um risco de segurança. Recomenda-se que os medidores sejam instalados em locais com circulação mínima de pessoas.

Os medidores de vazão ultrassônicos operam segundo o conceito de ondas formadas por perturbações no fluido. Elas se movem muito mais rápido na direção de um fluido em movimento do que em um fluido parado. Quando a onda segue a mesma direção do fluido, a velocidade da onda e a do fluido são somadas. Quando a onda segue na direção oposta do escoamento do fluido, as velocidades da onda e do fluido são subtraídas. O resultado do fenômeno é que as ondas tendem a espalhar-se mais a jusante (acompanhando o sentido do escoamento) enquanto parecem mais compactadas a montante (no sentido oposto à direção do escoamento). A diferença entre o número de ondas nas partes a montante e a jusante do escoamento por unidade de comprimento de tubo é proporcional à velocidade do fluido. Assim, a velocidade do escoamento pode ser medida comparando a propagação de ondas para frente e para trás do escoamento.



219

Medidores de vazão ultrassônicos operam assim, usando ondas sonoras na faixa ultrassônica (tipicamente com uma frequência de 1 MHz). Os medidores, também chamados de medidores de vazão acústicos, operam gerando ondas sonoras com um transdutor e medem a propagação das ondas através de um fluido em movimento. Segundo Mott e Untener (2015) e Janna (2016), a grande vantagem na aplicação dos tipos de medidores de vazão é o fato do instrumento não ser invasivo, ou seja, não entra em contato com o fluido. Existem dois tipos básicos de medidores de vazão utrassônicos: medidores por tempo de trânsito e de efeito Doppler (ou variação de frequência).

O medidor de vazão ultrassônico de tempo de trânsito transmite ondas sonoras nas direções a montante e a jusante do escoamento e mede a diferença no tempo de trânsito das ondas. Ele envolve dois transdutores que alternadamente transmitem e recebem ondas ultrassônicas, uma na direção de escoamento e a outra na direção oposta. O tempo de trânsito da onda para cada direção pode ser medido com precisão e a diferença no tempo de viagem pode ser calculada. A velocidade média do fluido no tubo é proporcional à diferença de tempo de trânsito das ondas sonoras (ÇENGEL; CIMBALA, 2007). O instrumento é indicado para medição da velocidade em fluidos limpos, pois partículas e sujeiras no fluido interferem no tempo de trânsito da onda e na recepção do sinal pelo dispositivo.

FIGURA 22 – OPERAÇÃO DE UM MEDIDOR DE VAZÃO ULTRASSÔNICO COM BASE NO TEMPO DE TRÂNSITO


Os medidores ultrassônicos de efeito Doppler utilizam o conceito da mudança de frequência das ondas sonoras devido ao movimento relativo da fonte emissora, causando a compressão das ondas.

O princípio de funcionamento do tipo de medidor de vazão em questão é a medição da velocidade média do fluido escoando ao longo do caminho sonoro (trajetória do som). A ação é feita fixando um transdutor piezoelétrico na superfície externa de um tubo (ou pressionando o transdutor contra o tubo em unidades portáteis). O transdutor transmite uma onda sonora a uma frequência fixa através da parede do tubo e no líquido que escoa. O instrumento é mais indicado


220


para medir a velocidade de fluidos sujos e com impurezas ou particulados, que ajudam a inibir parte do sinal ultrassônico. As ondas refletidas por impurezas, tais como partículas sólidas suspensas ou bolhas de gás, são retransmitidas para um transdutor ou receptor. A mudança na frequência das ondas que são refletidas é proporcional à velocidade do fluido e um microprocessador determina a velocidade do escoamento, comparando o desvio de freqüência entre a transmissão e os sinais refletidos (ÇENGEL; CIMBALA, 2007).

FIGURA 23 – OPERAÇÃO DE UM MEDIDOR DE VAZÃO ULTRASSÔNICO COM BASE NO EFEITO DOPPLER. EQUIPADO COM UM TRANSDUTOR POSICIONADO NA SUPERFÍCIE

EXTERNA DO TUBO


Faça uma pesquisa nas referências do livro didático sobre a aplicação, princípio de funcionamento e aspecto construtivo de outros tipos de medidores de velocidade e vazão de fluido, tais como medidores de vazão de deslocamento positivo, medidor mássico do tipo Coriolis, medidores do tipo turbina, eletromagnéticos, de vórtice e anemômetros de pás. Consulte também nas referências as técnicas disponíveis para criação de imagens de fluidos para representarmos a distribuição de velocidade em escoamentos complexos de fluidos. Algumas das técnicas mais modernas incluem a anemometria térmica (anemômetros térmicos de fio quente e filme quente), velocimetria por imagem de partícula (PIV), fluidodinâmica computacional (CFD), anemometria laser Doppler (LDA) e técnicas de fluorescência induzida por laser (LIF).

IMPORTANTE

5 EXEMPLOS DE APLICAÇÃO1 Um medidor do tipo Venturi é equipado com um medidor de pressão

diferencial, conforme ilustrado a seguir. O dispositivo mede a vazão de água com densidade 999,1kg/m³ através de um tubo horizontal com 5cm de diâmetro. O diâmetro da garganta do tubo de Venturi é de 3cm e a perda de



221

carga medida é igual a 5kPa. Considerando o coeficiente de descarga (Cd) como 0,98, determine a vazão volumétrica de água e a velocidade média da água pela tubulação principal.

FIGURA 24 – TUBO VENTURI COM MEDIDOR DE PRESSÃO DIFERENCIAL PARA O EXEMPLO DE APLICAÇÃO 1


Utilizando as equações descritas na definição do medidor do tipo tubo de Venturi, podemos calcular os parâmetros necessários. Adotaremos a tubulação principal como ponto 1 e a garganta do tubo de Venturi como ponto 2.

Sendo

Assim, a vazão teórica do escoamento é:

Como o escoamento é em regime permanente, a vazão volumétrica teórica no tubo de Venturi é igual à vazão volumétrica teórica na tubulação principal.

A vazão real do escoamento pode ser calculada com o uso do coeficiente de descarga (Cd):


222


A velocidade do escoamento pela tubulação principal é calculada com a equação de vazão volumétrica:

2 Um medidor do tipo Venturi é equipado com um manômetro com água para medição da pressão diferencial. O dispositivo mede a vazão de ar com temperatura de 20°C e densidade de 1,204 kg/m³. O diâmetro do tubo principal é de 15 cm e a garganta do tubo de Venturi tem diâmetro igual a 6cm. Considerando o coeficiente de descarga (Cd) sendo 0,98 e a altura (h) da coluna de água no manômetro igual a 40cm, determine a vazão mássica de ar e a velocidade média do ar pela tubulação principal. Considere a densidade da água igual a 1000kg/m³ e g=9,81m/s².

FIGURA 25 – TUBO VENTURI COM MEDIDOR DE PRESSÃO DIFERENCIAL PARA O EXEMPLO DE APLICAÇÃO 2


Utilizando as equações descritas na definição do medidor do tipo tubo de Venturi, podemos calcular os parâmetros necessários. Adotaremos a tubulação principal como ponto 1 e a garganta do tubo de Venturi como ponto 2.

Sendo

A diferença de pressão entre o escoamento da tubulação principal e a garganta do Venturi pode ser calculada por manometria:



223

Assim, a vazão teórica do escoamento é:

Como o escoamento é em regime permanente, a vazão volumétrica teórica no tubo de Venturi é igual à vazão volumétrica teórica na tubulação principal.

A vazão real do escoamento pode ser calculada com o uso do coeficiente de descarga (Cd):

A vazão mássica do escoamento pela tubulação principal é calculada com a equação que relaciona vazão volumétrica e densidade do fluido:

A velocidade do escoamento pela tubulação principal é calculada com a equação de vazão volumétrica:


224



MEDIÇÃO DE NÍVEL EM TANQUES DE ARMAZENAMENTO

Tanques de armazenamento de fluidos são partes integrantes de muitos sistemas e processos industriais que envolvem escoamento de fluidos e, portanto, é necessário monitorar o nível de fluido em tais tanques. Em instalações industriais modernas, as medições do nível no tanque são tipicamente transmitidas de forma remota para monitores ou estações de controle onde os operadores acompanham o nível continuamente para um controle mais preciso e, caso necessário, atuação imediata. Vários dispostivos e técnicas de medição estão disponíveis para tanques que contêm líquidos ou sólidos. Para aplicações industriais, é recomendado sempre consultar fornecedores para determinarem qual a melhor opção de medidor de nível para determinada aplicação. Alguns dos dispositivos mais comuns para medição de nível são descritos a seguir:

Tipo flutuante: A força de flutuação que age em um flutuador faz com que ele suba ou desça conforme o nível do líquido altere. A posição do flutuador pode acionar um dispositivo comparador em uma régua graduada na parte externa do tanque, interruptor ou um sinal que é transmitido a uma determinada estação receptora de forma remota. Os flutuadores são normalmente usados para detectar os limites inferiores e superiores do tanque.

Sensores de pressão: Instalando um sensor de pressão na parte inferior de um tanque é possível detectar a profundidade do líquido usando o princípio da manometria (ΔP=γh), em que ‘γ’ é o peso específico do fluido e ‘h’ é a profundidade acima do sensor. É preciso tomar cuidado quando o peso específico do líquido mudar por causa da temperatura ou composição do material. Quando o tanque estiver pressurizado, um sensor de pressão diferencial pode medir tanto a pressão ambiente acima do fluido quanto a pressão no fundo do tanque e, ainda, usando a diferença para determinação da altura da coluna de líquido (nível de líquido no tanque).

Sonda de capacitância: Um sinal elétrico de corrente alternada de alta frequência é conduzido a um sensor e a magnitude da corrente que flui é dependente da capacitância do material no tanque e da profundidade de submersão da sonda. Embora os dispositivos possam ser usados para a maioria de líquidos e sólidos, a calibração para cada tipo de material é necessária.

Sensor tipo de vibração: É baseado no princípio de que a freqüência de vibração de um fino sensor muda com a densidade do material em contato. É usado para medição de nível pontual ou crítico, por exemplo, o menor nível aceitável no tanque para que a válvula de reabastecimento possa ser acionada ou o máximo nível aceitável no tanque para que a válvula de admissão de líquido seja fechada.



225

Sensor Ultrassônico: Um pulso de som de alta frequência é emitido e, em seguida, refletido a partir da superfície do fluido ou sólido com detecção por conta de sua maior densidade comparada com o ar ou outro gás acima do material. O tempo para o sinal refletido ser detectado pelo sensor é então relacionado com a distância percorrida e, portanto, o nível de material no tanque pode ser estabelecido. A frequência sonora emitida é tipicamente na faixa de 12 kHz a 70 kHz. O dispositivo é um tipo de medidor de nível sem contato direto com o material e pode ser usado para materiais abrasivos ou em configurações de tanques que não permitem um sensor no próprio fluido. Algumas desvantagens são: a sensibilidade ao pó, espuma, ruído ambiente, superfícies turbulentas e acúmulo de material no emissor do pulso sonoro. Devemos também ter cuidado com o uso de sensores de nível de ultrassom com materiais sólidos, porque a superfície tende a ter uma forma cônica ou inclinada com base na ângulo de repouso do material. O sinal também pode ser dispersado por materiais contaminantes no fluido.

Sensor tipo radar: O sensor de nível tipo radar usa microondas eletromagnéticas em uma freqüência na faixa de 6 GHz a 26 GHz, dependendo do projeto do transmissor. O sinal é direcionado para a superfície do fluido por uma espécie de antena cônica e é refletido a partir da superfície por conta da mudança na constante dielétrica do fluido em relação ao meio acima da sua superfície. A onda refletida é detectada e o tempo de transmissão está relacionado com a distância percorrida no fluido e, consequentemente, ao nível da superfície do fluido no tanque.

FONTE: MOTT, R. L.; UNTENER, J. A. Applied fluid mechanics. 7. ed. Pearson Education Limited, 2015. p. 414.


226

RESUMO DO TÓPICO 2


• Com base no princípio de funcionamento, um medidor de vazão ou velocidade de escoamento pode ser categorizado em três grandes grupos: dispositivos que usam técnicas de medição de vazão volumétrica ou mássica (medidores por obstrução, rotâmetros ou ultrassônicos); dispositivos que usam técnicas de medição da velocidade (tubos de Pitot) e dispositivos que usam técnicas de medição do campo de velocidade completo (técnicas modernas como a velocimetria por imagem de partícula).

• É importante conhecer a descrição dos principais dispositivos usados na indústria para medição da velocidade e vazão de um fluido no escoamento.

• A formulação matemática e a dedução de equações constitutivas da mecânica dos fluidos são aplicadas no princípio de funcionamento de medidores de velocidade e vazão de fluidos do tipo por obstrução ou pressão variável.

• Existem diversas considerações, vantagens e desvantagens na seleção e aplicação dos dispositivos de medição de vazão de fluidos.


227

AUTOATIVIDADE

1 Faça uma lista dos principais itens a serem considerados na escolha de um medidor de vazão de fluidos.

2 Explique como a vazão do fluido pode ser medida através de um tubo estático de Pitot ou sonda de Pitot-Darcy. Quais são suas vantagens e desvantagens com relação ao custo, perda de carga no escoamento, exatidão e confiabilidade?

3 Explique como a vazão do fluido é medida através de medidores de pressão variável do tipo por obstrução (placa-orifício, tubo de Venturi e bocal). Compare cada um dos três tipos de medidores em relação ao custo, tamanho para instalação, perda de carga no escoamento e exatidão.

4 Explique o princípio de operação de um medidor de área variável do tipo rotâmetro. Compare o rotâmetro com outros tipos de medidores de vazão em relação ao custo, perda de carga e confiabilidade.


228


229

TÓPICO 3

ANÁLISE DIMENSIONAL

UNIDADE 3

1 INTRODUÇÃOA maioria dos problemas que envolvem modelagem matemática na

mecânica dos fluidos exige a obtenção de dados experimentais para o encontro de uma solução analítica ou computacional que foi proposta pelo modelo. Assim, devemos planejar criteriosamente os experimentos e interpretar adequadamente os dados obtidos.

De forma geral, podemos solucionar um problema de mecânica dos fluidos com a modelagem matemática do problema e a obtenção de dados experimentais para validação do modelo proposto. A solução do modelo matemático pode ser numérica (aproximada), para modelos mais complexos e que envolvem sistemas de equações diferenciais parciais, ou analítica (exata), para modelos mais simplificados. Atualmente, é tendência a Engenharia utilizar a fluidodinâmica computacional para a resolução numérica de modelos matemáticos.

O conceito de similaridade é usado para que os experimentos possam ser aplicados em escala de laboratório e em escalas maiores. Para maiores detalhes as técnicas, consulte as seguintes referências: MUNSON; YOUNG; OKIISHI, 2004; POTTER; WIGGERT, 2013; ÇENGEL; CIMBALA, 2015; WHITE, 2018; FOX; McDONALD; PRITCHARD; MITCHELL, 2018.

DICAS

De acordo com Munson, Young e Okiishi (2004), um problema típico da mecânica dos fluidos no qual a experimentação é necessária é o escoamento em regime permanente de um fluido newtoniano incompressível através de uma tubulação longa, de paredes lisas, horizontal.

Uma característica importante a ser avaliada, por exemplo, no projeto de um oleoduto ou distribuição de água, é a queda de pressão por unidade de comprimento de tubo, que se desenvolve ao longo da tubulação como resultado do atrito na parede. Embora pareça ser um problema de escoamento de fluido relativamente simples, ele deve ser resolvido com a abordagem experimental em conjunto com a modelagem matemática.



230

O primeiro passo no planejamento de um experimento para estudar o problema seria decidir os fatores, ou variáveis independentes, que afetarão a queda de pressão do fluido por unidade de comprimento no tubo. As variáveis que influenciam a queda de pressão por unidade de comprimento de tubo são o diâmetro do tubo (D), a densidade do fluido (ρ), a viscosidade do fluido (µ) e a velocidade média do escoamento (v). Assim, podemos expressar a relação da seguinte forma:

Como a natureza da função é desconhecida, os experimentos são necessários para avaliarmos a função e seu comportamento (MUNSON; YOUNG; OKIISHI, 2004).

Os experimentos físicos devem ser conduzidos fixando variáveis em um determinado valor (por exemplo, diâmetro, densidade e viscosidade) e variando uma das variáveis (por exemplo, velocidade). É preciso observar a influência do parâmetro na queda de pressão do fluido por comprimento de tubo.

A série de experimentos gera dados que podem ser representados

graficamente. Os gráficos são válidos para o tubo específico e para o fluido específico usado nos experimentos. O próximo passo é a repetição dos experimentos variando cada uma das outras variáveis. A abordagem serve para determinar a relação funcional entre a queda de pressão e os vários fatores que influenciam. Embora seja uma abordagem lógica conceitualmente, ela apresenta dificuldades práticas. Alguns dos experimentos podem ser difíceis de serem conduzidos adequadamente (MUNSON; YOUNG; OKIISHI, 2004).

GRÁFICO 6 – A QUEDA DE PRESSÃO POR COMPRIMENTO DE TUBO É INFLUENCIADA PELAS DIFERENTES VARIÁVEIS


TÓPICO 3 | ANÁLISE DIMENSIONAL

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FONTE: Adaptado de Munson, Young e Okiishi (2004)

Uma vez que são obtidos os dados da influência de cada variável na queda de pressão por unidade de comprimento, devemos encontrar uma relação global (que considera o efeito combinado das variáveis) das variáveis para qualquer sistema similar de escoamento de fluido em tubulações. Assim, devemos agrupar as variáveis de influência do problema em grupos adimensionais, por exemplo:

É possível verificar, através da inserção das unidades do SI nos termos da equação, que ambos os termos serão adimensionais.

IMPORTANTE

Assim, agora temos apenas duas variáveis e geramos apenas um gráfico universal da função. O experimento consistiria simplesmente em variar o produto adimensional e determinar o valor correspondente dos resultados obtidos no experimento e plotar em um gráfico. A curva seria válida para qualquer escoamento de fluido newtoniano incompressível em uma tubulação de paredes lisas (sem considerar a rugosidade do material do tubo).



232

GRÁFICO 7 – QUEDA DE PRESSÃO DO FLUIDO POR COMPRIMENTO DE TUBO USANDO PARÂMETROS ADIMENSIONAIS


Para obtermos a curva podemos escolher um tubo de determinado diâmetro e um fluido que seja fácil de trabalhar. Não seria necessário utilizar tubos de tamanhos diferentes ou até mesmo fluidos diferentes, pois as variáveis estão relacionadas nos dois grupos adimensionais. Assim, o experimento seria muito mais simples e menos dispendioso.

A base da simplificação adotada está na consideração das dimensões das variáveis envolvidas. Uma descrição das propriedades físicas pode ser feita em termos das dimensões básicas, como massa (kg), comprimento (m) e tempo (s), ou também podem ser utilizadas as dimensões de força (N), além de comprimento (m) e tempo (s) como dimensões básicas e de acordo com a 2ª lei de Newton.

Como as variáveis formaram dois grupos adimensionais, os resultados do gráfico anterior independem do sistema de unidade escolhido (SI ou Sistema Inglês). É a análise dimensional que serve como base para a abordagem do teorema dos π’s de Buckingham (MUNSON; YOUNG; OKIISHI, 2004).

2 O TEOREMA DOS PI (π) DE BUCKINGHAMDe acordo com Munson, Young e Okiishi (2004), o teorema dos π’s de

Buckingham parte do princípio da avaliação de produtos adimensionais que são necessários para substituir as variáveis originais do problema. O conceito fundamental pode ser descrito da seguinte maneira:

Se uma equação que envolve “k” variáveis é dimensionalmente homogênea, ela pode ser reduzida para uma relação de “k-r” produtos adimensionais independentes, em



233

que ‘r’ é o número mínimo de dimensões necessárias para descrevermos as variáveis do problema.

Os produtos adimensionais são chamados de termos π’s e o terorema associado é chamado de teorema dos π’s de Buckingham (MUNSON; YOUNG; OKIISHI, 2004; ÇENGEL; CIMBALA, 2015; FOX; McDONALD; PRITCHARD; MITCHELL, 2018). O teorema dos π’s de Buckingham é fundamentado no conceito de homogeneidade dimensional. Basicamente, para qualquer equação fisicamente significativa envolvendo uma variável “k” tal como:

As dimensões da variável no lado esquerdo da equação devem ser iguais às dimensões contidas em qualquer termo que esteja do lado direito da equação. Assim, podemos reorganizar a equação em um conjunto de produtos adimensionais (termos π’s), tal como:

A diferença entre o número necessário de termos π e o número de variáveis original é igual ao valor de “r”, sendo o termo igual ao número mínimo de dimensões de referência. Geralmente, utilizamos as dimensões básicas de massa, comprimento, força e tempo para descrever as variáveis do problema. Entretanto, em alguns casos, duas ou mesmo uma dimensão é necessária para descrever as variáveis originais. Em outros casos pode ser necessária a descrição das variáveis do problema por meio de uma combinação entre as dimensões básicas (por exemplo, kg/s² e m). No caso, “r” é igual a dois (MUNSON; YOUNG; OKIISHI, 2004).

2.1 MÉTODO DE REPETIÇÃO DE VARIÁVEIS

De acordo com Munson, Young e Okiishi (2004), existem muitos métodos utilizados para a determinação dos grupos adimensionais (ou termos π), porém o método mais comum é o método das variáveis repetidas (ou repetição de variáveis). A melhor maneira de compreender o método é a partir de um procedimento passo a passo que será descrito a seguir. Assim, com a aplicação em exercícios e um pouco de prática, é possível executar a análise dimensional de qualquer tipo de problema de mecânica dos fluidos com a abordagem.

De acordo com Munson, Young e Okiishi (2004), a determinação dos termos π pelo método da repetição de variáveis tem seu procedimento descrito da seguinte forma:

Passo 1: listar as variáveis do problema. Geralmente, as variáveis são aquelas que descrevem a geometria do sistema (diâmetro do tubo) e as propriedades do



234

fluido (viscosidade, densidade), além dos efeitos externos que influenciam o sistema (diferença de pressão como força motriz do escoamento). Para manter as variáveis em um número mínimo, é importante que elas sejam independentes entre si. Por exemplo, se em um problema a área de seção transversal da tubulação é uma variável importante, deve-se utilizar como variável a área do tubo (A) ou o diâmetro do tubo (D), mas não ambos ao mesmo tempo, pois as variáveis não são independentes entre si. O mesmo ocorre para as propriedades do fluido no caso da densidade (ρ) e do peso específico (γ) ou utilizamos “ρ” e “g” ou “γ” e “g”, mas não as três variáveis ao mesmo tempo, pois o peso específico depende da densidade do fluido e da aceleração da gravidade.

Passo 2: expressar cada variável escolhida em dimensões básicas. Usualmente, utilizamos unidades básicas do SI, tais como massa (kg), comprimento (m) e tempo (s) ou com base na 2ª lei de Newton, com as unidades de força (N), comprimento (m) e tempo (s).

Passo 3: determinar o número de termos de π. Assim, utiliza-se a seguinte relação:

“k” é o número de variáveis do problema (passo 1) e “r” é o número de dimensões básicas usadas para descrever as variáveis do problema (passo 2).

Passo 4: selecionar o número de variáveis repetidas. Geralmente, o número de variáveis repetidas é igual ao número de dimensões básicas referenciadas. As variáveis repetidas são aquelas que podem ser combinadas com outras variáveis para formação de um termo π. Todas as dimensões básicas devem estar incluídas no grupo de variáveis repetidas e cada grupo deve ser dimensionalmente independente dos outros, ou seja, as variáveis repetidas não podem ser combinadas para a formação de um produto adimensional. Deve-se escolher uma variável particular do problema que é influenciada por outras, como a variável dependente. A variável deve ser inserida em um termo π apenas. Os outros termos π não podem conter a variável dependente e ela não deve ser escolhida para formar as variáveis de repetição do termo π.

Passo 5: formar um termo π multiplicando uma das variáveis não repetidas pelo produto das variáveis repetidas elevadas ao expoente. Se necessário, para tornar a combinação adimensional. Assim:

Sendo “ui” a variável não repetida dependente das outras (por exemplo, a queda de pressão do fluido por unidade de comprimento de tubo); “u1, u2 e u3” são as variáveis repetidas do problema (variáveis independentes, tal como



235

viscosidade do fluido e diâmetro do tubo) e “a, b e c” são os expoentes a serem determinados para a combinação de termos adimensional.

Passo 6: repetir o Passo 5 com cada variável independente não repetida. O resultado deve ser igual ao número de termos π definido no Passo 3.

Passo 7: Verificar se todos os grupos de termos π são adimensionais.

Passo 8: Expressar a forma final dos termos π como uma relação de grupos adimensionais de π da seguinte forma:

π1 deve conter a variável dependente não repetida no numerador.

Apesar das vantagens do processo de adimensionalização de uma equação, sendo importante para a identificação de relações entre parâmetros de um problema e redução do número de parâmetros em uma equação adimensional, a relação funcional real e física dos termos de π deve ser verificada e validada experimentalmente.

IMPORTANTE


O exemplo a ser considerado é novamente a análise da queda de pressão do fluido por comprimento de tubulação, discutido no início do Tópico 3. Um escoamento em regime permanente de um fluido newtoniano incompressível através de uma tubulação longa, de paredes lisas e horizontal. O objetivo do problema é avaliar a influência de certas variáveis na queda de pressão sofrida pelo fluido ao longo do escoamento. Assim, aplicaremos os passos descritos no método de repetição de variáveis para definição dos termos π.



236

FIGURA 26 – ESQUEMA PARA ANÁLISE DO EXEMPLO UTILIZADO PARA APLICAÇÃO DO MÉTODO DE REPETIÇÃO DE VARIÁVEIS


Passo 1: relacionar todas as variáveis importantes do problemas.

No caso do problema específico, a queda de pressão do fluido por metro de comprimento de tubulação lisa (rugosidade da parede desprezível) depende do diâmetro do tubo, da velocidade do escoamento, da densidade e viscosidade do fluido. Portanto, relacionamos a variável dependente com as variáveis independentes do problema, ou seja, a queda de pressão por unidade de comprimento de tubo é uma função do diâmetro, velocidade, densidade e viscosidade:

Ao longo do texto, vamos assumir, por conveniência, o termo viscosidade como sendo a viscosidade dinâmica (μ) do fluido.

IMPORTANTE

Passo 2: expressar cada variável em função das dimensões básicas.

Podemos utilizar as unidades básicas que relacionam massa, comprimento e tempo ou força, comprimento e tempo para definição das variáveis. Não devemos misturar os conjuntos de unidades básicas.



237

Passo 3: determinar o número necessário de termos π.

No problema, temos cinco variáveis (contando a dependente e as independentes) e foram necessárias três unidades básicas (‘kg’, ‘m’ e ‘s’ ou ‘N’, ‘m’ e ‘s’) ou dimensões de referência para definirmos as variáveis. Portanto:

O número de termos π necessário para o teorema do problema é igual a dois.

Passo 4: definir o número de variáveis repetidas.

Devemos definir quais serão as variáveis repetidas que serão utilizadas para definirmos os termos π entre as variáveis independentes (D, v, ρ, µ). A variável dependente (ΔP/L) não pode ser escolhida como variável repetida. É preciso escolher três variáveis repetidas, pois foram utilizadas três dimensões básicas de referência. Uma boa prática é escolher como variáveis repetidas as que possuem dimensões mais simples. Para o exemplo, definimos como variáveis repetidas o diâmetro (D), velocidade (v) e densidade (ρ). É uma boa escolha, pois são variáveis independentes entre si e dimensionalmente independentes também, pois o diâmetro é definido na unidade de comprimento, a velocidade tem a dimensão de comprimento sobre o tempo e a densidade contém a dimensão de força, tempo e comprimento. No caso, é impossível formar um produto adimensional com o conjunto das variáveis.

Variáveis repetidas escolhidas: D, v, ρ (3 variáveis e 3 dimensões).



238

Cada uma das variáveis repetidas escolhidas possui uma dimensão que a outra variável não possui, por isso não formam grupos adimensionais de um produto. Escolher densidade e viscosidade como variáveis repetidas não é possível, pois ambas as propriedades possuem as mesmas unidades básicas (força, tempo e comprimento).

IMPORTANTE

Passo 5: formar um termo π multiplicando uma das variáveis não repetidas pelo produto das variáveis repetidas elevadas a um expoente que torne a combinação adimensional.

Combinamos a variável dependente com as variáveis de repetição para

formarmos o primeiro termo π:

A combinação deve ser adimensional, portanto, devemos verificar o valor dos expoentes “a”, “b” e “c” para que o valor do expoente resultante seja igual a zero, tornando o grupo adimensional. Assim, descrevemos as unidades componentes de cada termo por substituições e resolvemos o sistema de equações algébricas lineares a seguir:

Assim, os valores dos expoentes “a”, “b” e “c” foram definidos. Então, o primeiro termo π é definido como:



239

Passo 6: repetir o Passo 5 para cada uma das variáveis repetidas restantes.

No exemplo, a única variável independente restante é a viscosidade, que não foi repetida. Portanto, repetimos o Passo 5:

Organizando as equações algébricas lineares para definição dos expoentes de modo que o grupo fique adimensional em função da combinação de suas dimensões:

Assim, os valores dos expoentes “a”, “b” e “c” foram definidos. Então, o segundo termo π é definido como:

Passo 7: verificar se todos os termos π são adimensionais.

Para verificar se os termos π são adimensionais, devem ser inseridas as dimensões no grupo π com base no sistema de unidades e conjunto de unidades adotado (massa, comprimento, tempo ou força, comprimento, tempo). Assim:



240

Os dois grupos π são adimensionais.

Passo 8: expressar a forma final da relação entre os termos e analisar o significado da relação.

O resultado final da análise dimensional do problema de escoamento é:

Portanto, o problema da análise da queda de pressão do fluido por comprimento de tubo pode ser estudado com dois termos adimensionais no lugar das cinco variáveis independentes. O comportamento da função (ϕ) só pode ser descrito a partir de testes e obtenção de resultados experimentais. Como os grupos π são adimensionais, é possível inverter as frações sem perda de validade. No caso do termo π2, foi rearranjado para definição de um parâmetro adimensional muito utilizado na mecânica dos fluidos, que é o número de Reynolds (Re). Com a condução de experimentos, podemos obter a curva de relação entre os termos π.

GRÁFICO 8 – RESULTADOS EXPERIMENTAIS PARA O EXEMPLO DE APLICAÇÃO – RELAÇÃO DA INFLUÊNCIA DOS TERMOS Π



241

RESUMO DO TÓPICO 3


• A análise dimensional é importante para os estudos analítico e experimental em problemas práticos de mecânica dos fluidos.

• O teorema dos Pi (π’s) de Buckingham pode ser usado para gerar parâmetros adimensionais.

• O método de repetição de variáveis é o método mais utilizado e simples para determinação dos termos π’s.

• Existe uma grande influência dos grupos adimensionais em vários problemas práticos de escoamento de fluidos e na aerodinâmica.


242

AUTOATIVIDADE

1 Uma lata cilíndrica metálica aberta, ilustrada na figura a seguir, com diâmetro (D), contém tinta a uma altura (h). A tinta tem peso específico (γ). A deflexão vertical (δ) da lata no ponto central do fundo da lata é função de D, h, d, γ e E, sendo d (espessura do fundo da lata, em metros) e E (módulo de elasticidade do material da lata em N/m²). Determine uma relação funcional entre a deflexão (δ em metros) e as variáveis independentes usando a análise dimensional e o método de repetição de variáveis. Utilize o sistema de unidades: força, comprimento, tempo.

2 Repita o exercício 1 utilizando o sistema de unidades: massa, comprimento, tempo. Verifique se é possível reduzir o número de grupos π necessários para descrever o problema apenas alterando o sistema de unidades básicas.


243

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ANOTAÇÕES

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Prof. Giovani Renato Zonta