Prof. Ilydio Pereira de Sá – UERJ - USS

RAZÃO DE OURO OU NÚMERO DE OURO

INTRODUÇÃOINTRODUÇÃO Durante muito tempo os artistas devem se ter Durante muito tempo os artistas devem se ter

perguntado qual era a mais perfeita e harmoniosa perguntado qual era a mais perfeita e harmoniosa maneira de se dividir um objeto em duas partes iguais.maneira de se dividir um objeto em duas partes iguais.

Também devem se ter perguntado qual é a relação Também devem se ter perguntado qual é a relação entre as partes que constituem um objeto para que ele entre as partes que constituem um objeto para que ele seja considerado belo.seja considerado belo.

Um objeto pode ser dividido ao meio ou de forma que Um objeto pode ser dividido ao meio ou de forma que uma parte seja o dobro da outra ou mesmo que uma uma parte seja o dobro da outra ou mesmo que uma parte seja igual a ¾ da outra...podemos até dizer que parte seja igual a ¾ da outra...podemos até dizer que podemos fazer qualquer partição ou divisão de um podemos fazer qualquer partição ou divisão de um objeto.objeto.

Na antiguidade clássica, o grego Platão Na antiguidade clássica, o grego Platão observou uma forma de dividir um observou uma forma de dividir um segmento de uma forma harmônica e segmento de uma forma harmônica e agradável à vista. Ele a chamou de “A agradável à vista. Ele a chamou de “A Seção”.Seção”.

Cerca de 300 anos antes de Cristo, outro Cerca de 300 anos antes de Cristo, outro grego, Euclides, encontrou geometricamente grego, Euclides, encontrou geometricamente a forma de se fazer essa divisão harmônica e a forma de se fazer essa divisão harmônica e agradável à vista. Ele a chamou de “Seção agradável à vista. Ele a chamou de “Seção Áurea”.Áurea”.

Euclides

Euclides escreveu em seus “Elementos”Euclides escreveu em seus “Elementos”::

““Para que um segmento seja dividido em Para que um segmento seja dividido em seção áurea, a razão entre o segmento e a seção áurea, a razão entre o segmento e a parte maior deve ser igual à razão entre a parte maior deve ser igual à razão entre a parte maior e a parte menor.”parte maior e a parte menor.”

Vamos agora ver como foi que Euclides Vamos agora ver como foi que Euclides definiu tal divisão:definiu tal divisão:

Temos um segmento AB que foi dividido, pelo ponto C, em duas partes iguais: AC e CB. Vamos supor que AC > CB.

Euclides descobriu que essa divisão mais harmoniosa à vista ocorre quando a razão entre o segmento todo e a parte maior é a mesma que existe entre a parte maior e a parte menor.

CB

AC

AC

AB

Essa forma de particionarmos um Essa forma de particionarmos um segmento constituiu-se na base para a segmento constituiu-se na base para a arte e a arquitetura grega.arte e a arquitetura grega.

O Partenón, templo dos Deuses Gregos

Vamos agora determinar o valor Vamos agora determinar o valor dessa razão áurea, conhecida dessa razão áurea, conhecida

como número de ouro.como número de ouro.

Para essa determinação vamos usar a Para essa determinação vamos usar a definição de Euclides, associada à uma definição de Euclides, associada à uma equação do segundo grau.equação do segundo grau.

Vamos representar o segmento AB e as partes da divisão da Vamos representar o segmento AB e as partes da divisão da seguinte forma: AC = a, CB = b, AB = a + b. seguinte forma: AC = a, CB = b, AB = a + b.

CB = b é o segmento menor dessa divisão.CB = b é o segmento menor dessa divisão.

Pela definição de Euclides, teremos:Pela definição de Euclides, teremos:

b

a

a

ba

a b

Pelo teorema fundamental das proporções, teremos:Pelo teorema fundamental das proporções, teremos:

b

a

a

ba

aabba )(

22 abba

Ou ainda:Ou ainda:

Vamos resolver essa equação na Vamos resolver essa equação na incógnita bincógnita b..

22 abba

022 abab

Arrumando seus termos, teremos:

Aplicando a fórmula de Báskara, teremos:Aplicando a fórmula de Báskara, teremos:

2

)(14 22 aaab

2

)41(2

aab

operando,operando,

2

52aab

Colocando o termo Colocando o termo a a em evidência, teremos:em evidência, teremos:

ou ainda:ou ainda:

2

)51( a

b

2

)51(

a

b

Ou dividindo amos os membros da igualdade por a:Ou dividindo amos os membros da igualdade por a:

Ou ainda, invertendo a razão obtida:

)51(

2

b

a

Temos duas soluções:Temos duas soluções:

)51(

2

b

a

ou

)51(

2

b

a)51(

2

b

a

Como sabemos que , é um número irracional e maior que 1 5

Teremos:

É um número POSITIVO

É um número NEGATIVO

)51(

2

b

a

)51(

2

b

a

Como estamos lidando com medidas de segmentos de reta, a solução negativa não nos interessa.

5O número vale, aproximadamente 2,236067… logo:

...1,618033..)51(

2

b

a

Este valor, que se chama razão ou número de outro, ficou

representado pela letra grega (phi).(se pronuncia Fi)

Essa escolha foi uma homenagem ao escultor e arquiteto grego Fídeas, que construiu o Partenon usando a razão de ouro.

ONDE ENCONTRAMOS A ONDE ENCONTRAMOS A RAZÃO DE OURO?RAZÃO DE OURO?

O Homem Vitruviano-Leonardo Da Vinci-

A razão entre a distância do umbigo aos pés e a distância da cabeça ao umbigo é o número de ouro . Da mesma forma, a razão entre a altura do homem e a distância do umbigo aos pés é também esse mesmo número.

Vejamos alguns exemplos em pessoas famosas:Vejamos alguns exemplos em pessoas famosas:

6908,14,96

163

pés aos umbigo dist.

altura φ1,666612

20

queixo ao olhos dos dist.

rosto do compr.

φ1,6254

6,5

queixo ao dist.boca

queixo ao nariz dist.

Já conhecemos o valor da razão áurea;Já conhecemos o valor da razão áurea; Já sabemos dividir um segmento na razão Já sabemos dividir um segmento na razão

de ouro;de ouro; Podemos também construir qualquer Podemos também construir qualquer

figura geométrica onde exista também figura geométrica onde exista também essa razão;essa razão;

Usando alguns conhecimentos de Usando alguns conhecimentos de geometria podemos construir a mais geometria podemos construir a mais famosa dessas formas que é o famosa dessas formas que é o RETÂNGULO DE OURO.RETÂNGULO DE OURO.

CONSTRUÇÃO DO RETÂNGULO CONSTRUÇÃO DO RETÂNGULO DE OURODE OURO

Um retângulo de ouro é simplesmente um Um retângulo de ouro é simplesmente um retângulo cuja razão entre o lado maior e o lado retângulo cuja razão entre o lado maior e o lado menor é o número de ouro menor é o número de ouro

a

b

b

a

COMO PODEMOS CONSTRUÍ-LO?COMO PODEMOS CONSTRUÍ-LO?

Quer ver a justificativa matemática?

Onde podemos encontrar o Onde podemos encontrar o número de ouro?número de ouro?

Na vida cotidiana:

Também são bem próximas do retângulo de ouro algumas telas das modernas TVs de LCD.

Geralmente os retângulos usados na fabricação dos cartões de crédito são retângulos de ouro, ou seja, a razão entre o lado maior e o menor é igual a .

Mona Lisa-Leonardo Da Vinci-

Seção Áurea- Mondrian-

A RAZÃO DE OURO NA ARTE

Duas composições com retângulos de ouro de Piet Mondrian

Em muitas obras de artistas do Renascimento eles usaram a razão de ouro.

Sir Theodore Cook (séc. XIX) descobriu uma escala simples de divisões áureas aplicável à figura humana, que se encaixa surpreendentemente bem nas obras de alguns pintores, como Boticelli.

O nascimento de Venus-Boticelli-

Há muitos outros exemplos do uso do retângulo de ouro nas artes. Ele era mesmo usado para a divisão espacial da área onde a obra era pintada.

Temos um belo exemplo dessa divisão espacial em “O martírio de São Bartolomeu”, do espanhol Ribera.

O PartenónO Partenón

Os gregos usaram a razão áurea como base arquitetônica Os gregos usaram a razão áurea como base arquitetônica de monumentos e prédios em honra de seus Deuses.de monumentos e prédios em honra de seus Deuses.

O Partenón, templo dos Deuses gregosNa fachada do Pártenon temos um

retângulo de ouro.

Em Monumentos e arquitetura

4) Na natureza4) Na natureza

A espiral maravilhosa – Existe, por exemplo, na concha A espiral maravilhosa – Existe, por exemplo, na concha do caracol Nautilus. Fica formada a partir de arcos de do caracol Nautilus. Fica formada a partir de arcos de circunferência concordantes, construídos a partir de circunferência concordantes, construídos a partir de sucessivos retângulos de ouro.sucessivos retângulos de ouro.

Na natureza:

Na concha do cefalópode marinho Nautilus