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Ciclo Trigonométrico

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Relacionando lados e ângulos

Até agora trabalhamos com o conceito de arco geométrico. A medida de um arco geométrico é restrita ao intervalo [0, 2].

A partir de agora vamos atribuir um significado a medidas de arcos fora daquele intervalo. Passarão a fazer sentido, então, medidas de arcos menores que 0 e maiores que 2.

Para chegar a essa generalização, introduziremos dois conceitos importante: arco trigonométrico e ciclo trigonométrico.

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Ciclo trigonométrico

a

b

O A

B

1A’

B’

1

–1

–1

1º quadrante2º quadrante

3º quadrante 4º quadrante

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Ciclo trigonométrico

No ciclo trigonométrico, o raio é considerado como unidade de medida.

Sendo o raio r = 1, o comprimento do ciclo é C = 2r = 2.1 = 2. Isso significa que

O comprimento de um arco qualquer do ciclo é numericamente igual à sua medida, em radianos.

Por isso, vamos deixar de usar, a partir de agora, o símbolo rad, ao expressar a medida de um arco em radianos.

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Associando números a pontos do ciclo

A cada número real x, vamos associar a um ponto do ciclo trigonométrico.

a

b

O A

B

A’

B’

+

–

Origem

1. Ao número real x = 0, associamos o ponto A, origem do ciclo.

2. A um número real x qualquer associamos um ponto P, final do percurso sobre o ciclo.

3. O ponto P é chamado de imagem de x no ciclo trigonométrico.

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B’

A’

Exemplos

Marcar no ciclo trigonométrico, as imagens dos números inteiros 0, 1 ,2, 3, 4, 5 e 6 e dos irracionais /2, , 3/2 e 2.

O A

B

+

0

12

3

45

6

/2

3/2

2

Os números reais que acabamos de marcar pertencem à 1ª volta positiva do ciclo. Corresponde ao intervalo [0, 2[.

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–2

B’

A’

Exemplos

Marcar no ciclo trigonométrico, as imagens dos números inteiros –1, –2, –3, –4, –5 e –6 e dos irracionais –/2, –, –3/2 e –2.

O A

B

––1

–2

–3

–4–5

–6

–3/2

–

–/2

Os números reais que acabamos de marcar pertencem à 1ª volta negativa do ciclo. Corresponde ao intervalo [–2, 0[.

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B’

A’

Exemplos

Marcar no ciclo trigonométrico e identificar o quadrante a que pertence a imagem do real 4/3.

O A

B

+

P

4/3

43

rad = 4

3.180º = 240º

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B’

A’

Exemplos

Marcar no ciclo trigonométrico e identificar o quadrante a que pertence a imagem do real –/4.

O A

B

–P

-/4

–4

rad =–1

4.180º = –45º

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Q

5

Exemplos

Um pentágono regular está inscrito no ciclo trigonométrico conforme figura. Determine os números reais que tem como imagem cada vértice do pentágono.

B’

A’ O A

B

P

R S

PB = BQ = QR = RS = SP =2

P:

2–

2

5=

10

Q:

2+

2

5=

9

10

R: 9

10+

2

5=

13

10

S: 13

10+

2

5=

17

10

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Os pontos A, B, A’ e B’ na figura dividem o ciclo trigonométrico em 4 partes iguais. Cada parte mede /2 ou 90º. Veja

B’

A’ A

B/2

0

3/2

Observação

O

+

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Os pontos A, P, Q, A’, R e S na figura dividem o ciclo trigonométrico em 6 partes iguais. Cada parte mede /3 ou 60º. Veja

A’ A

P

/3

0

2/3

Observação

O

+

4/3 5/3

Q

R S

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5/4R

Os oito pontos assinalados na figura dividem o ciclo trigonométrico em 8 partes iguais. Cada parte mede /4 ou 45º. Veja

A’ A

P/4

0

3/4

Observação

O

+

7/4

Q

S

B’

B/2

3/2

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Os pontos A, P, Q, A’, R e S na figura dividem o ciclo trigonométrico em 6 partes iguais. Cada parte mede /3 ou 60º. Percorrendo o ciclo no sentido negativo fica:

A’ A

P

–7/3

0

–5/3

–

Observação

O

–2/3 –/3

Q

R S–

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Arco trigonométrico

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Arco trigonométrico

Até aqui marcamos no ciclo trigonométrico imagens de números reais do intervalo [–2, 2[. São os números da 1ª volta positiva ou da 1ª volta negativa.

A localização da imagem de um número real permite que sejam dadas, no ciclo, tantas voltas quantas forem necessárias, tanto no sentido positivo como no negativo.

Cada ponto do ciclo trigonométrico é imagem de infinitos números reais.

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Arco trigonométrico

A origem A, por exemplo, é imagem de todo número real que indique um número inteiro de voltas completas.

O A

B

A’

B’

0, 2, 4, 6, ...

–2, –4, –6, ...

Os números acima são chamados de números congruentes.

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Arco trigonométrico – caso geral

Considere que o número real x, 0 ≤ x ≤ 2, tenha como imagem o ponto P do ciclo.

O A

B

A’

B’

Px

O Ponto P é imagem de:

x

2 + x

4 + x

6 + x

–2 + x

–4 + x

k.2 + x ou 2k + x

Expressão geral dos números

congruentes a x.

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Arco trigonométrico

Seja x um número real, 0 ≤ x < 2, com imagem num ponto P do ciclo. Chamamos de Arco trigonométrico de extremidade P o conjunto de todos os números reais cuja expressão geral é 2k + x, com k inteiro.

Cada um dos infinitos números congruentes que definem um arco trigonométrico é uma determinação do arco.

Existe uma única determinação x que está na 1ª volta positiva. Ela é chamada de determinação principal.

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Encontrando a determinação principal

Conhecendo-se uma das determinações de um arco trigonométrico, podemos encontrar sua determinação principal. Com a determinação principal, podemos raciocinar na primeira volta positiva, o que facilita a localização da extremidade do arco.

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5110º

360º1910º

Exemplos

Achar a determinação principal de 1910º e determinar o quadrante de sua extremidade e escrever a expressão geral do arco trigonométrico.

1910º = 5 . 360º + 110º OA

B

A’

B’

P

110º

90º

0o180º

270ºk.360º + 110º

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–6–105º

360º–2265º

Exemplos

Achar a determinação principal de –2265º, determinar o quadrante de sua extremidade e escrever a expressão geral do arco trigonométrico.

–2265º = –6.360º – 105º OA

B

A’

B’P

255º

90º

0o180º

270º

– 105º + 360º = 255º

k.360º + 255º

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Exemplos

Achar a determinação principal de 49/5, determinar o quadrante de sua extremidade e escrever a expressão geral do arco trigonométrico.

49/5 = 9,8 8 < 49/5 < 10

495

– 8 =49 – 40

5=

95

324º, 4º q.

2k + 9/5.

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Exemplos

Achar a determinação principal de –17/3, determinar o quadrante de sua extremidade e escrever a expressão geral do arco trigonométrico.

–17/3 = –5,6 –6 < –17/3 < –4

–173

+ 6 =–17 + 18

3=

3

60º, 1º q.

2k + /3.

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Exemplos

No ciclo trigonométrico da figura os pontos P e Q são alinhados com o centro O. Para o arco trigonométrico de extremidade Q, obter, em graus e radianos, a determinação principal, a expressão geral e outras duas determinações, uma positiva e outra negativa.

O A

B

A’

B’

P

Q

30º

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Arcos trigonométricos notáveis

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Arcos trigonométricos notáveis

Os arcos trigonométricos com extremidades nos pontos A, B, A’ e B’ merecem uma atenção especial. Eles são chamados arcos notáveis.

Vamos analisar a expressão geral desses arcos. Para isso, usaremos a variável k, ou seja, k {0, ±1, ±2, ±3, …}.

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Arco de extremidade A

O A

B

A’

B’

Equivale a um número inteiro de voltas. Como uma volta equivale a 2 (ou 360º), sua expressão geral é:

2k ou k.360º

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Arco de extremidade B

O A

B

A’

B’

Equivale a um número inteiro de voltas (2k ou k.360º) mais 1 quadrante (/2 ou 90º). sua expressão geral é:

2k + /2 ou k.360º + 90º

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Arco de extremidade A’

O A

B

A’

B’

Equivale a um número inteiro de voltas (2k ou k.360º) mais meia–volta ( ou 180º). sua expressão geral é:

2k + ou k.360º + 180º

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Arco de extremidade B’

O A

B

A’

B’

Equivale a um número inteiro de voltas (2k ou k.360º) mais 3 quadrantes (3/2 ou 270º). sua expressão geral é:

2k + 3/2 ou k.360º + 270º

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Arco de extremidade A ou A’

O A

B

A’

B’

Equivale a um número inteiro de meias–voltas. Como meia–volta equivale a (ou 180º). sua expressão geral é:

k ou k.180º

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Arco de extremidade B ou B’

O A

B

A’

B’

Equivale a um número inteiro de meias–voltas (k ou k.180º), mais 1 quadrante (/2 ou 90º). sua expressão geral é:

k + /2 ou k.180º + 90º

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Arco de extremidade A, B, A’ ou B’

O A

B

A’

B’

Equivale a um número inteiro de quadrantes. Como um quadrante equivale a /2 (ou 90º). sua expressão geral é:

k/2 ou k.90º

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Nas expressões gerais dos arcos notáveis, é importante observar:

Observação

2k (ou k.360º) indica um número inteiro de voltas (origem A);

k (ou k.180º) indica um número inteiro de meias–voltas (pontos A ou A’);

k/2 (ou k.90º) indica um número inteiro de quadrantes (pontos A, B, A’ ou B’).

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Exemplos

Localizar, no ciclo trigonométrico, a(s) extremidade(s) do(s) arco(s) cuja expressão geral é 2k – /3.

O A

B

A’

B’ P

60º

–

2k indica um número inteiro de voltas.

Partimos do ponto A, percorremos 60º no sentido negativo.

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P

Exemplos

Localizar, no ciclo trigonométrico, a(s) extremidade(s) do(s) arco(s) cuja expressão geral é k.90º + 30º.

A

B

A’

B’

30º

+

K.90º indica um número inteiro de quadrantes.

Partimos dos pontos A, B, A’ e B’, percorremos 30º no sentido positivo.

30º

30º

30º

+

+

+

Q

R

S

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Exemplos

Na figura, P e Q estão alinhados com o ponto O. Obter, em graus e radianos, a expressão geral dos arcos de extremidades P ou Q.

P

A

B

A’

B’

+

70º

70º

+Q

O

Partimos dos pontos A ou A’, giramos 70º (ou 7/18) no sentido positivo.

A expressão geral dos arcos em P ou Q é

k.180º + 70º ou k + 7/18

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Seno, co-seno e tangente de um arco trigonométrico

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Seno, co-seno e tangente no ciclo

As definições de seno, co-seno e tangente no triângulo retângulo são restritas aos ângulos agudos.

A partir do ciclo trigonométrico e do arco trigonométrico, podemos ampliar os conceitos de seno, co-seno e tangente.

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Seno, co-seno no ciclo trigonométrico

No ciclo trigonométrico destacamos o ponto P. Ele é a extremidade de um arco trigonométrico do 1º quadrante de medida , com 0º < < 90º.

B’

A’O

A

BP()

M

Q sen ⍺ =PM

OP=

PM

11= PM

cos ⍺ =0M

OP=

0M

1= 0M

sen = OQ = ordenada de P

cos = OM = abscissa de P

cos

sen

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Tangente no ciclo trigonométrico

No ciclo trigonométrico destacamos o ponto P. Ele é a extremidade de um arco trigonométrico do 1º quadrante de medida , com 0º < < 90º.

B’

A’O A

BP()

1

T

tg ⍺ =AT

OA=

AT

1= AT

tg = AT = ordenada de T

tg

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Sinais do seno, co-seno e tangente

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Sinais do seno, co-seno e tangente

Se x é uma determinação qualquer do arco trigonométrico, temos as seguintes definições:

sen x = ordenada de P

cos x = abscissa de P

tg x = ordenada de T

OA

B

A’

B’

1

tg

cos

sen

–1

–1

1

+

–

+

–

++

–

–

–

– +

+

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Exemplo

Na figura abaixo, o ponto M é extremidade do arco trigonométrico de 30º. Determine as coordenadas de M.

B’

A’O

A

BM

30º

√3/2

1/2 M(cos 30º, sen 30º)

M(√3/2, 1/2)

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Seno e co-seno dos arcos notáveis

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sen 0º = sen 0 =

cos 0º = cos 0 =

(–1, 0)A’ A(1,0)

B(0, 1)/2

0 ou 2O

3/2 B’(0, –1)

Seno e co-seno dos arcos notáveis

No ciclo trigonométrico a seguir, destacamos as coordenadas dos pontos A, B, A’ e B’, extremidades dos arcos notáveis.

A(1, 0)0

1

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sen 90º = sen /2 =

cos 90º = cos /2 =

(–1, 0)A’ A(1,0)

B(0, 1)/2

0 ou 2O

3/2 B’(0, –1)

Seno e co-seno dos arcos notáveis

No ciclo trigonométrico a seguir, destacamos as coordenadas dos pontos A, B, A’ e B’, extremidades dos arcos notáveis.

B(0, 1)1

0

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sen 180º = sen =

cos 180º = cos =

(–1, 0)A’ A(1,0)

B(0, 1)/2

0 ou 2O

3/2 B’(0, –1)

Seno e co-seno dos arcos notáveis

No ciclo trigonométrico a seguir, destacamos as coordenadas dos pontos A, B, A’ e B’, extremidades dos arcos notáveis.

A’(–1, 0)0

–1

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sen 270º = sen 3/2 =

cos 270º = cos 3/2 =

(–1, 0)A’ A(1,0)

B(0, 1)/2

0 ou 2O

3/2 B’(0, –1)

Seno e co-seno dos arcos notáveis

No ciclo trigonométrico a seguir, destacamos as coordenadas dos pontos A, B, A’ e B’, extremidades dos arcos notáveis.

B’(0, –1)–1

0

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sen 360º = sen 2 =

cos 360º = cos 2 =

(–1, 0)A’ A(1,0)

B(0, 1)/2

0 ou 2O

3/2 B’(0, –1)

Seno e co-seno dos arcos notáveis

No ciclo trigonométrico a seguir, destacamos as coordenadas dos pontos A, B, A’ e B’, extremidades dos arcos notáveis.

A(1, 0)0

1

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Exemplos

Calcule o valor da expressão

E =sen 90º . cos 180º + cos 0º . sen 270º

sen 0º + tg 180º . cos 270º + cos 0º

E =1 . (–1) + 1 . (–1)

0 + 0 . 0 + 1= –2

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Exemplos

Sendo x = /2, determinar o valor de

E =cos 2x + 2 sen x

tg 4x – tg x/2

Substituindo x por /2, fica

E =cos + 2 sen /2

tg 2 – tg /4=

–1 + 2.1

0 – 1= –1

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Exemplos

Indique os sinais das expressões:

a) E1 = sen 105º.cos 200º.sec 305º.cosec 250º;

b) E2 = sen 1.cos 2. sec 3. cosec 6

OA

B

A’

B’

cos

sen105º

220º

250º305º

sen 105º > 0

cos 200º < 0

sec 305º > 0

cosec 250º < 0

E1 = (+).(–).(+).(–) > 0

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Exemplos

Indique os sinais das expressões:

a) E1 = sen 105º.cos 200º.sec 305º.cosec 250º;

b) E2 = sen 1.cos 2. sec 3. cosec 6

OA

B

A’

B’

cos

sen

12

3

6

sen 1 > 0

cos 2 < 0

sec 3 < 0

cosec 6 < 0

E1 = (+).(–).(–).(–) < 0

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Observação

No ciclo trigonométrico, o seno e o co-seno de um arco dependem apenas da extremidade dele. Como conseqüência, números congruentes têm mesmo seno e mesmo co-seno.

Se x é a determinação principal de um arco, suas outras determinações são do tipo k.360º + x (em graus) ou 2k + x (em radianos). Logo,

sen (2k + x) = sen x e cos (2k + x) = cos x

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Exemplos

Calcular sen 15.

15 = 14 +

7 voltas

15 é congruente a

sen 15 = sen = 0

OA

B

A’

B’

015

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Exemplos

Calcular cos 25/6.

25/6 é congruente a /6

cos 25/6 = cos /6 = √3/2

OA

B

A’

B’

25/6 /6

30º0