Prof.: José Eustáquio Rangel de Queiroz [email protected] rangeldequeiroz@gmail

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Carga Horária: 60 horas

Prof.: José Eustáquio Rangel de Queiroz

[email protected]@gmail.com

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DSCDSCMétodos NuméricosMétodos Numéricos

ObjetivoObjetivo Estudo dos métodos para a resolução Estudo dos métodos para a resolução

numérica de problemas do mundo realnumérica de problemas do mundo real Problemas do Mundo RealProblemas do Mundo Real

Tentativa de explicação e previsão de Tentativa de explicação e previsão de fenômenos naturais fenômenos naturais Estabelecimento Estabelecimento de relações causa-efeitode relações causa-efeito

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Razões da Computação Razões da Computação NuméricaNumérica

Inviabilidade de solução analítica de um Inviabilidade de solução analítica de um problema matemático devido questões problema matemático devido questões de complexidadede complexidade

Exemplo: Solução de sistemas de Exemplo: Solução de sistemas de equações linearesequações lineares

Inexistência de métodos analíticos para Inexistência de métodos analíticos para a resolução de algumas categorias de a resolução de algumas categorias de problemas matemáticosproblemas matemáticos

Exemplo: Exemplo: y’ = y² + t²y’ = y² + t² não pode ser não pode ser resolvida analiticamente.resolvida analiticamente.

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Uso de Métodos Uso de Métodos NuméricosNuméricos

Problemas matemáticos nem sempre Problemas matemáticos nem sempre são triviaissão triviais O sistema de equaçõesO sistema de equações

obtém como solução de um PC:obtém como solução de um PC: x = x = -42587641,592475-42587641,592475 y = y = -34772663,750032-34772663,750032

enquanto uma calculadora científica enquanto uma calculadora científica (e.g., HP) lhe fornece como solução:(e.g., HP) lhe fornece como solução: x = x = 4082482,904644082482,90464 y = y = 3333333,333333333333,33333

1y35738642x291804790y46099201x37639840

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Solução corretaSolução correta x = x = 4609920146099201 y = y = 3763984037639840

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Princípio Básico dos Métodos Princípio Básico dos Métodos NuméricosNuméricos

VALORVALORINICIALINICIAL

APRIMORAMENTAPRIMORAMENTOODOS VALORESDOS VALORES

MÉTODOSMÉTODOS

MINIMIZAÇÃOMINIMIZAÇÃODOS ERROSDOS ERROS

VALOR VALOR ACEITÁVELACEITÁVEL

DO RESULTADODO RESULTADO

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Análise dos Resultados:Análise dos Resultados: Conhecimento dos métodos;Conhecimento dos métodos; Conhecimento das condições em que Conhecimento das condições em que

funcionam bem ou mal.funcionam bem ou mal.

Exigências da Computação Numérica:Exigências da Computação Numérica: Verificação da validade dos resultados; Verificação da validade dos resultados;

ee Verificação da existência de Verificação da existência de

dificuldades no problema em si.dificuldades no problema em si.


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Programas de Computação Programas de Computação NuméricaNumérica

Programa IndividualPrograma Individual Composto de alguns módulos, cuja Composto de alguns módulos, cuja

finalidade é executar uma computação finalidade é executar uma computação específica.específica.

PacotePacote Coleção de programas para resolução Coleção de programas para resolução

de problemas de uma dada área.de problemas de uma dada área.

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Programas de Computação Programas de Computação NuméricaNumérica

BibliotecaBiblioteca Coleção sistematizada para a resolução Coleção sistematizada para a resolução

de diversas classes de problemas da de diversas classes de problemas da Matemática.Matemática.

Sistema de Sistema de SoftwareSoftware Pacote ou biblioteca com uma interface Pacote ou biblioteca com uma interface

de comunicação com o usuário, o qual de comunicação com o usuário, o qual se comunica com o sistema a partir de se comunica com o sistema a partir de uma linguagem de programação.uma linguagem de programação.

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BibliotecaBiblioteca CaracterísticasCaracterísticas

Resolução de um amplo espectro de Resolução de um amplo espectro de problemas que ocorrem com maior problemas que ocorrem com maior freqüência em Ciência e Tecnologia.freqüência em Ciência e Tecnologia.

Seletividade do acervo de programas Seletividade do acervo de programas sobre um dado tópicosobre um dado tópico Interesse do usuário na resolução de Interesse do usuário na resolução de

um problema de interesse, não na um problema de interesse, não na absorção de conhecimentos na áreaabsorção de conhecimentos na área

Concepção voltada para o atendimento Concepção voltada para o atendimento da maioria das necessidades do da maioria das necessidades do usuário, não de usuário, não de todastodas..

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Seleção de conteúdo fundamentada na Seleção de conteúdo fundamentada na existência de algoritmos que existência de algoritmos que satisfazem atributos bem definidos.satisfazem atributos bem definidos.

Estruturação hierárquica de programas Estruturação hierárquica de programas

Programas destinados à resolução de Programas destinados à resolução de problemasproblemas

Rotinas primárias destinadas à Rotinas primárias destinadas à implementação de algoritmosimplementação de algoritmos

Módulos básicos destinados à Módulos básicos destinados à implementação de operações básicasimplementação de operações básicas

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Uso de nomenclatura dos programas Uso de nomenclatura dos programas que reflita a classificação dos tópicos.que reflita a classificação dos tópicos.

Existência de documentação que reflita Existência de documentação que reflita tanto a organização geral da biblioteca tanto a organização geral da biblioteca quanto níveis de detalhamento dos quanto níveis de detalhamento dos algoritmos que a compõem.algoritmos que a compõem.

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BibliotecaBiblioteca UsoUso

Resolução de problemas matemáticosResolução de problemas matemáticos Seleção de uma biblioteca adequadaSeleção de uma biblioteca adequada Conhecimento do uso do(s) Conhecimento do uso do(s)

programa(s) que a compõe(m)programa(s) que a compõe(m) Informações obtidasInformações obtidas

Manual impresso;Manual impresso; Auto-documentação;Auto-documentação; Ajuda Ajuda onlineonline global e contextual. global e contextual.

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BibliotecaBiblioteca Dificuldades UsuaisDificuldades Usuais

Concisão da documentaçãoConcisão da documentação Carência de detalhamento de Carência de detalhamento de

informações sobre os parâmetros informações sobre os parâmetros adotados nas soluçõesadotados nas soluções Exemplo: Exemplo: Semente inicial de um Semente inicial de um

gerador de números pseudo-aleatóriosgerador de números pseudo-aleatórios.. Área de TrabalhoÁrea de Trabalho

Necessidade de espaço extra de Necessidade de espaço extra de memória para armazenamento dos memória para armazenamento dos resultados intermediários durante a resultados intermediários durante a computação do problema.computação do problema.

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BibliotecaBiblioteca Dificuldades UsuaisDificuldades Usuais

Conjuntos e funções como argumentosConjuntos e funções como argumentos Uma função para ser argumento de um Uma função para ser argumento de um

programa deve ser declarada num programa deve ser declarada num comando externo (comando externo (EXTERNALEXTERNAL).).

Diversidade de EscolhasDiversidade de Escolhas Premissa Básica Premissa Básica NenhumNenhum método método

funciona adequadamente para todas as funciona adequadamente para todas as circunstâncias impostas por um circunstâncias impostas por um problema ou para todos os problemasproblema ou para todos os problemas

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Princípios AdotadosPrincípios Adotados Iteração ou Aproximações SucessivasIteração ou Aproximações Sucessivas DiscretizaçãoDiscretização AproximaçãoAproximação TransformaçãoTransformação Divisão e ConquistaDivisão e Conquista

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Iteração e Aproximações Iteração e Aproximações SucessivasSucessivas

Repetição de um conjunto de ações ou Repetição de um conjunto de ações ou processos que tem uma estrutura bem processos que tem uma estrutura bem definida e constante.definida e constante.

A partir de uma solução aproximada A partir de uma solução aproximada ((valor inicialvalor inicial), produz-se o refinamento ), produz-se o refinamento da da aproximaçãoaproximação a cada iteração do a cada iteração do conjunto de ações.conjunto de ações.

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Exemplo – Exemplo – Método da Bissecção IMétodo da Bissecção IDada uma função Dada uma função f(x)f(x) contínua no contínua no intervalo intervalo [a,b][a,b] onde existe uma raiz única, onde existe uma raiz única, é possível determinar tal raiz subdividindo é possível determinar tal raiz subdividindo sucessivas vezes o intervalo que a contém sucessivas vezes o intervalo que a contém pelo ponto médio de pelo ponto médio de aa e e bb..

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Exemplo – Exemplo – Método da Bissecção IIMétodo da Bissecção IIDefinição do Intervalo InicialDefinição do Intervalo Inicial Atribui-seAtribui-se [a,b][a,b] como intervalo inicialcomo intervalo inicial

aa00 = = aa bb00 = = bb

Condições de AplicaçãoCondições de Aplicação f(a)*f(b) < 0f(a)*f(b) < 0 Sinal da derivadaSinal da derivada constanteconstante

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Exemplo – Exemplo – Método da Bissecção IIIMétodo da Bissecção IIIDefinição de Novos IntervalosDefinição de Novos Intervalos Determina-se qual o subintervalo – Determina-se qual o subintervalo – [a, x[a, x11]] ou ou

[x[x11, b], b] – que contém a raiz – que contém a raiz Calcula-se o produtoCalcula-se o produto f(a)*f(xf(a)*f(x11)) Verifica-se seVerifica-se se f(a)*f(xf(a)*f(x11) < 0) < 0

Se verdadeiro Se verdadeiro (a, x (a, x11))(Logo (Logo a =a = aa e e b =b = xx11))

Caso contrário Caso contrário (x (x11, b), b)(Logo (Logo a =a = xx11 e e b =b = bb)) Repete-se o processo até que o valor de Repete-se o processo até que o valor de xx

atenda às atenda às condições de paradacondições de parada..

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Exemplo – Exemplo – Método da Bissecção IVMétodo da Bissecção IVAnálise GráficaAnálise Gráfica

xx

a = aa = a00

f(x)f(x)

b = bb = b00

xx11 = (a + b)/2 = (a + b)/2

xx11

xx

a = aa = a11

f(x)f(x)

xx11 = b = b11

xx22 = (a + x = (a + x11)/2)/2

xx22

xx

f(x)f(x)

xx11=b=b22

xx33 = (x = (x22 + x + x11)/2)/2

xx22=a=a22

xx33Repete-se o processo até que Repete-se o processo até que o valor deo valor de xx atenda àsatenda às condições de paradacondições de parada..

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DiscretizaçãoDiscretização Inversão do processo de passagem ao Inversão do processo de passagem ao

limite a partir da discretização do limite a partir da discretização do problema.problema.

1n

0iii

b

a 0h)x(fhlimdx)x(f

i

b

a hi0

1n

0ii i

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Freqüências negativas: Rotação na direção oposta

DiscretizaçãoDiscretização Exemplo – Exemplo – Transformada Discreta de Transformada Discreta de

Fourier (DFT) IFourier (DFT) IFórmula de EulerFórmula de Euler ii sensenttcoscosiittee ++== tt

Vetor Rotativo (Fasor) eeiitt é periódico |e|eiitt| = 1| = 1

ImIm

ReRe11

ii

tt

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Fourier (DFT) IIFourier (DFT) IIFórmula de EulerFórmula de Euler

sensenttcoscosAAkk ++kk ttkkBBkk

eeikikttAAkk

22ee-ik-ikttAAkk

22++==

eeikikttBBkk

22ee-ik-ikttBBkk

22++--eeikikttCCkk ee-ik-iktt++== CC-k-k

(e(eiitt½½ ee-i-itt))++==ttcoscos

(e(eiitt-½-½ ee-i-itt))--==ttsensen

(A(Akk½½ iBiBkk), k>0), k>0--==CCkk

(A(A|k||k|½½ iBiB|k||k|), k<0), k<0--==CCkk

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Fourier (DFT) IIIFourier (DFT) IIITransformada de Fourier de uma função Transformada de Fourier de uma função unidimensionalunidimensional

ii sensenttcoscosiittee tt

dd]]ii sensentt[cos[cos))((FF))tt((ff

tt2211

))((FF))tt((ff

iittee dd2211

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Fourier (DFT) IVFourier (DFT) IVPossibilidade de representação funções Possibilidade de representação funções nãonão periódicas como somatórios de periódicas como somatórios de funções senoidais e cossenoidais de funções senoidais e cossenoidais de (possivelmente) todas as freqüências(possivelmente) todas as freqüências

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Fourier (DFT) VFourier (DFT) V Aproximação com 6 harmônicosAproximação com 6 harmônicos

Forma de Onda

Espectro

Aproximação daOnda Quadrada

Termo A Fase

f(t)Forma de Onda

Espectro

Aproximação daOnda Quadrada

Termo A Fase

f(t)

)bt2(senb1)t(f

6

1b

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Fourier (DFT) VIFourier (DFT) VI Transformada Discreta de Fourier de uma Transformada Discreta de Fourier de uma função função unidimensionalunidimensional

∑∑==NN -- 11

00==xx

iix/Nx/NuuFF

-2-2f(x)ef(x)e))(( 11

NN = 0, 1, 2, ..., N-1= 0, 1, 2, ..., N-1

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AproximaçãoAproximação Substituição de uma função Substituição de uma função f(x)f(x) por por

outra outra g(x)g(x) de manipulação mais fácil. de manipulação mais fácil. Construção de métodos para a solução Construção de métodos para a solução

de:de: Equações transcendentaisEquações transcendentais Equações diferenciaisEquações diferenciais Métodos de integração numéricaMétodos de integração numérica

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AproximaçãoAproximação Exemplo – Exemplo – Regra do TrapézioRegra do Trapézio I I

Integrais com resolução difícil ou mesmo Integrais com resolução difícil ou mesmo impossível a partir de métodos analíticos impossível a partir de métodos analíticos podem ser resolvidas numericamente podem ser resolvidas numericamente através da fragmentação da integral em através da fragmentação da integral em uma soma.uma soma.

)iha(fch)h,b,a(F)iha(fchdx)x(fN

0ii

b

a

N

0ii

)iha(fch

N

0ii

)h,b,a(F

constante

i=(b-a)/N

Erro de aproximação

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AproximaçãoAproximação Exemplo – Exemplo – Regra do Trapézio IIRegra do Trapézio II

Divisão mais fina (Divisão mais fina ( NN maior) conduz à maior) conduz à precisão máxima permitida pelo precisão máxima permitida pelo computador.computador.

Aumento do número de intervalos Aumento do número de intervalos NN até até que o valor da integral não mude dentro que o valor da integral não mude dentro dos números significativos que se quer.dos números significativos que se quer.

n10)N2(I

)N(I)N2(I

n número de algarismos significativos

nn não pode ser maior do que não pode ser maior do que o número de algarismos o número de algarismos significativos do cálculo significativos do cálculo numérico.numérico.

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AproximaçãoAproximação Exemplo – Exemplo – Regra do Trapézio IIIRegra do Trapézio III

Aproximação a integral pela área de um Aproximação a integral pela área de um trapéziotrapézio

Boa aproximação para uma Boa aproximação para uma determinada integral é função da:determinada integral é função da:1. Ordem do erro (1. Ordem do erro (OO(h(hnn))););2. Extensão do intervalo 2. Extensão do intervalo hh;;3. Suavidade do integrando.3. Suavidade do integrando.

))a(f)b(f(2abdx)x(f

b

a

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AproximaçãoAproximação Exemplo – Exemplo – Regra do Trapézio IVRegra do Trapézio IV

Análise GráficaAnálise Gráfica

f(a)

f(b)

a b x

f(x)

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TransformaçãoTransformação Desmembramento de um problema Desmembramento de um problema P P

em dois (ou mais) subproblemas de em dois (ou mais) subproblemas de resolução mais simples, resolução mais simples, PP11 e e PP22

Área de um trapézio por retângulo (Área de um trapézio por retângulo (PP11) ) e triângulos (e triângulos (PP22););

Decomposição LU.Decomposição LU.

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Divisão e ConquistaDivisão e Conquista Resolução de um problema Resolução de um problema PP por partes por partes

ou etapasou etapas

Área do TrapézioÁrea do Trapézio Redução CíclicaRedução Cíclica

Redução à metade do tamanho do Redução à metade do tamanho do problema repetidamente até que este problema repetidamente até que este atinja ao tamanho atinja ao tamanho 11..

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Ferramentas de SuporteFerramentas de Suporte

Verificação da validade dos resultados obtidos

Desenvolvimento Utilização

Programa

Computador

Uso do método numérico

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MATHCADMATHCAD Padrão industrial para cálculos técnicos Padrão industrial para cálculos técnicos

e matemática aplicadae matemática aplicada Ambiente de trabalho baseado em Ambiente de trabalho baseado em

álgebra computacionalálgebra computacional Avaliação numérica e simbólica de Avaliação numérica e simbólica de

expressões matemáticas;expressões matemáticas; Geração de gráficos e construção de Geração de gráficos e construção de

algoritmos;algoritmos; Avaliação de integrais e derivadas de Avaliação de integrais e derivadas de

funções;funções; Resolução de sistemas lineares, etc.Resolução de sistemas lineares, etc.

Ferramentas de SuporteFerramentas de Suporte

http://www.ptc.com/products/mathcad/

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pytheas.ucs.indiana.edu/~statmath/math/maple/overview.html

Ferramentas de SuporteFerramentas de Suporte MAPLEMAPLE

Sistema de computação algébrica de Sistema de computação algébrica de propósitos geraispropósitos gerais Operações simbólicas;Operações simbólicas; Cálculos complexos;Cálculos complexos; Recursos para programação.Recursos para programação.

Resolução de problemas matemáticosResolução de problemas matemáticos Geração de gráficos técnicos de alta Geração de gráficos técnicos de alta

qualidadequalidade Pacotes de funções de Pacotes de funções de teoria de gruposteoria de grupos, ,

álgebra linearálgebra linear e e estatísticaestatística, dentre outros., dentre outros.

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www.indiana.edu/~statmath/math/mma/overview.html

Ferramentas de SuporteFerramentas de Suporte MATHEMATICAMATHEMATICA

Sistema genérico para computação Sistema genérico para computação matemáticamatemática

Manipulação integrada de dados Manipulação integrada de dados numéricos, simbólicos e gráficosnuméricos, simbólicos e gráficos Ferramenta interativa de cálculoFerramenta interativa de cálculo Linguagem de programação.Linguagem de programação.

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www.csubak.edu/ssric/Modules/SPSS/SPSS9BOOK/

Ferramentas de SuporteFerramentas de Suporte SPSS SPSS ((Statistical Package for the Social Statistical Package for the Social

SciencesSciences)) Originalmente desenvolvido como LPOriginalmente desenvolvido como LP Usualmente empregado na pesquisa Usualmente empregado na pesquisa

quantitativa em ciências sociaisquantitativa em ciências sociais Realização de análises estatísticas, em Realização de análises estatísticas, em

especial análises de dados de especial análises de dados de levantamentoslevantamentos

Processamento numérico e gráfico de Processamento numérico e gráfico de dadosdados

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Ferramentas de SuporteFerramentas de Suporte MATLAB MATLAB II

SoftwareSoftware interativo de alto interativo de alto desempenho;desempenho;

Direcionamento ao Cálculo Numérico;Direcionamento ao Cálculo Numérico; Integração de análise numérica, cálculo Integração de análise numérica, cálculo

com matrizes, processamento de sinais com matrizes, processamento de sinais e construção de gráficos;e construção de gráficos;

Ambiente de fácil interação;Ambiente de fácil interação; Resolução de problemas numéricos Resolução de problemas numéricos

mais rapidamente do que se gastaria mais rapidamente do que se gastaria para escrever um programa semelhante para escrever um programa semelhante em linguagem em linguagem FortranFortran, , BasicBasic ou ou CC. .

http://www.mathworks.com/

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Ferramentas de SuporteFerramentas de Suporte MATLAB MATLAB IIII

Soluções dos problemas expressas Soluções dos problemas expressas quase que exatamente como escritas quase que exatamente como escritas matematicamente, ao contrário da matematicamente, ao contrário da programação tradicional;programação tradicional;

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Ferramentas de SuporteFerramentas de Suporte MATLAB MATLAB IIIIII

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Ferramentas de SuporteFerramentas de Suporte Determinadas situações exigem a utilização de Determinadas situações exigem a utilização de

uma LP mais adequada para a implementação uma LP mais adequada para a implementação de um algoritmo para a resolução de um de um algoritmo para a resolução de um problema de CN.problema de CN.

Exemplo de Linguagem:Exemplo de Linguagem: FORTRANFORTRAN ( (FORmula TRANslationFORmula TRANslation))

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José Eustáquio Rangel de José Eustáquio Rangel de QueirozQueiroz

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DEPARTAMENTO DE SISTEMAS E DEPARTAMENTO DE SISTEMAS E COMPUTAÇÃOCOMPUTAÇÃO

UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDEUNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDECENTRO DE ENGENHARIA ELÉTRICA E CENTRO DE ENGENHARIA ELÉTRICA E

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Prof.: José Eustáquio Rangel de Queiroz [email protected] rangeldequeiroz@gmail