49
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Prof. Lorí Viali, Dr.

http://www. ufrgs.br/~viali/

[email protected]

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A análise de variância de uma

classificação (One-Way ANOVA) verifica

se as médias de “k” amostras independentes

(tratamentos) diferem entre si.

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Um segundo tipo de análise de variância,

denominado de ANOVA de Dupla

Classificação (Two-Way ANOVA) testa se

existe diferença entre duas variáveis

categóricas.

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Neste caso, a segunda variável categórica é

denominada de “Bloco”. Assim é possível testar

se existe diferença simultânea entre os

tratamentos (médias das amostras independentes)

e se simultaneamente estas diferenças podem ser

debitadas a segunda variável ou blocos.

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Esta ANOVA é de blocos completos, isto é,

cada bloco inclui todos os tratamentos e sem

repetição, isto é, cada bloco apresenta apenas

uma parcela com cada tratamento. Este desenho

pode incluir combinações mais complexas, como

blocos incompletos ou repetição dos tratamentos.

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Seja Yij a variável dependente, neste caso o

índice “i” indica o tramento e o índice “j” o

bloco. Por exemplo, a variável Yij pode

representar a “Renda de Pessoas” pertencentes

a “k” categorias profissionais (tratamentos) em

“l” empresas diferentes (blocos).

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Vamos admitir o seguinte modelo

linear:

Yij = µ + αi + βj + uij, com:

0k

1ii =α

=

∑ e 0l

1ji =β

=

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Neste modelo µ é a média geral, αi

representa o efeito dos tratamentos e βj o

efeito dos blocos.

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As hipóteses feitas sobre uij para o

modelo anterior continuam válidas aqui.

Isto é, os termos erro são variáveis aleatórias

independentes com distribuição normal de

média “zero” e desvio padrão “σ2”.

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Sejam m, ai e bj as estimativas de µ,

dos αi e dos βj respectivamente. Então o

modelo amostral será:

Yij = m + ai + bj + eij

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Dados os valores observados Yij, as

estimativas dos parâmetros µ, αi e βj podem ser

determinadas através do Método dos Mínimos

Quadrados. Para isto deve-se minimizar a soma

dos quadrados dos resíduos, isto é:

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Derivando e igualando a zero, tem-se:

∑ ∑ -∑ ∑

k

i

l

j

2k

i

l

j

2ij )b-am-Y(ER.Q.SQ jiij===

0)1)(b-am-Y(2m

Q k

1i

l

1jjiij

i

=∑== =

∑ --

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ek,...,2,1i

0)1)(b-am-Y(2a

Q l

1jjiij

i

=

===

∑ --

l,...,2,1j

0)1)(b-am-Y(2b

Q k

1ijiij

j

=

===

∑ --

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Fazendo n = k.l,

e

k)..., 2, 1, (i YAl

1jiji ==

=

∑∑l

1jj

k

1ii

k

1i

l

1jij BA YG

=== =

=∑=∑=

l) ..., 2, 1, (j YBk

1iijj ==

=

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Obtém-se, o seguinte sistema de equações:

k)..., 2, 1, (i ballmAl

1jjii =++=

=

∑∑l

1jj

k

1ii bkalnmG

==

++=

l) ..., 2, 1, (j bk akmB j

k

1iij =++=

=

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Este sistema tem l + k + 1 equações, com o

mesmo número de incógnitas. Destas equações

apenas k + l – 1 são Linearmente

Independentes. Para resolver este sistema

utilizam-se as restrições sobre ai e bj.

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Tem-se, então:

0k

1ii =α

=

∑ e 0l

1jj =β

=

m = G/n

ai = (Ai/l ) – (G/n) = (Ai/l ) – m

bj = (Bj/k ) – (G/n) = (Bj/k ) – m

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Substituindo, estes resultados na

expressão dos Mínimos Quadrados, tem-se:

∑ ∑ -

k

i

l

j

2

)n

G

k

B-

l

AY(R.Q.S

jiij +=

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Por definição, a soma dos quadrados

total, a soma dos quadrados dos

tratamentos e a soma dos quadrados dos

blocos são dadas por:

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∑ ∑ -

k

i

l

j

2)mY(Total.Q.S ij=

∑ -∑

k

i

2k

i

2i )m

l

A(lal.Trat.Q.S i==

∑ -∑

k

i

2l

j

2j )m

k

B(kbkcosBlo.Q.S

j==

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Deve-se notar que todas as somas de

quadrados são somas de nnnn ==== klklklkl parcelas, onde cada

parcela é um quadrado. Assim para obter a soma

de quadrados total, somamos os quadrados dos

desvios dos nnnn ==== klklklkl valores observados em relação as

respectivas estimativas, dadas por mmmm ++++ aaaaiiii ++++ bbbbjjjj....

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Para obter a soma de quadrados de tratamentos

multiplicamos por “l’” as somas dos quadrados das

“k” diferenças de médias estimadas de tratamentos,

dadas por Ai/l, em relação a média “m”, ou seja,

multiplicamos por “l “ a soma dos quadrados das

estimativas dos “k” efeitos de tratamentos.

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Finalmente, para se obter a soma dos quadrados

de blocos multiplicamos por “k” as somas dos

quadrados das “l” diferenças de médias estimadas

de blocos, dadas por Bj/k, em relação a média “m”,

ou seja, multiplicamos por “k” as somas dos

quadrados das estimativas dos “n” efeitos de blocos.

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Pode-se mostrar através de

manipulação algébrica que:

∑ ∑

∑ ∑ -

k

1i

l

1j

22

k

1i

l

1j

2

n

GY

)mY(Total.Q.S

ij

ij

= =

= =

−=

==

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e:

n

GA

l

1

)ml

A(lal.Trat.Q.S

2k

1i

2

k

1i

2k

1i

2i

i

i

−=

===

=

==

∑ -∑

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E também:

n

GB

k

1

)mk

B(kbkcosBlo.Q.S

2l

1j

2

l

1j

2l

1j

2j

j

j

−=

===

=

==

∑ -∑

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Finalmente:

n

GB

k

1A

l

1Y

)n

G

k

B-

l

AY(R.Q.S

2l

1j

2k

1i

2k

1i

l

1j

2

k

i

l

j

2

jiij

jiij

+−−=

=+=

=== =

∑∑∑ ∑

∑ ∑ -

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Resumindo, tem-se então:

SSSS....QQQQ....RRRR ==== SSSS....QQQQ....TotalTotalTotalTotal ---- SSSS....QQQQ....TratTratTratTrat.... ---- SSSS....QQQQ....BlocosBlocosBlocosBlocos

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Bloco

Tratamentos Total do

Bloco1 2 3

1 12 17 21 50505050

2 14 19 23 56565656

3 15 18 19 52525252

4 18 19 18 55555555

5 16 21 22 59595959

6 13 20 19 52525252

Total Trat. 88888888 114114114114 122122122122 324324324324

Dados

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Tem-se:

k = 3; l = 6; n = k.l = 3.6 = 18

G = 324 G2/n = 5832

ΣAi = ΣBi = ΣYij = 324

ΣAi2 = 35624; ΣBi

2 = 17550

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Então:

158n

GY Total.Q.S

k

1i

l

1j

22

ij =−== =

∑ ∑

33,105n

GA

l

1 .Trat.Q.S

2k

1i

2i =−=

=

18n

GB

k

1 cosBlo.Q.S

2l

1j

2j =−=

=

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Portanto:

SSSS....QQQQ....RRRR ==== 158158158158 ---- 105105105105,,,,33333333 ---- 18181818 ==== 34343434,,,,67676767

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O modelo para a análise de variância de dupla

classificação é dado por: Yij = µ + αi + βj + uij,

Considerando µ, αi e βj como valores fixos e

lembrando que Uij são variáveis aleatórias

independentes com média zero e variância σ2, vem:

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σ+β+α+µ= 22j

2i

22 )Y(E ij

Então:

σ+∑ β+∑α+µ=∑ ∑=== =

2l

1j

2j

k

1i

2i

2k

1i

l

1j

2nkln)Y(E ij

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Como: ∑==

l

1jiji YA

De acordo com o modelo dado e as suas

restrições, tem-se:

Segue, então:

∑+α+µ==

l

1jijii U)(lA

)U(U)(l2)(lAl

1jiji

2l

1jiji

222i ∑+∑α+µ+α+µ=

==

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Mas os termos erros são variáveis com

média zero, assim: σ+α+µ= l)(l)A(E 2222i i

De forma semelhante, tem-se:

σ+β+µ= k)(k)B(E 2222j j

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E, também: σ+µ= nn)G(E 2222

Então:

σ−+∑ β+∑α===

2l

1j

2j

k

1i

2i )1n(kl)Total.Q.S(E

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Para os tratamentos, tem-se:

σ−µ+σ+∑ α+µ==

222k

1i

2 nk)(l.)Trat.Q.S(E i

0k

1ii =∑α

=

Lembrando que tem-se:

σ−+∑α==

2k

1i

2 )1k(l.)Trat.Q.S(E i

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Para os blocos, obtemos:

σ−+∑ β==

2l

1j

2j )1l(kcos)Blo.Q.S(E

Mas:

SSSS....QQQQ....RRRR ==== SSSS....QQQQ....TotalTotalTotalTotal ---- SSSS....QQQQ....TratTratTratTrat.... ---- SSSS....QQQQ....BlocosBlocosBlocosBlocos

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Então:

E(S.Q.R ) = E(S.Q.Total) - E(S.Q.Trat.) - E(S.Q.Blocos)

Substituindo, segue:

σ=

=σ+−−=

2

2

1)-1)(l-(k

)1lkn(.)sRe.Q.S(E

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Como os Uij são variáveis aleatórias

independentes de média “zero” e variância

constante e igual a σ2, tem-se:

S.Q.Res.)/σ2 apresenta uma distribuição

Qui-Quadrado com (k -1)(l - 1) graus de

liberdade;

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Supondo H0 verdadeira, isto é, que as

médias dos tratamentos são iguais, isto é, os

tratamentos não têm efeitos, ou ainda:

H0: α1 = α2 = ... = αk = 0, tem-se que:

(S.Q.Trat.)/ σ2 tem uma distribuição Qui-

Quadrado com “k - 1” graus de liberade.

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Supondo que as médias dos blocos são todas

iguais entre si, ou que o efeito dos blocos é nulo,

ou ainda que: H0: β1 = β2 = ... = βk = 0, tem-se:

(S.Q.Blocos)/σ2 tem uma distribuição Qui-

Quadrado com “l - 1” graus de liberdade.

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Tomando agora os quadrados médios, isto é,

a soma dos quadrados divididos pelos

respectivos graus de liberdade, pode-se obter a

expectância dos quadrados médios. A tabela

seguinte resume este e outros resultados

relevantes obtidos.

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O modelo para a análise de variância de dupla

classificação é dado por: Yij = µ + αi + βj + uij,

Considerando µ, αi e βj como valores fixos e

lembrando que Uij são VA independentes com

média zero e variância σ2, tem-se:

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Objetivos

A Análise de variância (ANOVA) É

utilizada para mostrar os efeitos principais de

variáveis categóricas independentes

(denominadas de fatores) sobre uma variável

quantitativa dependente.

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Causa da Variação

Graus de Liberdade

Soma dos Quadrados

Esp. do Quad. Médio

Tratamentos k - 1

Blocos l - 1

Resíduo (k -1)(l - 1) σ2

Total kn - 1

nn

1 GA

2k

1i

2i -∑

=

nk

1 GB

2l

1j

2j -∑

=

n

GY

2k

1i

l

1j

2ij -∑ ∑

= =

σα

2

k

1i

2i

1kl +

=

σ

β2

l

1j

2j

1lk +

=

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TesteConforme já visto, na análise de variância com

uma classificação, o quociente:

F = (Q.M.Trat.)/(Q.M.Res.)

pode ser utilizado para testar a hipótese:

H0: α1 = α2 = ... = αk = 0,

Este resultado apresenta uma distribuição F

com “k - 1” e “(k - 1)(l - 1)” graus de liberdade.

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Teste

De forma semelhante o quociente:

F = (Q.M.Blocos.)/(Q.M.Res.)

pode ser utilizado para testar a hipótese:

H0: β1 = β2 = ... = βk = 0,

Este resultado apresenta uma distribuição F

com “l - 1” e “(k - 1)(l - 1)” graus de liberdade.