Prof. Lorأ­ Viali, Dr. . ufrgs.br/~viali/ viali@mat. viali/estatistica/mat2282/material/laminas/Anova...آ 

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  • Prof. Lorí Viali, Dr.

    http://www. ufrgs.br/~viali/

    viali@mat.ufrgs.br

  • Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística

    A análise de variância de uma

    classificação (One-Way ANOVA) verifica

    se as médias de “k” amostras independentes

    (tratamentos) diferem entre si.

  • Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística

    Um segundo tipo de análise de variância,

    denominado de ANOVA de Dupla

    Classificação (Two-Way ANOVA) testa se

    existe diferença entre duas variáveis

    categóricas.

  • Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística

    Neste caso, a segunda variável categórica é

    denominada de “Bloco”. Assim é possível testar

    se existe diferença simultânea entre os

    tratamentos (médias das amostras independentes)

    e se simultaneamente estas diferenças podem ser

    debitadas a segunda variável ou blocos.

  • Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística

    Esta ANOVA é de blocos completos, isto é,

    cada bloco inclui todos os tratamentos e sem

    repetição, isto é, cada bloco apresenta apenas

    uma parcela com cada tratamento. Este desenho

    pode incluir combinações mais complexas, como

    blocos incompletos ou repetição dos tratamentos.

  • Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística

    Seja Yij a variável dependente, neste caso o

    índice “i” indica o tramento e o índice “j” o

    bloco. Por exemplo, a variável Yij pode

    representar a “Renda de Pessoas” pertencentes

    a “k” categorias profissionais (tratamentos) em

    “l” empresas diferentes (blocos).

  • Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística

    Vamos admitir o seguinte modelo

    linear:

    Yij = µ + αi + βj + uij, com:

    0 k

    1i i =α

    =

    ∑ e 0 l

    1j i =β

    =

  • Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística

    Neste modelo µ é a média geral, αi

    representa o efeito dos tratamentos e βj o

    efeito dos blocos.

  • Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística

    As hipóteses feitas sobre uij para o

    modelo anterior continuam válidas aqui.

    Isto é, os termos erro são variáveis aleatórias

    independentes com distribuição normal de

    média “zero” e desvio padrão “σ2”.

  • Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística

    Sejam m, ai e bj as estimativas de µ,

    dos αi e dos βj respectivamente. Então o

    modelo amostral será:

    Yij = m + ai + bj + eij

  • Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística

    Dados os valores observados Yij, as

    estimativas dos parâmetros µ, αi e βj podem ser

    determinadas através do Método dos Mínimos

    Quadrados. Para isto deve-se minimizar a soma

    dos quadrados dos resíduos, isto é:

  • Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística

    Derivando e igualando a zero, tem-se:

    ∑ ∑ -∑ ∑

    k

    i

    l

    j

    2 k

    i

    l

    j

    2 ij )b-am-Y(ER.Q.SQ jiij===

    0)1)(b-am-Y(2 m

    Q k

    1i

    l

    1j jiij

    i

    =∑= = =

    ∑ -- ∂

  • Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística

    e k,...,2,1i

    0)1)(b-am-Y(2 a

    Q l

    1j jiij

    i

    =

    == =

    ∑ -- ∂

    l,...,2,1j

    0)1)(b-am-Y(2 b

    Q k

    1i jiij

    j

    =

    == =

    ∑ -- ∂

  • Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística

    Fazendo n = k.l,

    e

    k)..., 2, 1, (i YA l

    1j iji ==

    =

    ∑∑ l

    1j j

    k

    1i i

    k

    1i

    l

    1j ij BA YG

    === =

    =∑=∑=

    l) ..., 2, 1, (j YB k

    1i ijj ==

    =

  • Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística

    Obtém-se, o seguinte sistema de equações:

    k)..., 2, 1, (i ballmA l

    1j jii =++=

    =

    ∑∑ l

    1j j

    k

    1i i bkalnmG

    ==

    ++=

    l) ..., 2, 1, (j bk akmB j k

    1i ij =++=

    =

  • Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística

    Este sistema tem l + k + 1 equações, com o

    mesmo número de incógnitas. Destas equações

    apenas k + l – 1 são Linearmente

    Independentes. Para resolver este sistema

    utilizam-se as restrições sobre ai e bj.

  • Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística

    Tem-se, então:

    0 k

    1i i =α

    =

    ∑ e 0 l

    1j j =β

    =

    m = G/n

    ai = (Ai/l ) – (G/n) = (Ai/l ) – m

    bj = (Bj/k ) – (G/n) = (Bj/k ) – m

  • Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística

    Substituindo, estes resultados na

    expressão dos Mínimos Quadrados, tem-se:

    ∑ ∑ -

    k

    i

    l

    j

    2

    ) n

    G

    k

    B -

    l

    A Y(R.Q.S

    ji ij +=

  • Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística

    Por definição, a soma dos quadrados

    total, a soma dos quadrados dos

    tratamentos e a soma dos quadrados dos

    blocos são dadas por:

  • Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística

    ∑ ∑ - k

    i

    l

    j

    2)mY(Total.Q.S ij=

    ∑ -∑

    k

    i

    2k

    i

    2 i )m

    l

    A (lal.Trat.Q.S i==

    ∑ -∑

    k

    i

    2l

    j

    2 j )m

    k

    B (kbkcosBlo.Q.S

    j ==

  • Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística

    Deve-se notar que todas as somas de

    quadrados são somas de nnnn ==== klklklkl parcelas, onde cada

    parcela é um quadrado. Assim para obter a soma

    de quadrados total, somamos os quadrados dos

    desvios dos nnnn ==== klklklkl valores observados em relação as

    respectivas estimativas, dadas por mmmm ++++ aaaaiiii ++++ bbbbjjjj....

  • Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística

    Para obter a soma de quadrados de tratamentos

    multiplicamos por “l’” as somas dos quadrados das

    “k” diferenças de médias estimadas de tratamentos,

    dadas por Ai/l, em relação a média “m”, ou seja,

    multiplicamos por “l “ a soma dos quadrados das

    estimativas dos “k” efeitos de tratamentos.

  • Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística

    Finalmente, para se obter a soma dos quadrados

    de blocos multiplicamos por “k” as somas dos

    quadrados das “l” diferenças de médias estimadas

    de blocos, dadas por Bj/k, em relação a média “m”,

    ou seja, multiplicamos por “k” as somas dos

    quadrados das estimativas dos “n” efeitos de blocos.

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    Pode-se mostrar através de

    manipulação algébrica que:

    ∑ ∑

    ∑ ∑ -

    k

    1i

    l

    1j

    2 2

    k

    1i

    l

    1j

    2

    n

    G Y

    )mY(Total.Q.S

    ij

    ij

    = =

    = =

    −=

    ==

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    e:

    n

    G A

    l

    1

    )m l

    A (lal.Trat.Q.S

    2k

    1i

    2

    k

    1i

    2k

    1i

    2 i

    i

    i

    −=

    ===

    =

    ==

    ∑ -∑

  • Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística

    E também:

    n

    G B

    k

    1

    )m k

    B (kbkcosBlo.Q.S

    2l

    1j

    2

    l

    1j

    2l

    1j

    2 j

    j

    j

    −=

    ===

    =

    ==

    ∑ -∑

  • Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Depart