Prof. Lorí Viali, Dr. – PUCRS – FAMAT: Departamento de Estatística

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[email protected]@pucrs.br

3320-3531 3320-3531 Ramal: Ramal: 217217

1515 154154

www.pucrs.br/~viali/www.pucrs.br/~viali/



Coleção de números = estatísticasColeção de números = estatísticas O número de carros vendidos no país O número de carros vendidos no país

aumentou em 30%. aumentou em 30%. A taxa de desemprego atinge, este mês, A taxa de desemprego atinge, este mês,

7,5%.7,5%. As ações da Telebrás subiram R$ 1,5, hoje. As ações da Telebrás subiram R$ 1,5, hoje. Resultados do Carnaval no trânsito: 145 Resultados do Carnaval no trânsito: 145

mortos, 2430 feridos.mortos, 2430 feridos.


Estatística: Estatística: uma definição

A ciência de coletar, organizar, apresentar, analisar e interpretar dados numéricos com o objetivo de tomar melhores decisões.


Estatística (divisão)Estatística (divisão)

Descritiva

Indutiva

Os procedimentos usados para organizar, resumir e apresentar dados numéricos.

A coleção de métodos e técnicas utilizados para estudar uma população baseado em amostras probabilísticas desta população.


POPULAÇÃOPOPULAÇÃO

Uma coleção de todos os possíveis elementos, objetos ou medidas de interesse.


CENSOCENSO

Um levantamento efetuado sobre toda uma população é denominado de levantamento censitário ou simplesmente censo.


AMOSTRAAMOSTRA

Uma porção ou parte de uma população de interesse.


AMOSTRAGEMAMOSTRAGEM

O processo de escolha de uma amostra da população é denominado de amostragem.


PROBABILIDADEPROBABILIDADE(Matemática)(Matemática) Univariada

ESTATÍSTICAESTATÍSTICA(Matemática(Matemática

Aplicada)Aplicada) Multivariada

Trabalha com uma única característica

dos dados

Trabalha com duas ou mais características

dos dados


POPULAÇÃO(Censo)

AMOSTRA(Amostragem)

InferênciaErro

PROBABILIDADE


Estatística Descritiva

Probabilidade

Estatística Indutiva

Amostragem


Estatística x ProbabilidadeEstatística x Probabilidade

Faces Probabilidades

Faces

Freqüências

1 1/6 1 152 1/6 2 183 1/6 3 234 1/6 4 255 1/6 5 226 1/6 6 17

Total 1 Total

120


ArredondamentoArredondamento

Todo arredondamento é um erro.

O erro deve ser evitado ou então minimizado.


ArredondamentoArredondamento

Regra básica:Arredondar sempre para o

mais próximo.


É ímpar

É parAumenta

Não aumenta

Exemplos:Exemplos:

1,456 1,46 1,454 1,45

1,475 1,48

1,485 1,48


VVAARRIIÁÁVVEEIISS

QUALITATIVASQUALITATIVAS

QUANTITATIVASQUANTITATIVAS

ORDINALORDINAL

NOMINALNOMINAL

DISCRETADISCRETA

CONTÍNUACONTÍNUA


NOMINAL

ORDINAL

SexoReligião

Estado civil Curso

ConceitoGrau de Instrução

MêsDia da semana

Variável QualitativaVariável Qualitativa


Variável QuantitativaVariável Quantitativa

Número de faltasNúmero de irmãosNúmero de acertos

AlturaÁreaPeso

Volume

CONTÍNUA

DISCRETA



ESTATÍSTICA ESTATÍSTICA DESCRITIVADESCRITIVA

Organização; Resumo; Apresentação.

Conjunto de dados:

Amostra ou

População


Um conjunto de dados é resumido de acordo com as seguintes características:

Tendência ou posição central

Dispersão ou variabilidade

Assimetria (distorção)

Achatamento ou curtose

Amostra ouPopulação


Tendência ou Posição CentralTendência ou Posição Central

(a) As médias

Si

mples

Aritmética

Geométrica

Harmônica

Quadrática

Interna


A média AritméticaA média Aritmética

nnn...

x xxxxx ii

n

121


A média GeométricaA média Geométrica

ni

nng xxxxm ... .. 21


A média HarmônicaA média Harmônica

xxxx

xxx

m

in

n

h

n ...

n

n

...

1111

1111

21

21


A média QuadráticaA média Quadrática

nn... xxxxm in

q

2222

21


A média InternaA média Interna

É a mesma média aritmética só

que aplicada sobre o conjunto onde uma parte dos dados (extremos) é descartada.


Conjuntos

mgmh

4 6 5 4,9 4,8

1 9 5 3 1,8

xMédias

ExemploExemplo


Relação entre as médiasRelação entre as médias

Dado um conjunto de dados

qualquer, as médias aritmética, geométrica e harmônica mantém a seguinte relação:

mm hgx



(a) As médias

Ponderadas

Aritmética

Geométrica

Harmônica

Quadrática


A média Aritmética PonderadaA média Aritmética Ponderada

wwx

wwwwxwxwxm

i

ii

k

kkap

.

.........

21

2211


A média Geométrica PonderadaA média Geométrica Ponderada

w w

w w ... .w.w

i ii

i kkgp

x

xxxm 2211


A média Harmônica PonderadaA média Harmônica Ponderada

xww

xw

xw

xw

wwwm

i

i

i

k

k

kP

...h

2

2

1

1

21


A média Quadrática PonderadaA média Quadrática Ponderada

ni

n

... xfxfxfxfm inn

qp

222

22211


Produtos p01 p02 q

Carne 4,80 5,52 5

Cana 5,20 4,94 1

Ceva 0,80 0,92 12Pão 1,50 2,10 2

Total -- -- 20

ExemploExemplo


P p01 p02 p(0,t)

1 4,80 5,52 0,57 1,15

2 5,20 4,94 0,12 0,95

3 0,80 0,92 0,23 1,15

4 1,50 2,10 0,07 1,40

Total -- -- 1,00 --

ExemploExemplo


ExemploExemplo

114,31%1,1431 07,023,013,057,0

07,0.40,123,0.15,113,0.95,057,0.15,1map

Média aritmética ponderada dos relativos (aumentos) será:

Por este critério o aumento foi de 14,31%.


ExemploExemplo Média geométrica ponderada dos

relativos (aumentos) será:


%90,1131390,1 40,115,195,015,1

40,115,195,015,1m07,023,013,057,0

1 07,023,013,057,0gp


ExemploExemplo Média harmônica ponderada dos

relativos (aumentos) será:


%48,1131348,1 40,107,0

15,123,0

95,013,0

15,157,0

1mhP



(b) A mediana (median)

me = [x(n/2) + x(n/2)+1]/2 se “n” é par

É o valor que separa o conjunto em dois subconjuntos do mesmo tamanho.

me = x(n+1)/2 se “n” é ímpar



(b) Separatrizes

A idéia de repartir o conjunto de dados pode ser levada adiante. Se ele for repartido em 4 partes tem-se os QUARTIS, se em 10 os DECIS e se em 100 os PERCENTIS.


Considere o seguinte conjunto:1 -1 0 4 2 5 3

Como n = 7 (ímpar), então x(n+1)/2 = x4

Ordenando o conjunto, tem-se:

-1 0 1 2 4 3 5Então: me = x4 = 2

ExemploExemplo


Se o conjunto for:1 -1 0 4 2 5 3 -2

Tem-se: n = 8 (par)Então me = [xn/2+xn/2+1)]/2 = (x4 + x5)/2

Ordenando o conjunto, tem-se:

-2 -1 0 1 2 3 4 5

me = (x4 + x5)/2 = (1 + 2)/2 = 1,50

ExemploExemplo



(c) A moda (mode)

É o(s) valor(es) do conjunto que

mais se repete(m).


Considere o conjunto0 1 1 2 2 2 3 5

Então: mo = 2

Pois, o dois é o que mais se repete (três vezes).

ExemploExemplo


Considere o conjunto:

0 1 1 2 2 3 5

Então: mo = 1 e mo = 2

Conjunto bimodal

ExemploExemplo



0 1 2 3 4 5 7

Este conjunto é amodal, pois todos os valores apresentam a mesma freqüência.

ExemploExemplo


(a) A amplitude (h)

(b) O Desvio Médio (dma)

(c) A Variância (s2)

(d) O Desvio Padrão (s)

(e) A Variância Relativa (g2)

(f) O Coeficiente de Variação (s)

Dispersão ou VariabilidadeDispersão ou Variabilidade


h = xmáx - xmín

A Amplitude (range)


-2 -1 0 3 5

h = 5 – (-2) = 7


A média é:

155

553021

x

O dma (average deviation)


-2 -1 0 3 5


Calculando os desvios: xxi

Tem-se: d1 = -2 – 1 = -3

d2 = -1 – 1 = -2

d3 = 0 – 1 = -1

d4 = 3 – 1 = 2

d5 = 5 – 1 = 4


Como pode ser visto a soma é igual a zero. Tomando o módulo vem:

40,25

125

|4||2||1||2||3|n

|xx|dma i


Se ao invés de tomar o módulo, elevarmos ao quadrado, tem-se:

8065

345

164149

542123 22222

22

,

((

ni

)))(

)xx(s

A variância (variance)


ni

nn....

)xx(

)xx()xx()xx(s

2

2222 21

A variância (variance)

A variância de um conjunto de dados será:

xxs ni2 22


É a raiz quadrada da variância

xnx

n)xx(s 2

2i

2i

O Desvio Padrão (standard deviation)


Se extrairmos a raiz quadrada teremos do resultado anterior teremos o desvio padrão:

61,280,6n

)xx(s i2


g2 = s2 / x2

g = s / x

A Variância Relativa

O Coeficiente de Variação


O coeficiente de variação do

exemplo anterior, será:

%77,2601

6077,2xsg



Organização; Resumo; Apresentação.

Amostra ou

População

Grande Conjuntos de DadosGrande Conjuntos de Dados



Lascado MenorDesenho MaiorTorto LascadoDesenho EsmalteTorto EsmalteLascado LascadoTorto DesenhoMaior MenorMenor MaiorDesenho Torto................... ....................

Defeitos em uma linha de produçãoDefeitos em uma linha de produção



Defeito Freqüência %Desenho 71 14,20Esmalte 95 19,00Lascado 97 19,40

Maior 70 14,00Menor 83 16,60Torto 57 11,40

Trincado 27 5,40TOTAL 500 100

Distribuição de freqüênciasDistribuição de freqüências



SIMPLES

ACUMULADAS

Absoluta

Relativa

Absoluta

Relativa

ApresentaçãoFREQÜÊNCIAS Percentual

Apresentação

PercentualDecimal

Decimal


Valores fi Fi fri fri Fri

0 60 60 0,30 30 301 50 110 0,25 25 552 40 150 0,20 20 753 30 180 0,15 15 904 10 190 0,05 5 955 6 196 0,03 3 986 4 200 0,02 2 100

TOTAL 200 — 1,00 100 —

Freqüências: representaçãoFreqüências: representação



Defeitos em uma linha de produção

14%

20%

19%14%

17%

11%5%

Desenho

Esmalte

Lascado

Maior

Menor

Torto

Trincado



Número de irmãos dos alunos da turma 450 - Estatística - PUCRS - 2002/02

0 1 1 6 3 1 3 1 1 04 5 1 1 1 0 2 2 4 13 1 2 1 1 1 1 5 5 64 1 1 0 2 1 4 3 2 21 0 2 1 1 2 3 0 1 0



Distribuição de freqüências por ponto ou valores da variável: “Número de irmãos dos alunos Número de irmãos dos alunos da turma 450da turma 450” da disciplina: Probabilidade e Estatística PUCRS - 2002/02.


N0 de irmãos N0 de alunos0 71 212 83 54 45 36 2 50



Diagrama de colunas simples da variável: Número de irmãos dos alunos da turma 450 Disciplina: Estatística, PUCRS - 2002/02


0

5

10

15

20

25

0 1 2 3 4 5 6




Neste caso, a média a dada por:

nx.f

f...ffx.f...x.fxfx ii

k21

kk2211

A média AritméticaA média Aritmética


xi fi fixi0 7 01 21 212 8 163 5 154 4 165 3 156 2 12 50 95

ExemploExemplo


A média será, então:

irmãos 90,15095

nx.f x ii


Como n = 50 é par, tem-se:

irmão

2 me

xx

xxxx )/(/)/n(/n

1211

2

2

2625

1250250122

A MedianaA Mediana


Total de Total de dados dados n = 50 n = 50 (par)(par)

xi fi Fi0 7 71 21 282 8 363 5 414 4 455 3 486 2 50 50 —

Metade Metade dos dos

dados n/2 dados n/2 = 25= 25

ExemploExemplo


mo = valor(es) que mais se

repete(m)

A ModaA Moda


A moda é A moda é igual aigual a1 (um)1 (um)

xi fi

0 71 212 83 54 45 36 2 50

Pois ele se Pois ele se repete repete

mais vezesmais vezes

ExemploExemplo



h = xmáx - xmín

h = 6 - 0 = 6 irmãos

A AmplitudeA Amplitude


Neste caso, o dma será dado por:

n|xx|.f

f...ff

|xx|f...|xx|f|xx|fdma

ii

k21

k21 k21

O Desvio Médio O Desvio Médio


xi fi fi|xi - | 0 7 7.|0 – 1,90| = 13,301 21 21.|1 – 1,90| = 18,90 2 8 8.|2 – 1,90| = 0,803 5 5.|3 – 1,90| = 5,504 4 4.|4 – 1,90| = 8,405 3 3.|5 – 1,90| = 9,30 6 2 2.|6 – 1,90| = 8,20 50 64,40

x

ExemploExemplo


O dma será, então:

irmãos 29,150

40,64n

|xx|.f dma ii


xn

xfn

)xx(f

n)xx(f....)xx(f)xx(fs

22ii

2i

2k

22

22

i

k211

Neste caso, a variância será:

A Variância A Variância


xi fi fixi2

0 7 02.7 = 01 21 12.21 = 212 8 22.8 = 323 5 32.5 = 454 4 42.4 = 645 3 52.3 = 756 2 62.2 = 72 50 299

ExemploExemplo


A variância será, então:

irmãos 3700,2

90,150299 x

nxfs

2

222i2 i


O desvio padrão será dado por:

irmãos 1,54 1,5395

3700,2xn

xfs 22ii

O Desvio Padrão O Desvio Padrão


Dividindo a média pelo desvio padrão, tem-se o coeficiente de variação:

%03,8190,1

539480,1g

O Coeficiente de Variação O Coeficiente de Variação



Idade (em meses) dos alunos da turma 450 da disciplina: Probabilidade e Estatística PUCRS - 2002/02


276245345240270310368

334268288336299236239355330

287344300244303248251265246

240320308299312324289320264

252298315255274264263230303

369 247 266 275 281 230 234



Distribuição por classes ou intervalos da variável “idade dos alunos da turma 450” da disciplina: Probabilidade e Estatística da PUCRS - 2002/02


Idades Número de alunos230 |--- 250 12250 |--- 270 9270 |--- 290 8290 |--- 310 7310 |--- 330 6330 |--- 350 5350 |--- 370 3

Total 50



Histograma de freqüências da

variável “Idade dos alunos da turma

450” de Probabilidade e Estatística

da PUCRS - 2002/02


0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

230 |--- 250 250 |--- 270 270 |--- 290 290 |--- 310 310 |---330 330 |--- 350 350 |--- 370

fi / hi



Antes de apresentar as medidas,

i. é, representantes do conjunto, é

necessário estabelecer uma notação

para alguns elementos da

distribuição.



xi = ponto médio da classe;

fi = freqüência simples da classe;

lii = limite inferior da classe;

lsi = limite superior da classe;

hi = amplitude da classe.


xi fi xi

230 |--- 250 12 240250 |--- 270 9 260270 |--- 290 8 280290 |--- 310 7 300310 |--- 330 6 320330 |--- 350 5 340350 |--- 370 3 360

50 —

O Ponto Médio da Classe O Ponto Médio da Classe



xi fi fi. xi240 12 2880260 9 2340280 8 2240300 7 2100320 6 1920340 5 1700360 3 1080 50 14260

A Média da Distribuição A Média da Distribuição


A média será:

meses 20,28550

14260n

x.f x ii

ExemploExemplo


Neste caso, utilizam-se as freqüências acumuladas para identificar a classe mediana, i. é, a que contém o(s) valor(es) central(is).

A Mediana A Mediana


Total de Total de dados dados n = 50 n = 50 (par)(par)

Metade Metade dos dos

dados n/2 dados n/2 = 25= 25

xi fi Fi230 |--- 250 12 12250 |--- 270 9 21270 |--- 290 8 29290 |--- 310 7 36310 |--- 330 6 42330 |--- 350 5 47350 |--- 370 3 50

50 —

ExemploExemplo


Portanto, a classe mediana é a terceira. Assim i = 3. A mediana será obtida através da seguinte expressão:


meses 2808420 270

8

212

50

20702

8

212

50

20702 f

F2n

hli mi

1i

iie


Neste caso é preciso inicialmente apontar a classe modal, i. é, a de maior freqüência. Neste exemplo é a primeira com fi = 12. Assim i = 1.

A Moda A Moda


Classe Classe modal, pois modal, pois

f fii = 12. = 12.

i xi fi1 230 |--- 250 122 250 |--- 270 93 270 |--- 290 84 290 |--- 310 75 310 |--- 330 66 330 |--- 350 57 350 |--- 370 3— 50

ExemploExemplo


Portanto a moda poderá ser obtida através de uma das seguintes expressões:


Critério de King:

meses 250 99.20023

90

9.20302 ff

fhli m1i 1i

1iiio


Critério de Czuber:

meses 246 16230

924

12.20023

)90(12.2

012.20302

)ff(f.2

ffhli m1ii

i

1i

1iiio



h = xmáx - xmín

h = 370 - 230 = 140 meses

A Amplitude A Amplitude


Neste caso, o dma será dado por:

n|xx|.f

f...ff

|xx|f...|xx|f|xx|fdma

ii

k21

k21 k21

O Desvio Médio Absoluto O Desvio Médio Absoluto


xxi fi fi.|xi - | 240 12 12.|240 – 285,20| =

542,40260 9 9.|260 – 285,20| = 226,80 280 8 8.|280 – 285,20| = 41,60300 7 7.|300 – 285,20| = 103,60320 6 6.|320 – 285,20| = 208,80340 5 5.|340 – 285,20| = 274,00360 3 3.|360 – 285,20| = 224,40 50 1621,60

ExemploExemplo


O dma será, então:

meses 32,43 50

60,1621n

|xx|.f dma ii


xn

xfn

)xx(f

n)xx(f....)xx(f)xx(fs

22ii

2i

2k

22

22

i

k211

Neste caso, a variância será:

A Variancia A Variancia


xi fi fi. xi2

240 12 12.2402 = 691200 260 9 9.2462 = 608400280 8 8.2802 = 627200300 7 7.3002 = 630000320 6 6.3202 = 614400340 5 5.3402 = 578000360 3 3.3602 = 388800 50 4 138 000

ExemploExemplo


A variância será, então:

meses 420,961

20,28550

4138000

xn

xfs

2

2

22i2 i


O desvio padrão será dado por:

meses 37,70 37,6956

96,1420xn

xfs 22ii

O Desvio Padrão O Desvio Padrão


Dividindo a média pelo desvio padrão, tem-se o coeficiente de variação:

%22,1320,285

695623,37g

O Coeficiente de Variação O Coeficiente de Variação


Skewness


Primeiro Coeficiente ( de Pearson)

a1 = (Média - Moda) / Desvio Padrão

Segundo Coeficiente ( de Pearson)

a2 = 3.(Média - Mediana) / Desvio Padrão


Coeficiente Quartílico

CQA =[(Q3 - Q2) - (Q2 - Q1)]/(Q3 - Q1)

Coeficiente do Momento

a3 = m3/s3, onde m3 = X - )3/nx


Coeficiente = 0Conjunto Simétrico

Provão 2000Curso: Odonto


Coeficiente < 0Conjunto: Negativamente Assimétrico

Provão 2000Curso: Jornalismo


Coeficiente > 0Conjunto: Positivamente Assimétrico

Provão 2000Curso: Eng. Elétrica


(Kurtosis)


Coeficiente de Curtose (momentos)

xa4 = m4/s4, onde m4 = X - )4/n


Coeficiente = 3 ou 0Conjunto: Mesocúrtico

Provão 2000Curso: Odonto


Coeficiente > 3 ou (> 0)Conjunto: Leptocúrtico

Provão 2000Curso: Matemática


Coeficiente < 3 ou (< 0)Conjunto: Platicúrtico

Provão 1999Curso: Eng. Civil



Suponha que o conjunto de dados “x” sofreu a seguinte transformação:

y = a.x + bEntão:


b+x.a=y

s.a=s 2x

22y

s.|a|=s xy

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