Prof. Lorí Viali, Dr. – PUCRS/UFRGS – Departamento de ... · sseerrser excluídos da análise e o valor de n deve ser reduzido na mesma quantidade de valores em que a diferença

11

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Prof. LorProf. LorProf. LorProf. Loríííí Viali, Dr.Viali, Dr.Viali, Dr.Viali, Dr.

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Prof. Lorí Viali, Dr. – PUCRS/UFRGS – Departamento de Estatística Prof. Lorí Viali, Dr. – PUCRS/UFRGS – Departamento de Estatística

O teste de McNemar O teste de McNemar O teste de McNemar O teste de McNemar

O teste de McNemar para a

significância de mudanças é

particularmente aplicável aos

experimentos do tipo "antes e depois" em

que cada sujeito é utilizado como seu

próprio controle e a medida é efetuada em

escala nominal ou ordinal.


Para testar a significância de

qualquer mudança observável, através

deste método, é necessário construir uma

tabela de freqüências “2x2”. Veja exemplo

a seguir:


A tabela 2x2A tabela 2x2A tabela 2x2A tabela 2x2

DC----

BA++++Antes

++++----

Depois

22


Note-se que aqueles casos que

mostram mudanças entre a primeira e a

segunda resposta aparecem nas células AAAA e

DDDD. Um sujeito é contado na célula AAAA se ele

muda de ++++ para ---- e é contado na DDDD se ele

muda de ---- para ++++.


Se nenhuma mudança é ocorre ele

é contado nas células AAAA (resposta ++++

antes antes antes antes e depoisdepoisdepoisdepois) e CCCC (resposta ---- antesantesantesantes e

depoisdepoisdepoisdepois).


HipHipHipHipóóóótesestesestesesteses

A Como A + D representa o

número total de elementos que acusaram alguma modificação, a

expectativa, sob a hipótese de

nulidade, é de que 1/2 (A + D) acuse modificações em um sentido e 1/2 (A +

D) no outro sentido. Prof. Lorí Viali, Dr. – PUCRS/UFRGS – Departamento de Estatística

VariVariVariVariáááável Testevel Testevel Testevel Teste

( )

2

D+A

)2

D+AD(

=

2

D+A

)2

D+AA(

=E

EO

=χ

22

i

k

1=iii2

21

--∑ -

Simplificando vem:

D+A

)DA(==χ

221

-


A correção torna-se necessária porque

uma distribuição contínua, no caso, o qui-

quadrado está sendo usada para

aproximar uma distribuição discreta.

Quando todas as freqüências esperadas

são pequenas, esta aproximação pode não

ser boa.

Correção de Continuidade


A correção de continuidade (de

Yates) é uma tentativa de remover esta

fonte de erro. A expressão acima

incluindo a correção de Yates fica:

Correção de Continuidade

D+A

)1|DA(|==χ

221

--

33


Uma pesquisa realizada entre donos

de automóveis sobre a necessidade do uso

do cinto de segurança foi realizada antes e

depois de um filme sobre acidentes, onde

era enfocado os benefícios do uso do cinto.


Dos 80 motoristas entrevistados 20 eram

a favor do uso do cinto antes e continuaram

após, 30 eram contra antes e ficaram a favor

após, 15 eram contra antes e continuaram

contra após e 5 eram a favor e ficaram contra

após. Teste, ao nível de 1%, a significância das

mudanças.


H0: A proporção de mudanças de A

para B é igual a de B para A, isto

é, PA = PB = 1/2

H1: PA > PB



Os dadosOs dadosOs dadosOs dados

3015----

205++++Antes

++++----

Depois


A estatA estatA estatA estatíííística testestica testestica testestica teste

457,16=30+5

)1|5(|==χ

221

-30-

44


Significância do ResultadoSignificância do ResultadoSignificância do ResultadoSignificância do Resultado

Como pode ser visto o resultado

encontrado é significativo a 1% ou

menos, portanto as mudanças são

significativas.



ObjetivosObjetivosObjetivosObjetivos

A prova de Wilcoxon de duas

amostras emparelhadas é a equivalente não

paramétrica ao teste t para duas amostras

dependentes. As hipóteses são as mesmas,

embora às vezes elas possam ser colocadas

em termos da mediana e não da média.



H0: A diferença entre as médias (ou

medianas) populacionais é zero.

H1: A diferença entre as médias (ou

mediadas) não é zero.



A suposição básica por trás deste teste

é que as distribuições populacionais são

simétricas (médias e medianas idênticas).


Inicialmente calcular di = diferença

dentro do par “i”. A seguir atribuir postos a

cada di, independentemente de sinal. Ao menor

di, atribuir o posto 1; ao próximo 2, etc. A cada

posto atribuir o sinal da diferença, isto é,

identificar quais postos decorrem de diferenças

negativas e quais de diferenças positivas.

Metodologia

55


Se as duas classificações são

equivalentes, isto é se Ho é verdadeira, é de se

esperar que algumas das maiores diferenças

sejam positivas e outras negativas. Desta

forma, se forem somados os postos com sinal

mais e os postos com sinal menos, deve-se

esperar somas aproximadamente iguais.

MetodologiaMetodologiaMetodologiaMetodologia


Se houver diferença entre estas duas

somas é sinal de que as duas classificações

(ou tratamentos) não se equivalem e deve-

se então rejeitar a hipótese nula.



Se as duas amostras foram extraídas da

mesma população, então se espera que as

distribuições acumuladas das amostras estejam

próximas. Se as distribuições estão “distantes”

isto sugere que as amostras provenham de

populações distintas e um desvio grande pode

levar a rejeição da hipótese de nulidade.


Eventualmente os escores de dois

pares serão iguais. Neste caso eles devem devem devem devem

serserserser excluídos da análise e o valor de n

deve ser reduzido na mesma quantidade

de valores em que a diferença for nula.

Empates


Pode ocorrer, ainda, um outro tipo de

empate. Duas ou mais diferenças podem ter o

mesmo valor absoluto. Neste caso, atribuí-se o

mesmo posto aos empates. Este posto é a

média dos postos que teriam sido atribuídos se

as diferenças fossem diferentes.


Por exemplo, se três pares acusam as

diferenças: -1, -1 e +1, a cada par será

atribuído o posto 2, que é a média entre 1, 2 e

3. O próximo valor, pela ordem, receberia o

valor 4, porque já teriam sido utilizados os

postos 1, 2 e 3.

66


Se T = a menor soma dos postos de

mesmo sinal (negativos ou positivos)

então T será significativo se não superar

o valor dado na tabela, sob determinado

nível de significância.

Pequenas Amostras (n < 25)


Neste caso T (menor soma) é

aproximadamente normal com os

seguintes parâmetros:

Grandes Amostras (n ≥ 25)

24

)1+n2)(1+n(n=σ T

4

)1+n(n=µ T


Um grupo de 25 motoristas foi

submetido a um teste para verificar o

efeito do álcool na percepção de

obstáculos. O número de cones derrubados

antes e depois da ingestão de uma dose de

destilado foi anotado.

2425433212D

1434321210A

3131534210A

20191817161514131211M

4563423232D

98

67

10

54321M


Teste a hipótese de que o álcool

não tem influência sobre a

percepção dos motoristas.

77


Resultados Resultados Resultados Resultados ---- SPSSSPSSSPSSSPSS

116,00116,00116,00116,00116,00116,00116,00116,009,6712Positive

Ranks

5,00

MeanMeanMeanMean

RankRankRankRank

2020202020202020

4

4

NNNN

TotalTotalTotalTotal

Ties

NegativeRanks

20,0020,0020,0020,0020,0020,0020,0020,00Antes –Depois

SumSumSumSum of of of of

RanksRanksRanksRanks


0,005Exact Sig. (1-tailed)

0,011Asymp. Sign (2 tailed)

0,002

0,010

-2,542 (a)

Antes –Depois

Point Probability

Exact Sig. (2-tailed)

Z

a Based on negative ranks.

b Wilcoxon Signed Ranks Test



O teste é uma extensão direta do qui-quadrado para duas amostras independentes.

Em geral, o teste é o mesmo, tanto para duas, como para k amostras independentes.

O teste quiO teste quiO teste quiO teste qui----quadradoquadradoquadradoquadrado

O teste χ² de “k” amostras independentes pode ser utilizado para

verificar a dependência ou independência entre as variáveis sendo consideradas.


H0 : As variáveis são independentes

H1 : As variáveis são dependentes

HipHipHipHipóóóóteses e Cteses e Cteses e Cteses e Cáááálculolculolculolculo

( )

E

EO

=χij

k

1=i

∑l

1=jijij

2

2υ

∑ -

A variA variA variA variáááável teste vel teste vel teste vel teste éééé::::

88


Expressão alternativaExpressão alternativaExpressão alternativaExpressão alternativa

( )

nE

O

=

=E

EO

=χ

ij

k

1=i

l

1=j

2ij

ij

k

1=i

l

1=jijij

2

2υ

-

∑ ∑

∑ -∑A variA variA variA variáááável vel vel vel

teste teste teste teste éééé::::


r = número de linhas da tabela;

L = número de colunas da tabela;

Oij = freqüência observada na interseção da linha i com a coluna j.

Eij = número de casos esperados na

interseção da linha i com a coluna j.

Onde:


Onde:

= tamanho da amostra;∑k

1=i

l

1=jij∑O=n

χ 2υ é a estatística teste;

pn=E ijij são as freqüências esperadas

de cada célula ij da tabela.


pij é a probabilidade de ocorrer uma

observação na célula ij. Se as variáveis são

supostamente independentes (H0 é

Verdadeira), então pij = pi.p.j, onde pi. é a

probabilidade marginal correspondente à

linha “i” e p.j é a probabilidade marginal

correspondente a coluna j.


Como não se conhecem as probabilidades

marginais, elas devem ser estimadas através

das correspondentes freqüências relativas.

Então:

n

ff=

n

f.

n

f.n

=p.pn=pn=E

j..ij..i

j..iijij


∑k

1=iijj.

l

1=jij.i f=f e ∑ f=f

99


O teste de Kruskal-Wallis é utilizado

para decidir se k amostras independentes

podem ter sido extraídas de populações

diferentes.



Os valores amostrais diferem entre si

e deve-se decidir se essas diferenças

amostrais significam diferenças efetivas

entre as populações, ou se representam

apenas variações casuais.


O teste supõe que a variável em

estudo tenha distribuição contínua e exige

mensuração no mínimo ao nível ordinal.


Cada um dos nnnnnnnn valores é substituído por

um posto. Isto é, os escores de todas as k

amostras combinadas são dispostos em uma

única série de postos. Ao menor escore é

atribuído o posto 1, ao seguinte o posto 2 e

assim por diante até o maior posto que é n =

número total de observações.



Feito isso, determina-se a soma dos

postos em cada amostra (coluna). A prova

então testa se estas somas são tão diferentes

entre si, de modo que não seja provável que

tenham sido todas retiradas de uma mesma

população.

1010


Se as k amostras forem de uma mesma

população (H0 é V) então a estatística de

Kruskal-Wallis tem distribuição conhecida

(Tabela O) se as amostras forem pequenas

(n < 5) ou Qui-Quadrado com glglglglglglglgl = k = k = k = k = k = k = k = k -------- 11111111, desde

que os tamanhos das k amostras não sejam

muito pequenos (5 ou mais elementos).

A estatística teste


O grau de liberdade O grau de liberdade O grau de liberdade O grau de liberdade O grau de liberdade O grau de liberdade O grau de liberdade O grau de liberdade éééééééé::::::::

A estatA estatA estatA estatA estatA estatA estatA estatíííííííística amostral stica amostral stica amostral stica amostral stica amostral stica amostral stica amostral stica amostral

amostras de número=k onde ,1k=ν -

nn

T- 1

)1+n(3n

R

)1+n(n

12

=H

3

k

1=j j

2j

-

∑

∑ -eeeeeeee


Onde:Onde:Onde:Onde:Onde:Onde:Onde:Onde:

k = número de amostras;

nj = número de elementos na amostra “j”;

Rj = soma dos postos na amostra (coluna) “j”;

n = ∑nj = número total de elementos em todas as amostras combinadas;

T = t3 – t, onde t é o número de empates.



Verificar a influência do Fator

“Idade” sobre a variável “tempo, em

dias, para conseguir um emprego”,

considerando as seguintes amostras:

1245

336471

18

14

6

31

25

Abaixo de 25

30

51

28

27

42

33

Entre 25 e 40

57

58

43

20

63

Acima de 40 anos

1111


Tem-se n = 21 (total de

informações). Então o maior posto

será 21.

10

215

32021

ΣΣΣΣΣΣΣΣRRRRRRRR33333333 = 31= 31= 31= 31= 31= 31= 31= 31

5

4

1

11

7

Postos (3)Postos (3)Postos (3)Postos (3)Postos (3)Postos (3)Postos (3)Postos (3)

ΣΣΣΣΣΣΣΣRRRRRRRR22222222 = 90= 90= 90= 90= 90= 90= 90= 90

16

9

8

13

12

Postos (2) Postos (2) Postos (2) Postos (2) Postos (2) Postos (2) Postos (2) Postos (2)

ΣΣΣΣΣΣΣΣR R R R R R R R 11111111 = 110= 110= 110= 110= 110= 110= 110= 110

17

18

14

6

19

Postos (1) Postos (1) Postos (1) Postos (1) Postos (1) Postos (1) Postos (1) Postos (1)


A variA variA variA variA variA variA variA variáááááááável teste servel teste servel teste servel teste servel teste servel teste servel teste servel teste seráááááááá: : : : : : : :

04,21=6604,87=

=+)6

31+

8

90+

7

110()1+21(21

12=

=)1+n(3n

R

)1+n(n

12=H

222

k

1=j j

2j

-

1)3(21-

∑ -

O grau de liberdade é:2=1 - 3 = 1k=ν -


O χ22 tabelado é:


A 1% de significância é possível

afirmar que o fator “idade” tem

influência sobre o “tempo para

encontrar trabalho”.

Conclusão


1212


Resultados SPSSResultados SPSSResultados SPSSResultados SPSS

Kruskal-Wallis Test

5,92

10,81

15,57

MeanMeanMeanMean RankRankRankRank

21

6

8

7

nnnn

Total

2

1

0

ControleControleControleControle

0,020

2

7,839

TempoTempoTempoTempo

Assyp. Sig.

df

Chi-Square




Quando os dados de kkkk amostras estão em

correspondência, isto é, o número de casos é o

mesmo para cada uma delas, pode-se utilizar a

análise de variância por postos de Friedman


A dupla análise de variância ou χ2 de

Friedman é uma alternativa não paramétrica

para testar diferenças entre duas ou mais

amostras dependentes.


A estatística teste é dada por:

CCCCáááálculolculolculolculo

∑ -k

1=i

2i

2υ )1+k(n3R

)1+k(nk

12=χ

Onde:

k = número de tratamentos;

n = tamanho da amostra;

ΣRi = soma dos postos de cada tratamento;

v = k –1 = grau de liberdade.

1313


Onde:

k = número de tratamentos;

n = tamanho da amostra;

ΣRi = soma dos postos de cada tratamento;

v = k –1 = grau de liberdade.



Oito gerentes foram convidados de uma

empresa de Internet para avaliar o novo sítio

da instituição onde trabalham. Eles foram

convidados a dar uma nota de 0 a 5 para cada

uma de quatro características de interesse do

local. Teste se as características diferem

significativamente a 5%. 3

4

3

5

2

2

4

2

C2C2C2C2

5

4

1

2

0

2

3

3

C1C1C1C1

537

016

4

3

0

2

5

1

C4C4C4C4

5

4

3

5

4

2

C3C3C3C3

8

5

4

3

2

1

GerentesGerentesGerentesGerentes


Friedman Friedman Friedman Friedman TestTestTestTest

2,19

2,88

2,69

2,25

Mean Rank

CCCC4444

CCCC3333

CCCC2222

CCCC1111

0,606

3

1,846

8

AsympAsympAsympAsymp. . . . SigSigSigSig....

dfdfdfdf

Chi-Square

n

1414


Como a significância do resultado é

60,60%, acima da significância do teste,

não é possível rejeitar a hipótese de que

existe diferença entre as diversas

características.

ConclusãoConclusãoConclusãoConclusão

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