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Sistema

Real

Determinístico

Probabilístico

Tipos de Modelos

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Causas Efeito

Modelo determinístico

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Gravitação F = GM1M2/r2

Aceleraçãoclássica v = at

Aceleração

relativísticac

ta1

atv

2

22

+

=

Exemplos

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Causas EfeitoXX

Modelo

probabilístico

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Binomial

Poisson

Normal

∈∈∈∈−−−−

====

−−−−

..0

}...,,1,0{)1.(.)(

cc

nxppx

n

xfxnx

∈∈∈∈====

−−−−

..!

.)(

cc

xx

exf

x

0

Nλλλλλλλλ

ℜℜℜℜ∈∈∈∈====

−−−−−−−−

x ,

2.

2

1

..2

1)( σσσσ

µµµµ

σσσσππππ

x

exf

Exemplos

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Experiência para o qual o modelo

probabilístico é adequado.

Experimento Aleatório

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E1: Joga-se um dado e observa-se o

número da face superior.

Exemplos

E2: Joga-se uma moeda quatro vezes e

observa-se o número de caras e

coroas;

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E3: Joga-se uma moeda quatro vezes e

observa-se a seqüência de caras e

coroas;

E4: Uma lâmpada nova é ligada e conta-

se o tempo gasto até queimar;

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E5: Joga-se uma moeda até que uma cara

seja obtida. Conta-se o número de

lançamentos necessários;

E6: Uma carta de um baralho comum de

52 cartas é retirada e seu naipe

registrado;

E7: Jogam-se dois dados e observa-se o

par de valores obtido;

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É o conjunto de resultados de uma

experiência aleatória.

Espaço amostra(l)

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S1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Exemplos

S2 = {0, 1, 2, 3, 4}

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S3 = { cccc, ccck, cckc, ckcc, kccc, cckk,

kkcc, ckkc, kcck, ckck, kckc, kkkc,

kkck, kckk, ckkk, kkkk}

S4 = { t ∈ R / t ≥ 0 }

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S5 = {1, 2, 3, ...}

S6 = {♦, ♠, ♣, ♥}

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S7 = { (1, 1), (1, 2),(1,3), (1, 4), (1, 5), (1, 6)

(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6)

(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6)

(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6)

(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6)

(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6) }

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Um evento é um subconjunto

de um espaço amostra.

Eventos

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Se S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }é um espaço amostra, então são eventos:

A = { 1, 3, 5} B = { 6 }

C = { 4, 5, 6} D = ∅ E = S

Exemplo

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Seja E um experimento com espaço

amostra associado S. Diremos que o

evento A ocorre se realizado E o

resultado é um elemento de A.

Ocorrência de um evento

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Se A e B são eventos de um

mesmo espaço amostra S. Diremos

que ocorre o evento:

Combinação de eventos

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A união B, A soma B ou A mais B,

se e só se A ocorre ou B ocorre.

A∪B

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A produto B, A vezes B ou A

interseção B, se e só se A ocorre e B

ocorre.

A∩B

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A menos B, A diferença B, se e só se A

ocorre e B não ocorre.

A∩B

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Complementar de A (não A) se e só se

A não ocorre.

A’ = AC = A

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Dois eventos A e B são

mutuamente excludentes se não

puderem ocorrer juntos.

Eventos mutuamente excludentes (exclusivos)

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♣ CLÁSSICO

♥♥ FREQÜENCIAL

♠♠ AXIOMÁTICO

Conceitos de probabilidade

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(número de casos favoráveis)P(A) = ------------------------------------

(número de casos possíveis)

Clássico

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Qual a probabilidade de

ganhar na Loto Fácil?

Exemplo:

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Casos favoráveis = 1

Casos possíveis:

3268760 15

25=

Solução:

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%000031,03268760

1

15

251

possíveis de Número

favoráveis de Número

Fácil)P(Loto

==

=

=

==

=

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(número de vezes que A ocorre)frA = ------------------------------------------

(número de vezes que E é repetido)

Frequência relativade um evento

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Um dado é lançado 120 vezes e

apresenta “FACE SEIS” 18 vezes.

Então, a freqüência relativa de “face

seis” é:

Exemplo:

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%.1515,0120

18

jogado é dado o que vezesde número

ocorre f_seis"" que vezesde número

fr6

===

=

=

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A probabilidade de um evento A é o

limite para o qual tende a frequência relativa

de A, quando o número de repetições do

experimento tende ao infinito, isto é:

Conceito frequencial de probabilidade

frlim)A(P An ∞→

=

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P(A) é um número real que devesatisfazer as seguintes propriedades:

(1) 0 ≤ P(A) ≤ 1

(2) P(S) = 1

(3) P(AUB) = P(A) + P(B)

se A∩B = ∅

Conceito axiomático

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Consequências

dos axiomas

(Propriedades)

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(1) P(∅) = 0

(2) P( ) = 1 - P(A)

(3) P(A - B) = P(A) - P(A∩B)

A

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(4) P(AUB) = P(A) + P(B) - P(A∩B)

(5) P(AUBUC) = P(A) + P(B) + P(C) -

- P(A∩B) - P(A∩C) - P(B∩C)

+ P(A∩B∩C)

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Probabilidade

condicionada

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Considere uma urna com 50 fichas,

onde 40 são pretas e 10 são brancas.

Suponha que desta urna são retiradas

“duas” fichas, ao acaso e sem reposição:

Motivação

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Sejam os eventos:

A = {a primeira ficha é branca}

B = {a segunda ficha é branca}

Então:

P(A) = 10/50 = 0,20 = 20%

P(B) = ?/49

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Neste caso, não se pode avaliar

P(B), pois para isso é necessário saber se

A ocorreu ou não, isto é, se saiu ficha

branca na primeira retirada.

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P(B | A) = 9/49 = 0,1837 = 18,37%.

Se for informado que A ocorreu, então

a probabilidade de B, será:

Observe a notação.

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Esta representação é lida:

P de B dado A;

P de B dado que A ocorreu;

P de B condicionada a A.

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Definição:

P(A | B) = P(A∩B) / P(B)

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Mas:

Se P(A | B) = P(A∩B) / P(B) então:

P(A∩B) = P(A | B).P(B)

E também:

Se P(B | A) = P(A∩B) / P(A) então:

P(A∩B) = P(A).P(B | A)

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Assim:

P(A∩B) = P(A).P(B | A) =

P(A | B).P(B)

Esse resultado é conhecido

como teorema da multiplicação.

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Dois eventos A e B são ditos

independentes se a probabilidade de

um ocorrer não altera a probabilidade

do outro ocorrer, isto é:

Independência

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(1) P(A | B) = P(A) ou

(2) P(B | A) = P(B) ou ainda

(3) P(A∩B) = P(A).P(B)

Se:

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KKK

CKK

KKC

KCK

CCK

CKC

KCC

CCC

0

1

2

3

Sℜℜℜℜ

X

s

)S(X

)s(Xx ====

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Uma função X que associa a cada

elemento de S (s ∈ S) um número real

x = X(s) é denominada variável

aleatória.

Variável Aleatória

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O conjunto formado por todos os

valores “x”, isto é, a imagem da variável

aleatória X, é denominado de conjunto de

valores de X.

X(S) = { x ∈ ℜ | X(s) = x }

O conjunto de valores

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Conforme o conjunto de valores –

X(S) – uma variável aleatória poderá ser

discreta ou contínua.

Tipos de variáveis

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Se o conjunto de valores for finito ou

então infinito enumerável a variável é dita

discreta.

Variável Discreta (VAD)

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Se o conjunto de valores for

infinito não enumerável então a variável

é dita contínua.

Variável Contínua (VAC)

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A função de probabilidade (fp) de

uma VAD é a função que associa a cada

xi ∈ X(S) o número f(xi) = P(X = xi) que

satisfaz as seguintes propriedades:

f(xi) ≥ 0, para todo “i”

∑f(xi) = 1

A função de probabilidade (fp)

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A coleção dos pares [xi, f(xi)] para

i = 1, 2, 3, ... é denominada de

distribuição de probabilidade da VAD X.

A distribuição de probabilidade

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Suponha que uma moeda equilibrada

é lançada três vezes. Seja X = “número de

caras”. Então a distribuição de

probabilidade de X é:

Exemplo:

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KKK

CKK

KKC

KCK

CCK

CKC

KCC

CCC

0

1

2

3

0

0

0

1

Sℜ

x(s)

X

]1;0[)x(f

f

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KKK

CKK

KKC

KCK

CCK

CKC

KCC

CCC

0

1

2

3

1/8

3/8

3/8

1/8

Sℜ

x(s)

X

]1;0[)x(f

f

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Suponha que um par de dados é

lançado. Então X = “soma do par” é uma

variável aleatória discreta com o

seguinte conjunto de valores:

Exemplo:

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Como X((a, b)) = a + b, o conjunto

de valores de X é dado por:

X(S) = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 , 10, 11, 12}

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A função de probabilidade

f(x) = P(X = x), associa a cada

x ∈ X(S), um número no intervalo [0; 1]

dado por:

f(x) = P(X = x) = P(X(s) = x) =

= P([x ∈ X(S) / X(s) = x})

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Desta forma:

f(2) = P(X = 2) = P{(1,1)} = 1/36

f(3) = P(X = 3) = P{(1,2), (2, 1)} = 2/36

...............................................................

f(11) = P(X=11) = P{(6, 5), (5, 6)} = 2/36

f(12) = P(X = 12) = P{(6, 6)} = 1/36

A distribuição de probabilidade será:

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x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ΣΣΣΣ

f(x) 136

1

36

2

36

3

36

436

5

36

6

36

536

4

36

336

236

1

A distribuição de probabilidade de

X será então:

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uma tabela

uma expressão analítica (fórmula)

um diagrama

Poderá ser feita por meio de:

Representação de uma distribuição de

probabilidade:

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Seja X = “número de

caras”, obtidas no

lançamento de 4 moedas

honestas. Então a

distribuição de X é a da

tabela ao lado.

x f(x)

0 1/16

1 4/16

2 6/16

3 4/16

4 1/16

Σ 1

Tabela

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Considere X = “soma do par”, no

lançamento de dois dados equilibrados,

então:

ff :: X(S)X(S) →→ ℜℜ

x x →→ (x (x -- 1)/36 se x 1)/36 se x ≤≤ 77

(12 (12 -- x + 1)/36 se x > 7x + 1)/36 se x > 7

Expressão analítica

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0,00

0,02

0,04

0,06

0,08

0,10

0,12

0,14

0,16

0,18

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Diagrama

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(a) Expectância, valor esperado (Expectation)

(b) Variância (Variance)

µ = = = =∑ ∑ E(X) x.f(x) x.P(X x)

= = − =−µ µ∑ ∑σ

=

2 22 2

22

f(x) f(x)(x ) x

E( )-E(X)X

VAD - Caracterização

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(iii) Desvio Padrão

(Standard Deviation)

(iv) O Coeficiente de Variação

(Variation Coeficient)

γ = σ/µ

2 222 2 f (x) f (x) E( )-(x ) E(X)x Xσ = = − =−µ µ∑ ∑

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Calcular o valor esperado, a

variabilidade da variável X = “número de

caras” no lançamento de quatro moedas

honestas.

Exemplo

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x f(x) x.f(x) x2f(x)

0 1/16 0 0

1 4/16 4/16 4/16

2 6/16 12/16 24/16

3 4/16 12/16 36/16

4 1/16 4/16 16/16

Σ 1 2 5

Cálculos

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Assim:

(i) E(X) = 2 caras

(ii) σ2 = 5 – 4 = 1 cara

(iii) γ = 2/1 = 2 = 200%

Tem-se:

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Seja X uma variável aleatória

(discreta ou contínua). A função de

distribuição (acumulada) ou

simplesmente “função de repartição” é

definida por: F(x) = P(X ≤ x).

A Função de Distribuição (FD)

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(i) P(a < X ≤ b) = F(b) – F(a);

(ii) P(X < a) = F(a) e

(iii) P(X > a) = 1 - F(a)

Determinação de probabilidades apartir da FD

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Bernoulli

Binomial

Poisson

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Qualquer um que corresponda a

apenas dois resultados. Estes resultados

são anotados por “0” ou “fracasso” e “1”

ou “sucesso”. A probabilidade de

ocorrência de “sucesso é representada por

“p” e a de insucesso por “q = 1 – p”.

Experimento

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X(S) = {0, 1}

===1 = x se p

0 = x se p1)xX(P)x(f

A Função de Probabilidade (fp)

Conjunto de Valores

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A Função de Probabilidade (fp)

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0 1

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pq)p1(ppp

p)p.1q.(0

E(X)-)X(E)X(V

2

222

22

=−=−=

=−+=

==

Características

Expectância ou Valor Esperado

∑ =+== pp.1q.0)x(f.x )X(E

Variância

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Suponha que um circuito é testado

e que ele seja rejeitado com

probabilidade 0,10. Seja X = “o

número de circuitos rejeitados em um

teste”. Determine a distribuição de X.

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Como se trata de um único teste, a

variável X é Bernoulli com p =10%,

assim a distribuição é:

===1 = x se 0,1

0 = x se 9,0)xX(P)x(f

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Como existem apenas duas situações:

A ocorre ou não, pode-se determinar a

probabilidade de A não ocorrer como sendo

q = 1 – p. A VAD definida por X = “número

de vezes que A ocorreu nas ‘n’ repetições

de E” é denominada BINOMIAL.

Experimento

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X(S) = {0, 1, 2, 3, ..., n}

A Função de Probabilidade (fp)

Conjunto de Valores

qpx

n)xX(P)x(f xnx −

===

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A Função de Probabilidade (fp)

0,00

0,02

0,04

0,06

0,08

0,10

0,12

0,14

0,16

0,18

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24

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E(X)-)X(E)X(V 22=

Características

Expectância ou Valor Esperado

np qpx

n.x )x(f.x )X(E xnx

∑ =

∑ == −

Variância

npp1)-n(n qpx

n.x )X(E 2xnx22 +∑ =

= −

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npq)p1(npnppn

)np(npp)1n(n

E(X)-)X(E)X(V

2

22

22

=−=+−=

=−+−

==

Assim:np )X(E =

npq σX =

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Uma fábrica recebe um lote de 100

peças das quais cinco são defeituosas.

Suponhamos que a fábrica aceite todas as 100

peças se não houver nenhuma defeituosa em

uma amostra aleatória de 10 peças

selecionadas para inspeção. Determinar a

probabilidade de o lote ser aceito.

Exemplo:

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Tem-se:

n = 10 e p = 5/100 = 0,05

%87,59

95,005,00

10 0) X(P)0(f 100

=

=

===

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Tem-se:

n = 10 e p = 5/100 = 5%

Então:

59,87%

)95,0(.)5,0(.0

10 0) X(P)0(f 100

=

=

===

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Seja X uma variável aleatória com

conjunto de valores X(S). Se o conjunto de

valores for infinito não enumerável então a

variável é dita contínua.

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É a função que associa a cada

x ∈ X(S) um número f(x) que deve

satisfazer as seguintes propriedades:

f(x) ≥ 0

A Função Densidade de Probabilidade

∫ = 1f(x)dx

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A coleção dos pares

(x, f(x)) é denominada de distribuição de

probabilidade da VAC X.

A Distribuição de Probabilidade

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Seja X uma VAC. Determine o valor

de “c” para que f(x) seja uma função

densidade de probabilidade (fdp).

c. c. 0

1 x 1 se x.c)x(f

2

≤≤−

=

Exemplo

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Para determinar o valor de “c”,

devemos igualar a área total a um, isto é,

devemos fazer:

1 dx xc.1

1-2

∫ =

1 f(x)dx 1

1-∫ =

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Tem-se:

2

3c1c

3

2

31-

31c

3xc

dx xc dx xc.

3331

1-

1

1-

11-

211-

2

=⇒==

=

−=

=

∫ =∫ =

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0,0

0,5

1,0

1,5

-1,5 -1,3 -1,0 -0,8 -0,5 -0,2 0,0 0,3 0,5 0,8 1,0 1,3 1,5

2

)x(f x3 2=

1X-1 ≤≤

Representação Gráfica

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∫=<<b

a dx)x(f)bXa(P

a b x

y

bXa <<

Cálculo da Probabilidade

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Isto é, a probabilidade de que X

assuma valores entre os números “a” e

“b” é a área sob o gráfico de f(x) entre os

pontos x = a e x = b.

∫=<<b

a dx)x(f)bXa(P

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).bXa(P

)bXa(P

)bXa(P)bXa(P

0dx)x(f)aX(P a

a

≤≤=

≤<=

<≤=<<

=∫==

Se X é uma VAC, então:

Observações:

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Seja X uma VAC. Determine a

probabilidade de X assumir valores no

intervalo [-0,5; 0,5].

c. c. 0

1 x 1 se 2x3

)x(f

2

≤≤−

=

Exemplo

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A probabilidade solicitada é dada por:

%50,12

](-0,5)(0,5)[2

1

3x

2

3 dx x

2

3

dx 2x3

)5,0X5,0(P

33

0,5

05-

0,5

0,5-2

0,5

0,5-

2

3

=

−=

∫ ==

=∫=<<−

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(a) Expectância, valor esperado

(b) Variância

∫==µ dx)x(xf)X(E

( )

)X(E)X(Edx)x(fx

dx)x(xfdx)x(fx

dx)x(f)x()X(V

2222

22

22

−=µ−∫=

=∫−∫=

=∫ µ−==σ

VAC – Caracterização

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(iii) Desvio Padrão

(iv) O Coeficiente de Variação

γγγγ = σσσσ/µµµµ

)X(E)X(Edx)x(fx

dx)x(f)x(

2222

2

−=µ−∫=

=∫ µ−=σ

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Determinar a expectância e o desvio

padrão da variável X dada por:

c. c. 0

1 x 1 se 2x3

)x(f

2

≤≤−

=

Exemplo:

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041

41

2

3

41-

41

2

3

4x

2

3dx

2x3

dx.2x3

.x

x.f(x)dx )X(E

1

1-

1

1-

1

1-

1

1-

31

1-

2

11-

44

4

=

−=

−=

=

=∫=∫=

∫ ===µ

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60,05

3

5

1

5

1

2

3

51-

51

2

3

5x

2

3

dx x2

3 dx

2x3

.x)X(E

)X(E)X(E

5551

1-

1

1-

1

1-41

1-

222

22

==

+=

=

−=

=

∫ =∫ ==

−=σ

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O desvio padrão de X será, então:

77,0060,0

)X(E)X(E 22

=−=

=−=σ

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É a função F(x) definida por:

∫=≤=∞−

x du)u(f)xX(P)x(F

A F(x) é a integral da f(x) até um

ponto genérico “x”.

A Função de Distribuição

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Considerando a função abaixo

como a fdp de uma VAC X, determinar a

F(x).

c. c. 0

1 x 1 se 2x3

)x(f

2

≤≤−

=

Exemplo

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A F(x) é uma função definida em

todo o intervalo real da seguinte forma:

1 x se 1

1 x 1 se du2u3

1- x se 0

)x(F x1

2

>

≤≤−∫

<

=−

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Vamos determinar o valor da

integral em “u”:

2

1x]u[2

1

3u

2

3

duu2

3 du

2u3

)x(F

3x

1

x

1

x1

2x2

33 +

==

=

=∫=∫=

−∞−

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Assim a Função de Distribuição

Acumulada (FDA) é:

1 x se 1

1 x 1 se 2

1x

1- x se 0

)x(F3

>

≤≤−+

<

=

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0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

-1,5 -1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 1,5

2

1x)x(F3 +

=

Representação Gráfica

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O uso da FDA é bastante prático no

cálculo das probabilidades, pois não é

necessário integrar, já que ela é uma

função Integral.

Cálculo de Probabilidade com a FDA

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Usando a FDA, teremos sempre três

casos possíveis:

)x(F)x(F)xXx(P

)x(F1)xX(P

)x(F)xX(P

1221 −=<<

−=>

=≤

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Normal

t (de Student)

χ2 (Qui-Quadrado)

F de Snedecor

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ℜ∈σπ

=

σ

µ−−

x ,e..2

1)x(f

2x

.2

1

Uma variável aleatória X tem uma

distribuição normal se sua fdp for do tipo:

0 e - com >σ∞<µ<∞

A distribuição normal

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0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

N(0; 1)

N(0; 0,5)

N(0; 2)

N(2; 1)

Representação gráfica

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?due..2

1)xX(P x

u.

2

12

=∫σπ

=≤∞−

σ

µ−−

A normal não é integrável por meio

do TFC, isto é, não existe uma F(x) tal

que F’(x) = f(x).

Cálculo de probabilidades

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Utilizar integração numérica. Como

não é possível fazer isto com todas as

curvas, escolheu-se uma para ser

tabelada (integrada numericamente).

Solução:

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σ

µ−=

XZ

A curva escolhida é a

N(0, 1), isto é, com µ = 0 e σ = 1.

Se X é uma N(µ, σ), então:

Será uma N(0; 1).

A normal padrão

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ℜ∈π

=ϕ−

z ,e.2

1)z(

.2z

2

A fdp da variável Z é dada por:

uma vez que µ = 0 e σ = 1.

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0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

-4,0 -3,0 -2,0 -1,0 0,0 1,0 2,0 3,0 4,0

A distribuição N(0, 1)

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O que é tabelado ou obtido na planilha

é a FDA da variável Z, isto é:

)z( due.2

1

du)u()zZ(P

z

-

.2

z

-

u2

Φ∫ =π

=

∫ =ϕ=≤

Tabela (ou planilha):

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0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

-4,0 -3,0 -2,0 -1,0 0,0 1,0 2,0 3,0 4,0

z

)z(Φ

A FDA da N(0; 1)

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direta Leitura)z( z) P(Z =Φ=≤

)z()z(-1z) P(Z-1 z) P(Z −Φ=Φ=≤=>

)z()z( )z ZzP( 1221 Φ−Φ=<<

Área à esquerda (abaixo) de “z”

Área à direita (acima) de “z”

Área entre dois valores de “z”

Uso da tabela ou Planilha

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Uma VAC tem distribuição normal de

média 50 e desvio padrão 8. Determinar:

(a) P(X ≤ 40)

(b) P(X > 65)

(c) P(45 < X < 62)

Exemplo:

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%56,10)25,1Z(P

)8

5040X(P)40X(P

=−≤=

=−

≤σ

µ−=≤

(a) P(X ≤ 40)

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%01,3)88,1()88,1(1

)88,1Z(P1)88,1Z(P

)8

5065X(P)65X(P

=−Φ=Φ−=

=<−=>=

=−

µ−=>

(b) P(X > 65)

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%65,65%67,27%32,93

)62,0()50,1(

)50,1Z62,0(P

)8

5062X

8

5045(P

)62X45(P

=−=

=−Φ−Φ=

=<<−=

−<

σ

µ−<

−=

=<<

(c) P(45 < X < 62)

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Uma VAC tem distribuição normal

de média 50 e desvio padrão 8.

Determinar:

(a) P(X ≤ x) = 5%

(b) P(X > x) = 1%

A função inversa:

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Para resolver este tipo de exercício é

preciso utilizar a função inversa, isto pode

ser feito utilizando a função Invnorm da

planilha.

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0,00

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

26 34 42 50 58 66 74

5%

xP(X ≤≤≤≤ x) = 5%

Graficamente

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8

50xz onde

%5)z()zZ(P

)8

50xX(P)xX(P

−=

=Φ=≤=

=−

≤σ

µ−=≤

Em (a) temos P(X ≤ x) = 5%

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)05,0(Φz

%)5(Φ)]z(Φ[Φ

então %,5)z(Φ Se

1

11

−−

=

=

=

O valor acima pode ser obtido

diretamente da planilha.

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645,1z

Assim

=

84,368.645,150x8

50xz645,1

:setem ,8

50xz Como

=−=

⇒−

==−

−−

=

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)01,0(zLogo

)z()z(1 Mas

01,0%1)z(1)zZ(P

)8

50xX(P)xX(P

1Φ=−

−Φ=Φ−

==Φ−=>=

=−

µ−=>

Em (b) temos P(X > x) = 1%

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0,00

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

26 34 42 50 58 66 74

0,00

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

1%

x

P(X >>>> x) = 1%

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x para

2.

12

1

)x(f

2

12x

ℜ∈

υΓπυ

υ+

+υΓ

=

+υ−

Uma variável aleatória X tem uma

distribuição “t” ou de Student se sua fdp for

do tipo:

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0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

fdp de

t(1)

t(5)

t(25)

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0)X(E ==µ

2-

= Var(X)υ

υ

Expectância ou Valor esperado

Variância

O valor υ é denominadode “Grau de liberdade”

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A planilha fornece a função direta e

inversa (percentis), em relação a área à direita

(unilateral) ou da soma das caudas (bilateral)

de cada curva, isto é, a tabela retorna um

valor “t” tal que P(Τ ≥ t) = α (unilateral) ou

P(|T| ≥ t) = α.

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Uma variável aleatória X tem uma

distribuição Qui-Quadrado se sua fdp for

do tipo:

0 x se 0

0 x se

22

ex

)x(f 2

2

x1

2

>

υΓ

−−υ

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υ)X(E =

υ2 = Var(X)

Expectância ou Valor esperado

Variância

O valor υ é denominado de“Grau de liberdade”

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0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0

Q(1)

Q(2)

Q(3)

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A planilha fornece a função direta e

inversa, em relação a área à direita de cada

curva (uma para cada linha), isto é, dado um

valor de área na cauda direita (α), a tabela

retorna um valor “x” tal que P(χ2 ≥ x) = α

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Uma variável aleatória X tem uma

distribuição “F” ou de Snedecor se sua fdp

for do tipo:

( )

0 x se 0

0 x se

2

2

mxnxnm2

nmΓ

)x(f

2

nm12

m

2

n

2

m

>

+

+

=

+−−

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Expectância ou Valor esperado

Variância

2m

m)X(E

−=

)4 - )(n2 - m(n m)2 - n(m2

= Var(X)2+

m é o grau deliberdade donumerador e n dodenominador

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0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0 3 6 9 12 15

fdp de

F(1, 3)

F(2, 5)

F(5, 10)

F(20, 20)

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A planilha fornece a função direta e

inversa da área à direita de cada curva

(uma para cada par de valores – numerador,

denominador).