Prof. Lorí Viali, Dr. viali@mat.ufrgs.br viali/ .: Uma lâmpada nova é ligada e conta- se o tempo

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Prof. Lor Viali, Dr.

viali@mat.ufrgs.br

http://www.mat.ufrgs.br/~viali/

Prof. Lor Viali, Dr. FAculdade de Matemtica - Departamento de Estatstica - PUCRS

Sistema

Real

Determinstico

Probabilstico

Tipos de Modelos

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Causas Efeito

Modelo determinstico

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Gravitao F = GM1M2/r2

Aceleraoclssica v = at

Acelerao

relativsticac

ta1

atv

2

22

+

=

Exemplos

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Causas EfeitoXX

Modelo

probabilstico

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Binomial

Poisson

Normal

====

..0

}...,,1,0{)1.(.)(

cc

nxppx

n

xfxnx

====

..!

.)(

cc

xx

exf

x

0

N

====

x ,

2.

2

1

..2

1)(

x

exf

Exemplos

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Experincia para o qual o modelo

probabilstico adequado.

Experimento Aleatrio

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E1: Joga-se um dado e observa-se o

nmero da face superior.

Exemplos

E2: Joga-se uma moeda quatro vezes e

observa-se o nmero de caras e

coroas;

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E3: Joga-se uma moeda quatro vezes e

observa-se a seqncia de caras e

coroas;

E4: Uma lmpada nova ligada e conta-

se o tempo gasto at queimar;

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E5: Joga-se uma moeda at que uma cara

seja obtida. Conta-se o nmero de

lanamentos necessrios;

E6: Uma carta de um baralho comum de

52 cartas retirada e seu naipe

registrado;

E7: Jogam-se dois dados e observa-se o

par de valores obtido;

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o conjunto de resultados de uma

experincia aleatria.

Espao amostra(l)

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S1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Exemplos

S2 = {0, 1, 2, 3, 4}

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S3 = { cccc, ccck, cckc, ckcc, kccc, cckk,

kkcc, ckkc, kcck, ckck, kckc, kkkc,

kkck, kckk, ckkk, kkkk}

S4 = { t R / t 0 }

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S5 = {1, 2, 3, ...}

S6 = {, , , }

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S7 = { (1, 1), (1, 2),(1,3), (1, 4), (1, 5), (1, 6)

(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6)

(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6)

(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6)

(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6)

(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6) }

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Um evento um subconjunto

de um espao amostra.

Eventos

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Se S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } um espao amostra, ento so eventos:

A = { 1, 3, 5} B = { 6 }

C = { 4, 5, 6} D = E = S

Exemplo

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Seja E um experimento com espao

amostra associado S. Diremos que o

evento A ocorre se realizado E o

resultado um elemento de A.

Ocorrncia de um evento

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Se A e B so eventos de um

mesmo espao amostra S. Diremos

que ocorre o evento:

Combinao de eventos

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A unio B, A soma B ou A mais B,

se e s se A ocorre ou B ocorre.

AB

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A produto B, A vezes B ou A

interseo B, se e s se A ocorre e B

ocorre.

AB

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A menos B, A diferena B, se e s se A

ocorre e B no ocorre.

AB

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Complementar de A (no A) se e s se

A no ocorre.

A = AC = A

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Dois eventos A e B so

mutuamente excludentes se no

puderem ocorrer juntos.

Eventos mutuamente excludentes (exclusivos)

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CLSSICO

FREQENCIAL

AXIOMTICO

Conceitos de probabilidade

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(nmero de casos favorveis)P(A) = ------------------------------------

(nmero de casos possveis)

Clssico

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Qual a probabilidade de

ganhar na Loto Fcil?

Exemplo:

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Casos favorveis = 1

Casos possveis:

3268760 15

25=

Soluo:

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%000031,03268760

1

15

251

possveis de Nmero

favorveis de Nmero

Fcil)P(Loto

==

=

=

==

=

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(nmero de vezes que A ocorre)frA = ------------------------------------------

(nmero de vezes que E repetido)

Frequncia relativade um evento

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Um dado lanado 120 vezes e

apresenta FACE SEIS 18 vezes.

Ento, a freqncia relativa de face

seis :

Exemplo:

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%.1515,0120

18

jogado dado o que vezesde nmero

ocorre f_seis"" que vezesde nmero

fr6

===

=

=

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A probabilidade de um evento A o

limite para o qual tende a frequncia relativa

de A, quando o nmero de repeties do

experimento tende ao infinito, isto :

Conceito frequencial de probabilidade

frlim)A(P An

=

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P(A) um nmero real que devesatisfazer as seguintes propriedades:

(1) 0 P(A) 1

(2) P(S) = 1

(3) P(AUB) = P(A) + P(B)

se AB =

Conceito axiomtico

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Consequncias

dos axiomas

(Propriedades)

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(1) P() = 0

(2) P( ) = 1 - P(A)

(3) P(A - B) = P(A) - P(AB)

A

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(4) P(AUB) = P(A) + P(B) - P(AB)

(5) P(AUBUC) = P(A) + P(B) + P(C) -

- P(AB) - P(AC) - P(BC)

+ P(ABC)

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Probabilidade

condicionada

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Considere uma urna com 50 fichas,

onde 40 so pretas e 10 so brancas.

Suponha que desta urna so retiradas

duas fichas, ao acaso e sem reposio:

Motivao

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Sejam os eventos:

A = {a primeira ficha branca}

B = {a segunda ficha branca}

Ento:

P(A) = 10/50 = 0,20 = 20%

P(B) = ?/49

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Neste caso, no se pode avaliar

P(B), pois para isso necessrio saber se

A ocorreu ou no, isto , se saiu ficha

branca na primeira retirada.

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P(B | A) = 9/49 = 0,1837 = 18,37%.

Se for informado que A ocorreu, ento

a probabilidade de B, ser:

Observe a notao.

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Esta representao lida:

P de B dado A;

P de B dado que A ocorreu;

P de B condicionada a A.

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