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MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

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Matemática Aplicada – 07/04/14

Ciclo trigonométricoProf. Robson Ricardo

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Circunferência e arco

R

C

A

B

Uma circunferência de centro C e raio R é o conjunto dos pontos que estão a uma distância R do ponto C.

Um arco é o conjunto dos pontos da circunferência que estão entre A e B.

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R

C

A

B

𝛼 𝛼A medida angular de um arco é a medida do ângulo central .

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Comprimentos

R

C

Comprimentoda circunferência

R

C

A

B

Comprimento do arco

𝑙𝛼

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Exemplo 1

Numa circunferência de 4m, qual é o comprimento de um arco de 20°?

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OBSERVAÇÃO 1

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A

B

C𝛽D 𝛼 𝛽=𝛼2

OBSERVAÇÃO 2: TEOREMA

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A

B

𝛽

𝛽

𝛽

Dois ou mais ângulos inscritos que enxergam

o mesmo arco têm mesma medida.

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Exemplo 2

(UEPA – Atividade 3, pág. 20, MF.06)Sobre uma circunferência de raio r tomamos os pontos A, B e C (veja figura). O arco AB mede 120° e a corda AB mede 12 cm. Calcule o valor de r.

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R

C

1 ° Uma circunferência pode ser dividida em 360 arcos iguais. O ângulo que representa cada um desses ângulos vale 1 grau, por definição.

Grau

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Radianos

R

C

A

B

𝑅𝛼1 radiano é a medida do ângulo do arco cujo comprimento é igual ao raio da circunferência.NOTAÇÃO: 1 rad

𝟏𝟖𝟎°=𝝅𝒓𝒂𝒅

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Exemplo 3

a) Converta 50° para radianos.

b) Converta para graus.

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Exemplo 4

(Ibmec-RJ – Apostila de Exercícios: Atividade 2, MF.07)

Quando um relógio analógico marca 6 horas e 20 minutos, o ponteiro de hora e o ponteiro de minutos formam que ângulo, em radianos?

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Relembrando...

𝜃CATETOOPOSTO

CATETOADJACENTE

HIPOTENUSA

𝑠𝑒𝑛𝜃=𝑪𝑨𝑻𝑬𝑻𝑶𝑶𝑷𝑶𝑺𝑻𝑶𝑯𝑰𝑷𝑶𝑻𝑬𝑵𝑼𝑺𝑨

𝑐𝑜𝑠𝜃=𝑪𝑨𝑻𝑬𝑻𝑶 𝑨𝑫𝑱𝑨𝑪𝑬𝑵𝑻𝑬

𝑯𝑰𝑷𝑶𝑻𝑬𝑵𝑼𝑺𝑨

0<𝜃<90 °

𝑡𝑔𝜃=𝑪𝑨𝑻𝑬𝑻𝑶𝑶𝑷𝑶𝑺𝑻𝑶

𝑪𝑨𝑻𝑬𝑻𝑶 𝑨𝑫𝑱𝑨𝑪𝑬𝑵𝑻𝑬

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E se não estiverentre 0° e 90°?

𝜽=𝟎° 𝜽=𝟏𝟐𝟑𝟒𝟓𝟔𝟕𝟖𝟗 °

𝜽=𝟏𝟐𝟎° 𝜽=𝟐𝟎𝟏𝟒°

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Relação Fundamental da Trigonometria

𝑠𝑒𝑛2𝜃+cos2𝜃=1

𝜃

a

b

c

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Ciclo trigonométrico

𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜

𝑠𝑒𝑛𝑜

1

1

−1

−1

1

𝑠𝑒𝑛𝜃

𝑐𝑜𝑠𝜃𝜃

Sentido anti-horário

1° quadrante2° quadrante

3° quadrante 4° quadrante

𝑦

𝑥

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Arcos côngruos

Exemplo 3

Indique no ciclo trigonométrico os arcos côngruos dos ângulos abaixo:a) 1270°b) rad

Arco côngruo a um dado ângulo é o seu resto na divisão por 360.

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Pontos limítrofes

𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜

𝑠𝑒𝑛𝑜

1

1

−1

−1

e

e

e

e

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Redução ao 1º Quadrante

𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜

𝑠𝑒𝑛𝑜

1

𝑠𝑒𝑛 (𝛼 )=𝑠𝑒𝑛(𝛼′ )

𝜶 ′ 𝜶 ′𝟏𝟖𝟎°

cos (𝛼 )=−cos (𝛼 ′)Se está no2º Quadrante.

𝜶

𝑐𝑜𝑠(𝛼 ′)cos (𝛼 )=−𝑐𝑜𝑠 (𝛼 ′ )

sen (𝛼 )=𝑠𝑒𝑛 (𝛼′ )

espelho

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Redução ao 1º Quadrante

𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜

𝑠𝑒𝑛𝑜

1

𝑠𝑒𝑛(𝛼 ′)

𝜶 ′𝜶 ′

𝟏𝟖𝟎°

cos (𝛼 )=−cos (𝛼 ′)Se está no3º Quadrante.

𝜶

𝑐𝑜𝑠(𝛼 ′)

sen (𝛼 )=−𝑠𝑒𝑛 (𝛼 ′)

𝑠𝑒𝑛 (𝛼 )=𝑠𝑒𝑛(𝛼 ′)

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Redução ao 1º Quadrante

𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜

𝑠𝑒𝑛𝑜

1

𝑠𝑒𝑛 (𝛼 ′ )

𝜶 ′

𝜶 ′𝟏𝟖𝟎°

cos (𝛼 )=cos (𝛼′ )Se está no4º Quadrante.

𝜶

sen (𝛼 )=−𝑠𝑒𝑛 (𝛼 ′)

espelho

𝑠𝑒𝑛 (𝛼 )=−𝑠𝑒𝑛(𝛼 ′ )

𝒄𝒐𝒔 (𝜶 ′ )=𝐜𝐨𝐬 (𝜶 )

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Exemplo 5

Calcule o seno e cosseno dos ângulosa) 120°b) 210°c) 315°

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A Matemática não é algo mágico e ameaçadoramente estranho, mas sim um corpo

de conhecimento naturalmente desenvolvido

por pessoas durante um período de 5000 anos.

Frank Swetz Robson Ricardo de Araujo

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