Professor: Éwerton Veríssimo - …€¦ · Calcule as integrais em coordenadas ... • Este operador não tem significado físico nem geométrico. Operador Nabla • É muito útil

Integral Dupla

Aula 06 – Cálculo Vetorial

Professor: Éwerton Veríssimo

Integral Dupla

• Integral dupla é uma extensão natural do conceito de integral definida para as funções de duas variáveis. Serão utilizadas para analisar diversas situações envolvendo cálculo de áreas e volumes, determinação de grandezas físicas e outros.

Calculando Integrais Duplas

Exemplo 01: Calcular a integral dupla


3

0

2

0

²4 dydxy

0

1

1

1

1 dxdyyx




3

0

0

2

2² dydxxyyx

0 0

x

xsenydydx



Integral Dupla

• Definição

Considere uma função

z=f(x,y) definida em uma

região fechada e limitada R

do plano xy.

Interpretação Geométrica

Traçando retas paralelas a x e y, subdivimos o domínio em

pequenos retângulos, que se considerados apenas

aqueles que estão totalmente contidos na região, teremos

a Soma de Riemann sobre R:


Se o limite existe, a integral dupla da função f(x,y)

sobre a região R será representada por:



Integral Dupla - Propriedades

Teorema de FubiniSe f (x, y) é contínua no retângulo R = [a, b] × [c, d], a integral

dupla é igual a integral iterada.

a b

x

y

c

d

b

a

d

c

d

c

b

aR

dydxyxfdxdyyxfdAyxf ),(),(),(

Integral Dupla

• Integração em Regiões Não-Retangulares

b

a

xg

xg

dxdyyxfV

)(2

)(1

]),([

Integral Dupla

• Integração em Regiões Não-Retangulares

d

c

yh

yh

dydxyxfV

)(2

)(1

]),([

Exemplos

Calcule onde D é a região limitada pelas parábolas

y = 2x2 e y = 1 + x2.

D

dA)y2x(

dxdyyxx

x

1

1

1

2

2

2 )2(

dxyxyxy

xy

2

2

1

2

1

1

2

dxxxxxx

1

1

43222 42)1()1(

dxxxxx

1

1

234 123

1

1232

453

345

x

xxxx

15

32

ExemplosCalcule , onde D é a região limitada pela reta y = x – 1

e pela parábola y2 = 2x + 6.

D

xydA

212

212

4 1

2 3

124

23

42 2 21 1

2 22

54

3 212 2

46 34 21

2

2

2

( 1) ( 3)

4 2 84

2 4 3624 3

y

yD

x y

x y

xydA xy dx dy

xy dy

y y y dy

yy y y dy

y yy y

Integral Dupla - Aplicações

• Cálculo de Área

Considere f(x,y)=1, a integral dupla sobre uma região R se

resume a área de uma região plana fechada e limitada,

sendo denotada por:

Integral Dupla - Aplicações

• Cálculo de Volume

Para f (x, y) 0, a integral

nos dá o volume do sólido delimitado superiormente pelo

gráfico de z = f (x, y), inferiormente pela região D e

lateralmente pelo cilindro vertical cuja base é o contorno de D.

Exercício

1. Encontre a área da região R limitada pela parábola y=x² e y=x+2.

2. Esboçe e determine a área da região R representada pela integral

6

0

2

3²

y

y

dxdy

Exercício

3. Encontre o volume do sólido retangular no primeiro octante limitado pelos planos coordenados e pelos planos x=2, y=1 e y=1-z.

Integral Dupla – Mudança de Variável


• Coordenadas Polares


• Coordenadas Polares

Integral Dupla – Coordenadas Polares

• Converter Integrais Cartesianas para Integrais Polares

R G

rdrdrsenrfdxdyyxf ),cos(),(

Exercício

4. Mude a integral cartesiana para uma integral polar equivalente. Então calcule a integral polar.

a.

b.

c.

d.

1

1

²1

0

x

dydx

1

1

²1

²1

x

x

dydx

2

0

²4

0

²²

y

dxdyyx

1

1

²1

²1

²²

y

y

dydxyx

Integral Tripla

Aula 07 – Cálculo Integral


Integral Tripla - Definição

w = f(x,y,z)

Variável dependente

Variáveis independentes

- Domínio em R3

- Imagem em R4 (hiper-espaço)

Características

de f(x,y,z)


Particionando uma região paralepipedal

que contém D em pequenos

paralelepípedos. Numeramos os pequenos

paralelépípedos de 1 até n em alguma

ordem. Escolhendo um ponto em cada um

deles, formamos a soma:

n

k

kkkkn vzyxfS1

).,,(


Tomando o limite quando n tende ao um número

infinitamente grande e positivo, tem-se a integral tripla:

D

nnT dzdydxzyxfSI ..).,,(lim

Propriedades

Integral Tripla - Volume

DdVV

Se F é uma função constante cujo valor é 1, então a

Soma de Riemman se reduz a:

n

k

kn vS1

D

nnT dzdydxzyxfSI ..).,,(lim

À medida em que as dimensões dos paralelepípedos se

aproximam de 0, tornam-se mais numerosos os

paralelepípedos no sólido. Dessa forma, o volume de D

pode ser expresso como a integral tripla.

Integral Tripla – Cálculo deVolume

DdVV

1

0

2

0

1

0

..

y

dydxdzV1

z = 1 - y

y

x

z

2

Exercício

1. Resolva as integrais triplas.

a.

b. 3

0

²9

0

²9

0

x x

dydxdz

1

0

1

0

1

0

²)²²( dydxdzzyx

Exercício

2. Determine o volume do tetraedro no primeiro octante limitado pelos planos coordenados e pelo plano que passa pelos pontos (1,0,0), (0,2,0) e (0,0,3).

Integral Tripla – Mudança de Variáveis

• Coordenadas Cilíndricas

Integral Tripla – Mudança de Variáveis • Converter Integrais Cartesianas para Integrais

Cilíndricas

Integral Tripla – Mudança de Variáveis• Coordenadas Esféricas


• Converter Integrais Cartesianas para Integrais Triplas em Coordenadas Esféricas.


• Determinante Jacobiano


• Jacobiano – Coordenadas Cilindricas


• Jacobiano – Coordenadas Esféricas

Exercício

3. Calcule as integrais em coordenadas cilíndricas.

a.

b.

2

0

1

0

²2

rdrddz

r

r

2

0

1

0

21

21

²² rdrddzzsenr

Exercício

4. Calcule as integrais em coordenadas esféricas.

a.

b.

2

0

4

0

2

0

²cos dddpsen

2

0

0 2

4

3 2

dpddsen

Exercício

Campos Vetoriais e Integral de Linha



Campo Vetorial

• Representação no Plano:

Campo Vetorial

• Representação no Espaço

Campo Vetorial

• Quando observamos um escoamento de água e dizemos que cada partícula possui uma velocidade, estamos definindo um campo vetorial.

Exemplos : Campo de Velocidade, Campo Gravitacional, Campo Elétrico, Campo Magnético.

Campo Escalar - Exemplo

• Mapa de Temperatura

Campo Vetorial - Exemplos

• Velocidade dos Ventos

Campo Vetorial - Exemplos

• Velocidade dos Ventos

Operador Nabla

• O operador ∇(nabla) é um operador vetorial diferencial, o qual é definido como:

• Este operador não tem significado físico nem geométrico.

Operador Nabla

• É muito útil na definição de três grandezas que aparecem nas aplicações práticas e conhecidas por gradiente, divergência e rotacional.

Gradiente

• Aplicado sobre uma campo escalar f, define umcampo vetorial chamado de Gradiente de f, .

• Por exemplo, o gradiente do potencial elétrico éo campo elétrico.

• No cálculo vetorial, o gradiente é a alteração novalor de uma quantidade por unidade de espaço.

f

Gradiente

• O gradiente da função f, ∇f, ou grad f, é um vetor definido por:

• O ∇f é um vetor que dá como resultado a máxima variação da função escalar e a direção em que esta máxima variação acontece.

Divergente

• O produto escalar do operador nabla com uma função vetorial V, define um escalar chamado de Divergente de V, V

Ou Ainda:

Divergente

• Dessa forma a função V (x,y,z) = V1i + V2j + V3kdeve ser definida e derivável em todos ospontos (x, y, z) numa da região do espaço (istoé, V define um campo vetorial derivável).

• A divergência de um campo vetorial, dá como resultado o fluxo líquido (fluxo que sai – fluxo que entra) por unidade de volume.

Rotacional

• Se V (x,y,z) = V1i + V2j + V3k é um campo vetorial derivável, o rotacional de V, ∇xV, é definido por:

Rotacional

• O rotacional de um campo vetorial é, também, um campo vetorial, ou seja a cada ponto do espaço onde definimos o rotacional será dado por um vetor.

• O rotacional de um campo vetorial dá como resultado um vetor cujos componentes x, y e z dão a circulação desse campo vetorial por unidade de área respectivamente nos planos normais a esses componentes.

Exercício

1. Dado o campo vetorial , calcule :

jeixyxf xy42),(

fdiv

a.

b.

c.

jxixsenyxf cos2²),(

kzyjxyziyxyxf 222 32),(

f

Exercício

2. Encontrar o rotacional do campo vetorial dado.

a.

b.

yzxzyzxzyxf

3,,42),,(

²²,²,),,( zyxzyxf

Integral de Linha

• Generalização simples da integral definida na qual os limites do intervalo [a,b] são substituídos por uma curva ou caminho entre esses limites e a função integrada é um campo escalar ou vetorial definido e limitado a essa curva.

Integral de Linha

• Interpretação Geométrica

Integral de Linha

• Interpretação Geométrica

Integral de Linha de CampoEscalar

• Considere f uma função definida sobre uma curva lisa C no plano, onde:

• Caso exista o limite, a integral de linha de f sobre a curva C será:

);(txx );(tyy bta

C

kkkn

dsyxfsyxfiml ),().,(

Integral de Linha

• Aditividade

Integral de Linha de Campo Escalar

• Cálculo de uma Integral de Linha

– Passo 1: Encontre uma parametrização para curva.

– Passo 2: Calcule a integral como:

,)()()()( ktzjtyitxtr

b

aC

dtdt

dz

dt

dy

dt

dxtztytxfdszyxf

222

))(),(),((),,(

Exercício

3. Calcule , onde C é o segmento de reta x=t, y=1-t, z=0, de (0,1,0) a (1,0,0).

4. Calcule ao longo da curva

r(t)=2ti+tj+(2-2t)k, .

C

dsyx )(

C

dszyxy )(

10 t

Integral de Linha de CamposVetoriais

• Trabalho realizado por um campo de forças ao Longo de uma curva

Integral de Linha de CamposVetoriais

• Trabalho realizado por um campo de forças ao longo de uma curva

Circulação e Escoamento

• Integrais de escoamento e circulação para campos de velocidade.

Fluxo através de uma curvaplana

Definição: Seja C uma curva lisa e fechada no domínio de

um campo vetorial contínuo F=M(x,y)i+N(x,y)j no plano e

se n for o versor normal exterior de C, o fluxo de f através

de C é:

CC

NdxMdyndsF.Fluxo de F através de C =

Exercício

5. Encontre o trabalho realizado por F=3yi+2xj+4zk sobre o segmento de reta C: r(t)=ti+tj+tk, .

6. Encontre o escoamento do campo de velocidade F=(x+y)i-(x²+y²)j ao longo do segmento de reta de (1,0) até (-1,0).

7. Determine a circulação e o fluxo do campo F=xi+yj ao redor e através da circunferência r(t)=(cost)i+(sent)j,

10 t

20 t

Campo Conservativo e Função Potencial

Independência do Caminho

Campo Conservativo

• Teste de verificação de um campo conservativo

Seja F=Mi+Nj+Pk um campo vetorial cujas componentes

tenham derivadas parciais de primeira ordem contínuas.

Então, F é conservativo se e somente se:

,z

N

y

P

,

x

P

z

M

y

M

x

N

Teorema de Green e Teorema da Divergência



Teorema de Green - Introdução

• Estabelece uma relação entre uma integral de linha ao longo de uma curva C fechada, e uma integral dupla sobre a região D.

• O teorema de green é uma ferramenta muito útil no cálculo de áreas de figuras planas fechadas.

Teorema de Green – Fluxo Divergência ou forma normal

O fluxo exterior de um campo F=Mi+Nj através de

uma curva fechada simples C é igual a integral

dupla de divF sobre a região R limitada por C.

RCC

dxdyy

N

x

MNdxMdydsnF.

Teorema de Green: circulação-rotacional ou forma tangencial

A circulação no sentido anti-horário de um campo

F=Mi+Nj em torno de uma curva fechada simples

C no plano é igual a integral dupla de (rotF).k

sobre a região R limitada por C

RCC

dxdyy

M

x

NNdyMdxdsTF.

Teorema de Green – Cálculo deÁrea

• Cálculo de Área

Se uma curva fechada simples C no plano e a região R

que ela engloba satisfazem as hipóteses do teorema

de Green, a área de R é dada por:

C

ydxxdyA2

1

Exercício

Exercício

3. Encontre a circulação no sentido anti-horário e o fluxo exterior do campo F=xyi+y²j ao redor e através da fronteira da região limitada pelas curvas y=x² e y=x no primeiro quadrante.

Teorema da Divergência

O fluxo de um campo vetorial F através de uma

superfície S fechada e orientada, no sentido do

campo n de versores normais exteriores da

superfície, é igual a integral de sobre a região

limitada D limitada pela superfície:F.

S D

FdVndF ..

Exercício

4. Encontre o fluxo de F=xyi+yzj+xzk para fora através da superfície do cubo cortado do primeiro octante pelos planos x=1, y=1, z=1.

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Professor: Éwerton Veríssimo - …€¦ · Calcule as integrais em coordenadas ... • Este operador não tem significado físico nem geométrico. Operador Nabla • É muito útil