nº30MATEMÁTICA

Matemática e suas Tecnologias

Professor João Mendes

CALENDÁRIO NOSSO DE CADA DIA

O calendário gregoriano, nosso atual calendário, tem suas bases nos calendários romanos. As calendas, no antigo calendário romano, eram o primeiro dia de cada mês quando ocorria a Lua nova, dia em que as contas eram pagas. De calendae, os romanos criaram o adjetivo calendarius, relativo às calendas, e o substantivo calendarium, com o qual designavam o livro de contas diárias e, mais tarde, o registro de todos os dias do ano. O provérbio “fi ca para as calendas gregas” signifi ca “nunca, em tempo algum”, porque os gregos não tinham calendas, as calendas eram romanas.

Atribui-se a Rômulo, o fundador lendário de Roma (753 a.C.), a instituição do calendário romano primitivo. Nesse calendário, o ano tinha 304 dias, distribuídos em 10 meses lunares, seis de 30 dias e quatro de 31, sendo bastante considerável a sua diferença em relação ao ano trópico (365,2422 dias solares médios, ou 365 d 5 h 48 m 46 s). O ano começava em março, a princípio na primavera, mas depressa o equinócio distanciou-se do calendário.

Segundo a tradição, Numa Pompílio, sucessor de Rômulo e discípulo de Pitágoras, intentou fazer concordar o calendário com o ano solar, acrescentando dois meses, janeiro e fevereiro, respectivamente de 29 e 28 dias, mediante a diminuição de um dia aos meses de 30 dias (os números pares eram considerados nefastos pelos romanos). Com essa modifi cação, o ano ganhou 57 dias e perdeu 6, aumentando em 51, passando a ter 355 dias (número ímpar, livre de um caráter nefasto) distribuídos em 12 meses, com a seguinte nomenclatura:

1. Mars (março, 31 dias)2. Aprilis (abril, 29 dias)3. Maius (maio, 31 dias)4. Junius (junho, 29 dias)5. Quintilis (mês cinco, julho, 31 dias)6. Sextilis (mês seis, agosto, 29 dias)7. September (mês sete, setembro, 29 dias)8. October (mês oito, outubro, 31 dias)9. November (mês nove, novembro, 29 dias)10. December (mês dez, dezembro, 29 dias)11. Januarius (janeiro, 29 dias)12. Februarius (fevereiro, 28 dias)Mês intercalar: Mercedonius (22 ou 23 dias)

As denominações dos dez primeiros meses foram atribuídas a Rômulo, que teria consagrado o primeiro ao seu pai divino, Marte (março), deus da vegetação e, depois, da guerra. É muito incerta a etimologia dos nomes dos meses de abril, maio e junho. Já os meses que lhes seguem foram assim chamados meramente de acordo com sua ordem de sucessão. Janus, o deus bifronte e uma das mais antigas divindades romanas, deu o seu nome ao mês de janeiro (Januarius).O mês de fevereiro (Februarius) foi consagrado a festas de purifi cação dos mortos, as februa, das quais se originou o seu nome. Por lembrar os mortos, Fevereiro era o único mês com um número par de dias, nefasto. Ainda hoje, no horóscopo, o ano começa em março (signo de Áries) e termina em fevereiro (signo de Peixes).

Na alteração feita por Numa Pompílio, um 13º mês, denominado Mercedonius, com 22 ou 23 dias, de acordo com as necessidades, deveria ser intercalado de dois em dois anos. A incumbência de intercalar esse mês era dos pontífi ces; porém, para antecipar a investidura dos cônsules, por motivos políticos, adiantaram para o mês de janeiro o começo do ano, desordenando o calendário. Os meses sem nomes específi cos, setembro (mês sete), outubro (mês oito), novembro (mês nove) e dezembro (mês dez) passaram a ser os meses nove, dez, onze e doze, respectivamente, deixando para trás a sucessão natural dos meses.

As alterações promovidas no calendário por Pompílio não foram sufi cientes para uma perfeita sincronia entre o calendário e as estações do ano, apenas retardaram a defasagem. No fi m da república romana, as festas não eram mais celebradas nas estações próprias: em 46 a.C., a diferença entre o calendário e o ano trópico chegara a oitenta dias, levando Júlio César, então pontífi ce máximo e no auge do seu poder ditatorial, a promover nova reforma no calendário.

Júlio César encarregou o astrônomo alexandrino Sosígenes de elaborar um novo calendário, que fi cou conhecido como calendário juliano, isto é, de Júlio César. Sosígenes fi xou a duração do ano médio em 365,25 dias (ou 365 dias e 6 horas), embora soubesse ser esse valor um pouco maior que o real. Com essa fi xação, o ano passou a ter normalmente 365 dias; e de quatro em quatro anos as 6 horas remanescentes formariam um novo dia (4 X 6 horas = 24 horas = 1 dia). Esse dia suplementar seria colocado no VI (sexto) dia antes das calendas de fevereiro, deixando esse mês com dois sextos dias antes do pagamento das contas de fevereiro, bom para quem iria pagar, ruim para quem iria receber. Tal fato gerou a atual denominação de ano bissexto ao ano de 366 dias. Na época, esse duplo sexto dia fi cava entre 23 e 24 de fevereiro, posição que só foi modifi cada para a atual (29 de fevereiro) no calendário gregoriano. No calendário juliano, todos os anos múltiplos de 4 (terminados em 00, 04, 08, 12, ..., 96) eram considerados bissextos (com 366 dias).

O ano de 46 a.C., apelidado de ano da confusão, teve sua duração prolongada (445 dias) e o ano de 45 a.C. começou regularmente em 1° de janeiro (início defi nitivo do ano), já no calendário juliano. Os nomes dos meses continuaram os mesmos, porém com as respectivas quantidades de dias alteradas, até que, mais tarde, em homenagem a Júlio César e Octávio Augusto, Quintilis (mês cinco) foi denominado Julius (julho, 31 dias) e Sextilis (mês seis), Augustus (agosto, 31 dias). Desde então, passamos a ter dois meses seguidos de 31 dias, não fazia sentido um dos pontífi ces fi car com mais dias que o outro.

O excesso de 0,0078 dias (11 minutos e 14 segundos) em relação ao ano trópico (que é de 365,2422 dias e não 365,2500) fez que o ano juliano excedesse aquele em 0,78 dia em um século. Em quatro séculos, a diferença era de 3,12 dias, fazendo avançar, nessa razão, o equinócio da primavera. Como o domingo de páscoa deveria ser o primeiro depois da primeira lua cheia que se seguisse ao equinócio da primavera, a decalagem deste deslocava cada vez mais para o verão a celebração da principal festa religiosa cristã. Na Idade Média, tal fato evidenciou-se e preocupou o Concílio de Constança

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Em 24 de fevereiro de 1584 foi promulgado pelo Papa Gregório XIII (1502-1585) o calendário gregoriano. Para corrigir o excesso de dias sobre o ano trópico verifi cado no calendário juliano, suprimiram-se dez dias em 1582, passando-se do dia 4 de outubro (festa de São Francisco de Sales) para o dia 15 (festa de Santa Teresa de Ávila), de maneira que o equinócio passasse de 11 de março (1582) para 21 de março (1583). Como o deslocamento do equinócio provinha da intercalação de um dia a mais, em cada 128 anos, tentou-se corrigir tal erro mediante a supressão de três anos bissextos em cada 400 anos, abolindo-se os anos bissextos seculares (que fecham os séculos, terminados em 00), cujas centenas não fossem divisíveis por 4. Deixaram, assim, de ser bissextos os anos 1700, 1800 e 1900 (17, 18 e 19 centenas não são divisíveis por 4) e continuaram bissextos os anos 1600 e 2000 (16 e 20 centenas são divisíveis por 4).

Resumindo, o calendário juliano considera bissexto todos os anos múltiplos de 4; o calendário gregoriano, nosso atual calendário, assim como o calendário juliano, considera bissexto todos os anos múltiplos de 4, exceto se terminar em 00. Os anos terminados em 00, no calendário gregoriano, somente serão bissextos se forem divisíveis por 400 (4 centenas). Quando o ano é bissexto, o dia extra, no calendário gregoriano, será sempre o dia 29 de fevereiro. Sendo assim, Cabral chegou ao Brasil, no litoral sul da Bahia (atual cidade de Porto Seguro), em 1500, num ano bissexto, uma vez que o calendário em vigor era o juliano. Já se o calendário em vigor fosse o gregoriano, 1500 não seria considerado bissexto, uma vez que 1500 não é divisível por 400 (ou, se preferir, 15 centenas não é divisível por 4). O último ano secular (terminado em 00) foi o ano 2000, ano este de 366 dias, pois é divisível por 400, isto é, o ano 2000 teve o dia 29 de fevereiro. O próximo ano secular será o ano 2100, que não será bissexto, não terá o dia 29 de fevereiro, uma vez que 2100 não é divisível por 400.

Enciclopédia Mirador, calendário e pt.wikipedia.org – Adaptado.

Encontrando o dia da semanaUma aplicação dos múltiplos de 7 se encontra na determinação do

dia da semana de determinada data. Observe que se hoje (dia zero) é, por exemplo, uma terça-feira, daqui a 7, 14, 21, ... dias múltiplos de 7) também será terça-feira, pois os dias da semana se repetem de 7 em 7 dias. Para uma melhor compreensão do tema, veja o seguinte exemplo.

“Hoje, 15 de setembro de 2012, sábado, está sendo comemorado o 69º aniversário de Dona Lourdes. Em que dia da semana ela nasceu?”

Comentários e solução:Considerando hoje, 15 de setembro de 2012, o dia zero (sábado),

avançando ou recuando na semana uma quantidade de dias múltiplos de 7, cairemos novamente num sábado (mesmo dia do hoje do problema). Observando, então, que 365 dias = 52 · (7 dias) + 1 dia, para cada um dos 69 anos de Dona Lourdes, devemos recuar na semana apenas 1 dia. Logicamente, para cada 29 de fevereiro do período em questão, devemos recuar na semana mais um dia extra. De 15/09/2012 a 15/09/1943 (nascimento de Dona Lourdes) passamos pelo 29/fevereiro dos seguintes anos: 2012 = 4 · (503), 2008 = 4 · (502), 4 · (501), ..., 1944= 4 · (486). Ao todo, são 503 – 486 + 1 = 18 dias 29 de fevereiro. Para encontrar o dia da semana em que nasceu Dona Lourdes, basta recuar na semana um total de 69 + 18 = 87 dias. Como 87 dias = 12 · (7 dias) + 3 dias, recuar na semana 87 dias equivale a recuar apenas três dias. Veja o recuo:

Sábado (hoje) Sexta Quinta Quarta0 1 2 3

Logo, Dona Lourdes nasceu no dia 15 de setembro de 1943, numa

quarta-feira.

Exercícios

1. (JM) A República é proclamada num piscar de olhos.

Numa de muita confusão, pouquíssimo sangue e praticamente nenhuma participação popular, um punhado de militares rebelados se alia a políticos da oposição para encerrar abruptamente o quase cinquentenário reinado de D. Pedro II.

http: //veja.abril.com.br. (adaptado)

O feriado de 15 de novembro de 2012 cairá numa quinta-feira. Qual é o dia da semana que completa corretamente o parágrafo anterior?a) segunda-feirab) terça-feirac) quarta-feirad) quinta-feirae) sexta-feira

2. A Terra completa uma volta ao redor do Sol em 365,242190 dias aproximadamente, e não em 365 dias. Para corrigir essa diferença, existem os anos bissextos, com 366 dias. Convencionou-se que um ano n é bissexto se, e somente se, uma das seguintes condições for verifi cada:condição 1: n é um múltiplo de 400.condição 2: n é um múltiplo de 4 e n não é múltiplo de 100.Com base nessa convenção, podemos afi rmar que:a) poderá haver um ano n bissexto, sem que n seja um múltiplo de 4.b) se n, n ≥ 2012, é divisível por 4, então o ano n será bissexto.c) o ano 2200 não será bissexto.d) o ano 2400 não será bissexto.e) o ano 2500 será bissexto.

3. (Enem 2ª aplicação/2010) Nosso calendário atual é embasado no antigo calendário romano, que, por sua vez, tinha como base as fases da lua. Os meses de janeiro, março, maio, julho, agosto, outubro e dezembro possuem 31 dias, e os demais, com exceção de fevereiro, possuem 30 dias. O dia 31 de março de certo ano ocorreu em uma terça-feira.

Nesse mesmo ano, qual dia da semana será o dia 12 de outubro? a) Domingo b) Segunda-feira c) Terça-feira d) Quinta-feira e) Sexta-feira

4. (Uerj) Os anos do calendário chinês, um dos mais antigos que a história registra, começam sempre em uma lua nova, entre 21 de janeiro e 20 de fevereiro do calendário gregoriano. Eles recebem nomes de animais, que se repetem em ciclos de doze anos.

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A tabela a seguir apresenta o ciclo mais recente desse calendário.

ANO DO CALENDÁRIO CHINÊSInicio no calendário gregoriano Nome

31 – janeiro – 1995 porco19 – fevereiro – 1996 rato08 – fevereiro – 1997 boi28 – janeiro – 1998 tigre

16 – fevereiro – 1999 coelho05 – fevereiro – 2000 dragão24 – janeiro – 2001 serpente

12 – fevereiro – 2002 cavalo01 – fevereiro – 2003 cabra22 – janeiro – 2004 macaco

09 – fevereiro – 2005 galo29 – janeiro – 2006 cão

Admita que, pelo calendário gregoriano, uma determinada cidade chinesa tenha sido fundada em 21 de junho de 1089 d.C., ano da serpente no calendário chinês. Desde então, a cada 15 anos, seus habitantes promovem uma grande festa de comemoração. Portanto, houve festa em 1104, 1119, 1134 e assim por diante.

Determine, no calendário gregoriano, o ano do século XXI em que a fundação dessa cidade será comemorada novamente no ano da serpente.a) 2042b) 2045c) 2049d) 2054e) 2060

5. (Enem) Considerando que o Calendário Muçulmano teve início em 622 da era cristã e que cada 33 anos muçulmanos correspondem a 32 anos cristãos, é possível estabelecer uma correspondência aproximada de anos entre os dois calendários, dada por:(C = Anos Cristãos e M = Anos Muçulmanos)

a) C MM= + −62233

b) C M C= − + −

62262232

c) C MM= − −

62233

d) C M C= − + −

62262233

e) C MM= + −

62232

FB no Enem – Nº 29 – Professor: Alexandre Lima1 2 3 4 5E A E E A

FB no Enem – Nº 30 – Professor: João Mendes1 2 3 4 5E C B C A

OSG.: 64301/12 - 19/09/2012Dig.: Erbínio / Rev.: EC

Anotações

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