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OBJETIVOSOBJETIVOS Apresentar abordagens nem Apresentar abordagens nem

sempre lembradas dos temas sempre lembradas dos temas selecionados eselecionados e

Propor abordagens didáticas, Propor abordagens didáticas, que facilitem aos alunos a que facilitem aos alunos a compreensão dos temas.compreensão dos temas.

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CONTEÚDOS ABORDADOSCONTEÚDOS ABORDADOS

VetoresVetores Sistema CartesianoSistema Cartesiano Produto EscalarProduto Escalar Produto VetorialProduto Vetorial

Produto MistoProduto Misto Reta Reta Plano Plano

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Definição formalDefinição formal Noção IntuitivaNoção Intuitiva

O vetor é dinâmico, (não é uma flecha!)O vetor é dinâmico, (não é uma flecha!)

v

AvAB AB

A

Interpretação que interessa: Interpretação que interessa: Vetor Vetor “Vehere“Vehere = Transportar= Transportar” ” condutor , portador, ...condutor , portador, ...

O vetor O vetor vv transporta qualquer ponto A transporta qualquer ponto A para um novo ponto B: para um novo ponto B:

vv = AB= AB

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x

y

0

o),( 00

Identificando VetoresIdentificando Vetores

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y

x3

2 v

v

3

2

A

vAB

)2,3(v

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PROBLEMAPROBLEMA Dados os pontos A e B, até Dados os pontos A e B, até que ponto se deve prolongar o que ponto se deve prolongar o segmento AB, no sentido de A segmento AB, no sentido de A para B, para que o seu para B, para que o seu comprimento quadruplique de comprimento quadruplique de valor?valor?

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e e nãonão assim: assim:

AC = 4ABAC = 4AB ouou C - A = 4 (B - A), C - A = 4 (B - A), etc.etc.

Resolver Resolver assimassim::

C = A + 4 ABC = A + 4 AB ouou C = B + 3 ABC = B + 3 AB

A B C

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Representar o vetor Representar o vetor

PROBLEMAPROBLEMA

k4j3i2v

com origem no ponto com origem no ponto

)0,5,4(A

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50 yx

z

4

i2

j3

k4

)4,3,2(v

vA

B

A

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Dados: Dados: A - vértice de um paralelepípedoA - vértice de um paralelepípedo B, C e D - vértices adjacentes a AB, C e D - vértices adjacentes a A

Determinar:Determinar: A’, sendo AA’ uma diagonal doA’, sendo AA’ uma diagonal do paralelepípedoparalelepípedo. .

PROBLEMAPROBLEMA

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'AACA ADAB

'A

E

BA

D

C

BE

'A

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TRANSLAÇÃOTRANSLAÇÃO A A translaçãotranslação é determinada por um é determinada por um vetorvetor

TTvv : : P TP Tvv(P) = P + v(P) = P + v

É a isometria mais simplesÉ a isometria mais simples

Se v = (a, b), para cada P(x, y) tem-seSe v = (a, b), para cada P(x, y) tem-se

TTvv (P) = ( x + a, y + b) (P) = ( x + a, y + b)

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vv

vP)P(VT

)r(VT

rP

Tv leva “r” numa reta paralela

y

x0

'y

'x'0

e transforma Oxy em O’x’y’

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194

:e yx22

194

: )4y()5x(e

22'

A = (2,0) A = (2,0) e e A’= (2,0) + (5,4) = (7,4) A’= (2,0) + (5,4) = (7,4) e’ e’ B = (0,3) B = (0,3) e e B’ = (0,3) + (5,4) = (5,7) B’ = (0,3) + (5,4) = (5,7) e’ e’

'0

y 'y

'x

7

)4,5(v

0 x2 5

4

7

e

'e

'B

'A

A

B

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v

X

No sistema Oxyz, se v = (a,b,c), entãoNo sistema Oxyz, se v = (a,b,c), então

P(x, y, z) P(x, y, z) P P’’ ( x + a, y + b, z + c) ( x + a, y + b, z + c)

TV

Cilindro S de base X e geratriz v:Cilindro S de base X e geratriz v:

Se X é polígono, então S é prisma.Se X é polígono, então S é prisma. Se X é paralelogramo, então S é paralelepípedo. Se X é paralelogramo, então S é paralelepípedo.

Exemplos:Exemplos:

S = S = PP’ / P PP’ / P X e P’ = Tv (P) X e P’ = Tv (P)

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Independente do Independente do sistema ortonormal sistema ortonormal igualmente orientado, igualmente orientado, o vetor é o mesmo!o vetor é o mesmo!

)0,8,7(B)4,0,0(A

xyz0

)4,0,0(B)0,8,7(A

'z'y'x'0

AB

)4,8,7(

AB)4,8,7(

SISTEMASISTEMA CARTESIANOCARTESIANOA sala de aula e os oito octantes.A sala de aula e os oito octantes.

8

B

A 4

7

z

y

x

0

'z

'x'y'0

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PRODUTO ESCALARPRODUTO ESCALAR

Importância: idéia de Importância: idéia de medidamedida

)z,y,x(u 111

)z,y,x(v 222

)v,u(âng

cosvuzzyyxxv.u 212121

Sejam:Sejam:

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PRODUTO ESCALARPRODUTO ESCALARMEDIDA: módulo, distância, ângulo, MEDIDA: módulo, distância, ângulo, ortogonalidade, bases ortogonais e ortogonalidade, bases ortogonais e ortonormais, projeções.ortonormais, projeções.

APLICAÇÕES:APLICAÇÕES:Trabalho;Trabalho;Tensão;Tensão;Energia:Energia:

Dimensionamento de pára-choque de automóvel;Dimensionamento de pára-choque de automóvel; Fabricação de freios;Fabricação de freios; Laminação.Laminação.

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PRODUTO VETORIALPRODUTO VETORIALSeja v = (x, y, z) um vetor simultaneamente Seja v = (x, y, z) um vetor simultaneamente

ortogonal aos vetores dados: ortogonal aos vetores dados:

)c,b,a(v 1111

)c,b,a(v 2222v.kv com 21

Então:Então:

0v.v0v.v

2

1 ouou

z.cy.bx.az.cy.bx.a

222

111

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Resolvendo o sistema pela regra de Cramer:Resolvendo o sistema pela regra de Cramer:

0b ab a

22

11

b z.cb z.c

22

11x

c b

c b.zx 22

11

xe

z.c a

z.c a22

11y

e

c a

c a.zy 22

11

y

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PortantoPortanto

z,c a

c a.z,c b

c b.zv 22

11

22

11

b ab a,

c ac a,

c bc bv

22

11

22

11

22

11

Para z = Para z = , tem-se:, tem-se:

que é o que é o PRODUTO VETORIALPRODUTO VETORIAL de v de v11 e v e v22, isto é, , isto é,

v = vv = v1 1 xx v v22

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PRODUTO VETORIALPRODUTO VETORIALQual é o significado do número | u Qual é o significado do número | u v | ? v | ?

, )2 ,1 ,1(u 2u

, )22 ,2- ,2(v 4v

4

uxv

4

5

23

67

8

1

2

v

u

2

3

4

6

7

8

5

1

,)0,24,24(vu x

8vu x

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ÁREA DO PARALELOGRAMO NO PLANOÁREA DO PARALELOGRAMO NO PLANODados: u = (a, b) e v = (c, d)Dados: u = (a, b) e v = (c, d)Então: área (u, v) = Então: área (u, v) = ad – bc ad – bc , isto é,, isto é,

d cb a

de móduloy

x

'v

0

)b,a(u

)0,a('u

)d,c(v

y

x0

)b,a(u

'v

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Reta por (c, d) e paralela a u:Reta por (c, d) e paralela a u:

y = d + b/a (x – c)y = d + b/a (x – c)Logo, Logo, v’ = ( 0, d – b/a . c)v’ = ( 0, d – b/a . c)Ora,Ora,área (u, v) = área (u, v’) área (u, v) = área (u, v’) (mesma base e mesma altura)(mesma base e mesma altura)

ÁREA DO PARALELOGRAMO NO PLANOÁREA DO PARALELOGRAMO NO PLANO

)d,c(v

y

x0

)b,a(u

'v

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que por sua vez é a área do que por sua vez é a área do

retângulo cuja base é retângulo cuja base é

definida pelo vetor u’ = (a, 0) definida pelo vetor u’ = (a, 0)

e a altura pelo vetor v’. e a altura pelo vetor v’.

Portanto, a área deste Portanto, a área deste

retângulo é: retângulo é:

ÁREA DO PARALELOGRAMO NO PLANOÁREA DO PARALELOGRAMO NO PLANO

| a | |d-b/a . c| = |a (d-b/a . c| = |ad - bc|| a | |d-b/a . c| = |a (d-b/a . c| = |ad - bc|

y

x

'v

0

)b,a(u

)0,a('u

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z

xy

0 y)0,d,c(v

)0,b,a(u

ISOMORFISMO entre RISOMORFISMO entre R22 e o plano xy do R e o plano xy do R33

uxv v) (u, de Área

bc)-ad 0, (0, 0 d c0 b ak j i

uxv

bc - ad bc) - ad 0, (0, v) (u, de Área

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PRODUTO VETORIALPRODUTO VETORIAL

Vetor normal ao planoBases ortogonaisDeterminação de campos vetoriais normais unitários (cálculo de área de superfície)Plano tangenteGeometria DiferencialFísica – TorqueCampo magnético - força eletromotriz (ortogonal)Aceleração de Coriólis (embreagem hidráulica)

APLICAÇÕES: APLICAÇÕES:

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PRODUTO MISTOPRODUTO MISTO

1. Coplanaridade: (u, v, w) = 0 (a) LD (b) Nulidade do determinante (propriedade única)

zyxzyxzyx

333

222

111

x w)(v u.

APLICAÇÕES: APLICAÇÕES:

2. Não coplanaridade: (u, v, w) 0 (a) LI (b) volume: V = (u, v, w)

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RETARETA

13

4131x

xy)yx(

y

x0

x3y

)4,1(

1x

1

3

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4yx2

)2 ,1(

1yx3 RETARETA

1yx34yx2

y

x0

y

x0

4y

x 2

)2 ,1(

5x5

5x54yx2

A figura interpreta geometricamente a transformaçãodo sistema no sistemaO ponto de interseção é mantido.

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RETARETA A reta e uma variável

)4,0(

y

x0

r

1

2

:r )1(x24y

4yx2

2)- x(1, 4) (0, 2x)- (x, 4) (0, 2x) - 4 ,x(

variável 1 vetor 1

} t 2);- t(1, 4) (0, { :r

5 3x - z3 -2x y

:r

3)- 2, x(1, 5) 3,- (0, 5) 3x - 3, -2x ,x(

} t 3);- 2, t(1, 5) 3,- (0, { :r

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PLANOPLANO O plano e duas variáveis :

6 3y 2x - z 0 6 - z y3 x2

} t h, tv; hu A{ : u

v

A

3) 1, y(0, 2) - 0, x(1, 6) 0, (0, 3y) y, (0, 2x)- 0, (x, 6) 0, (0, 6) 3y 2x - y, ,x(

variáveis2 vetores2

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1= 2

Os planos Os planos 11 e e 22 coincidem coincidem

10 8z 6y– 4x 5 4z 3y– 2x

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2

1

1 2

Os planos Os planos 11 e e 22 são paralelos são paralelos

11 8z 6y– 4x 5 4z 3y– 2x

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2

1

1 2 = r

A interseção entre A interseção entre 11 e e 22 é uma reta é uma reta

2 2z 3y x 4 z 3y– 2x

:r

2-x z32x

31 y

:r

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Interseção de dois planosInterseção de dois planos

01- z y 5x 0 11- z2 y x

:r

))x

:r2

1

( 42x- z( 33 y

2

4

3

),,( 430

),,( 601

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Existem Existem oitooito posições possíveis dos planos posições possíveis dos planos 11, , 22 e e 33 , em relação uns aos outros. , em relação uns aos outros.

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1= 2 = 3

1. Os três planos coincidem1. Os três planos coincidem

15 9z 6y 3x 10 6z 4y 2x

5 3z 2y x

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3

1= 2

2. Dois planos coincidem e são 2. Dois planos coincidem e são paralelos ao terceiroparalelos ao terceiro

14 9z 6y 3x 10 6z 4y 2x

5 3z 2y x

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3

1= 2

Provão 2001 - Questão 07Provão 2001 - Questão 07

7 5z 5y 5x 2 2z 2y 2x

1 z y x

O número de soluções do sistema de O número de soluções do sistema de equações:equações:

éé

(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) Infinito(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) Infinito

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3

1= 2

r: r: 11 33

3. Dois planos coincidem3. Dois planos coincidem e o terceiro os intersectae o terceiro os intersecta segundo uma retasegundo uma reta

1 2z y -x 8 2z - 4y 6x

4 z - 2y 3x

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1

2

3

4. Os três planos são paralelos entre si4. Os três planos são paralelos entre si

5 9z y 6 -3x 3 6z 4y -2x

1 z 3 2y -x

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2

1

35. 5. Dois planos são paralelos e o terceiro os Dois planos são paralelos e o terceiro os intersecta segundo retas paralelasintersecta segundo retas paralelas

9 z - y 2 3x 5 6z 4y -2x

4 z 3 2y -x

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2

1

r = 1 2 3

3

6. Os três planos têm uma reta em 6. Os três planos têm uma reta em comumcomum

13 2z - y 7 4x 5 4z 3y 2x

4 z 3 - 2y x

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2

1

3

7. Os 3 planos se intersectam dois a dois 7. Os 3 planos se intersectam dois a dois segundo três retas paralelassegundo três retas paralelas

12 2z - y 7 4x 5 4z 3y 2x

4 z 3 - 2y x

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3

s = 1 3

r = 1 2

1

P

2

8. Os 3 planos têm 8. Os 3 planos têm um ponto em um ponto em

comumcomum

P (-3, 6, -2)P (-3, 6, -2)

3 6z - y -x 5 z - 2y 3x 4 z 2 - y 2x