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UM ESTUDO NUMÉRICO DO DECAIMENTO EM JOGO DE FPSO
Gustavo Omar Guarniz Avalos
Rio de Janeiro
Maio de 2012
Dissertação de mestrado apresentada ao
Programa de Pós-graduação em Engenharia
Oceânica, COPPE, da Universidade Federal
do Rio de Janeiro, como parte dos requisitos
necessários à obtenção do título de Mestre
em Engenharia Oceânica.
Orientador: Juan Bautista Villa Wanderley
UM ESTUDO NUMÉRICO DO DECAIMENTO EM JOGO DE FPSO
Gustavo Omar Guarniz Avalos
DISSERTAÇÃO SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DO INSTITUTO ALBERTO
LUIZ COIMBRA DE PÓS-GRADUAÇÃO E PESQUISA DE ENGENHARIA
(COPPE) DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE
DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE
EM CIÊNCIAS EM ENGENHARIA OCEÂNICA.
Examinada por:
RIO DE JANEIRO, RJ-BRASIL
MAIO DE 2012
_____________________________________
Prof. Juan Bautista Villa Wanderley, Ph.D.
_______________________________________
Prof. Antonio Carlos Fernandes, Ph.D.
_______________________________________
Dr. Mauro Costa de Oliveira, D.Sc.
iii
Avalos, Gustavo Omar Guarniz
Um Estudo Numérico do Decaimento em Jogo de
FPSO/Gustavo Omar Guarniz Avalos. -Rio de Janeiro:
UFRJ/COPPE, 2012.
XIII, 80 p.:il; 29,7.
Orientador: Juan Bautista Villa Wanderley
Dissertação(mestrado)-UFRJ/COPPE/Programa de
Engenharia Oceânica,2012.
Referencias Bibliográficas: p.54-57.
1. Decaimento em Jogo. 2. Mecânica dos Fluidos
Computacional. 3. TVD. I. Wanderley, Juan Baustista Villa.
II. Universidade Federal do Rio de Janeiro. COPPE, Programa
de Engenharia Oceânica. III. Título.
iv
Ó mar salgado, quanto do teu sal
São lágrimas de Portugal!
Por te cruzarmos, quantas mães choraram,
Quantos filhos em vão rezaram!
Quantas noivas ficaram por casar
Para que fosses nosso, ó mar!
Valeu a pena? Tudo vale a pena
Se a alma não é pequena.
Quem quere passar além do Bojador
Tem que passar além da dor.
Deus ao mar o perigo e o abismo deu,
Mas nele é que espelhou o céu.
Fernando Pessoa
v
AGRADECIMENTOS
Agradeço a minha mãe, por me ensinar com seu exemplo que a idade não é um limite
para aprender e sonhar, e apesar de sua falta física, me acompanhou sempre no dia a dia
com suas lições de mãe inesquecíveis nesta etapa da minha vida.
Agradeço a meu pai, por todos seus conselhos que me ensinou para a superação das
dificuldades na minha vida profissional e sua compreensão da minha ausência a seu
lado ao longo desse tempo.
Agradeço a meus irmãos e a suas famílias por suas palavras de alento e apoio
incondicional na oportunidade de crescimento da minha vida profissional durante todo
este tempo.
Agradeço ao meu orientador, professor Juan Wanderley, pela sua confiança e paciência
ao longo do meu mestrado, e suas sugestões e apoio para o desenvolvimento do presente
trabalho.
E finalmente, agradeço a todos os meus amigos que contribuíram de forma direta e
indireta no desenvolvimento e apresentação do meu trabalho.
vi
Resumo da Dissertação apresentada à COPPE/UFRJ como parte dos requisitos
necessários para a obtenção do grau de Mestre em Ciências (M.Sc)
UM ESTUDO NUMÉRICO DO DECAIMENTO EM JOGO DE FPSO
Gustavo Omar Guarniz Avalos
Maio/2012
Orientador: Juan Bautista Villa Wanderley
Programa: Engenharia Ocêanica
Um estudo numérico do amortecimento em jogo de FPSO (unidade flutuante
para a produção, armazenamento e descarga de petróleo) é apresentado neste trabalho.
Simula-se o decaimento em jogo de uma seção média de FPSO através da solução
numérica das equações de Navier-Stokes em 2-D. O código computacional foi
desenvolvido usando-se o método dos volumes finitos e o esquema TVD upwind de
Roe-Sweby.
Sabe-se que os efeitos viscosos são predominantes no amortecimento em jogo de navios
de forma retangular com bolina. Neste caso, fortes vórtices são gerados ao redor da
bolina. Conclusões importantes foram obtidas em relação ao comportamento dos
vórtices ao redor da região da bolina. Observou-se a existência de uma trilha de vórtices
semelhante à trilha de vórtices de Kármán na esteira de um cilindro.
vii
Abstract of Dissertation presented to COPPE/UFRJ as a partial fulfillment of the
requirements for the degree of Master of Science (M.Sc)
A NUMERICAL STUDY OF ROLL DECAY OF FPSO
Gustavo Omar Guarniz Avalos
May/2012
Advisor: Juan Bautista Villa Wanderley
Department: Ocean Engineering
A numerical study of roll damping of FPSO (Floating Production Storage and
Offloading) is presented in this work. A roll decay test of a middle section of FPSO is
simulated by means of the numerical solution of the Navier-Stokes equations in 2D. The
computational code was developed using the finite volume method and the upwind
TVD scheme of Roe-Sweby.
It is known that the roll damping for rectangular hulls with bilge keels is dominated by
viscous effects. In this case, strong vortices are formed around the bilge keel. Interesting
results about the behavior of vortices around the bilge keels were obtained. It was
observed that there is a vortex street similar to the Kármán vortex street in the wake of a
cylinder.
viii
ÍNDICE
Capítulo 1-Introdução ........................................................................................................1
1.1 Generalidades ..................................................................................................... 1
1.2 Antecedentes ...................................................................................................... 1
1.3 Objetivo ............................................................................................................. 6
1.4 Delineamento da dissertação ............................................................................. 7
Capítulo 2-Formulação Matemática ..................................................................................8
2.1 Equações de Navier Stokes Incompressíveis ..................................................... 8
2.2 Método do Volume de Fluido .......................................................................... 12
2.3 Equações do Movimento ................................................................................. 14
Capítulo 3-Formulação Numérica ...................................................................................17
3.1 Malha Computacional ...................................................................................... 17
3.2 Deformação da Malha Computacional ............................................................ 18
3.3 Quantidades Geométricas dos Elementos da Malha Computacional .............. 20
3.3.1 Cálculo do Volume ................................................................................... 20
3.3.2 Cálculo do Vetor Área .............................................................................. 20
3.4 Esquema Numérico .......................................................................................... 21
3.5 Discretização do Fluxo Inviscido .................................................................... 22
3.6 Discretização do Fluxo Viscoso ...................................................................... 25
3.7 Condições Iniciais e de Contorno .................................................................... 25
3.7.1 Condições Iniciais .................................................................................... 25
3.7.2 Condições de Contorno ............................................................................ 26
Capítulo 4-Resultados Numéricos do Escoamento ao redor de um Cilindro ..................28
4.1 Malha computacional ....................................................................................... 28
4.2 Coeficientes de Arrasto e Sustentação do Cilindro ......................................... 29
4.3 Resultados obtidos para Número de Reynolds 40 ........................................... 31
ix
Capítulo 5-Resultados Numéricos para o Decaimento em Jogo de FPSO ......................34
5.1 Caso I: Simulação Numérica do Ensaio Experimental de Pinheiro (2003). .... 34
5.2 Caso II: Simulação Numérica do Ensaio Experimental de Oliveira (2011) .... 39
Capítulo 6-Conclusões e Trabalhos Futuros....................................................................52
6.1 Geral ................................................................................................................. 52
6.2 Conclusões ....................................................................................................... 52
6.3 Trabalhos Futuros ............................................................................................ 53
Referência Bibliográfica ..................................................................................................54
APÉNDICE I ...................................................................................................................58
APÉNDICE II ..................................................................................................................61
APÊNDICE III ................................................................................................................67
APÊNDICE IV ................................................................................................................71
APÊNDICE V .................................................................................................................75
x
Lista de Símbolos
Velocidade do som
Boca da seção do navio
Fração volumétrica
Coeficiente de força na direção x
Coeficiente de força de pressão na direção x
Coeficiente de força viscosa na direção x
Coeficiente de força na direção y
Coeficiente de força de pressão na direção y
Coeficiente de força viscosa na direção y
Coeficiente de sustentação do cilindro
Coeficiente de arrasto do cilindro
Momento de Inércia adimensional da seção do navio
Coeficiente de pressão do cilindro
Coeficiente de momento do navio em relação ao centro de gravidade
Coeficiente de momento de pressão do navio em relação ao centro de gravidade
Coeficiente de momento viscoso do navio em relação ao centro de gravidade
Massa adimensional da seção do navio
Diâmetro do cilindro
Vetor de fluxo inviscido na direção x
Vetor de fluxo viscoso na direção x
Vetor de fluxo inviscido na direção y
xi
Força de pressão
Força na direção x
Força de pressão na direção x
Força viscosa na direção x
Força na direção y
Força de pressão na direção y
Força viscosa na direção y
Vetor de fluxo viscoso na direção y, ou, força viscosa
Número de Froude
Aceleração da gravidade
Momento de inércia da seção do navio
Comprimento da seção do navio
Número de Mach
Momento em relação ao centro de gravidade do navio
Momento de pressão em relação ao centro de gravidade do navio
Momento viscoso em relação ao centro de gravidade do navio
Massa da seção do navio
Vetor normal à superfície
Pressão dinâmica do fluido
Pressão do escoamento livre
Vetor definido pelos vetores de fluxo
Vetor definido pelos vetores de fluxo inviscidos
xii
Vetor definido pelos vetores de fluxo viscosos
Vetor de variáveis conservadas
Número de Reynolds
Superfície do elemento da malha computacional
Calado do navio
Tempo
Velocidade do fluido na direção x
Velocidade de referência
Velocidade do fluido na direção y
Volume do elemento da malha computacional
Velocidade local da superfície do elemento da malha computacional
Coordenada cartesiana horizontal
Abscissa do centro de gravidade do navio
Coordenada cartesiana vertical
Ordenada do centro de gravidade do navio
Ordenada de um ponto da superfície molhada do navio
Variação de quantidade
Operador de divergência
Ângulo de adernamento do navio
Viscosidade dinâmica
Massa específica do fluido eficaz
Massa específica da água
Massa específica do ar
xiii
Coeficiente de compressibilidade isotérmica
Tensor de tensões viscosas
Limitador de fluxo
1
Capítulo 1
Introdução
1.1 Generalidades
A utilização de navios convertidos em FPSOs (Floating Production Storage and
Offloading) tem sido muito aplicada na área de exploração de petróleo pelas vantagens
que oferece, entre elas, a grande capacidade de carga e a redução de custo e tempo de
construção de uma estrutura já existente. Entretanto, sua desvantagem desde o início de
sua aplicação ao longo do tempo é o excesso de balanço transversal.
A ação do meio ambiente, principalmente a ação das ondas de través, responsáveis pelo
excesso de balanço transversal, faz com que as operações próprias de FPSO não sejam
realizadas eficientemente, além dos efeitos críticos de fadiga do casco, risers, linhas de
amarração e o desconforto da tripulação pelo excesso de balanço em jogo.
1.2 Antecedentes
O problema de balanço transversal de FPSO tem sido objeto de muitos estudos. Sabe-se
que os efeitos viscosos são predominantes no amortecimento de casco retangulares,
DOWNIE(1988). Por isso, uma alternativa bem sucedida e muito antiga para o controle
de balanço é a utilização da bolina, localizada ao redor do bojo. A bolina exerce uma
oposição ao movimento do balanço transversal produzindo desse modo uma dissipação
de energia através da geração de vórtices que reduz assim o efeito do balanço.
Atualmente, tem-se conhecimento claro que a teoria potencial reproduz bem todos os
graus de liberdade do navio, exceto o comportamento do balanço transversal, pelo fato
de não levar em consideração os efeitos viscosos no amortecimento quando eles são
predominantes. Por exemplo, no caso do estudo de bolinas estendidas para reduzir o
balanço transversal, proposto por FERNANDES et al (1997) e realizados por
PINHEIRO(2003) e OLIVEIRA(2011). Uma alternativa para calcular o amortecimento
do balanço transversal do navio, muito utilizada pelas empresas, é abordar o problema
usando o método semi-empírico adotado por HIMENO(1981) ou realizar ensaios de
2
decaimento em tanque de prova e apresentar os resultados segundo a modelagem
quadrática, que é passível de uma linearização equivalente. Estas metodologias são bem
sucedidas para navios equipados com bolinas típicas, mas não conseguem reproduzir
com sucesso o amortecimento em grandes ângulos e bolinas de maior comprimento.
Devido a estas limitações, novas propostas de abordagem ao problema foram realizadas,
FERNANDES et al. (2000), FERNANDES et al. (2009) e OLIVEIRA(2011).
Uma técnica muito útil para visualizar e entender o comportamento do escoamento ao
redor da bolina é o PIV (Particle Image Velocimetry). Um interessante debate usando
esta técnica pode ser encontrado em ALOISIO et al (2006) e OLIVEIRA(2011). A
Figura 1.1 mostra uma visualização da formação de vórtices ao redor da bolina de um
modelo de FPSO.
A simulação numérica é outro modo de abordar este problema. Com a intenção de
mostrar a evolução nesta área, é apresentado um breve resumo das contribuições mais
relevantes realizadas por diversos pesquisadores. Todas elas são dirigidas à simulação
de decaimento e oscilação forçada em jogo.
YEUNG (2002) desenvolveu um método chamado FSRVM (Free-Surface Random-
Vortex Method) baseado numa mistura de elementos de contorno com geração de
vorticidade e difusão. A formulação teórica permite formas de corpos diferentes como
Figura 1.1- Visualização de vórtices formados ao redor da bolina de um
FPSO; Extraído de (a) ALOISIO et al (2006) e (b) OLIVEIRA(2011).
(a) (b)
3
um FPSO com bolina. Sua limitação principal é que só pode modelar fenômenos em
duas dimensões. Na Fig.1.2, mostra-se os resultados do campo de vorticidade de FPSO
e a curva de decaimento em jogo obtido por YEUNG (2002).
KINNAS (2005) desenvolveu um código numérico para estudar os efeitos da bolina
(comprimento e orientação) de FPSO em jogo. O método é baseado no método de
volumes finitos. O método resolve as equações de Navier-Stokes, a pressão é
determinada usando o método SIMPLE, e considera-se o movimento da malha, A Fig.
1.3 mostra a malha computacional para o estudo duma bolina na posição 20º e a
influência do comprimento da bolina na massa adicional de FPSO obtido por KINNAS
(2005).
Figura 1.2- (a) Campo de vorticidade de FPSO, (b) Curva de decaimento em
jogo. Extraído de YEUNG (2002)
Fig. 1.3- (a) malha computacional para uma bolina na posição 20º, (b) efeito do
comprimento da bolina na massa adicional de FPSO, Extraído de KINNAS (2005).
(a) (b)
(a) (b)
4
WANDERLEY et al. (2007) estudou o amortecimento de FPSO com bolina através da
solução numérica das equações de Navier-Stokes levemente compressíveis usando o
método dos volumes finitos, e um esquema centrado com dissipação artificial não linear
para garantir a estabilidade numérica. O domínio físico foi discretizado por uma malha
não estruturada, A Fig. 1.4 apresenta os resultados obtidos por WANDERLEY et al
(2007) para a série temporal do deslocamento e o campo de pressão e linhas de corrente.
VAN’T VEER et al.(2011) estudou numericamente o escoamento ao redor de FPSO
com bolina da Petrobras. A simulação numérica foi obtida usando-se o código
computacional StarCCM+. As equações de Navier-Stokes promediadas de Reynolds
incompressíveis não permanentes (URANS) são resolvidas numericamente utilizando-
se o método dos volumes finitos com a interpolação de Rhie-Chow. Um esquema de
segunda ordem é usado para avaliar os termos convectivos. A superfície livre é
simulada usando o método VOF. A equação da continuidade e as equações de
quantidade de movimento são acopladas através do algoritmo de SIMPLE. A Fig. 1.5
mostra parte do trabalho de VAN’T VEER et al.(2011): A Fig. 1.5 (a), mostra a malha
computacional de FPSO e a Fig. 1.5(b) mostra os resultados do decremento da curva de
decaimento em jogo para um decaimento livre e um decaimento com pré-oscilações.
Figura 1.4- (a) Decaimento em jogo, extraído de resultados numéricos RAMIRO
(2006); (b) Campo de Pressão ao redor de FPSO, extraído de WANDERLEY et
al.(2007).
(a) (b)
5
Embora o objetivo deste trabalho não seja direcionado às simulações numéricas de
corpos em ondas irregulares, vale a pena destacar os seguintes trabalhos, Y. XING et al
(2001) e XINYING ZHU(2006), ver Fig. 1.6.
(a) (b)
Figura 1.5- (a) Parte da malha computacional 3D com bolina e riser balcony, (b) Curva de
decremento de decaimento em jogo, extraído de VAN’T VEER et al.(2011).
(a)
(b)
Figura 1.6- (a) Simulação de um cilindro retangular em ondas, extraído de Y.
XING et al (2001) (b) tanque numérico e resultados do momento produzidos por
ondas numa seção de forma V, extraído de XINYING ZHU(2006).
6
Como se pode observar nas pesquisas acima, as ferramentas numéricas existentes hoje
em dia têm aumentado muito, oferecendo cada uma delas suas vantagens e limitações.
O esforço por reproduzir este fenômeno numericamente é de grande interesse da
indústria. Por isso, uma nova forma de abordar numericamente este problema é uma
contribuição a mais que se soma a este grande esforço.
Este trabalho é uma continuação do trabalho de RAMIRO (2006). Portanto, o esforço
principal deste estudo é desenvolver um código computacional que reproduza o
decaimento em jogo de FPSO, baseado no método dos volumes finitos. O código
mantém as características principais do trabalho de RAMIRO (2006), ou seja, resolve as
equações de Navier-Stokes incompressíveis e utiliza uma malha não estruturada. A
superfície livre é considerada completamente plana, mas é definida utilizando o método
VOF. Utilizou-se o esquema TVD upwind de Roe-Sweby em vez de um esquema
centrado com termo de dissipação artificial não linear.
Primeiramente, para validar o código computacional, simulou-se o escoamento ao redor
de um cilindro fixo. Os resultados obtidos foram comparados com resultados numéricos
e experimentais obtidos da literatura. Esta etapa ajudou muito no progresso do código.
Finalmente, o código foi validado para o estudo do decaimento em jogo de FPSO. Os
resultados numéricos obtidos foram comparados com resultados experimentais de
PINHEIRO(2003) e OLIVEIRA(2011).
1.3 Objetivo
O objetivo do presente trabalho é estudar o decaimento livre em jogo de FPSO com
bolina, investigar o efeito do comprimento da bolina sobre a curva de amortecimento e
estudar o comportamento dos vórtices emitidos pela bolina através da visualização do
escoamento. Para este fim, implementou-se um código numérico baseado no método
dos volumes finitos utilizando o esquema TVD upwind de Roe - Sweby.
7
1.4 Delineamento da dissertação
A organização da dissertação é mostrada a seguir:
Capítulo 2- são mostradas as equações governantes do fluido e sua implementação no
método dos volumes finitos. Ao final do capítulo são mostradas as equações de
movimento do corpo e sua solução ao longo do tempo.
Capítulo 3- apresenta a implementação numérica do método dos volumes finitos e
desenvolve as definições e condições necessárias para a discretização do domínio físico.
Capítulo 4- são mostrados os resultados numéricos para o escoamento ao redor do
cilindro fixo e as comparações necessárias com dados experimentais e numéricos para a
validação do código desenvolvido.
Capítulo 5- são mostrados os resultados numéricos para a simulação do decaimento em
jogo de FPSO e as comparações com dados experimentais.
Capítulo 6- são apresentadas as conclusões e sugestões para trabalhos futuros.
8
Capítulo 2
Formulação Matemática
Neste capítulo, iremos mostrar as equações governantes para abordarmos o escoamento
incompressível considerado no estudo do decaimento em jogo de FPSO e o método
usado para tratar o problema da superfície livre. Ao final deste capítulo, são
apresentadas as equações do movimento do corpo e suas soluções ao longo do tempo.
2.1 Equações de Navier Stokes Incompressíveis
Para resolvermos as equações de Navier-Stokes incompressíveis, existem vários
métodos na literatura. No presente estudo, utiliza-se o método para escoamento
levemente compressível apresentado por WANDERLEY(2001), mas antes mostram-se
as características principais dos outros métodos usados para a solução das equações de
Navier-Stokes incompressíveis.
O método da compressibilidade artificial desenvolvido por CHORIN (1967) foi uma das
primeiras tentativas para resolver as equações de Navier-Stokes incompressíveis. A
equação da continuidade é modificada para introduzir um termo de compressibilidade
artificial que some quando a solução permanente é alcançada. Com a adição deste termo
na equação da continuidade, as equações de Navier-Sotkes representam um sistema de
equações parabólicas que podem ser resolvidas através de um método de marcha no
tempo. Este método é aplicado somente para problemas de escoamentos permanentes.
Outros métodos para resolvermos as equações de Navier-Stokes incompressíveis são os
métodos de aproximação de correção da pressão. As equações de quantidade de
movimento são resolvidas sequencialmente para as componentes das velocidades
usando a melhor aproximação para a distribuição da pressão. Tal procedimento não
produz um campo de velocidade que satisfaça a equação da continuidade a menos que a
correção da distribuição da pressão seja aplicada. Se existe uma fonte de massa, a
pressão é melhorada num passo separado de tal modo a eliminar as fontes de massa e
assim satisfazer a equação da continuidade. Se a pressão muda, a solução das equações
de quantidade de movimento muda também. Os métodos de aproximação de correção
da pressão têm sido amplamente utilizados para resolver as equações de Navier-Stokes.
9
Os métodos diferem principalmente nos algoritmos usados para resolver as equações de
quantidades de movimento e para resolver a pressão. Alguns dos métodos de
aproximação de correção da pressão mais usados são: o método de MAC de HARLOW
e WELCH (1965), os métodos de SIMPLE e SIMPLER desenvolvido por CARETTO et
al. (1972) e PATANKAR (1980), o método da projeção de CHORIN (1968) e o método
de PISO desenvolvido por ISSA (1986).
Outra escolha para resolvermos as equações de Navier-Stokes é o método para
escoamento levemente compressível apresentado por WANDERLEY (2001), o método
apresenta uma equação para o campo de pressão que possui um termo de derivada
temporal da pressão facilitando a implementação de um método de marcho no tempo. O
método consiste em definir uma equação para o campo de pressão apropriada para
escoamentos de baixa compressibilidade dos fluidos. Esta equação e as equações da
quantidade de movimento incompressíveis formam um sistema de equações que
representa os escoamentos levemente compressíveis.
A Equação do campo de pressão é obtida combinando-se a equação da continuidade
compressível, Eq.(2.1), e a definição de compressibilidade isotérmica Eq.(2.2),
ANDERSON (1990).
(2.1)
)
(2.2)
Integrando a Eq.(2.1), assumindo que as variações da pressão do escoamento são
pequenas de modo que o coeficiente de compressibilidade isotérmica possa ser
considerado constante, e considerando somente escoamentos isotérmicos, onde a massa
específica é função somente da pressão, resulta a Eq.(2.3).
(2.3)
De acordo com WANDERLEY (2001), uma expansão em serie de Taylor da massa
específica, Eq.(2.3), em função da pressão e em torno de é obtida e mostrada na
Eq.(2.4).
10
(2.4)
Levando em consideração que o coeficiente de compressibilidade isotérmica é muito
pequeno para água, pode-se desprezar da expansão anterior os termos de segunda
ordem. A aproximação da massa específica é mostrada na Eq.(2.5).
(2.5)
Substituindo a Eq.(2.5) na Eq.(2.1), resulta a Eq.(2.6).
(2.6)
Como o objetivo é obter os coeficientes de sustentação, arrasto, momento e pressão, o
valor adotado para a pressão do escoamento livre pode ser arbitrado. Portanto um valor
conveniente para a pressão do escoamento é , pois simplifica a Eq.(2.6). A
equação do campo pressão é mostrada na Eq.(2.7).
(2.7)
Como se mencionou acima, esta equação junto com as equações da quantidade de
movimento incompressíveis formam um sistema de equações que representam os
escoamentos levemente compressíveis. O sistema de equações na forma adimensional é
obtido utilizando-se as seguintes grandezas e números adimensionais Eq.(2.8).
(2.8)
onde é o comprimento característico do corpo, é a velocidade do som, é a
velocidade do escoamento livre e, e são a massa específica e a viscosidade
dinâmica do fluido, respectivamente. O sistema de equações na forma adimensional e
conservativa em duas dimensões é apresentado abaixo.
(2.9)
11
(2.10)
(2.11)
O mesmo sistema de equações na forma vetorial é mostrado na Eq.(2.12). Com a
intenção de simplificar a escrita das equações, o símbolo de asterisco será eliminado
para representar as grandezas adimensionais.
=0 (2.12)
onde é o vetor de variáveis conservadas , são os vetores de fluxo inviscidos e
são os vetores de fluxo viscosos.
{ } {
} {
}
{
}
{
}
(2.13)
Para aplicar o método dos volumes finitos mais à frente, a Eq.(2.12) é transformada na
forma integral. Portanto, define-se o vetor dado pela Eq.(2.14). A Eq.(2.12) pode ser
reescrita da forma da Eq.(2.15).
(2.14)
(2.15)
Integrando a Eq.(2.15) no volume de controle , de acordo com a Eq.(2.16), e aplicando
o teorema de Gauss ao lado direito da Eq.(2.16), resulta a Eq.(2.17).
∫
∫ ( )
(2.16)
∫
∫ ( )
(2.17)
12
Precisa-se de uma formulação que considere a deformação dos volumes finitos,
portanto, utilizamos o teorema de Leibniz que considera na derivada de uma integral a
variação dos limites de integração. Este teorema é aplicado na integral de volume do
vetor de variáveis conservadas, Eq.(2.18).
∫
∫
∫
(2.18)
Os limites de integração são considerados na integral de superfície, onde o vetor
representa a velocidade local da superfície do volume de controle. Substituindo a
Eq.(2.17) na Eq.(2.18), resulta a Eq.(2.19).
∫
∫ ( )
∫
(2.19)
ou
∫
∫ ( )
(2.20)
O vetor de variáveis conservadas médio em cada volume finito é definido conforme Eq.
(2.21).
∫
(2.21)
Substituindo a Eq.(2.21) na Eq.(2.20), obtemos a formulação integral em termos do
vetor médio de variáveis conservadas, como mostra a Eq.(2.22).
∫ ( )
(2.22)
onde
(2.23)
2.2 Método do Volume de Fluido
O método do volume de fluido (VOF) foi desenvolvido por HIRT e NICHOLS (1981)
e é usado para simular a superfície livre. Pode-se dizer que o método VOF define os
fluidos de ar e água como um único fluido eficaz, mas com propriedades diferentes. A
superfície livre é identificada como uma região onde existe uma súbita mudança das
propriedades do fluido eficaz ou através da mudança da variável da fração volumétrica
13
“c” definida em cada elemento da malha. A fração volumétrica representa o volume de
água contido no elemento, por isso, seu valor varia entre zero e um. O valor zero indica
que o elemento contém somente ar e o valor um indica que o elemento contém somente
água. Valores entre zero e um significam que nesse elemento esta contida parte da
superfície livre. Para calcularmos a fração volumétrica ao longo do tempo, uma equação
de transporte é usada, ver Eq.(2.24).
(2.24)
A Eq.(2.24) deve ser resolvida juntamente com as equações governantes do escoamento
do fluido, por isso, a Eq.(2.13) é modificada, conforme mostra a Eq.(2.25).
{
} {
} {
}
{
}
{
}
(2.25)
A massa específica do fluido eficaz na forma adimensional, mostrada na Eq.(2.25), é
definida pela Eq.(2.26).
(2.26)
onde a é a massa específica do ar e w é massa específica da água.
Neste estudo, a superfície livre ao redor de FPSO é considerada plana, portanto, o
amortecimento pelo efeito de irradiação de onda não é considerado. Para ter certeza que
a superfície livre não influencia no amortecimento, o maior ângulo de inclinação do
decaimento em jogo de FPSO simulado numericamente é 12º.
Para definir a superfície livre plana mencionada acima, o domínio físico é definido em
duas regiões fixas (ar e água) usando a variável c definida acima. Somente perto da
interface destas duas regiões a variável c muda de zero a um.
14
2.3 Equações do Movimento
As equações do movimento da seção de FPSO em jogo, deriva e afundamento são
mostradas nas Eq.(2.27) e as condições iniciais são mostradas nas Eq.(2.28). A seção do
FPSO e as forças atuantes são representadas na Fig. 2.1. Logo após a solução numérica
das equações governantes do escoamento, o momento M e as forças Fx e Fy são obtidos
através da integração da pressão e tensão viscosa ao redor da superfície submersa do
corpo, ver Eqs. (2.36) e (2.37).
(2.27)
(2.28)
Na forma adimensional
(
)
(2.29)
onde
(2.30)
(2.31)
15
(2.32)
(2.33)
(2.34)
√ (2.35)
∫
∫
(2.36)
∫
∫
(2.37)
As características do modelo experimental, boca B, comprimento L, velocidade e
outros, são mostrados nas Seções 5.1 e 5.2. Para garantir que o escoamento seja
levemente compressível, o número de Mach M é fixado com o valor de 0,2. O subscrito
s da variável ys, Eqs.(2.36) e (2.37), significa que a variável y está localizada abaixo da
superfície livre.
As equações do movimento são resolvidas usando o método de Lax-Wendroff de
segunda ordem para obter a posição do corpo e o método explícito de Euler para obter
16
as velocidades do corpo, os métodos são mostrados nas Eq.(2.38) e Eq.(2.39),
respectivamente.
(2.38)
(2.39)
Figura 2.1 -Forças atuantes no FPSO
CG
mg
k
r
ds
x
y
θ
Fx
Fy
Mθ
17
Capítulo 3
Formulação Numérica
Para capturar o campo de vorticidade ao redor da bolina de FPSO e reproduzir a
superfície livre, precisa-se de um refinamento da malha adequado nestas regiões. A
geração da malha e sua deformação ao longo do tempo são descritas neste capítulo.
Também, apresenta-se, uma descrição detalhada da implementação numérica do método
de volumes finitos usando o esquema TVD upwind de ROE (1984) e SWEBY (1984).
3.1 Malha Computacional
A malha computacional gerada é baseada no método de Delauney. A geração e
características principais da malha são mostradas no apêndice I. A malha contém
elementos ao redor do domínio físico e no interior do corpo, chamados elementos
imagens. O objetivo deles é simplificar a implementação das condições de contorno, ver
Figs.3.1 e 3.2.
Figura 3.1- Malha computacional ao redor de FPSO
18
x
y
0.49 0.5 0.51
-0.28
-0.275
-0.27
-0.265
A fim de resolver a camada limite com precisão, os elementos ao redor do corpo são
gerados utilizando-se o método de “Advancing-Front” que produz uma distribuição
mais uniforme dos elementos. Esses elementos gerados podem ser observados como
duas linhas de elementos ao redor do corpo, ver Fig.3.2.
3.2 Deformação da Malha Computacional
Neste estudo, o contorno do corpo é parte da malha, ou seja, a malha acompanha o
movimento do corpo, por este motivo, é necessário deformar a malha. Para
conseguirmos esse objetivo, pode-se utilizar uma função que ajude a deformar a malha
suavemente. A função é definida para cada ponto da malha e seu valor varia entre zero e
um. Quando o ponto está localizado mais perto da superfície do corpo, o valor da
função é próximo de um, e quando está mais afastado dele, seu valor é próximo de zero.
O valor da função de um determinado ponto multiplicado pelo deslocamento do centro
de gravidade do corpo, após um instante de tempo t, fornece o deslocamento desse
ponto.
Os elementos próximos do corpo dentro de uma região definida pelo raio r1,ver Fig.3.3,
não são deformados, ou seja, o deslocamento destes pontos dentro desta região e igual
ao deslocamento do centro de gravidade do corpo. Portanto, o valor da função para
Figura 3.2- Detalhe da malha ao redor da bolina
19
esses pontos é igual a um. Fora desta região, a função começa a diminuir. Isto é feito
para garantir que a deformação da malha não influencia o desenvolvimento da camada
limite. A função mencionada acima é mostrada na Eq.(3.1) e na Fig.3.3.
{
(3.1)
r1 r2
1
F
r
CG
r1
r2
Figura 3.3-Função para deformação da malha
20
3.3 Quantidades Geométricas dos Elementos da Malha Computacional
3.3.1 Cálculo do Volume
Para o cálculo do volume , definem-se os vetores e e os nós 1, 2 e 3,
conforme mostra a Fig.3.4. O volume do elemento triangular é dado pela Eq.(3.2).
| | (3.2)
onde
( )
( )
(3.3)
Substituindo as Eq.(3.3) na Eq.(3.2) resulta a Eq.(3.4).
|( ) ( ) ( ) | (3.4)
3.3.2 Cálculo do Vetor Área
Para aplicar o método dos volumes finitos é preciso conhecer o vetor área perpendicular
a cada face dos elementos da malha computacional. A Eq.(3.5) mostra o vetor área e
suas componentes nas direções e do elemento na face . Segundo os nós do
elemento i, ver Fig.I.3 do apêndice I, as componentes do vetor área de cada face são
mostradas na Tabela 3.1.
(3.5)
Figura 3.4-Definição dos vetores e para o cálculo de Volume
2
1 3
21
Tabela 3. 1 Componentes do Vetor Área
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
3.4 Esquema Numérico
A Eq.(3.6) mostra a forma discretizada da Eq.(2.22) para o elemento i da Fig.I.3 do
apêndice I. Para aproximar a integral da Eq.(2.22), considerou-se que as propriedades
do escoamento são constantes nas faces dos elementos da malha computacional.
∫ ( ) ∑[( ) ]
(3.6)
Desta forma, obtivemos o esquema numérico conservativo e explícito mostrado na
Eq.(3.7).
{[( ) ]
[( ) ]
[( ) ]
}
(3.7)
O vetor definido na Eq.(2.14) é reescrito na Eq.(3.8) com o objetivo de separar a parte
inviscida e viscosa.
(3.8)
onde os vetores que contêm a parte inviscida e viscosa são respectivamente
(3.9)
Substituindo a Eq.(3.8) na Eq.(3.7), resulta a Eq.(3.10).
22
∑ [[( ) ]
( )
]
(3.10)
A discretização dos fluxos inviscido e viscoso são tratados nas seções seguintes. O
passo do tempo dimensional é definido pela Eq.(3.11).
(3.11)
onde é o número de Courant Friedrichs Lewy, é a velocidade do som e é a
dimensão mínima na malha. O passo de tempo na forma adimensional é apresentado na
Eq.(3.12).
(3.12)
onde
√ (3.13)
A variável representa o volume do menor elemento de toda a malha, calculado
pela Eq.(3.4).
3.5 Discretização do Fluxo Inviscido
O esquema TVD upwind de ROE (1984) e SWEBY (1984) e o limitador de fluxo de
VAN LEER (1984) foram utilizados para discretização do fluxo inviscido em cada face
dos elementos da malha computacional, veja a Eq.(3.14). Maiores detalhes sobre o
esquema TVD de ROE (1984) e SWEBY (1984) podem ser encontrados no apêndice II.
[( ) ]
[ ]
[ ]
( ) ( )
(3.14)
As variáveis e são as componentes do vetor área , ver Eq.(3.5). O subscrito
representa o elemento vizinho do elemento com respeito a face f, ver apêndice I. As
variáveis e são as componentes da velocidade da face f ,ver Eq.(3.15).
(3.15)
23
onde
representa o ponto médio da face f do elemento i em um instante de
tempo n. A matriz é obtida em cada face dos elementos da malha computacional
pela Eq.(3.16).
(3.16)
A matriz é a matriz diagonal com os seguintes termos
| |
| |
| | (3.17)
E a matriz é definida pela Eq.(3.18).
(3.18)
onde são os autovetores e autovalores da matriz Jacobiana de fluxo na direção
perpendicular à face do elemento , ver Eq.(3.19).
[( ) ]
[
]
(3.19)
As variáveis , e são as propriedades do escoamento na face do elemento
As aproximações destas variáveis e a variável são mostradas na Eq.(3.20). A massa
específica na fase é calculada substituindo-se a variável pela variável na
Eq.(2.26).
( ) ( )
(3.20)
Na Eq.(3.17), é a distância entre os centróides dos elementos e , ver Fig.3.5. No
caso unidimensional, as variáveis representam as velocidades de propagação de cada
equação de onda achadas na transformação das equações governantes do espaço físico
ao espaço de onda, ver apêndice II, Neste caso, o conceito é o mesmo só que agora
representam as velocidades de propagação na direção normal à face do elemento.
24
A variável é o limitador de fluxo que é obtido para cada equação no espaço de onda
em função do parâmetro . O limitador de fluxo de VAN LEER (1979) aplicado neste
estudo é definido na Eq.(3.21).
{
(3.21)
A definição do parâmetro é mostrada na Eq.(3.22).
{
(3.22)
O vetor representa o vetor unitário entre os centróides dos elementos e , ver
Fig.3.5. A variável é a diferença entre as variáveis características dos
elementos e para a k-ésima equação de onda, ela é achada pela Eq.(3.23).
(3.23)
onde os elementos do vetor são .
i
j .
. .
.
.
.
s
t
p
m
Figura 3.5 – Localização dos elementos e .
f
25
Com a definição de e mencionada acima, o cálculo dos vetores e são
mostrados na Eq.(3.24).
(3.24)
Os elementos e são indicados na Fig.3.5.
3.6 Discretização do Fluxo Viscoso
Para manter uma discretização espacial consistente, o fluxo viscoso é discretizado na
face do mesmo jeito que o esquema do fluxo inviscido, ou seja, pela média dos fluxos
computados nos centróides dos elementos e , ver Eq.(3.25).
( )
[ ]
[ ] (3.25)
Segundo a Eq.(2.29), as derivadas das componentes de velocidade e no centróide
do elemento são necessárias para a obtenção do vetor de fluxo viscoso. O cálculo destas
derivadas é feito conforme as Eqs. (3.26).
|
∑
|
∑
|
∑
|
∑
(3.26)
As variáveis e são achadas segundo a Eq.(3.20), Eq.(3.5) e Eq.(3.4).
3.7 Condições Iniciais e de Contorno
3.7.1 Condições Iniciais
Para a simulação do decaimento livre em jogo de FPSO, as condições iniciais para um
mar inicialmente sem ondas e sem correnteza são mostradas abaixo.
(3.27)
26
A condição para a fração volumétrica c é mostrada na Eq.(3.28), esta condição é
mantida ao longo do tempo para garantir uma superfície livre plana.
(3.28)
3.7.2 Condições de Contorno
No domínio físico, Fig.3.1, as condições de contorno são as seguintes:
Condições de contorno na fronteira esquerda e direita do domínio.
(3.29)
Condições de contorno na fronteira superior e inferior do domínio.
(3.30)
Para estabelecer estas condições de contorno na fronteira, são utilizados os elementos
imagens, veja a Fig.3.6. Para impor a primeira condição da Eq.(3.30), por exemplo, é
necessário somente satisfazer a Eq. (3.31).
Figura 3.6 – Elementos ao redor da fronteira
Elemento
Imagem
Elemento do
domínio físico
Fronteira
27
(3.31)
onde o subíndice I representa o elemento imagem e o subíndice D representa o
elemento dentro do domínio físico localizado em frente ao elemento imagem
mencionado, ver Fig.3.6. Da mesma maneira, são definidas as demais condições
mencionadas acima.
As condições de não escorregamento são aplicadas no contorno do corpo, ver Eq.(3.32).
(3.32)
onde e são as velocidades no contorno do corpo, que são calculadas pela
Eq.(3.15).
Lembrando que as velocidades nas faces dos elementos são calculadas pela Eq.(3.20),
as condições de contorno no corpo são mostradas na Eq.(3.33).
(3.33)
A terceira e quarta condição de contorno sobre a superfície do corpo são mostradas na
Eq.(3.34).
(3.34)
28
Capítulo 4
Resultados Numéricos do Escoamento ao
redor de um Cilindro
A metodologia implementada foi primeiramente validada para o escoamento ao redor de
um cilindro fixo. Durante o processo de validação, simplificações das equações e
condições foram necessárias, conforme é mostrado no apêndice III.
Os resultados obtidos neste estudo inicial são comparados com os dados experimentais
e numéricos de outros autores.
4.1 Malha computacional
A malha computacional utilizada para discretizar o domínio físico do escoamento ao
redor do cilindro é mostrada na Fig.4.2. O método utilizado para a geração da malha é o
mesmo que foi explicitado anteriormente.
x
y
0.3 0.4 0.5 0.6
0.2
0.3
0.4
Figura 4.1 Detalhe da Malha perto ao Cilindro
29
Existem mais linhas de elementos ao redor do cilindro gerados através do método de
“Advancing-Front” do que aqueles gerados ao redor do FPSO, veja Fig.4.1 e Fig.3.2.
Isso se deve ao fato do cilindro ter uma geometria mais simples do que FPSO, ou seja,
uma superfície sem cantos.
4.2 Coeficientes de Arrasto e Sustentação do Cilindro
Os escoamentos para os números de Reynolds 40, 100 e 200 são obtidos para a análise
comparativa. As curvas de coeficientes de arrasto e sustentação do cilindro ao longo do
tempo são mostradas na Fig.4.3, e seus valores são comparados na tabela 4.1 e 4.2.
x
y
-60 -40 -20 0 20 40 60
-40
-20
0
20
40
Figura 4.2 Malha Computacional ao redor do cilindro
30
Figura 4.3-Série temporal dos coeficientes de arrasto e sustentação
31
Tabela 4.1- Comparação dos coeficientes de arrasto e sustentação
Referência Re CD CL Observação
Noberg, 2003 100 - 0.32 Experimental
200 - 0.53
Herfjord, 1995 100 1.36 0.34 FEM
200 1.35 0.70
Rengel &Shapier, 1999 100 1.36 0.32 FVM
200 1.35 0.67 (180x160)
Wanderley et al, 2008 100 1.30 0.25 FDM
200 1.27 0.51 (200X100)
Presente Estudo 100 1.31 0.25 FVM
200 1.29 0.58 75010 elementos
4.3 Resultados obtidos para Número de Reynolds 40
Para o escoamento de Re = 40 são mostrados os seguintes resultados: a distribuição de
pressão ao redor do cilindro, ver Fig. 4.4; as dimensões características dos vórtices
detrás do cilindro, ver tabela 4.1 e Fig. 4.5; e a curva da distribuição da pressão na
superfície no cilindro, ver Fig.4.6. Podemos observar uma boa concordância entre os
resultados numéricos obtidos no presente trabalho e os outros resultados numéricos e
experimentais obtidos da literatura.
Figura 4.4-Distribuçaõ de pressão ao redor do cilindro e linhas de corrente para Re=40.
32
Referência Cd L/D a/D b/D θs Observação
Tritton(1959) 1.57 - - - - Experimental
Constanceau e Bouard(1977) - 2.13 0.76 0.59 53.5 Experimental
Rengel and Shapier(1999) 1.61 2.23 0.72 0.58 54.06 FVM
Wanderley et al. (2008) 1.56 2.23 0.72 0.58 53.8 FDM
Presente estudo 1.55 2.13 0.67 0.58 52.3 FVM
Tabela 4.2-Dimensões características dos vórtices detrás do cilindro
Figura 4.6-Distribuição de pressão na superfície do cilindro para RD=40
Figura 4.5- Dimensões características dos vórtices detrás do cilindro
33
Varias malhas computacionais com diferentes refinamentos foram testadas para
verificar a influência da malha computacional sobre os resultados numéricos, veja a
tabela 4.4. A evolução do estudo do escoamento ao redor do cilindro é mostrada na
tabela 4.3.
Tabela 4.3- Evolução do estudo do escoamento ao redor do cilindro
Tentativa Aproximação das Malha Resultados
propriedades na fase Re CD CL
40 1.53 -
1 média* 1 100 1.20 0.16
200 1.15 0.39
40 1.54 -
2 média* 2 100 1.20 0.16
200 1.16 0.38
40 1.76 -
3 média* 3 100 1.35 0.20
200 1.26 0.44
40 1.55 -
4 interpolação** 3 100 1.31 0.25
200 1.29 0.58
* ver Eq.(3.20).
** ver Eq.(III.10) no apêndice III.
Tabela 4.4- Malhas testadas para o escoamento ao redor do cilindro
Malha Método Quantidade elementos
1 Delauney 32585
2 Delauney 74052
3 Delauney e Advancing -Front 75010
34
Capítulo 5
Resultados Numéricos para o
Decaimento em Jogo de FPSO
Os resultados numéricos apresentados neste capítulo tentam reproduzir os dados do
decaimento em jogo de FPSO obtidos experimentalmente por PINHEIRO (2003) e
OLIVEIRA (2011). Alem disso, os resultados numéricos mostram a evolução e o
comportamento dos vórtices gerados ao redor das bolinas.
Os ensaios experimentais realizados por PINHEIRO (2003) e OLIVEIRA (2011) foram
realizados utilizando uma seção média de FPSO construída em escala 1/75.
Características mais detalhadas de cada modelo são mostradas nas seguintes seções.
5.1 Caso I: Simulação Numérica do Ensaio Experimental de Pinheiro (2003).
Na tabela 5.1, são apresentados os dados do modelo e as condições do ensaio
experimental realizado por PINHEIRO (2003). Estes dados são utilizados para obtermos
os parâmetros adimensionais das equações mencionadas no capítulo 2. Outro parâmetro
usado na adimensionalização das equações é a velocidade de referência uref. Seu valor
tem influencia no período de oscilação do FPSO. O valor desta velocidade é
aproximadamente o dobro da relação entre a boca e o período natural de oscilação em
jogo do modelo. O valor da velocidade de referência nesta simulação numérica é de 0,8.
As curvas de decaimento em jogo obtidas no presente estudo e em PINHEIRO (2003)
são plotadas na Fig.5.1. Cabe ressaltar a boa concordância em amplitude e fase do
resultado numérico e experimental no primeiro período de oscilação, onde existe uma
maior descontinuidade da pressão ao redor da bolina, ver Fig.5.2. Posteriormente, o
resultado numérico sofre uma queda da amplitude e uma pequena defasagem em relação
aos dados experimentais. Mas, essas características são recuperadas no final do último
período de oscilação. Uma razão que justifica a diferença entre os resultados numérico e
experimental é o fato de não ter sido levado em conta o bojo do modelo na simulação
numérica, ver Fig. 3.2. Este ponto será discutido em maior detalhe na seção seguinte.
35
Características do Modelo Magnitude
Boca (B) 0.730m
Calado (T) 0.187m
Comprimento (L) 0.93m
Centro de gravidade (KG) 0.196m
Raio de giração (Rxx) 0.285m
Massa por comprimento (m/L) 136.51Kg/m
Momento de Inércia de massa por comprimento (I/L) 11.09Kg m
Período natural de Oscilação em jogo (Tn) 2.04s
Comprimento da bolina (b) 0.012m
Ângulo inicial do ensaio (θ0) 10º
Tabela 5.1-Dados do ensaio Experimental de Pinheiro
Figura 5.1-Curva de decaimento em jogo
36
Segundo os resultados obtidos nesta seção, pode-se definir de forma geral o
comportamento dos vórtices gerados ao redor da bolina. Na primeira oscilação do
FPSO, um par de vórtices é gerado em cada bolina, eles representam os vórtices de
maior intensidade, ver Fig.5.3 (a) e (b). Na segunda oscilação, o terceiro vórtice gerado
em cada bolina interage destrutivamente com o vórtice anterior, ver Fig.5.3 (c) e (d).
Logo o terceiro vórtice é expulso para o fundo do casco, no caso da bolina direita ver
Fig. 5.3 (e). Posteriormente, os vórtices gerados nas bolinas têm uma dinâmica mais
ordenada com uma interação fraca e similar à trilha de vórtices de Kármán na esteira de
um cilindro circular. No caso da bolina, os vórtices são emitidos num ângulo de 45° em
relação à posição média da bolina, ver Fig.5.3(f). O Comportamento dos vórtices
descrito neste primeiro resultado confirma o que foi observado experimentalmente por
OLIVEIRA (2011). Maiores detalhes da dinâmica dos vórtices ao redor da bolina do
FPSO podem ser encontrados no Apêndice II.
Uma contribuição a mais deste primeiro resultado é o mecanismo de geração dos
vórtices com maior detalhe. Na Fig. 5.4 observam-se os vórtices gerados numa bolina
ao inicio das oscilações.
Figura 5.2-Campo de Pressão ao redor da bolina
37
Figura 5.3-Comportamento dos vórtices gerados ao redor da bolina
(b)
(d)
(e)
(a)
(f)
(c)
38
O primeiro vórtice da bolina, ver Fig. 5.4(a), foi gerado pela coalescência da emissão
contínua da vorticidade positiva da camada limite no fundo do casco ao longo da
primeira meia oscilação. No instante que o casco começa subir, este primeiro vórtice é
expulso e afastado do casco para logo começar a geração do segundo vórtice, ver
Fig.5.4 (b). Sob o mesmo mecanismo de geração, o segundo vórtice é gerado, mas pela
contribuição da vorticidade negativa gerada na camada limite da lateral direita do casco,
ver Fig. 5.4 (c). Quando o casco começa descer de novo, o segundo vórtice é expulso,
começando logo a geração do terceiro vórtice, ver Fig. 5.4(d). Cabe ressaltar que os dois
primeiros vórtices gerados são expulsos para o fundo do casco. A geração dos vórtices
descrita acima é contemplada ao longo do tempo, mas, com uma diminuição da
magnitude dos vórtices.
Figura 5.4- Mecanismo da geração dos vórtices com bolina
(a) (b)
(c) (d)
39
Uma última observação sobre os resultados obtidos é a presença de vorticidade abaixo
do casco do casco até o final do decaimento, gerada pelos vórtices que foram expulsos
para o fundo do casco, a intensidade dessa vorticidade diminui ao longo do tempo. Na
Fig. 5.3 (f) pode-se observar essa vorticidade de cor vermelha e azul, mas com
intensidade muita fraca.
5.2 Caso II: Simulação Numérica do Ensaio Experimental de Oliveira (2011)
As características do modelo e as condições do ensaio experimental de OLIVEIRA
(2011) são apresentadas na Tabela 5.2. Os comprimentos das bolinas ensaiadas são
mostrados na tabela 5.3. Um ensaio experimental considerando somente o bojo também
foi realizado. Cabe mencionar que as denominações usadas para cada bolina mostra o
comprimento correspondente no protótipo, por exemplo, a bolina b180 tem um
comprimento no protótipo de 1.80m, que corresponde a um comprimento de bolina do
modelo de 0.024m, numa escala de 1/75.
Características do Modelo Magnitude
Boca (B) 0.725 m
Calado (T) 0.196m
Comprimento(L) 0.90m
Centro de gravidade (KG) 0.175m
Raio de giração (Rxx) 0.264m
Massa por comprimento (m/L) 169.76 Kg/m
Momento de Inércia de massa por comprimento (ICG /L) 13.269 Kg m
Período natural de Oscilação em jogo (Tn) 1.74 s
Ângulo inicial do ensaio (θ0) 12º
Raio de bojo 0.030 m
Tabela 5.2-Dados do ensaio Experimental de Oliveira
40
Bolina Magnitude
(m)
b075 0.010
b120 0.016
b180 0.024
Para reproduzir numericamente os ensaios experimentais de OLIVEIRA (2011), a
velocidade de referência uref toma o valor de 0,64. Na simulação numérica foram
reproduzidos os ensaios realizados por OLIVEIRA (2011) sem bolina e com bolina.
Além disso, seguindo a mesma linha dos ensaios, foram realizados dois ensaios
numéricos adicionais de decaimento com bolina para aprofundarmos o estudo da
influência do comprimento da bolina no amortecimento. As dimensões das bolinas dos
dois ensaios adicionais são mostradas na tabela 5.4.
Bolina Magnitude
(m)
b160 0.0213
b225 0.030
Antes de mostrar os resultados obtidos para as diferentes bolinas, discutimos os
resultados numéricos sem bolina. Neste caso, foram obtidas duas curvas de decaimento
em jogo. A primeira curva foi obtida levando-se em consideração a geometria exata do
modelo, ou seja, considerando-se o bojo do modelo. Infelizmente, não foi possível
reproduzir toda a curva experimental, por motivos de instabilidade do código numérico.
Uma possível explicação para a instabilidade numérica são as amplitudes do movimento
que são maiores neste caso, pois são pouco amortecidas e duram mais ao longo do
tempo, produzindo perturbações maiores no fluido e afetando fortemente as condições
do escoamento na fronteira do domínio físico. Isto significa que o tamanho do domínio
físico usado para a simulação não é suficientemente grande para que as perturbações
não atinjam a fronteira do domínio físico. Por falta de um maior tempo ao final do
Tabela 5.4-Comprimento das bolinas
Tabela 5.3-Comprimento das bolinas
41
estudo não se pôde resolver o problema. Apesar disso, o resultado numérico obtido
mostra uma tendência aceitável em relação ao resultado experimental, ver Fig.5.5 (a).
Na segunda curva, não se considerou o bojo do modelo na simulação numérica, que foi
substituído por um canto vivo, ver Fig.5.5 (b). Neste caso, foi possível reproduzir toda a
curva experimental. Portanto, pode-se observar claramente que só pelo fato de ter um
canto vivo em vez do bojo, o amortecimento é muito maior.
(b)
Figura 5.5- Curvas de decaimento em jogo sem bolina: (a) simulação
numérica com bojo, (b) simulação numérica com canto vivo.
(a)
42
A Fig.5.6 mostra os primeiros vórtices gerados no início do decaimento em jogo com
canto vivo, o instante de tempo de cada figura é a mesma mostrada na Fig.5.4. Dá para
perceber que o mecanismo de geração dos vórtices com canto vivo é o mesmo com
bolina.
A pesar de que o mecanismo de geração dos vórtices com bolina é com canto vivo são
iguais, o comportamento dos vórtices gerados ao final do decaimento são diferentes. Na
Fig. 5.7, para o caso com canto vivo, pode-se observar que os vórtices não são expulsos
nem afastados na direção de 45º como aconteceu com a bolina ao final do decaimento,
(a) (b)
(c) (d)
Figura 5.6- Mecanismo da geração dos vórtices com canto vivo
43
ver Fig. 5.3 (f). No caso com canto vivo, os vórtices são expulsos e afastados para a
lateral e para o fundo do casco, mas sempre perto do canto vivo.
O mecanismo de geração dos vórtices no caso com bojo é mostrado na Fig.5.8, os
instantes de tempo analisados são os mesmos que se mostram na Fig. 5.4. Analisando
cuidadosamente, pode-se observar que o primeiro vórtice gerado, mostrado na Fig.5.8
(a), é formado pela contribuição da vorticidade positiva da camada limite da lateral
direita do casco e não do fundo do casco, como acontece para o casco com bolina. A
mesma lógica acontece com o segundo vórtice emitido, ou seja, o segundo vórtice é
gerado pela vorticidade negativa da camada limite do fundo do casco e não da lateral
direita do casco. Outra diferença interessante entre os dois casos é o fato de que a
geração do vórtice, para o casco com bojo, acontece somente quando o movimento de
balanço no sentido horário pára e inicia-se o movimento no sentido anti-horário, ver
Fig.5.8(a) e (b). Para o casco com bolina, a geração do vórtice ocorre durante todo o
movimento de balanço no sentido horário e pára quando o balanço muda para o sentido
anti-horário, ver Fig.5.4 (a) e (b). Por este motivo, o vórtice gerado pela bolina é maior
do que com bojo.
Figura 5.7-Comportamento dos vórtices gerados ao redor do canto vivo
44
Os resultados numéricos da curva do decaimento em jogo obtidos para o FPSO com
bolina são mostrados na Fig.5.9. Estes resultados foram obtidos sem considerar o bojo
na simulação numérica, pois o gerador de malha usado não conseguiu reproduzir a
geometria considerando o bojo e a bolina. Um trabalho futuro será resolver este
problema.
Figura 5.8- Mecanismo da geração dos vórtices com bojo
(a) (b)
(c) (d)
45
Figura 5.9- Curvas de decaimento em jogo
(b)
(d) (e)
(c)
(a)
46
Tendo em vista o acima exposto, os resultados numéricos obtidos com bolina possuem
um efeito amortecedor adicional pelo fato de ter o canto vivo, ou seja, o canto vivo faz
com que a bolina fique mais afastada do centro de rotação do corpo oferecendo uma
maior oposição ao movimento. Esse comportamento é observado fortemente no
resultado obtido para a bolina b075, ver Fig.5.9(a). No caso dos resultados das bolinas
b120 e b180, ver Fig.5.9 (b) e (c), existe uma diferença na evolução do período e uma
boa concordância de amplitude entre os resultados experimentais e numéricos. Uma
possível explicação para a melhor concordância entre as amplitudes de decaimento
obtidas numericamente e experimentalmente para as bolinas b120 e b180 é que o
acréscimo da distância das bolinas ao centro de rotação causado pelo canto vivo não
influencia tanto como acontece para a bolina b075. Para entendermos melhor o descrito
acima, o canto vivo produz um afastamento da bolina b075 de 124.24% em relação ao
seu tamanho e um afastamento das bolinas b120 e b180 de 77.67% e 51.78%,
respectivamente. Em relação à diferença da evolução do período, característica que é
muito visível nas bolinas de maior comprimento, pode ser justificada pelo fato das
bolinas maiores produzirem na prática ondas de gravidade estacionárias na superfície
livre que podem alterar a massa adicional. O modelo numérico apresentado no presente
trabalho não considera a formação de ondas, pois a superfície livre é plana. A diferença
de massa adicional entre os resultados experimentais e numéricos para as bolinas mais
longas pode causar a diferença de período observada entre os dois resultados.
Em relação à Fig. 5.9(c), o ensaio numérico não pôde reproduzir o comportamento da
perda de amplitude súbita obtida no ensaio experimental. O motivo principal foram as
ondas irradiadas na superfície livre observadas nos ensaios experimentais para a bolina
mais longa e não consideradas no modelo numérico.
O comportamento do campo de pressão ao redor da bolina é mostrado no apêndice V.
Para melhor percepção da evolução do comportamento do campo de pressão, analisa-se
o campo de pressão considerando somente o bojo, o canto vivo e as bolinas b075 e
b225. O campo de pressão é somente analisado para os três extremos na primeira
oscilação. Observa-se que a variação da pressão acontece só no fundo do casco e ao
redor da bolina. No campo de pressão para o primeiro extremo, ver Fig.V.1-4, houve
um incremento da região de pressão desde o caso sem bolina até o caso com a bolina
maior. No entanto, o incremento não foi muito diferenciado. O que vale a pena ressaltar
é a variação da localização da região de maior pressão. Esta região, que no inicio foi
47
mais focalizada no fundo do casco, caso com bojo, desloca-se para o extremo da bolina.
Isso significa que o braço de ação da força que se opõem ao movimento aumentou,
oferecendo assim uma maior oposição ao movimento. Esse comportamento se repete no
campo de pressão dos outros extremos, ver Fig.V.5-8 e Fig.V.9-12. O campo de pressão
no segundo extremo para os casos de canto vivo e as bolinas, ver Fig.V.6-8, pode-se
observar um ponto de baixa pressão. Este representa o centro do vórtice que está sendo
gerado nesse momento. Para o caso com bojo, não existe esse ponto de baixa pressão
porque o mecanismo de geração do vórtice é diferente, ver Fig.V.5. O campo de pressão
para o terceiro extremo, caso com bojo, ver Fig.V.9, oferece uma maior região de
pressão no fundo do casco em relação aos outros casos, ver Fig.V.10-12. Isso se deve
pela presença de vórtices gerados pelo canto vivo e pelas bolinas nessa região, ou seja,
os vórtices mudam o campo de pressão no fundo do casco.
Para percebermos a variação da magnitude dos vórtices gerados em relação ao
comprimento da bolina, a Fig.5.10 mostra os vórtices gerados para as bolinas b075,
b160 e b225. A figura mostra o primeiro vórtice gerado numa das bolinas no momento
exato em que ele é expulso. Pode ser visualizado que existe um incremento proporcional
da magnitude do vórtice com o comprimento da bolina. Deve-se lembrar que o vórtice é
gerado durante cada meia oscilação, isto significa que a magnitude do vórtice depende
também da amplitude com que inicia-se cada meia oscilação.
48
A análise do amortecimento do decaimento em jogo, ver Fig.5.11, foi baseada usando o
coeficiente de amortecimento (zeta) de origem linear mostrado na Eq.5.1.
√ (5.1)
Fig. 5.10- Magnitude do primeiro vórtice gerado e expulso para as
bolinas: (a) b075, (b) b160 e (c) b225.
(a) (b)
(c)
49
onde representa o decremento logarítmico entre duas oscilações sucessivas.
Fig. 5.11- Curvas de amortecimento para o ensaio de decaimento em jogo.
(d)
(b) (a)
(c)
(e)
50
Observa-se que os ensaios reproduzidos numericamente apresentam um maior
amortecimento em amplitudes maiores em relação ao experimental. Para amplitudes
menores, os resultados numéricos e experimentais mantêm uma faixa de amortecimento
similar. No entanto, o amortecimento experimental nesta região apresenta maior
variação com o aumento do comprimento da bolina. Cabe ressaltar que os resultados
numéricos apresentam uma variação do amortecimento mais suave, apesar do
coeficiente de amortecimento ser sensível e dependente do decremento logarítmico da
amplitude.
Fig. 5.12- Evolução do amortecimento no agrupamento de ensaios; (a) resultado numérico,
(b) ampliação do resultado numérico Fig.5.12(a) retângulo inferior, (c) resultado
experimental de OLIVEIRA (2011).
(a) (b)
(c)
51
Para uma análise da evolução do amortecimento segundo a bolina, a Fig. 5.12 mostra as
curvas de amortecimento numérico e experimental. Observa-se que o comportamento
das curvas de amortecimento numérico e experimental é igual, contudo, as curvas
experimentais ficam mais afastadas entre si. O resultado numérico para amplitudes
menores mostra que as curvas do amortecimento convergem para uma região definida.
Experimentalmente não se pode confirmar a veracidade desse comportamento, pois
segundo palavras textuais em OLIVEIRA (2011): “é impossível medir o coeficiente
linear do amortecimento com precisão para pequenos ângulos”. Vale ressaltar
novamente que a variação do amortecimento é mais suave no caso numérico, ver Fig.
5.12 (b). Além disso, o comportamento das curvas do amortecimento segundo o
comprimento da bolina é mantido quase até o final do decaimento, exceto para o caso da
bolina b180, ver Fig. 5.12 (b). O retângulo superior do resultado numérico, ver Fig.5.12
(a), confirma segundo OLIVEIRA (2011) a ocorrência da saturação do amortecimento
causada pela iteração destrutiva entre os vórtices iniciais. Todas as curvas de
amortecimento dos resultados numéricos apresentam uma mudança abrupta do
amortecimento antes de chegar à região de convergência discutida acima, ver Fig.12 (a)
e (b). O ponto onde acontece essa mudança abrupta do amortecimento observada na
curva do ensaio de decaimento em jogo indica onde a amplitude começa a diminuir
quase linearmente. Por isso, o amortecimento tem também um comportamento mais
linear após esse ponto, ver Fig.12 (b).
52
Capítulo 6
Conclusões e Trabalhos Futuros
6.1 Geral
O código numérico desenvolvido neste trabalho baseado no método dos volumes finitos
usando o esquema TVD upwind de ROE(1984) e SWEBY(1984) foi implemetado para
a simulação do escoamento ao redor de uma seção de FPSO com bolina. O código
computacional foi validado para o escoamento ao redor de um cilindro e de uma seção
de FPSO com bolina. Os resultados obtidos têm boa concordância qualitativa e
quantitativa em relação a outros ensaios numéricos e experimentais, validando o código
numérico para o estudo do decaimento livre em jogo de um FPSO com bolina em duas
dimensões.
6.2 Conclusões
Resultados numéricos de interesse prático foram obtidos para o FPSO mostrando a
influência do comprimento da bolina no coeficiente de amortecimento. A seguir serão
apresentadas as conclusões mais relevantes deste trabalho.
O fato de ter um canto vivo em vez de um bojo no fundo do casco produz um
amortecimento considerável no movimento de balanço transversal.
O mecanismo de geração dos vórtices, para o caso com bojo e bolina são
totalmente diferentes. A bolina produz uma de emissão contínua de um
filamento de vorticidade ao longo de cada meia oscilação. Essa emissão de
vorticidade coalesce gerando o vórtice. No caso com bojo, a emissão da
vorticidade e a geração do vórtice acontecem somente no fim de cada meia
oscilação. Por este motivo, os vórtices gerados através da bolina são muito
maiores em relação ao casco com bojo.
A simulação numérica de FPSO confirma a existência da trilha de vórtices
Fernandes &Oliveira, ou seja, a emissão ordenada de vórtices na direção de 45°
da posição média da bolina, semelhante aos vórtices de Kármán na esteira do
escoamento ao redor do cilindro.
53
O comprimento da bolina não só influencia o amortecimento, mas também a
massa adicional.
A bolina produz um deslocamento e um incremento da distribuição do campo de
pressão no fundo do casco em relação ao casco com bojo. Um comprimento
maior da bolina faz com que a região de alta pressão seja focalizada entre o
fundo do casco e o comprimento da bolina, produzindo um incremento no braço
de ação da força que se opõem ao movimento, oferecendo uma maior oposição
ao movimento.
A magnitude dos vórtices é dependente do comprimento da bolina e da
amplitude com que inicia-se cada meia oscilação.
Os resultados numéricos confirmam o aumento do amortecimento com o
comprimento da bolina, e a ocorrência da saturação do amortecimento causada
pela iteração destrutiva entre os vórtices iniciais descrita por OLIVEIRA (2011).
Mostra-se que a variação do amortecimento é mais suave para os resultados
numéricos. Para amplitudes menores, as curvas do amortecimento convergem
para uma região definida.
6.3 Trabalhos Futuros
Utilizando o código computacional desenvolvido para o estudo do decaimento em jogo
de FPSO, os seguintes trabalhos futuros são possíveis.
Refazer o estudo feito neste trabalho, mas considerando na geometria do FPSO o
bojo e observar sua influência no amortecimento.
Implementar no código numérico uma superfície livre deformável para realizar o
estudo do comportamento do balanço do navio para ângulos maiores.
Realizar um estudo de novas alternativas de bolina e sua influência no
amortecimento.
Implementar um gerador de onda numérico para o estudo do comportamento do
FPSO em ondas.
Desenvolver um código numérico em 3D baseado nas ferramentas
computacionais utilizadas no presente estudo.
54
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58
APÉNDICE I
GERAÇÃO DA MALHA
A malha utilizada no presente estudo foi desenvolvida por RAMIRO (2006) e
MILIANTE (2006). A discretização do espaço físico é feita pelo método de
triangularização de Delaunay. Em duas dimensões, três pontos definem uma
circunferência, portanto o elemento triangular é válido se não houver outro ponto dentro
da circunferência definida pelos vértices do elemento triangular. A Fig.I.1 mostra a
geração incorreta e correta de um elemento triangular.
Os pontos da malha são gerados aleatoriamente e quando esses pontos são aceitos, eles
recebem um número de identificação, conforme mostra a Fig.I.2.
Da mesma forma, a medida que os elementos vão sendo gerados, eles também recebem
um número de identificação, que é mostrado na Fig.I.2 entre colchetes. Para que uma
malha não estruturada possa ser utilizada para a solução de um escoamento, é necessário
o armazenamento de informações de conectividade dos pontos que formam cada
elemento da malha computacional e os elementos vizinhos a ele.
Figura I.1-Geração de um elemento triangular (a) Incorreta. (b) Correta.
1
2
3
1
2
3
4
(a) (b)
4
59
As coordenadas e de cada ponto da malha são armazenadas em duas variáveis
indexadas e , onde é o índice identificador dos pontos da malha
computacional. Os pontos que são os nós que formam um determinado elemento são
armazenados em três variáveis indexadas e , onde é o índice
identificador de cada elemento. As variáveis indexadas são sempre localizadas ao redor
do elemento no sentido anti-horário, ver Fig.I.3. Os elementos vizinhos do elemento
com respeito a cada face são armazenadas em três variáveis indexadas
e . Eles são enumerados segundo os vértices do elemento
triangular oposto a eles, portanto, eles também mantêm um sentido anti-horário,
conforme mostra a Fig. I.3 Para simplificar a escrita no capítulo 3, o elemento vizinho
da face do elemento é representado pela letra
[2]
[5]
[9]
[12]
[8]
[11]
[16]
[25]
[19] [21]
[3]
[30]
[13]
}]
[7]
}]
[8]
}]
[4]
}]
[35]
}]
3 6
10
17
7
1
22
Figura I.2-Malha não Estruturada
2
3
1
60
Para melhor entendimento sobre a tabela de conectividade, a Eq. (I.1) mostra a
informação que deve ser armazenada para o elemento da Fig.I.2, assumindo que
as variáveis são enumeradas segundo a numeração dos círculos.
(I.1)
O refinamento da malha ao redor do corpo se consegue através de um parâmetro que
controla a distância mínima de um ponto qualquer da malha ao corpo. Desta forma, a
quantidade de pontos na malha aumenta da fronteira externa do domínio físico ao corpo.
Apôs o refinamento, os pontos sofrem uma suavização em suas posições para melhorar
os aspecto dos triângulos.
Figura I.3-Esquema de Conectividade de uma Malha não Estruturada
i
fp3(i)
fp1(i)
fp2(i)
nei1(i)
nei3(i)
nei2(i)
x
y
61
APÉNDICE II
ESQUEMA TVD UPWIND DE ROE-SWEBY
Em métodos numéricos, ao redor da vizinhança de gradientes altos, os esquemas
lineares de precisão alta produzem resultados com oscilações espúrias, mas usando
métodos monotônicos as oscilações espúrias não são geradas. Contudo, os métodos
monotônicos são no máximo de primeira ordem de precisão. Para resolver este impasse
a solução é construir métodos não-lineares. Esquemas baseados na redução de variação
total (TVD) formam parte desta classe de métodos.
Para construir esquemas TVD de alta precisão, usa-se um limitador de fluxo . A
função deste parâmetro é limitar o efeito dos gradientes altos na vizinhança de choques
e descontinuidades da solução, ou seja, em regiões suaves o limitador de fluxo constrói
um esquema de precisão maior ou igual à segunda ordem e em regiões descontinuas um
esquema de primeira ordem monotônico, detalhe maiores podem ser encontrados em
TORO (1999).
II.1 Aplicação do Esquema TVD upwind em equação escalar
Um resumo da metodologia para a solução numérica de uma onda quadrada usando o
esquema TVD upwind é apresentado nesta seção. Mostra-se na Eq.(II.1) a equação de
convecção linear .
(II.1)
onde é a quantidade escalar que se propaga com velocidade .
Para resolver a Eq.(II.1) ao longo do tempo utiliza-se o esquema conservativo explícito
mostrado na Eq.(II.2).
[ ] (II.2)
62
O fluxo TVD de alta ordem é definido na Eq.(II.3), este é definido em termos de um
fluxo de alta ordem , um fluxo de baixa ordem
, ver Eq.II.4, e o limitador
de fluxo discutido acima, ver Eq.(II.5). Neste caso, o limitador de fluxo utilizado é o
Ultrabee, que é função do parâmetro , ver Eq.(II.6).
[
] (II.3)
| |
| |
(II.4)
{
| |
| |
| |
| |
| |
| |
(II.5)
onde
(II.6)
{
(II.7)
O resultado numérico para certo tempo t é mostrado na Fig.(II.1).
63
Figura II.1–
Resultado numérico da solução da equação de convecção linear para uma onda
quadrada usando o Esquema de TVD upwind Roe &Sweby e o limitador de
fluxo Ultrabee, extraído de COMPUTATIONAL FLUID ( 2009).
II.2 Aplicação do Esquema TVD Upwind de Roe-Sweby no sistema de equações de
conservação
O esquema de Roe-Sweby aplicado a sistemas de equações de conservação é na
realidade o esquema TVD upwind que utiliza o método upwind de primeira ordem de
Godunov e o método de Lax-Wendroff de segunda ordem. No caso de sistemas de
equações de conservação, devemos transformar as equações do espaço físico ao espaço
de onda e aplicar o esquema de Roe-Sweby, onde os autovalores da matriz Jacobiana de
fluxo do sistema original são as velocidades de propagação das ondas. Desenvolvido o
esquema de Roe-Sweby no espaço de onda, transforma-se ao espaço físico. Para
entendermos melhor, o método é explicitado considerando as equações de Euler
compressíveis unidimensionais mostradas abaixo.
(II.8)
onde
64
{
} {
} (II.9)
Aplica-se o esquema conservativo Eq.(II.2) à Eq.(II.8).
[
] (II.10)
Para achar o vetor de fluxo-TVD , a Eq.(II.8) deve ser transformada ao espaço de
onda. Para isso, a Eq.(II.8) é reescrita na forma da Eq.(II.11).
(II.11)
onde A é a matriz jacobiana de fluxo definida pela Eq.(II.12), e representam os
seus autovetores e autovalores, respectivamente. Na matriz, a variável é a razão dos
calores específicos, é a velocidade do som e a velocidade do escoamento.
[
]
(II.12)
Define-se a matriz T cujas colunas são os autovetores associados à matriz Jacobiana de
fluxo A. Pre-multiplicando o sistema de equações diferencias Eq.(II.11) por T-1
,
obtemos o sistema desacoplado no espaço de ondas mostrado abaixo.
(II.13)
ou seja
(II.14)
onde
(II.15)
ou ainda
65
(II.16)
Agora temos três equações escalares de conservação desacopladas iguais àquela que foi
estudada na seção II.1, veja Eq.(II.1). Aplica-se o esquema conservativo, ver Eq.(II.2), a
cada equação k do sistema desacoplado.
[
] (II.17)
onde
(II.18)
O fluxo TVD é mostrado abaixo.
[
] (II.19)
onde
| |
| |
(II.20)
Substituindo a Eq.(II.20) na Eq.(II.19) obtemos
[| | (
| |
| |)]
(II.21)
Substituindo a Eq.(II.18) na Eq.(II.21), podemos reescrever a Eq.(II.21) na forma
matricial, ver Eq.(II.22).
(II.22)
onde a matriz é uma matriz diagonal com os seguintes elementos:
| | (
| |
| |) (II.23)
Pre-multiplicando a equação matricial Eq.(II.22) pela matriz T, resulta o seguinte:
66
(II.24)
ou seja
(II.25)
O vetor de fluxo das equações de Euler é uma função homogênea de grau um do vetor
de variáveis conservadas, portanto, podemos obter o vetor de fluxo-TVD como
(II.26)
onde
(II.27)
A matriz mostrada na Eq.(II.26) é calculada na face i+1/2, portanto, a matriz T é
obtida na face i+1/2 assim como os elementos da matriz , ver Eq.(II.23). Por isso, a
matriz jacobiana de Fluxo A, ver Eq.(II.12), na face i+1/2, é avaliada pela média
aritmética dos valores das propriedades dos elementos i e i+1.
O limitador de fluxo usado neste caso é o limitador de Vanleer, veja Eq.(II.28), e
deve ser obtido para cada equação k no espaço de onda em função do parâmetro r, ver
Eq.(II.29).
{
(II.28)
{
(II.29)
Para acharmos as diferenças escalares das variáveis entre os elementos i+1 e i para
cada k-ésima equação de onda na Eq.(II.29),aplica-se a Eq.(II.30).
(II.30)
Calcula-se da mesma forma as demais diferenças das variáveis da Eq.(II.29).
67
APÊNDICE III
MODIFICAÇÕES DA METODOLOGIA
USADA PARA O ESCOAMENTO AO REDOR
DO CILINDRO
III.1 Equações levemente compressíveis
No caso do escoamento ao redor do cilindro, não consideramos a superfície livre. Para
este caso, os vetores de fluxo inviscido são definidos pela Eq.(III.1).
{
} {
} (III.1)
O vetor de variáveis conservadas e os vetores de fluxo viscosos, e são
definidos pela Eq.(2.13).
A posição do cilindro dentro do escoamento é fixa. Isso significa que a malha não se
deforma e o volume de cada elemento não muda ao longo do tempo. Por essa razão, o
símbolo da derivada temporal da Eq.(2.17) pode passar para fora do sinal de integração.
Neste caso, a equação que governa o método dos volumes finitos é mostrada na
Eq.(III.2).
∫
(III.2)
onde é definido pela Eq.(2.21) e V o volume do elemento finito.
68
III.2 Esquema Numérico
O esquema numérico mostrado na Eq.(3.9) é substituída pela Eq.(III.3).
∑ [( )
( )
]
(III.3)
III.3 Discretização do Fluxo Inviscido
A formulação da discretização do fluxo inviscido da Eq.(3.13) é reduzida à Eq.(III.4)
devido que os termos da deformação da malha já não são considerados.
( )
[ ]
[ ]
( )
(III.4)
Agora a matriz jacobiana de fluxo e definida pela Eq.(III.5).
( )
[
] (III.5)
onde a variável é definida pela Eq.(III.6)
(III.6)
Numa primeira etapa do estudo com o cilindro, as propriedades do fluido nas faces do
elemento foram calculadas pela Eq.(3.19), mas, os resultados não foram satisfatórios,
para obter melhores resultados se realizou uma nova aproximação. Primeiro se acha as
propriedades nas fases do elemento segundo a Eq.(3.19) reescrita na Eq.(III.7).
(III.7)
Calcula-se as derivadas das propriedades no centróide do elemento de acordo com as
Eq.(III.8).
69
|
∑
|
∑
|
∑
|
∑
|
∑
|
∑
(III.8)
Logo, as propriedades nas faces com respeito ao elemento i são calculadas pela
Eq.(III.9)
| ( )
|
( )
| ( )
|
( )
| ( )
|
( )
(III.9)
onde o ponto é o ponto médio da f do elemento i , e o ponto representa
o centróide do elemento i.
Lembrando que uma mesma face f é compartilhada por dois elementos, acham-se do
mesmo jeito as propriedades nesta face, mas agora com respeito ao elemento vizinho j
do elemento i. Finalmente, a aproximação das novas propriedades na face f é calculada
pela Eq.(III.10).
(III.10)
III.4 Discretização do Fluxo Viscoso
O Fluxo viscoso segue discretizado pela Eq.(3.24). As derivadas das propriedades no
centróide são aproximadas pela Eq.(3.25), mas, usando como propriedades nas faces as
propriedades achadas na Eq.(III.10).
70
III.5 Condições iniciais e de contorno
As condições iniciais do escoamento ao redor do cilindro são dadas pela Eq. (III.11)
(III.11)
onde M é o número de Mach com valor igual a 0.2.
As condições de contorno na fronteira esquerda, superior e inferior do domínio físico,
Fig.(4.2), são iguais as condições iniciais do escoamento, Eq.(III.11). As condições de
contorno na fronteira direita são mostradas na Eq.(III.12).
(III.12)
71
APÊNDICE IV
DINÂMICA DOS VÓRTICES GERADOS AO
REDOR DA BOLINA DE FPSO NA
SIMULAÇÃO DO ENSAIO DE PINHEIRO
O comportamento dos vórtices gerados no início das primeiras oscilações do FPSO é
ploteado na Fig.IV.1 até a Fig.IV.13 . O comportamento final dos vórtices é mostrado
na Fig.IV.14 até a Fig.IV.16.
Figura.IV.1 Figura.IV.2
72
Figura.IV.3
Figura.IV.4
Figura.IV.5
Figura.IV.6
Figura.IV.7
Figura.IV.8
73
Figura.IV.9
Figura.IV.10
Figura.IV.11
Figura.IV.12
Figura.IV.13
Figura.IV.14
74
Figura.IV.15
Figura.IV.16
75
APÊNDICE V
CAMPO DE PRESSÃO AO REDOR DE FPSO
Figura.V.1
Figura.V.2
76
Figura.V.3
Figura.V.4
77
Figura.V.5
Figura.V.6
78
Figura.V.7
Figura.V.8
79
Figura.V.10
Figura.V.9
80
Figura.V.11
Figura.V.12
![APLICAÇÃO DO MÉTODO DO ENXAME DE PARTÍCULAS NA … · Figura 2.7 - Plataformas do tipo SPAR [16] 13 Figura 2.8- Desenho representativo de uma FPSO [17] 13 Figura 2.9- FPSO no](https://img.document.onl/doc/110x75/5eb5e790719b811aee02317d/aplicafo-do-mtodo-do-enxame-de-partculas-na-figura-27-plataformas-do-tipo.jpg)
![(FUVEST [1F] 07) O isótopo radioativo Cu-64 sofre decaimento , conforme representado:](https://img.document.onl/doc/110x75/56812b46550346895d8f5eb2/fuvest-1f-07-o-isotopo-radioativo-cu-64-sofre-decaimento-conforme.jpg)
