Programa Metas Curriculares Mat A

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  • Programa e Metas Curriculares

    Matemtica A

    Ensino Secundrio

    Cursos Cientfico-Humansticos

    de Cincias e Tecnologias e de Cincias Socioeconmicas (Submetido consulta pblica, 2013)

  • Ficha Tcnica Pgina 1

    Programa de Matemtica A - Ensino Secundrio

    Coordenao pedaggica

    Helena Damio Faculdade de Psicologia e Cincias da Educao da Universidade de Coimbra

    Isabel Festas Faculdade de Psicologia e Cincias da Educao da Universidade de Coimbra

    Coordenao cientfica

    Antnio Bivar Faculdade de Cincias da Universidade de Lisboa (aposentado)

    Carlos Grosso Escola Secundria c/ 3. Ciclo de Pedro Nunes

    Filipe Oliveira Faculdade de Cincias e Tecnologia da Universidade Nova de Lisboa

    Maria Clementina Timteo Agrupamento de Escolas de Queluz-Belas, Unidade Padre Alberto Neto

    Lusa Loura Faculdade de Cincias da Universidade de Lisboa (Probabilidades e Estatstica)

    Metas Curriculares de Matemtica A - Ensino Secundrio

    Autores

    Antnio Bivar Faculdade de Cincias da Universidade de Lisboa (aposentado)

    Carlos Grosso Escola Secundria c/ 3. Ciclo de Pedro Nunes

    Filipe Oliveira Faculdade de Cincias e Tecnologia da Universidade Nova de Lisboa

    Maria Clementina Timteo Agrupamento de Escolas de Queluz-Belas, Unidade Padre Alberto Neto

    Lusa Loura Faculdade de Cincias da Universidade de Lisboa (Probabilidades e Estatstica)

    Consultores

    Armando Machado Faculdade de Cincias da Universidade de Lisboa

    Cndida Palma Escola Secundria do Lumiar (aposentada)

    Carlos Andrade Escola Secundria de Mem Martins

    Filipe Teixeira Colgio do Sagrado Corao de Maria

    Luciano Batalhas Escola Secundria D. Filipa de Lencastre

    Lus Canto de Loura Instituto Superior Tcnico (aposentado)

    Joana Teles Faculdade de Cincias e Tecnologia da Universidade de Coimbra

    Jos Carlos Santos Faculdade de Cincias da Universidade do Porto

    Jorge Buescu Faculdade de Cincias da Universidade de Lisboa

    Maria Alice da Silva Martins Agrupamento de Escolas Artur Gonalves, Torres Novas

    Maria Helena Almeida Santos Faculdade de Cincias e Tecnologia da Universidade Nova de Lisboa

    Maria Manuela Neves Figueiredo - Instituto Superior de Agronomia

    Marlia Pires Faculdade de Cincias e Tecnologia da Universidade do Algarve

    Paula Reis Escola Secundria Padre Antnio Vieira

  • Programa de Matemtica A Ensino Secundrio

    Cursos Cientfico-Humansticos de Cincias e Tecnologias e de Cincias Socioeconmicas

  • Introduo Pgina 3

    1. INTRODUO

    No mbito da reviso do Currculo Nacional iniciada em 2011, cujo sentido o de elevar os padres

    de desempenho escolar dos alunos portugueses, e em continuidade com o Programa de Matemtica para

    o Ensino Bsico, homologado pelo Despacho n. 9888-A/2013, publicado no Dirio da Repblica, 2. srie,

    n. 143, de 26 de julho de 2013, o presente Programa estabelece o conjunto de conhecimentos e de

    capacidades essenciais que os alunos devem adquirir e desenvolver no decurso do Ensino Secundrio, na

    disciplina de Matemtica A.

    Alicerado na anlise dos resultados de diferentes abordagens que ao longo dos tempos tm sido

    adotadas para o ensino da Matemtica neste nvel de escolaridade, tanto a nvel nacional como

    internacional, este documento pretende definir um padro coerente que imprima rigor ao que ensinado

    nas escolas, garantindo simultaneamente aos professores autonomia pedaggica e liberdade de usar

    conhecimentos e experincia acumulada para auxiliar os alunos a atingir o seu melhor desempenho. Em

    particular, o presente Programa foi elaborado tendo em conta a experincia, de mais de dez anos, de

    aplicao do Programa anterior. No entanto, ao optar-se por uma estrutura em termos de Metas

    Curriculares, muitos dos contedos transversais inerentes a um Programa de Matemtica do Secundrio

    encontram-se agora, em grande medida, explicitados, o que, por exemplo, levou constituio do

    domnio Lgica e Teoria dos Conjuntos no 10. ano.

    As Metas Curriculares do Ensino Secundrio - Matemtica A, parte integrante deste Programa e

    que com ele formam um documento nico, elencam, para cada domnio e em consonncia com os

    contedos, os objetivos gerais a atingir em cada ano de escolaridade. Cada um desses objetivos gerais

    encontra-se definido de forma precisa por um conjunto de descritores que apontam para desempenhos

    especficos e avaliveis que os alunos devero evidenciar para que esse objetivo se considere cumprido.

    O Programa e as respetivas Metas Curriculares respeitam a estrutura cumulativa da disciplina de

    Matemtica, apoiando-se os novos conceitos em outros previamente estudados e adquiridos. De acordo

    com investigao recente na rea do ensino da Matemtica, desta forma que se pode ir desenvolvendo

    a compreenso, ou seja, que se pode ir construindo progressivamente uma slida rede de factos,

    conceitos, relaes, regras e procedimentos suscetveis de ser mobilizados, de forma flexvel, em diversos

    contextos. O Programa foi concebido por forma a fornecer aos alunos instrumentos que garantam um

    prosseguimento de estudos com sucesso, tendo em considerao que este o ramo da Matemtica do

    Ensino Secundrio que d acesso aos cursos do Ensino Superior de reas que requerem uma slida

    formao matemtica.

    Com este propsito, foram introduzidos alguns contedos fundamentais que se encontravam

    ausentes no anterior Programa e cujo estudo recomendado, pelas melhores prticas internacionais, nos

    ramos do Ensino Secundrio com estas caractersticas, como o caso do Clculo Integral. Foi tambm

    reforado o estudo de alguns tpicos como os limites de sucesses e de funes que quando

    trabalhados de forma vaga e exageradamente intuitiva levam com frequncia formao de concees

    erradas, difceis de reverter.

    Finalmente, com o intuito de promover o conhecimento da forma como a Matemtica vai sendo

    construda, procurou-se justificar, em certas situaes, a escolha de algumas definies consagradas desta

    disciplina. , por exemplo, o caso da extenso das definies das razes trigonomtricas, estudadas no

    Ensino Bsico, a ngulos retos e obtusos, intimamente ligada neste Programa Lei dos senos e ao

    Teorema de Carnot, que permitem resolver tringulos de forma simples e sistemtica, atividade essa que

    constitui o propsito primitivo da Trigonometria.

  • Introduo Pgina 4

    no respeito pela estrutura intrnseca da Matemtica e do mtodo que a caracteriza que se

    procura igualmente, com este Programa, desenvolver no aluno o gosto por esta disciplina milenar, nas

    suas diversas vertentes, como o carcter organizador e agregador de conhecimento na sua expresso

    mais abstrata ou a eficcia de que se revestem os instrumentos matemticos quando aplicados ao estudo

    do mundo real.

    O calendrio de aplicao deste novo Programa est definido no Despacho n. 159717/2012, de 14

    de dezembro, estando prevista para o ano letivo 2015-16 a sua implementao no 10. ano de

    escolaridade, prosseguindo nos anos seguintes para os 11. e 12. anos de escolaridade.

  • Finalidades do Ensino da Matemtica Pgina 5

    2. FINALIDADES DO ENSINO DA MATEMTICA

    Como finalidades da disciplina de Matemtica no Ensino Secundrio salientam-se a estruturao do

    pensamento e a aplicao da Matemtica ao mundo real.

    A estruturao do pensamento e o desenvolvimento do raciocnio abstrato

    Tal como referido no Programa de Matemtica do Ensino Bsico, a apreenso e hierarquizao de

    conceitos matemticos, o estudo sistemtico das suas propriedades e a argumentao clara e precisa,

    prpria desta disciplina, tm um papel primordial na organizao do pensamento, constituindo-se como

    uma gramtica basilar do raciocnio hipottico-dedutivo. O trabalho desta gramtica contribui para

    alicerar a capacidade de elaborar anlises objetivas, coerentes e comunicveis. Contribui ainda para

    melhorar a capacidade de argumentar, de justificar adequadamente uma dada posio e de detetar

    falcias e raciocnios falsos em geral. Tratando-se de uma capacidade indispensvel a um bom percurso

    escolar ou profissional, em qualquer rea do conhecimento, o desenvolvimento do raciocnio abstrato

    deve ser considerado como uma finalidade em si.

    A modelao e a aplicao da Matemtica ao mundo real

    Os instrumentos matemticos so indispensveis concretizao de modelos que permitem

    descrever, interpretar e prever a evoluo de um grande nmero de sistemas reais cujo estudo se pode

    inserir nas mais diversas reas do conhecimento. De um ponto de vista histrico possvel afirmar que

    alguns conceitos centrais da Matemtica foram desenvolvidos com o propsito de serem utilizados no

    estudo de certos fenmenos naturais. O Programa d especial relevncia a diversas aplicaes da

    Matemtica, prescrevendo, por exemplo, explicitamente, a aplicao do clculo diferencial cinemtica

    do ponto ou das progresses geomtricas ao clculo de juros, o que permite em particular obter uma

    interpretao concreta do nmero de Neper.

    A este propsito, importante referir que a modelao matemtica no consiste em associar de

    forma arbitrria - e sem qualquer critrio ou justificao razovel - uma dada funo matemtica a uma

    dada grandeza. Proceder dessa forma transmitir aos alunos uma viso deturpada de como se pode, de

    facto, aplicar corretamente a Matemtica ao mundo real. Por exemplo, a funo exponencial

    especialmente indicada para modelar o decaimento de uma substncia radioativa ou o crescimento de

    uma populao de bactrias porque, em ambas as situaes, a anlise do fenmeno em estudo permite

    concluir que a taxa de variao da grandeza observada pode ser considerada, dentro de certas condies,

    proporcional quantidade que est num dado momento presente numa amostra, o que se traduz, ao

    utilizar-se um modelo baseado em funes diferenciveis, pela proporcionalidade entre a funo que

    representa o fenmeno e a respetiva derivada. Uma tal justificao encontra-se explicitamente prevista

    no Programa.

    De forma anloga, o Programa prev, no 12. ano, o estudo de situaes em que uma funo

    proporcional, com constante de proporcionalidade negativa, respetiva derivada de segunda ordem.

    desta forma possvel justificar a utilizao de funes trigonomtricas na modelao de alguns sistemas

    que exibem comportamento oscilatrio. Em particular, proposto, neste contexto, o estudo de como a

    segunda lei de Newton e a Lei de Hooke permitem deduzir que certos sistemas envolvendo massas

    atuadas por molas apresentam um comportamento de oscilador harmnico.

  • Objetivos Pgina 6

    3. OBJETIVOS

    Os objetivos que traduzem os desempenhos fundamentais que os alunos devero evidenciar ao

    longo do Ensino Secundrio so explicitados por verbos a que se atribuem significados especficos e que

    servem de base leitura dos descritores elencados nas Metas Curriculares.

    Requerem-se assim os seguintes seis desempenhos, com o sentido que se especifica:

    (1) Identificar/Designar/Referir: O aluno deve utilizar corretamente a designao referida, sabendo

    definir o conceito apresentado como se indica ou de forma equivalente.

    (2) Reconhecer: O aluno deve apresentar uma argumentao coerente ainda que eventualmente mais

    informal do que a explicao fornecida pelo professor. Deve, no entanto, saber justificar isoladamente

    os diversos passos utilizados nessa explicao.

    (3) Saber: O aluno deve conhecer o resultado, mas sem que lhe seja exigida qualquer justificao ou

    verificao concreta.

    (4) Provar/Demonstrar: O aluno deve apresentar uma demonstrao matemtica to rigorosa quanto

    possvel.

    (5) Justificar: O aluno deve justificar de forma simples o enunciado, evocando uma propriedade j

    conhecida.

    (6) Interpretar: O aluno deve definir rigorosamente o termo previamente utilizado de maneira menos

    formal, fazendo uso dos objetos matemticos referidos, dando assim a esse termo um sentido preciso.

    No seu conjunto, e de modo integrado, estes desempenhos devem concorrer para a aquisio de

    conhecimentos, de factos e de procedimentos, para a construo e desenvolvimento do raciocnio

    matemtico, para uma comunicao (oral e escrita) adequada, para a resoluo de problemas em

    diversos contextos e para uma viso da Matemtica como um todo articulado e coerente.

    Conhecimento de factos e de procedimentos O domnio de procedimentos padronizados dever

    ser objeto de particular ateno no ensino desta disciplina. As rotinas e automatismos so essenciais

    atividade matemtica, uma vez que permitem libertar a memria de trabalho, de modo que esta se possa

    dedicar, com maior exclusividade, a tarefas que exigem funes cognitivas superiores. Por outro lado

    permitem determinar, a priori, que outra informao se poderia obter sem esforo a partir dos dados de

    um problema, abrindo assim novas portas e estratgias sua resoluo. A memorizao de alguns factos

    tem igualmente um papel fundamental na aprendizagem da Matemtica, pelo que incorreto op-la

    compreenso: memorizao e compreenso, sendo complementares, reforam-se mutuamente.

    Conhecer factos elementares e enunciados de teoremas de memria permite tambm poupar recursos

    cognitivos que podero ser direcionados para a execuo de tarefas mais complexas.

    Raciocnio matemtico O raciocnio matemtico por excelncia o raciocnio hipottico-

    dedutivo, embora o raciocnio indutivo desempenhe tambm um papel fundamental na atividade

    matemtica, uma vez que preside, em Matemtica, formulao de conjeturas. Os alunos devem ser

    capazes de estabelecer conjeturas, em alguns casos, aps a anlise de um conjunto de situaes

    particulares, nomeadamente pela explorao das potencialidades dos recursos tecnolgicos. Devero

    saber, no entanto, que o raciocnio indutivo no apropriado para justificar propriedades, e,

    contrariamente ao raciocnio dedutivo, pode levar a concluses erradas a partir de hipteses verdadeiras,

    razo pela qual as conjeturas formuladas mas no demonstradas tm um interesse limitado, devendo os

    alunos ser alertados para este facto e incentivados a justific-las a posteriori. Os desempenhos requeridos

    para o cumprimento dos descritores preveem que os alunos de Matemtica A consigam, no final do

    Ensino Secundrio, elaborar algumas demonstraes com segurana.

  • Objetivos Pgina 7

    Comunicao matemtica Na prtica letiva, os alunos devem ser estimulados a desenvolver a

    capacidade de compreender os enunciados dos problemas matemticos, identificando as questes que

    levantam, explicando-as oralmente de modo claro, conciso e coerente, e discutindo, do mesmo modo,

    estratgias que conduzam sua resoluo. Os alunos devem ser incentivados a expor as suas ideias, a

    comentar as afirmaes dos seus colegas e do professor e a colocar as suas dvidas. Sendo igualmente a

    redao escrita parte integrante da atividade matemtica, devem tambm ser incentivados a redigir

    convenientemente as respostas, explicando de forma adequada o raciocnio e apresentando as suas

    concluses de forma clara, escrevendo em portugus correto e evitando uma utilizao inapropriada de

    smbolos matemticos como abreviaturas estenogrficas.

    Resoluo de problemas A resoluo de problemas envolve, da parte dos alunos, a leitura e

    interpretao de enunciados, a mobilizao de conhecimentos de factos, conceitos e relaes, a seleo e

    aplicao adequada de regras e procedimentos, previamente estudados e treinados, a reviso, sempre

    que necessria, da estratgia preconizada e a interpretao dos resultados finais.

    Assim, a resoluo de problemas no deve confundir-se com atividades vagas de explorao e de

    descoberta que, podendo constituir estratgias de motivao, no se revelam adequadas concretizao

    efetiva de uma finalidade to exigente.

    Nos enunciados de exerccios e problemas deve ter-se em conta a convenincia de uma progressiva

    utilizao das tcnicas e princpios que vo sendo adquiridos, procurando-se um equilbrio entre a

    adequao das questes propostas a essa aquisio progressiva e uma ilustrao, nem sempre possvel,

    de situaes inteiramente inspiradas na vida corrente. Desta maneira, pode ser conveniente, em diversas

    situaes, propor problemas descrevendo situaes que no traduzam de modo plenamente realista

    aspetos da experincia quotidiana dos alunos, mas que sejam particularmente adaptados aos objetivos do

    ensino de determinadas matrias.

    Histria da Matemtica A Histria da Matemtica um tema que est contemplado

    explicitamente em alguns descritores das Metas. Os professores devero, no apenas nesses casos mas

    tambm a propsito de outros temas que para o efeito se revelem particularmente adequados,

    enquadrar de um ponto de vista histrico os contedos abordados. Tal atividade, para alm de ilustrar a

    forma como a Matemtica foi construda ao longo dos tempos, permite ainda, no s uma maior

    motivao para a aprendizagem, como, em muitos casos, tambm proporciona uma melhor compreenso

    dos prprios conceitos. Por outro lado, a interao da Matemtica com outras reas do conhecimento

    como a Astronomia, a Fsica, a Biologia ou a Economia constituiu um dos motores essenciais evoluo

    global das cincias, incluindo a prpria Matemtica, pelo que o conhecimento histrico dessa interao

    um fator essencial para uma compreenso mais profunda do pensamento cientfico.

  • Contedos Pgina 8

    4. CONTEDOS

    Em cada ano de escolaridade, os contedos encontram-se organizados por domnios. A articulao

    entre os domnios de contedos e os objetivos acima referidos que constituem o conjunto de

    desempenhos que os alunos devem evidenciar encontra-se materializada no documento das Metas

    Curriculares.

    Nos quadros seguintes apresentam-se os contedos a lecionar, organizados por anos de

    escolaridade, e sugere-se, a ttulo no prescritivo, o nmero de tempos letivos que poder ser dedicado a

    cada um dos domnios, incluindo-se nesse nmero as aulas dedicadas avaliao. Atendendo

    autonomia atualmente conferida s escolas no que se refere durao dos tempos letivos, esclarece-se

    que, nessas sugestes, se considerou, como unidade, o tempo de 45 minutos.

    10. ano

    No 10. ano, os domnios de contedos so cinco:

    Lgica e Teoria dos Conjuntos (LTC)

    lgebra (ALG)

    Geometria Analtica (GA)

    Funes Reais de Varivel Real (FRVR)

    Estatstica (EST)

    O domnio Lgica e Teoria dos Conjuntos pode ser considerado central neste ciclo de estudos, uma

    vez que rene temas fundamentais e transversais a todo o Ensino Secundrio. Comea-se por introduzir

    algumas operaes sobre proposies, de forma intuitiva e no contexto de uma Lgica em que so

    admitidos o Princpio do terceiro excludo e o Princpio de no contradio. Em seguida, estudada a

    quantificao universal e existencial de condies e a relao entre operaes sobre condies e sobre os

    respetivos conjuntos-soluo, assunto que j tinha sido visitado, de forma menos especfica, no Ensino

    Bsico. , ainda, a oportunidade para traduzir numa linguagem prpria das teorias aqui desenvolvidas

    algumas tcnicas elementares de demonstrao, como a prova da igualdade entre conjuntos por dupla

    incluso ou a prova de uma implicao pelo contra-recproco.

    No domnio da lgebra, completa-se, de forma mais sistemtica, o estudo dos radicais de ndice ,

    o que permite estender adequadamente a noo de potncia a expoentes racionais e mostrar que as

    respetivas propriedades algbricas se estendem a potncias com este conjunto alargado de expoentes.

    Neste domnio ainda se retoma o estudo iniciado no Bsico acerca do anel dos polinmios de coeficientes

    reais. definida a diviso euclidiana e apresentado o Teorema do Resto, que permite, em particular,

    provar que raiz de um polinmio se e somente se divisvel por . ainda abordada a

    noo de multiplicidade algbrica de uma raiz, com aplicaes fatorizao de polinmios.

    O 10. ano igualmente a ocasio para se desenvolver o estudo da Geometria Analtica iniciado no

    Ensino Bsico com a introduo dos referenciais cartesianos planos e o estudo das equaes cartesianas

    das retas. Fixada uma unidade de comprimento e um referencial ortonormado do plano, introduz-se o

    clculo da medida da distncia entre pontos a partir das respetivas coordenadas, o que constitui um

  • Contedos Pgina 9

    passo essencial no sentido de tratar, de forma eficaz, problemas da Geometria com instrumentos

    puramente analticos. D-se especial relevo ao estudo das equaes cartesianas de circunferncias e

    elipses, cuja definio geomtrica a partir da propriedade focal apresentada neste domnio. Com o

    intuito de dar continuidade ao estudo dos vetores iniciado no 8. ano, e tendo em vista apresentar

    finalmente uma definio coerente e rigorosa de vetor, introduzem-se as relaes binrias de

    equivalncia e os respetivos conjuntos quociente, contexto que igualmente utilizado para definir de

    forma mais rigorosa outros conceitos previamente abordados de modo menos formal, como, por

    exemplo, os conceitos de comprimento, de amplitude de ngulos ou de forma geomtrica e que permite

    exprimir de modo preciso em que sentido um vetor se pode identificar com a translao que determina.

    No que diz respeito ao clculo vetorial, para alm das operaes de adio de vetores e de adio de um

    ponto com um vetor, que eram j conhecidas, define-se agora a diferena de vetores e a multiplicao de

    um vetor por um escalar, a noo de norma, fixada uma unidade de comprimento, e, fixado alm disso

    um referencial ortonormado, introduzem-se as coordenadas de um vetor, tratando-se em seguida

    tambm de um ponto de vista analtico todas estas noes. Depois de se apresentar o conceito de vetor

    diretor, introduzem-se as equaes vetoriais e paramtricas de retas do plano. Finalmente, feita uma

    primeira abordagem aos referenciais cartesianos do espao, generalizando-se algumas das noes j

    estudadas no plano.

    Inicia-se o domnio Funes Reais de Varivel Real com alguns conceitos gerais sobre funes, como

    a injetividade, a sobrejetividade ou a restrio de uma funo a um dado conjunto e definem-se as noes

    de composio de funes e de funo inversa de uma funo bijetiva. Em seguida, estabelecem-se

    relaes entre propriedades de funes reais de varivel real, como a paridade, e simetrias do respetivo

    grfico. Estudam-se ainda as transformaes geomtricas dos grficos de funes obtidas atravs da

    soma ou da multiplicao, das variveis dependente ou independente de uma dada funo por uma

    constante. Termina-se este domnio de contedos com alguns aspetos gerais das funes reais de varivel

    real, como a monotonia, o sentido de concavidade do respetivo grfico ou a noo de extremo relativo e

    absoluto.

    Finalmente, no domnio Estatstica, comea-se por introduzir o sinal de somatrio e algumas das

    suas regras operatrias, que sero teis em diversas ocasies ao longo do Ensino Secundrio. Em

    particular podero ser utilizadas neste mesmo domnio, nomeadamente aquando da manipulao de

    mdias e desvios-padro de amostras, ou de percentis, noes tratadas no 10. ano. Para alm das

    definies de varivel estatstica, amostra, mdia, varincia, desvio padro e percentil, analisam-se as

    propriedades bsicas destes conceitos e as respetivas interpretaes em exemplos concretos. So ainda

    propostas simulaes de experincias aleatrias, com recurso a sequncias de nmeros pseudo-

    -aleatrios, em particular as chamadas simulaes Monte Carlo.

  • Contedos Pgina 10

    10. ano Tabela de contedos

    Domnio Contedos

    LTC10

    18 aulas

    Introduo Lgica bivalente e Teoria dos conjuntos

    Proposies - Valor lgico de uma proposio; Princpio do terceiro excludo e Princpio de no

    contradio; - Operaes sobre proposies: negao, conjuno, disjuno, implicao e

    equivalncia; - Prioridades das operaes lgicas; - Relaes lgicas entre as diferentes operaes; propriedade da dupla negao;

    princpio da dupla implicao; - Reflexividade e transitividade da implicao e da equivalncia; simetria da equivalncia; - Propriedades comutativa, associativa, de existncia de elemento neutro e de elemento

    absorvente e da idempotncia da disjuno e da conjuno e propriedades distributivas da conjuno em relao disjuno e da disjuno em relao conjuno;

    - Leis de De Morgan; - Implicao contra-recproca; - Resoluo de problemas envolvendo operaes lgicas sobre proposies. Condies e Conjuntos - Expresso proposicional ou condio; quantificador universal, quantificador existencial

    e segundas Leis de De Morgan; - Conjunto definido por uma condio; Igualdade entre conjuntos; conjuntos definidos

    em extenso; - Unio (ou reunio), interseo e diferena de conjuntos e conjunto complementar; - Incluso de conjuntos; - Relao entre operaes lgicas sobre condies e operaes sobre os conjuntos que

    definem; - Princpio de dupla incluso e demonstrao de equivalncias por dupla implicao; - Propriedades comutativa, associativa, de existncia de elemento neutro e elemento

    absorvente e da idempotncia da unio e da interseo e propriedades distributivas da unio em relao interseo e da interseo em relao unio;

    - Negao de uma implicao universal e contra-exemplos; demonstrao por contra- -recproco;

    - Resoluo de problemas envolvendo operaes sobre condies e sobre conjuntos.

    ALG10

    30 aulas

    Radicais

    - Monotonia da potenciao; razes de ndice , ; - Propriedades algbricas dos radicais: produto e quociente de razes com o mesmo

    ndice, potncias de razes e composio de razes; - Racionalizao de denominadores; - Resoluo de problemas envolvendo operaes com radicais.

    Potncias de expoente racional

    - Definio e propriedades algbricas das potncias de base positiva e expoente racional: produto e quociente de potncias com a mesma base, produto e quociente de potncias com o mesmo expoente e potncia de potncia;

    - Resoluo de problemas envolvendo operaes com potncias;

  • Contedos Pgina 11

    Polinmios

    - Diviso euclidiana de polinmios e regra de Ruffini; - Divisibilidade de polinmios; Teorema do Resto; - Multiplicidade da raiz de um polinmio e respetivas propriedades; - Resoluo de problemas envolvendo a diviso euclidiana de polinmios, o Teorema do

    resto e a fatorizao de polinmios; - Resoluo de problemas envolvendo a determinao do sinal e dos zeros de

    polinmios.

    GA10

    54 aulas

    Geometria analtica no plano

    - Referenciais ortonormados; - Frmula da medida da distncia entre dois pontos no plano em funo das respetivas

    coordenadas; - Coordenadas do ponto mdio de um dado segmento de reta; - Equao cartesiana da mediatriz de um segmento de reta; - Equaes e inequaes cartesianas de um conjunto de pontos; - Equao cartesiana reduzida da circunferncia; - Definio de elipse e respetiva equao cartesiana reduzida; relao entre eixo maior,

    eixo menor e distncia focal; - Inequaes cartesianas de semiplanos; - Inequaes cartesianas de crculos e partes internas de elipses; - Resoluo de problemas envolvendo a noo de distncia entre pontos do plano; - Resoluo de problemas envolvendo equaes e inequaes cartesianas de

    subconjuntos do plano.

    Relaes de equivalncia, parties e vetores

    - Produtos cartesianos de conjuntos; - Relaes binrias e relaes de equivalncia; classes de equivalncia, conjuntos-

    -quociente e parties; - Formas geomtricas, comprimentos, direes, amplitudes e vetores enquanto classes

    de equivalncia; vetores e translaes; - Resoluo de problemas envolvendo relaes de equivalncia e parties de conjuntos.

    Clculo vetorial no plano

    - Norma de um vetor; - Multiplicao por um escalar de um vetor; relao com a colinearidade e o vetor

    simtrico; - Diferena entre vetores; - Propriedades algbricas das operaes com vetores; - Base cannica do espao vetorial dos vetores de um plano munido de um referencial

    ortonormado e coordenadas de um vetor; combinao linear de vetores; - Vetor-posio de um ponto e respetivas coordenadas; - Coordenadas da soma e da diferena de vetores; coordenadas do produto de um vetor

    por um escalar e do simtrico de um vetor; relao entre as coordenadas de vetores colineares;

    - Vetor diferena de dois pontos; clculo das respetivas coordenadas; coordenadas do ponto soma de um ponto com um vetor;

    - Clculo da norma de um vetor em funo das respetivas coordenadas; - Vetor diretor de uma reta; relao entre as respetivas coordenadas e o declive da reta; - Paralelismo de retas e igualdade do declive;

  • Contedos Pgina 12

    - Equao vetorial de um reta; - Equaes paramtricas de uma reta; - Resoluo de problemas envolvendo a determinao de coordenadas de vetores no

    plano, a colinearidade de vetores e o paralelismo de retas do plano.

    Geometria analtica no espao

    - Referenciais cartesianos ortonormados do espao; - Equaes de planos paralelos aos planos coordenados; - Equaes cartesianas de retas paralelas a um dos eixos; - Distncia entre dois pontos no espao; - Equao do plano mediador de um segmento de reta; - Equao cartesiana reduzida da superfcie esfrica; - Inequao cartesiana reduzida da esfera; - Resoluo de problemas envolvendo a noo de distncia entre pontos do espao; - Resoluo de problemas envolvendo equaes e inequaes cartesianas de

    subconjuntos do espao.

    Clculo vetorial no espao

    - Generalizao ao espao da noo de vetor e dos conceitos e propriedades bsicas do clculo vetorial;

    - Equao vetorial da reta no espao; - Resoluo de problemas envolvendo clculo vetorial no espao.

    FRVR10

    56 aulas

    Generalidades acerca de funes

    - Grficos de funes;

    - Restries de uma funo;

    - Imagem de um conjunto por uma funo;

    - Funes injetivas, sobrejetivas e bijetivas;

    - Composio de funes;

    - Funo inversa de uma funo bijetiva.

    Generalidades acerca de funes reais de varivel real

    - Funes reais de varivel real; funes definidas por expresses analticas;

    - Propriedades geomtricas dos grficos de funes;

    - Paridade; simetrias dos grficos das funes pares e das funes mpares;

    - Relao geomtrica entre o grfico de uma funo e o da respetiva inversa;

    - Homotetias e translaes nas variveis dependente e independente;

    - Contraes e dilataes relativamente a um eixo.

    Monotonia, extremos e concavidade

    - Intervalos de monotonia de uma funo real de varivel real; caso das funes afins e

    caso das funes quadrticas;

    - Vizinhana de um ponto da reta numrica; extremos relativos e absolutos;

    - Sentido da concavidade do grfico de uma funo real de varivel real.

  • Contedos Pgina 13

    Estudo elementar das funes quadrticas, raiz quadrada, raiz cbica e mdulo e de funes definidas por ramos

    - Extremos, sentido das concavidades, razes e representao grfica de funes quadrticas;

    - Funes definidas por ramos; - Estudo da funo | | ;

    - As funes e

    enquanto funes inversas; - Domnio e representao grfica das funes definidas analiticamente por

    ( ) e ( )

    ; - Estudo de funes definidas por ramos envolvendo funes polinomiais, mdulos e

    radicais.

    Resoluo de problemas

    - Equaes e inequaes envolvendo as funes polinomiais, raiz quadrada e raiz cbica, e a composio da funo mdulo com funes afins e com funes quadrticas;

    - Resoluo de problemas envolvendo as propriedades geomtricas dos grficos de funes reais de varivel real;

    - Resoluo de problemas envolvendo as funes afins, quadrticas, raiz quadrada, raiz cbica, mdulo, funes definidas por ramos e a modelao de fenmenos reais.

    EST10

    20 aulas

    Caractersticas amostrais

    - Sinal de somatrio; traduo no formalismo dos somatrios das propriedades associativa e comutativa generalizadas da adio e distributiva generalizada da multiplicao em relao adio;

    - Noo de varivel estatstica quantitativa como funo numrica definida numa populao e de amostra de uma varivel estatstica;

    - Mdia de uma amostra; propriedades da mdia de uma amostra; - Varincia e desvio-padro de uma amostra; propriedades da varincia e do desvio-

    -padro de uma amostra; - Percentil de ordem ; propriedades do percentil de ordem ; - Resoluo de problemas envolvendo a mdia e o desvio padro de uma amostra; - Resoluo de problemas envolvendo os percentis de uma amostra.

    Simulao Monte Carlo

    - Simulao de experincias aleatrias por recurso a algoritmos geradores de nmeros pseudo-aleatrios;

    - Propriedades inferenciais da mdia com recurso simulao Monte Carlo; - Resoluo de problemas envolvendo sequncias de nmeros pseudo-aleatrios.

  • Contedos Pgina 14

    11. ano

    No 11. ano, os domnios de contedos so seis:

    Trigonometria (TRI)

    Geometria Analtica (GA)

    Programao Linear (PL)

    Sucesses (SUC)

    Funes Reais de Varivel Real (FRVR)

    Estatstica (EST)

    Aps o estudo das razes trigonomtricas dos ngulos agudos, realizado no Ensino Bsico, o incio

    do domnio Trigonometria consagrado a estabelecer uma definio para o seno e o cosseno de um

    qualquer ngulo convexo, justificando-se a escolha apresentada com a motivao de a estender a ngulos

    internos retos e obtusos, a Lei dos Senos e o Teorema de Carnot, que permitem resolver tringulos de

    forma simples e sistemtica. Neste contexto, por um lado, estudam-se as frmulas trigonomtricas

    bsicas da soma e diferena de ngulos (e consequentemente da duplicao e da metade de um ngulo),

    abordando-se, como aplicao, exemplos de elaborao de tabelas trigonomtricas pelos processos que

    historicamente, desde h milnios, permitiram utilizar com sucesso a Trigonometria na resoluo de

    inmeros problemas; por outro lado requerido o uso adequado de uma calculadora cientfica para obter

    valores aproximados dos elementos de tringulos objeto de resoluo trigonomtrica. Aborda-se em

    seguida o estudo dos ngulos orientados e generalizados e respetivas medidas de amplitude num plano

    orientado - conceitos intimamente associados noo de rotao - e generalizam-se as razes

    trigonomtricas a estes ngulos, introduzindo-se o crculo trigonomtrico. Aps a definio do radiano

    como unidade de medida de amplitude, fica-se assim apto a definir as funes reais de varivel real seno,

    cosseno e tangente e a estudar as respetivas propriedades. Uma aplicao importante das duas primeiras

    destas funes, a que dado destaque, a modelao matemtica de sistemas fsicos designados por

    osciladores harmnicos, cujo estudo, aqui iniciado, ser prosseguido no 12. ano com a deduo das

    equaes diferenciais associadas a esses modelos.

    No domnio Geometria Analtica, introduz-se, no 11. ano, a noo geomtrica de produto escalar

    de vetores, deduzindo-se as suas principais propriedades, como a simetria, a bilinearidade, a

    desigualdade de Schwarz ou a relao deste conceito com a perpendicularidade. Fixado um referencial

    cartesiano, o produto escalar estuda-se tambm do ponto de vista das coordenadas. importante notar

    que as propriedades das funes trigonomtricas abordadas no domnio Trigonometria so fundamentais

    para uma correta apresentao e justificao de muitos destes resultados. Completa-se igualmente, neste

    domnio, o estudo das equaes de planos no espao, iniciado no 10. ano.

    No domnio Programao Linear feita uma pequena introduo aos problemas de otimizao,

    introduzindo-se o respetivo vocabulrio. Propem-se problemas de maximizao ou minimizao de

    funes objetivo lineares de duas variveis em regies admissveis poligonais, que podero ser resolvidos

    por mtodos geomtricos ou analticos.

    No domnio Sucesses so inicialmente apresentados alguns aspetos gerais da relao de ordem

    definida nos nmeros reais, como as propriedades do supremo (respetivamente nfimo) de um conjunto

  • Contedos Pgina 15

    no vazio majorado (respetivamente minorado), cuja existncia admitida. igualmente introduzido,

    neste domnio, o princpio de induo matemtica, que constitui um instrumento fundamental para o

    estudo de diversas propriedades das sucesses, servindo ainda de suporte terico definio de

    sucesses por recorrncia. So estudadas as progresses aritmticas e geomtricas bem como o clculo

    da soma de sequncias dos respetivos termos, destacando-se, em particular, a aplicao ao clculo de

    juros compostos.

    A noo de limite introduzida, de forma cuidada, neste domnio, o que o torna num dos

    domnios-chave do 11. ano de escolaridade. Uma abordagem puramente intuitiva dos limites leva

    rapidamente a insuficincias concetuais graves. pois exigida, em situaes muito simples, a justificao

    da convergncia de certas sucesses recorrendo diretamente definio. tambm desenvolvida, de

    forma bastante completa, a lgebra dos limites, incluindo uma anlise das situaes ditas indeterminadas,

    devendo os alunos justificar igualmente alguns destes resultados.

    No domnio Funes Reais de Varivel Real, do 11. ano, utilizam-se os conceitos introduzidos no

    domnio Sucesses, para, pelo processo atribudo a Heine, ficar definida a noo de limite de uma funo,

    num dado ponto ou em mais ou menos infinito. Neste contexto, so essencialmente duas as opes que

    classicamente se consideram para a definio de limite num ponto real, consoante o domnio em que se

    tomam as sucesses a tender para , para o efeito de testar a existncia do referido limite. A opo

    privilegiada desde h bastante tempo no Ensino Secundrio em Portugal tem sido a que consiste em

    considerar, de entre as sequncias no domnio da funo, apenas aquelas que nunca tomam o valor . Ou

    seja, tem-se optado pelo que vulgarmente se designa por limite por valores diferentes de . Neste

    programa optou-se pela verso alternativa que consiste em admitir, com o mesmo objetivo, sucesses

    podendo tomar o valor ; considera-se, com efeito, que esta opo apresenta diversas vantagens. Em

    primeiro lugar por ser mais simples de formular (e permitir tambm uma formulao mais simples da

    noo de continuidade) e em segundo porque a prpria noo de limite por valores diferentes (como

    outras afins como a de limite esquerda e direita) passa a poder ser encarada como caso particular

    de um noo geral de limite segundo um conjunto que muito simplesmente o limite da restrio da

    funo inicial a esse conjunto.

    Quanto escolha da definio de limite segundo Heine - que j prtica comum no Ensino

    Secundrio - permite, de forma bastante imediata, estender ao caso de funes reais a lgebra de limites

    estudada a propsito das sucesses, bem como os teoremas de convergncia por comparao, como o

    Teorema das funes enquadradas, que uma consequncia direta, com esta abordagem, do Teorema

    das sucesses enquadradas e que so estudados no 12 ano. Apresenta-se em seguida a noo de

    continuidade e, como uma aplicao da noo de limite de uma funo, o estudo das assntotas, em

    particular no caso do grfico de uma funo racional.

    A diferenciabilidade igualmente introduzida neste domnio, fazendo-se uma interpretao

    geomtrica da derivada de uma funo num dado ponto e estabelecendo-se frmulas para a soma,

    diferena, produto, quociente e composta de funes diferenciveis e calculando-se, directamente a

    partir da definio, a derivada de algumas funes elementares. A ligao entre o sinal da derivada e a

    monotonia de uma dada funo aqui estabelecida invocando-se o Teorema de Lagrange para uma das

    implicaes, o qual referido juntamente com o Teorema de Rolle, embora apenas se exija uma

    interpretao geomtrica desses resultados. Em contrapartida pretende-se que o aluno saiba justificar a

    propriedade segundo a qual se uma funo que atinge um extremo num dado ponto em que

    diferencivel, ento a derivada anula-se nesse ponto, desde que pertena a um intervalo aberto contido

    no domnio da funo. Finalmente, proposta especificamente a aplicao da diferenciabilidade

    cinemtica do ponto.

  • Contedos Pgina 16

    No domnio Estatstica, estudam-se as retas de mnimos quadrados associadas a uma sequncia de

    pontos do plano. As coordenadas destes pontos podem em particular representar os valores de uma

    amostra bivariada, o que permite a aplicao deste conceito ao estudo da correlao de duas variveis

    estatsticas definidas numa mesma populao.

    11. ano Tabela de contedos

    Domnio Contedos

    TRI11

    50 aulas

    Extenso da Trigonometria a ngulos retos e obtusos e resoluo de tringulos

    - Extenso da definio das razes trigonomtricas ao caso de ngulos retos e obtusos; Lei dos senos e Lei dos cossenos; extenso da frmula fundamental da trigonometria;

    - Resoluo de tringulos; - Seno e cosseno da soma de ngulos cuja soma um ngulo convexo; - Seno e cosseno da diferena de ngulos convexos cuja diferena um ngulo convexo; - Seno e cosseno da metade de um ngulo.

    ngulos orientados, ngulos generalizados e rotaes

    - ngulos orientados; amplitudes de ngulos orientados e respetivas medidas; - Rotaes; - Orientao de um plano; - ngulos generalizados; medidas de amplitude de ngulos generalizados; - ngulos generalizados e rotaes.

    Razes trigonomtricas de ngulos generalizados

    - Circunferncia trigonomtrica (Crculo trigonomtrico); - Generalizao das definies das razes trigonomtricas aos ngulos orientados e

    generalizados e s respetivas medidas de amplitude; - Medidas de amplitude em radianos.

    Funes trigonomtricas

    - As funes reais de varivel real seno, cosseno e tangente: domnios, periodicidade, contradomnios, zeros e extremos locais;

    - Relaes entre razes trigonomtricas de ngulos complementares, suplementares, cuja diferena um ngulo reto ou um ngulo raso ou cuja soma um ngulo giro;

    - Generalizao da relao fundamental da Trigonometria e das frmulas trigonomtricas da soma, diferena e da duplicao;

    - Equaes do tipo e ; - Inequaes trigonomtricas com domnio num intervalo limitado; - Estudo das funes definidas analiticamente por ( ) , ( ) e ( ) ;

    - Funes trigonomtricas inversas; - Resoluo de problemas envolvendo razes trigonomtricas e a determinao de

    distncias; - Resoluo de problemas envolvendo funes trigonomtricas.

    Aplicaes aos osciladores harmnicos

    - Osciladores harmnicos: amplitude, pulsao, perodo, frequncia e fase; - Resoluo de problemas envolvendo osciladores harmnicos.

  • Contedos Pgina 17

    GA11

    32 aulas

    Declive e inclinao de uma reta do plano

    - Inclinao de uma reta do plano e relao com o respetivo declive.

    Produto escalar de vetores

    - Produto escalar de um par de vetores; - ngulo formado por um par de vetores no nulos; relao com o produto escalar; - Perpendicularidade entre vetores e relao com o produto escalar; - Desigualdade de Cauchy-Schwarz; - Simetria e bilinearidade do produto escalar; - Clculo do produto escalar de um par de vetores a partir das respetivas coordenadas; - Relao entre o declive de retas do plano perpendiculares; - Resoluo de problemas envolvendo a noo de produto escalar.

    Equaes de planos no espao

    - Vetores normais a um plano; - Relao entre a posio relativa de dois planos e os respetivos vetores normais; - Paralelismo entre vetores e planos; - Equaes cartesianas, vetoriais e paramtricas de planos; - Resoluo de problemas envolvendo a noo de produto escalar de vetores; - Resoluo de problemas relativos determinao de equaes de retas do plano em

    situaes envolvendo a noo de perpendicularidade; - Resoluo de problemas envolvendo a determinao de equaes de planos, em

    situaes envolvendo a perpendicularidade; - Resoluo de problemas envolvendo equaes de planos e de retas no espao.

    PL11

    6 aulas

    Vocabulrio da otimizao

    - Funo objetivo; regio admissvel e pontos admissveis; - Conjunto de nvel de uma funo numrica.

    Introduo programao linear

    - Problemas de programao linear e respetivas funes objetivo e regies admissveis; conjuntos de nvel de um problema de programao linear;

    - Relao entre os mximos e mnimos da funo objetivo de um problema de programao linear e os vrtices da respetiva regio admissvel, quando esta limitada;

    - Resoluo de problemas de programao linear por mtodos geomtricos e analticos.

    SUC11

    38 aulas

    Conjunto dos majorantes e conjunto dos minorantes de uma parte no vazia de

    - Conjuntos minorados, majorados e limitados; - Mximo, mnimo, supremo e nfimo de um conjunto; - Princpio do supremo; caracterizao do conjunto dos majorantes e do conjunto dos

    minorantes de um conjunto no vazio de nmeros reais; - Caracterizao do supremo e do nfimo de um conjunto no vazio de nmeros reais.

    Generalidades acerca de sucesses

    - Sucesses numricas; sucesses montonas, majoradas, minoradas e limitadas; conjunto dos majorantes e dos minorantes de uma sucesso;

    - Resoluo de problemas envolvendo o estudo da monotonia e a determinao de majorantes e minorantes de sucesses.

  • Contedos Pgina 18

    Princpio de induo matemtica

    - Princpio de induo matemtica;

    - Definio de uma sucesso por recorrncia;

    - Demonstrao de propriedades utilizando o princpio de induo matemtica.

    Progresses aritmticas e geomtricas

    - Progresses aritmticas e geomtricas; termos gerais e somas de termos consecutivos;

    - Resoluo de problemas envolvendo progresses aritmticas e geomtricas.

    Aplicaes aos juros compostos

    - Clculo de juros compostos; - Resoluo de problemas envolvendo juros compostos.

    Limites de sucesses

    - Limite de uma sucesso (casos de convergncia e de limites infinitos); unicidade do

    limite; caso de sucesses que diferem num nmero finito de termos;

    - Operaes com limites e situaes indeterminadas;

    - Levantamento algbrico de indeterminaes;

    - Limites de polinmios e de fraes racionais;

    - Limites

    ,

    ( ) e

    ( );

    - Resoluo de problemas envolvendo limites de sucesses.

    FRVR11

    46 aulas

    Limites segundo Heine de funes reais de varivel real

    - Pontos aderentes a um conjunto de nmeros reais;

    - Limite de uma funo num ponto aderente ao respetivo domnio;

    - Limites por valores num dado conjunto; limites laterais;

    - Limites no infinito;

    - Operaes com limites e casos indeterminados; produto de uma funo limitada por

    uma funo de limite nulo;

    - Limite de uma funo composta;

    - Levantamento algbrico de indeterminaes;

    - Resoluo de problemas envolvendo o estudo dos zeros e do sinal de funes racionais

    dadas por expresses da forma ( )

    ( ), onde e so polinmios;

    - Resoluo de problemas envolvendo a noo de limite de uma funo.

    Continuidade de funes

    - Funo contnua num ponto e num subconjunto do respetivo domnio;

    - Continuidade da soma, diferena, produto, quociente e composio de funes

    contnuas;

    - Continuidade das funes polinomiais, racionais, trigonomtricas, razes e potncias de

    expoente racional.

  • Contedos Pgina 19

    Assntotas ao grfico de uma funo

    - Assntotas verticais e assntotas oblquas ao grfico de uma funo; - Resoluo de problemas envolvendo a determinao das assntotas e da representao

    grfica de funes racionais definidas analiticamente por ( )

    ( );

    - Resoluo de problemas envolvendo a determinao de assntotas ao grfico de funes racionais e de funes definidas pelo radical de uma funo racional.

    Diferenciabilidade

    - Taxa mdia de variao de uma funo e interpretao geomtrica; - Derivada de uma funo num ponto e interpretao geomtrica; - Derivada da soma e da diferena de funes diferenciveis; - Derivada do produto e do quociente de funes diferenciveis; - Derivada da funo composta; - Derivada da funo definida por ( ) , inteiro; - Sinal da derivada de funes montonas; nulidade da derivada num extremo local de

    uma funo; - Teorema de Lagrange e de Rolle; interpretao geomtrica; - Monotonia das funes com derivada de sinal determinado num intervalo;

    - Clculo e memorizao da derivada das funes dadas pelas expresses

    e ;

    - Clculo da derivada de funes dadas por ( )

    ( no nulo se mpar, se par);

    - Clculo e memorizao da derivada de funes dadas por ( ) ( racional, ); - Clculo de derivadas de funes utilizando as regras de derivao e as derivadas de

    funes de referncia; - Equaes de retas tangentes ao grfico de uma dada funo; - Resoluo de problemas envolvendo a determinao de equaes de retas tangentes

    ao grfico de funes reais de varivel real; - Resoluo de problemas envolvendo a aplicao do clculo diferencial ao estudo de

    funes reais de varivel real, a determinao dos respetivos intervalos de monotonia, extremos relativos e absolutos.

    Cinemtica do ponto

    - Aplicao da noo de derivada cinemtica do ponto: funes posio, velocidade mdia e velocidade instantnea de um ponto material que se desloca numa reta; unidades de medida de velocidade;

    - Resoluo de problemas envolvendo funes posio, velocidades mdias e velocidades instantneas e mudanas de unidades de velocidade.

    EST11

    6 aulas

    Reta de mnimos quadrados, amostras bivariadas e coeficiente de correlao

    - Reta de mnimos quadrados de uma sequncia de pontos do plano; - Amostras bivariadas; varivel resposta e varivel explicativa; - Nuvem de pontos de uma amostra de dados bivariados quantitativos; - Reta dos mnimos quadrados de uma amostra de dados bivariados quantitativos; - Coeficiente de correlao; - Resoluo de problemas envolvendo a determinao de retas de mnimos quadrados; - Resoluo de problemas envolvendo amostras de dados bivariados quantitativos e o

    clculo e interpretao dos coeficientes da reta de mnimos quadrados e do coeficiente de correlao.

  • Contedos Pgina 20

    12. ano

    No 12. ano, os domnios de contedos so sete:

    Clculo Combinatrio (CC)

    Probabilidades (PRB)

    Funes Reais de Varivel Real (FRVR)

    Trigonometria (TRI)

    Funes Exponenciais e Logartmicas (FEL)

    Primitivas e Clculo Integral (PCI)

    Nmeros Complexos (NC)

    O Clculo Combinatrio a rea da Matemtica dedicada realizao eficiente de contagens.

    Nestes descritores abordam-se inicialmente, aps uma formulao em termos de teoria dos conjuntos de

    algumas propriedades elementares dos cardinais, problemas de contagem relacionados com o nmero de

    funes entre conjuntos finitos ou com o nmero de partes de um dado conjunto finito, definindo-se

    progressivamente arranjos, com ou sem repetio, e combinaes, que permitem, em situaes muito

    distintas, efetuar contagens de forma expedita. igualmente introduzido o binmio de Newton e o

    tringulo de Pascal, estudando-se algumas propriedades dos coeficientes binomiais.

    Aps uma primeira abordagem mais restritiva elaborada 9. ano, pretende-se agora, no domnio

    Probabilidades, estudar de um modo mais geral a noo de probabilidade de um ponto de vista

    matemtico, comeando por se introduzir a noo de funo de probabilidade definida no conjunto das

    partes de um conjunto finito, da qual a lei dita de Laplace, estudada no Ensino Bsico, um caso

    particular, relacionado com situaes de equiprobabilidade. igualmente abordada a noo de

    probabilidade condicionada e de independncia de acontecimentos, apresentando-se em particular o

    Teorema da probabilidade total. Finalmente, prope-se o estudo da distribuio de probabilidade de

    algumas variveis aleatrias discretas que apenas tomam um nmero finito de valores, como a

    distribuio de Bernoulli ou a distribuio binomial, apresentando-se, neste contexto, a noo de valor

    mdio e de desvio padro.

    No domnio Funes Reais de Varivel Real, completa-se o estudo dos limites de sucesses e de

    funes. Continua-se ainda o estudo das funes contnuas e das funes diferenciveis, enunciando-se,

    em particular, o Teorema de Weierstrass e o Teorema dos valores intermdios (ou de Bolzano-Cauchy).

    Trata-se tambm a diferenciabilidade da funo inversa de uma funo bijetiva, o que permitir em

    particular, no domnio Funes Exponenciais e Logartmicas, relacionar a derivada das segundas com as

    derivadas das primeiras. Relaciona-se ainda o sinal da derivada de segunda ordem de uma funo com o

    sentido da concavidade do respetivo grfico, aproveitando-se para, no contexto da cinemtica do ponto,

    interpretar a derivada de segunda ordem das funes posio como uma acelerao. Aborda-se a questo

    da utilizao das calculadoras grficas, em particular para a obteno de valores aproximados de

    equaes envolvendo funes reais de varivel real, aproveitando-se os conhecimentos adquiridos acerca

    do estudo analtico de funes para justificar a validade de determinados procedimentos e analisar

    criticamente os diversos usos que podem ser feitos deste tipo de tecnologias neste contexto.

  • Contedos Pgina 21

    O domnio Trigonometria no 12. ano dedicado ao clculo da derivada das funes seno e

    cosseno, aps o estabelecimento de alguns limites, ditos notveis, indispensveis a esse efeito. a

    oportunidade ideal para se aprofundar o estudo dos osciladores harmnicos iniciado no 11. ano,

    analisando-se uma equao diferencial caracterstica que rege o respetivo comportamento e verificando-

    se que, em particular, uma tal equao pode ser deduzida da Lei de Hooke, desde que se admita a

    Relao Fundamental da Dinmica, o que permite evidenciar o carcter de oscilador harmnico de uma

    mola no submetida a atrito.

    No domnio Funes Exponenciais e Logartmicas comea-se por retomar o clculo de juros

    compostos, com o intuito de introduzir o nmero de Neper. Estudam-se em seguida, de forma

    sistemtica, as propriedades da funo ( ) definida no conjunto dos nmeros racionais (onde

    ), argumentando-se, com determinadas passagens ao limite, e admitindo alguns resultados

    intuitivos, mas de demonstrao mais delicada, que esta funo se pode estender ao conjunto dos

    nmeros reais mantendo, no essencial, as mesmas propriedades algbricas. Prope-se depois o clculo da

    derivada da funo exponencial, partindo do limite

    , que admitido, embora se

    abordem algumas propriedades de aproximao sequencial da exponencial que podem ser utilizadas na

    respetiva justificao. As funes logartmicas so introduzidas como funes inversas das funes

    exponenciais, tomadas como bijees sobre os respetivos contradomnios, j que se demonstra tratar-se

    de funes injetivas. Esta abordagem permite estabelecer facilmente, a partir das propriedades

    conhecidas das funes exponenciais, as propriedades algbricas e analticas das funes logartmicas.

    Aborda-se ainda o clculo de alguns limites que comparam o crescimento das funes polinomiais,

    exponenciais e logartmicas e que os alunos devem conhecer.

    De forma anloga ao caso dos osciladores harmnicos, tambm o estudo de certas equaes

    diferenciais lineares de primeira ordem permite justificar a utilizao de funes exponenciais na

    modelao de inmeros fenmenos, como a evoluo de algumas populaes, da temperatura de

    determinados sistemas ou o decaimento de uma substncia radioativa.

    Considera-se relevante que os alunos terminem o Ensino Secundrio com algumas noes, ainda

    que no inteiramente formalizadas, de Clculo Integral, j que, em certo sentido, se trata de um

    complemento essencial do Clculo Diferencial. Podero dessa forma construir uma viso mais unificada e

    abrangente da Anlise elementar. nesse esprito que foi concebido o domnio Primitivas e Clculo

    Integral. Aps a introduo da definio de primitiva de uma funo e do estudo de algumas das

    respetivas propriedades imediatas, abordada a noo de integral de uma funo contnua e no

    negativa num intervalo limitado, de forma intuitiva e visual, recorrendo noo de rea e, utilizando-se

    propriedades elementares admitidas para esta noo, demonstra-se o Teorema fundamental do clculo e

    a frmula de Barrow. A definio posteriormente estendida s funes contnuas que alternam de sinal

    um nmero finito de vezes, bem como os referidos resultados fundamentais, e, finalmente, refere-se

    apenas a possibilidade de extenso a todas as funes contnuas. Neste domnio so, de modo geral,

    estudadas as principais propriedades dos integrais definidos e analisadas algumas tcnicas de

    primitivao e de integrao.

    Finalmente, no domnio Nmeros Complexos, apresenta-se a motivao histrica para a introduo

    dos nmeros imaginrios, relacionada com a frmula de Cardano para a resoluo de equaes do

    terceiro grau. Introduz-se em seguida o corpo dos nmeros complexos, tendo-se optado por efetuar uma

    construo algbrica que consiste em munir o conjunto da operao de adio usual e de uma

  • Contedos Pgina 22

    multiplicao adequada. Comea-se por motivar estas definies, estabelecendo-se previamente

    determinadas propriedades que resultam necessariamente das caractersticas que se pretende atribuir

    aos nmeros complexos, em particular a existncia de um nmero cujo quadrado igual a . Trata-se

    de uma construo palpvel e concreta que pretende evitar algumas das reticncias evidenciadas

    geralmente pelos alunos quanto verdadeira existncia dos nmeros imaginrios e que est

    estreitamente relacionada com o habitual conceito de plano complexo. Aps a anlise das propriedades

    operatrias dos nmeros complexos, estudado em pormenor o grupo dos complexos de mdulo ,

    estabelecendo-se assim uma base slida para a representao dos nmeros complexos na forma polar e,

    posteriormente, para a radiciao complexa. ainda estudada a representao complexa de algumas

    transformaes do plano, como rotaes, reflexes, translaes e homotetias, e aproveitam-se as

    frmulas de De Moivre para linearizar polinmios trigonomtricos, o que permite estabelecer

    rapidamente diversas frmulas de trigonometria e primitivar algumas funes.

    12. ano Tabela de contedos

    Domnio Contedos

    CC12

    17 aulas

    Factos elementares do Clculo Combinatrio

    - Conjuntos equipotentes e cardinais; cardinal da unio de conjuntos disjuntos; - Cardinal do produto cartesiano de conjuntos finitos; - Nmero de aplicaes entre conjuntos de cardinal finito; arranjos com repetio; - Nmero de subconjuntos de um conjunto de cardinal finito; - Nmero de bijees de um conjunto finito nele prprio; fatorial de um nmero inteiro

    no negativo; - Nmero de aplicaes injetivas entre conjuntos de cardinal finito; Arranjos sem

    repetio; - Nmero de subconjuntos de elementos de um conjunto de cardinal ; combinaes; - Resoluo de problemas envolvendo cardinais de conjuntos, contagens, arranjos e

    combinaes.

    Tringulo de Pascal e Binmio de Newton

    - Frmula do binmio de Newton; - Tringulo de Pascal: definio e construo; - Resoluo de problemas envolvendo o tringulo de Pascal e o binmio de Newton.

    PRB12

    27 aulas

    Espaos de probabilidade

    - Probabilidade no conjunto das partes de um espao amostral finito; espao de probabilidades;

    - Acontecimento impossvel, certo, elementar e composto; acontecimentos incompatveis, acontecimentos contrrios, acontecimentos equiprovveis e regra de Laplace;

    - Propriedades das probabilidades: probabilidade do acontecimento contrrio, probabilidade da diferena e da unio de acontecimentos; monotonia da probabilidade;

    - Resoluo de problemas envolvendo a determinao de probabilidades em situaes de equiprobabilidade de acontecimentos elementares;

    - Resoluo de problemas envolvendo espaos de probabilidade e a determinao de propriedades da funo de probabilidade.

  • Contedos Pgina 23

    Probabilidade Condicionada

    - Probabilidade condicionada; - Acontecimentos independentes; - Teorema da probabilidade total; - Resoluo de problemas envolvendo probabilidade condicionada, acontecimentos

    independentes e o Teorema da probabilidade total.

    Variveis aleatrias discretas e distribuies de probabilidade

    - Varivel aleatria discreta; distribuio de probabilidade discreta; - Valor mdio e desvio-padro de uma varivel aleatria discreta; - Distribuio de Bernoulli; - Distribuio binomial; - Resoluo de problemas envolvendo distribuies de probabilidade, a mdia e o desvio

    padro de uma varivel aleatria; - Resoluo de problemas envolvendo as distribuies de Bernoulli e binomial.

    FRVR12

    32 aulas

    Limites e Continuidade - Teoremas de comparao para sucesses e teorema das sucesses enquadradas; - Convergncia das sucesses montonas e limitadas; - Vizinhanas de e de ; - Teoremas de comparao envolvendo desigualdades entre funes e os respetivos

    limites; - Teorema das funes enquadradas; - Utilizao dos teoremas de comparao e do teorema das funes enquadradas para

    determinar limites de funes reais de varivel real; - Teorema dos valores intermdios (Bolzano Cauchy); - Bijetividade das funes montonas e contnuas num dado intervalo; continuidade da

    funo inversa; - Teorema de Weierstrass; - Resoluo de problemas envolvendo os teoremas de comparao para o clculo de

    limites de sucesses e de funes e a continuidade de funes.

    Diferenciabilidade

    - Derivada da funo inversa; aplicao derivada de

    . Derivada de segunda ordem, extemos, sentido das concavidades e pontos de inflexo

    - Derivada de segunda ordem de uma funo; - Sinal da derivada de segunda ordem num ponto crtico e identificao de extremos

    locais; - Pontos de inflexo e concavidades do grfico de funes duas vezes diferenciveis; - Interpretao cinemtica da derivada de segunda ordem de uma funo posio:

    acelerao mdia e acelerao; unidades de medida de acelerao; - Estudo e traados de grficos de funes diferenciveis; - Resoluo de problemas envolvendo propriedades de funes diferenciveis.

  • Contedos Pgina 24

    Aplicao do clculo diferencial resoluo de problemas

    - Resoluo de problemas de otimizao envolvendo funes diferenciveis; - Resoluo de problemas envolvendo funes posio, velocidades mdias e

    velocidades instantneas, aceleraes mdias e aceleraes instantneas e mudanas de unidades de acelerao;

    - Resoluo de problemas envolvendo a resoluo aproximada de equaes da forma ( ) ( ) utilizando uma calculadora grfica.

    TRI12

    22 aulas

    Diferenciao de funes trigonomtricas

    - Limite notvel

    ( )

    ;

    - Diferenciabilidade das funes seno, cosseno e tangente; - Resoluo de problemas envolvendo o estudo de funes definidas a partir de funes

    trigonomtricas.

    Aplicaes aos osciladores harmnicos

    - Relao Fundamental da Dinmica e lei de Hooke; - Os osciladores harmnicos como solues de equaes diferenciais da forma ; - Resoluo de problemas envolvendo osciladores harmnicos.

    FEL12

    41 aulas

    Nmero de Neper

    - Sucesso de termo geral (

    )

    e relao com juros compostos; capitalizao

    contnua de juros e definio do nmero de Neper.

    Funes exponenciais

    - Propriedades da funo definida nos nmeros racionais pela expresso ( ) ( ): monotonia, continuidade, limites e propriedades algbricas;

    - Extenso ao caso real: definio das funes exponenciais de base a e respetivas propriedades;

    - Funo exponencial e relao com o limite da sucesso de termo geral (

    )

    , ;

    - Limite notvel

    e derivada da funo exponencial.

    Funes logartmicas

    - Funo logartmica de base enquanto bijeo recproca da funo exponencial de base ; logaritmo decimal e logaritmo neperiano;

    - Monotonia, sinal, limites e propriedades algbricas dos logaritmos; - Diferenciabilidade das funes logartmicas no respetivo domnio.

    Limites notveis envolvendo funes exponenciais e logartmicas

    - Limites

    ,

    ,

    ( )

    e

    ( );

    - Resoluo de problemas envolvendo o estudo de funes definidas a partir de funes exponenciais e logartmicas, as respetivas propriedades algbricas e limites notveis.

  • Contedos Pgina 25

    Modelos exponenciais

    - A equao , , enquanto modelo para o comportamento da medida de grandezas cuja taxa de variao aproximadamente proporcional quantidade de grandeza presente num dado instante (evoluo de uma populao, da temperatura de um sistema ou do decaimento de uma substncia radioativa);

    - Solues da equao , ; - Resoluo de problemas de aplicao, envolvendo a equao , .

    PCI12

    20 aulas

    Primitivas

    - Definio de primitiva de uma funo num intervalo; famlia das primitivas de uma dada funo num intervalo; linearidade da primitivao;

    - Primitivas de funes da forma ( ) ( ( )).

    Clculo Integral

    - Aditividade e monotonia da medida de rea; - Definio intuitiva da noo de integral de funes contnuas no negativas num

    intervalo limitado e fechado; - Origem histrica do smbolo de integral; - Noo de integral definido para funes contnuas num intervalo limitado e fechado

    que alternam de sinal um nmero finito de vezes; - Teorema fundamental do clculo integral, Frmula de Barrow e Teorema da mdia; - Linearidade e monotonia do integral definido; aditividade do integral em relao ao

    domnio; - Referncia a extenses da noo de integral; existncia de primitivas para funes

    contnuas em intervalos.

    Resoluo de problemas

    - Resoluo de problemas envolvendo o clculo de medidas de rea de regies do plano; - Resoluo de problemas envolvendo a primitivao e a integrao de funes

    contnuas; - Resoluo de problemas envolvendo funes posio, velocidade e acelerao e a

    primitivao e integrao de funes.

    NC12

    28 aulas

    Introduo aos nmeros complexos - A Frmula de Cardano e a origem histrica dos nmeros complexos; - Motivao da definio dos nmeros complexos e das operaes de soma e produto de

    nmeros complexos; - Propriedades das operaes ( ) ( ) ( ) e ( ) ( ) ( ) definidas em : associatividade, comutatividade, distributividade de relativamente a e respetivos elementos neutros; definio do corpo dos nmeros complexos , enquanto munido destas operaes;

    - enquanto subconjunto de ; a unidade imaginria ( ); - Representao dos nmeros complexos na forma , . Parte real e

    parte imaginria dos nmeros complexos; o plano complexo e os eixos real e imaginrio; ponto afixo de um nmero complexo.

  • Contedos Pgina 26

    Complexo conjugado e mdulo dos nmeros complexos

    - Conjugado de um nmero complexo; propriedades algbricas e geomtricas; expresso da parte real e da parte imaginria de um nmero complexo em funo de e de ;

    - Mdulo de um nmero complexo; propriedades algbricas e geomtricas.

    Quociente de nmeros complexos

    - Inverso de um nmero complexo no nulo e quociente de nmeros complexos.

    Exponencial complexa e forma polar dos nmeros complexos

    - Complexos de mdulo ; a exponencial complexa ( ) ( ), , e respetivas propriedades algbricas e geomtricas; argumento de um nmero complexo e representao polar dos nmeros complexos;

    - Frmulas de De Moivre.

    Razes n-simas de nmeros complexos

    - Solues das equaes da forma , e ; a funo raiz quadrada; razes dos polinmios complexos de grau .

    Resoluo de problemas

    - Resoluo de problemas envolvendo propriedades algbricas e geomtricas dos nmeros complexos, a respetiva forma polar, razes -simas de nmeros complexos e as frmulas de De Moivre.

  • Nveis de desempenho Pgina 27

    5. NVEIS DE DESEMPENHO

    Os descritores especificados na tabela seguinte, que dizem respeito a propriedades que os alunos

    devem reconhecer, a procedimentos que devem efetuar ou a problemas que devem resolver, foram

    assinalados, nas Metas Curriculares, com o smbolo +. Para estes descritores especificaram-se, no

    Caderno de Apoio, diferentes nveis de desempenho, materializados em exemplos de complexidade

    variada que podero ser propostos aos alunos. Os exemplos que no Caderno de Apoio se encontram

    assinalados com um ou dois asteriscos correspondem a desempenhos progressivamente mais avanados

    que no sero exigveis totalidade dos alunos, estando os restantes associados a um desempenho

    considerado regular. Pretende-se assim estabelecer, para estes descritores, um referencial que permita

    ao professor apreender o grau de exigncia requerido.

    Ano de escolaridade Descritores

    10. ano

    LTC10 1.18, 2.9, 2.29, 3.1, 3.2. ALG10 1.1, 1.2, 1.11, 2.1, 2.2, 2.4, 2.5, 3.1, 4.2, 4.5, 4.11, 5.1, 5.2, 5.3. GA10 1.2, 1.4, 1.10, 1.14, 1.18, 2.1, 4.1, 5.4, 5.6, 6.1, 8.1, 8.2, 8.3, 9.5, 9.6, 12.1, 13.1, 13.2. FRVR10 1.10, 1.11, 2.6, 2.7, 2.8, 2.10, 4.8, 6.1, 6.2, 6.3, 6.4 EST10 7.1, 7.2, 7.3

    11. ano

    TRI11 1.8, 9.1, 10.1, 10.2, 10.3, 10.4, 11.2. GA11 4.1, 4.2, 4.3, 4.4 SUC11 3.3, 5.2, 5.3, 7.3, 8.1, 8.2, 8.3, 8.4, 8.5. FRVR11 4.1, 4.2, 4.3, 4.4, 4.5, 6.13, 9.1, 9.2, 9.3. PL11 3.1

    12. ano

    CC12 1.4, 1.10, 2.3, 2.4, 3.1, 3.2, 3.3, 4.1, 4.2, 4.3, 4.4. PRB12 3.3, 4.1, 4.2, 4.3, 4.4, 4.5. FRVR12 1.10, 2.1, 2.2, 3.1, 6.1, 6.2, 6.3, 6.4, 6.5. TRI12 1.1, 3.1, 3.2, 3.3. FEL12 4.4, 6.1, 6.2, 6.3. PCI12 1.6, 4.1, 4.2, 4.3. NC12 1.3, 4.3, 5.1, 6.1, 6.2, 6.3, 6.4, 6.5, 6.6.

    Por outro lado, alguns descritores (ALG10 1.4; GA10 1.9, 3.7, 3.8, 10.3; TRI11 1.15, 1.17; GA11

    2.9, 2.10; SUC11 7.7, 7.28, 7.29; FRVR11 2.4, 6.8, 6.11; FRVR12 1.5, 5.3, 5.4; FEL12 1.1, 2.1, 2.2, 2.3, 4.1),

    relativos a propriedades que os alunos devem provar, encontram-se igualmente assinalados, nas Metas

    Curriculares, com o smbolo +. Entende-se, neste caso, que embora todos os alunos devam conhecer o

    resultado em causa e saber aplic-lo, a elaborao da respetiva demonstrao facultativa, por

    corresponder a um nvel de desempenho superior. Finalmente, nos domnios LTC10, ALG10, SUC11,

    FRVR12, PRB12 e FEL12 encontram-se assinalados com o smbolo # alguns descritores relativos a

    conjuntos de demonstraes muito semelhantes entre si, ficando ao critrio do professor quais devem ser

    tratadas como exemplo.

  • Indicaes metodolgicas Pgina 28

    6. INDICAES METODOLGICAS

    Tendo em considerao, tal como para os nveis de desempenho, as circunstncias de ensino (e, de

    modo muito particular, as caractersticas das turmas e dos alunos), as escolas e os professores devem

    decidir quais as metodologias e os recursos mais adequados para auxiliar os seus alunos a alcanar os

    desempenhos definidos nas Metas Curriculares.

    A experincia acumulada das escolas e dos professores constitui um elemento fundamental no

    sucesso de qualquer projeto educativo, no se pretendendo, por isso, espartilhar e diminuir a sua

    liberdade pedaggica nem condicionar a sua prtica letiva. Pelo contrrio, o presente Programa

    reconhece e valoriza a autonomia das escolas e dos professores, no impondo portanto metodologias

    especficas.

    Sem constituir ingerncia no trabalho dos professores, nota-se, contudo, que a aprendizagem

    matemtica estruturada em patamares de crescente complexidade, pelo que na prtica letiva dever

    ter-se em ateno a progresso dos alunos, sendo muito importante proceder-se a revises frequentes de

    contedos j lecionados com vista sua consolidao, incluindo alguns j conhecidos do Ensino Bsico.

    Utilizao da tecnologia

    As salas de aulas esto, em geral, dotadas de um certo nmero de equipamentos que podem

    constituir uma mais-valia para a prtica letiva. A tecnologia no Ensino Secundrio deve portanto ser

    aproveitada para ajudar os alunos a compreender certos contedos e relaes matemticas e para o

    exerccio de certos procedimentos; essa utilizao deve, no entanto, ser criteriosa, j que, caso contrrio,

    pode condicionar e comprometer gravemente a aprendizagem e a avaliao.

    Os professores e os alunos tm ao seu dispor, por exemplo, um vasto conjunto de recursos que

    facilitam o clculo, as representaes geomtricas e a representao grfica de funes, mas importa que

    os alunos adquiram capacidade crtica para reconhecer as situaes em que a tecnologia no permite s

    por si justificar a adequao dos resultados encontradas ao problema proposto ou ilustrar devidamente os

    conceitos e procedimentos matemticos envolvidos.

    A utilizao da tecnologia no pode, pois, substituir a compreenso conceptual, a proficincia no

    clculo e a capacidade de resolver problemas. Assim, os alunos devem dominar procedimentos como

    operar com polinmios, efetuar representaes de grficos de funes, resolver equaes, calcular limites

    e derivadas sem necessitarem de utilizar recursos tecnolgicos (calculadoras, computadores, etc.) que

    substituam algumas das capacidades matemticas inerentes a esses procedimentos. Apenas a

    memorizao e a compreenso cumulativa de conceitos, tcnicas e relaes matemticas permitem

    resolver problemas progressivamente mais exigentes e alcanar conhecimentos progressivamente mais

    complexos.

    Em particular o professor deve alertar os alunos para as limitaes das calculadoras e computadores,

    sublinhando sempre a importncia de relacionar quer as representaes grficas observadas, quer os

    valores encontrados, com o conhecimento terico que permite atribuir o devido significado a essas

    representaes e valores. um erro grave, por exemplo, pensar que a simples considerao de resultados

    obtidos atravs de uma calculadora permite verificar se um nmero irracional (j que esta apenas

    apresenta uma aproximao de um dado nmero como dzima finita at determinada ordem), concluir que

    uma funo definida numa infinidade de pontos montona (teria de calcular-se o valor da funo em

    cada ponto do respetivo domnio, e no apenas num subconjunto finito do mesmo, que o que na

    realidade qualquer calculadora faz, alis em geral apenas com determinado grau de aproximao), se uma

    sucesso convergente, ou, de maneira geral, deduzir qualquer propriedade do grfico de uma funo que

  • Indicaes metodolgicas Pgina 29

    necessite do conhecimento dos valores da funo numa infinidade de pontos do domnio (continuidade,

    diferenciabilidade, limites, assntotas, resultados positivos de concavidade e monotonia, extremos, etc.).

    No entanto, o conhecimento prvio de propriedades analticas de uma funo ou funes pode, em muitos

    casos, permitir uma utilizao adequada das potencialidades da calculadora para visualizar pores

    particularmente interessantes dos respetivos grficos, obter valores aproximados de solues de equaes,

    de extremos e pontos de extremo, etc. As propriedades que, em cada caso, ser necessrio estabelecer

    antes de se poderem extrair concluses justificadas a partir do que se observa na calculadora ou

    computador dependem, evidentemente, da questo que se pretende resolver, podendo mesmo resumir-

    se, em certos casos, simples continuidade; apenas em casos em que o conhecimento de um nmero finito

    de pontos do grfico permite extrair alguma concluso segura (situaes de inexistncia de monotonia ou

    de sentido determinado de concavidade em determinado intervalo, por exemplo) possvel praticamente

    prescindir de um conhecimento prvio de alguma propriedade analtica da funo em estudo.

    Como evidente, a calculadora grfica pode sempre ser utilizada para ilustrar propriedades de

    grficos de funes adequadamente escolhidas pelo professor, ou para que o aluno teste o resultado de

    variaes de parmetros em classes de funes de que j tenha algum conhecimento terico e, de maneira

    geral, para uma abordagem experimental ao estudo de funes, desde que devidamente controlada e

    acompanhada de uma anlise crtica da validade de conjeturas que essas experincias possam induzir.

    Neste sentido, neste programa considera-se que no Ensino Secundrio a tecnologia, e mais

    especificamente a calculadora grfica, deve ser utilizada em sala de aula e consequentemente em certos

    instrumentos de avaliao (na resoluo de problemas requerendo clculos de valores aproximados de

    solues de determinado tipo de equaes ou de funes envolvendo, por exemplo, razes

    trigonomtricas, logaritmos, ou exponenciais) mas que se deve evitar a sua utilizao em outras provas de

    avaliao em que os contedos e capacidades envolvidas claramente o no justifiquem ou mesmo o

    desaconselhem.

  • Avaliao Pgina 30

    7. AVALIAO

    O Decreto-Lei n. 139/2012, de 5 de julho, alterado pelo Decreto-Lei n. 91/2013 de 10 de julho,

    estabelece os princpios orientadores da organizao, da gesto e do desenvolvimento dos currculos do

    Ensino Bsico e do Ensino Secundrio, bem como da avaliao dos conhecimentos adquiridos e das

    capacidades desenvolvidas pelos alunos do Ensino Bsico ministradas em estabelecimentos escolares

    pblicos, particulares e cooperativos.

    Os conhecimentos a adquirir e as capacidades a desenvolver pelos alunos do Ensino Secundrio, na

    disciplina de Matemtica A, tm como referncia o programa dessa disciplina e as respetivas Metas

    Curriculares definidas por ano de escolaridade. este documento que permitir cumprir a funo de

    regulao do percurso de aprendizagem que a avaliao do desempenho dos alunos dever assumir.

    Os resultados dos processos avaliativos (de carcter nacional, de escola, de turma e de aluno)

    devem contribuir para a orientao cientifico-pedaggica do ensino, para que se possam superar, em

    tempo til e de modo apropriado, dificuldades de aprendizagem identificadas e, simultaneamente,

    reforar os progressos verificados. Todos estes propsitos devem ser concretizados recorrendo a uma

    avaliao diversificada e frequente, contribuindo para que os alunos adquiram uma maior conscincia do

    seu nvel de conhecimentos e valorizem a avaliao como um processo promotor de melhores

    desempenhos.

    A classificao resultante da avaliao interna no final de cada perodo, guiada pelos critrios de

    avaliao da disciplina de Matemtica A definidos em cada agrupamento de escolas/escola no agrupada,

    dever traduzir com fidelidade o nvel de desempenho do aluno no que se refere ao cumprimento do

    programa e das respetivas metas curriculares.

  • Bibliografia Pgina 31

    8. BIBLIOGRAFIA

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    Matemtica e Matemtica Aplicada, FCUL, 2012.

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  • Metas Curriculares

    Matemtica A

    Ensino Secundrio

    Cursos Cientfico-Humansticos de Cincias e Tecnologias e de Cincias Socioeconmicas

    (Submetido consulta pblica, 2013)

    Antnio Bivar, Carlos Grosso, Filipe Oliveira, Lusa Loura, Maria Clementina Timteo

  • Introduo Pgina 1

    METAS CURRICULARES PARA O ENSINO SECUNDRIO

    MATEMTICA A

    O presente documento descreve o conjunto das metas curriculares da disciplina de

    Matemtica A que os alunos devem atingir durante o Ensino Secundrio. Os objetivos gerais,

    completados por descritores mais precisos, encontram-se organizados em cada ano de

    escolaridade, por domnios e subdomnios, segundo a seguinte estrutura:

    Domnio Subdomnio

    1. Objetivo geral

    1. Descritor

    2. Descritor

    Os diferentes descritores esto redigidos de forma objetiva, numa linguagem rigorosa