Proj Cotadas

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    PROJEES COTADAS

    Paulo Srgio Brunner Rabello

    Professor Adjunto da Universidade do Estado do Rio de Janeiro

    Ex-Professor Efetivo da Universidade Federal Fluminense

    Ex-Professor da Universidade Santa rsula Livre-Docente em Construo Civil

    Especializado em Geometria e Representao Grfica

    Cabo Frio, 11 de junho de 2007

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    1.0 - DESCRIO DO MTODO

    O mtodo das projees cotadas foi idealizado por Fellipe Bache em meados do sculo XVIII com a finalidade precpua de executar o levantamento hidrogrfico do canal da Mancha.

    Posteriormente, com o incremento das guerras napolenicas, a utilizao deste mtodo foi estendida para usos militares e posteriormente aplicado em projetos de estradas, ferrovias e obras de terra.

    No mtodo de Monge, a relao entre o valor da cota de um ponto e o do seu afastamento limitada. No possvel representar em pura as projees de pontos em que haja disparidade considervel entre suas cotas e seus respectivos afastamentos. O mtodo das projees cotadas supre exatamente essa deficincia observada no mtodo de Monge, embora a aplicao das operaes fundamentais projetar (por um ponto) e cortar (por um plano) seja mantida.

    No mtodo das projees cotadas ou, simplesmente, em projees cotadas, o centro projetivo imprprio, as projees so cilndricas- ortogonais e s h um plano de projeo.

    Esse plano, suposto sempre horizontal, chamado plano de comparao designado tambm por (). As cotas so indicadas algebricamente tornando desnecessria a existncia de outro plano de projeo para amarrar as figuras do espao.

    Figura 01

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    Da figura 01, depreende-se que: d{(A),A(a)} = a d{(B),B(b)} = b d{(C),C(c)} = c ------------------- d{(N),N(n)} = n Nos projetos em que imprescindvel conhecer a topografia do

    terreno onde ser executada uma obra de engenharia, a aplicao desse mtodo insupervel. 2.0 - ESCALAS

    A utilizao do mtodo das projees cotadas envolve, na prtica, figuras de grandes dimenses fazendo com que sejam adotados critrios para relacionar as dimenses da figura representada com as dimenses da figura real (figura objetiva). Esta relao chamada escala.

    Tem-se ento que E = d / D. onde d a dimenso de um elemento da figura representada graficamente e D a dimenso do elemento correspondente da figura real. Exemplo:

    Se uma viga reta de 10 metros de comprimento representada graficamente por um segmento retilneo de 5 centmetros, a escala adotada foi: E = 5 cm/10 m ou E = 5 cm/1000 cm ou ainda E = 1/200

    Isto significa que cada centmetro desenhado corresponde a 200 cm (ou 2 m) da figura real.

    Quando a representao grfica menor que a figura real, trata-se de uma escala de reduo, que o caso mais geral nos projetos de engenharia.

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    Em caso contrrio trata-se de uma escala de ampliao. A representao grfica de mecanismos de relgios de pulso um exemplo de escala de ampliao.

    costume adotar a indicao de escalas atravs de quocientes entre valores algbricos ou relaes percentuais. Exemplo:

    Se na representao de um objeto adotou-se E = 1/25, pode-se escrever: E = 1/25 ou E = 1:25 ou ainda E = 4%

    As escalas podem ser tambm grficas, bastando para isso que se indique no desenho a unidade grfica adotada.

    Esse procedimento comum nos mapas geogrficos e nas cartas nuticas. Exemplo:

    figura 02

    3.1 - ESTUDO DO PONTO 3.1 - REPRESENTAO

    Como a representao grfica feita apenas sobre um plano de projeo sobre o plano de comparao, como j foi dito a representao de pontos em projees cotadas feita por letras maisculas com a indicao das respectivas cotas entre parnteses.

    A pura, nesse tipo de representao, muito simples e no tem, obviamente, linha de terra.

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    figura 03

    Se o ponto est acima do plano de comparao, sua cota

    positiva. Se estiver abaixo negativa. Se o ponto pertencer ao plano de comparao, sua cota

    nula. O plano de comparao o lugar geomtrico dos pontos de

    cota nula. 3.2 DISTNCIA ENTRE DOIS PONTOS

    Dados dois pontos objetivos (A) e (B), determinar a distncia d{(A), (B)} determinar o comprimento do segmento de reta que une (A) e (B) sendo conhecidas as projees A(a) e B(b).

    figura 04

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    Para resolver o problema o procedimento inicial rebater o plano vertical que contm os pontos (A), (B), A(a) e B(b) sobre um plano horizontal que pode ser o prprio plano de comparao, tal como mostrado na figura 04.

    Pela projeo de cada ponto, traam-se perpendiculares ao segmento A(a) B(b).

    Sobre cada uma das perpendiculares marcam-se as grandezas das cotas respectivas, determinando os pontos A1 e B1, tais que A(a)A1 = a e B(b) B1 = b, respeitando o sinal de cada um.

    O segmento A1 B1 pois a soluo grfica do problema. A soluo tambm pode ser dada algebricamente:

    d = A1 B1 = d (A)(B) mas, d = {A(a), B(b)} + (b a),

    ento, teremos: d = [{A (a), B (b)} + (b a)]

    figura 05

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    Se um dos pontos tem cota negativa, o procedimento o mesmo, porm deve-se atentar para que o rebatimento dos pontos seja feito em lados distintos do segmento que une as projees dos pontos.

    figura 06 d = d1 + d2 = A1 O1 + O1 B1 d1 = [{A (a) O (o)} + (-a)] d2 = [{O (o) B (b)} + b] d = [{A (a) O (o)} + a] + [{O (o), B(b)} + b]

    Observando a figura pode-se afirmar tambm que: d = [{A (a) B (b)} + (a + b)]

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    4.0 ESTUDO DA RETA 4.1 - REPRESENTAO

    Uma reta fica definida quando se conhecem, pelo menos, dois de seus pontos. Assim, a representao de uma reta em projees cotadas fica determinada quando so conhecidas as projees de dois de seus pontos.

    Em pura, a projeo de uma reta representada por um segmento retilneo e identificada pelas projees de dois de seus pontos ou por uma letra minscula livre.

    s(5)

    figura 07

    4.2 POSIES DE UMA RETA EM RELAO AO PLANO DE COMPARAO

    Supondo uma reta (r) dada pelas projees de dois de seus pontos A (a) e B (b), em relao ao plano de comparao (), a reta (r) pode estar: - inclinada (reta qualquer) : a b - paralela (reta horizontal) : a = b (inclusive a = b = O) - perpendicular (reta vertical) : A (a) B (b), onde a b

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    4.3 PERTINNCIA DE PONTO A RETA

    Para que um ponto pertena a uma reta condio necessria e suficiente que a projeo do ponto esteja sobre a projeo da reta e que a cota do ponto seja a mesma da reta onde as projees de ambos so coincidentes.

    Para marcar um ponto sobre uma reta ou verificar se um ponto pertence a uma reta, basta que se rebata a reta sobre um plano horizontal e se encontre na reta a cota correspondente a do ponto em questo.

    Sendo dada uma reta (r) pelas projees de seus pontos A(a) e B(b), verificar se um ponto (M) de cota m pertence a (r) ou encontrar em (r) um ponto (N) de cota n, so problemas que so resolvidos por operaes semelhantes.

    Inicialmente rebate-se (r) sobre () fazendo de r o eixo de rebatimento, obtendo-se r1.

    Para saber se (M) pertence a (r) basta que se verifique em r1 se na posio de M (m) sobre r a cota de (r) m.

    Para marcar um ponto (N) de cota n em (r), basta que se determine o ponto N1 de cota n em r1. Alando N define-se a posio de N (n) em r.

    figura 08

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    Exemplo: Dada a reta (r) pelos seus pontos cotados A(1,5) e B(3,7),

    determinar o ponto (C) de cota c = 2,5, sabendo-se que d (A,B) = 7,5. A soluo tanto pode ser grfica como analtica.

    soluo grfica: un: metro esc: 1:100

    figura 09 soluo algbrica: O problema resolvido quando se determina a posio de C (2,5) em relao a A(1,5) ou B(3,7). Da geometria elementar, temos:

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    d (A, C) / d (A, B) = (c-a) / (b-a) => d (A, C) = d (A, B) x (c-a) / (b-a) d (A,C) = (7,5 x 1,0) / 2,2 = 3,41m 4.4 PONTOS DE COTA REDONDA

    So pontos da reta cujas cotas so nmeros inteiros, tais como:

    A(3), B(7), C(0), D(103), E(-7), E(-43), etc.

    A marcao de pontos de cota redonda de uma reta nada mais do que determinar, na projeo da reta, projees de pontos de cota conhecida, conforme visto anteriormente. Exemplo: Determinar os pontos de cota redonda de uma reta (r) situados entre dois de seus pontos (A) e (B). dados: A (-1,3) B (3,4) d (A,B) = 8

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    figura 10

    4.5 DECLIVE E DECLIVIDADE Uma reta genrica forma com o plano de comparao e com qualquer outro plano paralelo a ele um ngulo () que, na verdade, o ngulo que a reta objetiva faz com a sua prpria projeo.

    figura 11

    O ngulo () identifica o declive (ou inclinao) da reta. A diferena de cotas entre dois pontos conhecidos da reta representado por h. A distncia entre as projees desses dois pontos representa-se por d. Da trigonometria temos: tg = h / d Da figura temos: h = n - m e d = d (M,N) Teremos, ento que tg = (n m) / d (M, N)

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    Chama-se declividade de uma reta tangente do ngulo () determinado pela reta objetiva e sua projeo. Designa-se a declividade por p. Quando a diferena entre as cotas de dois pontos igual unidade, ou seja, h = 1, a distncia correspondente chamada intervalo. Designa-se o intervalo por i. Logo, a declividade o inverso do intervalo. Como a declividade uma relao entre cota e distncia, costuma-se indic-la de outras formas: Exemplo: d = 1/4 ou d = 1 : 4 ou ainda d = 25% 4.6 GRADUAO DE RETAS

    Graduar uma reta determinar a sua escala de declive. Esta operao nada mais do que marcar os pontos de cota

    redonda da reta que forem necessrios para resolver o problema. O exemplo mostrado no item