Projecto de Filtros IIR - estgv.ipv.pt€¦ · Os filtros Elípticos têm a particularidade de apresentar ripple quer na banda de passagem, quer na banda de corte. A sua resposta

Sistemas de Processamento Digital Manuel Baptista & Ernesto Afonso 1/28

Sistemas de Processamento Digital

Engenharia de Sistemas e Informática

Ficha 7 2005/2006 4.º Ano/ 2.º Semestre

Projecto de Filtros Digitais IIR Projecto de Filtros IIR O projecto de filtros IIR digitais passa pela utilização de protótipos de filtros analógicos já sobejamente estudados. Na obtenção do filtro digital IIR desejado, duas abordagens podem ser seguidas:

Abordagem 1: • Projectar o filtro passa-baixo segundo um protótipo. • Aplicar uma transformação na frequência em s • Aplicar uma transformação de s para z.

Abordagem 2: • Projectar o filtro passa-baixo segundo um protótipo. • Aplicar uma transformação de s para z. • Aplicar uma transformação na frequência em z para se obter outro filtro a partir da

tranformação em z determinada anterirormente.

ESCALA LINEAR RELATIVA

Especificação de Ωp, ∈, Ωs e A:

Relação com Rp e As na escala em dB:

Relação com δ1 e δ2 da escala absoluta:


PROTOTIPOS BUTTER-WORTH – Passa – Baixo

Este filtro é caracterizado por ter uma resposta plana quer na banda de passagem, quer na banda de corte. A sua resposta em frequência é:

( )2

21( )

1c

a NH jΩΩ

Ω =+

N é a ordem do filtro e Ωc a frequência de corte.

Para obter Ha(s), determinam-se os pólos pk de 2( )aH jΩ , considerando só os pólos que se encontram no semi-plano esquerdo de s:

( )( )

Nc

ak

PolosSPE

H js pΩ

Ω =−∏

com 2 (2 1) , 0,1,..., 2 1Nj k Nk cp e k N

π + += Ω = −

Para o caso do filtro Butterworth, especificam-se os parâmetros Ωp, Rp, Ωs e As e determina-se a ordem N do filtro e a frequência Ωc de corte da seguinte forma:

( ) ( )( )

10 1010

10

log 10 1 10 1

2log

p sR A

p S

N⎡ ⎤− −⎣ ⎦=

Ω Ω arredondado ao menor inteiro acima

Como N arredondado será maior que o necessário, as especificações podem exceder Ωp ou Ωs pelo que, para satisfazer exactamente as especificações de Ωp ou de Ωs, Ωc deverá ser:

para Ωp: ( )102 10 1p

pc RN

ΩΩ =

−, para Ωs:

( )102 10 1s

sc AN

ΩΩ =

−

EXERCÍCIO 1

Dado 26

1( )1 64aH jΩ =+ Ω

, determinar a função Ha(s) do filtro.

Solução:


Matlab


EXERCÍCIO 2

Projectar no Matlab um filtro de 3ª ordem do tipo Butterworth com Ωc = 0.5.

Solução:

EXERCÍCIO 3

Projectar um filtro passa-baixo que satisfaça as seguintes condições: Limite da banda de passagem: Ωp = 0.2π Ripple: Rp = 1 dB; Limite da banda de corte: Ωs = 0.3π Ripple: As = 16 dB; Solução:

MATLAB


EXERCICIO 4

Projectar o filtro do exercício 3 usando o Matlab Solução:


CHEBYCHEV – Passa – Baixo

Existem dois tipos de filtros Chebychev. Os filtros Chebychev – Tipo I têm uma resposta plana na banda de corte ao passo que os Chebychev – II têm resposta plana na banda de passagem.

Chebychev – I:

em que

Chebychev – II: Este filtro está relacionado com o Tipo I através de uma simples transformação em que:


Uma aproximação ao projecto de um filtro Chebyshev – II passa por projectar primeiro o

correspondente filtro Chebyshev – I e depois aplicar a transformação para Chebyshev – II.

Filtro Chebyshev –I Filtro Chebyshev –II

Para obter Ha(s), determinam-se os pólos pk de 2( )aH jΩ . Pode ser demonstrado que se pk=σk + jΩk,

K=0, …, N-1 representar os pólos de 2( )aH jΩ localizados no semi-plano esquerdo de s, então:

em que A função transferência obter Ha(s), é dada pela equação:

( )( )a

kk

KH ss p

=−∏

em que se determinando K de modo a que

Para a especificação do projecto de um filtro Chebychev-I, utilizam-se os parâmetros Ωp, Rp, Ωs e As para determinar∈, Ωc e N:

, , e

a ordem N é dada por:

EXERCICIO 5

Projectar um filtro Chebyshev-I passa-baixo que satisfaça as seguintes condições: Limite da banda de passagem: Ωp = 0.2π Ripple: Rp = 1 dB;


Limite da banda de corte: Ωs = 0.3π Ripple: As = 16 dB;

Solução

MATLAB

EXERCÍCIO 6

Projectar o filtro Chebyshev-I passa-baixo do exercício 5 usando o Matlab.


Solução:

MATLAB



EXERCICIO 7

Projectar um filtro Chebyshev-II passa-baixo que satisfaça as seguintes condições: Limite da banda de passagem: Ωp = 0.2π Ripple: Rp = 1 dB; Limite da banda de corte: Ωs = 0.3π Ripple: As = 16 dB; Solução


FILTRO ELÍPTICO

Os filtros Elípticos têm a particularidade de apresentar ripple quer na banda de passagem, quer na banda de corte. A sua resposta em frequência é:

onde N é a ordem do filtro, ∈ é o ripple na banda de passagem e UN(.) é a função

jacobiana de ordem N.

A ordem N do filtro calcula-se da seguinte forma:

onde e MATLAB



EXERCICIO 8

Projectar um filtro Elíptico passa-baixo que satisfaça as seguintes condições: Limite da banda de passagem: Ωp = 0.2π Ripple: Rp = 1 dB; Limite da banda de corte: Ωs = 0.3π Ripple: As = 16 dB; Solução


TRANSFORMAÇÃO ANALÓGICO-DIGITAL Transformação Impulso Invariante

Dadas as especificações de um filtro digital ωp, ωs, Rp, e As, pretende-se determinar H(z) projectando primeiro um filtro analógico equivalente e depois fazer o seu mapeamento para o filtro digital pretendido. Procedimento de Projecto para uma Transformação Impulso Invariante:

1. Escolher T e determinar as frequências analógicas: pp T

ωΩ = e s

s Tω

Ω =

2. Desenhar um filtro analógico (Butterworth, Chebyshev ou Elíptico) obtendo Ha(s) através da utilização das especificações Ωp, Ωs, Rp, e As.


3. Utilizando a expansão em fracções parciais, expandir Ha(s):

4. Transformar os pólos pk analógicos em pólos digitais kp Te para se obter o filtro digital:

EXERCÍCIO 9

Transforme 2

1( )5 6a

sH ss s

+=

+ + num filtro digital H(z) utilizando a Transformação Impulso

Invariante, considerando T = 0.1. Solução

EXERCÍCIO 10

Implemente em MatLab a função imp_invr que implemente a Transformação Impulso Invariante. Solução


EXERCICIO 11

Projectar um filtro digital passa-baixo utilizando um protótipo Butterworth de modo a que satisfaça as seguintes condições: Limite da banda de passagem: ωp = 0.2π Ripple: Rp = 1 dB; Limite da banda de corte: ωs = 0.3π Ripple: As = 16 dB; Solução:



EXERCICIO 12

Projectar um filtro digital passa-baixo utilizando um protótipo Chebychev-I de modo a que satisfaça as seguintes condições: Limite da banda de passagem: ωp = 0.2π Ripple: Rp = 1 dB; Limite da banda de corte: ωs = 0.3π Ripple: As = 15 dB; Solução:


EXERCICIO 13

Projectar um filtro digital passa-baixo utilizando um protótipo Chebychev-II de modo a que satisfaça as seguintes condições: Limite da banda de passagem: ωp = 0.2π Ripple: Rp = 1 dB; Limite da banda de corte: ωs = 0.3π Ripple: As = 15 dB; Solução:


EXERCICIO 14

Projectar um filtro digital passa-baixo utilizando um protótipo Elíptico de modo a que satisfaça as seguintes condições: Limite da banda de passagem: ωp = 0.2π Ripple: Rp = 1 dB; Limite da banda de corte: ωs = 0.3π Ripple: As = 15 dB; Solução:


Transformação Bilinear

Este é o melhor método para a transformação de s para z porque não existe aliasing. A Transformação Bilinear baseia-se na seguinte relação:

Resolvendo esta relação em ordem à frequência digital ω e à frequência analógica Ω, obtêm-se as seguintes relações:

e


que denota a não linearidade destas duas relações. Para calcular Ω é necessário fazer um pré-warping de ω. Dadas as especificações de um filtro digital ωp, ωs, Rp, e As, pretende-se determinar H(z) seguno os seguintes procedimentos de projecto para uma Transformação Bilinear:

1. Escolher o valor para T. Como pode ser arbitrário, pode-se definir T=1. 2. Pré-warping das frequências ωp e ωs, determinando Ωp e Ωs através das funções:

3. Desenhar um filtro analógico (Butterworth, Chebyshev ou Elíptico) obtendo Ha(s) através da

utilização das especificações Ωp, Ωs, Rp, e As. 4. Obter H(z) fazendo a seguinte substituição:

EXERCICIO 15

Transforme 2

1( )5 6a

sH ss s

+=

+ + num filtro digital H(z) utilizando a Transformação Bilinear,

considerando T = 1. Solução:

MATLAB

EXERCICIO 16

Repita o exercício 15 utilizando o MatLab e a função bilinear. Solução:


EXERCICIO 17

Utilizando a Transformação Bilinear, projectar um filtro digital passa-baixo utilizando um protótipo Butterworth de modo a que satisfaça as seguintes condições: Limite da banda de passagem: ωp = 0.2π Ripple: Rp = 1 dB; Limite da banda de corte: ωs = 0.3π Ripple: As = 15 dB; Solução:


EXERCICIO 18

Utilizando a Transformação Bilinear, projectar um filtro digital passa-baixo utilizando um protótipo Chebychev-I de modo a que satisfaça as seguintes condições: Limite da banda de passagem: ωp = 0.2π Ripple: Rp = 1 dB; Limite da banda de corte: ωs = 0.3π Ripple: As = 15 dB; Solução:


EXERCICIO 19

Utilizando a Transformação Bilinear, projectar um filtro digital passa-baixo utilizando um protótipo Chebychev-II de modo a que satisfaça as seguintes condições: Limite da banda de passagem: ωp = 0.2π Ripple: Rp = 1 dB; Limite da banda de corte: ωs = 0.3π Ripple: As = 15 dB; Solução:


Exercício 20

Utilizando a Transformação Bilinear, projectar um filtro digital passa-baixo utilizando um protótipo Elíptico de modo a que satisfaça as seguintes condições: Limite da banda de passagem: ωp = 0.2π Ripple: Rp = 1 dB; Limite da banda de corte: ωs = 0.3π Ripple: As = 15 dB; Solução:


Documents

Projecto de Filtros IIR - estgv.ipv.pt€¦ · Os filtros Elípticos têm a particularidade de apresentar ripple quer na banda de passagem, quer na banda de corte. A sua resposta