PROJETO DE CONTROLE ROBUSTO H CHAVEADO: …

PROJETO DE CONTROLE ROBUSTO H∞ CHAVEADO: IMPLEMENTACAO

PRATICA EM UM SISTEMA DE SUSPENSAO ATIVA

Diogo Ramalho de Oliveira∗, Marcelo Carvalho Minhoto Teixeira∗, Edvaldo Assuncao∗,

Wallysonn Alves de Souza†, Manoel Rodrigo Moreira‡, Joao Henrique Pereira Silva§

∗UNESP - Univ Estadual Paulista, Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira

Departamento de Engenharia Eletrica, Lab. de Pesquisa em Controle

Av. Jose Carlos Rossi, 1370, 15385-000, Ilha Solteira, Sao Paulo, Brasil

†IFG - Instituto Federal de Educacao, Ciencia e Tecnologia de Goias

Departamento das Areas Academicas de Jataı, 75804-020, Jataı, Goias, Brasil

‡IFMT - Instituto Federal de Educacao, Ciencia e Tecnologia de Mato Grosso,

Departamento das Areas Academicas de Pontes e Lacerda, 78250-000, Pontes e Lacerda, MT, Brasil.

§UNICAMP - Univ Estadual de Campinas, Faculdade de Engenharia Eletrica e de Computacao

13083-852, Campinas, Sao Paulo, Brasil

Emails: [email protected], {marcelo,edvaldo}@dee.feis.unesp.br, ,

[email protected], [email protected], [email protected]

Abstract— This paper presents the design and practical implementation of robust control H∞, for a class oflinear systems with switched state feedback gains, applied to a system of active suspension. The control designis based on linear matrix inequalities (LMIs) and uses a quadratic Lyapunov function. The motivation is toprovide an analysis between the switched control and the technique of classical control, which uses only one statefeedback gain.

Keywords— Switched Control, Robust Control H∞, Polytopic Uncertainties, D−Stability, LMI, Active Sus-pension System with Uncertainties.

Resumo— Este artigo apresenta o projeto e implementacao pratica do controle robusto H∞, para uma classede sistemas lineares com comutacao do ganho de realimentacao do vetor de estado, aplicado em um sistemade suspensao ativa. O projeto de controle e baseado em desigualdades matriciais lineares (LMIs) e utiliza umafuncao de Lyapunov quadratica. A motivacao e apresentar uma analise entre o controle chaveado e a tecnica decontrole classica, que utiliza apenas um ganho de realimentacao do vetor de estado.

Keywords— Controle Chaveado, Controle Robusto H∞, Incertezas Politopicas, D−Estabilidade, LMIs, Sis-tema de Suspensao Ativa com Incertezas.

1 Introducao

O interesse no estudo da estabilidade de sis-temas lineares chaveados tem crescido nos ulti-mos anos (Geromel and Colaneri, 2006; Souzaet al., 2013). Tais sistemas pertencem a umaclasse especial de sistemas hıbridos de controle,que compreende um conjunto de subsistemas coma dinamica descrita por equacoes diferenciais li-neares juntamente com uma regra de comutacaoque orquestra a comutacao entre os subsistemas(Sun and Ge, 2005). Em muitos casos a comu-tacao entre subsistemas pode melhorar o desem-penho global e fornecer propriedades importantesque nao sao encontradas nos subsistemas isolados(Deaecto and Geromel, 2008).

O criterio de desempenho H∞ para sistemaschaveados tambem possui grande destaque. Di-versos trabalhos como (Ji et al., 2006; Deaectoet al., 2010; Silva et al., 2012) se dedicaram aoestudo desse assunto.

Na metodologia adotada, o projeto de con-trole e descrito por LMIs (do ingles, Linear Matrix

Inequalities) (Boyd et al., 1994), que quando fac-tıveis, sao resolvidas eficientemente por meio de

ferramentas de programacao convexa, por exem-plo, o software MatLabr (Gahinet et al., 1995).

O principal objetivo desse trabalho e apresen-tar resultados que possibilitem uma analise entrea tecnica de controle chaveado, proposta recente-mente em (Silva, 2013), e o controle classico, queutiliza apenas um ganho de realimentacao do vetorde estado. Comparacoes entre a regiao de factibi-lidade e o custo garantido H∞, para um sistemade suspensao ativa com incertezas nas constan-tes de rigidez das molas, foram realizadas. Parapermitir a implementacao pratica e assegurar cer-tos requisitos de desempenho ao sistema realimen-tado, uma tecnica que possibilita alocar os auto-valores de malha fechada em uma regiao D pre-estabelecida (Chilali and Gahinet, 1996), foi uti-lizada. A falha do sistema, representada pela in-certeza na constante de rigidez da mola, foi in-serida via software.

Para realizar o projeto de controle viaLMIs, foram utilizados o software MatLabr, alinguagem Yalmip (Lofberg, 2004) e o solver

LMILab.

Ao longo desse trabalho foram utilizadas as

Anais do XX Congresso Brasileiro de Automática Belo Horizonte, MG, 20 a 24 de Setembro de 2014

2194

seguintes notacoes: (·)T indica a transposicao deum vetor ou matriz. O sımbolo (∗) denota ge-nericamente cada bloco simetrico. O conjuntoL2 representa o conjunto de todas as trajetorias,tais que ‖ξ‖

22 < ∞. O conjunto KN e composto

pelos N primeiros inteiros positivos, {1, 2, ..., N}.He {·} e o operador hermitiano, He {U} = U+U

T .Por fim, U > 0 (U ≥ 0) representa matrizesdefinidas (semi-definidas) positivas e U < 0 (U ≤

0) representa matrizes definidas (semi-definidas)negativas.

2 Controle Robusto H∞ e D−Estavel

Considere o sistema linear incerto invariante notempo, descrito na forma de variaveis de estado:

x(t) = A(β)x(t) +B(β)u(t) +H(β)w(t),y(t) = C(β)x(t) +D(β)u(t) +G(β)w(t),

(1)

sendo x(t) ∈ Rn o vetor de estado, u(t) ∈ R

m aentrada de controle, w(t) ∈ R

p a entrada exogenatal que w(t) ∈ L2 [0,∞), y(t) ∈ R

q a saıda contro-lada, A(β), B(β), C(β), D(β), H(β) e G(β) sao asmatrizes de dimensoes adequadas que descrevemo sistema e pertencem a um conjunto convexo denatureza politopica dado por

(A,B,C,D,H,G)(β) =

=N∑

i=1

βi(A,B,C,D,H,G)i, β ∈ Λp, (2)

sendo que N e dado pela relacao N = 2φ, e φ eo numero de elementos incertos distintos das ma-trizes (A,B,C,D,H,G) e (A,B,C,D,H,G)i re-presentam os vertices do politopo. Os parametrosβi pertencem a um simplex unitario Λp definidocomo

Λp =

{

β ∈ RN :

N∑

i=1

βi = 1, βi ≥ 0, i ∈ KN

}

.

(3)A lei de controle classica para a realimen-

tacao do vetor de estado, supondo que este estejadisponıvel para realimentacao, e dada por (Boydet al., 1994):

u(t) = −Kx(t). (4)

Substituindo (4) no sistema (1), tem-se oseguinte sistema realimentado:

x(t) = (A(β)−B(β)K)x(t) +H(β)w(t),y(t) = (C(β)−D(β)K)x(t) +G(β)w(t).

(5)

Considere que o sistema (5) seja excitadopor uma entrada exogena w(t), com uma energiafinita. A norma H∞ estabelece um limitante paraa influencia da entrada exogena w(t) na saıda y(t),calculada como

‖H(s)‖∞ = maxw 6=0

‖y‖2

‖w‖2

, w(t) ∈ L2, (6)

sendo H(s) a funcao de transferencia do sistema(5).

O custo garantido H∞ do sistema e definidocomo o valor mınimo de γ, γ > 0 finito, tal que

‖y(t)‖2 < γ ‖w(t)‖2 , (7)

ou seja‖H(s)‖∞ < γ. (8)

A estabilidade do sistema realimentado (5)com o custo garantido H∞ e assegurada, se, dadaa funcao de Lyapunov quadratica

v(x) = xTPx, P = P

T> 0, (9)

a desigualdade (10) e verdadeira (Boyd et al.,1994)

v(x) + yTy − γ

2w

Tw < 0. (10)

Neste contexto seguem os seguintes teoremas.

Teorema 1 (Boyd et al., 1994) O sistema (5)e assintoticamente estavel se, dado um escalar

µ > 0, existirem matrizes X = XT

> 0 e M ,

de dimensoes adequadas, satisfazendo o seguinte

problema de otimizacao

minµs.a X = X

T> 0

He{AiX −BiM} Hi XCTi −M

TD

Ti

∗ −µI GTi

∗ ∗ −I

< 0,

(11)

para i ∈ KN , sendo γ2 = µ > 0. Se (11) for

factıvel, entao a matriz de ganho de realimentacao

e dada por K = MX−1, e assegura ‖H(s)‖∞ ≤

√

µ.

Diversas vezes e necessario que os autovalo-res de malha fechada do sistema estejam aloca-dos dentro de uma determinada regiao de inte-resse, com o proposito de assegurar limites para oovershoot maximo, o tempo de subida e o tempode estabelecimento. Essa regiao S(α, r, θ), vistana Figura 1, e definida em (Chilali and Gahinet,1996) e utiliza o conceito de D−estabilidade paraa alocacao dos autovalores.

Nessa regiao, os autovalores complexos de umsistema da forma x± jy satisfazem

x < −α < 0, (12)

|x± jy| < r, (13)

tan(θ)x < − |y| . (14)

Quando os autovalores de um sistema de se-gunda ordem pertencem a regiao S(α, r, θ), o sis-tema realimentado possui taxa de decaimento α

mınima, coeficiente de amortecimento ζ > cos(θ)mınimo e frequencia amortecida wd < r sin(θ)maxima (Chilali and Gahinet, 1996).


2195

θ

r

α

S(α, r, θ)

Re

Im

Figura 1: Regiao S(α, r, θ) para alocacao de auto-valores.

O teorema a seguir apresenta uma condicaosuficiente para restringir os autovalores de cadavertice do politopo, em malha fechada, na regiaoS(α, r, θ).

Teorema 2 (Chilali and Gahinet, 1996) O sis-

tema (5), com a lei de chaveamento u(t) =−Kx(t) possui autovalores na regiao S(α, r, θ) se

existirem as matrizes X = XT

> 0 e M , de di-

mensoes adequadas, tais que

AiX +XATi −BiM −M

TB

Ti + 2αX < 0, (15)

[

−rX AiX −BiM

∗ −rX

]

< 0, (16)[

Γ cos(θ)(AiX −XATi −BiM +M

TB

Ti )

∗ Γ

]

< 0,

(17)

sendo Γ = sin(θ)(AiX +XATi −BiM −M

TB

Ti ),

i ∈ KN e a matriz de ganho de realimentacao e

dada por K = MX−1.

Juntos, os Teoremas 1 e 2 permitem o pro-jeto de um controlador robustoH∞ que utiliza umganho fixo para D−estabilizar o sistema realimen-tado. A utilizacao desse controlador fixo, por di-versas vezes, e suficiente para resolver o problemade controle, entretanto os resultados encontradospodem ser conservadores, restringindo a regiao defactibilidade das LMIs.

3 Controle Robusto H∞ Chaveado e

D−Estavel

Considere agora a subclasse do sistema linear in-certo invariante no tempo, descrito na forma devariaveis de estado, tal que B(β) = B e D(β) =D, para todo β ∈ ΛN :

x(t) = A(β)x(t) +Bu(t) +H(β)w(t),y(t) = C(β)x(t) +Du(t) +G(β)w(t),

(18)

e a lei de controle que possui a seguinte forma

u(t) = uβ(t) = −K(β)x(t)

= −

N∑

i=1

βiKix(t), β ∈ ΛN . (19)

Substituindo (19) em (18), tem-se o seguintesistema realimentado:

x(t) = (A(β)−BK(β))x(t) +H(β)w(t),y(t) = yβ(t) = (C(β)−DK(β))x(t) +G(β)w(t).

(20)

A seguir serao apresentados teoremas com es-trategias de controle baseadas em ganhos depen-dentes de parametros, K(β).

Teorema 3 (Silva, 2013; Silva et al., 2012) O

sistema (20) e assintoticamente estavel se, dado

um escalar µ > 0, existirem matrizes X = XT> 0

e Mi, de dimensoes adequadas, satisfazendo o

seguinte problema de otimizacao

minµs.a X = X

T> 0

He{AiX −BMi} Hi XCTi −M

Ti D

T

∗ −µI GTi

∗ ∗ −I

< 0,

(21)

para i ∈ KN , sendo γ2 = µ > 0. Se (21) for

factıvel, entao as matrizes de ganho de realimen-

tacao sao dadas por Ki = MiX−1, e assegura

‖H(s)‖∞ ≤

√

µ.

Semelhante ao sistema com ganho fixo K, asrestricoes de D−estabilidade podem ser aplicadasao sistema com ganhos K(β). Novamente o obje-tivo e restringir os autovalores de cada vertice dopolitopo, em malha fechada, na regiao S(α, r, θ).

Teorema 4 (Silva, 2013) O sistema (20), com a

lei de chaveamento u(t) = −K(β)x(t) possui au-

tovalores na regiao S(α, r, θ) se existirem as ma-

trizes X = XT

> 0 e Mi, de dimensoes ade-

quadas, tais que

AiX +XATi −BMi −M

Ti B

T + 2αX < 0, (22)[

−rX AiX −BMi

∗ −rX

]

< 0, (23)

[

Γ cos(θ)(AiX −XATi −BMi +M

Ti B

T )∗ Γ

]

< 0,

(24)

sendo Γ = sin(θ)(AiX +XATi −BMi −M

Ti B

T ),i ∈ KN e a matriz de ganho de realimentacao e

dada por Ki = MiX−1.

Agora suponha que as LMIs dos Teoremas 3e 4 sejam factıveis para todo i ∈ KN e que Ki =


2196

MiX−1 sejam os ganhos dos controladores dados

em (19). Entao, defini-se o controlador chaveadosendo

u(t) = uσ = −Kσx, σ = arg mini∈KN

{−xTPBKix},

(25)sendo σ a regra de chaveamento e P = X

−1 amatriz de Lyapunov.

Substituindo (25) em (18), tem-se o seguintesistema realimentado:

x(t) = (A(β)−BKσ)x(t) +H(β)w(t),y(t) = yσ = (C(β)−DKσ)x(t) +G(β)w(t).

(26)

A seguir sao apresentadas condicoes de esta-bilidade para o sistema (26) utilizando a lei decontrole (25).

Teorema 5 (Silva, 2013; Silva et al., 2012) Ad-

mita que as condicoes do Teorema 3 e 4, relativasao sistema (20) com a lei de controle (19), se-

jam satisfeitas e obtenha Ki = MiX−1, i ∈ KN

e P = X−1. Entao a lei de controle chaveada

(25) torna o ponto de equilıbrio x = 0, do sis-

tema (26), globalmente assintoticamente estavel e

garante ‖H(s)‖∞ ≤

√

µ com relacao a saıda yβ

dada em (20).

Proof: Considere uma candidata a funcao de Lya-punov v(x) = x

TPx. Defina vβ(x(t)) e vσ(x(t))

as derivadas de v(x(t)) para o sistema (18), com aleis de controle (19) e (25), respectivamente. En-tao, segue que

vσ(x(t)) = 2xTP x

= 2xTP (A(β)x+Buσ +H(β)w)

= 2xTPA(β)x− 2xT

PBKσx

+2xTPH(β)w, (27)

de (3), sabe-se queN∑

i=1

βi = 1, βi ≥ 0 e i ∈ KN .

Assim, note que

mini∈KN

{xTPB(−Ki)x} ≤ x

TPB(−

N∑

i=1

βiKi)x, (28)

logo,

vσ = 2xTPA(β)x+ 2xT

PH(β)w

+2 mini∈KN

{xTPB(−Ki)x}

≤ 2xTP (A(β)x+H(β)w)

+2xTPB

(

−

N∑

i=1

βiKi

)

x

= 2xTP ((A(β)−BK(β))x+H(β)w)

= 2xTP (A(β)x+Buβ +H(β)w)

= vβ(x(t)), (29)

portanto,

vσ(x(t)) ≤ vβ(x(t)). (30)

De (30) segue que

vσ(x(t)) + yTβ yβ − γ

2w

Tw

≤ vβ(x(t)) + yTβ yβ − γ

2w

Tw. (31)

A factibilidade das LMIs do Teorema 3garante que o sistema (18), com a lei de controle(25), apresenta ‖H(s)‖∞ ≤

√

µ com relacao asaıda yβ dada em (20). A prova do Teorema 5esta concluıda. 2

Assim, o Teorema 5 mostra que, se as condicoesdos Teoremas 3 e 4 forem satisfeitas, e possıvelutilizar os Teoremas 3 e 4 para projetar um con-junto de controladores robustos H∞ chaveadosque D−estabilizam o sistema realimentado, assimcomo a matriz P = X

−1 da regra de chaveamento(25). E importante ressaltar que a introducao dasvariaveis Mi flexibilizam a solucao do problemade controle, consequentemente a regiao de factibi-lidade das LMIs e expandida. Por fim, observa-se tambem que a regra de chaveamento (25) naoutiliza as variaveis incertas βi, i ∈ KN , que saonecessarias para a implementacao da lei de con-trole (19).

4 Sistema de Suspensao Ativa de um

Veıculo

O sistema didatico de suspensao ativa utilizado,fabricado pela Quanserr, pode ser visto na Figura2 (Quanser, 2009; da Silva et al., 2013).

Figura 2: Sistema de suspensao ativa da marcaQuanserr, pertencente ao LPC-FEIS-UNESP.

O modelo esquematico esta representado naFigura 3 (da Silva et al., 2013). O sistema con-siste de um conjunto composto por duas massas,denominadasMs eMus. A massaMs representa

14

do corpo total do veıculo e e suportada pela molaks e pelo amortecedor bs. A massa Mus corres-ponde a massa do conjunto do pneu do veıculo e esuportada pela mola kus e pelo amortecedor bus.Para atenuar as vibracoes causadas por irregula-ridades na pista utiliza-se o sistema de suspen-


2197

sao ativa, representado por um motor (atuador)conectado entre as massas Ms e Mus, e contro-lado pela forca Fc.

Para expor o sistema de suspensao ativa asmais diversas condicoes de irregularidades propor-cionadas por uma pista de rolagem, e possıvelescolher um sinal de referencia para o sinal zr

(pista).

bsks

Ms →

1

4da massa do veıculo

zr(t)

(pista)

kus bus

zs(t)

zus(t)

Suspensao ativa

pneu

Fc

Mus → Massa do conjunto do pneu

Figura 3: Modelo esquematico do sistema de sus-pensao ativa.

O modelo dinamico (Quanser, 2009) pode serrepresentado em espaco de estados, como segue:

x(t) =

0 1 0 −1

−ks

Ms

−bsMs

0 bsMs

0 0 0 1ks

Mus

bsMus

−kus

Mus

−(bs+bus)

Mus

x(t)

+

01

Ms

0−

1Mus

u(t) +

00−1bus

Mus

w(t),

y(t) =[

1 0 0 0]

x(t) (32)

com

x(t) =

zs(t)− zus(t)zs

zus(t)− zr(t)zus

e w(t) = zr, (33)

sendo que as posicoes zs(t), zus(t) e zr(t) sao medi-das atraves de encoders. Os valores das constantespodem ser encontrados na Tabela 1.

Tabela 1: Parametros do sistema de suspensaoativa.Parametros Sımbolo Valor

Massa de 14 do corpo total do veıculo (Kg) Ms 2,45

Massa do conjunto do pneu (Kg) Mus 1

Constante de rigidez da mola (N/m) ks 900

Constante de rigidez da mola (N/m) kus 2500

Coeficiente de amortecimento (Ns/m) bs 7,5

Coeficiente de amortecimento (Ns/m) bus 5

Para realizar o projeto de controle da suspen-sao ativa, foi considerado que o sistema possui

incertezas, do tipo politopicas, nas constantes derigidez das molas. Essas incertezas podem assumirvalores de ±10% em relacao aos valores nominais,exibidos na Tabela 1, ou seja,

810 ≤ ks ≤ 990 (N/m),

2250 ≤ kus ≤ 2750 (N/m).

Portanto, para realizar o projeto de controle foramconsiderados os seguintes vertices do politopo:

A1 =

0 1 0 −1−404, 0816 −3, 0612 0 3, 0612

0 0 0 1990 7, 5 −2750 −12, 5

,

A2 =

0 1 0 −1−404, 0816 −3, 0612 0 3, 0612

0 0 0 1990 7, 5 −2250 −12, 5

,

A3 =

0 1 0 −1−330, 6122 −3, 0612 0 3, 0612

0 0 0 1810 7, 5 −2750 −12, 5

,

A4 =

0 1 0 −1−330, 6122 −3, 0612 0 3, 0612

0 0 0 1810 7, 5 −2250 −12, 5

,

B =[

0 0, 4081 0 −1]T

,

H =[

0 0 −1 5]T

.

(34)

5 Resultados

Nessa secao serao apresentados diversos resulta-dos, incluindo implementacoes praticas, que pos-sibilitaram uma analise detalhada e comparacoesentre duas tecnicas de controle. Para facilitar aapresentacao dos resultados, considere que a tec-nica de controle que utiliza um ganho fixo e de-nominada de controle classico, dada em (4), jaa tecnica de controle que utiliza um conjunto deganhos que sao chaveados ao longo do tempo edenominada de controle chaveado, dada em (25).

Inicialmente e importante investigar a regiaode factibilidade das LMIs apresentadas nos Teore-mas 1 e 2, relacionados ao controle classico, e nosTeoremas 3 e 4, relacionados ao controle chaveado.A fim de projetar controladores que garantamum desempenho adequado ao sistema e, princi-palmente, possam ser implementaveis na pratica,adotaram-se alguns valores para os parametrosrelacionados a regiao S(α, r, θ):

θ = 80◦, 40 ≤ r ≤ 50, 10 ≤ α ≤ 20,

e a regiao de factibilidade e apresentada na Figura4.


2198

10 12 14 16 18 2040

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

r

α

Figura 4: Regiao de factibilidade utilizando o con-trole classico (“o”) e controle chaveado (“x”).

A analise da Figura 4 deixa evidente a rela-xacao nas LMIs causada pela insercao das va-riaveis Mi, visto que a regiao de factibilidade docontrole chaveado e superior a do controle classico.Outro ponto a ser investigado e o custo garan-tido H∞ na regiao S(α, r, θ) considerada anterior-mente.

42 44 46 48 50

10121416180.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

rα

√

µ

Controle Classico

Controle Chaveado

Figura 5: Custo garantidoH∞ do controle classicoe chaveado.

A Figura 5 apresenta uma comparacao en-tre o custo garantido H∞ do controle classico echaveado, exclusivamente para os pontos em queambas as tecnicas de controle possuem factibili-dade. E possıvel observar que em todos os pon-tos o custo garantido H∞ do controle classico esuperior ao do controle chaveado, sendo assim,e coerente utilizar somente a tecnica de controlechaveado para a implementacao pratica.

Dessa forma, a Figura 6 apresenta o custogarantido H∞ para a regiao de factibilidade do

controle chaveado, a fim de escolher adequada-mente os parametros da regiao S(α, r, θ) para pro-jetar um conjunto de controladores.

4042

4446

4850

10

12

14

16

18

200

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

rα

√

µ

Ponto Escolhido

Figura 6: Custo garantido H∞ do controlechaveado.

Entao resolvendo as LMIs apresentadas nosTeoremas 3 e 4 utilizando α = 10, r = 42 eθ = 80◦, foram obtidos os seguintes ganhos, ma-triz simetrica positiva definida e o limitante γ:

K1 = [−414, 5028 64, 4052 305, 8859 − 38, 8576],

K2 = [−159, 7453 74, 5593 24, 8850 − 38, 8135],

K3 = [−234, 5028 64, 4052 305, 8859 − 38, 8576],

K4 = [ 20, 2547 74, 5593 24, 8850 − 38, 8135],

P =

0, 3327 0, 0169 −0, 0247 −0, 00070, 0169 0, 0010 −0, 0055 −0, 0001−0, 0247 −0, 0055 0, 1589 0, 0019−0, 0007 −0, 0001 0, 0019 0, 0001

,

‖H(s)‖∞ ≤ γ =√

µ = 0, 0607,

(35)

ressaltando que, como visto na Figura 4, osparametros escolhidos tornam infactıveis as LMIsdo controle classico, apresentadas nos Teoremas 1e 2.

Para comprovar a eficiencia da metodologiaproposta, foram realizadas duas implementacoespraticas no sistema de suspensao ativa, utilizandoa lei de controle chaveada dada em (25) e os resul-tados de projeto descritos em (35). Ambas imple-mentacoes tem o proposito de verificar o desem-penho do sistema de suspensao ativa em malhaaberta e malha fechada.

Analisando a representacao em espaco de es-tados do modelo dinamico da suspensao ativa,dada em (32), observa-se que o estado (zs −

zus) multiplica todos os termos que apresentamo termo ks. Dessa forma, o sistema em malhafechada possibilita simular a ocorrencia de umafalha de −10% na constante de rigidez da mola


2199

ks, multiplicando por 0, 90 o estado (zs−zus), uti-lizando o software Simulinkr. Com esse mesmosoftware foi possıvel calcular a lei de controle (25)a cada 0, 01 segundos.

5.1 Implementacao Pratica I

Na primeira implementacao pratica o sinal dereferencia zr foi escolhido para reproduzir umaonda quadrada de 0, 02m de amplitude, frequenciade 1

3Hz com largura de pulso de 50%. No inter-valo de 0 a 3s o sistema encontra-se em malhaaberta, de 3,01 a 9s o sistema encontra-se emmalha fechada e sem falha, de 9,01 a 15s o sis-tema continua em malha fechada, porem com afalha de −10% na constante de rigidez da molaks. Lembrando que em malha fechada a lei decontrole utilizada e dada por (25).

0 5 10 15−0.02

−0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

Deslocamento

pratico

(m)

Malha abertaMalha fechada sem falha Malha fechada com falha

zrzuszs

Tempo (s)

Figura 7: Resposta transitoria pratica de malhaaberta (0-3s), de malha fechada sem falha (3,01-9s) e com falha (9,01-15s).

Como pode ser visto na Figura 7, o sistemaemmalha aberta e estavel, entretanto as oscilacoesgeram maior desconforto ao motorista. Como pre-visto, o sistema em malha fechada garante umbom desempenho ao sistema, diminuindo as os-cilacoes e a amplitude do movimento do assentodo motorista, mesmo com a ocorrencia da falha.Tambem e possıvel observar a presenca de um erroestacionario, justificado pelo atrito estatico que semanifesta intensamente no regime permanente.

5.2 Implementacao Pratica II

Na segunda implementacao pratica o sinal dereferencia zr foi escolhido para reproduzir umasenoide com amplitude de 0, 0015m e frequenciaque varia entre 1 a 10 Hz, sendo que para t < 0e t > 25s o sinal de referencia e nulo, ou seja, aentrada exogena w(t) possui energia finita.

A Figura 8 apresenta uma comparacao entrecomportamento dinamico do sistema em malhaaberta e malha fechada. Lembrando que o sistema

em malha fechada utilizada a tecnica de controlechaveado (25), com a presenca da falha de −10%na constante de rigidez da mola ks.

Em malha aberta, e possıvel observar que osdeslocamentos zs e zus apresentam suas maioresamplitudes de oscilacao em frequencias distin-tas. Essas frequencias, denominadas frequenciasde ressonancia, normalmente devem ser evitadas,pois alem de causar desconforto ao motorista, es-sas grandes amplitudes proporcionam altos nıveisde tensao mecanica, que podem causar danos aosmateriais.

Por fim, observa-se que o sistema em malhafechada reduziu as amplitudes maximas dos deslo-camentos zs e zus, trazendo conforto e segurancaao sistema. Ressaltando que a minimizacao danorma H∞ mitigou a influencia da entrada exo-gena w(t) na saıda y(t).

O vıdeo da segunda implementacaopratica pode ser visualizado no sitewww.feis.unesp.br/#!/lpc.

6 Conclusoes

Este trabalho realizou uma analise do controle ro-busto H∞ com chaveamento do ganho de reali-mentacao do vetor de estado, para sistemas li-neares com incertezas politopicas. Verificou-seque a tecnica de controle chaveado aumentou aarea de factibilidade da solucao do problema decontrole, alem de obter uma melhor minimizacaodo custo garantido H∞, comparando com a tec-nica de controle que utiliza somente um ganhode realimentacao do vetor de estado. Observou-se tambem que alocar os autovalores do sistemaem malha fechada em uma regiao D−estavel pre-estabelecida, alem de garantir um bom desem-penho ao sistema, permitiu a realizacao de umaimplementacao pratica no sistema de suspensaoativa. Tal implementacao comprovou a eficienciada tecnica de controle H∞ para a rejeicao de en-tradas exogenas.

Agradecimentos

Os autores agradecem a CAPES, ao CNPq e aFAPESP (Processo: 2011/17610-0) pelo apoio fi-nanceiro.

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2200

−5

0

5x 10

−3

−0.02

−0.01

0

0.01

0.02

−2

−1

0

1

2

x 10−3

0 5 10 15 20 25Tempo (s)

Perfil da pista

K1 ativo →

K2 ativo →

K3 ativo →

K4 ativo →

zr

(m

)

zus

(m

)

zs

(m

)

Malha aberta

Malha aberta

Controle chaveado

Controle chaveado

Figura 8: Resposta temporal pratica para varredura em frequencia do sistema em malha aberta e malhafechada, com falha.

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2201

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