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UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ
CAMPUS CURITIBA
DEPARTAMENTO DE PESQUISA E PÓS-GRADUAÇÃO
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA E DE
MATERIAIS – PPGEM
RODRIGO ESPERANÇA DA CUNHA PIMENTEL DE MEIRA
ESTUDO DO ESCOAMENTO DE FLUIDOS DE LEI DE
POTÊNCIA E BINGHAM EM CANAL
PARCIALMENTE POROSO UTILIZANDO O
MÉTODO LATTICE BOLTZMANN
DISSERTAÇÃO
Orientador: Prof. Dr. Silvio Luiz de Mello Junqueira
Co-Orientador: Prof. Cezar O. R. Negrão, PhD
CURITIBA
OUTUBRO – 2016
RODRIGO ESPERANÇA DA CUNHA PIMENTEL DE MEIRA
ESTUDO DO ESCOAMENTO DE FLUIDOS DE LEI DE
POTÊNCIA E BINGHAM EM CANAL
PARCIALMENTE POROSO UTILIZANDO O
MÉTODO LATTICE BOLTZMANN
DISSERTAÇÃO
Orientador: Prof. Dr. Silvio Luiz de Mello Junqueira
Co-Orientador: Prof. Cezar O. R. Negrão, PhD
CURITIBA
OUTUBRO – 2016
RESUMO
Neste trabalho, propõe-se o estudo numérico do escoamento de fluidos de lei de potência e
Bingham junto à interface entre uma região livre e outra porosa (interface fluido-porosa)
utilizando o método lattice Boltzmann. Para tanto, considera-se o escoamento entre placas
planas e paralelas entre as quais se faz presente um meio poroso abordado de forma heterogênea
(resolução espacial da ordem de grandeza dos poros) e representado através de obstáculos
sólidos quadrados uniformemente distribuídos na parte inferior do canal. As análises realizadas
mostram o efeito dos diversos parâmetros adimensionais do problema sobre o fator de atrito na
região livre do canal. De um modo geral, constata-se que a discrepância entre os fatores de
atrito na região livre do canal e para o escoamento entre placas planas e paralelas cresce com o
aumento da porosidade e do número de Bingham e com as reduções do número de obstáculos
que compõem o meio poroso, número de Reynolds e índice de lei de potência. Ademais, propõe-
se a adaptação do modelo analítico de interface fluido- porosa para escoamento de fluido
newtoniano proposto por Ochoa-Tapia e Whitaker (1995b) ao escoamento de fluido de lei de
potência, verificando-se a possibilidade de incorporar o comportamento não newtoniano do
fluido ao parâmetro empírico do modelo.
Palavras-chave: interface fluido-porosa, fluido de lei de potência, fluido de Bingham,
meio poroso heterogêneo, método lattice Boltzmann.
ABSTRACT
The goal of this work is to numerically investigate the flow of power law and Bingham fluids
next to the interface between a free and a porous region (fluid-porous interface) using the lattice
Boltzmann method. For this, the flow in a channel partially filled by a porous material is
studied. The porous region is located in the bottom half of the channel and is analyzed
considering a pore level approach in which the porous medium is represented by a set of solid
square obstacles. Results show the influence of various non-dimensional parameters on the
friction fator of the flow occuring in free region of the channel. In general, decreasing the power
law index, Reynolds number (inertial parameter) or number of obstacles composing the porous
domain causes the reduction of the friction factor in comparison to the case where the fluid-
porous interface is replaced by an impermeable wall. The same behavior occurs when
increasing the Bingham number (non-dimensional yield stress) or porosity. Moreover, the
application of the fluid-porous interface model developed by Ochoa-Tapia e Whitaker (1995b)
for Newtonian flows is used to describe the flow of power law fluids by variyng the stress jump
coefficient with the power law index.
Palavras-chave: fluid-porous interface, power law fluid, Bingham fluid, heterogeneous
porous medium, Lattice Boltzmann method.
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO ............................................................................................ 18
1.1 Motivação ............................................................................................... 18
1.2 Caracterização do problema ...................................................................... 21
1.3 Abordagem do problema ........................................................................... 22
1.4 Objetivos ................................................................................................. 24
1.5 Organização do trabalho ........................................................................... 24
2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ........................................................................ 26
2.1 Escoamento junto à interface fluido-porosa: fluido newtoniano ..................... 26
2.2 Escoamento junto à interface fluido-porosa: fluidos não newtonianos ............ 32
2.3 Síntese do capítulo ................................................................................... 34
3 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA ................................................................... 36
3.1 Fluidos newtonianos e não newtonianos ..................................................... 36
3.2 Meios porosos .......................................................................................... 42
3.3 Fator de atrito e número de Reynolds ......................................................... 47
3.4 Síntese do capítulo ................................................................................... 50
4 FORMULAÇÃO DO PROBLEMA ................................................................ 52
4.1 Geometria e condições de contorno e inicial ................................................ 52
4.2 Hipóteses simplificadoras e equações de balanço ......................................... 53
4.3 Parâmetros adimensionais do problema ...................................................... 54
4.4 Síntese do capítulo ................................................................................... 56
5 MÉTODO LATTICE BOLTZMANN .............................................................. 57
5.1 Histórico ................................................................................................. 57
5.2 Conceitos básicos sobre teoria cinética dos gases ......................................... 58
5.3 Modelo de He e Luo (1997)....................................................................... 61
5.4 Estruturas de retículo ................................................................................ 64
5.5 Equivalência entre o modelo HL e as Equações de Navier-Stokes – Expansão de
Chapman-Enskog ................................................................................................ 65
5.6 Adaptação do modelo HL para o escoamento de fluidos de lei de potência e
Bingham ............................................................................................................ 70
5.7 Condições de contorno .............................................................................. 71
5.8 Metodologia para o teste de sensibilidade à discretização espacial (Δx) e temporal
(Δt) 75
5.9 Estrutura do código computacional ............................................................ 77
5.10 Síntese do capítulo .............................................................................. 78
6 PROBLEMAS DE VERIFICAÇÃO ................................................................ 79
6.1 Escoamento entre placas planas e paralelas ................................................. 79
6.2 Escoamento em canal poroso ..................................................................... 82
6.3 Síntese do capítulo ................................................................................... 86
7 RESULTADOS E DISCUSSÕES ................................................................... 87
7.1 Parâmetros de análise do problema ............................................................ 87
7.2 Influência da interface fluido-porosa sobre o escoamento na região livre ........ 89
7.3 Análise paramétrica .................................................................................. 92
7.4 Estudo da adaptação dos modelos analíticos BJ, NN e OTW ao escoamento de
fluido de lei de potência ..................................................................................... 106
7.5 Síntese do capítulo ................................................................................. 112
8 CONSIDERAÇÕES FINAIS ........................................................................ 114
8.1 Sugestões para trabalhos futuros .............................................................. 115
REFERÊNCIAS ............................................................................................... 116
APÊNDICE A – PARÂMETROS ADIMENSIONAIS DO ESCOAMENTO EM
CANAL PARCIALMENTE POROSO ............................................................... 125
A.1 Fluido de lei de potência ......................................................................... 125
A.2 Fluido de Bingham ................................................................................. 127
APÊNDICE B – RESULTADOS INTERMEDIÁRIOS DO MÉTODO LATTICE
BOLTZMANN ................................................................................................. 130
B.1 Função de equilíbrio do modelo de He e Luo (1997) – Equação 5.11 ........... 130
B.2 Momentos de ordem zero e um das funções distribuição de velocidade do modelo
de He e Luo (1997) – Equações 5.13 e 5.14 ......................................................... 134
B.3 Momentos de ordem zero e um das parcelas de não equilíbrio das funções
distribuição de velocidade – Equações 5.26 e 5.27 ................................................ 137
B.4 Obtenção da equação da conservação da quantidade de movimento linear –
expansão de Chapman-Enskog ........................................................................... 138
APÊNDICE C – TESTES DAS CONDIÇÕES DE CONTORNO DO LBM ............ 144
C.1. Comparação entre as formulações padrão e intermediária da condição de bounce-
back 144
C.2. Avaliação da condição de contorno periódica de Liao e Jen (2008) ............. 146
APÊNDICE D – RESULTADOS DOS TESTES DE SENSIBILIDADE À Δx E Δt PARA
OS PROBLEMAS DE VERIFICAÇÃO E O ESCOAMENTO EM CANAL
PARCIALMENTE POROSO ............................................................................. 148
D.1 Escoamento entre placas planas e paralelas ............................................... 148
D.2 Escoamento em canal poroso ................................................................... 149
D.3 Escoamento em canal parcialmente poroso – fluido de lei de potência ......... 150
D.4 Escoamento em canal parcialmente poroso – fluido de Bingham ................. 150
APÊNDICE E – EXPRESSÕES PARA A RELAÇÃO Cf,p/Cf,i SEGUNDO OS
MODELOS BJ, NN e OTW ............................................................................... 151
LISTA DE FIGURAS
Figura 1.1 – Exemplos de meios porosos. (a) rocha carbonática, (b) osso humano, (c)
espuma metálica e (d) asfalto permeável. ........................................................... 18
Figura 1.2 – Exemplos de escoamentos de fluidos de lei de potência ou Bingham
ocorrendo junto à interface fluido-porosa. (a) fluido de perfuração escoando no
espaço anular entre a coluna de perfuração e o reservatório, (b) escoamento de
sangue em vasos sanguíneos e (c) filtração tangencial de fluido com partículas
em suspenção. ........................................................................................................ 20
Figura 1.3 – Esboço do perfil de velocidades do escoamento em canal parcialmente
poroso. .................................................................................................................... 21
Figura 1.4 – Representação das escalas de análise de um fluido. ............................. 23
Figura 3.1 – Viscosidade aparente em função da taxa de cisalhamento para uma
solução diluída de poliacrilamida em xarope de glicose. .................................. 37
Figura 3.2 – Comportamento típiuco do gtráfico τ × para fluidos newtonianos,
pseudoplásticos, dilatantes e viscoplásticos. ....................................................... 39
Figura 3.3 – Comparação entre os modelos de Bingham e Papanastasiou em termos
da variação da viscosidade aparente em função da taxa de cisalhamento para
diferentes valores de np. ....................................................................................... 42
Figura 3.4 – Abordagens homogênea e heterogênea do meio poroso. ..................... 44
Figura 3.5 – Escalas de análise micro, meso e macroscópica da interface-fluido
porosa. .................................................................................................................... 46
Figura 4.1 – Geometria e condições de contorno do escoamento em canal
parcialmente poroso. ............................................................................................ 52
Figura 5.1 – Representação do volume de controle hexadimensional dxαdcα. ........ 59
Figura 5.2 – Processos de deslocamento e colisão. ..................................................... 62
Figura 5.3 – Estrutura de retículo D2Q9. ................................................................... 65
Figura 5.4 – Funções distribuição fi indeterminadas após a etapa de deslocamento
na fronteira S. ....................................................................................................... 72
Figura 5.5 – Funções distribuição fi indeterminadas (setas tracejadas) após a etapa
de deslocamento nas fronteiras N, S, L, O. ........................................................ 73
Figura 5.6 – Formulações da condição de bounce-back (a) padrão e (b)
intermediária. ........................................................................................................ 74
Figura 5.7 – Fluxograma do código computacional. ................................................. 78
Figura 6.1 – Geometria e condições de contorno do escoamento de fluido de lei de
potência entre placas planas e paralelas. ............................................................ 79
Figura 6.2 – Escoamento entre placas planas e paralelas. Perfis de velocidade para
(a) fluido de lei de potência para Relp = 100 e diferentes valores de n e (b) fluido
de Bingham para ReBi = 100 e diferentes valores de Bi. .................................... 81
Figura 6.3 – Geometria e condições de contorno do escoamento de fluido de lei de
potência em meio poroso utilizando a abordagem heterogênea. ...................... 83
Figura 6.4 – Gráfico ṁ × (–Δp/L) para o escoamento de fluido de lei de potência em
canal poroso: NO = 2, ϕ = 0,75 e n = 0,25; 1,00 e 4,00. ...................................... 84
Figura 6.5 – Gráfico ṁ × –Δp/L para o escoamento de fluido de Bingham em canal
poroso: NO = 2, ϕ = 0,75 e τ0 = 0,00; 0,10; 1,00 e 10,00 Pa. .............................. 85
Figura 7.1 – (a) Campos e (b) perfis de velocidade dos escoamentos entre placas
planas e paralelas e em canal parcialmente poroso para Relp = 1,00, ϕ = 0,75,
NO = 2, Dh,rp /Dh,rl = 1,00 e n =1,00....................................................................... 89
Figura 7.2 –Campo vetorial de velocidade na região da interface fluido-porosa à
montante do obstáculo (à esquerda) e detalhe na região lateral do obstáculo (à
direita) para o escoamento em canal parcialmente poroso para Relp = 1,00, ϕ =
0,75, NO = 2, Dh,rp /Dh,rl = 1,00 e n =1,00.............................................................. 90
Figura 7.3 – Variação de (a) u1 e (b) u2 junto à interface fluido-porosa na direção x1
para Relp = 1,00, ϕ = 0,75, NO = 2, Dh,rp /Dh,rl = 1,00 e n =1,00. ......................... 91
Figura 7.4 – Comparação entre os escoamentos entre placas planas e paralelas (à
esquerda) e em canal parcialmente poroso (à direita) para Relp = 1,00, ϕ = 0,75,
NO = 2, Dh,rp /Dh,rl = 1,00 e n =1,00: campos de (a) tensão e (b) pressão. ......... 92
Figura 7.5 – Cf,p/Cf,i em função do número de Reynolds para ϕ = 0,75, NO = 2, Dh,rp
/Dh,rl = 1,00: (a) fluido de lei de potência e (b) fluido de Bingham. .................. 93
Figura 7.6 – Perfis de velocidade (à esquerda) e detalhe na região da interface fluido-
porosa (à direita) para ϕ = 0,75, NO = 2, Dh,rp /Dh,rl = 1,00 e diferentes valores de
Relp: (a) n = 0,25, (b) 1,00 e (c) 4,00. .................................................................... 95
Figura 7.7 – Campo vetorial de velocidade na região da interface fluido-porosa à
montante do obstáculo para ϕ = 0,75, NO = 2, Dh,rp /Dh,rl = 1,00 e Relp = 100 (à
esquerda) e Relp = 103 (à direita): (a) n = 0,25 e (b) 4,00. ................................. 96
Figura 7.8 – Perfis de velocidade (à esquerda) e detalhe na região da interface fluido-
porosa (à direita) para ϕ = 0,75, NO = 2, Dh,rp /Dh,rl = 1,00 e diferentes valores de
Bi: (a) ReBi = 100 e (b) ReBi = 103. ........................................................................ 97
Figura 7.9 – Cf,p/Cf,i em função da porosidade para Relp = 100, NO = 2, Dh,rp /Dh,rl =
1,00: (a) fluido de lei de potência e (b) fluido de Bingham. .............................. 98
Figura 7.10 – Perfis de velocidade (à esquerda) e detalhe na região da interface
fluido-porosa (à direita) para Relp = 100, NO = 2, Dh,rp /Dh,rl = 1,00 e diferentes
valores de ϕ: (a) n = 0,25, (b) 1,00 e (c) 4,00. ...................................................... 99
Figura 7.11 – Perfis de velocidade (à esquerda) e detalhe na região da interface
fluido-porosa (à direita) para ReBi = 100, ϕ = 0,75, NO = 2, Dh,rp /Dh,rl = 1,00 e
diferentes valores de Bi. ..................................................................................... 100
Figura 7.12 – Variação de u1 (a) e u2 (b) junto à interface fluido-porosa (x2 = 1,5625
× 10-3) na direção x1 para Relp = 100, ϕ = 0,75, Dh,rp /Dh,rl = 1,00, n = 0,25 e
diferentes valores de NO. ................................................................................... 102
Figura 7.13 – Cf,p/Cf,i em função do número de obstáculos para Relp = 100, ϕ = 0,75,
Dh,rp /Dh,rl = 1,00: (a) fluido de lei de potência e (b) fluido de Bingham. ........ 103
Figura 7.14 – Cf,p/Cf,i em função de Dh,rp/Dh,rl para Relp = 100, ϕ = 0,75, NO = 2: (a)
fluido de lei de potência e (b) fluido de Bingham............................................. 104
Figura 7.15 – Perfis de velocidade (à esquerda) e detalhe na região da interface
fluido-porosa (à direita) para Relp = 100, ϕ = 0,75, NO = 2 e diferentes valores
de Dh,rp /Dh,rl : (a) n = 0,25 e (b) Bi = 0,40. ......................................................... 106
Figura 7.16 – Curvas Cf,p/Cf,i × σ obtidas através dos modelos BJ (α = 27,00), NN (μef
/μ = ϕ-1) e OTW (β = -5.85) e do LBM para o escoamento em canal parcialmente
poroso para Relp = 1,00, ϕ = 0,75, NO = 2, Dh,rp = 1,00, n =1,00. ..................... 108
Figura 7.17 – Perfis de velocidade (à esquerda) com detalhe na região da interface
fluido-porosa (à direita) para o escoamento em canal parcialmente poroso para
Relp = 1,00, ϕ = 0,75, NO = 2, Dh,rp = 1,00, n =1,00 e diferentes valores de Dh,rl.
.............................................................................................................................. 109
Figura 7.18 – Resultados para Cf,p/Cf,i em função de σ obtidos através do LBM para
Relp = 100, ϕ = 0,75, NO = 2, Dh,rp = 1,00 e diferentes valores n. ...................... 110
Figura 7.19 – Curvas Cf,p/Cf,i × σ obtidas através do modelo OTW para diferentes
valores de β. ......................................................................................................... 111
Figura 7.20 – Comparação entre os resultados apresentados na Figura 7.18 e o
modelo OTW considerando os valores de β apresentados na Tabela 7.8. ..... 112
Figura C.1 – Análise das condições de contorno de bounce-back. Comparação entre
os perfis de velocidade analítico e obtidos com bounce-back (a) padrão e (b)
intermediário. À esquerda: perfis de velocidade ao longo de toda a seção
transversal do canal. À direita: detalhe da região próxima a parede inferior.
.............................................................................................................................. 145
Figura C.2 – Canal parcialmente poroso com diferentes comprimentos. (a) L = 0,25
e (b) L = 0,50. ....................................................................................................... 146
Figura C.3 – Perfis de velocidade do escoamento em canal parcialmente poroso em
diferentes posições do canal. .............................................................................. 147
LISTA DE TABELAS
Tabela 5.1 – Valores de wi, cs e cα,i para o modelo D2Q9. ......................................... 65
Tabela 7.1 – Faixas de valores das variáveis independentes..................................... 87
Tabela 7.2 – Valores de Cf,p/Cf,i para diferentes de números de Reynolds e índices de
lei de potência. ....................................................................................................... 94
Tabela 7.3 – Valores de Cf,p/Cf,i para diferentes de números de Reynolds e números
de Bingham. ........................................................................................................... 94
Tabela 7.4 – Valores de Cf,p/Cf,i para diferentes porosidades e índices de lei de
potência. ............................................................................................................... 101
Tabela 7.5 – Valores de Cf,p/Cf,i para diferentes porosidades e números de Bingham.
.............................................................................................................................. 101
Tabela 7.6 – Valores de Cf,p/Cf,i para diferentes números de obstáculos e índices de
lei de potência. ..................................................................................................... 103
Tabela 7.7 – Valores de Cf,p/Cf,i para diferentes números de obstáculos e números de
Bingham. .............................................................................................................. 103
Tabela 7.8 – Valores de Cf,p/Cf,i para diferentes relações de diâmetros hidráulicos e
índices de lei de potência. ................................................................................... 104
Tabela 7.9 – Valores de Cf,p/Cf,i para diferentes relações de diâmetros hidráulicos e
números de Bingham. ......................................................................................... 105
Tabela 7.10 – Valores de β e R2 para cada valor de n. ............................................ 111
Tabela D.1 – Teste de sensibilidade à Δx e Δt para o escoamento de fluido de lei de
potência entre placas planas e paralelas para n = 0,25. .................................. 149
Tabela D.2 – Teste de sensibilidade à Δx e Δt para o escoamento de fluido de
Bingham entre placas planas e paralelas para Bi = 0,40. ................................ 149
Tabela D.3 – Teste de sensibilidade à Δx e Δt para o escoamento de fluido de lei de
potência em canal poroso para n = 0,25 e (–Δp/L) = 48 Pa/m. ........................ 150
Tabela D.4 – Teste de sensibilidade à Δx e Δt para o escoamento de fluido de
Bingham em canal poroso para τ0 = 10 Pa e (–Δp/L) = 48 Pa/m. ................... 150
LISTA DE SIGLAS
BGK Aproximação para o operador colisão
BJ Modelo de Beavers e Joseph (1967)
CA Cellular Automata
DaQb Estruturas de lattice
FHP Modelo de Frisch et al. (1986)
HL Modelo de He e Luo (1997)
LBM Método lattice Boltzmann
LGCA Lattice-Gas Cellular Automata
NN Modelo de Neale e Nader (1974)
OTW Modelo de Ochoa-Tapia e Whitaker (1995)
LISTA DE SÍMBOLOS
Símbolos Romanos
A Número de dimensões da estrutura de lattice [-]
A Área da seção transversal [m2]
At Área total (meio poroso bidimensional) [m2]
Af Área de fluido (meio poroso bidimensional) [m2]
B Número de orientações/velocidades de deslocamento da
estrutura de lattice [-]
Bi Número de Bingham [-]
cα
Vetor velocidade das partículas [m/s]
C Velocidade fundamental das partículas [m/s]
Cf Fator de atrito [-]
cF Fator de forma (termo de Forchheimer) [-]
cs Velocidade do som [m/s]
Ca Coeficiente angular da reta [-]
C1, C2
Constantes [-]
D Distância entre os obstáculos [m]
D Lado dos obstáculos [m]
Dh Diâmetro hidráulico [m]
E Energia [J]
Eg Erro global [-]
EΔx
Erro associado à discretização espacial [-]
EMa
Erro associado à compressibilidade [-]
EΔt
Erro associado à discretização temporal [-]
Ep Erro percentual [-]
F Função distribuição de velocidade [-]
fM Função distribuição de Maxwell [-]
f eq Função de equilíbrio local [-]
f neq Parcela de não equilíbrio da função distribuição de
velocidade [-]
Fα
Vetor força externa [N]
gα Vetor aceleração da gravidade [m/s2]
I Orientação de deslocamento das partículas [-]
kB Constante de Boltzmann [m2kg/s2K]
K Permeabilidade [m2]
Kn Número de Knudsen (llcm/lref) [-]
llcm Livre caminho médio das partículas [m]
lref Comprimento de referência [m]
L Comprimento do canal [m]
M Massa das partículas [kg]
ṁ Vazão mássica [kg/m3]
Ma Número de Mach [-]
N Índice de lei de potência [-]
nvp Número de variáveis do problema (Teorema Pi de
Buckingham) [-]
ndp Número de dimensões primárias (Teorema Pi de
Buckingham) [-]
np Parâmetro de regularização do modelo de Papanastasiou
(1987) [s]
N Número de partículas [-]
N, S, L, O Fronteiras do retículo [-]
P Pressão [Pa]
P Perímetro [m]
Δp Diferença de pressão [Pa]
Re Número de Reynolds [-]
R2 Coeficiente de determinação (método dos mínimos
quadrados) [-]
NO Número de obstáculos [-]
Q Operador colisão [-]
S Expressão a ser minimizada (método dos mínimos
quadrados)
T Tempo [s]
Δt Passo de tempo [s]
T Temperatura [K]
uα Vetor velocidade do escoamento [m/s]
uD Velocidade de Darcy [m/s]
uint Velocidade do escoamento na interface fluido-porosa [m/s]
Ū Velocidade média do escoamento [m/s]
um Velocidade do núcleo não cisalhado (Fluido de Bingham) [m/s]
uref Velocidade de referência do escoamento [m/s]
V Volume [m3]
Vp Volume total de poros [m3]
Vpi Volume de poros interconectados [m3]
Vt Volume total do meio poroso [m3]
W Fator de ponderação [-]
xα
Vetor posição [m]
xN Comprimento do núcleo não cisalhado (Fluido de Bingham) [m]
Δx Distância horizontal/verital entre nós vizinhos [m]
Símbolos Gregos
α Coeficiente de deslizamento (modelo BJ) [-]
β Coeficiente de salto de tensão (modelo OTW) [-]
Taxa de cisalhamenento/Magnitude do tensor taxa de
cisalhamento [s-1]
Tensor taxa de cisalhamento [s-1]
ξ
Parâmetro de escala da expansão de Chapman-Enskog [-]
η Viscosidade aparente [Pa∙s]
ηc Índice de consistência [Pa∙sn]
ηp Viscosidade plástica [Pa∙s]
μ Viscosidade dinâmica [Pa∙s]
μef Viscosidade dinâmica efetiva [Pa∙s]
ρ Massa específica do fluido [kg/m3]
ρ0 Massa específica inicial [kg/m3]
δρ Flutuação da massa específica [kg/m3]
σ Parâmetro adimensional (Dh,rl/√K) [-]
ς Seção transversal diferencial de choque [m2]
τ Tensão/Magnitude do tensor tensão [Pa]
ταβ Tensor tensão [Pa]
τ0 Tensão limite de escoamento [Pa]
Τ Fator de relaxação [s]
Tlb Fator de relaxação adimensional (T/Δt) [-]
ϕ Porosidade [-]
ϕef Porosidade efetiva [-]
φ Variável qualquer do problema [-]
Φ Acréscimo percentual de vazão na região livre [-]
ψk Momento de ordem k da função distribuição [-]
dΩ Elemento de ângulo sólido [rad]
Π Parâmetro adimensional [-]
Subscritos
1,2 Direções principal e perpendicular ao escoamento
i Direção i
α, β, γ, δ, χ Índices da notação indicial
n Fluido newtoniano
lp Fluido de lei de potência
Bi Fluido de Bingham
lbm Método lattice Boltzmann
ma Modelos analíticos
ref Referência
rl Região livre
rp Região porosa
mod Modificado
i Canal parcialmente poroso impermeável
p Canal parcialmente poroso permeável
c Crítico
18
1 INTRODUÇÃO
1.1 MOTIVAÇÃO
Meios porosos estão presentes em diversas situações cotidianas e aplicações
tecnológicas, podendo-se citar como exemplos: areia, madeira, asfalto, rochas, pães,
tecidos do corpo humano, esponjas, isolantes térmicos, espumas metálicas, entre outros
(NIELD e BEJAN, 2006; SAHIMI, 2010). A Figura 1.1 apresenta alguns exemplos de
meios porosos naturais, como rochas carbonáticas da camada pré-sal (Figura 1.1a) e ossos
humanos (Figura 1.1b), e artificiais, como asfalto permeável (Figura 1.1c) e espuma
metálica (Figura 1.1d), cujas aplicações são encontradas na construção civil e indústrias
automotiva, aeroespacial, biomédica, entre outras (BANHART, 2001).
Equation Chapter (Next) Section 1
(a) (b)
(c)
(d)
Figura 1.1 – Exemplos de meios porosos. (a) rocha carbonática, (b) osso humano, (c) espuma
metálica e (d) asfalto permeável.
Fonte: (a) GLOBO, (b) BRITANNICA, (c) WIKIPÉDIA e (d) MOREINSPIRATION.
19
Em certas circunstâncias, observa-se o escoamento de fluidos ocorrendo junto a
materiais porosos como os citados no parágrafo anterior. Prasad (1991) destaca a
interação entre isolantes térmicos fibrosos ou granulares e a vizinhança ao redor, a
convecção da água junto às rochas em sistemas geotérmicos, o contato das águas de
oceanos com o leito marinho, o processo de solidificação dendrítica de alguns tipos de
ligas metálicas, assim como a lubrificação das articulações sinoviais (e.g., ombros e
joelhos) e de rolamentos porosos. Outros exemplos nos quais se aplica a modelagem do
escoamento junto à interface entre uma região livre e outra porosa (interface fluido-
porosa) são: processos de secagem de alimentos e cimento (MOSTHAF et al., 2014),
filtragem industrial (HANSPAL et al., 2006), coletores solares (AL-NIMR e ALKAN,
1997), trocadores de calor (MOROSUK, 2005), perfuração de poços de petróleo e gás
(MARTINS, 2004; MARTINS-COSTA et al., 2013), escoamento de filmes líquidos sobre
superfícies rugosas (SADIQ e USHA, 2010), moldagem por transferência de resina
(YANG et al., 2008), propagação de incêndios em florestas (SÉRO-GUILLAUME e
MARGERIT, 2002) e fluxo de sangue em vasos sanguíneos e de outros fluidos biológicos
em órgãos do corpo humano (RAO e MISHRA, 2004).
Devido à quantidade de aplicações, o estudo de fenômenos de transporte junto à
interface fluido-porosa tem sido realizado de forma extensiva, sendo considerados
diversos níveis de complexidade do problema, desde o escoamento de fluido newtoniano,
laminar e isotérmico (BEAVERS e JOSEPH, 1967; OCHOA-TAPIA e WHITAKER,
1995b) até, por exemplo, escoamentos turbulentos (SILVA e DE LEMOS, 2003),
conveção forçada (KUZNETSOV, 1999) ou natural (GOBIN e GOYEAU, 2008) e
transferência de massa (GOBIN et al., 2005). Segundo Chandesris e Jamet (2006), o
principal desafio consiste na modelagem adequada da zona de transição entre as regiões
livre e porosa de modo a descrever corretamente os fluxos de massa, quantidade de
movimento e energia na região interfacial.
Particularmente, o escopo deste trabalho se restringe aos casos em que o fluido
escoando junto à interface fluido-porosa apresenta comportamento não newtoniano, mais
especificamente, segundo os modelos de lei de potência ou Bingham. As considerações
físicas e matemáticas destes modelos são apresentadas em detalhes no Capítulo 3, mas
vale ressaltar que dos exemplos citados anteriormente, os fluidos de perfuração utlizados
pela indústria petrolífera, o sangue e os fluidos com partículas sólidas em suspensão são
modelados como fluidos de lei de potência ou Bingham (CHHABRA e RICHARDSON,
2008). A Figura 1.2 ilustra situações em que estes fluidos escoam em contato com uma
20
superfície permeável, caracterizando-se, assim, o escoamento junto a interface fluido-
porosa.
(a)
(b)
(c)
Figura 1.2 – Exemplos de escoamentos de fluidos de lei de potência ou Bingham ocorrendo junto à
interface fluido-porosa. (a) fluido de perfuração escoando no espaço anular entre a coluna de
perfuração e o reservatório, (b) escoamento de sangue em vasos sanguíneos e (c) filtração tangencial
de fluido com partículas em suspenção.
Fonte: (a) LEARNTODRILL, (b) WISEGEEK e (c) LIQTECH
A Figura 1.2a mostra o fluido de perfuração carregando os cascalhos gerados
durante o processo de perfuração através do espaço anular entre a coluna de perfuração e
as paredes do poço (rochas permeáveis). A Figura 1.2b ilustra a passagem de sangue no
reservatório (região porosa)
fluido de perfuração (região fluida)
endotélio (região porosa)
sangue (região fluida)
suspensão
(região fluida)
membrana
(região porosa)
filtrado
filtrado
21
interior de vasos capilares, cujas paredes são permeáveis de modo a permitir a passagem
de nutrientes e substâncias químicas. Por fim, a Figura 1.2c retrata o processo de filtragem
tangencial no qual um fluido com partículas em suspensão escoa sobre uma membrana
permeável que permite a separação das partículas de maior granulometria do filtrado
composto por fluido e partículas menores.
1.2 CARACTERIZAÇÃO DO PROBLEMA
Neste trabalho, a análise do escoamento junto à interface fluido-porosa é realizada
através do estudo do escoamento em canal parcialmente poroso, o qual é formado por
duas placas planas e paralelas entre as quais se faz presente um material poroso
acomodado sobre a placa inferior. No interior do canal são identificadas duas regiões:
uma porosa, determinada pelo próprio material poroso, e outra livre, compreendida entre
a região porosa e a placa superior do canal, como ilustra a Figura 1.3.
Figura 1.3 – Esboço do perfil de velocidades do escoamento em canal parcialmente poroso.
Tal geometria remete aos experimentos realizados por Beavers e Joseph (1967),
cujo trabalho representou o primeiro esforço no sentido de modelar o escoamento junto à
interface fluido-porosa. A principal questão a ser investigada é a influência do meio
poroso sobre o escoamento na região livre, a qual se traduz no modo como o perfil de
velocidades se comporta na zona de transição entre as regiões porosa e livre. Conforme
ilustrado na Figura 1.3, a zona de transição é caracterizada pela passagem de um perfil de
velocidade aproximadamente uniforme, uD, no interior da região porosa (suficientemente
longe da zona de transição e da placa inferior) para um perfil aproximadamente parabólico
2 2,x u
1 1,x u
Região fluida
Região porosa
Zona de transição
Acréscimo de
vazão mássica
Du
Interface fluido-porosa
2 rfx h
1x L
2 rpx h
1 0x
2 0x
22
na região livre. É importante notar que a presença do meio poroso induz uma vazão
mássica através da região livre superior àquela esperada no caso em que o meio poroso é
substituído por uma parede impermeável, já que a velocidade do escoamento na interface
fluido-porosa é maior do que zero (Figura 1.3).
1.3 ABORDAGEM DO PROBLEMA
Como será visto na revisão bibliográfica apresentada no Capítulo 2, o problema
do escoamento junto à interface fluido-porosa é abordado na literatura segundo as
metodologias experimental e teórica, a qual, por sua vez, pode ser analítica ou numérica.
A complexidade matemática associada à modelagem do escoamento na zona de transição
torna a obtenção de soluções puramente analíticas extremamente difícil. Os modelos
analíticos encontrados na literatura dependem, por exemplo, de parâmetros empíricos
relativos ao meio poroso ou são simplificados a tal ponto que a generalidade dos
resultados é comprometida. Nesse sentido, muitos estudos lançam mão de técnicas
numéricas para solução das equações que modelam o problema, se utilizando, por
exemplo, de integração numérica, do método das diferenças finitas, da simulação
numérica direta e do método lattice Boltzmann. Ainda levando em conta a complexidade
imposta pelo meio poroso na modelagem do problema, a abordagem experimental se
mostra a melhor alternativa para a reprodução e investigação de problemas reais,
fornecendo também subsídios para a análise dos modelos analíticos e numéricos.
Neste trabalho, opta-se pela solução do problema através do método lattice
Boltzmann (LBM), um método numérico baseado na teoria cinética dos gases para a
representação de fenômenos físicos em fluidos (CHEN e DOOLEN, 1998). O LBM é
apresentado detalhadamente no Capítulo 5 e será brevemente contextualizado a seguir.
De um modo geral, a análise do escoamento de fluidos pode ser realizada em três
escalas espaciais: micro, meso e macroscópica, ilustradas na Figura 1.4. Na escala
microscópica é possível distinguir cada átomo ou molécula que compõe o fluido, o qual
pode ser considerado um sistema de partículas individuais em constante movimentação
interagindo entre si por meio de colisões. O fluido é caracterizado pelas trajetórias das
partículas, as quais são descritas pelas mecânicas clássica ou hamiltoniana. No extremo
oposto se encontra a escala macroscópica, na qual o livre caminho médio das partículas
(i.e., distância média percorrida entre duas colisões sucessivas) é muito menor do que o
comprimento característico do escoamento e o fluido é considerado um meio contínuo.
23
Através da análise dos fluxos de massa, quantidade de movimento e energia em um
volume de controle infinitesimal, obtém-se as respectivas equações de conservação que
descrevem o escoamento. Finalmente, a escala mesoscópica se encontra numa posição
intermediária, não sendo possível distinguir cada partícula individualmente nem
considerar o fluido como um meio contínuo. Neste caso, o fluido é caracterizado de forma
estatística através de funções distribuição de velocidade, f (xα,cα,t), que correspondem ao
número provável de partículas dentro de determinadas faixas de posição e velocidade num
dado instante de tempo. xα e cα representam, respectivamente, posições do espaço físico
e de velocidades e t um instante de tempo. Através das funções distribuição, determina-
se as propriedades macroscópicas do fluido, como massa específica, velocidade e energia
interna (GUO e SHU, 2013).
Figura 1.4 – Representação das escalas de análise de um fluido.
Fundamentado na escala mesoscópica, o LBM se mostra uma alternativa a
métodos numéricos como a dinâmica molecular (escala microscópica) e o método dos
volumes finitos (escala macroscópica). Algumas das vantagens do LBM são a linearidade
do termo convectivo, a fácil adaptação do algoritmo à computação paralela e a
simplicidade de implementação de condições de contorno. Além disso, não é necessário
resolver a equação de Laplace a cada passo de tempo para que a equação da continuidade
seja satisfeita. Outra característica importante consiste no cálculo da pressão através de
uma equação de estado independente da velocidade do escoamento, não sendo necessária
a introdução de um acoplamento entre pressão e velocidade, que em geral causa
dificuldades numéricas. Por fim, o número reduzido de velocidades e direções de
deslocamento dos conjuntos de partículas torna desnecessária a solução da equação de
Meio contínuo Representação estatística Sistema de partículas
individuais
,2F
,3F
,1F,5
F
,4F
, ,f x c t
ref lcml l lcml
24
Boltzmann para todo o espectro de velocidades, o que confere maior eficiência ao método
(CHEN e DOOLEN, 1998; MOHAMAD, 2011).
Sukop e Thorne Jr (2007) destacam o aumento do número de trabalhos científicos
envolvendo o LBM nas últimas décadas com aplicações em diversas áreas da ciência e
da engenharia. Guo e Shu (2013) apresentam modelos do LBM, com potenciais
aplicações na área de engenharia térmica, desenvolvidos para a solução de escoamentos
turbulentos, multifásicos, compressíveis, com transferência de calor, em escala
microscópica e em meios porosos. Também são encontrados na literatura modelos para o
escoamento de fluidos não newtonianos (PHILLIPS e ROBERTS, 2011), combustão
(YAMAMOTO et al., 2002) e mudança de fase (MILLER, 2001).
1.4 OBJETIVOS
O objetivo deste trabalho é avaliar o fator de atrito do escoamento de fluidos de
lei de potência e Bingham num canal formado por uma parede sólida e um meio poroso
utilizando o método lattice Boltzmann. Para tanto, estuda-se o escoamento em canal
parcialmente poroso no qual o meio poroso é representado através de obstáculos sólidos
e quadrados distribuídos uniformemente na parte inferior do canal.
Especificamente, são realizadas análises paramétricas do problema, nas quais são
estudadas as influências de parâmetros adimensionais relacionados à região porosa (i.e.,
porosidade, número de obstáculos e altura adimensional), à inercia do escoamento (i.e.,
número de Reynolds) e aos modelos de fluido (i.e., índice de lei de potência e número de
Bingham) sobre a relação entre os fatores de atrito do escoamento entre placas planas e
paralelas e na região livre do canal. Ademais, estuda-se a adaptação de modelos analíticos
que descrevem a interface fluido-porosa no caso do escoamento de fluidos newtonianos
para o escoamento de fluidos de lei de potência.
1.5 ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO
A sequência deste documento é dividida em sete capítulos. No Capítulo 2 é
realizada a revisão bibliográfica, na qual são descritos os principais estudos relacionados
ao escoamento de fluidos newtonianos e não newtonianos junto à interface fluido-porosa.
Ao final do capítulo são evidenciados os principais diferenciais e contribuições do
presente trabalho.
25
No Capítulo 3 é apresentada a fundamentação teórica necessária para o
desenvolvimento deste trabalho, sendo apresentados conceitos básicos sobre fluidos
newtonianos e não newtonianos, meios porosos, bem como a definição de fator de atrito.
Em seguida, no Capítulo 4, realiza-se a formulação do problema, sendo
apresentadas a geometria, as condições de contorno e inicial, as hipóteses simplificadoras
e as equações de balanço que descrevem o problema. Além disso, os parâmetros
adimensionais que caracterizam o escoamento em canal parcialmente poroso são
identificados.
O método lattice Boltzmann é apresentado no Capítulo 5, destacando-se aspectos
introdutórios do método, o modelo de He e Luo (1997), a estrutura de retículo D2Q9 e o
acoplamento dos modelos de lei de potência e Bingham. Ademais, são apresentadas as
condições de contorno utilizadas na modelagem do escoamento em canal parcialmente
poroso, a metodologia utilizada para o desenvolvimento dos testes de sensibilidade à
malha, bem como uma noção geral da estrutura do código de programação.
No Capítulo 6 são apresentados os estudos de dois problemas de verificação
utilizados para avaliar a implementação numérica do LBM e a sua capacidade na solução
do escoamento de fluido de lei de potência e Bingham em diferentes geometrias.
Particularmente, são abordados os escoamentos entre placas planas e paralelas e em canal
poroso.
As análises do escoamento em canal parcialmente poroso são apresentadas no
Capítulo 7, no qual são discutidas as influências do meio poroso sobre o escoamento na
região livre do canal, bem como o comportamento do fator de atrito em função da variação
de cada parâmetro adimensional do problema. Além do mais, neste capítulo é estudada a
adaptação de modelos analíticos que descrevem a interface fluido-porosa para o
escoamento de fluidos newtonianos para o fluidos de lei de potência.
Finalmente, no Capítulo 8 é apresentada a conclusão do trabalho, no qual são
considerados os principais resultados obtidos e algumas sugestões para trabalhos futuros.
26
2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
Neste capítulo são revisados trabalhos da literatura que investigam o escoamento
junto à interface fluido-porosa. Na seção 2.1 são apresentados estudos relativos ao
escoamento de fluido newtoniano, enquanto a seção 2.2 trata do escoamento de fluidos
não newtonianos, com destaque aos modelos de lei de potência e Bingham. No final do
capítulo são apontados os principais diferenciais e contribuições do presente trabalho.
2.1 ESCOAMENTO JUNTO À INTERFACE FLUIDO-POROSA: FLUIDO
NEWTONIANO
O primeiro trabalho a tratar do escoamento junto à interface fluido-porosa é
atribuído a Beavers e Joseph (1967), que investigaram o problema de forma analítica e
experimental. Para tanto, Beavers e Joseph (1967) analisaram o escoamento de Poiseuille
(i.e., escoamento promovido por um gradiente de pressão) em uma geometria similar à
da Figura 1.3, i.e., escoamento entre duas placas planas e paralelas entre as quais se faz
presente um material poroso, de tal forma que duas regiões são estabelecidas: uma livre
(superior) e outra porosa (inferior). Experimentalmente, constatou-se que a vazão mássica
na região livre era superior àquela esperada no caso em que o material poroso é
impermeável (escoamento entre placas planas e paralelas), de modo que os autores
inferiram a existência de uma velocidade de deslizamento, uint, sobre a superfície do
material poroso.
O modelo analítico proposto por Beavers e Joseph (1967), que neste trabalho é
denotado por BJ, considerou o escoamento de Stokes unidimensional e plenamente
desenvolvido na região livre e a lei de Darcy na região porosa. Para modelar a interface
fluido-porosa foi proposta a seguinte condição de contorno:
Equation Chapter (Next) Section 1
2
1int
2 0
D
x
duu u
dx K
2.1
sendo u1 o componente da velocidade na direção do escoamento, x2 o componente da
posição na direção perpendicular ao escoamento, x2 = 0+ a posição da interface pelo lado
27
da região livre, K a permeabilidade do meio poroso, uD a velocidade média do escoamento
na região porosa (velocidade de Darcy) e α um parâmetro empírico associado ao meio
poroso (coeficiente de deslizamento). A Equação 2.1 pode ser vista como uma
aproximação do gradiente de velocidade na zona de transição entre as regiões livre e
porosa, o qual é proporcional, através do parâmetro α, à variação da velocidade de uD (no
interior da região porosa) a uint (na interface fluido-porosa) ao longo de um comprimento
característico da região porosa representado por K1/2.
Para validar o modelo BJ, Beavers e Joseph (1967) analisaram a relação entre a
variação do parâmetro σ = 0,5Dh,rl/K1/2 e o acréscimo percentual de vazão mássica na
região livre, Φ, o qual é dado por:
rl pp
pp
m m
m
2.2
sendo ṁrl a vazão mássica através da região livre na presença do material poroso e ṁimp
quando o mesmo é impermeável.
Considerando as características do experimento conduzido, no qual o escoamento
é promovido por um gradiente de pressão igualmente aplicado nas regiões livre e porosa,
a expressão analítica de Φ para o modelo BJ, ΦBJ, é dada por:
BJ
3 2
1
2.3
sendo σ um parâmetro adimensional relacionando o diâmetro hidráulico da região livre,
Dh,rl, e a permeabilidade do meio poroso:
,
2
h rlD
K 2.4
Os resultados experimentais apresentados por Beavers e Joseph (1967), obtidos
para dois tipos de fluido (água e óleo) e cinco amostras de meio poroso (foametal e
28
aloxite), mostraram que Φ cresce assintoticamente com a redução de σ, podendo alcançar
valores superiores a 1,2. De um modo geral, o modelo BJ apresentou resultados
qualitativamente coerentes com os resultados experimentais. Para uma faixa de σ
variando aproximadamente entre 2 e 90, o parâmetro α, que se mostrou independente do
fluido, variou entre 0,1 e 4,0 em função da amostra de meio poroso utilizada.
Em um estudo posterior, Sahraoui e Kaviany (1992) analisaram o escoamento
junto à interface fluido-porosa através de simulação numérica direta, representando o
meio poroso através de um conjunto de cilindros sólidos. Os resultados obtidos
mostraram que o parâmetro α depende da porosidade, efeitos inerciais, altura da região
livre, posição da interface fluido-porosa, direção do escoamento e acabamento superficial
do meio poroso.
Beavers et al. (1970) avaliaram o fator de atrito, Cf, do escoamento na região livre
do canal, confrontando resultados obtidos experimentalmente e através do modelo BJ. Os
autores identificaram que o produto Cf Re é constante para uma determinada configuração
geométrica de canal e meio poroso (σ e α fixos), sendo Re o número de Reynolds baseado
na velocidade média do escoamento e na altura da região livre. Especificamente, pode-se
mostrar que o produto Cf Re é inversamente proporcional a (1 + Φ). Desta forma, constata-
se que Cf Re diminui na presença da interface fluido-porosa, sendo este efeito tanto maior
quanto maior o acréscimo percentual de vazão mássica na região livre, ou seja, quanto
menor a altura da região livre ou maiores forem a permeabilidade do meio poroso e o
parâmetro α.
Neale e Nader (1974) propuseram a inclusão do termo de Brinkman, associado ao
arrasto viscoso do fluido com a matriz sólida do meio poroso, na modelagem do
escoamento através do meio poroso. Desta forma, é possível capturar a penetração dos
efeitos viscosos na zona de transição entre as regiões livre e porosa. No modelo
apresentado por Neale e Nader (1974), neste trabalho denotado por NN, a interface fluido-
porosa é representada pela continuidade da velocidade e da tensão de cisalhamento, a qual
é calculada utilizando a viscosidade efetiva associada ao termo de Brinkman, μef, pelo
lado do meio poroso:
2 2
1 10 0x xu u
2.5
29
2 2
1 1
2 20 0
ef
x x
du du
dx dx
2.6
sendo x2 = 0- a posição da interface pelo lado do domínio poroso.
O acréscimo percentual de vazão mássica na região livre previsto pelo modelo NN
resulta num caso particular do modelo BJ, com α = (μef /μ)1/2. Suportados pelos resultados
experimentais apresentados por Beavers e Joseph (1967), Neale e Nader (1974)
consideram o modelo NN válido, apontando para a necessidade de maiores informações
a respeito da relação entre μ e μef.
Além do termo de Brinkman, Vafai e Kim (1990) consideram a introdução do
termo de Forchheimer na modelagem do escoamento na região porosa, de modo que os
efeitos associados ao arrasto de forma da matriz sólida do meio poroso são contabilizados.
A interface fluido-porosa é representada pelas Equações 2.5 e 2.6, considerando μef = μ.
Das análises apresentadas por Vafai e Kim (1990), pode-se constatar que a distribuição
de vazão mássica entre as regiões livre e porosa depende do número de Darcy
(permeabilidade adimensional) e do parâmetro resultante do produto entre o número de
Reynolds (baseado na altura da região livre e na velocidade de Darcy) e o parâmetro
adimensional relacionado ao termo de Forchheimer. A vazão mássica através da região
livre cresce com a redução do número de Darcy ou com o aumento do parâmetro inercial,
pois em ambos os casos a resistência do meio poroso ao escoamento cresce, de tal forma
que o fluido escoa preferencialmente pela região livre.
Através da aplicação do método da média volumétrica, Ochoa-Tapia e Whitaker
(1995a, 1995b) obtiveram as equações de Stokes e Darcy-Brinkman para a modelagem
do escoamento, respectivamente, nas regiões livre e porosa do canal. Como resultado da
média volumétrica, a interface fluido-porosa é caracterizada pela continuidade da
velocidade, Equação 2.5, e pela descontinuidade da tensão de cisalhamento, a qual é
representada por:
2 2
1 1int
2 20 0
ef
x x
du duu
dx dx K
2.7
30
sendo β um parâmetro empírico associado ao meio poroso (coeficiente de salto de tensão)
e μef = μ/ϕ, com ϕ representando a porosidade do meio poroso. Para o caso particular em
que β = 0, o modelo OTW de Ochoa-Tapia e Whitaker (1995b) se reduz ao modelo NN
(ver Equações 2.6 e 2.7).
O acréscimo percentual de vazão mássica na região livre previsto pelo modelo de
Ochoa-Tapia e Whitaker (1995b), ΦOTW, é dado por:
OTW
3 2
1
2.8
Ochoa-Tapia e Whitaker (1995b) mostram que o modelo OTW representa os
resultados experimentais apresentados Beavers e Joseph (1967) de maneira mais
satisfatória que os modelos BJ e NN (com μef = μ/ϕ), com o parâmetro β variando entre
-1,00 e 1,47 dependendo do meio poroso analisado. Na tentativa de aperfeiçoar o modelo
OTW, eliminando a idealização da interface fluido-porosa e, por consequência, o
parâmetro empírico β, Ochoa-Tapia e Whitaker (1995b) propuseram um modelo de
porosidade variável, resolvido numericamente, para o qual se deve supor que a porosidade
varia espacialmente dentro da zona de transição entre as regiões livre e porosa. No
entanto, os resultados obtidos não foram satisfatórios.
Como destacaram Goyeau et al. (2003), a consideração de uma interface
separando as regiões livre e porosa representa a idealização da zona de transição indicada
na Figura 1.3, na qual ocorre uma rápida variação das propriedades do meio poroso (e.g.,
porosidade, permeabilidade, viscosidade efetiva). Dentro desta perspectiva, os
parâmetros empíricos α e β pertencentes, respectivamente, aos modelos BJ e OTW,
podem ser vistos como representações das informações ignoradas através da
simplificação realizada pela consideração da interface fluido-porosa.
Na literatura são encontrados outros modelos para a representação da interface
fluido-porosa, os quais buscam aprimorar a descrição do escoamento na zona de transição
(GOYEAU et al., 2003; CHANDESRIS e JAMET, 2006; CHANDESRIS e JAMET,
2007; VALDÉS-PARADA et al., 2007; JAMET e CHANDESRIS, 2009; VALDÈS-
PARADA et al., 2013). No entanto, o maior número de parâmetros empíricos envolvidos
31
e/ou a complexidade matemática associada ao conhecimento da geometria do meio
poroso na zona de transição tornam a aplicação prática destes modelos menos atrativa.
Algumas análises encontradas na literatura dispensam a modelagem matemática
da interface fluido-porosa, sendo que o efeito da zona de transição entre as regiões livre
e porosa é dado pela variação das propriedades do meio poroso na região interfacial.
Nestas abordagens, o escoamento é representado por um único conjunto de equações tanto
na região livre quanto na porosa, de modo que não se faz necessária a utilização de
condições de contorno representando a interface fluido-porosa (utilizadas para acoplar
diferentes conjuntos de equações). De especial interesse para este trabalho é a
representação do meio poroso através de obstáculos sólidos, como nos trabalhos de James
e Davis (2001), Nabovati e Sousa (2008), Nabovati e Amon (2013) e Meira et al. (2014),
além do já citado estudo de Sahraoui e Kaviany (1992).
James e Davis (2001) analisaram os escoamentos de Couette (i.e., placa superior
do canal se movendo com velocidade constante) e Poiseuille em um canal parcialmente
poroso bidimensional utilizando um método de singularidade. O meio poroso foi
representado através de diferentes arranjos de obstáculos sólidos circulares. No caso do
escoamento de Poiseuille, observou-se que a diferença entre a velocidades na interface
fluido-porosa no interior do meio poroso é influenciada pela porosidade e pela altura da
região livre. Considerando os casos analisados, os autores concluem que para ϕ < 0,99 a
velocidade de deslizamento pode ser aproximada pela velocidade do escoamento no
interior do meio poroso, já que a diferença entre ambas tem magnitude inferior a 10% da
velocidade máxima do escoamento na região livre. Além do mais, os autores verificaram
que, em comparação aos resultados numéricos, o modelo NN superestima a velocidade
do escoamento na interface fluido-porosa.
Utilizando o LBM, Nabovati e Sousa (2008) simularam o escoamento de fluido
newtoniano em canal parcialmente poroso bidimensional, representando o meio poroso
através de obstáculos sólidos e quadrados distribuídos de forma aleatória na parte inferior
do canal. Os resultados apresentados mostraram que a velocidade do escoamento na
interface fluido-porosa aumenta com a porosidade. Os autores apresentam a curva Φ × σ,
mantendo a altura da região livre constante e variando a permeabilidade do meio poroso
através da porosidade, verificando que o modelo numérico é qualitativamente coerente
com o modelo BJ, com o parâmetro α aumentando linearmente com a porosidade.
Nabovati e Amon (2013) estudaram, através de um modelo tridimensional do
LBM, o escoamento em canal parcialmente poroso, no qual o meio poroso é representado
32
por um emaranhado de fibras. Analisando o efeito da porosidade sobre o escoamento, os
autores verificaram que à medida que a porosidade diminui, menores são a velocidade do
escoamento na interface fluido-porosa, a espessura da zona de transição entre as regiões
livre e porosa, bem como o acréscimo percentual de vazão mássica na região livre. A
comparação dos resultados numéricos com os modelos os modelos BJ e OTW mostrou a
existência de uma relação linear entre a porosidade e os parâmetros α e β.
Também utilizando o LBM, Meira et al. (2014) analisaram o escoamento de fluido
newtoniano em canal parcialmente poroso, de modo similar a Nabovati e Sousa (2008),
considerando um arranjo uniforme dos obstáculos. As análises foram realizadas para
diferentes valores de porosidade, número de obstáculos e alturas da região livre,
resultando numa variação de σ entre 2,3 e 111,5. As análises apresentadas mostraram que
o modelo OTW representou melhor o modelo numérico investigado em relação ao
modelo BJ. Considerando os casos analisados, o parâmetro β, ajustado através do método
dos mínimos quadrados, variou entre –4,72 e –7,80, com R2 apresentando valores
superiores a 0,98. Nesse sentido, foi proposta uma correlação para o parâmetro β em
função da porosidade e da quantidade de obstáculos compondo o meio poroso.
2.2 ESCOAMENTO JUNTO À INTERFACE FLUIDO-POROSA: FLUIDOS NÃO
NEWTONIANOS
Os estudos envolvendo o escoamento de fluido não newtoniano junto à interface
fluido-porosa encontrados na literatura se estendem a diversos modelos de fluido, como:
i) fluido de lei de potência (CHEN et al., 2009; RAO E MISHRA 2004;
KAMISLI, 2006; PASCAL, 2006; ATTIA, 2008; ERVIN et al., 2009;
SAQID e USHA, 2010; MAHMOUD, 2011; MARTINS-COSTA et al.,
2013; SILVA et al., 2016),
ii) fluido de Bingham (ATTIA e SAYED-AHMED, 2004; TSANGARIS et
al., 2007; CHEN e ZHU, 2008; CHEMLOUL, 2013; AVINASHI et al.,
2013),
iii) fluido de Herschel-Bulkley (CLOÈTE, 2013),
iv) fluido de Maxwell (EL-SHEHAWY et al., 2006),
v) fluido de Walters modelo B (LAKSHMI et al., 2013) e
vi) fluido de segunda ordem (ARIEL, 2002).
33
A seguir são destacados os trabalhos cujas análises e resultados são mais
relevantes para o problema do escoamento em canal parcialmente poroso investigado no
presente trabalho.
Chen et al. (2009) utilizaram o LBM para simular o escoamento de um fluido de
lei de potência em um canal bidimensional parcialmente preenchido por um meio poroso
homogêneo. A resistência do meio poroso ao escoamento do fluido é modelada através
de uma condição de bounce-back parcial, determinada pela fração volumétrica da fase
sólida no meio poroso (1 – ϕ) e que dispensa a definição de uma condição de contorno
para a interface fluido-porosa. Os autores verificaram que, para um gradiente de pressão
constante, a velocidade do escoamento na interface fluido-porosa, bem como a penetração
dos efeitos viscosos no meio poroso, é tanto maior quanto maior o índice de lei de
potência, n, e menor o o valor de (1 – ϕ).
Através da teoria de misturas, Martins-Costa et al. (2013) modelaram o
escoamento de fluido de lei de potência em canal parcialmente poroso, sendo a interface
fluido-porosa representada por condições de compatibilidade para a velocidade e sua
derivada, as quais levam em conta a porosidade e um parâmetro escalar associado à
estrutura do meio poroso. O conjunto de equações foi resolvido através do método Runge-
Kutta de quarta ordem e os resultados apresentados corroboram os obtidos por Chen et
al. (2009), ou seja, a velocidade do escoamento na interface fluido-porosa aumenta com
n.
Silva et al. (2016) propuseram um modelo matemático para a representação da
interface fluido porosa para o escoamento de fluido de lei de potência baseado no modelo
OTW, sendo que a Equação 2.7 é modificada para:
2 2
1 1int int
2 20 0
rp
rf
x x
du duu
dx dx K
2.9
sendo ηrl, ηrp e ηint, respectivamente, as viscosidades aparentes do fluido nas regiões livre,
porosa, e na interface. Para mais detalhes consultar as definições apresentadas por Silva
et al. (2016). Os autores analisaram o escoamento entre placas planas e paralelas sobre as
quais se faz presente um meio poroso de tal forma que a região livre se encontra na região
central do canal. Considerando a variação do índice de lei de potência para uma vazão
mássica total através do canal constante, observou-se que à medida que n cresce a vazão
34
mássica total no canal se redistribui de tal forma que a vazão na região porosa aumenta e
na região livre diminui. Os resultados apresentados não indicam qualquer relação entre n
e a velocidade do escoamento na interface fluido-porosa.
Considerando o escoamento de fluido de Bingham, Avinashi et al. (2013)
estudaram analiticamente o escoamento em um tubo cônico de paredes porosas,
utilizando o modelo BJ para representar a interface fluido-porosa. Os autores verificaram
que a velocidade do escoamento na interface fluido-porosa é tanto maior quanto maior
for a tensão limite de escoamento do fluido.
Analisando o escoamento de fluido de Herschel-Bulkey (i.e., fluido de lei de
potência com tensão limite de escoamento) em canal parcialmente poroso, Cloète (2013)
estendeu o modelo proposto por Neale e Nader (1974). Diferentemente do observado por
Chen et al. (2009) e Martins-Costa et al. (2013), os resultados obtidos por Cloète (2013)
mostram que à medida que o índice de lei de potência diminui, maior é a velocidade do
escoamento na interface fluido-porosa. A diferença entre o comportamento observado por
Cloète (2013) com relação aos trabalhos de Chen et al. (2009) e Martins-Costa et al.
(2013) pode ser creditada à combinação dos valores de gradiente de pressão, índice de
consistência e altura da região livre escolhidos por cada autor. Considerando a análise da
influência da tensão limite de escoamento, Cloète (2013) observou que quanto maior a
tensão menor é a velocidade do escoamento na interface fluido-porosa.
2.3 SÍNTESE DO CAPÍTULO
Neste capítulo foram apresentados alguns dos principais trabalhos encontrados na
literatura cujas análises englobam o escoamento de fluidos newtonianos e não
newtonianos junto à interface fluido-porosa. De um modo geral, as análises estão
relacionadas à modelagem matemática e investigação da influência da região interfacial
sobre o escoamento nas regiões livre e porosa. Tal influência é verificada em termos do
acréscimo percentual de vazão mássica na região livre, fator de atrito, velocidade do
escoamento na interface fluido-porosa e distribuição da vazão mássica total entre as
regiões livre e porosa. Os principais parâmetros que afetam o escoamento estão
relacionados ao meio poroso, à altura da região livre, à inércia do escoamento e ao
comportamento não newtoniano do fluido.
Considerando a proposta deste trabalho em analisar o escoamento de fluidos de
lei de potência e Bingham, pode-se destacar alguns diferenciais em relação a trabalhos
35
anteriores tanto em relação à modelagem do meio poroso quanto às análises realizadas.
No presente trabalho o meio poroso é representado através de um conjunto de obstáculos
sólidos e quadrados, enquanto nos demais estudos (CHEN et al., 2009; MARTINS-
COSTA et al., 2013; CLOÈTE, 2013; AVINASHI et al., 2013; SILVA et al., 2016) o
domínio poroso é representado por equações dependentes de coeficientes que
representam a resistência do meio poroso ao escoamento. Em decorrência da abordagem
escolhida para a representação do meio poroso, a definição de uma condição de contorno
para a interface fluido-porosa é dispensável para o presente trabalho, assim como no caso
de Chen et al. (2009), e diferentemente de Martins-Costa et al. (2013), Cloète (2013) e
Avinashi et al. (2013) e Silva et al. (2016). Nesse sentido, os resultados obtidos no
presente trabalho contribuem para corroborar resultados já disponíveis na literatura, mas
obtidos através de uma abordagem diferente.
Com relação às análises realizadas, na literatura não há estudos que investiguem
os parâmetros adimensionais que descrevem o problema aqui investigado nem a
influência destes parâmetros sobre o fator de atrito na região livre do canal. Outra
contribuição do presente trabalho é o estudo da adaptação dos modelos propostos por
Beavers e Joseph (1967), Neale e Nader (1974) e Ochoa-Tapia e Whitaker (1995b) ao
escoamento de fluidos de lei de potência considerando a abordagem heterogênea do meio
poroso.
36
3 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
Neste capítulo são destacadas algumas definições e conceitos básicos sobre
mecânica dos fluidos e meios porosos, como a distinção entre fluidos newtonianos e não
newtonianos, apresentação dos modelos de lei de potência e Bingham, definição do
conceito de fator de atrito, além do estabelecimento das escalas de análise e apresentação
das equações utilizadas para modelar o escoamento em meios porosos e junto à interface
fluido-porosa.
3.1 FLUIDOS NEWTONIANOS E NÃO NEWTONIANOS
Segundo Chhabra e Richardson (2008) os fluidos podem ser classificados como
newtonianos ou não newtonianos em função do comportamento exibido quando
submetidos a uma tensão de cisalhamento pura. Um fluido newtoniano incompressível
segue a lei de viscosidade de Newton, que considera uma relação linear entre tensão e
taxa de deformação:
Equation Chapter (Next) Section 1
3.1
sendo μ a viscosidade dinâmica, dependente apenas do fluido, da pressão e da
temperatura. ταβ e são, respectivamente, os tensores tensão e taxa de deformação,
com expresso por:
uu
x x
3.2
Para escoamentos puramente cisalhantes, fluidos newtonianos apresentam tensões
normais nulas, ou seja, ταβ = 0 para α = β.
Os fluidos que se comportam diferentemente de um fluido newtoniano são ditos
não newtonianos e, de acordo com a classificação (arbitrária e didática) proposta por
Chhabra e Richardson (2008), são divididos em três grupos:
37
i) fluidos independentes do tempo: a taxa de cisalhamento num dado ponto
e instante de tempo depende exclusivamente da tensão de cisalhamento;
ii) fluidos dependentes do tempo: a relação entre tensão e taxa de
cisalhamento depende do histórico de cisalhamento do fluido (fluidos
tixotrópicos e reopéticos);
iii) fluidos viscoelásticos: comportamento simultâneo de um fluido puramente
viscoso e um sólido elástico (CHHABRA e RICHARDSON, 2008).
Segundo Chhabra e Richardson (2008), apesar de em grande parte dos casos ser
possível encontrar um comportamento dominante, a maioria dos fluidos exibem, em
maior ou menor grau, caraterísticas pertencentes aos três grupos descritos.
Particularmente, os fluidos independentes do tempo podem ser identificados como
puramente viscosos (pseudoplásticos ou dilatantes) ou viscoplásticos (IRGENS, 2014).
Fluidos pseudoplásticos são aqueles cuja viscosidade diminui com o aumento da taxa de
cisalhamento, podendo-se citar como exemplos iogurte, ketchup, maionese, sangue,
creme dental, protetor solar, fluidos de perfuração utilizados na indústria petrolífera, além
de polímeros fundidos, como polipropileno e poliestireno (CHHABRA e
RICHARDSON, 2008). Em geral, fluidos pseudoplásticos apresentam patamares de
viscosidade constante para baixas e altas taxas de cisalhamento. A Figura 3.1 exemplifica
tal comportamento para uma solução diluída de poliacrilamida em xarope de glicose, a
qual apresenta uma tendência de viscosidade constante para baixas e altas taxas de
cisalhamento.
Figura 3.1 – Viscosidade aparente em função da taxa de cisalhamento para uma solução diluída de
poliacrilamida em xarope de glicose.
Fonte: Adaptado de Barnes (2000).
-1, s
Modelo de lei de
potência
101
10-1
10-2 100 102 104
100 , Pa s
38
Por outro lado, fluidos dilatantes se comportam de maneira oposta, ou seja, a
viscosidade aumenta com a taxa de cisalhamento, como é o caso de suspensões
concentradas de caulim, dióxido de titânio e soluções de amido de milho em água
(CHHABRA e RICHARDSON, 2008).
Fluidos viscoplásticos são aqueles que apresentam tensão limite de escoamento,
τ0, de modo que quando submetidos a uma tensão, τ, inferior a τ0, o fluido se comporta
como um material sólido. Na revisão feita por Barnes (1999) a existência de uma tensão
limite de escoamento é questionada, sendo creditada à limitação temporal e imprecisão
dos equipamentos utilizados em experimentos reológicos. Apesar disso, Barnes (1999) e
Chhabra e Richardson (2008) defendem a utilidade, do ponto de vista prático, de se
considerar a existência da tensão limite de escoamento. Alguns exemplos de fluidos
viscoplásticos e suas respectivas tensões limite de escoamento citados por Barnes (2000)
são ketchup e fluido de perfuração (~ 15 Pa), mostarda (~ 60 Pa), maionese (~ 90 Pa) e
pasta de tomate (~125 Pa), além de cremes dentais, concreto fresco e sangue.
A relação entre tensão e taxa de deformação para fluidos independentes do tempo
é análoga à de fluidos newtonianos, sendo expressa em termos da viscosidade aparente,
:
3.3
com representando a magnitude de , a qual é calculada por:
1
2
3.4
Assim como os fluidos newtonianos, fluidos independentes do tempo apresentam
tensões normais nulas quando sujeitos exclusivamente ao cisalhamento.
A Figura 3.2 ilustra o comportamento da tensão em função da taxa de deformação
de fluidos newtonianos, pesudoplásticos, dilatantes e viscoplásticos. Para fluidos
newtonianos, a relação entre tensão e taxa é linear, conforme a Equação 3.1. No caso de
fluidos pseudoplásticos, como a viscosidade do fluido cai com a taxa de deformação,
39
observa-se que a tensão de cisalhamento cresce a uma taxa menor à medida que a taxa de
deformação aumenta. Fluidos dilatantes apresentam comportamento inverso, já que a
viscosidade do fluido aumenta com a taxa de deformação. Para fluidos viscoplásticos a
curva τ × cruza o eixo τ em τ = τ0, representando o comportamento de um material
sólido ( = 0), para τ < τ0, e de um fluido ( > 0), quando τ > τ0. No caso da Figura 3.2,
o exemplo de fluido viscoplástico mostrado se comporta como um fluido newtoniano
quando escoa, apresentando uma relação linear entre tensão e taxa de deformação.
Figura 3.2 – Comportamento típiuco do gtráfico τ × para fluidos newtonianos, pseudoplásticos,
dilatantes e viscoplásticos.
Na literatura são encontrados diversos modelos matemáticos para a representação
de fluidos puramente viscosos (e.g., lei de potência, Carreau, Cross, Ellis) e viscoplásticos
(e.g., Bingham, Herschel-Bulkley, Casson), os quais apresentam diferentes expressões
para . Neste trabalho são considerados os modelos de lei de potência e Bingham, os
quais são apresentados em mais detalhes a seguir.
3.1.1 Fluido de lei de potência
Segundo Bird et al. (1987) e Chhabra e Richardson (2008) o fluido de lei de
potência é amplamente utilizado na representação de fluidos pseudoplásticos, em
aplicações industriais e de engenharia, devido à sua simplicidade e por representar o
comportamento de diferentes tipos de fluidos, como gêneros alimentícios, produtos
cosméticos e polímeros fundidos. O modelo de lei de potência se restringe à faixa de taxas
de cisalhamento para a qual a curva log × log é uma reta, como ilustra a Figura
Fluido
newtoniano
Fluido pseudoplástico
Fluido dilatante
Fluido
viscoplástico
0
40
3.1, de modo que os autores destacam que a sua utilização deve ser realizada com cautela,
já que fica restrita à faixa de taxas de cisalhamento para a qual o ajuste do modelo é
válido.
A relação entre tensão e taxa de deformação para um fluido de lei de potência é
dada por (BIRD et al., 1987):
1n
c
3.5
sendo ηc e n, respectivamente, os índices de consistência e de lei de potência.
Comparando as Equações 3.3 e 3.5, conclui-se que a viscosidade aparente do
fluido de lei de potência é dada por:
1n
c
3.6
Para n < 1, a viscosidade aparente do fluido diminui com o aumento da taxa de
deformação, representando fluidos pseudoplásticos. Por outro lado, para n > 1, a
viscosidade aparente aumenta com a taxa de deformação, correspondendo a fluidos
dilatantes. Para n = 1, a viscosidade do fluido é constante e numericamente igual a ηc, de
modo que o modelo de fluido newtoniano é recuperado.
Chhabra e Richardson (2008) apresentam valores típicos para o índice de lei de
potência considerando fluidos como manteiga de amendoim (n = 0,07), carne moída de
frango (n = 0,10), poliestireno e ketchup (n = 0,25), creme dental e filtro solar (n = 0,28),
polipropileno (n = 0,40), chocolate e extrato de tomate (n = 0,50), maionese (n = 0,60),
nylon (n = 0,65) e esmalte de unha (n = 0,86).
3.1.2 Fluido de Bingham
O fluido de Bingham representa fluidos viscoplásticos que ao escoar apresentam
uma relação linear entre tensão e taxa de deformação, como mostrado na Figura 3.2.
Matematicamente, o modelo de Bingham é representado por (BIRD et al., 1987):
41
00
0
para
0 para
p
3.7
sendo τ0 e ηp, respectivamente, a tensão limite de escoamento e a viscosidade plástica do
fluido, e τ a magnitude da tensão aplicada. A condição de não escoamento do fluido para
tensões menores do que τ0 é representada pela taxa de cisalhamento nula. Comparando as
Equações 3.3 e 3.7, obtém-se a viscosidade aparente do fluido de Bingham:
00
0
para
para
P
3.8
A implementação numérica do modelo de Bingham é problemática na medida em
que a Equação 3.7 apresenta uma singularidade para = 0, valor para o qual ταβ → ∞.
De modo a contornar este problema, diversos modelos de regularização são propostos na
literatura (MITSOULIS, 2007), sendo que neste trabalho, utiliza-se o proposto por
Papanastasiou (1987), no qual ταβ é calculado por:
0 1 pn
P e
3.9
sendo np o chamado parâmetro de regularização. A viscosidade aparente do modelo de
Papanastasiou (1987) é dada por:
0 1 pn
P e
3.10
42
Para que o modelo de Papanastasiou (1987) reproduza o fluido de Bingham de
modo adequado, deve-se ajustar o parâmetro np, que, por sua vez, depende da ordem de
grandeza dos valores de observados no escoamento. A Figura 3.3 ilustra a influência
de np sobre o comportamento da curva × obtida através da Equação 3.10 em
comparação à Equação 3.8, mostrando que à medida que np cresce, melhor é o ajuste entre
as curvas na região de menores valores de .
Figura 3.3 – Comparação entre os modelos de Bingham e Papanastasiou em termos da variação da
viscosidade aparente em função da taxa de cisalhamento para diferentes valores de np.
A vantagem do modelo de Papanastasiou (1987) consiste em conseguir
representar o comportamento do fluido de Bingham através de uma única equação válida
para todo o domínio, sem a necessidade de se verificar em quais regiões do domínio a
tensão excede τ0 para a aplicação da Equação 3.8.
3.2 MEIOS POROSOS
Nield e Bejan (2006) definem um meio poroso como uma matriz sólida, rígida ou
pouco deformável, com vazios (poros) interconectados em seu interior por onde pode
ocorrer o escoamento de um ou mais fluidos. Além de poros interconectados, que são
aqueles unidos a mais de um poro, também podem existir poros cegos (i.e., unidos a
apenas outro poro) e isolados (i.e., sem conexão a nenhum outro poro). A medida da
fração volumétrica de poros em um meio poroso é dada pela porosidade, ϕ, a qual é
expressa matematicamente por:
(
)
10-6
10-4
10-2
100
102
104
106
100
101
102
103
104
105
Bingham
Papanastasiou - np
= 100
Papanastasiou - np
= 102
Papanastasiou - np
= 104
Papanastasiou - np
= 106
.
.
43
p
t
V
V 3.11
sendo Vp o volume total de poros e Vt o volume total do meio poroso.
Considerando somente os poros interconectados, já que são os únicos que
contribuem efetivamente para o escoamento, define-se a porosidade efetiva do meio, ϕef,
como:
pi
ef
t
V
V 3.12
sendo Vpi o volume de poros interconectados. Neste trabalho, os poros são considerados
sempre interconectados de modo que ϕ = ϕef.
O arranjo, conexão, morfologia, textura, volume, diâmetro hidráulico e área
superficial dos poros, entre outros fatores, conferem ao meio poroso uma determinada
resistência ao escoamento dos fluidos (CIVAN, 2011). Tal resistência é medida através
da permeabilidade, K, cuja definição é dada pela lei de Darcy (NIELD e BEJAN, 2006):
1
D
K dpu
dx 3.13
sendo dp/dx1 é o gradiente de pressão na direção do escoamento.
3.2.1 Escalas de análise e modelagem do escoamento em meios porosos
Segundo Nield e Bejan (2006), uma questão fundamental no estudo do
escoamento em meios porosos é a resolução espacial com a qual o problema é analisado.
Para uma escala da ordem de grandeza dos poros, na qual a interface entre as fases sólida
(i.e., matriz sólida) e fluida é identificável, define-se a abordagem heterogênea do meio
poroso. Em oposição, quando a escala adotada abrange uma grande quantidade de poros,
a ponto de não ser possível distinguir as fases sólida e fluida, tem-se a abordagem
homogênea. A Figura 3.4 ilustra as abordagens heterogênea e homogênea.
44
Figura 3.4 – Abordagens homogênea e heterogênea do meio poroso.
Na abordagem heterogênea, o escoamento no interior dos poros é modelado
através das equações da conservação da massa e da quantidade de movimento linear
obtidas através dos respectivos balanços num volume de controle infinitesimal
estacionário localizado apenas na fase fluida (WHITE, 1999):
0ut x
3.14
u u pu
t x x x
3.15
sendo ρ a massa específica do fluido e uα a velocidade do escoamento. Para os propósitos
deste trabalho não foram consideradas eventuais forças de corpo atuando sobre o fluido.
As Equações 3.14 e 3.15 são resolvidas em conjunto com a equação constitutiva do fluido,
a exemplo da Equação 3.1, para fluidos newtonianos incompressíveis, e Equações 3.5 e
3.7, respectivamente, para fluidos de lei de potência e Bingham. As Equações 3.14 e 3.15
são escritas utilizando notação indicial (SPIEGEL, 1959) e considerando a convenção de
soma, na qual a repetição de um índice num determinado termo denota o somatório sobre
o índice (e.g., uαuα = u1u1 + u2u2 + u3u3).
Fase sólida
Fase fluida
Abordagem
heterogênea
Abordagem
homogênea
Interface
45
Através da abordagem heterogênea, torna-se possível conceber modelos mais
representativos do problema em análise, utilizando a geometria real (ou a mais próximo
possível) do meio poroso. No caso dos fluidos de lei de potência e Bingham tal abordagem
pode ser de fundamental importância, já que a viscosidade do fluido varia com a taxa de
deformação, a qual, por sua vez, depende fortemente da geometria do meio poroso.
Dullien (1991) ressalta a importância da consideração da geometria do meio poroso no
entendimento da física envolvida em fenômenos de transporte em meios porosos.
Entretanto, a alta irregularidade geométrica do meio poroso pode tornar inviável a
obtenção de um modelo fiel da estrutura porosa, fazendo-se necessária a realização de
simplificações, como é o caso dos modelos de leito de esferas ou fibras, obstáculos
sólidos, tubos capilares e rede de poros (DULLIEN, 1992).
Considerando a abordagem homogênea, a modelagem mais simples do
escoamento em meios porosos é dada pela Equação 3.13, a qual foi determinada
experimentalmente por Henri Darcy (DARCY, 1856). Conforme exposto anteriormente,
a abordagem homogênea e, por consequência, a Equação 3.13, ignora os detalhes
geométricos do meio poroso, cujas influências são incorporadas na definição da
permeabilidade.
A aplicação da Equação 3.13 possui diversas restrições inerentes aos
experimentos realizados, sendo válida somente para escoamentos incompressíveis e
isotérmicos de fluidos newtonianos com baixa velocidade em meios porosos uniformes
(i.e., porosidade e permeabilidade constantes), isotrópicos (i.e., propriedades
independentes da direção) e com baixa permeabilidade (LAGE, 1998). Para superar tais
limitações, extensões da lei de Darcy são propostas na literatura, levando em conta, por
exemplo, os arrastos viscoso (termo de Brinkman) e de forma (termo de Forchheimer),
associados ao contato entre o fluido e a matriz sólida do meio poroso (NIELD e BEJAN,
2006; LAGE, 1998). A equação de Darcy-Brinkman-Forchheimer, considerando o
escoamento unidirecional (na direção x1), é expressa por:
2
11 1 12
1 2
termo de Darcy termo deForchheimertermo deBrinkman
Fef
d u cdpu u u
dx K dx K
3.16
sendo cF uma constante adimensional associada ao arrasto de forma (fator de forma).
46
Para o escoamento de fluido de lei de potência, são encontradas na literatura
adaptações e/ou modificações da Equação 3.16 para as quais a permeabilidade e os termos
de Darcy e Brinkmann são modificados de modo a considerar o comportamento não
newtoniano do fluido (SHENOY, 1993; NAKAYAMA E SHENOY, 1993; HADIM,
2006, SILVA et al., 2016). No caso do fluido de Bingham, são propostas equações
baseadas em modelos de tubos capilares e no escoamento ao redor de esferas (VRADIS
et al., 1993), bem como em resultados experimentais (CHEVALIER et al., 2013) e
numéricos (TALON e BAUER, 2013), levando em conta, entre outros fatores, aspectos
geométricos do meio poroso, propriedades do fluido e o gradiente de pressão crítico,
(–Δp/L)c, abaixo do qual o fluido não é capaz de escoar através do meio poroso.
3.2.2 Escalas de análise e modelagem do escoamento junto à interface fluido-porosa
Considerando o escoamento junto à interface fluido-porosa, Chandesris e Jamet
(2006) definem as escalas micro, meso e macroscópica para a análise do problema, as
quais são ilustradas na Figura 3.5.
Figura 3.5 – Escalas de análise micro, meso e macroscópica da interface-fluido porosa.
Fonte: Adaptado de Chandesris e Jamet (2009).
Em um nível de resolução microscópico as fases sólida e fluida do meio poroso
são distinguíveis (abordagem heterogênea) e apenas um conjunto de equações é
necessário para modelar o escoamento tanto na região livre quanto na porosa. Por outro
lado, nas escalas meso e macroscópica o meio poroso é abordado de forma homogênea e
os escoamentos nas regiões livre e porosa são descritos por conjuntos de equações
diferentes. No caso mesoscópico, considera-se uma zona de transição não uniforme na
2 2,x u
1 1,x u
Região fluida
Região porosa
2 rfx h
2 0x
microscópica mesoscópica macroscópica
Interface
fluido-porosa
homogênea
Escala da interface fluido-porosa:
Abordagem do meio poroso:
2 rpx h
heterogênea
Fase fluida
Fase sólida
Zona de
transição não-
uniforme
47
qual as propriedades do meio poroso (e.g., porosidade e permeabilidade) variam de forma
contínua do domínio poroso para o domínio fluido. Na escala macroscópica as
propriedades são descontínuas na interface fluido-porosa, a qual é definida através de uma
ou mais condições de contorno (e.g., Equação 2.1, Equações 2.5 e 2.6 ou 2.7), que
acoplam os conjuntos de equações que modelam o escoamento em cada região.
As equações que modelam escoamentos nos quais se faz presente uma interface
fluido-porosa são determinadas em função da escala de análise adotada. A escala
microscópica fica restrita à utilização das equações de conservação da massa, Equação
3.14, quantidade de movimento linear, Equação 3.15, e constitutiva do fluido, sendo a
influência do meio poroso sobre o escoamento dada pela interação entre o fluido e a
superfície da fase sólida do meio poroso. Já nas abordagens meso e macroscópicas se
utiliza a Equação 3.16, sendo o termo de Brinkmann responsável pela captura de efeitos
de camada limite na zona de transição entre as regiões livre e porosa. O termo de
Forchheimer, cuja influência é mais significativa para escoamentos com maior inércia,
contabiliza o arrasto de forma proporcionado pela matriz sólida. Mais detalhes sobre os
termos de Brinkman e Forchheimer podem ser encontrados nas discussões realizadas por
Nield e Bejan (2006) e Nield (2000).
3.3 FATOR DE ATRITO E NÚMERO DE REYNOLDS
As análises realizadas neste trabalho são baseadas no efeito da presença do meio
poroso e dos diversos parâmetros associados ao escoamento em canal parcialmente
poroso sobre o fator de atrito na região livre do canal. O fator de atrito pode ser visto
como uma medida da perda de energia do escoamento causada pelo atrito entre o fluido
e as superfícies sólidas do canal, de modo que quanto maior o fator de atrito do
escoamento maior é a resistência experimenatada pelo fluido. Levando em conta a
definição apresentada por Bird et al. (2002), o fator de atrito, Cf, é calculado por:
2
4
1
2
h
f
Dp
LC
u
3.17
48
sendo ū a velocidade média do escoamento na região livre e Dh = 4A/P o diâmetro
hidráulico do canal, com A e P representando, respectivamente, a área e o perímetro da
seção transversal. No caso de um canal formado por duas placas planas e paralelas Dh é
igual ao dobro da distância entre as placas, enquanto para um tubo circular Dh é o próprio
diâmetro.
Para o caso de um fluido newtoniano, considerando a expressão para a pressão em
função da velocidade média, dada pela Equação 3.18, o fator de atrito pode ser escrito
conforme a Equação 3.19:
n
2
48
h
up
L D
3.18
,
24
Ref n
n
C 3.19
sendo Ren o número de Reynolds para o escoamento de fluido newtoniano entre placas
planas e paralelas, dado por:
Re n hn
u D
3.20
Para Thompson e Soares (2016) as definições de números de Reynolds para
fluidos de lei de potência e Bingham devem ser recuperar a Equação, de tal forma que o
produto Cf Re seja constante (e igual a 24 de acordo com as definições utilizadas neste
trabalho). Nesse sentido, de forma análoga ao caso do fluido newtoniano, escreve-se o
fator de atrito para o escoamento de fluido de lei de potência substiuindo a expressão para
o gradiente de pressão em função da velocidade média, dada pela Equação 3.21 (BIRD et
al., 2002), obtendo-se a Equação 3.22:
11
,mod4 8 4 48
nn
h h hlp
c c
D D Dp pu
L n L
3.21
49
, 2
,mod
24f lp n n
lp h
c
Cu D
3.22
sendo ηc,mod o índice de consistência modificado:
,mod
1 48
12
n
c cn
3.23
O conjunto de parâmetros no denominador da Equação 3.22 é identificado como
o número de Reynolds para o escoamento de fluido de lei de potência entre placas planas
e paralelas, Relp:
2
,mod
Re
n n
lp h
lp
c
u D
3.24
Para o fluido de Bingham o mesmo procedimento é realizado. Primeiramente,
substitui-se a expressão para o gradiente de pressão em função da velocidade média para
o escoamento entre placas planas e paralelas, dado pela Equação 3.25 (BIRD et al., 2002),
obtendo-se a Equação 3.26:
2 3
48
1 3 4
p Bi
h
up
L D Bi Bi
3.25
,
,mod
24f Bi
Bi h
p
Cu D
3.26
50
sendo ηp,mod e Bi, respectivamente, a viscosidade plástica modificada e o número de
Bingham, dados por:
,mod 31 3 4
p
pBi Bi
3.27
02
h
Bip L D
3.28
A Equação 3.28 representa o balanço das forças de pressão e cisalhamento
realizado nas paredes do canal, de modo que para Bi ≥ 0,50 o gradiente de pressão
aplicado não é suficiente para vencer a tensão limite de escoamento do fluido, e o material
se comporta como um sólido. Já para 0,00 ≤ Bi < 0,50 o gradiente de pressão aplicado é
capaz de promover o cisalhamento do fluido. Quando Bi = 0,00 (i.e., τ0 = 0) o modelo de
fluido newtoniano é recuperado.
Assim como no caso do fluido de lei de potência, o denominador da Equação 3.26
é definido como o número de Reynolds para o escoamento de fluido de Bingham entre
placas planas e paralelas, ReBi:
,mod
Re Bi hBi
p
u D
3.29
3.4 SÍNTESE DO CAPÍTULO
Este capítulo foi dedicado a apresentação de conceitos e definições sobre fluidos
newtonianos e não newtonianos, bem como sobre meios porosos, fator de atrito e número
de Reynolds. No caso dos fluidos não newtonianos, destaca-se a apresentação dos
modelos de lei de potência e Bingham, além do modelo de regularização proposto por
Papanastasiou (1987) para a representação do fluido de Bingham. Com relação aos meios
porosos, apresentou-se as definições de porosidade e permeabilidade, bem como as
escalas de análise e equações que modelam o escoamento em meios porosos e junto à
51
interface fluido-porosa. Finalmente, definiu-se o conceito de fator de atrito e número de
Reynolds, sendo obtidas expressões de Re para o escoamento de fluidos newtonianos, de
lei de potência e Bingham, de tal forma que o produto Cf Re seja uma constante,
independentemente do fluido.
52
4 FORMULAÇÃO DO PROBLEMA
Neste capítulo são apresentadas a geometria, as condições de contorno e inicial,
bem como as hipóteses simplificadoras e as equações de balanço que modelam o
escoamento. Ademais, os parâmetros adimensionais que representam o problema são
identificados e seus significados discutidos.
4.1 GEOMETRIA E CONDIÇÕES DE CONTORNO E INICIAL
A Figura 4.1 apresenta a geometria e as condições de contorno do escoamento em
canal parcialmente poroso, no qual a região porosa é representada por um conjunto de
obstáculos sólidos e quadrados (abordagem heterogênea).
Figura 4.1 – Geometria e condições de contorno do escoamento em canal parcialmente poroso.
O problema é tratado de forma bidimensional em um sistema de coordenadas
cartesiano (x1, x2), sendo x1 e x2, respectivamente, as direções principal e perpendicular
ao escoamento. A interface fluido-porosa, localizada em x2 = 0, se estende ao longo de
todo o comprimento L do canal e define a separação entre as regiões livre (0 < x2 < Dh,rl/2)
e porosa (–Dh,rp/2 < x2 < 0). O meio poroso é caracterizado pela sua porosidade ϕ e pelo
número de obstáculos NO que o compõe, sendo NO definido como o número de
obstáculos na direção x2 considerando Dh,rp = 1,00. Considerando o exemplo da Figura
4.1, tem-se NO = 2. Os obstáculos são quadrados de lado D, igualmente espaçados por
uma distância d e dispostos de tal forma que os lados superiores, adjacentes à região livre,
refp p p refp p
1x L1 2 0u u
d
d
1 2 0u u
D
D
1 0x
1 2 0u u
20x
2 2,x u
1 1,x u
Interface fluido-porosa
2 ,2
h rpx D
2 , 2h rfx D
53
estejam na posição x2 = 0. As dimensões D e d são calculadas em termos de Dh,rp, ϕ, e
NO, conforme as expressões abaixo:
Equation Chapter (Next) Section 1
,1
2
h rpDD
NO 4.1
,1 1
2
h rpDd
NO
4.2
Vale ressaltar que para o canal bidimensional mostrado na Figura 4.1, ϕ é
calculado através da razão entre Af e At, sendo Af e At, respectivamente, as áreas (volume
por unidade de largura do canal) de fluido e total da região porosa.
De modo a reproduzir os experimentos realizados por Beavers e Joseph (1967),
nos quais o escoamento é completamente desenvolvido e promovido por um gradiente de
pressão igualmente aplicado nas regiões livre e porosa, considera-se condições de pressão
prescrita tanto na entrada (x1 = 0) quanto na saída (x1 = L) do canal, respectivamente,
pref – Δp e pref. As paredes do canal (x2 = –Dh,rp /2 e x2 = Dh,rl /2), assim como as superfícies
dos obstáculos, são representadas pela condição de não deslizamento (u1 = u2 = 0).
Como será visto no Capítulo 5, o modelo do LBM adotado neste trabalho é
intrinsecamente transitório, de modo que se torna necessário estabelecer a condição
inicial do problema. Nesse sentido, considera-se o fluido inicialmente em repouso, i.e.,
u1 = u2 = 0 e a pressão uniforme, p = pref, em todo o domínio fluido.
4.2 HIPÓTESES SIMPLIFICADORAS E EQUAÇÕES DE BALANÇO
Para a solução do problema apresentado são consideradas as seguintes hipóteses
simplificadoras:
i) escoamento incompressível (ρ constante),
ii) ação da força gravitacional desprezível (gα = 0) e
iii) problema bidimensional em coordenadas cartesianas (x1, x2),
de modo que as equações da conservação da massa e da quantidade de movimento,
Equações 3.14 e 3.15, se reduzem, respectivamente, a:
54
1 2
1 2
0u u
x x
4.3
1 1 1 11 211 2
1 2 1 1 2
2 2 2 12 221 2
1 2 2 1 2
u u u pu u
t x x x x x
u u u pu u
t x x x x x
4.4
As Equações 4.3 e 4.4 possuem como incógnitas u1, u2, p, τ11, τ12, τ21, τ22, sendo
necessário mais quatro equações para a solução do escoamento. Para tanto, são utilizadas
as equações constitutivas dos fluidos, por exemplo, Equação 3.5, no caso do fluido de lei
de potência, e Equação 3.9, para o fluido de Bingham, considerando o modelo de
regularização de Papanastasiou (1987).
4.3 PARÂMETROS ADIMENSIONAIS DO PROBLEMA
Os parâmetros adimensionais que descrevem o problema são identificados através
do teorema Pi de Buckingham (WHITE, 1999), cujos passos podem ser resumidos em:
i) listar e contabilizar o número de variáveis do problema (nvp),
ii) definir um conjunto de ndp dimensões primárias (e.g., kg, m, s) cujas
combinações possibilitem a obtenção das dimensões de todas as variáveis
listadas em i),
iii) selecionar um subconjunto das variáveis identificadas em i) com
dimensões não repetidas possuindo nvp elementos (o conjunto de variáveis
definido nesta etapa é chamado de variáveis repetitivas) e
iv) utilizar o conjunto de variáveis repetitivas para a construção de uma
equação adimensional para cada uma das demais variáveis identificadas
em i), obtendo um total de (ndp – nvp) parâmetros adimensionais.
Considerando separadamente os escoamentos de fluido de lei de potência e
Bingham, são definidos os seguintes conjuntos de variáveis para cada modelo de fluido:
55
i) fluido de lei de potência: ρ, ηc,mod, n, ūlp, Dh,rl, Dh,rp, ϕ, NO
ii) fluido de Bingham: ρ, ηp,mod, τ0, ūBi, Dh,rl, Dh,rp, ϕ, NO
sendo ūlp e ūBi dados, respectivamente, pelas Equações 3.21 e 3.25. A escolha de ūlp e ūBi
como valores de referência para a velocidade se deu pelo fato de que, através da condição
de contorno de pressão utilizada neste trabalho não é possível saber, a priori, qual será a
velocidade média do escoamento na região livre do canal parcialmente poroso.
Considerando como conjunto de dimensões primárias as unidades de
comprimento, velocidade e tensão, respectivamente, metro (m), metro por segundo (m/s)
e Pascal (Pa.sn ou Pa.s) e definindo Dh, ūlp e ηc,mod e Dh, ūBi e ηp,mod, como conjuntos de
variáveis repetitivas, respectivamente, para o fluido de lei de potência e Bingham, obtém-
se os seguintes parâmetros adimensionais:
2
,
1,
,mod
Re
n n
lp h rl
lp lp
c
u D
4.5
,
1,
,mod
ReBi h rl
Bi Bi
p
u D
4.6
2,lp n 4.7
0
2,
,mod
,
24Bi
p Bi
h rl
Biu
D
4.8
3 4.9
4 NO 4.10
56
,
5
,
h rp
h rl
D
D 4.11
Os parâmetros Π1,lp e Π1,Bi são os números de Reynolds, respectivamente, para os
escoamentos de fluido de lei de potência e Bingham, já apresentados na Seção 3.3. De
um modo geral, o número de Reynolds é utilizado para avaliar a transição entre os regimes
de escoamento laminar e turbulento, que, para o escoamento de um fluido newtoniano
entre placas planas e paralelas, ocorre por volta de 2000 (WHITE, 1999). Π2,lp e Π2,Bi
estão associados ao comportamento não newtoniano dos fluidos de lei de potência e
Bingham, correspondendo, respectivamente, ao índice de lei de potência e a tensão limite
de escoamento adimensional, a qual pode ser escrita em termos do número de Bingham.
Os parâmetros Π3, Π4 e Π5 estão associados ao meio poroso, sendo Π3 a porosidade, Π4 o
número de obstáculos que o compõe e Π5 a altura adimensional da região porosa. Π3, Π4
e Π5 são comuns a ambos os escoamento de fluido de lei de potência e Bingham. A
obtenção de cada um dos parâmetros Π, dados pelas Equações 4.11 – 4.8, pode ser
encontrada no Apêndice A.
4.4 SÍNTESE DO CAPÍTULO
Este capítulo foi dedicado à apresentação de diversos aspectos associados à
modelagem do escoamento em canal parcialmente poroso, como a geometria, as
condições de contorno e inicial, as hipóteses simplificadoras e as equações de balanço
que descrevem o escoamento do fluido. Ao final do capítulo foram apresentados os
conjunto de parâmetros adimensionais que descrevem o escoamento de fluido de lei de
potência e Bingham, os quais foram identificados através do teorema Pi de Buckingham.
57
5 MÉTODO LATTICE BOLTZMANN
Neste capítulo o método lattice Boltzmann é apresentado. Inicialmente é realizada
uma breve introdução, na qual são apresentados o histórico do método, bem como alguns
conceitos e equações da teoria cinética dos gases. Em seguida, são abordados o modelo
de He e Luo (1997), neste trabalho denotado por HL, a estrutura de retículo D2Q9 e a
equivalência entre o modelo HL e as equações de Navier-Stokes para o escoamento de
fluidos incompressíveis, bem como a adaptação necessária para a incorporação do
comportamento não newtoniano dos fluidos de lei de potência e Bingham. Também são
abordadas as formulações numéricas das condições de contorno utilizadas para simular o
problema formulado no Capítulo 4, a metodologia utilizada para a realização dos testes
de sensibilidade à malha computacional e, por fim, uma noção geral das etapas que
constituem a sequência de cálculos das simulações numéricas.
5.1 HISTÓRICO
Segundo Wolf-Gladrow (2000), o LBM foi desenvolvido a partir do método
Lattice-Gas Cellular Automata (LGCA), o qual teve origem nos modelos matemáticos
Cellular Automata (CA). Modelos CA são idealizações matemáticas de sistemas físicos
e consistem em conjuntos discretos de células que admitem conjuntos finitos de valores
relacionados a determinadas propriedades físicas. A evolução temporal de um CA se dá
pela mudança de estado de cada célula em função de regras determinísticas que levam em
conta o seu estado instantâneo, assim como o das células vizinhas (WOLFRAM, 1983).
Com base no conceito de CA, Frisch et al. (1986) propuseram o primeiro modelo
LGCA a reproduzir com sucesso as equações de Navier-Stokes para um fluido
incompressível, conhecido como modelo FHP. A idéia foi representar o movimento de
um fluido de um ponto de vista microscópico, considerando o deslocamento e a colisão
das partículas que o compõem.
O desenvolvimento do LBM se deu a partir do aperfeiçoamento do método
LGCA, o qual apresenta diversas limitações e deficiências como ruídos estatísticos
associados ao caráter discreto das partículas, conservação de propriedades sem
significado físico, violação da invariância de Galileu, termo de advecção não isotrópico
e pressão dependente explicitamente da velocidade (WOLF-GLADROW, 2000).
58
Algumas modificações notáveis que culminaram nos modelos atuais do LBM foram a
introdução de funções distribuição para a representação das partículas (MCNAMARA e
ZANNETTI, 1988), como a distribuição de Maxwell utilizada por Qian1 (1990 apud
QIAN et al., 1992) e a representação das colisões através da aproximação BGK proposta
por Bhatnagar et al. (1954) e introduzida no LBM por Qian et al. (1992).
5.2 CONCEITOS BÁSICOS SOBRE TEORIA CINÉTICA DOS GASES
Apesar de historicamente ter evoluído a partir do LGCA, o LBM pode ser visto
como uma solução da equação de transporte de Boltzmann (GUO e SHU, 2013). Este
ponto de vista será adotado para a apresentação do LBM neste capítulo, de modo que se
torna importante a apresentação de alguns conceitos e equações da teoria cinética dos
gases, notadamente, a noção de função distribuição de velocidade, a equação de transporte
de Boltzmann, a distribuição de Maxwell e os momentos da função distribuição de
velocidade.
5.2.1 Função distribuição de velocidade e a equação de transporte de Boltzmann
Considerando um gás monoatômico representado por um sistema de N partículas
de massa m contidas num volume V, o estado do gás pode ser caracterizado pela função
distribuição de velocidade f (xα,cα,t), tal que f (xα,cα,t)dxαdcα representa o número de
partículas que, no instante de tempo t, se encontram no volume de controle
hexadimensional dxαdcα, i.e., nas posições do espaço compreendidas entre xα e xα + dxα
com velocidade entre cα e cα + dcα. O volume de controle dxαdcα é ilustrado na Figura 5.1.
Como f é uma função de xα, cα e t, a sua derivada total é expressa por:
Equation Chapter (Next) Section 1
f f f
df dt dx dct x c
5.1
1 QIAN, Yue Hong. Gaz sur réseaux et théorie cinétique sur réseaux appliquée à
l'équation de Navier-Stokes. 1990. Tese de Doutorado.
59
Figura 5.1 – Representação do volume de controle hexadimensional dxαdcα.
Definindo cα = dxα/dt e Fα/m = dcα/dt, com Fα representando uma força externa
agindo sobre as partículas, e dividindo a Equação 5.1 por dt, tem-se:
Fdf f f f
cdt t x m c
5.2
Segundo Kremer (2005), o termo df/dt representa a variação total do número de
partículas em dxαdcα causada pelas colisões que ocorrem entre as partículas e a sua
avaliação é realizada de acordo com as seguintes hipóteses:
i) há somente colisões binárias entre as partículas (gás rarefeito),
ii) as velocidades das partículas que colidem não guardam qualquer relação
antes da colisão (hipótese conhecida como caos molecular),
iii) a ação das forças externas é desprezível em relação às forças agindo entre
as partículas durante a colisão e
iv) f é constante num raio da ordem do comprimento característico das
partículas, porém variável ao longo de uma distância da ordem da distância
média entre as partículas (livre caminho médio).
Considerando estas hipóteses e a colisão entre partículas com velocidade entre cαꞌ
e cαꞌ + dcαꞌ e cαꞌꞌ, i.e, f ꞌ= f (xα,cαꞌ,t), e cαꞌꞌ + dcαꞌꞌ, i.e, e f ꞌꞌ= f (xα,cαꞌꞌ,t), pode-se mostrar que
df /dt é dado por (KREMER, 2005):
df
f f f f c c d dcdt
5.3
c
c dc
x x dx
, ,f x c t dx dc
60
com o sobrescrito ~ indicando os valores pós-colisionais, ς a seção transversal diferencial
de choque e dΩ o elemento de ângulo sólido associado ao espalhamento das partículas.
5.2.2 Distribuição de Maxwell
Quando o gás atinge o estado de equilíbrio, a variação líquida do número de
partículas em dxαdcα é nula, ou seja, o número de partículas que entra no intervalo entre
xα e xα + dxα possuindo velocidade entre cα e cα + dcα é igual ao número de partículas que
deixa o intervalo entre xα e xα + dxα e/ou tem sua velocidade alterada para fora do intervalo
entre cα e cα + dcα. Neste caso, pode-se mostrar que a distribuição das velocidades das
partículas obedece à distribuição de Maxwell, fM (KREMER, 2005):
23
2
2B
mc u c u
k T
M
B
mf e
m k T
5.4
sendo kB a constante de Boltzmann, T a temperatura do gás.
5.2.3 Momentos da função distribuição de velocidade
As propriedades macroscópicas do gás, como a massa específica, quantidade de
movimento linear e energia são obtidas através das funções distribuição de velocidade.
Para tanto, define-se os momentos da função distribuição (KREMER, 2005):
k-vezes
, ,k m c c f x c t dc 5.5
sendo ψk o momento de ordem k da função distribuição.
Considerando a Equação 5.5, a massa específica, a quantidade de movimento
linear e a densidade de energia do gás são dadas, respectivamente, pelos momentos de
ordem zero, um e dois:
0 , ,mf x c t dc 5.6
61
1 , ,u mc f x c t dc 5.7
2
1 1, ,
2 2e m c c f x c t dc 5.8
5.3 MODELO DE HE E LUO (1997)
Com base nos conceitos da teoria cinética dos gases, o LBM considera o fluido
como um sistema de partículas, representadas por f (xα,cα,t), as quais realizam seguidos
processos de deslocamento e colisões. A evolução temporal do estado do sistema ocorre
em intervalos de tempo Δt, sendo que os deslocamentos e as colisões entre conjuntos de
partículas se dão num domínio espacial discretizado como um retículo de nós (lattice). A
cada passo de tempo, as partículas colidem umas com as outras nos nós do retículo e se
deslocam para os nós vizinhos segundo um conjunto finito e pré-definido de orientações
e velocidades, respectivamente, i e cα,i, determinados de acordo com estrutura de retículo
adotada, como será visto na Seção 5.4.
A Figura 5.2 ilustra um ciclo dos processos de colisão e deslocamento ocorrendo
num retículo bidimensional com nove orientações de deslocamento (incluindo o
deslocamento nulo). Considerando a análise das partículas que se deslocam para o nó E
(o deslocamento demais partículas não foi mostrado para manter a clareza da figura), ao
longo do intervalo de tempo Δt, observa-se o deslocamento das partículas dos nós
vizinhos (A, B, C, D, F, G, H e I). Após o deslocamento, as partículas se chocam umas
com as outras e as colisões causam a redistribuição do número total de partículas em E
entre as possíveis orientações de deslocamento. No próximo intervalo de tempo Δt ocorre
uma nova etapa de deslocamento, na qual as partículas em E se deslocam para os nós
vizinhos, havendo um novo processo de colisão e assim por diante.
62
Figura 5.2 – Processos de deslocamento e colisão.
Considerando cada orientação de deslocamento das partículas, i, os processos de
deslocamento e colisão ocorrem segundo a forma discretizada da equação de transporte
de Boltzmann (Equação 5.2), considerando Fα = 0 e o esquema upwind (PATANKAR,
1980) para a discretização do termo ∂f /∂t + cα∂f /∂xα:
, , ,i i i if x x t t f x t Q t 5.9
sendo Qi o operador colisão, que representa a parcela de df /dt associada à orientação i. A
Equação 5.9 expressa que, para cada orientação i, o número de partículas que chega ao
nó xα + Δxα,i corresponde ao número de partículas originalmente em xα acrescido de QiΔt,
que representa uma parcela do número total de partículas originalmente em xα que, após
o processo de colisão, se desloca para xα + Δxα,i.
Neste trabalho, utiliza-se o modelo do LBM proposto por He e Luo (1997), no
qual o operador colisão Qi é simplificado através da aproximação BGK (BHATNAGAR
et al., 1954), conforme proposto por Qian et al. (1992):
1f3f
2f
4f 8f
5f 6f
7f
Colisão
Deslocamento Deslocamento
tt
Retículo
D
A
E
G
F
H
B C
I
D
A
E
G
F
H
B C
I
D
A
E
G
F
H
B C
I
0f:if
2x
1xL
N
O
S
63
1
, ,eq
i i iQ f x t f x t
5.10
sendo Τ o fator ou tempo de relaxação de fi até o valor de equilíbrio local fi eq. A ideia
central da aproximação BGK é que as colisões tendem a levar o fluido a um estado de
equilíbrio, de modo que não é necessário conhecer os detalhes das colisões ou resolver o
complexo termo integral dado pela Equação 5.3 (BHATNAGAR et al., 1954). No modelo
HL, fi eq é calculado com base na distribuição de Maxwell (Equação 5.4), sendo expresso
por:
, ,,
0 2 4 22 2
i iieq
i i
s s s
c u c uc u u uf w
c c c
5.11
com ρ = ρ0 + δρ, sendo δρ a flutuação de ρ em relação à massa específica inicial do fluido,
ρ0. cα,i e wi são, respectivamente, a velocidade de deslocamento das partículas e o fator de
ponderação associados à orientação i e cs a velocidade do som no fluido, cujos valores
são definidos em função da estrutura de retículo, o que será abordado na Seção 5.4.
A dedução da Equação 5.11 é apresentada na Seção B.1 do Apêndice B e
considera escoamentos com baixa velocidade, de tal forma o modelo HL se restringe a
escoamentos com baixo número de Mach, Ma ≪ 1, o qual é definido como:
ref
s
uMa
c 5.12
sendo uref a velocidade de referência do escoamento.
Considerando as conservações da massa e da quantidade de movimento linear
durante as colisões, assim como a definição da função de equilíbrio dada pela Equação
5.11, é possível mostrar, conforme as deduções apresentadas na Seção B.2 do Apêndice
B, que as variáveis macroscópicas do escoamento, ρ e uα, são dadas, respectivamente,
por:
64
, ,i
i
x t f x t 5.13
,
0
1, ,i i
i
u x t c f x t
5.14
As Equações 5.13 e 5.14 correspondem, respectivamente, aos momentos de ordem
zero e um da função distribuição, respectivamente, Equações 5.6 e 5.7, considerando as
partículas com massa unitária.
5.4 ESTRUTURAS DE RETÍCULO
Seguindo a notação DaQb proposta por Qian et al. (1992), com a correspondendo
ao número de dimensões espaciais e b ao número de orientações/velocidades de
deslocamento das partículas, as estruturas de retículo mais comuns, segundo Guo e Shu
(2013), são: D1Q3, D1Q5, D2Q7, D2Q9, D3Q15 e D3Q19. Para a simulação de
escoamentos bi e tridimensionais são destacados, respectivamente, os modelos D2Q9 e
D3Q15, os quais apresentam o menor número de orientações/velocidades de
deslocamento que garante a reprodução das equações de conservação da massa e
quantidade de movimento linear (MOHAMAD, 2011; VIGGEN, 2009).
As estruturas de retículo são caracterizadas pelas orientações e velocidades de
deslocamento das partículas, bem como pelo fator de ponderação e a velocidade do som
(respectivamente i, cα,i, wi e cs). Tomando como exemplo o modelo D2Q9, utilizado neste
trabalho, os nós do retículo são distribuídos conforme uma malha cartesiana
bidimensional, sendo que a distância horizontal (segundo o eixo x1) e vertical (segundo o
eixo x2) entre dois nós vizinhos é igual a Δx (retículo regular). As nove velocidades de
deslocamento cα,i do modelo D2Q9 são calculadas por:
,
0,0 para 0
cos 1 2 , 1 2 para 1, 2,3, 4
cos 2 9 4 ,cos 2 9 4 2 para 5,6,7,8
i
i
c i sen i c i
i i c i
5.15
65
com c = Δx/Δt. Desta forma, para i = 0, a velocidade de deslocamento das partículas é
nula; para i = 1, 2, 3, 4, as partículas se movimentam com velocidade c nas direções x1 e
x2; e para i = 5, 6, 7, 8, o deslocamento ocorre nas direções diagonais com velocidade
21/2c, conforme mostrado na Figura 5.3. Os valores de wi, cs e cα,i para o modelo D2Q9
são apresentados na Tabela 5.1.
Figura 5.3 – Estrutura de retículo D2Q9.
Tabela 5.1 – Valores de wi, cs e cα,i para o modelo D2Q9.
i wi cs cα,i
0 4/9
3c
(0,0)
1, 2, 3, 4 1/9 (c,0), (0,c), (-c,0), (0,-c)
5, 6, 7, 8 1/36 (c,c), (-c,c), (-c,-c), (c,-c)
5.5 EQUIVALÊNCIA ENTRE O MODELO HL E AS EQUAÇÕES DE NAVIER-
STOKES – EXPANSÃO DE CHAPMAN-ENSKOG
Através da expansão de Chapman-Enskog (CHAPMAN e COWLING, 1970),
pode-se mostrar que, sob certas restrições, o modelo HL corresponde às equações de
Navier-Stokes para um fluido incompressível. A dedução mostrada a seguir é baseada
nos desenvolvimentos apresentados por Wolf-Gladrow (2000), Viggen (2009) e Guo e
Shu (2013).
O primeiro passo para mostrar a equivalência proposta consiste na introdução das
expansões de fi, ∂/∂xα e ∂/∂t em termos do parâmetro ξ:
0 1 20 1 2 3
i i i if f f f O 5.16
2x
1x
1f3f
2f
4f 8f
5f 6f
7f
0f:
if
x
x
66
2
1O
x x
5.17
2 3
1 2O
t t t
5.18
com fi (1) e fi
(2) representando o desvio de fi com relação ao equilíbrio fi (0) = fi
eq. Os
sobrescritos (1) e (2) nas variáveis xα e t identificam diferentes escalas de grandeza
associadas às potências de ξ. Segundo Wolf-Gladrow (2000) ξ representa o número de
Knudsen, Kn, dado por:
lcm
ref
lKn
l 5.19
sendo llcm e lref, respectivamente, o livre caminho médio das partículas e o comprimento
de referência do escoamento.
Considerando a Equação 5.9 e a expansão em série de Taylor de
fi (xα + cα,iΔt, t + Δt) até os termos de segunda ordem em Δt e Δxα,i, dada pela Equação
5.20 (SPIEGEL, 1968), tem-se a Equação 5.21:
, ,
2
, , ,
, , , ,
12 ,
2
i i i i i i
i i i i
f x c t t t f x t x f x t t f x tx t
x x x t t f x tx x x t t t
5.20
, ,
11
2
eq
i i i i i
tf f c c f
t x t x
5.21
com Δxα,i = cα,iΔt.
Substituindo as Equações 5.16, 5.17 e 5.18 na Equação 5.21, e identificando os
termos proporcionais a ξ 0, ξ 1 e ξ 2, obtém-se, respectivamente, as seguintes igualdades:
67
00 0eq
i if f 5.22
1 01 1
,1 1
1i i if c f
t x
5.23
22
0 1 02
, ,2 1 1 1 1
1
2
i
i i i i i
f
tf c f c f
t t x t x
5.24
Utilizando a Equação 5.23, a Equação 5.24 pode ser convenientemente reescrita
como:
2 0 12 2
,2 1 1
11
2i i i i
tf f c f
t t x
5.25
Como será mostrado a seguir, a equação da conservação da massa é obtida através
da análise dos momentos de ordem zero (Equação 5.13) das Equações 5.23 e 5.25,
enquanto os momentos de ordem um (Equação 5.14) dão origem à equação da
conservação da quantidade de movimento linear. Para tanto, deve-se assumir que os
momentos de ordem zero e um de fi(1) e fi
(2) são nulos, conforme as deduções
desenvolvidas na Seção B.3 do Apêndice B, ou seja:
1 21 2 0i i
i i
f f 5.26
1 21 2
, , 0i i i i
i i
c f c f 5.27
68
Considerando as Equações 5.22, 5.26 e as definições de massa específica e
quantidade de movimento linear, expressas, respectivamente, pelas Equações 5.13
e 5.14, o cálculo do momento de ordem zero da Equação 5.23 é dado por:
1 01 1
,1 1
11 1 1
,1 1
1 1
01 1
1
01 1
1
1
0
0
i i i
i i
eq eq
i i i i
i i i
f c ft x
f f c ft x
ut x
u
t x
5.28
De forma análoga, calcula-se o momento de ordem zero da Equação 5.25,
resultando em:
2
20
t
5.29
Somando as Equações 5.28 e 5.29, e considerando as expansões dadas pelas
Equações 5.16 a 5.18, obtém-se:
1 2
01 1 2
1 2 1
01 2 1
0
0
0
10
u
t x t
ut t x
u
t x
5.30
Segundo He e Luo (1997), o termo 01 t , presente na Equação 5.30, é
da ordem de Ma2, de modo que a Equação 5.30 pode ser reescrita como:
69
2 0u
O Max
5.31
Sob a hipótese de Ma ≪ 1, o termo O(Ma2) pode ser desprezado e desta forma,
diz-se que, no limite da incompressibilidade, a Equação 5.31 representa a equação da
conservação da massa, Equação 3.14, para fluidos incompressíveis.
O procedimento para a obtenção da equação da conservação da quantidade de
movimento linear é análogo ao da conservação da massa. As etapas são apresentadas na
Seção B.4 do Apêndice B, resultando em:
0
2 2 3
02
s s
u uu
t x
uutc c O Ma
x x x x
5.32
Considerando novamente que Ma ≪ 1 e, portanto, desprezando o termo O(Ma3)
da Equação 5.32, a comparação termo a termo entre as Equações 5.32 e a combinação das
Equações 3.15 e 3.1 mostra que a Equação 5.32 representa a equação da conservação da
quantidade de movimento linear para um fluido newtoniano incompressível sem a ação
de forças de corpo. Para tanto, a pressão, p, e a viscosidade dinâmica do fluido, μ, são
definidas, respectivamente, por:
2
sp c 5.33
2
02
s
tc
5.34
Tendo em vista as análises realizadas nesta seção, demonstra-se que o modelo HL
representa as equações da conservação da massa e quantidade de movimento linear para
um fluido newtoniano incompressível, desde que a hipótese de fluido incompressível (Ma
≪ 1) seja válida e as Equações 5.33 e 5.34 sejam consideradas.
70
5.6 ADAPTAÇÃO DO MODELO HL PARA O ESCOAMENTO DE FLUIDOS DE
LEI DE POTÊNCIA E BINGHAM
Para que o modelo HL se estenda também ao escoamento de fluidos de lei de
potência e Bingham, a Equação 5.34 deve ser generalizada, de tal forma que μ é
substituído por . Deste modo, T passa a variar localmente com a da taxa de
deformação:
2
0 2s
t
c
5.35
No caso do fluido de lei de potência, a expressão para T é obtida combinando as
Equações 3.5 e 5.35 (RAKOTOMALALA, 1996):
1
2
0 2
n
c
s
t
c
5.36
Já para o caso do fluido de Bingham, Tang et al. (2010) utilizam o modelo de
regularização de Papanastasiou (1987). Assim, substituindo a Equação 3.10 na Equação
5.35, e isolando T, obtém-se:
0
2
0
11
2
pn
p
s
te
c
5.37
5.6.1 Taxa de deformação em termos das funções distribuição
O cálculo das Equações 5.36 e 5.37 depende do cálculo de , que, por sua vez, é
determinado em função de , conforme a Equação 3.4. No LBM, o cálculo de é
realizado em termos da parte de não equilíbrio das funções distribuição, fi neq = fi – fi
eq,
como será mostrado a seguir. Analisando a Equação A.87, obtida durante a dedução da
71
equação da conservação da quantidade de movimento linear na Seção B.4 do Apêndice
B, é possível concluir que pode ser calculado por:
11
, ,2
0
1i i i
is
uuc c f
x x c
5.38
Utilizando as Equações 5.16 e 5.22 e negligenciando o termo ξ 2f (2), (ξ 2 ≪ ξ), a
Equação 5.38 pode ser reescrita como:
, ,2
0
1 neq
i i i
is
c c fc
5.39
Desta forma, através da Equação 5.39, é possível calcular em termos de fi e
fi eq.
5.7 CONDIÇÕES DE CONTORNO
As condições de contorno no LBM têm o papel de definir os valores das funções
fi que, após a etapa de deslocamento, se tornam indeterminadas nas fronteiras do domínio.
A Figura 5.4 ilustra o processo de deslocamento em um nó vizinho a fronteira S, de modo
a evidenciar a indeterminação de algumas funções nas fronteiras do retículo. Analisando
a Figura 5.4, é possível perceber que, após a etapa de deslocamento, os nós sobre a
fronteira S não recebem as funções f2, f5 e f6, visto que não existem nós abaixo de S. Desta
forma, f2, f5 e f6 ficam indeterminadas ao longo de toda a extensão de S. Nas demais
fronteiras o raciocínio é análogo e a Figura 5.5 resume as funções fi indeterminadas (setas
tracejadas), após a etapa de deslocamento, em todas as fronteiras do domínio.
72
Figura 5.4 – Funções distribuição fi indeterminadas após a etapa de deslocamento na fronteira S.
As expressões para o cálculo das funções indeterminadas nas fronteiras são
definidas de tal forma que, quando as Equações 5.13 ou 5.14 são aplicadas, os valores de
velocidade ou pressão prescritos, conforme o problema em análise, sejam garantidos.
Neste trabalho são utilizadas as condições de contorno de bounce-back (utilizada para
representar paredes estáticas) e pressão prescrita para escoamentos periódicos, as quais
são apresentadas a seguir.
S
1f3f
2f
4f 8f
5f 6f
7f
Retículo
0f:ifL
N
O
S
A
H
B C
D
A
E
G
F
B C
S
Deslocamento
tColisão
2x
1x
FD E
IIG H
73
Figura 5.5 – Funções distribuição fi indeterminadas (setas tracejadas) após a etapa de deslocamento
nas fronteiras N, S, L, O.
5.7.1 Bounce-back
Bounce-back é a condição de contorno que representa o não deslizamento do
fluido sobre uma superfície sólida e estática. Do ponto de vista do LBM, a condição de
bounce-back consiste na inversão do sentido do movimento das partículas que colidem
contra uma superfície. Considerando a fronteira S da Figura 5.4, a condição de bounce-
back estabelece que as funções f2, f5, f6 devem assumir, respectivamente, os valores de f4,
f8, f7. Ou seja, as partículas representadas pelas funções f4, f8, f7, que colidiram contra a
parede, retornam para o interior do domínio de solução por meio das funções f2, f5, f6.
Assim, com f2 = f4, f5 = f8 e f6 = f7 e levando em conta que na fronteira S f1 = f3, é possível
verificar, através da Equação 5.14, que u1 = u2 = 0.
Na literatura são encontrados diferentes variações da condição de bounce-back
(GUO e SHU, 2013), destacando-se aqui as formulações denominadas por Guo e Shu
(2013) como padrão e intermediária. A formulação padrão considera a fronteira sólida
exatamente sobre os nós da malha, como mostra a Figura 5.6a, enquanto na formulação
intermediária, ilustrada na Figura 5.6b, há um deslocamento de Δx/2. Segundo Succi
(2001), as formulações padrão e intermediária possuem, respectivamente, precisão de
primeira e segunda ordem. Com base nesta afirmação e nos resultados apresentados na
Seção C.1 do Apêndice C, a formulação intermediária é utilizada neste trabalho.
1f
3f
2f
4f
8f
5f 6f
7f
Retículo
0f:if
2x
1x
N O S L
L
N
O
S
74
(a) (b)
Figura 5.6 – Formulações da condição de bounce-back (a) padrão e (b) intermediária.
5.7.2 Condição de contorno para escoamentos periódicos
Considerando a periodicidade geométrica (na direção x1) do canal parcialmente
poroso apresentado na Figura 4.1, buscou-se a utilização de uma condição de contorno
periódica para a modelagem numérica do problema, de modo a reduzir o custo
computacional das simulações. Na literatura são encontradas quatro condições de
contorno do LBM para escoamentos periódicos (ZHANG e KWOK, 2006; SUKOP e
THORNE JR., 2007; KIM e PITSCH, 2007; LIAO e JEN, 2008), todas dependentes da
diferença ou gradiente de pressão entre a entrada e a saída do canal, sendo que a utilizada
neste trabalho é a proposta por Liao e Jen (2008).
No modelo proposto por Liao e Jen (2008), a periodicidade do escoamento é
levada em conta fazendo com que as funções distribuição fi que deixam o domínio de
solução através das fronteiras perpendiculares à direção do escoamento retornem pela
fronteira oposta. Tomando mais uma vez a Figura 5.4 como referência e considerando,
por exemplo, o escoamento periódico na direção x1, as funções f1, f5 e f8 da fronteira L
retornam ao domínio pela fronteira O, ao passo que f3, f6 e f7 que deixam o domínio pela
fronteira O retornam pela fronteira L. A queda de pressão ao longo do canal é incorporada
através da modificação de fi por um fator de correção wiΔp/cs2:
,O ,L 2
,L ,O 2
para 1,5,8
para 3,6,7
i i i
s
i i i
s
pf f w i
c
pf f w i
c
5.40
Fronteira
sólida
Bounce-back padrão
xFronteira
sólida
Bounce-back intermediário
2x
2x
75
com os subscritos O e L indicando as fronteiras em que se localizam as funções fi.
Na Seção C.2 do Apêndice C é apresentado o estudo realizado para a verificação
da periodicidade imposta pelo modelo de Liao e Jen (2008), no qual o escoamento em
canal parcialmente poroso é avaliado para diferentes comprimentos de canal.
5.8 METODOLOGIA PARA O TESTE DE SENSIBILIDADE À DISCRETIZAÇÃO
ESPACIAL (Δx) E TEMPORAL (Δt)
De acordo com o desenvolvimento realizado na Seção 5.5, pode-se constatar três
fontes de erro presentes nas simulações do LBM. A expansão em série de Taylor até
segunda ordem em Δx e Δt do termo fi (xα + cα,iΔt, t + Δt), realizada na Equação 5.20,
introduz erros de discretização espacial, EΔx, e temporal, EΔt, proporcionais,
respectivamente, a Δx2 e Δt2. Além disso, a equação da conservação da massa e da
quantidade de movimento obtidas ao final da expansão de Chapman-Enskog,
respectivamente, Equações 5.31 e 5.32, apresentam termos de compressibilidade
proporcionais, respectivamente, a Ma2 e Ma3. Nesse sentido, para Ma < 1, o erro da
simulação devido aos termos de compressibilidade, EMa, é proporcional a Ma2
(Ma2 > Ma3). Assim, pode-se estabelecer que o erro numérico global da simulação, Eg, é
dado por:
g x t MaE E E E 5.41
Retomando a Equação 5.12 e substituindo as definições de cs (cs = c/√3) e c
(c = Δx/Δt), obtém-se a relação entre Ma, Δx e Δt:
3ref
tMa u
x
5.42
Sabendo que EMa Ma2, tem-se que EMa Δt2/Δx2, de modo que:
76
tMa
x
EE
E
5.43
A Equação 5.43 mostra que a redução de Eg não depende apenas da redução
individual de EΔt e EΔx, mas também da relação entre ambas. Se a redução de EΔx for
maior do que a de EΔt, EMa aumenta, de modo que a redução de Eg não é garantida.
Neste trabalho, a estratégia adotada para a redução de Eg é realizada da seguinte
forma. Inicialmente, estipula-se um valor fixo de Δx, para o qual Δt é reduzido
progressivamente até que o parâmetro de análise do escoamento (e.g., velocidade, vazão
mássica, fator de atrito) se torne invariável dentro de uma determinada tolerância. Neste
caso, EMa e EΔt, que são diretamente proporcionais a Δt2, são reduzidos a tal ponto que se
pode afirmar que Eg se deve somente a EΔx, ou seja, Eg ≈ EΔx. Em seguida, faz-se o refino
de Δx, de tal forma que a redução de Δx é acompanhada pela diminuição de Δt numa
proporção quadrática (e.g., se Δx diminui duas vezes, o valor de Δt é reduzido por quatro
vezes). Nesse sentido, garante-se que o erro associado à discretização espacial se mantém
dominante ao longo do teste de sensibilidade a Δx (i.e., EΔx > EΔt, EMa) e que a sequência
de soluções numéricas para valores de Δx progressivamente menores convirjam para uma
solução independente, dentro de uma determinada tolerância, tanto de Δx quanto de Δt.
Contudo, a escolha dos valores de Δx e Δt é limitada pela estabilidade do LBM, a
qual, de acordo com Succi (2001), passa a ser afetada à medida que o valor de Tlb
(Tlb = T/Δt) tende a 0,5. A relação entre Tlb, Δx e Δt é obtida através da substituição das
definições de cs (= c/√3) e c (= Δx/Δt) na Equação 5.44:
2
0
3 1
2lb
t
x
5.44
De acordo com a Equação 5.44, à medida que Δt é reduzido, mantendo-se Δx
constante, Tlb tende a 0,5, se aproximando do limite de estabilidade. Considerando a
variação de Tlb com . a instabilidade numérica pode se agravar ainda mais no caso dos
fluidos de lei de potência e Bingham, já que a existência de regiões com baixa viscosidade
também implicam na redução de Tlb.
77
5.9 ESTRUTURA DO CÓDIGO COMPUTACIONAL
Neste trabalho, o LBM é implementado numericamente através de um código
computacional próprio programado em Fortran, cuja estrutura é representada através do
fluxograma mostrado na Figura 5.7. Primeiramente, parâmetros numéricos do problema
como Δx, Δt e Tlb, bem como as condições iniciais do problema, são estabelecidos e as
funções distribuição fi são incializadas em todo o domínio computacional com os seus
valores de equilíbrio, fieq, calculados de acordo a Equação 5.11. Em seguida, o programa
executa uma sequência de cálculos recorrentes em que são realizadas as etapas de:
i) colisão: calcula-se o lado direito da Equação 5.9;
ii) deslocamento e bounce-back: cada nó do retículo recebe as funções fi
propagadas dos nós vizinhos (Equação 5.9) e a condição de bounce-back
é aplicada sobre as paredes do canal e superfícies dos obstáculos;
iii) condições de contorno: aplicação da condição de contorno de pressão
prescrita apresentada na Seção 5.7, de acordo com a formulação do
problema realizada na Seção 4.1;
iv) cálculo das variáveis macroscópicas: ρ e uα são calculados em todo o
domínio, respectivamente, através das Equações 5.13 e 5.14;
v) convergência da simulação: de acordo com o critério de convergência
estabelecido, verifica-se se a simulação convergiu. Em caso positivo a
simulação é finalizada. Caso contrário, retorna-se à etapa de colisão;
vi) pós-processamento: obtenção dos resultados (e.g., campos de velocidades
e pressão, cálculo do fator de atrito, etc).
78
Figura 5.7 – Fluxograma do código computacional.
5.10 SÍNTESE DO CAPÍTULO
Neste capítulo foram abordados diversos aspectos do LBM, tais como a origem
do método e conceitos fundamentais da teoria cinética dos gases, passando pelo modelo
proposto He e Luo (1997), estrutura de retículo D2Q9, condições de contorno,
metodologia para o teste de sensibilidade à Δx e Δt e a estrutura do código computacional.
Destaca-se a apresentação da equivalência entre o modelo HL e as equações de Navier-
Stokes para fluidos incompressíveis, bem como a incorporação do comportamento não
newtoniano dos fluidos de lei de potência e Bingham por meio da variação local do fator
de relaxação com a taxa de cisalhamento.
Adaptação do problema físico e condições iniciais
Etapa de colisão e bounce-back
Etapa de deslocamento
Aplicação das demais condições de contorno
Cálculo das variáveis macroscópicas e
Convergência da
simulação?
Início
Fim da simulação
Não
Sim
Obtenção dos resultados
u
79
6 PROBLEMAS DE VERIFICAÇÃO
Neste capítulo são apresentados os resultados de dois problemas de verificação,
nomeadamente os escoamentos entre placas planas e paralelas e num canal poroso,
escolhidos por representar casos limite do escoamento em canal parcialmente poroso
passíveis de comparação com resultados encontrados na literatura. O objetivo destas
análises é confirmar a aplicação do LBM à simulação do escoamento dos fluidos de lei
de potência e Bingham, bem como avaliar a correta implementação computacional do
método.
6.1 ESCOAMENTO ENTRE PLACAS PLANAS E PARALELAS
O escoamento entre placas planas e paralelas é um caso particular do escoamento
em canal parcialmente poroso para o qual o meio poroso é impermeável. A geometria e
as condições de contorno do problema estudado são mostradas na Figura 6.1.
Figura 6.1 – Geometria e condições de contorno do escoamento de fluido de lei de potência entre
placas planas e paralelas.
O escoamento ocorre em um canal de diâmetro hidráulico Dh e comprimento L,
sendo promovido por uma diferença de pressão Δp aplicada entre a entrada e a saída do
canal de modo que a velocidade média do escoamento seja ū. O fluido possui massa
específica ρ e, no caso do fluido de lei de potência, índice de consistência modificado
ηc,mod, e, no caso do fluido de Bingham, viscosidade plástica modificada ηp,mod. Sobre as
paredes do canal (x2 = –Dh/4 e x2 = Dh/4) é considerada a condição de não deslizamento,
ou seja, u1 = u2 = 0. Considerando a hipótese de escoamento unidirecional (u2 = 0) nas
2x h
refp p p refp p
1x L1 2 0u u 2
x h
1 0x
1 2 0u u
2 2,x u
1 1,x u
80
Equações 4.3 e 4.4, os perfis de velocidade analíticos para os fluidos de lei de potência e
Bingham, são dados, respectivamente, por (BIRD et al., 2002):
Equation Chapter (Next) Section 1
1 1 1
2
1 2 2
1 1 1
2
1 2 2
41 para 0
4 4 1 4
41 para 0
4 4 1 4
n n
h h h
c h
n n
h h h
c h
D D Dxp nu x x
L n D
D D Dxp nu x x
L n D
6.1
22
02 2
1 2 2
22
1 2 2
22
02 2
1 2
4 41 1 para
32 4 4
2 1 para32
4 41 1
32 4
h h h
N
p h p h
h
N N N
p
h h
p h p h
D D Dx xpu x x x
L D D
Dpu x u Bi x x x
L
D Dx xpu x
L D D
2para
4
h
N
Dx x
6.2
sendo uN a velocidade do núcleo não cisalhado formado na região central do canal,
–xN ≤ x2 ≤ xN, com xN numericamente igual a Bi.
As simulações numéricas foram realizadas para valores unitários de Dh, L, ρ,
ηc,mod, ηp,mod, ūlp e ūBi (obtidos através de gradientes de pressão convenientemente
ajustados, respectivamente, conforme as Equações 3.21 e 3.25), de tal forma que,
independentemente do valor de n ou Bi, tem-se Relp = ReBi = 100. Para o escoamento do
fluido de lei de potência considerou-se os casos com n = 0,25; 1,00 e 4,00, enquanto para
o fluido de Bingham foram simulados casos para Bi = 0,00; 0,10; 0,20 e 0,40. Conforme
os resultados dos testes de sensibilidade a Δx e Δt, apresentados na Seção D.1 do
Apêndice D, os resultados mostrados a seguir foram obtidos para retículos com 160 nós
na direção x2 e relações Δx/Δt (iguais a 65536 para o fluido de lei de potência e 32768
para o fluido de Bingham) para as quais a influência do número de Mach pode ser
considerada desprezível. Também são apresentados na Seção D.1 os testes realizados para
o ajuste do parâmetro de regularização do modelo de Papanastasiou (1987) com base nos
quais as simulações foram realizadas para np = 100.
81
As Figura 6.2a e b apresentam, respectivamente, a comparação entre os perfis de
velocidade numéricos e analíticos para os fluidos de lei de potência e Bingham.
Considerando o fluido de lei de potência (Figura 6.2a), observa-se que a velocidade do
escoamento diminui na região central do canal com a redução de n, ao passo que nas
proximidades das paredes ocorre o inverso, ou seja, quanto menor o valor de n maior é a
velocidade. Este comportamento se justifica pela variação da viscosidade aparente com a
taxa de cisalhamento e ao índice de lei de potência, conforme a Equação 3.6. Levando em
conta que a velocidade média do escoamento se mantém constante com a variação de n e
supondo a redução progressiva de n, a viscosidade aparente do fluido diminui cada vez
mais em regiões com altas taxas de cisalhamento (próximo às paredes) e a velocidade do
escoamento, por consequência, aumenta. Por outro lado, em regiões com baixas taxas de
cisalhamento (região central) a viscosidade aparente aumenta, de tal forma que a
velocidade do escoamento diminui.
(a) (b)
Figura 6.2 – Escoamento entre placas planas e paralelas. Perfis de velocidade para (a) fluido de lei
de potência para Relp = 100 e diferentes valores de n e (b) fluido de Bingham para ReBi = 100 e
diferentes valores de Bi.
Para o caso do fluido de Bingham (Figura 6.2b), nota-se que quanto maior o valor
de Bi, maior é a espessura e menor é a velocidade da região não cisalhada. Considerando
a definição de Bi (Equação 3.28), nota-se que o aumento de Bi reflete o crescimento da
tensão limite de escoamento do fluido em relação ao gradiente de pressão que promove o
escoamento. Nesse sentido, maior deve ser a região do canal em que a tensão
u1
x 2
0.00 0.50 1.00 1.50
-0.20
-0.10
0.00
0.10
0.20
n = 0,25 - Eq. 6.1
n = 0,25 - LBM
n = 1,00 - Eq. 6.1
n = 1,00 - LBM
n = 4,00 - Eq. 6.1
n = 4,00 - LBM
u1
x 2
0.00 0.50 1.00 1.50
-0.20
-0.10
0.00
0.10
0.20
Bi = 0,00 - Eq. 6.2
Bi = 0,00 - LBM
Bi = 0,10 - Eq. 6.2
Bi = 0,10 - LBM
Bi = 0,20 - Eq. 6.2
Bi = 0,20 - LBM
Bi = 0,40 - Eq. 6.2
Bi = 0,40 - LBM
82
proporcionada pelo gradiente de pressão não excede a tensão limite de escoamento.
Considerando que a velocidade média do escoamento é mantida constante com a variação
de Bi, a velocidade do fluido nas proximidades da parede aumenta com Bi, de modo a
compensar a redução da velocidade observada na região central.
Como pode ser observado na Figura 6.2, a concordância entre os resultados
numéricos e analíticos para ambos os fluidos é satisfatória. O erro percentual máximo,
Ep, entre as soluções analítica e numérica é inferior a 1,25%, no caso do fluido de lei de
potência, e 1,70%, para o fluido de Bingham, sendo Ep calculado por:
1 lbmp
ref
E
6.3
com φ representando alguma variável do problema, que neste caso é u1. Os subscritos lbm
e ref indicam, respectivamente, resultados obtidos através do LBM e de referência, que
neste caso são dados pelas Equações 6.1, no caso do fluido de lei de potência, e 6.2, para
o fluido de Bingham.
6.2 ESCOAMENTO EM CANAL POROSO
O segundo problema de verificação estudado consiste no escoamento em canal
poroso, um caso particular do escoamento em canal parcialmente poroso no qual o
diâmetro hidráulico da região livre é igual a zero, ou seja, Dh,rl = 0,00. No caso dos fluidos
de lei de potência, o objetivo é confirmar a relação de proporcionalidade entre a vazão
mássica e o gradiente de pressão aplicado, a qual, segundo Fadili et al. (2002), é expressa
por:
1
npm
L
6.4
Como consequência da relação dada pela Equação 6.4, a curva ṁ × –Δp/L, quando
plotada em escala logarítmica, deve ser representada por uma reta de coeficiente angular
(ca) igual a 1/n.
83
Com relação ao escoamento de fluido de Bingham, observa-se a existência de um
gradiente de pressão crítico, (–Δp/L)c, abaixo do qual o fluido não escoa através do meio
poroso. Utilizando o LBM e uma abordagem homogênea do meio poroso, Talon e Bauer
(2013) identificaram três comportamentos distintos para a relação ṁ × (–Δp/L), descritos
a seguir. Para gradientes de pressão suficientemente superiores a (–Δp/L)c, a relação entre
ṁ e (–Δp/L) é linear, como no caso de um fluido newtoniano (ver Equação 3.13). Nesse
regime, o fluido escoa por todos os canais formados pela interconexão dos poros. À
medida que o gradiente de pressão é reduzido, nota-se uma região em que vazão mássica
é reduzida abruptamente com o gradiente de pressão, comportamento associado à queda
da quantidade de canais através dos quais o fluido consegue escoar. Quando o gradiente
de pressão aplicado é suficientemente próximo a (–Δp/L)c, a relação entre ṁ e (–Δp/L)
volta a ser linear, com a existência de apenas um canal de escoamento, cuja geometria se
mostra mais propícia para que o gradiente de pressão supere a tensão limite de
escoamento do fluido.
A geometria e as condições de contorno do escoamento em canal poroso,
mostradas na Figura 6.3, são idênticas às do escoamento em canal parcialmente poroso,
apresentadas na Seção 4.1, com Dh,rl = 0,00.
Figura 6.3 – Geometria e condições de contorno do escoamento de fluido de lei de potência em meio
poroso utilizando a abordagem heterogênea.
O conjunto de simulações numéricas foi realizado considerando o canal com
diâmetro hidráulico, Dh,rp, unitário e configuração de meio poroso com ϕ = 0,75 e
NO = 2. No caso do fluido de lei de potência n variou entre 0,25 e 4,00, mantendo-se
ηc,mod e ρ iguais a um. Para cada valor de n, considerou-se três valores de gradiente de
pressão (48, 96 e 192 Pa/m). Para o fluido de Bingham, a tensão limite de escoamento
variou entre 0 e 10 Pa, mantendo-se ηp e ρ unitários. Para cada valor de τ0, assumiu-se um
valor inicial e arbitrário de gradiente de pressão suficientemente alto, o qual foi
refp p p refp p
1x L1 2 0u u
d
d
1 2 0u u
D
D
1 0x
1 2 0u u
2 0x
2 2,x u
1 1,x u
2 , 2h rpx D
84
gradativamente reduzido até valores próximos de (–Δp/L)c, quando fica evidenciado o
desvio do comportamento newtoniano através do comportamento assintótico de ṁ com a
redução de (–Δp/L).
Os resultados apresentados a seguir foram obtidos através de retículos com 160
nós na direção x2 e relações Δx/Δt (dependentes do gradiente de pressão) para as quais a
influência do número de Mach do escoamento possa ser desprezada. Considerando o
escoamento de fluido de Bingham, utilizou-se np = 100. Os testes de sensibilidade a Δx e
Δt, bem como para o ajuste de np, são apresentados na Seção D.2 do Apêndice D.
Na Figura 6.4 são apresentados, em escala logarítmica, os resultados de ṁ em
função de (–Δp/L) obtidos numericamente para o escoamento de fluido de lei de potência
para n = 0,25; 1,00 e 4,00 (símbolos), bem como retas com coeficientes angulares iguais
a 1/n (linhas sólidas).
Figura 6.4 – Gráfico ṁ × (–Δp/L) para o escoamento de fluido de lei de potência em canal poroso:
NO = 2, ϕ = 0,75 e n = 0,25; 1,00 e 4,00.
Os resultados apresentados na Figura 6.4 corroboram a relação dada pela Equação
6.4 para a faixa de valores de n analisada, sendo que para todos os casos a diferença
percentual entre as inclinações das curvas dadas por log ṁ × log (–Δp/L) e das retas com
coeficientes angulares iguais a 1/n é no máximo 0,13%.
Considerando o escoamento de fluido de Bingham, a Figura 6.5 mostra os gráficos
ṁ × (–Δp/L), também em escala logarítmica, para τ0 = 0,00; 0,10; 1,00 e 10,00 Pa. A
Figura 6.5 mostra que no caso newtoniano (τ0 = 0,00 Pa) a vazão mássica através do meio
poroso varia linearmente com o gradiente de pressão, ao passo que para τ0 > 0,00 Pa são
-p/L
m
50 100 150
10-3
10-2
LBM - n = 0,25
LBM - n = 1,00
LBM - n = 4,00
retas c/ c.a. = 1/n
.
85
identificados dois comportamentos distintos. Para gradientes de pressão suficientemente
altos, observa-se um comportamento linear da curva ṁ × (–Δp/L), enquanto para
gradientes de pressão mais baixos, tem-se um regime não linear, no qual a queda da vazão
mássica é mais acentuada. Quanto maior o valor de τ0, maior é o gradiente de pressão para
o qual ocorre a transição entre os regimes linear e não linear, já que o gradiente de pressão
necessário para superar a tensão limite de escoamento e promover o início do escoamento
do fluido deve ser maior.
Figura 6.5 – Gráfico ṁ × –Δp/L para o escoamento de fluido de Bingham em canal poroso: NO = 2,
ϕ = 0,75 e τ0 = 0,00; 0,10; 1,00 e 10,00 Pa.
As linhas tracejadas presentes na Figura 6.5, associadas a cada valor de τ0, indicam
os valores teóricos de (–Δp/L)c determinados através da análise dos gradientes de pressão
para os quais o fluido se comportaria como um material sólido ao escoar nos pequenos
canais formados no espaço entre os obstáculos. Os valores dos gradientes de pressão
críticos, calculados através da Equação 3.28 considerando Bi = 0,50, são: 1,54; 15,36 e
153,60 Pa, respectivamente, para τ0 = 0,10; 1,00 e 10,00 Pa. É possível notar que os
comportamentos assintóticos das curvas ṁ × (–Δp/L) com a redução de (–Δp/L) se
mostram coerentes com os limites estabelecidos pelas linhas tracejadas.
Infelizmente, a instabilidade numérica das simulações com gradientes de pressão
mais próximos dos valores indicados pelas linhas tracejadas não permitiu a ampliação da
faixa de (–Δp/L) analisada, motivo pelo qual não foi possível determinar a eventual
existência do terceiro regime de escoamento (regime linear para gradientes de pressão
suficientemente próximos ao valor crítico) apontado por Talon e Bauer (2013). Vale
-p/L
m
100
101
102
103
104
10510
-4
10-3
10-2
10-1
100
101 LBM -
0= 0,00 Pa
LBM - 0
= 0,10 Pa
LBM - 0
= 1,00 Pa
LBM - 0
= 10,00 Pa
.
86
ressaltar que a geometria regular do meio poroso analisado no presente trabalho pode não
propiciar a existência de um único caminho preferencial ao qual Talon e Bauer (2013)
associam o terceiro regime de escoamento.
6.3 SÍNTESE DO CAPÍTULO
As análises apresentadas neste capítulo demonstram a capacidade do LBM em
resolver o escoamento de fluidos de lei de potência e Bingham em diferentes níveis de
complexidade geométrica (canal livre e poroso). Os resultados numéricos apresentaram
boa concordância com soluções encontradas na literatura tanto no caso do escoamento
em canal livre, para o qual as soluções numéricas estão em concordância com as soluções
analíticas, quanto para o escoamento em canal poroso, no qual o comportamento da vazão
mássica com a variação do gradiente de pressão se mostrou qualitativamente coerente
com as previsões encontradas na literatura.
87
7 RESULTADOS E DISCUSSÕES
Neste capítulo são apresentados e discutidos os resultados para o escoamento de
fluido de lei de potência e Bingham em canal parcialmente poroso. Primeiramente são
definidos os parâmetros considerados na análise do problema, bem como suas faixas de
variação. Em seguida, são realizadas as análises da influência do meio poroso sobre o
escoamento na região livre e o efeito da variação de cada parâmétro do problema
considerando os fluidos de lei de potência e Bingham. Por fim, apresenta-se o estudo da
adaptação dos modelos analíticos BJ, NN e OTW ao escoamento de fluidos de lei de
potência.
7.1 PARÂMETROS DE ANÁLISE DO PROBLEMA
Conforme exposto anteriormente, o escoamento em canal parcialmente poroso é
analisado em termos do fator de atrito na região livre. Para tanto, avalia-se o efeito dos
diversos parâmetros adimensionais apresentados na Seção 4.3 sobre a razão Cf,p /Cf,i,
sendo Cf,p e Cf,i, respectivamente, os fatores de atrito do escoamento na região livre do
canal parcialmente poroso e entre placas planas e paralelas. Nesse sentido, a razão
Cf,p /Cf,i pode ser entendida como uma medida da discrepância entre a interface fluido-
porosa e uma parede sólida.
A Tabela 7.1 apresenta as faixas de variação de cada um dos parâmetros
adimensionais analisados, ou seja, número de Reynolds (Relp, ReBi), porosidade (ϕ),
número de obstáculos (NO), relação entre os diâmetros hidráulicos (Dh,rp/Dh,rl), índice de
lei de potência (n) e número de Bingham (Bi).
Tabela 7.1 – Faixas de valores das variáveis independentes.
Parâmetros Valores analisados
Porosidade (ϕ) 0,51; 0,75; 0,96
Número de obstáculos (NO) 1, 2, 4
Relação entre diâmetros hidráulicos (Dh,rp/Dh,rl) 0,50; 1,00; 2,00
Número de Reynolds (Relp e ReBi) 100, 101, 102, 103
Índice de lei de potência (n) 0,25 – 4,00
Número de Bingham (Bi) 0,00 – 0,40
88
Os valores de ϕ e NO foram definidos de modo que a configuração de meio poroso
menos permeável (i.e., menor porosidade e maior número de obstáculos) proporcionasse
uma relação Cf,p/Cf,i inferior a 0,99 no caso do escoamento de fluido newtoniano,
chegando-se a ϕ = 0,51, 0,75 e 0,96 e NO = 1, 2 e 4. A faixa de valores para a relação
entre os diâmetros hidráulicos, Dh,rl/Dh,rp, varia entre 0,50 e 2,00, de tal forma que o caso
com menor diâmetro hidráulico (Dh,rl/Dh,rp = 0,50) é capaz de acomodar ao menos um
obstáculo quando NO = 2. Com relação aos modelos de fluido de potência e Bingham,
tentou-se abranger a mais extensa faixa de valores de n e Bi possível, considerando os
exemplos de fluidos apresentados no Capítulo 3, bem como a estabilidade numérica, o
tempo computacional e a precisão das simulações. Nesse sentido o valor de n ficou
limitado entre 0,25 e 4,00 (valor escolhido arbitrariamente para manter a simetria com
relação ao caso newtoniano), enquanto a faixa de Bi variou entre 0,00 (caso newtoniano)
e 0,40. Vale ressaltar que para valores maiores ou iguais a 0,50 o gradiente de pressão
não é capaz de promover o cisalhamento do fluido no caso do escoamento entre placas
planas e paralelas. Finalmente, a faixa de número de Reynolds, variando entre 100 e 103,
foi determinada de modo que fosse possível observar a influência da inércia do
escoamento dentro do regime laminar.
Considerando as faixas de variação de cada um dos parâmetros adimensionais
citados acima, define-se o caso de referência (destacado em negrito na Tabela 7.1) para o
estudo paramétrico do problema: ϕ = 0,75; NO = 2; Dh,rp/Dh,rl = 1,00 e Relp ou ReBi = 100,
com base no qual cada parâmetro indicado na Tabela 7.1 é variado individualmente. As
exceções são o índice de lei de potência e o número de Bingham, que são avalaidos para
toda a faixa de valores apresentada na Tabela 7.1 em todas as análises (a menos que seja
dito o contrário).
Os resultados apresentados a seguir consideram uma malha espacial com 320 nós
na direção x2 e relações Δx/Δt (dependentes do número de Reynolds e do índice de lei de
potência) para as quais a influência do número de Mach do escoamento é desprezível.
Para o escoamento de fluido de Bingham adotou-se np = 100. Os testes de sensibilidade a
Δx e Δt, assim como para o ajuste de np, são mostrados na Seção D.3 do Apêndice D.
89
7.2 INFLUÊNCIA DA INTERFACE FLUIDO-POROSA SOBRE O ESCOAMENTO
NA REGIÃO LIVRE
Esta seção é dedicada à análise, em termos qualitativos, da influência que o meio
poroso exerce sobre o escoamento na região livre, ou seja, sem levar em conta a variação
dos parâmetros apresentados na Tabela 7.1. Para tanto, o escoamento de fluido
newtoniano em canal parcialmente poroso é estudado considerando o caso de referência
estabelecido na Seção 7.1 em comparação ao escoamento entre placas planas e paralelas.
A Figura 7.1 apresenta os campos e perfis de velocidade para os escoamentos entre
placas planas e paralelas e em canal parcialmente poroso. O perfil de velocidade é obtido
a partir da média aritmética dos perfis de velocidade tomados ao longo de toda a extensão
do canal.
(a) (b)
Figura 7.1 – (a) Campos e (b) perfis de velocidade dos escoamentos entre placas planas e paralelas e
em canal parcialmente poroso para Relp = 1,00, ϕ = 0,75, NO = 2, Dh,rp /Dh,rl = 1,00 e n =1,00.
A análise da Figura 7.1 mostra que a velocidade do escoamento na interface
fluido-porosa é maior do que zero, proporcionando maiores velocidades na região livre
do canal parcialmente poroso, sendo este acréscimo mais acentuado entre a interface
fluido-porosa e a linha de centro da região livre. Ademais, é possível notar que, na região
da interface fluido-porosa, o gradiente de velocidade na direção x2 não é linear como no
caso do escoamento entre placas planas e paralelas.
U
1.60
1.40
1.20
1.00
0.80
0.60
0.40
0.20
0.00
u
u1
x 2
0.00 0.50 1.00 1.50
-0.40
-0.20
0.00
0.20
0.40
Canal parcialmente poroso
Placas planas e paralelas
0.00 0.10
-0.05
0.00
0.05
90
Para ilustrar melhor o comportamento do escoamento na região da interface
fluido-porosa, a Figura 7.2 apresenta o campo vetorial de velocidade com foco no
obstáculo adjacente à interface fluido-porosa. Através da análise da Figura 7.2 é possível
verificar a formação de uma zona de recirculação na lateral do obstáculo, bem como
constatar que o escoamento na região da interface-fluido porosa não é retilíneo, como
consequência da passagem do fluido ao redor do obstáculo.
Figura 7.2 –Campo vetorial de velocidade na região da interface fluido-porosa à montante do
obstáculo (à esquerda) e detalhe na região lateral do obstáculo (à direita) para o escoamento em
canal parcialmente poroso para Relp = 1,00, ϕ = 0,75, NO = 2, Dh,rp /Dh,rl = 1,00 e n =1,00.
Complementando estas análises, o comportamento do escoamento junto à
interface fluido-porosa também pode ser caracterizado sob o ponto de vista da variação
da velocidade ao longo da direção x1. Nesse sentido, a Figura 7.3 apresenta a variação dos
componentes u1 e u2 da velocidade ao longo da direção x1 para x2 = 1,56 × 10-3. Devido à
utilização da formulação intermediária da condição de bounce-back não é possível fazer
a análise para x2 = 0,00.
x1
x 2
0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09-0.03
-0.02
-0.01
0.00
0.01
0.02
0.03
u1
= 0.10 m/s
x1
x 2
0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12
-0.12
-0.10
-0.08
-0.06
-0.04
-0.02
0.00
u1
= 0.10 m/s
91
(a) (b)
Figura 7.3 – Variação de (a) u1 e (b) u2 junto à interface fluido-porosa na direção x1 para Relp =
1,00, ϕ = 0,75, NO = 2, Dh,rp /Dh,rl = 1,00 e n =1,00.
Analisando a Figura 7.3a é possível observar que na região à montante do
obstáculo u1 diminui progressivamente, atingindo seu valor mínimo na região central do
canal, onde o efeito da condição de não deslizamento imposta pela superfície do obstáculo
é mais pronunciado. Na região à jusante do obstáculo, à medida que o fluido se distancia
do obstáculo, u1 aumenta até atingir o valor observado na entrada do canal devido à
periodicidade do escoamento. Considerando o componente u2, a Figura 7.3b mostra que
nas proximidades do obstáculo, u2 apresenta variações abruptas, como consequência da
mudança de direção do fluido ao contornar os vértices do obstáculo. Já na região central
do canal u2 é aproximadamente zero, de tal forma que o escoamento do fluido ocorre
paralelamente à superfície do obstáculo.
Também é possível observar a influência do meio poroso sobre os campos de
tensão e pressão, os quais são apresentados na Figura 7.4.
x1
u1
0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25
-0.05
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
x1
u2
0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25
-0.05
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
92
(a) (b)
Figura 7.4 – Comparação entre os escoamentos entre placas planas e paralelas (à esquerda) e em
canal parcialmente poroso (à direita) para Relp = 1,00, ϕ = 0,75, NO = 2, Dh,rp /Dh,rl = 1,00 e n =1,00:
campos de (a) tensão e (b) pressão.
A Figura 7.4a mostra que, ao contrário do observado no escoamento entre placas
planas e paralelas, nas proximidades da interface fluido-porosa a tensão varia na direção
x1. Na região do obstáculo, na qual o fluido escoa em contato com uma superfície sólida,
observa-se níveis de tensão mais altos, enquanto nas regiões à montante e à jusante os
níveis de tensão são mais baixos. A Figura 7.4b mostra que o gradiente de pressão na
região da interface fluido-porosa não varia linearmente na direção x1, diferentemente do
caso do escoamento entre placas planas e paralelas. Conforme mostrado na Figura 7.3a,
observa-se que o fluido escoando junto à interface fluido-porosa desacelera na região à
montante do obstáculo, refletindo no aumento da pressão observada nesta região. Por
outro lado, na região à jusante do obstáculo, na qual a velocidade do escoamento junto à
interface fluido-porosa aumenta, observa-se níveis de pressão mais baixos.
7.3 ANÁLISE PARAMÉTRICA
Nesta seção é realizado o estudo paramétrico do problema, no qual se
considera-se as influências do número de Reynolds (Relp e ReBi), da porosidade (ϕ), do
número de obstáculos (NO) e da relação entre diâmetros hidráulicos (Dh,rp/Dh,rl) para
diferentes valores de índice de lei de potência (n) e número de Bingham (Bi).
T
14.0
13.0
12.0
11.0
10.0
9.0
8.0
7.0
6.0
5.0
4.0
3.0
2.0
1.0
0.0
P
14.00
12.00
10.00
8.00
6.00
4.00
2.00
0.00
-2.00
p - pref
93
7.3.1 Número de Reynolds (Relp e ReBi)
A Figura 7.5 mostra a variação de Cf,p/Cf,i em função de Relp (a) e ReBi (b) para as
faixas de n e Bi apresentadas na Tabela 7.1, exceto Bi = 0,40, que não foi analisado devido
ao alto custo computacional envolvido.
(a) (b)
Figura 7.5 – Cf,p/Cf,i em função do número de Reynolds para ϕ = 0,75, NO = 2, Dh,rp /Dh,rl = 1,00: (a)
fluido de lei de potência e (b) fluido de Bingham.
É possível notar que Cf,p/Cf,i se mantém aproximadamente constante para baixos
valores de Relp e ReBi (100 < Relp, ReBi < 102) , o que sugere que as forças de resistência
do meio poroso associadas à inercia do escoamento são desprezíveis. Já para valores de
Relp e ReBi acima de 102, observa-se o aumento de Cf,p/Cf,i. A Tabela 7.2 e a Tabela 7.3
apresentam os valores de Cf,p/Cf,i para cada caso apresentado na Figura 7.5,
respectivamente, para os fluidos de lei de potência e Bingham, mostrando que tanto a
variação do número de Reynolds, quanto de n ou Bi tem pouca influência sobre a razão
Cf,p/Cf,i para a configuração de meio poroso estudada (ϕ = 0,75 e NO = 2). Para o
escoamento de fluido de lei de potência a variação de Cf,p/Cf,i com Relp é no máximo
1,76% (para n = 0,25), enquanto para o fluido de Bingham, a variação de Cf,p/Cf,i com
ReBi não ultrapassa 1,83% (para Bi = 0,20).
Relp
Cf,
p/C
f,i
100
101
102
1030.80
0.85
0.90
0.95
1.00
n = 0,25
n = 0,50
n = 1,00
n = 2,00
n = 4,00
ReBi
Cf,
p/C
f,i
100
101
102
1030.80
0.85
0.90
0.95
1.00
Bi = 0,00
Bi = 0,10
Bi = 0,20
94
Tabela 7.2 – Valores de Cf,p/Cf,i para diferentes de números de Reynolds e índices de lei de potência.
Relp
n 100 101 102 103 Δ% (Relp)
0,25 9,29E-01 9,29E-01 9,31E-01 9,46E-01 1,76%
0,50 9,40E-01 9,40E-01 9,42E-01 9,54E-01 1,51%
1,00 9,48E-01 9,48E-01 9,50E-01 9,60E-01 1,27%
2,00 9,56E-01 9,56E-01 9,58E-01 9,68E-01 1,21%
4,00 9,65E-01 9,65E-01 9,67E-01 9,77E-01 1,21%
Δ% (n) 3,73% 3,73% 3,74% 3,19%
Tabela 7.3 – Valores de Cf,p/Cf,i para diferentes de números de Reynolds e números de Bingham.
ReBi
Bi 100 101 102 103 Δ% (ReBi)
0,00 9,48E-01 9,48E-01 9,50E-01 9,60E-01 1,27%
0,10 9,48E-01 9,48E-01 9,51E-01 9,63E-01 1,54%
0,20 9,44E-01 9,44E-01 9,47E-01 9,62E-01 1,83%
Δ% (Bi) 0,43% 0,44% 0,38% 0,31%
O comportamento das curvas apresentadas na Figura 7.5 pode ser melhor
compreendido através da análise dos perfis e dos campos vetoriais de velocidade do
escoamento. Analisando primeiramente o escoamento de fluido de lei de potência, a
Figura 7.6 apresenta os perfis de velocidade para Relp = 100, 101, 102 e 103 para n = 0,25
(a); 1,00 (b) e 4,00 (c). É possível notar que, independentemente do valor de n, a
velocidade do escoamento na interface fluido-porosa se mantém praticamente constante
para 100 < Relp < 102, diminuindo para Relp = 103. A influência do índice de lei de potência
é mais evidente para Relp = 103, quando a velocidade na interface fluido-porosa diminui
de aproximadamente 5,6×10-2 (n = 0,25) para 4,0×10-2 (n = 4,00). Conforme a definição
de fator de atrito dada pela Equação 3.17, Cf diminui com o aumento de ū, que por sua
vez está diretamente relacionado à velocidade do escoamento na interface fluido-porosa.
Nesse sentido, os perfis de velocidade apresentados na Figura 7.6 corroboram o
comportamento das curvas Cf,p/Cf,i × Relp mostradas na Figura 7.5a.
95
(a)
(b)
(c)
Figura 7.6 – Perfis de velocidade (à esquerda) e detalhe na região da interface fluido-porosa (à
direita) para ϕ = 0,75, NO = 2, Dh,rp /Dh,rl = 1,00 e diferentes valores de Relp: (a) n = 0,25, (b) 1,00 e
(c) 4,00.
u1
x 2
-0.05 0.00 0.05 0.10 0.15
-0.05
0.00
0.05 Relp
= 100
Relp
= 101
Relp
= 102
Relp
= 103
n = 0,25
u1
x 2
0.00 0.50 1.00 1.50
-0.40
-0.20
0.00
0.20
0.40
Relp
= 100
Relp
= 101
Relp
= 102
Relp
= 103
n = 0,25
u1
x 2
-0.05 0.00 0.05 0.10 0.15
-0.05
0.00
0.05 Relp
= 100
Relp
= 101
Relp
= 102
Relp
= 103
n = 1,00
u1
x 2
0.00 0.50 1.00 1.50
-0.40
-0.20
0.00
0.20
0.40
Relp
= 100
Relp
= 101
Relp
= 102
Relp
= 103
n = 1,00
u1
x 2
-0.05 0.00 0.05 0.10 0.15
-0.05
0.00
0.05 Relp
= 100
Relp
= 101
Relp
= 102
Relp
= 103
n = 4,00
u1
x 2
0.00 0.50 1.00 1.50
-0.40
-0.20
0.00
0.20
0.40
Relp
= 100
Relp
= 101
Relp
= 102
Relp
= 103
n = 4,00
96
Complementado as análises, a Figura 7.7 apresenta comparações entre
escoamentos com Relp =100 e 103 para n = 0,25 (a) e 4,00 (b), apresentando os campos
vetoriais de velocidade na região à montante do obstáculo junto à interface fluido-porosa.
É possível notar que o aumento de n ou Relp faz com que uma maior quantidade de fluido
seja levada para a zona de recirculação formada na lateral do obstáculo, de tal forma que
a vazão na região livre do canal diminui, provocando o aumento de Cf,p/Cf,i.
(a)
(b)
Figura 7.7 – Campo vetorial de velocidade na região da interface fluido-porosa à montante do
obstáculo para ϕ = 0,75, NO = 2, Dh,rp /Dh,rl = 1,00 e Relp = 100 (à esquerda) e Relp = 103 (à direita):
(a) n = 0,25 e (b) 4,00.
Considerando o escoamento de fluido de Bingham, a Figura 7.8 apresenta os perfis
de velocidade para Bi = 0,00; 0,10 e 0,2, respectivamente, para ReBi = 100 (a) e 103 (b).
Verifica-se que, dentro da faixa de Bi analisada, a velocidade na interface fluido-porosa
x1
x 2
0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09-0.03
-0.02
-0.01
0.00
0.01
0.02
0.03
u1
= 0.10 m/s
n = 0,25
x1
x 2
0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09-0.03
-0.02
-0.01
0.00
0.01
0.02
0.03
u1
= 0.10 m/s
n = 0,25
x1
x 2
0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09-0.03
-0.02
-0.01
0.00
0.01
0.02
0.03
u1
= 0.10 m/s
n = 4,00
x1
x 2
0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09-0.03
-0.02
-0.01
0.00
0.01
0.02
0.03
u1
= 0.10 m/s
n = 4,00
97
é pouco influenciada pela variação de Bi, confirmando o comportamento das curvas
Cf,p/Cf,i × ReBi mostradas na Figura 7.5b. Além do mais, nota-se que a variação da
velocidade na interface fluido-porosa não apresenta relação direta com o numéro de
Bingham.
(a)
(b)
Figura 7.8 – Perfis de velocidade (à esquerda) e detalhe na região da interface fluido-porosa (à
direita) para ϕ = 0,75, NO = 2, Dh,rp /Dh,rl = 1,00 e diferentes valores de Bi: (a) ReBi = 100 e (b) ReBi =
103.
7.3.2 Porosidade (ϕ)
A influência da porosidade sobre Cf,p/Cf,i é mostrada na Figura 7.9,
respectivamente, para os escoamentos de fluido de lei de potência (a) e Bingham (b), com
0,25 < n < 4,00 e 0,00 < Bi < 0,40.
u1
x 2
0.00 0.50 1.00 1.50
-0.40
-0.20
0.00
0.20
0.40
Bi = 0,00
Bi = 0,10
Bi = 0,20
ReBi
= 100
u1
x 2
0.04 0.06 0.08
-0.01
0.00
0.01
Bi = 0,00
Bi = 0,10
Bi = 0,20
ReBi
= 100
u1
x 2
0.00 0.50 1.00 1.50
-0.40
-0.20
0.00
0.20
0.40
Bi = 0,00
Bi = 0,10
Bi = 0,20
ReBi
= 103
u1
x 2
0.04 0.06 0.08
-0.01
0.00
0.01
Bi = 0,00
Bi = 0,10
Bi = 0,20
ReBi
= 103
98
(a) (b)
Figura 7.9 – Cf,p/Cf,i em função da porosidade para Relp = 100, NO = 2, Dh,rp /Dh,rl = 1,00: (a) fluido de
lei de potência e (b) fluido de Bingham.
Analisando a Figura 7.9, verifica-se que, independentemente do fluido e dos
valores de n ou Bi, o valor da razão Cf,p/Cf,i diminui com aumento de ϕ e tende
assintoticamente para um quando ϕ é reduzido. Tal comportamento é reflexo da
permeabilidade da interface fluido porosa. Quanto menor o valor de ϕ, maior é a
superfície sólida da interface, de modo que Cf,p tende a Cf,i. Por outro lado, à medida que
ϕ aumenta, menor é a resistência que a interface fluido-porosa impõe ao fluido e a razão
Cf,p/Cf,i diminui.
A análise dos perfis de velocidade permite compreender melhor o comportamento
das curvas Cf,p/Cf,i × ϕ apresentadas na Figura 7.9. Considerando o escoamento de fluido
de lei de potência, a Figura 7.10 apresenta os perfis de velocidade para ϕ = 0,51; 0,75 e
0,96 para n = 0,25 (a); 1,00 (b) e 4,00 (c). Observa-se que a velocidade na interface fluido-
porosa cresce à medida que ϕ aumenta, independentemente do valor de n, corroborando
a redução de Cf,p/Cf,i com o aumento de ϕ, conforme os resultados apresentados na Figura
7.9a.
Cf,
p/C
f,i
0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.000.80
0.85
0.90
0.95
1.00
n = 0,25
n = 0,50
n = 1,00
n = 2,00
n = 4,00
Cf,
p/C
f,i
0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.000.80
0.85
0.90
0.95
1.00
Bi = 0,00
Bi = 0,10
Bi = 0,20
Bi = 0,40
99
(a)
(b)
(c)
Figura 7.10 – Perfis de velocidade (à esquerda) e detalhe na região da interface fluido-porosa (à
direita) para Relp = 100, NO = 2, Dh,rp /Dh,rl = 1,00 e diferentes valores de ϕ: (a) n = 0,25, (b) 1,00 e (c)
4,00.
u1
x 2
0.00 0.05 0.10 0.15 0.20
-0.05
0.00
0.05 = 0,51
= 0,75
= 0,96
n = 0,25
u1
x 2
0.00 0.50 1.00 1.50
-0.40
-0.20
0.00
0.20
0.40
= 0,51
= 0,75
= 0,96
n = 0,25
u1
x 2
0.00 0.05 0.10 0.15 0.20
-0.05
0.00
0.05 = 0,51
= 0,75
= 0,96
n = 1,00
u1
x 2
0.00 0.50 1.00 1.50
-0.40
-0.20
0.00
0.20
0.40
= 0,51
= 0,75
= 0,96
n = 1,00
u1
x 2
0.00 0.05 0.10 0.15 0.20
-0.05
0.00
0.05 = 0,51
= 0,75
= 0,96
n = 4,00
u1
x 2
0.00 0.50 1.00 1.50
-0.40
-0.20
0.00
0.20
0.40
= 0,51
= 0,75
= 0,96
n = 4,00
100
Retomando a análise da Figura 7.9a, verifica-se que a variação de n causa
primordialmente o deslocamento vertical da curva Cf,p/Cf,i × ϕ, de tal forma que, para um
determinado valor de porosidade fixo, quanto menor o valor de n, menor é a razão Cf,p/Cf,i.
O efeito da variação de n é mais pronunciado para maiores valores de ϕ, o que pode ser
constatado a partir dos perfis de velocidade mostrados na Figura 7.10. A variação da
velocidade do escoamento na interface fluido-porosa com o índice de lei de potência é
mais acentuada para ϕ = 0,96, passando de aproximadamente 1,90×10-2 m/s (n = 0,25)
para 1,42×10-2 m/s (n = 4,00).
No caso do escoamento de fluido de Bingham, nota-se que a influência de Bi sobre
as curvas Cf,p/Cf,i × ϕ é menos pronunciada para 0,00 < Bi < 0,20, ao passo que para Bi =
0,40 Cf,p/Cf,i apresenta uma redução mais significativa. A Figura 7.11 apresenta os perfis
de velocidade para Bi = 0,00; 0,10; 0,20 e 0,40, para o caso em que ϕ = 0,75, verificando-
se que, para Bi variando entre 0,00 e 0,20, as velocidades na interface fluido-porosa são
bastante próximas, enquanto para Bi = 0,40 observa-se que a velocidade aumenta. Tais
resultados confirmam o comportamento das curvas Cf,p/Cf,i × ϕ mostradas na Figura 7.9b.
Figura 7.11 – Perfis de velocidade (à esquerda) e detalhe na região da interface fluido-porosa (à
direita) para ReBi = 100, ϕ = 0,75, NO = 2, Dh,rp /Dh,rl = 1,00 e diferentes valores de Bi.
A Tabela 7.4 e a Tabela 7.5 resumem os resultados apresentados na Figura 7.9,
respectivamente, para os fluidos de lei de potência e Bingham, quantificando as
influências de ϕ, n e Bi sobre Cf,p/Cf,i. Verifica-se que, para o fluido de lei de potência,
Cf,p/Cf,i pode apresentar uma variação percentual de até 16,99% em função da porosidade
(para n = 0,25) e 10,82% em função de n (para ϕ = 0,96). Já para o fluido de Bingham, a
u1
x 2
0.00 0.50 1.00 1.50
-0.40
-0.20
0.00
0.20
0.40
Bi = 0,00
Bi = 0,10
Bi = 0,20
Bi = 0,40
= 0,75
u1
x 2
0.06 0.08
-0.01
0.00
0.01Bi = 0,00
Bi = 0,10
Bi = 0,20
Bi = 0,40
= 0,75
101
variação percentual de Cf,p/Cf,i com Bi é de até 5,07% (para ϕ = 0,96) e com ϕ de até
16,91% (para Bi = 0,40).
Tabela 7.4 – Valores de Cf,p/Cf,i para diferentes porosidades e índices de lei de potência.
ϕ
n 0,51 0,75 0,96 Δ% (ϕ)
0,25 9,76E-01 9,29E-01 8,08E-01 16,99%
0,50 9,77E-01 9,40E-01 8,25E-01 15,55%
1,00 9,80E-01 9,48E-01 9,85E-01 13,17%
2,00 9,83E-01 9,56E-01 9,81E-01 10,38%
4,00 9,87E-01 9,65E-01 9,06E-01 8,16%
Δ% (n) 1,34% 3,73% 10,82%
Tabela 7.5 – Valores de Cf,p/Cf,i para diferentes porosidades e números de Bingham.
ϕ
Bi 0,51 0,75 0,96 Δ% (ϕ)
0,00 9,80E-01 9,48E-01 8,51E-01 13,17%
0,10 9,80E-01 9,48E-01 8,50E-01 13,32%
0,20 9,78E-01 9,44E-01 8,50E-01 13,11%
0,40 9,72E-01 9,27E-01 8,08E-01 16,91%
Δ% (Bi) 0,83% 2,23% 5,07%
Considerando o escoamento através da região porosa, é possível verificar, através
da Figura 7.10, que a variação da porosidade afeta a vazão através do meio poroso. A
redução de ϕ limita o espaço para o escoamento do fluido, diminuindo a permeabilidade
do meio poroso e, por consequência, a vazão através da região porosa.
Considerando a variação de n e Bi, os resultados para o escoamento em canal
parcialmente poroso estão em acordo com o observado para o escoamento em canal
poroso (Seção 6.2). A redução do índice de lei de potência e o aumento do número de
Bingham (refletindo o aumento da tensão limite de escoamento) causam a redução da
vazão através da região porosa, como pode ser verificado através do perfis de velocidade
apresentados na Figura 7.10, para o fluido de lei de potência, e Figura 7.11, para o fluido
de Bingham.
7.3.3 Número de obstáculos (NO)
No caso da variação de NO, o comportamento de Cf,p/Cf,i é inverso em relação à
porosidade, ou seja, quanto maior o valor de NO menor é a razão Cf,p/Cf,i. Para um valor
de porosidade fixo, o aumento do número de obstáculos causa a redução do espaçamento
entre os mesmos, de tal forma que o fluido escoando ao redor de um obstáculo está sujeito
102
à influência do obstáculo seguinte de forma mais pronunciada. Nesse sentido, a
resistência experimentada pelo fluido é maior. Tal afirmação é corroborada pela Figura
7.12, que mostra as variações de u1 e u2 junto à interface fluido-porosa (x2 = 1,56 × 10-3)
ao longo da direção x1 para NO = 1, 2 e 4 e n = 0,25.
(a) (b)
Figura 7.12 – Variação de u1 (a) e u2 (b) junto à interface fluido-porosa (x2 = 1,5625 × 10-3) na
direção x1 para Relp = 100, ϕ = 0,75, Dh,rp /Dh,rl = 1,00, n = 0,25 e diferentes valores de NO.
O aumento do número de obstáculos reduz os valores máximos de u1 e u2 ao longo
de x1, podendo-se inferir que no limite em que o número de obstáculos é suficientemente
grande u1 e u2 tendem a zero, como no caso do escoamento entre placas planas e paralelas.
Assim, quanto maior o número de obstáculos mais a interface fluido-porosa se aproxima
de uma parede sólida.
A Figura 7.13 apresenta as curvas Cf,p/Cf,i × NO, respectivamente, para o
escoamento dos fluidos de lei de potência (a) e Bingham (b) considerando as faixas de n
e Bi apresentadas na Tabela 7.1, confirmando a redução de Cf,p/Cf,i com o aumento de
NO. De forma análoga ao caso da redução da porosidade, Cf,p/Cf,i apresenta um
comportamento assintótico com o aumento de NO, com Cf,p/Cf,i tendendo a um. Mais uma
vez é possível notar que para a faixa de Bi variando entre 0,00 e 0,20 o efeito da variação
de Bi sobre Cf,p/Cf,i é pouco significativo.
x1
u1
0.00 0.25 0.50
-0.10
0.00
0.10
0.20
0.30
NO = 4
NO = 2
NO = 1
x1
u2
0.00 0.25 0.50
-0.10
0.00
0.10
0.20
0.30 NO = 4
NO = 2
NO = 1
103
(a) (b)
Figura 7.13 – Cf,p/Cf,i em função do número de obstáculos para Relp = 100, ϕ = 0,75, Dh,rp /Dh,rl = 1,00:
(a) fluido de lei de potência e (b) fluido de Bingham.
Os resultados apresentados na Figura 7.13 são mostrados na Tabela 7.6 e na
Tabela 7.7, sendo possível ver que a variação de NO pode causar uma variação percentual
em Cf,p/Cf,i de até 10,37% para o caso do fluido de lei de potência (para n = 0,25) e em
torno de 7,77% para o fluido de Bingham (Bi = 0,20). Observa-se que o aumento do
número de obstáculos reduz a influência de n ou Bi sobre Cf,p/Cf,i, como consequência da
aproximação da interface fluido-porosa de uma parede sólida.
Tabela 7.6 – Valores de Cf,p/Cf,i para diferentes números de obstáculos e índices de lei de potência.
NO
n 1 2 4 Δ% (NO)
0,25 8,66E-01 9,29E-01 9,67E-01 10,37%
0,50 8,85E-01 9,40E-01 9,70E-01 8,82%
1,00 8,99E-01 9,48E-01 9,74E-01 7,72%
2,00 9,12E-01 9,56E-01 9,78E-01 6,74%
4,00 9,25E-01 9,65E-01 9,83E-01 5,84%
Δ% (n) 6,38% 3,73% 1,65%
Tabela 7.7 – Valores de Cf,p/Cf,i para diferentes números de obstáculos e números de Bingham.
ϕ
Bi 1 2 4 Δ% (NO)
0,00 8,99E-01 9,48E-01 9,74E-01 7,72%
0,10 9,00E-01 9,48E-01 9,74E-01 7,67%
0,20 8,97E-01 9,44E-01 9,72E-01 7,77%
0,40 8,70E-01 9,27E-01 9,65E-01 3,95%
Δ% (Bi) 3,32% 2,23% 0,94%
NO
Cf,
p/C
f,i
1 2 3 40.80
0.85
0.90
0.95
1.00
n = 0,25
n = 0,50
n = 1,00
n = 2,00
n = 4,00
NO
Cf,
p/C
f,i
1 2 3 40.80
0.85
0.90
0.95
1.00
Bi = 0,00
Bi = 0,10
Bi = 0,20
Bi = 0,40
104
7.3.4 Relação entre diâmetros hidráulicos (Dh,rp/Dh,rl)
A Figura 7.14 apresenta as curvas Cf,p/Cf,i × Dh,rp/Dh,rl para o escoamento de fluido
de lei de potênca (a) e Bingham (b), respectivamente, para 0,25 < n < 4,00 e
0,00 < Bi < 0,40, mostrando que Cf,p/Cf,i se mantém constante com a variação de Dh,rp/Dh,rl.
(a) (b)
Figura 7.14 – Cf,p/Cf,i em função de Dh,rp/Dh,rl para Relp = 100, ϕ = 0,75, NO = 2: (a) fluido de lei de
potência e (b) fluido de Bingham.
A Tabela 7.8 e a Tabela 7.9 mostram os valores de Cf,p/Cf,i apresentados na Figura
7.14, respectivamente, para os escoamentos de fluido de lei de potência e Bingham.
Tabela 7.8 – Valores de Cf,p/Cf,i para diferentes relações de diâmetros hidráulicos e índices de lei de
potência.
Dh,rp/Dh,rl
n 0,50 1,00 2,00 Δ% (Dh,rp/Dh,rl)
0,25 9,29E-01 9,29E-01 9,29E-01 0,01%
0,50 9,40E-01 9,40E-01 9,40E-01 0,00%
1,00 9,48E-01 9,48E-01 9,48E-01 0,00%
2,00 9,56E-01 9,56E-01 9,56E-01 0,00%
4,00 9,65E-01 9,65E-01 9,65E-01 0,00%
Δ% (n) 3,72% 3,73% 3,71%
Dh,rp
/Dh,rf
Cf,
p/C
f,i
0.50 1.00 1.50 2.000.80
0.85
0.90
0.95
1.00
n = 0,25
n = 0,50
n = 1,00
n = 2,00
n = 4,00
Dh,rp
/Dh,rf
Cf,
p/C
f,i
0.5 1.0 1.5 2.00.80
0.85
0.90
0.95
1.00
Bi = 0,00
Bi = 0,10
Bi = 0,20
Bi = 0,40
105
Tabela 7.9 – Valores de Cf,p/Cf,i para diferentes relações de diâmetros hidráulicos e números de
Bingham.
Dh,rp/Dh,rl
Bi 0,50 1,00 2,00 Δ% (Dh,rp/Dh,rl)
0,00 9,48E-01 9,48E-01 9,48E-01 0,00%
0,10 9,48E-01 9,48E-01 9,48E-01 0,00%
0,20 9,44E-01 9,44E-01 9,44E-01 0,00%
0,40 9,27E-01 9,27E-01 9,27E-01 0,00%
Δ% (Bi) 2,27% 2,27% 2,27%
Levando em conta que o número de Reynolds se mantém constante e que a
variação da relação Dh,rp/Dh,rl não tem qualquer influência sobre a configuração do meio
poroso (ϕ e NO) é natural que a variação de Dh,rp/Dh,rl não tenha influência sobre Cf,p/Cf,i,
ao menos para a faixa de Dh,rp/Dh,rl estudada. Para valores suficientemente baixos de Dh,rp,
a parede inferior do canal pode passar a exercer influência sobre o fluido que escoa junto
à interface fluido-porosa.
A Figura 7.15 apresenta os perfis de velocidade do escoamento para
Dh,rp/Dh,rl = 0,50: 1,00 e 2,00 para n = 0,25 (a) e Bi = 0,40 (b), evidenciando que a variação
de Dh,rp/Dh,rl não tem influência sobre o escoamento na região livre do canal.
106
(a)
(b)
Figura 7.15 – Perfis de velocidade (à esquerda) e detalhe na região da interface fluido-porosa (à
direita) para Relp = 100, ϕ = 0,75, NO = 2 e diferentes valores de Dh,rp /Dh,rl : (a) n = 0,25 e (b) Bi =
0,40.
7.4 ESTUDO DA ADAPTAÇÃO DOS MODELOS ANALÍTICOS BJ, NN E OTW
AO ESCOAMENTO DE FLUIDO DE LEI DE POTÊNCIA
As análises apresentadas na Seção 7.2 mostram que, para o escoamento de fluido
de lei de potência, o comportamento das curvas que descrevem a variação de Cf,p/Cf,i com
qualquer um dos parâmetros adimensionais do problema é similar independentemente do
valor do índice de lei de potência. Nesse sentido, considerando a existência de expressões
analíticas que modelam o escoamento de fluidos newtonianos (n = 1,00) junto à interface
fluido-porosa, a exemplo dos modelos BJ, NN e OTW, esta seção investiga, num primeiro
momento, qual destes modelos melhor representa a interface fluido-porosa considerada
u1
x 2
0.00 0.50 1.00-1.00
-0.50
0.00
0.50
Dh,rp
/Dh,rl
= 2,00
Dh,rp
/Dh,rl
= 1,00
Dh,rp
/Dh,rl
= 0,50
n = 0,25
u1
x 2
0.00 0.10 0.20 0.30
-0.15
-0.10
-0.05
0.00
0.05
0.10
0.15D
h,rp/D
h,rl= 2,00
Dh,rp
/Dh,rl
= 1,00
Dh,rp
/Dh,rl
= 0,50
n = 0,25
u1
x 2
0.00 0.50 1.00-1.00
-0.50
0.00
0.50
Dh,rp
/Dh,rl
= 2,00
Dh,rp
/Dh,rl
= 1,00
Dh,rp
/Dh,rl
= 0,50
Bi = 0,40
u1
x 2
0.00 0.10 0.20 0.30
-0.15
-0.10
-0.05
0.00
0.05
0.10
0.15D
h,rp/D
h,rl= 2,00
Dh,rp
/Dh,rl
= 1,00
Dh,rp
/Dh,rl
= 0,50
Bi = 0,40
107
no presente trabalho (abordagem heterogênea do meio poroso através de obstáculos
quadrados distribuidos de forma uniforme). Em seguida, o modelo tido como mais
adequado é analisado de modo a incorporar o comportamento não newtoniano do fluido
de lei de potência. A mesma análise não é realizada para o caso do fluido de Bingham
devido à falta de uniformidade nos resultados em termos da variação de Bi.
Dentro do contexto do presente trabalho, que avalia a influência da interface
fluido-porosa sobre o fator de atrito na região livre do canal, os modelos BJ, NN e OTW
apresentam, respectivamente, as seguintes expressões para Cf,p/Cf,i, conformes as
deduções apresentadas no Apêndice E:
Equation Chapter (Next) Section 1
2
,
,i BJ
3 21
1
f p
f
C
C
7.1
2
,
,i NN
3 21
1
eff p
f ef
C
C
7.2
2
,
,i OTW
3 21
1
f p
f
C
C
7.3
Retomando algumas definições dadas no Capítulo 2, α é o coeficiente de
deslizamento do modelo BJ e β é o coeficiente de salto de tensão do modelo OTW, ambos
parâmetros empíricos associados ao meio poroso. μef é a viscosidade efetiva do fluido
escoando no interior dos poros e σ um parâmetro adimensional que relaciona o diâmetro
hidráulico da região livre e a permeabilidade do meio poroso (σ = 0,5Dh,rl/K1/2).
Nesta seção o escoamento em canal parcialmente poroso é analisado conforme os
experimentos realizados por Beavers e Joseph (1967), de modo que, para um dado meio
poroso, os valores de Cf,p/Cf,i são avaliados em termos do parâmetro σ, cuja variação é
dada em função de Dh,rl. As análises apresentadas a seguir foram realizadas considerando
a seguinte configuração de canal parcialmente poroso: ϕ = 0,75, NO = 2, Relp = 100 e
108
Dh,rp = 1,00 com Dh,rl assumindo os seguintes valores: 0,75; 1,00 e 1,25. A permeabilidade
K do meio poroso foi estimada através da lei de Darcy (Equação 3.13) considerando o
caso newtoniano.
7.4.1 Análise dos modelos BJ, NN e OTW para o escoamento de fluido newtoniano
A Figura 7.16 apresenta os resultados para o escoamento de fluido newtoniano
obtidos através do LBM para a variação de Cf,p/Cf,i em função de σ, bem como as curvas
Cf,p/Cf,i × σ previstas pelos modelos BJ, NN e OTW (respectivamente, Equações 7.1, 7.2
e 7.3) considerando α = 27,00, μef /μ = ϕ-1, conforme sugerido por Ochoa-Tapia e Whitaker
(1995b) e β = –5,85. O ajuste dos parâmetros α e β foi obtido através do método dos
mínimos quadrados, sendo considerada a minimização da expressão S:
2
, , ,
1 , , ,
1l
f p f i ma k
k f p f i lbm k
C CS
C C
7.4
com l representando o número de casos simulados, ma os modelos analíticos (BJ, NN ou
OTW).
Figura 7.16 – Curvas Cf,p/Cf,i × σ obtidas através dos modelos BJ (α = 27,00), NN (μef /μ = ϕ-1) e
OTW (β = -5.85) e do LBM para o escoamento em canal parcialmente poroso para Relp = 1,00, ϕ =
0,75, NO = 2, Dh,rp = 1,00, n =1,00.
Cf,
p/C
f,i
14 16 18 20 220.60
0.70
0.80
0.90
1.00
LBM
BJ - = 27,00
NN - ef
/ = 1/
OTW - = -5,85
109
As curvas apresentadas na Figura 7.16 mostram que o modelo OTW é o que
melhor representa os resultados numéricos, seguido do modelo BJ e, por fim, do modelo
NN. Os coeficientes de determinação, R2, dos ajustes dos modelos OTW, BJ e NN são,
respectivamente, iguais a 0,99, 0,50 e –358,47, ficando evidente que o modelo NN,
utilizado em conjunto com a relação μef /μ = ϕ-1, não se aplica à modelagem do problema
tratado neste trabalho. Considerando a melhor representação dos resultados numéricos
através do modelo OTW, a adaptação dos modelos analíticos ao escoamento de fluido de
lei de potência se restringiu a este modelo.
Ainda analisando a Figura 7.16 é possível notar que a razão Cf,p/Cf,i aumenta com
o parâmetro σ. Para ilustrar tal comportamento, a Figura 7.17 apresenta os perfis de
velocidade para os casos apresentados na Figura 7.16.
Figura 7.17 – Perfis de velocidade (à esquerda) com detalhe na região da interface fluido-porosa (à
direita) para o escoamento em canal parcialmente poroso para Relp = 1,00, ϕ = 0,75, NO = 2, Dh,rp =
1,00, n =1,00 e diferentes valores de Dh,rl.
Através dos perfis de velocidade mostrados na Figura 7.17 é possível perceber que
a velocidade do escoamento na interface fluido-porosa diminui com o aumento de σ, de
tal forma que Cf,p/Cf,i aumenta. No limite em que a região livre é suficientemente alta, a
velocidade do escoamento na interface fluido-porosa se torna insignificante em relação à
velocidade média do escoamento na região livre, de modo que a interface fluido-porosa
pode ser aproximada por uma parede sólida.
u1
x 2
0.00 0.50 1.00 1.50
-0.40
-0.20
0.00
0.20
0.40
0.60
= 13,45 (Dh,rl
= 0,75)
= 17,94 (Dh,rl
= 1,00)
= 22,42 (Dh,rl
= 1,25)
u1
x 2
0.00 0.05 0.10 0.15
-0.05
0.00
0.05 = 13,45 (Dh,rl
= 0,75)
= 17,94 (Dh,rl
= 1,00)
= 22,42 (Dh,rl
= 1,25)
110
7.4.2 Adaptação do modelo OTW para o escoamento de fluido de lei de potência
A Figura 7.18 apresenta os resultados para Cf,p/Cf,i em função de σ obtidos através
do LBM para n = 0,25; 0,50; 1,00; 2,00 e 4,00.
Figura 7.18 – Resultados para Cf,p/Cf,i em função de σ obtidos através do LBM para Relp = 100, ϕ =
0,75, NO = 2, Dh,rp = 1,00 e diferentes valores n.
Através da Figura 7.18, verifica-se que, de maneira geral, a variação do índice de
lei de potência causa o deslocamento vertical das curvas Cf,p/Cf,i × σ. Tal comportamento
também é observado para a variação do parâmetro β do modelo OTW, como mostra a
Figura 7.19, na qual são apresentadas as curvas Cf,p/Cf,i × σ obtidas através da Equação
7.3 para β variando entre –5,00 e –11,00.
Cf,
p/C
f,i
14 16 18 20 220.80
0.85
0.90
0.95
1.00
LBM - n = 0,25
LBM - n = 0,50
LBM - n = 1,00
LBM - n = 2,00
LBM - n = 4,00
Cf,
p/C
f,i
14 16 18 20 220.80
0.85
0.90
0.95
1.00
OTW - = -5,00
OTW - = -7,00
OTW - = -9,00
OTW - = -11,00
111
Figura 7.19 – Curvas Cf,p/Cf,i × σ obtidas através do modelo OTW para diferentes valores de β.
Considerando a similaridade dos efeitos de n e β sobre a curva Cf,p/Cf,i × σ, a
adaptação do modelo OTW ao escoamento de fluido de lei de potência apresentada a
seguir é baseada na obtenção de uma correlação para β em função de n. Retomando a
discussão realizada por Goyeau et al. (2003), o parâmetro β pode ser visto como uma
representação da variação estrutural do meio poroso na zona de transição entre as regiões
livre e porosa. Assim, a proposta de uma correlação entre β e n considera que a variação
do índice de lei de potência altera a interação entre o fluido e a interface fluido-porosa
de forma anàloga à modificação da estrutura do meio poroso na zona de transição
(variação de β).
A Tabela 7.10 apresenta os valores de β (e R2) encontrados por meio do método
dos mínimos quadrados, conforme a Equação 7.4, para o ajuste da Equação 7.3 aos
resultados apresentados na Figura 7.18.
Tabela 7.10 – Valores de β e R2 para cada valor de n.
n β R2
0,25 –3,96 0,97
0,50 –4,86 0,98
1,00 –5,85 0,99
2,00 –7,21 0,99
4,00 –9,37 1,00
Através dos dados apresentados na Tabela 7.10, verifica-se que, dentro da faixa
de n analisada, β diminui com o aumento de n e a qualidade do ajuste do modelo OTW
aos resultados é satisfatória, com valores de R2 maiores ou iguais a 0,97. A Figura 7.20
reapresenta os resultados mostrados na Figura 7.18 incluindo o ajuste do modelo OTW
considerando os valores de β apresentados na Tabela 7.10.
112
Figura 7.20 – Comparação entre os resultados apresentados na Figura 7.18 e o modelo OTW
considerando os valores de β apresentados na Tabela 7.8.
Utilizando o programa computacional LAB Fit (SILVA et al., 2004), baseado no
método dos mínimos quadrados, obteve-se uma correlação para os valores de β em função
de n apresentados na Tabela 7.10, a qual é dada por:
1
1 2 lnC C n
7.5
com C1 = 1,74 × 10-1 e C2 = 4,87× 10-2, sendo que C1 e C2 devem ser dependentes de ϕ e
NO, variando em função da configuração do meio poroso. Quando a correlação dada pela
Equação 7.5 é aplicada ao modelo OTW (Equação 7.3), os valores para a razão Cf,p/Cf,i
apresentam erro percentual inferior a 0,44% em relação aos valores apresentados na
Figura 7.18.
7.5 SÍNTESE DO CAPÍTULO
Neste capítulo foram apresentados os resultados do estudo do escoamento em
canal parcialmente poroso, destacando-se a análise da influência do meio poroso sobre o
escoamento na região livre do canal e os efeitos dos diversos parâmetros do problema
sobre a razão Cf,p/Cf,i. De um modo geral, Cf,p/Cf,i diminui com o aumento da porosidade,
redução do número de obstáculos que compõem o meio poroso, diminuição do número
de Reynolds e aumento do índice de lei de potência. A variação da altura da região porosa
não apresentou influência sobre Cf,p/Cf,i. Para o escoamento de fluido de Bingham, o efeito
Cf,
p/C
f,i
14 16 18 20 220.70
0.75
0.80
0.85
0.90
0.95
1.00
LBM - n = 0,25
LBM - n = 0,50
LBM - n = 1,00
LBM - n = 2,00
LBM - n = 4,00
OTW - = -3,96
OTW - = -4,86
OTW - = -5,85
OTW - = -7,21
OTW - = -9,37
113
da variação de Bi se mostrou pouco significartivo para 0,00 < Bi < 0,20, enquanto para
Bi = 0,40, observa-se a redução de Cf,p/Cf,i. Por fim, foi estudada a adaptação do modelo
OTW ao escoamento de fluido de lei de potência, obtendo-se uma correlação para o
parâmetro β em função do índice de lei de potência.
114
8 CONSIDERAÇÕES FINAIS
Neste trabalho, analisou-se, através do método lattice Boltzmann, o escoamento
de fluidos de lei de potência e Bingham junto à interface entre uma região livre e outra
porosa. Especificamente, estudou-se o escoamento entre placas planas e paralelas entre
as quais se faz presente um material poroso, abordado de forma heterogênea e
representado por obstáculos sólidos e quadrados uniformemente distribuídos na metade
inferior do canal.
A análise paramétrica do problema mostrou como a relação entre Cf,p e Cf,i varia
em termos dos parâmetros adimensionais do problema, associados aos modelos de fluido
de lei de potência e Bingham (i.e., índice de lei de potência, n, e número de Bingham, Bi),
ao meio poroso (i.e., porosidade, ϕ, e número de obstáculos, NO), a aspectos geométricos
do canal (i.e., relação entre os diâmetros hidráulicos das regiões porosa e livre, Dh,rp/Dh,rl)
e à inércia do escoamento (i.e., número de Reynolds, Relp e ReBi). Considerando os casos
analisados, verifica-se que a variação de n e Bi modificam a interação do fluido com a
interface fluido-porosa, de tal forma que Cf,p/Cf,i diminui com a redução de n e com o
aumento de Bi, sendo que para a faixa de 0,00 a 0,20 a influência de Bi se mostrou biaxa.
Em relação à configuração do meio poroso, observa-se que a razão Cf,p/Cf,i diminui com
o aumento de ϕ e a redução de NO, como consequência da menor resistência imposta pela
interface fluido-porosa. O crescimento de Relp ou ReBi favorece o escoamento do fluido
para a zona de recirculação formada entre os obstáculos, causando o aumento de Cf,p/Cf,i
devido à redução da vazão na região livre do canal. Por fim, a variação de Dh,rp/Dh,rl (para
Dh,rl constante) não apresentou qualquer influência sobre Cf,p/Cf,i, uma vez que a
configuração do meio poroso e o número de Reynolds são mantidos constantes. Também
foi proposta a adaptação do modelo OTW (OCHOA-TAPIA e WHITAKER, 1995b) para
o escoamento de fluido de lei de potência considerando a variação do parâmetro β em
função de n conforme a correlação dada pela Equação 7.5.
Equation Chapter (Next) Section 1
115
8.1 SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS
A continuidade deste estudo pode ser realizada em diversas frentes, relacionadas
ao método de solução, à abordagem do meio poroso e à possíveis desdobramentos do
problema.
Dentro do campo numérico, o problema pode ser investigado por meio de outras
abordagens, como o método dos volumes finitos, de modo a corroborar os resultados
obtidos neste trabalho. Com relação ao LBM, podem ser consideradas a implementação
de retículos não regulares (i.e., Δx1 ≠ Δx2) e a introdução do comportamento não
newtoniano do fluido através da função de equilíbrio. Desta forma, espera-se uma maior
eficiência computacional, devido à redução de malha em regiões com menores gradientes
de velocidade e à manutenção do fator de relaxação (Tlb) dentro dos níveis de estabilidade
numérica, já que a dependência do fator de relaxação com relação à taxa de deformação
seria desfeita. Além disso, a investigação experimental do problema se mostra
indispensável para validar os resultados obtidos no presente trabalho.
Com respeito ao meio poroso, pode-se analisar o problema considerando
diferentes formas geométricas e disposições dos obstáculos, bem como tratar o meio
poroso através da abordagem homogênea.
Buscando retratar de forma mais fiel alguns dos exemplos citados na introdução
deste trabalho, pode-se considerar a utilização de modelos de fluido mais complexos,
introduzindo efeitos de tixotropia e elasticidade, escoamentos bifásicos (líquido-sólido,
líquido-líquido, líquido-vapor), escoamento turbulento e convecção forçada, levando em
conta a troca de calor entre o fluido, o meio poroso e as paredes do canal.
116
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125
APÊNDICE A – PARÂMETROS ADIMENSIONAIS DO
ESCOAMENTO EM CANAL PARCIALMENTE POROSO
Neste capítulo são apresentados os cálculos para a obtenção dos parâmetros
adimensionais do escoamento em canal parcialmente poroso apresentados na Seção 4.3.
A.1 FLUIDO DE LEI DE POTÊNCIA
Conforme o teorema Pi de Buckingham, descrito na Seção 4.3, após o
estabelecimento das variáveis relevantes do problema e a definição do conjunto de
variáveis repetitivas, deve-se estabelecer uma equação adimensional para cada uma das
demais variáveis. Tais equações são dadas pelo produto das variáveis repetitivas, cada
qual elevada a uma certa potência a ser determinada, e da variável, por assim dizer, não
repetitiva. Desta forma, o parâmetro Π1,lp é dado por:
Equation Chapter (Next) Section 1
1, , ,mod
a b c
lp h rl lp cD u A.1
Considerando as dimensões de cada um dos parâmetros da Equação A.1, tem-se:
21 3
3 2
b ca b n cc a b c
n
kg m kgm kg m s
m s ms
A.2
Para que Π1,lp seja um parâmetro adimensional os expoentes das dimensões kg, m
e s da Equação A.2 devem ser nulos, de tal forma que se obtém o seguinte sistema de
equações:
1 0
3 0
2 0
c
a b c
b n c
A.3
126
Resolvendo o sistema de equações dado na Equação A.3, obtém-se a = n,
b = 2 – n e c = –1, de modo que a forma final de Π1,lp é dada por:
2
,
1,
,mod
n n
lp h rl
lp
c
u D
A.4
Para os demais parâmetros Π, o procedimento é análogo. O parâmetro Π2,lp é
expresso por:
2, , ,mod
a b c
lp h rl lp cnD u A.5
Como o índice de lei de potência é adimensional por definição, conclui-se que a,
b e c devem ser nulos, de tal forma que:
2,lp n A.6
De forma análoga, como ϕ e NO também são parâmetros adimensionais por
definição, os parâmetros Π3 e Π4 são dados por:
3 A.7
4 NO A.8
Para obter a forma adimensional de Dh,rp escreve-se, no caso do fluido de lei de
potência:
5 , , ,mod
a b c
h rp h rl lp cD D u A.9
127
O conjunto de equações envolvento os expoentes a, b e c que tornam Π5
adimensional é dado por:
1
2 0
0
a b c
b n c
c
A.10
Resolvendo o sistema de equações Equações A.10, obtém-se a = 1, b = 0 e c = 0,
de modo que a forma final de Π5 é dada por:
,
5
,
h rp
h rl
D
D A.11
A.2 FLUIDO DE BINGHAM
Considerando o fluido de Bingham o procedimento para a obtenção dos
parâmetros adimensionais se mantém o mesmo. O parâmetro Π1,Bi é dado por:
1, , ,mod
a b c
Bi h rl lp pD u A.12
Considerando as dimensões de cada um dos parâmetros da Equação A.12, tem-se:
1 3
3
b ca c a b c b ckg m kg
m kg m sm s ms
A.13
Para que Π1,Bi seja um parâmetro adimensional, os expoentes das dimensões kg,
m e s devem ser nulos, de tal forma que se obtém o seguinte sistema de equações:
128
1 0
3 0
0
c
a b c
b c
A.14
Resolvendo o sistema de equações dado pela Equação A.14, obtém-se a = 1,
b = 1 e c = –1, de modo que a forma final de Π4,Bi é dada por:
,
1,
,mod
h rlBi
Bi
p
Du
A.15
O parâmetro Π2,Bi é definido como:
2, 0 , ,mod
a b c
Bi h rl Bi pD u A.16
Considerando as dimensões de cada um dos parâmetros da Equação A.16, tem-se:
1 1 2
2
b ca c a b c b ckg m kg
m kg m sms s ms
A.17
Para que Π2,Bi seja um parâmetro adimensional, os expoentes das dimensões kg,
m e s devem ser nulos, de tal forma que se obtém o seguinte sistema de equações:
1 0
1 0
2 0
c
a b c
b c
A.18
Resolvendo o sistema de equações dado pela Equação A.18, obtém-se a = 1,
b = –1 e c = –1, de modo que a forma final de Π2,Bi é dada por:
129
,
2, 0
,mod
h rl
Bi
p Bi
D
u
A.19
Isolando ūBi na Equação 3.25 e substituindo na Equação A.19 e Π2,Bi pode ser
escrito como:
,
2, 0
,mod
,
0 2
, 3
,mod
24
1 3 448
h rl
Bi
p Bi
h rl
h rl
p
p
D
u
DBi
DpBi Bi
L
A.20
130
APÊNDICE B – RESULTADOS INTERMEDIÁRIOS DO
MÉTODO LATTICE BOLTZMANN
Neste capítulo são apresentadas as deduções de algumas das equações
apresentadas na formulação do LBM no Capítulo 5.
B.1 FUNÇÃO DE EQUILÍBRIO DO MODELO DE HE E LUO (1997) – EQUAÇÃO
5.11
A dedução da expressão para a função de equilíbrio dada pela Equação 5.11 parte
da distribuição de Maxwell, fM, dada pela Equação A.21 na qual se considera a velocidade
do som para um gás ideal (BEJAN, 2006), cs2 = m/kBT. Desta forma, a Equação A.22 é
reescrita como:
Equation Section (Next)
2
32
2
2
1
2s
c u c u
c
M
s
f em c
B.1
Desenvolvendo o produto notável presente no termo exponencial da Equação B.1
e separando a parte dependente de uα, obtém-se:
2 2
3 1 12 22 2
2
1
2
a a a a a a
s s
c c c u u uc c
M
s
f e em c
B.2
Considerando a expansão em série de Taylor de uma função exponencial
ex = 1 + x/1! + x2/2! + .... (SPIEGEL, 1968), o segundo termo exponencial da Equação
B.2 é expandida até segunda ordem em 1/2cs2[2(cαuα) – (uαuα)]:
131
2
3 1222
2 2 4
1 1 11 2 2
2 2 8s
c cc
M
s s s
f e c u u u c u u um c c c
B.3
Como a expansão em série de Taylor foi realizada apenas até os termos de segunda
ordem, a Equação B.3 só é válida para baixos valores de 1/2cs2[2(cαuα) – (uαuα)], ou seja,
baixos valores de uα. Desta forma, os termos proporcionais a |uα|3 e |uα|4 e, portanto,
proporcionais a Ma3 e Ma4, são desprezados, obtendo-se:
2
3 122
2 2 4 2
1e 1
2 2 2s
c cc
M
s s s s
c u c uc u u uf
m c c c c
B.4
Com base na Equação B.4, define-se fieq como:
, ,,
2 4 21
2 2
i iieq
i i
s s s
c u c uc u u uf Kw
c c c
B.5
sendo K uma constante a ser determinada e wi o fator de ponderação associado à cada
orientação de deslocamento i, conforme a estrutura de retículo adotada.
Considerando as Equações B.5, B.18 e 5.13 obtém-se:
, ,,
2 4 21
2 2
i iieq
i i
i i s s s
c u c uc u u uf Kw
c c c
B.6
Distribuindo o somatório, chega-se à:
, , ,2 4 22 2i i i i i i i
i i i is s s
u uu u uK w K w c K w c c K w
c c c
B.7
132
Finalmente, o valor de K é obtido conforme a Equação B.9, considerando-se as
seguintes condições:
,
2
, ,
1
0
i
i
i i
i
i i i s
i
w
w c
w c c c
B.8
2 2
4 2 4 22 2 2 2s s
s s s s
u u u u u u u uK K c K K K c K K
c c c c
B.9
sendo δαβ o delta de Kronecker (SPIEGEL, 1959). As restrições impostas pela Equação
B.8 são condições de isotropia das estruturas de retículo (VIGGEN, 2009), necessárias
para que o LBM reproduza de forma satisfatória as equações da massa e da quantidade
de movimento linear para um fluido newtoniano. As estruturas de retículo DaQb
apresentadas na seção 5.4 atendem às restrições dadas pela Equação B.8.
Desta forma, a função de equilíbrio dada pela Equação B.5 é reescrita como:
, ,,
2 4 21
2 2
i iieq
i i
s s s
c u c uc u u uf w
c c c
B.10
Definindo ρ = ρ0 + δρ, conforme a sugestão de He e Luo (1997), a Equação B.10
é reescrita da seguinte forma:
, ,,
0 2 4 21
2 2
i iieq
i i
s s s
c u c uc u u uf w
c c c
B.11
Mantendo a coerência com a simplificação da Equação B.3, despreza-se os termos
proporcionais a δρuα/cs e δρ(uα/cs)2 que, de acordo com He e Luo (1997), são da ordem
de Ma3 e Ma4, resultando em:
133
, ,,
0 2 4 21
2 2
i iieq
i i i
s s s
c u c uc u u uf w w
c c c
B.12
Rearranjando a Equação B.12, obtém-se a forma final da função de equilíbrio
utilizada por He e Luo (1997):
, ,,
0 2 4 21
2 2
i iieq
i i
s s s
c u c uc u u uf w
c c c
B.13
134
B.2 MOMENTOS DE ORDEM ZERO E UM DAS FUNÇÕES DISTRIBUIÇÃO DE
VELOCIDADE DO MODELO DE HE E LUO (1997) – EQUAÇÕES 5.13 E
5.14
As conservações da massa e da quantidade de movimento linear das partículas são
expressas matematicamente, respectivamente, pelas Equações B.14 e B.15:
, , ,i i i
i i
f x c t t t f x t B.14
, , ,, ,i i i i i
i i
c f x c t t t c f x t B.15
A Equação B.14 expressa que o número total de partículas que deixam o nó xα
deve ser igual àquele que chega aos nós vizinhos xα + ci,αΔt, enquanto a Equação B.15
corresponde ao raciocínio análogo considerando a quantidade de movimento linear das
partículas.
Tendo em vista os momentos de ordem zero e um da Equação 5.9 (equação de
transporte de Boltzmann discretizada) e considerando as Equações B.14 e B.15, obtém-
se, respectivamente:
,
,
, ,
, , 0
0
i i i i
i i i
i i i i
i i i
i
i
f x c t t t f x t Q t
Q t f x t f x c t t t
Q
B.16
, , , ,
, , , ,
,
, ,
, , 0
0
i i i i i i i
i i i
i i i i i i i i
i i i
i i
i
c f x c t t t c f x t c Q t
c Q t c f x t c f x c t t t
c Q
B.17
135
Utilizando as Equações B.16 e B.17 em conjunto com os momentos de ordem zero
e um da Equação 5.10 (definição do operador colisão através da aproximação BGK),
obtém-se, respectivamente:
, ,eq
i i
i i
f x t f x t B.18
, ,, ,eq
i i i i
i i
c f x t c f x t B.19
Considerando a Equação B.18 e a definição da função de equilíbrio dada pela
Equação 5.11, tem-se:
, ,,
0 2 4 22 2
i ii
i i i
i i s s s
c u c uc u u uf w w
c c c
B.20
Manipulando algebricamente a Equação B.20, tem-se:
0 , 0 , , 02 4 22 2i i i i i i i i
i i i i is s s
u uu u uf w w c w c c w
c c c
B.21
Utilizando as condições de isotropia dadas pela Equação B.8, a Equação B.21 é
simplificada, resultando em:
2
0 04 22 2i s
i s s
u u u uf c
c c
B.22
Finalmente, a partir da Equação B.22, obtém-se:
136
0 02 22 2i
i s s
u u u uf
c c
B.23
A obtenção da Equação 5.14 é realizada através da substituição da Equação 5.11
na Equação B.19:
, ,,
, , , 0 2 4 22 2
i ii
i i i i i i
i i s s s
c u c uc u u uc f c w c w
c c c
B.24
Expandindo o lado direito da Equação B.24, obtém-se:
, , 0 , ,2
0 , , , 0 ,4 22 2
i i i i i i i
i i is
i i i i i i
i is s
uc f c w w c c
c
u u u uw c c c w c
c c
B.25
Considerando as condições de isotropia impostas pela Equação B.8, a Equação
B.24 é simplificada, chegando-se em:
, 0i i
i
c f u B.26
137
B.3 MOMENTOS DE ORDEM ZERO E UM DAS PARCELAS DE NÃO EQUILÍBRIO
DAS FUNÇÕES DISTRIBUIÇÃO DE VELOCIDADE – EQUAÇÕES 5.26 E
5.27
Considerando as Equações B.18 e B.19 em conjunto com a expansão da função
distribuição expressa pela Equação 5.16 e a igualdade dada pela Equação 5.22, obtém-se,
respectivamente:
1 22
1 22 0
eq
i i i i
i i i i
i i
i i
f f f f
f f
B.27
1 22
, , , ,
1 22
, , 0
eq
i i i i i i i i
i i i i
i i i i
i i
c f c f c f c f
c f c f
B.28
Como os termos de ordem ξ e ξ2 são de ordens de grandeza diferentes, pode-se
supor cada parcela das Equações B.29 e B.30 é igual a zero, ou seja:
0kk
i
i
f B.31
, 0kk
i i
i
c f B.32
com k = 1 e 2.
Desta forma, conclui-se que os momentos de ordem zero e um de fi(1) e fi
(2) não
contribuem para o cálculo da massa específica e da quantidade de movimento linear.
138
B.4 OBTENÇÃO DA EQUAÇÃO DA CONSERVAÇÃO DA QUANTIDADE DE
MOVIMENTO LINEAR – EXPANSÃO DE CHAPMAN-ENSKOG
Para a obtenção da equação da conservação da quantidade de movimento linear
são considerados, inicialmente, os momentos de ordem um das Equações 5.23 e 5.25,
obtendo-se, respectivamente:
01
0 , ,1 10 i i i
i
uc c f
t x
B.33
12
0 , ,2 10 1
2i i i
i
u tc c f
t x
B.34
A próxima etapa consiste na obtenção das expressões para os termos
1 0
, ,i i i
i
x c c f
e
1 1
, ,i i i
i
x c c f
, cujos cálculos detalhados são
apresentados a seguir.
B.4.2 Termo 1 0
, ,i i i
i
x c c f
Considerando a Equação 5.22, pode-se escrever:
0
, , , ,1 1
eq
i i i i i i
i i
c c f c c fx x
B.35
Substituindo a Equação 5.11 na Equação B.35, obtém-se:
139
0
, ,1
, ,,
, , 0 2 4 21 2 2
i i i
i
i ii
i i i i
i s s s
c c fx
c u c uc u u uc c w w
c c cx
B.36
Manipulando algebricamente a Equação B.36, chega-se a::
0
, , , , 0 , , ,21 1
0 , , , , 0 , ,4 21 2 2
i i i i i i i i i i
i i is
i i i i i i i i
i is s
uc c f w c c w c c c
cx x
u u u uw c c c c w c c
c cx
B.37
Utilizando as restrições apresentadas pelas Equações B.8 e B.39 atendidas pelas
estruturas DaQb (VIGGEN, 2009) na Equação B.37, obtém-se a EquaçãoB.38:
, , ,
4
, , , ,
0i i i i
i
i i i i i s
i
w c c c
w c c c c c
B.39
0
, ,1
2 4 2
0 04 21 2 2
i i i
i
s s s
s s
c c fx
u u u uc c c
c cx
B.40
Manipulado algebricamente a Equação B.40, obtém-se:
0
, ,1
2
0 0 0 01 2 2 2 2
i i i
i
s
c c fx
u u u u u u u uc
x
B.41
Finalmente, simplificando a Equação B.41, chega-se a:
140
0 2
, , 01 1i i i s
i
c c f c u ux x
B.42
B.4.2 Termo 1 1
, ,i i i
i
x c c f
Considerando a Equação 5.23, tem-se:
1
, ,1
0 0
, , , , ,1 1 1
12
2
i i i
i
i i i i i i i
i i
tc c f
x
tc c f c c c f
x t x
B.43
Desta forma, é necessário analisar individualmente os termos
1 0
, ,i i i
i
t c c f
e
1 0
, , ,i i i i
i
x c c c f
.
B.4.2.1 Termo 1 0
, ,i i i
i
t c c f
Considerando a Equação B.42 pode-se escrever:
0 2
, , 01 1i i i s
i
c c f c u ut t
B.44
Manipulando algebricamente o lado direito da Equação B.44, obtém-se:
0 2
, , 0 01 1 1 1i i i s
i
u uc c f c u u
t t t t
B.45
141
As derivadas temporais da Equação B.45 podem ser substituídas, utilizando as
Equações 5.28 e B.33, resultando em:
0
, ,1
0 02
0 , , , ,1 1 1
i i i
i
s i i i i i i
i i
c c ft
uc u c c f u c c f
x x x
B.46
Substituindo a Equação B.42 na Equação B.46, tem-se:
0
, ,1
2 2 2
0 0 01 1 1
i i i
i
s s s
c c ft
uc u c u u u c u u
x x x
B.47
Manipulando algebricamente a Equação B.47, obtém-se:
0
, ,1
2 2 2
0 0 01 1 1 1 1
2 2 2
0 0 01 1 1 1 1
i i i
i
s s s
s s s
c c ft
u u u uuc u c u c u u
x x x x x
u u uu uc u c u c u u
x x x x x
B.48
Desprezando os termos da ordem de Ma3 ( 1 2
su x c , 1 2
su x c ,
1
0 u u u x e 1
0u u u x ), obtém-se a Equação B.49 (HE e LUO, 1997):
0 2 3
, , 01 1i i i s
i
uc c f c O Ma
t x
B.49
142
B.4.1.2 Termo 1 0
, , ,i i i i
i
x c c c f
Utilizando a Equação 5.22, pode-se escrever:
0
, , , , , ,1 1
eq
i i i i i i i i
i i
c c c f c c c fx x
B.50
Substituindo a Equação 5.11 na Equação B.50, obtém-se:
0
, , ,1
, ,,
, , , 0 2 4 21 2 2
i i i i
i
i ii
i i i i i
i s s s
c c c fx
c u c uc u u uc c c w w
c c cx
B.51
Manipulando a Equação B.51 algebricamente, chega-se a:
0
, , , , , , 0 , , , ,21 1
0 , , , , , 0 , , ,4 21 2 2
i i i i i i i i i i i i i
i i is
i i i i i i i i i i
i is s
uc c c f w c c c w c c c c
cx x
u u u uw c c c c c w c c c
c cx
B.52
Considerando as Equações B.53 e B.39 (restrições atendidas pelos modelos
DaQb), obtém-se a Equação B.54:
, , , , , 0i i i i i i
i
w c c c c c B.53
0 4
, , , 0 21 1i i i i s
i s
uc c c f c
cx x
B.54
143
Rearranjando e simplificando o lado direito da Equação B.54, obtém-se:
0 2
, , , 01 1 1 1i i i i s
i
u u uc c c f c
x x x x
B.55
Combinando as Equações B.43, B.49 e B.55, obtém-se:
1
, ,1
2 3
01 1 1
12
2
i i i
i
s
tc c f
x
u utc O Ma
x x x
B.56
Finalmente, aplicando as expansões dadas pelas Equações 5.16, 5.17 e 5.18 nas
Equações B.33 e B.34, considerando as Equações B.42 e B.56, obtém-se:
0 0
2 2 3
02
s s
uu u
t x
u utc c O Ma
x x x x
B.57
144
APÊNDICE C – TESTES DAS CONDIÇÕES DE
CONTORNO DO LBM
Neste apêndice são apresentados os testes das condições de contorno apresentadas
na Seção 5.7. As precisões das condições de bounce-back padrão e intermediário são
avaliadas através da análise do escoamento entre placas planas e paralelas e a
periodicidade imposta pela condição de contorno proposta Liao e Jen (2008) é verificada
por meio do estudo do escoamento em canal parcialmente poroso.
C.1. COMPARAÇÃO ENTRE AS FORMULAÇÕES PADRÃO E INTERMEDIÁRIA
DA CONDIÇÃO DE BOUNCE-BACK
As formulações das condições de contorno de bounce-back padrão e intermediária
são comparadas por meio da simulação do escoamento de fluido newtoniano em canal
livre, conforme o problema de verificação apresentado na Seção 6.1. Os resultados
apresentados nas Figura C.1a e b comparam os perfis de velocidade obtidos,
respectivamente, através das formulações padrão e intermediária com a solução analítica
dada pela Equação 6.1 para n = 1,00. À esquerda são apresentados os perfis de velocidade
ao longo de toda a seção transversal do canal, enquanto à direita são mostrados os detalhes
na região da parede inferior do canal. Analisando a Figura C.1a é possível notar que a
formulação padrão apresenta valores de velocidade inferiores aos previstos pela solução
analítica ao longo de toda a seção transversal do canal. Na região próxima à parede o erro
percentual em relação à solução analítica, calculado através da Equação 6.3, é da ordem
de 50% e se mostrou sistemático mesmo com a redução de Δx. Por outro lado, a
formulação intermediária apresenta boa concordância com a solução analítica, sendo que
o erro percentual máximo em relação à solução analítica é de 0,32%. A formulação
intermediária corrige a defasagem observada na região da parede no caso da formulação
padrão, como pode ser visto nos detalhes apresentados nas Figura C.1a e b. Considerando
os resultados mostrados nesta seção, opta-se por utilizar a formulação intermediária para
a representação da condição de não deslizamento sobre paredes estáticas.
145
(a)
(b)
Figura C.1 – Análise das condições de contorno de bounce-back. Comparação entre os
perfis de velocidade analítico e obtidos com bounce-back (a) padrão e (b) intermediário. À
esquerda: perfis de velocidade ao longo de toda a seção transversal do canal. À direita:
detalhe da região próxima a parede inferior.
u1
x 2
0.00 0.50 1.00 1.50
-0.20
0.00
0.20
LBM - formulação padrão
Eq. 6.1
u1
x 2
0.00 0.10 0.20 0.30-0.25
-0.20
-0.15
LBM - formulação padrão
Eq. 6.1
u1
x 2
0.00 0.50 1.00 1.50
-0.20
0.00
0.20
LBM - formulação intermediária
Eq. 6.1
u1
x 2
0.00 0.10 0.20 0.30-0.25
-0.20
-0.15
LBM - formulação intermediária
Eq. 6.1
146
C.2. AVALIAÇÃO DA CONDIÇÃO DE CONTORNO PERIÓDICA DE LIAO E JEN
(2008)
A avaliação da condição de contorno de Liao e Jen (2008) é realizada através da
anaálise do escoamento de fluido newtoniano em canal parcialmente poroso com ϕ = 0,75;
NO = 2; Dh,rp/Dh,rl = 1,00 e Relp = 100 composto por duas colunas de obstáculos, conforme
mostrado na Figura C.2, de tal forma que L = 0,50 m.
Figura C.2 – Canal parcialmente poroso com diferentes comprimentos. (a) L = 0,25 e (b) L = 0,50.
Considerando a periodicidade geométrica do canal na direção x1, o campo de
velocidades (e de qualquer outra variável do escoamento) deve obedecer à seguinte
condição:
Equation Section (Next)
1 2 1 2, ,u x x u x l x C.1
sendo κ um número inteiro e l o comprimento do trecho (periódico) que se repete ao longo
do domínio. No caso analisado, tem-se l = 0,25 m.
Nesse sentido, a verificação da periodicidade do escoamento é realizada por meio
da comparação dos perfis de velocidade tomados em x1 = 0,00, 0,25 e 0,50 m, os quais
devem ser idêndicos conforme indica a Equação C.1 para x1 = 0,00 e κ = 1 e 2. A Figura
C.3 mostra que os perfis de velocidade são coincidentes, confirmando a a periodicidade
imposta pela condição de contorno de Liao e Jen (2008).
1 0,00x
20x
2 2,x u
1 1,x u
2 , 2h rpx D
2 , 2h rfx D
1 0,50x L 1 0,00x
2 0x
2 2,x u
1 1,x u
2 , 2h rpx D
2 ,2
h rfx D
2 0, 25x 1 0,25x L
147
Figura C.3 – Perfis de velocidade do escoamento em canal parcialmente poroso em
diferentes posições do canal.
u1
x 2
0.00 0.50 1.00 1.50
-0.40
-0.20
0.00
0.20
0.40
x1
= 0,00
x1
= 0,50
x1
= 1,00
148
APÊNDICE D – RESULTADOS DOS TESTES DE
SENSIBILIDADE À Δx E Δt PARA OS PROBLEMAS DE
VERIFICAÇÃO E O ESCOAMENTO EM CANAL
PARCIALMENTE POROSO
Neste capítulo são apresentados os testes de sensibilidade realizados para o
escoamento entre placas planas e paralelas, canal poroso e parcialmente poroso, os quais
foram realizados conforme a discussão realizada na Seção 5.8. As tabelas apresentadas a
seguir, mostrando os resultados dos testes de sensibilidade a Δx e Δt, devem ser analisadas
da seguinte forma. A parte superior, entre o cabeçalho e a linha dupla, mostra o teste de
sensibilidade a Δt para um determinado valor de Δx (malha menos refinada). A linha
destacada em negrito mostra o resultado considerado independente de Δt. O critério
adotado neste trabalho corresponde a uma diferença percentual inferior a 0,5% entre os
resultados obtidos para dois valores consecutivos de Δt. Na parte inferior das tabelas,
abaixo da linha dupla, apresenta-se o teste de sensibilidade a Δx, o qual se inicia com o
resultado destacado na parte superior da tabela e é realizado para valores
progressivamente menores de Δx. Quando os resultados obtidos para dois valores
consecutivos de Δx apresentam uma diferença percentual inferior a 1%, considera-se que
Δx não tem mais influência sobre os resultados.
D.1 ESCOAMENTO ENTRE PLACAS PLANAS E PARALELAS
Para os escoamentos dos fluidos de lei de potência e Bingham entre placas planas
e paralelas, testes preliminares indicaram que os casos mais críticos, dentro das faixas
analisadas neste trabalho, correspondem, respectivamente, a n = 0,25 e Bi = 0,40. Nesse
sentido, os testes de sensibilidade a Δt e Δx, para n = 0,25 e Bi = 0,40 são apresentados,
respectivamente, pelas Tabelas D.1 e D.2.
149
Tabela D.1 – Teste de sensibilidade à Δx e Δt para o escoamento de fluido de lei de
potência entre placas planas e paralelas para n = 0,25.
Teste Δx (nº de nós na direção x2) Δt (Δx/Δt) τlb ε
Δt
1.53E-06 (8192) 5.00E-01 –1,40%
1.25E-02 (40) 7.63E-07 (16384) 5.00E-01 –0,41%
3.81E-07 (32768) 5.00E-01 -
Δx
1.25E-02 (40) 7.63E-07 (16384) 5.00E-01 –2,66%
6.25E-03 (80) 1.91E-07 (32768) 5.00E-01 –1,29%
3.13E-03 (160) 4.77E-08 (65536) 5.00E-01 –0,95%
1.56E-03 (320) 1.19E-08 (131072) 5.00E-01 -
Tabela D.2 – Teste de sensibilidade à Δx e Δt para o escoamento de fluido de
Bingham entre placas planas e paralelas para Bi = 0,40.
Teste Δx (nº de nós na direção x2) Δt (Δx/Δt) τlb ε
Δt
3.05E-06 (4096) 5.03E-01 –1,14%
1.25E-02 (40) 1.53E-06 (8192) 5.02E-01 –0,30%
7.63E-07 (16384) 5.01E-01 -
Δx
1.25E-02 (40) 1.53E-06 (8192) 5.02E-01 –3,55%
6.25E-03 (80) 3.81E-07 (16384) 5.02E-01 –1,58%
3.13E-03 (160) 9.54E-08 (32768) 5.02E-01 –0,64%
1.56E-03 (320) 2.38E-08 (65536) 5.02E-01 -
D.2 ESCOAMENTO EM CANAL POROSO
No caso do escoamento em canal poroso, observou-se que os casos mais críticos
em termos de sensibilidade a Δt e Δx ocorrem para menores gradientes de pressão e
menores valores de índice de lei de potência, no caso do fluido de lei de potência, e
maiores tensões limite de escoamento, no caso do fluido de Bingham. Nesse sentido, as
Tabelas D.3 e D.4 apresentam os resultados dos testes de sensibilidade a Δt e Δx,
respectivamente, para o escoamento de fluido de lei de potência com n = 0,25 e
(–Δp/L) = 48 Pa/m e para fluido de Bingham com τ0 = 10 Pa e (–Δp/L) = 48.
150
Tabela D.3 – Teste de sensibilidade à Δx e Δt para o escoamento de fluido de lei de
potência em canal poroso para n = 0,25 e (–Δp/L) = 48 Pa/m.
Teste Δx (nº de nós na direção x2) Δt (Δx/Δt) ṁrp ε
Δt
4.76E-08 (262144) 2.68E-04 –1,29%
1.25E-02 (40) 2.38E-08 (524288) 2.65E-04 –0,52%
1.19E-08 (1048576) 2.63E-04 -
Δx
1.25E-02 (40) 2.38E-08 (524288) 2.65E-04 8,60%
6.25E-03 (80) 5.96E-09 (1048576) 2.90E-04 2,96%
3.13E-03 (160) 1.49E-09 (2097152) 2.99E-04 0,93%
1.56E-03 (320) (4194304) 3,01E-04 -
Tabela D.4 – Teste de sensibilidade à Δx e Δt para o escoamento de fluido de
Bingham em canal poroso para τ0 = 10 Pa e (–Δp/L) = 48 Pa/m.
Teste Δx (nº de nós na direção x2) Δt (Δx/Δt) ṁrp Ε
Δt
4.76E-08 (262144) 9.39E-05 –1,94%
1.25E-02 (40) 2.38E-08 (524288) 9.21E-05 –0,40%
1.19E-08 (1048576) 9.17E-05 -
Δx
1.25E-02 (40) 2.38E-08 (524288) 9.21E-05 4,62%
6.25E-03 (80) 5.96E-09 (1048576) 9.65E-05 1,12%
3.13E-03 (160) 1.49E-09 (2097152) 9.76E-05 %
1.56E-03 (320) (4194304) -
D.3 ESCOAMENTO EM CANAL PARCIALMENTE POROSO – FLUIDO DE LEI DE
POTÊNCIA
D.4 ESCOAMENTO EM CANAL PARCIALMENTE POROSO – FLUIDO DE
BINGHAM
Equation Section (Next)
151
APÊNDICE E – EXPRESSÕES PARA A RELAÇÃO Cf,p/Cf,i
SEGUNDO OS MODELOS BJ, NN E OTW
Este capítulo mostra as deduções das Equações 7.1, 7.2 e 7.3, expressões analíticas
para a razão Cf,p/Cf,i de acordo com os modelos BJ, NN e OTW, respectivamente.
Considerando a definição de fator de atrito dada pela Equação 3.17, calcula-se
Cf,p/Cf,i:
Equation Section (Next)
,
,
4
1
2
4
1
2
h
pf p i
hf i p
i
Dp
L
uC u
DpC u
L
u
E.1
sendo ūi e ūp as velocidades médias do escoamento na região livre quando o meio poroso
é impermeável e permeável, respectivamente.
Manipulando a Equação E.1, é possível reescrever a razão Cf,p/Cf,i como:
2
,
,
1 1
11
f p i i
p if i p p
i
C u m
m mC u m
m
E.2
sendo ṁ = ρū(Dh /2) a vazão mássica através da região livre. A Equação E.2 mostra que
a razão Cf,p /Cf,i pode ser escrito em função do acréscimo percentual de vazão mássica na
região livre, Φ, o qual apresenta expressão analítica para os modelos BJ, NN e OTW,
conforme as Equações 2.3, 2.8 (para β = 0) e 2.8, respectivamente. Combinando a
Equação E.2 individualmente com as Equações 2.3, 2.8 (para β = 0) e 2.8, obtém-se
respectivamente:
152
2
,
,i BJ
3 21
1
f p
f
C
C
E.3
2
,
,i NN
3 21
1
eff p
f ef
C
C
E.4
2
,
,i OTW
3 21
1
f p
f
C
C
E.5
