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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL ESCOLA DE ENGENHARIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL PROJETO DE LAJES MACIÇAS DE CONCRETO ARMADO AMÉRICO CAMPOS FILHO 2014

PROJETO DE LAJES MACIÇAS DE CONCRETO ARMADO

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Page 1: PROJETO DE LAJES MACIÇAS DE CONCRETO ARMADO

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL

ESCOLA DE ENGENHARIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL

PROJETO DE LAJES MACIÇAS DE CONCRETO ARMADO

AMÉRICO CAMPOS FILHO

2014

Page 2: PROJETO DE LAJES MACIÇAS DE CONCRETO ARMADO

SUMÁRIO

1 – Introdução............................................................................................................................. 1

1.1 – Generalidades ................................................................................................................... 1

1.2 – Classificação das lajes quanto à relação entre os lados .................................................... 1

1.3 – Vinculação ........................................................................................................................ 2

1.4 – Vãos efetivos de lajes ....................................................................................................... 5

1.5 – Cargas nas lajes ................................................................................................................. 6

1.6 – Determinação da espessura das lajes ................................................................................ 7

1.7 – Cálculo das solicitações..................................................................................................... 12

1.8 – Dimensionamento das armaduras ..................................................................................... 13

2 – Lajes armadas em uma só direção ....................................................................................... 16

2.1 - Lajes armadas em uma só direção com cargas lineares paralelas ao vão .......................... 21

2.2 – Lajes armadas em uma só direção com cargas lineares perpendiculares ao vão .............. 22

2.3 – Exemplo de laje armada em uma só direção com carga linear paralela ao vão ................ 22

3 – Lajes armadas em duas direções .......................................................................................... 27

3.1 – Solicitações conforme o regime elástico .......................................................................... 27

3.2 – Solicitações conforme o regime rígido plástico ................................................................ 27

3.3 – Dimensionamento e detalhamento das armaduras ............................................................ 32

3.4 – Reações de apoio .............................................................................................. 33

3.5 – Exemplo de laje submetida a cargas superficiais ............................................................. 35

3.6 – Exemplo de laje submetida a carga linear além das cargas superficiais ........................... 37

4 – Programa para o projeto de lajes retangulares maciças de concreto armado ...................... 42

Anexo – Aço destinado a armaduras para estruturas de concreto armado (NBR7480:2007) ... 43

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1 - Introdução

1.1 - Generalidades

As lajes são elementos estruturais laminares planos, solicitados predominantemente

por cargas normais ao seu plano médio. Elas constituem os pisos dos edifícios correntes de

concreto armado. Nas estruturas laminares planas, predominam duas dimensões,

comprimento e largura, sobre a terceira que é a espessura. De mesma forma, que as vigas

são representadas pelos seus eixos, as lajes são representadas pelo seu plano médio. As

lajes são diferenciadas pela sua forma, vinculação e relação entre os lados. Geralmente, nas

estruturas correntes, as lajes são retangulares, mas podem ter forma trapezoidal ou em L.

1.2 - Classificação das lajes quanto à relação entre os lados

As lajes retangulares são classificadas como:

lajes armadas em uma só direção: são aquelas em que a relação entre o maior e o

menor vão é maior que 2.

lajes armadas em duas direções ou armadas em cruz: em caso contrário.

laje armada em uma só direção laje armada em duas direções

onde, a é o vão menor e b é o vão maior

b

a

b/a > 2

b

a

1 < b/a < 2

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2

Em função da vinculação das bordas da laje, a classificação acima apresenta

exceções. Se a laje for suportada continuamente somente ao longo de duas bordas paralelas

(as outras duas forem livres) ou quando tiver três bordas livres (laje em balanço), ela será

também armada em uma só direção, independentemente da relação entre os lados.

1.3 - Vinculação

As bordas das lajes podem apresentar os seguintes tipos de vinculação:

apoiada: quando a borda da laje é continuamente suportada por vigas, paredes de

alvenaria de tijolos cerâmicos, de blocos de concreto ou de pedras.

livre: quando a borda da laje não tiver nenhuma vinculação ao longo daquele lado.

engastada: quando a borda da laje tem continuidade além do apoio correspondente

daquele lado (laje adjacente).

Exemplo:

engaste

ap

oio

ap

oio

ap

oio

en

ga

ste e

ng

aste

en

ga

ste

livre

livre

livre

livre

livre livre

livre

livre

livre

CORTE A-A:

CORTE B-B:

B

B

A A

engaste

livre

ap

oio

ap

oio

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Observações sobre a continuidade das bordas das lajes:

Uma laje não deve ser considerada engastada em outra que tenha uma espessura

mais do que 2 cm inferior.

Toda a laje que tiver um lado adjacente a uma laje rebaixada tem este lado apoiado;

toda a laje rebaixada deve ser considerada apoiada (salvo se tiver outros três lados livres).

Quando em um lado da laje ocorrerem duas situações de vínculo (apoiado e

engastado), a favor da segurança considera-se todo o lado apoiado; se o engaste for

superior a 85% do comprimento do lado, pode-se considerar como engastado.

> 2 cm

apoio

engaste

< 2 cm

engasteengaste

apoio

apoio apoio

apoio

engaste

apoio

exceção: laje em balanço

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4

Exemplo:

Observação:

Normalmente, quando se inicia o cálculo das lajes, não são conhecidas as

espessuras; deve-se, então, considerar inicialmente engastados todos os lados que são

adjacentes a outras lajes não rebaixadas. Somente após a primeira hipótese de vinculação é

que será possível determinar as espessuras das lajes e refazer a vinculação, quando a

espessura for maior que 2 cm.

4,00 2,00 4,00

4,0

02

,50

2,00 4,00

6,5

01

,50

L1

h=10

L2

h=8

L3

h=11

L4

h=8

L5

h=8

L6

h=12lajes rebaixadas

2,00

4,0

0

L1

4,0

0

2,00

L2 L3

4,00

6,5

0

L4

2,5

0

L5

4,00

4,00

2,5

0

L6

4,00

1,5

0

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5

1.4 - Vãos efetivos de lajes

Conforme o item 14.7.2.2 da NBR6118:2014, quando os apoios puderem ser

considerados suficientemente rígidos quanto à translação vertical, o vão efetivo deve ser

calculado pela seguinte expressão:

ef = 0 + a1 + a2

com a1 igual ao menor valor entre (t1/2 e 0,3h) e a2 igual ao menor valor entre (t2/2 e 0,3h),

conforme a figura abaixo.

Nas lajes em balanço, o vão efetivo é o comprimento da extremidade até o centro

do apoio, não sendo necessário considerar valores superiores ao comprimento livre

acrescido de trinta por cento da espessura da laje junto ao apoio.

h

t

mín(t/2 ; 0,3h)

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6

1.5 - Cargas nas lajes

Em lajes o carregamento, em geral, é considerado como uniformemente distribuído:

p (kN/m2), onde:

p = g + q

onde:

g – é a parcela permanente das cargas que atuam sobre a laje (peso próprio, revestimento,

reboco, etc.);

q – é a parcela variável das cargas que atuam sobre a laje (peso das pessoas, móveis,

equipamentos, etc.).

Os valores das cargas a serem considerados no cálculo de estruturas de edificações

são indicados na NBR6120:1980.

Para edifícios residenciais, os valores mais usuais de cargas são:

- peso específico do concreto armado = 25 kN/m3

- peso específico do concreto simples = 24 kN/m3

- enchimento de lajes rebaixadas = 14 kN/m3

- reboco (1cm) = 0,2 kN/m2

- revestimento de tacos ou tabuões de madeira = 0,7 kN/m2

- revestimento de material cerâmico = 0,85 kN/m2

- forro falso = 0,5 kN/m2

- carga variável em salas, dormitórios, cozinhas, banheiros = 1,5 kN/m2

- carga variável em despensa, lavanderia, área de serviço = 2,0 kN/m2

- carga variável em corredores, escadas em edifícios:

não residenciais = 3,0 kN/m2

residenciais = 2,5 kN/m2

- sacada: mesma carga da peça com a qual se comunica.

- carga variável linear nas bordas livres das lajes de 2 kN/m (vertical) e 0,8 kN/m na altura

do corrimão (horizontal)

Exemplos:

* laje de 10cm de espessura de uma sala de estar:

peso próprio - 0,10 x 25 = 2,5 kN/m2

revestimento (tacos) = 0,7 kN/m2

reboco = 0,2 kN/m2

q (carga variável) = 1,5 kN/m2

4,9 kN/m2

* laje de uma área de serviço, rebaixada de

20cm, com 15 cm de enchimento; espessura de 8

cm:

peso próprio - 0,08 x 25 = 2,0 kN/m2

enchimento - 0,15 x 14 = 2,1 kN/m2

revestimento (cerâmico) = 0,85kN/m2

reboco = 0,2 kN/m2

q (carga variável) = 2,0 kN/m2

7,15kN/m2

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Além da carga superficial, é comum ocorrer cargas lineares, correspondentes a

paredes de alvenaria executadas sobre a laje.

A carga linear é obtida a partir do peso específico da alvenaria (13 kN/m3- tijolos

furados; 18kN/m3

- tijolos maciços), da espessura da parede e de sua altura.

Exemplo:

p = 0,15 x 2,60 x 13 = 5,1 kN/m

1.6 - Determinação da espessura das lajes

Conforme o item 13.2.4.1 (NBR 6118:2014), nas lajes maciças de concreto armado

devem ser respeitados os seguintes limites mínimos para a espessura:

a) 7 cm para lajes de cobertura não em balanço;

b) 8 cm para lajes de piso não em balanço;

c) 10 cm para lajes em balanço;

d) 10 cm para lajes que suportem veículos de peso total menor ou igual a 30 kN;

d) 12 cm para lajes que suportem veículos de peso total maior que 30 kN.

No dimensionamento das lajes em balanço, os esforços solicitantes de cálculo a

serem considerados devem ser multiplicados por um coeficiente adicional γn, de acordo

com o indicado na tabela abaixo.

Tabela - Valores do coeficiente adicional γn para lajes em balanço

h cm

> 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10

n 1,00 1,05 1,10 1,15 1,20 1,25 1,30 1,35 1,40 1,45

Onde:

n = 1,95 – 0,05 h;

h é a altura da laje em cm.

NOTA: O coeficiente n deve majorar os esforços solicitantes finais de cálculo nas lajes em balanço, quando do seu dimensionamento.

As lajes devem ter uma espessura tal que atendam a verificação do estado limite de

serviço de deformações excessivas. Desta forma, sugere-se o seguinte procedimento para

determinar a espessura de uma laje, que esteja submetida exclusivamente a cargas

uniformemente distribuídas:

(a) arbitrar a espessura da laje como sendo o valor mínimo;

(b) fazer a composição de cargas para a laje, determinando os valores da carga permanente

e variável;

(c) determinar o valor da carga de serviço, correspondente à combinação quase

permanente de serviço:

pd,ser = gi,k + 2j qj,k

(d) como a armadura a ser colocada na laje não é conhecida ainda, não é possível

determinar a sua rigidez. O momento de inércia da seção, Ieq, pode ser estimado da

seguinte forma:

se ma mr Ieq = Ic

se ma > mr Ieq = 0,30 Ic

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Ic é o momento de inércia da seção bruta de concreto;

ma é o momento fletor na seção crítica, momento máximo no vão para lajes biapoiadas

ou contínuas e momento no apoio para lajes em balanço, para a combinação quase

permanente de serviço;

mr é o momento de fissuração da laje, calculado por:

mr = 0,25 fctm b h2

onde o valor de fctm é obtido das seguintes expressões:

- para concretos de classes até C50:

fctm = 0,3 fck2/3

- para concretos de classes de C55 até C90:

fctm = 2,12 ln (1+0,11 fck)

onde fctm e fck são expressos em MPa.

A flecha imediata deve ser calculada utilizando o módulo de elasticidade secante do

concreto:

Ecs = i . Eci

sendo:

0,180

f2,08,0 ck

i

e onde, Eci é o módulo de deformação tangente inicial, que pode ser calculado pelas

expressões:

Eci = E . 5600 fck1/2

, para fck de 20 MPa a 50 MPa

Eci = 21,5.103 . E (fck/10 + 1,25)

1/3, para fck de 55 MPa a 90 MPa

sendo:

E = 1,2 para basalto e diabásio

E = 1,0 para granito e gnaisse

E = 0,9 para calcário

E = 0,7 para arenito

onde, Eci e fck são dados em MPa.

A expressão para cálculo da flecha imediata é a seguinte:

IE

p0)f(t

eqcs

4

serd,

onde:

– é um coeficiente que depende da vinculação e da relação entre os vãos da laje

(tabelas seguintes);

- é o vão menor da laje.

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Tabela – Valores de para lajes armadas em uma direção

1,30

0,53

0,26

12,5

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Tabela – Valores de para lajes armadas em duas direções

a/b 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

0,99 0,85 0,71 0,59 0,48 0,40

0,25 0,23 0,21 0,18 0,15 0,13

0,46 0,41 0,36 0,30 0,25 0,21

0,83 0,63 0,48 0,35 0,26 0,19

0,25 0,25 0,24 0,23 0,21 0,19

0,91 0,73 0,58 0,46 0,35 0,28

0,48 0,44 0,41 0,36 0,31 0,28

0,24 0,24 0,23 0,20 0,18 0,16

0,44 0,38 0,32 0,25 0,20 0,16

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

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11

(e) calcular a flecha de longa duração, levando em conta as deformações por fluência do

concreto:

f(t=) = (1+f) f(t=0)

Considerando, que as lajes não têm armadura de compressão e, a favor da segurança,

tomando-se t= e t0=1 mês, tem-se:

1,32 0,68-2 1mês)t()(t 0f

(f) comparar o valor da flecha de longa duração com o valor da flecha admissível; se a

flecha de longa duração for superior à flecha admissível, deve-se incrementar a

espessura da laje em 1 cm e voltar ao passo (b); em caso contrário, adota-se a espessura

corrente para a laje.

Exemplo de determinação de espessura de uma laje:

A laje, da figura abaixo, corresponde a um dormitório e apresenta revestimento de

tacos de madeira na face superior e reboco de 1cm de espessura na face inferior. A laje será

executada para um concreto C20 e o agregado graúdo será de granito.

- arbitra-se, inicialmente, que a espessura h=8 cm (valor mínimo);

- calcula-se a carga permanente, que atua na laje:

peso próprio - 0,08 x 25 = 2,0 kN/m2

revestimento (tacos) = 0,7 kN/m2

reboco = 0,2 kN/m2

g = 2,9 kN/m2

- a carga variável a ser considerada é de 1,5 kN/m2;

- a carga de serviço, correspondente a combinação quase permanente é de:

pd,ser = gi,k + 2j qj,k = 2,9 + 0,3 x 1,5 = 3,35 kN/m2

- o módulo de elasticidade secante do concreto é de:

0,185,080

022,08,0

80

f2,08,0 ck

i

Ecs = i . E 5600 fck1/2

= 0,85 x 1 x 5600 (20)1/2

= 21287 MPa

a=4m

b=5m

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- o valor médio da resistência à tração do concreto:

fctm = 0,3 fck2/3

= 0,3 (20)2/3

= 2,21 MPa

- o momento de fissuração:

mr = 0,25 fctm b h2 = 0,25 x 0,221 x 100 x 8

2 = 354 kN.cm/m = 3,54 kN.m/m

- o momento de serviço:

ma = 0,039 pd,ser 2 = 0,039 x 3,35 x 4

2 = 2,09 kN.m/m

como ma<mr, a seção não está fissurada e deve-se considerar Ieq = Ic.

- o valor correspondente ao momento de inércia da seção bruta de concreto:

Ieq = Ic = b h3/12 = 100 x 8

3/12 = 4267 cm

4

- a flecha de curta duração é dada por (para a/b=0,8, =0,30):

cm0,28372128,7x426

000,000335x40,30

IE

p0)f(t

4

eqcs

4

serd,

- a flecha de longa duração é dada por:

f(t=) = (1+f) f(t=0) = 2,32 x 0,283 = 0,657cm

- a flecha admissível, para a situação de aceitabilidade visual (deslocamentos visíveis

em elementos estruturais), é:

fadm = /250 = 400/250 = 1,60 cm

Como a flecha provável é inferior à flecha admissível, pode-se adotar para a laje a

espessura de 8 cm.

1.7 - Cálculo das solicitações

As lajes podem ser calculadas como placas em regime elástico ou em regime

rígido-plástico. Considerar o concreto armado um material elástico é uma boa aproximação

para o comportamento das lajes submetidas a cargas de serviço (verificação de estados

limites de serviço). Considerar o concreto armado um material rígido-plástico é uma boa

aproximação para o comportamento das lajes na ruptura (verificação de estados limites

últimos).

Para garantir condições apropriadas de dutilidade, quando as solicitações forem

determinadas no estado limite último através do regime rígido-plástico, a posição da linha

neutra deve ficar limitada em:

MPa50fse25,0dxck

MPa50fse15,0dxck

No estado limite último, para lajes retangulares, deve ser adotada uma razão

mínima de 1,5:1 entre momentos de borda e momentos no vão.

Em lajes de estruturas de edifícios correntes, as cargas atuantes são relativamente

baixas e não é necessária a verificação das tensões devidas às forças cortantes e nem o

dimensionamento de armadura transversal.

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13

1.8 – Dimensionamento das armaduras

O dimensionamento das armaduras das lajes deve ser feito para uma seção

retangular de largura b = 100 cm e altura útil d = h – c – 0,5cm.

Conforme a classe de agressividade ambiental, que a laje se encontra exposta, o

cobrimento da armadura é dado pela tabela seguinte:

classe de agressividade ambiental I II III IV

cobrimento nominal (mm) 20 25 35 45

Para a face superior das lajes, que serão revestidas com argamassa de contrapiso,

com revestimentos finais secos tipo carpete e madeira, com argamassa de revestimento e

acabamento tais como pisos de elevado desempenho, pisos cerâmicos, pisos asfálticos, e

outros tantos, as exigências desta tabela podem ser substituídas por um cobrimento

nominal de 15 mm, não podendo ser inferior ao diâmetro das barras de armadura.

O dimensionamento da armadura à flexão simples deve ser feito pelas seguintes

expressões (armadura simples):

2

cdc

d

dbf

m211

dx

f

xbfA

yd

cdc

s

onde o valor do parâmetro λ pode ser tomado igual a:

λ = 0,8 para fck ≤ 50 MPa; ou

λ = 0,8 – (fck - 50)/400 para fck > 50 MPa

e αc é definido como:

- para concretos de classes até C50: αc = 0,85

- para concretos de classes de C55 até C90: αc = 0,85 [1,0 - (fck - 50) / 200]

Esta armadura deve atender os valores mínimos indicados na tabela abaixo.

Tabela - Valores mínimos para armaduras em lajes de concreto armado

Armadura

Armaduras

negativas

Armaduras

negativas de bordas

sem continuidade

Armaduras

positivas de lajes

armadas nas duas direções

Armadura positiva

(principal) de lajes

armadas em uma direção

Armadura de

distribuição nas

lajes armadas em uma direção

Valores mínimos

para armaduras

s min

s 0,67min

s 0,67min

s min

s/s 20 % da

armadura principal

s 0,5 min

s/s 0,9cm2/m

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14

A armadura mínima deve ser determinada pelo dimensionamento da seção a um

momento fletor mínimo dado pela expressão a seguir, respeitada a taxa mínima absoluta de

0,15%:

Md,mín = 0,8 W0 fctk,sup

onde:

W0 é o módulo de resistência da seção transversal bruta de concreto, relativo à fibra mais

tracionada;

fctk,sup é a resistência característica superior do concreto à tração, conforme o item 8.2.5 da

NBR6118:2014:

fctk,sup = 1,3 fctm

- para concretos de classes até C50:

fctm = 0,3 fck2/3

- para concretos de classes de C55 até C90:

fctm = 2,12 ln (1+0,11 fck)

onde fctm e fck são expressos em MPa.

Alternativamente, a armadura mínima pode ser considerada atendida se forem respeitadas

as taxas mínimas de armadura da abaixo.

Tabela - Taxas mínimas de armadura de flexão

Forma da seção

Valores de mín 1) (As,mín/Ac)

%

20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90

Retangular 0,150 0,150 0,150 0,164 0,179 0,194 0,208 0,211 0,219 0,226 0,233 0,239 0,245 0,251 0,256

1) Os valores de mín estabelecidos nesta tabela pressupõem o uso de aço CA-50, d/h = 0,8, c = 1,4 e s = 1,15. Caso esses fatores sejam

diferentes, mín deve ser recalculado.

A NBR-6118:2014 (item 20.1) apresenta, ainda, as seguintes prescrições gerais

relativas às armaduras das lajes:

As armaduras devem ser detalhadas no projeto de forma que durante a execução

seja garantido o seu posicionamento durante a concretagem.

Qualquer barra da armadura de flexão deve ter diâmetro no máximo igual a h/8.

As barras da armadura principal de flexão devem apresentar espaçamento no

máximo igual a 2h ou 20 cm.

Nas lajes maciças armadas em uma ou em duas direções, toda a armadura positiva deve ser

levada até os apoios, não se permitindo escalonamento desta armadura. A armadura deve ser

prolongada no mínimo 4 cm além do eixo teórico do apoio.

A armadura de distribuição, nas lajes armadas em uma só direção, deve ser igual ou

superior a 20% da armadura principal, mantendo-se, ainda, um espaçamento entre

barras de no máximo 33 cm.

Page 17: PROJETO DE LAJES MACIÇAS DE CONCRETO ARMADO

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15

Recomendam-se os seguintes critérios para a escolha da bitola e do espaçamento

das armaduras das lajes:

- para a armadura negativa (colocada junto à face superior da laje):

diâmetro mínimo: 5

espaçamento: entre 15 e 20cm

- para a armadura positiva (colocada na face inferior da laje):

diâmetro mínimo: 4,2

espaçamento: entre 10 e 15cm

Tabela – Áreas de armadura por unidade de comprimento (cm2/m),

para diferentes bitolas e espaçamentos

10cm 11cm 12cm 13cm 14cm 15cm 16cm 17cm 18cm 19cm 20cm 21cm 22cm 23cm 24cm 25cm

4,2 1,39 1,26 1,16 1,07 0,99 0,93 0,87 0,82 0,77 0,73 0,70 0,66 0,63 0,60 0,58 0,56

4,6 1,66 1,51 1,38 1,28 1,19 1,11 1,04 0,98 0,92 0,87 0,83 0,79 0,75 0,72 0,69 0,66

1,96 1,78 1,63 1,51 1,40 1,31 1,23 1,15 1,09 1,03 0,98 0,93 0,89 0,85 0,82 0,78

5,5 2,38 2,16 1,98 1,83 1,70 1,59 1,49 1,40 1,32 1,25 1,19 1,13 1,08 1,03 0,99 0,95

6 2,83 2,57 2,36 2,18 2,02 1,89 1,77 1,66 1,57 1,49 1,42 1,35 1,29 1,23 1,18 1,13

3,12 2,84 2,60 2,40 2,23 2,08 1,95 1,84 1,73 1,64 1,56 1,49 1,42 1,36 1,30 1,25

4 3,22 2,93 2,68 2,48 2,30 2,15 2,01 1,89 1,79 1,69 1,61 1,53 1,46 1,40 1,34 1,29

3,85 3,50 3,21 2,96 2,75 2,57 2,41 2,26 2,14 2,03 1,93 1,83 1,75 1,67 1,60 1,54

5,03 4,57 4,19 3,87 3,59 3,35 3,14 2,96 2,79 2,65 2,52 2,40 2,29 2,19 2,10 2,01

7,09 6,45 5,91 5,45 5,06 4,73 4,43 4,17 3,94 3,73 3,55 3,38 3,22 3,08 2,95 2,84

10 7,85 7,14 6,54 6,04 5,61 5,23 4,91 4,62 4,36 4,13 3,93 3,74 3,57 3,41 3,27 3,14

12,5 12,27 11,15 10,23 9,44 8,76 8,18 7,67 7,22 6,82 6,46 6,14 5,84 5,58 5,33 5,11 4,91

Page 18: PROJETO DE LAJES MACIÇAS DE CONCRETO ARMADO

Departamento de Engenharia Civil - DECIV/UFRGS

16

2 - Lajes armadas em uma só direção

As lajes armadas em uma só direção são dimensionadas como se fossem vigas. A

vinculação é definida segundo o vão menor “a”.

Nas lajes armadas em uma só direção, podem ocorrer os seguintes esquemas

estruturais:

vinculação regime elástico regime rígido-plástico

mV = p2/8

r = p/2

mV = p2/8

r = p/2

mE = -p2/8

mV = 9p2/128

rE = p/2 + |ME|/

rA = p/2 - |ME|/

mE = -p2/8,88

mV = p2/13,32

rE = p/2 + |ME|/

rA = p/2 - |ME|/

mE = -p2/12

mV = p2/24

r = p/2

mE = -3p2/40

mV = p2/20

r = p/2

mE = -p2/2

r = p

mE = -p2/2

r = p

p

p

p

p

Page 19: PROJETO DE LAJES MACIÇAS DE CONCRETO ARMADO

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17

Exemplo:

* Seja uma laje em balanço, com vão efetivo de 1,50m, correspondente a uma sacada, que

está rebaixada de 20cm, e recebe um enchimento de 15cm além do revestimento cerâmico

e um reboco de 1cm. Considerar concreto C20 (agregado graúdo de granito) e aço CA-50.

São três os carregamentos atuantes sobre a laje em balanço:

(a) carga permanente uniformemente distribuída:

peso próprio:

enchimento – 0,15m x 14 kN/m3:

revestimento cerâmico:

reboco:

h x 25 kN/m3

2,1 kN/m2

0,85kN/m2

0,2 kN/m2

g = 3,15kN/m2 + h x 25kN/m

3

(b) carga variável uniformemente distribuída: q = 1,5 kN/m2

(c) carga variável linear na borda livre da laje:

QV = 2 kN/m

QH = 0,8 kN/m

Para o projeto desta laje, devem ser consideradas combinações últimas e de serviço:

- combinações últimas:

n

2jkQj,0jkQ1,q

m

1ikGi,gd FFFF

- combinação quase-permanente de serviço:

n

jkQj,2j

m

1ikGi,d FFF

1

Conforme a norma brasileira, g = q = f = 1,4 e, para edifícios residenciais, =0,5

e =0,3.

pQV

QH

1m

Page 20: PROJETO DE LAJES MACIÇAS DE CONCRETO ARMADO

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18

Para a determinação da espessura da laje, é necessária a verificação do estado limite

de deformações excessivas. Arbitra-se, inicialmente, que a espessura da laje é de 10 cm.

- as cargas de serviço são:

pd,ser = g + 0,3 q = 0,10m x 25kN/m3 + 3,15kN/m

2 + 0,3 x 1,5kN/m

2 = 6,10kN/m

2

PdV,ser = 0,3 x 2kN/m = 0,6 kN/m

PdH,ser = 0,3 x 0,8 kN/m = 0,24 kN/m

- o módulo de elasticidade secante do concreto é de:

0,185,080

022,08,0

80

f2,08,0 ck

i

Ecs = i . E 5600 fck1/2

= 0,85 x 1 x 5600 (20)1/2

= 21287 MPa

- o valor médio da resistência à tração do concreto:

fctm = 0,3 fck2/3

= 0,3 (20)2/3

= 2,21 MPa

- o momento de fissuração:

mr = 0,25 fctm b h2 = 0,25 x 0,221 x 100 x 10

2 = 559 kN.cm/m = 5,59 kN.m/m

- o momento de serviço:

kN.m/m00,81x0,241,5x0,62

1,5 x 6,10(1m)PP

2

pm

2

serdH,serdV,

2

serd,

a

como ma>mr , a seção está fissurada e deve-se considerar Ieq = 0,30 Ic.

- o valor correspondente ao momento de inércia equivalente da seção:

Ieq = 0,30 Ic = 0,30 b h3/12 = 0,30 x 100 x 10

3/12 = 2500 cm

4

- a flecha de curta duração é dada por:

2/100

(1m)P

3/100

P

8/100

p

IE

10)f(t

2serdH,

3serdV,

4serd,

eqcs

cm90,02/100

150x0,0024x100

3/100

1500,006x

8/100

1500,00061x

2500 x 2128,7

10)f(t

234

- a flecha de longa duração é dada por:

f(t=) = (1+f) f(t=0) = 2,32 x 0,90 = 2,09cm

- conforme a norma, quando se tratar de balanços, o vão equivalente a ser considerado

deve ser o dobro do comprimento do balanço; a flecha admissível, para a situação de

aceitabilidade visual (deslocamentos visíveis em elementos estruturais), será então:

fadm = /250 = (2x150)/250 = 1,20 cm

Desta forma, como a flecha provável é maior do que a flecha admissível, torna-se

necessário o aumento da espessura da laje, com verificações sucessivas do estado limite de

deformações excessivas. Estas verificações estão resumidas na tabela abaixo.

Page 21: PROJETO DE LAJES MACIÇAS DE CONCRETO ARMADO

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19

Tabela – Verificação do estado limite de deformações excessivas

h

(cm)

pd,ser

(kN/m2)

mr

(kN.m/m)

ma

(kN.m/m)

Ieq

(cm4)

f(t=0)

(cm) f(t=)

(cm)

10 6,10 5,59 8,00 2500 0,90 2,09

11 6,35 6,69 8,28 3328 0,70 1,63

12 6,60 7,96 8,57 4320 0,56 1,29

13 6,85 9,34 8,85 18308 0,12 0,27

Assim, a menor espessura da laje, que atende o estado limite de deformações

excessivas é de h=13cm. Para esta espessura, a flecha provável de 0,27 cm é inferior a

flecha admissível de 1,20 cm.

Para o dimensionamento da armadura, no estado limite último, devem se

consideradas duas combinações últimas de carga: a primeira tem a carga variável

distribuída como ação variável principal e a segunda tem o carregamento linear da borda

livre da laje como ação variável principal.

- a carga distribuída q é a ação variável principal:

g = 3,15 + 0,13 x 25 = 6,40 kN/m2

p = 6,40 + 1,50 = 7,90 kN/m2

PV = 0,5 x 2,0 = 1,0 kN/m

PH = 0,5 x 0,8 = 0,4 kN/m

kN.m/m79,011x0,41,5x0,12

1,5 x 7,90(1m)PP

2

pm

2

HV

2

- o carregamento linear de borda (QV, QH) é a ação variável principal:

g = 3,15 + 0,13 x 25 = 6,40 kN/m2

p = 6,40 + 0,5 x 1,50 = 7,15 kN/m2

PV = 2,0 kN/m

PH = 0,8 kN/m

kN.m/m84,111x0,81,5x0,22

1,5 x 7,15(1m)PP

2

pm

2

HV

2

O esforço normal n=PH é pequeno, frente ao momento fletor, e pode ser desprezado

para o dimensionamento da armadura. Deste modo, a armadura deve ser calculada para o

momento de 11,84 kN.m/m. Conforme a NBR6118:2014, no dimensionamento das lajes

em balanço, os esforços solicitantes de cálculo devem ser multiplicados por um coeficiente

adicional γn = 1,95 – 0,05 h = 1,30, considerando que a espessura da laje é de 13 cm.

Page 22: PROJETO DE LAJES MACIÇAS DE CONCRETO ARMADO

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20

- dimensionamento à flexão simples:

m = 1184 kN.cm/m

fck = 20 MPa

b = 100 cm

h = 13 cm

d = h – c – 0,5cm = 13 – 1,5 – 0,5 = 11 cm

cm19,2x100x110,85x2/1,4

x1,4x11841,30x211

8,0

11

dbf

m211

dx

22

cdc

n d

(x/d = 2,19/11 = 0,20 < 0,25 OK.)

/mcm89,415,1/50

19,2x100x4,1/2x8,0x85,0

f

xbfA

2

yd

cdc

S

- armadura mínima:

ASmín = 0,15% bh = 0,15 x 13 = 1,95 cm2/m < AS

armadura adotada: 10 c/16 cm

- armadura de distribuição:

m/cm9,0

m/cm98,02

95,1

2

A

m/cm98,05

89,4

5

A

A

2

2Smín

2Sprinc

Sdistr

ASdistr 4,2 c/14cm ou 5 c/20cm

10 c/16 cm

4,2 c/14 cm

ou

5 c/20 cm

Page 23: PROJETO DE LAJES MACIÇAS DE CONCRETO ARMADO

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21

2.1 - Lajes armadas em uma só direção com cargas lineares paralelas ao vão

A nova versão da NBR6118:2014 não traz recomendações específicas para o

cálculo de lajes armadas em uma só direção submetidas a cargas lineares. Por esta razão,

recomenda-se, ainda, o emprego das recomendações constantes na versão anterior da

norma.

Conforme a NBR6118:1980, as cargas se distribuem a 45o até o plano médio da laje

e se pode calcular a laje armada em uma só direção como uma viga de largura bw, onde:

bw = b +

sendo dado por:

(a) para momentos fletores positivos:

21

1 1. ..

a a b

(b) para momentos fletores negativos:

a a b1 121

. ..

(c) para momentos fletores em lajes de balanço:

15 11, . .a

b

onde a1 é a distância do centro da carga ao apoio para cujo lado está a seção que se estuda.

Para se adotar estes valores de bw, deve-se cumprir que:

(I) bw B

(II) bw 2 C

(III) s

A

b

b0,81

s

A Sprinc

w

Sdistr

Esta armadura de distribuição deverá se estender sobre toda a largura bw, acrescida de um

comprimento de 50 para cada lado de bw (comprimento de ancoragem).

a

b = a + h

h45o 45o

B

C

bw

Page 24: PROJETO DE LAJES MACIÇAS DE CONCRETO ARMADO

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22

2.2 - Lajes armadas em uma só direção com cargas lineares perpendiculares ao vão

Para o dimensionamento de lajes armadas em uma só direção, submetidas a cargas

lineares na direção perpendicular ao vão, deve-se determinar a solução do problema

específico, utilizando o método das rótulas plásticas (regime rígido-plástico).

2.3 – Exemplo de laje armada em uma só direção com carga linear paralela ao vão

Seja uma laje armada em uma só direção, que recebe uma parede de 12 cm de

espessura e 2,60 m de altura (alvenaria com 13kN/m3 de peso específico). Considerar o

concreto C20 (agregado graúdo de granito) e o aço CA-50.

Arbitra-se, inicialmente, que h = hmín = 8 cm.

- cálculo da largura de influência da parede (vão):

cm1402

280

2a1

b = a + h = 12 + 8 = 20 cm

bw = b +

cm130

280

201

280

140)2x140(280b1.

a.2.a 11V

bw,V = 20 + 130 = 150 cm

Pp

2,8

0m

p

bw

Page 25: PROJETO DE LAJES MACIÇAS DE CONCRETO ARMADO

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23

- composição de cargas:

peso próprio – 0,08m x 25kN/m3:

revestimento (tacos):

reboco:

parede: 0,12mx2,60mx13kN/m3/1,50m:

2,0 kN/m2

0,7 kN/m2

0,2 kN/m2

2,7 kN/m2

g = 5,6 kN/m2

carga variável:

q = 1,5 kN/m2

- carga de serviço:

pd,ser = g + 2 q = 5,6 + 0,3x1,5 = 6,05kN/m2

- momentos da seção crítica e de fissuração:

(elástico)kN.m/m3,34128

2,8 x 6,05x9

128

p9m

22

serd,

a

fctm = 0,3 fck2/3

= 0,3 (20)2/3

= 2,21 MPa

mr = 0,25 fctm b h2 = 0,25 x 0,221 x 100 x 8

2 = 354 kN.cm/m = 3,54 kN.m/m

como ma<mr , a seção não está fissurada e deve-se considerar-se Ieq = Ic.

- flecha imediata:

Ecs = i x E x 5600 fck1/2

= 0,85 x 1 x 5600 (20)1/2

= 21287 MPa

Ieq = Ic = b h3/12 = 100 x 8

3/12 = 4267 cm

4

cm0,2174267x2128,7

280x0,0006050,53

IE

p0,530)f(t

4

eqcs

4

serd,

- flecha provável:

f(t=) = (1+f) f(t=0) = 2,32 x 0,217 = 0,503cm

- flecha admissível:

fadm = /250 = 280/250 = 1,12 cm

Assim, como a flecha provável é menor do que a flecha admissível, a espessura

adotada é suficiente.

Conforme as exigências da NBR6118:2014, relativas aos cobrimentos das

armaduras, admitir-se-á como altura útil da laje, no vão, d=5,5cm e, no engaste, d=6cm.

Page 26: PROJETO DE LAJES MACIÇAS DE CONCRETO ARMADO

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24

- largura de influência da parede:

cm1402

280

2a1

b = a + h = 12 + 8 = 20 cm

bw = b +

cm130

280

201

280

140)2x140(280b1.

a.2.a 11V

cm195

280

201

280

140)140(2x280b1.

a.a 11E

2

bw,V = 20 + 130 = 150 cm

bw,E = 20 + 195 = 215 cm

- Trecho fora da faixa de largura bw:

peso próprio – 0,08 x 25 = 2,0 kN/m2

revestimento (tacos) = 0,7 kN/m2

reboco = 0,2 kN/m2

q = 1,5 kN/m2

4,40 kN/m2

kN.m/m59,232,13

80,2x40,4

32,13

pm

22

V

; kN.m/m88,38,88

4,40x2,80

8,88

pm

22

E

2

cdc

d

dbf

m211

dx

f

xbfA

yd

cdcS

m

(kN.m/m)

d

(cm)

x

(cm) x/d<0,25 AS

(cm2)

ASmín

(cm2)

vão 2,59 5,5 0,716 0,130 1,60 1,20 5c/12

engaste 3,88 6,0 0,998 0,166 2,23 1,20 c/14

Page 27: PROJETO DE LAJES MACIÇAS DE CONCRETO ARMADO

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25

armadura de distribuição (no vão):

m/cm9,0

m/cm60,02

20,1

2

A

m/cm32,05

60,1

5

A

A

2

2Smín

2Sprinc

Sdistr

adotado: 0,9 cm2/m 5 c/21

- Trecho de largura bw, onde atua a carga de parede, além da carga superficial de 4,4

kN/m2.

* no vão:

bw = 150 cm

p = 0,12m x 2,6m x 13kN/m3 = 4,06 kN/m

p’= 4,06 kN/m/1,50m = 2,71 kN/m2

kN.m/m18,413,32

2,71)x2,80(4,40

13,32

pm

22

V

b = 100 cm; d = 5,5 cm

cm1,200dbf

m211

dx

2

cdc

d

(x/d = 0,218<0,25)

/mcm1,20A/mcm2,68f

xbfA

2

Smín

2

yd

cdc

S

6,3 c/11

/mcm2,39150

0,8x20168,2A

b

b0,81A 2

Sprincw

Sdistr

2,39 cm2/m - 0,93 cm

2/m = 1,46 cm

2/m ( c/21)

* no engaste:

bw = 215 cm

p = 4,06 kN/m

p’= 4,06 kN/m/2,15m = 1,89 kN/m2

kN.m/m55,58,88

)x2,8089,1(4,40

8,88

pm

22

E

b = 100 cm; d = 6,0 cm

Page 28: PROJETO DE LAJES MACIÇAS DE CONCRETO ARMADO

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26

cm479,1dbf

m211

dx

2

cdc

d

(x/d = 0,247<0,25)

/mcm1,20A/mcm3,30f

xbfA

2

Smín

2

yd

cdc

S

c/15

- armadura negativa:

- armadura positiva:

215 cm

6

,3 c

/14

c

/15

c/1

4

150 cm

5 c

/12

c/1

1

5 c

/12

5 c/21

c/21

213 cm

Page 29: PROJETO DE LAJES MACIÇAS DE CONCRETO ARMADO

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27

3 - Lajes armadas em duas direções

3.1 – Solicitações conforme o regime elástico

Para a verificação de estados limites de serviço, deve-se considerar os momentos

fletores determinados pelo regime elástico. No caso das lajes armadas em duas direções,

estes valores podem ser calculados pela expressão:

m = p 2

onde é o vão menor da laje e p é a carga superficial atuante na laje. O valor de deve ser

retirado de uma tabela, em função da relação entre os vãos e da vinculação da laje.

3.2 – Solicitações conforme o regime rígido plástico

Para o dimensionamento da armadura das lajes, no estado limite último, devem ser

empregados os momentos fletores determinados considerando-se o regime rígido-plástico.

O método que utiliza este regime para o cálculo dos momentos das lajes é conhecido por

método das linhas de ruptura.

Conforme este método, em uma laje retangular, engastada nas quatro bordas, vão

aparecer momentos fletores negativos nos engastes, dados por:

m’ = - i . m

onde i é o grau de engastamento e m é o momento do vão.

Page 30: PROJETO DE LAJES MACIÇAS DE CONCRETO ARMADO

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28

Tabela – Valores de para lajes armadas em duas direções (regime elástico)

a/b 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

ma 0,099 0,086 0,073 0,061 0,051 0,042

mb 0,032 0,037 0,040 0,042 0,043 0,042

ma 0,041 0,038 0,034 0,029 0,025 0,021

mb 0,010 0,013 0,017 0,018 0,020 0,021

ma’ 0,084 0,080 0,074 0,067 0,059 0,052

mb’ 0,058 0,058 0,058 0,057 0,055 0,052

ma 0,057 0,052 0,045 0,039 0,033 0,027

mb 0,016 0,020 0,024 0,026 0,027 0,027

ma’ 0,119 0,111 0,101 0,091 0,080 0,070

mb’ 0,082 0,082 0,080 0,078 0,074 0,070

ma 0,084 0,065 0,049 0,037 0,027 0,020

mb 0,036 0,038 0,039 0,037 0,034 0,031

mb’ 0,119 0,111 0,102 0,091 0,080 0,070

ma 0,042 0,041 0,039 0,037 0,034 0,031

mb 0,008 0,010 0,013 0,016 0,018 0,020

ma’ 0,084 0,083 0,082 0,078 0,074 0,070

ma 0,091 0,075 0,060 0,048 0,037 0,030

mb 0,034 0,038 0,040 0,039 0,038 0,036

mb’ 0,122 0,117 0,110 0,102 0,093 0,084

ma 0,060 0,056 0,051 0,046 0,040 0,036

mb 0,015 0,019 0,023 0,026 0,028 0,030

ma’ 0,122 0,116 0,109 0,101 0,093 0,084

ma 0,042 0,040 0,037 0,033 0,029 0,026

mb 0,009 0,012 0,015 0,018 0,019 0,021

ma’ 0,085 0,083 0,079 0,074 0,068 0,062

mb’ 0,056 0,057 0,058 0,058 0,057 0,055

ma 0,055 0,048 0,040 0,033 0,026 0,021

mb 0,018 0,023 0,025 0,027 0,026 0,026

ma’ 0,114 0,102 0,091 0,088 0,066 0,055

mb’ 0,082 0,081 0,078 0,074 0,068 0,062

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

Page 31: PROJETO DE LAJES MACIÇAS DE CONCRETO ARMADO

Departamento de Engenharia Civil - DECIV/UFRGS

29

Chamando-se de 1, 2, 3, 4 os lados da laje, começando a numeração sempre por

uma borda de menor comprimento, os graus de engastamento serão i1, i2, i3 e i4, com

valores:

entre 0,7 e 2,0, para as bordas engastadas (a NBR6118 recomenda que i 1,5);

igual a 0, para as bordas apoiadas.

Sendo:

ma: o momento correspondente à armadura Asa, paralela ao vão “a”

mb: o momento correspondente à armadura Asb, paralela ao vão “b”

Os momentos negativos vão ser:

m1’ = - i1 . mb

m2’ = - i2 . ma

m3’ = - i3 . mb

m4’ = - i4 . ma

(a) cargas uniformemente distribuídas:

(a.1) lajes isótropas:

As lajes com 0,8 a/b 1 são consideradas lajes isótropas, isto é, ma = mb = m e

Asa = Asb. O momento no vão será calculado por:

a

b

b

a

bapm

r

r

r

r

rr

18

onde, p é a carga superficial e ar e br são os vãos reduzidos, que dependem dos graus de

engastamento i1, i2, i3, i4.

Page 32: PROJETO DE LAJES MACIÇAS DE CONCRETO ARMADO

Departamento de Engenharia Civil - DECIV/UFRGS

30

42

ri1i1

a2a

31

ri1i1

b2b

(a.2) lajes ortótropas:

As lajes com 0,5 a/b < 0,8 são consideradas lajes ortótropas, ou seja, mamb e

AsaAsb.

O coeficiente de ortotropia é definido por:

m

m

b

a

e pode ser calculado por

12

12

2 4

1 3

1 7i i

i i

a

b.

,

A laje ortótropa é calculada pelas mesmas fórmulas da isótropa, considerando-se

que o lado maior b tem um comprimento b

.

Assim,

brb

*r

a

b

b

a18

bapm

r

*r

*r

r

*rr

com

42

ri1i1

a2a

31

ri1i1

b2b

com ma = m e mb = m .

Os momentos nos engastes serão:

Page 33: PROJETO DE LAJES MACIÇAS DE CONCRETO ARMADO

Departamento de Engenharia Civil - DECIV/UFRGS

31

m1’ = - i1 . mb

m2’ = - i2 . ma

m3’ = - i3 . mb

m4’ = - i4 . ma

(b) cargas lineares:

O formulário do método das linhas de ruptura, para lajes submetidas a cargas

lineares, paralelas aos vãos “a” e “b”, sendo as cargas superficiais predominantes, é o

seguinte:

p

p b

a

.

p

p a

b

. 21p*p

42

ri1i1

a2a

31

*

ri1i1

b2.

31

21.

1b

a

b

b

a18

bapm

r

*r

*r

r

*rr

*

com ma = m e mb = m .

Este formulário foi obtido para a pior situação de posição da parede e com um

comprimento ao longo de toda laje. Pode-se usar este mesmo formulário em outras

situações a favor da segurança.

Page 34: PROJETO DE LAJES MACIÇAS DE CONCRETO ARMADO

Departamento de Engenharia Civil - DECIV/UFRGS

32

3.3 – Dimensionamento e detalhamento das armaduras

Após a determinação dos momentos nos vãos ma e mb e dos momentos nos engastes

m1’, m2’, m3’ e m4’, o dimensionamento das armaduras é feito da seguinte maneira:

(a) laje isótropa: dados: b = 100 cm; d = h – c – 0,5cm; m=ma=mb

calcular: AS = ASa = ASb

(b) laje ortótropa: dados: b = 100 cm; da = h – c – 0,5cm; m=ma

calcular: AS = ASa

dados: b = 100 cm; db = h – c – 1cm; m=mb

calcular: AS = ASb

Neste cálculo, admite-se que da difere de db de um (~5mm). Nas lajes isótropas,

usa-se um d único para se ter ASa = ASb. Sempre a armadura do menor vão deve ser

colocada por baixo da armadura do vão maior.

Conforme a NBR6118, quando houver predominância de cargas permanentes, as

lajes vizinhas podem ser consideradas como isoladas, realizando-se compatibilização dos

momentos de continuidade (negativos) de forma aproximada. A compatibilização pode ser

realizada mediante alteração dos graus de engastamento, em procedimento iterativo, até a

obtenção de valores equilibrados nas bordas. Permite-se, simplificadamente, a adoção do

maior valor de momento negativo ao invés de equilibrar os momentos de lajes diferentes

sobre uma borda comum.

Desta forma, as lajes são calculadas separadamente, mas devem ter uma armadura

única de continuidade ao longo da borda comum que foi considerada engastada. Para isto,

deve-se dimensionar a armadura para o maior entre os dois momentos de engastamento e a

menor das alturas úteis. Estas armaduras devem se estender para cada lado do eixo do

apoio de um comprimento igual a 1/4 do maior dos vãos menores das duas lajes

consideradas.

Nos apoios de borda de piso, onde a laje termina, deve ser colocada uma armadura

de contorno correspondente a uma taxa de 0,67 mín, não menor do que 5 c/20 cm (1

cm2/m), com uma extensão igual a 1/5 do vão menor da laje.

A armadura correspondente a uma laje em balanço deve se estender, na laje

adjacente, de um comprimento igual ao da laje em balanço. Quando o comprimento da laje

em balanço ultrapassar 3 m é conveniente colocar uma armadura, nas duas direções,

também na face inferior (para limitar as aberturas de fissuras devidas à retração do

concreto e dilatação térmica).

db d

a

Page 35: PROJETO DE LAJES MACIÇAS DE CONCRETO ARMADO

Departamento de Engenharia Civil - DECIV/UFRGS

33

3.4 - Reações de apoio

Para o cálculo das reações de apoio das lajes maciças retangulares, com carga

uniforme, podem ser feitas as seguintes aproximações:

a) as reações em cada apoio são as correspondentes às cargas atuantes nos triângulos ou

trapézios determinados através das charneiras plásticas correspondentes à análise efetivada.

De maneira aproximada, essas reações podem ser consideradas uniformemente distribuídas

sobre os elementos estruturais que lhes servem de apoio;

b) quando a análise plástica não for efetuada, as charneiras podem ser aproximadas por

retas inclinadas, a partir dos vértices com os seguintes ângulos:

45o entre dois apoios do mesmo tipo;

60o a partir do apoio considerado engastado, se o outro for considerado

simplesmente apoiado;

90o a partir do apoio, quando a borda vizinha for livre.

Empregando-se este último critério, os valores das reações podem ser determinados

com o auxílio da tabela da página seguinte (Vigas continuas, pórticos y placas – J. Hahn,

Editora Gustavo Gili - Barcelona – 1966).

Seja, por exemplo, a laje da figura abaixo, com a=2,5m e b=5,0m, submetida a uma

carga de 5,0 kN/m2.

b/a = 5,0/2,5 = 2,0

da tabela: vae = 0,159; var = 0,091; vbe = 0,476; vbr = 0,274

carga total da laje: 5,0 kN/m2 x 2,5 m x 5,0 m = 62,5 kN

reação na borda “a”, apoiada: 62,5 kN x 0,091 / 2,5 m = 2,28 kN/m

reação na borda “a”, engastada: 62,5 kN x 0,159 / 2,5 m = 3,98 kN/m

reação na borda “b”, apoiada: 62,5 kN x 0,274 / 5,0 m = 3,43 kN/m

reação na borda “b”, engastada: 62,5 kN x 0,476 / 5,0 m = 5,95 kN/m

45o

30o

30o

45o

b

a

Page 36: PROJETO DE LAJES MACIÇAS DE CONCRETO ARMADO

Departamento de Engenharia Civil - DECIV/UFRGS

34

Tabela – Reações de apoio em lajes armadas em duas direções

b/a 1,00 1,05 1,10 1,15 1,20 1,25 1,30 1,35 1,40 1,45 1,50 1,55 1,60 1,80 2,00

va 250 238 227 217 208 200 192 185 179 173 167 161 156 139 125

vb 250 262 273 283 292 300 308 315 321 327 333 339 344 361 375

va 183 175 167 160 153 147 141 136 131 126 22 118 115 102 092

vbe 402 412 422 431 440 447 455 461 468 474 479 484 488 504 517

vbr 232 238 244 249 254 259 263 267 270 274 277 280 282 292 299

vae 402 388 378 366 355 342 331 320 310 300 289 280 272 241 217

var 232 226 218 212 205 198 191 184 179 173 167 161 156 139 125

vb 183 193 202 211 220 230 239 248 256 264 272 280 286 310 329

va 144 137 131 125 120 115 111 107 103 099 096 093 090 080 072

vb 356 363 369 375 380 385 389 393 397 401 404 407 410 420 428

va 356 349 341 334 327 320 312 304 297 290 283 275 267 241 217

vb 144 151 159 166 173 180 188 196 203 210 217 225 233 259 283

vae 317 302 288 276 264 254 244 235 227 219 211 204 198 176 159

var 183 175 167 160 153 147 141 136 131 126 122 118 115 102 091

vbe 317 332 347 359 371 381 391 400 408 416 424 431 437 459 476

vbr 183 191 198 205 212 218 224 229 234 239 243 247 250 263 274

vae 250 237 227 217 208 200 192 185 179 173 166 161 156 138 125

var 144 137 131 125 120 114 110 107 103 099 096 093 090 080 071

vb 303 313 321 329 336 343 349 354 359 364 369 373 377 391 402

va 304 294 284 274 264 254 244 235 227 219 211 204 198 176 159

vbe 250 263 275 288 301 314 327 339 350 360 370 378 387 416 437

vbr 142 149 157 164 171 178 185 191 196 202 208 214 217 232 245

va 250 238 227 217 208 200 192 185 179 173 167 161 156 139 125

vb 250 262 273 283 292 300 308 315 321 327 333 339 344 361 375

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

Page 37: PROJETO DE LAJES MACIÇAS DE CONCRETO ARMADO

Departamento de Engenharia Civil - DECIV/UFRGS

35

3.5 – Exemplo de laje submetida a cargas superficiais

Dimensionar as armaduras para a laje da figura abaixo, correspondente a um

dormitório, que apresenta revestimento de tacos de madeira na face superior e reboco de 1

cm de espessura na face inferior. A laje será executada com concreto C20 e aço CA-50.

Foi verificado previamente (página

10), que uma espessura de h = 8 cm é

suficiente para esta laje atender o estado

limite de serviço de deformações excessivas.

- composição de cargas:

peso próprio - 0,08 x 25 = 2,0 kN/m2

revestimento (tacos) = 0,7 kN/m2

reboco = 0,2 kN/m2

q = 1,5 kN/m2

p = 4,4 kN/m2

- cálculo das solicitações:

a/b = 4/5 = 0,8 laje isótropa

i1 = i2 = 1,5 e i3 = i4 = 0

m3,10011,51

2x4

i1i1

a2a

42

r

m3,87011,51

2x5

i1i1

b2b

31

r

kN.m/m2,16

3,10

3,87

3,87

3,1018

3,87x3,10x4,4

a

b

b

a18

bapm

r

r

r

r

rr

ma = mb = 2,16 kN.m/m; m1’ = m2’ = -1,5 m = 3,24 kN.m/m

- armadura positiva:

ma = mb = 2,16 kN.m/m

d = h –c – 0,5 cm

a=4m

b=5m

Page 38: PROJETO DE LAJES MACIÇAS DE CONCRETO ARMADO

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36

para classe de agressividade I c = 2 cm

d = 8 – 2 –0,5 = 5,5 cm

0,591cmx100x5,50,85x2/1,4

1,4x216x211

8,0

5,5

dbf

m211

dx

22

cdc

d

(x/d = 0,107<0,25 OK.)

/mcm1,3250/1,15

,591/1,4x100x00,85x0,8x2

f

xbfA

2

yd

cdc

S

ASmín = 0,67 x 0,15% bh = 0,67 x 0,15 x 8,0 = 0,80 cm2/m < AS

armadura adotada: c/14 cm

- armadura negativa:

m1’ = m2’ = -3,24 kN.m/m

(supondo que os momentos de engastamento das lajes adjacentes sejam menores que os

3,24 kN.m/m)

d = h –c – 0,5 cm

c = 1,5 cm

d = 8 – 1,5 –0,5 = 6,0 cm

cm0,823x100x6,00,85x2/1,4

1,4x324x211

8,0

6,0

dbf

m211

dx

22

cdc

d

(x/d = 0,137 < 0,25 OK.)

/mcm1,8450/1,15

,823/1,4x100x00,85x0,8x2

f

xbfA

2

yd

cdc

S

ASmín = 0,15% bh = 0,15 x 8,0 = 1,20 cm2/m < AS

armadura adotada: c/15 cm

Page 39: PROJETO DE LAJES MACIÇAS DE CONCRETO ARMADO

Departamento de Engenharia Civil - DECIV/UFRGS

37

- detalhamento:

3.6 – Exemplo de laje submetida a carga linear além das cargas superficiais

Dimensionar as armaduras para a laje da figura abaixo, correspondente a um

banheiro, que apresenta revestimento cerâmico e forro falso. A laje está submetida a uma

carga linear, referente a uma parede de 14 cm de espessura e 2,60 m de altura (peso

específico 13 kN/m3), além da carga superficial. A laje será executada com concreto C20 e

aço CA-50.

b/a = 3,70/2,50 = 1,48 laje armada em

duas direções

5,00 4,001,00

1,40

4,0

03

,00

5 c/14

5

c/1

4

1,00 1,00

6 c/15

2,8

5

1,00

1,0

0

6

c

/15

0,8

5

c/2

01

,00

3,7

0

2,50

pa

Page 40: PROJETO DE LAJES MACIÇAS DE CONCRETO ARMADO

Departamento de Engenharia Civil - DECIV/UFRGS

38

- determinação da espessura da laje:

Na falta de um procedimento mais preciso para a determinação da flecha em uma

laje armada em duas direções, submetida a carga linear, pode-se considerar, na verificação

do estado limite de deformações excessivas, a carga como uniformemente distribuída.

- composição de cargas:

peso próprio - 0,08 x 25 = 2,0 kN/m2

revestimento cerâmico = 0,85kN/m2

forro falso = 0,5 kN/m2

parede: 0,14x2,60x13/3,70 = 1,28kN/m2

g = 4,63 kN/m2

carga variável q = 1,5 kN/m2

- a carga de serviço, correspondente a combinação quase permanente:

pd,ser = gi,k + 2j qj,k = 4,63 + 0,3 x 1,5 = 5,08 kN/m2

- momento na seção crítica e de fissuração:

a/b = 2,50/3,70 = 0,68 0,7

ma = 0,040 pd,ser 2 = 0,040 x 5,08 x 2,50

2 = 1,27 kN.m/m (elástico)

fctm = 0,3 fck2/3

= 0,3 x (20)2/3

= 2,21 MPa

mr = 0,25 fctm b h2 = 0,25 x 0,221 x 100 x 8

2 = 354 kN.cm/m = 3,54 kN.m/m

Ecs = i x E x 5600 fck1/2

= 0,85 x 1 x 5600 (20)1/2

= 21287 MPa

como ma<mr, a seção não está fissurada e deve-se considerar Ieq = Ic.

Ieq = Ic = b h3/12 = 100 x 8

3/12 = 4267 cm

4

- flecha imediata:

cm0,07072128,7x426

500,000508x20,32

IE

p0)f(t

4

eqcs

4

serd,

- flecha provável:

f(t=) = (1+f) f(t=0) = 2,32 x 0,070 = 0,162 cm

- flecha admissível:

fadm = /250 = 250/250 = 1,0 cm

Como a flecha provável é inferior à flecha admissível, pode-se adotar para a laje a

espessura de 8 cm.

Page 41: PROJETO DE LAJES MACIÇAS DE CONCRETO ARMADO

Departamento de Engenharia Civil - DECIV/UFRGS

39

- dimensionamento das armaduras:

- composição de cargas:

superficial:

peso próprio - 0,08 x 25 = 2,0 kN/m2

revestimento cerâmico = 0,85 kN/m2

forro falso = 0,5 kN/m2

q = 1,5 kN/m2

p = 4,85 kN/m2

linear:

kN/m4,73kN/m13xm2,6xm0,14p3

a

- cálculo das solicitações:

0,2643,70x4,85

4,73

b.p

pa

0a.p

pb

kN/m6,130)0,2644,85(121p*p2

a/b = 2,50/3,70 = 0,68 < 0,8 laje ortótropa

i1 = i3 = i4 = 1,5 e i2 = 0

0,5993,70

2,50

1,51,512

1,5012

b

a

ii12

ii121,71,7

31

42

m1,942,51

2,50x2

i1i1

a2a

42

r

m3,402,52,5

3,70x2

01

00,2641

0,599

1

i1i1

b2

31

211b

31

*

r

kN.m/m1,52

1,94

3,40

3,40

1,9418

3,40x1,94x6,13

a

b

b

a18

bapm

r

*

r

*

r

r

*

rr

*

Page 42: PROJETO DE LAJES MACIÇAS DE CONCRETO ARMADO

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40

- armadura positiva:

ma = m = 1,52 kN.m/m

d = h –c – 0,5 cm = 8 – 2 –0,5 = 5,5 cm

0,411cmx100x5,50,85x2/1,4

1,4x152x211

8,0

5,5

dbf

m211

dx

22

cdc

d

(x/d = 0,075<0,25 OK.)

/mcm0,9250/1,15

,411/1,4x100x00,85x0,8x2

f

xbfA

2

yd

cdc

S

ASmín = 0,67 x 0,15% bh = 0,67 x 0,15 x 8,0 = 0,80 cm2/m < AS

armadura adotada: c/15 cm

mb = m = 0,599 x 1,52 = 0,91 kN.m/m

d = h –c – 1 cm = 8 – 2 –1 = 5,0 cm

0,268cmx100x5,00,85x2/1,4

1,4x91x211

8,0

5,0

dbf

m211

dx

22

cdc

d

(x/d = 0,054<0,25 OK.)

/mcm0,6050/1,15

,268/1,4x100x00,85x0,8x2

f

xbfA

2

yd

cdc

S

ASmín = 0,67 x 0,15% bh = 0,67 x 0,15 x 8,0 = 0,80 cm2/m > AS

armadura adotada: c/16 cm

- armadura negativa:

(supondo que os momentos de engastamento sejam maiores que os das lajes adjacentes)

m4’ = - 1,5ma = -2,28 kN.m/m

d = h –c – 0,5 cm = 8 – 1,5 – 0,5 = 6,0 cm

Page 43: PROJETO DE LAJES MACIÇAS DE CONCRETO ARMADO

Departamento de Engenharia Civil - DECIV/UFRGS

41

cm0,569x100x6,00,85x2/1,4

1,4x228x211

8,0

6,0

dbf

m211

dx

22

cdc

d

(x/d = 0,0948<0,25 OK.)

/mcm1,2750/1,15

,569/1,4x100x00,85x0,8x2

f

xbfA

2

yd

cdc

S

ASmín = 0,15% bh = 0,15 x 8,0 = 1,20 cm2/m < AS

armadura adotada: c/15 cm

m1’ = m3’ =- 1,5mb = -1,37 kN.m/m

d = h –c – 0,5 cm = 8 – 1,5 – 0,5 = 6,0 cm

cm0,337x100x6,00,85x2/1,4

1,4x137 x 211

8,0

6,0

dbf

m211

dx

22

cdc

d

(x/d = 0,0562<0,25 OK.)

/mcm0,7550/1,15

,337/1,4x100x00,85x0,8x2

f

xbfA

2

yd

cdc

S

ASmín = 0,15% bh = 0,15 x 8,0 = 1,20 cm2/m > AS

armadura adotada: c/16 cm

3,70

2,50

5 c/15

0,65 0,65

5

c/1

6

0,65

0,65

5

c/1

6

0,65

0,65

5c/20

0,50

armadura positiva armadura negativa

3,7

0

2,50

4,2 c/15

4

,2 c

/16

Page 44: PROJETO DE LAJES MACIÇAS DE CONCRETO ARMADO

Departamento de Engenharia Civil - DECIV/UFRGS

42

4 – Programa para o projeto de lajes retangulares maciças de concreto armado

As figuras abaixo apresentam as telas de utilização do programa de cálculo de lajes

maciças para os exemplos analisados nos itens 2.3 e 3.5.

Page 45: PROJETO DE LAJES MACIÇAS DE CONCRETO ARMADO

Departamento de Engenharia Civil - DECIV/UFRGS

43

ANEXO – AÇO DESTINADO A ARMADURAS PARA ESTRUTURAS DE

CONCRETO ARMADO (NBR7480:2007)

Tabela 1 – Características das barras

Diâmetro

(mm)

Área

(cm2)

6,3 0,312

8,0 0,503

10,0 0,785

12,5 1,227

16,0 2,011

20,0 3,142

22,0 3,801

25,0 4,909

32,0 8,042

40,0 12,566

Tabela 2 – Características dos fios

Diâmetro

(mm)

Área

(cm2)

2,4 0,045

3,4 0,091

3,8 0,113

4,2 0,139

4,6 0,166

5,0 0,196

5,5 0,238

6,0 0,283

6,4 0,322

7,0 0,385

8,0 0,503

9,5 0,709

10,0 0,785