PROJETO DE TENSOESTRUTURAS EM MEMBRANA COM APLICAÇÃO DE ... · PROJETO DE TENSOESTRUTURAS EM MEMBRANA COM APLICAÇÃO DE PROGRAMAÇÃO NÃO-LINEAR Autor: Jonas Pinheiro Borges Filho

UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA

FACULDADE DE TECNOLOGIA

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL E AMBIENTAL

PROJETO DE TENSOESTRUTURAS EM MEMBRANA COM

APLICAÇÃO DE PROGRAMAÇÃO NÃO-LINEAR

JONAS PINHEIRO BORGES FILHO

ORIENTADOR: ATHAIL RANGEL PULINO FILHO

TESE DE DOUTORADO EM ESTRUTURAS

PUBLICAÇÃO: E.TD - 005A/06

BRASÍLIA/DF: OUTUBRO – 2006

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UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA

FACULDADE DE TECNOLOGIA

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL E AMBIENTAL

PROJETO DE TENSOESTRUTURAS EM MEMBRANA COM

APLICAÇÃO DE PROGRAMAÇÃO NÃO-LINEAR

JONAS PINHEIRO BORGES FILHO

TESE DE DOUTORADO SUBMETIDA AO DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL E AMBIENTAL DA FACULDADE DE TECNOLOGIA DA UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE DOUTOR EM ESTRUTURAS APROVADA POR: ________________________________________________ Prof. Dr. Athail Rangel Pulino Filho (UnB – FT – ENC) (Orientador) _________________________________________________ Prof. Dr. José Luís Vital de Brito (UnB – FT – ENC) (Examinador Interno) _________________________________________________ Prof. Dr. William Taylor Matias Silva (UnB – FT – ENC) (Examinador Interno) _________________________________________________ Prof. Dr. Francisco Antonio Menezes (UNICAMP – FEC) (Examinador Externo) _________________________________________________ Prof. Dr. José Manoel Morales Sánchez (UnB – FAU) (Examinador Externo) BRASÍLIA/DF, 13 DE OUTUBRO DE 2006.

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FICHA CATALOGRÁFICA

BORGES FILHO, JONAS PINHEIRO Projeto de Tensoestruturas em Membrana com Aplicação de Programação Não-Linear.

xxiii, 231p., 297 mm (ENC/FT/UnB, Doutor, Estruturas e Construção Civil, 2006). Tese de Doutorado – Universidade de Brasília. Faculdade de Tecnologia. Departamento de Engenharia Civil e Ambiental. 1.Tensoestruturas 2. Membranas 3.Hiper-elasticidade 4.Programação não-linear I. ENC/FT/UnB II. Título (série)

REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA

BORGES FILHO, J. P. (2006). Projeto de Tensoestruturas em Membrana com Aplicação de

Programação Não-Linear. Tese de Doutorado em Estruturas, Publicação E.TD - 005A/06,

Departamento de Engenharia Civil e Ambiental, Universidade de Brasília, Brasília, DF, 231p.

CESSÃO DE DIREITOS

AUTOR: Jonas Pinheiro Borges Filho.

TÍTULO: Projeto de Tensoestruturas em Membrana com Programação Não-Linear.

GRAU: Doutor ANO: 2006

É concedida à Universidade de Brasília permissão para reproduzir cópias desta tese de

doutorado e para emprestar ou vender tais cópias somente para propósitos acadêmicos e

científicos. O autor reserva outros direitos de publicação e nenhuma parte dessa tese de

doutorado pode ser reproduzida sem autorização por escrito do autor.

____________________________

Jonas Pinheiro Borges Filho. Rua Prof. Gabiso, 272, apart. 104. Maracanã. 20271-062 Rio de Janeiro – RJ. [email protected]

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AGRADECIMENTOS

Ao meu orientador Athail Rangel Pulino Filho pela colaboração, dedicação e incentivo.

Ao Prof. Vinicius Arcaro pelas idéias, sugestões, críticas e atenção.

A todos os professores do Programa de Pós-Graduação em Estruturas e Construção Civil da

Universidade de Brasília (UnB).

Aos colegas e amigos da UnB.

Ao meu irmão André e às minhas irmãs Analúcia, Janiana e Luciana, que sempre foram muito

importantes em minha vida.

Ao CNPq, pelo apoio financeiro.

A Deus, o nosso criador.

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Aos meus pais, Jonas e Maria Lúcia.

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RESUMO PROJETO DE TENSOESTRUTURAS EM MEMBRANA COM APLICAÇÃO DE PROGRAMAÇÃO NÃO-LINEAR Autor: Jonas Pinheiro Borges Filho Orientador: Athail Rangel Pulino Filho Programa de Pós-graduação em Estruturas e Construção Civil Brasília, outubro de 2006.

As tensoestruturas em membrana são insuperáveis em leveza e na capacidade de vencer

grandes vãos. Suas formas são atraentes e sedutoras. Tem sido observado um recente

crescimento na utilização dessas estruturas no Brasil, mas a despeito deste crescimento, são

escassas as ferramentas para auxiliar em seu projeto e também não existem normas brasileiras

específicas sobre tensoestruturas.

Os principais objetivos deste trabalho foram: desenvolver ferramentas computacionais para

auxiliar no projeto de tais estruturas; e incentivar a sua utilização. Assim, foi desenvolvido um

pacote chamado LightStruc com programas específicos para cada uma das principais etapas

do projeto de tensoestruturas, que são: a busca da forma; o projeto de cortes e a análise

estrutural.

Adotou-se uma abordagem baseada na mecânica dos meios contínuos com descrição

Lagrangeana Total. O processo de solução envolve o cômputo direto da energia potencial

total do sistema e emprega um método de programação não-linear irrestrita para buscar uma

configuração da estrutura que corresponda a um mínimo local dessa função de energia. Pelo

princípio da mínima energia potencial total, mínimos locais desta função correspondem à

configurações de equilíbrio estático estável. Modelos constitutivos hiper-elásticos foram

utilizados para descrever os materiais. Para a membrana, estão disponíveis os modelos de

Saint-Venant Kirchhoff para o caso isotrópico e ortotrópico; e o neo-Hookeano para material

incompressível e isotrópico. Dois outros modelos para material fictício também estão

disponíveis, eles são usados para a busca da forma de mínima área.

Também foi desenvolvido um modelo de pré-tracionamento coerente que se mostrou bastante

útil para a busca da forma de mínima área, para o projeto de cortes e para a remontagem da

estrutura a partir dos recortes na análise estrutural.

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ABSTRACT TENSILE MEMBRANE STRUCTURES DESIGN USING NON-LINEAR PROGRAMMING Author: Jonas Pinheiro Borges Filho Supervisor: Athail Rangel Pulino Filho Programa de Pós-graduação em Estruturas e Construção Civil Brasília, October, 2006

Membrane tensile structures are unbeatable on lightness and long span capability. Its shapes

are seducing and attractive. It has been noted a recent growth in the use of this kind of

structures in Brazil, but in spite of its growth, computational tools to aid in its project is scarce

and there is no specific Brazilian standard code about tensile structures.

The main objectives of this work are to develop computational tools for the project of this

kind of structure and to promote its use. For this, it was developed a package called

LightStruc that includes specific programs to aid in each one of the main stages of a tensile

membrane structure design, witch are: form-finding; cut-patterning and structural analysis.

It was adopted an approach based on continuum mechanics with a total Lagrangean

description. The solution process includes the direct computing of the total potential energy of

the system and uses a non-linear programming method to search for a structure configuration

that corresponds to a local minimum of that energy. The principle of minimum total potential

energy assures that local minimums of this energy correspond to stable static equilibrium

configurations of the structure. Hyperelastic models were adopted to describe the constitutive

relations of the materials. The isotropic and orthotropic Saint-Venant Kirchhoff and the

incompressible neo-Hookean models are available to describe the membrane material. There

are two other models for fictitious materials that are used in the form-finding stage when the

minimum area solution is searched.

It was also developed a coherent prestress model, which proved to be very useful for the

minimum area form-finding process, for the cut-patterning and for rebuilding the structure

from the cuttings to perform the structural analysis.

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SUMÁRIO

1 – INTRODUÇÃO .................................................................................................................. 1

1.1 – GENERALIDADES.................................................................................................... 1 1.2 – MOTIVAÇÃO E OBJETIVOS.................................................................................. 2 1.3 – ESTRUTURA DA TESE ............................................................................................ 3

2 – TENSOESTRUTURAS EM MEMBRANA..................................................................... 5

2.1 – PRINCIPAL CLASSIFICAÇÃO DAS TENSOESTRUTURAS EM MEMBRANA ....................................................................................................................... 5

2.1.1 – Estruturas em membrana tracionadas por cabos ............................................. 5 2.1.2 – Estruturas pneumáticas....................................................................................... 6

2.2 – BREVE HISTÓRICO SOBRE AS ESTRUTURAS EM MEMBRANA................ 7 2.2.1 – Estruturas em membrana tracionadas por cabos ............................................. 7 2.2.2 – Estruturas pneumáticas..................................................................................... 11

2.3 – PRINCIPAIS TIPOS DE TENSOESTRUTURAS EM MEMBRANA MODERNAS....................................................................................................................... 13

2.3.1 – Estruturas em membrana com apoios concentrados ...................................... 13 2.3.2 – Estruturas em membrana com apoios em arcos ............................................. 14 2.3.3 – Domos pneumáticos de perfil baixo.................................................................. 15 2.3.4 – Domos de cabo (cable domes) ............................................................................ 16 2.3.5 – Estruturas conversíveis...................................................................................... 18

2.4 – MEMBRANAS ESTRUTURAIS............................................................................. 20 2.4.1 – Composição ......................................................................................................... 20 2.4.2 – Fibras................................................................................................................... 22 2.4.3 – Revestimentos ..................................................................................................... 23

2.4.3.1 – Matrizes de revestimento .............................................................................. 23 2.4.3.2 – Revestimentos de superfície.......................................................................... 24

2.4.4 – Características das membranas estruturais .................................................... 25 2.4.4.1 – Dano por dobramento ou rasgamento ........................................................... 25 2.4.4.2 – Estiramento e estabilidade dimensional ........................................................ 27 2.4.4.3 – Resistência a agentes químicos e a radiação ultravioleta.............................. 28 2.4.4.4 – Resistência ao fogo........................................................................................ 28 2.4.4.5 – Resistência à tração ....................................................................................... 29

2.5 – O PROJETO DE TENSOESTRUTURAS EM MEMBRANA............................. 31 2.5.1 – Processos de projeto e construção..................................................................... 31 2.5.2 – Etapas do projeto de tensoestruturas em membrana ..................................... 32

2.5.2.1 – Busca da forma.............................................................................................. 33 2.5.2.2 – Projeto de cortes ............................................................................................ 35 2.5.2.3 – Análise estrutural........................................................................................... 37

2.5.3 – Recomendações gerais de projeto ..................................................................... 38 2.5.3.1 – Carregamentos............................................................................................... 40 2.5.3.2 – Tensões usuais de pré-tracionamento ........................................................... 41

2.5.4 – Aspectos do desempenho das tensoestruturas em membrana ....................... 42 2.5.4.1 – Aspectos térmicos ......................................................................................... 42 2.5.4.2 – Aspectos acústicos......................................................................................... 42 2.5.4.3 – Aspectos energéticos ..................................................................................... 43

2.5.5 – Detalhes construtivos ......................................................................................... 43 2.6 – PRINCIPAIS MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ESTRUTURAS EM MEMBRANA ..................................................................................................................... 44

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2.6.1 – O método da densidade de força....................................................................... 44 2.6.2 – O método da Relaxação Dinâmica.................................................................... 45 2.6.3 – Métodos não-lineares dos deslocamentos......................................................... 47

3 – CONCEITOS FUNDAMENTAIS .................................................................................. 49

3.1 – PRINCÍPIO DA MÍNIMA ENERGIA POTENCIAL TOTAL............................ 49 3.1.1 – A energia potencial total .................................................................................... 49 3.1.2 –Energia potencial externa Wext ........................................................................... 50

3.1.2.1 – Trabalho realizado por uma força ................................................................. 50 3.1.2.2 – Trabalho realizado por forças conservativas................................................ 51 3.1.2.3 – Trabalho realizado por cargas externas na energia potencial total................ 52

3.1.3 – Energia potencial interna Uint ........................................................................... 52 3.1.4 – Dedução do princípio da mínima energia potencial total ............................... 53

3.2 – NOÇÕES SOBRE PROGRAMAÇÃO NÃO-LINEAR IRRESTRITA............... 54 3.2.1 – Objetivo da programação não-linear ............................................................... 54 3.2.2 – Principais métodos de otimização irrestrita .................................................... 54 3.2.3 – Métodos de busca unidimensional ..................................................................... 56

3.2.3.1 – Busca unidimensional ................................................................................... 57 3.2.4 – O método L-BFGS.............................................................................................. 60

3.3 – ASPECTOS SOBRE ABORDAGEM PROPOSTA............................................... 64

4 – CABOS .............................................................................................................................. 65

4.1 – INTRODUÇÃO ......................................................................................................... 65 4.2 – ELEMENTO DE CABO........................................................................................... 66

4.2.1 – Generalidades sobre o elemento de cabo.......................................................... 66 4.2.2 – Relação constitutiva e energia de deformação específica para cabos flexíveis.......................................................................................................................................... 67 4.2.3 – Tensão e deformação para o elemento de cabo de deformação constante.... 68 4.2.4 – Energia potencial total em função dos deslocamentos ( )Π u e seu gradiente.......................................................................................................................................... 70

4.3 – PRÉ-TRACIONAMENTO ......................................................................................... 72 4.3.1 – Tensão inicial imposta........................................................................................ 73 4.3.2 – Corte imposto...................................................................................................... 74 4.3.3 – Variação de temperatura................................................................................... 76 4.3.4 – Combinação de formas de pré-tracionamento.................................................. 77

5 – ANÁLISE DE TENSOESTRUTURAS EM MEMBRANA ......................................... 79

5.1 – INTRODUÇÃO ......................................................................................................... 79 5.2 – CINEMÁTICA PARA O ELEMENTO DE MEMBRANA.................................. 80

5.2.1 – Tensor gradiente da deformação bidimensional ( F )...................................... 82 5.2.2 – Elemento de membrana no espaço ................................................................... 84 5.2.3 – Elemento de membrana com sobreposição dos sistemas locais de referência.......................................................................................................................................... 86 5.2.4 – Tensor gradiente da deformação bidimensional ( F ) para o elemento com sistemas locais de referência sobrepostos..................................................................... 88 5.2.5 – Características do tensor gradiente da deformação bidimensional ( F ) ....... 90 5.2.6 – Derivadas dos lados do elemento em sistema local com relação aos deslocamentos no espaço................................................................................................ 91

5.3 – MODELO DE SAINT-VENANT KIRCHHOFF................................................... 93

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5.3.1 – Caso geral............................................................................................................ 93 5.3.2 – Simplificações considerando o estado plano de tensão ................................... 95 5.3.3 – Tensores de deformação para o estado plano de tensão ................................. 96 5.3.4 – Energia de deformação e seu gradiente para o elemento de membrana....... 97 5.3.5 – Energia potencial total e seu gradiente .......................................................... 100 5.3.6 – Pré-tracionamento............................................................................................. 101

5.3.6.1 – Pré-tracionamento por imposição de um estado de tensão inicial.............. 101 5.3.6.2 – Pré-tracionamento por variação de temperatura......................................... 103

5.3.7 – Componentes do tensor de Cauchy ou da tensão verdadeira....................... 105 5.4 – MODELO NEO-HOOKEANO PARA MATERIAL INCOMPRESSÍVEL....... 107

5.4.1 – Caso geral.......................................................................................................... 107 5.4.2 – Simplificações considerando o estado plano de tensão e material incompressível............................................................................................................... 107 5.4.3 – Energia de deformação e seu gradiente para o elemento de membrana..... 108 5.4.4 – Energia potencial total e seu gradiente .......................................................... 110 5.4.5 – Pré-tracionamento............................................................................................. 111

5.4.5.1 – Imposição de estado de tensão inicial ......................................................... 111 5.4.5.2 – Pré-tracionamento por variação de temperatura......................................... 112

5.4.6 – Componentes do tensor de Cauchy ou tensões verdadeiras......................... 112 5.5 – MODELO DE SAINT-VENANT KIRCHHOFF ORTOTRÓPICO.................. 113

5.5.1 – Caso geral.......................................................................................................... 114 5.5.2 – Simplificações para aplicação da abordagem bidimensional....................... 116 5.5.3 – Energia de deformação e seu gradiente para o elemento de membrana..... 117 5.5.4 – Energia potencial total e seu gradiente .......................................................... 119 5.5.5 – Pré-tracionamento............................................................................................. 119 5.5.6 – Direções de ortotropia...................................................................................... 121

5.6 – EXEMPLOS ............................................................................................................ 122 5.6.1 – Estiramento de membrana .............................................................................. 122 5.6.2 – Exemplo da vela de Frei Otto.......................................................................... 125

6 – BUSCA DA FORMA ..................................................................................................... 129

6.1 – INTRODUÇÃO ....................................................................................................... 129 6.2 – MÉTODO DA REFERÊNCIA ATUALIZADA COM MÍNIMA DISTORAÇÃO DA MALHA...................................................................................................................... 132

6.2.1 – Funcional de área ............................................................................................. 132 6.2.2 – Funcional de energia de distorção .................................................................. 134 6.2.3 – Minimização simultânea da área e da distorção ........................................... 135 6.2.4 – Processo de solução .......................................................................................... 136

6.3 – MÉTODO DO PRÉ-TRACIONAMENTO FICTÍCIO......................................... 137 6.3.1 – Energia de deformação específica para o pré-tracionamento fictício .......... 138 6.3.2 – Processo de solução .......................................................................................... 139

6.4 – EXEMPLOS ............................................................................................................ 140 6.4.1 – Exemplo do catenóide ...................................................................................... 140

6.4.1.1 – Exemplo do catenóide – malha com 2344 elementos e 1272 nós............... 141 6.4.1.2 – Exemplo do catenóide – malha com 800 elementos e 440 nós................... 143 6.4.1.3 – Exemplo do catenóide – malha com 8950 elementos e 4725 nós............... 144 6.4.1.4 – Exemplo do catenóide – Instabilidade ........................................................ 145

6.4.2 – Exemplo da cela (superfície de Scherk).......................................................... 146 6.5 – COMENTÁRIOS .................................................................................................... 148

7 – PROJETO DE CORTES............................................................................................... 150

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7.1 – INTRODUÇÃO ....................................................................................................... 150 7.2 – TRANSFORMAÇÃO DOS RECORTES 3D EM RECORTES 2D................... 152

7.2.1 – Técnicas de planificação................................................................................... 153 7.2.1.1 – Planificação por desdobramento ou desenvolvimento ............................... 153 7.2.1.2 – Planificação por achatamento..................................................................... 154

7.2.2 – Técnicas de compensação................................................................................. 155 7.3 – TRANSFORMAÇÃO DOS RECORTES TRIDIMENSIONAIS EM RECORTES PLANOS..................................................................................................... 155

7.3.1 – Desdobramento forçado................................................................................... 156 7.3.2 – Compensação..................................................................................................... 157

7.4 – EXEMPLO............................................................................................................... 158 7.5 – COMENTÁRIOS .................................................................................................... 167

8 – DESENVOLVIMENTO DE PROJETO SIMPLIFICADO....................................... 170

8.1 – DADOS DO PROJETO E CONSIDERAÇÕES GERAIS .................................. 171 8.1.1 – Geometria do problema................................................................................... 171 8.1.2 – Características dos materiais empregados..................................................... 171 8.1.3 – Preparação da malha plana inicial ................................................................. 172

8.2 – PROJETO COM BUSCA DA FORMA PELO MRA ......................................... 173 8.2.1 – Transformação da discretização plana em tridimensional .......................... 174 8.2.2 – Busca da forma de mínima área pelo MRA................................................... 174 8.2.3 – Transferência para o programa de análise estrutural.................................. 175 8.2.4 – Projeto de cortes ............................................................................................... 178 8.2.5 – Remontagem da membrana a partir dos recortes planificados................... 180 8.2.6 – Análise estrutural ............................................................................................. 182

8.2.6.1 – Vento a 0o .................................................................................................... 184 8.2.6.2 – Vento a 45o .................................................................................................. 185 8.2.6.3 – Vento a 90o .................................................................................................. 186

8.3 – PROJETO COM BUSCA DA FORMA PELO MPTF........................................ 187 8.3.1 – Transformação da discretização plana em tridimensional .......................... 187 8.3.2 – Busca da forma de mínima área pelo MPTF................................................. 188 8.3.3 – Transferência para o programa de análise estrutural.................................. 189 8.3.4 – Projeto de cortes ............................................................................................... 190 8.3.5 – Remontagem da membrana a partir dos recortes planificados................... 191 8.3.6 – Análise estrutural ............................................................................................. 192


8.4 – PROJETO APENAS COM PROGRAMA DE ANÁLISE ESTRUTURAL...... 196 8.4.1 – Transformação da discretização plana em tridimensional .......................... 197 8.4.2 – Aplicação do pré-tracionamento ...................................................................... 197

8.4.2.1 – Tracionamento por diminuição da temperatura .......................................... 198 8.4.2.2 – Tracionamento por encurtamento de cabos................................................. 199 8.4.2.3 – Tracionamento por deslocamentos dos nós de apoio .................................. 200

8.4.3 – Projeto de cortes ............................................................................................... 202 8.4.4 – Remontagem a partir dos recortes ................................................................. 203 8.4.5 – Análise estrutural ............................................................................................. 204


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8.5 – COMENTÁRIOS .................................................................................................... 207

9 – CONCLUSÕES E RECOMENDAÇÕES .................................................................... 210

9.1 – CONCLUSÕES ....................................................................................................... 210 9.2 – RECOMENDAÇÕES ............................................................................................. 212

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ............................................................................... 213

APÊNDICE A – RESUMO HISTÓRICO DO DESENVOLVIMENTO DOS PRINCÍPIOS ENERGÉTICOS EM MECÂNICA ........................................................... 218

A.1 – INTRODUÇÃO ...................................................................................................... 218 A.2 – CONTRIBUIÇÕES CONCEITUAIS ORIGINÁRIAS DA GRÉCIA ANTIGA............................................................................................................................................ 218 A.3 – CONCEITOS QUE LEVARAM AOS PRINCÍPIOS DE CONSERVAÇÃO.. 219 A.4 – PRINCÍPIOS DA CONSERVAÇÃO DE TRABALHO-ENERGIA................. 222

APÊNDICE B – REVISÃO DE MECÂNICA DOS MEIOS CONTÍNUOS .................. 224

B.1 – EQUAÇÕES DO MOVIMENTO ......................................................................... 224 B.2 – DEFORMAÇÕES................................................................................................... 225

B.2.1 – Tensor gradiente da deformação.................................................................... 225 B.2.2 – Tensor material de deformação (Tensor de Green-Lagrange) ................... 227

B.3 – DESLOCAMENTOS.............................................................................................. 227 B.4 – ESTIRAMENTO E DEFORMAÇÃO DE GREEN ............................................ 229 B.5 – PEQUENAS DEFORMAÇÕES............................................................................ 231

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LISTA DE FIGURAS Figura 2.1 : Principais tipos de estruturas em membrana tracionada por cabos: (a) parabolóide

hiperbólico; (b) catenóide; (c) e (d) superfícies modificadas ........................................... 6 (modificado de Vandenberg, 1996)............................................................................................ 6 Figura 2.2: Principais tipos de estruturas pneumáticas: (a) estrutura suportada por ar;............. 6 e (b) estrutura inflável. ............................................................................................................... 6 Figura 2.3: (a) Tenda cônica; (b) tenda “kibitka”; e (c) tenda negra ......................................... 7 (modificado de Harris & Li, 1996)............................................................................................. 7 Figura 2.4: A tenda envalet. (Llorens & Soldevila apud Shaeffer et al, 1996).......................... 9 Figura 2.5: Pavilhão de música para o Bundesgartenschau, Kassel, Alemanha, 1955. ........... 10 Figura 2.6: Grandes estruturas em rede de cabos que tiveram a participação de Frei Otto: (a)

Deutscher Pavillion1 (Pavilhão Alemão), EXPO 1967, Montreal; (b) Olimpiadächer1 (Cobertura do Estádio Olímpico) para as Olimpíadas de 1972 em Munique, Alemanha......................................................................................................................................... 10

Figura 2.7: Detalhes da patente da estrutura pneumática de Lanchester ................................. 11 (Lanchester apud Herzog, 1977, modificada).......................................................................... 11 Figura 2.8: Radome de Walter Bird. ........................................................................................ 12 Figura 2.9: Principais estruturas em membrana com apoios concentrados: (a) Terminal Haj;

(b) Estádio do Rei Fahd; (c) Aeroporto de Denver......................................................... 13 Figura 2.10: Estruturas em membrana com apoios em arcos: (a) Lindsay Park; (b) Laboratório

de Pesquisa da M&G; e (c) Myao Li Arena. .................................................................. 14 Figura 2.11: Millennium Dome: (a) vista panorâmica; e (b) vista aérea. ................................ 14 Figura 2.12: Pavilhão dos Estados Unidos, U.S. Pavilion, na Exposição Mundial de 1970 em

Osaka, Japão (Happold, 1995). ....................................................................................... 15 Figura 2.13: Principais domos com cobertura pneumática suportada por ar: (a) Silverdome; (b)

Carrier Dome; (c) Metrodome; (d) B. C. Place; (e) Hoosier Dome; e (f) Tokyo Dome. 15 Figura 2.14: Domos de tensegrity versus domos de cabo: (a) Detalhe da patente do domo de

tensegrity de Fuller; (b) esquema do domo de tensegrity de Fuller; e............................ 17 (c) Esquema do domo de cabo de Geiger................................................................................. 17 Figura 2.16: Estádio Olímpico de Montreal: (a) Panorâmica; e (b) Recolhimento da cobertura.

........................................................................................................................................ 18 Figura 2.17: Seqüência de abertura das sombrinhas da Sagrada Mesquita do Profeta ............ 19 (Vandenberg, 1996).................................................................................................................. 19 Figura 2.18: Oita Stadium (“Big Eye”): (a) Vista externa; e (b) Vista interna. ....................... 19 Figura 2.19: Estádio Reliant: (a) Vista externa frontal; (b) vista interna com cobertura

fechada; e (c) vista interna com cobertura aberta. .......................................................... 19 Figura 2.20: Estádio Toyota: (a) Vista externa; e (b) Vista interna. ........................................ 20 Figura 2.21: Arranjos típicos dos fios nas membranas estruturais:.......................................... 21 (a) fios sobrepostos; e (b) tecido padrão.................................................................................. 21 Figura 2.22: Tipos de trama: (a) folgadas; e (b) apertadas....................................................... 21 Figura 2.23: Exemplo esquemático de membrana estrutural com matriz de revestimento...... 25 Figura 2.24: Equipamento para ensaio de dobramento (modificado de Shaeffer et al 1996).. 26 Figura 2.25: Ensaios de rasgamento: (a) Teste da língua; (b) Teste trapezoidal; e (c) Teste

uniaxial de rasgo central (modificado de Shaeffer et al, 1996). ..................................... 27 Figura 2.26: Esquema do intercâmbio de tortuosidade. ........................................................... 29 Figura 2.27: Esquemas de ensaios de tração de membrana: (a) Ensaio biaxial cruciforme; e (b)

ensaio uniaxial ou teste da faixa (modificado de Shaeffer et al, 1996). ......................... 30

xiv

Figura 2.28: Curvas típicas de tensão-deformação para membranas de: (a) fibra de vidro revestida com PTFE; e (b) poliéster revestido com PVC (modificado de Shaeffer et al, 1996). .............................................................................................................................. 31

Figura 3.1 - Trabalho realizado por uma força (modificado de Beer & Johnston, 1981) ....... 50 Figura 3.2 - Trabalho realizado por uma força conservativa. ................................................. 52 Figura 4.1: Cabo submetido à carga transversal P. .................................................................. 66 Figura 4.2: Elemento tridimensional de cabo no espaço.......................................................... 67 Figura 4.3: Configurações de um elemento unidimensional de cabo no espaço tridimensional.

........................................................................................................................................ 69 Figura 4.4: Elemento de cabo pré-tracionado com uma tensão 0σ na configuração inicial. . 73 Figura 4.5: Elemento de cabo pré-tracionado com aplicação de um corte C na configuração

inicial. ............................................................................................................................. 75 Figura 5.1: Simplificação para a discretização de membranas. ............................................... 80 Figura 5.2: Elemento de membrana para deslocamentos no plano. ......................................... 82 Figura 5.3: Elemento de membrana no espaço. ....................................................................... 85 Figura 5.4: Elemento de membrana com sobreposição dos sistemas locais de referência. ..... 86 Figura 5.5: Deslocamento de uma partícula do elemento no plano resultante da sobreposição

dos sistemas locais. ......................................................................................................... 88 Figura 5.6: Deformação térmica do elemento com a sobreposição dos sistemas locais. ....... 104 Figura 5.7: Estiramento da membrana: (a) configuração de referência, indeformada; e (b)

configuração atual, deformada..................................................................................... 122 Figura 5.8: Modelo discreto do problema de estiramento da membrana. .............................. 123 Figura 5.9: Estado da membrana para o deslocamento intermediário: (a) deslocamento na

direção y; e (b) máximas tensões principais. ................................................................ 124 Figura 5.10: Estado da membrana para o deslocamento completo: (a) deslocamento na direção

y; e (b) máximas tensões principais. ............................................................................. 124 Figura 5.11: Estado da membrana partindo da configuração pré-tracionada: (a) deslocamento

na direção y; e (b) máximas tensões principais. ........................................................... 124 Figura 5.12: Resultados do programa FLagSHyP para o deslocamento completo: (a)

deslocamento na direção y; e (b) máximas tensões principais. .................................... 125 Figura 5.13: Modelo discreto da vela de Frei Otto: (a) configuração de referência,

indeformada; e (b) deslocamentos impostos................................................................. 126 Figura 5.14: Aspecto da forma da vela de Frei Otto. ............................................................. 126 Figura 5.15: Estado da membrana para condições de contorno exclusivamente de

deslocamento, com configuração inicial indeformada: (a) deslocamento na direção z; e (b) máximas tensões principais..................................................................................... 127

Figura 5.16: Configuração inicial indeformada para o modelo discreto da vela de Frei Otto com imposição de deslocamentos e carga concentrada no nó central. ......................... 127

Figura 5.17: Estado final da membrana para condições de contorno de deslocamento e carga concentrada, com configuração de referência indeformada: (a) deslocamento na direção z; e (b) máximas tensões principais .............................................................................. 127

Figura 5.18: Configuração inicial com pré-tracionamento para o modelo discreto da vela de Frei Otto com imposição de deslocamentos e carga concentrada no nó central........... 128

Figura 5.19: Estado final da membrana para condições de contorno de deslocamento e carga concentrada, com configuração inicial pré-tracionada: (a) deslocamento na direção z; e (b) máximas tensões principais..................................................................................... 128

Figura 6.1 – Esboço de catenóides. ........................................................................................ 141 Figura 6.2 – Parte do catenóide estudada neste exemplo. ...................................................... 141

xv

Figura 6.3 – Resultados para malha não estruturada com 2344 elementos e 1272 nós: (a) Malha plana inicial; (b) Superfície final pelo MRA; e (c) Superfície final pelo MPTF....................................................................................................................................... 142

Figura 6.4: Comparação da convergência pelo MRA e pelo MPTF...................................... 142 Figura 6.5: Desenvolvimento das parcelas de energia de distorção e de área no método da

referência atualizada. .................................................................................................... 143 Figura 6.6 – Resultados para malha estruturada com 800 elementos e 440 nós: (a) Malha

plana inicial; (b) Superfície final pelo MRA; e (c) Superfície final pelo MPTF.......... 143 Figura 6.7: Comparação da convergência pelo MRA e pelo MPTF para discretização

estruturada com 800 elementos e 440 nós. ................................................................... 144 Figura 6.8 – Resultados para malha estruturada com 8950 elementos e 4725 nós: (a) Malha

plana inicial; (b) Superfície final pelo método da referência atualizada; e (c) Superfície final pelo método do pré-tracionamento fictício.......................................................... 144

Figura 6.9: Comparação da convergência pelo método da referência atualizada com mínima distorção da malha e pelo método do pré-tracionamento fictício para discretização estruturada com 8950 elementos e 4725 nós. ............................................................... 145

Figura 6.10 – Resultados para malha estruturada com 8950 elementos e 4725 nós: (a) Malha inicial plana; (b) Malha final; e (c) superfície final “renderizada”. ............................. 145

Figura 6.11 – Forma geral do catenóide................................................................................. 146 Figura 6.12 – Resultados para malha estruturada com 2400 elementos e 4725 nós: (a) Malha

inicial; (b) Superfície final pelo método da referência atualizada; e (c) Superfície final pelo método do pré-tracionamento fictício. ................................................................. 146

Figura 6.13: Comparação da convergência pelo método da referência atualizada com mínima distorção da malha e pelo método do pré-tracionamento fictício para o exemplo da cela....................................................................................................................................... 147

Figura 6.14: Malha fornecida pelo MRA ao final do primeiro passo .................................... 147 Figura 7.1 – Tipos de superfícies: (a) com curvatura simples; e (b) com dupla curvatura. ... 152 Figura 7.2 – Planificação por desdobramento: (a) recorte no espaço; (b) processo de

planificação por desdobramento; e (c) recorte planificado. ......................................... 153 Figura 7.3 – Rebatimento do primeiro elemento do recorte na configuração tridimensional.156 Figura 7.4 – Configuração de equilíbrio fornecida pelo MRA. (a) Superfície acabada

(“renderizada”); (b) Distribuição da máxima tensão principal de Cauchy; e (c) Distribuição da mínima tensão principal de Cauchy. ................................................... 159

Figura 7.5 – Configuração de pré-tracionamento inicial. (a) Distribuição da máxima tensão principal de Cauchy; (b) Distribuição da mínima tensão principal de Cauchy. ........... 160

Figura 7.6 – Impacto da aplicação do programa de análise estrutural de membrana sobre o resultado obtido pelo MRA para busca da forma. (a) deslocamentos absolutos; e (b) forças resultantes sobre os nós (forças desbalanceadas)............................................... 160

Figura 7.7: Destaque do recorte no espaço: (a) recorte na estrutura; e (b) recorte isolado.... 161 Figura 7.8: Esquema do achatamento por “desdobramento forçado”. (a) Vista superior e

detalhe do primeiro elemento; (b) Perspectiva frontal; e (c) Perspectiva posterior...... 162 Figura 7.10: Esquemas da etapa de compensação. (a) Restrições de deslocamento no plano do

recorte achatado; e (b) Configurações antes (em azul) e depois (em vermelho) da compensação................................................................................................................. 163

Figura 7.12: Alternativas de achatamento: (a) Projeção vertical; e (b) Estiramento. ........... 164 Figura 7.13: Resultado da planificação com achatamento por projeção vertical. ................ 164 Figura 7.14: Resultado da planificação com achatamento por projeção vertical. ................ 165 Figura 7.15: Recortes “planificados” do exemplo do catenóide. (a) Vista superior; e (b)Vista

em perspectiva. ............................................................................................................. 167

xvi

Figura 8.1: Primeiros passos para criação da malha plana: (a) Resultado da importação do arquivo “.dxf” para o GiD 7.2; (b) Superfícies planas para discretização dos recortes; e (c) Discretização inicial com elementos de membrana em verde e de cabo em vermelho....................................................................................................................................... 172

Figura 8.2: Altura final dos nós de contorno da tensoestrutura ............................................. 173 Figura 8.3: Solução da etapa de busca da forma de mínima área com o MRA. (a) Distribuição

das máximas tensões principais de Cauchy (kN/m); (b) Distribuição das mínimas tensões principais de Cauchy (kN/m); e (c) Distribuição dos deslocamentos absolutos (m). ................................................................................................................................ 175

Figura 8.4: Solução da etapa de transferência do MRA para o programa de análise estrutural. (a) Máximas tensões principais de Cauchy (kN/m); (b) Mínimas tensões principais de Cauchy (kN/m); e (c) Distribuição dos deslocamentos absolutos (m). ......................... 177

Figura 8.5: Recortes planificados na etapa de projeto de cortes da seqüência de projetos com o MRA ............................................................................................................................. 180

Figura 8.6: Situação depois da remontagem da estrutura com forma pelo MRA. (a) Distribuição das máximas tensões principais de Cauchy (kN/m); (b) Distribuição das mínimas tensões principais de Cauchy (kN/m); e (c) Distribuição dos deslocamentos absolutos (m)................................................................................................................. 182

Figura 8.7: Direções dos ventos: (a) Vento à 0º; e (b) Vento à 45º; e (b) Vento à 90º. ......... 183 Figura 8.8: Resposta da estrutura com forma pelo MRA para vento de 35 m/s a 0o. (a)

Máximas tensões principais de Cauchy (kN/m); (b) Mínimas tensões principais de Cauchy (kN/m); (c) Deslocamentos absolutos (m); e (d) Pressão do vento (kN/m2). ... 185

Figura 8.9: Resposta da estrutura com forma obtida pelo MRA para vento de 35 m/s a 45o. (a) Máximas tensões principais de Cauchy (kN/m); (b) Mínimas tensões principais de Cauchy (kN/m); (c) Deslocamentos absolutos (m); e (d) Pressão do vento (kN/m2). ... 186

Figura 8.10: Resposta da estrutura com forma obtida pelo MRA para vento de 35 m/s a 90o. (a) Máximas tensões principais de Cauchy (kN/m); (b) Mínimas tensões principais de Cauchy (kN/m); (c) Deslocamentos absolutos (m); e (d) Pressão do vento (kN/m2). ... 187

Figura 8.11: Solução da etapa de busca da forma de mínima área com o MPTF. (a) Distribuição das máximas tensões principais de Cauchy (kN/m); (b) Distribuição das mínimas tensões principais de Cauchy (kN/m); e (c) Distribuição dos deslocamentos absolutos (m)................................................................................................................. 189

Figura 8.12: Solução da etapa de transferência do MPTF para o programa de análise estrutural. (a) Máximas tensões principais de Cauchy (kN/m); (b) Mínimas tensões principais de Cauchy (kN/m); e (c) Distribuição dos deslocamentos absolutos (m). ... 190

Figura 8.13: Recortes planificados na etapa de projeto de cortes da seqüência de projetos com o MPTF. (a) Antes do processo de ajuste de emendas; e (b) Depois do processo de ajuste. ............................................................................................................................ 191

Figura 8.14: Situação depois da remontagem da estrutura com forma pelo MPTF. (a) Distribuição das máximas tensões principais de Cauchy (kN/m); (b) Distribuição das mínimas tensões principais de Cauchy (kN/m); e (c) Distribuição dos deslocamentos absolutos (m)................................................................................................................. 192

Figura 8.15: Resposta da estrutura com forma obtida com MPTF para vento de 35 m/s a 0o. (a) Máximas tensões principais de Cauchy (kN/m); (b) Mínimas tensões principais de Cauchy (kN/m); (c) Deslocamentos absolutos (m); e (d) Pressão do vento (kN/m2). ... 194


xvii


Figura 8.18: Resposta da estrutura com forma obtida pelo programa de análise estrutural para pré-tracionamento por diminuição de temperatura. (a) Máximas tensões principais de Cauchy (kN/m); (b) Mínimas tensões principais de Cauchy (kN/m); (c) Deslocamentos absolutos (m)................................................................................................................. 199

Figura 8.19: Resposta da estrutura com forma obtida pelo programa de análise estrutural para pré-tracionamento por encurtamento de cabos. (a) Máximas tensões principais de Cauchy (kN/m); (b) Mínimas tensões principais de Cauchy (kN/m); (c) Deslocamentos absolutos (m)................................................................................................................. 200

Figura 8.20: Resposta da estrutura com forma obtida pelo programa de análise estrutural para pré-tracionamento por deslocamento dos nós de apoio. (a) Máximas tensões principais de Cauchy (kN/m); (b) Mínimas tensões principais de Cauchy (kN/m); (c) Deslocamentos absolutos (m). ...................................................................................... 201

Figura 8.21: Recortes planificados na etapa de projeto de cortes da seqüência de projeto com o programa de análise estrutural. (a) Antes do processo de ajuste de emendas; e (b) Depois do processo de ajuste. ....................................................................................... 202

Figura 8.22: Situação depois da remontagem da estrutura com forma obtida com o programa de análise estrutural. (a) Máximas tensões principais de Cauchy (kN/m); (b) Mínimas tensões principais de Cauchy (kN/m); e (c) Distribuição dos deslocamentos absolutos (m). ................................................................................................................................ 204

Figura 8.23: Resposta da estrutura com forma obtida por programa de análise estrutural para vento de 35 m/s a 0o. (a) Máximas tensões principais de Cauchy (kN/m); (b) Mínimas tensões principais de Cauchy (kN/m); (c) Deslocamentos (m); e (d) Pressão do vento (kN/m2). ......................................................................................................................... 205

Figura 8.24: Resposta da estrutura com forma obtida com programa de análise estrutural para vento de 35 m/s a 45o. (a) Máximas tensões principais de Cauchy (kN/m); (b) Mínimas tensões principais de Cauchy (kN/m); (c) Deslocamentos (m); e (d) Pressão do vento (kN/m2). ......................................................................................................................... 206

Figura 8.25: Resposta da estrutura com forma obtida com o programa de análise estrutural para vento de 35 m/s a 90o. (a) Máximas tensões principais de Cauchy (kN/m); (b) Mínimas tensões principais de Cauchy (kN/m); (c) Deslocamentos (m); e (d) Pressão do vento (kN/m2). ............................................................................................................... 207

Figura 8.26: Estrutura enrugada. (a) Forma da estrutura com acabamento (“renderizada”); (b) Máximas tensões principais de Cauchy (kN/m); (b) Mínimas tensões principais de Cauchy (kN/m); (c) Deslocamentos (m); e (d) Forças desbalanceada (kN). ................. 209

Figura B1: Configurações do meio contínuo ......................................................................... 224 Figura B2 - Deformações em um meio contínuo ................................................................... 226 Figura B3 - Deslocamentos em um meio contínuo ................................................................ 228 Figura B4 – Estiramento e deformação de Green .................................................................. 229

xviii

LISTA DE SÍMBOLOS, NOMENCLATURA E ABREVIAÇÕES A área de um elemento de membrana;

i( )a vetor estrutural, que aponta numa direção de ortotropia, com i = 1, 2;

At área da seção transversal;

A0 área do elemento de membrana antes da variação de temperatura;

Af área do elemento de membrana após a variação de temperatura;

A1, A2, A3 frações de área de um elemento triangular;

B hessiana de uma função;

c vetor de restrições;

C vetor que representa um corte ao elemento de cabo;

C matriz 3 x 3 para componentes Cij do tensor direito de Cauchy-Green, com i = 1,

2, 3 e j = 1, 2, 3;

C matriz 2 x 2 para componentes Cij do tensor direito de Cauchy-Green no plano;

C parte distorcional de C ;

d vetor de direção para busca unidimensional;

dx vetor de deslocamento diferencial de uma partícula na configuração atual;

det operador para o determinante de um tensor;

dV volume elementar na configuração de referência;

dW trabalho da força em um pequeno deslocamento diferencial;

E módulo de Young ou módulo de elasticidade do material (i)e base do sistema de referência global atual, com i = 1, 2, 3; (i)E base do sistema de referência global material, com i = 1, 2, 3;

E matriz 2 x 2 para componentes Eij do tensor de deformação de Green-Lagrange

no plano com i = 1, 2 e j = 1, 2;

E matriz 3 x 3 para componentes Eij do tensor de deformação de Green-Lagrange

com i = 1, 2, 3 e j = 1, 2, 3;

f função objetivo;

f vetor de forças concentradas nos nós da discretização;

F vetor que representa uma força no espaço tridimensional, de componentes F1, F2

e F3;

xix

F matriz de dimensão 3 x 3 que representa o tensor gradiente da deformação, de

componentes Fij, com i = 1, 2, 3 e j = 1, 2, 3;

F matriz 2x2 para o tensor gradiente da deformação com deslocamentos no plano;

k inteiro usado para indicar passos ou componentes de um vetor ou tensor;

f função genérica;

I matriz identidade de dimensão 3 x 3;

I matriz identidade de dimensão 2 x 2;

l comprimento de um elemento cabo na configuração atual;

l vetor que representa um elemento de cabo na configuração de atual;

(i)l vetores que representam os lados de um elemento de membrana na configuração

de atual, com i = 1, 2, 3;

( )iRl vetores que representam os lados de um elemento de membrana no sistema de

referência local na configuração atual com i = 1, 2, 3; (1R)1l e (1R)

2l componentes do ( )1Rl nas direções w(1) e w(2), respectivamente; (2R)1l componente do ( )2Rl na direção w(1);

lj componentes de l ;

L comprimento de um elemento cabo indeformado;

0L comprimento inicial do cabo antes da variação de comprimento por ação da

temperatura;

Lindef comprimento indeformado do cabo;

L vetor que representa um elemento de cabo na configuração inicial;

(i)L vetores que representam os lados de um elemento de membrana na configuração

inicial, com i = 1, 2, 3; ( )CL vetor de um elemento de cabo na configuração de referência depois de corte;

( )iRL vetores que representam os lados de um elemento de membrana no sistema de

referência local na configuração de referência com i = 1, 2, 3; (1R)1L e (1R)

2L componentes do ( )1RL nas direções W(1) e W(2), respectivamente; (2R)1L componente do ( )2RL na direção W(1);

Lj componentes de L ;

MDF método da densidade de força;

xx

i( )M matriz 3 x 3 para o tensor estrutural, que fornece direções de ortotropia;

MPTF método do pré-tracionamento fictício;

MRA método da referência atualizada com mínima distorção da malha;

MRD método da relaxação dinâmica;

n vetor unitário na direção do elemento de cabo na configuração atual;

(i)n vetores unitários que apontam na direção de cada lado do elemento triangular de

membrana na configuração de atual, com i = 1, 2, 3;

N vetor unitário na direção do elemento de cabo na configuração inicial;

(i)N vetores unitários que apontam na direção de cada lado do elemento triangular de

membrana na configuração inicial, com i = 1, 2, 3;

N1, N2, N3 funções de forma para elementos triangulares;

P força genérica;

Pi componente de uma força genérica;

PTFE Politetrafluoretileno ou teflon;

PVC cloreto de polivinila;

PVDF fluoreto de polivilideno;

PVF fluoreto de polivinila ou Tedlar

q matriz de rotação de um elemento na configuração atual para transformar da

referência global para a local;

qij componentes de q com i = 1, 2, 3 e j = 1, 2, 3;

Q matriz de rotação de um elemento na configuração inicial para transformar da

referência global para a local;

Qij componentes de Q com i = 1, 2, 3 e j = 1, 2, 3;

RD relaxação dinâmica;

0s parâmetro que representa o estado de tensão de Cauchy no MRA;

S matriz 3 x 3 para componentes Sij do segundo tensor de tensão de Piola-

Kirchhoff, com i = 1, 2, 3 e j = 1, 2, 3;

S matriz 2 x 2 para componentes Sij do segundo tensor de tensão de Piola-

Kirchhoff (2PK) no plano, com i = 1, 2 e j = 1, 2; (0)S matriz 2 x 2 com o estado plano de pré-tracionamento (tensão 2PK);

(0)S ij componentes de pré-tracionamento (tensor 2PK);

xxi

tr operador para o traço de um tensor;

ui componentes do deslocamento; ( )iu vetor de deslocamento do i-ésimo nó de um elemento; (R)u vetor de deslocamento de uma partícula de um elemento no sistema local;

Uint energia potencial de deformação;

( )V x função potencial de uma partícula na posição x ;

W1→2 trabalho de uma força para deslocar uma partícula do ponto 1 para o 2;

Wext energia potencial externa ou das cargas externas; (i)w base de um sistema de referência local do elemento na configuração atual; (i)W base de um sistema de referência local do elemento na configuração inicial;

x vetor de posição de uma partícula na configuração atual; ( )ix vetor de posição do i-ésimo nó de um elemento na configuração atual; ( )iRx vetor local de posição do i-ésimo nó do elemento na configuração atual; (R)x vetor local de posição de uma partícula do elemento na configuração atual;

X vetor de posição de uma partícula na configuração inicial; ( )iX vetor de posição do i-ésimo nó de um elemento na configuração inicial; ( )iRX vetor local de posição do i-ésimo nó do elemento na configuração inicial; (R)X vetor local de posição de uma partícula na configuração inicial; (i)

jX componentes de ( )iX , com j = 1, 2, 3;

x1, x2, x3 sistema de referência atual, ortogonal;

X1, X2, X3 sistema de referência material ortogonal ou componentes de X ;

. simbologia que representa o módulo de um vetor;

: operador para o produto interno de tensores;

∇ operador nabla, representa um gradiente; 2∇ operador nabla quadrado, representa uma hessiana;

⊗ operador para produto aberto entre vetores;

α coeficiente linear de dilatação térmica ou comprimento de um passo na busca

unidimensional;

α1 e α2 propriedades do material ortotrópico;

xxii

β coeficiente de dilatação térmica de superfície;

β1, β2, β12 propriedades do material ortotrópico;

kγ fator de escala;

mnδ delta de Kronecker;

A∆ variação da área da superfície da membrana por ação da temperatura;

L∆ variação de comprimento do elemento de cabo por ação da temperatura;

T∆ variação de temperatura;

axε componente axial da deformação infinitesimal;

engε deformação de engenharia;

imnε operador de permutação ou de Levi-Civita

tε componente transversal da deformação;

0ε deformação do elemento de cabo na configuração inicial;

φ energia potencial de deformação;

φι energia potencial de deformação do i-ésimo elemento;

λ constante de Lammé;

µ constante de Lammé ou parâmetro de energia de distorção no MRA;

µ1 e µ2 propriedades do material ortotrópico;

ν coeficiente de Poisson;

( )π α função de uma variável obtida de uma com várias variáveis por definição de

uma direção de procura;

Π energia potencial total;

σ matriz 3 x 3 para componentes σij do segundo tensor de tensão de Cauchy

(tensões verdadeiras), com i = 1, 2, 3 e j = 1, 2, 3;

σ matriz 2 x 2 para componentes σij do segundo tensor de tensão de Cauchy

(tensões verdadeiras) no plano, com i = 1, 2 e j = 1, 2;

σ ax tensão normal na direção axial do elemento de cabo;

nomσ tensão nominal;

0σ tensão normal de pré-tracionamento;

ξ1, ξ2, ξ3 coordenadas triangulares, sistema referência natural local;

ψ função de energia livre de Helmholtz ou energia de deformação específica;

xxiii

ψarea fração de área da função de energia de deformação específica do MRA;

ψa+d função de energia de deformação específica do MRA;

ψdis fração distorcional da função de energia de deformação específica do MRA;

ψmm energia de deformação específica do método do pré-tracionamento fictício;

ψSV energia de deformação específica de Saint-Venant Kirchhoff;

ψSVorto energia de deformação específica de Saint-Venant Kirchhoff, caso ortotrópico;

ψSViso parcela isotrópica de ψSVorto.

ψSVaniso parcela anisotrópica de ψSVorto.

ψNHI energia de deformação específica para material neo-Hookeano incompressível;

1 – INTRODUÇÃO

1.1 – GENERALIDADES

A necessidade por coberturas com grandes vãos, capazes de cobrir amplas áreas com o

mínimo de apoios intermediários, conduziu à pesquisa de novas formas estruturais e de novos

materiais de construção. Como resultado, associado ao desenvolvimento tecnológico de

materiais, principalmente para membranas, foram criadas as tensoestruturas em membrana

modernas. Por serem insuperáveis na capacidade de explorar a resistência do material

construtivo, essas estruturas são muito leves, podem vencer grandes vãos com elegância

singular e consomem o mínimo de recursos naturais quando comparadas a outros modelos

construtivos convencionais. Assim, além da forma atraente e agradável, elas contribuem para

a preservação do meio ambiente e, de uma maneira geral, são economicamente competitivas

com estruturas convencionais.

Como sugere o Conselho Nacional de Pesquisa (National Research Council, 1985) dos

Estados Unidos, sob certas circunstâncias, as tensoestruturas em membrana podem reduzir o

consumo de energia elétrica da edificação. A luz natural que atravessa a membrana

translúcida reduz a necessidade de luz artificial, a refletividade da membrana diminui a

absorção de calor e a radiação do excesso de calor para a atmosfera também contribui para um

ambiente de temperatura agradável. Todos esses fatores tornam as tensoestruturas em

membrana, nas regiões de clima tropical, edificações energeticamente eficientes.

Em geral, ao contrário do que ocorre em modelos construtivos usuais como estruturas de

concreto-armado, estruturas metálicas ou de madeira, a forma inicial da estrutura em

membrana não é um dado problema, mas uma incógnita a ser determinada. Isso não significa,

porém, que não haja controle sobre a forma dessas estruturas, mas apenas que existem

restrições e que não se dispõe da mesma liberdade para determinação da forma que em

modelos convencionais.

Por possuírem resistência desprezível tanto à flexão quanto ao cisalhamento, a forma das

estruturas em membrana deve ser tal que fique em equilíbrio com os carregamentos aplicados

e o estado de tensão inicial, pré-tracionamento, à que a membrana é submetida. Esse pré-

tracionamento se faz necessário para que a amplitude dos deslocamentos fique restrita a

2

limites de segurança e de conforto. Assim como as estruturas de cabos, as estruturas em

membrana são sujeitas a grandes deslocamentos, pois há uma estreita relação entre a

capacidade resistiva da membrana e a correspondente forma assumida para um dado

carregamento. A influência da forma na rigidez da estrutura caracteriza uma forte não-

linearidade geométrica nas estruturas em membrana. Além disso, em geral, os materiais

utilizados são compósitos anisotrópicos e acrescentam a não-linearidade física a esse modelo

estrutural.

1.2 – MOTIVAÇÃO E OBJETIVOS

As tensoestruturas em membrana fazem parte de uma tecnologia ainda em desenvolvimento.

Elas proporcionam ao engenheiro a possibilidade de experimentar e explorar sua leveza e

estética. Além da forma sedutora, essas estruturas também são sensíveis a questões ambientais

e, em geral, são economicamente competitivas com relação a seu equivalente em estrutura

convencional. Apesar das atraentes características das tensoestruturas em membrana, no

Brasil, elas ainda são pouco estudadas e empregadas. Possivelmente, isso se deve ao pouco

conhecimento disponível, à escassez de normas técnicas e às questões culturais. Observa-se,

todavia, que o emprego de tensoestruturas em membrana vem crescendo lentamente e, para

que a indústria nacional de construção seja competitiva nessa área, é preciso incentivar seu

estudo.

Por isso, o principal objetivo deste trabalho é desenvolver uma ferramenta computacional

capaz de auxiliar em todas as etapas do projeto de tensoestruturas em membrana e, assim,

contribuir para o domínio dessa tecnologia e incentivar sua utilização. Neste sentido, foi

desenvolvido um pacote computacional chamado “LightStruc”, que inclui programas para

auxiliar nas etapas de busca da forma, projeto de cortes e análise estrutural das tensoestruturas

em membrana. Eles foram desenvolvidos em linguagem C++ e utilizam um algoritmo de

programação não-linear do tipo quasi-Newton para buscar soluções correspondentes à mínima

energia potencial total do sistema.

Outro objetivo é evidenciar o valor da utilização de um método de programação não-linear do

tipo quasi-Newton no projeto de estruturas em membrana, especialmente no estudo de

configurações de instabilidade, como é o caso de enrugamentos. Como o método quasi-

3

Newton garante sempre uma aproximação positiva definida para a matriz de rigidez da

estrutura, mesmo em situações de instabilidade local, o método fornece uma solução possível.

1.3 – ESTRUTURA DA TESE

Essa tese se divide em 9 capítulos e 2 apêndices.

No capítulo 2, apresenta-se uma visão geral sobre as tensoestruturas em membrana. Ele vai

desde as origens dessas estruturas até os métodos numéricos mais utilizados.

Dois conceitos fundamentais para a abordagem proposta são tratados no capítulo 3. São eles:

o princípio da mínima energia potencial total; e noções sobre programação não-linear.

O objeto de estudo do capítulo 4 é o cabo estrutural. Emprega-se uma relação constitutiva

linear entre a tensão e a deformação, talvez a mais conhecida relação constitutiva. De

qualquer forma, a formulação fica limitada às pequenas deformações e grandes

deslocamentos.

O capítulo 5 traz a abordagem proposta para a análise de membranas. Da mesma forma que

para cabos no capítulo 4, essa abordagem se baseia na minimização direta da energia

potencial total do sistema com o emprego de um método do tipo quasi-Newton. Estão

apresentadas formulações para o modelo hiper-elástico de Saint-Venant Kirchhoff isotrópico,

o neo-hookeano incompressível e uma extensão do Saint-Venant Kirchhoff para o caso

ortotrópico.

O foco do capítulo 6 é a etapa de “busca da forma” do projeto de tensoestruturas em

membrana. São propostas duas abordagens iterativas que buscam a solução de mínima área.

Ambas utilizam relações constitutivas fictícias adaptadas ao arcabouço proposto para análise

de membranas, apresentado no capítulo 5. A primeira abordagem é baseada na proposta de

Bonet & Mahaney (2001). A segunda abordagem se baseia em princípios mecânicos

utilizados já nos primeiros programas para a definição da configuração de equilíbrio inicial de

tensoestruturas.

4

O projeto de corte é assunto tratado no capítulo 7. Propõe-se a utilização de uma técnica de

planificação por rebatimentos sucessivos forçados para a obtenção de uma primeira

configuração plana para cada recorte. Em seguida, utiliza-se um programa de análise

estrutural para se computar configurações “relaxadas” de cada um deles. Neste processo,

conhecido como compensação, são permitidos deslocamentos livres apenas no plano.

Também se propõe uma técnica para fazer com que os lados de recortes vizinhos (a serem

emendados) tenham o mesmo comprimento.

Alguns exemplos sobre aspectos do projeto de tensoestruturas em membrana são

desenvolvidos no capítulo 8. Eles buscam mostrar a integração entre as etapas do projeto e

comparar o desempenho das diferentes abordagens.

No capítulo 9, são apresentadas as conclusões do trabalho e recomendações.

Um breve resumo histórico sobre o desenvolvimento dos princípios energéticos na mecânica

das estruturas é apresentado no apêndice A.

O apêndice B traz uma revisão sobre mecânica dos meios contínuos.

5

2 – TENSOESTRUTURAS EM MEMBRANA

Este capítulo traz um resumo sobre diversos aspectos das tensoestruturas em membrana.

Abordam-se suas origens, os principais tipos contemporâneos, os materiais utilizados, as

etapas do projeto convencional, recomendações de projeto, aspectos de desempenho, alguns

detalhes construtivos e os principais métodos numéricos utilizados.

2.1 – PRINCIPAL CLASSIFICAÇÃO DAS TENSOESTRUTURAS EM MEMBRANA

Segundo Lewis (1998), a tensoestrutura em membrana é uma das categorias de um amplo

grupo de estruturas não-convencionais chamadas tensoestruturas leves, que além da estrutura

em membrana ainda inclui as redes de cabos tracionados e os sistemas cabos-treliça. A

membrana estrutural é o principal elemento que distingue as tensoestruturas em membrana

das demais. Para um desempenho satisfatório, como colocam Haber & Abel (1982), essas

estruturas precisam ser projetadas de maneira que mesmo quando não se considere qualquer

carregamento atuante, até mesmo ignorando-se seu peso próprio, toda a membrana esteja

submetida a um estado de tensão de tração. Esse estado de tensão, aqui chamado “pré-

tracionamento”, é um dos pontos fundamentais do projeto das tensoestruturas em membrana.

Ele exerce influência direta sobre a forma da estrutura, sua durabilidade e a amplitude de seus

deslocamentos quando carregada.

Os principais elementos de aplicação do pré-tracionamento à membrana das tensoestruturas

em membrana são: cabos tensores e pressão de ar. Quando o principal elemento de

tracionamento da membrana é o cabo tensor, a estrutura é chamada estrutura em membrana

tracionada por cabos. Da mesma forma, quando o tracionamento da membrana se dá por

pressão de ar, a estrutura é classificada como estrutura pneumática (Lewis, 1998; Oliveira,

2001).

2.1.1 – Estruturas em membrana tracionadas por cabos

Entre as estruturas em membrana tracionada por cabos, o principal elemento que assegura a

estabilidade da membrana é a superfície de dupla curvatura oposta (“anticlastic surface”).

Segundo Vandenberg (1996), existem duas famílias consideradas “formas puras” com

superfície de dupla curvatura oposta e média nula, são elas: os parabolóides hiperbólicos,

Figura 2.1 (a), e os catenóides, Figura 2.1 (b). Quando essas superfícies correspondem à

6

superfície de mínima área para um dado contorno, são chamadas superfícies de mínima área.

Essas são formas ideais que proporcionam uma distribuição uniforme de tensão sem

cisalhamento por toda a membrana. Os modelos produzidos com filme de sabão têm a

interessante propriedade de sempre assumirem a forma de mínima área. As formas dos

parabolóides hiperbólicos e catenóides podem ser modificadas com a introdução picos

agudos, picos abaulados (Figura 2.1 (c)) e cristas (Figura 2.1 (d)).

Figura 2.1 : Principais tipos de estruturas em membrana tracionada por cabos: (a) parabolóide hiperbólico; (b) catenóide; (c) e (d) superfícies modificadas

(modificado de Vandenberg, 1996).

2.1.2 – Estruturas pneumáticas

As estruturas pneumáticas se dividem em dois grupos principais: as estruturas em membrana

suportadas por ar (air supported structures), Figura 2.2(a); e as estruturas infláveis (inflatable

structures), Figura 2.2(b).

Figura 2.2: Principais tipos de estruturas pneumáticas: (a) estrutura suportada por ar; e (b) estrutura inflável.

Nas estruturas suportadas por ar, a estabilidade da membrana é alcançada pela manutenção de

uma pequena diferença de pressão em seu interior. Em geral, uma diferença de pressão muito

pequena, quase imperceptível, é suficiente. Nas estruturas infláveis, a região pressurizada fica

7

restrita a câmaras isoladas e, assim, a região abrigada pela estrutura fica submetida à mesma

pressão do exterior.

2.2 – BREVE HISTÓRICO SOBRE AS ESTRUTURAS EM MEMBRANA

2.2.1 – Estruturas em membrana tracionadas por cabos

Em termos arquitetônicos, apesar das grandes diferenças estruturais, a origem das estruturas

membranas modernas está associada às tendas tradicionais construídas pelo homem primitivo

após o abandono das cavernas. Artefatos encontrados em sítios arqueológicos de 40000 anos

sugerem que o homem pré-histórico construía abrigos com ossos e presas de mamute e peles

de animais eram usadas para vedação. Por volta 10000 anos atrás, a vedação de tendas deixou

de ser feita com peles de animais a passou-se a empregar feltro ou materiais tecidos, como lã

e lona (Shaeffer et al, 1996).

Ainda na Pré-História, tendas tradicionais já acompanhavam povos nômades do nordeste da

Europa, do centro e nordeste da Ásia, do norte da África e do Oriente Médio. Apesar da

grande variedade, em termos estruturais essas tendas podem ser classificadas em três grupos

principais: a tenda cônica (“tepee”), Figura 2.3(a), utilizada principalmente em regiões ao

norte da Europa, da Ásia e da América do Norte; a diversificada “kibitka” da Ásia Central,

Figura 2.3(b), de paredes cilíndricas e cobertura em forma de cone ou domo; e a “tenda

negra” do norte da África e Oriente Médio, Figura 2.3(c), que tem esse nome devido ao pelo

de cabra usado para tecer sua membrana (Harris & Li, 1996; Shaeffer et al, 1996;

Vandenberg, 1996).

Figura 2.3: (a) Tenda cônica; (b) tenda “kibitka”; e (c) tenda negra

(modificado de Harris & Li, 1996).

Apesar das tendas tradicionais serem consideradas precursoras das tensoestruturas em

membrana, os princípios estruturais que governam essas estruturas modernas têm origem fora

8

do campo da arquitetura. Há mais de 5000 anos que marinheiros do mediterrâneo domaram os

ventos para impulsionarem seus navios. Os veleiros utilizam os princípios estruturais das

tensoestruturas em membrana modernas – forma pneumática nas velas, elementos sob tração

nas amarras e suporte sob compressão nos mastros. (Kronenburg, 1995).

Na Idade Antiga, surgiram as primeiras tendas urbanas em países do Oriente Médio como:

Egito, Palestina, Assíria e Pérsia. A maioria das evidências de sua existência é proveniente

das ruínas de palácios assírios e miniaturas persas. Como a tenda negra, essas tendas

utilizavam uma membrana pré-tracionada que fazia parte da estrutura (Harris & Li, 1996).

Segundo Harris & Li (1996), há registros de três tipos de tendas utilizadas por exércitos

romanos. Além dessas tendas, os romanos criaram o velário, uma cobertura retrátil de tecido

sustentada por mastros horizontais que se estendia sobre platéias como as do famoso Coliseu.

Coberturas retráteis chamadas “toldos”, semelhantes ao velário, ainda são muito utilizadas

para sombra nas estreitas ruas da cidade de Sevilha na Espanha. (Kronenburg, 1995).

Magníficas tendas militares forradas de ouro, com formas arquitetônicas bem elaboradas,

foram empregadas como moradia por governantes otomanos até o século XV. Por toda a

Idade Média, tendas foram muito utilizadas pela realeza e seus acompanhantes. Na Inglaterra,

a Secretaria para Guarda de Tendas, criada no reinado de Henrique I (1100-1135), durou por

550 anos. Secretarias semelhantes foram responsáveis pelas tendas reais em vários outros

países da Europa. (Harris & Li, 1996).

Na Europa, o auge das tendas tipo sombrinha e tipo pavilhão ocorreu em junho de 1520, num

encontro entre o monarca inglês Henrique VIII e o rei Francis I da França, no “Campo do

tecido de ouro”. Nesse evento, havia entre 300 a 400 tendas de vários tipos em cada comissão

(Harris & Li, 1996).

Depois do declínio das magníficas tendas da Idade Média, as grandes tendas urbanas

reapareceram com o circo itinerante. A forma moderna do circo foi criada na Inglaterra em

1768 (Harris & Li, 1996). Segundo Kronenburg (1995), em seu apogeu, as tendas de circo

chegaram a abrigar até 10000 pessoas sentadas. Ainda segundo esse autor, o projetista russo

V. G. Shookov se inspirou nas tendas de circo para o projeto das edificações da Exposição

9

Industrial de 1896 em Nizhiny-Novgorod, onde elementos de aço foram empregados pela

primeira vez em tensoestruturas.

Outra forma de tenda estruturalmente interessante é a “envalet”, Figura 2.4, muito popular na

região da Catalunha, na Espanha, por várias décadas durante a passagem do século XIX para

o XX. Essas tendas tinham um vão livre de aproximadamente 30 metros, sua planta era

retangular com postes de madeira em todo o perímetro e cordas passantes eram utilizadas para

suspender a membrana (Shaeffer et al, 1996).

Figura 2.4: A tenda envalet. (Llorens & Soldevila1 apud Shaeffer et al, 1996)

Uma das maiores tendas já construídas foi erguida em 1925 para o 39º Congresso Nacional da

Índia, presidido pelo Mahatma Gandhi. Essa tenda proporcionou sombra em um único espaço

para mais de 20000 representantes e visitantes. Mastros eram espaçados em aproximadamente

30 metros no centro para suportar a lona de trama apertada (Hatton2 apud Shaeffer et al,

1996).

A era das tensoestruturas em membrana modernas começou com um pequeno pavilhão de

música, Figura 2.5, projetado e construído por Frei Otto para o Bundesgartenschau (Jardim de

Exposição Federal), em Kassel, na Alemanha, no ano de 1955. Ele ainda construiu várias

outras estruturas mais complexas como o Der Eingangsbogen (arco da entrada) e o Das

Tanzbrunnen (pavilhão de dança) para o Bundesgartenschau de Köln (Colônia) em 1957.

1 Llorens, J. J. de; Soldevila, A. The ‘Envalet’, a Big Dancing Tent for Local Holidays in Catalunya (Spain).

Proceedings of the First International Conference on Lightweight Structures in Anchitecture, Sydney, 1986,

pg. 42. 2 Hatton, E.M. The tent book. Houghton Mifflin Co., Boston, 1979, pg. 38.

10

Devido à indisponibilidade de uma membrana com suficiente resistência, essas estruturas

eram limitadas a vãos de no máximo 25 metros. Talvez, entre as obras que contaram com a

participação de Frei Otto as mais conhecidas tenham sido duas redes de cabo: o Deutscher

Pavillion (Pavilhão Alemão), Figura 2.6(a), que foi construído em Montreal para a Exposição

Mundial de 1967; e a Olimpiadächer (Cobertura do Estádio Olímpico), Figura 2.6(b), para as

Olimpíadas de 1972, em Munique, Alemanha. Sem dúvida alguma, Frei Otto exerceu, como

pioneiro, uma grande influência no desenvolvimento das tensoestruturas modernas (Shaeffer

et al, 1996).

Figura 2.5: Pavilhão de música1 para o Bundesgartenschau, Kassel, Alemanha, 1955.

Figura 2.6: Grandes estruturas em rede de cabos que tiveram a participação de Frei Otto: (a)

Deutscher Pavillion1 (Pavilhão Alemão), EXPO 1967, Montreal; (b) Olimpiadächer1 (Cobertura do Estádio Olímpico) para as Olimpíadas de 1972 em Munique, Alemanha.

1 Fotos obtidas no site: http://freiotto.com/FreiOtto%20ordner/FreiOtto/Hauptseite.html (em 16/01/2004)

(a) (b)

11

2.2.2 – Estruturas pneumáticas

Reservatórios de água feitos de pele de animal talvez tenham sido as primeiras estruturas

pneumáticas utilizadas pelo homem. Entretanto, as primeiras estruturas pneumáticas que

utilizaram um diferencial de pressão de ar foram provavelmente velas de barcos. O diferencial

de pressão dinâmica causada pelo vento infla a vela, que assume uma forma ondulada (Dent,

1971).

O desenvolvimento de estruturas pneumáticas sempre foi limitado pela disponibilidade de

material de contenção que fosse leve e impermeável ao ar. Aos romanos reputa-se a criação

de bóias pneumáticas para suportes flutuantes em água, feitas de peles curtidas ou intestinos

de animais. Os chineses criaram os primeiros balões de ar em papel. No século XVIII, um

tecido de algodão leve e de trama apertada foi utilizado para a criação de balões de ar quente

capazes de carregar o homem. No começo do século XX, foram criados os zepelins

(Kronenburg, 1995).

A primeira proposta para edificação com estrutura pneumática é atribuída ao engenheiro

inglês William Lanchester. Em sua patente de 1917, para um hospital de campo, todos os

princípios básicos para estruturas suportadas por ar foram apresentados. Apesar de obter a

patente, o engenheiro não chegou a executar a estrutura (Dent, 1971). Detalhes dessa patente

são ilustrados na Figura 2.7.

Figura 2.7: Detalhes da patente da estrutura pneumática de Lanchester (Lanchester1 apud Herzog, 1977, modificada)

1 Lanchester, F. W. Patent 119-339, London, 1917.

12

Segundo Kronenburg (1995), no desenvolvimento de estruturas pneumáticas, Walter Bird

ocupa uma posição semelhante à de Otto. Os primeiros trabalhos de Bird foram realizados nos

laboratórios aeronáuticos da universidade de Cornell, onde ele desenvolveu domos para a

proteção de radares das intempéries, que ficaram conhecidos por “radome”.

Em 1946, Bird foi o pioneiro na construção do radome. O primeiro deles foi feito de fibras de

vidro com revestimento de neoprene e tinha 15 metros de diâmetro, Figura 2.8. Na década de

60, a companhia fundada por Bird, a Birdair Company, já produzia edificações com mais de

60 metros de vão livre com tecido Dacron e revestimento de Hypalon (Bird1 apud Shaeffer,

1996).

Figura 2.8: Radome2 de Walter Bird.

O radome de Bird foi a primeira instalação pneumática em terra e marca o início da utilização

das diversas estruturas pneumáticas que se seguiram.

1 Bird, W. Air structures – Early development and outlook. Proceedings of the First International Conference on

Lightweight Structures in Architecture, Sydney, 1986, pg. 554. 2 Foto obtida do site: www.birdair.com/birdair/profile/birdair/index.html (em 30/12/2003).

13

2.3 – PRINCIPAIS TIPOS DE TENSOESTRUTURAS EM MEMBRANA MODERNAS

2.3.1 – Estruturas em membrana com apoios concentrados

Essas estruturas são caracterizadas por terem seus principais apoios concentrados em

determinadas regiões da membrana. É muito comum o uso de mastros ou sistemas de cabos

de içamento para apoios. Entre as mais importantes obras construídas, destacam-se:

• O Terminal Haj do Aeroporto Internacional de Jeddah, Figura 2.9 (a), em Riyadh,

Arábia Saudita. Inaugurado em 1982, ele possui a maior cobertura com tensoestrutura

em membrana já construída, 420.000 m2, e abriga centenas de milhares de peregrinos

que fazem a jornada para Meca a cada ano. (Shaeffer et al, 1996; Berger, 1999);

• O Estádio do Rei Fahd, Figura 2.9(b), em Riyadh, Arábia Saudita. Construído em 1985.

Ele cobre uma área de 49.000 m2 e, segundo Berger (1999), é a maior cobertura de

estádio do mundo.

• O Aeroporto Internacional de Denver, Figura 2.9(c), concluído em 1994 no Colorado,

Estados Unidos. Segundo Shaeffer et al (1996), muitos vêm o Aeroporto de Dever

como um caso de teste para grandes tensoestruturas em membrana. Localizado em uma

região de clima adverso, com muita neve, seu sucesso pode significar o

desenvolvimento de várias tensoestruturas em membrana para confinamento.

Figura 2.9: Principais estruturas em membrana com apoios concentrados: (a) Terminal Haj1;

(b) Estádio do Rei Fahd2; (c) Aeroporto de Denver3.

1 Foto obtida do site: www.geigerengineers.com (em 16/01/2004) 2 Foto obtida do site: www.geigerengineers.com (em 16/01/2004) 3 Foto obtida do site: www.birdair.com/birdair/about/tension/index.html (em 16/01/2004)

(a) (b) (c)

14

2.3.2 – Estruturas em membrana com apoios em arcos

São classificadas nesse grupo as estruturas em membrana que possuem os principais apoios

em arco. Alguns exemplos dessas estruturas são:

• O Lindsay Park Sport Center, Figura 2.10(a), foi construído em 1984, em Alberta,

Canadá. Segundo informa o sítio www.geigersengineers.com, ele cobre uma área de

115.000 ft2 (≈10.700 m2) e foi a primeira estrutura em membrana translúcida fechada;

• O Laboratório de Pesquisa da M&G, Itália, Figura 2.10(b); e

• O Myao Li Arena, Figura 2.10(c), uma instalação esportiva multifuncional, 2000,

Taiwan.

Figura 2.10: Estruturas em membrana com apoios em arcos: (a) Lindsay Park1; (b)

Laboratório de Pesquisa da M&G2; e (c) Myao Li Arena1. Outra relevante estrutura em membrana com apoios em arcos, apesar de não serem aparentes,

é o Millennium Dome, Figura2.11, construído em 1999, na Inglaterra. Com uma área coberta

em torno de 80.000 m2, ele é o maior domo do mundo.

Figura 2.11: Millennium Dome: (a) vista panorâmica3; e (b) vista aérea4.

1 Foto obtida do site: www.geigerengineers.com (em 16/01/2004) 2 Foto obtida (e modificada) em 24/04/2004 do site:

http://www.upc.es/ca1/cat/recerca/tensilestruc/webdetalles/esquina/Cablecontinuo/pagina2.htm 3 Foto obtida do site: www.birdair.com/birdair/profile/birdair/index.html (em 16/01/2004) 4 Foto obtida do site: www.birdair.com/birdair/feature/milldome/index.html (em 16/01/2004)

(a) (b)

(a) (b) (c)

15

2.3.3 – Domos pneumáticos de perfil baixo

A Exposição Mundial de 1970 em Osaka, no Japão, impulsionou ainda mais o

desenvolvimento das estruturas em membrana. Segundo Berger (1999), o sucesso do projeto

da empresa Geiger Berger para o Pavilhão dos Estados Unidos (U.S. Pavilion), Figura 2.12,

uma estrutura de perfil baixo suportada por ar e com vão livre de 130 m, levou à construção

de oito coberturas do tamanho de estádios, entre os anos de 1973 e 1985, nos Estados Unidos

e Japão. Seis dessas coberturas são apresentadas na Figura 2.13 em seguida.

Figura 2.12: Pavilhão dos Estados Unidos, U.S. Pavilion, na Exposição Mundial de 1970 em

Osaka, Japão (Happold, 1995).

Figura 2.13: Principais domos com cobertura pneumática suportada por ar: (a) Silverdome1;

(b) Carrier Dome1; (c) Metrodome2; (d) B. C. Place1; (e) Hoosier Dome3; e (f) Tokyo Dome4. 1 Foto obtida no site: www.geigerengineers.com (em 30/12/2003) 2 Foto obtida no site: www.columbia.edu/cu/gsapp/BT/DOMES/METRODM/2709-21.jpg (em 30/12/2003) 3 Foto obtida no site: www.columbia.edu/cu/gsapp/BT/DOMES/TIMELN/hoosier/hoos-ex.jpg (em 30/12/2003) 4 Foto obtida no site: www.tokyo-dome.co.jp/e/dome/ (em 30/12/2003)

(a) (b) (c)

(d) (e) (f)

16

O Silverdome, Figura 2.13(a), construído em Pontiac, Michigan, inaugurado em 1975, foi o

primeiro desses grandes domos. Seguindo o Silverdome, vieram: o Carrier Dome, na

Syracuse University (1980), Figura 2.13(b); o Metrodome, em Minneapolis (1982), Figura

2.13(c); o B.C. Place, em Vancouver (1983), Figura 2.13(d); o Hoosier Dome, em

Indianapolis (1984), Figura 2.13(e); e o Tokyo Dome (1988), Figura 2.13(f). Quase todos eles

foram projetados pelo engenheiro David Geiger e executados pela companhia Birdair

(Shaeffer et al, 1996).

Muitas dessas instalações pneumáticas mostraram-se de difícil manutenção sob condições

climáticas severas. Em alguns casos, o sistema de ar-quente para derretimento de neve era

inadequado e, em outros, o sistema de controle de pressão de ar não era sofisticado o

suficiente. A maioria dessas coberturas chegou a defletir acidentalmente ao longo de sua vida,

algumas delas mais de uma vez. Isso resultou em diversos processos judiciais, porém, deve-se

enfatizar que ninguém foi ferido nos acidentes e que os processos judiciais envolveram apenas

danos materiais. Um dos maiores desses acidentes ocorreu com o Silverdome, em 1985,

quando fortes ventos e neve intensa quase destruíram completamente a cobertura. Com a

criação dos domos de cabo, que serão discutidos mais adiante, são pequenas as chances de

que essas grandes coberturas pneumáticas ainda venham a ser construídas. Provavelmente, à

medida que alcançarem o final de suas vidas úteis, essas grandes coberturas suportadas por ar

serão substituídas por domos de cabo (cable domes). Cabe lembrar que apesar da difícil

manutenção, essas estruturas pneumáticas gigantescas se tornam símbolo de orgulho para a

maioria das cidades onde foram construídas (Shaeffer et al, 1996).

2.3.4 – Domos de cabo (cable domes)

Segundo Shaeffer et al (1996), a mais moderna tecnologia para cobertura de grandes vãos são

os domos de cabo cobertos com membrana, um sistema baseado no domo em tensegrity de

Buckminster Fuller, desenvolvido na década de 1950. Basicamente, o esquema é de planta

circular com treliças radiais feitas de cabo exceto por elementos verticais de compressão.

Na década de 80, o engenheiro americano David Gaiger, ciente dos problemas que vinham

apresentando os domos pneumáticos, conseguiu simplificar o domo de tensegrity de Fuller e

tornou possível a construção dos domos de cabo. Essa simplificação reduziu

significativamente a altura do perfil do domo e melhorou seu desempenho aerodinâmico. A

17

Figura 2.14(a) mostra um detalhe da patente do domo de tensegrity de Fuller, a Figura 2.14(b)

mostra esse mesmo domo esquematicamente e a Figura 2.14(c), o esquema simplificado do

domo de cabo de Geiger. (www.columbia.edu/cu/gsapp/BT/DOMES/SEOUL/intro.html)

Figura 2.14: Domos de tensegrity versus domos de cabo1: (a) Detalhe da patente do domo de

tensegrity de Fuller; (b) esquema do domo de tensegrity de Fuller; e (c) Esquema do domo de cabo de Geiger.

Os primeiros domos de cabo construídos com sucesso foram a Arena de Ginástica, Figura

2.15(a), e a Arena de Esgrima em Seoul, Koréia, para os Jogos Asiáticos de 1986 e, mais

tarde, foram usados para as Olimpíadas de 1988. A Arena de Ginástica possuía um diâmetro

de 120 metros e a Arena de Esgrima, um de 90 metros (Shaeffer et al, 1996). Entre os grandes

domos de cabo construídos nos EUA, destacam-se: o Suncoast Dome (1990), Figura 2.15 (b),

em St. Petersburg, Flórida; e o Geogia Dome (1992), Figura 2.15 (c), em Atlanta, Geórgia.

Figura 2.15: Algumas estruturas com domo de cabo: (a) Arena de Ginástica1; (b) Suncoast

Dome2; e (c) Georgia Dome3.

1 Figuras obtidas do site: www.columbia.edu/cu/gsapp/BT/DOMES/SEOUL/intro.html (16/01/2004). 2 Figura obtida no site: www.geigerengineers.com (16/01/2004). 3 Figura obtida no site: www.geigerengineers.com (16/01/2004).

(a) (b) (c)

(a) (b) (c)

18

2.3.5 – Estruturas conversíveis

Certamente, as estruturas conversíveis estão entre as mais exóticas aplicações das estruturas

em membrana. Obviamente, a possibilidade de ser aberta ou fechada é sua principal

característica e a que por si só as define, independente dos sistemas estruturais que utilizem.

O Estádio Olímpico de Montreal, Figura 2.16, foi um exemplo de estrutura conversível com

apoios pontuais para a membrana. Segundo Shaeffer et al (1996), esse estádio deveria ter

ficado pronto para as Olimpíadas de 1976, mas só foi completado em 1987 devido a vários

empecilhos. O material utilizado para a membrana estrutural foi um tecido de kevlar com

revestimento de PVC e poliuretano. Informações obtidas da Internet indicam que a cobertura

desse estádio foi retirada no ano de 1997 e recolocada em 1999, ocasião em que deixou de ser

retrátil (fonte: www.ballparksofbaseball.com/nl/Olympic%20Stadium.htm ).

Figura 2.16: Estádio Olímpico de Montreal: (a) Panorâmica1; e (b) Recolhimento da cobertura2.

Outras tensoestruturas conversíveis em membrana bastante curiosas são as Estruturas de

Sombra da Sagrada Mesquita do Profeta, construídas em Medina, Arábia Saudita, no ano de

1992. Conjuntos de seis sombrinhas retangulares em planta foram construídos em cada

jardim, o material utilizado para a membrana foi um tecido de fibra de vidro e, quando

abertas, cada sombrinha cobre uma área que mede 17,7 por 16,7 m. A seqüência de abertura

das sombrinhas é mostrada na Figura 2.17 apresentada a seguir (Vandenberg, 1996).

1 Foto obtida em 16/01/2004 no site do Album of Space Structures – ALOSS:

www.anc-d.fukui-u.ac.jp/~ishikawa/Aloss/data/membrane%20structure/Catalog/catalog1.htm 2 Foto obtida do site: www.columbia.edu/cu/gsapp/BT/DOMES/TIMELN/montreal/montreal.html (16/01/2004)

(a) (b)

19

Figura 2.17: Seqüência de abertura das sombrinhas da Sagrada Mesquita do Profeta

(Vandenberg, 1996).

Nos últimos anos, alguns estádios com cobertura retrátil vêm sendo construídos.

Freqüentemente, a leveza e translucidez da membrana tornam esta a melhor alternativa e,

portanto, a escolhida. Exemplos de coberturas com painéis de membrana que deslizam sobre

trilhos são encontrados no: Oita Stadium (Figura 2.18), conhecido como “Big Eye” (Grande

Olho), inaugurado em 2001, em Oita, Japão; e Reliant Stadium (Figura 2.19), concluído no

ano de 2002, no estado do Texas, EUA

Figura 2.18: Oita Stadium1 (“Big Eye”): (a) Vista externa; e (b) Vista interna.

Figura 2.19: Estádio Reliant2: (a) Vista externa frontal; (b) vista interna com cobertura

fechada; e (c) vista interna com cobertura aberta.

1 Foto obtida no site: www.takenaka.co.jp/takenaka_e/majorworks_e/topics/2001/win/01-2.html (20/01/2004). 2 Fotos obtidas no site: www.birdair.com/birdair/feature/reliant/index.html (27/12/2003)

(a) (b) (c)

20

Outra opção de estrutura conversível em membrana explora, além da leveza e translucidez, a

flexibilidade da membrana. Como exemplo, cita-se o Toyota Stadium, Figura 2.20, que utiliza

um esquema de sanfona para a membrana quando a cobertura é aberta. Esse estádio foi

construído em 2001, na cidade de Toyota, Japão.

Figura 2.20: Estádio Toyota1: (a) Vista externa; e (b) Vista interna.

2.4 – MEMBRANAS ESTRUTURAIS

Características das membranas estruturais são apresentadas neste item. Os principais aspectos

a serem abordados são: os tipos mais comuns de membrana; os materiais mais utilizados e

suas influências nas características físicas da membrana (resistência, elasticidade,

durabilidade, estabilidade dimensional); e ensaios experimentais.

2.4.1 – Composição

Em geral, a membrana estrutural é um compósito que consiste em um arranjo plano de fios

imersos em uma matriz de revestimento. Diversas membranas ainda contam com a aplicação

de algumas camadas de revestimento superficial de materiais de proteção. As membranas são

produzidas em faixas retangulares de aproximadamente 30 metros de comprimento e 3 a 5

metros de largura. Os fios são dispostos em duas direções, geralmente perpendiculares, e

podem ser tecidos ou simplesmente sobrepostos. No caso de fios sobrepostos, Figura 2.21(a),

eles são apenas colocados uns sobre os outros. Para o arranjo de fios tecidos, existem

diferentes esquemas de organização, mas predomina o arranjo chamado “tecido padrão”, no

1 Foto obtida do site: www.taiyokogyo.co.jp/wc_stadium/stadium_e/eng/camp/toyota/ (23/01/2004)

(a) (b)

21

qual cada fio passa por cima e por baixo, alternadamente, do fio que lhe é transversal, Figura

2.21(b).

Figura 2.21: Arranjos típicos dos fios nas membranas estruturais:

(a) fios sobrepostos; e (b) tecido padrão.

Segundo a direção em que são dispostos, os fios são divididos em dois grupos: fios da

urdidura ou urdume, dispostos ao longo do comprimento da faixa de membrana; e fios da

trama, dispostos da direção da largura da faixa. No caso do tecido padrão, em geral, os fios

da urdidura são firmemente esticados enquanto os da trama são entrelaçados. Assim, na

direção da urdidura os fios ficam praticamente retilíneos enquanto que na direção da trama,

apresentam uma forte tortuosidade ondular. Outra característica importante do tecido padrão é

que a trama pode ser mais apertada, Figura 2.22(a), ou mais folgada, Figura 2.22(b).

Figura 2.22: Tipos de trama: (a) folgadas; e (b) apertadas.

Cada arranjo de fios tem suas vantagens e desvantagens. Por exemplo, a espessura final da

membrana é de aproximadamente 2 vezes o diâmetro dos fios quando eles são sobrepostos e 3

vezes esse diâmetro no tecido padrão. Assim, para fios sobrepostos, o consumo de material

da matriz de revestimento é bem menor que para o tecido padrão. Isso também contribui para

uma membrana mais translúcida no caso dos fios sobrepostos. Por outro lado, a interação

entre os fios da urdidura e da trama é muito maior no tecido padrão e, com isso, a membrana

22

de tecido padrão tem uma resistência ao cisalhamento muito maior que a membrana de fios

sobrepostos. Outras vantagens e desvantagens serão discutidas mais adiante.

Os fios são feitos de fibras, que podem ser organizadas de diferentes formas. As fibras podem

ser dispostas aproximadamente paralelas entre si ou podem ser torcidas. Quando organizadas

de forma quase paralela, a rigidez à extensão do fio é aproximadamente igual à soma das de

cada fibra. Quando os fios são feitos de fibras torcidas a elongação sob carregamento será

maior. A torção das fibras também aumenta a flexibilidade do fio. E essa flexibilidade

superior do fio é transferida para a membrana que é produzida com ele (Shaeffer et al, 1996).

2.4.2 – Fibras

As fibras utilizadas para a maioria das membranas estruturais mais comuns são de quatro

tipos: nylon, poliéster, vidro e aramida (kevlar). Atualmente, a fibra de vidro e o poliéster são

os materiais predominantes. O poliéster vem substituindo o nylon dado seu maior módulo de

elasticidade e sua maior resistência à degradação por ação da radiação ultravioleta. Os

principais materiais utilizados para produção das fibras do fio e suas características mais

relevantes são:

• Nylon – a resistência do nylon é um pouco maior que a do poliéster, mas seu módulo de

elasticidade é menor. Isso faz com que as deformações na membrana de fio de nylon

sejam maiores e, assim, o nylon produz uma membrana mais suscetível a enrugamentos.

O nylon também é sujeito a instabilidades dimensionais quando exposto à umidade. Isso

pode causar grandes problemas na montagem da estrutura se houver variações de

umidade. Outro problema do nylon é que ele perde sua resistência à tração se submetido

a uma exposição prolongada à radiação ultravioleta. Por isso, as membranas de fios de

nylon requerem normalmente um revestimento protetor;

• Poliéster – a menor resistência à tração do poliéster com relação ao nylon é, em geral,

compensada por sua maior rigidez. A fibra de poliéster nua é mais vulnerável à radiação

ultravioleta que a de nylon, mas o poliéster é mais eficientemente protegido quando

revestido. Assim, do ponto de vista prático, pode-se considerar que o poliéster é mais

resistente à radiação ultravioleta;

• Vidro – as fibras de vidro possuem um elevado módulo de elasticidade e uma

resistência à tração muito grande. A principal desvantagem da fibra de vidro é sua

fragilidade. Para diminuir essa fragilidade, as fibras são feitas em diâmetros muito

23

pequenos, entretanto elas ainda são sujeitas a danos por flexão repetida. Cuidados

especiais são necessários com o envio e montagem da estrutura. Em geral, dada a sua

fragilidade, membranas de fibra de vidro não são empregadas em estruturas temporárias

ou aquelas que são freqüentemente montadas e desmontadas. O vidro não se deteriora

por ação da radiação ultravioleta, essa é uma característica especialmente interessante

para instalações permanentes; e

• Aramidas (kevlar) – Aramidas são fibras artificiais orgânicas feitas pelo homem. Elas

possuem elevado módulo de elasticidade e grande resistência à tração. As aramidas

podem suportar consideravelmente mais flexão que a fibra de vidro, mas não tanto

quanto o nylon ou poliéster. O ponto negativo é que são sujeitas à deterioração por ação

da radiação ultravioleta.

2.4.3 – Revestimentos

2.4.3.1 – Matrizes de revestimento

Diversos materiais são usados como matriz de revestimento em membranas estruturais.

Segundo Shaeffer et al (1996), alguns dos mais comuns e suas características são:

• Cloreto de polivinila (PVC) – o PVC é um material macio e flexível compatível com as

formas assumidas pelas tensoestruturas em membrana. Ele é resistente à radiação

ultravioleta e pode ser fornecido em uma grande variedade de cores. Freqüentemente o

PVC é utilizado com membranas de nylon ou poliéster.

• Politetrafluoretileno (PTFE ou teflon) – trata-se de um material quimicamente inerte,

com pouca deterioração por envelhecimento e resistente à umidade e aos micro-

organismos. Quando combinado à fibra de vidro, resulta numa excelente membrana

estrutural cujas principais qualidades são: grande durabilidade, excelente estabilidade

dimensional, resistente ao fogo, alta resistência à tração e de grande módulo de

elasticidade. Sua maior desvantagem é a necessidade de cuidados especiais no manuseio

para que as fibras não sejam danificadas. Também é mais caro que o poliéster revestido

com PVC.

• Silicone – o silicone é utilizado como revestimento de proteção para a fibra de vidro.

Possui excelentes características para resistência à radiação ultravioleta, flexibilidade

duradoura, resistência à chama, resistência à tração e módulo de elasticidade. Também

possui uma elevada capacidade de transmissão de luz. As propriedades mecânicas da

24

membrana de fibra de vidro revestida com silicone são similares às de fibra de vidro

com PTFE.

2.4.3.2 – Revestimentos de superfície

Além de prejudicarem a translucidez e a estética da membrana, a poeira, a poluição e a

radiação ultravioleta podem danificar a matriz de revestimento e encurtar a vida útil da

membrana. Assim, quando as tensoestruturas em membrana ficam expostas às intempéries,

independente da matriz de revestimento da membrana estrutural, é necessária a utilização de

um revestimento de superfície para a proteção da membrana. Além de protegê-la da radiação

ultravioleta, o revestimento de superfície deve conferir propriedades “auto-limpantes” à

membrana para evitar o acúmulo de sujeira. Os materiais mais utilizados para o revestimento

de superfície são o acrílico, o PVDF e o Tedlar. Segundo material informativo obtido da

Internet, no sítio http://www.dupont.com/tedlar/techdata/pdf/h85076.pdf (em 30/01/2004),

esses revestimentos de superfície são caracterizados por:

• Acrílico – é um revestimento de superfície líquido aplicado em finas camadas às

membranas com matriz de revestimento de PVC. Ele possui uma razoável resistência à

radiação, de maneira que é normal que a fina camada de acrílico se deteriore e

desapareça de maneira considerada rápida, expondo o revestimento de proteção e os fios

da membrana às intempéries. À medida que o plastificante do PVC migra para a

superfície, ele atrai e retém cada vez mais sujeira. A descoloração resultante pode ser

um sinal de falha da matriz de revestimento da membrana.

• PVDF (fluoreto de polivilideno) – também é um fino líquido aplicado às membranas

com matriz de revestimento de PVC. O polímero PVDF é mais resistente à radiação

ultravioleta que o acrílico, mas geralmente ele é misturado ao acrílico para reduzir o

custo de permitir que a membrana seja soldada por calor.

• PVF (fluoreto de polivinila ou Tedlar) – trata-se de um polímero da mesma família do

teflon e tem propriedades semelhantes de ser inerte, durável, “auto-limpante” e de fácil

manutenção. Ele é produzido na forma de um filme que é aplicado à membrana durante

a fabricação. Segundo Shaeffer el al (1996), PVF pode ser usado tanto com membrana

de fibra de vidro revestida com PTFE quanto com poliéster revestido com PVC.

25

2.4.4 – Características das membranas estruturais

A membrana estrutural é o conjunto formado pelo tecido e a matriz de revestimento,

independente da presença ou não do revestimento de superfície, como ilustra a Figura 2.23.

Figura 2.23: Exemplo esquemático de membrana estrutural com matriz de revestimento.

Algumas características específicas das membranas estruturais que não podem ser ignoradas

pelo projetista são:

• A resistência das membranas estruturais diminui significativamente com o tempo de

uso;

• A maioria das membranas se deteriora por exposição à radiação ultravioleta. Por si só,

isso justifica o uso dos revestimentos de superfície; e

• A maioria das membranas também perde resistência por absorção de umidade. As

membranas de nylon são especialmente sensíveis à umidade. Assim, proteger a

membrana contra a absorção de umidade é mais uma função para o revestimento de

superfície.

A maioria das tensoestruturas em membrana utiliza ou a membrana de fibra de vidro revestida

com PTFE ou a de poliéster com matriz de revestimento de PVC. Assim, dada a ampla

utilização dessas duas membranas, suas características serão discutidas em seguida.

2.4.4.1 – Dano por dobramento ou rasgamento

A membrana de uma tensoestrutura em membrana é produzida em uma fábrica e precisa ser

transportada até o local de construção. Assim, é necessário que a membrana seja dobrada ou

enrolada, empacotada e enviada para o local de construção, onde ela é desempacotada,

desdobrada e montada no local definitivo. Como os fios de poliéster são muito mais flexíveis

26

que os de fibra de vidro, a membrana de poliéster é muito mais resistente ao dobramento que

a de fibra de vidro. Existem diversos ensaios que medem a capacidade de dobramento da

membrana, um deles é apresentado na Figura 2.24, a seguir (Shaeffer et al 1996):

Figura 2.24: Equipamento para ensaio de dobramento (modificado de Shaeffer et al 1996).

Outra importante característica a ser considerada para a escolha da membrana estrutural é sua

resistência à propagação de rasgos, pois a maioria dos acidentes com tensoestruturas em

membrana ocorreu por rasgamento da membrana.

Diferentemente dos materiais utilizados nos modelos construtivos usuais, onde os materiais

mais resistentes em geral são os mais indicados, nem sempre a membrana estrutural de maior

resistência à tração é a mais resistente ao rasgamento. No caso de membranas, a principal

resistência à propagação de rasgos ocorre devido a um fenômeno chamado “cordeamento”

(roping), em que mais e mais fios se deslocam em direção à crista de propagação à medida

que o rasgo se desenvolve. Além do acúmulo de fios na crista, esses fios também assumem

uma disposição angular mais favorável para combater o desenvolvimento do rasgo. Desta

maneira, a possibilidade do deslocamento dos fios dentro da matriz é fundamental para que a

membrana estrutural seja resistente à propagação de rasgos. Com isso, uma membrana com

fios em tecido padrão de trama apertada certamente é mais resistente à tração que uma de

trama folgada, por outro lado, se a matriz de revestimento permitir o deslocamento dos fios, é

bem provável que a de trama folgada seja mais resistente ao rasgamento. Alguns ensaios para

avaliação da resistência ao rasgamento das membranas estruturais são mostrados a seguir na

Figura 2.25 (Shaeffer et al, 1996).

27

Figura 2.25: Ensaios de rasgamento: (a) Teste da língua; (b) Teste trapezoidal; e (c) Teste

uniaxial de rasgo central (modificado de Shaeffer et al, 1996).

2.4.4.2 – Estiramento e estabilidade dimensional

Para minimizar o problema provocado por deformações permanentes, produzidas

principalmente na primeira vez que um carregamento é aplicado à membrana, várias técnicas

vêm sendo empregadas. Uma delas consiste em tracionar os fios da trama e da urdidura ainda

durante sua tecelagem, isso faz com que o a tortuosidade dos fios da membrana fique mais

balanceada entre as duas direções. Outra técnica utilizada é pré-estirar a membrana antes de

sua instalação, isso reduz os estiramentos que se desenvolvem na membrana ao longo de sua

vida útil (Shaeffer et al, 1996).

As variações dimensionais alteram principalmente a distribuição de tensão e podem provocar

o surgimento de enrugamentos ou regiões com folgas. Segundo Shaeffer et al (1996), a

temperatura e umidade são os principais fatores que influem na estabilidade dimensional das

membranas estruturais. Variações de temperatura alteram as dimensões da membrana segundo

um coeficiente de dilatação térmica. A absorção de umidade ocorre por capilaridade nas fibras

dos fios e também pode alterar as dimensões da membrana. A umidade ainda pode exercer um

efeito deletério à membrana por efeito de congelamento e descongelamento ou por transporte

de micro-organismos que causam manchas e degradam a membrana. A absorção de umidade

é controlada pelo revestimento, que precisa permanecer intacto para a proteção da membrana.

Entre as fibras mais utilizadas em membranas estruturais o nylon é a mais sensível à absorção

de umidade.

Independente da causa, variações dimensionais podem ter conseqüências muito sérias para as

tensoestruturas em membrana. O estiramento da membrana após sua instalação pode levar à

perda do pré-tracionamento inicial e ao surgimento de regiões folgadas, que além de

28

esteticamente desagradáveis podem provocar o drapejamento com o vento e o rasgamento da

membrana (Shaeffer et al, 1996).

2.4.4.3 – Resistência a agentes químicos e a radiação ultravioleta

Obviamente a membrana estrutural deve suportar a ação dos agentes químicos e da radiação

ultravioleta presentes no meio onde é instalada, inclusive a ação dos agentes químicos

produzidos pelo próprio revestimento da membrana. Quando os componentes do vinil são

degradados, um dos subprodutos é o ácido hidroclórico, que ataca a fibra de nylon e provoca a

rápida perda de resistência da membrana. As fibras de poliéster são imunes a esse ataque

químico (Shaeffer et al, 1996).

Muitos dos materiais sintéticos são degradados por exposição prolongada à radiação

ultravioleta. A aplicação de aditivos resistentes à luz nas fibras ou revestimentos que

absorvem a radiação ultravioleta pode prolongar a vida útil das membranas. A fibra de vidro

não é afetada pela radiação ultravioleta, a fibra de poliéster perde alguma resistência e a fibra

de nylon é a que mais dano sofre. Um teste realizado com membranas com fibras de nylon e

poliéster mostrou que, após 110 semanas de exposição à radiação ultravioleta, a membrana de

nylon perdeu 90% de sua capacidade resistiva enquanto a poliéster perdeu apenas 20%


2.4.4.4 – Resistência ao fogo

Não foram encontrados registros da existência de normas técnicas específicas para

membranas estruturais em situação de incêndio. Entretanto, segundo Shaeffer et al (1996),

algumas normas americanas são adaptadas para membranas, a saber: ASTM E84, conhecido

como teste de “espalhamento de chama”, mede e limita o espalhamento de chamas e produção

de fumaça em superfícies expostas como coberturas e paredes; ASTM E108, teste de fogo em

coberturas, avalia a resistência de coberturas contra fogo originado fora da edificação; ASTM

E136, teste da fornalha tubular vertical, aplica-se apenas ao tecido da membrana, sem os

revestimentos, e mede a temperatura para a qual um corpo-de-prova quadrado, com lados de

40 mm, atinge uma temperatura 30º C a mais que a temperatura da fornalha; e o NFPA 701,

teste de fogo para filmes e têxteis resistentes à chama, mede a dificuldade de ignição e

espalhamento de chamas além da área de ignição.

29

2.4.4.5 – Resistência à tração

O conhecimento da relação tensão-deformação é especialmente importante para a análise de

tensões e projeto de cortes das tensoestruturas em membrana. Devido à natureza das

membranas estruturais, essa relação é não-linear, ortotrópica e muitas vezes inelástica, de

maneira que sua determinação precisa é impraticável. As relações tensão-deformação na

direção da urdidura e da trama são significativamente diferentes. Além disso, em geral, existe

grande diferença entre o comportamento da membrana no primeiro carregamento e nos

carregamentos subseqüentes.

No caso das membranas com fios em tecido padrão, ainda existe um fenômeno chamado

“intercâmbio de tortuosidade” (crimp interchange). Quando uma tensão predomina em

alguma das direções, a tortuosidade dos fios nessa direção é diminuída e isso provoca um

aumento da tortuosidade dos fios na outra direção. Segundo Testa & Yu (1987), as

tortuosidades dos fios da urdidura e da trama são sempre complementares. O intercâmbio de

tortuosidade é ilustrado na Figura 2.26, que mostra os fios da urdidura sendo ondulados por

ação de uma tensão que atua predominantemente na direção da trama.

Figura 2.26: Esquema do intercâmbio de tortuosidade.

Existem dois tipos de ensaio de tração para membranas estruturais, a saber: o ensaio uniaxial

ou ensaio da faixa; e os ensaios biaxiais. O ensaio uniaxial, Figura 2.27(b), lembra o ensaio de

tração do aço, mas existem diferenças marcantes. Não há qualquer trecho linear na curva

tensão-deformação para a membrana. Essa curva é inelástica para os primeiros ciclos de

carregamento e descarregamento, mas passa a apresentar um comportamento elástico após

alguns ciclos. Outro ponto importante é que o teste uniaxial pouco simula as condições reais

da membrana na tensoestrutura, pois como as fibras transversais do corpo de prova são muito

curtas, as fibras na direção do comprimento são facilmente esticadas, o que não acontece na

estrutura real. Os testes biaxiais buscam melhor simular as condições da membrana na

30

tensoestrutura e captar sua natureza ortotrópica com maior fidelidade (Shaeffer et al, 1996).

Existem diversos tipos de ensaio biaxial, o de corpo-de-prova cruciforme é esquematizado na

Figura 2.27(a).

Figura 2.27: Esquemas de ensaios de tração de membrana: (a) Ensaio biaxial cruciforme; e (b)

ensaio uniaxial ou teste da faixa (modificado de Shaeffer et al, 1996).

Curvas típicas de tensão-deformação para membranas estruturais, colhidas de Shaeffer et al

(1996), são apresentadas na Figura 2.28. Essas curvas foram obtidas de ensaios biaxiais com

corpo-de-prova cruciforme e membranas com fios em tecido padrão. A relação tensão-

deformação para uma membrana de fibra de vidro com matriz de revestimento de PTFE é

representada pelas curvas da Figura 2.28(a). Da mesma forma, para uma membrana de

poliéster revestida com PVC, a relação tensão-deformação é representada pelas curvas da

Figura 2.28(b). Essas figuras mostram os resultados obtidos para até três ciclos de

carregamento e descarregamento. Como diferentes curvas são obtidas para cada ciclo, fica

evidenciado que a relação tensão-deformação varia com a repetição do carregamento. Além

disso, as curvas de tensão-deformação são apresentadas para diferentes relações entre a tensão

na direção da urdidura e na direção da trama, assim, por exemplo, as curvas indicadas por

“trama 1 : 2” representam a deformação na direção da trama num ensaio em que tensão na

direção da trama foi mantida igual ao dobro da tensão na direção da urdidura. Com essa

mesma relação de tensão, as curvas indicadas por “urdume 1 : 2” mostram a relação tensão-

deformação na direção da urdidura.

31

Figura 2.28: Curvas típicas de tensão-deformação para membranas de: (a) fibra de vidro

revestida com PTFE; e (b) poliéster revestido com PVC (modificado de Shaeffer et al, 1996).

Os principais aspectos das membranas estruturais observados nas curvas da Figura 2.28 são:

• Existe uma grande diferença entre o comportamento da membrana na direção da

urdidura e na direção da trama;

• A relação de tensão na direção da urdidura e na direção da trama interfere no

comportamento da membrana nessas direções;

• Há uma deformação permanente após o primeiro ciclo de carregamento; e

• A relação entre tensão e deformação nas membranas é claramente não-linear.

2.5 – O PROJETO DE TENSOESTRUTURAS EM MEMBRANA

2.5.1 – Processos de projeto e construção

Em qualquer obra, o trabalho conjunto das equipes envolvidas em seu projeto e execução é

muito importante para o sucesso do empreendimento, evitando-se desperdícios de materiais,

gastos excessivos e atrasos desnecessários.

No caso das tensoestruturas em membrana essa interação é ainda mais importante. Desde os

primeiros croquis, engenheiros e arquitetos devem trabalhar conjuntamente, pois nesse

sistema construtivo a forma e a estrutura se confundem, cabos podem cruzar os ambientes e

até mesmo as emendas da membrana podem ficar à mostra. Além disso, como a seqüência de

montagem é parte essencial do projeto, a participação da equipe de projeto deve se estender

até a sua execução.

(a) (b)

32

Nos Estados Unidos, segundo Shaeffer et al (1996), vem crescendo a utilização de uma

abordagem conhecida como “projeto/construção” para construções gerais. Nessa abordagem

um o arquiteto ou um de seus consultores fornece apenas linhas gerais e padrões de

desempenho dos elementos a serem construídos aos sub-contratados, que ficam responsáveis

pelo projeto detalhado e execução da parte lhe cabe. Ainda segundo Shaeffer et al (1996), as

tensoestruturas em membrana podem ser construídas ou através da abordagem

“projeto/construção” ou por um engenheiro consultor, mantido pelo arquiteto ou pelo cliente,

com conhecimento especializado sobre essa tecnologia, mas as melhores vantagens são

oferecidas pela abordagem “projeto/construção”.

Véron et al (1998) e, depois, Oliveira e Barbato (2002) propuseram o “Processo de Projetar

Integrado” para tensoestruturas em membrana. Nessa proposta são descritas as diversas etapas

do projeto, os participantes de cada uma delas e o papel de todos os envolvidos. Em sua tese

de doutorado, Oliveira (2001) faz a adaptação do “Processo de Projeta Integrado” para o

desenvolvimento da tecnologia de tensoestruturas em membrana no Brasil.

2.5.2 – Etapas do projeto de tensoestruturas em membrana

É ponto pacífico entre pesquisadores em geral que o projeto de tensoestruturas em membrana

envolve três etapas distintas:

• Busca da forma – atendendo às restrições de projeto, uma configuração de equilíbrio

para a membrana e o correspondente estado de tensão inicial são determinados;

• Projeto de cortes – a superfície espacial é dividida em recortes planos correspondentes

aos espaciais, com largura e comprimento limitados pelas medidas das peças de

membrana estrutural comercializadas. Na definição das dimensões dos recortes,

considera-se o efeito da relaxação do estado de tensão inicial da membrana; e

• Análise estrutural – com uma membrana obtida da montagem dos recortes planos,

incluindo-se as estruturas de suporte, realiza-se a análise estrutural considerando-se as

devidas combinações de carregamento.

Inicialmente, as estruturas em membrana modernas foram construídas exclusivamente com

base em cálculos manuais e modelos físicos feitos de diversos materiais. Hoje, apesar dos

modelos físicos ainda serem de grande utilidade, especialmente na fase de concepção do

projeto, todas as etapas do projeto contam com o auxílio de programas computacionais.

33

2.5.2.1 – Busca da forma

Como coloca Knudson (1991), as tensoestruturas são singulares entre as estruturas no sentido

de que sua geometria inicial não pode ser determinada independentemente de seu estado de

tensão. Isso coloca uma ênfase especial na definição da configuração inicial de equilíbrio, que

deve ser a primeira tarefa a ser realizada antes de qualquer análise estática ou dinâmica.

Dado um contorno, existem várias configurações iniciais possíveis. Em princípio, desde que

não haja tensão de compressão, qualquer configuração em equilíbrio que atenda às restrições

impostas é válida. Entretanto, há certas recomendações de projeto que podem restringir essas

possibilidades. Para um projeto estruturalmente eficiente e uma membrana durável, talvez a

mais importante recomendação seja a de que a distribuição de tensão deve ser suave, o mais

uniforme possível e não ultrapassar certos limites característicos da membrana. Isso

naturalmente conduz à busca da superfície de mínima área para o dado contorno, pois essa

superfície tem a propriedade de ser auto-equilibrante com tensões isotrópicas, uniformes e

sem cisalhamento. Todavia, nem sempre a superfície de mínima área pode ser adotada, pois

podem existir requisitos de projetos aos quais ela não atende.

De acordo com Nitsche1 apud Gründig (1988) e Lewis (1998), no caso de superfície com

dupla curvatura oposta (anticlastic surface), a superfície de mínima área é apenas uma

instância de uma classe matemática conhecida como superfície mínima, que são

caracterizadas por possuírem uma curvatura média nula nos pontos de seu domínio. Para um

dado contorno podem existir mais de uma superfície mínima, mas apenas uma é de mínima

área. E apenas essa superfície de mínima área é associada a um estado de tensão isotrópica e

uniforme. Quando a superfície apresenta dupla curvatura no mesmo sentido (synclastic

surface), como se verifica em estruturas infladas, não se pode classificá-la matematicamente

como superfície mínima, mas ainda existe uma superfície de mínima área associada a um

estado de tensão isotrópica e uniforme.

Modelos físicos em filme de sabão ou filme de plástico líquido são excelentes meios para se

investigar as possibilidades e limitações de superfícies submetidas a um estado de tensão

uniforme. Os líquidos resistem à tração, mas não ao cisalhamento. A forma da membrana

1 Nitsche, J. Vorlesungen über Minimalflächen. Springer, Berlin, 1975.

34

resultante da aplicação desses filmes em qualquer armação de contorno resulta em uma

superfície de mínima área e com tensões uniformes para cada carregamento aplicado


Lewis (1998) coloca que os modelos físicos têm um importante papel em vários estágios do

projeto de tensoestruturas em membrana. Primeiro, eles servem como meio de comunicação

entre membros envolvidos no projeto. Outro benefício é proporcionar uma verificação dos

resultados computacionais. Por outro lado, essa mesma pesquisadora alerta que para projetos

executados exclusivamente com base em medições de modelos físicos em pequena escala,

como foi a cobertura do Estádio Olímpico de Munique (1972) ou o Pavilhão Federal Alemão

(1968), apesar de grandes esforços para se obter medições precisas, não é possível evitar a

propagação de erros de medição do modelo para a estrutura real.

Modelos computacionais substituíram em grande parte os complexos e caros modelos físicos,

pois são muito mais versáteis e precisos. Existem diversas abordagens numéricas para tratar

do problema de busca da forma, algumas iterativas, outras diretas, algumas exploram mais

aspectos geométricos enquanto outras, mais aspectos físicos. Um importante artigo sobre

métodos numéricos para busca da forma de estruturas em membrana tracionadas por cabos foi

publicado por Haber & Abel (1982). Eles apresentam diversos métodos para a solução do

problema da configuração inicial de equilíbrio (busca da forma), na maioria deles a

configuração geométrica da membrana e o correspondente estado de tensão são tratados como

incógnitas, mas eles também descrevem um método com controle sobre a configuração

geométrica e outro com controle sobre o estado de tensão na membrana. Segundo esses

pesquisadores, não existe um método ótimo que se aplique a todas as situações e, com isso, os

projetistas devem usar combinações de métodos para chegar ao resultado mais adequado.

Segundo Haber & Abel (1982), os primeiros métodos computacionais para a solução do

problema de configuração inicial de equilíbrio de estruturas em membrana utilizavam técnicas

de análise geometricamente não-lineares para anular forças desbalanceadas (forças residuais)

em configurações inicialmente desequilibradas. Entretanto, esses pesquisadores consideraram

inapropriado o uso do método não-linear dos deslocamentos em fases preliminares do projeto

por ser um método computacionalmente caro, se comparado aos demais métodos

apresentados. Por outro lado, em todas as combinações de métodos que sugeriram, eles

colocaram que o método não-linear dos deslocamentos deveria ser empregado na etapa final,

35

pois esse método tem excelente taxa de convergência e fornece resultados bastante precisos

quando a configuração de partida já está próxima da solução do problema.

A evolução tecnológica dos computadores e o desenvolvimento de técnicas numéricas mais

eficientes permitem que hoje se utilizem os métodos não-lineares desde as primeiras etapas do

projeto das tensoestruturas em membrana. Em geral, os métodos atualmente utilizados ou

minimizam um funcional de área construído para a discretização da membrana ou procuram

uma configuração geométrica de equilíbrio para um dado estado de tensão.

Segundo Lewis (1998), os modelos computacionais usados na busca da forma de

tensoestruturas em membrana podem fazê-lo tendo em vista um entre três objetivos distintos:

(a) Buscar a forma ótima da tensoestrutura em membrana;

(b) Procurar apenas uma configuração que esteja apenas em equilíbrio estático; ou

(c) Buscar uma configuração que apenas aproxime a condição de equilíbrio estático.

No caso (a), apenas o contorno da estrutura é imposto e o algoritmo procura a forma ótima, a

superfície de mínima área, associada a uma distribuição uniforme de tensão. Em (b), a

condição de tensão uniforme é relaxada e a configuração obtida está apenas em equilíbrio

estático. Finalmente, no caso (c), ficam evidenciadas as dificuldades práticas do projeto de

tensoestruturas em membrana, pois visando simplificar a etapa de projeto de corte, a precisão

na etapa de busca da forma é sacrificada e a configuração resultante apenas aproxima a

condição de equilíbrio estático. Nesse caso, a membrana já é discretizada tendo em vista os

recortes espaciais a serem planificados, e o uso de artifícios para manter as linhas de emenda

em posições convenientes interferem na solução do problema.

2.5.2.2 – Projeto de cortes

A precisão no projeto de cortes é de fundamental importância para que o estado de tensão

prescrito em projeto corresponda ao que se forma na membrana da estrutura. Qualquer erro no

projeto de corte pode provocar o surgimento de regiões folgadas, enrugadas ou submetida à

tração excessiva, especialmente para as membranas com grandes módulos de rigidez, que se

deformam menos. Além de efeitos esteticamente indesejáveis, erros no projeto de cortes

também podem prejudicar a durabilidade da tensoestrutura em membrana levando-a a um

colapso prematuro.

36

Segundo Knudson (1991), o projeto de cortes deve considerar o comportamento biaxial da

membrana quanto à relação tensão-deformação, a seqüência de montagem, o nível de tensão

desejado para todas as combinações de carregamento e o relaxamento em longo prazo do

material.

Ao final da etapa de busca da forma, uma configuração espacial da membrana e o

correspondente estado de tensão (pré-tracionamento) são conhecidos. Se ainda não tiverem

sido definidos os recortes espaciais a serem planificados, o projeto de cortes se inicia com a

definição das linhas de emenda que os delimitam. Moncrieff & Topping (1990) sugerem que

as linhas de emenda acompanhem linhas geodésicas, pois isso resulta em recortes eficientes

tanto do ponto de vista de aproveitamento dos rolos de membrana quanto do ponto de vista do

desempenho da tensoestrutura em membrana em serviço. Uma linha é considerada geodésica

se o percurso na superfície for o menor entre seus pontos extremos.

Segundo Moncrieff & Topping (1990), em geral, os métodos utilizados no projeto de cortes

são baseados em modelos físicos, modelos geométricos ou modelos de equilíbrio. Modelos

físicos foram o principal meio utilizado até por volta de 1970. Nesse método, recortes

aplicados a pequenos modelos da estrutura em escala são utilizados para a definição dos

recortes planos da membrana. Modelos geométricos são utilizados para uma pequena classe

de estruturas, geralmente infláveis, com superfícies dadas por expressões matemáticas

conhecidas. As próprias expressões são utilizadas para a definição dos recortes do projeto de

corte. Modelo de equilíbrio é o nome dado a uma técnica geral que envolve programas

computacionais que buscam o equilíbrio nodal de um modelo discretizado da membrana. Eles

são amplamente utilizados em face de sua flexibilidade, precisão e velocidade, além disso,

podem ser utilizados em outras etapas do projeto de tensoestruturas em membrana.

Ainda sobre o modelo de equilíbrio, existem diversas técnicas para transformar os recortes

espaciais em recortes planos, mas duas delas merecem destaque em especial: uma é conhecida

como desdobramento e a outra, como achatamento. No desdobramento ou rebatimento, todos

os elementos que a discretizam a faixa de membrana no espaço são simplesmente rebatidos

para um mesmo plano e, então, considera-se o efeito de relaxamento das tensões. Trata-se,

portanto, de uma técnica simples, exata e confiável. Porém, para que se aplique o

desdobramento, as faixas de membrana no espaço precisam ser “desdobráveis”, ou seja, todos

37

os elementos que discretizam a faixa devem poder ser rebatidos para um plano qualquer sem

que haja superposição dos elementos. Em geral, isso significa que o recorte de membrana no

espaço possui curvatura em apenas uma direção. Quando a superfície não é “desdobrável”,

técnicas de aproximação numérica precisam ser empregadas para levar o corte de membrana

do espaço a uma configuração plana com o mínimo de distorção possível. Assim, se o modelo

discretizado do corte de membrana no espaço não é “desdobrável”, sempre haverá um erro

envolvido em seu processo de planificação. A técnica conhecida como achatamento é

amplamente utilizada como processo de planificação dos cortes de membrana. Em linhas

gerais, essa técnica consiste em partir do recorte na configuração espacial “pré-tracionada”,

forçar o recorte de membrana para o plano horizontal, restringir os deslocamentos verticais de

todos os nós, impor restrições adicionais necessárias para evitar deslocamentos de corpo

rígido e, considerando-se as propriedades do material da membrana, buscar uma configuração

plana de equilíbrio através de um programa de análise estrutural. Entretanto, Moncrieff &

Topping (1990) apontam que o uso de programas de análise estrutural para a planificação de

cortes de membrana pode ser desnecessário e ineficiente. Conseqüentemente, foram criadas

técnicas de achatamento que minimizam as deformações dos lados dos elementos ao invés da

energia potencial de deformação do sistema estrutural. Independente da técnica de

achatamento utilizada, também é importante que sejam tomados cuidados para que os

comprimentos dos lados a serem emendados entre recortes vizinhos sejam sempre iguais entre

si.

2.5.2.3 – Análise estrutural

O principal objetivo dessa etapa do projeto é avaliar a distribuição de tensão e os

deslocamentos para todas as combinações de carregamento previstas. As tensões não devem

ultrapassar os limites de segurança da membrana e os deslocamentos devem atender os limites

de projeto. Recomenda-se partir de uma configuração inicial de equilíbrio e a respectiva

distribuição de tensão resultante da montagem dos recortes planos obtidos na etapa do projeto

de cortes.

Outro importante aspecto do projeto de tensoestruturas em membrana é a elaboração de uma

seqüência de instalação adequada para a membrana. Para isso, a análise estrutural no processo

construtivo, observando as tensões que se desenvolvem na membrana em sua seqüência de

instalação, também é necessária.

38

Como as membranas suportam os carregamentos desenvolvendo apenas tensões de tração em

sua superfície, isso faz com que grandes deslocamentos sejam observados nas tensoestruturas

em membrana. A forma da membrana tem grande influência em sua rigidez e, assim, a não-

linearidade geométrica está sempre presente nos programas de análise dessas estruturas. Além

disso, muitas vezes é preciso que se considere a não-linearidade e o comportamento

ortotrópico do material da membrana. Dessa forma, a não-linearidade física também precisa

se fazer presente nos programas.

Como coloca Lewis (1998), o procedimento para a análise estática parte da configuração

inicial de equilíbrio, em seguida, as cargas estáticas são aplicadas e uma nova configuração de

equilíbrio é procurada. Trata-se de um processo computacional iterativo, onde as tensões e

deslocamentos provocados pelos carregamentos são determinados. A análise dinâmica é

especialmente interessante para o estudo de cargas de vento, que geralmente são os

carregamentos mais relevantes nas tensoestruturas em membrana. Ainda segundo Lewis

(1998), a análise dinâmica é feita com base em dados experimentais colhidos em túneis de

vento, mas os modelos utilizados são feitos de material rígido e, portanto, são incapazes de

fornecer uma verdadeira representação das pressões que se desenvolvem em uma membrana

flexível. Na prática, valores conservativos de cargas estáticas equivalentes são usados para

simular o vento.

2.5.3 – Recomendações gerais de projeto

Como em todos os sistemas estruturais, o projetista deve contemplar uma variedade de

mecanismos de colapso. Naturalmente, o sistema estrutural das tensoestruturas em membrana

e seus componentes devem ser projetados para que resistam a todas as possibilidades de

colapso (Shaeffer et al, 1996).

No caso de estruturas com dupla-curvatura oposta, à medida que cresce o carregamento, a

tração aumenta em uma das direções principais e diminui na outra até que não haja mais

tração e que a membrana fique folgada. Geralmente, é indesejável que se perca a tração em

uma área significativa sob a ação qualquer combinação de carregamento. Quando surgem

regiões com folga, podem ocorrer enrugamentos ou a formação de bolsas, que, além de

esteticamente indesejáveis, contribuem para fatores deletérios como: a retenção de água ou

neve; e a propensão a rápidos movimentos como o drapejamento sob a ação do vento. Assim,

39

o pré-tracionamento é prescrito de maneira não ocorram regiões com folga na membrana

quando a estrutura é submetida aos carregamentos (Shaeffer et al, 1996).

Geralmente, as tensoestruturas em membrana são projetadas de maneira que se instale um

estado de tensão uniforme, pois além de um sistema estruturalmente eficiente, isso contribui

para a durabilidade da membrana e a manutenção do pré-tracionamento inicial ao longo de

sua vida útil. Por isso, os modelos que fornecem a configuração com superfície de mínima

área, que está associada a um estado de tensão isotrópica e uniforme, são muito visados.

Há, no entanto, certos empecilhos para a utilização da configuração de mínima área, os

principais deles são: para contornos arbitrários, em geral, as superfícies de mínima área não

podem ser descritas analiticamente, mas apenas aproximadas por técnicas numéricas; ao

contrário dos modelos em filme de sabão, o material das membranas industriais é

anisotrópico, o que impede a instalação do estado de tensão isotrópica e uniforme na

estrutura; as formas resultantes não são “desdobráveis” e dificultam o projeto de cortes; e as

superfícies de mínima área tendem a apresentar regiões com inclinação muito suave, que

dificulta o escoamento de água ou neve. Além desses empecilhos, alguns projetistas ainda

alegam que as superfícies de mínima área são otimizadas apenas para um caso de

carregamento, seu próprio pré-tracionamento. Contra esses argumentos, Lewis (1998) levanta

os seguintes pontos:

• O pré-tracionamento é o único carregamento permanente nas tensoestruturas em

membrana e, portanto, é sensato que ela seja otimizada para esse carregamento, mas que

ainda suporte os carregamentos de vento e de neve;

• A distribuição não-uniforme de tensão na membrana, que se desenvolve com a

imposição de certos carregamentos à estrutura, em geral, é muito mais aguda no caso de

estruturas com pré-tracionamento diferenciado que naquelas com pré-tracionamento

mais próximo do uniforme.

A seguir serão apresentados alguns tópicos sobre carregamentos e pré-tracionamento

inerentes ao projeto de tensoestruturas em membrana.

40

2.5.3.1 – Carregamentos

Alguns aspectos sobre carregamentos, apontados por Shaeffer et al (1996), são apresentados

em seguida:

• Geralmente, o peso próprio das tensoestruturas em membrana é inferior a 50 N/m2 e,

portanto, é irrelevante;

• Em estruturas convencionais, geralmente, cargas acidentais em coberturas são prescritas

para considerar carregamentos que ocorrem durante sua fase de construção. No caso de

tensoestruturas em membrana não existem tais carregamentos, mas os códigos

americanos são indiferentes quanto a isso e prescrevem cargas acidentais para elas.

Entretanto, esses carregamentos podem ser reduzidos baseando-se em áreas efetivas;

• Dada à leveza das tensoestruturas em membrana, geralmente, carregamentos sísmicos

podem ser desprezados;

• Freqüentemente os carregamentos de vento são predominantes nas tensoestruturas em

membrana. As formas curvas e a grande variedade de formas desse modelo construtivo

dificultam a adaptação de fórmulas de códigos para o cômputo de cargas eólicas.

Estruturas grandes e complexas, em geral, necessitam testes em túneis de vento para a

avaliação mais precisa dessas cargas;

• Nevadas moderadas podem ser resistidas por tensoestruturas em membrana desde que

tenham a forma adequada e suficiente pré-tracionamento para que se evite a formação

de grandes acúmulos de neve, pois a sobrecarga adicional tende a deformar a estrutura

de maneira a acumular cada vez mais neve e, eventualmente, isso pode levar a estrutura

ao colapso. Lewis (1998) coloca que cargas típicas de neve ficam entre 1,2 e 2,4 kN/m2

em planta. Elevadas inclinações são úteis para facilitar o escoamento da neve em

membranas de superfície lisa. Equipamentos para derretimento de neve, usualmente

fornos que produzem ar quente sob a membrana, são úteis em regiões de grandes cargas

de neve; e

• Em vista dos grandes deslocamentos comuns às estruturas em membrana, cargas

concentradas como equipamentos pesados de iluminação, sinalização e placares

requerem projetos específicos. Em geral, grandes cargas são suportadas por estruturas

mais rígidas como mastros, treliças ou mesmo sistemas de cabo.

41

2.5.3.2 – Tensões usuais de pré-tracionamento

Em face da pequena espessura da membrana, especialmente se comparada às suas demais

dimensões, as “tensões” são colocadas, de uma maneira geral, em unidades de força por

comprimento ao invés de força por área.

À medida que o pré-tracionamento aumenta, maior a precisão requerida no projeto de cortes,

maiores são os cuidados necessários na fase de instalação e menor é a reserva de resistência

da membrana. O pré-tracionamento depende tanto do material (resistência e rigidez) da

membrana utilizada quanto da amplitude dos carregamentos prescritos. Para as tensoestruturas

em membrana, Shaeffer et al (1996) apontam as seguintes cargas típicas de pré-

tracionamento:

• 4 a 10% da resistência última para cabos;

• 6 a 8 kN/m para membranas pesadas de fibra de vidro revestidas com PTFE (teflon);

• 4 a 6 kN/m para membranas leves de fibra de vidro revestidas com PTFE;

• 1 a 2 kN/m para membranas leves para forro de fibra de vidro revestidas com PTFE; e

• 1 a 4 kN/m para membranas de poliéster revestidas com PVC.

Lewis (1998) coloca que o pré-tracionamento deve ser apropriado para assegurar que não

ocorra a perda da carga de tracionamento durante a vida útil da estrutura. Ainda segundo essa

pesquisadora, sob cargas de vento ou de neve, a tensão na membrana pode chegar a 10 vezes a

de pré-tracionamento. Por isso, ela recomenda que a tensão na membrana em serviço deve

ficar em 20 a 25% de sua resistência última e que a tensão de pré-tracionamento deve ser

aproximadamente 5% dessa resistência. Esse aparente alto fator de segurança imposto ao pré-

tracionamento se deve à observação de que, em geral, a resistência última de uma membrana

é medida em um ensaio uniaxial com um corpo-de-prova novo, limpo e seco. No caso de um

ensaio biaxial, as membranas podem chegar a fornecer uma resistência última

aproximadamente igual à metade daquela fornecida em um ensaio uniaxial. Para estruturas

pneumáticas suportadas por ar, Lewis (1998) sugere que a pressão interna seja mantida entre

0,2 a 0,55 kN/m2.

42

2.5.4 – Aspectos do desempenho das tensoestruturas em membrana

2.5.4.1 – Aspectos térmicos

Segundo Shaeffer et al (1996), as membranas em geral são caracterizadas pela baixa

capacidade de isolamento térmico, pequena massa térmica, elevada refletividade da luz e

translucidez baixa a moderada. Essas características tornaram as estruturas em membrana

ideais para regiões de clima tropical ou temperado com grande radiação solar. Nessas

condições, a baixa capacidade de isolamento ajuda a combater o “efeito estufa” e a

refletividade reduz a transmissão de calor da radiação solar. Em regiões de clima frio, uma

camada de forro, também em membrana, proporciona um bom isolamento térmico à estrutura.

2.5.4.2 – Aspectos acústicos

O desempenho acústico das membranas estruturais é caracterizado por elevada refletividade

das vibrações sonoras, especialmente entre as freqüências entre 500 e 2000 Hz. Essa

refletividade pode resultar em um fraco desempenho acústico para eventos musicais e

dificultar a compreensão da fala. Os focos de reflexão devidos à forma espacial de certas

coberturas também podem prejudicar seu desempenho acústico, especialmente em estruturas

pneumáticas ou apoiadas em arcos, que possuem uma cobertura côncava do interior (Shaeffer

et al 1996).

A transmissão do som através da membrana também é uma importante consideração em

aeroportos ou outras estruturas que requerem o isolamento acústico contra barulhos externos.

Assim como a refletividade do som, a transmissibilidade também depende da freqüência de

vibração do som. Testes evidenciam transmissibilidade moderada para membranas estruturais,

que vão de uma queda de aproximadamente 5 decibéis para sons de 100 Hz a 30 decibéis para

sons de 5000 Hz (Shaeffer et al 1996).

A refletividade e transmissibilidade sonoras podem ser diminuídas com a instalação de forros

em membrana leve e porosa. A utilização de fibra de vidro entre o forro e a cobertura diminui

a transmissibilidade e melhora o isolamento acústico. As medidas para melhoramento do

desempenho acústico interferem em outras, como na iluminação natural, isolamento térmico e

segurança contra incêndios. Portanto, essa iteração de efeitos deve ser levada em consideração

no projeto (Shaeffer et al 1996).

43

2.5.4.3 – Aspectos energéticos

Em países de clima tropical, o principal elemento que proporciona economia de energia com o

uso das tensoestruturas em membrana é a utilização de luz natural durante o dia. A

translucidez das membranas, que pode chegar a 27% em alguns casos, permite uma grande

economia na eletricidade que seria consumida para iluminação interior. Segundo Shaeffer et

al (1996), a possibilidade da utilização de luz natural é especialmente interessante para

instalações esportivas, pavilhões de exibição, áreas de recepção, etc.

Em países de climas mais frios, para garantir o isolamento térmico da estrutura, há a

necessidade da utilização de forros e outros materiais que prejudicam a passagem da luz

natural. Assim, nesses casos, a utilização de luz natural fica comprometida e um bom

isolamento térmico é obtido, mas isso torna a tensoestrutura em membrana uma alternativa

equiparável a outros modelos construtivos.

2.5.5 – Detalhes construtivos

O sistema estrutural das tensoestruturas em membrana envolve uma grande variedade de

formas e soluções estruturais, que se adaptam às características específicas de cada local.

Assim, o detalhamento para tensoestruturas em membrana é mais complexo que para

estruturas convencionais, pois cada projeto de tensoestrutura requer um novo conjunto de

soluções para as ligações entre membrana, cabos e aparelhos de ancoragem.

Detalhes construtivos sobre os processos de emenda entre membranas, entre membranas e

cabos, entre membranas e bordas rígidas, sobre sistemas de ancoragem, sistemas de

acoplamentos a mastros podem ser obtidos, por exemplo, em Shaeffer et al (1996) e no sítio

da Internet da Universidade Politécnica da Catalunha (Univesitat Politécnica de

Catatalunya): http://www.upc.es/ca1/cat/recerca/tensilestruc/webdetalles/index.html (em

24/04/2004).

44

2.6 – PRINCIPAIS MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ESTRUTURAS EM MEMBRANA

Apesar de acompanhar o homem há muito tempo, o projeto de estruturas em membrana se

dava exclusivamente por meio de conhecimentos empíricos e com base em modelos físicos

até por volta de 1968. E ainda hoje, há quem se utilize apenas desses conhecimentos para

projetá-las.

Com a crescente acessibilidade a computadores, cada vez mais velozes e poderosos, e o

desenvolvimento de técnicas numéricas eficientes, diversos métodos numéricos foram

desenvolvidos e estão disponíveis para auxiliar na solução de problemas das mais diversas

áreas do conhecimento. No caso do projeto de tensoestruturas em membrana, vários métodos

numéricos foram desenvolvidos, mas três grupos se destacam: o método da densidade de

forças (Schek, 1974), o da relaxação dinâmica (Day, 1965) e o método não-linear dos

deslocamentos (Argyris et al, 1974).

2.6.1 – O método da densidade de força

O método da densidade de força tem origem com a publicação de Schek (1974). Esse método,

utilizado para a análise de redes de cabos, é baseado na determinação de um coeficiente de

densidade de força (força / comprimento) para cada elemento de cabo que compõe a rede. A

principal vantagem desse método se verifica quando se tem uma discretização da rede de

cabos com um coeficiente de densidade de força atribuído a cada elemento. Nesse caso, a

respectiva configuração de equilíbrio é encontrada através da solução de um único sistema

linear de equações (Schek, 1974). Assim, dada à limitada capacidade de processamento dos

computadores disponíveis na época, essa era uma característica muito atraente para a

utilização desse método, especialmente na etapa de busca da forma, pois diversas

configurações de equilíbrio podiam ser obtidas alterando-se apenas os coeficientes de

densidade de força dos elementos de cabo. Porém, para explorar esse aspecto do método,

nenhuma outra restrição além da imposição dos coeficientes de densidade de força poderia ser

imposta.

Para a análise estrutural, no entanto, é preciso a imposição de restrições geométricas e de

força. Nesse caso, outra vantagem do método pode ser explorada, ele pode ser estendido para

45

uma forma não-linear em que o número de equações não-lineares é igual ao número de

restrições adicionais e independe do número de nós da rede (Schek, 1974).

A maior desvantagem do método, como apontam Haber & Abel (1982), é que a densidade de

força é uma grandeza sem significado para o projetista. E a partir da seleção inicial dos

coeficientes de densidade de força, é difícil prever tanto a forma final quanto a distribuição de

tensão.

O “método da rigidez geométrica presumida” (assumed geometric stiffness method),

apresentado em Haber & Abel (1982), é uma generalização que contém o método da

densidade de forças como um caso especial. Ao contrário do método da densidade de forças, o

da “rigidez geométrica presumida” pode ser aplicado a qualquer elemento finito, como

elementos curvos de barra. Outra generalização do método da densidade de forças foi

apresentada em Maurin & Motro (1998). Nesse caso, a generalização foi do elemento de barra

para o elemento triangular de membrana e foi chamada de “método da densidade de tensão de

superfície” (surface stress density method).

Como coloca Oliveira (2003), o método da densidade de força foi desenvolvido para a

aplicação em estruturas de cabos, mas também pode ser usado para membranas, considerando

um cabo equivalente a uma faixa de tecido. Há de se ter cuidado, no entanto, pois essa

aproximação pode ser grosseira.

2.6.2 – O método da Relaxação Dinâmica

O método da Relaxação Dinâmica (RD) é um dos métodos mais utilizados em programas

computacionais para projeto de tensoestruturas em membrana. Provavelmente a maior

vantagem desse método é que, por ser um método vetorial, as condições de equilíbrio e de

compatibilidades são desacopladas. Isso permite que sejam facilmente introduzidos ao

modelo: relações constitutivas complexas, conexões deslizantes (slip links) e efeitos não-

lineares descontínuos (on/off non-linearities). Além disso, alterações topológicas do modelo

discreto são simplificadas e podem ser introduzidas sem que o processo de análise seja

reiniciado (Barnes, 1988)

46

Na forma mais comum, proposta por Day (1965), o método da relaxação dinâmica, consiste

em utilizar a segunda lei de Newton para descrever o movimento da estrutura passo a passo,

para pequenos intervalos de tempo ∆t, do momento em que ela é inicialmente carregada até

que, devido a um amortecimento viscoso, o sistema alcance uma configuração de equilíbrio.

A convergência mais rápida é obtida quando o amortecimento viscoso está próximo do

amortecimento crítico e as componentes de massa nodal fictícias são ajustadas de maneira a

serem proporcionais às correspondentes componentes de rigidez. No entanto, quando ocorrem

elevados valores residuais localizados, por exemplo, devido a mudanças no contorno durante

a etapa de busca da forma ou uma especificação muito imprecisa da configuração geométrica

inicial, podem ser necessários controles adicionais sobre as componentes de massa,

amortecimento local e componentes fictícias de rigidez para que se tenha a convergência no

método (Barnes, 1988).

Estudando problemas de mecânica das rochas, um procedimento alternativo para o método

RD, chamado “Amortecimento Cinético”, foi proposto por Cundall1 apud Barnes (1988). Esse

procedimento se baseia no fato de que quando um corpo em movimento de oscilação passa

por uma aproximação local de sua posição de equilíbrio estático, o gráfico da energia cinética

total contra o tempo atravessa um ponto de máximo local (Wakefield, 1999). Sendo assim, na

relaxação dinâmica com amortecimento cinético, traça-se o movimento não amortecido da

estrutura até que se verifique um pico local da energia cinética do sistema, quando então todas

as componentes de velocidade são anuladas. Então, partindo-se da última configuração

geométrica, todo o processo se repete continuamente, atravessando vários picos (geralmente

decrescentes) até que a energia de todos os modos de vibração seja dissipada. Essa

configuração final corresponde à configuração de equilíbrio estático. Assim, como a

convergência em regiões alteradas é rápida e os distúrbios locais não se propagam

significativamente para regiões inalteradas, esse procedimento é ideal para resolver problemas

nos quais ocorrem modificações da forma continuamente, envolvendo mudanças locais na

geometria do contorno e topologia da superfície. O procedimento com amortecimento cinético

tem se mostrado geralmente estável e de rápida convergência em problemas que apresentam

grandes distúrbios locais (Barnes, 1988).

1 Cundall, P. A. Explicit finite-difference methods in geomechanics. Blacksburg, VA, junho, 1976.

47

Stanuszek (2003) coloca que o principal inconveniente do método RD para o projetista é que

o controle das iterações requer a especificação à priori das matrizes de massa e de

amortecimento. Esse pesquisador ainda coloca que o método RD também não é muito efetivo

para o estudo de enrugamentos e carregamentos não-conservativos.

Informações mais detalhadas sobre o método da relaxação dinâmica podem ser obtidas, por

exemplo, nas publicações de Barnes, de Lewis e, em português, de Oliveira (2001).

2.6.3 – Métodos não-lineares dos deslocamentos

Os métodos não-lineares baseados no método dos deslocamentos são caracterizados pelo

emprego da teoria da mecânica dos meios contínuos diretamente em análises não-lineares

iterativas de modelos discretizados em elementos finitos. Apesar de estarem entre os

primeiros métodos computacionais desenvolvidos para o auxílio no projeto de tensoestruturas,

em face da necessidade de grandes recursos computacionais para a época, os métodos não-

lineares dos deslocamentos perderam terreno para métodos como a densidade de força e

relaxação dinâmica, que empregam recursos computacionais bem mais modestos. Mas os

avanços tecnológicos experimentados nas últimas décadas provocaram a retomada do

desenvolvimento de métodos baseados na análise não-linear dos deslocamentos para o projeto

de tensoestruturas.

Os primeiros métodos computacionais para a solução do problema de busca da forma foram

baseados nas mesmas técnicas de deslocamento que eram empregadas para o estudo de

tensoestruturas submetidas a diversas condições de carregamento. Nesses métodos,

empregavam-se técnicas de análise geometricamente não-lineares para eliminar forças

desbalanceadas de uma configuração inicial não equilibrada (Haber & Abel,1982).

Entre os primeiros trabalhos publicados que empregaram a análise não-linear dos

deslocamentos no estudo de tensoestruturas estão os de Haug & Powell1 apud Knudson

(1991) e Argyris et al (1974), para redes de cabos, e o de Haug & Powell2 apud Knudson 1 Haug, E.; Powell, G.H. Analytical shape finding for cable nest. Proc., IASS Pacific symposium on tension

structures and space frames, Tokyo e Kyoto, 1971. 2 Haug, E.; Powell, G.H. Finite element analysis of nonlinear membrane structure. Proc., IASS Pacific

symposium on tension structures and space frames, Tokyo e Kyoto, 1971.

48

(1991), para estruturas em membrana. A principal característica desses métodos é o uso de

iterações não-lineares do método de Newton-Raphson para resolver o problema de

configuração inicial de equilíbrio a partir de uma configuração inicial com estado de tensão

em desequilíbrio (Knudson, 1991).

Até hoje o método de Newton-Raphson é dos mais utilizados na análise não-linear dos

deslocamentos, vejam-se, por exemplos, os trabalhos de Tabarrok & Qin (1992), Kyriacou et

al (1996), Bonet & Wood (1997), Bonet & Mahaney (2001), Bonet et al (2000) e Stanuszek

(2003). Um dos problemas dessa abordagem é que algumas vezes a matriz de rigidez

tangente, que é fundamental nesse caso, pode resultar numa forma singular. Então, artifícios

especiais precisam ser empregados para contornar esse problema.

Cabe ressaltar que dentro do grupo de análise não-linear dos deslocamentos existem várias

outras estratégias que não empregam o método de Newton-Raphson. Inclusive nessa tese,

onde se propõe uma abordagem diferente. Ao invés de se procurar diretamente o equilíbrio de

forças nodais, utiliza-se um método de programação não-linear do tipo quasi-Newton para

minimizar uma expressão para a energia potencial total do sistema. Como vantagem, por

garantir uma aproximação positiva definida para a matriz hessiana, essa abordagem é mais

robusta quanto a problemas de instabilidade local.

Como desvantagem dos métodos de análise não-linear dos deslocamentos com relação ao da

RD, Wakefield (1999) aponta que as relações constitutivas dos elementos estão acopladas às

condições de equilíbrio e de compatibilidade da estrutura como um todo. Isso dificulta a

introdução de relações constitutivas mais sofisticadas e aumenta a demanda computacional

para a solução do problema. Por outro lado, Stanuszek (2003) coloca que o método dos

deslocamentos é a mais poderosa ferramenta para o projeto de estruturas em membrana

submetidas a grandes deformações.

49

3 – CONCEITOS FUNDAMENTAIS

O procedimento ora proposto para tratar do problema de tensoestruturas em membrana é

baseado na abordagem apresentada por Arcaro (2001). Sucintamente, esse procedimento

consiste em produzir uma expressão para a energia potencial total do sistema estrutural em

função dos deslocamentos e, por meio de programação não-linear irrestrita, procurar um

ponto de mínimo local dessa expressão. O princípio da mínima energia potencial total

assegura que esse ponto de mínimo local corresponde a uma configuração de equilíbrio

estável da estrutura.

Neste capítulo serão abordados os assuntos fundamentais para o desenvolvimento do

procedimento em questão, a saber: o princípio da mínima energia potencial total e noções

sobre programação não-linear irrestrita. Também será apresentado um item sobre aspectos da

abordagem proposta.

3.1 – PRINCÍPIO DA MÍNIMA ENERGIA POTENCIAL TOTAL

A literatura científica sobre métodos energéticos é muito ampla e pode ser encontrada

praticamente em qualquer livro sobre mecânica dos sólidos ou elementos finitos. Além disso,

esse assunto também é abordado em incontáveis artigos, teses e dissertações. Entretanto, a

abordagem aqui apresentada é baseada principalmente nas colocações de Assan (1996) e Beer

& Johnston Jr. (1981).

3.1.1 – A energia potencial total

No desenvolvimento da mecânica moderna das estruturas, a energia potencial exerceu um

papel de fundamental importância. Do conceito de energia potencial derivam-se vários

métodos numéricos para solução aproximada que são de grande utilidade.

A energia potencial total de um sistema estrutural é definida como o trabalho realizado pelas

ações atuantes e esforços (cargas externas e esforços internos) para levar o sistema estrutural

da configuração atual (geralmente deformada) a uma configuração de referência

(indeformada). Assim, a energia potencial total, Π, é constituída por duas parcelas: uma

energia potencial externa ou das ações externas, denotada por Wext; e uma energia potencial

50

interna que é igual a energia de deformação, Uint, armazenada na estrutura carregada. A

Equação (3.1) mostra a forma da energia potencial de um sistema estrutural.

ext intW UΠ = + (3.1)

3.1.2 –Energia potencial externa Wext

3.1.2.1 – Trabalho realizado por uma força

A Figura 3.1(a) ilustra uma situação em que uma partícula, denotada por P, se desloca de um

ponto no espaço A1 a um ponto A2 submetida a ação de uma força F . Se a posição da

partícula P no deslocamento é indicada pelo vetor x , então, um pequeno vetor de

deslocamento pode ser denotado pela diferencial dx .

Figura 3.1 - Trabalho realizado por uma força (modificado de Beer & Johnston, 1981)

O trabalho realizado pela força F correspondente ao deslocamento dx é dado pelo produto

escalar entre esses vetores como mostra a Equação (3.2).

cosdW d d α= ⋅ =F x F x (3.2)

Onde: dW é o trabalho da força F correspondente ao deslocamento dx ; α é o ângulo interno entre os vetores F e dx ; e F e dx representam, respectivamente, os módulos de F e dx .

51

O trabalho é uma grandeza escalar e, portanto, possui apenas módulo e sinal. Da observação

da Equação (3.2), o sinal do trabalho é positivo se α é agudo, negativo se α é obtuso e nulo

quando F é perpendicular a dx . A unidade de trabalho no Sistema Internacional (SI) é o

joule (J), que vale 1 J = 1 N.m .

Quando o deslocamento é finito, o trabalho realizado pela força F é obtido integrando-se a

Equação (3.2) ao longo da trajetória percorrida pela partícula. Na situação sugeria da pela

Figura 3.1(a), o trabalho realizado por F no deslocamento da partícula P do ponto A1 ao A2 é

dado pela Equação (3.3) e representado pela área sombreada no gráfico da Figura 3.1(b).

2

11 2

A

AW d→ = ⋅∫ F x (3.3)

Onde: W1→2 é o trabalho da força F correspondente ao deslocamento de P do ponto A1 ao ponto A2.

3.1.2.2 – Trabalho realizado por forças conservativas

Merece especial atenção o caso de trabalho realizado por forças conservativas. Uma força é

considerada conservativa quando seu trabalho, W1→2, associado ao deslocamento de uma

partícula de um ponto A1 a um ponto A2 independe da trajetória percorrida.

Sendo ( )V x uma função chamada de energia potencial ou função potencial de F , o trabalho

realizado for uma força conservativa F pode ser escrito conforma a Equação (3.4) a seguir.

( ) ( )1 2W V V→ = −x2 x1 (3.4)

Onde: x1 e x2 são vetores de posição dos pontos A1 e A2, respectivamente.

Considerando, por exemplo, que a partícula P da Figura 3.2(a) está associada a uma massa m,

existiria uma força peso, F , de componentes dadas por 0 0T m g= −F , onde g é o valor

da aceleração da gravidade do local, que atua na direção 3x . Nesse caso, uma função

potencial de F poderia ser escrita como ( ) 3V m g x= −x , onde x3 é apenas uma das

componentes do vetor de posição no espaço definido por 1 2 3T x x x=x . Assim,

denotando-se os vetores de posição de A1 e A2 por x1 e x2 , respectivamente, de acordo com

52

a Equação (3.4), o trabalho realizado pela força peso F no deslocamento da partícula P de A1

a A2 é dado por: ( ) ( )1 2 3 3( 2 1 )W V V mg x x→ = − = − −x2 x1 , independente da trajetória

percorrida por P. Esse trabalho realizado por F é representado pela área sombreada da Figura

3.2(b).

Figura 3.2 - Trabalho realizado por uma força conservativa.

3.1.2.3 – Trabalho realizado por cargas externas na energia potencial total

A parcela da energia potencial total correspondente às ações externas, energia potencial

externa (Wext), pode ser escrita na forma da Equação (3.5) a seguir:

1

n

ext i ii

W P u=

= −∑ (3.5)

Onde: Pi são ações genéricas; ui são deslocamentos genéricos; e n é o número de ações consideradas.

O sinal negativo presente na Equação (3.5) se deve ao fato das ações externas realizarem

trabalho negativo ao se levar a estrutura da configuração atual, geralmente deformada, à

configuração de referência, indeformada.

3.1.3 – Energia potencial interna Uint

A energia potencial interna, Uint, é a energia de deformação armazenada na estrutura

carregada. Nesse trabalho, supõe-se que a estrutura e carregamentos formam um sistema

mecânico conservativo e, portanto, não se considerada qualquer processo de dissipação de

53

energia (transformação de energia mecânica em formas irreversíveis como calor ou som). Sob

essa hipótese, a energia potencial interna pode ser obtida segundo a Equação (3.6)

0

intV

U dVψ= ∫ (3.6)

Onde: ψ representa a função de energia livre de Helmholtz, também conhecida como energia de deformação específica, que é definida com relação ao volume na configuração de referência.

No procedimento em questão, a energia de deformação interna é colocada em função dos

deslocamentos, que são incógnitas a determinar.

3.1.4 – Dedução do princípio da mínima energia potencial total

A derivada parcial da energia potencial total, Equação (3.1), com relação a qualquer dos

deslocamentos incógnitos, ui, pode se escrita conforme a seguinte equação:

inti

i i

U Pu u

∂∂Π= −

∂ ∂ (3.7)

Numa estrutura em equilíbrio, o primeiro teorema de Castigliano permite colocar que:

inti

i

U Pu

∂=

∂ (3.8)

Levando-se a Equação (3.8) na Equação (3.7), conclui-se que, numa configuração de

equilíbrio, a derivada parcial da energia potencial total com relação a qualquer componente

dos deslocamentos incógnitos é nula. Esse fato se traduz matematicamente na Equação (3.9).

0iu

∂Π=

∂ (3.9)

A Equação (3.9) mostra que quando a estrutura se encontra numa configuração de equilíbrio,

a energia potencial total é estacionária. Como, em geral, as configurações de equilíbrio

54

assumidas pelas estruturas são estáveis, a energia potencial total correspondente é um

mínimo.

3.2 – NOÇÕES SOBRE PROGRAMAÇÃO NÃO-LINEAR IRRESTRITA

Essa seção trata de programação não-linear com base na obra de Nocedal & Wright (1999).

3.2.1 – Objetivo da programação não-linear

Matematicamente, a programação não-linear trata da otimização, maximização ou

minimização, de funções sujeitas a restrições de suas variáveis. Em geral, aborda-se o

problema apenas sob o aspecto da minimização, pois a maximização de uma função objetivo f

pode ser tratada como a minimização de – f. Assim, o objeto de estudo da programação não-

linear pode ser escrito na forma da Equação (3.10) a seguir:

( )R

min sujeita a n

f∈x

x c (3.10)

Onde: x é o vetor de variáveis, também chamadas incógnitas ou parâmetros; f é a função objetivo; e c é o vetor de restrições que as variáveis devem satisfazer.

No caso de programação não-linear irrestrita, não existe o vetor de restrições c e o problema

pode ser colocado conforme a Equação (3.11) a seguir:

( )R

minn

f∈x

x (3.11)

3.2.2 – Principais métodos de otimização irrestrita

Os algoritmos de otimização são iterativos. Eles partem de uma primeira estimativa para os

valores ótimos das variáveis, geralmente denotada por ( )0x , e produzem uma seqüência de

estimativas melhoradas até que a solução seja alcançada. Os algoritmos se distinguem pela

estratégia empregada para passar de uma iteração para a seguinte. A maioria das estratégias

utiliza o valor da função objetivo f e, possivelmente, a primeira e segunda derivada dessa

55

função. Alguns algoritmos armazenam informações obtidas em iterações anteriores, enquanto

outros utilizam apenas informações locais relativas ao ponto atual.

Existem duas estratégias principais para passar do ponto atual, ( )kx , à próxima iteração ( 1)+kx :

busca unidimensional e região de confiança.

Na estratégia de busca unidimensional, o algoritmo escolhe uma direção ( )kd e, partindo de ( )kx , procura nessa direção um novo ponto de iteração em que o valor da função decresça

adequadamente. A distância a ser percorrida na direção ( )kd pode ser encontrada de forma

aproximada pela solução do seguinte problema de minimização unidimensional para

encontrar o comprimento de passo α:

( )( ) ( )

0min fα

α>

+k kx d (3.12)

A solução exata da Equação (3.12) tiraria o máximo benefício da direção ( )kd , mas a

minimização exata é computacionalmente cara e desnecessária. Ao invés disso, um algoritmo

de busca unidimensional gera um número limitado de comprimentos de passo até que

encontre um que satisfaça folgadamente a Equação (3.12). No novo ponto, uma nova direção

de descida é computada e o processo se repete.

Na estratégia da região de confiança, a informação colhida sobre f é usada para construir uma

função modelo mk, cujo comportamento na proximidade do ponto atual ( )kx é similar ao da

função objetivo original f. Dada a possibilidade de mk não ser uma boa aproximação de f

quando x está distante de ( )kx , a busca é restrita a um mínimo de mk em uma região na

vizinhança de ( )kx . Em outras palavras, o passo d é determinado pela solução aproximada do

seguinte subproblema:

( )( )min km +k

dx d de maneira que d permaneça no interior de uma região de confiança. (3.13)

Se um candidato à solução não produz um decréscimo suficiente em f, conclui-se que a região

de confiança está muito grande, então ela é diminuída e a Equação (3.13) é resolvida

56

novamente. Usualmente, a região de confiança é uma esfera com centro ( )kx e de raio dado

pelo escalar ∆, chamado raio da região de confiança.

O modelo mk adotado na Equação (3.13) é, geralmente, definido por uma função quadrática

da seguinte forma:

( )( ) ( )12

T Tk k km f f+ = + ∇ +k kx d d d B d (3.14)

Na Equação (3.14), como indica a notação, fk é o valor da função em ( )kx , kf∇ é seu

gradiente e ( )kB é a hessiana 2kf∇ ou alguma aproximação dela. Assim, fk e mk concordam

pelo menos até a primeira derivada.

De certa forma, as estratégias de busca unidimensional e de região de confiança diferem na

ordem em que escolhem uma direção e a distância a ser percorrida. Na busca unidimensional,

escolhe-se primeiro uma direção ( )kd e, em seguida, determina-se o passo αk a ser dado nessa

direção. Na estratégia de região de confiança, primeiro escolhe-se uma distância, o raio ∆k, e

depois procura-se a melhor direção d compatível com o raio ∆k

3.2.3 – Métodos de busca unidimensional

Em cada iteração de um método de busca unidimensional computa-se uma direção ( )kd e

decide-se que distância avançar nessa direção. Então, a iteração é dada pela Equação (3.15)

apresentada a seguir:

( ) ( ) ( )

kα= +k+1 k kx x d (3.15)

Onde: αk é um escalar positivo chamado comprimento do passo.

Naturalmente, o sucesso de um método de busca unidimensional depende na escolha efetiva

da direção ( )kd e do comprimento do passo αk.

57

A maioria dos algoritmos de busca unidimensional requer que a direção ( )kd seja uma

direção de descida, com ( ) 0Tkf∇ <kd , pois essa propriedade garante que a função f decresce

naquela direção. A direção de descida, em geral, é obtida conforme a Equação (3.16).

( ) ( )

kf= − ∇k kd B (3.16)

Onde: ( )kB é uma matriz simétrica não-singular.

Os principais métodos de busca unidimensional diferenciam-se em particular pela escolha de ( )kB na Equação (3.16). No método do gradiente, ( )kB é simplesmente a matriz identidade I .

No método de Newton, ( )kB é exatamente a hessiana 2kf∇ . No método quasi-Newton, ( )kB é

uma aproximação da hessiana que é atualizada a cada passo por meio de uma fórmula de

baixo posto.

3.2.3.1 – Busca unidimensional

Dada uma direção ( )kd , a busca unidimensional é o procedimento para determinação do

comprimento de passo (αk) a ser dado nessa direção que produza suficiente redução no valor

da função objetivo f. Nesta etapa, definida uma direção de busca, o processo de minimização

de uma função de várias variáveis, ( )f x , se transforma na minimização de uma função de

uma única variável, ( )π α , dada pela Equação (3.17) a seguir:

( ) ( )( ) ( )fπ α α= +K kx d , com 0α > . (3.17)

Existem diversos procedimentos de busca unidimensional, mas, segundo Arcaro (1996),

apenas dois são relevantes do ponto de vista da análise estrutural, a saber: o método da

interpolação cúbica cuja ordem de convergência é 2.0; e o método da falsa posição, cuja

ordem de convergência é aproximadamente 1.618. Nesse trabalho será empregado apenas o

método da interpolação cúbica.

- Interpolação cúbica (Arcaro, 1996):

58

Primeiramente, busca-se um intervalo (α1 , α2) que contenha um ponto de mínimo, α*. Em

seguida, interpola-se uma função cúbica em α utilizando os pontos limites do intervalo (α1 ,

α2), os valores da função ( ( )1π α , ( )2π α ) e seu gradiente nos dois pontos ( ( )1'π α ,

( )2'π α ). No passo seguinte, computa-se o ponto α correspondente ao mínimo da função de

interpolação no intervalo. Redefine-se o intervalo com base no valor de ( )π α e ( )'π α .

Repetem-se os passos desse procedimento até que o ponto α atenda a uma condição de

tolerância estipulada. Por fim, o último ponto computado é tomado por α*.

É importante considerar que os métodos quasi-Newton exigem que a busca unidimensional

seja suficientemente exata, pois a matriz utilizada para defletir o vetor gradiente é atualizada a

cada iteração e um critério de parada adequado pode garantir que essa matriz seja positiva

definida. Essa precisão fica assegurada pelo critério de parada da Equação (3.18):

( ) ( ) [ )' ' 0 , 0,1π α ε π ε≤ − ∈ (3.18)

Também é importante acrescentar ao critério de parada um contador para limitar o número de

interpolações numa dada direção, pois, dependendo do valor de ε , a condição de parada da

Equação (3.18) pode nunca ser satisfeita. Entretanto, a introdução desse número máximo de

interpolações pode produzir eventualmente uma direção que não seja de descida e, por isso, a

condição de ( )' 0 0π < deve ser testada logo no início da rotina de busca unidimensional e o

programa deve ser interrompido se ela não for satisfeita.

No algoritmo apresentado a seguir, utiliza-se a seguinte notação: ( )1 1π π α= , ( )2 2π π α= ,

( )1 1' 'π π α= , ( )2 2' 'π π α= e letras gregas minúsculas denotam variáveis reais. Assim, o

algoritmo utilizado para interpolação cúbica é:

Início

1 21 2

2 1

3 ' 'π πµ π πα α

−← + +

−

γ µ←

1 2' 'η π π←

se 1 2' ' 0π π⋅ <

59

se η γ>

2

1 γν ηη

⎛ ⎞← + ⎜ ⎟

⎝ ⎠

senão

2

1 ην γγ

⎛ ⎞← + ⎜ ⎟

⎝ ⎠

2 1' 'β π π ν ν← − + + se 0β ≠ se 0µ >

1 2' 'π πδν µ

⋅← −

+

senão δ ν µ← −

2'π δββ+

←

se 0β < ou 1 β< 0,5β = senão 0,5β = ( )2 2 1ψ α β α α← − − se 1 2' ' 0π π⋅ = se 1' 0π = 1ψ α= senão 2ψ α= se 1 2' ' 0π π⋅ > se η γ> 0,5β = senão

2

1 ην γγ

⎛ ⎞← + ⎜ ⎟

⎝ ⎠

2 1' 'β π π ν ν← − + + se 0β ≠ se 0µ >

1 2' 'π πδν µ

⋅← −

+

senão δ ν µ← −

2'π δββ+

←

se 0β < ou 1 β<

60

0,5β = senão 0,5β = ( )2 2 1ψ α β α α← − − fim 3.2.4 – O método L-BFGS

A descrição apresentada a seguir do método L-BFGS foi produzida com base em Nocedal &

Wright (1999).

Os métodos de programação não-linear do tipo quasi-Newton, em geral, não são convenientes

quando aplicados diretamente a problemas de otimização de grande escala, pois a

aproximação da matriz hessiana ou sua inversa se torna inconveniente. Sendo n o número de

variáveis do problema, a armazenagem e requerimentos computacionais crescem na

proporção de n2 e se tornam excessivos pra grandes valores de n. Entretanto, os métodos

quasi-Newton podem ser modificados de diversas formas para que se tornem adequados para

a solução de problemas de grande escala.

O método chamado limited-memory quasi-Newton (L-BFGS) é uma modificação do método

BFGS de maneira que a aproximação hessiana é armazenada de maneira simples e compacta.

Ao invés de armazenar uma aproximação da matriz hessiana de dimensão n x n, apenas

alguns poucos vetores de dimensão n são utilizados para representá-la implicitamente. A

despeito dos modestos requerimentos de armazenagem, freqüentemente obtém-se uma taxa de

convergência aceitável (embora linear). A principal idéia do L-BFGS é utilizar informações

de curvatura apenas das iterações mais recentes para construir a aproximação da hessiana.

Informações sobre curvatura de iterações mais antigas, que provavelmente são menos

relevantes para a determinação do comportamento atual da hessiana, são descartadas no

interesse de economizar no armazenamento.

Cada passo no método BFGS é dado segundo a Equação (3.19) a seguir:

( ) ( ) ( )

k kfα= − ∇k+1 k kx x H , k = 1, 2, 3, ... (3.19)

Onde: kα é o comprimento do passo na direção de descida; e

61

( )kH é a aproximação da hessiana, que é atualizada a cada iteração pela Equação (3.20).

( 1) ( ) ( ) ( )T T

kρ+ = +k k k k (k) (k)H V H V s s (3.20)

Onde: 1k Tρ =

(k) (k)y s (3.21)

( ) Tkρ= −k (k) (k)V I y s (3.22)

= −(k) (k+1) (k)s x x e 1k kf f+= ∇ − ∇(k)y (3.23a,b)

Diz-se que a matriz ( 1)+kH é obtida através da atualização de ( )kH através do par (k)s , (k)y

O custo de armazenagem e manipulação da aproximação da inversa da hessiana ( )kH é tal

que se tornam proibitivos quando o número de variáveis é grande. Para contornar esse

problema, armazena-se uma versão modificada de ( )kH implicitamente, guardando-se um

certo número m de pares de vetores (k)s , (k)y que são utilizados nas Equações (3.20),

(3.21), (3.22) e (3.23a,b). O produto ( )kf∇kH pode ser obtido através de uma seqüência de

produtos internos e somas vetoriais que envolvem kf∇ e os pares (k)s , (k)y . Depois que a

nova iteração é computada, o par de vetores mais antigo é apagado e substituído pelo novo par

(k)s , (k)y obtido da iteração atual, segundo as Equações (3.23a,b). Dessa forma, o conjunto

de pares de vetores guarda informação de curvatura das m iterações mais recentes. A

experiência sugere que valores modestos de m (entre 3 e 20) freqüentemente produzem

resultados satisfatórios. Não fosse a estratégia modificada de armazenamento da hessiana e

uma técnica modificada para lidar com a aproximação inicial da hessiana, que será descrita a

seguir, a implementação do L-BFGS seria idêntica à do método BFGS padrão. Inclusive, os

dois podem usar o mesmo algoritmo de busca de busca unidimensional.

Uma descrição um pouco mais detalhada do processo de atualização é apresentada a seguir.

Na iteração k, são conhecidos ( )kx e os pares de vetores (i)s , (i)y para i = k-m, ..., k-1.

Escolhe-se uma aproximação inicial para a hessiana ( )0kH (modificada a cada iteração ao

contrário do que acontece no método BFGS padrão) através de repetidas aplicações da

Equação (3.20). A aproximação da hessiana ( )kH satisfaz a seguinte equação:

62

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( 1) ( 2) ( ) ( ) ( ) ( 2) ( 1)0

( 1) ( 2) ( 1) ( 1) ( 2) ( 1)

( 1) ( 2) ( 2) 1 1 ( 2) ( 2) ( 1)1

... ...

... ...

... ...

...

T T Tm m

T T T Tm m m mk m

T T T Tm m m mk m

ρ

ρ

− − − − − −

− − − + − − − + − −−

− − − + − + − + − + − −− +

=

+

+

+

+

k k k k k k k k

k k k (k ) (k ) k k k

k k k (k ) (k ) k k k

H V V V H V V V

V V V s s V V V

V V V s s V V V

1 11

Tkρ − −

−(k ) (k )s s

(3.24)

Da Equação (3.24), um eficiente algoritmo recursivo para o cômputo do vetor resultante do

produto ( )kf∇kH é apresentado em seguida:

- Algoritmo recursivo de duplo-laço (two-loop recursion) para o cômputo de ( )kf∇kH

início kf← ∇q para i = k – 1 , k – 2, ..., k – m iniciar repetição T

i iα ρ← (i)s q

iα← − (i)q q y finalizar repetição ( )

0← kr H q

para i = k – m, k – m + 1, ..., k – 1 faça iniciar repetição T

iβ ρ← (i)y r

( )iα β← + −(i)r r s finalizar repetição ( )

kf∇ =kH r fim

Desconsiderando-se a multiplicação ( )0kH q , o esquema recursivo de duplo-laço requer 4mn

multiplicações. Se ainda ( )0kH for uma matriz diagonal, então apenas n multiplicações

adicionais são necessárias. Além do baixo custo computacional, esse esquema de recursão

tem a vantagem de fazer a multiplicação inicial por ( )0kH isolada do resto da computação. Isso

permite que essa matriz seja escolhida livremente e que varie entre iterações. Pode-se usar

uma escolha implícita para ( )0kH definindo-se uma aproximação inicial ( )

0kB para a hessiana

63

(não para sua inversa) e obter r resolvendo-se o sistema linear ( )0 =kB r q . Uma outra forma

de escolha da matriz ( )0kH , que se mostrou particularmente eficiente na prática, é através da

do procedimento a seguir.

( )0 kγ=kH I com

1 1

1 1

T

k Tγ− −

− −=

(k ) (k )

(k ) (k )

s y

y y (3.25)

Na Equação (3.25), kγ é um fator de escala que tenta estimar o tamanho da verdadeira matriz

hessiana ao longo da mais recente direção de busca. Isso contribui para que o vetor de direção

de descida (k)d tenha uma boa dimensão de maneira que o comprimento de passo 1kα = seja

aceito na maioria das iterações.

Assim, o algoritmo do método L-BFGS pode ser formalmente escrito com se segue:

- Algoritmo do método L-BFGS:

dados um ponto de partida ( )kx e um número m de iterações para guardar informação. iniciar 0k ← repetir Escolher ( )

0kH , por exemplo, através da Equação (3.25);

Computar kf← − ∇(k) (k)d H (algoritmo recursivo de duplo-laço anterior)

Realizar a busca unidimensional e computar kα← +(k+1) (k) (k)x x d se k > m descartar o par de vetores (k-m)s , (k-m)y da memória

computar e armazenar ← −(k) (k+1) (k)s x x e 1k kf f+← ∇ − ∇(k)y 1k k← + até que o critério de convergência seja satisfeito fim Nas primeiras m – 1 iterações desse algoritmo, ele é exatamente igual ao método BFGS

padrão se a matriz inicial 0H for a mesma nos dois métodos e se o L-BFGS escolhe

( )0 0=kH H no começo de cada iteração. De fato, o L-BFGS aproxima cada vez mais o BFGS

64

padrão à medida que m aproxima n, mas há um maior custo computacional nesse caso

(especialmente para m > n / 2).

A estratégia de guardar os pares (i)s , (i)y para apenas as m iterações mais recentes funciona

muito bem na prática. Ainda não há registro de nenhuma outra estratégia que tenha se

mostrado consistentemente melhor.

3.3 – ASPECTOS SOBRE ABORDAGEM PROPOSTA

Depois de criado um modelo discreto da estrutura, com elementos de cabo, de treliça e de

membrana, busca-se uma configuração de equilíbrio em função dos deslocamentos que

corresponda a um mínimo local da energia potencial total do sistema. Para isso, utiliza-se o

método L-BFGS apresentado neste capítulo.

O trabalho das forças externas é dado pelo somatório dos produtos das forças concentradas

nos nós do modelo pelos respectivos deslocamentos. Como os deslocamentos para levar a

estrutura de uma configuração deformada para uma configuração indeformada são contrários

ao sentido das ações externas, o trabalho das forças externas tem sinal negativo.

A energia potencial de deformação (energia interna) é computada por meio da integração da

função de energia de deformação específica na configuração de referência (indeformada) do

elemento. Isso é válido para elementos de cabo, de treliça ou de membrana apesar das

diferentes relações constitutivas, que são simplesmente adicionadas para o cômputo da

energia potencial de deformação do modelo como um todo.

A energia potencial total e seu gradiente serão computados apenas em função dos

deslocamentos dos nós do modelo discreto. Computa-se a contribuição de maneira cumulativa

entre os elementos de cabo, de treliça e de membrana segundo suas respectivas relações

constitutivas.

No acoplamento dos elementos de cabo e de membrana será considerado um comportamento

solidário entre ambos, ou seja, não se consideram deslizamentos dos cabos com relação à

membrana. Os nós do elemento de cabo são os mesmos do lado do elemento de membrana.

65

4 – CABOS

4.1 – INTRODUÇÃO

Este capítulo apresenta uma formulação teórica que fornece uma configuração de equilíbrio

estático estável para sistemas estruturais compostos por cabos flexíveis. A abordagem adotada

foi originalmente apresentada por Pulino Filho (1991) e vem sendo empregada por outros

autores como De Paula (1994), Arcaro (1996) e Teodoro (2002) entre outros.

Trata-se de uma formulação em elementos finitos para grandes deslocamentos e pequenas

deformações. A adoção de uma relação constitutiva linear (relação linear entre carga axial e

elongação) é o fator que limita a formulação às pequenas deformações. Na discretização dos

cabos, utilizam-se elementos conhecidos como “cabo-treliça”. Trata-se de um elemento linear

de dois nós com deformação constante em seu domínio. Quando submetido à tração, o

elemento “cabo-treliça” se comporta de maneira idêntica ao elemento de treliça

correspondente. A diferença se verifica no caso de compressão, quando, ao contrário do

elemento de treliça, o elemento cabo-treliça não oferece qualquer resistência, isto é, ele não

contribui energeticamente para o sistema estrutural. Em verdade, os dois elementos podem ter

a mesma formulação, mas no caso do elemento cabo-treliça sua contribuição energética em

compressão é desprezada.

Os elementos de cabo possuirão três graus de liberdade translacionais por nó e, assim,

poderão se deslocar no espaço. Ainda será levado em consideração o efeito de pré-

tracionamento provocado pela imposição de tensão inicial, encurtamento e variação de

temperatura. Por meio de um método de otimização (programação não-linear) do tipo quasi-

Newton, a configuração de equilíbrio estável é obtida buscando-se diretamente um mínimo

local da energia potencial total.

O cabo é um arranjo helicoidal de fios em torno de um núcleo, que pode ser feito de material

diferente do que constitui os fios. Em geral, nas tensoestruturas, empregam-se cabos de aço

com núcleo também de aço. Apesar de se utilizar o termo “cabo”, este será modelado como se

fosse um fio. Assim, supõe-se que o cabo tenha uma seção transversal circular e constante ao

longo de toda a sua extensão.

66

4.2 – ELEMENTO DE CABO

4.2.1 – Generalidades sobre o elemento de cabo

A natureza do cabo, com sua rigidez à flexão praticamente desprezível em face à sua rigidez à

tração, permite considerar que eles resistam às ações desenvolvendo apenas esforços de

tração. Assim, por exemplo, se uma carga é aplicada segundo uma direção transversal ao eixo

do cabo, com sugere a Figura 4.1, ele é defletido até que as resultantes de tração produzam

uma reação contrária ao carregamento. Obviamente, a deflexão do cabo depende de sua

rigidez elástica e do seu estado de tensão inicial. A não-linearidade geométrica fica

caracterizada pela importância da geometria do sistema em sua capacidade para resistir a

carregamentos.

Figura 4.1: Cabo submetido à carga transversal P.

Os efeitos provenientes do encurvamento do cabo flexível serão desprezados. Assim,

considera-se que quando tracionado, independente da forma assumida no espaço, o cabo

flexível fica submetido a um estado de tração simples, ou seja, com tensão uniforme por toda

a sua seção transversal. Dessa maneira, as deformações de cisalhamento podem ser

consideradas nulas e as deformações normais em direções perpendiculares ao eixo do cabo

podem ser colocadas em função da principal componente de deformação, a componente

normal que atua na direção do eixo do cabo, axε . Além disso, se o material do cabo for

isotrópico, as componentes normais da deformação que são perpendiculares ao eixo do cabo

têm o mesmo valor, denotado por tε .

Para o caso geral, a Figura 4.2 mostra o elemento tridimensional de cabo que se desloca no

espaço tridimensional. Na configuração de referência, o eixo do elemento de cabo vai da

posição ( )1X para ( )2X . Com a imposição dos deslocamentos ( )1u e ( )2u , indicados na figura,

o elemento assume a configuração atual e seu eixo passa a ir de ( )1x para ( )2x .

67

Figura 4.2: Elemento tridimensional de cabo no espaço.

Apesar da Figura 4.2 sugerir um elemento tridimensional de cabo, como a componente axial

da deformação é suficiente para determinar seu completo estado de deformação, elementos

unidimensionais são convenientes para criar modelos discretos de sistemas de cabos.

4.2.2 – Relação constitutiva e energia de deformação específica para cabos flexíveis

Mesmo sendo o cabo feito de material elástico, a respectiva relação constitutiva nem sempre

pode ser considerada elástica. Isso acontece porque, em cabos comuns, uma parcela da

deformação, chamada deformação estrutural, é irreversível e resulta do acomodamento dos

fios que compõem o cabo. Entretanto, existe um processo chamado “pré-esticamento” que

elimina a deformação estrutural dos cabos e, assim, permite que se considere sua deformação

elástica. No processo de pré-esticamento, deve-se aplicar uma carga ao cabo superior à carga

de serviço e inferior à carga correspondente ao limite elástico do cabo.

Segundo Pimenta (1986), os cabos flexíveis usados em estruturas são submetidos a um pré-

esticamento com uma força axial equivalente a 55% da carga de ruptura e, assim, o cabo

passa a apresentar uma relação linear entre a carga axial e o estiramento. Essa relação pode

ser colocada na forma da Equação (4.1) a seguir:

( )E AP l LL

= − (4.1)

Onde: P é uma força axial aplicada ao cabo; E é o módulo de elasticidade linear ou módulo de Young; A é a soma das áreas, na configuração de referência, das seções transversais de cada

arame que compõe o cabo; L é o comprimento do cabo na configuração de referência; e l é o comprimento do cabo na configuração atual.

68

Considerando-se a deformação de engenharia ( engε ) e a respectiva tensão conjugada, que é

chamada tensão nominal ( nomσ ), cujas definições são, respectivamente,

( ) eeng nom

l L PL A

ε σ−

= = , (4.2a,b)

a Equação (4.1) pode ser trabalhada de forma que resulte numa relação constitutiva linear

conforme a Equação (4.3) a seguir:

( )nom eng

l LP E EA L

σ ε−

= ⇒ = (4.3)

Sabendo que a definição da deformação e tensão, dadas nas Equações (4.2a,b), formam um

par conjugado e considerando a relação constitutiva dada na Equação (4.3), a energia de

deformação específica para cabos ( cabψ ) pode ser escrita conforme a Equação (4.4).

( ) ( )ax ax 2

cab nom eng eng eng cab eng0 0

12

d E d Eε ε

ψ σ ε ε ε ψ ε= = ⇒ =∫ ∫ (4.4)

4.2.3 – Tensão e deformação para o elemento de cabo de deformação constante

A geometria de um elemento unidimensional de cabo no espaço tridimensional é apresentada

na Figura 4.3. Em sua configuração de referência, o elemento é denotado pelo vetor L e seus

nós são representados pelos vetores de posição ( )1X e ( )2X . Com a imposição dos

deslocamentos ( )1u e ( )2u aos nós ( )1X e ( )2X , respectivamente, o elemento assume a

configuração atual, em que o elemento é representado pelo vetor l . Nesta configuração, a

posição dos nós que formam o elemento é dada pelos vetores ( )1x e ( )2x . Cabe ressaltar ainda

que N é um vetor unitário que aponta na mesma de L e, da mesma forma, n é um vetor

unitário que aponta na direção de l .

69

Figura 4.3: Configurações de um elemento unidimensional de cabo no espaço tridimensional.

Considerando-se o elemento ilustrado na Figura 4.3 e a definição da deformação de

engenharia dada na Equação (4.2), a deformação axial sofrida pelo elemento de cabo pode ser

escrita conforme a Equação (4.5) a seguir.

axε−

=l L

L (4.5)

Pela Equação (4.3), o par conjugado de tensão e deformação para o elemento de cabo pode ser

relacionado conforme a Equação (4.6).

ax axEσ ε= (4.6)

Além disso, ainda da Figura 4.3, percebe-se que a configuração atual do elemento pode ser

colocada em função dos deslocamentos e da configuração de referência como se segue:

( ) ( )= + −2 1l L u u . (4.7)

As componentes do elemento na configuração atual podem ser obtidas colocando-se a

Equação (4.7) em notação indicial, como mostra a Equação (4.8) a seguir.

(2) (1)j j j jl L u u= + − (4.8)

70

4.2.4 – Energia potencial total em função dos deslocamentos ( )Π u e seu gradiente

Para facilitar a obtenção da expressão para o gradiente da energia potencial de deformação, é

conveniente que se determinem as derivadas parciais da deformação axε com relação às

componentes dos deslocamentos ( )1u e ( )2u . Esse procedimento, que resulta na Equação

(4.9), é apresentado a seguir:

2 2 2

j1 2 3 axax

j

ll l ll

εε− + + − ∂

= = → =∂

l L LL L L l

( )(2) (1)

j j j(2) (1)j j j j ji 2k ji 1k ji 2k 1k(k) (k) (k)

i i i

l u ul L u u

u u uδ δ δ δ δ δ δ

∂ ∂ ∂= + − → = − = − = −

∂ ∂ ∂

( ) ( )j jax ax ax iji 2k 1k 2k 1k(k) (k) (k)

i j i i

l l lu l u uε ε εδ δ δ δ δ

∂∂ ∂ ∂= = − ⇒ = −

∂ ∂ ∂ ∂L l L l. (4.9)

Onde: i, j = 1, 2, 3; k = 1, 2; e

mnδ é o delta de Kronecker, que é dado por: 1 se0 semn

m nm n

δ=⎧

= ⎨ ≠⎩.

Por sua definição, a energia potencial de deformação de um elemento é obtida integrando-se a

energia de deformação específica no volume do elemento na configuração de referência.

Assim, para o elemento de cabo em questão, a energia potencial de deformação é obtida de:

( ) ( )2 2cab ax ax

1 12 2V V

dV E dV E Aφ ψ ε φ ε= = ⇒ =∫ ∫ L (4.10)

A derivada parcial da energia potencial de deformação, Equação (4.10), com relação à

deformação axial do elemento é

axax

E Aφ εε∂

=∂

L . (4.11)

Com as Equações (4.9) e (4.11), as componentes do gradiente da energia potencial de

deformação do elemento são computadas segundo a Equação (4.12) a seguir:

71

( ) ( )ax iax 2k 1k 2k 1k i ax(k) (k) (k)

i ax i i

l lu u u

E AE Aεφ φ φε δ δ δ δ εε

∂∂ ∂ ∂= = − ⇒ = −

∂ ∂ ∂ ∂L

L l l (4.12)

Então, com o auxílio da Equação (4.12), o gradiente da energia potencial de deformação do

elemento ( φ∇ ) pode ser construído conforme a Equação (4.13) a seguir:

1 ax(1)1

2 ax(1)2

3 ax(1)3

1 ax(2)1

(2) 2 ax2

(2) 3 ax3

lu

lu

lu

lu

lu

lu

E A

E A

E A

E A

E A

E A

φ ε

φ ε

φ ε

φφ ε

φε

φε

⎧ ⎫∂⎧ ⎫ −⎪ ⎪⎪ ⎪∂ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪∂⎪ ⎪ −⎪ ⎪⎪ ⎪∂ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪∂ −⎪ ⎪⎪ ⎪∂⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪∇ = =⎨ ⎬ ⎨ ⎬∂⎪ ⎪ ⎪ ⎪+

⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂⎪ ⎪ ⎪ ⎪

∂⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂⎪ ⎪ ⎪ ⎪

∂⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂⎩ ⎭ ⎪ ⎪⎩ ⎭

l

l

l

l

l

l

(4.13)

A energia potencial total, ( )Π u , para um sistema estrutural de cabos discretizado em m

elementos e com n deslocamentos livres, pode ser obtida conforme a Equação (4.14) a seguir:

( ) 01

mT

ii

φ=

Π = − + Π∑u f u (4.14)

Onde: iφ é a energia potencial de deformação do i-ésimo elemento (1 ≤ i ≤ m); 0Π é a energia potencial total inicial do sistema; u é o vetor de deslocamentos livres, que possui n componentes; e f é o vetor de forças nodais externas (conservativas) correspondentes aos

deslocamentos livres. Finalmente, o gradiente da energia potencial total, Equação (4.14), é obtido conforme a

Equação (4.15).

( )1

m

ii

φ=

∇Π = ∇ −∑u f (4.15)

72

Tomando-se como função objetivo a expressão para a energia potencial total do sistema,

Equação (4.14), e para seu gradiente, a Equação (4.15), o método de otimização quasi-

Newton discutido no capítulo anterior é usado para encontrar uma configuração de equilíbrio

estável do sistema, que corresponde a um mínimo local da energia potencial total.

4.3 – PRÉ-TRACIONAMENTO

Em geral, apesar de inconvenientes, grandes deslocamentos são comuns às tensoestruturas.

Entre os inconvenientes provocados por eles, destacam-se os danos aos materiais de

revestimento, de vedação e a sensação de desconforto. Assim, para minimizar os

deslocamentos sem a introdução de elementos com rigidez à flexão no sistema estrutural, as

tensoestruturas são pré-tracionadas, isto é, aplicam-se ações que produzem um estado de

tração inicial. Dessa forma, mesmo quando não submetidas a qualquer carregamento, e

mesmo desprezando-se o peso próprio, as tensoestruturas são projetadas de maneira que

estejam sempre submetidas a um estado de tensão de tração (Haber & Abel, 1982).

Sucintamente, o projeto de tensoestruturas consiste em determinar uma configuração, com a

mínima carga de pré-tracionamento, para que a estrutura seja segura, econômica e, quando

submetida às combinações de carregamentos previstos, não apresente nem deslocamentos

excessivos nem regiões folgadas. Assim, no projeto de tensoestruturas, é fundamental que se

disponha de ferramentas que permitam a análise estrutural a partir de configurações de

referência já tracionadas.

Na formulação apresentada até o item anterior, a configuração de referência foi tratada como

indeformada, entretanto não há qualquer vínculo entre a configuração de referência e uma

configuração indeformada. Nesse trabalho serão considerados pré-tracionamentos, sempre na

configuração de referência, provocadas pela imposição de: tensão inicial, encurtamento do

elemento e a variação de temperatura.

Independente da forma de aplicação do pré-tracionamento, as expressões para a energia

potencial total e seu gradiente continuarão sendo dadas pelas Equações (4.14) e (4.15),

respectivamente. A diferença se restringe ao cômputo da energia interna de deformação, que

passa a ser feito com base em uma configuração indeformada obtida em função da

configuração de referência e da forma de pré-tracionamento imposto.

73

4.3.1 – Tensão inicial imposta

O pré-tracionamento por imposição de tensão inicial ocorre quando, na configuração inicial,

o elemento já se encontra submetido a uma tensão uniforme 0σ , como mostra a Figura 4.4 a

seguir:

Figura 4.4: Elemento de cabo pré-tracionado com uma tensão 0σ na configuração inicial.

Considerando-se que na configuração inicial a tensão axial no elemento é 0σ , da Equação

(4.6), a deformação inicial correspondente será

00 E

σε = . (4.16)

O comprimento do elemento indeformado, Lindef, é obtido da deformação inicial, Equação

(4.16), e do comprimento do elemento na configuração inicial, L , conforme mostra a

Equação (4.17) a seguir:

( )00 1

indefindef

indef

LL

Lε

ε−

= ⇒ =+

L L. (4.17)

Conhecido o comprimento indeformado, a energia potencial de deformação do elemento e seu

gradiente são obtidos de forma semelhante às expressões das Equações (4.10) e (4.13), exceto

que a deformação axial ( axε ) é medida com relação ao comprimento do elemento

indeformado (Lindef) e esse mesmo comprimento é utilizado no lugar do comprimento na

74

configuração de referência, L . Assim, a energia potencial de deformação de um elemento

com tensão inicial imposta e seu gradiente são obtidos, respectivamente, conforme as

Equações (4.18) e (4.19).

2

12

indefindef

indef

LE A L

Lφ

⎛ ⎞−= ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

l (4.18)

( )

( )

( )

( )

( )

1

(1)1

2(1)2

3(1)3

(2) 11

(2)2 2

(2)3

3

l

ul

u

lu

lu

u l

u l

indef

indef

indef

indef

indef

indef

indef

indef

indef

indef

i

LE AL

LE AL

LE AL

LE AL

LE AL

LE A

φ

φ

φ

φφ

φ

φ

−−∂⎧ ⎫

⎪ ⎪∂⎪ ⎪ −∂ −⎪ ⎪

⎪ ⎪∂⎪ ⎪−⎪ ⎪∂ −⎪ ⎪∂⎪ ⎪∇ = =⎨ ⎬∂ −⎪ ⎪

+⎪ ⎪∂⎪ ⎪

∂⎪ ⎪ −⎪ ⎪∂ +⎪ ⎪

∂⎪ ⎪−⎪ ⎪∂⎩ ⎭ +

ll

ll

ll

ll

ll

ll

( )ndef

indefL

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

(4.19)

Com a energia potencial de deformação de cada elemento obtida da Equação (4.18) e o

respectivo gradiente, da Equação (4.19), a energia potencial total para todo o sistema

estrutural e seu gradiente são obtidos, respectivamente, das Equações (4.14) e (4.15).

4.3.2 – Corte imposto

Outra forma de pré-tracionamento na configuração inicial é a imposição de um corte ao

elemento seguida de um estiramento até que o elemento recupere o comprimento da

configuração inicial. A Figura 4.5 ilustra esse procedimento, o corte é denotado pelo vetor C

e o comprimento do elemento após o corte é representado por ( )CL .

75

Figura 4.5: Elemento de cabo pré-tracionado com aplicação de um corte C na configuração inicial.

A relação entre o corte ( C ), o comprimentos indeformado ( ( )CL ) e o comprimento na

configuração inicial ( L ) é

( )= +CL L C (4.20)

Como na configuração de referência o elemento já está deformado, a abordagem adotada

neste caso é semelhante àquela adotada para o caso de tensão inicial imposta. Assim, a

energia potencial de deformação do elemento e seu gradiente são obtidos considerando-se o

comprimento indeformado do elemento (Lindef) e medidas de deformação com relação a esse

comprimento. O comprimento do elemento indeformado é obtido de:

( )

indefL = CL (4.21)

Com o comprimento do elemento indeformado obtido conforme a Equação (4.21), a energia

potencial de deformação do elemento e seu gradiente são obtidos das Equações (4.18) e

(4.19). Para todo o sistema estrutural discretizado, a energia potencial total e seu gradiente são

obtidos, respectivamente, das Equações (4.14) e (4.15).

É importante ressaltar que o corte C precisa ser pequeno o suficiente para que a deformação

axial (C)axε não ultrapasse o limite de elasticidade linear do material.

76

4.3.3 – Variação de temperatura

Em geral, um aumento de temperatura provoca aumento de volume de corpos ou substâncias,

chamado dilatação térmica, e uma diminuição de temperatura produz uma diminuição de seu

volume, chamada contração térmica. No caso de barras, convém supor que a temperatura atua

em seu comprimento sendo que a variação de comprimento é diretamente proporcional à

variação de temperatura e ao comprimento inicial da barra. Esse modelo é representado pela

Equação (4.22) a seguir.

0L L Tα∆ = ∆ (4.22)

Onde: L∆ representa a variação de comprimento da barra, ou seja, 0fL L L∆ = − sendo Lf o comprimento final da barra;

α é o coeficiente de dilatação térmica linear, específico de cada material e, geralmente, medido em oC-1 ou oF-1 em função da temperatura ser medida em Celsius ou Fahrenheit;

0L é o comprimento inicial da barra, medido à temperatura inicial, 0T ; e T∆ é a variação de temperatura, ou seja, 0fT T T∆ = − sendo fT a temperatura final.

Assim, um aumento de temperatura provoca um aumento do comprimento de uma barra e

uma diminuição corresponde a uma diminuição de seu comprimento. Portanto, da mesma

forma que o corte imposto, a diminuição de temperatura pode ser tratada como uma forma de

imposição de pré-tracionamento ao modelo.

A variação de temperatura pode ocorrer a qualquer momento na estrutura, estando ela

carregada ou não. Entretanto, como os coeficientes de dilatação térmica são fornecidos para

cada material em situação indeformada, o modelo proposto considera como o comprimento

inicial do elemento seu comprimento indeformado. Outra hipótese adotada no modelo é que o

estado de solicitação do elemento não interfere em sua deformação térmica, ou seja, modelo

térmico desacoplado (Pulino Filho, 1991). Se na configuração de referência o elemento de

comprimento L está livre de tensões, seu comprimento indeformado depois de uma

variação de temperatura passa a ser obtido de:

( )1indef indefL T L Tα α= + ∆ ⇒ = + ∆L L L (4.23)

77

De forma semelhante a do corte imposto, para o elemento submetido a uma variação de

temperatura, com o comprimento indeformado obtido da a Equação (4.23), a energia potencial

de deformação do elemento e seu gradiente são obtidos das Equações (4.18) e (4.19),

respectivamente. E para todo o sistema estrutural discretizado, a energia potencial total e seu

gradiente são obtidos, respectivamente, das Equações (4.14) e (4.15).

4.3.4 – Combinação de formas de pré-tracionamento

É pouco freqüente, mas é possível que o projetista deseje impor mais de uma das formas de

pré-tracionamento ao mesmo tempo. Assim, será definido a seguir como o modelo proposto

trata do caso em que todas as formas de pré-tracionamento são impostas ao mesmo tempo.

Sendo L o comprimento do elemento na configuração inicial, primeiramente, considera-se

o efeito da relaxação da tensão inicial 0σ que resulta no comprimento indeformado denotado

por 0indefL σ , obtido da forma descrita em 4.3.1 e pode ser resumido na forma da Equação

(4.24).

00 1

indefL

E

σ σ=

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

L (4.24)

Considera-se que o corte é aplicado ao elemento com o comprimento 0indefL σ . Assim, o

comprimento depois do corte de C , indefCL , é obtido da Equação (4.25).

0indefC indefL L σ= − C (4.25)

Por último, considera-se o efeito da variação de temperatura que atua sobre o elemento de

comprimento indeformado obtido da Equação (4.25). Assim, o comprimento do elemento

indeformado, considerando todas as formas de imposição de pré-tracionamento, pode ser

escrito na forma da Equação (4.26) a seguir:

( )( )0

1indef indefL L Tσ α= − + ∆C (4.26)

78

Com o comprimento indeformado de cada elemento obtido conforme a Equação (4.26), sua

energia potencial de deformação e seu gradiente são obtidos das Equações (4.18) e (4.19),

respectivamente. E a energia potencial total e seu gradiente para todo o sistema discreto são

obtidos, respectivamente, das Equações (4.14) e (4.15).

79

5 – ANÁLISE DE TENSOESTRUTURAS EM MEMBRANA


A formulação apresentada neste capítulo fornece uma configuração de equilíbrio estático

estável para sistemas estruturais compostos por membranas e sujeitos a grandes

deslocamentos. Ela foi desenvolvida a partir do trabalho de Arcaro (2001).

Em uma configuração inicial, que não precisa ser uma configuração indeformada, a

membrana é discretizada por elementos triangulares de deformação constante (elementos de

três nós tipo CST). Em seguida, com base em deslocamentos nodais, são construídas

expressões para a energia potencial total do sistema e para seu gradiente e, por meio de

método de programação não-linear irrestrita do tipo quasi-Newton, procura-se uma

configuração correspondente a um mínimo local da energia potencial total do sistema. Pelo

princípio da mínima energia potencial total, esse ponto de mínimo corresponde a uma

configuração de equilíbrio estático estável da estrutura.

Supõe-se a existência de uma expressão para a energia potencial total de todo o sistema

estrutural. Assim, os sistemas estruturais, incluindo-se o carregamento, são tratados como

conservativos. Isso significa que todo carregamento pode ser derivado de uma função

potencial, que o material da estrutura trabalha apenas em regime elástico e que, durante o

processo de deformação, não ocorre qualquer dissipação de energia em formas não mecânicas

como calor ou som, ou seja, o processo de deformação é completamente reversível.

A energia potencial de deformação é computada com base em relações constitutivas hiper-

elásticas obtidas de diferentes funções de energia de deformação específica. Relações

constitutivas para pequenas a moderadas deformações são obtidas do modelo hiper-elástico

conhecido como Saint-Venant Kirchhoff. Para deformações até cerca de 30% utiliza-se o

modelo neo-hookeano para material incompressível. Esses modelos são facilmente

encontrados na literatura sobre mecânica dos meios contínuos ou sobre hiper-elasticidade,

como exemplo, foram consultados Bonet & Wood (1997), Crisfield (1997), Bonet & Burton

(1998) e Holzapfel (2000). Para o modelo hiper-elástico de Saint-Venant Kirchhoff, além do

caso isotrópico, foi incluída uma extensão para o caso ortotrópico conforme apresentam

Raible et al (2005).

80

Uma vez que as deformações na membrana das tensoestruturas não alcançam grandes

magnitudes, a princípio, não serão consideradas formas relaxadas da energia de deformação

específica, que, em termos gerais, simulam uma “plasticidade sem a perda da reversibilidade

termodinâmica”. Essas situações são abordadas, por exemplo, em Haseganu & Steigmann

(1994), Haseganu & Steigmann (1996) e Epstein & Fornicito (2001).

Para simplificar o problema, é conveniente supor que a membrana esteja submetida a um

estado plano de tensões, ou seja, as componentes da tensão que atuam fora do plano da

membrana são nulas. Essa hipótese permite que se trabalhe com uma discretização

bidimensional, como na Figura 5.1 (b), no lugar de uma tridimensional, Figura 5.1 (a), que

seria bem mais complexa.

Figura 5.1: Simplificação para a discretização de membranas.

5.2 – CINEMÁTICA PARA O ELEMENTO DE MEMBRANA

O tensor gradiente da deformação, em geral denotado por F , guarda informações sobre as

deformações numa vizinhança diferencial de uma partícula qualquer de um corpo que se

desloca de uma configuração de referência para uma configuração atual. Assim, sua

determinação é de fundamental importância para a obtenção de outros tensores de deformação

usados como medidas de deformação. Esse tensor gradiente da deformação, F , em geral, é

não-simétrico, completo e requer uma matriz de dimensão 3 x 3 para a sua representação.

A determinação das deformações de um sistema estrutural é um problema complexo e, exceto

para casos muito simples, sua solução requer o emprego de métodos numéricos. Dada a

81

flexibilidade e ampla utilização, empregar-se-á o método dos elementos finitos para abordar

esse problema. Nele, o meio contínuo é discretizado em um conjunto finito de pequenos

elementos e as grandezas de interesse são calculadas apenas para certos pontos de cada

elemento, chamados nós. Para os demais pontos do elemento, essas grandezas são

determinadas por simples interpolação.

A energia potencial de deformação de um corpo depende exclusivamente das deformações

verificadas no corpo. Isso significa que movimentos e rotações de corpo rígido não interferem

na energia potencial de deformação. Assim, de uma maneira geral, as funções de energia de

deformação específica são funções escalares que dependem de tensores de deformação por

meio de seus invariantes.

Supondo-se que a membrana das tensoestruturas se encontra em estado plano de tensão, para

simplificar o problema, é conveniente adotar uma discretização em elementos bidimensionais.

Outra simplificação será a consideração de deslocamentos num plano ao invés de

deslocamentos do elemento no espaço. Assim, para o cômputo das deformações, os

deslocamentos do elemento no espaço tridimensional serão mapeados para um plano, de

maneira que as deformações nos dois casos sejam equivalentes.

Em geral, as expressões para a energia de deformação específica são dadas para o caso

tridimensional e, portanto, não são diretamente compatíveis com essa abordagem

bidimensional ora proposta. Então, há duas saídas para esse problema: ou essas expressões

são transformadas para considerar apenas as deformações no plano; ou elas são usadas na

forma original, mas as demais componentes da deformação são calculadas com base nas

deformações no plano. Seja qual for a opção escolhida, a cinemática para o cômputo da

energia de deformação a partir dessa abordagem bidimensional envolve propriedades do

material. Esse é o preço da simplificação.

No restante desse item, são tratados apenas os aspectos cinemáticos dessa abordagem em que

se simplifica o caso tridimensional real para o bidimensional plano. E o coração de toda essa

abordagem é o tensor gradiente da deformação bidimensional, F , representado por uma

matriz de dimensão 2 x 2, para o elemento bidimensional que se desloca em um plano.

82

5.2.1 – Tensor gradiente da deformação bidimensional ( F )

Na Figura 5.2, a seguir, mostra-se o deslocamento u de uma partícula de um elemento de

membrana que, na configuração de referência, ocupava a posição X e, na configuração

atual, passa a ocupar a posição x .

Figura 5.2: Elemento de membrana para deslocamentos no plano.

Para o elemento triangular de três nós, as funções de forma N1, N2 e N3 são iguais às

coordenadas triangulares (ou coordenadas de área) ξ1, ξ2 e ξ3, respectivamente (Zienkiewicz

& Taylor, 1997). Então, as funções de forma para esse elemento são:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

(2) (3) (2) (3) (2) (3) (3) (2)11 1 2 2 1 1 2 2 2 1 1

(3) (1) (3) (1) (3) (1) (1) (3)22 1 2 2 1 1 2 2 2 1 1

(1) (2) (1) (2) (1) (2) (2) (1)33 1 2 2 1 1 2 2 2 1 1

A 1N X X X X X X X X X XA 2AA 1N X X X X X X X X X XA 2AA 1N X X X X X X X X X XA 2A

⎡ ⎤= = − + − + −⎣ ⎦

⎡ ⎤= = − + − + −⎣ ⎦

⎡ ⎤= = − + − + −⎣ ⎦

(5.1a-c)

Onde: 1X e 2X são componentes do vetor X , posição da partícula na configuração de referência;

( )i1X e ( )i

2X são componentes do vetor (i)X , com i = 1, 2, 3, que indica posição do i-ésimo nó do elemento na configuração de referência;

A é a área do elemento na configuração de referência; e A1, A2 e A3 são parcelas de A, mostradas na Figura 5.2, de forma que A = A1 + A2 +

A3.

Diferenciando-se as funções de forma apresentas nas Equações (5.1a-c) com relação às

componentes do vetor posição X , são obtidas as expressões dadas nas Equações (5.2a-e).

83

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

(2) (3) (3) (2)1 12 2 1 1

1 2

(3) (1) (1) (3)2 22 2 1 1

1 2

(1) (2) (2) (1)3 32 2 1 1

1 2

N 1 N 1X X X XX 2A X 2AN 1 N 1X X X XX 2A X 2AN N1 1X X X XX 2A X 2A

∂ ∂= − = −

∂ ∂∂ ∂

= − = −∂ ∂∂ ∂

= − = −∂ ∂

(5.2a-e)

Conhecidas as posições dos vértices do elemento de membrana, a posição de qualquer

partícula de seu domínio pode ser interpolada através das funções de forma como mostra a

Equação (5.3) (Bonet & Wood, 1997).

1 2 3N N N= + +(1) (2) (3)X X X X (5.3)

As mesmas funções de forma podem ser usadas para determinar o deslocamento, Equação

(5.4), e posição atual da mesma partícula, Equação (5.5), por interpolação (Bonet & Wood,

1997).

1 2 3N N N= + +(1) (2) (3)u u u u (5.4)

1 2 3N N N= + +(1) (2) (3)x x x x (5.5)

Onde: (k)u representa o deslocamento do k-ésimo nó do elemento, com k = 1, 2, 3; e (k)x é o vetor de posição do k-ésimo nó do elemento , com k = 1, 2, 3, na

configuração atual.

O tensor gradiente da deformação bidimensional ( F ) é definido conforme a Equação (5.6) a

seguir:

∂=

∂xFX

com componentes dadas por: iij

j

xF (i, j = 1, 2)X

∂=

∂ (5.6)

Então, da Equação (5.6), o tensor gradiente da deformação bidimensional pode ser obtido

diferenciando-se Equação (5.5) com relação às componentes de X como mostra a Equação

(5.7).

84

(1) (2) (3) 3i 1 2ij i i i

j j j j

Nx N NF x x xX X X X

∂∂ ∂ ∂= = + +

∂ ∂ ∂ ∂ (5.7)

Onde: (1) (2) (3)i i ix , x e x , com i = 1, 2, representam componentes dos vetores de posição dos nós

do elemento na configuração atual , e (1) (2) (3)x x x , respectivamente.

5.2.2 – Elemento de membrana no espaço

Um elemento de membrana que se desloca no espaço tridimensional, na configuração de

referência e na configuração atual, é ilustrado na Figura 5.3 a seguir. A base do sistema

global de referência, formada por ( (1)E , (2)E , (3)E ) para a configuração de referência e por

( (1)e , (2)e , (3)e ) para a configuração atual, é indicada na própria figura. Na configuração de

referência, os nós do elemento ocupam as posições (1)X , (2)X e (3)X , seus lados (1)L , (2)L e (3)L são numerados de forma que correspondam ao do respectivo nó oposto. Os vetores

unitários (1)N , (2)N e (3)N apontam na direção dos respectivos lados do elemento na

configuração de referência. A base de um sistema de referência local do elemento é formada

pelos vetores unitários ortogonais (1)W , (2)W e (3)W . Neste sistema, (1)W aponta na direção

do lado (2)L , (3)W é perpendicular ao plano do elemento e (2)W é obtido do produto vetorial

de (3)W por (1)W . Da mesma forma, após os deslocamentos (1)u , (2)u e (3)u , os nós do

elemento na configuração atual são indicados por (1)x , (2)x e (3)x . Os vetores (1)n , (2)n e (3)n são unitários e apontam, respectivamente, na direção dos lados (1)l , (2)l e (3)l . A base do

sistema local de referência na configuração atual é forma pelos vetores unitários ortogonais (1)w , (2)w e (3)w , em que (3)w é perpendicular ao plano do elemento, (1)w aponta na direção

de (2)l e (2)w é obtido do produto vetorial de (3)w por (1)w .

85

Figura 5.3: Elemento de membrana no espaço.

Os lados do elemento na configuração atual podem ser obtidos com base em sua localização

na configuração de referência e dos deslocamentos sofridos por meio das Equações (5.8a-c) a

seguir:

= + −

= + −

= + −

(1) (1) (3) (2)

(2) (2) (1) (3)

(3) (3) (2) (1)

l L u ul L u ul L u u

(5.8a-c)

A base do sistema local de referência na configuração de referência é dada por meio das

Equações (5.9a-c).

(1)

1(1)2(1)3

WWW

⎧ ⎫⎪ ⎪= = ⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

(2)(1)

(2)

LWL

(2)1(2)2(2)3

WWW

⎧ ⎫⎪ ⎪= × = ⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

(2) (3) (1)W W W

(3)1(3)2(3)3

WWW

⎧ ⎫× ⎪ ⎪= = ⎨ ⎬× ⎪ ⎪

⎩ ⎭

(1) (2)(3)

(1) (2)

L LWL L

(5.9a-c)

A base do sistema local de referência na configuração atual é obtida das Equações (5.10a-c).

86

(1)1(1)2(1)3

www

⎧ ⎫⎪ ⎪= = ⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

(2)(1)

(2)

lwl

(2)1(2)2(2)3

www

⎧ ⎫⎪ ⎪= × = ⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

(2) (3) (1)w w w

(3)1(3)2(3)3

www

⎧ ⎫× ⎪ ⎪= = ⎨ ⎬× ⎪ ⎪

⎩ ⎭

(1) (2)(3)

(1) (2)

l lwl l

. (5.10a-c)

5.2.3 – Elemento de membrana com sobreposição dos sistemas locais de referência

Como a energia potencial de deformação depende exclusivamente das deformações sofridas

pelo corpo, independentemente do campo de deslocamentos imposto, desde que sejam

impostas deformações equivalentes, a energia potencial de deformação armazenada no corpo

é a mesma. Assim, para tirar proveito da discretização bidimensional, um tensor gradiente da

deformação bidimensional ( F ) é computado para cada elemento que discretiza a membrana.

Esse tensor F é montado considerando-se apenas deslocamentos no plano resultante da

sobreposição dos sistemas locais de referência como se mostra na Figura 5.4 em seguida.

Figura 5.4: Elemento de membrana com sobreposição dos sistemas locais de referência.

Em outras palavras, com o emprego de uma abordagem energética objetiva, que depende

apenas dos invariantes do tensor de deformação, os deslocamentos e rotações de corpo rígido

são indiferentes para o cômputo da energia potencial de deformação. Assim, apesar das

partículas da membrana sofrerem deslocamentos em três dimensões, os elementos que

discretizam a membrana podem ser rebatidos em um plano e o problema passa a ser tratado

como bidimensional. Para rebater o elemento na configuração de referência e na atual para

87

um mesmo plano, sugere-se a simples sobreposição dos sistemas locais de referência

mostrados na Figura 5.3, o resultado desse procedimento é ilustrado na Figura 5.4.

Naturalmente, a sobreposição dos sistemas locais requer que se conheçam os vetores de

posição dos nós do elemento nos respectivos sistemas locais. Assim, na configuração de

referência, os vetores locais de posição dos nós de cada elemento serão denotados por (1R)X , (2R)X e (3R)X . Da mesma forma, na configuração atual, os mesmos nós têm suas

posições localmente denotadas pelos vetores (1R)x , (2R)x e (3R)x . O procedimento para

obtenção das componentes dos vetores locais de posição será detalhado em seguida

Nos sistemas locais de referência, as posições dos nós de cada elemento, tanto na

configuração de referência quanto na atual, são obtidas por meio de uma matriz de rotação

que relaciona os sistemas de referência global e local. A matriz de rotação utilizada para esta

transformação é obtida do produto interno entre as respectivas bases dos sistemas de

referência. Assim, as componentes das matrizes de rotação são obtidas por meio de:

(1) (2) (3) (1) (2) (3)

1 1 1 1 1 1(1) (2) (3) (1) (2) (3)2 2 2 2 2 2(1) (2) (3) (1) (2) (3)3 3 3 3 3 3

W W W w w wQ W W W e q w w w w

W W W w w w

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⋅ = = ⋅ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

ij ij(i) (j) (i) (j)E W e (5.11a,b)

As matrizes de rotação dadas pelas Equações (5.11a,b) permitem obter os lados do elemento

no sistema local de referência nas configurações de referência ( (1R)L , (2R)L e (3R)L ) e atual

( (1R)l , (2R)l e (3R)l ) através das seguintes expressões:

T=(1R) (1)L Q L T=(2R) (2)L Q L T=(3R) (3)L Q L (5.12a-c)

T=(1R) (1)l q l T=(2R) (2)l q l T=(3R) (3)l q l (5.13a-c)

A Figura 5.4 mostra a posição dos nós no plano dos elementos rebatidos com base nos lados

do elemento em coordenadas locais, obtidos através das Equações (5.12a-c) e (5.13a-c).

88

5.2.4 – Tensor gradiente da deformação bidimensional ( F ) para o elemento com sistemas locais de referência sobrepostos

Por conveniência, a situação resultante da sobreposição dos sistemas locais é mais uma vez

ilustrada na Figura 5.5, que mostra uma partícula que tem sua posição na configuração de

referência denotada por (R)X , sofre um deslocamento (R)u , e passa a ocupar a posição (R)x na

configuração atual.

Figura 5.5: Deslocamento de uma partícula do elemento no plano resultante da sobreposição

dos sistemas locais.

Com a sobreposição dos sistemas locais de referência, a posição dos nós pode ser escrita em

função dos lados do elemento nos respectivos sistemas locais de referência conforme as

Equações (5.14 a-c) e (5.15a-c) tem-se que:

(1R) (2R) (2R) (1R) (3R)1 1 1 1 1(1R) (2R) (1R) (3R)2 2 2 2

X =L X = L X =0X =0 X = L X =0

−−

(5.14a-e)

(1R) (2R) (2R) (1R) (3R)1 1 1 1 1(1R) (2R) (1R) (3R)2 2 2 2

x =l x = l x =0x =0 x = l x =0

−−

(5.15a-e)

Para a situação em questão, as funções de forma podem ser escritas como:

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

(R) (1R) (R) (1R)1 2 1 1 2

(R) (2R)2 2 1

(R) (1R) (R) (1R) (2R) (2R) (1R)3 1 2 2 1 1 1 2

1N X L X L2A1N X L

2A1N X L X L L L L

2A

⎡ ⎤= −⎣ ⎦

⎡ ⎤= ⎣ ⎦

⎡ ⎤= − + −⎣ ⎦

(5.16a-c)

89

Diferenciando-se as funções de forma da Equação (5.16) com relação às componentes do

vetor de posição da partícula na configuração de referência (R)X :

( )

(1R) (1R)1 12 1(R) (R)

1 2

(2R)2 21(R) (R)

1 2

(1R) (1R) (2R)3 32 1 1(R) (R)

1 2

N 1 N 1L LX 2 X 2N N 10 LX X 2N N1 1L L L

X 2 X 2

∂ ∂= − =

∂ ∂∂ ∂

= =∂ ∂∂ ∂

= = − +∂ ∂

A A

A

A A

(5.17a-c)

Com as expressões dadas pela Equação (5.17), conforme a Equação (5.7), o tensor gradiente

da deformação bidimensional, apresentado na Equação (5.18), é obtido conforme o

procedimento a seguir:

( )

(1R) (1R)2 1

(2R)1

(1R) (2R)(1R) 1 12

1 1(R) (R) l l1 2 2A 2A

(1R) (2R) (3R) (2R) (1R)l1 1 1 1 12 22A(R) (R)(1R) (2R) (3R) (1R)

1 22 2 2 2 l ll2A 2A3 3

(R) (R)1 2

N NX X

x x x l l 0N N 0X Xx x x 0 l 0N N

X X

+

⎡ ⎤∂ ∂⎢ ⎥∂ ∂ ⎡−⎢ ⎥⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤−∂ ∂

= =⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂ ∂ −⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥−⎢ ⎥∂ ∂ ⎣

⎢ ⎥∂ ∂⎢ ⎥⎣ ⎦

F

⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

⎦

( )( ) ( )( ) ( )( )( )( )

(2R) (1R) (2R) (1R) (1R) (2R)1 2 1 1 1 1

(1R) (2R)2 1

l L l L l L12 0 l L

⎡ ⎤− −⎢ ⎥=⎢ ⎥−⎣ ⎦

AF (5.18)

Considerando apenas as componentes no plano, o tensor direito de Cauchy-Green e o tensor

de deformação de Green-Lagrange correspondentes ao tensor gradiente da deformação

bidimensional, F , são apresentados a seguir nas Equações (5.19) e (5.20), respectivamente.

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )

2 2 (2R) (1R) (2R) (1R) (1R) (2R)(2R) (1R)1 2 1 1 1 11 2

2 2

22 2(2R) (1R) (2R) (1R) (1R) (2R) (1R) (2R) (2R) (1R) (1R) (2R)1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1

2 2

l L l L l Ll L

4 4

l L l L l L l L l L l L

4 4

⎡ ⎤−⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤ ⎡ ⎤− + −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤−⎢ ⎥

= = ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

T A A

A A

C F F (5.19)

( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )

2 2 (2R) (1R) (2R) (1R) (1R) (2R)(2R) (1R)1 2 1 1 1 11 2

2 2

22 2(2R) (1R) (2R) (1R) (1R) (2R) (1R) (2R) (2R) (1R) (1R) (2R)1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1

2 2

l L l L l Ll L 128 8

l L l L l L l L l L l L128 8

12

⎡ ⎤−⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤ ⎡ ⎤− + −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤− −⎢ ⎥

= − = ⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦

T A A

A A

E F F I (5.20)

90

5.2.5 – Características do tensor gradiente da deformação bidimensional ( F )

Sobre o tensor gradiente da deformação bidimensional, dado pela Equação (5.18), é

importante notar alguns aspectos peculiares. Assim, dada a sua construção, exceto para o caso

do elemento ter os três nós colineares ou pelo menos dois coincidentes em uma das

configurações, é válido afirmar que:

1. As componentes (2R)1l e (2R)

1L sempre terão sinal positivo;

2. As componentes (1R)2l e (1R)

2L sempre terão sinal negativo; e

3. Tanto (1R)1l quanto (1R)

1L são livres, isto é, podem ser positivas, nulas ou negativas.

A área do elemento na configuração indeformada pode ser colocada em função das

componentes (2R)1L e (1R)

2L como se segue:

(2R) (1R)1 2

1 L L2

= −A (5.21)

Levando-se a Equação (5.21) na (5.18), esta se torna:

( )(2R) (1R)(2R) (1R) 111 1(2R) (1R) (2R) (1R)1 2 1 2

(1R)2(1R)2

l Ll lL L L L

l0L

⎡ ⎤⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦

F (5.22)

Assim, considerando-se a expressão para F dada na Equação (5.22) e os comentários acerca

do sinal das componentes dos lados ( (1R)1l , (1R)

2l , (2R)1l , (1R)

1L , (1R)2L e (2R)

1L ), pode-se afirmar que

as componentes 11F e 22F serão sempre positivas e que a componente 12F é livre.

Naturalmente, isso só não se verifica para o caso do elemento ter os três nós colineares ou

pelo menos dois coincidentes em uma das configurações, caracterizando um elemento

degenerado.

91

5.2.6 – Derivadas dos lados do elemento em sistema local com relação aos deslocamentos no espaço

Como se utiliza uma formulação com base nos deslocamentos e um método de programação

não-linear do tipo quasi-Newton, é necessário o conhecimento do gradiente da energia

potencial total com relação aos deslocamentos. Para isso, é preciso que se determine como

variam as componentes (1R)1l , (1R)

2l , (2R)1l em função dos deslocamentos dos nós de cada

elemento no espaço tridimensional.

As Equações (5.13a-c) podem ser escritas em notação indicial da seguinte forma:

(iR ) ( j) (i)j k kl w l= (5.23)

Derivadas parciais da Equação (5.23) com relação à componente do deslocamento (p)qu podem

ser escritas como:

(iR) (i) ( j)j ( j) (i)k k

k k(p) (p) (p)q q q

l l ww lu u u

∂ ∂ ∂= +

∂ ∂ ∂ (5.24)

Para a obtenção das derivadas parciais dos lados do elemento no sistema local de referência

em sua configuração atual, percebe-se da Equação (5.24) que são necessárias as derivadas

parciais dos lados ( (1)l , (2)l e (3)l ) do elemento bem como as dos eixos locais ( (1)w e (2)w )

com relação a cada componente dos deslocamentos ( (1)u , (2)u e (3)u ).

Os lados do elemento na configuração atual são obtidos segundo as Equações (5.8a-c), em

notação indicial, essas mesmas equações e as componentes de cada lado podem ser escritas

como:

i i n (i) (i) (n)

imn k k imn kl =L +ε uε= + ⇒( ) ( ) ( )l L u (5.25)

Onde: imnε é o operador de permutação ou de Levi-Civita, definido da seguinte forma:

92

imn

1, para permutações pares de (i,m,n), para (i,m,n)= (123), (231) ou (312);1, para permutações ímpares de (i,m,n), para (i,m,n)= (132), (213) ou (321);

0, quando ocorrem índices repetidos.ε

+⎧⎪= −⎨⎪⎩

A derivada parcial da Equação (5.25) com relação à componente do deslocamento (p)

qu fica sendo:

( ) ( )(i) (n) (i)k k k

imn imn np kq imn np kq(p) (p) (p)q q q

l u lu u u

ε ε δ δ ε δ δ∂ ∂ ∂= = ⇒ =

∂ ∂ ∂ (5.26)

Onde: ijδ é o operador conhecido como delta de Kronecker, definido por:

ij

1, para i j; e0, para i j.

δ=⎧

= ⎨ ≠⎩

Como cada eixo do sistema de coordenadas locais da configuração atual ( (1)w , (2)w e (3)w )

é obtido de uma forma diferente, conforme se observa nas Equações (5.10a-c), cada eixo varia

de forma específica com relação aos deslocamentos impostos ao elemento. As Equações

(5.10a-c), (5.25) e (5.26) permitem desenvolver as expressões para as derivadas de (1)w , (2)w

e (3)w com relação às componentes dos deslocamentos apresentadas a seguir:

( )(1)

1p 3p 1p 3p(2) (2)kkq k rq r2(p)

q

w 1l lu

δ δ δ δδ δ

− −∂= −

∂ (2) (2)(2)l ll (5.27)

(1)(2) (3)j(3) (1)k i

i j(p) (p) (p)q q q

ww ww wu u u

ε⎛ ⎞∂∂ ∂

= +⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ijk (5.28)

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) (1) (2) (2)(1) (2) (1)(2) (1)ijk abc a mnc mq 3p 2p n nq 1p 3p mrsk rq 3p 2p s sq 1p 3p r i j b

32 2

(3) l l l l l ll lk(p)q

wu

ε ε ε δ δ δ δ δ δε δ δ δ δ δ δ ⎡ ⎤− + −− + − ⎣ ⎦

× ×

∂= −

∂ (1) ( ) (1) ( )l l l l (5.29)

Da definição dada ao tensor gradiente da deformação bidimensional ( F ), como apenas as

componentes (1R)1l , (1R)

2l e (2R)1l variam com os deslocamentos, as derivadas das componentes de

F podem ser obtidas aplicando-se a Equação (5.24) combinada às Equações (5.10a-c), (5.25),

(5.26), (5.27), (5.28) e (5.29). Explicitamente, essas expressões são apresentadas a seguir nas

Equações (5.30), (5.31) e (5.32).

93

(1) (1)(1R) (1) (1) (1) (1)(1) (1) (1) (1) (1) (1)3 31 1 2 1 21 2 3 1 2 3(p) (p) (p) (p) (p) (p) (p)

q q q q q q q

l wl l l w ww w w l l lu u u u u u u

∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + + + + +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ (5.30)

(1) (2)(1R) (1) (1) (2) (2)(2) (2) (2) (1) (1) (1)3 32 1 2 1 21 2 3 1 2 3(p) (p) (p) (p) (p) (p) (p)

q q q q q q q


∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + + + + +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ (5.31)

(2) (1)(2R) (2) (2) (1) (1)(1) (1) (1) (2) (2) (2)3 31 1 2 1 21 2 3 1 2 3(p) (p) (p) (p) (p) (p) (p)

q q q q q q q


∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + + + + +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ (5.32)

5.3 – MODELO DE SAINT-VENANT KIRCHHOFF

Nesta seção será apresentado o mais simples dos modelos hiper-elásticos, o modelo de Saint-

Venant Kirchhoff. No contexto de deformações finitas, esse modelo tem pouca utilidade uma

vez que se aplica apenas até deformações consideradas moderadas. Entretanto, ele apresenta

uma estreita relação com o caso de pequenas deformações, proporciona uma excelente

introdução aos modelos hiper-elásticos e é válido para deslocamentos finitos. (Bonet &

Wood, 1997; Bonet e Burton, 1998; Holzapfel, 2000; Crisfield, 1997).

5.3.1 – Caso geral

As relações constitutivas hiper-elásticas mais simples são as do modelo de Saint-Venant

Kirchhoff e são obtidas da função de energia de deformação específica dada pela Equação

(5.33) a seguir. (Bonet e Burton, 1998 e Holzapfel, 2000)

( ) EEE :tr21 2 µλψ +=SV (5.33)

Onde: λ e µ são parâmetros do material.

A principal desvantagem do modelo de Saint-Venant Kirchhoff é que ele se aplica apenas

para deformações pequenas a moderadas. Entretanto, no caso de tensoestruturas em

membrana, esse modelo é conveniente uma vez que, em geral, apesar de grandes

deslocamentos, apenas pequenas deformações são esperadas para a membrana.

O segundo tensor de tensão de Piola-Kirchhoff será referido por tensor 2PK. Suas

componentes são obtidas da função de energia de deformação específica conforme a Equação

94

(5.34), a seguir. Cada componente da tensão é obtida da derivada parcial de ΨSV com relação

à correspondente componente do tensor de deformação de Green-Lagrange.

SVψ∂=

∂S

E (5.34)

De maneira explícita, as relações entre as componentes de tensão do tensor 2PK e as

componentes do tensor de deformação de Green-Lagrange podem ser colocadas na forma da

Equação (5.35).

11 11

22 22

33 33

12 12

13 13

23 23

S E2 0 0 0S E2 0 0 0S E2 0 0 0S 2E0 0 0 0 0S 2E0 0 0 0 0S 2E0 0 0 0 0

λ µ λ λλ λ µ λλ λ λ µ

µµ

µ

+⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥+⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥+⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥

⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭ ⎩ ⎭

(5.35)

Se os parâmetros do material λ e µ são tomados como constantes de Lamé, eles se relacionam

ao módulo de elasticidade de Young (E) e ao coeficiente de Poisson (ν) através de

( )( )νννλ

211 −+=

E e ( )νµ

+=

12E . (5.36a,b)

A semelhança entre o modelo Saint-Venant Kirchhoff e a lei de Hooke generalizada para

pequenas deformações fica evidente ao se colocar a Equação (5.35) em termos do módulo de

Young e do coeficiente de Poisson, segundo as Equações (5.36a,b). O resultado desse

procedimento é apresentado na Equação (5.37).

( )( )

( )( )

( )( )

( )

( )

11 11

22 22

33 33

12 12

13 13

23 23

1 0 0 01 0 0 0S E

1 0 0 0S E1 2S E0 0 0 0 0

2S 2E1 1 21 2S 2E0 0 0 0 0

2S 2E1 2

0 0 0 0 02

E

ν ν νν ν νν ν ν

ν

ν νν

ν

⎡ − ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪

−⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎢ ⎥⎨ ⎬ ⎨ ⎬+ − ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪

⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎩ ⎭ ⎩ ⎭−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(5.37)

95

5.3.2 – Simplificações considerando o estado plano de tensão

Considerando o estado plano de tensão no plano X3 = 0, as componentes de deformação de

cisalhamento que atuam fora desse plano são nulas, E13 = E31 = E12 = E21 = 0, e a Equação

(5.33) assume a forma apresentada na Equação (5.38).

( ) ( )211 22 33 11 11 22 22 33 33 12 12 21 21

1 E E E E E E E E E E E E E2SVψ λ µ= + + + + + + + (5.38)

Conforme a Equação (5.34), as componentes do tensor 2PK para o estado plano de tensão

ficam:

( )

( )

11 11 11 22 3311

22 22 11 22 3322

12 12 1212

2

2

2

SV

SV

SV

S S E E EE

S S E E EE

S S EE

ψ λ µ λ λ

ψ λ λ µ λ

ψ µ

∂= ⇒ = + + +

∂∂

= ⇒ = + + +∂

∂= ⇒ =

∂

(5.39a-c)

No estado plano de tensão, a componente S33 do tensor 2PK é nula. Assim, dessa propriedade,

uma importante relação entre as deformações normais permite colocar a componente E33 em

função das componentes da deformação normal pertencentes ao plano de tensões, E11 e E22.

Esse procedimento é ilustrado a seguir:

( )33 11 22 3333

0 2 0SVS E E EEψ λ λ λ µ∂

= = ⇒ + + + =∂

( ) ( ) ( ) ( )33 11 22 11 222 1E E E E Eλ ν

λ µ ν= − + = − +

+ − (5.40)

Empregando-se a relação apresentada na Equação (5.40), as Equações (5.39a,b) podem ser

colocadas em função apenas das componentes E11 e E22 conforme segue:

11 11 11 2211

22 22 11 2222

4 22 2

2 42 2

SV

SV

S S E EE

S S E EE

ψ λ µ µµ λλ µ λ µ

ψ µ λ µλ µλ µ λ µ

∂ += ⇒ = +

∂ + +∂ +

= ⇒ = +∂ + +

96

Em forma matricial, pode-se colocar que:

11 11

22 22

12 12

4 2 02 2

2 4 02 2

20 0

S ES ES E

λ µ µµ λ λλ µ λ µ

µ λ µλ µλ µ λ µ

µ

+⎡ ⎤⎢ ⎥+ +⎢ ⎥⎧ ⎫ ⎧ ⎫

+⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥+ +⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(5.41)

A Equação (5.41), por meio das Equações (5.36a,b), pode ser escrita da seguinte forma:

( ) ( )

11 11

22 222

12 12

1 01 0

1 210 0

2

S EES E

S E

νν

νν

⎡ ⎤⎢ ⎥−⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪= −⎢ ⎥⎨ ⎬ ⎨ ⎬

− ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(5.42)

A inversa da relação apresentada na Equação (5.42) pode ser colocada como na Equação

(5.43).

( )

11 11

22 22

12 12

1 01 1 0

2 0 0 2 1

E SE S

EE S

νν

ν

⎡ ⎤⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥+⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎣ ⎦

(5.43)

5.3.3 – Tensores de deformação para o estado plano de tensão

Considerando o estado plano de tensão e deslocamentos no plano, é conveniente supor que o

tensor gradiente da deformação ( F ) tem a forma dada na Equação (5.44) a seguir.

11 12

21 22

33

F F 0F F 00 0 F

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

F (5.44)

97

Para a membrana em estado plano de tensão, considerando a relação entre as componentes

normais da deformação dada na Equação (5.40), o tensor de deformação de Green-Lagrange

pode ser escrito como as Equações (5.45a,b).

11 22

11 12 11 12

21 22 21 22(E E )

33 1

E E 0 E E 0E E 0 E E 00 0 E 0 0 ν

ν+−

⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= ⇒ = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

E E (5.45a,b)

A relação entre o tensor gradiente da deformação ( F ) e o tensor de deformação de Green-

Lagrange ( E ) é dada por:

( )12

T= −E F F I (5.46)

Considerando-se o tensor E na forma da Equação (5.45b), o tensor F dado na Equação

(5.44) e a relação entre eles da Equação (5.46), pode-se colocar o tensor de Green-Lagrange

E em função das componentes do tensor gradiente bidimensional da deformação, F , como

mostra a Equação (5.47) a seguir.

2 2

11 21 11 12 22 21

2 211 12 22 21 12 22

2 2 2 211 2211 21 12 22

F F 1 F F F F2 211 12

F F F F F F 121 22 2 2

(E E )F F 1 F F 11 1 2 2

0E E 0E E 0 00 0 0 0

ννν ν

+ − +

+ + −

++ − + −

− −

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎡ ⎤⎣ ⎦ +⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦

E (5.47)

Onde: 11F , 12F , 22F e 21F são componentes de F obtidas da Equação (5.18);

5.3.4 – Energia de deformação e seu gradiente para o elemento de membrana

O tensor de deformação para qualquer partícula de um corpo que se desloca no espaço pode

ser representado por uma matriz de dimensão 3 x 3 que, em geral, é completa, isto é, não tem

qualquer de suas componentes necessariamente nula. Entretanto, a energia potencial de

deformação de um corpo depende apenas da própria deformação sofrida e , assim, um tensor

de deformação mais simples e equivalente pode ser empregado para a determinação de sua

energia potencial de deformação.

98

No caso da membrana ser discretizada por um elemento bidimensional de deformação

constante, considerando-se o estado plano de tensão, um tensor de deformação de Green-

Lagrange equivalente pode ser montado na forma dada na Equação (5.45a). Esse tensor de

deformação, válido para todas as partículas do domínio discretizado pelo elemento, é obtido

considerando-se que o elemento bidimensional, que representa a membrana, desloca-se no

plano, mas produz deformações equivalentes às que seriam observadas se fossem

considerados deslocamentos no espaço, isso significa que os invariantes do tensor para cada

caso seriam iguais. Empregando-se o modelo de Saint-Venant Kirchhoff para representar o

material, a componente normal da deformação que atua perpendicularmente ao plano do

elemento pode ser colocada em função das componentes que atuam no plano desse elemento

por meio da Equação (5.40). Assim, o tensor de deformação de Green-Lagrange equivalente

pode ser construído com base apenas nas componentes do tensor gradiente da deformação

bidimensional como mostra a Equação (5.47).

Da própria definição do tensor de deformação de Green-Lagrange, Equação (5.46), sabe-se

que se trata de um tensor simétrico, de maneira que E12 = E21. Além disso, para o modelo de

Saint-Venant Kirchhoff, a Equação (5.40) permite que se coloque E33 em termos de E11 e E22.

Com isso, a Equação (5.38), para o estado plano de tensão, pode ser colocada como em

função apenas das componentes no plano do tensor de deformação de Green-Lagrange, que

podem ser obtidas diretamente da Equação (5.20).

( ) ( ) ( ) ( )211 22 11 11 22 22 12 122

E E E E E E 2E E2 12 1SV

E Eνψνν

= + + + ++−

(5.48)

Então, a energia de deformação para cada elemento é obtida integrando-se a função de energia

de deformação específica, Equação (5.48), no volume do elemento na configuração de

referência. Esse procedimento é representado matematicamente pela Equação (5.49) a seguir:

i 0SVV

dVφ ψ= ∫ (5.49)

Onde: iφ representa a energia potencial de deformação do i-ésimo elemento; e 0dV é um diferencial de volume na configuração de referência.

99

Para se obter o gradiente da energia potencial de deformação de cada elemento é necessário

derivar a função de energia de deformação específica, Equação (5.48), com relação às

componentes do deslocamento no espaço. Assim, sendo (1)u , (2)u , (3)u os deslocamentos do

primeiro, segundo e terceiro nós do i-ésimo elemento, utilizando-se a regra da cadeia, a

derivada parcial da energia de deformação específica com relação às componentes do

deslocamento é dada pela Equação (5.50).

11 22 12(i) (i) (i) (i)

11 22 12j j j j

E E Eu u u uE E Eψ ψ ψ ψ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

= + +∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

SV SV SV SV (5.50)

A regra da cadeia pode ser mais uma vez empregada para que sejam obtidas as derivadas das

componentes da deformação com relação às componentes do deslocamento. Essas derivadas

são apresentadas a seguir nas Equações (5.51), (5.52) e (5.53).

(2R)

11 11 1(i) (2R) (i)

1

E E lu l u

∂ ∂ ∂=

∂ ∂ ∂j j

(5.51)

(1R) (2R)

12 12 121 1(i) (1R) (i) (2R) (i)

1 1

E E l E lu l u l u

∂ ∂ ∂ ∂ ∂= +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂j j j

(5.52)

(1R) (1R) (2R)

22 22 22 221 2 1(i) (1R) (i) (1R) (i) (2R) (i)

1 2 1

E E l E l E lu l u l u l u

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂j j j j

(5.53)

As derivadas das componentes (1R)1l , (1R)

2l e (2R)1l , com relação às componentes do

deslocamento, foram apresentadas, respectivamente, nas Equações (5.30), (5.31) e (5.32).

Assim, o gradiente da energia de deformação do i-ésimo elemento é montado como mostra a

Equação (5.54).

100

(1)1

(1)1

(1)2

(1)2

(1)3(1)

3

( 2)( 2) 11

( 2) ( 2)2 2

( 2)3

(3)1

(3)2

(3)3

0

0

0

0

0

ψ

φψ

φ

ψφ

ψφ

ψφ

φ

φ

φ

φ

φ

∂

∂∂

∂∂

∂∂∂ ∂

∂ ∂∂

∂∂

∂∂

∂∂∂ ∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪∇ = =⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

∫∫∫∫∫

SV i

iSV i

i

SV i

i

SV ii

SV ii

i

i

i

i

uV

uuV

u

uVu

uVu

ui uV

u

u

u

u

dV

dV

dV

dV

dV

( 2)3

(3)1

(3)2

(3)3

0

0

0

0

ψ

ψ

ψ

ψ

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

∫∫∫∫

SV i

SV i

SV i

SV i

uV

uV

uV

uV

dV

dV

dV

dV

(5.54)

5.3.5 – Energia potencial total e seu gradiente

A energia potencial total, que pode ser escrita na forma da Equação (3.1), corresponde à soma

das parcelas de trabalho realizado pelas forças externas (Wext) e energia de deformação

armazenada internamente (Uint). A grandeza Wext é obtida pelo negativo do somatório dos

produtos de cada força externa, Pi, pelo de respectivo deslocamento na mesma direção, ui.

Integrando-se a energia de deformação específica, relativa ao material, no volume do corpo

numa configuração de referência, obtém-se a energia de deformação interna. Por

comodidade, expressões para as grandezas discutidas nesse parágrafo são reproduzidas a

seguir:

Energia potencial total, Equação (3.1) ext intW UΠ = +

Trabalho realizado por forças externas, Equação (3.5): 1

n

ext i ii

W P u=

= −∑

Energia de deformação armazenada, Equação (3.6): 0intV

U dVψ= ∫

Denotando-se a energia de deformação do i-ésimo elemento de um modelo discreto por iφ , a

energia potencial de deformação ou energia interna para todo o modelo discreto fica sendo

dada pela Equação (5.55).

101

1

m

int ii

U φ=

= ∑ (5.55)

Onde: m representa o número de elementos usados na discretização do modelo.

Finalmente, sendo u o vetor de deslocamentos com dimensão igual ao número de graus de

liberdade do modelo e f , o vetor de forças externas atuantes nos respectivos graus de

liberdade, a energia potencial total para o modelo discreto e seu gradiente ficam sendo dados

pelas Equações (5.56) e (5.57), respectivamente, a seguir:

1

mT

ii

φ=

Π = −∑ f u (5.56)

1

m

ii

φ=

∇Π = ∇ −∑ f (5.57)

5.3.6 – Pré-tracionamento

5.3.6.1 – Pré-tracionamento por imposição de um estado de tensão inicial

Da mesma forma que para cabos, o problema da imposição de pré-tracionamento na

configuração inicial de membranas será tratado buscando-se uma configuração indeformada,

chamada configuração de referência, que será usada como referência para as medidas de

deformação e o cômputo da energia potencial de deformação de cada elemento. No entanto, o

trabalho realizado pelas forças externas, os deslocamentos e o gradiente da energia potencial

total continuarão sendo dados como relação à configuração inicial fornecida nos dados de

entrada. Assim, para qualquer pré-tracionamento aplicado ao modelo discreto de um dado

corpo, a referência para a medida de deformação e cômputo da energia interna será sempre a

mesma. Isso, como será visto adiante, proporciona um modelo coerente de pré-tracionamento.

O estado de pré-tracionamento é fornecido através das componentes do tensor de tensão 2PK

para cada elemento nos dados de entrada. O primeiro passo é obter o estado de deformação

correspondente diretamente através da Equação (5.43).

Em seguida, computam-se as componentes dos lados do elemento na configuração inicial a

partir das posições dos nós do elemento fornecidas no arquivo de entrada de dados. Como o

102

elemento já se encontra deformado na configuração inicial, as componentes dos lados no

sistema de referência local serão denotadas por (1R)1l , (1R)

2l e (2R)1l . Com isso, o problema se

resume a determinar as componentes (1R)1L , (1R)

2L e (2R)1L que levam ao estado de deformação

correspondente ao estado de tensão fornecido nos dados de entrada, obtido no passo anterior.

Sabendo que 21F 0= , da Equação (5.47) as relações entre as componentes no plano do tensor

de deformação de Green-Lagrange e as do tensor gradiente da deformação bidimensional

podem ser escritas como:

211

11 12 21 12

11 11

2 2 212 22 12

12 11

F 11111 112

2E 2EF F1221 2 F 2E 1

2 4EF F 12222 22 222 2E 1

E F 2E 1

E F

E F 2E 1 F 2E 1

−

+

+ −+

= ⇒ = +

= ⇒ = =

= ⇒ = + − = − +

(5.58 a-c)

Com as componentes (1R)1l , (1R)

2l e (2R)1l conhecidas, da configuração inicial fornecida nos dados

de entrada, as componentes (1R)1L , (1R)

2L e (2R)1L , associadas a um estado indeformado do

elemento, podem ser obtidas da Equação (5.22) combinada às Equações (5.58a-c). Assim,

expressões para (1R)1L , (1R)

2L e (2R)1L podem ser escritas da seguinte forma:

(2R)1

11

(1R)2

22

(1R) (2R) (1R) (2R)121 1 2 1

(2R)1

l(2R)1 F

l(1R)2 F

l L F L L(1R)1 l

L

L

L −

=

=

=

(5.59 a-c)

Onde: As componente 11F , 22F e 12F são obtidas das Equações (5.58a-c) e se referem à deformação aplicada a uma configuração de referência que leva o elemento à configuração inicial, fornecida nos dados de entrada, que já é deformada.

Com as componentes (1R)1L , (1R)

2L e (2R)1L obtidas das Equações (5.59a-c), o procedimento para

o cômputo da energia potencial de deformação do elemento segue a mesma seqüência que

para o caso de configurações de iniciais indeformadas. Assim, usa-se a Equação (5.20) para as

componentes no plano do tensor de deformação de Green-Lagrange, a Equação (5.49) para

energia potencial de deformação para o elemento e a Equação (5.54) para o seu gradiente. A

energia potencial total e seu gradiente são obtidos normalmente, ou seja, pelas Equações

(5.56) e (5.57), respectivamente.

103

5.3.6.2 – Pré-tracionamento por variação de temperatura

Em geral, um aumento de temperatura provoca aumento de volume de corpos ou substâncias,

chamado dilatação térmica. Da mesma forma, uma diminuição de temperatura produz uma

diminuição do volume inicial, chamada contração térmica. No caso de membranas, será

adotado um modelo em que a variação de área da superfície da membrana é diretamente

proporcional à variação de temperatura, T∆ , e à área inicial da superfície da membrana, 0A .

Esse modelo é representado pela Equação (5.60) a seguir:

0A A Tβ∆ = ∆ (5.60)

Onde: A∆ representa a variação da área da superfície da membrana, ou seja, 0fA A A∆ = − sendo Af a área da membrana após a variação de temperatura;

β é o coeficiente de dilatação superficial, específico para cada material e, geralmente, medido em oC-1 ou oF-1 em função da temperatura ser medida em Celsius ou Fahrenheit;

0A é a área inicial da superfície da membrana, medida à temperatura inicial, 0T ; e T∆ é a variação de temperatura, ou seja, 0fT T T∆ = − sendo fT a temperatura final.

Para o efeito da variação de temperatura, percebe-se uma grande semelhança entre o caso da

membrana, Equação (5.60), e o de cabos, Equação (4.22). Em geral, o próprio coeficiente de

dilatação térmica superficial, β , pode ser obtido do coeficiente de dilatação térmica linear,

α , uma vez que a relação entre os dois é dada pela Equação (5.61).

2β α= (5.61)

Então, um aumento de temperatura provoca um aumento da área da membrana e a uma

diminuição corresponde uma diminuição de sua área. Portanto, a diminuição de temperatura

pode ser tratada como uma forma de imposição de pré-tracionamento ao modelo. Da mesma

forma, um aumento de temperatura provoca um relaxamento da carga de pré-tracionamento a

que membrana é submetida.

A variação de temperatura pode ocorrer a qualquer momento, estando a estrutura carregada ou

não. Entretanto, como os coeficientes de dilatação superficial são fornecidos para os materiais

em situação indeformada, o modelo proposto considera como área inicial do elemento sua

104

área indeformada. Outra hipótese adotada no modelo é que o estado de solicitação do

elemento não interfere em sua deformação térmica, ou seja, modelo térmico desacoplado

(Pulino Filho, 1991).

A deformação térmica do elemento de membrana é ilustrada na Figura 5.6. Supõe-se que essa

deformação seja isotrópica, de maneira que a relação entre os lados do elemento é conservada

durante o processo. Considerando a sobreposição dos sistemas locais de referência, as

componentes dos lados do elemento, antes da variação de temperatura, são denotadas por (1R)1l , (1R)

2l e (2R)1l e o objetivo se torna determinar as componentes (1R)

1L , (1R)2L e (2R)

1L em função

da mudança de temperatura.

Figura 5.6: Deformação térmica do elemento com a sobreposição dos sistemas locais.

Como a relação entre os lados do elemento é mantida, as componentes dos lados do elemento

antes e depois da variação de temperatura podem ser relacionadas por uma constante k.

Assim, as relações entre as componentes podem ser escritas como:

(1R) (1R) (2R)

(1R) (1R) (2R)1 2 11 2 1

l l lL = ; L = e L =k k k

(5.62a-c)

A área do elemento antes da variação de temperatura é dada por (1R) (2R)10 2 12 l l=A . Depois

da mudança de temperatura a área do elemento passa a ser (1R) (2R)12 12 L L=fA . Além disso,

levando-se em conta as relações apresentadas nas Equações (5.62b,c), a variação de área pode

ser colocada como se segue:

105

( )(1R) (2R)

(1R) (2R) (1R) (2R) (1R) (2R)2 10 2 1 2 1 2 1

1 1 l lL L l l l l2 2

⎛ ⎞∆ = − = − − = − −⎜ ⎟

⎝ ⎠fA A A

k k

(1R) (2R)2 1 2

1 1l l 12

⎛ ⎞∆ = − −⎜ ⎟⎝ ⎠

Ak

(5.63)

Da observação das Equações (5.60) e (5.63), a constante de proporcionalidade (k) pode ser

obtida de:

(1R) (2R)0 2 1 2

1 1l l 12

β ⎛ ⎞∆ = − −⎜ ⎟⎝ ⎠

A Tk

(1R) (2R) (1R) (2R)2 1 2 1 2

1 1 1l l l l 12 2

β ⎛ ⎞− ∆ = − −⎜ ⎟⎝ ⎠

Tk

2

1 111

T kk T

ββ

⎛ ⎞∆ = − ⇒ =⎜ ⎟ + ∆⎝ ⎠ (5.64)

Com a constante de proporcionalidade k obtida da Equação (5.64), os lados do elemento

indeformado, após a variação de temperatura, são obtidos das Equações (5.62a-c) e o

procedimento para o cômputo da energia potencial de deformação do elemento e seu

gradiente seguem a mesma seqüência que para o caso de configuração inicial indeformada.

5.3.7 – Componentes do tensor de Cauchy ou da tensão verdadeira

Conhecida a configuração de equilíbrio estático e as deformações correspondentes, as

componentes do tensor 2PK, S , são obtidas diretamente da Equação (5.42). Entretanto, como

coloca Holzapfel, 2000, esse tensor não admite interpretação física em termos de trações de

superfície. Assim, a análise estrutural requer a obtenção das componentes do tensor de tensão

verdadeira, σ . A relação entre σ e S é dada por:

1det

T=σ F S FF

(5.65)

106

Da observação da Equação (5.65) percebe-se que além de S , é imperativo que se determinem

as componentes do tensor gradiente da deformação, F , associado à membrana que é

discretizada pelo elemento bidimensional. Assim, levando-se em consideração que o tensor

gradiente da deformação tem a forma dada na Equação (5.44), e as relações apresentadas nas

Equações (5.40) e (5.46), a componente F33 pode ser escrita da seguinte forma:

( ) ( ) ( )2 2 211 12 2233F F F F 2 1

1ν

ν⎡ ⎤= + + − +⎢ ⎥⎣ ⎦−

(5.66)

Como mostra a Equação (5.18) ou (5.22), a componente 21F é nula para o tensor gradiente da

deformação bidimensional ( F ) no plano resultante da superposição dos sistemas locais de

referência, ilustrado na Figura 5.4. Assim, com 21F 0= , 33F dada pela Equação (5.66) e

considerando o estado plano de tensão, o determinante do tensor gradiente da deformação

( F ), associado à membrana discretizada pelo elemento, é dado por:

( ) ( ) ( )2 2 211 22 11 22 11 12 2233det F F F F F F F F 2 1

1ν

ν⎡ ⎤= = + + − +⎢ ⎥⎣ ⎦−

F (5.67)

Assim, as componentes do tensor de Cauchy, tensão verdadeira, que se refere à configuração

atual em coordenadas locais, são obtidas da Equação (5.65). Essas componentes são expressas

a seguir nas Equações (5.68a-c).

( ) ( )

( )

( )

2 211 12 11 1211 12 22

22 11 1212 22

222 22

F S 2F F S F Sdet

F F S F Sdet

F Sdet

σ

σ

σ

+ +

+

=

=

=

(1) (1)

(1) (2)

(2) (2)

Fw w

Fw w

Fw w

(5.68a-c)

Onde: 11S , 12S e 22S são componentes de S , obtidas da Equação (5.42);

11F , 12F , 22F são componentes de F , obtidas da Equação (5.22); e det F é o determinante do tensor gradiente da deformação associado à membrana

discretizada pelo elemento bidimensional, obtido da Equação (5.67).

107

5.4 – MODELO NEO-HOOKEANO PARA MATERIAL INCOMPRESSÍVEL

Segundo Bonet & Wood (1997), a maioria dos processos que envolvem grandes deformações

acontecem sob a condição de incompressibilidade, ou seja, os corpos se deformam com pouca

ou nenhuma alteração de seu volume. Nesta seção será apresentado o modelo hiper-elástico

neo-hookeano para material incompressível. Bonet e Burton (1998) colocam que esse modelo

se aplica a materiais tipo borracha submetido a grandes deformações e, segundo Crisfield

(1997), o modelo em questão é válido até deformações por volta de 30%.


O modelo hiper-elástico neo-hookeano para material incompressível é obtido da função de

energia de deformação específica expressa na Equação (5.69) a seguir:

( ) ( )11 22 331 1tr 3 C C C 32 2NHIψ µ µ= − = + + −C (5.69)

Onde: µ é um parâmetro do material medido em unidade de força por área; e C é o tensor de deformação direito de Cauchy-Green, dado por T=C F F em que F é

o tensor gradiente da deformação.

As componentes de tensão do tensor 2PK, correspondente a um dado estado de deformação,

são obtidas da Equação (5.70) a seguir:

2 NHIψ∂=

∂S

C (5.70)

5.4.2 – Simplificações considerando o estado plano de tensão e material incompressível

No estado plano de tensão, exceto pela componente 33C , as demais componentes da

deformação que atuam fora do plano são nulas. Assim, para a membrana discretizada pelo

elemento bidimensional que se desloca no plano resultante da superposição dos sistemas

locais de referência, esse tensor pode ser expresso na forma da matriz dada pela Equação

(5.71).

11 12

21 22

33

C C 0C C 00 0 C

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

C (5.71)

108

Sendo A e B matrizes de mesma dimensão, são verdadeiras as seguintes propriedades:

det det T=A A e ( )( )det det det⎡ ⎤ =⎣ ⎦AB A B . Assim, da condição de incompressibilidade,

det 1=F , tem-se que det 1=C . Essa relação permite colocar a componente 33C em função

das demais componentes de C no plano. Esse procedimento, que resulta Equação (5.72), é

apresentado a seguir:

( )33 11 22 12 21 3333

det C C C C C C det 1Cdet 1 det

⎫= − = ⎪ =⎬= ⎪⎭

C CC C

(5.72)

Onde: 11 12

12 22

C CC C

⎡ ⎤= ⎢ ⎥

⎣ ⎦C ; e

As componentes 11C , 12C , 21C e 22C correspondem, respectivamente, às componentes

11C , 12C , 21C e 22C obtidas da Equação (5.19).


Considerando-se as simplificações para o estado plano de tensão, um tensor de deformação

equivalente ao da membrana que se desloca no espaço pode ser escrito como função exclusiva

de componentes no plano obtidas da Equação (5.19). Assim, levando-se em conta a Equação

(5.72), a função de energia de deformação específica, Equação (5.69), passa a ser dada por:

11 221 1C C 32 detNHIψ µ

⎛ ⎞= + + −⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠C (5.73)

A energia potencial de deformação para cada elemento é obtida integrando-se a função de

energia de deformação específica, Equação (5.73), no volume do elemento na configuração

de referência. Esse procedimento resulta na Equação (5.74).

i 0NHIV

dVφ ψ= ∫ (5.74)

Onde: iφ representa a energia potencial de deformação do i-ésimo elemento; e 0dV é um diferencial de volume na configuração de referência. Para se obter o gradiente da energia potencial de deformação de cada elemento é necessário


componentes do deslocamento no espaço. Assim, com (1)u , (2)u , (3)u representando os

109

deslocamentos do primeiro, segundo e terceiro nós do i-ésimo elemento, utilizando-se a regra

da cadeia, a derivada parcial da energia de deformação específica com relação às

componentes do deslocamento é dada pela Equação (5.75).

11 22 12 21(i) (i) (i) (i) (i)

11 22 12 21j j j j j

C C C Cu u u u uC C C C

ψ ψ ψ ψ ψ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂= + + +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂NHI NHI NHI NHI NHI (5.75)

A regra da cadeia pode ser mais uma vez empregada para que se obtenham as derivada das

componentes da deformação com relação às do deslocamento. Essas derivadas são

apresentadas a seguir nas Equações (5.76), (5.77), (5.78) e (5.79).

(2R)

11 11 1(i) (2R) (i)j 1 j

C C lu l u

∂ ∂ ∂=

∂ ∂ ∂ (5.76)

(1R) (2R)12 12 121 1(i) (1R) (i) (2R) (i)j 1 j 1 j

C C l C lu l u l u

∂ ∂ ∂ ∂ ∂= +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ (5.77)

(1R) (2R)21 21 211 1(i) (1R) (i) (2R) (i)j 1 j 1 j

C C l C lu l u l u

∂ ∂ ∂ ∂ ∂= +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ (5.78)

(1R) (1R) (2R)22 22 22 221 2 1(i) (1R) (i) (1R) (i) (2R) (i)j 1 j 2 j 1 j

C C l C l C lu l u l u l u

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ (5.79)

As derivadas das componentes dos lados do elemento (1R)1l , (1R)

2l e (2R)1l com relação às

componentes do deslocamento foram apresentadas nas Equações (5.30), (5.31) e (5.32).

Assim, o gradiente da energia potencial de deformação do i-ésimo elemento é montado como

mostra a Equação (5.80).

110

(1)1

(1)1

(1)2

(1)2

(1)3(1)

3

( 2)( 2) 11

( 2) ( 2)2 2

( 2)3

(3)1

(3)2

(3)3

0

0

0

0

ψ

φψ

φ

ψφ

ψφ

ψφ

φ

φ

φ

φ

φ

∂

∂∂

∂∂

∂∂∂ ∂

∂ ∂∂

∂∂

∂∂

∂∂∂ ∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪∇ = =⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

∫∫∫∫

NHI i

iNHI i

i

NHI i

i

NHI ii

NHI ii

i

i

i

i

uV

uuV

u

uVu

uVu

ui u

u

u

u

u

dV

dV

dV

dV

( 2)3

(3)1

(3)2

(3)3

0

0

0

0

0

ψ

ψ

ψ

ψ

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

∫∫∫∫∫

NHI i

NHI i

NHI i

NHI i

V

uV

uV

uV

uV

dV

dV

dV

dV

dV

(5.80)


A energia potencial total para o sistema discreto é obtida de forma semelhante ao caso do

modelo de Saint-Venant Kirchhoff. Assim, sua apresentação para o caso do modelo neo-

hookeano incompressível será sucinta.

A energia potencial de deformação para o sistema discreto é computada por meio da Equação

(5.55), elem

1int i

iU φ

=

= ∑ , como o somatório das energias potenciais de deformação de cada

elemento (Equação 5.74).

O trabalho realizado pelas forças externas é computado por meio da Equação (3.5),

1

n

ext i ii

W P u=

= −∑ , pelo negativo do somatório dos produtos das forças nodais equivalentes

pelos deslocamentos na direção dos respectivos graus de liberdade do sistema discreto.

A energia potencial total do sistema é obtida da Equação (3.1), pela soma das parcelas de

energia interna e externa, ext intW UΠ = + .

Finalmente, sendo u o vetor de deslocamentos com dimensão igual ao número de graus de

liberdade da estrutura e f o vetor de forças externas atuantes nos respectivos graus de

111

liberdade, a energia potencial total para o modelo discreto e seu gradiente ficam sendo dados

pelas Equações (5.56) e (5.57), respectivamente. Por conveniência essas equações são

novamente reproduzidas a seguir: elem

1

Ti

i

φ=

Π = −∑ f u

elem

1i

iφ

=

∇Π = ∇ −∑ f


Da mesma forma que para o modelo apresentado anteriormente, o problema da imposição de

pré-tracionamento na configuração inicial de estruturas em membrana será tratado buscando-

se uma configuração indeformada, chamada configuração de referência, para o cômputo da

deformação e da energia potencial de deformação de cada elemento.

5.4.5.1 – Imposição de estado de tensão inicial

O estado de tensão do elemento, fornecido pelas componentes do tensor 2PK

( (0)11S , (0)

22S , (0)12S ), e o comprimento dos seus lados na configuração inicial são obtidos do

arquivo de entrada de dados. Como o elemento já se encontra deformado na configuração

inicial, seus lados no sistema local serão denotados por (1R)1l , (1R)

2l e (2R)1l . Com isso, o

problema consiste em determinar as componentes (1R)1L , (1R)

2L e (2R)1L correspondentes ao

elemento indeformado. Com a relação constitutiva dada pela Equação (5.70) e as

componentes no plano do tensor direito de Cauchy-Green obtidas da Equação (5.19), as

componentes dos lados indeformados (1R)1L , (1R)

2L e (2R)1L são obtidas das seguintes expressões:

( ) ( )( ) ( )

( )( )

( )( )

3(0)22

2(0) (0) (0) (0) (0)211 22 11 22 12

2(2R) (1R) (0)1 2 222(1R)

2

2(1R) (1R) (0) (0) (1R)1 2 22 12 22 (0)(1R) 222

S(1R) (1R)62 2

S S S S S

l l S(2R)1

L

l S S L(1R)1 SL

L l

L 1

L 1

µ

µ µ µ

µ

µ µ

−

⎡ ⎤+ − − +⎢ ⎥⎣ ⎦

−

=

= −

= − −l

(5.81a-c)

112

Com as componentes (1R)1L , (1R)

2L e (2R)1L obtidas das Equações (5.81a-c), o procedimento para

o cômputo da energia potencial de deformação do elemento segue a mesma seqüência que

para o caso configurações iniciais indeformada. Assim, usa-se a Equação (5.19) para se

determinar as componentes no plano do tensor de deformação direito de Cauchy-Green, a

Equação (5.74) para a energia potencial de deformação do elemento e a Equação (5.54) para o

seu gradiente. A energia potencial total e seu gradiente são obtidos normalmente, ou seja,

pelas Equações (5.56) e (5.57), respectivamente.

5.4.5.2 – Pré-tracionamento por variação de temperatura

Admite-se que o modelo de deformação por efeito de temperatura para o material neo-

hookeano incompressível seja idêntico ao apresentado para o modelo de Saint-Venant

Kirchhoff (Equação 5.60). Trata-se de um modelo com deformação isotrópica, ilustrada na

Figura 5.6, onde se busca uma nova configuração de referência, indeformada, após a variação

de temperatura. Supõe-se que a configuração de referência, relacionada aos dados de entrada,

também seja função da temperatura, em outras palavras, para cada temperatura, diferente

daquela para a qual foram fornecidos os dados dos materiais, há uma nova configuração de

referência correspondente.

Assim, conhecido o coeficiente de dilatação térmica superficial para o material em questão, a

constante de proporcionalidade geométrica, k, é obtida da Equação (5.64). Os lados do

elemento indeformado, após a variação de temperatura, são obtidos das Equações (5.62a-c) e

o procedimento para o cômputo da energia potencial de deformação do elemento e seu

gradiente seguem a mesma seqüência que para o caso de configuração inicial indeformada.

5.4.6 – Componentes do tensor de Cauchy ou tensões verdadeiras

Conhecida a configuração de equilíbrio estático e as deformações correspondentes, as

componentes de tensão do tensor 2PK, S , são obtidas diretamente da Equação (5.70) com a

energia de deformação específica dada pela Equação (5.73). De maneira explícita, essas

componentes de tensão são obtidas de:

113

( )

( )

( )

222

11

112

22

212

22

C11 C det

C22 C det

C12 C det

2 1

2 1

2

NHI

NHI

NHI

S

S

S

ψ

ψ

ψ

µ

µ

µ

∂∂

∂∂

∂∂

⎛ ⎞= = −⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞= = −⎜ ⎟⎝ ⎠

= =

C

C

C

(5.82a-c)

A relação entre o tensor de Cauchy (σ ) o segundo tensor de Piola-Kirchhoff ( S ) é dada na

Equação (5.65). Como para o caso o material incompressível det 1=F , essa relação fica

T=σ F S F . As Equações. (5.83a-c) fornecem, explicitamente, cada componente da tensão

verdadeira, dada no sistema local de referência na configuração atual.

( ) ( )( )

( )

2 211 12 11 1211 12 22

22 11 1212 22

222 22

F S 2F F S F S

F F S F S

F S

σ

σ

σ

= + +

= +

=

(1) (1)

(1) (2)

(2) (2)

w w

w w

w w

(5.83a-c)

Onde: 11S , 12S e 22S são componentes de S , obtidas da Equação (5.82); e

11F , 12F , 22F são componentes de F , obtidas da Equação (5.22).

5.5 – MODELO DE SAINT-VENANT KIRCHHOFF ORTOTRÓPICO

O comportamento da membrana estrutural certamente é ortotrópico para o nível de tensão no

qual trabalham as tensoestruturas em membrana. Existem modelos bastante sofisticados e

específicos para membrana como, por exemplo, o proposto Reese et al (2001), que combina

parcelas de contribuição isotrópica, transversalmente isotrópica e ortotrópica. Porém, como

este se trata de um trabalho acadêmico, será apresentada apenas uma extensão do modelo

hiper-elástico de Saint-Venant Kirchhoff para o caso de material ortotrópico. Este é um dos

modelos ortotrópicos mais simples. Pimenta e Pauletti (2002) colocam que uma função dessa

classe pode ser apropriada para membranas ortotrópicas existentes no mercado.

A abordagem ora proposta é baseada no trabalho de Raible et al, 2005. Segundo esses autores,

as propriedades mecânicas de muitos materiais de membranas estruturais são melhoradas pelo

emprego reforços com fibras, fazendo com que seu comportamento seja anisotrópico.

114

Ao contrário do que foi feito na apresentação dos dois modelos anteriores, neste caso, a

expressão da energia de deformação específica não será particularizada para o caso

bidimensional. Então, para sua aplicação, é preciso que a componente da deformação

perpendicular ao plano seja computada com base nas deformações no plano e nas

propriedades do material, conforme se comentou no início deste capítulo.


A construção dessa expressão para a energia de deformação específica é baseada nos

trabalhos de Spencer1 e Boehler2 apud Raible et al, 2005. A idéia é usar um sistema

irredutível de invariantes para funções dos invariantes do tensor de deformações. Nesta

abordagem, o comportamento ortotrópico do material é introduzido por meio de tensores

estruturais dados por:

= ⊗i i i( ) ( ) ( )M a a (5.84)

Onde: i = 1, 2; i( )a são vetores unitários que apontam nas direções de ortotropia, chamados vetores

estruturais; e i( )M são tensores estruturais.

Considera-se que a função da energia de deformação específica para material ortotrópico

(ψSVorto) seja composta de duas parcelas, uma isotrópica (ψSViso) e outra anisotrópica

(ψSVaniso), conforme a Equação (5.85) a seguir:

ψ ψ ψ= +SVorto SViso SVaniso (5.85)

A parcela isotrópica é dada pela Equação (5.86) e a anisotrópica, pela Equação (5.87) .

( ) ( )2 21 1tr 3 tr 2tr 38 4

ψ λ µ= − + − +SViso C C C (5.86)

Onde: λ e µ são parâmetros do material, as constantes de Lammé.

1 Spencer, A.J.M. Continuum theory of the mechanics of fiber-reinforced composites. CISM Courses and

Lectures, No. 282, International Center for Mechanical Science, Springer, 1984. 2 Boehler, J.-P. Applications of tensor functions in solid mechanics. CISM Courses and Lectures, No. 292,

International Center for Mechanical Science, Springer, 1984.

115

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

1 2

2 21 2

2 2

1 2

12

1 tr tr tr 341 1tr 2tr tr tr 2tr tr2 21 1tr tr tr tr8 81 tr tr tr tr4

ψ α α

µ µ

β β

β

⎡ ⎤= − + − −⎣ ⎦

⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ − + + − +⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ − + −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤+ − −⎣ ⎦

SVaniso(1) (1) (2) (2)

(1) (1) (1) (2) (2) (2)

(1) (1) (2) (2)

(1) (1) (2) (2

M C M M C M C

M C M C M M C M C M

M C M M C M

M C M M C M⎡ ⎤⎣ ⎦)

(5.87)

Onde: αi, µi e βi representam propriedades do material anisotrópico na direção i das fibras; e β12 representa a propriedade de interação entre as fibras das duas direções;

A Equação (5.86) está colocada em termos de invariantes do tensor de deformação direito de

Cauchy-Green, C . Apesar do aspecto diferente, ela é equivalente à Equação (5.33), que está

colocada em função em função do tensor de deformação de Green-Lagrange, E .

As componentes da tensão são obtidas da Equação (5.88) a seguir:

2 ψ∂=

∂SVortoSC

(5.88)

Como a função de energia de deformação específica foi dada pela soma de duas parcelas, o

mesmo vale para as componentes da tensão. Assim, a parcela isotrópica é dada pela Equação

(5.89) e a anisotrópica, pela Equação (5.90).

( ) ( )(iso) 1S tr 32

λ µ= − + −C I C I (5.89)

( )( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

(aniso)1 2 1 2

1 2

1 2

12

1 1S tr 3 tr tr2 2

2 2

1 1tr tr tr tr2 21 tr tr2

α α α α

µ µ

β β

β

⎡ ⎤= + − + − + −⎣ ⎦

⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ + − + + −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ − + −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤+ − +⎣ ⎦

(1) (2) (1) (1) (2) (2)

(1) (1) (1) (2) (2) (2)

(1) (1) (1) (2) (2) (2)

(1) (2) (2) (2

M M C M C M M C M I

M C CM M M C CM M

M C M M M C M M

M M C M M ( ) tr tr⎡ ⎤−⎣ ⎦) (1) (1)M C M

(5.90)

116

As Equações (5.89) e (5.90) são lineares com relação à C e por isso esse modelo é

considerado uma extensão do modelo isotrópico de Saint-Venant Kirchhoff para o caso

ortotrópico.

5.5.2 – Simplificações para aplicação da abordagem bidimensional

As equações do caso geral de ortotropia serão aplicadas considerando que a membrana e seu

campo de deslocamentos estão no plano de referência, X3 = 0. O primeiro efeito dessa

consideração é que o tensor estrutural ( i( )M ) terá apenas até quatro componentes não nulas,

pois a componente na direção de X3 dos vetores estruturais ( i( )a ) serão sempre nulas

enquanto eles pertencerem ao plano de referência. Assim, os tensores estruturais nesta

abordagem podem ser representados por:

(1) (1)11 12

1 (1) (1)21 22

00

0 0 0

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

M MM M( )M e

(2) (2)11 12

2 (2) (2)21 22

00

0 0 0

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

M MM M( )M (5.91a,b)

Levando-se os tensores estruturais dados na forma das Equações (5.91a e b) nas Equações

(5.89) e (5.90), são obtidas as seguintes expressões para a parcela isotrópica e anisotrópica da

componente S33:

(iso)33 11 22 33

1 1 1 3S2 2 2 2

λ λ λ µ λ µ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

C C C (5.92)

( ) ( )

1 2 1 2(aniso) 1 11 2 11 1 22 2 2233 11 22

1 1 2 21 2 1 21 11 22 2 11 221 21 2 21 1 12 2 12

12 21

S2 2

2 2 2

α α α α

α αα α α α

+ += +

+ + ++ ++ + −

M M M MC C

M M M MM M M MC C

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) (5.93)

Então, a componente S33 é obtida pela soma das Equações (5.92) e (5.93) e sua expressão fica:

( ) ( )

1 2 1 21 11 2 11 1 22 2 22

33 11 22

1 2 1 21 21 2 21 1 12 2 12

12 21 33

1 1 2 21 11 22 2 11 22

S2 2

12 2 2

3 22

λ α α λ α α

α α α α λ µ

λ µ α α

+ + + += +

+ + ⎛ ⎞+ + + +⎜ ⎟⎝ ⎠

+ + + + +−

M M M MC C

M M M MC C C

M M M M

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

(5.94)

117

Considerando-se a hipótese de estado plano de tensão, a componente S33 é nula. Então, a

componente C33 pode ser obtida em termos das componentes da deformação no plano de

referência fazendo-se S33 = 0 na Equação (5.95). Esse procedimento resulta em:

( ) ( )1 1 2 21 11 22 2 11 22

33

1 2 1 21 11 2 11 1 22 2 22

11 22

1 2 1 21 21 2 21 1 12 2 12

12 21

3 22

2 2

2 2

λ µ α α

λ µλ α α λ α α

λ µ λ µα α α α

λ µ λ µ

+ + + + +=

+

+ + + +− −

+ +

+ +− −

+ +

M M M MC

M M M MC C

M M M MC C

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

(5.95)

Conhecida a componente C33, dada pela Equação (5.95), em função das componentes da

deformação que pertencem ao plano da membrana, o tensor direito de Cauchy-Green pode ser

montado como na Equação (5.96) e usado para o cômputo da energia de deformação

específica e seu gradiente como será mostrado no subitem seguinte.

11 12

21 22

33

00

0 0

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

C CC C

CC (5.96)


Da mesma forma que nos modelos já apresentados, a energia potencial de deformação para

cada elemento é obtida integrando-se a função de energia de deformação específica, Equação

(5.85), no volume do elemento na configuração de referência. Esse procedimento é

representado matematicamente pela Equação (5.97) a seguir:

i 0φ ψ= ∫ SVortoV

dV (5.97)

Onde: iφ representa a energia potencial de deformação do i-ésimo elemento; e 0dV é um diferencial de volume na configuração de referência.

Para se obter o gradiente da energia potencial de deformação de cada elemento é necessário


componentes do deslocamento no espaço. Assim, sendo (1)u , (2)u e (3)u os deslocamentos do

primeiro, segundo e terceiro nós de um elemento de membrana, utilizando-se a regra da

118

cadeia, a derivada parcial da energia de deformação específica com relação às componentes

do deslocamento é dada pela Equação (5.98).

3311 22 12 21(i) (i) (i) (i) (i) (i)j 11 j 22 j 33 j 12 j 21 j

13 31 23(i) (i) (i)

13 j 31 j 23 j

u u u u u u

u u u

ψ ψ ψ ψ ψ ψ

ψ ψ ψ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂= + + + +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + + +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

SVorto SVorto SVorto SVorto SVorto SVorto

SVorto SVorto SVorto

CC C C CC C C C C

C C CC C C

32(i)

32 juψ ∂∂ ∂

SVorto CC

(5.98)

As derivadas parciais da ψSVorto com relação às componentes da deformação, Cij, são obtidas

da Equação (5.88), sendo que as componentes da tensão, Sij, são obtidas pela soma da

Equação (5.89) com a Equação (5.90). Assim, essas derivadas parciais são:

12

ψ∂=

∂SVorto

ijij

SC

(5.99)

Com a membrana no plano X3 = 0 em estado plano de tensão, todas as componentes da tensão

que atuam fora do plano da membrana são nulas, ou seja, 33 13 31 23 32 0= = = = =S S S S S .

Levando-se esse restrição na Equação (5.99), obtém-se que:

33 13 31 23 32

0ψ ψ ψ ψ ψ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= = = = =

∂ ∂ ∂ ∂ ∂SVorto SVorto SVorto SVorto SVorto

C C C C C (5.100)

Então, levando-se em conta a Equação (5.100), as componentes do gradiente da energia de

deformação específica para a membrana no estado plano de tensão, pode ser simplificada

para:

11 22 12 21(i) (i) (i) (i) (i)j 11 j 22 j 12 j 21 ju u u u u

ψ ψ ψ ψ ψ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂= + + +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂SVorto SVorto SVorto SVorto SVortoC C C C

C C C C (5.101)

Na Equação (5.101), estão presentes apenas as componentes da deformação que atuam no

plano da membrana e, portanto, ela está compatível com a abordagem bidimensional. As

derivadas parciais das componentes da deformação com relação às do deslocamento são

obtidas pelas mesmas expressões apresentadas para o modelo neo-Hookeano, ou seja, pelas

Equações (5.76), (5.77), (5.78) e (5.79).

Finalmente, o gradiente da energia de deformação para o i-ésimo elemento de membrana é

montado de acordo com a Equação (5.102).

119

(1)1

(1)1

(1)2

(1)2

(1)3(1)

3

( 2)( 2) 11

( 2)2

( 2)3

(3)1

(3)2

(3)3

0

0

0

0

ψ

φψ

φ

ψφ

ψφ

φ

φ

φ

φ

φ

φ

∂

∂∂

∂∂

∂∂∂ ∂

∂ ∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪∇ = =⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

∫∫∫∫

SVortoi

iSVortoi

i

SVortoi

i

SVortoii

i

i

i

i

i

uV

uuV

u

uVu

uVu

ui

u

u

u

u

dV

dV

dV

dV

( 2)2

( 2)3

(3)1

(3)2

(3)3

0

0

0

0

0

ψ

ψ

ψ

ψ

ψ

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

∫∫∫∫∫

SVortoi

SVortoi

SVortoi

SVortoi

SVortoi

uV

uV

uV

uV

uV

dV

dV

dV

dV

dV

(5.102)


O cômputo da energia potencial total e seu gradiente para o modelo de Saint-Venant

Kirchhoff ortotrópico é absolutamente igual ao apresentado no subitem 5.3.5, exceto que as

expressões de energia de deformação para o elemento e seu gradiente são as equações 5.97 e

5.102, respectivamente.


O pré-tracionamento neste modelo segue os mesmos princípios adotados nos modelos

anteriores, exceto que a relação constitutiva não é invertida analiticamente para a obtenção

das componentes da deformação correspondentes ao estado de pré-tracionamento na

configuração inicial. Neste caso, a relação constitutiva é escrita em forma matricial e, depois,

a relação é invertida numericamente. Então, o primeiro passo é juntar as equações 5.92 e 5.93

na seguinte forma matricial:

11 12 13 14 15 111 11

21 22 23 24 25 222 22

31 32 33 34 35 333

41 42 43 44 45 412 12

51 52 53 54 55 521 21

0

⎡ ⎤ ⎧ ⎫⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥= −⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎣ ⎦ ⎩ ⎭

d d d d d bS Cd d d d d bS Cd d d d d bCd d d d d bS Cd d d d d bS C

(5.103)

Onde: dij e bi são componentes que representam propriedades do material.

120

Então, as componentes da deformação correspondentes ao estado de pré-tracionamento são

obtidas invertendo-se a Equação (5.103) da seguinte forma: 1

11 12 13 14 15 11 111

21 22 23 24 25 22 222

31 32 33 34 35 333

41 42 43 44 45 12 412

51 52 53 54 55 21 521

− +⎡ ⎤ ⎧ ⎫⎧ ⎫⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪ +⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ +⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎣ ⎦ ⎩ ⎭

d d d d d S bCd d d d d S bCd d d d d bCd d d d d S bCd d d d d S bC

(5.104)

Conhecidas as componentes da deformação do tensor direito de Cauchy-Green (C11, C22 e

C12) a partir da Equação (5.104), elas são transformadas nas componentes do tensor de

deformação de Green-Lagrange (E11, E22 e E33) pela relação:

12

⎡ ⎤= −⎣ ⎦E C I (5.105)

Onde: E representa o tensor plano de deformação de Green-Lagrange;

C é o tensor direito de Cauchy-Green com componentes da deformação no plano; e

I é o tensor unitário, representado pela matriz identidade 2 x 2;

Então, as Equação (5.106) são usadas para a obtenção das componentes dos lados do

elemento na configuração de referência (indeformada)

( )

(1R)2

212

2211

(2R)1

11

12(1R) (1R)1 2

11(2R)1

l(1R)2

42 1

2 1

l(2R)1 2 1

2l L(1R) (2R) 2 11 1 l

L

L

L L

− ++

+

−+

=

=

=

EE

E

E

E

E

(5.106)

Para este modelo, não foi implementado o pré-tracionamento por diminuição de temperatura,

mas o programa desenvolvido permite a entrada dos lados indeformados de cada elemento

como pré-tracionamento por imposição de cortes.

121

5.5.6 – Direções de ortotropia

A direção de ortotropia do material é definida pelos vetores estruturais, a(1) e a(2), usados para

a montagem dos tensores estruturais 1( )M e 2( )M , segundo a Equação (5.84). Na

implementação do programa, considerou-se apenas o material ortotrópico que a direção de

ortotropia é definida localmente. Assim, basta um dos vetores estruturais para se definir as

direções de ortotropia, já que a outra direção é ortogonal à primeira e também pertence ao

plano da membrana. Para facilitar a operação de entrada de dados, basta que seja defina a

direção de ortotropia para um único elemento e, depois, essa direção a transferida

automaticamente para os demais elementos do grupo. Isso vale até para o caso de

discretizações tridimensionais.

O procedimento adotado para transferir a direção de um elemento para os demais no caso de

discretizações espaciais foi o apresentado por Valdes et al, 2005. Trata-se de um processo

recursivo que envolve os seguintes passos:

1. Buscar elementos ainda sem a direção principal definida, chamado elemento-alvo, que

seja vizinho por lado de um elemento que já tenha essa direção definida, este será o

elemento-origem;

2. Fazer o rebatimento do elemento-alvo para o mesmo plano do elemento-origem;

3. Copiar a mesma direção do elemento-origem para o elemento-alvo;

4. Desfazer o rebatimento realizado no passo 2, levando a direção de ortotropia; e

5. Repetir os passos de 1 a 4 até que não sejam mais encontrados elementos sem direção

de ortotropia definida.

122

5.6 – EXEMPLOS

Com o intuito de ilustrar algumas propriedades da formulação ora apresentada, alguns

exemplos serão apresentados a seguir. No primeiro deles, considera-se o material neo-

hookeano incompressível e, no segundo, supõe-se que o material se comporte segundo o

modelo de Saint-Venant Kirchhoff. Os dois exemplos ilustram situações hipotéticas e

exploram apenas o aspecto numérico do modelo, assim, não serão consideradas as unidades

de medida e a membrana será idealizada com espessura unitária.

Nos dois casos, mostra-se a coerência do modelo de pré-tracionamento aplicando-se a uma

configuração intermediária, já deformada, as ações que levam o modelo à configuração final.

Como os resultados, tanto para configuração geométrica final como para tensões, serão

praticamente idênticos, fica demonstrada a coerência do modelo de pré-tracionamento.

5.6.1 – Estiramento de membrana

Nesse primeiro exemplo, considera-se o estiramento de uma membrana inicialmente

indeformada e de forma quadrada, com lados iguais a 20, Figura 5.7 (a). Supõe-se que o

material seja neo-hookeano incompressível com µ = 0,4225. A membrana é presa apenas em

seus bordos laterais, que são lentamente deslocados até que a membrana alcance o dobro de

sua dimensão horizontal, ou seja, até uma distância de 40 entre eles, Figura 5.7 (b).

Figura 5.7: Estiramento da membrana: (a) configuração de referência, indeformada; e (b)

configuração atual, deformada.

Dada a simetria do problema, ele pode ser modelado considerando-se apenas ¼ do domínio. O

modelo discreto, na configuração de referência (indeformada), e as condições de contorno

(a) (b)

123

são mostrados a seguir, na Figura 5.8. Um deslocamento de 10 unidades de comprimento é

imposto à borda direita, que contém apenas apoios do segundo gênero.

Figura 5.8: Modelo discreto do problema de estiramento da membrana.

Numa situação intermediária, quando o deslocamento imposto mede 5 unidades de

comprimento, as distribuições dos deslocamentos na direção y e das tensões principais

máximas (tensões de Cauchy) são mostradas adiante, na Figura 5.9.

Ao final do processo, quando o deslocamento é de 10 unidades, as distribuições dos

deslocamentos na direção y e das tensões principais máximas (tensões de Cauchy) são

mostradas adiante, na Figura 5.10.

Para demonstrar a coerência do modelo de pré-tracionamento proposto, foi tomada como

configuração de referência, o modelo discreto com o deslocamento intermediário, que

apresenta as distribuições mostradas na Figura 5.9. À borda desse modelo, que já parte de

uma configuração deformada, foi aplicado o restante do deslocamento, mais 5 unidades de

comprimento, de modo que a configuração final deveria ser a mesma que a do caso anterior.

Partindo-se da configuração com pré-tracionamento, as distribuições dos deslocamentos na

direção y e das tensões principais máximas (tensões de Cauchy) são mostradas a seguir, na

Figura 5.11.

y

x

124

Figura 5.9: Estado da membrana para o deslocamento intermediário: (a) deslocamento na

direção y; e (b) máximas tensões principais.

Figura 5.10: Estado da membrana para o deslocamento completo: (a) deslocamento na direção

y; e (b) máximas tensões principais.

Figura 5.11: Estado da membrana partindo da configuração pré-tracionada: (a) deslocamento

na direção y; e (b) máximas tensões principais.

Da comparação dos resultados fornecidos para o modelo que parte da configuração

indeformada com os do modelo que parte da configuração deformada (pré-tracionada),

conclui-se que foram obtidos praticamente os mesmos resultados e que, assim, o modelo de

pré-tracionamento proposto é coerente para esse caso. A maior diferença observada entre as

máximas tensões principais foi de 1,9 x 10-7 e, no caso das posições ocupadas pelos nós dos

modelos ao final do processo de deformação, a máxima diferença foi de 2,8 x 10-7. Nota-se,

(a) (b)

(a) (b)

(a) (b)

125

da comparação dos resultados apresentados na Figura 5.10(a) e Figura 5.11(a), que os valores

dos deslocamentos são bastante diferentes, mas isso já era esperado, pois os dois modelos

utilizam diferentes configurações de referência para medí-los.

Com o intuito de validar a formulação proposta, o mesmo problema foi resolvido através do

programa acadêmico FLagSHyP implementado por Bonet e discutido em Bonet & Wood

(1997). Os resultados fornecidos por esse programa para deslocamentos na direção y e

máximas tensões principais são mostrados a seguir, na Figura 5.12.

Figura 5.12: Resultados do programa FLagSHyP para o deslocamento completo: (a)

deslocamento na direção y; e (b) máximas tensões principais.

Da comparação dos resultados apresentados nas Figura 5.10 e Figura 5.12, conclui-se que os

dois programas forneceram resultados equivalentes. A máxima diferença observada entre os

deslocamentos em x e y foi de 0,004817 e 0,000496, respectivamente. No caso das máximas e

mínimas tensões principais, as maiores diferenças foram de 4,99 x 10-5 e 6,62 x 10-6,

respectivamente. Assim, fica demonstrado que ao menos para o exemplo em questão, a

formulação ora apresentada é coerente.

5.6.2 – Exemplo da vela de Frei Otto

Nesse exemplo, aborda-se uma superfície tridimensional semelhante à famosa vela criada por

Frei Otto, mas sem qualquer relação de proporcionalidade. Considera-se que o material da

membrana se comporte segundo o modelo hiper-elástico de Saint-Venant Kirchhoff, com

módulo de Young E = 500 e coeficiente de Poisson ν = 0,20. Parte-se de um modelo discreto

plano1, mostrado na Figura 5.13(a), que pode ser inscrito em um quadrado de lados iguais a

1 Por comodidade, esse modelo discreto foi obtido de notas do Prof. Vinícius F. Arcaro obtidas da Internet do

sítio www.arcaro.org/tension, acessado no dia 19 de abril de 2002

(a) (b)

126

5,676. Aos pares de nós de cada vértice, em sentido horário, são impostos deslocamentos na

direção do eixo z de 1,25 e -1,25, alternadamente. Os elementos que são inicialmente afetados

pela imposição dos deslocamentos são colocados em azul na Figura 5.13(b).

Figura 5.13: Modelo discreto da vela de Frei Otto: (a) configuração de referência,

indeformada; e (b) deslocamentos impostos.

O aspecto da forma da vela de Frei Otto fornecida pelo programa é apresentada na Figura

5.14.

Figura 5.14: Aspecto da forma da vela de Frei Otto.

Os resultados para deslocamentos na direção do eixo z e máximas tensões principais são

mostrados na Figura 5.15. Os resultados apresentados são projeções da superfície no plano xz.

x

y

(a) (b)

127

Figura 5.15: Estado da membrana para condições de contorno exclusivamente de

deslocamento, com configuração inicial indeformada: (a) deslocamento na direção z; e (b) máximas tensões principais

Para esse mesmo problema, ainda com uma configuração inicial indeformada, mas com uma

carga P = -10,0 (no sentido negativo do eixo z), atuando no nó central verticalmente para

baixo além dos deslocamentos impostos, como mostra a Figura 5.16, os resultados para

deslocamentos na direção do eixo z e máximas tensões principais passam a ser dados pela

Figura 5.17 a seguir:

Figura 5.16: Configuração inicial indeformada para o modelo discreto da vela de Frei Otto

com imposição de deslocamentos e carga concentrada no nó central.

Figura 5.17: Estado final da membrana para condições de contorno de deslocamento e carga concentrada, com configuração de referência indeformada: (a) deslocamento na direção z; e

(b) máximas tensões principais

Consideremos, agora, que a mesma carga P = -10 na direção z seja aplicada a um modelo

discreto com configuração inicial pré-tracionada, como sugere a Figura 5.18. A geometria e

(a) (b)

(a) (b)

128

o estado de tensão dessa nova configuração inicial correspondem à configuração final

fornecida do problema, quando se consideravam apenas condições de contorno de

deslocamento, situação correspondente à Figura 5.15.

Figura 5.18: Configuração inicial com pré-tracionamento para o modelo discreto da vela de

Frei Otto com imposição de deslocamentos e carga concentrada no nó central.

Os resultados para deslocamentos na direção do eixo z e máximas tensões principais para o

caso da configuração de referência deformada (pré-tracionada), como mostra a Figura 5.18,

são apresentados a seguir, na Figura 5.19.

Figura 5.19: Estado final da membrana para condições de contorno de deslocamento e carga concentrada, com configuração inicial pré-tracionada: (a) deslocamento na direção z; e (b)

máximas tensões principais.

Comparando-se os resultados fornecidos para o modelo que parte da configuração

indeformada com os do modelo que parte da configuração deformada (pré-tracionada),

conclui-se que foram obtidos praticamente os mesmos resultados. Portanto, mais uma vez o

modelo de pré-tracionamento proposto se mostra coerente. A maior diferença observada entre

as máximas tensões principais foi de 0,0104 e, no caso das posições ocupadas pelos nós dos

modelos ao final do processo de deformação, a máxima diferença foi de 3,1761 x 10-5. Nota-

se, da comparação dos resultados apresentados na Figura 5.17 (a) e Figura 5.19 (a), que os

valores dos deslocamentos são bastante diferentes, mas assim como no exemplo anterior, isso

já era esperado, pois os dois modelos utilizam diferentes configurações de referência para

medí-los.

(a) (b)

129

6 – BUSCA DA FORMA


Nos modelos construtivos usuais, em que as estruturas são compostas por elementos rígidos, a

forma é definida independente do estado de tensão. Posteriormente, os elementos estruturais

são dimensionados para que suportem os esforços oriundos dos carregamentos previstos. Para

estruturas flexíveis, como é o caso das tensoestruturas em membrana, a determinação da

forma inicial não é tão simples. Neste caso, a forma e o estado de tensão são interdependentes

e devem ser determinados de maneira que a superfície da estrutura seja auto-equilibrada.

Assim, a forma inicial das tensoestruturas em membrana é o primeiro problema a ser

resolvido no projeto.

Em geral, existem várias configurações iniciais possíveis para um dado contorno. Desde que

não ocorram tensões de compressão, qualquer configuração em equilíbrio que atenda às

restrições de projeto é válida. Porém, existem algumas recomendações que podem restringir

essas possibilidades. Para assegurar a durabilidade da membrana e ao mesmo tempo garantir

um sistema estruturalmente eficiente, provavelmente, a mais importante recomendação seja a

de que a distribuição de tensão deve ser suave, o mais uniforme possível e as tensões não

devem ultrapassar certos limites característicos do material. Naturalmente, isso conduz à

busca da superfície de mínima área, pois essa superfície tem a propriedade de ser auto-

equilibrada, com tensões isotrópicas uniformes e sem cisalhamento. Todavia, nem sempre a

superfície de mínima área pode ser adotada, pois podem existir requisitos de projetos aos

quais ela não atende. O principal problema com as superfícies de mínima área é que tendem a

produzir grandes regiões de pequena inclinação que tendem a acumular água ou neve.

Haber e Abel (1982) descrevem vários métodos para determinação da configuração inicial de

equilíbrio. Na maioria deles, tanto a geometria da estrutura quanto o seu estado de tensão são

tratados como variáveis desconhecidas. Em alguns dos métodos, que envolvem técnicas de

mínimos quadrados, a geometria da estrutura é tida como conhecida e se busca o estado de

tensão correspondente. Há também o método de “suavização iterativa” (iterative smoothing),

onde se tem controle sobre o estado de tensão e a variável é a configuração geométrica. Esses

pesquisadores sugerem que sejam empregadas combinações de métodos, pois não existe uma

abordagem ótima que possa ser aplicada a todas as situações. Segundo eles, o método não-

130

linear de deslocamentos é inapropriado para a fase preliminar de projeto devido ao longo

tempo de computação requerido. Já nas etapas finais do projeto, quando a configuração já está

próxima da configuração de equilíbrio, eles sugerem o método não-linear de deslocamentos

como método final entre as combinações de métodos sugeridas. No entanto, tendo em vista os

avanços tecnológicos observados nas últimas décadas, especialmente na área de computadores

e técnicas numéricas, o presente trabalho se propõe a aplicar o método da análise não-linear

direta a todas as etapas do projeto de tensoestruturas em membrana. Nesta linha, serão

apresentadas duas abordagens para a busca da forma de mínima área e também serão

discutidas outras alternativas para soluções diferentes dessa de mínima área.

Existem duas abordagens principais para a execução da etapa de busca da forma. Uma é pela

busca da solução de mínima área e a outra, por simulação de modelos físicos. Na primeira,

utiliza-se um modelo constitutivo fictício para a obtenção de uma superfície submetida a um

estado de tensão isotrópico e uniforme e, depois, a geometria de equilíbrio da estrutura e o

correspondente estado de tensão são transferidos para um programa com modelo constitutivo

verdadeiro. Então, este programa recebe a geometria inicial, trata o estado de tensão como um

pré-tracionamento, busca uma configuração indeformada localmente para cada elemento e

determina uma nova configuração inicial de equilíbrio. Naturalmente, espera-se pouca ou

nenhuma diferença entre a configuração recebida do programa de busca da forma e a nova

configuração inicial obtida com o programa com modelo constitutivo verdadeiro. Na

abordagem que utiliza a simulação de modelos físicos, o modelo constitutivo verdadeiro é

usado a todo o momento. Parte-se de uma discretização inicialmente plana, impõem-se

deslocamentos em determinados pontos até que a forma espacial desejada seja encontrada. É

quase como se faz com modelos em filme de PVC ou meias de nylon. Definida a forma inicial

aproximada, ela é tratada como uma configuração indeformada e o estado de tensão é

aplicado através de técnicas como: pré-tracionamentos em cabos de borda por encurtamento,

diminuição de temperatura ou pequenos deslocamentos para esticar a membrana.

O modelo utilizado pelo programa de análise estrutural foi apresentado no capítulo 5 e não

será reapresentado neste. Aqui serão apresentados dois métodos que buscam a solução de

mínima área. A busca da forma por simulação de modelos físicos será apresentada no capítulo

8, através de um exemplo de aplicação.

131

O primeiro método apresentado se baseia na proposta de Bonet e Mahaney (2001) e foi

chamado de “método da referência atualizada com mínima distorção da malha” (updated

reference method with minimum mesh distortion) e será abreviado por MRA. Consiste em um

modelo em que a função de energia específica de deformação é obtida da combinação de um

funcional de área e um funcional de distorção. Sua principal característica é que a parcela da

área independe da configuração de referência do elemento. Isso permite que os elementos se

deformem com grande facilidade para encontrar a melhor solução possível, porém essa

propriedade tende a produzir malhas bastante distorcidas. Daí a necessidade de se introduzir a

parcela para controlar essa distorção.

O segundo método é baseado em uma relação constitutiva de pré-tracionamento fictício, para

o qual se define um estado de tensão inicial que se mantém praticamente inalterado

independente das deformações sofridas pelo elemento. Para isso, são atribuídos valores muito

pequenos aos parâmetros de rigidez do material de maneira que as contribuições da

deformação do elemento sejam insignificantes em face da magnitude do tensor de pré-

tracionamento. Esta abordagem foi chamada de método do pré-tracionamento fictício e será

denotada por MPTF. Ela permite o controle sobre o estado de tensão e fornece a configuração

de equilíbrio correspondente. Quando o tensor de pré-tracionamento é definido isotrópico e

uniforme, a solução obtida é a superfície de mínima área. Essa foi uma das primeiras

abordagens usadas para problemas sobre busca da forma e algumas referências sobre ela são:

Fujikake et al (1989), Tabarrok e Qin (1992) e Tabarrok e Qin (1997).

Foram implementados dois programas específicos para auxiliar na busca da configuração de

mínima área: o LightStruc_FF_URM.exe, que utiliza o método da referência atualizada com

mínima distorção da malha (MRA); e o LightStruc_FF_FP.exe, que emprega o método do

pré-tracionamento fictício (MPTF). Para cada um desses programas, foram desenvolvidos

pacotes para interface de pré e pós-processamento no programa GiD 7.2.

132

6.2 – MÉTODO DA REFERÊNCIA ATUALIZADA COM MÍNIMA DISTORAÇÃO DA MALHA

Esse procedimento é baseado na proposta de Bonet & Mahaney (2001) que, por sua vez, é

baseada na proposta do método da referência atualizada (updated reference method) proposta

por Bletzinger1 apud Bonet & Mahaney (2001). A abordagem desses pesquisadores foi

adaptada de maneira a ser compatível com o arcabouço apresentado no capítulo anterior para

o tratamento de estruturas em membrana.

Segundo essa proposta, minimiza-se um funcional de área combinado com um funcional de

energia de distorção. A introdução do funcional de distorção se faz necessária, pois a ausência

de rigidez na superfície pode produzir mecanismos na solução do modelo discreto, tornando o

problema singular. A questão da distorção da malha na superfície de solução pode ser

facilmente ilustrada considerando-se o caso em que o contorno prescrito resulta em um plano.

Neste caso, a solução é uma superfície plana que contém os pontos do domínio. Entretanto, os

nós dos elementos que discretizam essa superfície podem recair em qualquer ponto deste

plano sem que a solução seja afetada (Bonet & Mahaney, 2001).

6.2.1 – Funcional de área

O determinante de F relaciona as áreas num determinado ponto do elemento nas

configurações de referência e atual segundo a Equação (6.1) a seguir:

det[ ]da dA= F (6.1)

Onde: da se refere a uma área elementar na configuração atual; dA se refere a uma área elementar na configuração de referência; e F é o tensor gradiente da deformação para o caso bidimensional.

Usando o tensor direito de Cauchy-Green formado pelas componentes da deformação no

plano, T

=C F F , a Equação (6.1) pode ser escrita como:

1 Bletzinger, K.-U. Form finding of membrane structures and minimal surfaces by numerical continuation. In:

Proceedings of the 1st world congress of structural and multidisciplinary optimization, Goslar, Alemanha,

pp. 471-476, 1995.

133

det[ ]da dA= C (6.2)

O funcional de área proposto por Bonet e Mahaney (2001) tem a forma apresentada a seguir

na Equação (6.3).

area 0 as daΠ = ∫ (6.3)

Onde: 0s é um parâmetro arbitrário medido em força por unidade de comprimento que, como será visto em seguida, representa o estado de tensão (tensão verdadeira de Cauchy) uniforme ao final do processo de busca da forma. Nota-se que o termo tensão foi empregado para denotar força por unidade de comprimento, assim, evita-se qualquer referência à espessura da membrana, que é irrelevante ao processo de busca da forma.

Levando-se a Equação (6.2) na Equação (6.3), o funcional de área fica:

area 0 det[ ]A

s dAΠ = ∫ C (6.4)

Esse mesmo funcional pode ser expresso na forma de uma pseudofunção de energia de

deformação específica e assume a seguinte forma:

area ( )areaAdAψΠ = ∫ C (6.5)

A pseudofunção de energia de deformação específica utilizada na Equação (6.5) é dada por:

0( ) det[ ]area sψ =C C (6.6)

A partir da pseudofunção de energia de deformação específica da Equação (6.6), as

componentes de tensão do segundo tensor de Piola-Kirchhoff ( S ) no plano são obtidas pelo

procedimento a seguir, que resulta na expressão da Equação (6.7).

1

0 0 0

[det ]12 2 det 2 det2 det

area s s sψ −∂∂ ∂= = = ⇒ =

∂ ∂ ∂

CS C S C C

C C CC (6.7)

134

As componentes do tensor de tensões verdadeiras (ou tensões de Cauchy), denotado por σ ,

são obtidas através da operação de “push-forward” aplicada ao tensor S , dado pela Equação

(6.7). Assim, levando-se em conta que T

=C F F e que det[ ] det[ ]=F C , essa operação

resulta em:

( ) 11 100 0 0

det

det[ ] det[ ]

TT T T T Ts

s s s−− − −

= = = = ⇒ =CF S F

σ F C F F F F F F F F F σ IF F

(6.8)

Onde: I representa uma matriz identidade de dimensão 2 x 2.

Percebe-se que σ da Equação (6.8) é um tensor de tensões isotrópicas, com o valor definido

por 0s . Assim, desde que 0s seja o mesmo para todos os elementos utilizados na

discretização da membrana, fica claro que o emprego da pseudofunção de energia específica

de deformação dada na Equação (6.6) leva a um estado de tensão uniforme e isotrópica em

toda a membrana.

6.2.2 – Funcional de energia de distorção

Como a minimização do funcional expresso anteriormente na Equação (6.5) resulta num

problema singular, Bonet & Mahaney (2001) introduziram uma parcela adicional de energia

de distorção, que confere ao elemento a rigidez no plano necessária para minimizar a

degeneração da malha. Esta nova parcela de energia é definida de maneira que resulta apenas

em tensões desviadoras e, assim, interfere o mínimo possível na tensão isotrópica 0s , que é a

responsável por levar a membrana à configuração de equilíbrio de mínima área.

A energia específica de distorção será obtida com base na energia de deformação específica

para material neo-hookeano incompressível ( nhψ ). Assim, com base na Equação (5.73) e em

termos do tensor direito de Cauchy-Green (C ) bidimensional, é conveniente que se coloque

essa função de energia de deformação específica como:

135

( ) ( ) ( )1 1 1tr[ ] 3 tr[ ] 32 2 det[ ]nh nhψ µ ψ µ

⎛ ⎞= − ⇒ = + −⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠C C C C

C (6.9)

A parcela do tensor direito de Cauchy-Green bidimensional responsável pela distorção, isto é,

que preserva a área durante o processo de deformação é (Bonet & Mahaney, 2001):

1 2ˆ det

−⎡ ⎤= ⎣ ⎦C C C (6.10)

A energia específica de distorção pode ser obtida substituindo-se C por C , dado Equação

(6.10), na função de energia de deformação específica para material neo-Hookeano

incompressível apresentada na Equação (6.9). Levando-se em conta que da definição de C

tem-se que: ˆdet 1=C e 1 2ˆtr det tr

−⎡ ⎤= ⎣ ⎦C C C , o procedimento em questão resulta na expressão

da energia específica de distorção a seguir na Equação (6.11):

( )1 1 1 1ˆtr[ ] 3 tr[ ] 2ˆ2 2det[ ] det[ ]ψ µ ψ µ

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥= + − ⇒ = −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎣ ⎦

dis disC C CC C

(6.11)

6.2.3 – Minimização simultânea da área e da distorção

Combinando-se as Equações (6.6) e (6.11), obtém-se a seguinte pseudofunção de energia de

deformação específica que contém uma parcela relativa à área e outra à distorção:

( ) ( ) ( ) ( ) 01 1det[ ] tr[ ] 22 det[ ]

a d area dis a d sψ ψ ψ ψ µ+ +

⎡ ⎤⎢ ⎥= + ⇒ = + −⎢ ⎥⎣ ⎦

C C C C C CC

(6.12)

Obviamente, a relação entre µ e 0s determina a parcela de contribuição de cada termo

presente na Equação (6.12). Quanto menor for esta relação (µ / 0s ), menor será a contribuição

do termo de energia de distorção sobre a configuração final de equilíbrio. O ideal seria ter µ =

0 para assegurar que a energia de distorção não exerça qualquer influência, mas como já se

comentou, isso tornaria o problema singular e, portanto, sem solução única. Assim,

136

recomenda-se a adoção de um µ pequeno, mas o suficiente para evitar a singularidade (Bonet

& Mahaney, 2001).

Um procedimento prático para solução consiste em partir de uma discretização inicialmente

plana, aplicar os deslocamentos necessários pra se obter a posição definitiva do contorno e

obter a correspondente solução. Em passos seguintes, a configuração final de um é tomada

como a inicial do seguinte, e o valor de µ é feito igual ao do passo anterior ou menor. Após a

primeira iteração, os deslocamentos prescritos são anulados, as tensões internas são

desprezadas e as demais condições de contorno são mantidas. Este procedimento aproxima

cada vez mais as configurações inicial e final, com isso, o tensor direito de Cauchy-Green

(C ) se aproxima cada vez mais da matriz identidade ( I ) e a parcela de distorção diminui a

cada nova iteração. À medida que →C I , os invariantes det[ ] 1→C e tr[ ] 2→C e, com isso,

( ) 0disψ →C .

6.2.4 – Processo de solução

Como a energia específica que combina uma parcela de área e uma de distorção, ( )a dψ + C , foi

definida sem qualquer consideração com relação à espessura da membrana, a energia

potencial interna (φi) e seu gradiente são obtidos integrando-se ( )a dψ + C com relação a sua

área A na configuração de referência ao invés do volume da membrana nessa configuração.

Assim, para cada elemento, a energia potencial interna (Uint) e seu gradiente com relação aos

deslocamentos de seus nós são obtidas da Equação (6.13) a seguir:

( ) ( ) ( )(j) (j) (j)

tr[ ] det[ ];

u u utr[ ] det[ ]a d a di

i a d ik k kA A

dA dAψ ψφφ ψ φ

+ +

+

∂ ∂∂ ∂∂= ∇ = = +

∂ ∂ ∂∂ ∂∫ ∫C CC C

CC C

(6.13)

A energia potencial interna (energia interna de deformação) é obtida somando-se as energias

potenciais de deformação de cada elemento, ou seja:

int1

N

ii

U φ=

= ∑ (6.14)

Onde: N é o número de elementos no modelo discreto.

137

Conforme a Equação (3.1), a energia potencial total para o modelo é composta da parcela da

energia potencial interna e da parcela de trabalho realizado pelas forças externas. Assim, para

o modelo discreto de membrana, a energia potencial total é:

1

NT

int ext ii

U W φ=

Π = − ⇒ Π = −∑ f u (6.15)

Onde: Π é a energia potencial total; f é o vetor de forças nodais conservativas com uma componente para cada grau de

liberdade; e u é o vetor de deslocamentos com dimensão igual ao número de graus de liberdade do

modelo.

O gradiente da energia potencial total é um vetor obtido simplesmente pela derivação da

energia potencial total, Equação (6.15), com relação às componentes dos deslocamentos. A

Equação (6.16) mostra o gradiente da energia potencial total

1

N

ii

φ=

∇Π = ∇ −∑ f (6.16)

Onde: iφ∇ é o gradiente da energia potencial interna do i-ésimo elemento.

A energia potencial total desse modelo é obtida através da Equação (6.15) e seu gradiente

Equação (6.16). Com essas grandezas definidas, a técnica de programação não-linear

conhecida como L-BFGS, descrita no capítulo 3, é utilizada para minimizar o funcional. Esse

processo, empregado iterativamente, resulta na configuração de mínima área com mínima

distorção da malha de discretização.

6.3 – MÉTODO DO PRÉ-TRACIONAMENTO FICTÍCIO

Essa abordagem, aqui chamada método do pré-tracionamento fictício, foi uma das primeiras

técnicas utilizadas para busca da forma. Referências sobre essa abordagem são encontradas,

por exemplo, em Fujikake et al (1989), Tabarrok e Qin (1992) e Tabarrok e Qin (1997). O

método do pré-tracionamento fictício (MPTF) se baseia num artifício muito simples, adota-se

uma formulação onde se supõe que a configuração de referência está submetida a um estado

de tensão de pré-tracionamento e atribui-se um valor muito pequeno para o parâmetro de

rigidez elástica do material. Assim, a contribuição do material para o estado de tensão é muito

138

pequena se comparada ao estado de tensão inicial, mesmo no caso de grandes deformações.

Com isso, a solução final se torna uma configuração de equilíbrio onde predominam as forças

internas provocadas pelo pré-tracionamento.

Geralmente, parte-se de uma discretização plana, impõem-se os deslocamentos necessários e

obtém-se iterativamente a primeira aproximação para a configuração de equilíbrio. Nos

passos seguintes, os nós que pertencem ao contorno de posição conhecida são fixados e todo o

processo é repetido, sempre partindo-se do mesmo estado de pré-tracionamento. Em outras

palavras, a configuração final do passo atual é tomada como configuração inicial para o passo

seguinte e o mesmo estado de pré-tracionamento é novamente imposto. Todo o processo é

repetido até que um critério de parada seja satisfeito. Esse critério pode ser algo simples como

um determinado número de passos ou algo mais sofisticado como uma pequena variação da

área ou da energia avaliada entre um passo e outro.

6.3.1 – Energia de deformação específica para o pré-tracionamento fictício

A energia de deformação específica utilizada nesse método pode ser obtida acrescentando-se

o termo :(0)S E à expressão da energia de deformação específica de Saint-Venant Kirchhoff

apresentada na Equação (5.48). Esse termo representa a contribuição energética do estado

inicial de pré-tracionamento, denotado por (0)S , à medida que a membrana se deforma. A

função de energia de deformação específica, mmψ , resultante desse procedimento é

apresentada a seguir na Equação (6.17):

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

2tr[ ] : :

2 12 1mmE Eνψ

νν= + +

+−(0)E E E S E (6.17)

Onde: 11 22E Etr = +E

11 11 22 22 12 12: E E E E 2E E= + +E E

(0) (0) (0)11 22 1211 22 12: S E S E 2S E= + +(0)S E

O estado de pré-tracionamento inicial é representado por um tensor simétrico na forma da

Equação (6.18) que se segue:

139

(0) (0)11 12(0) (0)21 22

S SS S

⎡ ⎤= ⎢ ⎥

⎣ ⎦(0)S (6.18)

Observando-se a Equação (6.17), percebe-se que se o módulo de Young (E) for muito

pequeno, a contribuição energética das tensões provocadas pela deformação do material são

também pequenas e, assim, a contribuição de do estado de pré-tracionamento ( (0)S ) é

predominante.

As componentes da tensão no plano da membrana, obtidas segundo a Equação (6.19a), são

mostradas explicitamente em forma matricial na Equação (6.19b)

mmψ∂=

∂S

E e

( ) ( )

(0)1111 11

(0)22 22 222

(0)12 12 12

S 1 0 E SS 1 0 E S

1 2E S1S 0 02

Eν

νν

ν

⎡ ⎤⎧ ⎫ ⎢ ⎥ ⎧ ⎫− ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪= − +⎢ ⎥⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬

− ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪− ⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎪ ⎪ ⎢ ⎥⎩ ⎭⎢ ⎥⎣ ⎦

(6.19a,b)

É importante ressaltar que esse modelo para introdução de pré-tracionamento é diferente do

apresentado no capítulo de análise estrutural de membrana. Nesse caso, trata-se de um modelo

fictício em que o estado de pré-tracionamento se mantém invariável com relação ao estado de

deformação do copo, isto é, independentemente das deformações que o corpo sofra o tensor

de pré-tracionamento inicial é mantido constante. No caso apresentado no capítulo anterior,

dependendo das deformações no corpo, o estado tensão provocado pelo de pré-tracionamento

pode até ser anulado.

6.3.2 – Processo de solução

O processo de solução segue os mesmos passos do caso apresentado no capítulo de análise

estrutural da membrana. Para cada elemento, a energia potencial interna é computada

integrando-se mmψ no volume do elemento na configuração de referência, como mostra a

Equação (6.20). O gradiente da energia potencial interna do elemento é obtido derivando-se

essa energia com relação às componentes dos deslocamentos de seus nós, como mostra a

Equação (6.21).

140

( )i mmV

dVφ ψ= ∫ E (6.20)

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( )(j) (j) (j) (j)

::tr[ ]u u u utr[ ] : :

mm mm mmii

k k k kV

dVψ ψ ψφφ

∂∂ ∂ ∂ ∂∂∂∇ = = + +

∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂∫

(0)

(0)

S EE E E E EEE E E S E

(6.21)

A energia potencial total desse modelo é obtida através da Equação (6.15) e seu gradiente, da

Equação (6.16). Com essas grandezas definidas, a técnica de programação não-linear

conhecida como L-BFGS, descrita no capítulo 3, é utilizada para minimizar a energia

potencial total. Esse processo é empregado iterativamente até que um critério de parada seja

satisfeito.

6.4 – EXEMPLOS

Serão apresentados dois exemplos clássicos de problemas de busca da forma: o do catenóide e

o da cela (superfície de Scherk). Esses problemas são discutidos em diversos trabalhos como

em Bonet e Mananey, 2001; Zhang e Tabarrok, 1999; e Bletzinger, 1998. O propósito destes

exemplos é mostrar as principais características dos dois métodos para busca da forma de

mínima área apresentados neste capítulo e permitir a análise comparativa entre eles.

6.4.1 – Exemplo do catenóide

O catenóide, ou catenária de revolução, é um clássico problema de busca da forma. Assim,

pode-se avaliar precisamente o desempenho dos dois métodos na busca da solução. Essa

avaliação será feita com base na eficiência e na taxa de convergência do método. Ainda será

avaliada a influência do refinamento da malha usada para discretizar o problema.

Fisicamente, a forma do catenóide pode ser obtida aplicando-se um filme de sabão entre dois

anéis paralelos e à medida que se aumenta a distância entre eles, o pescoço na região

intermediária fica cada vez mais estreito. Esse fenômeno é esboçado na Figura 6.1 de (a) a (c).

O processo de estreitamento do pescoço não ocorre indefinidamente. Há uma distância H para

a qual a superfície se torna instável e se desfaz. Isso ocorre quando a relação

diâmetro/distância (D/H) é maior ou igual a 0,66274.

141

Figura 6.1 – Esboço de catenóides.

Dada a limitada aplicação do catenóide apresentado na Figura 6.1 para projetos de coberturas

em membrana, o exemplo aqui estudado será um catenóide formado entre anéis de diferentes

diâmetros, como se mostra na Figura 6.2 a seguir.

Figura 6.2 – Parte do catenóide estudada neste exemplo.

Neste exemplo, as características geométricas do catenóide são: raio interno de 5 cm, raio

externo de 15 cm e altura de 8 cm. Para este caso, a solução analítica tem uma superfície de

779,4188 cm2, segundo Bonet e Mahaney (2001). No primeiro passo de todos os casos, os nós

do raio externo são mantidos na mesma posição e os do raio interno são elevados para a altura

de 8 cm. Nos passos seguintes, a configuração final de um é tomada como a inicial do

seguinte. As duas abordagens apresentadas são usadas para a solução do problema partindo-se

de diferentes discretizações iniciais. Para o método da referência atualizada, são usados

sempre os parâmetros s0 = 1.0 N/cm e µ = 0.001 N/cm. Para o método do pré-tracionamento

fictício, são usados E =1.0 N/cm2, ν = 0 e o estado de tensão inicial é Sx = 1.0, Sy= 1.0 , Sxy

= 0.

6.4.1.1 – Exemplo do catenóide – malha com 2344 elementos e 1272 nós

Na Figura 6.3, apresenta-se as superfícies obtidas pelos dois métodos a partir de uma malha

inicialmente plana, não estruturada, com 2344 elementos triangulares e 1272 nós. Percebe-se

D

H1

D

D

H2

H3

(a) (b) (c)

142

que na solução pelo método da referência atualizada com mínima distorção da malha (MRA),

a interferência na malha inicial foi maior que no caso da solução pelo método do pré-

tracionamento fictício (MPTF). A solução pelo MRA apresenta uma maior concentração de

elementos na região de maior curvatura, próxima ao raio interno. Já na solução fornecida pelo

MPTF, a distribuição dos elementos lembra a configuração inicial, com uma maior

concentração de elementos na periferia.

Figura 6.3 – Resultados para malha não estruturada com 2344 elementos e 1272 nós: (a)

Malha plana inicial; (b) Superfície final pelo MRA; e (c) Superfície final pelo MPTF.

A solução pelo MRA foi obtida com 31 passos e resultou numa superfície de 779,49102 cm2.

Já pelo MPTF, foram realizados 1001 passos e a superfície final foi de 779,55791 cm2. A

solução obtida nos dois casos foi maior que a analítica, mas isso não tem qualquer significado

e se justifica pela substituição do domínio contínuo pelo discreto. O erro na aproximação da

área do catenóide foi de 0,00923 % e de 0,0178 % para o MRA e o MPTF, respectivamente.

O gráfico da Figura 6.4 permite avaliar a taxa de convergência dos dois métodos. Neste

exemplo, percebe-se que a área da superfície obtida no primeiro passo do MRA já foi menor

que a obtida ao final dos mil passos do MPTF.

Catenóide - Comparação da convergência dos dois métodos para malha não estrtuturada com 2344 elementos e 1272 nós

779.4

779.5

779.6

779.7

779.8

779.9

780

1 10 100 1000 10000Passo

Área

(cm

²)

Pré-tracionamento FictícioReferência Atualizada

Figura 6.4: Comparação da convergência pelo MRA e pelo MPTF.

(a) (b) (c)

143

No método da referência atualizada, utiliza-se uma função de energia específica de

deformação composta por duas parcelas, uma de área e outra de distorção. O gráfico da Figura

6.5 mostra o desenvolvimento dessas duas parcelas nesse método. Percebe-se que a parcela da

área cai e se estabiliza quando se aproxima da solução do problema, porém a parcela da

energia de distorção cai continuamente a cada passo.

Desenvolvimento das parcelas de energia de distorção e de área no método da referência atualizada

779.46

779.47

779.48

779.49

779.5

779.51

779.52

779.53

779.54

779.55

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10111213141516171819 202122232425 262728293031Passo

Área

(cm

²)

0.000001

0.00001

0.0001

0.001

0.01

0.1

1

Ene

rgia

de

dist

orçã

o

Parcela da áreaParcela da energia de distorção

Figura 6.5: Desenvolvimento das parcelas de energia de distorção e de área no método da

referência atualizada.

Para se avaliar a influência das discretizações iniciais, esse mesmo problema do catenóide foi

resolvido partindo-se de diferentes discretizações iniciais, a saber: uma malha não estruturada

mais refinada; e uma malha estruturada menos refinada. Numa malha estruturada, cada nó do

interior do domínio possui sempre o mesmo número de elementos em sua volta.


Na Figura 6.6 apresenta-se o resultado das duas abordagens estudadas partindo-se de uma

malha inicial estruturada, com 800 elementos triangulares e 440 nós. Para o método do pré-

tracionamento fictício, foi obtida uma área final de 777,29061 cm2 após 1001 passos. Já no

caso do método da referência atualizada com mínima distorção da malha, foi obtida uma

malha de 777.25487 cm2 em 101 passos.

Figura 6.6 – Resultados para malha estruturada com 800 elementos e 440 nós: (a) Malha

plana inicial; (b) Superfície final pelo MRA; e (c) Superfície final pelo MPTF.

(a) (b) (c)

144

O gráfico da Figura 6.7 permite avaliar a taxa de convergência dos dois métodos para essa

discretização estruturada com 800 elementos e 440 nós. Percebe-se que o comportamento com

relação à convergência é semelhante ao caso anterior, onde a convergência no MRA é

superior à convergência no MPTF. Também é interessante notar que neste caso, a superfície

final obtida pelas duas abordagens foi menor que a obtida no caso anterior, porém ficou mais

distante da solução analítica do problema. O erro na aproximação da área do catenóide foi de

0,278 % e de 0,273 % para o MRA e o MPTF, respectivamente.

Comparação da convergência dos dois métodos para malha estrtuturada com 800 elementos e 440 nós

777.2

777.3

777.4

777.5

777.6

777.7

777.8

777.9

778

1 10 100 1000 10000Passo

Área

(cm

²)


Figura 6.7: Comparação da convergência pelo MRA e pelo MPTF para discretização

estruturada com 800 elementos e 440 nós.


Na Figura 6.8, apresenta-se o resultado das duas abordagens estudadas partindo-se de uma

malha inicial não estruturada e bem refinada, com 8950 elementos triangulares e 4725 nós.

Para o MPTF, foi obtida uma área final de 779,47502 cm2 após 101 passos. Já no caso do

MRA, foi obtida uma malha de 779,45769 cm2 em 11 passos.

Figura 6.8 – Resultados para malha estruturada com 8950 elementos e 4725 nós: (a) Malha plana inicial; (b) Superfície final pelo método da referência atualizada; e (c) Superfície final

pelo método do pré-tracionamento fictício.

O gráfico da Figura 6.9 permite avaliar a taxa de convergência dos dois métodos para essa

discretização não estruturada com 8950 elementos e 4725 nós. Percebe-se que o

(a) (b) (c)

145

comportamento com relação à convergência é semelhante ao dos casos anteriores, onde a

convergência no MRA é superior à convergência no MPTF. Também é interessante notar que

neste caso, a superfície final obtida pelas duas abordagens ficou mais próxima da solução

analítica do problema. O erro na aproximação da área do catenóide foi de 0,00498% e de

0,00721% para o MRA e o MPTF, respectivamente.

Catenóide - Comparação da convergência dos dois métodos para malha não estrtuturada com 8950 elementos e 4725 nós

779.4

779.5

779.6

779.7

779.8

779.9

780

1 10 100Passo

Área

(cm

²)


Figura 6.9: Comparação da convergência pelo método da referência atualizada com mínima

distorção da malha e pelo método do pré-tracionamento fictício para discretização estruturada com 8950 elementos e 4725 nós.

6.4.1.4 – Exemplo do catenóide – Instabilidade

Conforme discutido anteriormente, soluções estáveis para a superfície de mínima área do

catenóide só existem enquanto a relação diâmetro/distância dos anéis (D/H), mostrados na

Figura 6.1, for maior ou igual a 0,66274. Para mostrar o que acontece quando esse limite não

é respeitado, o mesmo exemplo do catenóide que vem sendo utilizado neste item é resolvido

para um raio interno de 1 cm, ao invés de 5 cm como nos casos anteriores. A discretização

inicial é apresentada na Figura 6.10 (a), ela possui 13155 elementos e 6721 nós. O resultado

obtido pelo URM em um passo é apresentado em forma de malha na Figura 6.10 (b) e em

forma acabada (“renderizada”) em (c). A área dessa solução foi de 715,50612 cm2.

Figura 6.10 – Resultados para malha estruturada com 8950 elementos e 4725 nós: (a) Malha

inicial plana; (b) Malha final; e (c) superfície final “renderizada”.

(a) (b) (c)

146

Apesar de existir uma solução matemática de superfície mínima com forma mais parecida

com uma tenda, essa solução não é a de mínima área e por isso não é a encontrada pelo MRA.

As abordagens aqui apresentadas buscam a solução de mínima área e não a superfície mínima.

Existe uma grande diferença entre esses dois conceitos. A superfície mínima é um conceito

matemático que descreve superfícies de curvatura média nula e se, além disso, essa superfície

for a de menor área, tem-se a superfície de mínima área. Assim, toda superfície de mínima

área é uma superfície mínima, mas o contrário não é verdadeiro.

6.4.2 – Exemplo da cela (superfície de Scherk)

Assim como o catenóide, o exemplo da cela (Scherk surface) é um problema clássico de

busca da forma. Trata-se da superfície de mínima área em que as bordas são fixadas nas

arestas de um cubo de lado unitário, com se mostra na Figura 6.11 a seguir.

Figura 6.11 – Forma geral do catenóide.

Apesar da solução analítica para esse problema não ser conhecida, as duas abordagens podem

ser comparadas com base na convergência para uma solução de menor área. Os resultados da

aplicação das duas abordagens para este problema são apresentados na Figura 6.12 a seguir.

Figura 6.12 – Resultados para malha estruturada com 2400 elementos e 4725 nós: (a) Malha inicial; (b) Superfície final pelo método da referência atualizada; e (c) Superfície final pelo

método do pré-tracionamento fictício.

(a) (b) (c)

147

A discretização inicial usada para os dois casos foi uma malha estruturada, com 2400

elementos e 1281 nós apresentada na Figura 6.12 (a). Todos os nós das bordas foram fixados

e então foi procurada a menor superfície para este contorno. A malha final obtida através do

MRA é apresentada na Figura 6.12 (b), foram realizados 11 passos e a área final foi de

2.46919 cm2. Na Figura 6.12 (c) mostra-se a malha final obtida através do MPTF, ela foi

obtida em 101 passos e sua área foi de 2.46982 cm2. A convergência das duas abordagens

pode ser avaliada no gráfico da Figura 6.13 a seguir.

Comparação da convergência - Exemplo da cela

2.46

2.48

2.5

2.52

2.54

2.56

2.58

2.6

2.62

2.64

1 10 100Passo

Área

(cm

²)


Figura 6.13: Comparação da convergência pelo método da referência atualizada com mínima

distorção da malha e pelo método do pré-tracionamento fictício para o exemplo da cela.

Mais uma vez o MRA apresentou uma melhor convergência, pois nos primeiros passos já

forneceu uma solução que só foi aproximada depois de uns 15 passos do MPTF. No entanto,

observa-se uma significativa distorção da malha fornecida pelo MRA, que tende a concentrar

os elementos nas regiões de maior curvatura. Essa distorção é acentuada pelo processo de

repetições em que a configuração final de um passo é tomada com a inicial do seguinte com o

mesmo pré-tracionamento. Ao final do primeiro passo, a malha fornecida pelo MRA é

apresentada na Figura 6.14 e sua área já é de 2.46943 cm2 e à medida que o processo avança a

malha se distorce até o apresentado na Figura 6.12 (b) sem ganho significativo na diminuição

da área, que termina com 2.46919 cm2.

Figura 6.14: Malha fornecida pelo MRA ao final do primeiro passo

148

6.5 – COMENTÁRIOS

Para a busca da solução de mínima área, o método da referência atualizada com mínima

distorção da malha (MRA) apresentou uma taxa de convergência superior à do método do

pré-tracionamento fictício (MPTF) em todos os casos estudados. Mesmo nos primeiros

passos, a solução pelo MRA já se aproxima da mínima possível para a discretização utilizada.

Observou-se que o MRA tem a propriedade de adensar a quantidade de elementos nas regiões

de maior curvatura. A justificativa para isso está na formulação do método. A expressão da

energia específica de deformação no MRA é composta de duas parcelas, uma de área e outra

de distorção da malha. Bonet e Mahaney, 2001, colocam que a parcela de área é desacoplada

da configuração de referência e o mesmo não acontece com a parcela de distorção, porém

como as repetições aproximam cada vez mais a configuração de referência da configuração

final, a influência da parcela de distorção é minimizada. Esse fato justifica a propriedade

observada no MRA de adensar a malha na região de maior curvatura e de apresentar certa

distorção à medida que o processo é repetido.

Já que o MRA apresenta uma rápida convergência e muitas repetições podem provocar

excessiva distorção da malha, recomenda-se que o MRA seja usado com poucas repetições e

que se acompanhe a evolução das respostas.

Observou-se que em todos os casos, o refinamento da malha conduziu a soluções mais

próximas da solução analítica. Para cada discretização, havia como que uma solução de

mínima área diferente e o MRA foi o mais eficiente para encontrá-la, mesmo tendo que se

distanciar ainda mais da solução analítica, como ocorreu no caso da malha mais grosseira, em

que a solução de menor área foi mais distante analítica.

O exemplo sobre a instabilidade na superfície do catenóide prova que as abordagens adotadas

realmente buscam a solução de mínima área, pois a solução da superfície mínima possui área

maior que a solução encontrada.

Neste capítulo, foram apresentados apenas métodos para busca da solução de mínima área,

mas qualquer dos métodos apresentados no capítulo anterior pode ser usado para definição da

forma inicial. Isso será exemplificado posteriormente no capítulo com projeto simplificado.

149

Apesar da busca da forma ter sido apresentada como uma etapa isolada do projeto de

tensoestruturas em membrana neste capítulo, isso não corresponde à realidade. Na verdade, há

um inter-relacionamento entre a etapa de busca da forma e a de projeto de corte, pois os

recortes a serem planificados no projeto de corte precisam ser delineados ainda na etapa de

busca da forma. Para manter as linhas de emenda em posições convenientes durante a etapa

de busca da forma, existem alguns artifícios conhecidos como “técnicas de controle de linha

de costura” que impõem restrições adicionais de deslocamento a certos nós do domínio. Essas

técnicas precisam ser usadas com cautela, pois a imposição de restrições que não se verificam

na estrutura pode produzir uma distribuição de tensão indesejada e até mesmo o enrugamento

na membrana da estrutura.

150

7 – PROJETO DE CORTES


Ao final da etapa abordada no capítulo anterior, a da busca da forma, a configuração espacial

da membrana e seu estado de tensão são conhecidos. Como a membrana é produzida em

faixas retangulares de largura e comprimento fixos, a superfície espacial da membrana precisa

ser dividida em recortes planos que caibam nessas faixas e, quando emendados e instalados na

estrutura (pré-tracionada), produzam a superfície espacial desejada. Essa etapa de definição

dos recortes planos de membrana será chamada “projeto de cortes”.

Considerando-se a disposição das emendas na membrana da tensoestrutura, o projeto de

cortes deve produzir uma superfície esteticamente agradável, sem que a resistência da

estrutura seja comprometida. Além disso, a forma dos recortes deve minimizar os

desperdícios de material e respeitar o limite de largura máxima, que é a própria largura na

qual a faixa de membrana é produzida, levando-se em conta o trespasse necessário para a

emenda (Véron et al, 1998a; Oliveira, 2003).

Segundo Moncrieff & Topping (1990), em geral, os métodos para projeto de cortes são

baseados em modelos físicos (empíricos), modelos geométricos (analíticos) ou modelos de

equilíbrio (numéricos). Os métodos baseados em modelos físicos utilizam pequenos modelos

da estrutura construídos em escala para a definição dos recortes de membrana. Os métodos

baseados em modelos geométricos são os que utilizam a expressão analítica da superfície da

estrutura para a determinação dos recortes. Esses métodos se aplicam às estruturas com

formas simples, geralmente, estruturas pneumáticas. De acordo com Shaeffer et al (1996), os

modelos físicos e analíticos para o projeto de cortes predominavam até o início da década de

1970. Os métodos baseados em modelos de equilíbrio se referem a uma variedade de técnicas

que utilizam modelos numéricos discretos e buscam o equilíbrio de forças concentradas nos

nós. No projeto de cortes, os métodos numéricos têm sido a principal área de

desenvolvimento e aplicação.

A abordagem ora proposta é baseada no modelo de equilíbrio, com uma adaptação

completamente integrada ao método com programação não-linear empregado nas etapas de

151

busca da forma e análise estrutural. Nesse trabalho, considera-se que o projeto de cortes se

divide em duas partes.

A primeira, que será chamada definição dos recortes, acontece juntamente com etapa de

busca da forma e ao final desta, a membrana já se encontra dividida em recortes a serem

planificados. As linhas de emenda indicam a posição do lado comum aos recortes adjacentes.

Recomenda-se que os recortes sejam definidos já na discretização plana, de onde começa a

busca da forma, e que sejam usadas técnicas para combater a distorção excessiva dos recortes

na definição da forma inicial da estrutura. Essas técnicas são conhecidas como controle de

linhas de emenda e são utilizadas para assegurar que as linhas de emenda possuam certas

propriedades como serem suaves, dividirem a estrutura em painéis simétricos ou ainda

assegurarem que as larguras dos recortes não ultrapassem a largura na qual a membrana é

produzida.

Na segunda parte, chamada transformação dos recortes 3D em recortes 2D, os recortes de

membrana são levados da configuração espacial para uma configuração plana correspondente.

A definição dos recortes foge ao escopo desse trabalho, pois se trata de uma arte e depende

essencialmente da habilidade e sensibilidade do projetista. No entanto, algumas linhas gerais

podem ser fornecidas para nortear o projeto. Ishii1 apud Kim & Lee (2002) desenvolveu a

geração de padrões de corte utilizando o conceito de linhas geodésicas. Uma linha na

superfície é considerada geodésica quando percorre a menor distância possível entre seus

pontos extremos. Moncrieff & Topping (1990) colocam que as linhas de emenda devem

acompanhar linhas geodésicas, pois isso resulta em recortes extremamente eficientes tanto do

ponto de vista de aproveitamento do material de membrana quanto do ponto de vista de

desempenho da tensoestrutura em serviço.

Nesse capítulo, a ênfase é dada na parte de transformação dos recortes 3D em recortes 2D, ou

seja, no processo que leva o recorte de membrana de uma configuração tridimensional,

associada a um estado de tensão inicial, para uma configuração plana e relaxada.

1 Ishii, K. On development of curved surface of membrane structures. In: IASS International Symposium on

Pneumatic Structures, 1972.

152

7.2 – TRANSFORMAÇÃO DOS RECORTES 3D EM RECORTES 2D

No caso de tensoestruturas em membrana, as superfícies a serem planificadas podem ter

curvatura simples, quando possuem apenas uma direção principal de curvatura, ou podem ter

dupla curvatura, quando possuem duas direções principais de curvatura. Um exemplo de

superfície com curvatura simples é a parede lateral de um cilindro, Figura 7.1(a), e um

exemplo com dupla curvatura é um hemisfério esférico, Figura (b).

Figura 7.1 – Tipos de superfícies: (a) com curvatura simples; e (b) com dupla curvatura.

Se a superfície do recorte de membrana no espaço possui curvatura numa única direção, sua

planificação exata é possível. Por outro lado, quando a superfície apresenta dupla curvatura,

como acontece na maioria dos casos, sua planificação exata é impossível e uma solução

aproximada se torna a única opção disponível.

Nesse trabalho, considera-se que a transformação dos recortes 3D em recortes 2D se divide

em duas etapas: na planificação e na compensação. A planificação é um processo puramente

geométrico, que consiste em levar o recorte de membrana de uma configuração tridimensional

a uma configuração plana. Os efeitos do relaxamento do recorte de membrana, que estava

submetido a um estado de tensão, são considerados na etapa da compensação.

(a) (b)

153

7.2.1 – Técnicas de planificação

Segundo Moncrieff & Topping (1990), existem diversas técnicas para a planificação dos

recortes espaciais, destacam-se: o desdobramento (unfolding) ou desenvolvimento

(development); e o achatamento (flattening).

7.2.1.1 – Planificação por desdobramento ou desenvolvimento

No desdobramento, também conhecido como desenvolvimento, todos os elementos que

discretizam a faixa de membrana no espaço são simplesmente rebatidos sucessivamente para

um mesmo plano. Essa é uma técnica simples, exata e confiável, mas só se aplica ao caso de

recortes espaciais com superfícies de curvatura simples. Em geral, isso significa que os

recortes precisam estar discretizados na forma de faixas com a largura de um único elemento,

como mostra a Figura 7.2(a).

Figura 7.2 – Planificação por desdobramento: (a) recorte no espaço; (b) processo de planificação por desdobramento; e (c) recorte planificado.

A Figura 7.2(b) ilustra o processo de desdobramento de um recorte de membrana no espaço,

Figura 7.2(a), até sua configuração plana, Figura 7.2(c). Esse processo é descrito, em linhas

gerais, por Shaeffer et al (1996). Esses pesquisadores sugerem sucessivos rebatimentos dos

elementos a partir de um dos extremos do recorte. Oliveira (2003) também aborda o

desdobramento e apresenta detalhadamente um procedimento de implementação

computacional mais simples. Trata-se também de uma abordagem seqüencial, elemento a

elemento, baseada na manutenção dos comprimentos dos lados dos elementos que

representam o recorte na configuração tridimensional.

(a) (b) (c)

154

O uso de elementos com a largura dos recortes, como requer o processo de desdobramento,

implica em um modelo discreto grosseiro ou num excessivo número de emendas na

membrana. Em geral, para simular adequadamente o comportamento da membrana, os

recortes precisam ser modelados no espaço com discretizações de dupla curvatura, para as

quais o processo de desdobramento não pode ser aplicado diretamente.

Wakefield (1999) apresenta um procedimento para que se utilize o desdobramento mesmo no

caso de recortes de grande curvatura transversal, com discretização de dupla curvatura. Esse

pesquisador sugere que esses recortes sejam divididos em faixas desdobráveis e, depois de

planificadas por desdobramento, que as faixas sejam unidas elemento a elemento. Segundo

ele, esse procedimento é fisicamente admissível pelo fato da membrana estrutural possuir

pequena rigidez ao cisalhamento.

7.2.1.2 – Planificação por achatamento

A planificação por achatamento pode ser aplicada a casos mais gerais, como ao de recortes

espaciais que apresentam dupla curvatura. Existem vários processos de achatamento, mas

podem dois deles merecem destaque: o achatamento mecânico e o achatamento geométrico.

Nos processos de achatamento mecânico, são utilizados programas de análise estrutural para

minimizar a energia potencial de deformação na transformação do recorte da configuração

tridimensional na configuração plana. Nos processos de achatamento geométrico, com a

utilização de técnicas de mínimos quadrados, busca-se uma configuração bidimensional do

recorte minimizando-se a deformação dos lados dos elementos do modelo tridimensional.

No caso de achatamento mecânico, primeiro, os recortes espaciais de membrana no espaço

são “forçados” para o plano. Então, os deslocamentos verticais de todos os nós são impedidos

e, considerando-se as propriedades do material da membrana, uma configuração de equilíbrio

é buscada com o relaxamento das restrições que impedem o deslocamento no plano

horizontal, exceto as restrições necessárias para garantir equilíbrio do modelo.

No achatamento com técnica de mínimos quadrados, busca-se uma configuração plana do

modelo discreto em que se minimiza a deformação dos lados dos elementos que discretizam o

recorte de membrana no espaço (Moncrieff & Topping, 1990; Kim & Lee, 2002).

155

7.2.2 – Técnicas de compensação

A consideração do efeito do relaxamento das tensões no recorte de membrana planificado é

conhecida como compensação (Shaeffer et al, 1996). A compensação é o processo que

completa a transformação do recorte 3D em recorte 2D. Considera-se o encolhimento do

recorte provocado pelo relaxamento das restrições de deslocamento que mantinham o recorte

sob tensão na configuração plana inicial. Nessa etapa, são mantidas as restrições para

deslocamento na vertical e restrições mínimas para se evitar deslocamentos de corpo rígido no

plano.

7.3 – TRANSFORMAÇÃO DOS RECORTES TRIDIMENSIONAIS EM RECORTES PLANOS

Um dos principais desafios da transformação dos recortes 3D em 2D com achatamento

mecânico é a obtenção da primeira configuração plana, a planificação. A técnica mais simples

consiste em usar a projeção do recorte em um plano como essa primeira configuração, porém

dependendo da posição e formato do recorte, podem ser obtidas configurações iniciais

dobradas e o resultado é desastroso para a etapa seguinte, a de compensação, onde

dificilmente se desfaz o dobramento.

A mais robusta técnica para obtenção da primeira configuração plana é, sem dúvida, o

desdobramento ou desenvolvimento, mas só foram encontrados registros de sua aplicação

para recortes com curvaturas simples. Mesmo na proposta de Wakefield (1999), que propõe

aplicá-la a recortes de dupla curvatura, o recorte inicial é dividido em recortes de curvatura

simples, desdobrados e, por fim, reunidos.

Neste trabalho, foi desenvolvida uma técnica robusta e simples para a transformação dos

recortes 3D em 2D. Ela combina a técnica de desdobramento para obtenção da configuração

plana inicial e a compensação é feita através do programa de análise estrutural de membrana.

A novidade é que se aplica um “desdobramento forçado”, onde se utilizam rebatimentos

sucessivos dos elementos independentemente do recorte ser de curvatura simples ou dupla. Na

compensação, o modelo coerente de pré-tracionamento aqui desenvolvido permite que os

recortes sofram significativas distorções na planificação e a mesma configuração “relaxada” é

obtida. Assim, essa técnica fornece bons resultados mesmo para os recortes com grandes

curvaturas na configuração tridimensional.

156

7.3.1 – Desdobramento forçado

Segundo essa técnica, os elementos que discretizam o recorte de membrana na configuração

de equilíbrio tridimensional são rebatidos sucessivamente para um plano. Isso é feito

independente do recorte ser de curvatura simples ou dupla.

Todo o processo começa com o rebatimento do primeiro elemento do recorte para o plano. Na

Figura 7.3, a seguir, ilustra-se esse processo. Neste caso, considera-se que o lado 3 do

elemento não está na vertical. Como configuração de referência, toma-se o elemento no

espaço tridimensional. Nessa configuração, os nós do elemento são denotados por (1)X , (2)X

e (3)X . Esse elemento é rebatido sem qualquer deformação e seus nós na configuração plana

são denotados por (1)x , (2)x e (3)x .

Figura 7.3 – Rebatimento do primeiro elemento do recorte na configuração tridimensional.

Os passos para o rebatimento do primeiro elemento são:

1. Seleciona-se um lado não vertical do primeiro elemento do recorte;

2. Supondo-se que o lado 3 não seja vertical, o primeiro nó do elemento no espaço

tridimensional, (1)X , é simplesmente projetado verticalmente para o plano de

referência (X3 = x3 = 0). Assim, a posição no plano do primeiro nó, (1)x , do elemento

mantém a seguinte relação com (1)X :

157

(1)1 (1) (1)

1 1(1)2 (1) (1)

2 2(1)3

Xx X

Xx X

X

⎧ ⎫⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪= ⇒ = =⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎪ ⎪

⎩ ⎭

(1) (1)X x

3. O segundo nó, (2)X , do elemento no espaço tridimensional é transportado para a

correspondente posição no plano, (2)x , de maneira que o comprimento do lado se

mantenha inalterado ( =(3) (3)l L ) e aponte no mesmo sentido que o de sua projeção

ortogonal vertical. Para isso, cria-se um vetor p de comprimento unitário, que aponta

no mesmo sentido da projeção e a posição x(2) é obtida de:

= +(2) (1) (3)x x L p , onde: ( ) ( )

(2) (1)1 1

(2) (1)2 2(2) (1) (2) (1) 2 21 1 2 2

X X1X XX X X X

⎧ ⎫−= ⎨ ⎬

−⎩ ⎭− + −p

4. O terceiro nó, (3)X , do elemento no espaço tridimensional é transportado para a

correspondente posição no plano, (3)x , de maneira que os lados do elemento se

mantenham indeformados ( =(1) (1)l L e =(2) (2)l L ) e que a normal do elemento no

plano seja positiva, ou seja, que aponte no sentido positivo de X3, x3.

Depois que o primeiro elemento é rebatido, seus nós são indicados como “já rebatidos”.

Então, inicia-se uma série de loops em busca de elementos que possuam exatamente dois nós

“já rebatidos” e realiza-se o rebatimento do seu último nó. Nesse rebatimento do último nó do

elemento, além de se buscar a solução com normal positiva, procura-se preservar o

comprimento original dos lados do elemento. Porém, nem sempre isso é possível e certa

distorção é imposta no rebatimento. Se por acaso a soma dos comprimentos de dois lados

quaisquer do elemento é menor que o do outro lado, o elemento é substituído por um

elemento eqüilátero com lados de comprimentos iguais ao do lado entre os dois nós “já

rebatidos”. Por fim, esse terceiro nó é indicado com “já rebatido” e os loops perduram até que

todos os elementos possuam seus três nós com esta indicação.

7.3.2 – Compensação

A configuração tridimensional do recorte de membrana, de onde se inicia o processo de

planificação, é uma configuração deformada, pois está submetida ao estado de pré-

158

tracionamento inicial. Então, conhecido esse estado de tensão, são determinados os

comprimentos indeformados dos lados para cada elemento.

O processo de desdobramento forçado introduz mudanças nesse estado de tensão inicial, mas

a busca da configuração relaxada não requer o cômputo dessas novas tensões. Basta

considerar que os elementos possuem os mesmos comprimentos indeformados computados

ainda na configuração tridimensional e que a configuração achatada por desdobramentos

forçados é apenas a posição inicial, de onde se parte na busca da configuração plana relaxada.

Um cuidado adicional se faz necessário na etapa de compensação para evitar que a solução

seja um recorte relaxado com dobramento. O problema é que o modelo usado na

compensação possui muitas configurações locais de equilíbrio. Há pelo menos uma

configuração estável para cada combinação de dobramentos possíveis para o modelo discreto.

Então, para assegurar a solução sem dobramentos, adotou-se um procedimento baseado na

avaliação do comprimento de passo a ser dado a cada iteração do método de programação não

linear. Se o comprimento de passo indicado pelo método for maior que 10% do menor lado

entre os elementos do recorte, o passo em questão fica limitado aos 10% desse menor lado.

Do contrário, utiliza-se o comprimento de passo indicado pelo método. Certamente essa

limitação do comprimento de passo pode diminuir a taxa de convergência do método, mas se

mostrou eficiente no fornecimento de soluções sem dobramentos.

7.4 – EXEMPLO

Para facilitar a compreensão dos principais aspectos envolvidos no projeto de corte, o mesmo

exemplo do catenóide apresentado no capítulo anterior será utilizado para ilustrar a aplicação

da abordagem ora proposta.

Inicialmente foi utilizado o método da referência atualizada com mínima distorção da malha

(MRA) para obtenção da configuração de equilíbrio. Foi arbitrado um tensor homogêneo de

tensão com s0 = 100,0 e um coeficiente de distorção µ = 0,001. A solução final foi obtida em

11 passos, sendo que a posição final dos nós do contorno foi definida no primeiro, partindo-se

de uma malha inicial plana. O arquivo com este projeto foi chamado

“Caten_Regular_MRA.gid” e se encontra no CD que acompanha esta tese, no diretório “CD-

ROM:\Projeto_de_cortes\”. A superfície final com acabamento “renderizado” é apresenta na

159

Figura 7.4(a) e possui uma área de 777,254882 unidades de área. Nas Figuras 7.4(b) e (c) são

apresentadas as distribuições das máximas e mínimas tensões principais da Cauchy.

Percebe-se que foi obtida uma distribuição de tensão isotrópica e uniforme ao final da

aplicação do MRA, pois as máximas e mínimas tensões principais são iguais em todos os

elementos que discretizam a superfície e iguais entre si.

Figura 7.4 – Configuração de equilíbrio fornecida pelo MRA. (a) Superfície acabada

(“renderizada”); (b) Distribuição da máxima tensão principal de Cauchy; e (c) Distribuição da mínima tensão principal de Cauchy.

Em seguida, a malha final fornecida pelo MRA foi utilizada como inicial para o programa de

análise estrutural de membrana segundo o modelo de Saint-Venant Kirchhoff. Cada elemento

foi submetido ao mesmo tensor de tensões isotrópicas, cujas componentes do segundo tensor

de tensões de Piola-Kirchhoff (2PK) podem ser representadas pelo vetor:

100,0 100,0 0,0T

=0S . Esse procedimento foi adotado apenas para assegurar uma

configuração de equilíbrio com o emprego das verdadeiras propriedades do material da

membrana. Foi arbitrado que o material possui um módulo de elasticidade E = 1000 (módulo

de Young), coeficiente de Poisson ν = 0,25 e espessura t = 0,005. O arquivo com este projeto

foi chamado “Caten_Regular_StVK.gid” e se encontra no CD que acompanha esta tese, no

diretório “drive_CD-ROM:\Projeto_de_cortes\”. A área final permaneceu a mesma, ou seja,

777,254882 unidades de área. A distribuição das tensões principais de Cauchy máximas e

mínimas são apresentadas na Figura 7.5, a seguir.

(b) (c)

(a)

160

Figura 7.5 – Configuração de pré-tracionamento inicial. (a) Distribuição da máxima tensão

principal de Cauchy; (b) Distribuição da mínima tensão principal de Cauchy.

Observando-se a Figura 7.5, conclui-se que a solução de equilíbrio continua com um tensor de

tensões isotrópica e uniforme. As máximas e mínimas tensões principais de Cauchy agora são

105,41 unidades de força por área e as do 2PK são 100,0 unidades de força por área.

Além da área que permaneceu inalterada, da observação da Figura 7.6 também é possível

concluir que o uso do programa de análise estrutural de membrana introduziu pouquíssima

alteração sobre o resultado fornecido pelo MRA. Na Figura 7.6(a), mostram-se os

deslocamentos entre a configuração inicial e final, percebe-se que o máximo deslocamento foi

de 1,158 x 10-8 unidades de comprimento. Na Figura 7.6(b), mostra-se a distribuição das

forças desbalanceadas resultantes nos nós da discretização. Como a máxima força

desbalanceada foi de 7,477 x 10-9 unidades de força, um valor muito pequeno, conclui-se que

a qualidade da solução é muito boa.

Figura 7.6 – Impacto da aplicação do programa de análise estrutural de membrana sobre o resultado obtido pelo MRA para busca da forma. (a) deslocamentos absolutos; e (b) forças

resultantes sobre os nós (forças desbalanceadas).

(a) (b)

(a) (b)

161

Apenas para ilustrar o procedimento de planificação, foi tomado o recorte com dois

elementos de largura destacado na Figura7.7 que se segue:

Figura 7.7: Destaque do recorte no espaço: (a) recorte na estrutura; e (b) recorte isolado.

A planificação dos recortes será realizada em duas etapas. Na primeira, que será chamada

achatamento, todos os nós da discretização do recorte são levados a um plano de referência

por desdobramento forçado. Por comodidade, será adotado como referência o plano que

contém a base do catenóide. Esse processo provoca uma alteração na distribuição das tensões

no recorte. Na segunda etapa, realiza-se a compensação, ou seja, considera-se o efeito do

relaxamento das tensões presentes no recorte depois do achatamento.

O resultado do rebatimento é apresentado esquematicamente na Figura 7.8 a seguir. O recorte

na configuração de equilíbrio tridimensional está representado na cor preta e o resultado do

“desdobramento forçado” está em azul. Nesta figura, são apresentadas uma vista superior dos

recortes em (a) e duas vistas em perspectivas, uma frontal e outra posterior em (b) e (c),

respectivamente. O primeiro elemento do recorte está destacado com preenchimento, pois

todo o processo de desdobramento começa com seu rebatimento para o plano de referência.

As linhas em vermelho mostram a projeção do terceiro lado desse elemento. Percebe-se que a

direção desse lado na configuração desdobrada tem a mesma direção que sua projeção a partir

da configuração tridimensional.

(a) (b)

162

Figura 7.8: Esquema do achatamento por “desdobramento forçado”. (a) Vista superior e

detalhe do primeiro elemento; (b) Perspectiva frontal; e (c) Perspectiva posterior.

A distribuição das máximas e mínimas tensões principais de Cauchy após o processo de

desdobramento forçado do recorte é apresentada na Figura 7.9. Para esta discretização, as

distorções se concentraram apenas em um lado do recorte. Isso se reflete até na geometria do

recorte, que é suave ao longo do lado com pouca distorção e tortuosa ao longo do outro.

Figura 7.9: Distribuição das tensões principais de Cauchy após o desdobramento forçado. (a)

Máximas tensões principais; e (b) Mínimas tensões principais.

Depois do achatamento, quando todos os nós pertencem ao plano de referência, realiza-se a

compensação. Para isso, todos os nós têm impedido seu deslocamento na direção

perpendicular ao plano e restrições adicionais de deslocamento são impostas apenas para

assegurar o equilíbrio do modelo. O esquema de restrições de deslocamentos no plano do

recorte achatado para o processo de compensação está representado na Figura 7.10(a). As

geometrias do recorte antes e após a compensação são apresentadas na Figura 7.10(b). Antes

da compensação, a geometria está representada em azul e, depois dela, em vermelho. Com o

relaxamento das demais restrições dos nós, o recorte assume uma “configuração relaxada”.

Neste caso, é sensível o encolhimento do recorte após a compensação.

(a) (b) (c)

(a) (b)

163

Figura 7.10: Esquemas da etapa de compensação. (a) Restrições de deslocamento no plano do

recorte achatado; e (b) Configurações antes (em azul) e depois (em vermelho) da compensação.

A distribuição das máximas e mínimas tensões principais de Cauchy após o processo de

desdobramento forçado do recorte é apresentada na Figura 7.11.

Figura 7.11: Distribuição das tensões principais de Cauchy após a compensação. (a)

Máximas tensões principais; e (b) Mínimas tensões principais.

Chegaram a ser considerados outros dois procedimentos de planificação, que diferiam apenas

na técnica de achatamento empregada. No primeiro, o achatamento era realizado pela simples

projeção dos nós do recorte para o plano de referência e, por isso, foi chamado achatamento

por projeção. No segundo, chamado achatamento por estiramento, uma combinação de

forças e restrições de deslocamento fazia com que os nós fossem levados ao plano. O

esquema desses dois processos de achatamento é apresentado na Figura 7.12.

(a) (b)

(a) (b)

164

Figura 7.12: Alternativas de achatamento: (a) Projeção vertical; e (b) Estiramento.

Na Figura 7.13 são apresentados os resultados da planificação com achatamento por projeção

vertical. No primeiro grupo são apresentadas a discretização e o estado de tensão após o

achatamento. No segundo, tem-se o mesmo depois da compensação.

Figura 7.13: Resultado da planificação com achatamento por projeção vertical.

Neste caso, a planificação com achatamento por projeção vertical não foi bem sucedida, pois

o resultado da compensação foi uma configuração dobrada no trecho mais estreito do recorte.

Nesta região, a superfície está com duas dobras e três camadas.

(a) (b)

Situação após a compensação do achatamento

Situação após o achatamento por projeção vertical

165

Na Figura 7.14 são apresentados os resultados da planificação com achatamento por

estiramento. No primeiro grupo são apresentadas a discretização e o estado de tensão após o

achatamento. Para provocar o estiramento, os nós da borda superior do recorte foram fixados

e forças unitárias para baixo foram aplicadas aos nós da borda inferior. No segundo grupo da

Figura 7.14, tem-se a discretização e o estado de tensão depois da compensação.

Figura 7.14: Resultado da planificação com achatamento por projeção vertical.

O resultado fornecido pela planificação com achatamento por estiramento foi pior que o

obtido com achatamento por desdobramento forçado. Essa conclusão é baseada no estado de

tensão obtida ao final da compensação, apresentado no grupo da direita na Figura 7.14. Em

face da simetria do problema, esperava-se que o mesmo se refletisse no estado de tensão,

porém isso não aconteceu. No entanto, diversos fatores prejudicaram a técnica de

achatamento por estiramento. Um deles foi o conjunto de forças adotado para produzir o

estiramento. Esse conjunto não proporcionou uma distribuição simétrica de tensão ao final do

achatamento. Isso seria importante, porque a solução final deste processo de achatamento não

é exatamente uma superfície plana, há sempre alguns desvios e quando o campo de tensão não

é simétrico, esses desvios se concentram em certas regiões e prejudicam a qualidade da

solução. Outro fator prejudicial pode ter sido o próprio valor das forças adotadas para o

estiramento. Esse é um ponto muito sensível nesta abordagem, pois essas forças não devem

Situação após o achatamento por estiramento.

Situação após a compensação do achatamento

166

ser muito grandes, a ponto de degenerar a discretização, nem muito pequenas, pois não seriam

suficientes para produzir a solução plana (“achatada”).

Fica clara a superioridade do achatamento com desdobramento forçado tanto com relação ao

achatamento por projeção quanto com relação ao por estiramento. Assim, o desdobramento

forçado é que foi utilizado no programa desenvolvido para auxiliar na etapa de projeto de

cortes. Esse programa foi chamado LightStruc_CP_StVK.exe e se encontra no diretório “CD-

ROM:\Projeto_de_cortes\Ex_Caten_Regular” do CD que acompanha esta tese. Infelizmente

não foi possível a integração desse programa com o GiD 7.2 para tornar a interface mais

amigável e, desta forma, ele roda em um console que emula o DOS.

O LightStruc_CP_StVK.exe requer dois arquivos de entrada. Um com parâmetros para a

programação não-linear, com a geometria de toda a membrana, com os comprimentos

indeformados dos lados de cada elemento e propriedades do material. O outro arquivo contém

o número de recortes de membrana e listas dos elementos de cada recorte com parâmetros

para a programação não-linear. O arquivo com parâmetros da geometria de toda a membrana

é produzido pelos pacotes de integração dos programas de análise estrutural com o GiD 7.2.

Ele é gerado dentro do diretório do projeto do GiD e possui o mesmo nome do projeto, mas

com extensão “.cutout”. O arquivo com as listas dos elementos de cada recorte são gerados

pelos pacotes de integração dos programas de busca da forma e análise estrutural com o GiD

7.2. Esse arquivo tem o mesmo nome do projeto com terminação “-1.dat”. Cabe uma ressalva

neste caso, o projeto do GiD usado para produzir o arquivo com lista de recortes requer que

esses recortes sejam colocados em “layers” diferentes para que sejam reconhecidos. Só não

são reconhecidos como recortes os “layers” de nome “Aux” e “Cables”. Outro ponto

importante é que o arquivo com a geometria de toda a membrana pode ter qualquer nome,

mas o arquivo com as listas de recortes precisa ter o mesmo nome do anterior, mas com

extensão “.cut”.

São dois os arquivos de saída do LightStruc_CP_StVK.exe um script para o Auto-CAD com

os desenhos de cada recorte na configuração plana e um arquivo texto com o comprimento

dos lados de cada elemento depois da compensação. Esse último arquivo é importante para se

fazer a análise estrutural final, onde se monta a estrutura a partir dos recortes planificados.

167

O resultado da planificação para todos os recortes desse exemplo é apresentado na Figura

7.15 a seguir. Tem-se uma vista superior dos recortes em (a) e em (b), uma vista em

perspectiva dor recortes planificados com a malha na configuração tridimensional de

equilíbrio.

Figura 7.15: Recortes “planificados” do exemplo do catenóide. (a) Vista superior; e (b)Vista

em perspectiva.


Entre as três abordagens estudadas, a técnica de achatamento por desdobramentos forçados se

mostrou a mais robusta e mais bem adequada para implementação computacional. Ela pode

ser facilmente mecanizada e fornece bons resultados.

As grandes tensões residuais presentes no recorte na “configuração relaxada” se devem

principalmente à discretização grosseira que foi utilizada e, talvez, à largura excessiva do

recorte. No caso de superfícies com dupla curvatura, no entanto, essas tensões residuais

sempre estarão presentes, pois essas superfícies sempre precisam ser “forçadas” planas.

O processo de achatamento por projeção é muito simples e rápido, mas neste exemplo ele

falhou, pois na compensação a superfície relaxada ficou dobrada. Na verdade, isso ocorreu

porque as restrições de deslocamento no plano foram aplicadas em um elemento inadequado,

o mais distorcido ao final da projeção. Chegou-se a aplicá-las a um elemento mais adequado e

os resultados foram satisfatórios. Além dessa sensibilidade à seleção do elemento para

aplicação das restrições ao deslocamento no plano, se a curvatura da superfície do recorte for

(a) (b)

168

muito grande, o próprio resultado da projeção já pode ser dobrada e, assim, o resultado ao

final da compensação também seria dobrada.

O processo de achatamento por estiramento não apresenta o problema de fornecer uma

configuração dobrada, mas a definição da combinação de forças fictícias e restrições de

deslocamentos são complicadas. Essa abordagem requer interação com o usuário e exige

grande sensibilidade de sua parte. O módulo das forças deve ser tal que vença as forças

internas produzidas pelo estado de tensão, mas não deve ser tão grande que estique em

demasia o recorte, a ponto de provocar a degeneração dos elementos que o discretizam.

Outro ponto importante que ainda não foi mencionado é a necessidade de se assegurar que os

lados comuns de recortes adjacentes tenham o mesmo comprimento. No caso do recorte da

membrana do catenóide utilizado como exemplo nesse capítulo, os dois lados a serem

emendados mediram 12,4575 unidades de comprimento, mas nem sempre isso acontece.

Algumas vezes podem ser observadas diferenças de comprimento entre os lados a serem

emendados e, mesmo que pequenas, podem provocar grandes problemas. No programa aqui

desenvolvido, utiliza-se um artifício para minimizar possíveis discrepâncias entre lados

comuns de recortes adjacentes. Inicialmente, os recortes são planificados um a um sem

qualquer consideração quanto às emendas. Em seguida, realiza-se uma verificação dos lados a

serem emendados e o valor da maior discrepância é informada ao projetista. Então, ele tem a

opção de aplicar ou não o artifício para suavizar essas diferenças. O artifício aqui empregado

é a introdução de elementos de barra de grande rigidez com relação à membrana e com

comprimento igual à média entre os lados dos elementos a serem emendados. Esses elementos

de barra são introduzidos ao longo dos lados dos elementos de membrana na configuração

achatada, antes da compensação e, portanto, se encontram num estado de pré-tracionamento,

já que possuem o comprimento médio da configuração relaxada.

É importante ressaltar que quanto maior o número de restrições impostas na etapa de

compensação, maiores serão as tensões residuais resultantes do recorte na “configuração

relaxada”, que será utilizado como padrão de corte. Naturalmente, essas tensões residuais não

estarão presentes no verdadeiro recorte de membrana, pois eles são simplesmente recortados

com a forma prescrita no projeto. No entanto, quanto maiores as tensões residuais no recorte

planificado, maiores serão as diferenças entre as tensões de projeto e as que se desenvolvem

169

na estrutura construída. Assim, recomenda-se a análise estrutural com a membrana montada a

partir dos recortes planos, isentos de tensão.

Ainda é preciso que se considere o acréscimo de membrana ao longo dos lados dos recortes a

serem unidos. A quantidade desse acréscimo depende do material e do processo de emenda

empregado e, por isso, não é considerada neste trabalho.

170

8 – DESENVOLVIMENTO DE PROJETO SIMPLIFICADO

Neste capítulo, desenvolve-se um exemplo de projeto simplificado de tensoestrutura em

membrana. Apresenta-se, de maneira genérica, a integração entre cada etapa do projeto e

mostra-se a aplicação dos pacotes de programas aqui desenvolvidos para auxiliar na execução

de cada uma delas. O exemplo escolhido foi o de uma estrutura com o clássico parabolóide

hiperbólico, mais conhecido com vela de Frei Otto. São abordadas apenas as principais etapas

do projeto, a saber: busca da forma, projeto de cortes e análise estrutural final.

Por questão de simplicidade, as estruturas completas de suporte não foram modeladas neste

exemplo. Considerou-se que a membrana se liga a cabos e os cabos a elementos rígidos, fixos.

Em verdadeiros projetos, deve-se tomar cuidado com esse tipo de liberdade, pois as estruturas

de suporte exercem grande influência sobre a resposta da membrana. Em geral, as

tensoestruturas se apóiam em estruturas complacentes, que permitem certos deslocamentos e

melhor adaptação da estrutura aos carregamentos. Isso proporciona uma distribuição de

tensão mais suave e contribui para aumentar significativamente a vida útil da estrutura. Os

pacotes aqui desenvolvidos permitem a introdução de elementos de suporte na forma de

treliças espaciais ou de barras bi-rotuladas. Na verdade, o modelo usado para representar os

cabos é o mesmo modelo usado para barras de treliça. Isso requer o cuidado de se certificar

que os cabos estejam sempre sob tração, pois do contrário estariam funcionando como barras.

O detalhamento do projeto também não será abordado porque depende muito da experiência

do projetista, do material empregado e das recomendações de seu fabricante. A esse respeito,

a contribuição desta tese se limita aos relatos de alguns tipos de emenda, acabamentos de

borda e detalhes de ligação apresentados no capítulo 2.

Para demonstrar a utilização de todos os programas aqui desenvolvidos e permitir a

comparação entre eles, o mesmo projeto será resolvido três vezes com diferentes abordagens

para a etapa de busca da forma. Nas duas primeiras a busca da forma será feita com

programas que buscam a solução de mínima área e, na terceira, será mostrado como o

programa de análise estrutural pode ser usado para todas as etapas do projeto.

171

8.1 – DADOS DO PROJETO E CONSIDERAÇÕES GERAIS

Aqui serão apresentados os dados e considerações gerais sobre esse projeto, que são comuns

às abordagens que serão apresentadas em seguida.

8.1.1 – Geometria do problema

O projeto em questão é o de uma cobertura semelhante à famosa vela de Frei Otto, também

conhecido como parabolóide hiperbólico.

Em planta, as dimensões iniciais da membrana aproximam a de um quadrado com lados de 7

m. O comprimento exato da diagonal é de 9,9274 m e a distância entre os lados na parte mais

estreita é de 6,75 m. A forma da estrutura lembra a de uma cela. Os pontos de fixação mais

altos estão a 5,0 m do plano de referência.

8.1.2 – Características dos materiais empregados

As propriedades dos materiais utilizados neste exemplo são realísticas e foram extraídas com

base em um exemplo apresentado por Gil & Bonet (2006).

Foi considerado que todos os cabos são iguais e possuem as seguintes características:

• Módulo de elasticidade, E = 12000 kN/m2;

• Área da seção transversal, At = 1 m2;

• Massa específica, ρ = 0;

Para a membrana, consideraram-se as seguintes características:

• Módulo de elasticidade, E = 300 kN/m2;

• Coeficiente de Poisson, ν = 0,2;

• Massa específica, ρ = 0;

• Espessura, t = 1 m;

Foram empregados valores unitários para a área da seção transversal do cabo e espessura da

membrana para facilitar a comparação com outros resultados encontrados na literatura, pois é

comum encontrar a rigidez do cabo como EAt em kN e a da membrana como Et em kN/m.

172

8.1.3 – Preparação da malha plana inicial

Para se manter uma base de comparação entre os métodos, todos eles partirão da mesma

discretização inicial. Por simplicidade, costuma-se realizar a etapa de busca da forma a partir

de uma discretização plana. Então, o primeiro passo é desenhar o contorno da projeção da

estrutura no plano de referência (X3 = 0). Para facilitar a etapa de projeto de cortes, os

contornos dos recortes também são desenhados.

Optou-se por desenhar a estrutura plana inicial em um programa de CAD, salvar em arquivo

“.dxf” e importá-lo do GiD. O arquivo foi chamado “Par_Hip_Plane.dxf” e se encontra no CD

que acompanha esta tese, no diretório “CD-ROM:\Projeto simplificado\”. Na Figura 8.1(a),

apresenta-se o resultado dessa importação para o GiD. Para a discretização da membrana,

devem ser criadas superfícies. O resultado da criação de superfícies é apresentado na Figura

8.1(b). Para a criação dos elementos de cabo ao longo da borda da membrana, linhas devem

ser sobrepostas às bordas do recorte. O passo seguinte foi a geração da malha, que é

apresentada na Figura 8.1 (c). a seguir.

Figura 8.1: Primeiros passos para criação da malha plana: (a) Resultado da importação do arquivo “.dxf” para o GiD 7.2; (b) Superfícies planas para discretização dos recortes; e (c)

Discretização inicial com elementos de membrana em verde e de cabo em vermelho.

Devem ser criados layers exclusivos para representar cada recorte e um para guardar todos os

cabos. O nome do layer para cabos tem que ser “Cables”. Também pode ser criado um layer

para elementos auxiliares de desenho, que deve ser chamado “Aux”. Qualquer outro nome de

layer além de “Cables” e “Aux” será entendido como um recorte.

Antes de produzir a malha, para que os elementos de cabo sejam gerados com o mesmo

comprimento dos lados dos elementos de membrana por onde passam, é preciso desmarcar a

(a) (b) (c)

173

opção “Automatic correct sizes” em Utilities>Preferences>Meshing. Há ainda um problema

com essa primeira malha gerada, os nós dos elementos de cabo não são os mesmos dos

elementos de membrana correspondentes. Há uma duplicidade de nós no encontro de

elementos de membrana e de cabo. Para solucionar esse último problema, deve-se utilizar a

opção Utilities>Collapse>Nodes, selecionar toda a discretização e teclar “Esc”. Depois da

eliminação dos nós duplicados, a discretização fica com 834 elementos de membrana, 92 de

cabo e 468 nós.

Na primeira etapa do processo de busca da forma em todos os casos, os nós dos extremos dos

cabos tiveram suas posições definidas conforme a Figura 8.2 a seguir. Esses grandes

deslocamentos no primeiro passo poderiam provocar grandes distorções aos recortes definidos

na discretização plana. Então, para aproximar a configuração plana da configuração final de

equilíbrio sem provocar grandes distorções à malha, optou-se por restringir os deslocamentos

de todos os nós na horizontal, de maneira que só poderiam se deslocar na vertical.

Figura 8.2: Altura final dos nós de contorno da tensoestrutura

8.2 – PROJETO COM BUSCA DA FORMA PELO MRA

Neste exemplo, a etapa de busca da forma será implementada através do método da referência

atualizada com mínima distorção da malha (MRA).

Todos os arquivos de cada etapa desse exemplo estão disponíveis no CD que acompanha esta

tese, no diretório: “CD-ROM:\Projeto simplificado\Com_MRA”

Nós elevados a 5 m Nós elevados a 5 m

Nós mantidos fixos

Nós mantidos fixos

174

8.2.1 – Transformação da discretização plana em tridimensional

Nesta etapa, parte-se da discretização plana já apresentada para uma tridimensional e são

permitidos apenas deslocamentos verticais aos nós do modelo.

No MRA, utiliza-se um modelo constitutivo de material fictício definido por dois parâmetros.

Um é denotado por s0 e representa a componente da tensão, que é isotrópica e uniforme, e o

outro, denotado por µ, é um coeficiente para controlar a distorção da malha. Nesta etapa,

foram empregados os seguintes valores para esses parâmetros:

• s0 = 8 kN/m; e

• µ = 0,001.

Os parâmetros usados para o cabo foram os verdadeiros já apresentados. Há apenas uma

peculiaridade neste caso, foi imposto um pré-tracionamento de 1000 kN/m2 aos cabos para

garantir que ficassem bem alinhados.

A solução foi obtida com 4644 iterações e o resíduo foi de 3,28 x 10-7 kN (força não

balanceada). A área da superfície obtida foi de 56,134 m2. Nesta primeira etapa, o estado de

tensão ao final do processo não tem importância, pois será descartado.

O nome desse projeto no GiD é “Sail_0_FF_MRA_vert.gid”. Na verdade, esse nome é um

diretório e contém todos os arquivos dessa etapa do projeto.

8.2.2 – Busca da forma de mínima área pelo MRA

Nesta etapa, o MRA é usado para determinação da forma de mínima área. As únicas restrições

de deslocamento são nos nós dos extremos dos cabos longos, que permanecem em suas

posições definitivas.

Considera-se que os cabos estão indeformados e possuem as propriedades verdadeiras já

mencionadas (EAt = 12000 kN). Para a membrana, consideram-se as mesmas propriedades do

item anterior (s0 = 8 kN/m e µ = 0,001).

175

A solução para esta etapa foi obtida com 10000 iterações e com um significativo resíduo de

1,82 x 10-2 kN (força não balanceada). Apesar desse significativo resíduo, a solução obtida foi

considerada boa. Os principais resultados são apresentados na Figura 8.3. Observando-se a

distribuição das tensões principais em (a) e em (b), conclui-se que a solução ficou muito

próxima da distribuição isotrópica e uniforme desejada. Também são apresentados, em (c), os

deslocamentos em termos absolutos com relação à primeira configuração tridimensional. A

área da superfície obtida foi de 50,326 m2.

Figura 8.3: Solução da etapa de busca da forma de mínima área com o MRA. (a) Distribuição

das máximas tensões principais de Cauchy (kN/m); (b) Distribuição das mínimas tensões principais de Cauchy (kN/m); e (c) Distribuição dos deslocamentos absolutos (m).

O nome desse projeto no GiD é “Sail_1_FF_MRA_cable_on.gid”. Trata-se de um diretório

que contém todos os arquivos dessa etapa do projeto.

8.2.3 – Transferência para o programa de análise estrutural

Como o material da membrana não pode ser representado pelo modelo usado no MRA, é

preciso fazer a transferência da solução obtida pelo MRA para um modelo que possa

(a) (b)

(c)

176

representar o comportamento da verdadeira membrana. Neste trabalho, considerou-se que o

modelo de Saint-Venant Kirchhoff seria adequado para isso.

Para essa transferência, são passadas as seguintes informações:

• Geometria da estrutura na configuração de equilíbrio;

• Estado de tensão dos cabos (comprimentos indeformados); e

• Estado de tensão dos elementos de membrana (tensões de Cauchy).

A geometria da estrutura na configuração de equilíbrio é transferida importando-se a malha

resultante da etapa anterior. As informações de tensão nos cabos e membrana são produzidas

na etapa anterior e colocadas num arquivo com extensão “.trn”. Este arquivo deve ser copiado

para o diretório do projeto atual e seu nome deve ser trocado para ficar de acordo com o novo

projeto. Neste caso, essas informações estavam no arquivo “Sail_1_FF_MRA_cable_on.trn”,

dentro do projeto “Sail_1_FF_MRA_cable_on.gid” e foi copiado para o atual projeto, que

tem o nome de “Sail_2_FF_MRA_to_StVK.gid”. Nesse diretório do atual projeto, o nome do

arquivo “Sail_1_FF_MRA_cable_on.gid” foi trocado para “Sail_2_FF_MRA_to_StVK.trn”.

Nesse projeto, tanto os cabos como membranas são representados com propriedades

verdadeiras do material.

Nesta etapa, a configuração inicial é deformada, pré-tracionada, e o programa utiliza o

modelo de pré-tracionamento para computar localmente as configurações de referência

(indeformadas) para cada elemento. Na verdade, ele só utiliza esse modelo para os elementos

de membrana, pois para os elementos de cabo, seus comprimentos indeformados já são

informados no arquivo.

Há um pequeno problema para a transferência do estado de tensão dos elementos de

membrana da etapa anterior para atual. Na verdade, são informadas as tensões verdadeiras de

Cauchy, que estão associadas à configuração de equilíbrio obtida na etapa anterior, mas o

modelo de pré-tracionamento aqui desenvolvido requer que sejam informadas as

componentes da tensão do segundo tensor de Piola-Kirchhoff (tensor 2PK). Essa diferença é

resolvida pela hipótese de pequenas deformações do modelo constitutivo atual, pois se as

deformações são pequenas, as tensões do tensor 2PK e do tensor de Cauchy são muito

próximas e, assim, as tensões de Cauchy podem ser usadas no lugar do tensor 2PK.

177

Então, no programa, considera-se que as tensões informadas são as do tensor 2PK, procura-se

uma configuração indeformada e, a partir dela, uma nova configuração de equilíbrio que deve

ser próxima à configuração inicial fornecida.

A solução para esta etapa foi obtida com 2484 iterações e com um pequeno resíduo de 2,263 x

10-8 kN (força não balanceada). Os principais resultados são apresentados na Figura 8.4. A

distribuição das tensões principais, apresentadas em (a) e em (b), continuou bem distribuída e

próxima do estado isotrópico e uniforme, apesar de uma certa piora se comparada à situação

na etapa anterior. A distribuição dos deslocamentos, apresentada em (c), também mostra que

foram pequenas as diferenças entre a configuração inicial e final desta etapa. A área da

superfície obtida foi de 50,288 m2.

Figura 8.4: Solução da etapa de transferência do MRA para o programa de análise estrutural. (a) Máximas tensões principais de Cauchy (kN/m); (b) Mínimas tensões principais de Cauchy

(kN/m); e (c) Distribuição dos deslocamentos absolutos (m).

A configuração aqui obtida conclui a etapa de busca da forma. No passo seguinte, os recortes

que formam a membrana serão planificados.

(c)

(a) (b)

178

8.2.4 – Projeto de cortes

Conhecida a forma inicial da estrutura em membrana e o correspondente estado de tensão da

estrutura, a etapa seguinte é o projeto de cortes. Nesta etapa, os recortes que formam a

membrana serão planificados. Não se trata apenas de um problema geométrico, pois os

recortes na configuração inicial estão submetidos a um estado de tensão e o relaxamento

dessas tensões deve ser levado em consideração.

Em projetos reais, antes de se partir para a etapa de projeto de cortes é recomendável fazer

uma análise estrutural preliminar para se certificar de que a solução obtida na etapa de busca

da forma é adequada. Isso é feito aplicando-se os carregamentos considerados mais rigorosos

à estrutura na configuração obtida ao final da etapa de busca da forma e analisando-se o

estado de tensão resultante. Aqui, porém, essa etapa será ignorada.

Foi desenvolvido um programa que utiliza a técnica de planificação por achatamento

mecânico para a obtenção dos recortes. Isso significa que os recortes são forçados a uma

configuração plana e depois, computa-se sua configuração plana “relaxada” com o emprego

de programas de análise estrutural. Para a obtenção da primeira configuração plana, foi

desenvolvida uma técnica aqui chamada de “rebatimentos forçados”. Segundo essa técnica, a

planificação dos recortes se dá por rebatimentos sucessivos elemento a elemento procurando-

se manter os lados com o mesmo comprimento inicial, mas se isso não for possível, um

elemento eqüilátero é colocado em seu lugar.

O LightStruc_CP_StVK.exe é o programa que executa a etapa de projeto de cortes. Ele se

encontra no diretório “CD-ROM:\LightStruc\LightStruc_CP_StVK”

Infelizmente o LightStruc_CP_StVK.exe ainda não conta com interface gráfica. Ele é

executado a partir de uma plataforma que emula o sistema DOS. Esse programa requer dois

arquivos de entrada. Um com parâmetros para a programação não-linear, com a geometria de

toda a membrana, com os comprimentos indeformados dos lados de cada elemento e

propriedades do material. O outro arquivo deve conter o número de recortes de membrana e

listas dos elementos de cada recorte com parâmetros para a programação não-linear.

179

O arquivo com parâmetros da geometria de toda a membrana é produzido pelos pacotes de

integração dos programas de análise estrutural com o GiD 7.2. Ele é gerado dentro do

diretório do projeto do GiD e possui o mesmo nome do projeto, mas com extensão “.cutout”.

Neste caso, o arquivo em questão se chama “Sail_2_FF_MRA_to_StVK.cutout” se encontra

dentro do projeto “Sail_2_FF_MRA_to_StVK.gid”. Ele foi copiado para um diretório

separado e foi renomeado para “Sail_3_PC_MRA.inp”.

O outro arquivo, com o número de recortes da membrana e listas de elementos de cada

recorte, também é gerado dentro do projeto GID, mas esse projeto do GiD usado para

produzir o arquivo requer que os recortes sejam colocados em “layers” diferentes para que

sejam reconhecidos. Só não são reconhecidos como recortes os “layers” de nome “Aux” e

“Cables”. Outro ponto importante é que o arquivo com a geometria de toda a membrana pode

ter qualquer nome, mas o arquivo com as listas de recortes precisa ter o mesmo nome do

anterior, mas com extensão “.cut”. Neste caso, esse arquivo foi produzido no primeiro projeto

GiD dessa série. Esse arquivo se encontra dentro do projeto “Sail_0_FF_MRA_vert.gid” e

recebeu o nome de “Sail_0_FF_MRA_vert-1.dat”. Ele foi copiado para o mesmo diretório

que o arquivo anterior, renomeado para “Sail_3_PC_MRA.cut”

O programa LightStruc_CP_StVK.exe foi copiado para o mesmo diretório dos dois arquivos e

executado. Ele requer apenas o nome do primeiro arquivo para concluir a operação. Primeiro,

todos os recortes são planificados independentemente e, depois, o programa exibe a maior

diferença entre os lados dos recortes a serem emendados e oferece a opção de tentar diminuir

essa diferença. Caso o usuário decida que deve diminuir a diferença, inicia-se uma nova

rodada e são introduzidos elementos de treliça de elevada rigidez por toda a volta de cada

recorte. Caso a borda seja uma emenda, o comprimento indeformado da barra igual à média

dos lados dos elementos a serem emendados, do contrário, tem o mesmo comprimento do

lado na configuração plana relaxada.

São dois os arquivos de saída do LightStruc_CP_StVK.exe, a saber: um script para o Auto-

CAD com os desenhos de cada recorte na configuração plana; e um arquivo texto com o

comprimento dos lados de cada elemento depois da compensação. Esse último arquivo é

importante para se fazer a análise estrutural final, onde se monta a estrutura a partir dos

recortes planificados.

180

Apenas para se ter uma idéia do resultado da planificação, os recortes são apresentado na

Figura 8.5. A máxima diferença de comprimento entre os lados foi de 0,77 mm e não se optou

por fazer a segunda rodada para correção dos lados. Apesar desse bom resultado na

concordância entre os lados dos recortes, percebe-se a técnica de controle de linha de corte

deve ser melhorada.

Figura 8.5: Recortes planificados na etapa de projeto de cortes da seqüência de projetos com o

MRA

8.2.5 – Remontagem da membrana a partir dos recortes planificados

Nesta etapa, simula-se a remontagem da estrutura a partir dos recortes planos. Ao invés de

realmente pegar cada recorte e colocá-lo na estrutura, os comprimentos dos lados de seus

elementos na configuração plana relaxada são colocados no lugar de seus comprimentos

indeformados na configuração obtida ao final da etapa de busca da forma.

O programa de análise estrutural, LightStruc_SA_StVK.exe, oferece a opção de ler os

comprimentos indeformados de seus elementos de cabos e lados indeformados dos elementos

de membrana diretamente de arquivo tipo texto. Esse arquivo deve ter o mesmo nome do

projeto em execução com a extensão “.rst”. A cada rodada do programa, ele também produz

um arquivo neste mesmo formato com a extensão “.rstout”. Esses arquivos servem para

guardar ou transferir certo estado de pré-tracionamento da estrutura.

Os passos adotados neste caso foram:

1. Com o pacote “LigthStruc_SA_StVK.gid”, criar um novo projeto para a remontagem

da estrutura. O nome utilizado neste caso foi: “Sail_4_AE_MRA_remontagem.gid”;

2. Copiar o arquivo “Sail_2_FF_MRA_to_StVK.rstout” para o projeto de remontagem

recém criado e renomear o arquivo para Sail_4_AE_MRA_remontagem.rst.

181

3. Abrir o arquivo “Sail_3_PC_MRASIDE.rlx” e copiar todo o seu conteúdo para o

Sail_4_AE_MRA_remontagem.rst, substituindo a parte correspondente à membrana

que lá se encontra.

4. Importar a malha do projeto Sail_2_FF_MRA_to_StVK.gid, que contém a geometria

da configuração de equilíbrio;

5. Aplicar as propriedades dos materiais de cabos e membrana aos elementos;

6. Aplicar as restrições de deslocamento aos nós dos extremos dos cabos longos; e

7. Executar o programa indicando a leitura do arquivo de extensão “.rst”.


10-8 kN (força não balanceada). Os principais resultados são apresentados na Figura 8.6. As

distribuições das tensões principais são apresentadas em (a) e em (b). Como era de se esperar,

observou-se um significativo aumento na discrepância com relação ao estado de tensão

isotrópico e uniforme inicialmente imposto, que era de 8 kN/m. Porém essa variação não

passou de 1 kN/m, para mais ou para menos. Percebe-se claramente que as maiores

discrepâncias ocorreram ao longo das emendas dos recortes. Isso sugere que esses elementos

foram os mais penalizados no processo de planificação. A distribuição dos deslocamentos,

apresentada em (c), mostra que a disposição dos recortes exerceu uma pequena influência

sobre o resultado. A área da superfície obtida foi de 50,326 m2.

182

Figura 8.6: Situação depois da remontagem da estrutura com forma pelo MRA. (a)

Distribuição das máximas tensões principais de Cauchy (kN/m); (b) Distribuição das mínimas tensões principais de Cauchy (kN/m); e (c) Distribuição dos deslocamentos absolutos (m).

8.2.6 – Análise estrutural

Nesta etapa, verifica-se o comportamento da estrutura remontada a partir dos recortes sob a

influência das combinações de carregamentos previstos em projetos. Caso ela não se

comporte de maneira aceitável, retorna-se à etapa de busca da forma e todo o processo é

reiniciado.

Se a estrutura for permanente, deve-se assegurar que não ocorram regiões flácidas na

membrana sob nenhuma circunstância, pois elas comprometem a vida útil do material. Se a

estrutura for de caráter temporário, há certa tolerância quanto à presença de regiões com

folgas.

Neste exemplo, como se trata de um trabalho acadêmico, serão considerados apenas os efeitos

provocados por cargas de vento atuando nas direções indicadas na Figura 8.7.

(a) (b)

(c)

183

Figura 8.7: Direções dos ventos: (a) Vento à 0º; e (b) Vento à 45º; e (b) Vento à 90º.

Para facilitar o trabalho, foi desenvolvida uma rotina para o cômputo simplificado das forças

devidas ao vento sobre cada elemento de membrana. Não há norma específica que contemple

a determinação dessas forças para o caso de tensoestruturas em membrana. Até porque a

variedade de formas que essas estruturas podem assumir dificulta ou até impede a criação de

tal norma. Na falta de norma específica, a rotina em questão foi desenvolvida baseada na

NBR 6123 - Forças devidas ao vento em edificações. Seus dados de entrada são:

• Velocidade característica do vento, Vk, em m/s;

• Sentido do vento. O vento é suposto horizontal (paralelo ao plano X3 = 0) e seu

sentido é definido por um ângulo de azimute em graus, medido a partir do eixo global

X2;

• Coeficientes de pressão para ângulos de incidência do vento de: 0º, 10º, 20º, 30º, 40º,

50º, 60º, 70º, 80º, 90º, 100º, 120º, 140º, 160º e 180º. Esse ângulo de incidência é

obtido pelo arco co-seno do produto interno entre a normal unitária da superfície e o

vetor unitário oposto ao sentido do vento. Como padrão, o programa adota para esses

coeficientes de pressão externa os mesmos dados na NBR 6123, para o caso de

construção cilíndrica com superfície lisa e relação altura/diâmetro igual a 10, dados na

página 19 da referida norma. A interface do programa com o usuário permite que

valores diferentes sejam arbitrados para esses coeficientes.

No caso deste programa, a carga devida ao vento é tratada como uma carga estática e de

caráter conservativo, isto é, que atua sempre na mesma direção computada a partir da

configuração inicial. Os passos adotados na rotina passam pela determinação das seguintes

grandezas:

• Pressão dinâmica, em N/m2, pela expressão: q = 0,613 Vk2 ;

• Ângulo de incidência do vento para cada elemento;

(a) (b) (c)

Vento

Vento

Vento

184

• Coeficiente de pressão externa (cpe), por interpolação linear com base no ângulo de

incidência, para cada elemento;

• Pressão efetiva externa (Pe) atuante na direção normal à superfície de cada elemento,

pela expressão: Pe = cpe x q; e

• Força resultante do vento (Fv) sobre o elemento de membrana, Fv = Pe x Aelem.

A força resultante do vento (Fv) é dividida em igual proporção entre os nós do elemento de

membrana e inseridos no vetor de forças externas atuantes na estrutura. Na implementação

desse modelo de aplicação de cargas elas são computadas em kN e, então, as propriedades dos

materiais devem estar de acordo com essa unidade.

8.2.6.1 – Vento a 0o

Para simular essa condição de vento, utiliza-se a geometria da estrutura obtida da remontagem

dos recortes. O estado de tensão inicial é obtido do arquivo de extensão “.rstout” também

produzido na etapa de remontagem da estrutura. Considerou-se uma velocidade do vento de

35 m/s atuando numa direção com azimute de 0o.

Então, os passos são os seguintes:

1. Cria-se um novo projeto de nome “Sail_5_AS_MRA_vento_0o.gid”;

2. Importa-se a geometria final do projeto “Sail_4_AE_MRA_remontagem.gid”;

3. Copia-se o arquivo “Sail_4_AE_MRA_remontagem.rstout” para o novo projeto criado

e altera-se seu nome para “Sail_5_AS_MRA_vento_0o.rst”;

4. Atribuem-se as propriedades dos materiais e restrições de deslocamentos aos nós

fixos;

5. Marca-se a opção de aplicar carga de vento e indica-se a direção de 0o e a velocidade

de 35 m/s;

6. Executa-se o programa.



distribuições das tensões principais são apresentadas em (a) e em (b). Os deslocamentos são

apresentados em (c) e a carga de pressão produzida pelo vento, em (d). A estrutura resistiu

bem a esse carregamento, que foi apenas de sucção. O máximo deslocamento observado foi

185

de aproximadamente 7,4 cm e as tensões na membrana se comportaram bem, nem cresceram

excessivamente, nem passaram para a região de compressão.

Figura 8.8: Resposta da estrutura com forma pelo MRA para vento de 35 m/s a 0o. (a)

Máximas tensões principais de Cauchy (kN/m); (b) Mínimas tensões principais de Cauchy (kN/m); (c) Deslocamentos absolutos (m); e (d) Pressão do vento (kN/m2).

8.2.6.2 – Vento a 45o

O nome atribuído a este projeto foi “Sail_5_AS_MRA_vento_45o.gid”. Os mesmos passos do

caso anterior se aplicam a este caso.

A solução para esta etapa foi obtida com 3165 iterações e com um pequeno resíduo de 1.95 x



apresentados em (c) e a carga de pressão produzida pelo vento, em (d). Percebe-se que a

estrutura resistiu bem a esse carregamento, que novamente foi apenas de sucção. O máximo

deslocamento observado foi de aproximadamente 7,7 cm e as tensões na membrana se

(c) (d)

(a) (b)

186

comportaram bem, nem cresceram excessivamente, nem passaram para a região de

compressão.

Figura 8.9: Resposta da estrutura com forma obtida pelo MRA para vento de 35 m/s a 45o. (a)

Máximas tensões principais de Cauchy (kN/m); (b) Mínimas tensões principais de Cauchy (kN/m); (c) Deslocamentos absolutos (m); e (d) Pressão do vento (kN/m2).

8.2.6.3 – Vento a 90o


nos casos anteriores também se aplicam a este.

A solução para esta etapa foi obtida com 3262 iterações e com um pequeno resíduo de 2.07 x




estrutura mais uma vez resistiu bem a esse carregamento. O máximo deslocamento observado

foi de aproximadamente 7,3 cm e as tensões na membrana se comportaram bem, nem

cresceram excessivamente, nem passaram para a região de compressão.

(c) (d)

(a) (b)

187

Figura 8.10: Resposta da estrutura com forma obtida pelo MRA para vento de 35 m/s a 90o.

(a) Máximas tensões principais de Cauchy (kN/m); (b) Mínimas tensões principais de Cauchy (kN/m); (c) Deslocamentos absolutos (m); e (d) Pressão do vento (kN/m2).

8.3 – PROJETO COM BUSCA DA FORMA PELO MPTF

Para permitir a comparação entre os métodos que buscam a solução de mínima área, o mesmo

problema anterior será resolvido utilizando-se o método do pré-tracionamento fictício

(MPTF) para a etapa de busca da forma.

Todos os arquivos com cada etapa desse exemplo estão disponíveis no CD que acompanha

esta tese, no diretório: “CD-ROM:\Projeto simplificado\Com_MPTF”.


Na etapa para levar a discretização plana a uma configuração tridimensional, foram adotados

os seguintes parâmetros de material fictício para a membrana:

• Módulo de elasticidade, E = 0,001 kN/m2;

• Coeficiente de Poisson, ν = 0;

• Espessura, t = 1 m;

(a) (b)

(c) (d)

188

• Pré-tracionamento: S11 = 8 kN/m2, S22 = 8 kN/m2 e S12 = 0 (componentes do segundo

tensor de tensão de Piola-Kirchhoff, 2PK).

Os parâmetros usados para o cabo foram os verdadeiros já apresentados. Há apenas uma

peculiaridade neste caso, novamente foi imposto um pré-tracionamento de 1000 kN/m2 aos

cabos para garantir que ficassem bem alinhados.



tensão final não tem importância, pois será descartado.

O nome desse projeto no GiD é “Sail_0_FF_MPTF_vert.gid”.

8.3.2 – Busca da forma de mínima área pelo MPTF

Nesta etapa, o MPTF é usado para determinação da forma de mínima área. As únicas

restrições de deslocamento são nos nós dos extremos dos cabos longos, que permanecem em

suas posições definitivas. O nome desse projeto no GiD é “Sail_1_FF_MPTF_cable_on.gid”.

Considera-se que os cabos estão indeformados e possuem as propriedades verdadeiras já

mencionadas (EAt = 12000 kN). Para a membrana, consideram-se as mesmas propriedades

fictícias do item anterior (E = 0,001 kN/m, ν = 0 e t =1 m) e um estado de pré-tracionamento

isotrópico e uniforme de 8 kN/m.


10-7 kN (força não balanceada). Apesar do pequeno resíduo, a solução neste caso não foi tão

boa quanto a anterior. Os principais resultados são apresentados na Figura 8.11. Observando-

se a distribuição das tensões principais em (a) e em (b), conclui-se que a solução não

aproximou bem a distribuição isotrópica e uniforme desejada. Também são apresentados, em

(c), os deslocamentos em termos absolutos com relação à primeira configuração

tridimensional. A área da superfície obtida foi de 50,738 m2.

189

Figura 8.11: Solução da etapa de busca da forma de mínima área com o MPTF. (a)


8.3.3 – Transferência para o programa de análise estrutural

A transferência da solução encontrada com o MPTF para o programa de análise estrutural é

feita da mesma forma que no caso anterior. O estado de tensão é transferido por meio de um

arquivo de texto contendo informações sobre os elementos de cabo (comprimentos

indeformados) e sobre os de membrana (tensões de Cauchy). A geometria é transferida por

importação da malha obtida ao final da etapa anterior.

Neste caso, essas informações estavam no arquivo “Sail_1_FF_MPTF_cable_on.trn”, dentro

do projeto “Sail_1_FF_MPTF_cable_on.gid” e foi copiado para o atual projeto, que tem o

nome de “Sail_2_FF_MPTF_to_StVK.gid”. Nesse diretório do atual projeto, o nome do

arquivo “Sail_1_FF_MPTF_cable_on.gid” foi trocado para “Sail_2_FF_MPTF_to_StVK.trn”.


10-8 kN (força não balanceada). Os principais resultados são apresentados na Figura 8.12. A

(a) (b)

(c)

190

distribuição das tensões principais, apresentadas em (a) e em (b), continuou muito parecida

com a anterior, antes da mudança de modelo constitutivo. A distribuição dos deslocamentos,

apresentada em (c), também mostra que foram pequenas as diferenças entre a configuração

inicial e final nesta etapa. A área da superfície obtida foi de 50,708 m2.

Figura 8.12: Solução da etapa de transferência do MPTF para o programa de análise

estrutural. (a) Máximas tensões principais de Cauchy (kN/m); (b) Mínimas tensões principais de Cauchy (kN/m); e (c) Distribuição dos deslocamentos absolutos (m).

A configuração aqui obtida conclui a etapa de busca da forma. No passo seguinte, os recortes

que formam a membrana serão planificados.


Novamente, se repete o processo adotado anteriormente. Neste caso, o arquivo com

parâmetros da geometria de toda a membrana foi produzido pelo projeto anterior e se chama

“Sail_2_FF_MPTF_to_StVK.cutout”. Ele foi copiado para um diretório separado e foi

renomeado para “Sail_3_MPTF.inp”. O diretório onde são colocados todos os arquivos dessa

etapa é o “CD-ROM:\Projeto simplificado\Com_MPTF\Sail_3_PC_MPTF\”.

(a) (b)

(c)

191


recorte, foi produzido no primeiro projeto GiD dessa série. Esse arquivo se encontra dentro do

projeto “Sail_0_FF_MPTF_vert.gid” com o nome de “Sail_0_FF_MPTF_vert-1.dat”. Ele foi

copiado para o mesmo diretório do atual projeto e renomeado para “Sail_3_PC_MPTF.cut”

Na primeira rodada do programa de planificação dos recortes, a maior diferença de

comprimento entre os lados dos recortes a serem emendados foi de 1,01 cm, bem pior que no

caso anterior. Então, foi pedida a correção dessa discrepância e ela caiu para 3,8 mm. Apenas

para se ter uma idéia do resultado da planificação, os conjuntos recortes são apresentado na

Figura 8.13. Em (a), são apresentados os recortes antes da etapa de correção e, em (b), o

resultado desse processo. Neste caso, também fica evidente a necessidade de melhoria das

técnicas de controle de linha.

Figura 8.13: Recortes planificados na etapa de projeto de cortes da seqüência de projetos com o MPTF. (a) Antes do processo de ajuste de emendas; e (b) Depois do processo de ajuste.

8.3.5 – Remontagem da membrana a partir dos recortes planificados

Esse projeto foi chamado “Sail_4_AS_MPTF_remontagem.gid”. Sua geometria foi importada

do projeto “Sail_2_FF_MPTF_to_StVK.gid” e o estado de tensão foi lido do arquivo

“Sail_4_AS_MPTF_remontagem.rst”. Este arquivo contém informações sobre o estado de

tensão de elementos de cabo e de membrana. As informações sobre os elementos de cabo

foram retiradas do arquivo “Sail_2_FF_MPTF_to_StVK.rstout” e as informações sobre os

elementos de membrana, do arquivo “Sail_3_PC_MRASIDE.rlx”.

(a) (b)

192



distribuições das tensões principais são apresentadas em (a) e em (b). Neste caso, foi

observada uma significativa redistribuição das tensões, no entanto, os intervalos entre os

valores máximos e mínimos mudaram muito pouco. Essa variação não passou de 1 kN/m para

mais ou para menos. A distribuição dos deslocamentos, apresentada em (c), mostra que a

disposição dos recortes exerceu uma pequena influência sobre o resultado. A área da

superfície obtida foi de 50,743 m2.

Figura 8.14: Situação depois da remontagem da estrutura com forma pelo MPTF. (a)



Nesta análise estrutural, assim como no caso anterior, serão considerados apenas os

carregamentos de vento simulados de forma extremamente simplificada. As direções de

incidência do vento e sua velocidade são as mesmas do caso anterior. A velocidade do vento é

de 35 m/s e as direções de incidência são a 0º, 45º e 90º, como se mostra na Figura 8.7.

(a) (b)

(c)

193

8.3.6.1 – Vento a 0o

Nestas simulações, considera-se como configuração inicial a estrutura remontada a partir dos

recortes planificados e relaxados. Para a geometria da estrutura na configuração inicial,

importa-se a malha resultante do projeto “Sail_4_AE_MPTF_remontagem.gid” e o estado de

tensão vem do arquivo texto com extensão “.rstout” desse mesmo projeto.

O nome deste projeto é “Sail_5_AS_MPTF_vento_0o.gid” e o estado de tensão é lido do

arquivo “Sail_5_AS_MRA_vento_0o.rst”. Esse arquivo foi copiado do projeto da

remontagem da estrutura, onde tinha o nome de “Sail_4_AE_MPTF_remontagem.rst”.

A solução para esta etapa foi obtida com 3704 iterações, com um pequeno resíduo de 8,16 x




estrutura resistiu bem a esse carregamento. O máximo deslocamento observado foi de

aproximadamente 7,4 cm e as tensões na membrana se comportaram bem, nem cresceram

excessivamente, nem passaram para a região de compressão. O maior impacto foi na menor

tensão principal, que caiu em 1 KN/m de maneira generalizada.

194

Figura 8.15: Resposta da estrutura com forma obtida com MPTF para vento de 35 m/s a 0o.

(a) Máximas tensões principais de Cauchy (kN/m); (b) Mínimas tensões principais de Cauchy (kN/m); (c) Deslocamentos absolutos (m); e (d) Pressão do vento (kN/m2).

8.3.6.2 – Vento a 45o


caso anterior se aplicam a este também.

A solução para esta etapa foi obtida com 3292 iterações, com um pequeno resíduo de 2,7369x



apresentados em (c) e a carga de pressão produzida pelo vento, em (d). O maior efeito desse

carregamento foi uma diminuição generalizada da mínima tensão principal, mas a estrutura se

comportou bem sob esse carregamento, pois continuou completamente tracionada e

apresentou deslocamentos pequenos, com máximo deslocamento de 7,4 cm.

(a) (b)

(c) (d)

195

Figura 8.16: Resposta da estrutura com forma obtida com MPTF para vento de 35 m/s a 45o. (a) Máximas tensões principais de Cauchy (kN/m); (b) Mínimas tensões principais de Cauchy

(kN/m); (c) Deslocamentos absolutos (m); e (d) Pressão do vento (kN/m2).

8.3.6.3 – Vento a 90o

O nome atribuído a este projeto foi “Sail_5_AS_MPTF_vento_90o.gid”. Os mesmos passos

dos casos anteriores também se aplicam a este e a solução para esta etapa foi obtida com 3197

iterações e com um pequeno resíduo de 4,817 x 10-8 kN (força não balanceada). Os principais

resultados são apresentados na Figura 8.17. As distribuições das tensões principais são

apresentadas em (a) e em (b). Os deslocamentos são apresentados em (c) e a carga de pressão

produzida pelo vento, em (d). Percebe-se que a estrutura mais uma vez resistiu bem a esse

carregamento. O máximo deslocamento observado foi de aproximadamente 7,3 cm e as

tensões na membrana se comportaram bem, nem cresceram excessivamente, nem passaram

para a região de compressão.

(a) (b)

(c) (d)

196

Figura 8.17: Resposta da estrutura com forma obtida com MPTF para vento de 35 m/s a 90o. (a) Máximas tensões principais de Cauchy (kN/m); (b) Mínimas tensões principais de Cauchy

(kN/m); (c) Deslocamentos absolutos (m); e (d) Pressão do vento (kN/m2).

8.4 – PROJETO APENAS COM PROGRAMA DE ANÁLISE ESTRUTURAL

Há situações em que a solução de mínima área não atende aos requisitos de projeto e, para

resolver esse problema, propõe-se a abordagem de simulação de modelos físicos. Segundo

essa abordagem, simula-se a construção de um modelo físico como os feitos com meias de

nylon ou filme de PVC para obtenção de uma forma tridimensional próxima à desejada. Nesta

primeira etapa, as propriedades do material podem ser fictícias. Em seguida, trata-se essa

configuração como indeformada e aplica-se alguma técnica para tracionar a membrana e, com

isso, obter a forma de equilíbrio inicial da estrutura.

Todos os arquivos com cada etapa desse exemplo estão disponíveis no CD que acompanha

esta tese, no diretório: “CD-ROM:\Projeto simplificado\Apenas_StVK”

(a) (b)

(c) (d)

197


Nesta primeira etapa, a discretização plana da membrana é levada a uma configuração

tridimensional inicial, permitindo-se apenas deslocamentos verticais aos nós do modelo. Essa

medida é para atenuar a distorção dos recortes, que já são definidos na discretização plana.

Foram consideradas as verdadeiras propriedades do material tanto para os cabos quanto para

membranas. Para os cabos, a rigidez elástica é EAt = 12000 kN e, para a membrana, Et = 300

kN/m e ν = 0,2.

Também foi considerado que os cabos estavam com um pré-tracionamento de 1000 kN e que

a membrana estava num estado de pré-tracionamento isotrópico e uniforme de componentes

iguais a 8 kN/m.



tensão ao final do processo não tem importância, pois será descartado.

O nome desse projeto no GiD é “Sail_0_FF_StVK.gid”.

8.4.2 – Aplicação do pré-tracionamento

A forma tridimensional inicial foi obtida na etapa anterior e agora será simulado um

carregamento da estrutura de maneira a se obter um estado de tensão adequado.

As opções disponíveis para se aplicar esse pré-tracionamento são:

• Diminuição de temperatura;

• Encurtamento de alguns cabos;

• Deslocamentos de certos nós;

• Aplicação direta do estado de tensão ao elemento; e

• Aplicação de forças concentradas nos nós ou pressões distribuídas nos elementos.

Para ilustrar esse procedimento, os três primeiros casos serão vistos a seguir.

198

8.4.2.1 – Tracionamento por diminuição da temperatura

Este processo consiste em provocar um pré-tracionamento por diminuição da temperatura. O

parâmetro fornecido ao programa é o produto β∆T, em que β é o coeficiente de dilatação

térmica e ∆T é a variação de temperatura. Esse produto é multiplicado pela área inicial e o

resultado representa a variação de área a ser aplicada ao elemento. A diminuição de

temperatura resulta em uma diminuição dos lados de todos os elementos de membrana

mantendo-se a proporção original entre eles. É como se cada elemento diminuísse de tamanho

mantendo a mesma forma.

Neste exemplo foi aplicada uma diminuição de temperatura tal que β∆T=-0,1. Isso

corresponde a uma diminuição de 5,13% nos lados dos elementos de membrana. O nome

desse projeto no GiD é “Sail_1_FF_StVK_DT.gid”.

A solução desse problema foi obtida com 3318 iterações e o resíduo foi de 2,22 x 10-8 kN. Os

principais resultados são apresentados na Figura 8.18. As máximas tensões principais de

Cauchy são apresentadas em (a), as mínimas, em (b) e os deslocamentos absolutos em (c).

Conclui-se que esse resultado não foi satisfatório, pois há excessiva variação na distribuição

das tensões. A máxima tensão principal varia de 6,5 kN/m, um valor pequeno, à 37,7 kN/m,

uma valor muito elevado. Outro ponto negativo foi a distribuição das mínimas tensões

principais, que chegou a valores negativos nas regiões próximas aos vértices da estrutura.

Naturalmente, a membrana não resiste à cargas de compressão e isso, por si só, inviabiliza a

utilização desta solução.

199

Figura 8.18: Resposta da estrutura com forma obtida pelo programa de análise estrutural para pré-tracionamento por diminuição de temperatura. (a) Máximas tensões principais de Cauchy (kN/m); (b) Mínimas tensões principais de Cauchy (kN/m); (c) Deslocamentos absolutos (m).

8.4.2.2 – Tracionamento por encurtamento de cabos

Neste processo, alguns cabos são encurtados e depois recolocados em sua posição inicial. Isso

produz um pré-tracionamento do cabo, que é transferido para a membrana.

Neste exemplo, foram aplicados cortes de 10 cm aos 8 cabos que ficam entre os nós de apoio

e a membrana. O nome desse projeto no GiD é “Sail_1_FF_StVK_cut.gid”.



Cauchy são apresentadas em (a), as mínimas, em (b) e os deslocamentos absolutos em (c).

Conclui-se que esse resultado não foi satisfatório, pois há excessiva variação na distribuição

das tensões. A máxima tensão principal varia de 2 kN/m, um valor pequeno, à 14,6 kN/m, uma

valor elevado. Pior aconteceu com a distribuição da mínima tensão principal, que parte de

valores de -4 kN/m (em compressão) e chega à 14 kN/m. Naturalmente, a membrana não

resiste à cargas de compressão e isso inviabiliza a utilização desta solução. Percebe-se que

(a) (b)

(c)

200

esses valores negativos de tensão ocorreram na região próxima aos vértices. O problema foi

que nesta configuração, o encurtamento dos cabos realmente provoca diminuição do ângulo

nos vértices da membrana.

Figura 8.19: Resposta da estrutura com forma obtida pelo programa de análise estrutural para

pré-tracionamento por encurtamento de cabos. (a) Máximas tensões principais de Cauchy (kN/m); (b) Mínimas tensões principais de Cauchy (kN/m); (c) Deslocamentos absolutos (m).

8.4.2.3 – Tracionamento por deslocamentos dos nós de apoio

Para eliminar o problema de tensões de compressão observado no caso anterior, optou-se por

testar deslocamentos dos nós de apoio da estrutura para produzir um estado de tensão

adequado na membrana.

A cada nó de apoio foi aplicado um deslocamento absoluto de 10 cm. A direção desse

deslocamento foi determinada pela reta que passa pelo centro da estrutura e o nó de apoio em

questão. O sentido desse deslocamento aponta para fora da estrutura. O nome desse projeto no

GiD é “Sail_1_FF_StVK_disp.gid”.

(a) (b)

(c)

201



Cauchy são apresentadas em (a), as mínimas, em (b) e os deslocamentos absolutos em (c). De

uma maneira geral os resultados aqui obtidos foram muito parecidos com o caso anterior. A

diferença foi que os problemas de tensão de compressão foram resolvidos. A distribuição de

tensão ainda não está boa, pois a variação na membrana continua muito grande, especialmente

a mínima tensão principal.

Mesmo não tendo sido encontrado uma boa distribuição de tensão, o projeto será levado

adiante considerando este o resultado da etapa de busca da forma. Isso servirá para mostrar o

efeito da má distribuição de tensão no comportamento da membrana sob os carregamentos de

vento simulados para os dois casos anteriores.

Figura 8.20: Resposta da estrutura com forma obtida pelo programa de análise estrutural para

pré-tracionamento por deslocamento dos nós de apoio. (a) Máximas tensões principais de Cauchy (kN/m); (b) Mínimas tensões principais de Cauchy (kN/m); (c) Deslocamentos

absolutos (m).

(a) (b)

(c)

202


Definida a forma inicial da estrutura e o correspondente estado de tensão, esta e as etapas

seguintes do projeto são semelhantes às dos dois casos de busca da forma de mínima área.

O arquivo com informação da configuração de equilíbrio da estrutura foi produzido pelo

projeto anterior e se chama “Sail_1_FF_StVK_displ.cutout”. Ele foi copiado para um

diretório separado e foi renomeado para “Sail_2_PC_StVK_displ.inp”. O diretório onde são

colocados todos os arquivos dessa etapa é o “CD-ROM:\Projeto simplificado\Apenas_StVK\

Sail_2_PC_StVK\”.


recorte, foi produzido no primeiro projeto GiD dessa série. Esse arquivo se encontra dentro do

projeto “Sail_0_FF_StVK.gid” com o nome de “Sail_0_FF_StVK-1.dat”. Ele foi copiado

para o mesmo diretório do atual projeto e renomeado para “Sail_2_PC_StVK_displ.cut”

Na primeira rodada do programa de planificação dos recortes, a maior diferença de

comprimento entre os lados dos recortes a serem emendados foi de 3,45 cm, bem pior que os

dois casos anteriores. Então, foi pedida a correção dessa discrepância e ela desapareceu

completamente. Apenas para se ter uma idéia do resultado da planificação, os conjuntos

recortes são apresentados na Figura 8.21. Em (a), são apresentados os recortes antes da etapa

de correção e, em (b), o resultado desse processo. Neste caso, também fica evidente a

necessidade por melhoria das técnicas de controle de linha.

Figura 8.21: Recortes planificados na etapa de projeto de cortes da seqüência de projeto com o programa de análise estrutural. (a) Antes do processo de ajuste de emendas; e (b) Depois do

processo de ajuste.

(a) (b)

203

8.4.4 – Remontagem a partir dos recortes

O processo de remontagem da estrutura a partir dos recortes é feito por substituição dos

comprimentos indeformados dos lados dos elementos de membrana da estrutura. Os

comprimentos indeformados do elemento na configuração obtida na etapa de busca da forma

são substituídos pelos respectivos comprimentos indeformados do elemento no recorte

planificado e “relaxado”.

O arquivo com esse projeto foi chamado “Sail_3_PC_StVK_rebuild.gid”. Sua geometria foi

importada do projeto “Sail_1_FF_StVK_displ.gid” e o estado de tensão foi lido do arquivo

“Sail_3_PC_StVK_rebuild.rst”. Este arquivo contém informações sobre o estado de tensão de

elementos de cabo e de membrana. As informações sobre os elementos de cabo foram

retiradas do arquivo “Sail_1_FF_StVK_displ.rstout” e as informações sobre os elementos de

membrana, do arquivo “Sail_2_PC_StVKSIDE_disp.rlx”.

A solução para esta etapa foi obtida com 2072 iterações e um pequeno resíduo de 3,372 x 10-8

kN (força não balanceada). Os principais resultados são apresentados na Figura 8.22. As

distribuições de tensão são apresentadas em (a) e em (b) e os deslocamentos, em (c). Neste

caso, as distribuições de tensão não sofreram grande alteração com a remontagem. O único

aspecto negativo foi apenas o aumento de 2 kN/m na máxima tensão principal que já tinha um

valor elevado.

204

Figura 8.22: Situação depois da remontagem da estrutura com forma obtida com o programa de análise estrutural. (a) Máximas tensões principais de Cauchy (kN/m); (b) Mínimas tensões

principais de Cauchy (kN/m); e (c) Distribuição dos deslocamentos absolutos (m).


Nesta análise estrutural, assim como nos casos anteriores, serão considerados apenas os

carregamentos de vento simulados de forma bastante simplificada. Além disso, para manter

uma base de comparação, as direções de incidência do vento e sua velocidade são as mesmas

do caso anterior. A velocidade do vento é de 35 m/s e as direções de incidência são a 0º, 45º e

90º, como se mostra na Figura 8.7.

8.4.5.1 – Vento a 0o

Nestas simulações, considera-se como configuração inicial a estrutura remontada a partir dos

recortes planificados e relaxados sem os ajustes de comprimento dos lados emendados. Para a

geometria da estrutura na configuração inicial, importa-se a malha resultante do projeto

“Sail_3_AS_StVK_rebuild.gid” e o estado de tensão vem do arquivo texto com extensão

“.rstout” desse mesmo projeto.

(a) (b)

(c)

205

O nome deste projeto é “Sail_4_AS_StVK_vento_0o.gid” e o estado de tensão é lido do

arquivo “Sail_4_AS_StVK_vento_0o.rst”;





estrutura não resistiu bem a esse carregamento, pois as mínimas tensões principais foram

negativas, de compressão. As máximas tensões principais caíram significativamente, mas não

chegaram a ser de compressão. O máximo deslocamento observado foi de aproximadamente

30 cm .

Figura 8.23: Resposta da estrutura com forma obtida por programa de análise estrutural para vento de 35 m/s a 0o. (a) Máximas tensões principais de Cauchy (kN/m); (b) Mínimas tensões

principais de Cauchy (kN/m); (c) Deslocamentos (m); e (d) Pressão do vento (kN/m2).

8.4.5.2 – Vento a 45o

O nome atribuído a este projeto foi “Sail_4_AS_StVK_vento_45o.gid”. Os mesmos passos do

caso anterior se aplicam a este também.

(a) (b)

(c) (d)

206

A solução para esta etapa foi obtida com 2875 iterações, com um pequeno resíduo de 1,331 x




estrutura também não resistiu bem a esse carregamento. Novamente as mínimas tensões

principais foram negativas (de compressão) em muitos elementos. O máximo deslocamento

observado foi de 33,3 cm.

Figura 8.24: Resposta da estrutura com forma obtida com programa de análise estrutural para

vento de 35 m/s a 45o. (a) Máximas tensões principais de Cauchy (kN/m); (b) Mínimas tensões principais de Cauchy (kN/m); (c) Deslocamentos (m); e (d) Pressão do vento (kN/m2).

8.4.5.3 – Vento a 90o

O nome atribuído a este projeto foi “Sail_4_AS_StVK_vento_90o.gid”. Os mesmos passos

dos casos anteriores também se aplicam a este e a solução para esta etapa foi obtida com 2263

iterações e com um pequeno resíduo de 1,086 x 10-8 kN (força não balanceada). Os principais

resultados são apresentados na Figura 8.25. As distribuições das tensões principais são

apresentadas em (a) e em (b). Os deslocamentos são apresentados em (c) e a carga de pressão

produzida pelo vento, em (d). Novamente foram observadas tensões de compressão para a

(a) (b)

(c) (d)

207

mínima tensão principal e isso invalida esse resultado. O máximo deslocamento observado foi

de aproximadamente 31,5 cm.

Figura 8.25: Resposta da estrutura com forma obtida com o programa de análise estrutural para vento de 35 m/s a 90o. (a) Máximas tensões principais de Cauchy (kN/m); (b) Mínimas

tensões principais de Cauchy (kN/m); (c) Deslocamentos (m); e (d) Pressão do vento (kN/m2).


Para este exemplo estudado, entre os casos nos quais se procura a solução de mínima área na

etapa de busca da forma, o melhor desempenho foi o que utilizou o método da referência

atualizada com mínima distorção da malha (MRA). A grande vantagem do MRA sobre o

método de pré-tracionamento fictício (MPTF) é sua superior taxa convergência para a

solução de mínima área. Com o MRA, a solução com tensão isotrópica e uniforme foi

alcançada logo na primeira simulação que partiu da configuração tridimensional. O mesmo

não ocorreu com o MPTF e isso sugere que o MPTF precisa ser utilizado repetidas vezes,

como que se empregando a técnica de referência atualizada com o MPTF.

(a) (b)

(c) (d)

208

Em outras palavras, para melhorar o desempenho do MPTF, ele precisa ser empregado de

maneira que a solução de uma etapa seja o ponto de partida da seguinte. A cada nova etapa, as

deformações dos elementos de membrana devem ser descartadas e o mesmo estado de pré-

tracionamento imposto. Isso não se aplica aos elementos de cabo, que devem permanecer com

o mesmo comprimento indeformado por todo o processo.

Na técnica de busca da forma por simulação de modelos, na qual se utiliza apenas o programa

de análise estrutural, há grande dificuldade na obtenção do estado de pré-tracionamento

adequado. Esse trabalho requer grande sensibilidade por parte do projetista e pode se tornar

longo e tedioso. A estrutura obtida com aplicação desta técnica não apresentou desempenho

satisfatório. Seus deslocamentos foram muito grandes e observaram-se tensões de compressão

na etapa de análise estrutural.

Apesar do processo de planificação ter funcionado bem em todos os casos, no sentido de

fornecer recortes planos para a montagem da estrutura, a forma dos recortes obtidos precisa

ser melhorada. O ideal seria definir os recortes na discretização tridimensional imediatamente

antes de planificá-los.

O processo de ajuste de emendas funcionou bem e reduziu as discrepâncias, mesmo que

pequenas, entre os lados a serem emendados.

O modelo de pré-tracionamento se mostrou bastante satisfatório e foi fundamental para as

seguintes tarefas:

• Transferência da configuração de equilíbrio entre abordagens com diferentes relações

constitutivas;

• Planificação dos recortes;

• Análise da remontagem da estrutura a partir dos recortes planificados e “relaxados”; e

• Transferência de o estado do pré-tracionamento inicial à estruturas que já se

encontram deformadas. Isso foi muito usado para a aplicação dos carregamentos de

vento, pois ele atuam na configuração obtida da remontagem da estrutura.

209

O simulador para aplicação de cargas de vento adotou uma abordagem muito simplificada e

não reproduz a realidade com precisão. Sua utilização só é indicada para análises

preliminares.

É interessante apontar que a abordagem de programação não-linear aqui adotada é capaz de

fornecer soluções mesmo quando existem mecanismos na solução. Essa propriedade é

ilustrada na Figura 8.26 a seguir. Considerou-se a mesma estrutura do exemplo que vem

sendo tratado, mas sem o pré-tracionamento e submetida a um aumento de temperatura e

atuação de um vento de 1 m/s com azimute de 30º.

Figura 8.26: Estrutura enrugada. (a) Forma da estrutura com acabamento (“renderizada”); (b)

Máximas tensões principais de Cauchy (kN/m); (b) Mínimas tensões principais de Cauchy (kN/m); (c) Deslocamentos (m); e (d) Forças desbalanceada (kN).

A forma da estrutura enrugada é apresentada na Figura 8.26(a). O estado de tensão é

praticamente nulo na maior parte da membrana, como se mostra em (b) e (c). E a distribuição

das forças desbalanceadas nos nós da estrutura é apresentada em (d). Esta distribuição pode

ser utilizada para localizar a região onde estão ocorrendo os maiores erros.

(a) (b)

(c) (d)

210

9 – CONCLUSÕES E RECOMENDAÇÕES

9.1 – CONCLUSÕES

A abordagem proposta neste trabalho se mostrou muito robusta e versátil. Ela foi aplicada

com sucesso às principais etapas do projeto de tensoestruturas em membrana: busca da forma,

projeto de cortes e análise estrutural. O pacote de programas LightStruc, aqui desenvolvido,

inclui ferramentas para auxiliar em todas essas etapas de projeto. Como foi adotada a

descrição Lagrangeana total para todas as etapas do projeto, a integração entre elas é natural e

direta.

Para a análise estrutural da tensoestrutura em membrana, foi desenvolvido um arcabouço

baseado na mecânica dos meios contínuos combinado a um método de programação não-

linear. Nesta abordagem, buscam-se mínimos da energia potencial total, que correspondem à

configurações de equilíbrio da estrutura.

A formulação apresentada permite a introdução de novos modelos constitutivos hiper-

elásticos com relativa facilidade. Esses modelos são definidos a partir de funções de energia

de deformação específica. Para a introdução de um novo modelo constitutivo, basta

determinar a contribuição do elemento para a energia de deformação e o cômputo de seu

gradiente com relação às componentes do deslocamento.

Os modelos já implementados em programa incluem: Saint-Venant Kirchhoff isotrópico, neo-

Hookeano incompressível isotrópico e Saint-Venant Kirchhoff ortotrópico. Porém, apenas o

Saint-Venant Kirchhoff isotrópico conta com um pacote para integração com o GiD, uma

ferramenta acadêmica para pré e pós-processamento.

O método de programação não-linear utilizado, o L-BFGS proposto por Nocedal (1999), não

requer a construção de matrizes de rigidez e permite a economia de memória. Além disso, ele

é capaz de fornecer soluções mesmo quando se formam mecanismos na estrutura, como que

acontece quando e membrana fica folgada em determinadas regiões.

Há duas abordagens principais para a busca da forma. Uma é por simulação de modelos

físicos e a outra é pela busca da solução de mínima área. Na simulação de modelos físicos,

211

utiliza-se o programa de análise estrutural para simular a construção de modelos como se

fossem construídos fisicamente, em meia de nylon ou filme de PVC. Depois da obtenção de

uma forma aproximada, utilizam-se técnicas como deslocamentos de nós ou estiramentos de

cabos para aplicar um estado de pré-tracionamento. Na abordagem em que se busca a solução

de mínima área, determina-se uma forma e o estado de tensão isotrópico e uniforme. Esse

estado de tensão e a forma são então transferidos para um modelo real para dar

prosseguimento ao projeto, com as etapas definição dos recortes e de análise estrutural.

Para a busca da forma de mínima área, estão disponíveis duas técnicas. Na verdade, elas

foram implementadas como novos modelos constitutivos e utilizam o mesmo arcabouço dos

programas de análise estrutural. Numa delas, utiliza-se o método da referência atualizada com

mínima distorção da malha (MRA), proposto por Bonet e Mahaney (2001). Na outra, utiliza-

se uma das primeiras abordagens para a busca da forma de mínima área, o que foi chamado de

método do pré-tracionamento fictício (MPTF). Algumas referências sobre esta abordagem

são Fujikake et al (1989), Tabarrok e Qin (1992) e Tabarrok e Qin (1997). Em geral, o MRA

apresentou melhores resultados com uma melhor taxa de convergência, porém, ele tende a

produzir soluções com maiores distorções na malha que o MPTF.

Para a planificação dos recortes, adotou-se uma abordagem conhecida como achatamento

mecânico, que envolve a obtenção de uma configuração plana inicial os recortes e, depois, o

relaxamento das tensões dos recortes utilizando-se o programa de análise estrutural. Para a

obtenção da configuração plana inicial, foi desenvolvida uma técnica chamada

“desdobramento forçado”. Essa combinação resultou num procedimento de planificação

muito robusto, capaz de planificar superfícies de grande curvatura sem qualquer tratamento

inicial (rotações ou translações) para os recortes.

O modelo coerente de pré-tracionamento se mostrou muito útil. Ele foi empregado com

sucesso na etapa de projeto de cortes para a compensação dos recortes, na remontagem da

estrutura a partir de recortes planos e na análise estrutural da membrana remontada e

submetida aos carregamentos de projeto. De uma maneira geral, ele permite guardar o estado

da membrana sob um determinado carregamento e avaliar o comportamento da estrutura

submetida a carregamentos adicionais específicos.

212

Na formulação apresentada neste trabalho, o elemento de membrana é capaz de resistir a

cargas de compressão. Naturalmente, isso não reflete a realidade, pois a membrana estrutural

não oferece resistência à compressão. Portanto, as respostas obtidas com os modelos aqui

apresentados só são válidas enquanto a membrana estiver exclusivamente submetida à tração.

Entretanto, esse problema não é tão relevante porque o funcionamento adequado das

tensoestruturas requer que elas permaneçam sob tração para qualquer carregamento.

9.2 – RECOMENDAÇÕES

Para enriquecer os trabalhos na linha de projeto de tensoestruturas em membrana, seguem

algumas recomendações:

• Estudos sobre técnicas de controle de linhas de costura para melhorar a qualidade dos

recortes planificados, inclusive evitando-se desperdícios de material;

• Criação de um ambiente específico para os programas aqui desenvolvidos, pois apesar

do GiD funcionar bem, ele impõe certos desafios para a integração de todas as etapas

do projeto;

• Inclusão de modelos que considerem o enrugamento para melhor compreender esse

fenômeno. Nesse modelo, quando o elemento de membrana for considerado

biaxialmente enrugado, suas contribuições energéticas, tanto para a energia potencial

total quanto para o seu gradiente, devem ser desprezadas. No caso do elemento estar

uniaxialmente enrugado, toda a contribuição energética relacionada à direção de

enrugamento deve ser anulada, mas a contribuição na outra direção deve ser

considerada;

• Implementação de uma formulação que aceite a aplicação do carregamento hipotético

chamado pressão seguidora, trata-se de uma carga de pressão de módulo constante

que é sempre perpendicular à superfície da membrana. Esse carregamento é do tipo

não-conservativo e sua implementação requer cuidados especiais, pois a formulação

aqui apresentada foi desenvolvida com base na suposição de que todo o sistema,

incluindo-se os carregamentos externos, é conservativo. No entanto, artifícios

iterativos permitem que se empregue a pressão seguidora na formulação apresentada

sem qualquer alteração significativa.

213

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218

APÊNDICE A – RESUMO HISTÓRICO DO DESENVOLVIMENTO DOS PRINCÍPIOS ENERGÉTICOS EM MECÂNICA

A.1 – INTRODUÇÃO

Para melhor compreender os princípios energéticos é importante conhecer como se deu seu

desenvolvimento, saber que é fruto de contribuições de diversos cientistas ao longo de

séculos.

Truesdell (1982) alerta para a dificuldade em se escrever a história da mecânica. Segundo esse

autor, a documentação acerca do assunto é rica em folclore e repleta de lacunas. Apesar disso,

busca-se fazer um breve texto sobre a história do surgimento dos princípios energéticos em

mecânica.

A.2 – CONTRIBUIÇÕES CONCEITUAIS ORIGINÁRIAS DA GRÉCIA ANTIGA

Com o objetivo de compreender a natureza, apesar do caráter qualitativo e especulativo, a

cultura helênica contribuiu para conceitos fundamentais da mecânica, mas sua interpretação

moderna requer atenção e cuidado. Os conceitos de energia e de força, apesar de diferentes

dos atuais, já eram conhecidos na Grécia antiga.

Estratão de Lampsacos, que viveu até por volta do ano 270 a.C., foi o germinador do

princípio das velocidades virtuais, importante critério cinemático de equilíbrio. (Oravas e

McLean, 1966)

Epicuros de Samos (341-270 a.C.) propôs um conceito de conservação universal de matéria e

força em todo o universo fechado. (Oravas e McLean, 1966)

Heron, engenheiro mecânico na Alexandria no 1º século depois de Cristo, refinou o princípio

de velocidades virtuais de Estratão e o transformou em uma eficiente ferramenta para análise

de máquinas. (Oravas e McLean, 1966)

219

A.3 – CONCEITOS QUE LEVARAM AOS PRINCÍPIOS DE CONSERVAÇÃO

Jordanus de Nemore, monge dominicano alemão do século XIII, descobriu que o efeito do

peso no equilíbrio de uma alavanca depende de sua localização no espaço, que poderia ser

medido por seu potencial na forma do peso vezes a altura. Jordanus parece ter sido o primeiro

a empregar um caso do princípio dos trabalhos virtuais para deslocamentos finitos. (Oravas e

McLean, 1966; e Truesdell, 1982)

O italiano Leonardo da Vinci (1452-1519) dominou o princípio de trabalho virtual dos

escritos de Heron e o aplicou na análise de vários sistemas de polias e alavancas como os

usados em aparatos de içamento. Foi o primeiro cientista a dar forma, ainda que de caráter

intuitivo, ao princípio da mínima ação com a frase:”Ogni azione fatta della nature è fatta nel

piu breve modo” (Toda ação criada pela natureza é realizada da mais breve forma). (Oravas e

McLean, 1966; Timoshenko, 1983)

O também italiano Galileu Galilei (1564-1642), além das contribuições para astronomia e

resistência dos materiais, observou uma expressão do princípio da conservação de energia ao

notar que a velocidade de um pêndulo é indiferente com relação ao caminho percorrido no

movimento e depende apenas da diferença de altura, e que o pêndulo sempre retorna a altura

de onde foi liberado. Galilei também introduziu o conceito de reversibilidade no

comportamento de sistemas mecânicos ideais. (Oravas e McLean, 1966; Timoshenko, 1983)

Por volta de 1644, Evangelista Torricelli (1608-1647), o último escrevente de Galilei, ampliou

a descoberta do mestre estabelecendo o princípio de extremo de Torricelli: Dois corpos

conectados não podem se mover espontaneamente a menos que desça seu centro de gravidade

comum. (Oravas e McLean, 1966)

Em 1656, o cientista holandês Christian Huygens Von Zelem (1629-1693) generalizou as

observações de Galilei e o princípio de Torricelli para corpos rígidos e sistemas de massas,

expressando-as no princípio de Huygens, segundo o qual: O centro de gravidade de um

sistema, sob ação de suas forças gravitacionais, não pode se elevar além de sua altura na

configuração inicial. Em 1658, ele provou que a quantidade v2 = v . v é conservada em

colisões elásticas. O princípio de Huygens é equivalente ao princípio de conservação de

energia para campos de forças conservativas. Em 1690, ele afirmou que seu princípio se

220

aplicava a muitos processos mecânicos, bem como hidrodinâmicos. Huygens, em 1662,

propôs o primeiro princípio de extremo em mecânica dos sólidos que estabelecia a resistência

última de uma viga rígida na iminência de ruína; onde a energia potencial assumia seu

máximo valor no ponto de fratura e poderia ser expressa em forma equivalente por: M(x) ∆θ

= máximo; onde M(x) é o momento aplicado e ∆θ representa a rotação relativa entre duas

seções no ponto de fratura. (Oravas e McLean, 1966)

O mais proeminente cientista e engenheiro inglês de sua época, Robert Hooke (1635-1703),

anunciou o princípio de trabalho-energia como sua “Regra Geral da Mecânica” em 1669 que

determinava: “A força em corpos que se movem está em dupla proporção com relação a sua

velocidade” ( F . s ∼ v . v , onde F . s denota o trabalho realizado pela força F). Em 1678,

Hooke aplicou seu princípio de trabalho-energia em problemas de vibração de mola, que é a

primeira aplicação de método energético para o problema dinâmico de um corpo elástico

deformável. Hooke iniciou o uso de termo “potential” para designar a capacidade do corpo

elástico de recuperar sua configuração indeformada como um efeito mecânico. Esse termo foi

posteriormente empregado por Leibniz e Daniel Bernoulli. (Oravas e McLean, 1966)

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 – 1716), que nasceu em Leipzig na Alemanha, ao estudar o

princípio de Huygens, reconheceu uma expressão para e igualdade de causa e efeito. Leibniz

definiu a quantidade vis viva (energia cinética) e Potentia (energia cinética convertida em

forma latente) como formas estendidas de energia cinética para fenômenos mecânicos, em que

essa energia é transformada, mas a quantidade total de energia do sistema se mantém

constante. Em 1695 ele apontou que a aparente inequação entre causa e efeito não indica a

destruição de parte da energia cinética, mas implica em que parte da energia cinética foi

transformada em outra de suas formas latentes. Ainda segundo Leibniz, essa energia latente

não é exclusiva a sistemas de massa em movimento, mas também se observa em massas

estacionárias elevadas ou em corpos elásticos deformados. Leibniz, e posteriormente Johan

Bernoulli, considerou o conceito de energia como o mais importante princípio da mecânica,

do qual todos os demais princípios são subordinados. Outra importante contribuição desse

cientista foi a criação do cálculo diferencial e integral, que provê ferramentas lógicas

perfeitamente adaptadas à análise de um universo concebido como sendo de variação

infinitesimal e perpétua. (Truesdell, 1982; Oravas e McLean, 1966)

221

Johan Bernoulli (1667-1748) foi considerado o maior matemático de seu tempo e formulou o

princípio dos deslocamentos virtuais em uma carta para Varignon. (Timoshenko, 1982)

O filho precoce de Johan, Daniel Bernoulli (1700-1782) é mais conhecido por seu famoso

livro “Hidrodinâmica”, mas ele também contribuiu de forma significativa à teoria de

curvatura de hastes elásticas. Ele reconheceu a unidade conceitual entre os teoremas de

Galilei, Huygens e Leibniz e se tornou o maior proponente do princípio de conservação de

energia, que ele expressou como Huygens Principle. Em 1738, tornou-se o primeiro cientista

a estender o conceito de energia, como um princípio de extremo e de uma forma matemática

definitiva, para energia interna elástica de um corpo elástico deformável. (Oravas e McLean,

1966; Timoshenko, 1983)

Em 1740, Pierre-Louis Moreau de Maupertuis (1698-1759) generalizou os princípios de

Torricelli e Huygens com sua “lei estática de repouso”: π = mínimo, onde π representa o

potencial de forças centrais. Ele estendeu essa lei para o caso dinâmico em 1744 com seu

“princípio da mínima ação” (já esboçado por Leibniz em 1682), mas sua dedução ficou vaga e

imprecisa. (Oravas e McLean, 1966)

Leonard Euler (1707-1783) nasceu nas proximidades de Basel, na Suíça, teve aulas com

Johan Bernoulli e foi amigo de Daniel Bernoulli, filho de Johan. A mecânica como é hoje

ensinada a engenheiros e matemáticos é em grande parte sua criação. Tudo que tocou, ele

transformou, clarificou, reformulou e enriqueceu. Em qualquer assunto, seu trabalho superou

e tornou obsoleto todos os estudos prévios. Além da matemática de Leibniz e dos Bernoulli,

Euler também herdou a tradição em estática desenvolvida por Stevin, Huygens e Pierre

Varignon (1654-1722). Em 1744, Euler consolidou o princípio da mínima ação para o

movimento de uma partícula implicitamente sujeita à formal comparação de caminhos, que

são identificados pela mesma energia mecânica. Entre várias contribuições, seguindo sugestão

de Daniel Bernoulli, Euler tentou encontrar a equação de flexão de hastes elásticas

minimizando o funcional 2

dsr∫ , onde r é o raio de curvatura da haste flexionada. Essa integral,

como se sabe hoje, representa a energia de deformação de uma viga flexionada quando

multiplicada por uma constante de rigidez apropriada da viga. Em 1748, finalmente, Euler

conseguiu estender o “princípio da mínima ação”, como um problema variacional geral, para

222

a flexão de barras elásticas deformáveis. (Truesdell, 1982; Oravas e McLean, 1966;

Timoshenko, 1983)

Em 1750, o matemático italiano Jacopo Francesco, Conde Riccati (1676-1754), influenciado

pelas pesquisas de Leinbiz, Johan e Daniel Bernoulli e Euler, especulou que a energia cinética

é capaz de produzir deformação em um sólido e que ela é armazenada no corpo como uma

forma de energia potencial latente, que subseqüentemente estaria disponível por ao menos

uma restauração parcial das deformações impostas ao corpo. (Oravas e McLean, 1966)

Truesdell (1982) destaca duas contribuições para a mecânica do matemático italiano Joseph-

Louis Lagrange (1736-1813). A primeira delas são as famosas “equações Lagrangeanas” que

convertem as equações gerais de Euler para sistemas discretos em coordenadas cartesianas em

uma expressão invariante, válida para todas as descrições do sistema. Sua segunda

contribuição seria a formulação geral e análise do princípio da mínima ação, que havia sido

proposto de maneira imprecisa por Maupertuis. Oravas e McLean (1966) colocam que

Lagrange estabeleceu a relação δπ = 0, onde o potencial do sistema, π = ε + υ, em que υ

representa a energia potencial das forças aplicadas. Entretanto, Lagrange não colocou

explicitamente que a energia cinética, ε, e a energia potencial, υ, representam diferentes

formas da mesma grandeza física. Oravas e McLean (1966) apontam que Lagrange foi o

primeiro cientista a reconhecer um axioma universal da mecânica no princípio dos trabalhos

virtuais.

A.4 – PRINCÍPIOS DA CONSERVAÇÃO DE TRABALHO-ENERGIA

Segundo Oravas e McLean (1966), até 1782, o princípio da conservação de energia, como

poucas exceções, foi usado igualando-se mudanças na energia cinética a mudanças de funções

potenciais de forças externas. Nos casos de Euler e Lagrange, o princípio foi obtido como

extremo de uma integral de ação, que também continha o potencial elástico.

A primeira demonstração explícita de energia potencial como uma forma transformada da

energia cinética foi dada na forma de trabalho do princípio de conservação de energia para

sistemas rígidos. O conceito mais fisicamente intuitivo de trabalho como princípio geral da

mecânica foi dado por Hooke e propagado de maneira matematicamente precisa pelo

engenheiro, matemático e general francês Lazare-Nicholas-Marguarite Carnot (1753-1823),

223

em aplicações tecnológicas como um princípio de conservação de trabalho. Em 1782, Carnot

estabeleceu que a vis viva latente de Leibniz é medida por duas vezes a quantidade de

trabalho realizada pelas forças aplicadas. Carnot foi responsável pela reintrodução e a

primeira formulação precisa do princípio de trabalho-energia de Hooke, propondo-o como

princípio fundamental da engenharia mecânica. A teoria mais geral de Carnot para

conservação de trabalho (que inclui efeitos de forças não-conservativas) exerceu profunda

influência nas pesquisas de Lagrange, Laplace, Poisson, Navier, Fresnel, Poncelet e Coriolis.

(Oravas e McLean,1966)

Em 1818, 1826 e 1829 os engenheiros franceses Claude-Louis-Marie-Henri Navier (1785-

1836), Jean-Victor Poncelet (1788-1867) e Gustave-Gaspard de Coriolis (1792-1843),

desenvolveram o princípio de propagação de trabalho de Carnot em disciplinas de engenharia

mecânica altamente sistematizadas. Coriolis associou a terminologia “vis viva” à quantidade

(m v . v ) / 2 e adotou o termo “travail” para hF . dr . (Oravas e McLean,1966)

Nas pesquisas de Carnot, Poncelet e Coriolis, o princípio de trabalho-energia foi proposto

como o axioma mais fundamental da mecânica e trabalho, seu conceito mais fundamental. Na

teoria de engenharia mecânica deles, tanto a energia cinética quanto a potencial aparecem

como meras transformações da quantidade trabalho ou formas latentes de trabalho. (Oravas e

McLean,1966)

Adicionando o trabalho virtual de forças aplicadas à variação negativa do potencial elástico e

integrando por partes essa grandeza, Navier obteve as equações do movimento e condições de

contorno de tensão de sólidos elásticos. Assim, Navier é o primeiro cientista a estabelecer a

quantidade de potencial elástico ou energia de deformação específica para corpos elásticos

isotrópicos. (Oravas e McLean,1966)

224

APÊNDICE B – REVISÃO DE MECÂNICA DOS MEIOS CONTÍNUOS

O material apresentado neste apêndice foi baseado no trabalho de Oliver & Saracibar (2000).

B.1 – EQUAÇÕES DO MOVIMENTO

A descrição mais elementar do movimento de um meio contínuo pode ser colocada como

funções matemáticas que descrevem a posição de cada partícula ao longo do tempo. Em geral,

requer-se que a função e suas derivadas sejam contínuas.

Supõe-se que o meio contínuo é formado por infinitas partículas (pontos materiais) que

ocupam diferentes posições do espaço físico durante seu movimento ao longo do tempo (ver

Figura 1 a seguir). Define-se como configuração do meio contínuo no instante t o lugar

geométrico das posições ocupadas no espaço pelos pontos materiais do meio neste instante,

esta configuração é denotada por Ωt. Desta forma, Ω0 denota a posição no espaço ocupada

pelas partículas do meio no instante de referência t0, esta configuração é chamada

configuração de referência.

Figura B1: Configurações do meio contínuo

O vetor X, de componentes (X1, X2, X3), é chamado coordenadas materiais da partícula e

fornece a posição de uma partícula P na configuração de referência, Ω0.

X , x2 2

P

P’

Ω 0

Ω t

X

x

f X( ,t)Tempo de referência (to)

Tempo atual (t i)

X , x1 1

X , x3 3

225

1

2

3

XXX

⎧ ⎫⎪ ⎪= =⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

X coordenadas materiais (B.1)

Na configuração atual, Ωt, a partícula P ocupa o ponto espacial P’ cuja posição é dada pelo

vetor de coordenadas espaciais x no instante t, dado por:

1

2

3

xxx

⎧ ⎫⎪ ⎪= =⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

x coordenadas espaciais (B.2)

Então, o movimento das partículas do meio contínuo pode ser descrito como a evolução de

suas coordenadas espaciais (ou de seu vetor posição) ao longo do tempo. Matematicamente,

isto requer conhecer uma função, que para cada partícula, forneça suas coordenadas espaciais

xi (i = 1, 2, 3) ao longo do tempo. Cada partícula pode ser referenciada por suas coordenadas

materiais na configuração de referência Xi (i = 1, 2, 3) e, assim, obtêm-se as equações do

movimento, que descrevem a trajetória de cada partícula com base em sua posição na

configuração de referência. Na Figura B1, as equações de movimento são denotadas por f

(X,t).

i i 1 2 3

( , )x f (X , X , X ) i 1,2,3

=

= ∈

tx f X (B.3)

B.2 – DEFORMAÇÕES

B.2.1 – Tensor gradiente da deformação

A Figura B2, apresentada a seguir, mostra a deformação de um segmento diferencial de um

meio contínuo ocorrida durante seu movimento. Uma partícula P na configuração de

referência (Ω0) passa a ocupar o ponto do espaço P’ na configuração atual (Ωt). Da mesma

forma, uma partícula Q situada em uma vizinhança diferencial de P passa a ocupar uma

posição Q’ em Ωt. As posições de Q relativas à P nas configurações de referência e atual são

dadas por dX e dx, respectivamente. As grandezas escalares dS e ds representam os

comprimentos de dX e dx, ou seja, =dS dX e =ds dx .

226

Figura B2 - Deformações em um meio contínuo

Diferenciando-se as equações do movimento Equação (B.3) com relação às coordenadas

materiais X obtém-se a equação fundamental da deformação apresentada a seguir:

Equação fundamental da deformação:

F

fx X , 1,2,3X∂⎧ = ∈⎪ ∂⎪

⎨⎪

=⎪⎩

ij

ii j

j

d d i j

d dx F X

(B.4)

A Equação (B.4) define o tensor gradiente material da deformação F(X,t):

1 1 1

1 2 31

2 2 22

1 2 3 1 2 33

3 3 3

1 2 3

f f fX X Xff f ff

X X X X X Xf

f f fX X X

⎡ ⎤∂ ∂ ∂⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎧ ⎫⎢ ⎥⎡ ⎤∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎪ ⎪= ⊗∇ = =⎨ ⎬ ⎢ ⎥⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎣ ⎦⎪ ⎪ ⎢ ⎥⎩ ⎭ ⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎣ ⎦

F f (B.5)

O tensor gradiente da deformação ( ), tF X , apresentado na Equação (B.5), contém informação

a respeito do movimento relativo, ao longo do tempo t, de todas as partículas materiais na

vizinhança diferencial de uma partícula qualquer identificada por suas coordenadas materiais

X. A equação fundamental da deformação Equação (B.4), por sua vez, permite estudar a

evolução do vetor de posição relativa dx ao longo do tempo em função de dX na configuração

de referência.

X , x2 2

P

P’

Ω 0

Ω t

X

x


Tempo atual (t i)

X , x1 1

X , x3 3

Q

dX

Q’

dxdS

ds

227

B.2.2 – Tensor material de deformação (Tensor de Green-Lagrange)

Lembrando-se que =ds d x e que da equação fundamental da deformação X=d dx F ,

pode-se escrever que:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2

2

= ⇒ = ⋅

= = =TT T T

ds d ds d d

ds d d d d d d

x x x

x x F X F X X F F X

(27)

Da mesma forma, sabendo-se que =dS d X , então:

( )2= ⇒ = ⋅ = TdS d dS d d d dX X X X X

(28)

Subtraindo-se a Equação (28) da (27), tem-se:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )

2 2

2

− = −

= −

= −

T TT

T TT

T T

ds dS d d d d

d d d d

d dE

X F F X X X

X F F X X I X

X F F I X

( ) ( )2 2 2− = Tds dS d dX E X (B.6)

A equação anterior, Equação (B.6), define implicitamente o tensor material de deformação ou

tensor de deformação de Green-Lagrange como:

( )( ) ij ki kj ij

1( , )21E ( , ) F F δ i, j 1,2,32

⎧ = −⎪⎪⎨⎪ = − ∈⎪⎩

Tt

t

E X F F I

X (B.7)

B.3 – DESLOCAMENTOS

A Figura B3 mostra o deslocamento U de uma partícula de um meio contínuo que ocupa uma

posição P (posição na configuração de referência) e uma posição P’ (posição ocupada pela

partícula P na configuração atual).

228

Figura B3 - Deslocamentos em um meio contínuo

O deslocamento de todas as partículas do meio contínuo define o campo vetorial de

deslocamentos que, em descrição material, é dado por:

i i i

( , ) ( , )U ( , ) f ( ,t) X 1, 2,3

= −⎧⎨ = − ∈⎩

t tt i

U X f X XX X

(B.8)

Diferenciando-se a equação material dos deslocamentos (Equação B.8) com relação às

coordenadas materiais X, obtêm-se as componentes do tensor gradiente material dos

deslocamentos (Jij):

( )i i ii i ij ij ij

j j j j

U f ( ,t) Xf ( ,t) X F δ JX X X X

∂ ∂ ∂ ∂= − = − = − =

∂ ∂ ∂ ∂XX (B.9)

Assim, o tensor gradiente material dos deslocamentos ( J ) fica definido da seguinte forma:

( ), ( , )= ⊗ ∇ = −t tJ X U X F I (B.10)

O tensor de deformação de Green-Lagrange ( E ) pode ser colocado em termos do tensor dos

gradientes dos deslocamentos substituindo-se a Equação (B.10) na (B.7) da seguinte forma:

X , x2 2

PP’

Ω 0

Ω tX

x

Tempo de referência (to)

Tempo atual (t i)

X , x1 1

X , x3 3

U

229

( ) ( ) ( )

( )( )

( )( )

( )

1 12 2

1 1 12

1 1 12

1 12

= − ⇒ = +

⎡ ⎤= − = + + −⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤= + + −⎣ ⎦

⎡ ⎤= + + −⎣ ⎦

⎡ ⎤= + + + −⎣ ⎦

TT

T

T

T T

J F I F J I

E F F I J I J I I

J J I I

I J J

I J J J J

( )( )

ji k kij

j i i j

12

, U1 U U UE i,j 1,2,32 X X X X

⎧ = + +⎪⎪= ⎨ ⎛ ⎞∂∂ ∂ ∂⎪ = + + ∈⎜ ⎟⎜ ⎟⎪ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎩

T T

t

E J J J J

E X (B.11)

B.4 – ESTIRAMENTO E DEFORMAÇÃO DE GREEN A Figura B4 mostra os pontos P’ e Q’, que são as posições do espaço na configuração atual

ocupadas pelas partículas que, na configuração de referência, ocupavam as posições P e Q,

respectivamente. Os vetores dX e dx, de comprimento diferencial, mostram a posição de Q

relativa a P, respectivamente, nas configurações de referência (Ω0) e atual (Ωt). O escalar dS é

o comprimento de dX e D é um vetor unitário na mesma direção de dX. Da mesma maneira,

ds é o comprimento de dx e d é um vetor unitário na mesma direção de dx. Desta forma,

pode-se colocar que:

dX = dS D e dx = ds d (B.12)

Figura B4 – Estiramento e deformação de Green

X , x2 2

P

P’

Ω 0

Ω t

X

x


Tempo atual (t i)

X , x1 1

X , x3 3

Q

dX

Q’

dx

dSds

D d

230

Uma medida básica de deformação, chamada estiramento (λ), é dada pela relação entre o

comprimento do segmento deformado ' 'P Q e seu comprimento original PQ . Assim, o

estiramento na direção material D é dado por:

' 'P Q ds

dSPQλ = =D (B.13)

A deformação de Green na direção material D é dada por:

( ) ( )( )

( )2 2

2 22

2 2

' '1 1 1 12 2 2

P Q PQ ds dSdSPQ

ε λ⎛ ⎞− −⎜ ⎟= = = −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

D D (B.14)

Para relacionar a deformação de Green e o estiramento com o tensor de deformações de

Green-Lagrange, o primeiro passo é substituir a Equação (B.12) na (B.6), este procedimento é

apresentado a seguir:

( ) ( ) ( )22 2 2 2 2− = = =

T

T T T

dSdS

ds dS d d dS dS dSDD

X E X D E D D E D (B.15)

O passo seguinte é dividir a Equação (B.15) por (2 dS2). Assim, a deformação de Green na

direção material D e que inclui o tensor de deformação de Green-Lagrange ( E ) é:

2 2

2

12

ε−= ⇒ =T Tds dS

dS DD E D D E D (B.16)

Da mesma forma que para ε D, levando-se a Equação (B.14) na (B.16) obtém-se uma

expressão para o estiramento λD na direção material D que inclui o tensor de deformação de

Green-Lagrange ( E ), assim, tem-se que:

( )21 1 2 12

λ λ= − ⇒ = +T TD DD E D D E D (B.17)

Assim, o tensor de deformação de Green-Lagrange ( ), tE X guarda informações sobre os

estiramentos em qualquer direção numa vizinhança diferencial de uma dada partícula.

231

B.5 – PEQUENAS DEFORMAÇÕES A adoção de hipóteses simplificadoras sobre a teoria de deformações finitas permite a

derivação da teoria das pequenas deformações.

A suposição de pequenas deformações 1i

j

UX

⎛ ⎞∂<<⎜ ⎟⎜ ⎟∂⎝ ⎠

permite ignorar o termo k k

i j

U UX X

⎛ ⎞∂ ∂⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

da

Equação (B.11) visto que ele é muito menor que os demais, isto é, trata-se de um infinitésimo

de ordem superior aos demais termos da equação. Tal fato faz com que o tensor de

deformações de Green-Lagrange (E ) se confunda com o tensor de deformações infinitesimais

(ε ), amplamente utilizado em disciplinas de resistência dos materiais ministradas em cursos

de graduação em engenharia. Assim, considerando-se pequenas deformações, o tensor de

deformações de Green-Lagrange ( E ) pode ser escrito na forma da seguinte equação:

( )

( ) ( )

ji

j i

j ji k k iij

j i i j j i

UU e X X

1 12 2

, U U1 U U U 1 UE i,j 1,2,32 X X X X 2 X X

∂∂<<

∂ ∂

⎧ = + + ≅ +⎪⎪

⎛ ⎞⎪⎜ ⎟⎪= ⎨ ⎜ ⎟ ⎛ ⎞∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂⎪ ⎜ ⎟= + + ≅ + ∈⎜ ⎟⎜ ⎟⎪ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎪ ⎜ ⎟

⎪ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎩

T T T

t

E J J J J J J

E X (B.18)

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PROJETO DE TENSOESTRUTURAS EM MEMBRANA COM APLICAÇÃO DE ... · PROJETO DE TENSOESTRUTURAS EM MEMBRANA COM APLICAÇÃO DE PROGRAMAÇÃO NÃO-LINEAR Autor: Jonas Pinheiro Borges Filho