CAPTULO

5

Mecnica das Rochas

5.1 IntroduoDurante a perfurao de um poo, a rocha da formao exposta a cargas externas, que alteram o estado de tenso original existente no subsolo, podendo levar a graves problemas, tais como o desmoronamento total das paredes do poo. Felizmente, situaes como essa, embora bastante conhecidas pela indstria, no so muito frequentes porque as companhias tm investido muitos milhes de dlares na busca de solues. Isso, por outro lado, exige um melhor conhecimento porparte dos profissionais de petrleo de conceitos relativos a outras disciplinas tais como a Mecnica das Rochas. Desta forma, o intuito deste captulo apresentar conceitos bsicos da Mecnica das Rochas de forma que seja possvel ao leitor compreender aspectos relativos ao estado de tenso atuando em uma determinada rocha, as deformaes causadas por este estado de tenso e as relaes existentes entre tenses e deformaes. Com este conhecimento possvel estimar propriedades da rocha, necessrias para se estabelecer os critrios que podem levar falha desta e, portanto, causar algum tipo de instabilidade ao poo.

5.2 TensoQuando um corpo submetido a um carregamento externo, foras internas so induzidas. Estas, por sua vez, afetam tanto o comportamento do corpo quanto a sua deformao.

M e c n i c a das

Ro c h a 5

207

Se for utilizada a representao vetorial, a tenso em um elemento de rea dA representada por um vetar que atua na direo do vetar dF figura 5.2).dF

rea dA

rea dA

FIGURA 5.2 ESQUEMADE UMA FORA E SUA RESPECTIVA TENSO.

Como mostrado na figura 5.2, a fora dF ou a tenso 0 no atuam necessariamente na direo normal ou tangencial superfcie. Desta forma, e como mostrado na figura 5.3, uma tenso, assim como uma fora, pode ser decomposta em duas componentes, sendo: 0,

tenso normal ao plano.

1:, tenso cisalhante, paralela ao plano.

FIGURA 5.3 COMPONENTES

DE TENSO

NORMAL

E CISALHANTE.

Segundo a conveno geralmente utilizada em Mecnica das Rochas, as tenses normais podem ser tanto de compresso, assumidas como positivas, quanto de trao, que sero consideradas negativas. Assim, conforme mostrado pela figura 5.4, podemos dizer que um slido est sujeito a dois tipos de tenses: normais e cisalhantes. Neste caso, teremos:

206

PRO J ETOS DE PO O S DE PET R L EO: Geopresses e Assentamento de Colunas de Revestimentos

A figura 5.IA apresenta um corpo em equilbrio cortado por um plano imaginrio, representado pela seo A-A', que o divide em duas partes, I e 11. A figura mostra as foras externas FI e F2 atuantes na parte I e F3 e F4 atuantes na parte 11. A figura 5.1 B apresenta o mesmo corpo, onde no plano A-A' atua a fora interna F que surge para manter o equilbrio das duas partes. A figura 5.1B mostra tambm o elemento de rea dA onde atua o elemento de fora dF.

(A)

rea A (B) ""~A

~ dF

-'--. Plano

O" 3

Partindo-se de um estado de tenso genrico, utilizando as equaes 5.5, e com auxlio de identidades trigonomtricas possvel estabelecer as tenses principais mxima e mnima para um estado bidimensional de tenses como:O"x+O"y

O"

max

= O" 1

-----'-+ 2

(5.7a)

O"mn=0"3

(5.7b)

Os planos em que atuam as tenses principais so chamados planos principais, e no caso bidimensional a orientao desses planos definida pela equao 5.8. Ela fornece dois valores para 8 com uma diferena de 90 entre eles, sendo os planos onde atuam as tenses principais mxima e mnima. (5.8)

Mecnica

das

Ro t h a s

215

Da mesma forma que existem os planos principais de tenses, tambm existem planos em que a tenso cisalhante mxima. A equao 5.9 define estes planos, fornecendo dois valores para e defasados de 90 e que fazem 45 com os planos principais. (5.9) A partir das equaes 5.5c e 5.9 possvel definir o valor da mxima tenso cisalhante como:

't x'y'max

=

(5.10a)

Em termos de tenses principais essa relao :

(5.10b)

importante lembrar que geralmente existe tenso normal no plano da tenso cisalhante mxima, e essa tenso igual tenso mdia (Cimed)' Para o caso tridimensional, a tenso mdia definida como: (5.11) As tenses normais so responsveis pela variao de volume de um slido. J as tenses cisalhantes so responsveis pela distoro (mudana de sua forma). A partir deste conceito podemos dividir um estado de tenso arbitrrio em duas parcelas: uma hidrosttica e outra desviadora. Quando as tenses normais atuantes so iguais (Cix = Ciy = Ciz = Cil = Ci2 = Ci3 = Cimed), diz-se que o corpo est sob um estado hidrosttico de tenses. Este estado de tenso somente causa variao de volume de um slido. J a parcela desviadora determinada algebricamente como mostrado pela equao 5.12, e responsvel pelas distores de um slido.

216

PR O J ETOS

DE P O O 5 DE P E T R L E O: Geopresses e Assentamento

de Colunas de Revestimentos

[

x axy axz]_ aj>' ay ayz -

a

[aO

med

O

O amed O O amed

1 [a ax -

med

'txz

]

+

'tj>'

ay - amed'tz)'

'tyz

(5.12)

a zx a zy a

z

O

'tzx

az

-

a med

estado total de tenso

=

estado hidrosttico de tenso

+ tenso desviadora(distoro)

5.6 Crculo de Mohr de Tenses

o crculo de Mohr, mostrado na figura 5.10, representa de forma grfica todas as equaes de transformao de tenso apresentadas anteriormente, permitindo tambm que sejam determinadas graficamente as tenses principais e a tenso cisalhante mxima. Desta forma, atravs dele possvel representar os estados de tenses atuantes em todos os planos que passam por um ponto. Para tanto, o crculo de Mohr expresso por meio de um sistema de coordenadas em que as abscissas so tenses normais e as ordenadas so tenses cisalhantes. A equao do crculo :(5.13)

A construo do crculo de Mohr pode ser feita facilmente, caso sejam conhecidas as duas tenses principais, j que as tenses cisalhantes so nulas. Neste caso o raio do crculo igual : (5.14) E seu centro se posiciona sobre o eixo o com abscissa igual : (5.15) Na definio do raio, podemos notar que este igual tenso cisalhante mxima e que ambos aumentam medida que a diferena entre as tenses principais mxima e mnima tambm aumenta. Este fato importante, pois, como ser visto mais adiante, um grande diferencial entre tenses geralmente leva a um dos modos de falha da rocha, conhecido como ruptura por cisalhamento.

)Mecnica das Rochas 217

'tmax

c

FIGURA 5.10

CfRCULO

DE MOHR

DE TENSES.

crculo de Mohr tambm pode ser construdo quando se conhecem as tenses normais e de cisalhamento em dois planos quaisquer. A partir da, as tenses em qualquer outro plano podem ser facilmente determinadas, j que cada ponto do crculo de Mohr representa um plano. No exemplo da figura 5.11 so conhecidas as tenses ax, o, e 't>.yo elemento, e se quer determinar d as tenses normal e cisalhante que atuam em um plano que forma um ngulo e com o plano principal maior. Chamaremos este plano de x'.

o

y(jy

~

t

'yx

-IiFIGURA 5.11 ELEMENTOCOM

~

r~(jx

~ x

TENSES

NORMAIS

E ClSALHANTES.

218

PR O J ETOS DE P O O 5 DE P ET R L EO: Geopresses e Assentamento de Colunas de Revestimentos

Para a construo do crculo devemos, inicialmente, plotar os dois pontos que correspondem s tenses conhecidas atuantes nos planos x (o., 'txy) e y (ay, 'tyx). A linha que une estes dois pontos o dimetro do crculo, e a interseo com O eixo a o seu centro. As tenses atuantes no plano Xl sero determinadas, medindo-se o ngulo 28 no crculo de Mohr, a partir do eixo a (figura 5.12).

x

FIGURA 5.12 UTILIZAO

DO CRCULO ATUANTES

DE MOHREM X'.

PARA

DEFINiO

DAS TENSES

Vale notar que o ngulo 8 no elemento equivale ao ngulo 28 no crculo e que ambos so medidos na mesma direo, isto , no sentido contrrio ao dos ponteiros do relgio. Com relao conveno de sinais para plotar as tenses cisalhantes no crculo, seguida a regra da mo direita, isto , se a tenso cisalhante exercer um momento sobre o elemento no sentido contrrio ao dos ponteiros do relgio, esta ser plotada na regio positiva do eixo vertical. Existe um ponto particular do crculo de Mohr, chamado plo (P), que representa a origem dos planos, isto , qualquer reta passando pelo plo e por qualquer ponto A do crculo de Mohr ser paralela ao plano no qual atuam as tenses a e 't, coordenadas do ponto A. No exemplo a seguir (figura 5.13), mostrado um elemento submetido s tenses principais ai e a3 Observando o crculo de Mohr, possvel traar, a partir das tenses principais, retas paralelas aos planos em que estas atuam, O ponto de cruzamento das duas retas define o plo para esse crculo. Neste caso, o plo coincide com o ponto da tenso ai'

Mecnica

das

Rochas

219

+-----

(J1

FIGURA 5.13 DETERMINA~DO

O PlO

NO CRCULO

DE MOHR.

Para conhecer as tenses atuantes em um plano que faz um ngulo a com a vertical, basta traar este plano a partir do plo, e as tenses sero definidas pelo ponto em que o plano cruzar o crculo de Mohr (ponto A), como mostrado conforme figura 5.14.

'tA -----------------------------

A : +.!

..0+--a1

, , , ,

+

:

....

-,-,U

l,

(J1

= plo

...FIGURA 5.14 DETERMINANDOAS TENSES EM UM PLANO, A PARTIR DO PLO.

o crculo

de Mohr para um estado tridimensional de tenso est mos-

trado na figura 5.15. Observa-se que no crculo de Mohr formado por crie cr3ocorre o maior diferencial entre as tenses normais e consequentemente a maior tenso cisalhante,'tmax'

220

PRO J ETOS DE PO O S DE P ET R L EO: Geopresses e Assentamento de Colunas de Revestimentos

0"1 -

0"2

~r-

+-

-+

~ __~2~.0"

FICURA 5.15 CRCULO

DE MOHR

PARA O ESTADO

TRlDlMENSIONAl

DE TENSES.

5.7 Tenses EfetivasNa mecnica clssica a tenso associada a slidos macios, isto , slidos no porosos. Isto definitivamente no o caso de solos e rochas que sabidamente so materiais porosos. A carga atuando em uma rocha est distribuda tanto sobre a matriz quanto sobre o fluido contido em seus poros. Os efeitos das tenses aplicadas so alterados pela presena da presso de poros, que atua em todas as direes dentro da rocha, ajudando a suportar ou aliviar grande parte das tenses aplicadas. Se no fossem pelos fluidos contidos nos poros, as tenses aplicadas seriam transmitidas integralmente para as rochas via conta-

to grao a grao. A formulao proposta por Terzaghi e confirmada por experimentos mostrou que a tenso que afeta a matriz da rocha e que controla sua deformao igual tenso total aplicada sobre a rocha menos a presso exercida pelos fluidos em seu espao poroso (figura 5.16). Essa tenso, chamada de Tenso Efetiva, hoje a base da geomecnica.

.

cr'=(j-P pOnde:

(5.16)

c' = tenso efetivao

=

tenso total

P p = presso de poros

Mecnica

das

Rochas

221

FIGURA 5.16 ESQUEMA

REPRESENTANDO E A PRESSO

A TENSO DE POROS.

TOTAL,

A TENSO

EFETIVA

de tenso efetiva tambm foi mais tarde estudado por Biot e expandido para tenses em rochas. Segundo esse autor, a presso de poros poderia tambm afetar a deformao das rochas e dessa forma a tenso efetiva seria resultado da tenso total menos parte da presso de poros. Matematicamente falando, a expresso da tenso efetiva se transformaria em:

o conceito

a'= a -aP

p

(5.17)

A constante de Biot a tem geralmente um valor entre 0,6 e 1,0 para rochas. Este aspecto das rochas tambm chamado de poroelasticidade e pode ser aplicado a solos. O conceito da tenso efetiva aplicado para todas as tenses normais atuando em uma amostra de rocha. Este conceito no pode ser estendido para tenses cisalhantes j que fluidos em repouso no transmitem este tipo de tenso. Desta forma, da equao 5.17, temos:

c', = o , -aPpI _ ay-ay-a

(5.18a) (5.18b)

Pp

222

PRO J ETOS DE P O O S DE P ET R L EO: Geopresses e Assentamento de Colunas de Revestimentos

5.8 Deformaes e DeslocamentosA deformao de um corpo resulta em sua movimentao, uma configurao original, para uma nova configurao a partir de deformada,

ocasionando uma mudana na posio relativa dos pontos do corpo. Uma forma de caracterizar a deformao utilizando um vetor posio e um vetor deslocamento. O vetor posio situa o corpo com relao ao sistema de coordenadas, j o vetor deslocamento une a posio de um ponto do corpo, em sua configurao original, at sua posio na configurao deformada (figura 5.17).Vetores:y/~--\

,," "/ I

P, P',\\

= =

"

"""

o, = o, ="\ \

(x, y, z) (x', y' , z') P',-P, (x' -x, y' -y, t' -z)

I

\ I II /

~-~ "zFIGURA 5.17 DEFORMAODE UM CORPO,

"" x

Componentes do vetor deslocamento u = x'- x v y'-y w = z'-z

O,:

=

EXEMPLlFICANDO-SE .

OS VETORES

POSiO

E DESLOCAMENTO

Em contraste deformao, temos os movimentos de corpo rgido, que so apenas deslocamentos, sem implicar qualquer alterao no formato do corpo. Neste caso, as componentes do deslocamento u, ve w so iguais para qualquer ponto do corpo, mantendo fixa a distncia entre dois pontos quaisquer. Estes movimentos de corpo rgido compreendem os movimentos de translao e rotao. Na translao h a movimentao do corpo, sem alterar sua inclinao, como mostrado na figura 5.18A. J a rotao altera somente a inclinao do corpo e est apresentada na figura 5.18B.

M ec n i c a das

Ro c h a 5

223

y

L7B----u A (A)

B1

y x

U

---

(B)

x

FIGURA 5.18 (A) MOVIMENtTO DE TRANSLAO DO SEGMENTO AB. NOTA-SE QUE O MESMO DESLOCAMENTO FOI EFETUADO PARA O PONTO A E PARA O PONTO B, NO HAVENDO QUALQUER DEFORMAO DO CORPO; (B) MOVIMENTO DE ROTAO DOS SEGMENTOS AB1 E AB2. NOTA-SE QUE O NGULO a ROTACIONOU OS DOIS SEGMENTOS, IMPEDINDO QUALQUER DEFORMAO DO CORPO.

Como mencionado, a deformao de um corpo envolve mudanas no seu formato. Ele pode ser alongado, comprimido ou sofrer distores. As deformaes de compresso e alongamento so chamadas deformaes normais, e um exemplo de alongamento est apresentado na figura 5.19.

y

x

dx

u(x + dx)

u----------~ 1A !\ B B'

x

14

u(x)

dx + du

14

.1

FIGURA 5.19 ELEMENTO SOFRENDO DEFORMAO NORMAL. O PONTO A FOI DESLOCADO DE u (x) NA DIREO x, J O PONTO B FOI DESLOCADO DE u (x + dx), CONFIGURANDO ASSIM A DEFORMAO DO CORPO. O COMPRIMENTO DO SEGMENTO QUE ERA dx, PASSOU A SER dx + du, ONDE du = u(x + dx) - u(x).

224

PR O J ETOS DE P O O 5 DE P ET R L E O: Geopresses e Assentamento

de Colunas de Revestimentos

Observando a figura 5.19 e sabendo-se que a deformao normal pode ser entendida como a relao entre a variao no comprimento, por unidade de comprimento, podemos express-Ia matematicamente como:

e , =--A-B--

A'B'-AB

dx+du -dx dx

du dx

(5.19)

Onde: AB = comprimento inicial do segmento A'B' comprimento' final do segmento = O mesmo pode ser entendido observando-se a barra de metal da figura 5.20:

c=

Comp. Final- Cornp. Inicial Comp. Inicial

=

I + ~l -1 IL\!

~l =I

(5.20)

---n--! + L\!FIGURA 5.20 BARRA SENDO ALONGADA.

-------

1

A deformao relacionada ao cisalhamento chamada distoro ou deformao cisalhante, e corresponde soma dos ngulos o] e O2, conforme mostrado na figura 5.21. A deformao cisalhante pode ser entendida como a perda da ortogonalidade entre os eixos AIr] e AB3' Considerando o] e O2 ngulos muito pequenos, podemos usar a seguinte aproximao: o] ~O, tan(ol) O, tan(02)

= 01 = O2

-

du dy dv dx

(5.21a) (5.21b)

O2

~

A partir destas equaes, a deformao cisalhante pode ser expressa matematicamente como: (5.22)

Mecnica

das

Rochas

225

y

s'2

dy

A.

I~FIGURA 5.21 ELEMENTO

dx

xSOFRENDO DEFORMAO CISALHANTE.

Para o caso tridimensional, as deformaes normais (e) e cisalhantes (y) so relacionadas com os deslocamentos pela equao 5.23, a qual chamada relao deformao-deslocamento.

Ex

=-

dU dX

(5.23a)

Ey

dV = dy =

(5.23b)

Ez

a;dV

dW

(5.23c)

yxy

y

yz

ay ax av aw =-+az ay=-+ax dZ

=-+-

dU

(5.23d)

(5.23e)

y

aw au

(5.23f)

zx

226

PRO J ETOS DE P O O S DE P ET R L E O: Geopresses e Assentamento de Colunas de Revestimentos

Assim como para as tenses cisalhantes tem-se para as deformaes cisalhantes que:

descritas anteriormente,

(5.24a) (5.24b) (5.24c)5.8.1 Estado Plano de Deformao (Bidimensional)

O estado plano de deformao caracterizado quando a dimenso em z muito grande (considerada como infinita) com relao s dimenses da seo transversal xy. Pode-se citar como exemplos de problemas de estado plano de deformaes: tneis, barragens, poos, dentre outros. Para este caso especfico z = O e "1zx= "1zy = O. Assim como para as tenses, a mudana do sistema de coordenadas de xy, para x'y', requer que sejam determinados os novos valores de deformao e,." fy' e "1x'y" As equaes de transformao de deformao podem ser definidas a partir das equaes de transformao de tenso, equao 5.5, pela troca de(J por E

e 'C por "1/2. Elas fornecem o estado de deformao em

um plano qualquer e seu ortogonal, se forem conhecidos

e, e,., fy e "1XY'

Esta

substituio tambm pode ser feita nas relaes das tenses principais e suas direes, sendo encontradas as deformaes principais.

5.9 Comportamento

Tenso-Deformao

Para um estado de tenso aplicado em uma rocha haver uma deformao correspondente s tenses aplicadas. Se o carregamento for retirado e a rocha voltar a sua condio inicial, diz-se que ocorreram deformaes elsticas. O comportamento linear elstico simplesmente significa que existe uma relao linear entre a tenso aplicada e as deformaes sofridas e que aps a retirada do carregamento o corpo volta a sua condio inicial. Se, entretanto, as deformaes forem permanentes estas sero chamadas de deformaes plsticas. Para a compreenso do comportamento tenso-deformao, iremos utilizar como exemplo os ensaios de compresso.

Me c n i (a das

Ro (h a s

227

5.9.1

Ensaios de Compresso

Os ensaios de compresso em rochas e solos so feitos em laboratrios geotcnicos (figuras 5.22A e 5.22B) e so utilizados para quantificar as propriedades elsticas das rochas e para medir limites de resistncia compresso confinada e no confinada. As tenses aplicadas durante os ensaios podem ser divididas em trs tipos: uma vertical (crI) e duas horizontais (cr2 e cr3), sendo as duas ltimas denominadas tenses confinantes.

FIGURA 5.22A CLULA SERVOCONTROLADA PARA REALIZAO DE ENSAIOS TRIAXIAIS EM LABORATRIO DE MECNICA DAS ROCHAS. Carregamento

~+--++---f+-CapaAnel selante de borracha

de proteo

-i1-11~'I;:===::;dl4j--+t--+-rAmostra de solo ou rocha

Disco poroso-+f--++-~W==-=~ Medio da presso de Vlvula poros e drenagem .-

I~+f---j+-

Membrana protetora Vlvula Medio da presso da clula

"'--+-!o""'~-+

FIGURA 5.22B EQUIPAMENTO

PARA ENSAIO TRIAXIAL.

228

PRO J ETOS DE PO O 5 DE P ET R L EO: Geopresses e Assentamento

de Colunas de Revestimentos

Nos ensaios triaxiais padres, amostras de rocha em formato cilndrico so inicialmente submetidas a um estado de tenso de compresso hidrosttico, onde todas as tenses so iguais, compreendendo a aplicao das tenses confinantes. Em seguida h o aumento da tenso axial com as tenses laterais mantidas constantes, resultando no incremento da tenso desviadora (1 (3)

at que a ruptura da rocha seja obtida. Nestes testes, a

geometria axissim~rica,isto , as tenses confinantes so iguais (02 = (3), e mantidas constantes durante todo o ensaio. Quando as tenses confinantes so nulas

( = 2 3

3

= O)o ensaio dito

uniaxial de tenso ou ensaio de compresso simples. J o teste que utiliza tenses confinantes diferentes, no nulas (02) variadas independentemente sendo realizado com amostras cbicas. Existe tambm o chamado ensaio de descarregamento lateral em que as tenses so aplicadas na condio desejada, sendo feito posteriormente

> O), e que podem ser

chamado triaxial verdadeiro ou poliaxial,

uma diminuio gradativa nas tenses confinantes enquanto a axial mantida constante.

Resultado Tpico de um Ensaio Uniaxial A figura 5.23 mostra um resultado tpico de um teste uniaxial feito em uma amostra de rocha. Nele, as tenses .axiais so plotadas contra as deformaes axiais da amostra. medida que a amostra comprimida, podemos perceber que ela se torna mais curta e que seu dimetro aumenta. A razo entre essa deformao radial e a deformao axial funo do coeficiente de Poisson, uma propriedade elstica da rocha, que ser definida mais adiante. A curva tenso-deformao pode ser dividida em regies distintas, conforme explicado a seguir: Regio Elstica - No h deformao permanente, ou seja, se a carga retirada a amostra volta ao seu estado inicial, e as deformaes so recuperadas. Essa regio pode ser dividida em:

M e c n i c a das

Ro c h a 5

229

Regio Linear Elstica (RLE) - Nessa regio a relao entre tenso e deformao praticamente linear. Regio no Linear Elstica (RNLE) - Nessa regio a relao entre tenso e deformao no linear. Regio Plstica - Compreende a regio onde ocorrem deformaes permanentes, sendo dividida em: Regio Dctil- Nessa regio a amostra deformada permanentemente sem perder habilidade de suportar carga. Regio Frgil (Brittle) - Nesta zona, a capacidade da amostra de suportar carga diminui rapidamente com o aumento da deformao; e muitas vezes a ruptura da rocha pode ser atingida.

c, cCOE - - - - - - - - - - - - - ' cr~ > cr~ > cr;

I

L----------------------------------------------------.EFIGURA 5.29 TRANSiOROCHA DCTIL DO COMPORTAMENTO DO AUMENTO DE ROCHA DA TENSO FRGIL PARA EM FUNO CONFINANTE.

Fazendo-se uma analogia com rochas localizadas no subsolo, podemos dizer que uma rocha localizada em profundidade rasa tender a mostrar um comportamento frgil se comparada a rochas localizadas a grandes profundidades, j que estas ltimas estaro submetidas a maiores tenses de confinamento, tendendo a apresentar um comportamento dctil.

5.10 Teoria da Elasticidade5.10.1 Lei de Hooke

Linear

Na figura 5.23 foi visto que, para um material com comportamento linear-elstico, existe uma relao linear entre tenso e deformao, e que a razo entre esses dois parmetros dada pelo mdulo de elasticidade ou mdulo de Young (E), sendo este igual a:

Mecnica

das

Rochas

235

(5.25) Onde: E = mdulo de elasticidade, o qual dado em unidades de tenso ,0.10 = deformao adimensional ,0.0 = variao de tenso O mdulo de Young representa a rigidez do material, sendo assim uma resistncia deformao. A figura 5.30 nos mostra que a aplicao da tenso na direo x causa uma deformao normal do elemento na direo x; neste caso, um alongamento do elemento. Assim, temos que:

o x = E'E xOnde: o, = tenso na direo x E = modulo de elasticidade e, = deformao (adimensional) na direo xElemento original

(5.26)

,r----------~~.' .: I

r-----------,1 1 1 1 1 1 1 1 1 "

J-.xzUNIAXIAL.

',

J.'

FIGURA 5.30 DEFORMAO

DE UMA

AMOSTRA

SOB TENSO

5.10.2 Coeficiente

de Poisson

De acordo com o citado anteriormente, e mostrado na figura 5.31, a deformao axial de uma amostra de rocha, reduzindo seu comprimento, causa uma deformao radial na amostra, aumentando seu dimetro. A relao entre essas duas deformaes dada pelo coeficiente de Poisson, que pode ser definido como:

'\.)= _ E.E.

radial axial

=_E

horizontal

(5.27)

E.

vertical

236

PR O J ETOS DE P O O S DE P E T R 6 L E O: Geopresses e Assentamento

de Colunas de Revestimentos

r--------- _ ::::aI I I

-"t

I I IJ

FIGURA

5.31

DEFORMAO AXIAL E RADIAL DE UM CILINDRO, REPRESENTANDO UMA AMOSTRA, SOB TENSO UNIAXIAL.

coeficiente de Poisson mede a expanso lateral relativa a uma contrao longitudinal, quantificando quanto uma tenso aplicada em uma direo sentida na direo ortogonal a esta. Com relao aos elementos de rocha do subsolo, representa um importante papel na gerao de tenses e como provedor de suporte para outros elementos de rocha adjacentes. Ele adimensional e, para rochas, os valores tpicos seriam entre 0,15 e 0,4. No caso de rochas porosas e fracas, o coeficiente de Poisson pode se aproximar de zero. No caso de fluidos, Poisson se aproxima do valor de 0,5, assim como para areias no consolidadas. Observando a figura 5.32, vemos que a aplicao da tenso na direo x, alm de causar o alongamento do elemento em x, causa seu encurtamento tanto na direo y, quanto na direo z. Isto , a tenso em x, causa deformaes normais nas direes x, y e z. As deformaes normais em y e z causadas pela tenso em x podem ser expressas por: (5.28a)

o

(5.28b)

M e c n i c a das

Ro c h a 5

237

dx

""- -----~~': Idy~----------~ I I I I

H

I I I I II

I I I I I,

~x

z

I

"

FIGURA 5.32 A APLICAOGERA DEFORMAES

DE UMA NORMAIS

TENSO

NORMAL

NA DIREO

x,

NAS DIREES

x,

Y E

z.

Caso haja tenses normais' aplicadas em x, ye z, cada uma delas contribuir na gerao de deformaes normais em cada direo. Desta forma, considerando a superposio dos efeitos de cada tenso, as deformaes normais nas trs direes so dadas por:

Ex

=

E[ax -v(ay+aJ] 1 E lc, -v(ax E [o , -v(ax1

1

(5.29a) (5.29b) (5.29c)

Ey =

+aJ] +ay)]

Ez

=

5.10.3 Lei de Hooke para Ci5alhamento Considerando um elemento bidimensional (figura 5.33), sujeito a cisalhamento puro, sofrendo apenas variao em sua forma e no em suas dimenses, podemos descrever o comportamento elstico linear em cisalhamento pela Lei de Hooke para cisalhamento, que : 't=Gy Onde: = tenso cisalhante (5.30)

1:

y = deformao cisalhante

G = mdulo de cisalhamento, que a resistncia do material deformao cisalhante e expresso em unidades de tenso

238

PRO J ETOS DE P O O 5 DE P ET R L EO: Geopresses e Assentamento de Colunas de Revestimentos

FIGURA 5.33 ELEMENTO EM CISALHAMENTO

PURO.

Por sua vez, G, E e V so relacionados pela equao: G= Onde: G = mdulo de cisalhamento E = mdulo de elasticidade v = coeficiente de Poisson 5.10.4 Lei de Hooke Generalizada Considerando um corpo isotrpico (propriedades independentes da orientao), homogneo (propriedades independentes da posio) e que possua comportamento linear-elstico sujeito s tenses ax, ay, a" 'txy' 'txz e ,'tyz, podemos definir as deformaes normais e cisalhantes como: E 2 (1 + v) (5.31)

x =

E[ax -v(ay 1 1 -v(ax -v(ax

I

+aJ] +aJ] +ay)]

(5.32a) (5.32b) (5.32c) (5.32d) (5.32e) (5.32f)

e,z

= E[ay = E[az

i;'Yxz

=G'txz

'txy

G'tyz

'Yyz

G

M e ( n i (a

das

Ro ( h a 5

239

As equaes 5.32 so chamadas de Lei de Hooke generalizada. Nota-se que as tenses cisalhantes no entram nas expresses das deformaes normais e vice-versa, e as trs componentes de cisalhamento so independentes entre si. As equaes 5.32 podem ser resolvidas em termos de tenses, sendo dadas por: (5.33a) (5.33b)

(5.33c)'txy

=GyX),

(5.33d) (5.33e)

't)'z

=Gyyz

(5.33f)

Os parmetros elsticos e G so conhecidos como constantes de Lam. A constante de Lam se relaciona com o coeficiente de Poisson e o mdulo de elasticidade pela equao 5.34:

=

vE (1+ v) (1- 2v)

(5.34)

5.10.5 Estimativa das Constantes Elsticas no Campo Assumindo a rocha como homognea, isotrpica e elstica, as constantes elsticas E, G e v podem ser estimadas no campo, de forma dinmica, utilizando as velocidades compressional (Vp) e cisalhante (Vs) definidas no captulo 2 pelas equaes 2.1 e 2.2. Faz-se necessrio tambm a utilizao das equaes 5.31 e 5.34, que relacionam as constantes de Lam s outras constantes elsticas. Dessa forma, as constantes elsticas, E, G e v so dadas por: (5.35a)

240

PRO J ETOS

DE P O O S DE P ET R L E O: Geopresses e Assentamento

de Colunas de Revestimentos

(5.35b)

E

=

2 (l+v)pVs2 ou

(5.35c)

E

=

(1-2v)(1+v) (l-v)

2

pV

p

(5.35d)

Sabemos que as hipteses de homogeneidade, isotropia e elasticidade linear so um pouco irreais, pois pouco provvel que algum material possua estas caractersticas. No entanto, a maioria dos estudos realizados tem por base essas hipteses. Alm disso, o carregamento fornecido s rochas por estes mtodos dinmicos pequeno e transiente. Uma consequncia que as propriedades elsticas calculadas de forma dinmica possuem valores maiores que as propriedades elsticas estimadas de forma esttica, principalmente no caso de rochas fraturadas-". Portanto, necessrio que sejam desenvolvidas correlaes de forma a estabelecer uma relao entre as propriedades estimadas de forma dinmica com aquelas estimadas de forma esttica, sendo estas ltimas as que devem ser usadas nas equaes apresentadas nesse captulo.

5.11 Falha da Rocha

Quando uma amostra de rocha submetida a uma carga externa, ela se deforma gerando tenses internas, que visam manter seu estado de equilbrio. Dependendo da magnitude do estado de tenses e do tipo de material que compe a rocha, algum tipo de falha ou mesmo ruptura poder ocorrer. As sees anteriores abordaram os aspectos relativos aos estados de tenso atuando em uma determinada rocha, as deformaes causadas por essas tenses e as relaes entre tenses e deformaes, esta ltima descrita pela teoria da elasticidade linear. Naturalmente que no caso da perfurao de um poo, O objetivo no apenas determinar o estado de tenso atuando na rocha, mas sim determinar o estado de tenso que pode levar falha da rocha e, portanto, causar algum tipo de problema ao poo. A falha da rocha funo da solicitao qual a rocha est submetida e de suas prprias caractersticas. Desta forma, a palavra falha utilizada

Mecnica

das

Rochas

241

aqui pode ter vrios significados, precisando ser mais bem entendida. Podemos dizer, por exemplo, que uma rocha falha a partir do momento em que sofre deformaes permanentes. Por outro lado, e dependendo da aplicao, podemos tambm dizer que uma rocha falhou a partir do momento em que houve a ruptura total da amostra. Neste contexto, a palavra falha empregada aqui est relacionada ao estabelecimento dos chamados critrios de falha, que podem estar relacionados apenas deformao permanente ou ruptura da rocha. Desta forma, neste ltimo caso poder ser utilizada tambm a expresso critrio de ruptura. Como foi visto antes, um. estado de tenses pode ser representado por suas tenses principais. O critrio de falha pode ser entendido como a variao do pico de tenso aI em funo da tenso confinante a3' Tendo isso em mente, a presente seo ir tratar dos modos de ruptura que ocorrem em uma rocha sujeita a um estado de tenso de compresso ou de trao.

5.11.1 Ruptura por Cisalhamento Um dos resultados mais importantes obtidos dos testes uniaxiais e triaxiais o de propiciar informaes sobre a resistncia das rochas para o estabelecimento de um Critrio de Ruptura, isto , uma equao que represente situaes em que um estado de tenso pode levar ruptura da rocha.A) Critrio de Mohr-Coulomb

Um dos critrios de ruptura por cisalhamento devido compresso mais utilizados na indstria do petrleo o chamado Critrio de Mohr-Coulomb, o qual tem sido escolhido geralmente por sua simplicidade. Outros critrios tais como Modified Lade e Drucker- Prager no sero abordados neste livro. Por no considerar a tenso principal mdia dada por a2, o critrio de Mohr-Coulomb o mais conservador entre eles. Ele baseado no crculo de Mohr discutido anteriormente, utilizando crculos que descrevam estados de tenso onde a falha (ruptura) da rocha tenha ocorrido. Os valores de tenso geralmente utilizados correspondem ao pico de tenso da curva tenso-deformao. Conforme mostrado na figura 5.34, o critrio de Mohr-Coulomb definido pela reta tangente que toca todos os crculos de Mohr. Estes representam combinaes crticas das tenses principais obtidas nos ensaios de ruptura descritos anteriormente. Dessa forma, se um estado de tenses

242

PR O J ETOS

DE P O O 5 DE P ET R L E O: Geopresses e Assentamento

de Colunas de Revestimentos

atuante na rocha atingir a linha tangente aos crculos de Mohr diz-se que a rocha ir falhar, sendo uma ruptura por cisalhamento devido a esforos de compresso.

4500'(ii

80 = Coeso ngulo de Atrito Interno

=

.3:.c

c mC/)

Q)

roC/)

'o 2250 o 1mc

~

80O O3750 7500 11 250

Tenso normal (psi)FIGURA 5.34 CRITRIO 'DE RUPTURA DE MOHR-COULOMB,

A envoltria de ruptura define o limite mximo das tenses cisalhantes para qualquer estado de tenso. Qualquer crculo de Mohr, representando um estado de tenso, que corte a envoltria de ruptura, isto , fique acima do critrio de ruptura, seria um estado de tenso no suportado para aquela determinada rocha.

B) Parmetros

do Critrio

de Mohr-Coulomb

A figura 5.35 apresenta a envoltria de ruptura de Mohr-Coulomb e um crculo de Mohr que toca a envoltria. Observando a figura, podemos estabelecer a equao da reta que define o critrio de falha de Mohr-Coulornb em termos das tenses normal e cisalhante:'t =

S, + tan(/2

FIGURA 5.36 ILUSTRAO DO PLANO DE FALHA, O QUAL DADO PELO NGULO ~"

Este o critrio de ruptura de Mohr-Coulomb em funo das tenses principais. Se plotarmos este critrio no espao 0"1 X 0"3 ser obtida uma reta, conforme mostrado na figura 5.37, e podendo ser expressa pela equao 5.40. A vantagem de se plotar no espaoO" 1 X 0"3'

e

no no espao 1" X a, que o estado de tenso em termos das tenses principais passa a ser representado por um ponto, e no por um crculo (crculo de Mohr).

FIGURA 5.37 CRITRIO DE RUPTURA DE MOHR-COULOMB

NO ESPAO

a, x a

3"

M e c n i c a das

Ro c h a 5

245

A equao da reta mostrada na figura 5.37 dada por: (5.40 ) Onde Co representa a resistncia compresso simples da rocha, isto , a resistncia compresso quando G3 = G2 = O, medida no ensaio uniaxial. Os parmetros Co e a da equao 5.40 se relacionam com os parmetros So e a equao 5.39 atravs das seguintes equaes: d cos Co =2So -- 1-sen

(5.41a)

tan

1+ sen o; =---

(5.41b)

1- sen o

Introduzindo a equao 5.41 b no critrio de ruptura em funo das tenses principais, dado pela equao 5.40, podemos reescrev-Ia em termos do ngulo de atrito interno e acordo com a equao abaixo: d (5.42) Esta a equao do critrio de Mohr-Coulomb que ser utilizada no captulo 6 para a definio do gradiente de colapso. Exemplo Um poo estava sendo perfurado com peso de fluido de 11,0 lb/gal quando foi constatado aumento do torque e cascalhos desmoronados. O poo foi interrompido e um testemunho foi colhido e enviado para teste em um laboratrio de mecnica das rochas. O resultado dos testes realizados esto apresentados na tabela 5.1, contendo as mximas tenses G I atingidas para as diferentes tenses confinantes utilizadas. O teste uniaxial est apresentado de forma mais detalhada na tabela 5.2. Sabendo-se que um peso de fluido de 11,5 lb/gal gera um estado de tenso de G3 = 760 psi e G I = 3 800 psi e um peso de fluido de 12,5Ib/gal gera um estado de tenso de G3 = 1 500 psi e GI = 4000 psi, indicar dentre os dois casos qual o peso de fluido para continuar a perfurao do poo. Determine tambm os parmetros elsticos da rocha testada.

246 PROJ ETOS DE PO O5 DE PETR LEO: Geopressese Assentamentode Colunasde Revestimentos

TABELA 5.1 MXIMOSCONFINANTESI

VALORES

DE (Jl PARA AS DIFERENTES TENSES

UTILIZADAS

NOS TESTES (J3 (J1 (psi) Tenso Axial (psi)

Tenso Confinante A B

:

O 250 500 750 1 000

1 550 2400 3000 3700 4300

CD

E

TABELA 5.2 RESULTADOi (J I

DO TESTE UNIAXIAL LlI (mm) Lld x 100 (mm)

(psi)

O 141 282 423 564 705 845 986 1 127 1 268 1409 1 550 1 550 1409 1 268 1 127

0,00 0,24 0,40 0,62 0,82 1,03 1,24 1,50 1,73 1,95 2,30 2,97 3,23 3,56 3,79 4,01

0,00 -3,12 -5,23 -8,12 -10,65 -13,35 -16,12 -19,38

-22,30 -25,10 -30,01 -38,92 -42,10 -45,80 -48,70 -52,20

Dados da Amostra Testada Comprimento (L) Dimetro (d )= =

15,0 em

5,08 em

Mecnica

das

Rochas

247

Resoluo

Com o resultado apresentado na tabela 5.1 foi possvel determinar os crculos de Mohr A, B, C, D e E, que representam combinaes crticas de tenses principais. Para a determinao do critrio de falha de Mohr-Coulomb foi traada uma reta tangente a todos os crculos de Mohr sendo definidos graficamente os valores de coeso e do ngulo de atrito interno, como mostrado na figura 5.38.

So = 470 psi