PROPAGAÇÃO DE

FADIGARuína de Estruturas - 2016

Propagação de Fadiga

• Com filosofias de projeto assentes na mecânica da fratura,podemos prever a existência de defeitos, e incluir a suapropagação na vida de fadiga.

• Paul C. Paris - Professor emeritus of mechanics in the School ofEngineering & Applied Science at Washington University in St.Louis

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“A de Havilland Comet in flight in 1954.

The midair disintegrations of this aircraft

in 1954 launched a new branch of engineering

science and Paul C. Paris’ career.”

Aplicação

• A Mecânica da Fratura Linear Elástica é a metodologia maisadequada para descrever a fase de propagação de fendas defadiga.

• Uma vez que o fator de intensidade de tensões será também oresponsável pelo estado de tensão na frente da fenda, perantesolicitações dinâmicas.

• Ao controlarmos a fase de propagação podemos controlar deuma forma mais segura a vida de fadiga de um componente.

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Curva de Propagação de um Defeito

• Uma vez iniciada uma fenda, há que estudar a suapropagação, para tal utiliza-se uma curva depropagação:

• É uma função que relaciona a dimensão do defeito com onúmero de ciclos de fadiga.• É determinada experimentalmente;

• Ou analiticamente por integração de uma relação matemática.

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Curva de Propagação de um Defeito

• Nos modelos mais simples deve existir um defeito inicial, peloque não é contabilizada a fase de iniciação.

• A fenda assume-se que será iniciada junto aos locais deconcentração de tensões, onde o nível de tensões é maiselevado.

• Obtemos assim uma curva com o aspecto da seguinte figura,onde o mesmo material foi sujeito a dois nível de tensão(σ2<σ1).

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Curva de Propagação de um Defeito

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Curva de Propagação de um Defeito

Velocidade de Propagação

• É o parâmetro mais importante destas curvas.

• Representa a velocidade de propagação de uma fenda, emfunção do número de ciclos de fadiga (Unidades: m/ciclo).

• Como será estudado, existe uma relação entre estavelocidade de propagação e a variação do factor deintensidade de tensões.

dNda

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Curva de Propagação de um Defeito

• O valor do comprimento de fenda crítico (ac) (para o qual se dá a rotura aofim de NR ciclos) pode ser definido como:

• A Espessura;• A Largura;• Ou ainda um valor relacionado

com a Tenacidade à Fratura;

• A dimensão da região de propagação aumenta assim quando a tensãodiminui, ou seja, a dimensão da zona de rotura frágil aumenta com oaumento do nível de tensão.

• Ou seja, o nível de tensão é um parâmetro muito importante.

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𝐾𝐼𝐶 = 𝑌𝜎 𝜋𝑎𝑐 → 𝑎𝑐 =𝐾𝐼𝐶2

𝑌2𝜎2𝜋

Curvas de da/dN e ΔK

• Não nos devemos esquecer que:

𝐾 = 𝑌𝜎 𝜋𝑎

• Ou seja, por um lado quanto mais elevado for o nível de tensão aplicadomaior será a velocidade de propagação;

• Por outro lado, quanto maior for a dimensão da fenda maior é a velocidadede propagação.

• Logo, tendo em conta que estes dois fazem subir o valor do factor deintensidade de tensões, deve haver uma relação de proporcionalidade entreeste e a velocidade de propagação.

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Curvas de da/dN e ΔK

• É com base na relação entre estes parâmetros que seestabelece uma nova forma de projectar à Fadiga.

• Normalmente:

𝑑𝑎

𝑑𝑁= 𝑓 ∆𝐾

• Onde a função f, pode ser função de várias variáveis.

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Curvas de da/dN e ΔK – Lei de Paris

• Uma das relações mais conhecidas é a Lei de Paris:• É uma relação empírica, com validação experimental.

𝑑𝑎

𝑑𝑁= 𝐶 ∙ ∆𝐾 𝑚← ∆𝐾 = 𝑌𝜎𝑚𝑎𝑥 𝜋𝑎 − 𝑌𝜎𝑚𝑖𝑛 𝜋𝑎

• c e m são duas constantes do material, é variam com:• Tensão média;

• Frequência;

• Temperatura;

• Meio Ambiente.

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Lei de Paris

Lei de

Paris

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𝑑𝑎

𝑑𝑁= 𝐶 ∆𝐾 𝑚

Lei de Paris

• A Lei de Paris não traduz de forma rigorosa a relação da/dN,ΔK.

• A sua aplicação está restrita a zona II da fase de propagação, eé válida apenas para materiais de alta resistência em que adeterminação do valor da Tenacidade à Fractura é válida.

• A norma ASTM E647 define todo o processo que se deve seguirpara a obtenção da referida Lei.

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Lei de Paris

1. Em primeiro lugar deve ser escolhido um provetecuja formulação de K seja conhecida.

2. Faz-se um ensaio de fadiga e regista-se (a, N).

3. Depois calcula-se da/dN e ΔK(a,σmax,σmin).

4. Obtendo-se assim (da/dN, ΔK).

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Lei de Paris

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Lei de Paris

• O diagrama da/dN, ΔK é normalmente obtido para valores de da/dN compreendidos entre 10-7 e 10-2

mm/ciclo.

• Regime I:• A velocidade de propagação depende fortemente da variação

do factor de intensidade de tensões;

• Existe um valor de ΔK abaixo do qual não se dá a propagação dafenda de fadiga (da/dN < 10-7 mm/ciclo), correspondendo essavalor ao limiar de propagação da fenda.

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Lei de Paris

• Regime II:• Regime onde é válida a Lei de Paris.

• Regime III:• O valor do factor de intensidade de tensões aproxima-se do valor de

tenacidade à fractura.

• Para materiais muito dúcteis o regime III não existe continuando a serválida a Lei de Paris.• Nestes casos pode ser substituído ΔK por ΔJ (parâmetro válido para este tipo

de materiais).

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Integração da Lei de Paris

• Integrando a Lei de Paris:

𝑵𝒇 = 𝒂𝒊

𝒂𝒇 𝟏

𝑪 ∆𝑲 𝒎 𝒅𝒂

• Permite obter uma estimativa do número de ciclos até à rotura.

• Como variáveis temos:

– Comprimento inicial ai;

– Comprimento final af;

– Factor geométrico;

– Carregamento;

– Lei de propagação (C e m).

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• Para qualquer função de Y (∆𝜎 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒):

𝑁𝑓 = 𝑎𝑖

𝑎𝑓 1

𝐶 𝑌∆𝜎 𝜋𝑎 𝑚𝑑𝑎

• Para Y constante (∆𝜎 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒):

𝑁𝑓 =2

𝑚 − 2 𝐶 𝑌∆𝜎 𝜋 𝑚

1

𝑎𝑖𝑚−22

−1

𝑎𝑓𝑚−22

𝑁𝑓 =𝑎𝑓

2−𝑚2 − 𝑎𝑖

2−𝑚2

2 − 𝑚2

𝐶 𝑌∆𝜎 𝜋 𝑚

𝑵𝒇 =𝒂𝒇

𝟏−𝒎𝟐 − 𝒂𝒊

𝟏−𝒎𝟐

𝟏 −𝒎𝟐 𝑪 𝒀∆𝝈 𝒎𝝅

𝒎𝟐

Integração da Lei de Paris

• Podemos avaliar quais as características que um material devepossuir para ter elevada resistência à propagação de fendas:• Valores baixos de c e m;• Valores elevados de ΔKlf;• Valores elevados de KIc.

• No entanto podemos ver através de exercícios práticos que oprincipal parâmetro que controla a vida de fadiga, é ocomprimento inicial da fenda.

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Equação da Dimensão de Fenda

• É também possível obter a equação curva de propagação, reescrevendo as equações anteriores:

𝑎𝑓 = 𝑁𝑓 1 −𝑚

2𝐶 𝑌∆𝜎 𝑚𝜋

𝑚2 + 𝑎𝑖

1−𝑚2

1

1−𝑚2

• Y constante e ∆𝜎 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒.

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Curva de Propagação de um Defeito

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Integração da Lei de Paris

• Ou ainda o valor da amplitude de tensão para uma determinada vida de fadiga:

• ∆𝝈 =

𝒂𝒇𝟏−𝒎𝟐 −𝒂𝒊

𝟏−𝒎𝟐

𝟏−𝒎𝟐 𝑪𝝅

𝒎𝟐𝑵𝒇

𝟏𝒎

𝒀

• Y constante e ∆𝜎 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒.

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Modificação da Lei de Paris

• A lei de Paris não inclui o efeito da tensão média, mas a norma ASTM E647 permite modificar a lei para ter em conta a razão de tensões

• Se R≤0

• ∆𝐾 = 𝐾𝑚𝑎𝑥 = 𝑌𝜎𝑚𝑎𝑥 𝜋𝑎

• Se R≥0

• ∆𝐾 = 1 − 𝑅 𝐾𝑚𝑎𝑥 = 1 − 𝑅 𝑌𝜎𝑚𝑎𝑥 𝜋𝑎 = 𝐾𝑚𝑎𝑥 − 𝐾𝑚𝑖𝑛

• Desta forma se a tensão média for negativa a gama de tensão utilizada para calcular a vida de fadiga é menor, logo a resistência à fadiga será maior.

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Parâmetros

• Espessura:• Com o aumento da espessura, aumenta a velocidade

de propagação, pois passamos do estado plano detensões para o estado plano de deformações;

• No primeiro caso a fenda não se propaga totalmenteem modo I, pelo que a componente da tensãoperpendicular ao plano da fenda será menor.

• Tensão Média:• Mais uma vez o aumento da tensão média faz subir a

velocidade de propagação e diminui o limiar depropagação;

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Parâmetros

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Lei de Paris - Alternativas

• A Lei de Paris de um dado material é alteradapelo valor da Razão de Tensões, pelo que seprocurou introduzir esta relação em equaçõesmatemáticas:• Lei de Forman:

•𝑑𝑎

𝑑𝑁=

1

1−𝑅 𝐾𝐼𝐶−∆𝐾𝐴 ∆𝐾 𝑚

• A qual contabiliza os regimes II e III, bem como o efeitoda tensão média.

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Lei de Paris - Alternativas

• Equação de Walker:

• Baseia-se na noção de limiar de propagação de fadiga:

•∆𝐾′ = 𝐾𝑚𝑎𝑥 1 − 𝑅𝛾, ∆𝐾 = 1 − 𝑅

•∆𝐾′ =∆𝐾

1−𝑅 1−𝛾

•𝑑𝑎

𝑑𝑁=

𝑐1

1−𝑅 𝑚 1−𝛾 ∆𝐾𝑚

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Leis de Propagação

Leis de Propagação

-16

-15

-14

-13

-12

-11

-10

-9

-8

0.5 0.7 0.9 1.1 1.3 1.5 1.7 1.9 2.1 2.3

Log(DK)

Lo

g(d

a/d

N)

Paris

Forman

Walker

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Influência da Tensão Média

Influência do Valor de R

-16

-15

-14

-13

-12

-11

-10

-9

-8

0.5 0.7 0.9 1.1 1.3 1.5 1.7 1.9 2.1 2.3

Log(DK)

Lo

g(d

a/d

N)

R=-0.5

R=0.1

R=0.5

R

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Parâmetros

• Ciclo de Tensões:

• As sobrecargas ou picos de tensão, são altamente prejudiciais.

• Produzem aumentos instantâneos da dimensão da fenda, ou que

pode levar à fractura frágil.

• No entanto após esta fase, dá-se uma zona de retardação, onde

não há aumento da velocidade de propagação o que pode ser

utilizado para proteger o funcionamento do componente.

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Parâmetros

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