Propagação do fogo e dinâmicas florestais · Portugal é, todos os anos, fustigado por inúmeros fogos florestais com consequências graves a nível social, ... 3.3.1 Caminhos

FACULDADE DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE DO PORTO

Propagação do Fogo e Dinâmicas Florestais

Maria da Graça de Andrade Oliveira

Licenciada em Matemática

pela Faculdade de Ciências e Tecnologia

da Universidade de Coimbra

Dissertação submetida para satisfação parcial dos requisitos do grau de mestre

em Estatística Aplicada e Modelação

Dissertação realizada sob a supervisão de Professor Doutor Francisco José Lage Campelo Calheiros,

da Secção de Matemática e Física do Departamento de Engenharia Civil da Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto

Porto, Setembro de 2005

Resumo Os incêndios, especialmente durante a época estival, destroem extensas áreas florestais

por todo o planeta. Portugal é, todos os anos, fustigado por inúmeros fogos florestais com

consequências graves a nível social, ambiental e económico. Não parece haver sucesso nas

medidas tomadas relativamente à prevenção e combate dos fogos florestais, já que estes são

recorrentes.

A comunidade científica tem-se mobilizado para este problema sendo, a nível nacional e

internacional, inúmeros os trabalhos de investigação orientados para a prevenção e combate

do fogo florestal descontrolado e indesejável. No entanto, a simulação da propagação do fogo

é ainda um desafio, devido à complexidade dos modelos físicos implicados, à grande

exigência computacional e às dificuldades em estimar os parâmetros.

Neste trabalho construiu-se e testou-se um modelo que simula a propagação do fogo em

florestas em evolução, usando autómatos celulares, baseado em regras matemáticas

elementares. O modelo é simples, podendo, por isso, ser usado e compreendido pelos alunos

do Ensino Básico e do Ensino Secundário.

Factores mal caracterizados ou insuficientemente conhecidos estão integrados no modelo

através de modelação estocástica.

Construiu-se de raiz um simulador em Visual Basic com cuidadosa interface para poder

ser usado em investigação e em sessões com alunos. Testou-se o programa com alunos do 8º e

12º anos de escolaridade com algum sucesso. Para a validação do modelo recuperou-se alguns

resultados ligados à percolação.

Palavras chave: simulação, autómatos celulares, incêndios florestais, modelação matemática

no ensino.

Abstract Forests are destroyed all over the world by unexpected and uncontrolled fire, specially in

summer time. In Portugal a very large number of forest fires occur with severe social,

environmental and economical consequences. It seems that the actions taken until now, to

prevent and fight forest fires, haven’t been successful.

Forest fires became a major research subject among Portuguese and international

researchers. Many simulation models have been developed in an effort to prevent these fires.

Nevertheless fire propagation models are until now a challenge due to the complexity of

physical models, the high computational requirements, and the difficulty to define the input

parameters.

In the scope of this research a model was developed for simulation of forest fires

propagation in evolving forests, using cellular automata. The model is simple, and so it can be

tested and understood by high-school students.

The model integrates by stochastic modelling factors that are not well known.

The simulation was implemented, from the beginning, in Visual Basic, with a carefully

designed graphical user interface. This simulation was also tested by students of the 8th and

12th grade. The model was validated by recovering some percolation results.

Keywords: simulation, cellular automata, forest fires, teaching mathematical modelling.

Agradecimentos Os agradecimentos especiais são para o meu orientador, Professor Doutor Francisco

Calheiros. Esta tese nunca teria sido escrita sem a sua ajuda, persistência e motivação!

Agradecimentos também muito especiais para a Teresa Mota (que como eu se aventurou

neste tipo de trabalho!) e para o João Henrique pela incansável disponibilidade e preciosa

colaboração na implementação informática dos algoritmos em Visual Basic.

Agradeço aos professores da Escola Secundária com 3º Ciclo do Ensino Básico de S. João

da Madeira (Nº 3), em particular, à Salomé Aleixo e ao João Matos pela colaboração e ajuda

na organização das sessões com alunos que realizei na escola; à Goreti e à Anisabel pela

pronta colaboração; ao Presidente, Mário Coelho, e restantes membros do Conselho

Executivo pela forma como disponibilizaram os meios necessários para a realização das

sessões. Os meus agradecimentos estendem-se a todos os alunos que participaram nas sessões,

cuja presença foi essencial e a carinhosa participação me encheu de coragem.

Quero dirigir o meu reconhecimento à Direcção-Geral dos Recursos Humanos da

Educação, por me ter concedido a Licença Sabática que me permitiu desenvolver este

trabalho ao longo do ano lectivo.

À FEUP, em especial à Professora Doutora Teresa Arede, quero expressar os meus

agradecimentos pelas oportunidades que me foram concedidas. Agradeço também à

Professora Doutora Fernanda Sousa pela forma como sempre me recebeu.

Quero expressar os meus agradecimentos à Valquíria pelas conversas partilhadas e à

Cristina Marques pela pronta colaboração na revisão do texto.

Agradeço a todos os familiares e amigos que de alguma forma me apoiaram durante este

percurso, em particular, à Fatinha pelos incentivos que me ajudaram a acreditar ser capaz e,

em especial, ao meu marido e ao meu filho, pelo apoio e amor que ambos me deram e que

serviu de consolo nas más alturas e de motivação nas boas, tornando possível a conclusão

deste trabalho.

Índice

1 Introdução........................................................................................................................1

1.1 Contexto e apresentação do problema....................................................................1

1.1.1 A importância da floresta ..............................................................................1 1.1.2 Gestão dos recursos florestais........................................................................1 1.1.3 Os incêndios florestais...................................................................................2

1.2 Objectivos e limitações do estudo ..........................................................................6

1.3 Estrutura e organização da dissertação...................................................................7

2 A modelação ambiental: elementos bibliográficos..........................................................8

2.1 Breve contextualização sobre modelação ambiental ..............................................8

2.1.1 O conceito de modelo ..................................................................................10 2.1.2 Classificação dos modelos matemáticos em Ecologia ................................11

2.2 Dinâmicas florestais: modelos de simulação........................................................14

2.3 Incêndios florestais: modelos de propagação .......................................................15

3 Conceitos Básicos..........................................................................................................18

3.1 Autómatos Celulares ............................................................................................18

3.1.1 O domínio ....................................................................................................18 3.1.2 A vizinhança ................................................................................................19 3.1.3 O conjunto dos estados ................................................................................20 3.1.4 A função de transição ..................................................................................21

3.2 Percolação.............................................................................................................22

3.2.1 Introdução....................................................................................................22 3.2.2 A transição de fase em percolação ..............................................................24

3.3 Caminhos aleatórios .............................................................................................26

3.3.1 Caminhos aleatórios sobre rede...................................................................26 3.3.2 SAW .............................................................................................................28

4 Fogo numa floresta em evolução: desenvolvimento de um modelo e implementação informática.....................................................................................................................29

4.1 Descrição sumária do modelo integrado ..............................................................29

4.1.1 Geometria celular ........................................................................................29 4.1.2 A rede ..........................................................................................................30

4.2 Modelo de evolução da floresta............................................................................30

4.2.1 Apresentação do modelo .............................................................................30 4.2.2 Aplicação do modelo ao estudo de florestas ...............................................32

4.3 Modelo de propagação do fogo ............................................................................34

4.3.1 Parâmetros do modelo .................................................................................34 4.3.2 Características do modelo............................................................................34 4.3.3 Visualização do fogo ...................................................................................36 4.3.4 O foco de incêndio.......................................................................................37 4.3.5 Obstáculos à propagação do fogo................................................................37

4.4 Utilização do programa ........................................................................................37

5 Algumas explorações do modelo ..................................................................................41

5.1 Forma da área queimada.......................................................................................42

5.2 Probabilidade de propagação em função da densidade florestal ..........................48

5.3 Área ardida final e tempo de fogo em função do parâmetro p. Dependência do tamanho da malha.................................................................................................50

6 Exploração do modelo por alunos do Ensino Básico e Secundário ..............................57

6.1 Metodologia..........................................................................................................57

6.2 Reacção dos alunos ao simulador.........................................................................58

6.3 Algumas considerações sobre esta experiência ....................................................60

Conclusões........................................................................................................................62

Referências bibliográficas ................................................................................................63

Anexos ..............................................................................................................................69

Anexo A: A fórmula de Stirling. ................................................................................70

Anexo B: Programa FlorestaSim................................................................................75

Anexo C: Inquérito. ....................................................................................................89

Índice de figuras Figura 1 – Área ardida total e número total de ocorrências registados anualmente em Portugal Continental, entre 1980 e 2004...............................................................................3 Figura 2 – Dois tipos de vizinhança mais utilizados: (a) vizinhança de Von Neumann; ( b) vizinhança de Moore..........................................................................................20 Figura 3 – Exemplo de percolação bidimensional. ..................................................................23 Figura 4 – A tracejado, as arestas da rede dual da rede quadrangular regular. ........................23 Figura 5 – Diagrama das fases da água: P – pressão; T – temperatura; t – ponto triplo; c – ponto crítico. Retirado de Calheiros (1985).......................................................24 Figura 6 – Rede com malha quadrangular regular ...................................................................29 Figura 7 – Transições do autómato celular (determinista). Adaptado de Elmoznino (1999)...32 Figura 8 – Interpretação “florestal” do autómato. Adaptado de Elmoznino (1999). ..............32 Figura 9 – Exemplos de florestas criadas pelo simulador ( 161210 === nva ). .................33 Figura 10 – Grafo das transições numa célula..........................................................................35 Figura 11 – Interface do simulador FlorestaSim: evolução da floresta. ..................................37 Figura 12 – Interface do simulador FlorestaSim: floresta gerada pelo simulador. ..................38 Figura 13 – Interface do simulador FlorestaSim: propagação de um incêndio........................39 Figura 14 – Interface do simulador FlorestaSim: resultados finais obtidos após a extinção do fogo iniciado na figura anterior. ............................................................................40 Figura 15 – Exemplos de padrões produzidos pelo fogo..........................................................43 Figura 16 – Exemplos de padrões produzidos pelo fogo..........................................................45 Figura 17 – Exemplos de padrões produzidos pelo fogo..........................................................46 Figura 18 – Exemplos de padrões produzidos pelo fogo..........................................................47 Figura 19 – Exemplos de padrões produzidos pelo fogo..........................................................48 Figura 20 – Probabilidade de propagação do fogo, em função da densidade florestal. ...........49 Figura 21 – Percentagem de área queimada e tempo de simulação em função do parâmetro p. ............................................................................................................................51

Figura 22 – Percentagem de área queimada em função do parâmetro p, para diferentes malhas e diferentes localizações do foco de incêndio. ......................................................53 Figura 23 – Duração do fogo em função do parâmetro p, para diferentes malhas e diferentes localizações do foco de incêndio. ..........................................................................54 Figura 24 – Percentagem de área queimada e duração do fogo em função do parâmetro p, em malha 200*200. .....................................................................................................54 Figura 25 – Percentagem de área queimada: (a) Desvio padrão em função da média, para p compreendido entre 0,3 e 0,4; (b) Assimetria em função do achatamento. ..........56 Figura 26 – Segunda parte da sessão realizada a 16 de Março de 2005...................................59 Figura 27 – Segunda parte da sessão realizada a 13 de Abril de 2005.....................................59 Figura 28 – Esquema da sala. ...................................................................................................60

Índice de tabelas

Tabela 1 – Os estados e a respectiva interpretação na interface do simulador FlorestaSim. ...36 Tabela 2 – Relação entre a percentagem de área queimada e o tempo de duração do fogo, para diferentes valores do parâmetro p...................................................................55 Tabela 3 – Erro absoluto e erro relativo da fórmula de Stirling. ..............................................74

Lista de abreviaturas ADAI – Associação para o Desenvolvimento da Aerodinâmica Industrial

CEIF – Comissão Eventual para os Incêndios Florestais

DGRF – Direcção Geral dos Recursos Florestais

MS – Microsoft

max - máxino

SAW – Self Avoiding Walks

SIG – Sistemas de Informação Geográfica

“Conhecer é ser capaz de prever para prover.” Augusto Comte

1 Introdução

1 Introdução

1.1 Contexto e apresentação do problema

1.1.1 A importância da floresta

A floresta é cada vez mais reconhecida como um espaço de extrema importância para a

manutenção dos recursos naturais e para a qualidade de vida no planeta. Cerca de 38% do

território português e quase um terço da superfície terrestre estão cobertos por floresta. O

importante património natural que a floresta integra tem enorme relevância do ponto de vista

ambiental, económico e social.

Do ponto de vista ambiental, a paisagem florestal encerra grande biodiversidade e garante

o necessário equilíbrio ecológico. A floresta tem um papel determinante, nomeadamente, na

protecção dos solos contra a erosão, na regularização do ciclo hidrológico, bem como no

enriquecimento das camadas superficiais do solo.

Na perspectiva económica, o sector florestal é de relevante importância. Em Portugal, a

diversidade e a quantidade dos produtos florestais (cortiça, lenho, resina, frutos, cascas e

essências) (Macedo & Sardinha, 1985a) fazem do sector um forte exportador (11% do valor

global no ano de 1999) que contribui para a manutenção de mais de 7000 empresas, gerando

cerca de 300 mil empregos (directa ou indirectamente ligados ao sector) (CEIF, 2004).

É importante destacar o papel da floresta do ponto de vista social. A qualidade do espaço

físico que as zonas florestais proporcionam é um factor de motivação para a prática de

desportos e actividades de recreio e lazer, bem como um catalizador para o turismo.

1.1.2 Gestão dos recursos florestais

A utilização inadequada da floresta conduziu à degradação ecológica e socioeconómica

em muitas regiões do mundo, sendo evidentes as consequências negativas destas intervenções

ao nível local e do respectivo impacto ao nível global (o efeito de estufa, entre outros)

(Borges, 2000). As florestas tropicais são um exemplo desta perniciosa situação. Segundo

1

1 Introdução

Laurance & Vasconcelos (2000), as florestas da Amazónia estão a sofrer mudanças rápidas

que terão forte impacto sobre a biodiversidade, a hidrologia e o ciclo global do carbono. A

destruição da floresta, para dar lugar a grandes fazendas, e a exploração de madeiras exóticas

estão a transformar a paisagem florestal nesta região do globo, produzindo sobre ela diversos

efeitos nefastos, sendo, um deles, a vulnerabilidade ao fogo.

Durante um incêndio florestal, o dióxido de carbono armazenado pelas árvores durante

décadas, é libertado para a atmosfera em poucas horas, desencadeando de forma gradual

alterações climáticas a nível planetário (Castillo et al., 2003). Os fogos controlados são uma

forma de gestão florestal (Águas, 2000), por permitir a eliminação de vegetação arbustiva,

subarbustiva e herbácea, actuando como um factor de prevenção contra os incêndios florestais

(Macedo & Sardinha, 1985a).

A captação de resíduos florestais que estão em excesso nas matas, isto é, a “limpeza” das

matas, contribui para a diminuição da probabilidade de risco de incêndio florestal. A

utilização dos restos florestais (biomassa florestal) para a produção de energia eléctrica é uma

técnica bem conhecida e comercialmente viável em vários países. A Central Termoeléctrica

de Mortágua, a primeira realização significativa em Portugal nesta forma de produção de

energia, está em actividade desde 1999 (Machado, 2004).

Segundo Silva (2004), “a prevenção e o combate a incêndios florestais são questões

centrais no processo de planeamento florestal, na medida em que delas depende a

concretização de todos os objectivos da gestão”.

1.1.3 Os incêndios florestais

O fogo é um elemento da natureza, sendo utilizado pelo ser humano em diversas

actividades. Os fogos florestais são uma componente natural de muitos ecossistemas e, por

isso, um elemento necessário na manutenção do seu equilíbrio (Lopes et al., 2002). Quando

ocorre um fogo que não é controlado pelo homem tem lugar aquilo que se entende por

incêndio e, quando este afecta a vegetação que cobre os terrenos florestais, ocorre o que se

entende por incêndio florestal (Lopéz, 2004).

2

1 Introdução

Mundialmente, os incêndios florestais destroem, todos os anos, extensas áreas de floresta,

sendo um dos maiores riscos ambientais em todos os países do Mediterrâneo em

consequência das altas temperaturas e das baixas precipitações registadas, especialmente

durante o verão (Abdalhap, 2004). No entanto, para além desta situação quase endémica da

zona mediterrânica, ocorrem também grandes incêndios florestais em outros continentes. São

exemplos os grandes incêndios ocorridos em 2003 na Califórnia e na Austrália e os que

fustigaram a Indonésia e a Amazónia, no biénio 1997-1998 (Lopéz, 2004). Quando intacta, a

floresta equatorial e tropical resiste bem ao fogo e às flutuações do clima, mas a associação

dos efeitos das alterações climáticas com os do uso da terra, faz dos incêndios uma ameaça

para muitas florestas e para a respectiva biodiversidade (Laurance & Vasconcelos, 2000).

Em Portugal, os incêndios são um dos principais problemas da floresta. No verão de 2003,

o nosso país foi particularmente fustigado pelos incêndios florestais, tendo a área ardida

atingido valores verdadeiramente alarmantes. A figura 1 mostra a evolução anual dos totais da

área ardida e do número de ocorrências1, nos últimos 25 anos, de acordo com os dados da

Direcção Geral dos Recursos Florestais (DGRD, 2005 a).

0

50000

100000

150000

200000

250000

300000

350000

400000

450000

1980

1982

1984

1986

1988

1990

1992

1994

1996

1998

2000

2002

2004

Tota

l de

área

ard

ida

(em

hec

tare

s)

0

5000

10000

15000

20000

25000

30000

35000

40000

45000

Núm

ero

de o

corr

ênci

as

Área Nº de ocorrências

Figura 1 – Área ardida total e número total de ocorrências registados anualmente em Portugal Continental, entre 1980 e 2004.

1 “Incêndio, queimada ou falso alarme que origina a mobilização de meios dos Bombeiros.”(definição da DGRF)

3

1 Introdução

De facto, os dados relativos a 2003 surpreendem, não pelo número de incêndios, mas sim

pelo total de área queimada (425 716 hectares). Apesar do número de ocorrências em 2003 ter

sido inferior (apenas cerca de 90%) à média verificada no quinquénio de 1998 a 2002, esse

número tem vindo a aumentar regularmente ao longo das últimas décadas, sendo esse

aumento mais acentuado a partir da década de 90. A partir do início deste século tem-se

verificado a tendência de descida deste número.

Para além da destruição de extensas áreas de floresta e de todos os prejuízos económicos e

ecológicos que daí advêm, os incêndios florestais têm frequentemente consequências muito

graves relativamente à perda de vidas humanas. Em Portugal, em acções directa ou

indirectamente relacionadas com os fogos florestais, perderam a vida vinte e uma pessoas

durante o ano de 2003 (Viegas, 2004).

O problema dos fogos florestais em Portugal poderá vir a agravar-se. Vários autores

(Carvalho, 2002; Santos, 2005) afirmam que, em termos climáticos, as alterações em curso

serão prejudiciais à nossa floresta. Por exemplo, Carvalho (2002) refere que “a previsão de

menores precipitações conduzirá a menores taxas de crescimento dos povoamentos florestais

e a um muito significativo aumento do risco de incêndio”.

A grande maioria dos incêndios florestais em Portugal é causada por acção humana

(Vieira, 2003; Viegas, 2004): as queimadas feitas por agricultores e por pastores são uma das

principais causas identificadas; o número de fogos deflagrados por incendiários tem vindo a

aumentar, sendo um dos motivos de crescente preocupação ao nível da prevenção; o uso de

foguetes tem causado, nos últimos anos, alguns incêndios, apesar de existir legislação

específica nesse campo (Vieira, 2003).

As trovoadas são a principal causa natural capaz de provocar incêndios florestais,

principalmente as “trovoadas secas” que ocorrem durante os meses de verão (Macedo &

Sardinha, 1985b). Em Portugal, este fenómeno teve especial relevo no ano de 2003, tendo

sido apontado como a causa de cerca de 12% dos 187 grandes incêndios (com área superior a

100 hectares) que ocorreram durante o verão (Viegas, 2004).

O facto de se originar um foco de ignição, seja qual for a sua causa, não significa que o

fogo se propague, pois as condições ambientais são decisivas na sua evolução (Macedo &

4

1 Introdução

Sardinha, 1985b). De forma geral, a topografia, a vegetação e a meteorologia são factores

físicos que influenciam o comportamento do fogo, tanto ao nível da sua eclosão como da sua

propagação (Catarino, 2004; Viegas, 2004).

As alterações que, de uma forma geral, a floresta tem sofrido ao longo das últimas

décadas, em função das mudanças do clima e das actividades humanas, parecem aumentar o

risco de catástrofes ecológicas, como grandes incêndios florestais. Esta situação manifesta a

necessidade premente de se implementar medidas de fundo para fazer frente à proliferação

deste tipo de catástrofe.

A comunidade científica tem-se mobilizado para o problema dos fogos florestais sendo, a

nível nacional e internacional, inúmeros os trabalhos de investigação orientados para a

prevenção e o combate deste tipo de fenómeno. No entanto, a simulação da propagação do

fogo é ainda um desafio devido à complexidade dos modelos físicos implicados, à grande

exigência computacional e às dificuldades em estimar os parâmetros (Lopes et al., 2002). Há

parâmetros que não se podem medir directamente podendo, no entanto, ser estimados a partir

de medidas indirectas (por exemplo, a humidade contida na vegetação). Outros parâmetros,

como a direcção e a velocidade do vento, podem medir-se em determinados locais, sendo

necessário interpolar esses mesmos parâmetros para todo o terreno. Atendendo a estas

dificuldades, torna-se complicado encontrar valores para estes parâmetros (Abdalhap, 2004).

Todos estes factores implicam que, na maioria dos casos, os resultados obtidos pelos

simuladores se desviem dos resultados da propagação do fogo numa situação real (Águas,

2000; Lopes et al., 2002; Abdalhap, 2004; Lopéz, 2004).

Na fase final da redacção desta tese, Agosto de 2005, os incêndios florestais que ocorrem

em Portugal, na França e, o caso aparentemente mais grave, em Espanha, mostram que

continuamos muito desprovidos de meios para tratar a ameaça do fogo à floresta.

Em Portugal, entre 1 de Janeiro e 31 de Julho deste ano, ocorreram 91 grandes incêndios

(área ardida superior a 100 hectares), o maior dos quais deflagrou em Seia a 19 de Julho,

tendo afectado os concelhos da Covilhã, Fundão, Arganil, Oliveira do Hospital e Pampilhosa

da Serra, com uma área ardida total de 15 837 hectares (DGRD, 2005 b).

5

1 Introdução

A origem do grande incêndio deste ano em Espanha – um descuido num churrasco –

provocou enorme catástrofe em Guadalajara. Isto justifica que se invista tudo o que for

possível na sensibilização das pessoas, especialmente nas camadas jovens da população.

1.2 Objectivos e limitações do estudo

O objectivo principal deste trabalho é avaliar o estado da arte, ao nível mundial, sobre a

gestão de fogos florestais e procurar explicações para as dificuldades encontradas que levam à

recorrência de fogos descontrolados em diversos países, nomeadamente em Portugal. Com

este trabalho pretendemos também construir, testar e avaliar um modelo que simule a

propagação do fogo em florestas em evolução, baseado em regras simples da Matemática

Aplicada. Pretende-se um modelo bastante simplificado, na perspectiva de poder ser usado e

compreendido pelos alunos do 3º Ciclo do Ensino Básico e do Ensino Secundário.

Um dos objectivos específicos deste trabalho visa a divulgação, ao nível do Ensino Básico

e Secundário, da investigação científica na área da simulação de fogos florestais,

proporcionando o contacto com um trabalho de aplicação da disciplina de Matemática a

situações concretas, fomentando o interesse pela investigação e pelas ciências.

A simulação foi feita recorrendo a autómatos celulares, sendo implementado em MS

Visual Basic 6.0. A escolha desta linguagem deve-se à facilidade de desenvolvimento e

robustez e, em especial, à facilidade na criação de interfaces gráficas com o utilizador. Todas

as simulações foram efectuadas numa plataforma com o sistema operativo MS Windows XP

2002 Professional.

A autora deste trabalho, deliberadamente decidiu limitar ao máximo os aspectos contínuos

da propagação do fogo e da evolução da floresta. Esta escolha é corroborada por muitos

autores, sobretudo aqueles que estudam sistemas dinâmicos, entre os quais todos os que

utilizam os autómatos celulares (ver página 13).

6

1 Introdução

1.3 Estrutura e organização da dissertação

A dissertação pode ser dividida em duas partes. Na primeira parte, constituída pelos

capítulos 2 e 3, faz-se uma revisão de alguns termos e conceitos ligados à modelação

ambiental, em particular aos modelos de propagação de fogos florestais. A segunda parte é

composta pelos restantes capítulos e trata da construção e análise do modelo desenvolvido

neste trabalho destinado à simulação de incêndios florestais.

No segundo capítulo, faz-se uma breve contextualização sobre modelação ambiental e

apresenta-se uma revisão bibliográfica dos modelos de simulação de dinâmicas florestais e,

sobretudo de propagação de fogos florestais.

No terceiro capítulo, faz-se uma exposição de conceitos básicos com possível ligação à

simulação de fogos florestais.

No quarto capítulo, faz-se a descrição do modelo desenvolvido neste trabalho em paralelo

com a sua implementação informática. Na última secção deste capítulo, apresenta-se a

interface do programa FlorestaSim, bem como algumas explicações sobre o seu

funcionamento.

Nos capítulos 5 e 6 apresentam-se explorações do modelo. No quinto capítulo, faz-se a

análise de algumas características do modelo, recuperam-se alguns resultados de percolação e

faz-se uma interpretação dos resultados no contexto florestal. No sexto capítulo, apresenta-se

os resultados das experiências realizadas, com o simulador, com alunos do 8º e 12º anos da

Escola Secundária com 3º Ciclo do Ensino Básico de S. João da Madeira (Nº3).

Este texto termina com a apresentação das conclusões gerais do estudo e são apresentadas

algumas ideias para desenvolvimento futuro.

7

2 A modelação ambiental: elementos bibliográficos


2.1 Breve contextualização sobre modelação ambiental

Desde sempre, os ecologistas tentaram compreender a complexidade temporal, espacial e

estrutural dos sistemas ecológicos, apesar dos métodos de análise se mostrarem pouco

adequados para o efeito, pelo menos do ponto de vista actual. O aparecimento dos

computadores permitiu desenvolver novos métodos para o estudo destes sistemas (ver, por

exemplo: (Malone et al., 1967), (Legendre & Legendre, 1979)).

Estes dois últimos autores já são de uma segunda geração de ecologistas que, por um lado,

perceberam as novas possibilidades que o computador trouxe, permitindo os estudos

multidimensionais (análise em componentes principais (ACP) e suas variantes, métodos de

classificação e de ordenação, análise de sucessões temporais e o uso de processos de Markov),

por outro lado, mantêm a enorme desconfiança entre ecologistas e estatísticos, confirmada

pelo que escreve Ramón Margalef 2 (ver também (Margalef, 1982)) no prefácio aos dois

tomos do livro de Legendre & Legendre (1979):

“Este livro é feito por ecologistas e para ecologistas, diferindo dos numerosos

livros redigidos por estatísticos procurando vender a sua mercadoria que se

satisfazem a tomar e a retomar exemplos imaginários e que consideram que o

reportório das respostas deve condicionar a escolha dos problemas a

estudar”.

“Os sistemas vivos são antes de tudo sistemas físicos e não seres imaginários

e há um grande avanço se a aplicação das matemáticas à biologia for feita

através do filtro da física”.

A primeira citação leva a alguns reparos. De facto, os matemáticos, em particular os

estatísticos, muitas vezes com grande ignorância dos fenómenos em estudo, fazem “Toy

models” que são completamente disparatados (por exemplo, um rio com caudais negativos, na

montanha). Por outro lado, os modelos empíricos, muito bem justificados em relação a

2 Ecologista.

8


aspectos parcelares da realidade, mas muitas vezes não conseguem deixar de ser uma “manta

de retalhos” em que o essencial se perdeu (por exemplo, o facto de no meio de um fogo

catastrófico e descontrolado haver preocupações com algum animal ou algum detalhe sobre o

tipo de árvore que está a ser consumida pelo fogo). Aqui, os modelos simplificados da

matemática dão uma resposta global muito mais rápida e, por isso mesmo, muito mais útil

(Calheiros, 2005).

A Mecânica Estatística consegue modelar, com alguma capacidade de predição, fogos

numa floresta considerando como aleatório o que se passa em cada ponto. De facto, hoje

consegue descrever-se o comportamento colectivo de grandes grupos, mesmo que a descrição

individual não seja muito precisa (sabe descrever-se globalmente uma floresta ou a

propagação de um fogo, usando regras muito simplicistas ao nível individual). Foi aqui que o

computador permitiu fazer grandes avanços (simulando florestas inteiras, fogos em florestas

inteiras, etc.) em que o detalhe dos comportamentos individuais não é muito influente no

comportamento colectivo (Calheiros, 2005). A simulação computacional é, naturalmente, uma

consequência directa da construção dos primeiros computadores electrónicos na década de

1940-50 (Fernandes, 2003), mas o desenvolvimento foi lento e, só talvez nos anos 80 se

atingiu a maturidade.

Para ser completamente eficaz, a Mecânica Estatística de modelos sobre rede deve

permitir comparar a rede teórica (rede em estudo) com os valores do terreno, avaliar a unidade

de comprimento da rede e também ligar o tempo real ao tempo de simulação – é o que é feito

com sucesso por Calheiros (ver (Calheiros, 1993, 1998)) no caso da difusão de poluentes no

mar. Para o tamanho da rede elementar, Calheiros (1993 e 1998) obteve 51 metros e, em

muitos dos problemas ambientais a grande escala, são usados 50 metros ((Hargrove et al.,

2000), por exemplo).

A modelação ambiental estuda a representação de fenómenos complexos, onde factores

económicos, sociais, climáticos e ecológicos, entre outros, podem ser considerados. Os

primeiros modelos ambientais não eram espacialmente explícitos, isto é, não se preocupavam

com o padrão espacial das mudanças ocorridas ou com o prognóstico do local onde as

mudanças deveriam ocorrer (Carneiro, 2004). De facto, os modelos não espacialmente

explícitos tratavam apenas de quantidades que pareciam ser médias, isto é, se fosse uma selva

tigrada do modelo de Thiéry et al. (1995) era uma mancha cinzenta, não sendo nada claro o

9


tipo de padrão (listas pretas e brancas como as de uma zebra ou quadrados como num

tabuleiro de xadrez ou, ainda, como um cinzento uniforme).

Actualmente, existe uma grande variedade de modelos espacialmente explícitos,

aplicáveis a uma grande diversidade de áreas, tais como: difusão de epidemias, dinâmicas

populacionais, mudanças do uso do solo, dinâmicas florestais e propagação de fogo (Soares-

Filho et al., 2003). Muitos destes métodos são apoiados pela introdução de dados

provenientes de Sistemas de Informação Geográfica (SIG) e da monitorização por satélite.

Neste capítulo, apresenta-se uma revisão dos modelos ambientais destinados ao estudo das

dinâmicas florestais (secção 2.2) e da propagação de incêndios (secção 2.3). Consoante as

suas características, os modelos podem ser classificados por diversos critérios. Pretendendo

dar uma ideia da grande diversidade de modelos existentes nesta área, apresenta-se, na secção

2.1.2, uma dessas classificações.

2.1.1 O conceito de modelo “Um modelo é uma representação abstracta de um sistema ou processo” (Turner et al.,

2001). Os modelos podem ser formalizados de várias maneiras e em vários contextos. Os

modelos físicos são correntemente usados em muitos ramos do conhecimento (por exemplo,

modelos de rios (Magalhães, 2005), modelos de pontes (Henriques, 1998), etc.). Os

ecologistas também constroem modelos físicos (por exemplo, modelos demográficos,

modelos meteorológicos, modelos de florestas, modelos de contágio, etc.). Os modelos,

muitas vezes abstractos, utilizam símbolos para representarem características do sistema em

estudo (por exemplo, um modelo matemático pretende descrever ou representar a realidade

mediante o uso da linguagem matemática). Os modelos matemáticos são comummente usados

em Ecologia (Legendre & Legendre, 1979; Turner et al., 2001).

O ponto de partida em qualquer ciência natural é uma descrição, tão cuidadosa quanto

possível, da realidade. Os modelos apoiam-se nessas descrições e tentam filtrar o que é

essencial do que é detalhe. Após a construção de um modelo é necessário regressar às

descrições para analisar se este é ou não adequado para descrever essa realidade. Assim, um

10


modelo, antes de ser verificada a sua adequação, não é mais do que um mero exercício

matemático que pode estar fora da realidade (Calheiros, 2005). Os modelos ajudam a definir

os problemas com maior precisão e os conceitos com maior clareza. No entanto, só são úteis

se permitirem fazer algum tipo de previsão (Oliveira, 1992).

A componente estocástica é, cada vez mais, integrada como uma forma pragmática de

lidar com a incerteza e com o desconhecimento do detalhe da realidade (Oliveira, 1992).

Como os dados são sempre discretos e os computadores são discretos, cada vez mais o

protagonismo tem sido dos autómatos celulares estocásticos, que parecem ser um bom

instrumento de modelação em muitas circunstâncias, justificando assim o não uso dos

métodos contínuos (ver secção 1.2).

2.1.2 Classificação dos modelos matemáticos em Ecologia Um modelo matemático diz-se um isomorfismo, em relação ao objecto de modelação, se

satisfizer as seguintes condições: todo o elemento pertencente ao objecto é representado por

um elemento correspondente no modelo e vice-versa; toda a função, definida por elementos

do objecto, é representada por uma função correspondente, definida pelos correspondentes

elementos do modelo, e vice-versa; toda a relação entre os elementos do objecto é

representada por uma relação correspondente nos elementos do modelo.

Em Ecologia, os objectos (populações, comunidades, ecossistemas) são muito complexos,

sendo impossível reproduzir no modelo todas as características do objecto de modelação.

Assim, perde-se a correspondência entre o objecto de modelação e o modelo, pelo que todos

os modelos matemáticos em Ecologia são, no máximo, homomorfismos (Gertsev & Gertseva,

2004), daí se justificar, um pouco, as “reticências” de Margalef (ver secção 2.1). Há

características que não passam do modelo para o real e vice-versa. São elementos ou relações

que estão no conjunto final (modelo) e que não correspondem a nenhum elemento ou relação

no conjunto inicial (objecto de modelação). Por outro lado, poderemos encontrar

características no modelo ainda não detectadas no conjunto inicial, sendo assim, predições a

serem confirmadas, ou não, por novas observações. São estas predições, se confirmadas, que

tornam a modelação fecunda (Calheiros, 2005).

11


A grande diversidade de modelos matemáticos em Ecologia originou diversas descrições e

classificações por parte de vários autores, entre os quais Turner et al. (2001) e Gertsev et al.

(2004). Segue-se uma revisão de alguns termos usados na classificação deste tipo de modelos

segundo Turner et al. (2001):

Deterministas versus Estocásticos

Um modelo é determinista se produz, para repetidas simulações, resultados iguais a partir

de um mesmo conjunto de condições iniciais. Estes modelos, geralmente baseados em

equações diferenciais e em derivadas parciais, não incorporam variáveis aleatórias,

caracterizando um dado fenómeno através das variáveis e parâmetros do próprio modelo. No

entanto, se o modelo incorpora elementos probabilísticos então diz-se que o modelo é

estocástico. Por exemplo, “numa floresta, o conjunto de factores que contribuem para a

variação no espaço da produtividade ou da vitalidade de uma espécie, é de tal ordem

complexo que a incerteza daí resultante torna difícil a sua integração num modelo

determinista” (Soares, 2000). É claramente o mesmo que afirma Oliveira (1992) ao dizer que

é céptico e pragmático, usando o estocástico como modelo quando há incerteza ou ignorância.

Os modelos de índole estocástica são de uso relativamente recente porque as técnicas

estocásticas estavam pouco desenvolvidas (por exemplo, equações diferenciais estocásticas) e

porque com o computador é possível fazer extensas simulações estocásticas (Monte Carlo),

havendo também técnicas para interpretação das simulações (Calheiros, 2005).

Analíticos versus Simulação

A equação que descreve o crescimento exponencial numa população é um exemplo de um

modelo analítico. Muitos modelos ecológicos, especialmente os que são usados em

ecossistemas e na Ecologia da Paisagem, são modelos de simulação. Simular é imitar, passo a

passo, o comportamento do sistema ou fenómeno em estudo. Os modelos de simulação

incorporam regras matemáticas locais com a intenção de reproduzir, o melhor possível, o

sistema, utilizando o computador para obter os resultados. De facto, a maioria das vezes, os

modelos analíticos são usados via integrações e iterações, o que faz com que a sua utilização

seja idêntica à das simulações estocásticas.

Os métodos analíticos muitas vezes são globais (correspondem a análises globais do

sistema), não são espacialmente explícitos, não permitindo, muitas vezes, a análise das

variações espacio-temporais (Calheiros, 2005).

12


Dinâmicos versus Estáticos

Os modelos podem ser classificados como dinâmicos ou estáticos conforme as

características em estudo variam ou não com o tempo. Nos sistemas dinâmicos, a avaliação da

relação entre o tempo no modelo e o tempo real é muito importante, sendo necessário avaliar

as escalas do tempo. Por exemplo: nos estudos de evolução das florestas a unidade de tempo é

relativamente grande (um ano, ou mais) enquanto que para fogos florestais é uma unidade

pequena (um minuto, por exemplo). Os modelos de simulação são dinâmicos (mesmo que,

por vezes, as dinâmicas sejam só formais).

Discretos versus Contínuos

Se um modelo é dinâmico, então as alterações em função do tempo podem ser descritas de

diferentes maneiras. Se o modelo usar equações diferenciais, então a alteração com o tempo

dá-se em pequenos passos (infinitesimais), tratando-se de um modelo contínuo. Modelos com

intervalos de tempo discretos avaliam as condições actuais e depois passam para o instante

seguinte, considerando-se inalterados no intervalo entre dois instantes. Os intervalos entre

instantes podem ser constantes (é obtida uma solução a cada minuto, a cada hora, a cada ano)

ou irregulares. Os modelos de perturbação da paisagem (incêndios, por exemplo) podem ser

discretos. A simulação em computadores impõe a discretização dos modelos contínuos.

Empíricos

Um modelo empírico baseia-se directamente na observação ou na experiência, isto é, os

parâmetros das equações deste tipo de modelo são determinados directamente a partir dos

dados. Por exemplo, num modelo de propagação de incêndios florestais deste tipo (entre os

quais está o modelo de (McAthur, 1966) ), os dados são obtidos em fogos ocorridos em

terrenos reais ou em laboratório, donde as previsões obtidas são, geralmente, boas para

condições similares. A adopção deste tipo de modelos para condições que se afastem daquelas

para as quais os modelos foram construídos deve ser feita com muitas reservas (Águas, 2000;

Lopéz, 2004).

Espaciais

Os modelos espaciais incluem vários pontos simultaneamente, podendo ser dinâmicos ou

estáticos. O processo de modelação de fenómenos espaciais dinâmicos envolve, para além da

construção do modelo, inúmeras observações que se arrumam com a construção de uma

adequada base de dados. Os Sistemas de Informação Geográfica (SIG) são, muitas vezes,

13


ferramentas adequadas para armazenamento e tratamento desses dados. A avaliação do

tamanho da malha é crucial para a realização de predições úteis (Calheiros, 2005).

2.2 Dinâmicas florestais: modelos de simulação

Os aspectos mais relevantes das populações de organismos fixos e com ciclos de vida

longos (como, por exemplo, as árvores de uma floresta) dizem respeito à sua Estrutura

Espacio-Temporal, isto é, à forma como os indivíduos se dispersam pelo espaço e pelo tempo

(Rosado, 1992). De facto, uma floresta é um conjunto de espécies vegetais com as suas

interacções.

Nas últimas décadas, têm sido desenvolvidos numerosos modelos de simulação com o

objectivo de investigar as dinâmicas florestais. Para uma revisão, o leitor mais interessado

poderá ver diferentes abordagens em trabalhos recentes (ver, por exemplo:(Berger &

Hildenbrandt, 2000), (Monserud, 2003), (Mladenoff, 2004), (Weisberg et al., 2005)).

Os modelos de dinâmicas florestais são usados para tentar prever a evolução de algumas

quantidades: produção de biomassa e determinação do seu máximo (clímax de floresta),

produção de matéria lenhosa, risco de incêndio, entre outras. Estas quantidades podem ser

apenas de variação natural ou induzida pelo Homem.

No capítulo 4 desta tese, é apresentado um modelo de evolução de floresta (baseado nos

trabalhos de Elmoznino (1996 e 1999)). O seu desenvolvimento e análise mais detalhada

serão realizados noutro trabalho, sendo de particular interesse para o estudo da recuperação da

floresta após a ocorrência dum fogo.

Deve notar-se que, neste campo, a intervenção dos físicos parece mais limitada e tem sido

limitada a florestas monoespecíficas e, dadas as dificuldades de publicação, têm publicado

“apenas” artigos de combinatória (de que é exemplo (Elmoznino, 1999) em autómatos

celulares). Segundo Duarte (1996), os físicos preocupam-se com o fogo médio numa floresta

média.

14


2.3 Incêndios florestais: modelos de propagação

A investigação das dinâmicas dos incêndios florestais está a tornar-se um dos desafios

com maior importância científica no campo dos estudos ambientais (Lasaponara et al., 2005).

A importância da modelação matemática dos incêndios florestais radica na possibilidade de

previsão do comportamento destes fenómenos e dos seus efeitos. Os modelos de propagação

dos incêndios florestais podem ser ferramentas valiosas na decisão dos métodos de ataque,

estimação e desenvolvimento de recursos, medidas de segurança dos combatentes do fogo e

das populações na zona do sinistro, bem como em diversas decisões destinadas a minimizar

os custos materiais e económicos (Lopéz, 2004). Sendo possível conhecer a velocidade de

propagação, a direcção e a intensidade de um fogo florestal, seria possível decidir qual a

frente a atacar e a maneira mais adequada para efectivar esse ataque. Os casos conhecidos

fazem supor que este conhecimento não existe em tempo útil.

A predição no campo dos fogos florestais tem vindo a desenvolver-se nos últimos anos

existindo, na literatura, uma grande quantidade de modelos desenvolvidos com essa

finalidade. Apesar dos progressos, há muitos problemas por resolver no que diz respeito à

simulação deste tipo de fenómeno, sendo frequentes as divergências entre os resultados

obtidos através dos modelos e a realidade. Muito mais frequentes parecem ser as

controvérsias entre os diferentes intervenientes, não parecendo que se tenham obtido técnicas

universalmente aceites de previsão e ataque para fogos florestais. Por isso, algum consenso

tem vindo a formar-se sobre a necessidade de concentrar esforços na prevenção deste tipo de

fenómeno.

Concretizando, na situação actual não parece haver consenso sobre o que foram avanços

em modelação de fogos florestais. Duarte (1996) é particularmente céptico, referindo que “as

simulações significam muitas coisas para muita gente”. Assim, realizou-se um percurso

dirigido pela bibliografia disponível (neste campo está muito longe de definitivo), mas cujas

escolhas são pessoais. Existem diversas classificações da modelação matemática dos

incêndios florestais, consoante os elementos considerados pelos investigadores neste campo

(Lopéz, 2004). Na literatura, esta classificação para além de muito variada é, antes de mais,

pouco consistente. Deve notar-se que os modelos e a respectiva classificação estão muito

ligados às posições filosóficas e políticas e à formação científica dos seus autores.

15


Dada a grande quantidade e variedade de modelos destinados ao estudo do

comportamento dos fogos florestais, torna-se incomportável fazer referência a todos eles neste

trabalho. Das diferentes revisões destes modelos conservam-se apenas duas (Hargrove et al.,

2000; Pastor et al., 2003), deixando ao leitor interessado a leitura de outras revisões em

(Lopes et al., 2002; Keane et al., 2004; Lopéz, 2004).

No artigo de Pastor et al. (2003) é apresentada uma revisão bastante ampla dos diversos

tipos de modelos matemáticos sobre fogos florestais, onde a natureza das “equações” de

propagação, as variáveis em estudo e os “sistemas físicos modelados” são considerados como

os principais factores de distinção entre modelos. Consoante a natureza e a origem das

“equações” de propagação, os modelos de propagação de incêndios florestais podem ser

agrupados em três grupos: modelos estatísticos (ou empíricos), modelos físicos (ou

deterministas) e aqueles que se encontram numa situação intermédia (modelos semi-empíricos

ou semi-físicos) (Águas, 2000; Pastor et al., 2003; Lopéz, 2004).

Lopéz (2004) apresenta, no capítulo 4, um resumo das principais características de alguns

dos modelos de propagação de fogos florestais “mais representativos” na literatura,

nomeadamente o modelo semi-físico de Rothermel (1972) que tem sido incluído em muitos

outros modelos (alguns exemplos, citados em Lopes et al. (2002): DYNAFIRE (Kalabokidis

et al., 1991); FIREMAP (Ball & Guertin, 1991); FARSITE (Finney, 1998); FireSation (Lopes

et al., 1998) ) e constitui a base dos sistemas BEHAVE e NEXUS (sistemas de previsão do

comportamento dos incêndios, utilizados pelo Serviço Florestal do Departamento de

Agricultura dos Estados Unidos).

A muito complexa interacção entre as condições atmosféricas, a forma de ignição, a

topografia do terreno, o tipo de vegetação e a humidade contida nessa mesma vegetação faz

com que o fogo seja um fenómeno difícil de modelar com sucesso. Muitos dos modelos (por

exemplo: (Rothermel, 1972, 1983), (Albini, 1976), (Kessel, 1976), (Van Wagner, 1977),

(Burgan & Rothermel, 1984), (Albini & Stocks, 1986)) que simulam a propagação do fogo,

baseiam-se nos princípios da termodinâmica que requerem informação detalhada sobre

velocidade do vento, topografia, humidade relativa do ar, humidade da vegetação e a estrutura

e densidade da vegetação (Hargrove et al., 2000). Ora, aparentemente, o uso mais sistemático

das regras da termodinâmica sugerem fortemente o uso de modelos de fenómenos colectivos –

16


que é designado por Mecânica Estatística (percolação, sistemas sobre rede, conjunto de

estados discreto) (Calheiros, 1985).

A contribuição portuguesa nesta área tem vindo a ganhar destaque na literatura. Entre os

modelos mais divulgados citam-se aqui apenas quatro: Firegis (Almeida et al., 1997),

Geofogo (Vasconcelos et al., 1998), FireStation (Lopes et al., 1998) e Spread (Mendes-Lopes

& Águas, 2000).

O modelo de simulação espacial DINAMICA (Soares-Filho et al., 2002), baseado em

autómatos celulares, apresenta diversas potencialidades, entre as quais a possibilidade de

simular propagação de fogo. Surpreendentemente, a contribuição brasileira, muito

reconhecida e divulgada na literatura ao nível da América Latina, parece ser ignorada fora

desse contexto.

Não seria comportável no espaço-tempo desta tese, uma versão mais crítica ou detalhada

pois imporia o teste dos modelos e a análise de dados de fogos, que estão fora deste âmbito.

Entre muitos outros aspectos relevantes, também não foi aqui falado da recolha de dados de

fogos florestais e no estudo de casos (ver, por exemplo, (ADAI, 1997), particularmente lição

nº 12 e suplemento de Xavier Viegas e Miguel Cruz).

17

3 Conceitos Básicos


Neste capítulo, serão apresentados alguns conceitos que serviram de base ao

desenvolvimento e análise dos modelos de simulação apresentados no capítulo 5.

3.1 Autómatos Celulares

Os autómatos celulares surgiram no início dos anos 70, sob a forma de um jogo de

computador – O Jogo da Vida (The Game of Life) – inventado por Jonh Conway. Por

definição, os autómatos celulares são sistemas dinâmicos discretos no espaço e no tempo,

usualmente implementados em malhas regulares. A sua vantagem, relativamente a outros

métodos, é serem discretos e por isso facilmente implementáveis em simulação

computacional.

Quase sempre, os autómatos celulares são apresentados na literatura de forma informal3

(do ponto de vista matemático), referindo-se as suas principais características. Elmoznino

(1999) apresenta uma formalização matemática dos autómatos celulares que serve de base a

modelos por ele desenvolvidos. Nesta secção são apresentadas algumas das características dos

autómatos celulares formalizadas pelo referido autor, as quais se pretendem implementar nos

modelos desenvolvidos neste trabalho. Este autor foi escolhido porque trata dos autómatos

celulares com a intenção do estudo de dinâmicas florestais.

3.1.1 O domínio As células que compõem um autómato celular podem ser de diferentes formas, devendo

constituir uma pavimentação do plano (caso infinito) ou de uma parte do plano (caso finito).

A geometria celular influencia a aplicabilidade e a eficiência do método a utilizar (Águas,

2000), optando-se pela discretização do plano com células quadradas de igual tamanho.

3 Só a literatura sobre teoria dos autómatos celulares apresenta definições explícitas.

18


Definição 3.1.1: Chama-se domínio, e denota-se por D, de um autómato celular A, ao

conjunto das células do autómato.

Define-se ainda um conjunto de índices, I, tal que exista uma bijecção de D em I, que a

cada célula faz corresponder o seu índice. Assim:

{ } IiicD ∈=

Exemplos: - Domínio unidimensional, de tamanho infinito, indexado por .

… 3−c 2−c 1−c 0c 1c 2c 3c …

- Domínio bidimensional, de tamanho finito, indexado por { } { }100,...,1100,...,1 ×=I .

1,1c … 100,1c

...

…

1,001c … 100,001c

Neste trabalho será, quase sempre, utilizado o domínio apresentado neste último exemplo.

Os físicos teóricos insistem nos tamanhos infinitos, na obtenção de quantidades independentes

em relação ao tamanho da malha e, se possível, da forma como a malha converge para

infinito.

3.1.2 A vizinhança Uma função de vizinhança de interacção é definida, associando cada célula aos seus

“vizinhos”.

19


Definição 3.1.2: Chama-se função de vizinhança4 à função V definida da seguinte forma: V : D P(D) ( sendo P(D) o conjunto das partes de D ) → c a V (c)

em que V (c) é o conjunto das células vizinhas da célula c.

Esta definição é muito geral, permitindo variadas funções de vizinhança. Geralmente, as

vizinhanças de interacção mais utilizadas, para estudos de fogos e de dinâmicas florestais, são

as que se seguem (Figura 2):

- A vizinhança de Von Neumann: { })1,()1,(),1(),1(),( ,,,)( +−+−= jijijijijiN cccccV

- A vizinhança de Moore: { })1,1()1,1()1,1()1,1(),(),( ,,,)()( ++−++−−−∪= jijijijijiNjiM cccccVcV

(a)

c

(b)

c

Figura 2 – Dois tipos de vizinhança mais utilizados: (a) vizinhança de Von Neumann; ( b) vizinhança de Moore. Neste trabalho só serão utilizadas vizinhanças destes dois tipos.

3.1.3 O conjunto dos estados

Considere-se o conjunto, E, dos estados de um autómato celular. A cada célula do

autómato é associado um elemento do conjunto E. Geralmente, E é um conjunto finito.

Alguns autómatos celulares, como por exemplo “The Game of Life”, de Jonh Conway,

dispõem apenas de dois estados: { }1,0=E . O número de estados dos autómatos utilizados

neste estudo será referido no capítulo seguinte, aquando da descrição dos modelos.

4 Elmoznino (1999), em que nos baseamos, chama apenas vizinhança, porém este termo tem outro sentido em matemática.

20


Pode definir-se a noção de estado do sistema ou configuração: é a aplicação U, que a cada

elemento de D associa um elemento de E. Assim:

U(.) : D → E c U (c) a

3.1.4 A função de transição Falta ainda definir as regras que definem a dinâmica dos autómatos celulares, ou seja, a

função de transição entre os diferentes estados do sistema.

A função de transição do sistema toma como argumento uma configuração,

transformando-a noutra configuração. Pode estender-se esta definição de função de transição

a todo o domínio de autómato. Seja N o número total de células do domínio. Tem-se:

T : NE → NE U(.) a (.)'U

Para cada c, é uma função de e de , em que V(c) são os “vizinhos”

de c.

)(' cU )(cU ))(( cVU

Em geral, V(c) tem a mesma forma para todo o c, com a excepção das células que

pertencem ao bordo do domínio que não têm o mesmo número de células na sua vizinhança

que as restantes. Este problema pode ser resolvido de duas formas: definir condições

específicas de vizinhança para as células do bordo (que, em termos de algoritmo, será pouco

eficiente), ou “emoldurar” o domínio do autómato com células, destinadas unicamente para

elementos da vizinhança das células do bordo. Estas questões do bordo não vão ser aqui

discutidas.

21


3.2 Percolação

3.2.1 Introdução O termo percolação foi apresentado, no final da década de 50, por Broadbent e Hamersley

com um sentido oposto ao termo difusão. O modelo de percolação baseia-se na descrição do

meio poroso que é visto como uma rede de canais aleatórios, por onde escoa um fluído

determinístico (por exemplo, água a atravessar - ou percolar – uma massa de areia), enquanto

que no modelo de difusão, o fluído pode ser visto como aleatório, sendo o meio

determinístico (por exemplo, quando partículas dum fluído se movimentam num dado meio,

não seguem trajectórias lineares uma vez que ocorrem colisões aleatórias entre elas (Marques,

2001)) (Sok, 1994; Braga et al., 2002). Na difusão, os movimentos têm, em geral, todas as

direcções e sentidos enquanto que na percolação, usualmente, há uma direcção e um sentido

bem definidos. Em certo sentido, o fogo também é um processo difusivo: a partir do foco

(como uma mancha de óleo no mar), o fogo propaga-se à floresta. O fogo não costuma voltar

para trás (isto é, não queima o que já está queimado) e em difusão há essa hipótese.

Existem vários tipos de modelos de percolação, sendo um dos factores da distinção o tipo

de rede utilizada (triangular, quadrangular, hexagonal, etc.). Distingue-se percolação de nós

(sítios) de percolação de arestas: na percolação de nós, um sítio (célula) pode estar ou não

ocupado (está ocupado com probabilidade p e vazio com probabilidade ) e apenas

existem ligações com células próximas; na percolação de arestas, todos os sítios estão

ocupados e há arestas entre os sítios vizinhos (cada aresta tem uma probabilidade p de existir

e uma probabilidade de não existir) (Sok, 1994).

p−1

p−1

Na figura 3 pode ver-se um exemplo de percolação bidimensional de sítios em rede

quadrangular. Para (Figura 3 (b)) há percolação, isto é, existe passagem (caminhos)

de um bordo ao bordo oposto, enquanto que para

60,0≈p

45,0≈p (Figura 3 (a)) não há percolação.

Para fogos, o conceito de percolação foi, neste trabalho, adaptado significando um

caminho de um ponto (foco do incêndio) até à fronteira.

22


(a) (b) Saída

Entrada

Figura 3 – Exemplo de percolação bidimensional numa rede quadrangular de dimensões 20×20 com: (a) ≈p 0,45; (b) ≈p 0,60 . Os sítios estão assinalados com ou sem• , conforme estão ou não ocupados. Retirado

de Sok (1994). Por dualidade, numa rede quadrangular regular, a percolação de sítios está naturalmente

ligada à percolação de arestas, uma vez que a rede dual5 é a própria rede (Figura 4).

Figura 4 – A tracejado, as arestas da rede dual da rede quadrangular regular.

5 Chama-se rede dual à rede que tem como nós os centros das faces e como arestas as linhas que unem os centros de faces adjacentes.

23


Os modelos de percolação encontram aplicações em diversos fenómenos. Entre muitos

outros, alguns exemplos são: a passagem da água através do café moído, o alastramento de

epidemias (tais como a propagação do vírus da SIDA), a formação de galáxias, a prospecção

de petróleo e a propagação de fogos florestais (Oliveira & Braga, 2002; Krüger, 2003).

Em relação aos incêndios florestais, muitas vezes o fogo só se propaga num sentido. Por

exemplo: numa encosta, o fogo só se propaga para cima, não se propaga para baixo; se houver

vento, o fogo só se propaga na direcção do vento. Nestes casos a percolação é dirigida

(directed percolation).

3.2.2 A transição de fase em percolação

Muito embora o significado da expressão transição de fase não seja do conhecimento

geral, o mesmo não se aplica ao conhecimento de situações onde este fenómeno ocorre. O

exemplo mais comum é a passagem da água no estado líquido para a água no estado sólido

(fusão do gelo) ou para a água no estado gasoso (vaporização ou evaporação), em função da

sua temperatura (Figua 5) (Calheiros, 1985). Menos familiar é a transição de fase num

material magnético. Por exemplo, um íman perde a propriedade de atrair limalhas de ferro

quando, ao ser aquecido, atinge temperaturas muito altas, isto é, o íman muda da fase

ferromagnética para a fase paramagnética (Oliveira & Braga, 2002).

clíquido

gás t

sólido

T

P

Figura 5 – Diagrama das fases da água: P – pressão; Tde Calheiros (1985).

c T

– temperatura; t – ponto triplo; c – ponto crítico. Retirado

24


Uma definição de transição de fase é apresentada, na página 59, por Calheiros (1985):

“Intuitivamente diz-se que um sistema tem uma transição de fase quando é

macroscopicamente instável, isto é, “pequenas” modificações nas condições exteriores

(campo magnético, temperatura, etc.) provocam “grandes” modificações em variáveis

macroscópicas do sistema (magnetização, densidade, etc.)”.

O primeiro artigo publicado com o objectivo de provar a existência duma transição de fase

parece dever-se a Peierls (Peierls, 1936) e, apesar das incorrecções, o método utilizado

mostrou-se muito fecundo (Calheiros, 1985). As teorias modernas sobre este assunto tiveram

a sua origem nos anos 60, quando foram introduzidos os conceitos básicos de universalidade

e escala de funções termodinâmicas (Queiroz, 2000). De todos os modelos da Física que

apresentam o fenómeno de transição de fase, o modelo de percolação é, provavelmente, um

dos mais simples (Oliveira & Braga, 2002).

Os processos percolativos parecem ter todos comportamento crítico para algum parâmetro

θ associado ao modelo, existindo uma transição de fase de um estado de não alastramento

para o estado de alastramento descontrolado para um certo críticoθ (Green, 1994; Marques,

2001). Segundo Oliveira & Braga (2002), a existência de transição de fase nos modelos de

percolação está relacionada com a dimensão da rede: em rede unidimensional não há transição

de fase enquanto que, para modelos de percolação em duas ou mais dimensões, é garantida a

existência de transição de fase, para um certo valor crítico. Estes autores apresentam as

demonstrações dos resultados anteriores para modelos de percolação de arestas.

O conceito de universalidade, que os físicos tanto procuram, está relacionado com o facto

de, para várias classes de universalidade, existir um grande conjunto de resultados (Teoremas)

que são automaticamente aplicáveis se for possível incluir um fenómeno numa determinada

classe. Daí a preocupação de, por exemplo, Duarte (1996) em tentar enquadrar a propagação

do fogo em modelos gerais de percolação e de Elmoznino (1999), e outros, em tentarem

enquadrar a evolução de florestas em modelos gerais de contágio, etc.. Por outro lado, as

simulações baseadas em muito detalhe (do terreno, do vento, etc.) são impraticáveis em tempo

real.

25


3.3 Caminhos aleatórios

Caminho (ou passeio) aleatório é o termo genérico usado para classificar qualquer

trajectória produzida por uma sequência aleatória de passos em diferentes direcções e/ou

sentidos. Os caminhos aleatórios usuais são caminhos temporalmente ilimitados. Quando aqui

se falar em caminhos aleatórios está a fazer-se a restrição a caminhos aleatórios sobre rede.

3.3.1 Caminhos aleatórios sobre rede

A uma dimensão, o espaço de estados é e há uma probabilidade p para avançar e uma

probabilidade pq −= 1 para recuar. Num instante par, o móvel está numa posição par e num

instante ímpar, o móvel está numa posição ímpar.

Seja o acontecimento estar no instante t na posição n. Considere-se n avanços do

móvel. A expressão é um número par, sendo metade de avanços e a outra metade de

recuos, que os compensam. Assim, no total o móvel avança

)(tX n

nt −

2ntn −

+ e recua 2

nt − passos.

Então:

=))(( tXP n Ctntn

2−

+ =

−−+

22ntntn

qp

)!

2()!

2(

!ntntn

t−−

+= 22

ntntnqp

−−+

.

Sendo uma lei binomial, para t grande vai obter-se por limite uma lei normal. Esta lei

binomial tem como média . Os caminhos mais usados e estudados são os caminhos

“simétricos” em que

)( qpt −

21

== qp . Para este caminho aleatório o desvio padrão, isto é, a

distância média quadrática à origem, é proporcional a t , por isso aumenta com o tempo, ou

seja, há espalhamento. Para percorrer uma distância d são precisos passos. 2dt ≈

26


Um dos estudos clássicos é a avaliação do regresso à origem. é a probabilidade

do móvel estar na origem no instante t. Então:

))(( 0 tXP

=))(( 0 tXP)!

2()!

2(

!tt

t =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ 22

21

21

tt

)!

2()!

2(

!tt

t=

t

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

21 .

Usando a fórmula de Stirling,

nRnn enenn −= π2! , em que quando 0→nR ∞→n

ou seja, para n grande,

nn nenn −≈ π2! (ver Anexo A)

vem

≈))(( 0 tXP =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

− t

tt

tt

tet

tet21

222

22

22π

π

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=t

t

t

tt

tt21

2

2

π

π

==t

tππ2

2

1tπ

= , quantidade que tende para zero, lentamente.

27


Para duas dimensões, os estados do sistema são elementos de , isto é, os pontos do

plano com coordenadas inteiras, tendo quatro probabilidades associadas , , e tais

que

2

1p 2p 3p 4p

14321 =+++ pppp , em que os s são as probabilidades de avanços em direcções

aos pontos cardeais (para cima, para baixo, para a direita e para a esquerda). Aqui a

distribuição é multinomial e, quando

'ip

∞→n , aproxima-se de uma lei normal bidimensional.

Como refere Weisstein (Weisstein, 2005a), “espantosamente” provou-se que, numa rede

bidimensional, o caminho aleatório tem probabilidade de atingir qualquer ponto (incluindo a

origem) quando o número de passos (tempo) tende para infinito. Quando a dimensão aumenta,

a probabilidade de regressar à origem diminui e, por isso, deixa de ser 1: o caminho aleatório

pode não regressar à origem.

3.3.2 SAW

O caminho do fogo, se não houver obstáculos, é um caminho aleatório como os anteriores.

Porém, o fogo não vai queimar o que já está queimado. Assim, os caminhos relevantes para o

fogo são os self-avoinding walks 6 (SAW) que param quando encontram um ponto duplo, isto

é, o fogo não avança pois já está queimado.

Para o fogo, os caminhos interessantes podem não ter duração infinita, uma vez que o

fogo pode esbarrar numa zona em que não pode propagar-se mais. Assim, torna-se necessário

estudar caminhos aleatórios usuais até ao primeiro ponto duplo, sendo preciso fazer o estudo

destes caminhos. É natural a ligação aos SAW’s pois o fogo só se propaga enquanto encontrar

sítios com vegetação não queimada. Para mais informações sobre caminhos aleatórios e

SAW’s ver (Slade, 1994; Weisstein, 2005a, 2005b).

A matemática associada a estes estudos é todo um campo ainda não explorado por

completo. Sobretudo, não é a matemática dos modelos regulares, isto é, dos modelos sobre

rede regular que se mantém regular – todos os sítios equivalentes – em todos os momentos.

Este problema está ligado aos problemas de volume excluído.

6 Caminhos que se auto-evitam, isto é, caminhos sem pontos múltiplos.

28

4 Fogo numa floresta em evolução: desenvolvimento de um modelo

4 Fogo numa floresta em evolução: desenvolvimento de um modelo e implementação informática

O modelo desenvolvido neste trabalho (FlorestaSim) é uma integração de dois

submodelos que pretendem simular o fogo numa floresta em evolução. A simulação foi feita

recorrendo a autómatos celulares.

4.1 Descrição sumária do modelo integrado

A simulação espacial de uma floresta em evolução é feita numa paisagem abstracta, que

pretende representar uma floresta em vários estados de evolução.

4.1.1 Geometria celular

Um autómato celular bidimensional é composto por células, polígonos dispostos no plano,

que devem constituir uma pavimentação desse plano. A geometria celular influencia

sobretudo a eficiência do método utilizado, não tendo influência relevante em muitas

quantidades. Neste trabalho a discretização do terreno é feita em células quadradas com igual

tamanho (Figura 6), sendo cada célula caracterizada por dois índices. O estado do sistema

pode assim ser caracterizado por uma matriz cujo elemento é o estado da célula . ),( ji ),( jic

Figura 6 – Rede com malha quadrangular regular.

29


4.1.2 A rede

A floresta é aqui representada numa rede bidimensional quadrada, quase sempre 100100×

(excepto para a avaliação da dependência do tamanho da rede), dando origem a uma matriz

com 10 000 células. Hargrove et al. (2000) sugerem uma rede , mas os estudos

relativos à geometria do fogo apresentados (figura 1, página 246) foram obtidos em rede

. Elmoznino (1996, 1999) utiliza uma rede

300300×

200200× 128128× para a simulação de evolução

de uma floresta.

Muitas vezes, os físicos insistem que estes números são muito pequenos. No entanto,

Hargrove et al. (2000) sugerem um comprimento de 50 metros para cada célula, o que para

uma rede equivale a uma área de 2500 hectares. Sendo esse o caso, dificilmente se

encontrará uma floresta homogénea muito maior.

100100×

Considera-se que cada célula representa um bloco homogéneo de vegetação.

A implementação computacional deste modelo encontra-se, sucintamente comentada, no

Anexo B.

4.2 Modelo de evolução da floresta

Este submodelo pretende simular a evolução de uma floresta com n estados de vegetação,

tendo sido desenvolvido com base no modelo de Elmoznino (1996), que é uma

“generalização do modelo de Greenberg-Hastings” (Elmoznino, 1996). As características

deste modelo são descritas nesta secção seguindo, muito de perto, dois dos trabalhos de

Elmoznino nesta área (Elmoznino, 1996, 1999).

4.2.1 Apresentação do modelo

Este modelo é um autómato celular que, para além das características gerais do modelo

integrado, apresenta as seguintes características específicas:

30


A vizinhança utilizada é a vizinhança de Von Neumann (ver Figura 2 (a)).

É um autómato com n estados por célula, sendo =E /n . { }1,...,1,0 −= n

A função de transição é definida da seguinte forma:

Sejam a, v, e n três números inteiros, tais que , e na< nv< va ≤ . Considere-se o conjunto de estados E dividido em quatro subconjuntos: estado neutro (vazio) { }:0=N

: conjunto dos estados jovens { 1,...,1 −= aJ }}}

: conjunto dos estados adultos { 1,..., −= vaA

: conjunto dos estados velhos { 1,..., −= nvV

A “regra”, isto é, a função de transição que determina o estado da célula c para cada instante

, a partir do seu estado e do estado da sua vizinhança no instante t, encontra-se

esquematizada na figura 7, é definida da seguinte forma:

1+t

se A 0),( ≠tc então A A=+ )1,( tc 1),( +tc mod n senão se ∈∃ d V (c) tal que A ∈),( td A então A 1)1,( =+tc senão A A =+ )1,( tc 0),( =tc Esta regra pode, ainda, ser descrita do seguinte modo:

Se o estado de uma célula é diferente de 0, passa ao estado seguinte (módulo n),

isto é:

se o seu estado está compreendido entre 1 e 2−n , inclusive, passa ao estado

seguinte;

se o seu estado é 1−n , o seu ciclo de vida chegou ao fim, logo regressa ao 0.

31


Se o estado de uma célula é 0, a passagem ao estado 1 está condicionada pela

presença de, pelo menos, uma célula no estado adulto na sua vizinhança. Isto é,

assumirá o valor 1 se o estado de um dos seus vizinhos pertence ao conjunto A,

caso contrário o seu estado não é alterado.

0 1 2 ... 1−a a ... 1−v v … 1−n estados jovens estados adultos estados velhos

Figura 7 – Transições do autómato celular (determinista). Adaptado de Elmoznino (1999).

4.2.2 Aplicação do modelo ao estudo de florestas

Considere-se a seguinte interpretação (Figura 8) deste autómato: a cada célula do

autómato corresponde, potencialmente, uma árvore, cujo estado de maturidade é representado

pelo estado dessa célula. Assim:

o estado 0 representa um lugar vazio;

os estados jovens não produzem sementes;

os estados adultos produzem sementes que vão cair nos lugares vizinhos vazios;

os estados velhos já não produzem sementes, mas continuam a ocupar a célula.

• •• • •

Figura 8 – Interpretação “florestal” do autómato. Adaptado de Elmoznino (1999).

32


Este autómato foi implementado em MS Visual Basic 6.0 para simular a evolução de uma

floresta. Para ser possível visualizar a dinâmica florestal fez-se corresponder a cada estado

uma cor. Adoptaram-se as seguintes cores:

estado neutro: cinzento;

estados jovens: verde claro;

estados adultos: verde escuro;

estados velhos: verde acastanhado.

As condições iniciais adoptadas são do seguinte tipo: a cada célula é atribuído

aleatoriamente um valor do conjunto{ }1,...,1 −n caso se pretenda criar uma “floresta” com

densidade 100%; caso contrário, a cada célula é atribuído aleatoriamente um valor do

conjunto E. Por defeito, o programa assume 10=a , 12=v e , sendo possível ao

utilizador atribuir outros valores a estes parâmetros.

16=n

A figura 9 representa duas imagens obtidas pelo simulador FlorestaSim: a da esquerda

representa o estado inicial de uma “floresta” com densidade 100%, cuja vegetação se encontra

em diferentes estados; ao fim de 50 iterações foi obtida a situação representada na imagem da

direita (densidade 83,75%).

1=t 50=t

Figura 9 – Exemplos de florestas criadas pelo simulador ( 161210 === nva ).

33


4.3 Modelo de propagação do fogo

O submodelo de propagação do fogo foi desenvolvido tendo como base o algoritmo

apresentado por Ceredig Jones (Jones, >=1996). Como foi já referido, pretendia-se um

modelo baseado em regras simples. Assim, nem todos os factores que influenciam a

propagação de um fogo foram integradas no algoritmo.

4.3.1 Parâmetros do modelo

O modelo funciona de acordo com os seguintes parâmetros:

p – probabilidade de propagação do fogo (em cada unidade de tempo)

q – probabilidade condicional de acabar de queimar (e, por isso, apagar)

se estava a arder (em cada unidade de tempo)

d – densidade florestal

4.3.2 Características do modelo

A vizinhança utilizada é a vizinhança de Moore (ver Figura 2(b)).

. Cada célula do autómato pode encontrar-se em um dos seguintes

estados:

{ 3,2,1,0=E }

estado 0: com vegetação ilesa (que não foi atingida pelo fogo)

estado 1: a arder

estado 2: queimado

estado 3: sem vegetação (vazio)

A função de transição pode ser descrita da seguinte forma:

Apenas as células com vegetação ilesa (estado 0) podem ser contaminadas pelo fogo.

Para que uma célula no estado 0 passe ao estado 1, é necessário que, na sua vizinhança,

exista pelo menos uma célula no estado 1. Esta passagem pode ser automática (p 1= ) ou

funcionar de acordo com uma probabilidade p (a definir pelo utilizador).

A passagem do estado 1 ao estado 2 é automática, podendo o utilizador definir uma

probabilidade q para essa passagem. Sendo automática (q 1= ), significa que cada célula arde

34


completamente numa única iteração, ficando sem fogo. À medida que diminui o valor de q,

aumenta o tempo de queima (tempo de latência do fogo num dado local).

Na figura 10 encontra-se esquematizada a regra de transição, para cada célula, entre os

estados deste autómato. A seta azul significa que a passagem do estado 0 ao estado 1 depende

do estado das células da vizinhança. Os arcos a tracejado representam o facto da passagem ao

estado seguinte estar condicionada pelos valores dos parâmetros p e q. Na evolução da

floresta a passagem duma árvore com x anos para o ano seguinte é determinista: no ano

seguinte a árvore tem anos. No fogo, a propagação é um modelo estocástico, isto é pode

ou não passar do estado x ao estado

1+x

1+x segundo os parâmetros p, q, etc..

p q 0 1 2 3

Figura 10 – Grafo das transições numa célula.

Para p e q , não há transição entre estados, isto é, não há evolução, sendo esta uma

situação sem interesse.

0= 0=

Para p e q , a função de transição pode ser definida do seguinte modo: 1= 1=

se A 0),( =tc então se ∈∃ d V (c) tal que A 1),( =td então A 1)1,( =+tc senão A A =+ )1,( tc 0),( =tc senão se A 1),( =tc então A 2)1,( =+tc senão A A =+ )1,( tc ),( tc Os dois casos anteriores são determinísticos.

35


Para p e q ambos em , o modelo é estocástico, podendo a função de transição ser assim

definida:

] 1,0 [

se A 0),( =tc então se ( ∈∃ d V (c) tal que A 1),( =td e atcRp <×− ),()1( ) então A 1)1,( =+tc senão A A =+ )1,( tc 0),( =tc senão se ( A e 1),( =tc qb < ) então A 2)1,( =+tc senão A A =+ )1,( tc ),( tc

se A então A 1),( >tc =+ )1,( tc A ),( tc

onde, a e b são números aleatórios compreendidos entre 0 e 1 e é o número de

elementos “a arder” em V (c) .

),( tcR

No capítulo seguinte são apresentados alguns estudos realizados com o simulador com o

objectivo de analisar a influência destes parâmetros na propagação do fogo.

4.3.3 Visualização do fogo

Para permitir visualizar a propagação do fogo, foi atribuída uma cor a cada um dos

estados, conforme a tabela 1:

Tabela 1 – Os estados e a respectiva interpretação na interface do simulador FlorestaSim. Estado Cor

Verde Claro

Verde Escuro 0

Verde Acastanhado

1 Vermelho

2 Preto

3 Cinzento

36


4.3.4 O foco de incêndio

O fogo tem início numa única célula, podendo o local do foco de incêndio ser

seleccionado pelo utilizador ou ocorrer aleatoriamente.

4.3.5 Obstáculos à propagação do fogo

Os corta-fogos, as estradas, os pontos de água (rios, lagos, charcos) e os locais sem

vegetação são obstáculos à propagação de um incêndio. Neste programa, é possível construir

uma barreira que pretende simular uma forma de impedir que o fogo se propague.

4.4 Utilização do programa

O programa foi construído de raiz. A interface gráfica do simulador (Figura 11) foi

preparada com botões, caixas de texto e janelas de visualização que permitem flexibilidade e

facilidade de utilização, lembrando que o simulador vai ser usado para investigação

fundamental mas também para o uso de alunos nas escolas.

Figura 11 – Interface do simulador FlorestaSim: evolução da floresta.

37


O programa inicia-se com a construção de uma floresta aleatória (Figura 12), construída a

partir de uma probabilidade, especificada à partida, de ocupação dos diferentes sítios. É

possível decidir sobre algumas condições iniciais para a floresta bem como sobre a duração da

simulação.

Figura 12 – Interface do simulador FlorestaSim: floresta gerada pelo simulador. O número de sítios ocupados por árvores segue uma lei binomial com parâmetros

( ), em que n é o comprimento do lado do terreno e, para cada árvore existente, o seu

estado segue uma lei uniforme sobre os diferentes estados da vegetação (ver figura 8).

dnn ,×

A floresta inicial é homogénea, no sentido da probabilidade dos diferentes estados para a

vegetação serem todos idênticos. De seguida, esta floresta evolui de forma natural: pelo

envelhecimento da vegetação (passagem para o estado seguinte), pela morte da vegetação,

completando-se com o nascimento.

A todo o momento é possível determinar o estado global da floresta, mas este aspecto não

é explorado neste trabalho. Também não é aqui explorado o caso de uma floresta cultivada

com grupos de vegetação todos no mesmo estado.

38


Numa floresta assim criada, é possível iniciar um fogo em qualquer momento e em

qualquer lugar da floresta (Figura 13). Para a propagação do fogo, o simulador necessita das

quantidades p e q (ver secção 4.3). Note-se que estes dois parâmetros não foram, ainda,

ligados ao estado da vegetação, considerando-se, por agora, que o aleatório da população fica

modelado por esses parâmetros.

Figura 13 – Interface do simulador FlorestaSim: propagação de um incêndio. A simulação termina quando deixar de haver células a arder (Figura 14). À saída, por um

lado tem-se um filme animado da evolução do fogo e, por outro lado é apresentado todo o

historial numérico da simulação do fogo em cada iteração (número de células ilesas, a arder e

queimadas), utilizável para estudos (estatísticos) de ciência fundamental.

39


Figura 14 – Interface do simulador FlorestaSim: resultados finais obtidos após a extinção do fogo iniciado na figura anterior. O código do programa é facilmente modificado para integrar novas variantes.

40

5 Algumas explorações do modelo

5 Algumas explorações do modelo 7

Neste capítulo são apresentados alguns estudos estatísticos realizados com o simulador de

fogos florestais referido no capítulo anterior. Outros estudos como por exemplo, a envolvente

convexa, a velocidade de propagação e o perímetro do fogo, ficam para outra oportunidade.

Nestes estudos escolheu-se o fogo a iniciar-se numa única célula (foco do incêndio), ou

seja, para , a célula onde se der a ignição vai arder com probabilidade 1. O fogo

propaga-se às células vizinhas com probabilidade p (processo estocástico markoviano).

0=t

Retoma-se o modelo do capítulo anterior e nesse modelo define-se densidade florestal o

quociente entre o número de sítios ocupados com vegetação e o número total de sítios. A

probabilidade de propagação do fogo (parâmetro p) influencia a área queimada final. Se a

probabilidade de propagação for muito grande quase todos os vizinhos vão ser queimados no

passo seguinte, se for muito pequena, poucos vizinhos vão ser queimados. Note-se que alguns

vizinhos podem ser queimados posteriormente por outros caminhos do fogo ou devido à

latência. Se a propagação for a oito vizinhos (que é o caso do modelo de fogo aqui

apresentado) o número de vizinhos que vão ser queimados na primeira iteração é dado por

uma lei binomial com parâmetros )8(=n e p. Assim, em média, haverá vizinhos

queimados, na iteração seguinte.

p8

Inúmeras desigualdades de correlação (Stauffer, 1979) permitem combinar os valores de p

e de d num p efectivo. Por isso, vamos limitar a maior parte dos estudos a d igual a 1. Assim,

se a densidade for diferente de 1, a probabilidade de propagação ao vizinho é uma lei

binomial de parâmetros e ' , em que )8(=n p pdp =' , sendo ' o p efectivo. p

Parece não ser necessário, para estudos de propagação do fogo, florestas com densidades

diferentes de 1. Para a propagação do fogo, uma floresta mais espaçada é como uma floresta

mais húmida.

7 (Duarte, 1996) usou a expressão “estudos de casos de propagação” porque ainda não existe consenso sobre estes modelos e sobre a sua ligação ao que se observa.

41


Se o parâmetro q (probabilidade de apagar se estava a arder) for diferente de 1, pode haver

sucessivas tentativas de pegar fogo ao vizinho, o que significa que há maiores hipóteses do

fogo se propagar. Tudo isto leva a um aumento das oportunidades de propagação do fogo, não

aumentando, no entanto, o seu alcance. Por exemplo, para p e q pequenos, a velocidade de

propagação é pequena mas, como a latência é grande, o fogo pode ser muito duradouro. Esta

capacidade de latência pode fazer o fogo ter uma enorme duração temporal mesmo avançando

lentamente. Se a latência for grande, pode este avanço ser rápido numas direcções e lento

noutras. Isto leva-nos à primeira experiência.

5.1 Forma da área queimada

Neste ponto faz-se apenas uma análise qualitativa.

Um incêndio florestal, quase sempre, tem início num pequeno foco (fósforo aceso, faúlha,

pequena fogueira, faísca, etc.) e inicialmente tende a propagar-se em todas as direcções, de

forma aproximadamente circular, sendo esta geometria alterada pela acção do vento e da

topografia. No modelo aqui apresentado, a geometria do fogo é influenciada pelos parâmetros

p, q e d.

Segue-se a apresentação de alguns estudos efectuados com o simulador para analisar o seu

comportamento em relação à forma da área queimada. Nestes estudos o foco do incêndio tem

origem no centro do terreno, ou seja, para 0=t , a célula vai arder com probabilidade

1. Todas as simulações têm a duração de 50 iterações.

)50,50(c

Estudo da influência do parâmetro p:

Considera-se 1=d e , isto é, a floresta tem densidade 1 e toda a célula que for

“contagiada” pelo fogo arde completamente numa única iteração. Assim, para , o fogo

irá propagar-se às oito células vizinhas com probabilidade p e a célula onde se deu a ignição

do fogo ficará queimada.

1=q

1=t

Se : na primeira iteração todas as 8 células na vizinhança do foco serão incendiadas;

na segunda iteração, todas as 16 células com vizinhos a arder serão incendiadas; na terceira

1=p

42


iteração, todas as 24 células com vizinhos a arder serão incendiadas; etc. Isto é, na n-ésima

iteração, todas as células com vizinhos a arder serão incendiadas e haverá

células queimadas, sendo a geometria do fogo um quadrado.

22 )12()12( −−+ nn2)12( −n

Se , a forma da área queimada deixa de ser um quadrado (Figuras 15, 16, 17, 18 e

19). Para , à medida que o valor de p diminui (até um valor próximo de 0,45), a forma

da área queimada vai ficando cada vez mais arredondada. Para valores de p entre 0 e 0,45, a

geometria do fogo passa a ter formas pouco definidas (pouco “redondas”) e pouco previsíveis,

sendo as figuras 15 (a) e 15 (b) exemplo das situações mais representativas para os

correspondentes valores do parâmetro em estudo.

] [1,0∈p

1=q

Não foram considerados valores de p inferiores a 0,3 uma vez que, na grande maioria das

vezes, o fogo rapidamente se extingue (ver secção 5.3).

(a) (b) (c)

(d)

(d) (e) (f)

Figura 15 – Exemplos de padrões produzidos pelo fogo numa floresta com densidade 1,após 50 iterações, para diferentes valores do parâmetro p: (a) p=0,3 ; (b) p=0,4 ; (c) p=0,45 ; (d) p=0,5 ; (e) p=0,6 ; (f) p=0,8. Resultados obtidos com q=1.

43


Chamando, como é usual, diâmetro da área queimada ao valor dado por ,

em que e são sítios queimados, verifica-se que o diâmetro aumenta com p, mas muito

pouco, apesar da percentagem de área queimada aumentar muito, pela conjugação do pequeno

aumento de diâmetro com a grande aproximação à forma circular.

),(max 21 AAd

1A 2A

Para valores de p mais pequenos, o valor do perímetro também depende pouco de p.

Assim, a conjugação destes efeitos significa, para p pequeno, por um lado a formação de

dendrites, por outro lado a existência de áreas não queimadas no interior da região queimada,

como se observou em fogos com muitas rajadas de vento na zona de Lisboa, em Julho de

2005.

O estudo da variação destas quantidades significa a realização de algumas dezenas de

simulações para cada valor de p e de q, para se obter a média, a variação (desvio padrão), a

assimetria e o achatamento, que deixamos para outra oportunidade. Na zona crítica (ver

secção 5.3), a maior parte destas quantidades apresenta grandes flutuações. Pode dizer-se que

esta é a característica típica da zona crítica. Em volume infinito, estas flutuações são,

geralmente, ilimitadas (não têm média definida, isto é, a variância é infinita).

Estudo da influência do parâmetro q:

Neste estudo considera-se . 1=d Se , cada célula, após ser incendiada, queima completamente numa única iteração.

Conforme o valor de q diminui, aumenta a probabilidade de uma célula a arder, permanecer a

arder para além de uma iteração. Assim, o estudo deste parâmetro só faz sentido para um

valor de p inferior a 1.

1=q

Na figura 16 são apresentados resultados obtidos com o simulador para diferentes valores

de q, tendo-se fixado . Comparando os resultados obtidos com o da figura 15(a), pode

concluir-se que quanto menor for o parâmetro q mais “circular” se torna a região dominada

pelo fogo. Além disso, para valores de q menores que 0,5, a forma mantém-se semelhante.

3,0=p

44


(a) (b) (c)

(d) (e) (f)

Figura 16 – Exemplos de padrões produzidos pelo fogo numa floresta com densidade 1,após 50 iterações, para diferentes valores do parâmetro q: (a) q=0,2 ; (b) q=0,3 ; (c) q=0,4 ; (d) q=0,5 ; (e) q=0,6 ; (f) q=0,7. Resultados obtidos com p=0,3. Da análise dos resultados anteriores (Figura 16), é notória a influência do parâmetro q na

propagação do fogo, principalmente em relação à geometria e à área queimada. Note-se que a

linha do fogo não é contínua, sendo o fogo disperso, como o fogo de Portel na madrugada de

4 de Agosto de 2005.

No entanto, nem sempre esta influência é relevante. Nas figuras 17 e 18 são apresentados

padrões obtidos com o simulador para 5,0=p e 2,0=p , respectivamente, mantendo-se os

mesmos valores de q.

Na primeira situação (Figura 17), o parâmetro q não tem importância relevante na forma

da área queimada (é sempre aproximadamente circular), no entanto, para valores de q

45


pequenos (Figuras 17 (a), (b) e (c)), isto é, para fogos com grande latência, a percentagem de

área queimada é significativamente maior.

(a) (b) (c)

(d) (e) (f)

Figura 17 – Exemplos de padrões produzidos pelo fogo numa floresta com densidade 1,após 50 iterações, para diferentes valores do parâmetro q: (a) q=0,2 ; (b) q=0,3 ; (c) q=0,4 ; (d) q=0,5 ; (e) q=0,6 ; (f) q=0,7. Resultados obtidos com p=0,5.

Na segunda situação (Figura 18), o parâmetro q influencia a forma da área queimada e a

duração do fogo, sendo esta influência tanto maior quanto menor for o valor de q.

Se p for pequeno ( ) e 3,0<p 1=q , o fogo extingue-se rapidamente, a maior parte das

vezes (ver secção 5.3). Por exemplo, para 2,0=p , o fogo tem a duração média de 7 iterações,

sendo a percentagem de área queimada, em média, inferior a 0,2.

46


Considerando , à medida que o valor de q diminui, aumenta a duração e a área

atingida pelo fogo. Para valores de q superiores a 0,6, o fogo extingue-se rapidamente. Na

figura 18 (f) a duração do fogo foi de apenas 38 iterações.

2,0=p

(a) (b) (c)

(d) (e) (f)

Figura 18 – Exemplos de padrões produzidos pelo fogo numa floresta com densidade 1,após 50 iterações ou até o fogo se auto-extinguir, para diferentes valores do parâmetro q: (a) q=0,2 ; (b) q=0,3 ; (c) q=0,4 ; (d) q=0,5 ; (e) q=0,6 ; (f) q=0,7 (o fogo extinguiu-se ao fim de 38 iterações). Resultados obtidos com p=0,2.

Um estudo semelhante a este é apresentado por Hargrove et al. (2000), página 246. Os

resultados obtidos pelo simulador EMBYR são idênticos aos resultados obtidos pelo

simulador desenvolvido neste trabalho (Figura 19).

47


(a) (b) (c)

(d) (e) (f)

Figura 19 – Exemplos de padrões produzidos pelo fogo numa floresta com densidade 1,após 50 iterações, para diferentes valores do parâmetro p: (a) p=0,25 ; (b) p=0,3 ; (c) p=0,4 ; (d) p=0,5 ; (e) p=0,6 ; (f) p=0,8. Resultados obtidos com q=0,6.

Note-se que estes padrões não são fractais, isto é, não há auto-semelhança.

5.2 Probabilidade de propagação em função da densidade florestal

Pretende-se estudar, no modelo, a relação entre a densidade florestal e a propagação do

fogo e a ligação entre diferentes quantidades e diferentes formas.

Interessa-nos avaliar a probabilidade do fogo atingir a orla da floresta que depende, entre

outros factores, da densidade de árvores. Para florestas densas o fogo queima rapidamente

48


quase todas as árvores, enquanto que para florestas com baixa densidade de árvores, o fogo

extingue-se, queimando apenas uma pequena percentagem.

Parece existir uma densidade crítica para a qual o fogo se propaga, pela primeira vez, até à

orla da floresta. Esse valor crítico depende de várias condições (regras de propagação,

quantidade e localização do foco de incêndio, tipo de vizinhança, entre outras) e do tamanho

da rede.

Para estudar a transição da propagação, vamos recorrer a simulações para diferentes

densidades e comparar valores para dois tipos de vizinhança. Na figura 20 são apresentados

resultados obtidos para duas situações:

A. O fogo propaga-se automaticamente aos quatro vizinhos mais próximos;

B. O fogo propaga-se automaticamente aos seus oito vizinhos;

Em ambas as situações anteriores, o fogo tem início numa única célula, no centro do

terreno, de coordenadas (50,50). Para cada valor de densidade são feitas 30 simulações.

Este tipo de análises é da família da percolação – existência de um caminho do centro até

à orla. Em percolação (ver secção 3.2), seria mais usual a procura dum caminho de um dos

lados até ao lado oposto.

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Densidade Florestal (%)

Prob

abilid

ade

AB

Figura 20 – Probabilidade de propagação do fogo, a pelo menos uma das orlas da floresta, em função da densidade florestal.

49


Para a situação A, o valor “crítico” da densidade para o qual o fogo se propaga pela

primeira vez até à orla da floresta é aproximadamente 51 %. Isto é, se a densidade florestal for

inferior a 51%, o fogo extingue-se antes de atingir a orla do terreno. Acima deste valor, a

probabilidade do fogo se propagar até à orla vai aumentando até atingir o valor 1 por volta dos

68%.

Em B, o fogo atinge pela primeira vez a orla da floresta para valores de densidade

próximos de 38%. Para valores de densidade superiores a 50% o fogo propaga-se sempre até à

orla.

Em ambas as situações estudadas, a transição de fase ocorre num intervalo muito curto de

densidade.

A comparação com a secção seguinte confirma que a densidade pode ser incorporada num

p efectivo, o que se pode provar rigorosamente usando desigualdades de correlação (Stauffer,

1979).

5.3 Área ardida final e tempo de fogo em função do parâmetro p. Dependência do tamanho da malha

Vários factores influenciam a propagação dos incêndios florestais, entre eles: o material

combustível, a humidade do material combustível, as condições climáticas, a topografia e,

claro, a densidade florestal. À excepção do vento e da topografia, que criam anisotropia

espacial, os restantes factores são aqui modelados pelos parâmetros p, q e d.

Aquando da extinção de um fogo florestal, um dos elementos de registo é sempre a área

florestal queimada pelo incêndio. Apesar de nos fogos com grande duração (dias ou até

semanas) a área ardida ser naturalmente grande, nem sempre um incêndio com grande

extensão de área queimada resulta do facto dessa floresta ter estado a arder durante muito

tempo. Há registos de situações concretas (ver (ADAI, 1997), nomeadamente, lição nº 12 e

suplemento de Xavier Viegas e Miguel Cruz) em que a velocidade de propagação do fogo foi

50


tão grande (chegou a atingir 4 km/h) que queimou 400 hectares de floresta, em apenas uma

hora.

Nos estudos que se seguem optou-se por fazer a análise da área queimada e da duração do

fogo em função do parâmetro p, tendo-se atribuído sempre o valor 1 aos parâmetros q e d.

Análise da influência do parâmetro p na percentagem de área ardida final e no

tempo de duração do fogo.

Testou-se o comportamento do simulador relativamente à influência do parâmetro p na

duração e na percentagem de área ardida dum fogo florestal (Figura 21). Os valores

apresentados foram obtidos com base em 30 repetições para cada valor do parâmetro p, tendo

o foco de incêndio origem no centro do terreno. Considerou-se . Em

função dos resultados obtidos (valores médios e variância) para 0,3 e 0,4, tornou-se necessário

refinar a variação do parâmetro p para valores compreendidos entre estes.

9,0;...;2,0;1,0=p

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

220

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

p

Dur

ação

do

fogo

(nº d

e ite

raçõ

es)

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

Áre

a qu

eim

ada

(%)

Duração do fogo(nº de iterações) Área Queimada ( %)

Figura 21 – Percentagem de área queimada e tempo de simulação em função do parâmetro p, em malha 100*100.

De entre os diferentes aspectos, salientamos os seguintes:

51


- parece clara a existência de uma transição de fase no intervalo [0,3;0,4]: para 3,0=p a

percentagem de área queimada é inferior a 2%, enquanto que para essa percentagem

é superior a 67%.

4,0=p

- para valores de p entre 0,3 e 0,4 existe grande variabilidade, tanto na duração do fogo como

na percentagem de área queimada, podendo considerar-se que o fogo é pouco previsível neste

intervalo.

- a duração de fogo é máxima para 38,0≈p : no intervalo [0,3;0,38] aumenta rapidamente

(acompanhando o aumento da percentagem de área queimada); no intervalo [0,38;0,4]

diminui rapidamente (sendo inferior, quando comparada com o intervalo anterior, a

velocidade com que a percentagem de área queimada aumenta); para , o aumento de p

provoca uma diminuição da duração (temporal) do fogo e simultaneamente um aumento da

área ardida.

4,0>p

Notar que, no intervalo crítico, a variabilidade é muito maior do que fora desse intervalo,

tanto para a área queimada como para a duração do fogo. Parece indicar que: para p superior a

o fogo se propaga descontroladamente até ao fim da malha; para p inferior a o fogo vai

avançando e, caso se conseguisse por algum método diminuir o p, esse fogo poderia ser

controlado. Em , qualquer pequena flutuação pode levar o fogo para uma das duas

situações.

cp cp

cp

Como se pode diminuir o p? Aumentando a humidade (água, caldas retardantes, …) ou, o

que está fora do nosso alcance, alterando as condições atmosféricas (baixar a temperatura,

diminuir a intensidade do vento, …).

Independência do tamanho da malha e dependência da localização do foco do

incêndio.

Impedir a propagação do fogo em x células é uma medida eficaz para controlar incêndios

florestais. Porém, para ter uso prático, é indispensável estimar o tamanho de uma célula. A

estimativa do tamanho das células para o modelo ser adequado à realidade, obriga a

observações que não sabemos se são realizáveis. Por isso, insiste-se na avaliação do modelo

52


para diferentes malhas e, quando os comportamentos se repetem independentemente da

malha, podem considerar-se “universais”. A procura, pelos físicos, desta universalidade está

relacionada com a possibilidade de usar resultados conhecidos para outros modelos, o que, na

prática, parece ser complicado.

Nos estudos seguintes consideram-se três tamanhos diferentes para a malha: 5050× ,

e . O foco do incêndio tem origem no centro ou num dos cantos do

terreno. Os resultados foram obtidos com 30 repetições para cada valor de p considerado.

100100× 200200×

No estudo relativo à percentagem de área queimada (Figura 22), parece não existir

dúvidas relativamente à pouca dependência do tamanho da malha, principalmente em relação

às simulações com foco de incêndio a partir do centro. No caso das duas malhas com maior

dimensão, a diferença é praticamente nula (para os valores de p considerados).

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

p

Áre

a qu

eim

ada

(%)

Malha 100*100 canto

Malha 100*100 meio

Malha 50*50 canto

Malha 50*50 meio

Malha 200*200 meio

Figura 22 – Percentagem de área queimada em função do parâmetro p, para diferentes malhas e diferentes localizações do foco de incêndio. Para a duração do fogo (Figura 23), é visível a diferença entre os resultados obtidos em

fogos com foco a partir do centro e com foco a partir do canto, o que leva a considerar que

existe dependência do local onde o fogo tem origem, que está relacionado com as limitações

das possibilidades de propagação de fogo ao iniciar-se num canto. No entanto, mantém-se a

ideia de pouca dependência relativamente ao tamanho da malha. Para p grande ou pequeno, a

dependência do foco é pequena.

53


Para os fogos com início no canto, a duração é muito mais curta (pelas dificuldades de

propagação já referidas).

0

50

100

150

200

250

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

p

Dur

ação

do

fogo

(nº d

e ite

raçõ

es)

Malha 100*100 canto

Malha 100*100 meio

Malha 50*50 canto

Malha 50*50 meio

Malha 200*200 meio

Figura 23 – Duração do fogo em função do parâmetro p, para diferentes malhas e diferentes localizações do foco de incêndio.

No intervalo “crítico” [0,3;0,4], o modelo apresenta algumas características já aqui

analisadas (Figura 21). Como complemento apresenta-se o gráfico da figura 24 e a tabela 2

com resultados obtidos em malha 200200× e com foco no centro. Dada a existência da

anomalia (para ), foram efectuadas mais trinta simulações para todos os valores entre

0,3 e 0,4, não se tendo atenuado a anomalia.

37,0=p

0

50

100

150

200

250

300

350

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

p

Dur

ação

do

fogo

(nº d

e ite

raçõ

es)

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

Áre

a qu

eim

ada

(%)

Duração do fogo(nº de iterações) Área Queimada ( %)

Figura 24 – Percentagem de área queimada e duração do fogo em função do parâmetro p, em malha 200*200.

54


Tabela 2 – Relação entre a percentagem de área queimada e o tempo de duração do fogo, para diferentes valores do parâmetro p.

Área queimada (%) Duração do fogo p média desvio padrão média desvio padrão 0 0 0 0 0

0,1 0,01 0,004 2 1,26 0,2 0,04 0,04 7,6 5,88 0,3 2,34 5,52 68,77 85,58

0,31 4,9 7,12 107,38 119,22 0,32 10,04 13,46 149,78 147,05 0,33 14,08 15,56 189,75 159,73 0,34 27,11 21,63 241 184,54 0,35 39,37 22,69 294,82 160,95 0,36 50,88 26 278,45 153,73 0,37 58,2 22,61 261,2 106,83 0,38 61,51 19,52 267,13 97,83 0,39 62,97 23,13 250,12 96,15 0,4 69,54 18,94 230,3 66,37

0,45 76,57 14,36 188,18 38,25 0,5 79,5 0,98 171,6 7,05 0,6 89,66 0,78 136,5 4,07 0,7 93,88 0,26 121,13 1,63 0,8 96,09 0,74 113,47 1,48 0,9 98,52 0,12 106,6 0,72 1 100 0 101 0

Na região “crítica” (a saber 4,03,0 ≤≤ p ), e para a percentagem de área queimada, a

relação entre o desvio padrão e a média (tirando a anomalia) é um arco de circunferência

(Figura 25 (a)), o que sugere fortemente que se trata de uma mistura binária de dois tipos de

área ardida: as muito grandes e as pequenas (comparável a blocos de gelo a boiar em água

líquida). Assim, numa das fases (estados do sistema), a área ardida é muita, na outra a área

ardida é bem mais pequena. Estas duas fases, podem coexistir, em , da mesma forma que a

água líquida pode coexistir em todas as proporções com o gelo, desde que a temperatura seja

zero graus (Calheiros, 1985).

cp

A relação entre a assimetria e o achatamento (Figura 25 (b)), sendo uma “cardióide”,

reforça muito essa ideia (Calheiros, 2002, 2003).

55


Não foi possível esclarecer completamente a anomalia (que também aparece no texto de

Krüger (2003)) e não se tem a certeza que sejam flutuações da amostragem, por aparecer

repetidamente em situações diferentes, sempre no máximo das flutuações.

(a) (b)

Figura 25 – Percentagem de área queimada: (a) Desvio padrão em função da média, para p compreendido entre 0,3 e 0,4, com forma aproximadamente de arco de circunferência; (b) Assimetria em função do achatamento. Na construção do arco de circunferência usou-se, empiricamente, um ponto a meio e os dois pontos extremos. Um resultado que nos parece forte, é que os fogos que duram mais tempo não são aqueles

a que corresponde maior área queimada, isto é, não há uma grande área queimada por unidade

de tempo. Tais situações podem ser perigosas no caso de se levantar vento ou se por alguma

razão o valor de p aumentar (por aumentar a temperatura do ar ou diminuir a humidade).

56

6 Exploração do modelo por alunos do Ensino Básico e Secundário


A utilização das novas tecnologias no ensino da Matemática é uma recomendação

expressa dos programas desta disciplina desde 1991. Nos novos programas das disciplinas de

Matemática A (Carvalho et al., 2000a) e Matemática B (Carvalho et al., 2000b), “Aplicações

e Modelação Matemática” é um dos “temas transversais” a ser tratado ao longo dos três anos

do Ensino Secundário. Nas indicações metodológicas dos referidos programas (páginas 20 e

17, respectivamente) pode ler-se: “Sempre que possível, o professor deve evidenciar

aplicações da Matemática e deve estabelecer conexões entre os diversos temas matemáticos

do currículo e com outras ciências”. “Deve ser discutido com os estudantes o processo de

modelação matemática e a sua importância no mundo actual”. Os computadores, por

permitirem abordar determinados assuntos de forma bastante diferente, são recursos que

motivam os alunos, despertando-lhes muito mais interesse.

A forma, mais interessante, encontrada para relacionar este trabalho com a actividade

docente da autora, foi realizar sessões de apresentação do programa FlorestaSim com alunos

da escola onde lecciona – Escola Secundária com 3º Ciclo do Ensino Básico de S. João da

Madeira (Nº 3). Fomentar o interesse pela investigação e pelas ciências, proporcionar o

contacto com um trabalho de aplicação da disciplina de Matemática a situações concretas e

sensibilizar os alunos para a importância da floresta e da sua preservação, foram alguns dos

objectivos definidos para esta actividade.

6.1 Metodologia

Planificar esta actividade suscitou algumas dúvidas em relação à forma de abordar este

assunto. Como reagiriam os alunos se fossem convidados a experimentar o programa sem

terem uma explicação, ainda que sumária, sobre o seu funcionamento? Como introduzir o

tema, despertando o interesse e a motivação dos alunos para a realização de simulações com o

programa?

57


O número de sessões bem como os seus destinatários foram também equacionados.

Optou-se pela realização de duas sessões, sendo a primeira destinada a alunos do 12º ano e a

segunda a alunos do 8º ano. Analisar possíveis diferenças de atitude em relação a este tipo de

trabalho foi a razão principal da escolha de alunos com faixas etárias distintas.

A sala destinada para a realização da actividade tinha disponíveis, para os participantes,

doze computadores. Optou-se por organizar sessões limitadas a cerca de vinte e cinco alunos,

pois demasiados alunos por computador não parecia ser apropriado e o trabalho em pares

permite, à partida, partilhar conjecturas e conclusões.

Cada sessão foi estruturada em duas partes: na primeira parte foi apresentada uma

introdução ao tema “fogos florestais”, seguida de uma explicação sobre o funcionamento do

simulador; a segunda parte foi completamente destinada à exploração do programa pelos

estudantes, orientados por uma proposta de actividade. Apesar da estrutura das duas sessões

ser a mesma, há algumas diferenças a registar. Na primeira sessão, a explicação sobre o

funcionamento do simulador compreendeu uma descrição do modelo com referência alargada

aos parâmetros e regras de propagação. Atendendo às idades dos participantes na segunda

sessão, a explicação de funcionamento do programa foi consideravelmente encurtada com

receio que pudesse desmotivar os alunos, dado conter conceitos de difícil compreensão para

estes.

Sendo esta uma actividade extracurricular, foi calendarizada de forma a não interferir com

o trabalho dos alunos. Dado que no estabelecimento de ensino, referido no início deste

capítulo, não há actividades lectivas nas tardes de quarta-feira, as sessões foram realizadas a

16 de Março e a 13 de Abril de 2005. Este trabalho foi registado em vídeo com a finalidade de

permitir rever as sessões, possibilitando uma reflexão sobre possíveis alterações em futuras

apresentações.

6.2 Reacção dos alunos ao simulador

Os vinte e quatro alunos do 12º ano que participaram na primeira sessão de apresentação

do programa FlorestaSim, mostraram muito interesse pelo tema desde o início da actividade,

tendo alguns dos discentes feito várias intervenções ao longo de toda a primeira parte. No

58


entanto, o entusiasmo foi geral quando lhes foi solicitada a realização de experiências com o

simulador (Figura 26). Constatou-se que os alunos não tiveram qualquer problema em realizar

as simulações pedidas tendo, de uma forma geral, tirado as conclusões esperadas. Pensa-se

poder concluir que os alunos, não só têm grande apetência para o uso do computador, como

ficam automaticamente motivados para aprendizagem se estiverem a fazer uso desta

tecnologia.

Figura 26 – Segunda parte da sessão realizada a 16 de Março de 2005, com alunos do 12º ano.

A segunda sessão contou com a participação de vinte e três alunos do 8º ano, todos da

mesma turma, e com diferentes aptidões para a disciplina de Matemática. Todos

demonstraram interesse na realização das experiências com o simulador, colocando algumas

dúvidas sobre o seu funcionamento (Figura 27). Algumas das questões estavam directamente

relacionadas com a manipulação da interface do programa, outras, porém, referiam-se a

dúvidas sobre o funcionamento do mesmo.

Figura 27 – Segunda parte da sessão realizada a 13 de Abril de 2005, com alunos do 8º ano.

59


A geometria da sala foi determinante para algumas situações verificadas no decorrer das

sessões. Na primeira parte, os alunos ocupavam os lugares disponíveis nas secretárias

dispostas em forma de U, no centro da sala (Figura 28). Esta disposição fomentou o diálogo

com o orientador e os participantes, ocasionando momentos de boa disposição geral. Para

experimentarem o simulador os alunos ocuparam os computadores que se encontravam em

secretárias encostadas às paredes da sala, o que favorece a concentração dos alunos no

trabalho mas impede a comunicação com os outros participantes e com o orientador da sessão.

Assim, houve necessidade de se fazer um acompanhamento quase individualizado, sendo esta

situação mais exigida na sessão realizada com os alunos do Ensino Básico.

C C C C C C Janela

C

Secretária do Professor

Janela

C

C

C

C

C

Janela

Legenda:

Porta

CPM C – Computador PM – Projector Multimédia

Quadro

Figura 28 – Esquema da sala onde teve lugar a actividade.

6.3 Algumas considerações sobre esta experiência

Com a finalidade de se poderem tirar mais algumas conclusões sobre esta experiência, foi

solicitado aos alunos o preenchimento de um pequeno inquérito (Anexo C) no final da sessão.

Dos quarenta e sete alunos que participaram nas duas sessões, apenas três referiram ter

conhecimento da existência de programas de computador destinados à simulação de fogos

60


florestais. Apesar de ser um assunto desconhecido pela quase totalidade dos participantes, a

grande maioria destes alunos manifestou interesse em participar em outras sessões sobre

simulação. Foi gratificante verificar que, grande parte dos alunos, em resposta à questão

“Sobre esta sessão, o que pensas poder ser melhorado para a tornar mais interessante?”,

referiram que gostariam de ver simulados mais factores que influenciam a propagação dos

incêndios florestais, nomeadamente o vento. Embora a questão não fosse correctamente

interpretada por todos os alunos, concluímos, com satisfação, que a maioria dos participantes

gostou do que viu e gostaria de ver ainda mais sobre este assunto.

Despertar o interesse dos alunos é sempre mais fácil quando se planificam actividades

destinadas ao uso do computador. Tirar partido desta tecnologia poderá ser um dos caminhos

a seguir no sentido de inverter a situação desastrosa em que se encontra o nosso país no que

diz respeito à aprendizagem da Matemática, entre outras disciplinas, ao nível do Ensino

Básico e Secundário.

Um trabalho mais detalhado sobre a metodologia e a organização da sala com recursos

informáticos será apresentado futuramente. Elaborar uma ficha para, no final das sessões,

avaliar as competências adquiridas pelos participantes é outro objectivo que será

posteriormente concretizado.

61

Conclusões

Conclusões

Na prevenção de incêndios florestais é possível exercer influência na densidade florestal,

na diminuição da probabilidade de propagação (limpando as florestas), na criação de

descontinuidades (corta-fogos e plantação de zonas com árvores mais resistentes ao fogo).

No momento dum incêndio, é muito difícil intervir, de forma global, sobre o parâmetro p

(seria necessário ser capaz de mudar a temperatura, a humidade, a topografia, o vento, entre

outros factores) mas tem que se combater o fogo diminuindo o p nas orlas.

O valor efectivo de p controla, praticamente, o fogo.

O essencial continua a ser a prevenção!

Para desenvolvimentos futuros propõe-se:

Outras explorações do programa relativas à geometria do fogo (área e perímetro) e

à velocidade de propagação.

Ligações à combinatória, aos caminhos self-avoinding e ao volume excluído (que

são claramente os temas de mais fácil publicação (ver trabalhos de Elmoznino).

Dar continuidade ao trabalho com alunos.

62

Referências bibliográficas


Abdalhap, B. (2004). "A Methodology to Enhance the Prediction of Forest Fire Propagation". Tese de Doutoramento. Universitat Autònoma de Barcelona. Página web http://www.tdx.cesca.es [Consulta em Dezembro de 2004].

ADAI, Associação para o Desenvolvimento da Aerodinâmica Industrial (1997). "Curso sobre

o comportamento de um incêndio florestal." Coordenação: Xavier Viegas. Coimbra. Águas, C. (2000). "Desenvolvimento de um Programa de Autómatos Celulares para a

Propagação de Incêndios Florestais". Trabalho final de curso. Instituto Superior Técnico, Lisboa. Página web

http://meteo.ist.utl.pt/~jjdd/LEAMB/LEAmb%20TFC%20site%20v1/1998_1999/CAguas%20Relatorio.PDF [Consulta em Setembro de 2004].

Albini, F. A. (1976). "Estimating wildfire bheaviour and effects". USDA Forest Service

General, Technical Report INT-30. Albini, F. A.; Stocks, B. J. (1986). "Predicted and observed rates of spread of crown fires in

immature jack pine". Combustion Science and Techonology, 48: 65-76. Almeida, R.; Guerreiro, J.; Castro, M.; Grilo, F.; Mesquita, A. C.; Pinheiro, D.; Gonçalves, P.

(1997). "Um sistema de detecção como aplicação da cartografia de risco de incêndio florestal". Revista Ruralidades, IX(3): 51-56.

Ball, G. L.; Guertin, D. P. (1991). "FIREMAP - fire and the environment: ecological and

cultural perspectives". Knoxville, TN. USDA Forest Service, Ashecille, NC, pp. 215-218.

Berger, U.; Hildenbrandt, H. (2000). "A new approach to spatially explicit modelling of forest

dynamics: spacing, ageing and neighbourhood competition of mangrove trees". Ecological Modelling, 132: 287-302.

Borges, J. G. (2000). "A actividade dos Florestais". Naturlink. Página web

http://www.naturlink.pt/canais/Artigo.asp?iArtigo=183&iLingua=1 [Consulta em 24 de Fevereiro de 2005].

Braga, G. A.; Oliveira, M. M.; Sanchis, R.; Schieber, T. A. (2002). "Percolação para

Principiantes". Página web http://www.sbn.org.br/bienal/ [Consulta em 2 de Maio de 2005].

Burgan, R. E.; Rothermel, R. C. (1984). "BEHAVE: Fire behavoiur prediction and fuel

modeling system". USDA Forest Service General, Technical Report INT-167. Calheiros, Francisco J. L. C. (1985). "Análise Combinatória no Estudo das Transições de

Fase dos Sistemas de Spin Vectorial". Tese de Doutoramento. Universidade do Porto, Porto.

63

http://www.tdx.cesca.es/

http://meteo.ist.utl.pt/~jjdd/LEAMB/LEAmb TFC site v1/1998-1999/CAguas Relatorio.PDF

http://meteo.ist.utl.pt/~jjdd/LEAMB/LEAmb TFC site v1/1998-1999/CAguas Relatorio.PDF

http://www.naturlink.pt/canais/Artigo.asp?iArtigo=183&iLingua=1

http://www.sbn.org.br/bienal/


Calheiros, Francisco J. L. C. (1993). "Calcul de la Longeur d'un Emissaire Sousmarin par la Méthode de Monte Carlo". IFORS, p. 54. Lisboa.

Calheiros, Francisco J. L. C. (1998). "Sea surface movement near Leixões Harbour (Oporto)".

Litoral 98. Livro de resumos. Barcelona. Calheiros, Francisco J. L. C. (2002). "Mean and Standard Deviation in Mixtures". Actas das

IX Jornadas de Classificação e Análise de Dados, p. 24-27. Lisboa. Calheiros, Francisco J. L. C. (2003). "Misturas de distribuições: relações algébricas entre

momentos. Aplicações". VI Congresso Galego de Estatistica e Investigación de Operacións, p. 217. Universidade de Vigo.

Calheiros, Francisco J. L. C. (2005). "Reflexões sobre os métodos das ciências e das

técnicas". Em preparação. Carneiro, T. G. S. (2004). "Uma arquitetura para modelagem ambiental empírica e baseada

nas teorias dos autômatos celulares, híbridos e situados". Proposta de tese para a obtenção do título de doutor em computação aplicada. Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais, São José de Campos, Brasil.

Carvalho, A. (2002). "A floresta petrificada". Forum Ambiente, 85: 75-77. Carvalho, Jaime S.; Martins, M. Eugénia G.; Martins, Arsélio A.; Loura, Luísa C. C. (2000a).

"Programa de Matemática A". Ministério da Educação - Departamento do Ensino Secundário. Página web http://www.mat-no-sec.org [Consulta em 15 de Janeiro de 2005].

Carvalho, Jaime S.; Martins, M. Eugénia G.; Martins, Arsélio A.; Loura, Luísa C. C. (2000b).

"Programa de Matemática B". Ministério da Educação - Departamento do Ensino Secundário. Página web http://www.mat-no-sec.org [Consulta em 15 de Janeiro de 2005].

Castillo, M.; Pedernera, P.; Peña, E. (2003). "Incendios forestales y medio ambiente: una

síntesis global". Revista Ambiente y Desarrollo de CIPMA, XIX: 44-53. Catarino, V. (2004). "Factores que influenciam o comportamento dos incêndios". Floresta e

Ambiente - Revista de Divulgação Técnica, nº 64: 31 - 32. CEIF (2004). Relatório final - Comissão Eventual para os Incêndios Florestais. 72 p. DGRD (2005 a). "Totais por núcleo florestal (1980-2004)". Ministério da Agricultura, Pescas

e Florestas - Direcção Geral dos Recursos Florestais. Página web http://www.dgrd.pt [Consulta em 15 de Junho de 2005].

DGRD (2005 b). "Incêndios Florestais - 2005. Relatório Provisório (01 de Janeiro a 31 de

Julho)". Ministério da Agricultura, Pescas e Florestas - Direcção Geral dos Recursos Florestais. Página web http://www.dgrd.pt [Consulta em 5 de Agosto de 2005].

64

http://www.mat-no-sec.org/

http://www.mat-no-sec.org/

http://www.dgrd.pt/

http://www.dgrd.pt/


Duarte, J. A. M. S. (1996). "Modelling Forest Fires". Conference on Scientific Computing in Europe. Edited by H. J. Ruskin, R. O'Connor & Y. Feng, Dublin, Ireland.

Elmoznino, H. (1996). "Cellular Automata for the Forest Dynamic". Nice Sophia Antipolis

University. Preprint INRIA. Elmoznino, H. (1999). "Influence du cycle de vie individuel sur la dynamique spatiale d'une

foret monospecifique: Analyse a travers un automate cellulaire". Tese de Doutoramento. Université de Nice-Sophia Antipolis, France. Página web http://www.inria.fr/rrrt/tu-0640.html [Consulta em 15 de Fevereiro de 2005].

Fernandes, F. M. S. S. (2003). "Cinquentenário da Simulação Computacional em Mecânica

Estatística". Química, Boletim da Soc. Portuguesa de Química, 90: 39-43. Finney, M. A. (1998). "FARSITE: Fire area simulator - model development and evaluation".

Res. Pap. RMRS-RP-4. US Department of Agriculture, Forest Service, Rocky Mountain Research Station,Ogden, UT.

Gertsev, V. I.; Gertseva, V. V. (2004). "Classification of mathematical models in ecology".

Ecological Modelling, 178: 329-334. Green, D. G (1994). "Emergent Behaviour in Biological Systems". Complexity International,

1. Página web http://www.csu.edu.au/ci/vol1/David.Green/paper.html [Consulta em 14 de Novembro de 2004].

Hargrove, W. W.; Gardner, R. H.; Turner, M. G.; Romme, W. H.; Despain, D. G. (2000).

"Simulating fire patterns in heterogeneous landscapes". Ecological Modelling, 135: 243 -263.

Henriques, Abel A. R. (1998). "Aplicação de Novos Conceitos de Segurança no

Dimensionamento do Betão Estrutural". Tese de Doutoramento. FEUP.Porto. Jones, C. (>=1996). "A programme to simulate a forest fire". Página web

http://www.bath.ac.uk/~ma2cij/ [Consulta em 17 de Novembro de 2004]. Kalabokidis, K. D.; Hay, C. M.; Hussin, Y. A. (1991). "Spatially resolved fire growth

simulation". In: Proceeding of the 11 th Conference on Fire and Forest Meteorology, Missoula, MO., Society of American Foresters, Washington, DC: 188-195.

Keane, R. E.; Cary, G. J.; Davies, I. D.; Flannigan, M. D.; Gardner, R. H.; Lavorel, S.;

Lenihan, J. M.; Li, C.; Rupp, T. S. (2004). "A classification of landscape fire sucession models: spatial simulations of fire and vegetation dynamics". Ecological Modelling, 179: 3-27.

Kessel, S. R. (1976). "Gradient Modeling: a new approach to fire modeling and wilderness

resource management." Environmental Management, 1: 39-48. Krüger, Andreas (2003). "Dimensionality in Continuum Percolation Thresholds". Tese de

Doutoramento. University of Bielefeld, Germany. Página web http://www.AndreasKrueger.de/thesis/ [Consulta em Março de 2005].

65

http://www.inria.fr/rrrt/tu-0640.html

http://www.csu.edu.au/ci/vol1/David.Green/paper.html

http://www.bath.ac.uk/~ma2cij/

http://www.andreaskrueger.de/thesis/


Lasaponara, R.; Santulli, A.; Telesca, L. (2005). "Time-clustering analysis of forest-fire sequences in southern Italy". Chaos, Solitons & Fractals, 24: 139-149.

Laurance, W. F.; Vasconcelos, H. L. (2000). "A década da decisão para a Amazónia". Ciência

Hoje, 27(160): 59-62. Legendre, L.; Legendre, P. (1979). "Écologie Numérique". Masson, France. Lopes, A. M. G.; Cruz, M. G.; Viegas, D. X. (2002). "FireSation - an integrated software

system for the numerical simulation of fire spread on complex topography". Environmental Modelling & Software, 17: 269-285.

Lopes, A. M. G.; Cruz, M. G.; Viegas, D. X. (1998). "Firestation - an integrated system for

the simulation of wind flow and fire spread over complex topography". Proccedings of the Third International Conference on forest fire research, vol.2718, p. 741-54. Coimbra, Portugal.

Lopéz, Luis G. Zaráte (2004). "Estúdio de las características físicas y geométricas de la

llama en los incendios forestales". Tese de Doutoramento. Univesitat Politècnica de Catalunya. Página web http://www.tdx.cesca.es [Consulta em Outubro de 2004].

Macedo, F. W.; Sardinha, A. M. (1985a). "Fogos Florestais". Volume I. Publicações Ciência

e Vida Lda., Lisboa. 430 p. Macedo, F. W.; Sardinha, A. M. (1985b). "Fogos Florestais". Volume II. Publicações Ciência

e Vida lda., Lisboa. 342 p. Machado, R. (2004). "O Ponto de Vista das Empresas Tradicionais do Sector Eléctrico".

Conferência - Inovação no Sector Eléctrico, p. 1-9. EDP-Electricidade de Portugal, S. A. Lisboa.

Magalhães, Rui M. C. (2005). "Base de Dados para Apoio ao Diagnóstico Diferencial". Tese

de Mestrado. FEUP. Porto. Malone, T. F.; Holtz, D.; Hine, A. M.; Goldberg, B. R.; Andrews, B.; Dindonis, L. (1967).

"Environmental Modelling and Decision Making". A report by the Holcomb Research Institute. Praeger Publishers, U.S.A.

Margalef, Ramón (1982). "Ecologia". Ed. Omega, Barcelona. 951 pp. Marques, Maria João A. S. (2001). "Desenvolvimento e análise de um modelo espacial

explícito de fragmentação de habitats". Tese de Mestrado. Instituto Superior de Agronomia. Universidade Técnica de Lisboa, Lisboa.

McAthur, A. G. (1966). "Weather and grassland fire behaviour". Forest Research Institute,

Forest and Timber Bureau of Australia. No. 100. Mendes-Lopes, J.; Águas, C. (2000). "SPREAD - um programa de autómatos celulares para a

propagação de fogos florestais". Silva Lusitana, 8(1): 3-47.

66



Mladenoff, D. J. (2004). "LANDIS and forest landscape models". Ecological Modelling, 180: 7-19.

Monserud, R. A. (2003). "Evaluating forest models in a sustainable forest management

context". USDA Forest Service, FBMIS Volume 1: 35-47. Oliveira, M. M.; Braga, G. A. (2002). "O Fenómeno de Transição de Fase no Modelo de

Percolação de Elos em d Dimensões". Revista Brasileira de Ensino de Física, Vol. 24, nº 4: 448-454.

Oliveira, Tiago (1992). "O Acaso é a única coisa que não acontece por acaso". Matemática e

Cultura I - Coordenação de J. Furtado Coelho. Centro Nacional de Cultura, Edições Cosmos, Lisboa. pag. 125-149.

Ostrowski, A. (1971). "Lições de Cálculo Diferencial e Integral" (2º Volume).Fundação

Calouste Gulbenkian. Lisboa. 504 p. Pastor, E.; Zárate, L.; Planas, E.; Arnaldos, J. (2003). "Mathematical models and calculation

systems for the study of wildland fire behaviour". Progress in Energy and Combustion Science, 29: 139-153.

Peierls, R. (1936). "On Ising's Model of Ferromagnetism". Proc. Cambridge Philos. Soc., 24:

477-481. Queiroz, Sérgio L. A. (2000). "Fenómenos Críticos em Sistemas Magnéticos: Teoria". Revista

Brasileira de Ensino da Física, 22, nº 3: 339-345. Rosado, José M. G. C. (1992). "Dinâmica de populações em tempo discreto". Matemática e

Cultura I - Coordenação de J. Furtado Coelho. Centro Nacional de Cultura, Edições Cosmos, Lisboa. pag. 55-77.

Rothermel, R. C. (1972). "A mathematical model for predicting fire spread in wildland fuels".

USDA Forest Service Research, Paper INT-115. Rothermel, R. C. (1983). "How to predict the spread and intensity of forest and ranges fires."

USDA Forest Service Research, Paper INT-143. Santos, F. D. (2005). "O risco de incêndios vai aumentar". Revista Xis, nº 302. Silva, Ricardo T. (2004). "Planeamento Florestal, Modelos de Programação Inteira

Multiobjectivo e Aplicações". Tese de Mestrado. Faculdade de Economia. Universidade de Coimbra, Coimbra. Página Web http://www.esac.pt/rtorres /documentos/tese_rtorres.pdf [Consulta em 13 de Dezembro de 2004].

Slade, Gordon (1994). "Self-Avoiding Walks". The Mathematical Intelligencer, 16. Nº 1:

29-35. Soares-Filho, B. S.; Cerqueira, G. C.; Araújo, W. L.; Voll, E. (2003). "Modelagem de

Dinâmica de Paisagem: Concepção e Potencial de Aplicação de Modelos de Simulação baseados em Automato Celular".

67


Soares-Filho, B. S.; Pennachin, C.; Cerqueira, G. C. (2002). "DINAMICA - a stochastic cellular automata model designed to simulate the lanscape dynamics in an Amazonian colonization frontier". Ecological Modelling, 154: 217-235.

Soares, A. (2000). "Geoestatística para as ciências da terra e do ambiente". IST Press,

Instituto Superior Técnico, Lisboa, Portugal. 206 p. Sok, Robert M. (1994). "Permeation of Small Molecules across a Polymer Membrane: a

Computer Simulation Study". Tese de Doutoramento. University of Groningen. Stauffer, D. (1979). "Scaling Theory of Percolation Clusters". Physics Reports, 54 (1): 1-74. Thiéry, J. M.; D'Herbés, J. M.; Valentin, C. (1995). "A model simulating the genesis of

banded vegetation patterns in Niger". Journal of Ecology, 83: 497-507. Turner, M. G.; Gardner, R. H.; O'Neill, R. V. (2001). "Landscape Ecology in Theory and

Practice: Pattern and Process". Spinger-Verlag, New York. 278 p. Van Wagner, C. E. (1977). "Conditions for the start and spread of crown fires". Can. J. For.

Res., 7: 23-34. Vasconcelos, M. P. J.; Paúl, J. C. U.; Gonçalves, A. (1998). "Geofogo - testing a forest fire

simulator system". Proccedings of the Third International Conference on forest fire research, vol. 2718, p. 889-90. Coimbra, Portugal.

Viegas, D. X. (2004). "Cercados pelo Fogo - Os Incêndios Florestais em Portugal em 2003 e

os acidentes mortais com eles relacionados". Edicões Minerva Coimbra, Coimbra. 274 p.

Vieira, P. A. (2003). "O Estrago da Nação". Publicações Dom Quixote, Lisboa. Weisberg, P.J.; Bonavia, F.; Bugmann, H. (2005). "Modeling the interacting effects of

browsing and shading on mountain forest tree regeneration (Picea abies)". Ecological Modelling, Article in press.

Weisstein, Eric W. (2005a). "Random Walk -- 2-Dimensional." From MathWorld - A

Wolfram Web Resource. Página web http://mathworld.wolfram.com/RandomWalk2-Dimensional.html [Consulta em 24 de Maio de 2005].

Weisstein, Eric W. (2005b). "Self-Avoiding Walk." From MathWorld - A Wolfram Web

Resource. Página web http://mathworld.wolfram.com/Self-AvoidingWalk.html [Consulta em 24 de Maio de 2005].

Weisstein, Eric W. (2005c). "Stirling’s Approximation." From MathWorld - A Wolfram Web

Resource. Página web http://mathworld.wolfram.com/StirlingsApproximation.html [Consulta em 3 de Julho de 2005].

68

http://mathworld.wolfram.com/RandomWalk2-Dimensional.html

http://mathworld.wolfram.com/RandomWalk2-Dimensional.html

http://mathworld.wolfram.com/Self-AvoidingWalk.html


Anexos

Anexo A

Anexo A: A Fórmula de Stirling

A definição de factorial, usando integrais, é dada pela equação seguinte (Weisstein,

2005c):

. ∫

∞ −=0

! dxexn xn

De facto, sendo ∫

∞ −=0

dxexI xnn

vem =+−= ∫

∞ −−∞−

0

10

dxxnexeI nxnxn

=+= −10 nIn

. 1−= nIn

Para , tem-se que 0=n

== ∫∞ −

00 dxeI x

1100

=+−=−= ∞−xe

Donde 1

1

!

!

0 =I 1 01 =×= II 22 12 =×= II 363 23 ==×= II

…

nI n =

70

Anexo A

A fórmula de Stirling dá um valor aproximado para a função factorial:

nn nenn −≈ π2! )( ∞→n . Uma versão, menos precisa, pode também ser obtida pelo seguinte processo intuitivo

(Weisstein, 2005c):

=+++= nn log...2log1log!log

=≈= ∫∑=

nn

kdxxk

11

loglog

=−= nxxx1

log

nnnnnn −≈+−= log1log .

Ou seja, constante. ×≈ −nn enn! Uma demonstração da fórmula de Stirling pode ser obtida em Ostrowski (1971).

Segue-se os traços gerais dessa demonstração:

De

xxxx log)'log( =−

conclui-se que

=−=∫nn

xxxdxx11

loglog 1log +− nnn , para . 2≥n

Para vem, usando a fórmula dos trapézios, 1,...,1 −= nk

[ ] k

k

krkkdxx +++=∫

+)1log(log

21log

1

71

Anexo A

onde é o resto da regra dos trapézios e kr

)(''12

)1( 3

θfkkrk−+

−=

em que θ é um ponto entre k e 1+k e, assim

2)(121θ+

=k

rk .

Então

∑∑−

=

−

=

++=+−1

1

1

1log

21log1log

n

kk

n

krnknnn .

Adicionando nlog21 e subtraindo 1 a ambos os membros da igualdade anterior, vem

+=−+ !loglog)21( nnnn 1

1

1−∑

−

=

n

kkr . (1)

A série infinita ∑ é convergente pois é majorada pela série ∞

=1kkr ∑

∞

=1212

1k k

.

Fazendo

e crk

k −=∑∞

=

11

nnk

k Rr =∑∞

=

Então (1) pode escrever-se

nRcnnnn −−=−+ !loglog)21(

72

Anexo A

ou, equivalentemente

nn

n

Rcne

n−−=

+

!loglog)

21(

ou ainda

nRcn

n

eene

n −−

+

= !)

21(

.

Fazendo , obtém-se (para ), γ=ce 2≥n

nRn

n

ee

nn)

21(

!+

= γ

ou ainda, nRnn eennn −= γ! . Quando ∞→n , . 0→nR O valor da constante1 γ = π2 , foi obtido por Wallis (ver (Ostrowski, 1971), páginas

370-374).

Assim:

nn nenn −≈ π2! )( ∞→n .

1 Esta constante também pode ser obtida por manipulação de gaussianas.

73

Anexo A

A fórmula de Stirling é, assim, uma boa aproximação para a função factorial (ver

Tabela 3), em muitas situações.

Tabela 3 – Erro absoluto e erro relativo da fórmula de Stirling.

n !n nn enn −π2 −= !nSnnn enn −π2 !nSn

1 1 0,922137009 0,077862991 0,077862991 2 2 1,919004351 0,080995649 0,040497824 3 6 5,836209591 0,163790409 0,027298401 4 24 23,50617513 0,493824867 0,020576036 5 120 118,019168 1,980832042 0,016506934 6 720 710,0781846 9,921815358 0,013780299 7 5040 4980,395832 59,60416839 0,011826224 8 40320 39902,39545 417,6045473 0,010357256 9 362880 359536,8728 3343,127158 0,009212762

10 3628800 3598695,619 30104,38126 0,00829596 50 3,04141E+64 3,03634E+64 5,06473E+61 0,001665256

100 9,3326E+157 9,3248E+157 7,7739E+154 0,000832983 Como esta tese também pretende ser pedagógica, fica aqui um exemplo de verificação:

( )=

++≈

+−

+−+

nn

nn

ennenn

nn

ππ

2)1()1(2

!!1 )1(1

121

)1(11 −+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

= enn

nn

n n

.

Assim, vem

n

nne ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +≈

111121

, fórmula que se toma exacta quando . ∞→n

74

Anexo B

Anexo B: Programa FlorestaSim

Dim X, Y As Integer Dim xi, yi As Integer Dim matriz(0 To 101, 0 To 101) As matrizp Dim aux(0 To 101, 0 To 101) As Integer Dim mz(0 To 101, 0 To 101) As Integer Dim contagem(0 To 500, 0 To 3) As Integer Dim anos, u, v, n As Integer Dim estados(0 To 101, 0 To 101) As matrizp Dim estaux(0 To 101, 0 To 101) As Integer Dim maux(0 To 101, 0 To 101) As Integer Dim contador, contb, ncinzentos, nverdes As Integer Dim i As Integer Dim p, q As Double Dim a, b, d, e As Double Dim k As Double Dim exfogo As Boolean Private Sub cmdExp_Click() FlexGrid_To_Excel Grid1, Grid1.Rows, Grid1.Cols, , "Dados" End Sub ‘Pintar o “terreno” de verde claro Private Sub Command2_Click() For X = 1 To 100 Step 1 For Y = 1 To 100 Step 1 If matriz(Y, X).Cor = 0 Then estados(Y, X).Valor = 0 estados(Y, X).Cor = 7 End If Next Y Next X For X = 1 To 100 Step 1 For Y = 1 To 100 Step 1 estaux(Y, X) = 0 Next Y Next X Timer2.Enabled = True End Sub Private Sub Command4_Click() Timer1.Interval = Slider1.Value Frame3.Enabled = False

75

Anexo B

Option7.Enabled = False Frame6.Enabled = False For X = 0 To 100 Step 1 For Y = 0 To 100 Step 1 matriz(Y, X).Valor = 0 aux(Y, X) = 0 mz(Y, X) = 0 matriz(Y, X).Cor = 10 Next Y Next X contador = 0 For X = 0 To 3 For Y = 0 To 500 contagem(Y, X) = 0 Next Y Next X ‘Atribuir aos parâmetros p e q os valores indicados, na interface, pelo utilizador p = MaskEdBox1.Text q = MaskEdBox2.Text ‘Copiar os valores da matriz de estados na evolução da floresta para a matriz de estados da propagação do fogo For X = 1 To 100 Step 1 For Y = 1 To 100 Step 1 If estados(Y, X).Valor = 0 Then matriz(Y, X).Valor = -2 matriz(Y, X).Cor = 7 End If If estados(Y, X).Valor >= 1 And estados(Y, X).Valor <= u - 1 Then matriz(Y, X).Valor = 0 If estados(Y, X).Valor >= u And estados(Y, X).Valor <= v - 1 Then matriz(Y, X).Valor = 4 matriz(Y, X).Cor = 2 End If If estados(Y, X).Valor >= v And estados(Y, X).Valor <= n - 1 Then matriz(Y, X).Valor = 5 matriz(Y, X).Cor = 6 End If Next Y Next X ‘Colocar barreira (opcional) If Option3.Value = True Then

76

Anexo B

For X = 48 To 52 Step 1 For Y = 1 To 100 Step 1 matriz(Y, X).Valor = -1 aux(Y, X) = -1 matriz(Y, X).Cor = 15 Next Y Next X For X = 48 To 52 Step 1 matriz(50, X).Valor = 0 aux(50, X) = 0 matriz(50, X).Cor = 10 Next X For X = 48 To 52 Step 0.2 Picture1.ForeColor = QBColor(15) Picture1.Line (X, 0)-(X, 101) Next X End If ‘Contar o número de células na barreira contb = 0 For X = 1 To 100 For Y = 1 To 100 If matriz(Y, X).Valor = -1 Then contb = contb + 1 End If Next Y Next X ‘Localização do foco de incêndio ‘Aleatoriamente If Option2.Value = True Then Randomize xi = Int((Rnd * 100) + 1) yi = Int((Rnd * 100) + 1) Text4.Text = xi Text5.Text = yi Picture1.CurrentX = xi Picture1.CurrentY = yi Picture1.ForeColor = QBColor(0) Picture1.Print "(" & xi & "," & yi & ")" Picture1.PSet (xi, yi), QBColor(12) matriz(yi, xi).Valor = 1 matriz(yi, xi).Cor = 12 End If

77

Anexo B

‘No ponto de coordenadas especificadas pelo utilizador If Option1.Value = True Then matriz(Text5.Text, Text4.Text).Valor = 1 matriz(Text5.Text, Text4.Text).Cor = 12 End If Timer1.Enabled = True End Sub ‘Funcionalidade de botões da interface Private Sub Command3_Click() Dim sairr sairr = MsgBox("Deseja sair?", vbYesNo, "Sair") If sairr = 6 Then End End Sub Private Sub Command5_Click() Option8.Enabled = False If i = 2 Then teste i = 0 End If If i = 0 Then Timer2.Enabled = True Command5.Caption = "Parar" i = 1 Else Timer2.Enabled = False Command5.Caption = "Continuar" i = 0 End If End Sub Private Sub Command6_Click() For X = 1 To 100 Step 1 For Y = 1 To 100 Step 1 estaux(Y, X) = 0 estados(Y, X).Valor = 0 estados(Y, X).Cor = 7 maux(Y, X) = 0 matriz(Y, X).Valor = 0 matriz(Y, X).Cor = 0 mz(Y, X) = 0 aux(Y, X) = 0 contador = 0 contb = 0 ncinzentos = 0 nverdes = 0

78

Anexo B

Picture1.PSet (X, Y), QBColor(10) Next Y Next X teste End Sub Private Sub teste() Dim hcg As Integer i = 2 Picture1.Scale (1, 1)-(100, 100) Picture1.DrawStyle = 0 Option8.Enabled = False MaskEdBox1.Text = "1,00" MaskEdBox2.Text = "1,00" exfogo = False If exfogo = False Then Command2.Visible = False ‘Iniciar as matrizes e pintar tudo de verde claro For X = 0 To 100 Step 1 For Y = 0 To 100 Step 1 estados(Y, X).Valor = 0 maux(Y, X) = 0 estaux(Y, X) = 0 estados(Y, X).Cor = 10 Picture1.PSet (X, Y), QBColor(estados(Y, X).Cor) Next Y Next X anos = 0 ‘Preencher, aleatoriamente, o "terreno" ‘Atribuir aos parâmetros u2, v e n os valores indicados, na interface, pelo utilizador u = Text8.Text v = Text9.Text n = Text7.Text If Option5 = True Then hcg = 1 Else: hcg = 2 End If For X = 1 To 100 For Y = 1 To 100 ‘Gerar um número aleatório (d), compreendido entre 0 e 1 d = Rnd If hcg = 1 Then

2 Na interface este parâmetro é representado pela letra a.

79

Anexo B

k = (Int(d * (n - 2))) + 1 ‘(para obter uma densidade de 100%) End If If hcg = 2 Then k = Int(d * n) ‘(para obter uma densidade menor que 100%) End If estados(Y, X).Valor = k If (k >= 1 And k <= u - 1) Then estados(Y, X).Cor = 10 ‘(pinta de verde claro) ElseIf (k >= u And k <= v - 1) Then estados(Y, X).Cor = 2 ‘(pinta de verde escuro) ElseIf (k >= v And k <= n - 1) Then estados(Y, X).Cor = 6 ‘(pinta de verde seco) ElseIf k = 0 Then estados(Y, X).Cor = 7 ‘(pinta de cinzento) End If Next Y Next X End Sub ‘Definição de alertas para o utilizador Private Sub Form_Load() teste End Sub Private Sub MaskEdBox1_LostFocus() If MaskEdBox1.Text <> " " Then If MaskEdBox1.Text <= 0 Then MsgBox "p tem que ser superior a 0", vbExclamation, "Erro" MaskEdBox1.SetFocus End If If MaskEdBox1.Text > 1 Then MsgBox "'p' tem que ser inferior a 1", vbExclamation, "Erro" MaskEdBox1.SetFocus End If End If End Sub Private Sub MaskEdBox2_LostFocus() If MaskEdBox2.Text <= 0 Then MsgBox "'q' tem que ser superior a 0", vbExclamation, "Erro" MaskEdBox2.SetFocus End If If MaskEdBox2.Text > 1 Then MsgBox "'q' tem que ser inferior a 1", vbExclamation, "Erro" MaskEdBox2.SetFocus End If End Sub

80

Anexo B

‘Definição das posições, na interface, dos botões e das caixas de texto Private Sub Option1_Click() Label6.Left = 360 Label8.Left = 360 Text4.Left = 600 Text5.Left = 600 End Sub Private Sub Option2_Click() Label6.Left = 2160 Label8.Left = 2160 Text4.Left = 2400 Text5.Left = 2400 End Sub Private Sub Option7_Click() Frame4.Visible = True Frame3.Visible = False Frame5.Visible = True Frame6.Visible = False If exfogo = True Then Command2.Visible = True Else: Command2.Visible = False End If End Sub Private Sub Option8_Click() Frame3.Visible = True Frame4.Visible = False Frame6.Visible = True Frame5.Visible = False Frame6.Enabled = False End Sub ‘Definição de alertas para o utilizador Private Sub Text4_LostFocus() If Text4.Text < 1 Or Text4.Text > 100 Then MsgBox "o valor de 'x' tem que ser superior a 0 e inferior a 100", vbExclamation, "Erro" Text4.SetFocus End If End Sub Private Sub Text5_LostFocus() If Text5.Text < 1 Or Text5.Text > 100 Then MsgBox "o valor de 'y' tem que ser superior a 0 e inferior a 100", vbExclamation, "Erro" Text5.SetFocus End If

81

Anexo B

End Sub Private Sub Text8_LostFocus() Dim kjc As Integer Dim kjc2 As Integer kjc = Text8.Text kjc2 = Text9.Text If (kjc > kjc2) Or (kjc < 1) Then Text7.Enabled = False Text9.Enabled = False MsgBox "Tem que cumprir as condições: 1 <= u <= v <= n-1", vbExclamation, "Erro" Text8.SetFocus Else Text7.Enabled = True Text9.Enabled = True End If End Sub Private Sub Text9_LostFocus() Dim kjc As Integer Dim kjc2 As Integer Dim kjc3 As Integer kjc = Text8.Text kjc2 = Text9.Text kjc3 = Text7.Text If kjc > kjc2 Then Text8.Enabled = False Text7.Enabled = False MsgBox "Tem que cumprir as condições: 1 <= u <= v <= n-1", vbOKOnly, "Erro" Text9.SetFocus Else Text8.Enabled = True Text7.Enabled = True End If If kjc2 >= kjc3 Then Text8.Enabled = False Text7.Enabled = False MsgBox "Tem que cumprir as condições: 1 <= u <= v <= n-1", vbOKOnly, "Erro" Text9.SetFocus Else Text8.Enabled = True Text7.Enabled = True End If End Sub Private Sub Text7_LostFocus() Dim kjc As Integer Dim kjc2 As Integer kjc = Text9.Text kjc2 = Text7.Text

82

Anexo B

If kjc >= kjc2 Then Text8.Enabled = False Text9.Enabled = False MsgBox "Tem que cumprir as condições: 1 <= u <= v <= n-1", vbOKOnly, "Erro" Text7.SetFocus Else Text8.Enabled = True Text9.Enabled = True End If End Sub ‘PROPAGAÇÃO DO FOGO Private Sub Timer1_Timer() Dim c As Integer Dim yy As Integer Dim cont0, cont1, cont2 As Integer cont0 = 0 cont1 = 0 cont2 = 0 ‘Calcular o número de vizinhos a arder (estado 1) para cada elemento da matriz For X = 1 To 100 Step 1 For Y = 1 To 100 Step 1 c = 0 'vizinhança 4 vizinhos (desactivada) 'If (matriz(y - 1, x).Valor = 1) Then c = c + 1 'If (matriz(y + 1, x).Valor = 1) Then c = c + 1 'If (matriz(y, x - 1).Valor = 1) Then c = c + 1 'If (matriz(y, x + 1).Valor = 1) Then c = c + 1 'vizinhança 8 vizinhos For yy = Y - 1 To Y + 1 Step 1 If (matriz(yy, X - 1).Valor = 1) Then c = c + 1 If (matriz(yy, X + 1).Valor = 1) Then c = c + 1 Next yy If (matriz(Y - 1, X).Valor = 1) Then c = c + 1 If (matriz(Y + 1, X).Valor = 1) Then c = c + 1 aux(Y, X) = c Next Y Next X ‘mz: matriz de estados provisórios (regra de transição determinista) For X = 1 To 100 Step 1 For Y = 1 To 100 Step 1 mz(Y, X) = matriz(Y, X).Valor If mz(Y, X) = 2 Then mz(Y, X) = 3

83

Anexo B

ElseIf ((mz(Y, X) = 0 Or mz(Y, X) = 4 Or mz(Y, X) = 5) And aux(Y, X) >= 1) Then mz(Y, X) = 1 ElseIf mz(Y, X) = 1 Then mz(Y, X) = 2 End If Next Y Next X ‘matriz: matriz de estados no fim de cada iteração (regra de transição estocástica) For X = 1 To 100 Step 1 For Y = 1 To 100 Step 1 Randomize ‘Gerar um número aleatório (a), compreendido entre 0 e 1 a = Rnd Randomize ‘Gerar um número aleatório (b), compreendido entre 0 e 1 b = Rnd ‘ Regra de transição entre estados If ((mz(Y, X) = 1) And ((1 - p) * aux(Y, X) < a)) Then matriz(Y, X).Valor = 1 ElseIf (mz(Y, X) = 2 And b< q) Then matriz(Y, X).Valor = 2 End If Next Y Next X ‘Contagem do número de elementos de cada estado em cada iteração ncinzentos = 0 For X = 1 To 100 For Y = 1 To 100 If (matriz(Y, X).Valor = 0 Or matriz(Y, X).Valor = 4 Or matriz(Y, X).Valor = 5) Then cont0 = cont0 + 1 ‘(conta verdes) ElseIf matriz(Y, X).Valor = 1 Then cont1 = cont1 + 1 ‘(conta a arder) ElseIf matriz(Y, X).Valor = 2 Then cont2 = cont2 + 1 ‘(conta queimados) ElseIf matriz(Y, X).Valor = -2 Then ncinzentos = ncinzentos + 1 ‘(conta sem vegetação) End If Next Y Next X ‘Matriz de cores For X = 1 To 100 Step 1 For Y = 1 To 100 Step 1 If matriz(Y, X).Valor = 1 Then matriz(Y, X).Cor = 12 ‘(pinta de vermelho)

84

Anexo B

ElseIf matriz(Y, X).Valor = 2 Then matriz(Y, X).Cor = 0 ‘(pinta de preto) End If Picture1.PSet (X, Y), QBColor(matriz(Y, X).Cor) Next Y Next X ‘Contagem do número de iterações (tempo de duração do fogo) contador = contador + 1 Text10.Text = contador ‘Matriz do número de elementos de cada estado em cada iteração contagem(contador, 1) = cont0 ‘(2ª coluna: nº de verdes) contagem(contador, 2) = cont1 ‘(3ª coluna: nº de vermelhos) contagem(contador, 3) = cont2 ‘(4ª coluna: nº de pretos) ‘Parar a propagação do fogo quando deixar de haver células a arder If cont1 = 0 Then Timer1.Enabled = False ‘Calcular a percentagem de área queimada Text3.Text = (cont2 / (10000 - (ncinzentos + contb))) * 100 ‘Preencher a tabela com os dados estatísticos relativos à simulação do fogo nverdes = 10000 - (ncinzentos + contb) Grid1.Rows = contador + 2 Grid1.Cols = 4 Grid1.Row = 0 Grid1.Col = 0 Grid1.Text = "Minutos" Grid1.Row = 0 Grid1.Col = 1 Grid1.Text = "Verdes" Grid1.Row = 0 Grid1.Col = 2 Grid1.Text = "Vermelhos" Grid1.Row = 0 Grid1.Col = 3 Grid1.Text = "Pretos" For Y = 0 To contador Grid1.Row = Y + 1 Grid1.Col = 0 Grid1.Text = Y

85

Anexo B

For X = 1 To 3 Grid1.Col = X Grid1.Text = contagem(Y, X) Next X Next Y Grid1.Row = 1 Grid1.Col = 1 Grid1.Text = nverdes - 1 Grid1.Row = 1 Grid1.Col = 2 Grid1.Text = "1" ‘(Caso o foco tenha origem numa única célula) cmdExp.Enabled = True Frame3.Enabled = True Option7.Enabled = True Frame6.Enabled = True exfogo = True End If End Sub ‘ EVOLUÇÃO DA FLORESTA Private Sub Timer2_Timer() Dim c, est, contaverdes As Integer contaverdes = 0 ‘Calcular o número de árvores adultas na vizinhança (4 vizinhos), para cada elemento da matriz For X = 1 To 100 Step 1 For Y = 1 To 100 Step 1 c = 0 If (estados(Y - 1, X).Valor >= u And estados(Y - 1, X).Valor <= v - 1) Then c = c + 1 If (estados(Y + 1, X).Valor >= u And estados(Y + 1, X).Valor <= v - 1) Then c = c + 1 If (estados(Y, X - 1).Valor >= u And estados(Y, X - 1).Valor <= v - 1) Then c = c + 1 If (estados(Y, X + 1).Valor >= u And estados(Y, X + 1).Valor <= v - 1) Then c = c + 1 maux(Y, X) = c Next Y Next X ‘mz:matriz de estados provisórios For X = 1 To 100 Step 1 For Y = 1 To 100 Step 1

86

Anexo B

If estados(Y, X).Valor = n - 1 Then estaux(Y, X) = 0 ElseIf (estados(Y, X).Valor = 0 And maux(Y, X) >= 1) Then estaux(Y, X) = 1 ElseIf (estados(Y, X).Valor <= n - 2 And estados(Y, X).Valor >= 1) Then est = estados(Y, X).Valor estaux(Y, X) = est + 1 End If Next Y Next X ‘matriz: matriz de estados no fim de cada iteração For X = 1 To 100 Step 1 For Y = 1 To 100 Step 1 estados(Y, X).Valor = estaux(Y, X) Next Y Next X ‘Contagem do tempo de simulação anos = anos + 1 Text6.Text = anos ‘matriz de cores For X = 1 To 100 Step 1 For Y = 1 To 100 Step 1 If estados(Y, X).Valor = 0 Then estados(Y, X).Cor = 7 ElseIf (estados(Y, X).Valor >= 1 And estados(Y, X).Valor <= u - 1) Then estados(Y, X).Cor = 10 ElseIf (estados(Y, X).Valor >= u And estados(Y, X).Valor <= v - 1) Then estados(Y, X).Cor = 2 ElseIf (estados(Y, X).Valor >= v And estados(Y, X).Valor <= n - 1) Then estados(Y, X).Cor = 6 End If Picture1.PSet (X, Y), QBColor(estados(Y, X).Cor) Next Y Next X ‘Contar o número de sítios verdes (sítios ocupados por vegetação) For X = 1 To 100 Step 1 For Y = 1 To 100 Step 1 If estados(Y, X).Cor = 10 Or estados(Y, X).Cor = 2 Or estados(Y, X).Cor = 6 Then contaverdes = contaverdes + 1 End If Next Y Next X

87

Anexo B

‘Calcular a densidade florestal Text2.Text = contaverdes / 100 ‘Parar a evolução da floresta quando atingir o limite de anos indicado pelo utilizador If anos = Text11.Text Then Timer2.Enabled = False Command4.Enabled = True anos = 0 Command5.Caption = "Iniciar a evolução" i = 2 Option8.Enabled = True End If End Sub

88

Anexo C

Anexo C: Inquérito realizado aos alunos que participaram nas sessões de apresentação do programa FlorestaSim.

Inquérito

Este inquérito destina-se aos alunos que participarem na sessão de apresentação do programa FlorestaSim - Simulador de fogos florestais.

Idade: ___ anos Sexo: Masculino Feminino

1. Já tinhas conhecimento de programas de computador destinados à

simulação de fogos florestais?

Sim Não

2. Em caso afirmativo, como tiveste conhecimento deste tipo de programas?

Através da televisão

Através dos jornais

Na escola

Outro meio. Qual?________________________________________

3. Sobre esta sessão, o que pensas poder ser melhorado para a tornar mais

interessante?

_____________________________________________________________

_____________________________________________________________

_____________________________________________________________

4. Se tivesses oportunidade de participar noutra sessão sobre simulação,

estarias interessado(a) em assistir?

Sim Não

Obrigada pela colaboração!

89

Documents

Propagação do fogo e dinâmicas florestais · Portugal é, todos os anos, fustigado por inúmeros fogos florestais com consequências graves a nível social, ... 3.3.1 Caminhos