Propagação de Feixes Ópticos em Meios Não - Lineares · 4.3.3.3 Feixe de Hermite – Gauss ..... 94 4.4 Solitões Ópticos Espaciais .......................................................................99

Propagação de Feixes Ópticos

em Meios Não – Lineares

Duarte Manuel Esteves Estrada

Dissertação para Obtenção do Grau de Mestre em

Engenharia Electrotécnica e de Computadores

Júri

Orientadores: Professor Doutor António Luís Campos da Silva Topa

Professor Doutor Carlos Manuel dos Reis Paiva

Presidente: Professor Doutor António José Castelo Branco Rodrigues

Vogal: Professora Doutora Maria João Marques Martins

Junho 2008

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iii

iv

v

Agradecimentos

Agradecimentos Embora uma Dissertação seja, pelo seu objectivo académico, um trabalho individual, existem sempre

contributos de natureza diversa que não podem nem devem deixar de ser realçados. Aproveito então

para agradecer a todos aqueles, família, amigos e professores, que de forma directa ou indirecta me

possibilitaram chegar até aqui, ao apoiar-me nos vários desafios, académicos e pessoais, que foram

necessários ultrapassar até à conclusão do presente trabalho. Gostaria de agradecer em especial:

Ao Professor Doutor António Topa, professor e orientador científico desta Dissertação, pela simpatia,

apoio e disponibilidade sempre demonstradas, não só no decorrer deste trabalho, ao esclarecer

dúvidas e rever o texto e resultados produzidos, mas também ao longo de todo o curso, auxiliando-

me sempre que necessário.

Ao Professor Doutor Carlos Paiva, professor e co-orientador científico, pelo apoio e pela

disponibilidade de me acompanhar semanalmente, esclarecendo as dúvidas existentes e atribuindo

novas tarefas que permitiram uma evolução favorável do presente trabalho, assim como, pelos

variados temas que abordava nas reuniões que possibilitavam um pequeno abstraimento do trabalho.

Ao Professor Doutor António Rodrigues, pelo apoio e esclarecimentos sobre o curso e a matéria

leccionada, e também pelas diversas conversas animadas.

Aos meus professores pelo que me ensinaram ao longo do curso.

Aos meus pais, António e Margarida, pelo estímulo e apoio incondicional desde o primeiro instante,

pela paciência e grande amizade com que sempre me ouviram, e sensatez com que sempre me

ajudaram.

À minha irmã Inês, confidente e amiga, com quem pude contar constantemente e que sempre me

apoiou, especialmente nas horas em que mais necessitei.

Ao Filipe Pereira da Silva, que demonstrou ser um grande amigo e companheiro, de trabalho e de

lazer, e que me apoiou bastante durante a realização deste trabalho.

Aos meus grandes amigos de infância, Luís Serrano, Nuno Duarte, Valter Cabeças e Bruno

Espadinha, pelo apoio e incentivo, assim como pelos momentos de lazer que me proporcionaram.

Ao Bruno Baleizão, Edgar Silva, Pedro Afonso, Diogo Couto, André Violante, Armando Marques,

David Fernandes, e muitos outros, pela amizade e companheirismo.

A todos os meus mais sinceros agradecimentos.

vi

vii

Resumo

Resumo Ao longo dos últimos anos, o âmbito da fotónica tem sido alvo de grande pesquisa, a qual permitiu o

surgimento de novas áreas e tecnologias. Embora a propagação de feixes ópticos seja um tema

muito investigado, subsiste ainda uma grande variedade de estudos a efectuar, pois actualmente

existe uma enorme diversidade de meios e feixes que apresentam propriedades distintas.

Nesta dissertação analisam-se vários tipos de feixes ópticos, bem como a sua evolução ao longo de

diversos meios. Inicialmente, estudam-se as propriedades e a evolução de feixes de perfil gaussiano

através de um meio linear homogéneo, recorrendo à aproximação paraxial. Os resultados obtidos

auxiliam a análise de feixes mais complexos, e.g., de perfil rectangular e secante hiperbólica, que são

analisados recorrendo a um método numérico baseado na Fourier Fast Transform (FFT).

Conhecidas as propriedades dos feixes de maior simplicidade, estudam-se posteriormente os feixes

de ordem superior de Hermite – Gauss, recorrendo à equação de Schrödinger independente do

tempo e à resolução do oscilador harmónico quântico. De seguida, aborda-se superficialmente a

propagação dos feixes de Hermite – Gauss através de meios anisotrópicos, nomeadamente, num

cristal uniaxial.

Na presença de meios não – lineares estuda-se a evolução dos feixes gaussianos, de Hermite –

Gauss e dos solitões ópticos espaciais, com o objectivo de analisar o seu comportamento sob o efeito

da auto – focagem, assim como verificar a possibilidade de ocorrência da catástrofe óptica. Esta

análise é baseada na equação não – linear de Schrödinger, e os resultados serão adquiridos através

do Split – Step Fourier Method (SSFM).

Palavras-chave Meios lineares, Aproximação paraxial, Feixes ópticos, Dispersão espacial, Feixes gaussianos,

Ressoadores ópticos, Feixes Hermite – Gauss, Equação de Schrödinger, Meios anisotrópicos, Meios

não – lineares, Efeito não – linear de Kerr, Equação não – linear de Schrödinger, Auto – focagem,

Solitões espaciais.

viii

ix

Abstract

Abstract In recent years, photonics has been the subject of great research, which has enabled the introduction

of new areas and technologies. Although the propagation of optical beams is a largely investigated

topic, there is still a large variety of studies to be made, because currently there is a large diversity of

new media and beams exhibiting different properties.

This thesis addresses several types of optical beams, and their propagation along different media.

Initially, the proprieties and the evolution of the Gaussian beam are studied through a homogeneous

linear media, using the paraxial approximation. The results allow the understanding of more complex

beams, e.g., rectangular and hyperbolic secant profiles, which are analyzed using a numerical method

based on the Fast Fourier Transform (FFT).

Taking into account the properties of the simpler beams, the Hermite – Gaussian high order beams

are subsequently studied, using the time independent Schrödinger equation and the solutions of the

quantum harmonic oscillator. After this, a brief analysis of the propagation of the Hermite – Gaussian

beams through an anisotropic media is done.

In the presence of nonlinear media the Gaussian, the Hermite – Gaussian and the evolution of the

spatial solitons are studied, bearing in mind their behavior under the influence of self – focusing and

evaluating the risks of the optical catastrophe. This analysis is based on the Nonlinear Schrödinger

equation, and the results are obtained through the Split – Step Fourier Method (SSFM).

Keywords Linear media, Paraxial approximation, Optical beams, Spatial dispersion, Gaussian Beams, Optical

resonators, Hermite – Gaussian Beams, Schrödinger equation, Anisotropic media, Nonlinear media,

Nonlinear Kerr effect, Nonlinear Schrödinger equation, Self – focusing, Spatial solitons.

x

xi

Índice Agradecimentos ....................................................................................... v

Resumo .................................................................................................. vii

Abstract ................................................................................................... ix

Índice ..................................................................................................... xi

Lista de Figuras ...................................................................................... xv

Lista de Acrónimos ................................................................................ xxi

Lista de Símbolos ................................................................................ xxiii

1 Introdução .................................................................................... 1

1.1 Enquadramento ......................................................................................... 2

1.2 Motivações e Objectivos ............................................................................ 9

1.3 Estrutura da Dissertação ..........................................................................10

1.4 Contribuições Originais ............................................................................12

Referências ..........................................................................................................13

2 Feixes em Meios Homogéneos .................................................. 17

2.1 Lasers e Feixes Ópticos ...........................................................................18

2.2 Feixes Gaussianos ...................................................................................19

2.2.1 Equação Paraxial das Ondas ..................................................................... 19

2.2.1.1 A solução "Ansatz" ......................................................................................... 21

2.2.1.2 Equação do Feixe Gaussiano ........................................................................ 23

2.2.1.3 Largura do Feixe ............................................................................................ 23

2.2.1.4 Raio de Curvatura .......................................................................................... 25

2.2.1.5 Intensidade Óptica ......................................................................................... 26

xii

2.2.1.6 Divergência .................................................................................................... 30

2.3 Difracção de Fresnel ................................................................................31

2.3.1 Integral de Difracção de Fresnel ................................................................. 32

2.4 Evolução de Feixes Espaciais Unidimensionais .......................................33

2.4.1 Feixes de Perfil Gaussiano ......................................................................... 33

2.4.2 Feixes de Perfil Secante Hiperbólica .......................................................... 36

2.4.3 Feixes de Perfil Rectangular ....................................................................... 38

2.5 Análise dos Feixes Unidimensionais ........................................................39

Referências ..........................................................................................................41

3 Ressoadores e Feixes de Hermite – Gauss ............................. 43

3.1 Ressoadores e Feixes de Ordem Superior ..............................................44

3.2 Ressoadores Ópticos ...............................................................................45

3.2.1 Tipos de Ressoadores ................................................................................ 47

3.2.1.1 Cavidades de Fabry – Perot .......................................................................... 47

3.2.1.2 Ressoador de Espelhos Curvos .................................................................... 49

3.2.1.3 Ressoador Côncavo – Convexo .................................................................... 49

3.2.2 Tipos de Ressoadores ................................................................................ 50

3.2.2.1 Condições de Estabilidade ............................................................................ 50

3.2.2.2 Análise de Estabilidade ................................................................................. 53

3.2.2.3 Ressoadores Instáveis .................................................................................. 55

3.3 Feixes de Hermite – Gauss ......................................................................55

3.3.1 Oscilador Harmónico Unidimensional ......................................................... 56

3.3.1.1 Equação de Schrödinger Independente do Tempo ....................................... 56

3.3.1.2 Solução da Equação de Schrödinger Independente do Tempo .................... 58

3.3.1.3 Equações de Ordem Superior e Inferior ........................................................ 59

3.3.1.4 Polinómios de Hermite e Feixes de Hermite – Gauss ................................... 60

3.3.1.5 Níveis de Energia ........................................................................................... 62

3.3.2 Propagação de Feixes de Hermite – Gauss ............................................... 62

xiii

3.3.3 Meios Anisotrópicos .................................................................................... 68

3.3.3.1 Propagação em Meios Anisotrópicos ............................................................ 69

3.3.3.2 Propagação de Feixes de Hermite – Gauss em Cristais Uniaxiais ............... 70

3.4 Análise de Feixes de Hermite – Gauss Unidimensionais .........................74

Referências ..........................................................................................................77

4 Solitões Espaciais ..................................................................... 79

4.1 A Não – Linearidade e os Soliões ............................................................80

4.2 Feixes Gaussianos Bidimensionais ..........................................................81

4.3 Propagação em Meios Não – Lineares ....................................................85

4.3.1 Efeito Não – Linear de Kerr ........................................................................ 85

4.3.2 Equação Não – Linear de Schrödinger ....................................................... 87

4.3.3 Evolução de Feixes em Meios Não – Lineares .......................................... 90

4.3.3.1 Feixe Gaussiano Unidimensional .................................................................. 90

4.3.3.2 Feixe Gaussiano Bidimensional .................................................................... 92

4.3.3.3 Feixe de Hermite – Gauss ............................................................................. 94

4.4 Solitões Ópticos Espaciais .......................................................................99

4.4.1 Definição do Solitão Espacial ................................................................... 100

4.4.2 Evolução dos Solitões Espaciais .............................................................. 102

4.4.2.1 Solitão Fundamental Unidimensional .......................................................... 102

4.4.2.2 Solitão de 2ª Ordem Unidimensional ........................................................... 102

4.4.2.3 Solitão de 3ª Ordem Unidimensional ........................................................... 104

4.4.2.4 Solitão Fundamental Bidimensional ............................................................ 105

4.4.2.5 Solitão de 2ª Ordem Bidimensional ............................................................. 107

4.4.2.6 Solitão de 3ª Ordem Bidimensional ............................................................. 108

4.5 Influência da Não – Linearidade na Propagação de Feixes ...................109

Referências ........................................................................................................113

5 Conclusão ............................................................................... 115

5.1 Conclusões .............................................................................................116

xiv

5.2 Perspectivas de Trabalho Futuro ...........................................................119

Referências ........................................................................................................123

Anexo A .............................................................................................. 125

A.1 Equação de Onda ..................................................................................126

A.2 Variação Espacial Lenta ........................................................................126

A.3 Amplitude Espectral do Perfil do Feixe Óptico .......................................127

A.4 Integral de Difracção de Fresnel ............................................................128

A.5 Amplitude Espectral do Perfil do Feixe Gaussiano ................................129

A.6 Evolução Espacial do Feixe Gaussiano .................................................129

Anexo B .............................................................................................. 131

B.1 Estabilidade do Ressoador ....................................................................132

B.2 Equação de Schrödinger Unidimensional ..............................................133

B.3 Normalização de Variáveis ....................................................................134

B.4 Função Própria de Perfil Gaussiano ......................................................135

B.5 Operadores de "Subida" e de "Descida" ................................................135

B.6 Polinómios de Hermite ...........................................................................136

Anexo C .............................................................................................. 137

C.1 Constante de Propagação num Meio Não – Linear ...............................138

C.2 SSFM (Split - Step Fourier Method) .......................................................139

C.3 Equação Cnoidal ...................................................................................141

xv

Lista de Figuras Figura 1.1 – Esquema representativo da evolução de um feixe de perfil gaussiano à medida que a

distância axial percorrida aumenta. .................................................................................... 3

Figura 1.2 – Representação generalista da evolução de um feixe de perfil gaussiano à medida que a

distância axial percorrida aumenta, recorrendo a um método computacional. .................. 3

Figura 1.3 – Configuração de um ressoador óptico, constituído por espelhos curvos e planos, que

permitem obter a focagem do feixe inicial no plano de saída [35]. .................................... 4

Figura 1.4 – Representação generalista da evolução de um feixe de Hermite – Gauss de segunda

ordem à medida que a distância axial percorrida aumenta. ............................................... 6

Figura 1.5 – Esquema representativo da propagação de um solitão num meio não – linear (gás não –

linear). ................................................................................................................................. 6

Figura 1.6 – Representação generalista da evolução de um solitão, recorrendo a um método

computacional. .................................................................................................................... 7

Figura 2.1 – Perfil transversal da amplitude da intensidade óptica (normalizada) de um feixe

gaussiano, em função da distância radial (também normalizada). .................................. 24

Figura 2.2 – Largura normalizada / do feixe gaussiano em função da distância axial

normalizada / . Para a largura atinge o seu valor mínimo. ............................. 25

Figura 2.3 – Propagação de um feixe gaussiano, e variação do raio de curvatura, ao longo do eixo .

.......................................................................................................................................... 26

Figura 2.4 – Raio de curvatura normalizado ⁄ das frentes de onda de um feixe gaussiano em

função da distância axial ⁄ (também normalizada). .................................................... 27

Figura 2.5 – Superfície de um parabolóide caracterizado por (2.30) para diferentes valores de raio de

curvatura , e considerando 100. .............................................................................. 27

Figura 2.6 – Desfasagem em função da distância axial ⁄ (normalizada). ............................... 28

Figura 2.7 – Intensidade óptica normalizada ⁄ em função da distância radial ⁄ (também

normalizada) para diferentes valores da distância axial. .................................................. 29

Figura 2.8 – Intensidade óptica normalizada ⁄ em função da distância axial ⁄ (também

normalizada) ao longo do eixo óptico do feixe. ................................................................ 29

xvi

Figura 2.9 – Propagação de um feixe gaussiano, com divergência espacial que está

assimptoticamente contida num cone com ângulo de divergência . ............................. 30

Figura 2.10 – Comparação entre o resultado da propagação de um feixe gaussiano efectuada

analiticamente e numericamente. Na simulação utilizou-se 5 e 1 (valores

normalizados).................................................................................................................... 34


analiticamente e numericamente. Na simulação utilizou-se 5 e 10 (valores

normalizados).................................................................................................................... 35

Figura 2.12 – Evolução do feixe gaussiano ao longo do seu eixo de propagação , utilizando o

método numérico, 1 (valores normalizados). ............................................................. 35

Figura 2.13 – Intensidade do feixe gaussiano ao longo do seu eixo de propagação (valores

normalizados).................................................................................................................... 36

Figura 2.14 – Feixe com perfil de secante hiperbólica em 0 e . Na simulação utilizou-se

5 (valores normalizados). ........................................................................................... 37

Figura 2.15 – Evolução do feixe de perfil secante hiperbólica ao longo do seu eixo de propagação

(valores normalizados). ..................................................................................................... 37

Figura 2.16 – Intensidade do feixe de perfil secante hiperbólica ao longo de (valores normalizados).

.......................................................................................................................................... 37

Figura 2.17 – Feixe com perfil rectangular em 0 e . Na simulação utilizaram-se 5 e

500 (valores normalizados). ....................................................................................... 38

Figura 2.18 – Intensidade do feixe de perfil rectangular ao longo do seu eixo de propagação (valores

normalizados).................................................................................................................... 39

Figura 3.1 – Ressoador linear simples constituído por dois espelhos planos e um convexo. .............. 45

Figura 3.2 – Ressoador em anel, constituído por dois espelhos planos e dois espelhos convexos. ... 46

Figura 3.3 – Distribuições da intensidade dos feixes de Hermite – Gauss de ordem mais baixa, no

plano transversal electromagnético. ................................................................................. 47

Figura 3.4 - Ressoadores de dois espelhos, com diversos raios de curvatura e respectiva radiação

padrão. .............................................................................................................................. 48

Figura 3.5 – Ressoador constituído por um espelho convexo e um espelho côncavo. ........................ 51

Figura 3.6 – Ressoador correspondente à equação (3.11). ................................................................. 52

Figura 3.7 – Diagrama de estabilidade, onde são indicadas as zonas sem solução e as zonas em que

se localizam os tipos de ressoadores mais comuns......................................................... 53

Figura 3.8 – Diagrama de estabilidade, com ressoadores de configurações estáveis e instáveis. ...... 54

xvii

Figura 3.9 – Representação gráfica da solução da equação de Schrödinger. ..................................... 59

Figura 3.10 – Representação gráfica das três soluções de Hermite – Gauss de ordem mais baixa. .. 61

Figura 3.11 – Espectro de energia para o potencial do oscilador harmónico quântico. ....................... 63

Figura 3.12 – Feixe de Hermite – Gauss de 1ª ordem em 0 e . Na simulação utilizou-se 5

(valores normalizados) ...................................................................................................... 63

Figura 3.13 – Evolução Feixe de Hermite – Gauss de 1ª ordem ao longo do seu eixo de propagação


Figura 3.14 – Intensidade do feixe de Hermite – Gauss de 1ª ordem ao longo do seu eixo de

propagação (valores normalizados). .............................................................................. 64



















Figura 3.24 – Superfícies obtidas através da rotação simétrica circular e elíptica em torno do eixo . 69

Figura 3.25 – Relação entre os eixos do feixe e a normal da frente de onda para as coordenadas

espaciais e as respectivas transformações. ..................................................................... 71

Figura 3.26 – Elipse obtida através da superfície de índice normal pela multiplicação de ⁄ . ....... 72

Figura 3.27 – Raio dos feixes nos dois sistemas de coordenadas. ...................................................... 73

xviii

Figura 4.1 – Evolução de um feixe de perfil gaussiano bidimensional ao longo do seu eixo de

propagação . (a) 0, (b) 5, (c) 10 e (d) 15 (valores normalizados). ........ 83

Figura 4.2 – Evolução da intensidade e da largura de um feixe gaussiano bidimensional ao longo do

seu eixo de propagação . (a) 0, (b) 5, (c) 10 e (d) 15 (valores

normalizados).................................................................................................................... 84


propagação . (a) 0 e (b) 5 (valores normalizados). ............................................ 84


seu eixo de propagação . (a) 0 e (b) 5 (valores normalizados). ........................ 85

Figura 4.5 – Feixe gaussiano unidimensional após propagação num meio não – linear. (a) 5 e (b)

80 (valores normalizados). ......................................................................................... 91

Figura 4.6 – Evolução de um feixe de perfil gaussiano unidimensional num meio não - linear. (a) 5

e (b) 80 (valores normalizados). ................................................................................. 91

Figura 4.7 – Evolução da intensidade e da largura de um feixe gaussiano unidimensional num meio

não – linear. (a) 5 e (b) 80 (valores normalizados). ............................................. 92

Figura 4.8 – Evolução de um feixe de perfil gaussiano bidimensional num meio não – linear. (a) 0,

(b) 5, (c) 10 e (d) 15 (valores normalizados). ................................................ 93

Figura 4.9 – Evolução da intensidade e da largura de um feixe gaussiano bidimensional num meio

não – linear. (a) 0, (b) 5, (c) 10 e (d) 15 (valores normalizados). ........... 94

Figura 4.10 – Feixe de Hermite – Gauss de 1ª ordem após propagação num meio não – linear. (a)

5 e (b) 80 (valores normalizados). ....................................................................... 95

Figura 4.11 – Evolução de um feixe de Hermite – Gauss de 1ª ordem num meio não - linear. (a) 5


Figura 4.12 – Evolução da intensidade e da largura de um feixe de Hermite – Gauss de 1ª ordem num

meio não – linear. (a) 5 e (b) 80 (valores normalizados). .................................... 95


5 e (b) 20 (valores normalizados). ....................................................................... 96




meio não – linear. (a) 5 e (b) 20 (valores normalizados). .................................... 97


5 e (b) 120 (valores normalizados). ..................................................................... 98

xix


e (b) 120 (valores normalizados). ............................................................................... 98


meio não – linear. (a) 5 e (b) 120 (valores normalizados). .................................. 98

Figura 4.19 – Esquemático representativo dos perfis dos feixes (linha a cheio) e das frentes de fase

(linha a tracejado) para (a) auto – focagem do feixe, (b) dispersão espacial do feixe e, (c)

propagação do solitão espacial. ....................................................................................... 99

Figura 4.20 – Evolução do solitão fundamental ao longo do seu eixo de propagação. (a) 2⁄ e (b)

3 2⁄ (valores normalizados). ................................................................................... 103

Figura 4.21 – Evolução da amplitude e largura do solitão fundamental ao longo do seu eixo de

propagação. (a) 2⁄ e (b) 3 2⁄ (valores normalizados). .................................. 103

Figura 4.22 – Evolução do solitão de 2ª ordem ao longo do seu eixo de propagação. (a) 2⁄ e (b)


Figura 4.23 – Evolução da amplitude e largura do solitão de 2ª ordem ao longo do seu eixo de






Figura 4.26 – Evolução do solitão fundamental bidimensional. (a) 0, (b) 1, (c) 2 e (d) 4

(valores normalizados com 2 )....................................................................................... 106

Figura 4.27 – Evolução do solitão de 2ª ordem bidimensional. (a) 0, (b) 0.5, (c) 1 e (d)

1.5 (valores normalizados com 2 ). ......................................................................... 108

Figura 4.28 – Evolução do solitão de 3ª ordem bidimensional. (a) 0, (b) 0.25, (c) 0.5 e (d)

1 (valores normalizados com 2 ). ............................................................................ 109

Figura 5.1 – Exemplo, (a) de um solitão discreto bidimensional num cristal fotorefractivo amplamente

não – linear, (b) da difracção discreta de um feixe óptico numa rede de guias de onda 2D

[19]. ................................................................................................................................. 120

Figura 5.2 – Exemplo da propagação de um laser óptico [20]. ........................................................... 121

xx

xxi

Lista de Acrónimos BPM Beam Propagation Method

DVG Divergencia da Velocidade de Grupo

FFT Fast Fourier Transform

FWHM Full Width at Half Maximum

IST Inverse Scattering Transform

KdV Korteweg – de – Vries

LASER Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation

MASER Microwave Amplification by Stimulated Emission of Radiation

NLS Nonlinear Schrödinger Equation

RNLD Regime Não – Linear Dispersivo

SSFM Split – Step Fourier Method

TEM Transversal Electromagnética

xxii

xxiii

Lista de Símbolos valor do declive na equação da recta

vector unitário pertencente ao plano ,

potencial vector

Amplitude do feixe

área efectiva

constante de atenuação

valor na origem na equação da recta / componente imaginária da função

direcção do vector de propagação

velocidade da luz no vácuo

valor da superfície de um parabolóide de raio de curvatura

constante de integração

constante de integração

amplitude do feixe de Hermite – Gauss bidimensional

parâmetro responsável pela mudança de sinal da função do feixe

coordenada transversal normalizada da não – linearidade na direcção

coordenada transversal normalizada da não – linearidade em 0

coordenada transversal normalizada na direcção / desvio normalizado de

em relação a em meios não - lineares

distância entre espelhos do ressoador óptico

operador algébrico

operador de dispersão

desvio de fase

|∆Ψ| variação espacial

∆ variação longitudinal

xxiv

∆ perturbação da constante de propagação longitudinal

campo eléctrico

energia de uma partícula

energia potencial associada a cada nível do oscilador harmónico

valor próprio correspondente à equação de valores próprios de ordem

permitividade eléctrica no vácuo

permitividade eléctrica segundo a direcção



coordenada transversal normalizada na direcção do eixo

aproximação gaussiana

força que actua sobre a partícula

força exercida por uma mola

fase

fase não – linear

fase do potencial vector

Φ fase do feixe

parâmetro dependente da área efectiva

Γ parâmetro dependente do comprimento de dispersão e da cte de atenuação

constante reduzida de Plank

operador hamiltoniano

polinómio de Hermite de n – ésima ordem

função de transferência

intensidade do feixe

á intensidade máxima

coordenada transversal normalizada da não – linearidade na direcção

componente da equação do feixe dependente de

componente da equação do feixe dependente de

xxv

componente do integral de difracção de Fresnel dependente de

componente do integral de difracção de Fresnel dependente de

vector de onda

número de onda no vácuo

constante elástica de uma mola ideal

constante de propagação total

constante de propagação no plano



constante de propagação na origem do plano

membro da série de Taylor

dispersão de ordem superior

distância percorrida pelo feixe

operador dos valores próprios

comprimento de dispersão

comprimento da não – linearidade

comprimento de onda

Λ desvio de em relação a

massa de um corpo

parâmetro de valor unitário da solução da equação cnoidal relativa ao solitão

permeabilidade magnética no vácuo

ordem do feixe óptico

índice de refracção da onda extraordinária

índice de refracção da onda ordinária

índice de refracção segundo



constante característica do meio

xxvi

ordem do solitão

operador de não – linearidade

laplaciano

laplaciano transversal

frequência

cintura do feixe no sistema de coordenadas , ,

momento linear da partícula em espaço livre

potência transportada pelo feixe

potência máxima do feixe

operador do momento linear

desvio normalizado do feixe em relação ao seu eixo de propagação

Ψ equação característica de um feixe

Ψ perfil inicial do feixe gaussiano

função complexa dependente e do parâmetro confocal

componente imaginária da função

função de onda independente do espaço

coordenada radial

vector de coordenadas espaciais

raio de curvatura da frente de onda

função rectangular

raio de curvatura dos espelhos

raio de curvatura do espelho 1

raio de curvatura do espelho 2

função

equação da recta

tempo

desvio do feixe em relação ao seu eixo de propagação / mudança de variável

ângulo de divergência

xxvii

, , função de onda independente do tempo

perfil inicial do feixe óptico

função própria de ordem

, função característica dos feixes de Hermite – Gauss bidimensionais

funções de Hermite – Gauss segundo o plano

funções de Hermite – Gauss segundo o plano

amplitude normalizada do feixe óptico

amplitude espectral do feixe óptico

componente da amplitude espectral dependente de

componente da amplitude espectral dependente de

potencial harmónico

parâmetro responsável pelo estabelecimento da fase na origem

largura do feixe

cintura do feixe

cintura do feixe da direcção

cintura do feixe da direcção

raio do feixe gaussiano num meio anisotrópico

raio do feixe na direcção num meio anisotrópico

coordenada transversal na direcção do eixo

coordenada inicial no eixo dos

versor (de módulo unitário) de direcção

coordenada transversal na direcção do eixo

coordenada inicial no eixo dos


z coordenada longitudinal

parâmetro confocal

posição do espelho 1 no eixo longitudinal

posição do espelho 2 no eixo longitudinal

xxviii


coordenada longitudinal normalizada

direcção da propagação do modo fundamental num cristal uniaxial

Capítulo 1

Introdução Esta secção aborda de forma introdutória o trabalho em questão, com o intuito de o enquadrar na

actualidade, assim como indicar as motivações que levam à sua realização e os objectivos que se

pretendem atingir, clarificando a sua estrutura e o que de original esta Dissertação apresenta.

2

Propagação de Feixes Ópticos em Meios Não – Lineares

1.1 Enquadramento

Com o progredir do tempo e o constante avanço tecnológico, torna-se indispensável que todas as

áreas da Matemática, da Física e da Ciência acompanhem esta evolução, de forma a poderem

melhorar constantemente, possibilitando assim, um maior apoio na resolução dos problemas que lhe

são propostos diariamente. Como não poderia deixar de ser, também o âmbito da Óptica tem sido

vítima de constantes alterações e actualizações, de forma a acompanhar o progresso tecnológico e

cientifico verificados. Convém por conseguinte abordar a sua evolução ao longo dos tempos, focando

os aspectos históricos mais relevantes, com o intuito de analisar a sua ascensão até à actualidade e,

enquadrar o trabalho realizado nos dias que decorrem, de forma a permitir uma melhor percepção da

propagação de feixes ópticos.

A presente Dissertação aborda a propagação de feixes ópticos e, como tal, deverá ser nesta que se

deve incidir. O conhecimento das características da propagação dos feixes ópticos através de vários

sistemas, assim como a sua clara definição, são aspectos muito importantes na evolução destes

feixes, assim como no sucesso das aplicações que têm como fonte os lasers [1]. O estudo das

referidas propriedades inicia-se através da análise da propagação de feixes gaussianos, devido à sua

simplicidade e, à permissão da introdução de alguns parâmetros característicos, cujo significado será

prorrogado para a análise de qualquer tipo de feixe laser [1,2]. Vários foram os investigadores que já

efectuaram a análise deste tipo de feixes, publicando posteriormente artigos e livros sobre os

resultados obtidos, destacando-se entre muitos as publicações de H. Kogelnik [3], B. Saleh e M.

Teich [4], D. O’Shea [5], entre muitos outros. A análise da propagação de feixes gaussianos em

meios lineares pode ser efectuada segundo dois processos, um primeiro em que se recorre à

aproximação paraxial e, um segundo que se apoia no integral de difracção de Fresnel. Tal como o

nome indica, no primeiro método recorre-se à aproximação paraxial das ondas e a uma solução

aproximada da esperada, designada de “ansatz”, de forma a obter-se analiticamente a equação que

caracteriza o feixe no fim da sua propagação. Este método foi apresentado em 1979, no artigo [6],

realizado por G. P. Agrawal e D. N. Pattanayak. Posteriormente, M. Porras publicou um artigo [7]

sobre a qualidade dos feixes gaussianos utilizando a aproximação paraxial.

O segundo método, embora apresente um carácter mais denso em termos de cálculo, permite obter o

mesmo resultado que o primeiro. Os seus princípios tiveram origem no século XIX, através do físico

Augustin Fresnel, que contribuiu de forma significativa para a teoria da óptica ondulatória, sendo

considerado o fundador da óptica moderna. No seu estudo, obteve as equações responsáveis pela

reflexão e refracção das ondas, baseando-se em trabalhos desenvolvidos anteriormente sobre a luz,

obtendo uma teoria dinâmica, e desenvolvendo também, uma teoria matemática para a refracção e

polarização em cristais anisotrópicos [8]. Os conceitos apresentados continuam a ser utilizados, tanto

na análise da propagação de feixes gaussianos em meios lineares homogéneos, realizada na

presente Dissertação, como na investigação de outros temas, como é o caso do desenvolvimento dos

lasers. Deste modo, vários investigadores têm apoiado os seus estudos nestes conceitos, tendo-se a

título de exemplo, para a análise da difracção de Fresnel em feixes gaussianos, os artigos publicados

3

Introdução

por R. M. Herman et al [9] e J. Z. Buchwald [10], assim como em lasers, A. J. Campillo et al [11], entre

muitos outros. As Figuras 1.1 e 1.2 representam de forma uma forma generalista, os resultados

obtidos normalmente na propagação de feixes de perfil gaussiano em meios lineares homogéneos,

onde se verifica o alargamento do feixe, e por consequência a diminuição da sua amplitude, devido

ao facto de este estar sob o efeito da dispersão espacial, característico deste tipo de meios .

Figura 1.1 – Esquema representativo da evolução de um feixe de perfil gaussiano à medida que a

distância axial percorrida aumenta.

Após a análise e conhecimento das propriedades dos feixes mais simples e, frequentemente, mais

desejáveis, fornecidos por uma fonte laser, pode então passar-se ao estudo da propagação de feixes

ópticos mais complexos, assim como dos ressoadores ópticos que constituem os lasers.

Figura 1.2 – Representação generalista da evolução de um feixe de perfil gaussiano à medida que a

distância axial percorrida aumenta, recorrendo a um método computacional.

O ressoador óptico ou cavidade óptica consiste numa configuração de espelhos que permitem a

focagem e propagação de ondas de luz, sendo o componente de maior importância nos lasers. Na

sua generalidade, os tipos mais comuns são constituídos por dois espelhos planos ou côncavos

dispostos paralelamente um ao outro. A sua forma mais simples foi apresentada em 1899, por C.

Fabry e A. Perot, sendo constituído por apenas dois espelhos planos localizados frente a frente.

4


Posteriormente, em 1901, os dois investigadores publicaram um artigo [13], onde expuseram as suas

aplicações no âmbito da óptica. Devido à constante evolução da óptica e dos lasers, foram surgindo

novas configurações de ressoadores ópticos, como por exemplo, a representada na Figura 1.3,

compostos por espelhos de diferentes curvaturas, o que levou ao surgimento do problema da

estabilidade. Este é o ponto mais importante na elaboração de lasers, pois a estabilidade dos

ressoadores que os constituem, é um ponto fulcral para o correcto funcionamento dos mesmos.

Como tal, muitos investigadores direccionaram os seus estudos nesse sentido, com o intuito de

clarificar o tema em questão, destacando-se entre muitos, A. E. Siegman [14] e H. Kogelnik e T. Li

[15]. Posteriormente, em 1990, A. E. Siegman publicou um artigo [16], no qual abordou não só os

ressoadores laser, como também as ferramentas para a análise e medida da qualidade dos feixes

laser e ressoadores, publicando em 2000, os artigos [17] e [18], nos quais efectua uma revisão geral

da evolução dos conceitos básicos dos ressoadores ópticos, desde o seu surgimento durante a

primeira década da era do laser, até à época, assim como, uma breve previsão sobre as inovações

continuas que emergiam.

Em 1925 surgiu, Erwin Schrödinger, que ficou famoso pelas suas contribuições no domínio da

Mecânica Quântica, com a formulação da célebre Equação de Schrödinger, a qual foi publicada em

1926, no artigo [19], e descreve a evolução temporal de sistemas físicos sujeitos à mecânica

quântica, revolucionando não só esta, como todas as físicas e a química. Algum tempo depois,

Schrödinger apresentou o estudo e a solução numérica para o oscilador harmónico quântico que,

posteriormente, seria utilizado como base para o estudo dos feixes de ordem superior de Hermite –

Gauss, assim como uma nova derivação da equação de Schrödinger [20].

Figura 1.3 – Configuração de um ressoador óptico, constituído por espelhos curvos e planos, que

permitem obter a focagem do feixe inicial no plano de saída [21].

Tal como os feixes gaussianos, também os feixes de Hermite – Gauss, são constituídos por ondas

que satisfazem a equação paraxial de Helmoltz, sendo desta forma válida a utilização da

aproximação paraxial. Vários investigadores abordaram, não só esta questão, assim como, para além

dela, de forma a aprofundar os conhecimentos já existentes sobre os feixes de Hermite – Gauss,

publicando posteriormente artigos nos quais exprimiam os resultados obtidos, enunciando a título de

exemplo, H. Laabs [22] e Q. Cao e X. Deng [23] e, mais recentemente, em 2005, K. Duan et al. [24],

5

Introdução

entre muitos outros. O estudo da propagação destes feixes de ordem superior, em meios lineares

homogéneos, é efectuado aplicando operadores de “subida” e “descida” às soluções expostas pelo

oscilador harmónico quântico, apresentado por Schrödinger. Em 1980, W. Carter publicou um artigo

[25], no qual analisou a largura e a divergência para os feixes de Hermite – Gauss de qualquer

ordem. A Figura 1.4 representa de uma forma geral o comportamento esperado para as propriedades

do feixe de Hermtie – Gauss unidimensional de segunda ordem, ao longo da sua propagação nos

referidos meios. Conhecidos os efeitos do meio linear homogéneo na propagação dos presentes

feixes, muitos foram os investigadores que abordaram a sua evolução ao longo de meios mais

complexos, como por exemplo, em meios anisotrópicos. No final de 2001, G. Cincotti, A. Ciattoni e C.

Palma, publicaram um artigo [26], no qual apresentavam os resultados da propagação de feixes de

Hermite – Gauss, de qualquer ordem, em cristais uniaxias.

Com a evolução do estudo da propagação de feixes ópticos e com o crescente número de

configurações de ressoadores ópticos, rápido se pensou na conjugação dos dois, permitindo assim a

produção de um dispositivo que permitisse a propagação de feixes sem que estes se dispersassem

[27]. Foi durante a década de 50, mais precisamente em 1953 que, C. Townes, J. Gould e H. Zeiger

produziram o primeiro MASER (Microwave Amplification by Stimulated Emission of Radiation), que

era bastante semelhante ao laser, produzindo microondas no lugar de luz visível.

Em 1957, Townes e A. Schawlow, tendo em atenção a teoria da relatividade e o conceito de emissão

estimulada apresentados por Einstein, realizaram uma análise meticulosa dos requisitos necessários

para o desenvolvimento do dispositivo a que chamaram maser óptico, ou laser, apresentando os

resultados dos seus estudos em 1958, no artigo [28]. No mesmo ano, Gould introduziu o acrónimo

LASER (Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation), que publicou posteriormente, em

1959, no artigo [29]. O estudo realizado por Townes e Schawlow desencadeou uma verdadeira

corrida pela primeira demonstração experimental da ideia proposta. Em 1960, pela primeira vez, o

físico T. H. Maiman, nos Laboratórios Hughes, produziu um impulso laser. Para tal feito, recorreu a

um cristal de rubi cor-de-rosa, de tamanho reduzido, e a uma lâmpada idêntica à de um flash

fotográfico, obtendo assim um impulso laser de cor vermelha ( 694 ), apresentando nesse

mesmo ano, os resultados da sua descoberta e a respectiva análise, [30] e [31]. O passo fundamental

estava dado e, foi acompanhado pelo surgimento de novas áreas científicas que passaram a ser

possíveis graças ao laser. Actualmente, os lasers marcam presença em quase todas as áreas

conhecidas, desde a medicina até à indústria, passando pela área da investigação e da comunicação,

assim como na nossa vida diária. A sua expansão é contínua e novas aplicações surgirão com o

decorrer do tempo.

Focando novamente o âmbito dos feixes ópticos, em 1972, V. E. Zakharov e A. B. Shabat,

apresentaram a versão não – linear da equação de Schrödinger, que permitiu, entre outros, o estudo

da propagação de ondas e feixes em meios não – lineares. Quando o equilíbrio entre os efeitos da

auto – focagem, provenientes da não – linearidade do meio, e da dispersão é perfeito verifica-se uma

das manifestações mais interessantes da não – linearidade em sistemas físicos, a propagação de

ondas solitárias.

6


Figura 1.4 – Representação generalista da evolução de um feixe de Hermite – Gauss de segunda

ordem à medida que a distância axial percorrida aumenta.

Na óptica não – linear a equação fundamental que descreve as ondas solitárias é a equação não –

linear de Schrödinger, que é válida tanto para o caso espacial (propagação de feixes) como temporal

(propagação de impulsos) [32,33,34]. Como tal, as Figuras 1.5 e 1.6 expõem, de uma forma

representativa, a evolução de solitões espaciais, que evoluem ao longo do seu eixo de propagação

sem que ocorra variações das suas propriedades, nomeadamente, largura e amplitude.

A primeira observação registada de um solitão ocorreu em 1834, por parte de John Scott Russell,

enquanto trabalhava numa experiência, no Canal da União (perto de Edinburgh, Escócia), onde

observava um barco a ser puxado por dois cavalos a grande velocidade. Quando o barco parou,

verificou que tinha surgido uma elevação solitária, redonda, polida e bem definida que continuou a

deslocar-se ao longo do canal, aparentemente, sem mudar de forma ou diminuir de velocidade

[35,36]. Interessado no que tinha observado, Russell continuou a estudar as ondas solitárias em

tanques e canais, demonstrando algumas das suas propriedades chave.

Figura 1.5 – Esquema representativo da propagação de um solitão num meio não – linear (gás não –

linear).

Em 1895, os matemáticos D. J. Korteweg e Hendrik de Vries abordaram o tema apresentado por

Russell, fornecendo um tratamento analítico completo das equações diferenciais parciais não –

lineares, designadas como equações KdV, responsáveis pela descrição do fenómeno da onda

solitária em hidrodinâmica, mostrando assim a existência de ondas não – dissipativas. Ficou assim

7

Introdução

demonstrado que a não – linearidade era indispensável para as leis da física responsáveis pelo

fenómeno das ondas solitárias, observado por Russell [35]. Os resultados obtidos por Korteweg e de

Vries foram apresentados nesse mesmo ano [37]. Apesar do progresso verificado, o tema da “grande

onda solitária” permaneceu uma curiosidade matemática por mais 70 anos.

Figura 1.6 – Representação generalista da evolução de um solitão, recorrendo a um método

computacional.

Em 1965 foi dado mais um passo de grande importância na percepção dos solitões. Neste ano,

Zabusky e Kruskal simularam computacionalmente a colisão entre duas ondas solitárias, descritas

pela já conhecida equação KdV. Até este momento, acreditava-se fortemente que a colisão de duas

ondas solitárias seria uma interacção tão intensa e tão não – linear que resultaria na aniquilação de

ambas as ondas. Estes resultados [38] foram surpreendentes pois verificaram que após a colisão as

ondas surgiam com as suas formas e velocidades inalteradas. Uma análise mais detalhada permitiu

observar que, cada impulso da onda solitária apresentava o perfil de secante hiperbólica,

comportando-se estas ondas como partículas estáveis [35,36]. Tinha sido descoberto o solitão. Em

1967, Gardner, Greene, Kruskal e Miura [39] elaboraram uma generalização do método da

transformada de Fourier para a construção de soluções da equação KdV, partindo de condições

iniciais arbitrárias. Descobriu-se então que, além desta, existiam outras equações não – lineares de

grande relevância física e matemática que, também elas admitiam soluções exactas na forma de

ondas solitárias [36]. Desde esta data, a investigação no âmbito da propagação dos feixes ópticos,

em especial os solitões, têm sido alvo de um amplo estudo e análise por parte de cientistas e

investigadores de várias áreas.

Na década de 90, muitos foram os que estudaram os feixes ópticos, incluindo os solitões, de várias

formas e em vários meios. Em 1991, M. Segev, B. Crosignani e A. Yariv abordaram a propagação de

solitões espaciais em meios fotorefractivos, mostrando que este tipo de meios suporta um novo tipo

de solitão espacial, em que a difracção é equilibrada pela auto – dispersão das componentes da

frequência do solitão espacial. Os resultados foram publicados, em 1992, no artigo [40]. No mesmo

ano, M. Karlsson, publicava um artigo [41], no qual apresentou os resultados obtidos na análise da

propagação de feixe ópticos bidimensionais em meios com auto – focagem saturável, detalhando a

8


forma radial e a mudança de fase do modo fundamental da auto – focagem estacionária. Em 1994,

Segev conjuntamente com George Valley e outros investigadores continuaram o estudo, do primeiro,

na área dos solitões, onde abordaram os solitões espaciais foto – voltaicos, claros e escuros,

originados quando a propagação de um feixe óptico é exactamente compensada pela auto – focagem

ou auto – desfocagem não – linear, respectivamente, devido ao campo foto – voltaico e ao efeito

electro – óptico [42]. Com o passar da década, muitos estudaram este tipo de feixes, destacando-se

entre outros, Stegeman e Segev [43], que reanalisaram as interacções entre solitões espaciais

ópticos, abordando a sua universalidade e diversidade.

Na última década, o assédio ao estudo dos solitões continuou. Em 2000, Stegeman e Segev, em

conjunto com Christodoulides, voltaram a abordar os solitões espaciais no artigo [44], analisando as

suas perspectivas históricas e os tipos de solitões de maior relevância, que tinham surgido até à

altura. Os últimos anos têm revelado um aumento no interesse de feixes ópticos auto – sustentados,

e como tal, em 2001, A. Sukhorukov e Y. Kivshar, publicaram um artigo [45] no qual abordaram

novamente o processo de auto – focagem dos feixes e a respectiva origem dos solitões espaciais,

assim como a sua estabilidade, e o critério responsável por esta. Em 2002, no artigo [46], Kivshar e

Stegeman estudaram a utilização de solitões ópticos espaciais em luz guiada para tecnologias

futuras, apresentando uma visão panorâmica das propriedades básicas dos solitões espaciais, dando

ênfase à variedade das suas características e manifestações, especulando sobre possíveis

desenvolvimentos e aplicações futuras. Na mesma altura, e novamente, A. Sukhorukov e Y. Kivshar,

analisaram os solitões espaciais num cristal fotónico não – linear, publicando os resultados no artigo

[47]. Mais recentemente, em 2004, A. Ciattoni et al. publicaram um artigo [48], onde provam que os

solitões espaciais de Kerr, geralmente obtidos através da equação não – linear de Schrödinger, válida

para a aproximação paraxial, podem ser encontrados numa forma generalizada como soluções

exactas das equações de Maxwell. Um ano mais tarde, K. Makris et al demonstraram teoricamente,

no artigo [49], que ondas de superfície não - linear discreta são possíveis em redes de guias de onda.

Em 2006, Y. Kivshar publicou um artigo [50], sobre a capacidade de controlo da direcção dos solitões

ópticos espaciais, voltando, em 2007, conjuntamente com outros investigadores, a publicar vários

artigos no âmbito das ondas solitárias, e.g., [51] e [52], entre muitos outros, nos quais o solitão tem

um papel fundamental.

Toda a área da óptica encontra-se em constante evolução, desde a propagação de feixes ópticos,

através de vários meios, que apresentam características completamente diferentes uns dos outros,

até aos lasers, cujo aproveitamento abrange muitas das aplicações utilizadas actualmente, em todas

as áreas científicas. Inserido nos feixes ópticos, o solitão não foge à regra, sendo também alvo de

investigação constante, no presente e, ao que tudo indica, até um futuro longínquo. A diversidade dos

sistemas físicos, matemáticos, biológicos, químicos, entre outros, onde é possível a existência deste

tipo de feixe, é tão elevada que não resta qualquer dúvida quanto à sua universalidade. Destaca-se

porém o âmbito da física, onde é possível encontrar vários tipos de solitões numa enorme variedade

de meios, como por exemplo, líquidos, sistemas ópticos, plasmas, redes cristalinas, cadeias atómicas

e macro – moléculas, entre muitos outros.

9

Introdução

1.2 Motivações e Objectivos

A crescente evolução e aplicação de feixes ópticos, em inúmeras áreas e tecnologias da ciência

moderna, apresentam uma grande motivação para que o estudo destes seja contínuo. Ao longo dos

tempos tem sido demonstrado que a sua importância é imensa, possibilitando, inclusive, o

aparecimento de novas áreas.

Embora a propagação dos feixes ópticos seja um tema que tem vindo a ser abordado desde tempos

mais antigos, existem muitos aspectos que continuam incógnitos, especialmente com o surgimento

de novos tipos de meios materiais, num passado próximo e presentemente, e cujas características

ainda continuam a ser desconhecidas parcialmente e estudadas por um grande número de

investigadores. A complexidade superior apresentada por estes novos meios, como por exemplo, os

meios não – lineares, os meios quirais, os metamateriais e os cristais fotónicos, quando comparados

com os bem conhecidos meios lineares, estimula a investigação continua da área em questão. Desta

forma, é de enorme interesse, observar quais os efeitos deste tipo de meios na propagação de feixes

ópticos possibilitando assim um melhor conhecimento, não só dos ditos meios, como também da sua

influência na variação das propriedades dos feixes. Um melhor conhecimento dos meios e dos feixes

em questão e, o relacionamento entre ambos, poderão possibilitar o surgimento de novas áreas e

tecnologias baseadas na propagação de feixes ópticos, que serão de extrema importância na

resolução dos problemas existentes na ciência actual.

A presente Dissertação, tem como principal objectivo, contribuir para uma melhor percepção do

âmbito da propagação de feixes ópticos. Como tal, aborda-se o estudo da propagação de vários

feixes de perfil distinto, através de meios com complexidade e propriedades diferentes. O grande

objectivo deste trabalho pode ser repartido em três sub – objectivos, estando cada um destes, ligado

a cada um dos capítulos apresentados. O primeiro sub – objectivo consiste numa introdução à

propagação de feixes ópticos, baseada no estudo da evolução de vários tipos de feixes, através de

meios lineares homogéneos. Inicialmente aborda-se um feixe de grande simplicidade, como é o caso

do feixe de perfil gaussiano, passando-se seguidamente à análise dos feixes de perfil de secante

hiperbólica e, posteriormente, de perfil rectangular. Pretende-se assim analisar o efeito produzido

pelo meio linear na propagação de feixes com perfis e complexidades diferentes. No segundo sub –

objectivo pretende-se analisar os feixes de ordem superior de Hermite – Gauss, tendo como base as

soluções apresentadas pelo oscilador harmónico quântico unidimensional. Inicialmente o objectivo é

estudar o efeito dos meios lineares homogéneos na propagação destes feixes e, posteriormente, de

forma superficial, abordar o efeito dos meios anisotrópicos, nomeadamente, cristais uniaxiais, que

apresentam uma complexidade superior à dos primeiros, na propagação dos feixes de Hermite –

Gauss. Por fim, o terceiro sub – objectivo é composto pela inserção dos meios não – lineares na

propagação de feixes unidimensionais e bidimensionais. Pretende-se assim comparar a evolução dos

feixes gaussianos unidimensional e bidimensional, e dos feixes de Hermite – Gauss, quando estes se

propagam num meio linear e num meio não – linear. O ponto mais importante deste sub – objectivo

corresponde à investigação, e análise, da propagação de solitões espaciais de várias ordens, tal

10


como, à verificação da possível ocorrência do fenómeno designado de catástrofe óptica.

De uma forma geral, neste trabalho, pretende-se investigar até que ponto, os meios lineares e não –

lineares, em que os feixes ópticos se propagam, vão influenciar a sua evolução e alterar as suas

propriedades iniciais.

1.3 Estrutura da Dissertação

A presente Dissertação encontra-se estruturada em cinco capítulos, correspondendo o Capítulo 1 à

sua introdução. Os restantes capítulos encontram-se organizados da seguinte forma, Capítulo 2 –

Feixes em Meios Homogéneos, Capítulo 3 – Ressoadores e Feixes de Hermite – Gauss, Capítulo 4 –

Solitões Espaciais, e por fim o Capítulo 5 – Conclusões e Perspectivas Futuras.

No Capítulo 2 introduzem-se os feixes ópticos, e aborda-se a propagação de vários feixes

unidimensionais em meios lineares homogéneos. Este capítulo encontra-se organizado em cinco

secções. Na secção 2.1 introduzem-se os lasers e os feixes ópticos, de modo a realizar um pequeno

enquadramento dos mesmos, indicando a sua importância na actualidade. Na secção 2.2 observa-se

o feixe gaussiano, pois é o feixe óptico que apresenta uma maior simplicidade. Na subsecção 2.2.1

recorrer-se à equação paraxial de onda com o objectivo de obter a equação analítica que permite

analisar a evolução deste tipo de feixes num meio linear homogéneo, tendo em consideração a

solução “ansatz”. No interior desta subsecção analisam-se as propriedades mais importantes do feixe

gaussiano, como a largura do feixe, o raio de curvatura da sua frente de onda, a intensidade óptica e

o seu ângulo de divergência, assim como as suas evoluções à medida que a distância axial

percorrida pelo feixe gaussiano vai aumentando. Na secção 2.3 efectua-se um estudo à difracção de

Fresnel, enquanto a subsecção 2.3.1 apresenta o integral de difracção de Fresnel que permite,

através de um método mais complexo em termos de cálculo, obter novamente a equação analítica

que possibilita o estudo da evolução do feixe gaussiano ao longo do seu eixo de propagação. A

evolução espacial de vários feixes unidimensionais, sob o efeito da dispersão espacial característica

do meio, e a análise da variação das suas características é realizada na secção 2.4, recorrendo a um

método numérico que utiliza a FFT (Fast Fourier Transform). Desta forma, na subsecção 2.4.1

efectua-se a análise aos feixes de perfil gaussiano, enquanto na subsecção 2.4.2 analisa-se o feixe

de perfil secante hiperbólica e, finalmente, a evolução do feixe de perfil rectangular estuda-se na

subsecção 2.4.3. As principais conclusões estão apresentadas na secção 2.5.

No Capítulo 3 estudam-se os ressoadores ópticos e os feixes de ordem superior de Hermite – Gauss.

Este capítulo está organizado em quatro secções. A secção 3.1 tem como objectivo uma pequena

introdução e enquadramento, dos ressoadores ópticos e dos feixes de Hermite – Gauss. Na secção

3.2 abordam-se os ressoadores, sendo esta secção dividida em 2 subsecções. Uma primeira 3.2.1,

na qual se analisam, de uma forma superficial, alguns dos tipos de ressoadores mais comuns,

nomeadamente as cavidades de Fabry – Perot, os ressoadores compostos por dois espelhos

11

Introdução

côncavos ou um espelho plano e um espelho côncavo, e os ressoadores que apresentam na sua

constituição espelhos convexos. Na segunda, subsecção 3.2.2, aborda-se a estabilidade destes

ressoadores, onde se encontra a respectiva condição de estabilidade e, seguidamente, se efectua a

sua análise. Na secção 3.3 analisam-se os feixes de ordem superior de Hermite – Gauss. Para tal,

recorre-se ao oscilador harmónico unidimensional, que é estudado na subsecção 3.3.1. Nesta

encontra-se a equação de Schrödinger independente do tempo e as respectivas soluções. São

também aqui observados os operadores de subida e descida e, quais os seus efeitos quando

aplicados às soluções da equação de Schrödinger. Finalmente, nesta subsecção, estudam-se os

polinómios de Hermite, assim como, a energia correspondente a cada nível de oscilação do oscilador

harmónico quântico unidimensional. Na subsecção 3.3.2, presencia-se a propagação dos quatro

feixes de Hermite – Gauss de ordem mais baixa, e a alteração das suas propriedades à medida que a

distância axial percorrida por estes aumenta, sob o efeito da dispersão espacial característica do

meio. A introdução dos meios anisotrópicos é realizada na subsecção 3.3.3. Nesta efectua-se uma

análise superficial dos mesmos, nomeadamente, cristais uniaxiais, assim como o seu efeito na

propagação dos feixes de Hermite – Gauss. Por fim, a secção 3.4 resume as principais conclusões

obtidas no presente capítulo.

Após a análise dos feixes unidimensionais em meios lineares, efectua-se no Capítulo 4, uma

abordagem aos feixes bidimensionais, assim como a inserção dos meios não lineares. O presente

capítulo encontra-se estruturado em cinco secções. Tal como nos capítulos anteriores, na primeira

secção, 4.1, faz-se uma pequena introdução aos meios não – lineares e aos solitões com o intuito de

efectuar um pequeno enquadramento dos mesmos e a sua relação. Na secção 4.2 estuda-se a

propagação de feixes bidimensionais, nomeadamente, de feixes gaussianos, em meios lineares onde

apenas está presente o efeito da dispersão espacial. Na secção 4.3 inserem-se os meios não –

lineares, onde a não – linearidade exprime-se no feixe com o efeito da auto – focagem, que

compensa o seu alargamento e diminuição de amplitude, provocado pela dispersão espacial. Na

subsecção 4.3.1 analisa-se o efeito não – linear de Kerr na propagação do feixe, com o objectivo de

verificar qual o seu efeito na constante de propagação longitudinal e, por consequência, na

propagação do feixe num meio não – linear. Na subsecção 4.3.2 obtém-se a equação fundamental

que rege a propagação dos feixes em meios não – lineares, ou seja, a equação não – linear de

Schrödinger. Após a sua obtenção, estuda-se a evolução dos feixes neste tipo de meios,

nomeadamente, dos feixes gaussianos unidimensionais, bidimensionais e feixe de Hermite – Gauss,

como é demonstrado na subsecção 4.3.3. Esta análise é efectuada com base num método numérico,

que permite obter a solução da equação não – linear de Schrödinger (NLS) e que se designa de

SSFM (Split – Step Fourier Method). Na secção 4.4 aborda-se o caso em que os efeitos

característicos do meio, ou seja, os efeitos da dispersão e da auto – focagem estão perfeitamente

equilibrados, permitindo assim a propagação de ondas solitárias. Na presente secção define-se o

solitão espacial, demonstrado na subsecção 4.4.1. Encontrada a equação que caracteriza este tipo

de feixes, presencia-se, no subcapítulo 4.4.2, a evolução dos solitões unidimensionais e

bidimensionais, tendo especial atenção a alteração das características dos mesmos, quando o

número de períodos percorridos aumenta. Por fim, na secção 4.5, apresentam-se as conclusões mais

12


relevantes obtidas ao longo do presente capítulo.

Para finalizar, no Capítulo 5 são apresentadas as conclusões obtidas ao longo da Dissertação, tendo

em especial atenção os resultados de maior importância, assim como as perspectivas de trabalho

futuro na área da propagação de feixes ópticos.

1.4 Contribuições Originais

No âmbito da óptica, a propagação de feixes em diversos tipos de meios materiais, que têm surgido

nas últimas décadas, tem despertado um enorme interesse na comunidade de cientistas, que

realizam o seu trabalho na referida área, sendo, consequentemente, um tema que tem sido alvo de

uma abordagem constante e intensa ao longo do tempo. A diversidade das análises elaboradas até

ao momento é volumosa, porém, os imensos estudos realizados focam-se em casos muito

específicos, i.e., limitam-se a observar a evolução de um único tipo de feixe óptico num determinado

meio. Destaca-se então, o estudo dos solitões espaciais que, também eles são abordados de uma

forma muito concreta, em meios materiais com propriedades claramente distintas. Desta forma,

embora os estudos realizados se localizem na mesma área da Física, pode considerar-se que as

observações obtidas dão origem a temas bastante dispersos. Como consequência, os resultados

adquiridos num determinado caso não são, por isso, abrangíveis a casos relativamente semelhantes,

ou seja, casos onde também se esteja a investigar a propagação de solitões espaciais, mas noutro

tipo de meios.

A originalidade da presente Dissertação, consiste na abordagem à propagação de vários tipos de

feixes ópticos em diversos meios com características distintas, juntando-os num só trabalho, onde se

enaltecem os resultados de maior importância. Deste modo, possibilita-se um aumento da extensão

da sua aplicação a um número superior de casos. De entre os vários feixes ópticos analisados,

destaca-se o estudo da propagação dos solitões ópticos espaciais bidimensionais que, até à presente

data, são abordados em casos muito específicos. No presente trabalho, este tipo de feixe é analisado

de uma forma mais generalista, possibilitando assim a obtenção de resultados, cuja aplicação se

estende a uma grande parte do domínio da propagação de solitões espaciais. Desta forma, os

resultados obtidos apresentam grande importância para uma futura investigação da propagação dos

referidos feixes ópticos, através de meios materiais que possam vir a surgir posteriormente.

13

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Optical Engineering, Marcel Dekker, 2003, pp. 999 – 1013.

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Capítulo 2

Feixes em

Meios Homogéneos Um feixe óptico é definido como um conjunto contínuo de ondas planas que se propagam no espaço,

sendo o feixe gaussiano uma das suas soluções mais simples e importantes. Como tal, neste capítulo

irão estudar-se as suas características de propagação em meios lineares homogéneos, possibilitando

assim a posterior análise da evolução de feixes mais complexos, através de diferentes meios.


18

2.1 Lasers e Feixes Ópticos

Actualmente, os lasers apresentam uma vasta gama de aplicações, sendo frequentemente utilizados

por engenheiros e investigadores que trabalham no âmbito da óptica e das telecomunicações [1].

Qualquer feixe óptico apresenta uma secção transversal infinita, e como tal, pode ser descrito em

termos da sobreposição de ondas planas, análoga à representação de uma função definida no tempo,

de duração finita, em termos da sobreposição de sinusóides segundo uma análise de Fourier [2].

Deste modo, um feixe óptico espacial é definido como um conjunto de ondas planas que se

propagam no espaço, ou em superfícies com uma determinada geometria.

As ondas planas apresentam uma energia infinita ao longo da sua evolução espacial, pois

apresentam uma amplitude inalterável num plano infinito de fase constante, sendo este um fenómeno

impossível por natureza, e como tal, não se pode considerar fisicamente realizável [3]. A normal da

frente de onda de uma onda plana é paralela à direcção de propagação da onda, não existindo então

um ângulo de divergência, porém a energia alarga espacialmente ao longo de todo o espaço [4]. De

uma forma superficial, a onda plana é dada por,

Ψ Ψ exp , (2.1)

onde Ψ representa a amplitude da onda e, expressa a fase da mesma, com

· . (2.2)

As propriedades gerais das ondas planas, assim como o seu comportamento em vários meios, como

por exemplo, isotrópicos, cristais, uniaxiais, entre outros, podem ser consultados em [3].

Na sua generalidade, os feixes ópticos, apresentam comprimentos de onda elevados quando

comparados com as suas dimensões sendo, desta forma, possível a utilização dos resultados da

análise da onda plana para a descrição das principais características de qualquer fenómeno de

reflexão [2]. Um dos aspectos mais importantes, aborda a passagem de raios paraxiais através de

estruturas ópticas, baseando-se a sua análise na óptica geométrica [5]. Como tal, também as

principais propriedades da radiação de lasers e dos dispositivos ópticos quânticos seguem

aproximações matemáticas particulares [6].

Uma das soluções mais importantes da equação paraxial, exibida pela equação de Helmholtz, que

ostenta as características de um feixe óptico, é o designado feixe de perfil gaussiano. A distribuição

da sua intensidade, em qualquer plano transversal, apresenta uma função gaussiana com simetria

circular centrada sobre o eixo do feixe, ou seja, sobre o seu eixo de propagação [4]. Este tipo de feixe

apresenta-se como uma das soluções mais importantes e mais simples dos feixes ópticos, e como

tal, será tratado inicialmente de forma a conhecerem-se as suas características fundamentais, assim

como a sua evolução ao longo de um meio linear homogéneo, permitindo posteriormente a análise de

feixes com maior complexidade.

Feixes em Meios Homogéneos

19

2.2 Feixes Gaussianos

No âmbito da óptica, o feixe de perfil gaussiano representa o feixe da radiação electromagnética cuja

distribuição da intensidade do campo eléctrico transversal é descrita por uma função gaussiana.

Os feixes gaussianos são normalmente considerados em situações cuja divergência apresenta um

valor relativamente pequeno, sendo possível aplicar-se a chamada aproximação paraxial. Devido a

esta aproximação, quando este feixe se propaga em espaço livre vai manter o seu perfil gaussiano,

todavia, os seus parâmetros característicos irão sofrer alterações [7]. Este tipo de feixe é uma

representação muito útil na exposição de uma onda de dimensões transversais finitas. Embora já

tenha sido objecto de um amplo estudo, são muitas as questões consigo relacionadas que continuam

a ser alvo de pesquisa [8].

O feixe gaussiano é descrito por funções matemáticas que constituem uma solução da forma paraxial

da equação de Helmholtz, onde o resultado no formato de uma função gaussiana, representa a

amplitude complexa do campo eléctrico, que se propaga juntamente com o campo magnético

correspondente, como uma onda electromagnética num feixe.

Muitos lasers emitem feixes com um perfil aproximadamente gaussiano, como é o caso de um laser a

funcionar no modo transversal fundamental, i.e., o modo TEM00 da cavidade óptica do laser, sendo

este o tipo de feixe mais desejável, proveniente de uma fonte laser [1,9]. A evolução dos referidos

feixes é suave e fácil de prever, devido ao cálculo relativamente simples da sua propagação,

permitindo assim um conhecimento generalizado das propriedades de vários feixes ópticos de

complexidade superior, cuja investigação é efectuada com base no estudo dos feixes de perfil

gaussiano [7]. Desta forma, começar-se-á por estudar as características de um feixe gaussiano,

assim como a sua evolução ao longo do seu eixo de propagação, e qual o efeito que a dispersão

espacial, presente no meio, exerce sobre este.

Para avaliar a sua evolução espacial pode recorrer-se a dois métodos. O primeiro, consiste na

resolução da equação paraxial de onda, considerando como solução particular, o “ansatz”, onde a

aproximação paraxial simplifica a análise da propagação de feixes de secção transversal finita. O

segundo método, um pouco mais complexo em termos de cálculo, tem como fundamento o integral

de difracção de Fresnel [2,10].

2.2.1 Equação Paraxial das Ondas

Tendo em atenção o primeiro método referido anteriormente, verifica-se que uma solução de grande

relevância, da equação de ondas, é a obtida recorrendo à utilização do Laplaciano em coordenadas

cilíndricas , , , admitindo simetria azimutal, uma vez que podem existir obstáculos circulares no

meio através do qual o feixe se propaga , como por exemplo lentes [4,11].

Tem-se então que,


20

∂∂z

∂d

1 ∂∂

∂∂z , (2.3)

onde é o laplaciano transversal, e está associada à coordenada radial, e .

Uma vez que num meio homogéneo e isotrópico tem-se, · 0, e como consequência deveria ter-

se · · 0, o que não é possível. Como tal, não se utilizará o campo eléctrico, mas sim

um potencial vector, pois · 0 [10].

De tal forma, tem-se

, Ψ , exp , (2.4)

onde corresponde a um vector unitário pertencente ao plano , . Esta solução é equiparada ao

tipo de luz emitida pela maioria dos lasers [1].

O potencial vector, num meio homogéneo e isotrópico, satisfaz a equação de onda, expressa pela

equação de Helmholtz,

0. (2.5)

A equação de Helmholtz é a responsável pela caracterização do fenómeno da difracção, sendo as

ondas planas uma das suas soluções, quando livres do fenómeno de difracção [12].

Recorrendo a (2.3) – (2.5), obtém-se,

2∂

, . (2.6)

A equação das ondas é então representada, recorrendo às equações (2.3) – (2.6), por,

Ψ∂ Ψ∂z 2

∂Ψ0, (2.7)

como mostram os cálculos efectuados no Anexo A.1.

Uma vez que |∆Ψ| Ψ, para ∆ , devido a uma variação espacial lenta, tem-se

ΨΨ. (2.8)

Por consequência, obtém-se

Ψ Ψ, (2.9)

como mostram os cálculos efectuados no Anexo A.2.

Aplicando-se (2.9) em (2.7), resulta a equação paraxial das ondas, que é expressa por,

Ψ 2∂Ψ

0, (2.10)

Na obtenção de (2.10), supõe-se que estamos na presença de um meio homogéneo, isto é, que o

número de onda, e 2 / , é constante, e onde representa o comprimento de onda do


21

material onde o feixe se propaga. Considera-se também apenas uma componente vectorial de A e

supõe-se que a onda tem a sua propagação confinada em torno do eixo [1].

2.2.1.1 A Solução “Ansatz”

De modo a simplificar os cálculos, utiliza-se, para a equação paraxial das ondas, a solução “ansatz”,

que corresponde a uma aproximação do resultado esperado, e que é expressa por,

Ψ , exp 2 . (2.11)

Uma vez que já se tem a forma do resultado que se pretende, procede-se agora ao cálculo das

equações que caracterizam as funções e , que por enquanto são desconhecidas.

Relembrando que se está a considerar a propagação num meio homogéneo, substituindo (2.11) em

(2.10) e realizando as respectivas derivadas, tem-se,

1 ′

2 2 ′ 0. (2.12)

Uma vez que esta igualdade é válida para qualquer , deve analisar-se as partes que possuem a

mesma potência em , sendo que os coeficientes de diferentes potências de devem ser iguais a

zero [11].

Deste modo, resulta,

10, ′ (2.13)

Embora as equações diferenciais obtidas não sejam lineares, são de primeira ordem, e

consequentemente, de fácil resolução.

Introduzindo a função , pela relação

1 1, (2.14)

obtém-se directamente de (2.13),

0,

de tal forma que

,

ou, utilizando (2.14),

1 1, (2.15)

onde e são constantes arbitrarias. Admitindo-se que 0 / , pode reescrever-se (2.15),


22

1 1 , (2.16)

em que é um número constante complexo [11]. Recorrendo a (2.16) e à segunda equação de

(2.13), resulta a equação complexa ,

′ . (2.17)

Integrando (2.17),

ln ln 1 . (2.18)

Substituindo as equações que caracterizam as funções e em (2.11), obtém-se a expressão

do “ansatz”,

Ψ , exp ln 1 2

logo,

Ψ , exp 2 (2.19)

Falta então saber qual o valor que pode tomar. É obvio de (2.19), que a solução fisicamente

realizável para Ψ , é aquela cujo valor se aproxima de zero, conforme ∞, sendo isso possível

quando é imaginário, e estando desta forma a solução confinada em torno do eixo [11]. A

restrição a verificar é,

lim∞Ψ , 0 0,

sendo , com 0, a única solução que verifica esta restrição.

Caso isto não se verificasse, o limite de Ψ , 0 tenderia exponencialmente para infinito, sendo essa

uma solução sem interesse físico.

De tal forma, completa-se agora a equação que caracteriza a função ,

. (2.20)

Pode exprimir-se em função de uma nova constante , que será analisada mais à frente, e que se

designa por cintura do feixe,

2 (2.21)

Este parâmetro é então designado como parâmetro confocal, ou intervalo de Rayleigh, e representa a

distância em que o raio do feixe aumenta com um factor √2, isto é, para a largura é √2

vezes maior do que na cintura [1,4,7]. A aproximação paraxial necessita que o raio do feixe na origem

seja grande em comparação com o comprimento de onda, logo, através de (2.21) pode observar-se

que a dimensão axial da cintura evolui quadraticamente com o aumento da cintura do feixe [1,7].


23

É de notar que para feixes muito intensos, a aproximação paraxial não é satisfeita, sendo necessário

recorrer a um método mais complexo para calcular a propagação do feixe [7,9].

2.2.1.2 Equação do Feixe Gaussiano

Substituindo (2.20) em (2.19), resulta a equação que caracteriza o feixe gaussiano,

Ψ , exp 2 . (2.22)

Desta forma, considera-se dois factores na equação (2.22), tendo-se em primeiro lugar,

1

1

11

1

1exp tan , (2.23)

e de seguida,

exp 2 exp 2 . (2.24)

A expressão (2.24) descreve o andamento da amplitude do feixe em função da coordenada

transversal , e da coordenada axial .

O fenómeno de dispersão apresenta um papel muito importante na propagação de um feixe

gaussiano, e como tal, devem estudar-se as suas características de forma a ter uma melhor

percepção do que acontece ao feixe durante a sua propagação segundo a coordenada axial. Deve

por esse motivo, caracterizar-se o feixe gaussiano, determinando a sua largura, , e o seu raio de

curvatura, .

2.2.1.3 Largura do Feixe

Este é provavelmente um dos parâmetros mais importantes do feixe gaussiano, assim como dos

feixes de complexidade superior, onde por exemplo, a aproximação de um laser a um raio ignora uma

dependência transversal da amplitude. É a largura de feixe que caracteriza a extensão transversal

quando um raio se transforma num feixe. Um aspecto de grande importância é saber como evolui

esta característica à medida que o feixe se propaga através de um dado meio. A equação (2.24)

apresenta duas partes, uma real e outra imaginária. A parte imaginária está relacionada com a fase

do feixe, enquanto a parte real está ligada à distribuição transversal da amplitude do feixe [1].

Para a largura do feixe, extrai-se de (2.24) a parte real, e como tal, facilmente se verifica que o feixe

gaussiano depende de ,

Ψ , exp w , (2.25)

e por consequência, a intensidade óptica do feixe gaussiano, como se verá mais à frente,


24

r, z |Ψ , | exp2w . (2.26)

A função é representada por,

1 , (2.27)

e descreve a evolução da largura do feixe ao longo da direcção de propagação , de pontos que têm

um decréscimo de amplitude de 1⁄ , ou 1⁄ da potência radiada com respeito à amplitude no eixo

de propagação. Existem ainda outras definições para a largura de um feixe, que se encontram

relacionadas com outros campos, e.g., por vezes é útil ter as suas dimensões em função dos valores

da largura do feixe na meia potência, FWHM (Full Width at Half the Maximum) [1].

Como se pode ver na Figura 2.1, à medida que a distância radial aumenta, o perfil gaussiano vai

alargando, estando a sua largura relacionada com a definição FWHM.

Figura 2.1 – Perfil transversal da amplitude da intensidade óptica (normalizada) de um feixe

gaussiano, em função da distância radial (também normalizada).

Observando (2.27), facilmente se verifica a existência de um mínimo para 0, sendo este o

responsável pela evolução da largura, ao longo da distância axial, e é designado por cintura de feixe,

, como mostra a Figura 2.2. É de notar que esta propriedade depende do comprimento de onda,

pois também depende, como nos mostra (2.21). A largura atinge o seu valor mínimo na cintura e

posteriormente expande-se, acontecendo o mesmo com a energia do feixe, que se encontra

localizada no plano da sua cintura, e que será distribuída por cada plano de evolução do feixe,

diminuindo assim a sua intensidade [1].

Esta dispersão (ou difracção) do feixe, é caracterizada pelo alargamento de / e, deve-se ao

2

⁄

0 0.5 1 1.5 2 2 0.511.5 0.1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.1

á

2

á

exp

2


25

facto deste ser constituído por várias componentes espectrais, em que cada uma delas apresenta um

diferente (onde é a constante de propagação longitudinal). Uma vez que , o

feixe vai-se dispersando à medida que percorre o espaço, pois os e são diferentes de para

( é igual para todos os ), e como tal, vai ocorrer uma dispersão no plano , .

Figura 2.2 – Largura normalizada / do feixe gaussiano em função da distância axial

normalizada / . Para 0 a largura atinge o seu valor mínimo.

2.2.1.4 Raio de Curvatura

Continuando a analisar a equação (2.24), vai agora dar-se ênfase à parte imaginária, da função

exponencial, que depende de ,

exp 2 , (2.28)

onde é uma função que depende de . A aproximação paraxial de uma frente de onda esférica

tem um raio , e portanto esta função é conhecida como o raio de curvatura da frente de onda de

um feixe de perfil gaussiano, sendo representado por,

1 (2.29)

O raio de curvatura e o diâmetro do feixe variam conforme o feixe se propaga na direcção ,

implicando numa divergência (ou convergência) do mesmo.

À medida que a distância axial percorrida feixe aumenta, a curvatura da frente de onda deste vai-se

alterando, isto é, apresenta um valor cada vez menor, aproximando-se de uma onda plana quando

tende para infinito, como ilustra a Figura 2.3.

⁄

Largura do feixe

0 0.5 1 1.5 22 0.511.5 2.5 2.50

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Cintura do feixe


26

Figura 2.3 – Propagação de um feixe gaussiano, e variação do raio de curvatura, ao longo do eixo .

Com a referida tendência para infinito, o raio de curvatura exibe uma variação linear com , que é

típica de uma frente de onda esférica que tem origem em 0, isto é, que vem da fonte [1,4]. Para

0 e ∞, o feixe apresenta um raio de curvatura infinito, sendo que o seu valor mínimo ocorre

para e vale 2 , como ilustra a Figura 2.4.

Analisando a Figura 2.4, verifica-se que o raio de curvatura apresenta é mínimo em ,

apresentando a curvatura o seu valor máximo. Na cintura do feixe, i.e., em 0 é infinito, o que

significa que nesta posição a frente de onda é plana. O mesmo acontece quando ∞, pois à

medida que o feixe se propaga, ao longo do eixo axial, a frente de onda esférica vai-se aproximando

localmente de uma onda plana, tendendo o valor do raio de curvatura para infinito, como demonstra a

Figura 2.5.

Considerando que nas superfícies de fase constante as funções e (desvio de fase) podem

ser consideradas aproximadamente constantes, essas superfícies são parabolóides de raio de

curvatura sendo representadas por

2 , (2.30)

como mostra a Figura 2.5.

2.2.1.5 Intensidade Óptica

Após conhecimento das equações que caracterizam a largura, ), e o raio de curvatura, , do

feixe, tem-se

1 1 1 1

1 ,

então,

1 1 2. (2.31)

2

2


27

Figura 2.4 – Raio de curvatura normalizado ⁄ das frentes de onda de um feixe gaussiano em

função da distância axial ⁄ (também normalizada).

Figura 2.5 – Superfície de um parabolóide caracterizado por (2.30) para diferentes valores de raio de

curvatura , e considerando 100.

Desta forma, pode reescrever-se a equação do feixe gaussiano, (2.22), de uma forma mais

detalhada,

Ψ , exp exp Φ , , (2.32)

onde

0 20 40 60 80 100 204060 80100 50

60

70

80

90

100

0 1 3 2 4 0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

⁄ 0 1 3 2 4

0

1

2

3

4

5

6

⁄


28

Φ , 2

tan. (2.33)

A fase de Ψ , é Φ , , enquanto a fase de , , é dada por

, Φ , 2 . (2.34)

Considerando que se pretende analisar o andamento do potencial vector apenas ao longo da

distância axial, i.e., no eixo do feixe, a distância radial apresenta um valor nulo ( 0), obtendo-se

então

, , (2.35)

cujos dois termos têm contribuições distintas. O termo representa a fase de uma onda plana,

enquanto o termo representa um desvio de fase em relação quer a uma onda plana, quer a uma

onda cujo raio de curvatura variável é [10].

A desfasagem , dada pela segunda equação de (2.33), permite verificar que com o aumento da

distância axial percorrida pelo feixe, a frente de onda tende a aproximar-se de uma onda plana, como

também foi possível verificar anteriormente, quando se abordou o raio de curvatura, e como pode

observar na Figura 2.6.

Figura 2.6 – Desfasagem em função da distância axial ⁄ (normalizada).

A intensidade óptica do feixe gaussiano, , , é proporcional a |Ψ , | , sendo expressa por

, exp2

. (2.36)

A intensidade vária em função da distância radial e da distância axial, como representa a Figura 2.7.

0 5 10 10 59080

60

40

20

90 80

60

40

20

0

⁄


29

À medida que ambas as distâncias aumentam, isto é, à medida que o feixe se afasta da fonte, a

intensidade deste vai diminuindo, e a sua dispersão aumentando, como já foi visto anteriormente.

Caso o feixe se propague ao longo do eixo óptico, isto é, para 0, o resultado obtido é semelhante

ao apresentado na Figura 2.7, sendo que a queda da intensidade óptica do feixe é mais lenta e

depende apenas da distância axial, como apresenta a Figura 2.8.

Figura 2.7 – Intensidade óptica normalizada ⁄ em função da distância radial ⁄ (também

normalizada) para diferentes valores da distância axial.

Figura 2.8 – Intensidade óptica normalizada ⁄ em função da distância axial ⁄ (também

normalizada) ao longo do eixo óptico do feixe.

O alargamento dos feixes é acompanhado de uma rápida degradação do pico de intensidade, que é

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 2 3 3 2 1 1 4 4 0

⁄

⁄0 2 3 3 2 1 1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1


30

exibido pelo feixe gaussiano, enquanto a onda plana tem o mesmo perfil de intensidade ao longo da

distância axial [12].

2.2.1.6 Divergência

Pode considerar-se a divergência de um feixe como uma medida do ritmo com que este se expande

longe da sua cintura, isto é, no chamado campo distante. Analisando-se a equação (2.27), verifica-se

que quando ∞ (ou ∞) o feixe vai tender a aumentar a sua largura, e consequentemente, vai

ocorrer um acréscimo da sua divergência. Como se observa na Figura 2.9, e tendo em conta a

dependência apresentada pela largura do feixe em relação à sua cintura, verifica-se que um feixe

gaussiano de cintura apresenta uma dispersão espacial que está assimptoticamente contida num

cone cujo ângulo de divergência é expresso por,

tan , (2.37)

onde se admitiu que,

tan2,

recorrendo novamente à aproximação paraxial [1,10].

Observando a equação (2.37), verifica-se que a divergência e a largura são parâmetros recíprocos,

i.e., para valores elevados da largura obtêm-se valores reduzidos da divergência, e vice-versa [1].

Conclui-se então que, para valores mínimos de divergência está-se perante um feixe muito largo

inicialmente, e que na presença de um feixe muito concentrado, ou seja, um feixe muito estreito, os

ângulos de divergência obtidos apresentam valores elevados.

Figura 2.9 – Propagação de um feixe gaussiano, com divergência espacial que esta

assimptoticamente contida num cone com ângulo de divergência .

Consoante seja a velocidade de dispersão apresentada pelo feixe, assim será a sua aplicação

prática, destacando-se que um feixe que apresenta uma divergência reduzida pode ter importantes

aplicações nas comunicações ópticas em espaço livre, pois a informação não é muito degrada.

Perfil gaussiano

Intensidade do perfil gaussiano

0 Frente de onda plana

Curvatura máxima

∞ Frente de onda plana

2 2 √2


31

2.3 Difracção de Fresnel

Após a resolução da equação paraxial e obtida a expressão para a evolução espacial do feixe

gaussiano, recorre-se agora à abordagem alternativa, apoiada na resolução do integral de difracção

de Fresnel, com o intuito de verificar se o resultado obtido é coerente com o anterior.

O integral de difracção de Fresnel exprime a distribuição da amplitude de uma onda escalar em

qualquer secção transversal de constante , em termos de uma dada distribuição em 0. Desta

forma, para que seja possível a aplicação da teoria da difracção escalar a um campo

electromagnético, é necessário substituir a equação de onda do campo electromagnético pela

equação de onda escalar [2].

Sabendo que na equação (2.5), a constante de propagação longitudinal é dada por [10],

2, (2.38)

a solução geral para a equação de Helmholtz (2.5), que satisfaz a equação de onda, admitindo

, , , , , (2.39)

em vez do potencial vector utilizado anteriormente (2.4), é dada pela expressão do feixe óptico

, , , exp · , (2.40)

onde, · é um produto interno, e a variação temporal exp é omitida.

Uma vez que, a partir de , para 0 é possível determinar , , , vai então proceder-se

aos cálculos, obtendo-se originalmente a amplitude espectral do feixe.

Querendo-se apenas o perfil do feixe óptico no plano 0, faz-se , , , 0 , logo,

directamente de (2.40), resulta

, , exp . (2.41)

Analisando-se (2.41) verifica-se que tema forma de um integral bidimensional de Fourier [10]. Como

se demonstra no Anexo A.3, a amplitude espectral do feixe é dada pela transformada inversa do perfil

do feixe óptico no plano 0, e é dada por,

,12 , exp . (2.42)

Após a obtenção de , , procede-se agora ao cálculo de , ; . Uma vez que na

presença de um feixe óptico paraxial, (2.42) assume valores relevantes para , [10], vai então

recorrer-se à aproximação paraxial, obtendo-se, de acordo com (2.38),

1 2 . (2.43)


32

Reescrevendo (2.40) como

, , , exp exp , (2.44)

e aplicando a aproximação expressa por (2.43) em (2.44), resulta

, , , exp 2 exp exp . (2.45)

De (2.45), onde se introduziu uma função de transferência , ; , facilmente se obtém a

equação que caracteriza , ;

, ; , ; , , (2.46)

onde,

, ; exp 2 . (2.47)

Desta forma, fazendo,

Ψ , , , exp 2 exp , (2.48)

e aplicando (2.46) em (2.48), resulta

Ψ , , , ; exp . (2.49)

2.3.1 Integral de Difracção de Fresnel

Conhecida a equação que caracteriza , ; , o passo seguinte será calcular a evolução espacial

do feixe gaussiano Ψ , , , a partir do conhecimento da distribuição Ψ , sobre o plano 0.

Para tal recorre-se ao integral de difracção de Fresnel que, como mostra o Anexo A.4, é expresso por

[10],

Ψ , , Ψ , exp 2 . (2.50)

O feixe óptico total , , , pode então ser calculado recorrendo a (2.45).

Em síntese, tem-se

, Ψ , , , ; Ψ , , , , .

Considera-se agora, o caso específico de, um perfil gaussiano representado por

Ψ , exp . (2.51)

Recorrendo a (2.42), como mostra o Anexo A.5, obtém-se


33

, exp 2 . (2.52)

Admitindo que a amplitude espectral , é desprezável, para , 2/ , então é possível

obter aproximadamente o ângulo de divergência espacial do feixe gaussiano [10].

Consequentemente, resulta

tan2

. (2.53)

Ao analisar-se (2.53), verifica-se que o valor obtido para a divergência do feixe gaussiano, é

concordante com o resultado obtido pelo método da resolução da equação paraxial (2.37).

Substituindo o perfil gaussiano, dado por (2.51), no integral de difracção de Fresnel (2.50), resulta,

através do Anexo A.6, a evolução espacial do feixe gaussiano, dada por

Ψ , exp 2 . (2.54)

Analisando os resultados obtidos pela resolução da equação paraxial e pelo integral de difracção de

Fresnel, expressos respectivamente por, (2.22) e (2.54), verifica-se que a expressão obtida para a

evolução espacial de um feixe gaussiano é a mesma, para ambos os casos. O denominador desta

equação indica o alargamento do feixe à medida que se propaga segundo a coordenada axial que, no

presente caso, corresponde ao eixo dos . Este alargamento deve-se ao parâmetro cujo valor

aumenta à medida que cresce. O facto de o feixe ser constituído por várias componentes

espectrais, sendo cada uma delas constituída por uma componente nas direcções , e , e

apresentando estas diferentes velocidades de propagação, provoca uma dispersão do feixe no plano

transversal (plano , ), à medida de este se propaga.

2.4 Evolução de Feixes Espaciais Unidimensionais

Após o estudo das características dos feixes gaussianos, é possível analisar agora a sua evolução

espacial, à medida que estes evoluem segundo o seu eixo de propagação . Recorrendo a um

método numérico, baseado na FFT (Fast Fourier Transform), é também possível a análise da

evolução de outros feixes que tenham perfis parecidos com o gaussiano ou completamente

diferentes. Nas próximas secções efectua-se uma análise à evolução de vários feixes, tendo em

atenção a alteração das suas características.

2.4.1 Feixes de Perfil Gaussiano

O estudo dos efeitos da propagação nos feixes de perfil gaussiano pode ser efectuado recorrendo a

dois métodos, um analítico e outro numérico. No primeiro caso, utiliza-se a aproximação paraxial

permitindo assim uma resolução analítica, cujo resultado é expresso pela equação (2.54). No


34

segundo caso, já não se recorre à aproximação paraxial, utilizando-se a FFT com o intuito de obter o

feixe após a sua propagação ao longo de . A Figura 2.10 representa a comparação entre os

resultados obtidos analítica e numericamente, perante o mesmo feixe de perfil gaussiano em 0.

Como é possível observar, existe uma certa discrepância entre o resultado analítico e numérico. Esta

deve-se ao facto de, no caso do método analítico, recorrer-se à aproximação paraxial, e não se

verificar a condição , , devido a questões de normalização. No caso do método numérico,

não se utiliza qualquer aproximação, mas sim o valor exacto para a constante de propagação

segundo o eixo dos ( ), logo pode conclui-se que esta solução é a mais próxima da realidade.

Para feixes de perfil gaussiano, em 0, com largura inferior ao representado na Figura 2.10, como

mostra a Figura 2.11, o valor de verifica a condição de validade da aproximação paraxial, sendo

que ambas as soluções, analítica e numérica, apresentam um resultado praticamente igual, como

representa a figura a Figura 2.11, o que permite concluir que para , , a aproximação paraxial

se aproxima muito da solução exacta.

Um aspecto importante de analisar, é o facto de na presença de um feixe inicial mais largo, Figura

2.10, obter-se uma menor dispersão espacial do que perante um feixe inicial mais estreito, Figura

2.11. Tal resultado deve-se a um feixe mais largo apresentar um espectro da transformada de Fourier

mais estreito. De tal forma, quando se lhe introduz a dispersão espacial, a diferença entre o seu valor

máximo e o valor máximo do feixe é menor, do que no caso de se estar perante um feixe mais

estreito, que apresenta um espectro mais largo e um valor máximo menor. Resulta então que o efeito

da dispersão em feixes mais estreitos faz-se sentir de forma mais intensa, originado assim um feixe

mais largo em , tal como mostra a comparação entre as Figuras 2.10 e 2.11.


analiticamente e numericamente. Na simulação utilizou-se 5 e 1 (valores normalizados).

Tal como se verificou na análise das propriedades de um feixe de perfil gaussiano, consoante este se

propaga ao longo da coordenada axial, estas vão sofrendo alterações. Observando a Figura 2.12,

0 55 1010 0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Plano

Amplitude


35

verifica-se que a largura do feixe vai aumentando, e por consequência o seu raio de curvatura,

mantendo-se o perfil gaussiano do feixe, como já tinha sido analisado.

No que respeita à intensidade do feixe, apresenta o seu valor máximo em 0 e 0 (feixe

unidimensional), e diminui ao longo da sua propagação, deixando o feixe de estar tão centralizado,

como acontece em 0, dispersando-se à medida que a distância z aumenta, como mostra a Figura

2.13. As alterações das propriedades do feixe quando este evolui na sua coordenada axial, devem-se

ao facto deste apresentar na sua constituição várias componentes espectrais, sendo cada uma delas

composta por uma componente nas direcções , e , apresentando estas diferentes velocidades de

propagação, provocando assim uma dispersão do feixe no seu plano transversal (plano , pois está-

se perante um feixe unidimensional), à medida que este se propaga.


analiticamente e numericamente. Na simulação utilizou-se 5 e 10 (valores normalizados).

Figura 2.12 – Evolução do feixe gaussiano ao longo do seu eixo de propagação , utilizando o

método numérico, 1 (valores normalizados).

01

23

45

Distância 0

10

Plano 105

5

0.2 0.4

0.6

0.8

1

0

Amplitude

0 55 1010 0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Plano

Amplitude


36

Figura 2.13 – Intensidade do feixe gaussiano ao longo do seu eixo de propagação (valores

normalizados).

2.4.2 Feixes de Perfil Secante Hiperbólica

Embora o feixe com perfil de secante hiperbólica apresente um perfil semelhante ao do feixe

gaussiano, para a sua análise já não é possível recorrer ao método analítico, pois não se pode

efectuar a sua transformada de Fourier analiticamente. Por consequência, recorre-se ao método

numérico para se investigar o comportamento deste e de todos os feixes cujo perfil não seja

gaussiano, ao longo da sua propagação. Analisando a Figura 2.14, é possível verificar que, em ,

o perfil do feixe é semelhante ao obtido no caso do feixe de perfil gaussiano. Porém, uma vez que se

utiliza o método numérico na análise do feixe não é possível conhecer o perfil deste nesta posição.

Deve ter-se em atenção que, na simulação numérica, deve escolher-se uma janela de amostragem

suficientemente grande de forma a minimizar ao máximo a interferência proveniente dos vários sinais

que compõem a transformada do feixe e posteriormente o feixe em .

No que respeita à largura do feixe, existe também uma semelhança quando comparada com a do

feixe gaussiano, e por consequência também o raio de curvatura da frente de onda vai aumentando à

medida que esta se propaga, como é possível verificar na Figura 2.15. Comparando a largura do feixe

na meia potência em ambos os casos, permite concluir que ambos os feixes alargam de forma

semelhante. Em relação à amplitude do feixe, verifica-se que esta apresenta o seu valor máximo em

0 e 0, tal como no feixe gaussiano, diminuindo de intensidade e dispersando-se à medida que

a distância axial aumenta, como mostra a Figura 2.16. Quando comparada com a intensidade do

feixe de perfil gaussiano, Figuras 2.10 e 2.13, verifica-se que após a sua propagação, considerando

que o feixe percorreu a mesma distância em ambos os casos, a intensidade do feixe de perfil secante

hiperbólica é superior ao do gaussiano, como se pode observar nas Figuras 2.14 e 2.16. Uma vez

que se utiliza o método numérico não é possível concluir quais os aspectos que influenciam a

propagação do feixe de perfil secante hiperbólica.

0.2

0.1

0

0.9

1

0.8

0.6

0.5

0.4

0.3

0.7

Amplitude

0 10 1055Plano

Distância

0

2.5

1.5

3.5

4.5

4

2

3

1

0.5

5


37

Figura 2.14 – Feixe com perfil de secante hiperbólica em 0 e . Na simulação utilizou-se

5 (valores normalizados).

Figura 2.15 – Evolução do feixe de perfil secante hiperbólica ao longo do seu eixo de propagação

(valores normalizados).

Figura 2.16 – Intensidade do feixe de perfil secante hiperbólica ao longo de (valores normalizados).

Plano 0 10 1055

Distância

5

2.5

1.5

3.5

4.5

4

2

3

1

0.5

0

0.2

0.1

0

0.9

1

0.8

0.6

0.5

0.4

0.3

0.7

Amplitude

0.2 0.4 0.6

0.8

1

0

01

23

45

Distância 0

10

Plano 105

5

Amplitude

0 55 1010 Plano

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9 1

Amplitude


38

2.4.3 Feixes de Perfil Rectangular

Tal como referido anteriormente, para efectuar a análise à propagação dos feixes de perfil rectangular

recorre-se novamente ao método numérico, sendo este o único que permite observar os resultados

pretendidos. A Figura 2.17 representa o feixe de perfil rectangular em 0 e em . Ao contrário

do feixe de perfil gaussiano analisado anteriormente, o feixe de perfil rectangular já não apresenta um

perfil rectangular após a sua propagação, pois a transformada de Fourier de um feixe rectangular

(expresso pela função ) é representada por uma função . Uma vez que esta apresenta uma

oscilação que se vai atenuando à medida que a dimensão do plano transversal cresce, para a

análise deste tipo de feixe deve considerar-se uma janela de amostragem suficientemente grande de

forma, tal como acontecia com o feixe de perfil secante hiperbólica, a minimizar o efeito da

interferência proveniente da transformada de Fourier. Como tal, quanto maior for a janela

amostragem menor será a oscilação entre os picos da intensidade apresentados pelo feixe em ,

como se pode ver na Figura 2.17.

Figura 2.17 – Feixe com perfil rectangular em 0 e . Na simulação utilizaram-se 5 e


Os picos de intensidade representados devem-se ao facto do feixe em 0 apresentar alterações

bruscas de intensidade. Para que o meio permitisse tal alteração sem a ocorrência dos picos de

intensidade, seria necessária uma largura de banda infinita, algo que é fisicamente impossível. Desta

forma, o meio tenta responder o mais rapidamente possível a estas alterações, diminuindo

consideravelmente a oscilação do feixe em , quando o feixe inicial se mantém com uma

amplitude constante. Analisando a Figura 2.17 verifica-se que se está perante um filtro passa baixo,

sendo as baixas frequências as únicas que não são filtradas.

No que respeita à intensidade do feixe, observando a Figura 2.18, conclui-se que ao contrário do que

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.2

1

Amplitude

204060 80 20 40 60 800Plano


39

ocorre com os dois feixes analisados anteriormente, a amplitude deste mantém-se aproximadamente

semelhante em 0 e , com excepção dos picos existentes, onde a amplitude do feixe em

é superior à do feixe em 0. Em relação à dispersão pode facilmente verificar-se, na Figura

2.18, que não é tão elevada como a que ocorre nos feixes analisados anteriormente, devido às

transições bruscas de amplitude apresentadas por este tipo de perfil, que forçam o feixe a apresentar

uma amplitude máxima ou uma amplitude nula (1 ou 0 (valores normalizados), respectivamente).

Figura 2.18 – Intensidade do feixe de perfil rectangular ao longo do seu eixo de propagação (valores

normalizados).

2.5 Análise dos Feixes Unidimensionais

Na análise dos feixes efectuada neste capítulo, apenas se analisam feixes unidimensionais,

considerando que estes se propagam em meios lineares. À medida que se propagam ocorre a uma

dispersão espacial dos mesmos, alterando assim as várias propriedades já analisadas.

Os feixes gaussianos foram analisados de uma forma mais pormenorizada, pois são aqueles que

apresentam uma maior simplicidade na análise da sua propagação, e que permitem a partir desta

analisar outros tipos de feixes, cuja análise da propagação é mais complicada.

Observando a Figura 2.12, verifica-se que os feixes gaussianos apresentam uma intensidade de perfil

gaussiano em qualquer posição do seu eixo de propagação , devido à sua transformada de Fourier

ser representada também por um perfil desta forma. Esta característica não abrange os feixes de

perfil de secante hiperbólica, nem os de perfil rectangular. Embora os feixes de perfil de secante

hiperbólica apresentem em um perfil semelhante ao inicial ( 0), não se pode concluir que

este se mantenha ao longo da propagação deste tipo de feixes, pois não é conhecida a sua

transformada de Fourier. No que diz respeito ao feixe de perfil rectangular, não ocorre uma

0.2

0

1

0.8

0.6

0.4

Amplitude

204060 80 20 40 60 800Plano

Distância

5

2.5

1.5

3.5

4.5

4

2

3

1

0.5

0


40

manutenção do seu perfil, pois a sua transformada de Fourier é um sinc, e como tal, o perfil

rectangular não se mantém ao longo da sua propagação, como representa a Figura 2.17.

Em relação à amplitude dos vários feixes analisados, verifica-se que no caso dos feixes de perfil

gaussiano e de perfil de secante hiperbólica, Figuras 2.10 e 2.14, esta apresenta o seu valor máximo

em 0 e 0. À medida que estes feixes se propagam segundo a sua distância axial, a sua

intensidade vai diminuindo de forma semelhante, como se pode verificar nas Figuras 2.13 e 2.16.

Porém, verifica-se que, no caso do feixe de perfil de secante hiperbólica, existe uma diminuição um

pouco menor da sua amplitude, como se verifica quando se comparam as Figuras 2.10 e 2.14. No

feixe de perfil rectangular não ocorre o mesmo que nos anteriores, sendo que em o feixe

apresenta maior amplitude, em certas zonas, do que em 0. À medida que este se propaga

mantém a sua amplitude aproximadamente igual ao longo da sua propagação, com uma dispersão

reduzida, Figura 2.18, quando comparada com a dos feixes analisados anteriormente.

O decréscimo da amplitude é acompanhado por um alargamento do feixe. Analisando as figuras

referentes à evolução espacial dos feixes gaussiano e secante hiperbólica, Figuras 2.12 e 2.15,

respectivamente, verifica-se que à medida que os feixes se propagam segundo , a sua largura

aumenta, e como consequência o seu raio de curvatura. A largura do feixe assume o seu valor

mínimo em 0, sendo este designado como cintura do feixe . Para feixes com largura inicial

menor, obtém-se uma dispersão superior, e por consequência uma largura e um raio de curvatura

superiores. Nos feixes de perfil rectangular, não se verifica um alargamento tão claro, devido ao facto

de ocorrem transições bruscas de amplitude, que fazem com que estes apresentem uma largura

semelhante em 0 e . As oscilações verificadas em devem-se ao meio tentar

acompanhar de forma positiva, as alterações bruscas da intensidade apresentadas pelo feixe.

Uma vez que se está a considerar que o meio em que se propagam os feixes não apresenta qualquer

tipo de perdas, conclui-se que a energia transportada por estes manter-se-á constante ao longo da

sua propagação. È devido a este facto que para ocorrer um alargamento do feixe, tem

necessariamente que se diminuir a suma intensidade.

Os feixes de perfil gaussiano analisados neste capítulo correspondem a feixes de ordem inferior. Por

vezes, quando se pretende aplicar um feixe com uma distribuição arbitrária no plano de entrada, é

necessário um conjunto de funções de ordem superior, que têm as funções gaussianas como

membro de ordem inferior. Como tal, no capítulo seguinte serão analisados os feixes de ordem

superior, nomeadamente, os feixes de Hermite – Gauss.

41



[2] Haus, Hermann A. Waves and Fields in Optoelectronics, Prentice-Hall, 1984. ISBN: 0-13-

946053-5. Chap. 4, “Fresnel Diffraction in Paraxial Limit”.

[3] Chen, Hollis C. Theory of Electromagnetic Waves: A coordinate-Free Approach, McGraw-Hill

Book Company, 1983. ISBN: 0-07-010688-6. Chap. 3, “Some General Properties of Plane

Waves”.

[4] Saleh, Bahaa E. A. and Teich, Malvin Carl. Fundamentals of Photonics, John Wiley & Sons,

1991. ISBN: 0-471-2-1374-8. Chap. 3, “Beam Optics”.

[5] Kogelnik, H. and Li, T. Laser Beams and Resonators, Applied Optics, Vol. 5, No. 10, 1966, pp.

1550 – 1567.

[6] Haus, Hermann A. Waves and Fields in Optoelectronics, Prentice-Hall, 1984. ISBN 0-13-

946053-5. Chap. 2, “Reflection of Plane Waves Form Interfaces”.

[7] Paschotta, Rüdiger. Gaussian Beams, Encyclopedia of Laser Physics and Technology,

disponível em: <http://www.rp-photonics.com/gaussian_beams.html>, November 2007.

[8] Broson, Stuart D. What is the Confocal Parameter?, IEEE Journal of Quantum Electronics,

Vol. 24, No. 3, 1988, pp. 512 – 515.

[9] Barton, J. P. and Alexander, D.R. Fifth-order corrected electromagnetic field components for a

fundamental Gaussian beam, Journal of Applied Physics., Vol. 66, No. 7, 1989, pp. 2800 –

2802.

[10] Paiva, Carlos R.. Feixes Ópticos, Departamento de Engenharia Electrotécnica e de

Computadores, Instituto Superior Técnico, Abril 2007.

[11] Yariv, Ammon and Yeh, Pochi. Optical Waves in Crystals, John Wiley & Sons, 1984. ISBN: 0-

471-09142-1. Chap. 2, “Propagation of Laser Beams”.

[12] Durnin, J. and Miceli, J. J. Jr. Diffraction – Free Beams, Physical Review Letters, Vol. 58, No.

15, 1987, pp. 1499 – 1501.

42

Capítulo 3

Ressoadores e Feixes

de Hermite – Gauss Os lasers ópticos são normalmente constituídos por ressoadores, os quais permitem a propagação de

feixes no seu interior. Para que se compreenda melhor a propagação deste tipo de feixes é

necessário conhecer as características do meio onde esta propagação ocorre. O feixe gaussiano é

conhecido como o feixe de ordem mais baixa, e como tal, é o ponto de partida para todos os feixes de

perfil gaussiano de ordem superior. Analisar-se-á então, neste capítulo, os feixes de ordem superior

de Hermite – Gauss.


44

3.1 Ressoadores e Feixes de Ordem Superior

Após a análise e aplicação das teorias da equação paraxial de onda e do integral de difracção de

Fresnel ao feixe gaussiano, desenvolvidas no capítulo antecedente, vai agora proceder-se ao estudo

de feixes de ordem superior, nomeadamente, feixes de Hermite – Gauss, e às transformações a que

estes estão sujeitos devido à sua propagação através de meios, com determinadas características, e

de sistemas ópticos. O facto dos feixes se propagarem através de meios onde estão presentes vários

obstáculos, como por exemplo, lentes ou espelhos, faz com que seja importante o conhecimento das

suas propriedades, de forma a compreender-se como é que estes actuam sobre os feixes, alterando

assim as suas propriedades, à medida que a distância percorrida aumenta.

Quando se utilizam estruturas com ressoadores, os aspectos que apresentam maior interesse são os

modos e as frequências de ressonância destas estruturas. Como tal, as soluções de um feixe de

Hermite – Gauss para a equação de onda paraxial são adequadas para o estudo destas propriedades

[1].

A construção de soluções de onda constante resulta da sobreposição de dois feixes gaussianos que

se propagam em sentidos opostos. As superfícies nodais das soluções de onda constante

apresentam uma geometria esférica, e permitem a aplicação de espelhos sem que estes perturbem a

solução em questão [1]. Como tal, obtém-se os modos dos ressoadores constituídos por conjuntos de

espelhos esféricos, e as condições em que existe ou não estabilidade do ressoador, para um dado

raio de curvatura e espaçamento entre espelhos. No que respeita à estabilidade, o ressoador óptico

com espelhos esféricos de curvaturas diferentes, é apresentado como um exemplo típico de uma

sequência periódica de espelhos que podem ser estáveis ou instáveis [2].

Desta forma, iniciar-se-á este capítulo com uma análise superficial aos ressoadores e a algumas das

possíveis configurações que os seus conjuntos de espelhos podem apresentar. Posteriormente, e

devido à sua elevada importância, vai então abordar-se de uma forma mais aprofundada a

estabilidade de vários conjuntos de espelhos.

Uma vez que, para a representação de um feixe com uma distribuição de amplitude arbitrária no

plano de entrada, é necessário um conjunto infinito de soluções da equação de onda paraxial, existe

um conjunto ortogonal de funções que têm as gaussianas como membro de ordem inferior,

nomeadamente, funções formadas pelo produto de funções de Hermite – Gauss [1]. De tal modo, irão

abordar-se os feixes de ordem superior de Hermite – Gauss, resolvendo o problema do oscilador

harmónico quântico unidimensional, onde se recorre à equação de Schrödinger independente do

tempo e aos operadores de “subida” e “descida”, de forma a obter as funções dos feixes de ordem

superior.

Finalmente, devido à vasta utilização dos feixes gaussianos na maior parte das aplicações ópticas, é

interessante estudar-se a propagação dos feixes de Hermite – Gauss em meios anisotrópicos,

nomeadamente, através de cristais uniaxiais.

Ressoadores e Feixes de Hermite – Gauss

45

3.2 Ressoadores Ópticos

Um ressoador óptico (ou uma cavidade óptica) consiste num conjunto de componentes ópticas,

nomeadamente, espelhos que se encontram dispostos segundo uma determinada configuração, e

que permitem a propagação e focagem de um feixe de luz, formando um ressoador de onda

constante para este tipo de ondas [3].

Os ressoadores ópticos deste tipo têm sido alvo de um amplo estudo, devido à sua grande

importância e utilização em aplicações laser, sendo também utilizados em osciladores paramétricos e

em alguns interferómetros [3].

É possível construir cavidades ressonantes de várias formas e com diversos tipos de espelhos.

Existem dois tipos básicos e distintos de ressoadores, correspondendo o primeiro, aos ressoadores

lineares (ou de onda constante), onde a luz se propaga para a frente e para trás entre dois espelhos,

como representa a Figura 3.1. Este tipo de ressoadores é normalmente constituído por dois espelhos

planos ou esféricos, alinhados e voltados um para o outro, e é o tipo de ressoador laser mais utilizado

[2,3].

Figura 3.1 – Ressoador linear simples constituído por dois espelhos planos e um convexo.

O outro tipo de ressoadores designa-se por ressoador em anel, e permite à onda de luz propagar-se

em duas direcções diferentes, como representa a Figura 3.2. No presente trabalho, os ressoadores

lineares são os que apresentam maior importância e, como tal, apenas estes serão abordados com

uma maior profundidade.

A luz que se propaga no ressoador irá reflectir-se inúmeras vezes, sofrendo vários efeitos físicos que

alteram a sua distribuição espacial, como é o caso da difracção e dos efeitos de focagem ou

desfocagem provocados pelos elementos ópticos. Estes efeitos fazem com que apenas certos perfis

e frequências de radiação sejam ampliados pelo ressoador, sendo que os restantes acabam por ser

suprimidos pela interferência destrutiva existente.


46

Figura 3.2 – Ressoador em anel, constituído por dois espelhos planos e dois espelhos convexos.

Geralmente, os perfis de radiação que são produzidos cada vez que o feixe de luz passa através do

ressoador, são mais estáveis e os seus valores próprios definem os modos do ressoador. Estes

modos podem ser designados como longitudinais ou transversais. Os primeiros correspondem a

ondas estacionárias ao longo da cavidade (ou eixo dos ), e diferem uns dos outros na frequência. Os

segundos correspondem a configurações do campo aproximadamente perpendiculares ao eixo de

propagação, e designam-se normalmente por TEMmn, sendo que em qualquer secção transversal do

feixe manifestam-se vários lobos distintos. Cada configuração de lobos constitui um modo TEM, como

se representa na Figura 3.3. Estes modos diferenciam-se uns dos outros na frequência e também nos

perfis de intensidade do feixe luminoso. O modo transversal fundamental, ou TEM00, de um ressoador

corresponde ao feixe gaussiano. Este é o mais utilizado, uma vez que a fase do campo eléctrico não

tem descontinuidades, como acontece nos outros modos, garantindo-se deste modo uma coerência

espacial. Por sua vez, a divergência angular apresentada pelo feixe é mínima e, quando focado, o

diâmetro transversal do volume focal é mínimo [4].

Um dos aspectos mais importantes na análise dos ressoadores é a sua estabilidade. Caso os

espelhos que constituem o ressoador apresentem dimensões suficientemente grandes, quando

comparadas com o espaçamento entre eles, a estabilidade do ressoador depende fortemente da

curvatura dos mesmos [2,3].

Na prática, os ressoadores devem conter mais do que dois espelhos, sendo comum encontrar

conjuntos de três ou quatro espelhos, produzindo-se assim uma “cavidade dupla”. O conjunto de

espelhos curvos forma uma ou mais secções confocais, sendo o resto do ressoador composto, na

sua maioria, por espelhos planos. A forma do feixe emitida pelo laser depende do tipo de ressoador,

sendo os ressoadores estáveis os responsáveis pela produção dos feixes gaussianos ou feixes de

ordem superior, como por exemplo, os feixes de Hermite – Gauss, que são abordados no presente

capítulo.


47

Figura 3.3 – Distribuições da intensidade dos feixes de Hermite – Gauss de ordem mais baixa, no

plano transversal electromagnético.

A estabilidade dos ressoadores será analisada pormenorizadamente mais à frente, porém considerar-

se-á que os espelhos que constituem os ressoadores de espelhos curvos apresentam dimensões

transversais infinitas, de forma a simplificar a sua análise.

3.2.1 Tipos de ressoadores

Como já foi referido, os tipos de ressoadores ópticos utilizados normalmente são compostos por dois

espelhos planos ou esféricos que se encontram localizados frente um ao outro

Consoante a geometria apresentada pelos espelhos que constituem um ressoador, assim se define o

seu tipo. Consequentemente, ir-se-á de seguida fazer uma breve análise aos tipos de ressoadores

mais comuns, que encontram representados na Figura 3.4.

3.2.1.1 Cavidades de Fabry – Perot

Os ressoadores que apresentam uma maior simplicidade são constituídos por dois espelhos planos

paralelos e designam-se como cavidades de Fabry – Perot, Figura 3.4. A cavidade plana – paralela

de Fabry – Perot foi das primeiras a ser utilizada para responder ao objectivo de optimizar a

coerência da radiação, apresentando um modo de operação simples. Este é utilizado frequentemente

por um elevado número de técnicas, com o intuito de aumentar a sua sensibilidade, pois é importante

optimizar o desempenho das cavidades ópticas [5].

TEM00 TEM10 TEM20

TEM01 TEM11 TEM21


48

Embora se trate de uma configuração simples, a sua aplicação pratica, nomeadamente em lasers,

pode tornar-se complicada, uma vez que esta configuração apresenta uma grande dificuldade de

alinhamento dos espelhos, originando a inexistência de uma solução rigorosa. Este problema pode

ser minimizado utilizando cavidades muito pequenas com um distância entre espelhos reduzida

(d<1cm).

Figura 3.4 - Ressoadores de dois espelhos, com diversos raios de curvatura e respectiva radiação

padrão.

Este tipo de geometria apresenta grande interesse em lasers semi-condutores, lasers de micro –

cavidades, e micro-chips. Nestes casos, em vez de se recorrer a espelhos separados para

implementar os ressoadores, opta-se por utilizar um revestimento óptico reflectivo que pode ser

aplicado directamente no meio laser [6].

R R ∞

Hemisférico de raio longo

R R R

Côncavo – Convexo

R ∞ R ∞

Plano – Paralelo Esférico

R /2 R /2

R R

Quase – Confocal Confocal

R R

Hemisférico

R ∞ R


49

3.2.1.2 Ressoador de Espelhos Curvos

Perante um ressoador composto por dois espelhos com raio de curvatura R e R , existe uma serie

de configurações possíveis para as cavidades ópticas.

Como se encontra representado na Figura 3.4, caso ambas as curvaturas sejam iguais a metade da

distância entre os espelhos, isto é, metade do comprimento da cavidade, R R /2, resulta um

ressoador esférico ou concêntrico. Este tipo de ressoador produz uma difracção limitada da cintura do

feixe no centro da cavidade, e apresenta diâmetros de feixe elevados nos espelhos, sendo que estes

enchem toda a abertura destes.

Uma das configurações de maior importância, que é constantemente utilizada, é a que origina o

ressoador confocal, onde os dois espelhos côncavos que o formam apresentam raios de curvatura

iguais, sendo estes iguais ao comprimento da cavidade, R R . Esta geometria produz o menor

diâmetro possível do feixe nos espelhos do ressoador considerando um dado comprimento da

cavidade. Este tipo de ressoador é aplicado frequentemente em lasers onde a manutenção do modo

transversal fundamental é importante.

Uma configuração semelhante ao ressoador confocal, é o ressoador hemisférico que é constituído

por um espelho plano e um espelho de curvatura igual ao comprimento da cavidade. Desta forma, tal

como acontece no ressoador referido anteriormente, o feixe vai apresentar o menor diâmetro possível

no espelho plano.

Como é possível observar na Figura 3.4, existem outros tipos de ressoadores ópticos que

apresentam uma configuração semelhante à dos dois tipos referidos anteriormente. A diferença entre

ambas as configurações reside nos raios de curvatura. No caso do ressoador quase – confocal, os

dois espelhos côncavos que constituem o ressoador apresentam um raio de curvatura que é superior

ao comprimento da cavidade, R R , sendo que quanto maior for o raio de curvatura maior será

o diâmetro do feixe nos espelhos opostos. O mesmo sucede com o ressoador hemisférico de raio

longo, que é constituído por um espelho plano e outro côncavo cujo raio de curvatura é maior que o

comprimento da cavidade. Neste caso, a largura do feixe no espelho plano não apresentará o valor

mínimo possível, aumentando à medida que o raio de curvatura do espelho convexo aumenta.

Ignorando os efeitos da difracção, um ressoador óptico composto por espelhos côncavos pode ser

encarado como um simples sistema de focagem intra-cavidade periódica, pois à medida que os feixes

se propagam e reflectem nos espelhos, a sua trajectória vai sendo redireccionada pelas superfícies

curvas destes [3,4].

3.2.1.3 Ressoador Côncavo - Convexo

As cavidades ópticas não são compostas exclusivamente por espelhos planos e espelhos côncavos,

existindo também configurações onde são utilizados espelhos convexos. Um dos ressoadores mais

comum é o ressoador côncavo – convexo, sendo esta configuração, tal como o nome indica,

composta por um espelho côncavo e um espelho convexo. Neste caso, é comum atribuir um raio de


50

curvatura de valor negativo aos espelhos convexos.

Este tipo de ressoador, ao contrário dos constituídos por espelhos côncavos, não produz focagem

intra-cavidade do feixe, i.e., à medida que o feixe se propaga e reflecte nos espelhos que constituem

a cavidade, não vai ocorrer uma focagem deste, ao contrário do que acontecia anteriormente. Este

fenómeno apresenta uma grande utilidade em lasers de potência muito elevada, uma vez que a

intensidade da luz dentro da cavidade poderia ser prejudicial ao meio intra-cavidade caso tendesse

para um foco.

3.2.2 Estabilidade dos Ressoadores

As propriedades do modo de um ressoador estão intimamente relacionadas com as propriedades de

estabilidade do conjunto de espelhos que o compõem [3]. Nesta secção irá analisar-se a estabilidade

das várias configurações, assim como as condições em que esta existe.

Nas cavidades de Fabry – Perot, analisadas anteriormente, verifica-se que a distribuição da amplitude

transversal do modo é controlada pela difracção das ondas nas fronteiras do espelho, originando uma

perda de difracção. As cavidades de Fabry – Perot constituídas por espelhos curvos, eliminam

praticamente todo o efeito dos limites do espelho na distribuição da amplitude do modo, e a

respectiva perda de difracção associada [1].

3.2.2.1 Condições de Estabilidade

O facto de os espelhos apresentarem uma dimensão finita introduz perdas de difracção muito

grandes [5]. No estudo da estabilidade dos ressoadores formados por espelhos curvos, não serão

considerados os limites dos espelhos, sendo como tal efectuada uma análise onde se admite que

estes apresentam dimensões transversais infinitas.

De tal forma, considerando a solução do feixe gaussiano, tem-se,

, , exp 2 , (3.1)

onde, se considera agora que,

, (3.2)

e

. (3.3)

Analisando a equação (3.1), verifica-se que a solução corresponde a uma onda com amplitude perfil

gaussiano, que se propaga no sentido positivo do eixo dos , ( ). Caso se substitua o por – ,

obtém-se a solução da equação de onda paraxial, que foi expressa no Capítulo 2, pela expressão

(2.10), e que descreve a propagação do feixe na direcção negativa de , ( ),


51

, , exp 2 . (3.4)

Sobrepondo as soluções expressas pelas equações (3.1) e (3.4), obtêm-se ondas constantes, com

superfícies nodais do campo eléctrico paralelo às frentes de fase, cujos raios de curvatura são

expressos por

1. (3.5)

Considerando um ressoador constituído por dois espelhos, como mostra a Figura 3.5, sendo que o

espelho 1 está localizado em , o seu raio de curvatura será expresso por

1, (3.6)

enquanto o raio de curvatura do espelho 2, localizado em , é expresso por

1. (3.7)

Figura 3.5 – Ressoador constituído por um espelho convexo e um espelho côncavo.

Deste modo, é possível satisfazer as condições de fronteira exigidas pela solução de ondas

constantes. O espaçamento entre os espelhos tem que corresponder, precisamente, a um número

inteiro de nós da onda constante entre os dois espelhos. Caso os diâmetros dos espelhos sejam

escolhidos muito maiores que o diâmetro do feixe apresentado nestes, o facto dos espelhos

apresentarem dimensões infinitas não tem significado físico, pois o campo do feixe nos limites do

espelho é desprezável [1].

Dado um conjunto de espelhos com raio de curvatura e , e espaçados por uma distância , é

possível encontrar o modo de ressonância correspondente à configuração em questão. Para que seja

possível obter o dito modo de ressonância deve resolver-se as equações (3.6) e (3.7) em ordem a ,

tendo em consideração a limitação

. (3.8)

0


52

No estudo dos ressoadores, e dos espelhos que os constituem, é usual distinguir os espelhos

côncavos dos convexos, denotando os segundos com um raio de curvatura negativo. De tal modo,

para o problema representado na Figura 3.5, os raios de curvatura são expressos por,

1, (3.9)

e,

1 , (3.10)

onde representa o raio de curvatura do espelho convexo e o raio de curvatura do espelho

côncavo.

Considerado o ressoador hemisférico de raio longo, Figura 3.6, com ∞ e e localizados

em 0 e , respectivamente, facilmente se obtém, recorrendo a (3.10),

. (3.11)

Figura 3.6 – Ressoador correspondente à equação (3.11).

O raio mínimo do feixe do modo ressonante ocorre no espelho plano, sendo que existem soluções

desde que . No caso em que o raio de curvatura do espelho côncavo é menor do que a

distância entre os espelhos, , não existem soluções. À medida que o raio de curvatura do

espelho se vai aproximando do valor da distância entre os espelhos, , o diâmetro do feixe no

espelho plano vai tendendo para zero, aproximando-se assim de um ressoador hemisférico, como o

representado na Figura 3.4. Neste caso é necessário verificar se a análise da onda paraxial continua

a ser válida, uma vez que na presença de um feixe de diâmetro muito menor que o seu comprimento

de onda, estão a violar-se os pressupostos em que se calculou a equação paraxial das ondas.

Admitindo-se agora o caso simétrico, i.e., o caso em que se tem dois espelhos convexos com igual

raio de curvatura, , como está representado no ressoador esférico da Figura 3.4, e que a

distância entre espelhos, da equação (3.11), deve ser agora interpretada como 2⁄ , resulta

∞

0


53

2 2 . (3.12)

Estudando-se agora a estabilidade para o caso geral, em que os espelhos apresentam um raio de

curvatura diferente, , como representa a Figura 3.5, e recorrendo às equações (3.8), (3.9) e

(3.10), resulta, como é possível verificar no Anexo B.1,

0 1 1 1. (3.13)

A equação (3.13), representa as condições de estabilidade dos ressoadores, para as quais é possível

encontrar uma solução. Consequentemente, a estabilidade pode ser representada graficamente,

desenhando-se um diagrama de estabilidade, como representa a Figura 3.7, com o intuito de mostrar

os intervalos de valores de / e / onde os ressoadores são estáveis ou instáveis. È de notar

que cada tipo de ressoador é representado apenas por um ponto no plano / , / [2].

Figura 3.7 – Diagrama de estabilidade, onde são indicadas as zonas sem solução e as zonas em que

se localizam os tipos de ressoadores mais comuns.

3.2.2.2 Análise de estabilidade

As áreas delimitadas pela representação gráfica da equação (3.13) e pelos eixos / / 1,

representam as zonas estáveis. Os ressoadores localizados em pontos que se localizam

exactamente na linha que delimita a zona estável são ressoadores marginalmente estáveis, o que

Sem solução

Sem solução Sem solução

Sem solução

Plano – Paralelo

Caso Confocal

Plano – Côncavo

Caso Esférico

Ressoadores

Simétricos

4

3

2

1

0

1

2

3

4

5

/

4 3 2 1 0 4 1 2 3 5 /


54

significa que pequenas variações no comprimento das cavidades ( ) podem tornar o ressoador

instável. Este tipo de ressoadores é utilizado frequentemente em lasers sendo que, na prática, estes

apenas vão operar dentro da zona de estabilidade.

Caso o ressoador se encontre na zona instável, significa que este tem soluções divergentes para as

diferentes equações que regem os deslocamentos transversais de um raio. Isto implica que não

existe uma focagem periódica do feixe que nele se propaga, logo a largura deste tende em aumentar

sem limite e, como tal, poderá crescer mais do que as dimensões dos espelhos que formam o

ressoador, acabando assim por se perder [3,7].

A Figura 3.8 representa a localização de algumas das configurações existentes, com e sem soluções

de modo, no diagrama de estabilidade.

Figura 3.8 – Diagrama de estabilidade, com ressoadores de configurações estáveis e instáveis.

Analisando a Figura 3.8, podem tirar-se algumas conclusões no que respeita à estabilidade das

várias configurações apresentadas.

Quando um ressoador é composto por dois espelhos côncavos é possível verificar a existência de

soluções, ou seja, este é estável quando ambos os centros de curvatura dos espelhos que o

constituem estão fora do espaço por si delimitado, ou ambos estão dentro desta zona e perto do

espelho oposto.

No caso de se tratar de um ressoador constituído por um espelho côncavo e outro convexo, os

centros de curvatura de ambos devem localizar-se fora do espaço por si restringido, e o centro de

R R

R R

R R

R R

R R

R R

4 3 2 1 0 4 1 2 3 5

/

4

3

2

1

0

1

2

3

4

/

5


55

curvatura do espelho côncavo tem que estar mais próximo dos espelhos, que o centro de curvatura

do espelho convexo.

Quando o ressoador está na zona de estabilidade, os modos ressonantes de ordem inferior, estão

geralmente, confinados ao longo do eixo do ressoador, e apresentam uma dependência de amplitude

transversal gaussiana. As perdas que ocorrem devido à fuga de energia difractada, que passa os

limites dos espelhos, são geralmente muito reduzidas. Relativamente aos ressoadores localizados

próximo ou nas fronteiras da zona de estabilidade, ambas as dimensões transversais dos modos e as

suas perdas de difracção aumentam, pois está-se muito próximo da zona de instabilidade. Nestes

casos as dimensões exactas dos espelhos são significantes [3].

Pode definir-se as regiões de estabilidade recorrendo a uma simples afirmação geométrica: O

ressoador é estável se os segmentos de linha entre os espelhos e os seus centros de curvatura estão

sobrepostos, mas um não implica inteiramente o outro.

3.2.2.3 Ressoadores Instáveis

Os ressoadores que se encontram fora da zona de estabilidade não apresentam soluções dos modos

gaussianos [1]. Este facto não significa que estes não apresentem qualquer utilidade, ou que seja

evitada a sua utilização.

A utilização de ressoadores de configurações instáveis pode ser adequada para diversas aplicações,

uma vez que podem melhorar a eficiência destas, devido ao facto das perdas de difracção deste tipo

de ressoadores serem dimensionáveis, mas não intoleráveis, permitindo assim a sua utilização [3].

Este tipo de ressoadores apresenta uma grande utilidade para osciladores laser utilizados em meios

de ganho elevado. A grande perda de difracção apresentada por este tipo de configuração ajuda a

escolher um modo padrão estável, de forma a que, a ocorrência de oscilação laser num único modo

transversal de ordem inferior, apenas irá ocorrer caso exista alguma discriminação nas perdas entre

modos transversais de ordem inferior [3]. Quando um ressoador estável, que apresenta soluções do

modo gaussiano, se encontra num meio de amplo ganho, tende a produzir uma potência de saída de

ordem elevada dos modos de Hermite – Gauss [1,3].

3.3 Feixes de Hermite – Gauss

Após o estudo dos feixes gaussianos, considerados de ordem mais baixa, nesta secção irão estudar-

se os feixes de ordem superior de Hermite – Gauss. Estes feixes apresentam também na sua

constituição um tipo de ondas que satisfazem a equação paraxial de Helmoltz, sendo por isso válidas

as aproximações consideradas quando se analisaram os feixes gaussiano.

Este estudo será apoiado na análise do oscilador harmónico unidimensional quântico, cujas ordens

das soluções estão relacionadas umas com as outras, através da aplicação de operadores de


56

“descida” e “subida “. Desta forma é possível obter as equações dos feixes de ordem superior, assim

como os polinómios de Hermite correspondentes a cada uma destas soluções, e os respectivos

níveis de energia.

3.3.1 Oscilador Harmónico Unidimensional

O oscilador harmónico simples foi dos primeiros sistemas a ser estudado na área da Mecânica

Clássica sendo também um dos mais importantes. O caso mais simples é o descrito pelo conjunto de

uma massa ligada a uma mola ideal de constante elástica . A mola exerce uma força

compensatória sobre a massa, dada pela Lei de Hooke, e que é expressa por . Sempre

que a massa sofre um deslocamento , a mola tenta repor a sua posição inicial. Este tipo de sistema

apresenta uma energia potencial, ou potencial harmónico, que além de variar com a posição no

espaço, , varia também com a frequência, pois depende da constante de propagação , e que é

expressa por,

12 , (3.14)

e as soluções da equação de movimento de Newton são funções que apresentam uma oscilação

temporal com a frequência natural do oscilador, que é dada por,

. (3.15)

Tal como na Física Clássica, o oscilador harmónico apresenta também uma enorme importância na

Mecânica Quântica, uma vez que é possível realizar a aproximação do ponto de equilíbrio de

qualquer potencial , pelo potencial parabólico do oscilador harmónico. Para a análise do

oscilador harmónico no âmbito da Mecânica Quântica, recorre-se às soluções da equação de

Schrödinger para uma partícula de massa e coordenadas , movendo-se numa determinada

região, e cuja energia potencial, , é expressa por (3.14), tendo em atenção (3.15).

Deste modo, analisar-se-á a equação de Schrödinger independente do tempo, com o intuído de

efectuar um estudo dos feixes de ordem superior de Hermite – Gauss.

3.3.1.1 Equação de Schrödinger Independente do Tempo

A equação de Schrödinger apresenta um papel de grande importância na mecânica ondulatória. Na

presença de uma partícula livre descrita por uma função de onda Ψ , ,

Ψ ,1

√2Φ exp , (3.16)

que pode ser expressa em função das componentes relacionadas com o momento linear, resulta,

como demonstra o Anexo B.2,


57

Ψ2

Ψ . (3.17)

A equação (3.17) representa a equação de Schrödinger para a partícula em espaço livre. Esta

equação permite efectuar uma correspondência entre grandezas físicas macroscópicas e a sua

escrita em termos de operadores [8]. De tal modo, introduzindo os operadores do momento linear

[8,9],

, (3.18)

e, hamiltoniano (respeitante à energia da partícula livre) [8,9],

2 2 , (3.19)

e, considerando-se a introdução de uma força que irá actuar sobre a partícula, obtém-se, como é

possível verificar no Anexo B.2, a equação de Schrödinger unidimensional,

Ψ2

ΨΨ , . (3.20)

Quando se está perante um estado estacionário, i.e., em que a densidade de probabilidade é

independente do tempo, deve utilizar-se a equação de Schrödinger independente do tempo [8]. Para

a obtenção desta equação recorre-se à aplicação do método de separação de variáveis na função de

onda,

Ψ , . (3.21)

Aplicando a equação (3.21) na equação de Schrödinger unidimensional (3.20), resulta

Q2 . (3.22)

Dividindo ambos os membros da equação (3.22) pela função de onda expressa por (3.21), obtém-se

1 Q2

1. (3.23)

Analisando a equação (3.23), verifica-se que existe um membro que apresenta dependência temporal

e outro uma dependência espacial, sendo esta a condição necessária para que a expressão seja

válida. Efectuando assim uma equivalência a uma constante, que corresponde à energia do sistema

quântico em análise, e efectuando as respectivas separações, resulta facilmente de (3.23),

, (3.24)

e,

2 . (3.25)

Tendo em conta a equação dos valores próprios,


58

, (3.26)

onde representa o operador hamiltoniano, a função própria e a energia, correspondendo

também ao valor próprio, e efectuando uma simples manipulação dos termos da equação (3.25),

obtém-se a equação de Schrödinger independente do tempo, que é expressa por

20. (3.27)

3.3.1.2 Solução da Equação Schrödinger Independente do Tempo

Utilizando a definição da frequência angular do oscilador, que é expressa por (3.15), e substituindo

, na expressão da energia potencial , representada por (3.14), resulta,

12 , (3.28)

e, substituindo esta ultima em (3.27), obtém-se

2 12 0. (3.29)

Introduzindo novas variáveis adimensionais,

2, (3.30)

e,

, (3.31)

e aplicando-as à equação de Schrödinger independente do tempo, resulta uma equação diferencial

que permite uma melhor percepção das equações de Hermite – Gauss, uma vez que estas formam

um conjunto completo de soluções da equação diferencial obtida [1]. Tendo em atenção as equações

(3.30) e (3.31), a equação de Schrödinger independente do tempo pode então ser reescrita, como

comprova o Anexo B.3, na forma,

0. (3.32)

Notando que (3.32) representa uma equação de valores próprios, tem-se

0 , (3.33)

onde representa o valor próprio, pois na presença de um operador a multiplicar por uma função

resulta o valor próprio a multiplicar por essa mesma função.

De tal forma, considerando o valor próprio 1, verifica-se, como demonstra o Anexo B.4, que a

este valor próprio corresponde uma função própria gaussiana,


59

exp12 . (3.34)

As soluções da equação de Schrödinger são facilmente compreendidas quando, para a sua análise,

se recorre à interpretação geométrica. Uma vez que os coeficientes da equação (3.32) são simétricos

em relação a , como mostra a Figura 3.9, é possível obter soluções simétricas ou anti-simétricas.

Figura 3.9 – Representação gráfica da solução da equação de Schrödinger.

Analisando a Figura 3.9, verifica-se que a solução simétrica que tem a sua origem no centro, 0,

com declive prescrito e, a partir daí uma curvatura como é determinado pela equação diferencial de

segunda ordem.

A representação gráfica da solução de Schrödinger é côncava na direcção do eixo na região I, sendo

por sua vez convexa na região II. Tratando-se de uma função quadrática, verifica-se que quando

∞, esta tenderá para ∞, excepcionando os casos em que se escolhe o valor próprio

cuidadosamente, de forma a corresponder a uma solução delimitada [1].

Considerando uma função , assumida de modo a obedecer à equação diferencial expressa por

(3.32), verifica-se que quando ∞, esta tenderá para zero.

A solução de ordem mais baixa, dado pela equação (3.34), apresenta a curvatura mais baixa, assim

como o menor valor próprio e apenas um extremo, representando uma função de perfil gaussiano.

Como será analisado mais à frente, à medida que o valor próprio aumenta a solução da equação de

Schrödinger vai incrementando o número de extremos.

3.3.1.3 Equações de Ordem Superior e Inferior

Para que se possam relacionar as soluções de ordem superior e de ordem inferior é necessária a

aplicação de operadores de “subida” (ou “criação”), ou de “descida” (ou “aniquilação”), consoante se

pretenda obter, respectivamente, a equação de ordem superior ou a de ordem inferior.

Os operadores de “subida”, são expressos por ⁄ , e permitem a obtenção de uma função

própria de de ordem 1 a partir da função própria de ordem . De forma inversa, os operadores

0

0

Região II Região II Região I


60

de “descida”, são representados por ⁄ , possibilitando obter uma função própria de de

ordem 1 partindo de uma função própria de ordem .

Operando (3.32) com ⁄ e efectuando uma reorganização dos termos de forma a mover o

parâmetro ⁄ para a direita dos elementos ⁄ e , resulta

2 , (3.35)

e, analogamente,

ξ 2 , (3.36)

qualquer que seja a função própria de .

Aplicando (3.35) e (3.36) em (3.32), e multiplicando ambos os termos desta última equação por

⁄ , resulta, como demonstra o Anexo B.5,

2 0. (3.37)

Analisando o resultado obtido, verifica-se que se está perante uma nova equação, semelhante à

original, onde a nova solução é representada por / e, apresenta agora os valores

próprios 2. Considerando a solução de ordem mais baixa, expressa por (3.34), cujo valor próprio é

1, verifica-se que esta apresenta a menor curvatura negativa possível no intervalo onde é

positivo e, como tal, o menor valor possível de . A representação gráfica da função própria de ordem

mais baixa, encontra-se na Figura 3.10, e tal como já tinha sido referido este apenas representa um

extremo.

3.3.1.4 Polinómios de Hermite e Feixes de Hermite – Gauss

A nova solução obtida anteriormente permite adquirir todas as funções próprias a partir da gaussiana

. As novas funções próprias, que correspondem às equações de Hermite – Gauss, são

expressas por [10]

exp12 , (3.38)

onde, o termo corresponde ao n – ésimo polinómio de Hermite, sendo estes definidos por

1 exp exp . (3.39)

Por consequência, facilmente se obtém que, os primeiros polinómios de Hermite, i.e., os de ordem

mais baixa, são expressos por

1, (3.40)

2 , (3.41)


61

4 2, (3.42)

8 12 , (3.43)

16 48 12. (3.44)

Para o caso da solução de ordem mais baixa, dada por (3.34), verifica-se que o polinómio de Hermite

correspondente é o representado por (3.40). Aplicando o operador de “subida” a esta solução, obtém-

se a solução de ordem superior com 1, como mostra o Anexo B.6, que é expressa por,

exp12 2 exp

12 . (3.45)

A equação (3.45) corresponde à função própria , e apresenta o polinómio de Hermite

representado por (3.41). Esta solução corresponde à solução da equação (3.38) quando 1, e

apresenta dois extremos, como é possível verificar pela sua representação gráfica, cujo gráfico se

encontra apresentado na Figura 3.10. Cada aplicação sucessiva do operador de “subida” produz uma

solução com mais um extremo, sendo possível a obtenção de todas as soluções possíveis com a

aplicação deste.

Como tal, reaplicando novamente o operador de “subida” à solução dada por (3.45), resulta uma nova

função própria dada por (3.38), para o caso de 2, como mostra o Anexo B.6,

2 exp12 4 2 exp

12 , (3.46)

onde o parâmetro 4 2 corresponde ao polinómio de Hermite expresso por (3.42). Como é

possível observar através da Figura 3.10, esta solução apresenta três extremos.

Figura 3.10 – Representação gráfica das três soluções de Hermite – Gauss de ordem mais baixa.

3 2 1 0 1 2 3

0

0.5

1

2

1.5

2.5

0.5

1.5

2.5

1

2


62

Neste capitulo apenas se analisam as equações dos feixes de Hermite – Gauss unidimensionais que

são expressos por (3.38). Os feixes de Hermite – Gauss bidimensionais serão expressos por [1,10]

, , ,√2 √2

, (3.47)

onde o parâmetro corresponde a uma constante, e correspondem às funções de Hermite –

Gauss segundo o plano e , respectivamente, e ao raio do feixe. Pode obter-se uma análise

mais pormenorizada dos feixes de Hermite – Gauss bidimensionais nas referências [1] e [10]. A

distribuição da intensidade, no plano transversal, de alguns feixes de Hermite – Gauss de ordem

inferior, encontra-se representada na Figura 3.3.

3.3.1.5 Níveis de Energia

No oscilador harmónico quântico, o espectro de energias consiste num número infinito de níveis

discretos, sendo que cada modo de oscilação se encontra associado a um modo do oscilador

harmónico, como mostra a Figura 3.11. A energia potencial associada a cada nível de oscilação é

expressa por

12 , (3.48)

com 0,1,2, … .

Analisando a Figura 3.11, verifica-se que, todos os níveis de energia estão igualmente espaçados,

por uma energia de transição equivalente a . Quando se transita de um nível inferior para um nível

superior está-se perante a criação de um fotão, ocorrendo então uma radiação de energia. Porém,

contrariamente, quando se passa de um nível de energia superior para um nível inferior, existe uma

absorção de energia, correspondendo esta à aniquilação de um fotão.

Um aspecto relevante, é a análise da energia do sistema para o caso em que este se encontra em

repouso, ou seja, na origem das coordenadas. No âmbito da Mecânica Clássica, a energia

correspondente ao modo mais baixo do oscilador harmónico, i.e., à situação em que o sistema se

encontra em repouso, é igual a zero. Por sua vez, na Mecânica Quântica, devido à relação de

incerteza existente, não é permitida a situação em que a partícula apresenta um momento linear nulo

numa determinada posição, pois corresponderia a uma boa definição, simultânea, do momento linear

e da posição, implicando desta forma uma incerteza nula.

De tal forma, analisando a Figura 3.11, verifica-se que para o nível de oscilação mais baixo, i.e., o

correspondente ao indicie 0, o oscilador apresenta uma energia 1/2 , ao contrário do que

acontece na Mecânica Clássica.

3.3.2 Propagação de Feixes de Hermite – Gauss

Tal como no Capítulo 2, para se efectuar uma análise à propagação dos feixes de Hermite – Gauss

recorre-se a um método numérico que é baseado na FFT. Nesta simulação considera-se a função de


63

transferência exacta, ou seja, não se recorre à aproximação paraxial. Como tal, o estudo da evolução

dos feixes de Hermite – Gauss é semelhante ao realizado no capítulo anterior.

Figura 3.11 – Espectro de energia para o potencial do oscilador harmónico quântico.

De tal forma, começa-se por analisar a evolução do feixe de Hermite – Gauss de 1ª ordem, que

corresponde ao feixe gaussiano, já investigado no capítulo 2. A Figura 3.12 representa a comparação

entre o feixe em 0 e . Como se trata de um feixe de perfil gaussiano, e a sua transformada

de Fourier apresenta também um perfil gaussiano, logo o feixe mantém-se gaussiano ao longo da sua

propagação, como é possível verificar pela observação da Figura 3.13.

Este apresenta a sua amplitude máxima em 0 e 0, e à medida que ocorre a sua propagação,

vai sendo vítima da dispersão espacial, diminuindo assim a sua amplitude e aumentando a largura,

como mostram as Figuras 3.13 e 3.14. Com o alargamento do feixe, aumenta também o raio de

curvatura da frente de onda, como se viu quando se abordou a propagação dos feixes de perfil

gaussiano.

Figura 3.12 - Feixe de Hermite – Gauss de 1ª ordem em 0 e . Na simulação utilizou-se 5


0 55 1010 Plano

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Amplitude

92

72

52

32

12

4

3

2

1

0

Energia

Energia de transição

12


64

Figura 3.13 - Evolução Feixe de Hermite – Gauss de 1ª ordem ao longo do seu eixo de propagação



propagação (valores normalizados).

Após a aplicação do operador de “subida” à solução de 1ª ordem, analisada anteriormente, obtém-se

a solução correspondente ao feixe de Hermite – Gauss de 2ª ordem. A Figura 3.15 representa o feixe

em 0 e . Como é possível verificar a intensidade óptica do feixe apresenta dois picos de

forma gaussiana, mais um extremo que o de ordem inferior, como se concluiu anteriormente quando

se estudaram as propriedades dos feixes de Hermite – Gauss. Ao contrário do que acontece nos

feixes de 1ª ordem, o feixe não mantém o seu perfil ao longo da sua propagação, Figura 3.16.

No que respeita à sua intensidade, esta apresenta o seu valor máximo em 0, mas não em 0,

como ocorria até ao momento. À medida que este percorre o seu eixo axial, a amplitude vai

diminuindo, e os seus valores máximos vão-se afastando em relação ao centro, 0, como é

possível verificar analisando a Figura 3.17. Em relação à largura do feixe, observa-se que para cada

um dos picos de amplitude vai ocorrer um alargamento igual, proveniente da dispersão espacial

Plano 0 10 1055

0.2

0.1

0

0.9

1

0.8

0.6

0.5

0.4

0.3

0.7

Amplitude Distância

5

2.5

1.5

3.5

4.5

4

2

3

1

0.5

0

Amplitude

01

23

45

Distância 0

10

Plano 105

5

0.2 0.4 0.6

0.8

1

0


65

característica do meio, à medida que este se propaga ao longo do seu eixo axial, como se verifica na

Figura 3.16.

Reaplicando o operador de “subida” à solução de 2ª ordem, obtém-se uma solução com mais um

extremo, que corresponde ao feixe de Hermite – Gauss de 3ª ordem. Como mostra a Figura 3.18, a

intensidade do feixe apresenta três picos, sendo que o pico do central apresenta uma menor

amplitude que os dois exteriores. Mais uma vez, analisando a Figura 3.19, verifica-se que o feixe de

Hermite – Gauss de 3ª ordem não mantém o seu perfil ao longo da propagação.

O feixe em questão apresenta a sua amplitude máxima em 0. Como se pode verificar na Figura

3.20, à medida que este se propaga a sua intensidade vai diminuindo e este vai alargando. Um

aspecto de grande interesse é o facto do máximo das amplitudes dos picos exteriores irem tendendo

pa um único pico centrado em 0, acabando o pico central por se extinguir após uma certa

distância de propagação. Como tal, em 5 apenas se observa a presença dos picos exteriores,

uma vez que o efeito da dispersão espacial é menor para estes picos, como representa a Figura 3.20.





Amplitude

01

23

45

Distância 0

10

Plano 105

5

0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

1.2

0 5 5 10 10 Plano

0

0.2

0.6

0.8

1

1.2

0.4

Amplitude


66







01

23

45

Distância 0

10

Plano 105

5

Amplitude 0.5

1.5

1

0

2

0 5 5 10 10 Plano

0

0.5

1.5

2

1

Amplitude

5

Distância

0 5 5 1010 Plano

2.5

1.5

3.5

4.5

4

2

3

1

0.5

0

0.2

1.2

0

1

0.8

0.6

0.4

Amplitude


67



Como se pode verificar, sempre que se aplica o operador de “subida” a uma solução, obtém-se outra

de ordem superior, que apresenta sempre mais um extremo. Desta forma, a solução seguinte é a de

4ª ordem e a intensidade do feixe apresenta quatro picos, como se expõe na Figura 3.21.

Tal como as soluções de ordem inferior, verifica-se que a amplitude do feixe é máxima em 0, e

que à medida que este evolui ao longo do seu eixo de propagação vai alargando e a sua intensidade

vai diminuindo, não conservando desta forma o seu perfil inicial, como mostra a Figura 3.22.

Analisando a Figura 3.23 verifica-se que a intensidade dos picos interiores acaba por se extinguir à

medida que o feixe se propaga, sendo que em 5 apenas existe os picos de intensidade

exteriores, uma vez que a dispersão é superior nos picos mais estreitos. Tal como ocorre na

propagação dos feixes de Hermite – Gauss de 2ª ordem, a amplitude máxima destes picos vai-se

afastando do centro, 0, à medida que a distância percorrida aumenta, como mostra a Figura 3.23.



0 55 1010 Plano

2.5

1.5

5

3.5

4.5

4

2

3

1

0.5

0

Amplitude

0 5 5 1010 Plano

0

0.5

1.5

2

1 Distância

5

2.5

1.5

3.5

4.5

4

2

3

1

0.5

0

Amplitude


68





3.3.3 Meios Anisotrópicos

Devido ao amplo domínio de aplicações apresentadas pelos feixes gaussianos, é interessante

realizar um estudo da propagação dos feixes de Hermite – Gauss em meios anisotrópicos.

Uma vez que o presente trabalho aborda o estudo da propagação de feixes ópticos noutro tipo de

meios, que não os meios anisotrópicos, nesta secção apenas se irá realizar uma análise muito

superficial à definição deste tipo de meio, de forma a enquadrá-lo na propagação de feixes ópticos.

Até agora, tinha-se abordado o caso da evolução de um feixe cuja propagação se efectuava em

meios isotrópicos e, que por consequência, a polarização de qualquer onda conservava-se ao longo

da propagação da mesma. Porém, isto não se verifica quando se está perante um meio anisotrópico.

0 55 1010 Plano

2.5

1.5

5

3.5

4.5

4

2

3

1

0.5

0

Amplitude

5

2.5

1.5

3.5

4.5

4

2

3

1

0.5

0

Distância

01

23

45

Distância 0

10

Plano 105

5

1

0

2 3 4 5

Amplitude


69

Neste tipo de meios, apenas algumas ondas conservam a sua polarização enquanto se propagam,

designando-se as mesmas de ondas características [11].

3.3.3.1. Propagação em Meios Anisotrópicos

Num meio anisotrópico, quando se está perante um cristal uniaxial, existem duas superfícies de

índice normal que são obtidas pelas rotação circular e elíptica em torno dos eixos de simetria do

cristal, como mostra a Figura 3.24. A esfera obtida corresponde à superfície para a propagação

ordinária, isto é, para a onda que se propaga no meio como se este se tratasse de um meio

isotrópico. Por sua vez, a elipse corresponde à propagação extraordinária, característica do meio

anisotrópico.

Sendo a constante de propagação e podendo ser decomposta nas suas componentes direccionais,

, e , para cada direcção de , é possível a construção de uma superfície de , ou índice

⁄ , onde corresponde à velocidade da luz no vácuo. Esta superfície de índice normal é, na

sua generalidade, uma superfície de quarta ordem, sendo que num cristal uniaxial estas superfícies

correspondem às referidas esfera e elipse [11,12].

A equação do elipsóide do índice de refracção para o cristal uniaxial pode ser expressa de uma forma

simplificada por

1, (3.49)

onde , corresponde ao índice de refracção da onda ordinária, é definido por

1 1, (3.50)

e , corresponde ao índice de refracção da onda extraordinária, por

1. (3.51)

Figura 3.24 – Superfícies obtidas através da rotação simétrica circular e elíptica em torno do eixo .

Superfície normal ordinária

Superfície normal extraordinária

Elipsóide do índice


70

Considerando uma superfície de índice normal que é composta por um elipsóide,

1, (3.52)

e, uma esfera,

1, (3.53)

pode exprimir-se a superfície como uma superfície no espaço , pois permite a obtenção da

magnitude do vector para todas as direcções [12]. Como tal, para uma onda extraordinária, tendo

em atenção a equação (3.52), resulta

, (3.54)

enquanto, para uma superfície ordinária, tem-se, de acordo com (3.53),

. (3.55)

Num meio uniaxial dispersivo, os índices de refracção e são funções da frequência [12].

3.3.3.2. Propagação de Feixes de Hermite – Gauss em Cristais Uniaxiais

Para o estudo da propagação dos feixes de ordem superior em meios anisotrópicos, devem analisar-

se as ondas extraordinárias em cristais uniaxiais.

Através da equação (3.54), que representa a superfície de índice normal para a onda escrita em

termos das componentes do vector de propagação, é possível a obtenção da equação de onda

escalar para uma onda Ψ, por identificação de com / , com / e com / , e

operando na transformada de Fourier inversa, resulta

Ψ

Ψ

Ψ

Ψ 0, (3.56)

onde Ψ representa a amplitude do potencial vector.

Introduzindo novas variáveis, expressas por,

, , , (3.57)

e aplicando-as a (3.56), obtém-se

Ψ Ψ 0, (3.58)

estando-se agora na presença de uma simetria esférica. Como tal, todas as soluções aplicáveis à

propagação em espaço livre devem ser tomadas em conta [12].

Considerando as novas coordenadas, pode definir-se a propagação do modo fundamental numa


71

direcção , como

1exp 2 . (3.59)

Nas coordenadas com propagação esférica simétrica o eixo dos feixes e a normal para a frente de

onda são coincidentes. A relação entre a direcção dos eixos do feixe e a direcção normal para a

frente de onda depois da transformação de volta aos sistemas anisotrópicos, apresenta grande

interesse. Esperar-se-ia, então, que os eixos do feixe gaussiano, que determinam a direcção da

propagação da energia, iriam seguir através da normal para a superfície do índice de refracção [12].

Admitindo-se o ponto , ao longo do eixo do feixe gaussiano, tem-se que, este ponto se

transforma no ponto , . Desta forma, o ângulo correspondente ao desvio do feixe em relação

ao seu eixo de propagação, é expresso por

tan tan , (3.60)

como mostra a Figura 3.25.

Considerando os pontos de intersecção do plano de fase que têm as coordenadas e no espaço

transformado, correspondendo estas aos pontos e , como mostra a mudança de variáveis

indicadas por (3.57),

. (3.61)

Figura 3.25 – Relação entre os eixos do feixe e a normal da frente de onda para as coordenadas

espaciais e as respectivas transformações.

A direcção perpendicular à frente de onda, i.e., a direcção do vector de propagação , é então

expressa por

tan . (3.62)

Eixos do feixe

Direcção de

Frente de onda

Eixos do feixe e normal da frente de

onda

Frente de onda


72

Considerando o segmento de recta perpendicular ao vector , , resulta

. (3.63)

Recorrendo às equações (3.62) e (3.60), e tendo em atenção (3.61) e (3.63), resulta

tan tan · . (3.64)

Admitindo agora um ponto na superfície com o vector inclinado por em relação ao eixo dos ,

adquire-se uma elipse , obtida através da multiplicação da superfície de índice normal por ⁄ , que

é descrita por

, (3.65)

como se pode observar na Figura 3.26.

O segmento de recta tangente à elipse, no ponto de intersecção do vector com as componentes

e , é definido por

. (3.66)

Por sua vez, a normal à tangente, paralela à velocidade de grupo, é no ângulo com a tangente

representada por

tan · tan , (3.67)

onde corresponde ao ângulo dos eixos do feixe da equação (3.60). Uma vez que, ao longo da

velocidade de fase se têm os pontos correspondentes ao vector , verifica-se que existe a

mesma relação entre a direcção da velocidade de grupo e a velocidade de fase, assim como a

existente entre o eixo do feixe gaussiano e a normal da frente de onda nos eixos do feixe, como

mostra a expressão (3.64) [12].

Figura 3.26 – Elipse obtida através da superfície de índice normal pela multiplicação de ⁄ .

Velocidade de grupo


73

O feixe gaussiano, expresso por (3.59), quando transformado em coordenadas espaciais , , , não

apresenta simetria cilíndrica. O diâmetro mínimo do feixe, ou cintura do feixe, , no sistema de

coordenadas , , , tendo em atenção (3.59), é expresso por

2, (3.68)

onde, 2⁄ . A cintura do feixe é representada ao longo da frente da fase, como mostra

a Figura 3.27. Quando transformada em coordenadas esta aparece ao longo da frente de onda

transformada como , sendo a sua projecção numa direcção perpendicular ao eixo do feixe,

originando o que se pode designar de raio do feixe gaussiano num meio anisotrópico, .

Considerando as transformações indicadas pelas equações de (3.57), que eliminam os ângulos e

com o auxilio das equações (3.60) e (3.64), resulta

1 tan

1 tan . (3.69)

O raio do feixe na direcção é expresso simplesmente por [12]

. (3.70)

Figura 3.27 – Raio dos feixes nos dois sistemas de coordenadas.

De tal forma, é possível verificar que cintura do feixe em meios anisotrópicos apresenta dimensões

diferentes nas direcções de propagação e , ao contrário do que sucedia na propagação de feixes

ao longo de meios homogéneos, como foi analisado anteriormente.

Após a análise da propagação em cristais uniaxiais, verifica-se que de um modo geral, as simetrias

do cristal originam superfícies de índices mais complicados, nomeadamente de 4ª ordem. Porém, os

feixes paraxiais envolvem componentes que se localizam em torno de uma direcção espacial

particular. Dentro de um ângulo reduzido, qualquer superfície contínua pode ser aproximada por um

cos

sin

Eixos do feixe

sin

cos


74

elipsóide, tendo em conta que é necessário que ambos os raios de curvatura das gaussianas sejam

positivos. De tal forma, é possível a aplicação do estudo efectuado a todos os casos que respeitem

as condições necessárias [12,13].

3.4 Análise de Feixes de Hermite – Gauss Unidimensionais

Após a análise dos ressoadores e dos feixes de ordem superior de Hermite – Gauss é possível retirar

algumas conclusões fulcrais, que permitem uma melhor percepção dos efeitos que estes sofrem

quando se propagam através de alguns meios com características próprias. Nas cavidades ópticas, o

raio de curvatura dos espelhos e a distância entre eles, são os responsáveis pela estabilidade ou

instabilidade destas. Na maioria dos casos recorrem-se a ressoadores estáveis para a construção de

lasers e outros sistemas ópticos, porém, o facto de um ressoador ser instável não significa que este

não tenha utilidade, nem deixe de ser utilizado na prática. Quando se está perante um meio que

apresenta um ganho muito elevado, recorre-se a este tipo de ressoadores, de modo a obter-se

estabilidade.

Em relação aos feixes de Hermite – Gauss, analisando o problema do oscilador harmónico

unidimensional, verifica-se que a partir de uma solução de ordem inferior, que no presente caso

corresponde a um feixe de perfil gaussiano, é possível a obtenção de todas as soluções sucessivas

de ordem superior, recorrendo à aplicação do operador de “subida”. Por cada aplicação deste, a uma

solução de ordem , resulta a solução de ordem superior seguinte, 1, apresentando esta última

mais um extremo que a anterior. Para cada uma das soluções encontra-se associado um polinómio

de Hermite, e um respectivo nível de energia, que correspondem aos diferentes níveis de energia do

oscilador harmónico unidimensional. Tal como acontecia nos feixes gaussianos, o facto dos feixes de

Hermite – Gauss se propagarem em meios lineares, faz com que sejam vítimas da dispersão espacial

característica deste tipo de meios, que origina um alargamento e uma diminuição da intensidade dos

referidos feixes, à medida que a distância axial percorrida por estes vai aumentando.

Quando o feixe óptico deixa de se propagar em meios isotrópicos e passa a faze-lo em meios

anisotrópicos, como por exemplo num cristal uniaxial, é possível verificar que ao longo da sua

propagação segundo o seu eixo óptico, deixará de existir uma superfície com geometria esférica,

correspondente à onda ordinária, e passará a existir uma superfície elíptica, que corresponde à onda

extraordinária. Ambas as superfícies são obtidas através da rotação simétrica em torno do eixo

óptico. Cada uma destas superfícies representa o lugar geométrico dos afixos dos vectores de onda

permitidos pelo meio, originando assim uma separação das componentes constituintes do feixe,

sendo que se propagam segundo direcções diferentes. A análise da propagação dos feixes ópticos

em cristais uniaxiais pode ser generalizada, considerando qualquer direcção de propagação, desde

que se verifiquem as condições necessárias para tal acontecer [13].

Analisada a propagação dos feixes de Hermite – Gauss unidimensionais, através de meios lineares e


75

anisotrópicos, é extremamente interessante verificar qual será o efeito de meios com outras

características, sobre os feixes até agora estudados. Como tal, no capítulo seguinte, inserir-se-ão os

meios não lineares, nos quais se estudará a propagação de feixes gaussianos unidimensionais e

bidimensionais, dos feixes de Hermite – Gauss, e por fim, a propagação de feixes que apenas são

possíveis em meios onde a não – linearidade marca presença, designados de solitões espaciais. Dois

dos aspectos de grande importância na sua evolução, e que por isso também serão abordados

posteriormente, correspondem ao efeito da auto – focagem e da possível ocorrência da indesejável

catástrofe óptica.


76

77

Referências [1] Haus, Hermann A. Waves and Fields in Optoelectronics, Prentice-Hall, 1984. ISBN: 0-13-

946053-5. Chap. 5, “Hermite – Gauss Beams and Their Transformations”.

[2] Kogelnik, H. and Li, T. Laser Beams and Resonators, Applied Optics, Vol. 5, No. 10, 1966, pp.

1550 – 1567.


Vol. 53, No. 3, 1965, pp. 277 – 287.

[4] Hecht, Eugene. Óptica, 2ª Edição, Fundação Calouste Gulbenkian, 2002. ISBN: 972-31-0967-

0. Cap. 13, “Óptica Moderna: Lasers e outros Temas”.

[5] Arnaud, Jacques A. Optical Resonators in the Approximation of Gauss, Proceedings of the

IEEE, Vol. 62, No. 11, 1974, pp. 1561 – 1570.

[6] Paiva, Carlos R. Cavidades Ópticas de Fabry – Perot, Departamento de Engenharia

Electrotécnica e de Computadores, Instituto Superior Técnico, Março 2003.

[7] Siegman, A. E. and Arrathoon Raymond. Modes in Unstable Optical Resonators and Lens

Waveguides, IEEE Journal of Quantum Electronics, Vol. QE-3, No. 4, 1967, pp. 156 – 163.

[8] Paiva, Carlos R. Mecânica Quântica, Departamento de Engenharia Electrotécnica e de

Computadores, Instituto Superior Técnico, Maio 2007.

[9] Liboff, Richard L. Introductory Quantum Mechanics, Addison – Wesley Publishing Company,

1980. ISBN: 0-201-12221-9. Chap. 3, “The Postulates of Quantum Mechanics. Operators,

Eigenfunctions, and Eigenvalues”.


1991. ISBN: 0-471-2-1374-8. Chap. 3, “Beam Optics”.

[11] Paiva, Carlos R. Meios Anisotrópicos, Departamento de Engenharia Electrotécnica e de

Computadores, Instituto Superior Técnico, Junho 2003.

[12] Haus, Hermann A. Waves and Fields in Optoelectronics, Prentice-Hall, 1984. ISBN: 0-13-

946053-5. Chap. 11, “Wave Propagation in Anisotropic Media”.

[13] Cincotti, Gabriella and Ciattoni, Alessandro and Palma, Claudio. Hermite – Gauss Beams in

Uniaxially Anisotropic Crystals, IEEE Journal of Quantum Electronics, Vol. 37, No. 12, 2001,

pp. 1517 – 1524.

78

Capítulo 4

Solitões Espaciais A introdução da não – linearidade na propagação de feixes ópticos influencia a sua evolução ao longo

do seu eixo axial. Na presença de meios não – lineares surge o processo de auto – focagem que

contraria o efeito da dispersão espacial, possibilitando assim a formação de feixes que mantêm as

suas características iniciais enquanto se propagam, ou seja, solitões. Neste capítulo será analisado

este tipo de meios assim como os feixes que nele se propagam.


80

4.1 A Não – Linearidade e os Solitões

Uma das mais interessantes descobertas efectuadas no âmbito da Física – Matemática, durante o

século XX, corresponde à teoria dos solitões. O seu sucesso foi imenso, não apenas pelos resultados

obtidos matematicamente, mas também pelo abrir das portas a um vasto número de novas

aplicações que nasceram com o seu surgimento. Enumerando algumas das novas tecnologias que

surgiram, têm-se as fibras ópticas não – lineares, os lasers de solitões, os cristais fotónicos não –

lineares, entre outras, que vieram revolucionar o mundo da investigação, fornecendo ferramentas

para o estudo de fenómenos complexos. O fenómeno da não – linearidade não apresenta apenas

relevância no domínio da Física e da Matemática, sendo que a sua importância também se alastra

aos ramos da Biologia, Geofísica, e Química, onde cada vez mais os modelos não – lineares

representam um papel importante [1].

A característica mais conhecida na propagação de ondas em meios lineares corresponde a feixes

finitos no espaço, que tendem a ampliar devido aos efeitos de dispersão espacial introduzidos pelo

meio em que evoluem. Estes efeitos são totalmente equivalentes ao alargamento dos impulsos

temporais, durante a sua propagação em meios onde a dispersão cromática marque presença. Este

paradigma pode então ser quebrado através de um dos aspectos mais interessantes da óptica não –

linear [2].

A propagação de feixes em meios não – lineares implica que estes estejam sob novos efeitos,

característicos deste tipo meios, que influenciam de forma visível as características dos feixes,

quando comparadas com as dos meios lineares. Uma das manifestações mais interessantes da não –

linearidade em sistemas físicos é a possibilidade de existência de ondas solitárias, que ocorrem

quando a dispersão (ou difracção) é equilibrada pela não – linearidade. Para descrever a propagação

de feixes no âmbito da óptica não – linear, recorre-se à equação não – linear de Schrödinger (NLS),

que é válida tanto para a propagação de impulsos como de feixes, que correspondem aos casos

temporal e espacial, respectivamente. No presente caso, os impulsos e feixes estão sob o efeito

óptico não – linear de Kerr [3]. Quando a interacção, entre o feixe e o meio não – linear através do

qual este se propaga, é muito forte, pode ser originado um solitão espacial ou um feixe não –

dispersivo [2]. Os solitões espaciais correspondem a feixes ópticos que se propagam em meios não –

lineares, onde não se verifica o efeito da dispersão espacial, ou seja, a sua amplitude e largura

mantêm-se inalteráveis durante a sua propagação. Tal acontece quando a dispersão espacial é

completamente equilibrada pelo efeito de auto – focagem, que surge devido à existência da não –

linearidade, originando assim o solitão espacial.

Após o estudo da propagação de feixes unidimensionais através de meios lineares, realizado nos

capítulos anteriores, no presente capítulo ir-se-á efectuar uma análise aos feixes bidimensionais e,

posteriormente, introduzir-se-ão os meios não – lineares, analisando-se os efeitos inseridos por estes.

Ao contrário dos feixes unidimensionais, abordados no Capítulo 2, os feixes bidimensionais

representam os feixes reais, uma vez que estes apresentam componentes em três direcções, , e

. Desta forma, à medida de a distância axial percorrida pelo feixe aumenta, este é vítima da

Solitões Espaciais

81

dispersão espacial no plano , , propriedade característica dos meios lineares, ao contrário do que

acontecia nos feixes unidimensionais, onde apenas se verificava dispersão no plano .

Posteriormente à análise da propagação de feixes em meios lineares inserem-se os meios não –

lineares. Para se estudar o efeito destes meios na propagação dos feixes, é necessário recorrer à

equação não – linear de Schrödinger. Desta forma, utiliza-se o método numérico SSFM (Split – Step

Fourier Method), com o intuito de resolver esta equação, uma vez que não é possível a sua resolução

analítica. Será então abordada a propagação de feixes gaussianos unidimensionais e bidimensionais,

e de feixes de ordem superior de Hermite – Gauss, em meios não – lineares.

Finalmente, vai investigar-se o caso em que os efeitos da dispersão são totalmente equilibrados pelos

efeitos da não – linearidade, ou seja, vai analisar-se a propagação de solitões espaciais

unidimensionais e bidimensionais. Um dos aspectos de maior importância na análise de solitões

bidimensionais é verificar se existe ou não a ocorrência do fenómeno designado de catástrofe óptica.

Neste caso, ao contrário do que acontece nos solitões unidimensionais, não é possível obter uma

focagem do feixe, devido ao facto desta ocorrer num ponto de instabilidade do equilíbrio entre a auto

– focagem e dispersão espacial. Tal eventualidade, provoca um enorme aumento da intensidade do

feixe que acabará por danificar o meio material em que este se propaga.

4.2 Feixes Gaussianos Bidimensionais

A introdução dos feixes bidimensionais neste capítulo, tem como objectivo facilitar a comparação

entre os resultados obtidos quando estes se propagam em meios lineares e, posteriormente, quando

se introduzem os meios não – lineares.

Para se efectuar uma análise de feixes bidimensionais, tal como ocorria nos feixes unidimensionais,

parte-se de um perfil inicial conhecido , de forma a obter-se o perfil do feixe em , expresso por

, , . Considerando os feixes de perfil gaussiano, tal como sucedeu no Capítulo 2, é possível

resolver o problema analiticamente, utilizando o mesmo método,

, , 0 , Ψ , , , ; Ψ , , , , .

Para este tipo de feixes, o perfil inicial em 0, é expresso por

, exp exp , (4.1)

onde os parâmetros e correspondem às larguras do feixe em 0, i.e., às cinturas do feixe,

nos planos e , respectivamente.

Tal como sucedia anteriormente, devido ao perfil gaussiano apresentado pelo feixe, é possível

efectuar a simulação da sua propagação utilizando dois métodos, um analítico e um numérico.

Decidindo-se pelo primeiro, é possível obter a equação que caracteriza o feixe em , recorrendo à


82

aproximação paraxial. Considerando que , verifica-se que,

, ,0exp 2 , (4.2)

como foi demonstrado na secção 2.3. do Capítulo 2, onde .

O segundo, recorre a um método numérico baseado na FFT (Fast Fourier Transform), que permite

calcular o perfil do feixe na distância . Tal como se verificou no Capítulo 2, as soluções apresentadas

por ambos os métodos são idênticas, desde que se verifique a condição de validade da aproximação

paraxial, , . Como tal, recorrer-se-á ao método numérico para examinar o comportamento

do feixe antes ( 0) e após ( ) a sua propagação, pois este aproxima-se mais da realidade.

Considerando que , verifica-se que, em 0, o feixe apresenta a mesma largura no

plano e no plano , como mostra a Figura 4.1a, sendo a sua amplitude no plano , representada

como uma circunferência, como é possível verificar na Figura 4.2a. Tratando-se de feixes

bidimensionais, seriam necessárias quatro dimensões para representar a sua evolução espacial à

medida que a distância axial aumenta. Como tal, apenas se representa o feixe em várias distâncias

axiais. Analisando a Figura 4.1, verifica-se que o feixe vai ser vítima da dispersão espacial,

aumentando de largura e diminuindo de intensidade, como se verificou na análise dos feixes

unidimensionais. Tratando-se de um feixe de perfil gaussiano, à medida que este vai evoluindo ao

longo do seu eixo axial conserva o seu perfil, pois a sua transformada de Fourier apresenta perfil

gaussiano.

No que respeita à amplitude, esta apresenta o seu máximo em 0, 0 e 0, decrescendo

monotonamente com uma forma gaussiana com o aumento de | | e | |. De tal forma, analisando a

Figura 4.2, verifica-se que à medida que o feixe percorre o seu eixo de propagação , a sua amplitude

continua a apresentar uma forma circular no plano , , sendo que devido ao efeito da dispersão

espacial esta apresenta um valor menor, assim como vai estar mais dispersa quando se compara

com o feixe em 0.

Em relação à largura do feixe no plano e no plano , e , respectivamente, aumenta com a

distância axial de igual forma, desde os seus valores iniciais e . Como tal, com o evoluir da

distância axial, o feixe irá apresentar sempre a mesma largura em ambos os planos, como mostra a

Figura 4.2.

Manipulando agora a fonte de emissão do feixe, de forma que este, em 0, apresente diferentes

larguras no plano e no plano , i.e., , obtêm-se resultados interessantes. Como será

observado de seguida, esta situação irá afectar a evolução do feixe.

A Figura 4.3a representa o perfil inicial da intensidade óptica do feixe, em 0, onde, embora a

largura nos planos e seja diferente, o feixe apresenta um perfil gaussiano. Analisando a Figura

4.4a, verifica-se que inicialmente o feixe apresenta uma maior largura no plano , sendo mais estreito

no plano .

Solitões Espaciais

83


propagação . (a) 0, (b) 5, (c) 10 e (d) 15 (valores normalizados).

Como acontece no caso anterior, à medida que o feixe percorre o seu eixo de propagação , verifica-

se que a sua largura vai aumentar, em ambos os planos, a partir dos seus valores iniciais e .

Em relação à sua intensidade, cujo valor máximo se localiza em 0, 0 e 0, verifica-se que

esta vai diminuir com o aumento das distâncias | | e | |, e da distância axial. Ao observar-se a Figura

4.3b, conclui-se que o feixe após ter percorrido o seu eixo axial, em 5, apresenta uma dispersão

superior, como seria de esperar. Porém, nesta posição, largura do feixe é superior no plano , ao

contrário do que ocorria anteriormente, em 0. Contudo, tal como ocorre no caso em que o feixe

inicial apresenta a mesma largura em ambos os planos, este vai manter o seu perfil gaussiano em

5.

O alargamento verificado por parte da dispersão espacial deve-se ao facto, de um feixe inicial mais

largo, apresentar uma transformada de Fourier com um espectro mais estreito. Desta forma, quando

se lhe introduz a dispersão espacial, a diferença entre o seu valor máximo e o valor máximo do feixe

é menor, do que no caso de se estar na presença de um feixe mais estreito, cujo espectro

correspondente é mais largo, e apresenta um valor máximo menor. De tal modo, o efeito da dispersão

espacial, tem maior impacto em feixes mais estreitos, como se pode ver quando se compara o feixe

em 0 e 5, como ilustra a Figura 4.4.

(b)

0 5

10

-5 -10

0

-10

10

-5

5

0

0.1

0.15

0.05

Plano Plano

Am

plitu

de

(a)

0 5

10

-5 -10

0

-10

10

-5

5

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Plano Plano

Am

plitu

de

(d)

0 5

10

-5 -10

0

-10

10

-5

5

0.06

0

0.02

0.04

Plano Plano

Am

plitu

de

(c)

0 5

10

-5 -10

0

-10

10

-5

5

0

0.02

0.04

0.06

0.08

Plano Plano

Am

plitu

de


84


seu eixo de propagação . (a) 0, (b) 5, (c) 10 e (d) 15 (valores normalizados).


propagação . (a) 0 e (b) 5 (valores normalizados).

(a)

0 5

10

-5 -10

0

-10

10

-5

5

Plano Plano

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Am

plitu

de

0.1

(b)

0 5

10

-5 -10

0

-10

10

-5

5

0.15

0

0.05

Am

plitu

de

Plano Plano

0 5 -5 10 -10 Plano

0

5

-5

10

-10

Pla

no

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Am

plitude

(a) (b)

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

Am

plitude

0 5 -5 10 -10 Plano

0

5

-5

10

-10

Pla

no

Plano

Pla

no

0 5 -5 10 -10

0

5

-5

10

-10 0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

Am

plitude

(c)

Pla

no

Plano

0

5

-5

10

-10 0 5 -5 10 -10

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

Am

plitude

(d)

Solitões Espaciais

85


seu eixo de propagação . (a) 0 e (b) 5 (valores normalizados).

4.3 Propagação em Meios Não – Lineares

O problema da dispersão espacial, verificada anteriormente, deve-se ao facto de os feixes analisados

se propagarem em meios lineares. Este tipo de meio provoca uma dispersão dos feixes, dificultando

dessa forma uma recuperação dos mesmos no fim da sua propagação. A inserção de meios não –

lineares permite ultrapassar o problema da dispersão espacial, i.e., para se combater o problema em

questão os feixes devem propagar-se em meios não – lineares.

Uma das mais interessantes manifestações da não – linearidade, quando se analisam sistemas

físicos, é a existência de ondas solitárias, que ocorrem quando a sua dispersão é equilibrada pelo

efeito da auto – focagem. Este tipo de ondas será analisado numa secção posterior. Como tal, na

propagação não – linear, a equação fundamental que descreve as ondas solitárias espaciais em

meios com não – linearidade de Kerr, designa-se de equação não – linear de Schrödinger (NLS),

sendo também esta válida para o caso temporal, onde se estuda a propagação de impulsos, que não

será abordado neste trabalho [3,4].

Este tipo de meios apresenta a curiosidade de o seu índice de refracão depender do feixe que neles

se propaga, i.e., da sua intensidade óptica, dando-se origem a um processo designado de auto –

focagem, o qual contraria os efeitos inseridos pela dispersão espacial [4].

4.3.1 Efeito Não – Linear de Kerr

Na presença de um meio linear, a constante de propagação longitudinal , para um feixe

unidimensional, evolui em função da sua constante de propagação transversal [5], sendo dessa

forma expressa por

(a)

0 5 -5 10 -10

0

5

-5

10

-10

Pla

no

Plano

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Am

plitude P

lano

A

mplitude

(b)

0 5 -5 10 -10

0

5

-5

10

-10

Plano

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16


86

1 . (4.3)

Porém, quando se está na presença de meios não – lineares, a constante de propagação longitudinal

passa a apresentar na sua composição uma perturbação, introduzida pelo efeito não – linear de Kerr

[4,6]. Desta forma, a nova constante de propagação é expressa por

∆ , (4.4)

onde, a perturbação ∆ , é representada por

∆ , . (4.5)

O parâmetro , corresponde potência transportada, sendo o parâmetro expresso por

2, (4.6)

onde, representa a área efectiva e uma constante característica do meio.

A área efectiva é dada por

,,

. (4.7)

Considerando a aproximação gaussiana, expressa por

exp , (4.8)

verifica-se, assim, recorrendo à equação (4.7), que a área efectiva apresenta a forma

2 . (4.9)

Substituindo o resultado da equação (4.9), na equação (4.6), obtém-se

. (4.10)

Considerando um conjunto de normalizações, em que , pode fazer-se corresponder

| , | à potência transportada , [6], onde, de acordo com a equação (4.5), se obtém

∆ | , | . (4.11)

Por outro lado, a potência transportada é expressa por

, exp , (4.12)

onde o coeficiente corresponde à atenuação do meio no qual o feixe se propaga.

No que respeita à fase não – linear originada pelo efeito de Kerr, é expressa por

∆ , , (4.13)

Solitões Espaciais

87

existindo assim uma variação da fase ao longo do plano , que pode ser designada de auto –

focagem.

Como demonstra o Anexo C.1, verifica-se que a equação (4.4) pode ser reescrita na forma

12 , (4.14)

representando a constante de propagação longitudinal em meios não – lineares.

Analisando a equação (4.14), conclui-se que o parâmetro que expressa a divergência da velocidade

de grupo, e por consequência a dispersão do feixe [5], é expresso por

12 . (4.15)

4.3.2 Equação Não – Linear de Schrödinger

Na presença de meios não – lineares e devido ao efeito óptico não – linear de Kerr, a propagação de

feixes é realizada em RNLD (Regime Não – Linear Dispersivo), sendo esta orientada por dois

processos, pela DVG (Divergence Velocity Group) e pela auto – focagem, existindo também outros

efeitos de ordem superior. Quando se verifica um equilíbrio entre os dois processos indicados, a DVG

e a auto – focagem, o feixe propaga-se sem sofrer alteração, i.e., a sua forma e amplitude mantêm-se

constantes, desde que se despreze o efeito das perdas inseridas pelo meio [4,6].

A NLS permite descrever um enorme número de sistemas físicos não – lineares. Como tal, é possível

estudar a propagação de feixes em meios que não apresentam linearidade, conjugando os dois

efeitos referidos ao longo da sua evolução.

Tal como se verificou anteriormente, quando se considerou a propagação de feixes em regime linear,

tem-se

, 0, , , (4.16)

onde a função , é definida por

, exp exp 2 , (4.17)

correspondendo o parâmetro à constante de propagação longitudinal num meio não – linear

que é expressa pela equação (C.1.1), e à constante de atenuação da potência, do meio onde o

feixe se propaga.

Tendo em atenção o desenvolvimento da equação (C.1.1), i.e., da série de Taylor, como mostra a

equação (C.1.4), e efectuando a respectiva substituição na equação (4.17) resulta

, exp12 exp 2 . (4.18)

Para a análise em questão, são desprezáveis os termos de ordem 3.

Transita-se agora da linearidade para a não – linearidade, e admite-se que perturbação introduzida


88

pelo efeito óptico de Kerr não tem qualquer influência na função modal , expressa pela equação

(4.8).

Introduzindo uma amplitude,

, ; 0, , ; , (4.19)

onde a função , ; é representada por

, ; 0, exp Δ , , (4.20)

obtém-se, de acordo com a equação (4.5),

, ; , exp P , . (4.21)

Aplicando a regra de Leibniz, e tendo em atenção que , | , | , como se verifica

comparando as equações (4.5) e (4.11), resulta

| , | | , | . (4.22)

Tratando-se da variação espacial do feixe, e desprezando-se a constante de atenuação e os termos

de ordem superior a 2, pode escrever-se

12

| | . (4.23)

Recorrendo às variáveis normalizadas , , expressas por,

, (4.24)

com o espaço de dispersão espacial dado por

| |, (4.25)

e,

, (4.26)

resulta, tendo em atenção a equação (4.23),

12

| |Γ2 , (4.27)

onde

Γ . (4.28)

Introduz-se agora uma nova amplitude normalizada (adimensional) , , expressa por

Solitões Espaciais

89

,,

, (4.29)

onde representa a potência máxima do feixe. Considerando esta nova amplitude, pode reescrever-

se a equação (4.27) como

12

| |Γ2 , (4.30)

onde

, (4.31)

e onde o espaço não – linear é expresso por

1. (4.32)

O parâmetro é dado pela expressão

2| | , (4.33)

não correspondendo necessariamente a um número inteiro. Considerando a aproximação gaussiana

expressa pela equação (4.8), e a respectiva área efectiva cujo valor é dado pela equação (4.9), o

parâmetro pode ser reescrito na forma

| |. (4.34)

Reintroduzindo, novamente, uma amplitude normalizada , , representada por

, , , (4.35)

é possível reescrever a equação (4.30), na forma

12

| |Γ2 . (4.36)

Desprezando-se as perdas, i.e., de acordo com a equação (4.28), Γ 0, é possível, através da

equação (4.36), obter a forma canónica da equação não – linear de Schrödinger,

12

| | 0. (4.37)

Caso se considerasse, na equação (C.1.1), o termo de ordem 3, apareceria em (4.36), à direita

do sinal de igual, o correspondente termo ⁄ . Nesse caso, para que a equação não – linear

de Schrödinger se verifique, deve-se também desprezar a dispersão de ordem superior, 0 [6].

Tendo em atenção a equação (4.15), verifica-se que 1, logo, é possível reescrever a


90

NLS como

12

| | 0. (4.38)

É de notar que, a NLS demonstrada refere-se ao caso espacial, i.e., à propagação de feixes que

apresentam uma dispersão espacial, sendo também aplicável para o caso temporal, que corresponde

à propagação de impulsos, desde que se efectuem as respectivas correspondências entre grandezas

espaciais e temporais.

4.3.3 Evolução de Feixes em Meios Não – Lineares

Como foi referido anteriormente, na propagação de feixes em meios não – lineares estes estão sob o

efeito de dois processos característicos do meio, um primeiro, designado de dispersão espacial, e um

segundo, designado de não – linearidade. Como tal, a propagação de feixes em meios onde a não –

linearidade marca presença é regida pela NLS analisada na secção anterior. Para investigar a

propagação neste tipo de meios, recorre-se a um método numérico designado de SSFM (Split – Step

Fourier Method), cuja explicação se encontra, de uma forma mais aprofundada, no Anexo C.2.

Na presente secção, serão analisadas as propagações de feixes gaussianos unidimensionais e

bidimensionais, assim como a evolução de feixes de ordem superior de Hermite – Gauss, em meios

não – lineares, com o intuito de estudar a sua influência nos referidos feixes.

4.3.3.1 Feixe Gaussiano Unidimensional

Analisa-se agora a evolução de um feixe de secção transversal gaussiana. Contrariamente ao que foi

observado na evolução de feixes gaussianos em meios lineares, Capítulo 2, verifica-se que quando

estes feixes se propagam em meios não – lineares, a diminuição da sua amplitude e o aumento da

sua largura não vão ser tão notórios, com o percorrer do eixo de propagação, como se pode verificar

na Figura 4.5.

Para distâncias axiais curtas não é possível verificar de uma forma clara o efeito dos meios não –

lineares, Figura 4.6a, porém quando se consideram distâncias axiais superiores, Figura 4.6b, verifica-

se que à medida que o feixe se propaga, a sua amplitude vai oscilando, assim como a sua largura,

como é possível observar através da Figura 4.7. A explicação para o sucedido é o facto de, ao inserir-

se um feixe gaussiano num meio não – linear, este irá encontrar-se sob os dois efeitos característicos

destes meios, a dispersão e a não – linearidade. O efeito da dispersão espacial obriga o feixe a

alargar, e por consequência, a diminuir a sua amplitude enquanto a auto – focagem, processo

proveniente da não – linearidade, submete o feixe a um estreitamento, e consequentemente, a um

aumento de amplitude [7]. Deste modo, o feixe oscila ao longo da sua propagação, perdendo energia,

e convergindo de tal forma para o solitão de 1ª ordem, ou seja, o solitão fundamental, no qual os dois

processos referidos se encontram em equilíbrio.

As perdas de energia verificadas devem ser absorvidas pelo meio envolvente, porém, caso tal

Solitões Espaciais

91

eventualidade não se verifique, i.e., a energia perdida durante a propagação do feixe não seja

absorvida, faz com que esta seja reflectida pelo meio, interferindo com a propagação do feixe, e

originando assim as oscilações visíveis na Figura 4.6b, quando a distância axial apresenta valores na

ordem de 80. Neste caso, as oscilações provenientes dos efeitos característicos do meio

apresentam uma menor relevância, pois estão mais próximos do equilíbrio mútuo, ou seja, está-se

mais perto do solitão fundamental. Contrariamente, as oscilações provocadas pela interferência da

energia que não foi absorvida apresentam dimensões cada vez maiores, devido ao facto de as

perdas se irem acumulando, originando assim uma maior quantidade de energia reflectida.

Figura 4.5 – Feixe gaussiano unidimensional após propagação num meio não – linear. (a) 5 e (b)


Figura 4.6 – Evolução de um feixe de perfil gaussiano unidimensional num meio não - linear. (a) 5

e (b) 80 (valores normalizados).

0 10 20

30

-10 -20 -30 Plano

0.2

1

0

0.4 0.6 0.8

Am

plitu

de

0 1

2 3

4 5

Distância

(a)

0 10

20

-10 -20

Plano 0

20

40

60

80

Distância

0.2

1

0

0.4 0.6

0.8

Am

plitu

de

(b)

(b)

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Am

plitu

de

0 5 10 15 -15 -10 -5 Plano

Feixe inicial Feixe final

Plano

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Am

plitu

de

0 5 10 15 -15 -10 -5

(a)



92

Figura 4.7 – Evolução da intensidade e da largura de um feixe gaussiano unidimensional num meio

não – linear. (a) 5 e (b) 80 (valores normalizados).

4.3.3.2 Feixe Gaussiano Bidimensional

Nesta secção procede-se à análise da propagação de um feixe gaussiano bidimensional através de

um meio não – linear. Como se pode verificar com a análise da Figura 4.8, o resultado obtido está

longe de ser semelhante ao verificado anteriormente, onde se analisou a propagação de feixes

gaussianos unidimensionais neste tipo de meios. No presente caso, o feixe não tenderá para o solitão

fundamental com o evoluir da distância axial , mas sim para a indesejável catástrofe óptica, i.e., vai

estreitar e aumentar de amplitude, de tal forma que acaba por destruir o meio material em que se

propaga, pois atinge uma amplitude extremamente elevada. Isto deve-se ao facto da propagação do

feixe ser efectuada num meio onde estão presentes os efeitos da dispersão e da auto – focagem. Ao

contrário do que sucede no feixe unidimensional, o equilíbrio entre ambos os efeitos não é possível,

pois o processo de focagem ocorre numa zona instável, o que origina o resultado observado. Em

5, Figura 4.8b, o efeito da auto – focagem sobrepõe-se ao da dispersão espacial, obrigando o

feixe a estreitar consideravelmente e, por consequência, a aumentar a amplitude, com o intuito de

manter constante a energia contida no feixe, Figura 4.9b. Nas Figuras 4.8c e 4.8d, para 10 e

15, respectivamente, a dispersão vai tentar compensar o efeito da auto – focagem, sobrepondo-

se a este último. Como resultado, o feixe vai alargar um pouco, e por consequência diminuir de

amplitude, conservando o seu valor energético, como representam as Figuras 4.9c e 4.9d. Porém, o

efeito da dispersão não é suficiente para compensar o efeito total da auto – focagem, logo não é

possível recuperar novamente o feixe inicial. Embora a evolução do feixe, ilustrada nas Figuras 4.8 e

4.9, mostre que após o pico de amplitude, esta vai diminuindo e o feixe vai alargando, aproximando-

se do feixe inicial, este nunca chega a apresentar as propriedades do feixe inicial, acabando por

tender para catástrofe óptica com o aumento de .

A largura do feixe inicial apresenta um grande interesse neste caso, pois tem um papel fundamental

no que respeita à sua tendência para a catástrofe óptica. Caso se considere a propagação do feixe

0 5 -5 10 -10 Plano

Dis

tânc

ia

3.5

4.5

2.5

0.5

0

1

1.5

2

3

4

5

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Am

plitude

(a)

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1A

mplitude

0 5 -5 10 -10 Plano

Dis

tânc

ia

0

10

20

30

40

50

60

70

80

(b)

Solitões Espaciais

93

inicial representado na Figura 4.1a através de um meio não – linear, i.e., um feixe que apresenta uma

largura inicial muito estreita, o resultado obtido não será o verificado nesta secção. Nesse caso o

resultado será de certa forma semelhante ao obtido no caso linear, pois o feixe vai alargar e diminuir

de intensidade acabando por se extinguir ao fim de um certo espaço. Este resultado deve-se ao efeito

característico da dispersão espacial apresentar um maior impacto em feixes mais estreitos. Para

feixes mais largos, quanto maior for a largura apresentada pelo feixe na fonte, mais rapidamente este

tenderá para a catástrofe óptica, à medida que a sua distância à fonte aumenta. Em ambos os casos,

a solução obtida para a NLS apresenta um resultado instável, não sendo por isso verificado o

equilíbrio entre os efeitos da dispersão espacial e da auto – focagem. A NLS apresenta-se assim

como uma equação que mostra uma grande sensibilidade, no que respeita às propriedades do feixe

inicial, sendo que, tanto a sua largura como a intensidade na origem contribuem para a instabilidade

desta solução. Deve, por isso, ter-se uma atenção especial no dimensionamento do feixe

bidimensional, que se pretende utilizar, evitando assim a sua extinção ou a sua tendência para a

catástrofe óptica.

Figura 4.8 – Evolução de um feixe de perfil gaussiano bidimensional num meio não – linear. (a) 0,

(b) 5, (c) 10 e (d) 15 (valores normalizados).

0 5

10

-10 -5 Plano 0

5 10

-10 -5 Plano

(a)

0.4

1

0

0.2

0.6

0.8

Am

plitu

de

1

0

0.5

1.5

2

Am

plitu

de

0 5

10

-10 -5 Plano 0

5 10

-10 -5 Plano

(b)

0 5

10

-10 -5 Plano 0

5 10

-10 -5 Plano

(d)

Am

plitu

de

0.4

1

0 0.2

0.6 0.8

1.2 1.4

1

0

0.5

1.5

Am

plitu

de

0 5

10

-10 -5 Plano 0

5 10

-10 -5 Plano

(c)


94

4.3.3.3 Feixes de Hermite – Gauss

Após o estudo da propagação dos feixes de Hermite – Gauss em meios lineares, realizado no

Capítulo 3, efectua-se agora uma análise aos mesmos quando se propagam em meios não –

lineares. No que respeita aos feixes de Hermite – Gauss de 1ª ordem, é possível verificar que

correspondem aos feixes gaussianos analisados. Como tal, a sua propagação em meios não –

lineares é igual à dos referidos anteriormente. Observando a Figura 4.10 é possível verificar-se que

ao contrario do que ocorria nos meios lineares, o feixe vai propagar-se mantendo aproximadamente a

sua largura e amplitude iniciais.

As oscilações verificadas nas Figuras 4.11 e 4.12, devem-se ao facto de o feixe estar sujeito ao

processo de auto – focagem e à dispersão espacial características do meio, sendo que o primeiro

obriga o feixe a diminuir a sua largura e a aumentar a sua amplitude, enquanto o segundo faz com

que a largura do feixe aumente e, por consequência, a sua amplitude diminua. Neste caso também

existe perda de energia à medida que o feixe se propaga, não ocorrendo uma absorção da mesma

por parte do meio, como no caso dos feixes gaussianos. Logo, a energia perdida irá ser reflectida

interferindo na propagação do respectivo feixe.

Figura 4.9 – Evolução da intensidade e da largura de um feixe gaussiano bidimensional num meio

não – linear. (a) 0, (b) 5, (c) 10 e (d) 15 (valores normalizados).

0

5

-5

10

-10

Pla

no

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Am

plitude

0 5 -5 10 -10 Plano (a)

Am

plitude

0

5

-5

10

-10

Pla

no

0 5 -5 10 -10 Plano (b)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

2.2

0 5 -5 10 -10 Plano (c)

0

5

-5

10

-10

Pla

no

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

Am

plitude

1.8

0 5 -5 10 -10 Plano (d)

0

5

-5

10

-10

Pla

no

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Am

plitude

Solitões Espaciais

95


5 e (b) 80 (valores normalizados).




meio não – linear. (a) 5 e (b) 80 (valores normalizados).

0 5 -5 10 -10 Plano

Dis

tânc

ia

3.5

4.5

2.5

0.5

0

1

1.5

2

3

4

5

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Am

plitude

(a)

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Am

plitude

0 5 -5 10 -10 Plano

Dis

tânc

ia

0

10

20

30

40

50

60

70

80

(b)

0 10 20

30

-10 -20 -30 Plano

0.2

1

0

0.4 0.6 0.8

Am

plitu

de

0 1

2 3

4 5

Distância

(a) (b) 0

20

40

60

80

Distância

0.2

1

0

0.4 0.6

0.8

Am

plitu

de

0 10

20

-10 -20

Plano

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1 A

mpl

itude

0 5 10 15 -15 -10 -5 Plano

(a)


0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Am

plitu

de

0 5 10 15 -15 -10 -5 Plano

(b)



96

Analisa-se agora a propagação do feixe de Hermite – Gauss de 2ª ordem num meio não – linear.

Como ocorria no caso do meio linear, verifica-se que este feixe apresenta a sua intensidade máxima

em 0, mas não em 0, e que à medida que este se propaga a amplitude máxima vai-se

afastando em relação ao centro, 0, como é possível observar nas Figuras 4.13 e 4.14.

Comparando as propagações nos diferentes meios, verifica-se que, como é característico dos meios

não – lineares, o feixe vai mantendo aproximadamente o valor da sua amplitude, assim como a sua

largura, devido ao efeito conjunto da não – linearidade e da dispersão. Desta forma, cada um dos

picos de amplitude tende para a amplitude do solitão fundamental. A Figura 4.15 permite verificar a

manutenção destas características do feixe, e a oscilação das mesmas. No que respeita às perdas de

energia, estas também se verificam no presente caso, sendo visível a sua interferência, de uma forma

reduzida, na Figura 4.13b, para 20. Porém, se se considerar uma distância axial superior, os

valores de energia perdida seriam maiores, e como tal, a sua interferência na propagação do feixe

também seria mais acentuada, originando uma maior oscilação do mesmo.





0

1

2 3

4 5

Distância

0

0.5

1

Am

plitu

de

0 20

40

-20 -40

Plano

(a)

Plano 0

10 20

-10 -20 0

20

15

10

5 Distância

Am

plitu

de

0.4 0.6 0.8

0.2

1 1.2

(b)

(a)

0 5 10 15 -15 -10 -5 Plano

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Am

plitu

de

1.2 Feixe inicial Feixe final

Plano 0 5 10 15 -15 -10 -5 20 -20

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Am

plitu

de

1.2

(b)


Solitões Espaciais

97



No que respeita aos feixes de Hermite – Gauss de 3ª ordem, é possível verificar um aspecto

interessante durante a propagação destes. Ao contrário do que ocorre quando o feixe se propaga

num meio linear, onde os três picos de intensidade iniciais tendem para um único pico central que vai

aumentando de largura, e respectivamente diminuindo de amplitude, na presença de um meio não –

linear já não se verificar a mesma situação. Como mostra a Figura 4.16, os três picos de intensidade

dão origem a dois, que não decrescem monotonamente, pois como é possível verificar a interferência

faz-se sentir de forma muito mais intensa, quando comparada com as situações anteriores,

originando oscilações na amplitude transversal do feixe.

Contrariamente aos feixes de Hermite – Gauss de ordens inferiores, verifica-se analisando as Figuras

4.17 e 4.18, que o feixe não mantém aproximadamente constantes a sua largura e, por

consequência, a sua amplitude ao longo da sua propagação. Os dois picos de amplitude resultantes

vão colidindo entre sim de forma periódica, dando origem a um único pico de amplitude, cujo valor

corresponde à soma das amplitudes destes. Como consequência, quando se verificam as referidas

colisões, o feixe atinge a sua largura mínima.

Neste caso também ocorrem perdas de energia. Como se pode observar facilmente na Figura 4.17b,

as interferências da energia perdida vão fazer-se sentir com maior intensidade no intervalo de 50

até 70, cessando assim as colisões em 80. A partir deste valor o feixe propaga-se com dois

picos de intensidade que mantêm a sua largura e amplitude aproximadamente constantes, devido a

estes estarem sob o efeito da auto – focagem e da dispersão espacial, como expõe a Figura 4.18b. É

de notar que, o pico da esquerda apresenta uma maior amplitude e uma menor largura que o pico da

direita, devendo-se tal acontecimento à interferência de que o feixe foi vítima.

A grande interferência verificada na Figura 4.17b, deve-se ao caso de a distância axial, percorrida

pelo feixe, ser superior à verificada na Figura 4.17a. O facto de existirem inicialmente três picos de

intensidade, com valores superiores aos feixes de ordem inferior, dá origem a perdas de energia

15 -5 Plano

0 5 10 -10 20 -15 -20 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Am

plitude

4

8

16

14

12

0

20

2

6

10

18

Dis

tânc

ia

(b)Plano

0 -5 5 10 -10 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Am

plitude

1

2

3

4

0

5

0.5

1.5

2.5

3.5

4.5

Dis

tânc

ia

(a)


98

superiores, logo ocorrerão mais reflexões desta por parte do meio e, por consequência, uma maior

interferência na propagação do feixe.







3.5

4.5

2.5

1.5

0.5

0

1

2

3

4

5

10 0 5 Plano

-5 -10

80

0

60

40

20

100

120

Dis

tânc

ia

Am

plitude

(b)

0 5 10 15 -5 -10 -15 Plano

3.5

4.5

2.5

1.5

0.5

0

1

2

3

4

5

0

1

2

3

4

5

0.5

1.5

2.5

3.5

4.5

Dis

tânc

ia

Am

plitude

(a)

Plano 0

10

-10 -5

5

1

4

0

2

3

5

Am

plitu

de

0 20

40 60

80

120 100

Distância

(b) 0

1

2

3

4 5

Distância 0

10 20

-10 -20

Plano

2

0

4

Am

plitu

de

(a)

(a)

0 5 10 15 -15 -10 -5 Plano

0

0.5

1

1.5

2

Am

plitu

de


(b)

0 5 10 15 -15 -10 -5 Plano

0

0.5

1

1.5

2

Am

plitu

de


Solitões Espaciais

99

4.4 Solitões Ópticos Espaciais

Os solitões espaciais pertencem ao grupo dos feixes ópticos, e apresentam a propriedade particular

de não sofrerem alteração das suas características, nomeadamente, da sua largura e amplitude, que

se mantêm invariantes à medida que o feixe se propaga [8]. Para que a evolução de ondas solitárias

seja possível, é necessário que no meio em que estas se propagam, esteja presente o efeito da não –

linearidade e o efeito da linearidade. A estabilidade é um dos pontos – chave no que respeita ao

estudo dos solitões ópticos espaciais, e como tal, a NLS, equação responsável pela propagação de

feixes em meios não – lineares, apresenta uma solução estável. Este fenómeno deve-se ao facto de

existir um perfeito equilíbrio entre os efeitos da dispersão espacial e auto – focagem, provenientes da

linearidade e da não – linearidade, respectivamente [4,7,8,9], como elucida a Figura 4.19. Desta

forma, os solitões manifestam-se numa enorme variedade de sistemas de ondas ou partículas

presentes na natureza, desde que os respectivos sistemas possuam as características anteriormente

enunciadas. No âmbito da óptica, é possível identificar os solitões em plasmas, fluidos, matéria

condensada, partículas físicas, redes cristalinas, entre outros. Com o decorrer do tempo, a

investigação deste tem-se direccionado cada vez mais para a área da óptica [2].

Figura 4.19 – Esquemático representativo dos perfis dos feixes (linha a cheio) e das frentes de fase

(linha a tracejado) para (a) auto – focagem do feixe, (b) dispersão espacial do feixe e, (c) propagação

do solitão espacial.

É possível caracterizar os solitões de duas formas, consoante a zona de dispersão em que o feixe se

propaga. Como tal, na zona de dispersão anómala, os efeitos da DVG e da auto – focagem

apresentam uma acção adversa [10], sendo que, quando o termo responsável pela divergência da

velocidade de grupo apresenta um valor negativo, é possível a propagação de solitões de primeira

ordem, i.e., do solitão fundamental, cuja forma é conservada ao longo da sua propagação [4,11].

Estes solitões designam-se de solitões claros (bright solitons) ou somente solitões. Por sua vez, na

zona de dispersão normal, onde a divergência da velocidade de grupo apresenta um valor

positivo, apenas se propagam solitões escuros (dark solitons) ou topológicos [6]. Ao contrário do que

acontece nos solitões claros, os solitões escuros vão sofrer um processo de auto – desfocagem

quando se propagam em meios não – lineares, pois as ondas planas apresentam instabilidade neste

tipo de meios e como tal podem desintegrar-se em solitões (existindo obviamente um equilíbrio entre

Auto – focagem

Dispersão Espacial

Solitão Espacial

(a)

(b)

(c)


100

a dispersão e a auto – focagem) [11]. Quando representados, estes podem ser vistos como um

“buraco” negro num fundo brilhante, ou mais precisamente, como uma linha escura de largura finita

ao longo do seu eixo de propagação [2]. No presente trabalho apenas têm interesse os solitões

claros, logo, apenas estes serão analisados posteriormente.

Os solitões espaciais fazem parte da mesma família que os solitões temporais. Como tal, de uma

forma totalmente análoga, a forma do solitão temporal é obtida quando a dispersão da velocidade de

grupo é completamente contrariada pelo processo de auto – focagem temporal ou pelos efeitos da

auto – modulação de fase [2].

4.4.1 Definição do Solitão Espacial

Como tal, na propagação em meios não – lineares é interessante analisar as soluções que a NLS

admite. Uma vez que se pretende estudar a propagação de solitões claros, vai efectuar-se apenas

uma análise à zona de dispersão anómala, i.e., quando 0. Para este caso a NLS é expressa

pela equação (4.38).

Para encontrar as soluções válidas para a equação (4.38), recorre-se a um método usual, que tem

em consideração a equação cnoidal, cuja demonstração se encontra representada no Anexo C.3. A

equação cnoidal expressa por

0, (4.39)

apresenta soluções periódicas, que podem ser analisadas com maior detalhe em [6], assim como

uma solução do tipo onda solitária. Esta última é única que apresenta interesse e, como tal, será

nesta que irá incidir a análise seguinte. Desta forma, atenta-se a esta solução particular da equação

cnoidal, que é expressa pela função , representada por

sech . (4.40)

Tendo em atenção as relações expressas por

tanh 1 sech , (4.41)

sech sech tanh , (4.42)

tanh sech , (4.43)

e aplicando-as à equação (4.40), verifica-se que esta representa uma solução da equação (4.39),

sendo que, para tal é necessário verificar que

√2 , (4.44)

e, 1. (4.45)

Solitões Espaciais

101

Uma vez que se deve verificar-se a condição 0, facilmente se verifica que substituindo 1 na

equação (4.44), a referida condição é verificada. Consequentemente, a equação (4.40) pode ser

reescrita na forma

√2 sech . (4.46)

Tendo em consideração uma mudança de variável, igual à utilizada na demonstração da equação

cnoidal,

√2 , (4.47)

pode reescrever-se a equação (4.46), na forma

√2 sech √2 , (4.48)

onde foi introduzido a constante , de forma que

√2 . (4.49)

Conclui-se então que a solução apresentada pela equação (C.3.2), no Anexo C.3, é dada por

, sech exp 2 , (4.50)

onde foi introduzido o coeficiente

√2 . (4.51)

O parâmetro representa, conjuntamente, a amplitude e a largura do feixe, enquanto o parâmetro

define o centro do feixe em relação a 0. No que respeita ao parâmetro , este é responsável

pelo estabelecimento da fase para 0. Por fim, o parâmetro representa o desvio normalizado

da constante de propagação no plano em relação à constante de propagação na origem , sendo

representado por

Λ . (4.52)

De forma a simplificar a equação (4.50), é possível fazer 0, resultando facilmente

, sech exp 2 . (4.53)

Observando a solução imposta pela equação (4.53), verifica-se que se trata de uma onda solitária,

pois esta propaga-se sem se deformar e apresenta uma envolvente localizada [6], i.e.,

| , | sech , (4.54)

sendo apenas uma função de , não dependendo do ponto . Quando o parâmetro tende para

infinito, a equação (4.54) vai apresentar um valor nulo.

As equações (4.50) e (4.53) representam o solitão fundamental. Substituindo 1 e 0 na

equação (4.53), obtém-se a sua forma canónica, expressa por

, sech exp 2 . (4.55)


102

Conclui-se assim, recorrendo à IST, que qualquer feixe incidente expresso por

0, , (4.56)

e que apresente a configuração

sech , (4.57)

onde o parâmetro corresponde a um número inteiro, caracteriza a propagação de um solitão de

ordem . Ao contrário do que ocorre no solitão fundamental com 1, todos os solitões com 2

não mantêm a sua forma como na equação (4.54). Os solitões de ordem superior, apresentam uma

evolução periódica, com período 2⁄ , cujo valor desnormalizado corresponde a

2 2 | |. (4.58)

4.4.2 Evolução dos Solitões Espaciais

Encontrada a solução correspondente ao solitão fundamental, recorre-se novamente ao SSFM,

apresentado no Anexo C.2, para estudar a sua propagação, assim como a dos solitões de ordem

2. Inicialmente efectuar-se-á uma análise à evolução dos solitões espaciais unidimensionais, e

posteriormente estudar-se-á a propagação de solitões espaciais bidimensionais, com o intuito de

possibilitar uma melhor compreensão do seu comportamento à medida que a distância axial

percorrida pelo feixe aumenta.

4.4.2.1 Solitão Fundamental Unidimensional

Começa-se por analisar a propagação do solitão fundamental. Como mostra a Figura 4.20, na

propagação destes solitões, o efeito da dispersão espacial é completamente equilibrado pelo efeito

da auto – focagem, pelo que, as propriedades do feixe, nomeadamente a sua largura e intensidade,

permanecem inalteradas [7,10], como representa a Figura 4.21. Apenas o solitão fundamental

mantém as suas características constantes ao longo da sua propagação, i.e., os efeitos de que o

feixe é vítima mantêm-se totalmente equilibrados não só nos extremos dos períodos, mas também

entre estes, obrigando assim o feixe a manter-se constante, como se verifica facilmente analisando a

Figura 4.21. Os solitões, não só o fundamental, mas também os de ordem superior, apresentam uma

periodicidade igual a 2⁄ .

Como se verá adiante, os solitões de ordens superiores apresentam a mesma forma, amplitude e

largura, no início e no fim de todos os períodos, porém, estas propriedades sofrem alterações no

decorrer de cada período.

4.4.2.2 Solitão de 2ª Ordem Unidimensional

A evolução dos solitões de ordem superior, pode ser interpretada com base nos efeitos conjugados

da dispersão espacial e da auto – focagem. Como tal, o solitão de 2ª ordem, representado na Figura

Solitões Espaciais

103

4.22, exibe uma estrutura bastante diferente quando comparada com a do solitão fundamental. Ao

contrário do que ocorre anteriormente, este tipo de solitão não vai manter a sua largura nem

amplitude, enquanto percorre o seu eixo de propagação, como é possível verificar analisando a

Figura 4.23.

Figura 4.20 – Evolução do solitão fundamental ao longo do seu eixo de propagação. (a) 2⁄ e (b)

3 2⁄ (valores normalizados).

Figura 4.21 – Evolução da amplitude e largura do solitão fundamental ao longo do seu eixo de

propagação. (a) 2⁄ e (b) 3 2⁄ (valores normalizados).

Uma vez que o solitão de 2ª ordem apresenta inicialmente uma amplitude superior à do solitão

fundamental, no início da sua propagação os efeitos de auto – focagem vão predominar sobre os

efeitos da dispersão espacial, com o intuito de manter constante essa amplitude, assim como a

energia contida no feixe inicial, à medida que este se propaga. Desta forma, o feixe vai-se comprimir

e a sua amplitude vai aumentar até um pico de valor máximo, a partir do qual os efeitos da dispersão

espacial se sobrepõem aos da auto – focagem, obrigando assim o feixe a alargar e a diminuir de

intensidade. Como tal, no fim do período o feixe vai recuperar a sua forma inicial. Tratando-se se um

feixe periódico, este vai apresentar a mesma forma no inicio e no fim de cada período, variando no

0 -10 -5 10 5 Plano

Dis

tânc

ia 2

⁄

0

0.3

0.2

0.1

1

0.9

0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Am

plitude

(a)

0 -10 -5 10 5 Plano

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Am

plitude

0

2

0.5

1

1.5

2.5

3

Dis

tânc

ia 2

⁄

(b)

-10

0 5

10

-5 Plano 0

1

0.2 0.4

0.6

0.8

Distância 2 ⁄

0.8

0.2

0.4

0.6

1

Am

plitu

de

(a) -10

0 5

10

-5 Plano

0.8

0.2

0.4

0.6

1

Am

plitu

de

1

3

0

2.5

0.5

1.5 2

Distância 2 ⁄

(b)


104

meio deste, como se verifica nas Figuras 4.22b e 4.23b. As variações sofridas pelo feixe, ao longo da

sua propagação, implicam maiores dificuldades em termos da sua detecção.





4.4.2.3 Solitão de 3ª Ordem Unidimensional

Analisando a Figura 4.24, é possível verificar que o solitão de 3ª ordem apresenta uma estrutura

ainda mais complexa que o solitão de ordem inferior. Tal como no solitão de 2ª ordem, a sua

intensidade inicial é superior à do solitão fundamental, logo, o efeito da auto – focagem sobrepõe-se

ao efeito da dispersão espacial originando desta forma um estreitamento do feixe e um pico de

intensidade. Como anteriormente, a partir deste pico o efeito da dispersão sobrepõe-se ao da auto –

focagem, fazendo o feixe alargar e diminuir de intensidade, recuperando assim a sua forma inicial.

Um aspecto de grande interesse deve-se ao facto de o solitão em análise apresentar dois picos de

0 -10 -5 10 5 Plano

Dis

tânc

ia 2

⁄

0

0.3

0.2

0.1

1

0.9

0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

(a)

0

0.5

1.5

2.5

3.5

1

2

3

Am

plitude

0

0.5

1.5

2.5

3.5

1

2

3

Am

plitude

0 -10 -5 10 5 Plano

0

2

0.5

1

1.5

2.5

3

Dis

tânc

ia 2

⁄

(b)

-10

0 5

10

-5 Plano 0

1

0.2 0.4

0.6

0.8

Distância 2 ⁄

1

2

3

Am

plitu

de

(a) -10

0 5

10

-5 Plano

1

3

0

2.5

0.5

1.5 2

Distância 2 ⁄

(b)

1

2

3

Am

plitu

de

Solitões Espaciais

105

amplitude, como mostra a Figura 4.25. Devido à grande complexidade do solitão de 3ª ordem, a sua

detecção torna-se ainda mais complicada, que a do solitão de 2ª ordem. Como os seus antecessores,

este é um feixe periódico, que se repete para uma distância igual a 2⁄ , recuperando sempre a sua

forma inicial, ao fim de cada período, como mostram as Figuras 4.24b e 4.25b.

Para valores de superiores aos analisados nesta secção, os solitões apresentam o mesmo

comportamento periódico, verificando-se porém um aumento da sua complexidade.





4.4.2.4 Solitão Fundamental Bidimensional

Ao contrário do que seria de esperar, os solitões bidimensionais apresentam uma grande

instabilidade durante a sua propagação, e como tal, respondem a qualquer alteração de amplitude de

0 -10 -5 10 5 Plano

Dis

tânc

ia 2

⁄

0

0.3

0.2

0.1

1

0.9

0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

(a)

0

1

3

5

7

2

4

6

Am

plitude

0

1

3

5

7

2

4

6

Am

plitude

0 -10 -5 10 5 Plano

0

2

0.5

1

1.5

2.5

3

Dis

tânc

ia 2

⁄

(b)

2

4

6

Am

plitu

de

-10

0 5

10

-5 Plano 0

1

0.2 0.4

0.6

0.8

Distância 2 ⁄

(a)

2

4

6

Am

plitu

de

-10

0 5

10

-5 Plano

1

3

0

2.5

0.5

1.5 2

Distância 2 ⁄

(b)


106

uma forma indesejável. Esta resposta expressa-se no fenómeno designado de catástrofe óptica, que

como já se verificou anteriormente consiste num aumento exagerado da intensidade do feixe e, por

consequência, num estreitamento do mesmo, com o objectivo de manter constate o seu valor

energético, ao longo da sua propagação. Este fenómeno provoca uma destruição do meio em que o

feixe se propaga, desde que se trate de um meio material. Desta forma, os solitões bidimensionais

não irão apresentar as mesmas propriedades no inicio e no fim de cada período, como sucedeu

anteriormente na propagação de solitões unidimensionais.

No que respeita ao solitão fundamental bidimensional, a NLS apresenta uma solução instável, tal

como sucede no feixe gaussiano bidimensional. Os feixes bidimensionais são extremamente

sensíveis a qualquer alteração das suas características, tendendo facilmente para a instabilidade e,

por consequência, apresentam uma enorme dificuldade em propagar-se mantendo constantes as

suas propriedades. Como é possível observar na análise à Figura 4.26, verifica-se facilmente a

instabilidade da solução da NLS, pois à medida que o solitão se propaga vai diminuindo de amplitude

e, por consequência, aumenta de largura, uma vez que a teoria dos solitões indica que, caso não se

considere a existência de perdas, estes devem manter constante a sua energia ao longo da

propagação, sendo por isso fulcral esta conjugação entre as suas propriedades.

Figura 4.26 – Evolução do solitão fundamental bidimensional. (a) 0, (b) 1, (c) 2 e (d) 4

(valores normalizados com 2⁄ ).

0 5

10

-10 -5 Plano -10

0 5

10

-5Plano

Am

plitu

de

0.2

0.4

0.6

0.8

1

(a)

0 5

10

-10 -5 Plano -10

0 5

10

-5Plano

Am

plitu

de

0.2

0.4

0.6

0.8

(b)

0 5

10

-10 -5 Plano -10

0 5

10

-5Plano

Am

plitu

de

0.3

0.4

0.5

0.1

0.2

0.6

(c)

0 5

10

-10 -5 Plano -10

0 5

10

-5Plano

Am

plitu

de

0.1

0.2

0.3

0.15

0.25

0.05

0.35

(d)

Solitões Espaciais

107

O facto de não ser possível obter uma focagem do feixe, deve-se à mesma ocorrer num ponto de

instabilidade do equilíbrio entre os efeitos da dispersão espacial e da auto – focagem, não sendo

possível o equilíbrio entre os mesmos. Facilmente se verifica que o efeito da dispersão espacial se

sobrepõe ao efeito da não – linearidade, pois, embora o feixe apresente um valor da amplitude

normalizado unitário, apresenta uma largura inicial reduzida, e como tal o efeito da dispersão será

mais forte nesta situação. Ao contrário do feixe gaussiano bidimensional, não é possível configurar a

largura inicial de um solitão, de forma a evitar a supremacia verificada por parte da dispersão. Desta

forma, com o aumento da distância axial e com a alteração das propriedades do solitão, ilustradas na

Figura 4.26, observa-se que este acaba por se perder para uma certa distância da fonte, i.e., ao fim

de algum espaço.

4.4.2.5 Solitão de 2ª Ordem Bidimensional

Efectua-se agora a análise à propagação do solitão bidimensional de segunda ordem num meio onde

a não – linearidade marca presença. Observando a Figura 4.27, que representa a evolução do solitão

ao longo de um período e meio, verifica-se que, tal como ocorre para o caso do solitão fundamental, a

solução da NLS para o presente caso é instável. Resulta então uma impossibilidade de focagem do

feixe pois, como anteriormente, está-se numa zona onde o equilíbrio entre os efeitos do meio, que

actuam sobre o feixe, é instável. Tal deve-se ao facto de o solitão em 0 apresentar uma amplitude

demasiado elevada, o que leva a que este tenda para a catástrofe óptica com o decorrer do seu eixo

de propagação . O facto de a amplitude ser superior à do solitão fundamental, faz com que o efeito

de auto – focagem proveniente da não – linearidade do meio sobreponha ao de dispersão, obrigando

o feixe a aumentar de intensidade e, consequentemente, a diminuir de largura, de forma a manter a

sua energia com valor constante ao longo da sua propagação (só se verifica este resultado porque

admite-se que não existem perdas). Tal como no solitão unidimensional de 2ª ordem, o solitão

atingirá no primeiro período o seu valor máximo de intensidade em 0.5, e a sua largura mínima,

sendo que a partir daí, e até ao fim do período, prevaleça o efeito da dispersão espacial. Desta forma,

o feixe vai alargar e diminuir de amplitude, não sendo o efeito da dispersão suficiente para permitir a

recuperação feixe inicial no fim do período, 1, como sucede nos solitões unidimensionais, e como

demonstra a Figura 4.27. No inicio do período seguinte, o feixe é novamente vítima da auto –

focagem, resultando novamente um aumento da sua amplitude e uma diminuição da sua largura,

pelos motivos indicados, como mostra a Figura 4.27d. As oscilações de amplitude verificadas, devem-

se à variação brusca do efeito de que o feixe é vítima, em 0.5, passando o efeito da dispersão

espacial a sobrepor-se ao efeito da auto – focagem. A partir deste instante, estas oscilações vão-se

alastrando e atenuando devido aos efeitos característicos do meio em que o solitão se propaga.

Verifica-se assim que, quanto maior for o número de períodos percorridos pelo solitão de segunda

ordem, mais perto da catástrofe óptica este se encontra.


108

Figura 4.27 – Evolução do solitão de 2ª ordem bidimensional. (a) 0, (b) 0.5, (c) 1 e (d)

1.5 (valores normalizados com 2⁄ ).

4.4.2.6 Solitão de 3ª Ordem Bidimensional

Finalmente, analisa-se a propagação do solitão de terceira ordem através de um meio não – linear,

cujo resultado obtido é de certa forma semelhante ao adquirido na análise do solitão de segunda

ordem bidimensional. Tal como em todos os feixes bidimensionais analisados no presente capítulo, a

solução obtida para a NLS é instável. A Figura 4.28 mostra a evolução do solitão de terceira ordem,

que representa mais uma vez a tendência de um solitão para a catástrofe óptica. Como já foi

verificado, neste caso também não é possível uma focagem do feixe, pois como anteriormente, esta

ocorre numa zona de instabilidade. Desta forma, o equilíbrio entre ambos os efeitos do meio é

inexistente, verificando-se assim uma supremacia inicial do efeito da auto - focagem. Como no solitão

de segunda ordem, a amplitude inicial do feixe é superior à do caso fundamental, sendo por isso

notado inicialmente um efeito mais intenso por parte da não – linearidade com o intuito de manter

constante a sua amplitude e, respectivamente, largura ao longo da sua propagação. Comparando o

resultado neste caso com o obtido na situação anterior, observa-se que o solitão de terceira ordem

tende mais rapidamente para a catástrofe óptica, i.e., aumenta de amplitude e estreita de uma forma

muito mais clara. Isto deve-se ao facto de o solitão apresentar uma amplitude inicial superior ao de

0 5

10

-10 -5 Plano -10

0 5

10

-5Plano

Am

plitu

de

0.5

2

1.5

1

0 5

10

-10 -5 Plano -10

0 5

10

-5Plano

Am

plitu

de

1.5

2

1 0.5

2.5 3

0 5

10

-10 -5 Plano -10

0 5

10

-5Plano

Am

plitu

de

0.5

2

1.5

1

(c)

0 5

10

-10 -5 Plano -10

0 5

10

-5Plano

Am

plitu

de0.5

2

1.5

1

(d)

(a) (b)

Solitões Espaciais

109

segunda ordem, sendo desta forma mais intenso o efeito da auto – focagem sobre o feixe. Na

passagem da Figura 4.28b para a Figura 4.28c, i.e., de 0.25 para 0.5, verifica-se que o efeito

da dispersão espacial se sobrepõe ao efeito da auto – focagem, com o intuito de compensar este

último, obrigando assim o feixe a diminuir de amplitude e a alargar, de forma a aproxima-lo à forma

do solitão em 0. Como mostra a Figura 4.28d, ao fim de um período o solitão não vai recuperar a

sua forma inicial, como acontece no solitão de 3ª ordem unidimensional, pois o efeito da dispersão

não é suficiente para compensar o efeito da auto – focagem. As oscilações verificadas na propagação

do presente solitão têm a mesma origem que as verificadas no solitão de segunda ordem, alastrando-

se ao longo do espaço e diminuindo de amplitude, pois também estão sob os efeitos introduzidos pelo

meio não – linear. Conclui-se novamente que, o feixe tente para a catástrofe óptica à medida que o

número de períodos percorridos aumenta.

Figura 4.28 – Evolução do solitão de 3ª ordem bidimensional. (a) 0, (b) 0.25, (c) 0.5 e (d)

1 (valores normalizados com 2⁄ ).

4.5 Influência da Não – linearidade na Propagação de Feixes

No presente capítulo abordou-se a introdução da não – linearidade na propagação de vários feixes

ópticos, sendo analisada a evolução de alguns destes feixes, em meios em que se verifique esta

0 5

10

-10 -5 Plano -10

0 5

10

-5Plano

Am

plitu

de

1.5

2

1

0.5

2.5

3

0 5

10

-10 -5 Plano -10

0 5

10

-5Plano

Am

plitu

de

2

8

6

4

(a) (b)

0 5

10

-10 -5 Plano -10

0 5

10

-5Plano

Am

plitu

de

1

4

3

2

(c) (d)

0 5

10

-10 -5 Plano -10

0 5

10

-5Plano

Am

plitu

de

2

8

6

4


110

propriedade.

Como foi verificado e demonstrado, é a equação não – linear de Schrödinger a responsável pela

regulação dos feixes em meios não – lineares, sendo esta válida tanto para o caso espacial, que é

analisado neste capítulo, como para o caso temporal [3]. Uma vez que a equação não – linear de

Schrödinger apresenta uma grande complexidade, apresentando por isso a sua resolução analítica

extremamente difícil, ou mesmo impossível, recorre-se ao método numérico denominado de SSFM.

Este método apresenta uma grande utilização no âmbito da Óptica com o intuito de permitir a análise

da propagação de feixes ópticos. Os resultados obtidos pelo método em questão, são resultados

aproximados aos reais. Ao contrário do que sucede na realidade, onde o feixe é vitima do efeito da

dispersão espacial e da não – linearidade simultaneamente, no SSFM os efeitos característicos do

meio actuam sobre o feixe independentemente em pequenos intervalos de propagação

intercalados. Quanto menor for o tamanho do passo , maior será a precisão dos resultados obtidos.

A propagação de feixes gaussianos unidimensionais e bidimensionais em meios onde a não –

linearidade está presente apresenta resultados muito distintos. Na propagação de feixes gaussianos

unidimensionais, os feixes estão sob o efeito da dispersão espacial e da auto – focagem que se

tentam equilibrar. Como resultado o feixe vai manter as suas propriedades aproximadamente

constantes à medida que este se propaga [7], contrariamente ao que sucede quando o feixe apenas

se propaga em meios lineares, onde apenas marca presença a dispersão espacial. Com o evoluir da

distância axial percorrida pelo feixe gaussiano, este vai tender para o solitão fundamental

unidimensional, o que permite concluir que a solução da NLS é estável, como permitem observar os

resultados obtidos ao longo do presente capítulo. No que respeita à propagação de feixes gaussianos

bidimensionais, verifica-se que estes apresentam uma grande instabilidade, e como resultado a

solução da NLS tende facilmente para a instabilidade. Como foi verificado, o feixe não vai manter as

suas propriedades enquanto se propaga, como acontecia no caso unidimensional, mas sim tender

para a indesejável catástrofe óptica, que irá destruir o meio material em que este se propaga. Nesta

situação não é possível o equilíbrio entre os efeitos da dispersão e da não – linearidade, pois a

focagem do feixe ocorre numa zona de instabilidade. Além da intensidade inicial apresentada pelo

feixe, também a sua largura influencia a estabilidade da solução da NLS. Caso se Considere um feixe

inicial muito estreito, este não tenderá para a catástrofe óptica, mas sim para a sua extinção após ter

percorrido um certo espaço, uma vez que o efeito da dispersão espacial se faz sentir de forma muito

mais intensa em feixes muito estreitos. Quanto aos feixes mais largos, quanto maior for a sua

amplitude inicial e largura mais visível será a sua tendência para a catástrofe óptica.

No que respeita à propagação de feixes de ordem superior de Hermite – Gauss, os resultados

observados são semelhantes aos dos feixes gaussianos na medida em que, tal como nos primeiros,

estes vão manter as suas propriedades aproximadamente constantes ao longo do seu eixo axial, ao

contrário do que acontece no caso linear. O feixe de Hermite – Gauss de 1ª ordem corresponde ao

feixe gaussiano unidimensional, logo também vai aproximar-se do solitão fundamental, sendo o

mesmo resultado verificado para os dois picos de amplitude do feixe de 2ª ordem. Dos feixes

analisados, apenas os picos de amplitude do feixe de Hermite – Gauss de 3ª ordem não tendem para

Solitões Espaciais

111

os resultados verificados anteriormente. As oscilações verificadas nos resultados obtidos devem-se a

perdas de energia, por parte dos feixes, que não são absorvidas pelo meio, interferindo assim na

propagação dos feixes. O seu efeito é mais visível nos feixes que apresentam inicialmente mais picos

de intensidade ou percorrem distâncias axiais superiores.

A convivência entre a dispersão espacial e a auto – focagem permite a propagação de solitões [8]. No

estudo efectuado a este tipo de feixes unidimensionais, verifica-se que estes são feixes periódicos,

recuperando a sua forma inicial no fim de cada período, apresentando a NLS uma solução estável. É

de salientar que, apenas o solitão fundamental unidimensional mantém as suas características

inalteráveis ao longo da sua propagação. Tal deve-se ao facto de existir um equilíbrio perfeito entre a

dispersão e a auto – focagem, obrigando assim o feixe a manter a sua largura e intensidade

constantes [10]. O solitão de primeira ordem é aquele que apresenta a estrutura mais simples e,

como consequência, uma maior facilidade de utilização. Ao contrário deste, todos os solitões de

ordem superior não mantêm as suas propriedades constantes entre os extremos de cada período. A

complexidade da estrutura do feixe aumenta com a ordem do solitão, sendo que para 2, o perfil

da sua amplitude apresenta uma estrutura multi – pico, com um número máximo de picos igual a

1, em cada período 2⁄ . Consequentemente, quanto maior for esta complexidade, maiores serão

as dificuldades na detecção do solitão. Para os solitões bidimensionais os resultados obtidos são

completamente diferentes. Independentemente da ordem do solitão, a solução da NLS é instável

pois, este tende para a sua extinção, no caso do solitão fundamental bidimensional, ou para a

catástrofe óptica, caso se estejam a considerar solitões de ordem superior [8]. Estes resultados

dependem muito da amplitude inicial do solitão pois, ao contrário dos feixes gaussianos

bidimensionais, não é possível redimensionar a sua largura inicial, de forma a evitar a sua

instabilidade e, consequentemente, a sua perda após uma determinada distância da fonte de

emissão. A instabilidade verifica-se devido à impossibilidade da ocorrência de focagem do feixe, uma

vez que, esta ocorre numa zona instável onde o equilíbrio, entre os efeitos do meio não – linear, não

é possível. Como tal, é extremamente complicado efectuar a propagação de solitões bidimensionais

através do meio estudado. Uma das formas de resolver este problema é recorrer a outro tipo de

meios que apresentem uma auto – focagem saturável, com o intuito de estabilizar a auto – focagem

catastrófica e assim produzir ondas solitárias estáveis [8].


112

113

Referências [1] Fernandes, Horácio. Solitões Introdução Histórica, e-escola, Universidade Técnica de Lisboa,

disponível em: <http://www.e-escola.pt/site/topico.asp?topico=131&canal=1>, Março 2008.

[2] Stegeman, G. I., Christodoulides, D. N. and Segev, M. Optical Spatial Solitons: Historical

Perspectives, IEEE Journal on Selected Topics in Quantum Electronics, Vol. 6, No. 6, 2000,

pp. 1419 – 1427.

[3] Clausen, C. B., Bang, O. and Kivshar, Y.S. Spatial Solitons and Induced Kerr Effects in Quasi

–Phase – Matched Quadratic Media, Physical Review Letters, Vol. 78, No. 25, 1977, pp. 4749

– 4752.


1991. ISBN: 0-471-83965-5. Chap. 19, “Nonlinear Optics”.

[5] Paiva, Carlos R. Mecânica Quântica, Departamento de Engenharia Electrotécnica e de

Computadores, Instituto Superior Técnico, Maio 2007.

[6] Paiva, Carlos R. Solitões em Fibras Ópticas, Departamento de Engenharia Electrotécnica e

de Computadores, Instituto Superior Técnico, Maio 2003.


pp. 1005 – 1008.

[8] Sukhorukov, A. and Kivshar, Y. Self – trapped optical beams: Spatial solitons, Pramana –

Journal of Physics, Vol.57, Nos. 5 e 6, 2001, pp. 1079 – 1096.

[9] Stegeman, G. I. and Segev, M. Optical Spatial Solitons and Their Interactions: Universality

and Diversity, Science, Vol. 286, 1999, pp. 1518 – 1523.

[10] Valley, G. C., Yariv, A., Segev, M., Crosignani, B., Fejer, M. and Bashaw, M. Dark and Bright

Photovoltaic Spatial Solitons, Physical Review A, Vol. 50, No. 6, 1994, pp. 4457 – 4460.

[11] Taya, M., Bashaw, M., Fejer, M., Segev, M. and Valley, G. Observation of Dark Photovoltaic

Spatial Solitons, Physical Review A, Vol.52, No. 4, 1995, pp. 3095 – 3100.

114

Capítulo 5

Conclusão A actual secção expõe os resultados de maior relevância adquiridos, no âmbito da propagação de

feixes ópticos, ao longo da presente Dissertação, assim como, as perspectivas de trabalho futuro

possibilitadas pelos estudos elaborados.


116

5.1 Conclusões

O objectivo do presente trabalho traduziu-se no estudo da propagação de diversos feixes ópticos,

através de alguns meios de características distintas, nomeadamente, meios lineares e não – lineares,

permitindo assim, uma melhor compreensão da influência dos referidos meios sobre os feixes em

questão, tendo como consequência, a alteração das suas características iniciais, que originam em

determinados casos a sua degradação e possível extinção.

Inicialmente realizou-se uma abordagem introdutória à propagação dos feixes ópticos, onde

originalmente se considera um feixe gaussiano unidimensional a propagar-se através de um meio

linear. Este corresponde ao caso de maior simplicidade, e através da sua análise é possível proceder

ao estudo de outros feixes de maior complexidade, e.g., feixes de perfil rectangular, secante

hiperbólica e, feixes de ordem superior de Hermite – Gauss. Ao contrário dos feixes gaussianos, onde

a sua análise pode ser realizada analítica e numericamente, nos outros casos apenas é possível

efectua-la numericamente, devido à sua complexidade superior, recorrendo-se assim a um método

que se baseia na FFT, como se demonstra no segundo capítulo. Na investigação da propagação dos

feixes gaussianos em meios lineares, verifica-se que a sua intensidade mantém o perfil gaussiano à

medida que a distância axial percorrida pelo feixe aumenta. Tal, deve-se ao facto, de a transformada

de Fourier, aplicada no referido método numérico, apresentar também ela um perfil gaussiano. O

mesmo não ocorre quando se observa a propagação dos feixes de perfil rectangular e de perfil

secante hiperbólica, em meios lineares, pois as suas transformadas de Fourier não apresentam o

mesmo perfil que os feixes iniciais, respectivamente.

A principal característica dos meios lineares é a existência de dispersão espacial que actua sobre os

feixes, obrigando-os a alargar e, consequentemente, a diminuir de amplitude. A conjugação entre

estas duas características, deve-se ao facto de, no estudo efectuado, considerar-se que o meio em

questão não apresenta qualquer tipo de perdas, e como tal, o feixe deve manter constante o seu valor

energético, ao longo da sua propagação, sendo o alargamento compensado pela diminuição da

amplitude. O efeito da dispersão, imposta pelo meio, é facilmente verificado na propagação do feixe

gaussiano, assim como no feixe de perfil de secante hiperbólica, pois, o seu perfil inicial apresenta

uma diminuição, não muito brusca, da amplitude ao longo do plano transversal, que se traduz,

posteriormente, num notável aumento da largura e, respectivamente, diminuição da amplitude.

Ambos os feixes apresentam uma evolução semelhante, como se pode verificar na observação dos

resultados obtidos. No que respeita ao feixe de perfil rectangular, o resultado é diferente dos

anteriores, pois a ocorrência de transições bruscas no valor da amplitude, às quais o meio tenta

responder de forma positiva, provocam oscilações no feixe final, assim como obrigam este a manter

um perfil relativamente semelhante ao inicial, não sendo por isso, tão visível o efeito da dispersão

espacial nestes casos. Através das várias simulações efectuadas, é de grande interesse referir que, o

efeito da dispersão espacial em feixes iniciais estreitos é claramente superior, ao verificado em feixes

iniciais mais largos, obrigando-os assim a um maior alargamento e decréscimo de intensidade.

As conclusões a que se chegou no Capítulo 2 da presente Dissertação, coincidem com os resultados

117

Conclusão

obtidos e publicados em vários artigos, por alguns dos investigadores que desenvolvem o seu

trabalho nesta área, como por exemplo, J. Alda [1], M. Mansuripur [2], H. Kogeknik [3], D. O’shea [4],

L. Dickson [5], entre muitos outros.

No Capítulo 3, procedeu-se à análise dos ressoadores ópticos, mais especificamente, ao estudo da

sua estabilidade, cuja importância é elevada na constituição de sistemas laser e, posteriormente,

investigou-se a propagação de feixes de Hermite – Gauss através de meios lineares homogéneos e

meios anisotrópicos. Da pesquisa realizada verificou-se que os factores que influenciam a

estabilidade de um ressoador óptico são o raio de curvatura dos espelhos que o constituem e a

distância a que estes se encontram uns dos outros. Tendo em especial atenção estes dois aspectos,

podem produzir-se ressoadores ópticos, e por consequência sistemas laser, estáveis ou instáveis,

consoante seja o destino da sua aplicação. Na sua maioria pretende-se ressoadores onde a

estabilidade marca presença, porém, existem situações onde a instabilidade é desejada, como por

exemplo, na presença de um meio com ganho elevado, possibilitando assim a obtenção de

estabilidade.

No presente trabalho, para a análise dos feixes de ordem superior de Hermite – Gauss, recorreu-se à

análise das soluções do oscilador harmónico quântico unidimensional. A investigação realizada

baseou-se na equação de Schrödinger independente do tempo, através da qual se obteve uma

função própria gaussiana, que corresponde à solução de primeira ordem. Recorrendo posteriormente

à aplicação dos designados operadores de “subida”, é possível obter todas as soluções sucessivas

de ordem superior. É de destacar, que cada uma das soluções de ordem superior apresentam mais

um extremo na sua amplitude que a solução de ordem inferior e que, a cada uma destas encontra-se-

lhe associado um polinómio de Hermite de ordem equivalente, assim como o respectivo nível de

energia, correspondentes aos vários níveis de energia do oscilador harmónico unididimensional. No

que respeita à propagação deste tipo de feixes, os resultados obtidos são de certa forma

semelhantes aos observados anteriormente. Como tal, o efeito da dispersão espacial, característica

dos meios lineares, vai traduzir-se num aumento da largura dos vários feixes de Hermite – Gauss,

assim como na diminuição da sua intensidade, à medida que a distância axial percorrida vai

evoluindo. É interessante referir que, em vários casos, especialmente em feixes de ordens

superiores, alguns dos picos de intensidade que os constituem inicialmente, acabam por se extinguir,

ao fim de um determinado espaço percorrido.

Alterando o meio em questão para um mais complexo, nomeadamente, um meio anisotrópico, como

é o caso dos cristais uniaxiais, verifica-se que os feixes de Hermite – Gauss deixarão de exibir uma

superfície com geometria esférica, como acontecia até ao momento na presença de ondas ordinárias,

e passa a apresentar uma superfície elíptica, que corresponde à onda extraordinária. Ambas as

superfícies resultam da rotação simétrica circular e elíptica, respectivamente, em torno do eixo óptico.

Uma vez que os índices normais apresentados presentemente são distintos, originam uma separação

das componentes constituintes do feixe, provocando a sua propagação em diferentes direcções, e por

consequência uma dispersão do respectivo feixe, que irá aumentar conjuntamente com o aumento da

distância axial. Destaca-se contudo, a validade da análise efectuada, para qualquer direcção de


118

propagação, desde que se verifiquem as condições necessárias para tal.

Tal como anteriormente, os resultados verificados no presente capítulo estão em concordância com

os apresentados anteriormente por alguns investigadores que, também eles, analisaram os

ressoadores ópticos e a propagação dos feixes de ordem superior de Hermite – Gauss em meios

lineares e cristais uniaxiais, e.g., A. Siegman [6], [7], [8] e [9], H. Kogelnik e T. Li [10] e G. Cincotti et

al. [11], entre muitos outros.

Observada a propagação de vários feixes através de meios lineares procede-se, no quarto capítulo, à

introdução dos meios não – lineares, com o intuito de observar qual o seu efeito sobre os feixes que

nele se propagam. A base de todo este estudo, tanto para o caso espacial abordado na presente

Dissertação, como para o caso temporal, é a equação não – linear de Schrödinger, pois é esta a

responsável pela caracterização da propagação dos feixes em meios onde a não – linearidade marca

presença. Devido à sua grande complexidade, a simulação dos resultados pretendidos é efectuada

através de um método numérico, designado de SSFM, que tenta da melhor forma aproximar-se da

realidade. A grande diferença entre os resultados, simulados e reais, consiste na actuação, de forma

independente, dos efeitos da dispersão espacial e da auto – focagem sobre o feixe, em pequenos

intervalos intercalados, ao contrário da realidade, onde ocorrem simultaneamente.

As evoluções obtidas para os feixes de perfil gaussiano unidimensionais e feixes de Hermite – Gauss

unidimensionais, permitem verificar que, ao propagarem-se em meios não – lineares, o efeito da auto

– focagem vai tentar compensar o efeito da dispersão espacial, prevenindo assim um decréscimo da

amplitudes dos feixes, e um respectivo alargamento, de forma tão clara, como é possível verificar na

presença de meios lineares. Quanto maior for a distância axial percorrida por ambos os feixes, maior

será a tendência para o equilíbrio entre os efeitos do meio que actuam sobre si, e como

consequência, maior será a estabilidade apresentada pelas propriedades dos feixes, permitindo

assim que, o feixe gaussiano tenda para o solitão fundamental unidimensional. As oscilações

verificadas nos resultados obtidos, têm como origem perdas de energia por parte dos feixes, que não

são absorvidas pelo meio, interferindo desta forma na sua propagação. O seu efeito, como facilmente

se compreende, é mais notável em feixes que apresentem inicialmente um maior número de picos de

intensidade, ou percorrem distâncias axiais superiores. Em relação à propagação dos feixes

gaussianos bidimensionais, verificou-se que a NLS é muito sensível a alterações das propriedades de

feixes bidimensionais, ao contrário do caso unidimensional, sendo desta forma extremamente difícil

um equilíbrio entre os efeitos da dispersão e da auto – focagem, o que obriga o feixe em questão a

tender para a catástrofe óptica. Este é um dos resultados mais indesejáveis na propagação de feixes

ópticos pois, caso ocorra, o feixe atinge uma intensidade de tal forma elevada, que acaba por destruir

o meio material em que se propaga. As propriedades que mais influenciam este resultado são a

intensidade e a largura inicial apresentadas pelo feixe. Conclui-se assim, de uma forma geral, que

quando o feixe apresenta uma intensidade ou uma largura inicial superior à óptima, este tenderá para

a catástrofe óptica, caso contrário, i.e., ostente inicialmente uma amplitude ou largura inferior à

desejada, evoluirá para a sua extinção após ter percorrido um certo espaço.

Quando o equilíbrio entre o efeito da auto – focagem e da dispersão espacial é perfeito, é possível a

119

Conclusão

propagação de feixes cujas características se mantêm inalteradas à medida que estes percorrem o

seu eixo axial. A este tipo de feixes atribui-se a designação de solitão. No estudo elaborado, conclui-

se que os solitões espaciais unidimensionais são feixes periódicos, com período de 2⁄ , que

recuperam a sua forma inicial ao fim de cada ciclo. Dos vários solitões analisados, apenas o

fundamental mantém as suas características inalteradas durante toda a propagação. Os restantes, de

ordem superior, apresentam 1 picos de amplitude, em cada período, que são acompanhados de

um estreitamento do feixe, de forma a manter o seu valor energético constante, quando se está na

ausência de perdas. No caso bidimensional, os resultados adquiridos mostram uma discordância

quando comparados com os obtidos anteriormente no caso unidimensional, tal como ocorreu na

análise da propagação dos feixes gaussianos unidimensionais e bidimensionais. No presente caso, a

NLS apresenta sempre soluções instáveis, independentemente da ordem do solitão. Verifica-se assim

uma extinção do feixe, com o aumento do espaço percorrido, caso se considere o solitão

fundamental, ou a catástrofe óptica, caso se propaguem solitões de ordem superior. A instabilidade

apresentada pela NLS deve-se à impossibilidade do equilíbrio entre a auto – focagem e a dispersão,

que ocorre numa zona instável. Tal como nos feixes gaussianos bidimensionais, é extremamente

complexo efectuar a propagação de solitões espaciais bidimensionais. Uma das formas de resolver

este problema é recorrer a meios com auto – focagem saturável, com o intuito de estabilizar a auto –

focagem catastrófica e assim produzir ondas solitárias estáveis [12].

De entre os inúmeros investigadores que estudaram, e ainda investigam, a propagação de solitões

espaciais, destacam-se, P. Kelly [13], A. Sukhorukov e Y. Kivshar [14] e, M. Wadati [15], cujos artigos

apresentam muitos dos resultados aqui expostos, porém, de forma mais concreta, não abrangendo

uma variedade de feixes, como aqui foi efectuado.

Após uma observação global dos resultados expostos ao longo da Dissertação, verificou-se a

existência de vários factores que influenciam a propagação de feixes ópticos. Entre eles, destacam-

se os perfis iniciais apresentados pelos feixes e os efeitos característicos do meio, que actuam sobre

estes, influenciando de forma clara a sua evolução. No decorrer do trabalho, ficou patente a

relevância do tema central de análise, que continua a ser alvo de um amplo e abrangente estudo por

parte dos investigadores. Os estudos desenvolvidos encontram-se inseridos no âmbito da óptica, em

particular no que diz respeito ao domínio da propagação de feixes. Os objectivos inicialmente

apresentados foram plenamente cumpridos, expandindo assim os horizontes à realização de

trabalhos futuros e lançando linhas de investigação que poderão ter como base de pesquisa os

resultados aqui descritos.

5.2 Perspectivas de Trabalho Futuro

Todo o trabalho executado nesta Dissertação direcciona-se para a propagação de diversos feixes

ópticos em meios cujas propriedades fundamentais variam, culminando no estudo da evolução de

solitões espaciais ópticos, unidimensionais e bidimensionais, através de meios não – lineares. Após o


120

cumprimento dos objectivos, existe um conjunto de outros temas que seria interessante analisar, mas

que devido ao carácter do trabalho não foi possível abordar.

Por conseguinte, o trabalho apresentado funciona como suporte para o estudo futuro de feixes e

meios de complexidade superior, sendo aqui observados, entre outros, alguns dos casos mais

simples cujos resultados são válidos num grande âmbito da propagação. Prevê-se assim, a

possibilidade de abordar novas classes de solitões que têm surgindo devido à sua propagação em

meios materiais com características muito distintas, quando comparadas com o meio não – linear.

Porém, muitas das propriedades destas novas categorias de feixes são semelhantes às apresentadas

no decorrer da presente Dissertação [16]. Desta forma, atendendo ao estudo efectuado e, tomando

em consideração a evolução constante que tem ocorrido na área da óptica, surgem novos tipos de

meios materiais com propriedades características concretas, como por exemplo, meios quirais,

metamateriais, fotorefractivos e, cristais fotónicos [17] onde é possível a obtenção de feixes menos

convencionais. De entre os solitões que são realizáveis através da propagação nestes meios, e cujo

estudo tem por base a evolução de feixes em meios não – lineares, surgem a título exemplificativo os

solitões fotorefractivos [16,18] e os quadráticos [16]. Existem também grupos mais genéricos, e.g.,

solitões incoerentes, discretos [19], como mostra a Figura 5.1, espácio – temporais, entre outros, que

embora não estejam directamente relacionados com meios específicos, também a sua análise tem

como fundamento o estudo elaborado neste trabalho [16].

Figura 5.1 – Exemplo, (a) de um solitão discreto bidimensional num cristal fotorefractivo amplamente

não – linear, (b) da difracção discreta de um feixe óptico numa rede de guias de onda 2D [20].

Uma das aplicações práticas mais frequente, que recorre normalmente à propagação de solitões

espaciais, é o laser óptico. Usualmente pretende-se obter um feixe que se mantém confinado e

(a)

(b)

121

Conclusão

intenso à medida que percorre o espaço, conservando assim as suas propriedades iniciais, Figura

5.2. Deve por isso conhecer-se as suas propriedades fundamentais, de forma a obter os resultados

desejados e um correcto funcionamento deste tipo de sistemas.

Figura 5.2 – Exemplo da propagação de um laser óptico [21].

Com o evoluir do tempo, novos meios serão descobertos e, como resultado, ocorrerá o surgimento de

novos tipos de feixes, nomeadamente solitões espaciais. Consequentemente, novas aplicações irão

surgir, obrigando ao desenrolar de diferentes investigações, onde os resultados apresentados na

presente Dissertação, são o ponto de partida para muitas dessas investigações. Para produzir

inovação científica nesta área, como em todas as outras, é fulcral um bom conhecimento dos seus

fundamentos básicos.


122

123



[2] Mansuripur, M. Gaussian Beam Optics, Optics & Photonics News, Vol. 12, No. 1, 2001, pp. 44

– 47.

[3] Kogelnik, H. Propagation of Laser Beams, Applied Optics and Optical Engineering, Vol. 7,

1979, pp. 155 – 190.

[4] O’Shea, D. C. Elements of Modern Optical Design, John Wiley & Sons: New York, 1985,

ISBN: 0-471-0-7796-8. Chapter 7, “Gaussian Beams”.

[5] Dickson, LeRoy. Characteristics of a Propagating Gaussian Beam, Applied Optics, Vol. 9, No.

8, 1970, 1854 – 1867.


Vol. 53, No. 3, 1965, pp. 277 – 287.

[7] Siegman, A. E. New developments in laser resonators, Proceedings of SPIE, Vol. 1224, No. 2,

1990, pp. 2 – 14.

[8] Siegman, A. E. Laser Beams and Resonators: The 1960s, IEEE Journal of Special Topics in

Quantum Electronics, Vol. 6, No. 6, 2000, pp. 1380 – 1388.

[9] Siegman, A. E. Laser Beams and Resonators: Beyond the 1960s, IEEE Journal of Special


[10] Kogelnik, H. and Li, T. Laser beams and resonators, Applied Optics, Vol. 5, No. 10, 1966, pp.

1550 – 1583.

[11] Cincotti, G., Ciattoni, A. and Palma, C. Hermite – Gauss Beams in Uniaxially Anisotropic

Crystals, IEEE Journal of Quantum Electronics, Vol. 37, No. 12, 2001, pp. 1517 – 1524.

[12] Sukhorukov, A. and Kivshar, Y. Self – trapped optical beams: Spatial solitons, Pramana –

Journal of Physics, Vol.57, Nos. 5 e 6, 2001, pp. 1079 – 1096.


pp. 1005 – 1008.

[14] Sukhorukov, A. and Kivshar, Y. Self – Trapped Optical Beams: Spatial Solitons, Pramana –

Journal of Physics, Vol. 57, Nos. 5 & 6, 2001, pp. 1079 – 1096.

[15] Wadati, Miki. Introduction to Solitons, Pramana – Journal of Physics, Vol. 57, Nos. 5 & 6,

2001, pp. 841 – 847.

124

[16] Stegeman, G. et al. Optical Spatial Solitons: Historical Perspectives, IEEE Journal on Selected


[17] Sukhorukov, A. and Kivshar, Y. Spatial Optical Solitons in Nonlinear Photonic Crystals,

Physical Review E, Vol. 65, 2002, pp.1 – 14.

[18] Segev, M. et al. Spatial Solitons in Photorefractive Media, Physical Review Letters, Vol. 68,

No. 7, 1992, pp. 923 – 926.

[19] Makris, K. et al. Discrete Surface Solitons, Optics Letters, Vol. 30, No.18, 2005, pp. 2466 –

2468.

[20] Christodoulides, D. et al. Discretizing Light Behaviour in Linear and Nonlinear Waveguides

Lattices, Nature, Vol. 424, 2003, pp. 817 – 823.

[21] Spatial Laser Beam Modulation, Ultrafast Laser Laboratory, 2008, disponivel em:

<http://jlchal.people.wm.edu/spatial.php>, Abril 2008.

Anexo A

Feixes Gaussianos Neste Anexo apresenta-se a demonstração da equação das ondas, assim como os cálculos

referentes aos feixes gaussianos, cujos resultados são utilizados na análise da evolução espacial do

feixe, durante a sua propagação ao longo da coordenada axial.


126

A.1. Equação de Onda

De (2.3), tem-se,

∂∂

1 ∂∂

∂∂ (A.1.1)

Substituindo-se em (2.5),

∂∂

1 ∂∂

∂∂ 0

∂∂

1 ∂∂

∂∂ 0 (A.1.2)

Recorrendo a (2.6), e aplicando-se a (A.1.2),

∂∂

1 ∂∂

∂∂ 2 0

∂∂

1 ∂∂

∂∂ 2 0

∂∂

1 ∂∂

∂∂ 2 0 (A.1.3)

Comparando com (2.3), obtém-se,

∂∂ 2 0

∂∂ 2 0 (A.1.4)

Por fim, recorrendo a (2.4), conclui-se, que a equação das ondas é dada por,

Ψ∂ Ψ∂ 2

Ψ0 (A.1.5)

A.2. Variação Espacial Lenta

Tendo em conta que |∆Ψ| Ψ, para ∆ , e realizando as respectivas substituições, facilmente se

obtém,

|∆Ψ| Ψ |∆Ψ|Ψ

∆Ψ

ΨΨ Ψ Ψ

2

logo,

ΨΨ (A.2.1)

De forma análoga, resulta,

Anexo A: Feixes Gaussianos

127

Ψ 1 Ψ2

Ψ

Ψ Ψ (A.2.2)

A.3. Amplitude Espectral do Perfil do Feixe Óptico

Recorrendo-se a (2.41), e introduzindo novas variáveis de modo a simplificar os cálculos, tem-se

, ′ , ′ exp ′ ′∞

∞

′ ′ .∞

∞ (A.3.1)

Iniciando-se a inversa, tem-se

, exp

′ , ′ exp ′ ′∞

∞

′ ′∞

∞.

(A.3.2)

Aplicando o integral em ambas as parcelas da equação (A.3.2), resulta

, exp∞

∞

∞

∞

′ , ′ exp ′ ′∞

∞

∞

∞

∞

∞

′ ′∞

∞.

(A.3.3)

Admitindo as seguintes propriedades dos impulsos de dirac,

exp 2∞

∞, (A.3.4)

e,

, , ,Ω

, (A.3.5)

e aplicando-as a (A.3.3), resulta

, exp∞

∞

∞

∞

2 ′ , ′∞

∞

∞

∞

′ , ′ ′ ′

2 ,

logo, facilmente se obtém a amplitude espectral do feixe,

,12 , exp

∞

∞

∞

∞. (A.3.6)


128

A.4. Integral de Difracção de Fresnel

Substituindo a equação da amplitude espectral (2.42) na equação do feixe gaussiano (2.49), tendo

em consideração (2.46) e (2.47), resulta

Ψ , ,12 Ψ ,

∞

∞, , , , ,

∞

∞ (A.4.1)

onde , , e , , são funções caracterizadas por,

, , exp 2 exp , (A.4.2)

e,

, , exp 2 exp . (A.4.3)

Para resolver as funções (A.4.2) e (A.4.3), utiliza-se o seguinte integral

exp 4 . (A.4.4)

Deste modo, aplicando (A.4.4) a (A.4.2), resulta

, ,2

exp4 2

2exp 2

2exp 2 .

(A.4.5)

De forma análoga, aplicando (A.4.4) a (A.4.3), obtém-se

, ,2

exp 2 . (A.4.6)

Então, substituindo os resultados obtidos, (A.4.5) e (A.4.6), em (A.4.1), resulta a equação do integral

de Fresnel, que é dada por

Ψ , ,12

2Ψ ,

∞exp 2 exp 2

∞

2 Ψ ,∞

exp 2

∞

1

Ψ ,∞

exp 2

∞. (A.4.7)

Anexo A: Feixes Gaussianos

129

A.5. Amplitude Espectral do Perfil do Feixe Gaussiano

Uma vez que para (2.51), recorrendo a (A.3.6), obtém-se

, , (A.5.1)

onde,

exp exp , (A.5.2)

e,

exp exp . (A.5.3)

Tendo em conta (A.4.4), resulta

exp4 1 √ exp 4 √ exp 2 , (A.5.4)

e, analogamente

√ exp 2 . (A.5.5)

Substituindo (A.5.4) e (A.5.5) em (A.5.1), conclui-se que para o perfil gaussiano (2.51), a amplitude

espectral é,

, √ exp 2 √ exp 2

exp 2 2

exp 2 (A.5.6)

A.6. Evolução Espacial do Feixe Gaussiano

Substituindo o perfil gaussiano (2.51) no integral de difracção de Fresnel, obtém-se

Ψ , ,1

, , , (A.6.1)

onde as funções , e , são caracterizadas por,

, exp exp 2 , (A.6.2)

e,


130

, exp exp 2 . (A.6.3)

Desenvolvendo e , tem-se

, exp exp 2 2

exp exp 2 exp 2 exp

exp 2 exp1

2 exp . (A.6.4)

Analogamente,

, exp 2 exp1

2 exp . (A.6.5)

Recorrendo-se mais uma vez a (A.4.4), resulta de (A.6.4) e (A.6.5),

, exp 2 exp 2 , (A.6.6)

e,

, exp 2 exp 2 . (A.6.7)

Substituindo (A.6.6) e (A.6.7) em (A.6.1), resulta a evolução espacial do feixe, dada por

Ψ , ,1

exp 2 exp 2 exp 2 exp 2

1

exp 2 exp 2 exp 2 exp 2

2

exp 2 2 exp 2

exp 2 exp 2

exp 2 2

exp 2 (A.6.8)

Anexo B

Ressoadores e Feixes

de Ordem Superior Neste Anexo apresentam-se os cálculos referentes ao estudo dos ressoadores, nomeadamente, da

sua condição de estabilidade, assim como os relacionados com o estudo do oscilador harmónico

unidimensional, onde se destacam os cálculos da equação de Schrödinger unidimensional e de

algumas soluções de ordem superior, e respectivos polinómios de Hermite.


132

B.1. Estabilidade do Ressoador

Considera-se o ressoador representado na Figura 3.5, que é constituído por dois espelhos curvos,

sendo o espelho 1 convexo, com raio de curvatura dado pela equação (3.9), e o espelho 2 um

espelho côncavo, com raio de curvatura dado pela equação (3.10). Resolvendo ambas as equações

em ordem às suas posições, e , resulta

1 2

42 (B.1.1)

e,

1 2

42 . (B.1.2)

Aplicando os resultados expressos por (B.1.1) e (B.1.2) na equação (3.8), vem

24

2 24

2 . (B.1.3)

Aplicando o quadrado à equação (B.1.3), obtém-se,

2 24

24

2 ,

e por consequência, resulta

4 4

1 2 1

2

. (B.1.4)

Para a obtenção da condição e estabilidade apenas interessam as soluções reais de b, verificando-se

estas, quando a equação (B.1.4) apresenta um numerador de valores positivos. Tendo em conta esta

exigência,

02

1 1 (B.1.5)

Aplicando uma simples manipulação numérica ao numerador da equação (B.1.5), facilmente se

verifica que

0 1 1 1. (B.1.6)

Para que um ressoador seja estável é necessário que o ponto que o representa esteja localizado

dentro da zona delimitada pela expressão (B.1.6), caso contrário, está-se perante um ressoador

instável.

Anexo B: Ressoadores e Feixes de Ordem Superior

133

B.2. Equação de Schrödinger Unidimensional

Tendo em conta a equação (3.16), expressa em função das componentes relacionadas com o

momento linear, referente a uma partícula livre, tem-se

Ψ ,1

√2Φ exp . (B.2.1)

Aplicando a derivada parcial temporal e o Laplaciano à expressão da onda expressa pela equação

(B.2.1),

Ψ 1√2

Φ exp , (B.2.2)

Ψ 1√2

Φ exp . (B.2.3)

Aplicando a segunda derivada a (B.2.3), resulta

Ψ 1√2

Φ exp . (B.2.4)

Recorrendo a (B.2.2) e (B.2.4), retira-se

Ψ2

Ψ 1√2

Φ exp . (B.2.5)

Uma vez que a energia total de uma partícula é composta pelas suas energias cinética e potencial

, tem-se

2 . (B.2.6)

No presente caso, em que se está a considerar uma partícula livre, 0, qualquer que seja ,

resulta

2 . (B.2.7)

Nesta situação, a equação de Schrödinger é expressa por

Ψ2

Ψ. (B.2.8)

Introduzindo o operador do momento linear e hamiltoniano, expressos pelas equações (3.18) e (3.19),

respectivamente, é possível a escrita da equação de Schrödinger de uma forma simplificada,

ΨΨ. (B.2.9)

Passando a partícula a estar sujeita a uma força , ao contrário do que acontecia até agora,


134

expressa por

V, (B.2.10)

a energia associada a esta passará a ser a expressa pela equação (B.2.6). Deste modo, o operador

hamiltoniano deixará de corresponder ao da partícula livre e passará a ser descrito como

2 . (B.2.11)

Logo, substituindo (B.2.11) em (B.2.9), tem-se que a equação de Schrödinger unidimensional

Ψ2

ΨΨ , . (B.2.12)

B.3. Normalização de Variáveis

Efectuando a alteração de variável apresentada pela expressão (3.31), tem-se,

. (B.3.1)

Logo, de forma análoga, resulta

. (B.3.2)

Tendo em conta a equação de Schrödinger independente do tempo, expressa por (3.27),

20.

2 12 0.

Efectuando as respectivas substituições tendo em consideração as expressões (B.3.1) e (B.3.2),

obtém-se,

20.

20.

20.

0. (B.3.3)

Anexo B: Ressoadores e Feixes de Ordem Superior

135

B.4. Função Própria de Perfil Gaussiano

De forma a simplificar os cálculos, e para demonstrar o pretendido, ir-se-á partir da função própria de

perfil gaussiano expressa por (3.34), e obter-se o resultado dado pela equação diferencial (B.3.3).

Iniciando-se na solução esperada, no presente caso uma função própria gaussiana expressa por

exp12 . (B.4.1)

Realizando a primeira derivada da função gaussiana, resulta

exp12 . (B.4.2)

Analogamente, a segunda derivada origina,

1 exp12 . (B.4.3)

Como tal, substituindo (B.4.3), na equação diferencial expressa por (B.3.3), e fazendo o valor próprio

1, verifica-se

1 1 0, (B.4.4)

que confirma o resultado expresso pela equação diferencial (B.3.3).

B.5. Operadores de “Subida” e de “Descida”

Recorrendo aos operadores de “subida” e “descida”, expressos por ⁄ , e multiplicando

ambos os termos da equação (3.32) estes, resulta

0. (B.5.1)

Efectuando uma separação do segundo termo de (B.5.1),

0. (B.5.2)

Aplicando agora os resultados expressos por (3.35) e (3.36), de forma a reorganizar os termos de

(B.5.2), passando ⁄ para a direita dos elementos ⁄ e , obtém-se

2 2 0. (B.5.3)

Operando os termos da última equação, de forma a agrupar os de igual grau,

2 2 0, (B.5.4)

logo,


136

2 0. (B.5.5)

B.6. Polinómios de Hermite

Uma vez que a função de ordem mais baixa é a expressa por (3.36), recorrendo aos operadores de

“subida”, é possível obter as funções próprias de ordem superior.

Sendo os valores próprios dados por

212 , (B.6.1)

com 0, 1, 2 , …, correspondendo o valor próprio de índice zero à solução de ordem mais baixa,

0 1. (B.6.2)

Aplicando a (3.34) o operador de “subida”, obtém-se a solução de ordem superior seguinte, e cujo

valor próprio é dado por

1 3. (B.6.3)

Neste caso, a função própria é expressa por

exp12 exp

12 2 exp

12 (B.6.4)

Comparando (B.6.4) com a equação (3.38), facilmente se verifica que o polinómio de Hermite é

2 . (B.6.5)

Reaplicando o operador de “subida” ao resultado de (B.6.4), obtém-se a solução de ordem seguinte,

cujo valor próprio é dado por

2 5, (B.6.6)

e, a função própria,

4 2 exp12 . (B.6.7)

Comparando (B.6.7) novamente com (3.38), verifica-se que o polinómio de Hermite, nesta solução é

4 2. (B.6.8)

Repetindo-se o processo é possível obter todas as funções próprias consecutivas, assim como os

respectivos polinómios de Hermite.

Anexo C

Meios Não – Lineares

e Solitões Este Anexo apresenta os cálculos necessários para complementar o Capítulo 4, e proporcionar uma

melhor percepção do estudo dos meios não – lineares e dos feixes que neles se propagam. Destaca-

se o método numérico utilizado para simular a propagação de feixes neste tipo de meios, i.e., para

encontrar a solução da NLS, o Split – Step Fourier Method.


138

C.1. Constante de Propagação num Meio Não – Linear

Para a obtenção da constante de propagação longitudinal num meio não – linear, expressa pela

equação (4.4), recorre-se à série de Taylor,

! Λ , (C.1.1)

onde

, (C.1.2)

e cujo parâmetro Λ corresponde a uma mudança de variável expressa por

Λ . (C.1.3)

Desenvolvendo a série de Taylor em torno de 0, tendo em atenção as expressões apresentadas

por (C.1.1) e (C.1.2), resulta

012 . (C.1.4)

Na prática, para o cálculo da constante de propagação longitudinal, pode realizar-se a aproximação

representada pela equação (C.1.4), i.e., apenas se consideram os termos com 2.

Efectuando os respectivos cálculos, verifica-se que

0 , (C.1.5)

1

1

0, (C.1.6)

correspondendo / à velocidade de grupo. Finalmente, obtém-se o parâmetro responsável pela

divergência da velocidade de grupo que, tendo em atenção a equação (C.1.5), é facilmente obtida

derivando a equação (C.1.6) em ordem à constante de propagação transversal, e é representada por

11

1. (C.1.7)

Efectuando a respectiva substituição dos resultados dados pelas equações (C.1.5), (C.1.6) e (C.1.7)

em (C.1.4), resulta a equação que caracteriza a constante de propagação longitudinal em meios não

lineares,

12 . (C.1.8)

139

Anexo C: Meios Não – Lineares e Solitões

C.2. SSFM (Split – Step Fourier Method)

Na presença de um meio não – linear, recorre-se à NLS para caracterizar a propagação de feixes

ópticos. Uma vez que neste caso a resolução analítica é muito complexa ou inexistente recorre-se a

um método numérico para efectuar a sua resolução. Como tal, o método mais comum para resolver

este tipo de equações é o SSFM (Split – Step Fourier Method), que é uma variante do BPM (Beam

Propagation Method), que tem grande utilização na análise da propagação de feixes ópticos.

Na realidade, o efeito da dispersão e da não – linearidade actuam simultaneamente ao longo da

propagação do feixe. Porém, o método SSFM permite obter uma solução aproximada, pois considera

que a dispersão e os efeitos não – lineares actuam independentemente em pequenos intervalos de

propagação . Desta forma, o SSFM está dividido em duas partes, uma primeira onde o feixe está

apenas sob o efeito da não – linearidade, e posteriormente uma segunda, onde o feixe está apenas

sob os efeitos dispersivos, enquanto se propaga ao longo do seu eixo de propagação.

Como tal, inserindo um operador diferencial linear , que considera os efeitos da dispersão,

representado por

12 , (C.2.1)

e, um operador de não – linearidade , expresso por

| | , (C.2.2)

pode reescrever-se a equação (4.37) como

, . (C.2.3)

Nesta demonstração, por simplicidade, omite-se a dependência em do operador da não –

linearidade. Perante o caso do solitão fundamental (que será analisado posteriormente) pode afirmar-

se que a variação de | | com é desprezável, desde que Γ 0.

Desta forma, a solução da equação (C.2.3) é expressa por

, exp , (C.2.4)

onde o parâmetro representa um impulso incidente, apresentado por

0, 0, , (C.2.5)

e cuja forma apresentada é

sech , (C.2.6)

e onde o parâmetro corresponde a um número inteiro.

Uma vez que não é possível simular simultaneamente os efeitos da dispersão e da não – linearidade,

sendo, como já foi referido, que ambos actuam em pequenos intervalos de propagação , para

estimar a precisão do método SSFM, a solução exacta da equação (C.2.3) é escrita como


140

, exp , . (C.2.7)

Esta nova solução representa um processo iterativo, que apresenta um passo longitudinal que

permite ir do inicio da propagação, em 0, até ao fim, em . Quanto menor for o tamanho do

passo , maior será o número de iterações realizadas.

Neste ponto é interessante observar a fórmula de Baker – Hausdorff para dois operadores A e B

quaisquer. Desta forma tem-se,

exp exp exp , (C.2.8)

onde o parâmetro é expresso por

12 A, B

112 A B, A, B , (C.2.9)

e o comutador entre os operadores é representado por

, . (C.2.10)

Considerando que os operadores comutam, tem-se 0 e, consequentemente, de (C.2.8)

exp exp exp . (C.2.11)

Substituindo os respectivos operadores por e , e tendo em atenção as equações

(C.2.7) e (C.2.11), resulta

, exp exp . (C.2.12)

Um aspecto importante, ocorre quando os operadores e não comutam. Desta forma existe um

erro que advém da consideração da equação (C.2.12), tendo em conta a equação (C.2.9),

2 , . (C.2.13)

Caso se escolha um suficientemente pequeno, o erro cometido pela equação (C.2.12) mantém-se

dentro dos limites aceitáveis. O SSFM utilizado nesta análise consiste numa versão simplificada, pois

apoia-se na equação (C.2.12). Este método iterativo consiste em dividir o espaço total da propagação

0 em pequenos troços simples de comprimento .

Como tal, considerando novamente a equação (C.2.12), o SSFM consiste em dois processos

consecutivos,

, exp , , (C.2.14)

, exp , , (C.2.15)

onde o feixe evolui primeiro tendo em consideração apenas os efeitos não – lineares e, em seguida

evolui considerando somente os efeitos dispersivos.

Substituindo a equação (C.2.2) na equação correspondente aos efeitos da não – linearidade,

equação (C.2.14), resulta

141


, exp | , | , . (C.2.16)

No que respeita à equação (C.2.15), não é possível recorrer ao mesmo tipo de aplicação, devido à

sua elevada complexidade. Desta forma, define-se a seguinte transformada de Fourier

, , exp . (C.2.17)

Nas presentes condições, o operador diferencial de dispersão converte-se num operador algébrico

que, tendo em atenção (C.2.1), é expresso por

12 . (C.2.18)

De acordo com a equação (C.2.15), tem-se

, exp , . (C.2.19)

Tal como anteriormente, aplicando a equação (C.2.18) na equação (C.2.19), obtém-se

, exp 2 , . (C.2.20)

Como tal, pode concluir-se que para iteração, far-se-á,

,12π , exp . (C.2.21)

É de notar que as equações (C.2.17) e (C.2.21) recorrem à FFT (Fast Fourier Transform), de forma a serem

resolvidas numericamente. Uma vez que na presente análise as perdas não são inseridas na propagação do

feixe, logo os seus efeitos não são considerados no método SSFM apresentado.

C.3. Equação Cnoidal

Na análise em questão, a equação não – linear de Schrödinger para a zona de dispersão anómala é

expressa por

12

| | 0. (C.3.1)

Geralmente, o método analítico utilizado para a resolução da equação (C.3.1) é o IST (Inverse

Scattering Transform), porém, ao tratar-se de um método matemático avançado e complexo, vai

optar-se por recorrer a um método mais simples, e por isso mais usual.

Considera-se que a solução equação anterior pode ser escrita como

, , exp , , (C.3.2)

onde o parâmetro e a função são positivos, assim como a função é real. Desta forma,

encontra-se de seguida os vários termos que constituem a equação (C.3.1). Efectuando a derivada

da equação (C.3.2) em ordem a , resulta


142

exp . (C.3.3)

Derivando agora duas vezes equação (C.3.2) em ordem a , obtém-se o segundo parâmetro da

equação (C.3.1),

2 exp . (C.3.4)

Por fim, multiplicando a equação (C.3.2) pelo seu módulo ao quadrado, facilmente se verifica que o

terceiro termo da equação (C.3.1) é expresso por

| | exp . (C.3.5)

Efectuando a respectiva substituição, dos resultados expressos pelas equações (C.3.3), (C.3.4) e

(C.3.5), na equação (C.3.1), resulta

12 2 exp 0. (C.3.6)

Separando a parte real da parte imaginária, e igualando ambas a zero, obtém-se, para a parte real

2 2 0, (C.3.7)

e de forma similar para a parte imaginária,

2 2 0. (C.3.8)

De forma a possibilitar a resolução das equações (C.3.7) e (C.3.8), admite-se que a partir de agora, é

possível escrever

, , (C.3.9)

e,

, Θ , (C.3.10)

onde o parâmetro é dado por

. (C.3.11)

O parâmetro da equação (C.3.11) corresponde a uma constante real, que embora actualmente não

apresente qualquer significado físico, ser-lhe-á atribuído posteriormente o significado de constante de

propagação normalizada.

Tendo em atenção as equações (C.3.9) e (C.3.11), verifica-se que é possível obter

, (C.3.12)

e,

143


, (C.3.13)

pelo que, tendo em atenção as equações (C.3.12) e (C.3.13), resulta

. (C.3.14)

De forma semelhante, recorrendo às equações (C.3.10) e (C.3.11), origina,

. (C.3.15)

Realizando a substituição da equação (C.3.14) na equação (C.3.8), obtém-se

2 2 0. (C.3.16)

Integrando a equação (C.3.16), sai

2 , (C.3.17)

onde o parâmetro corresponde a uma constante de integração. Considerando que a constante de

integração adquire um valor nulo, resulta

Θ, (C.3.18)

o que implica,

Θ , (C.3.19)

correspondendo a outra constante de integração. Efectuando , resulta das equações

(C.3.10), (C.3.11) e (C.3.19), que

. (C.3.20)

O parâmetro corresponde a um valor constante que representa a fase inicial. Correspondendo

este a uma constante, implica que deverá apresentar um significado físico, pelo que poderá ser

desprezado. O parâmetro é inserido pela equação (C.3.10).

Encontrada a função , , é possível encontrar a função , . Como tal, da equação (C.3.20),

tem-se

. (C.3.21)

Substituindo o resultado expresso por esta ultima equação na (C.3.7), verifica-se que

2 2 , (C.3.22)

onde se teve em atenção a equação (C.3.9), assim como o facto de


144

. (C.3.23)

Efectuando agora

2 2 , (C.3.24)

pode escrever-se a equação (C.3.22) na forma

2 2 . (C.3.25)

Procedendo a uma mudança de variável, com o intuito de simplificar a equação expressa por

(C.3.25), faz-se

√2 , (C.3.26)

o que facilmente implica que

√2

2 . (C.3.27)

Substituindo a nova variável expressa pela equação (C.3.27), na equação (C.3.25), resulta a

conhecida equação cnoidal, que é representada por

0. (C.3.28)

145

146

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Propagação de Feixes Ópticos em Meios Não - Lineares · 4.3.3.3 Feixe de Hermite – Gauss ..... 94 4.4 Solitões Ópticos Espaciais .......................................................................99