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PROPOSTA DE UMA NOVA EQUAÇÃO PARA ESTIMAR TENSÃO
RESIDUAL EM TUBOS
Ramon Renan Zanow e Silva
Projeto de Graduação apresentado ao Curso
de Engenharia Mecânica da Escola
Politécnica, Universidade Federal do Rio de
Janeiro, como parte dos requisitos
necessários à obtenção do título de
Engenheiro.
Orientador: Fernando Pereira Duda
ZANOW, Ramon
Proposta de uma nova equação para estimar tensão
residual em tubos/ Ramon Renan Zanow e Silva– Rio de Janeiro:
UFRJ / Escola Politécnica, 2017.
X, 90 p.: il.; 29,7 cm
Orientador: Fernando Pereira Duda
Projeto de Graduação – UFRJ / Escola Politécnica / Curso de
Engenharia Mecânica, 2017.
Referências Bibliográficas: p. 84.
1. Introdução. 2. Metodologia. 3. Resultados e Análise. 4.
Conclusão. I. Pereira Duda, Fernando. II. Universidade Federal do
Rio de Janeiro, Escola Politécnica, Engenharia Mecânica. III.
Proposta de uma nova equação para estimar tensão residual em
tubos.
“Onde não puderes amar, não te demores.”
Kahlo, Fridah
AGRADECIMENTOS
Primeiramente gostaria de agradecer a Deus por todas as suas bênçãos em minha
vida e na vida da minha família.
Ao professor Fernando Duda, pelos ensinamentos, companheirismo e
compreensão por todo o decorrer da elaboração do projeto.
À minha querida família. Em especial, aos meus pais, Marco e Cristina, e minha
esposa, Carolina, por me apoiarem diariamente em tudo que eu precisasse, sempre me
motivando a seguir em frente enfrentando todas as dificuldades de forma positiva.
Aos amigos e grandes profissionais da empresa Vallourec Tubos do Brasil S.A.,
em especial aos amigos Pierre Trublin e Pedro Filgueiras, pela ajuda e orientação no
trabalho.
Aos amigos que contribuíram de forma direta ou indireta na elaboração deste
trabalho.
A todo o Corpo Docente do Curso de Engenharia Mecânica, pelas aulas e por toda
informação que, com certeza, servirão por toda minha vida profissional.
Resumo do Projeto de Graduação apresentado à Escola Politécnica/UFRJ como parte
dos requisitos necessários para a obtenção do grau de Engenheiro Mecânico.
PROPOSTA DE UMA NOVA EQUAÇÃO PARA ESTIMAR TENSÃO
RESIDUAL EM TUBOS
Ramon Renan Zanow e Silva
Orientador: Professor Fernando Pereira Duda
Curso: Engenharia Mecânica
A ASTM E1928 - Norma Padrão para estimar tensão residual circunferencial
aproximada em tubos de paredes finas - é utilizada em diferentes indústrias,
principalmente na indústria do petróleo, para tubos soldados e sem costura.
Independentemente da esbeltez do tubo, numericamente definida pela relação
diâmetro / espessura, uma das recomendações técnicas mais aceitas em uso para calcular
o desempenho de tubos no design de poços, API TR 5C3, refere-se ao método do “anel
dividido” descrito na ASTM E1928 para estimar tensão residual circunferencial.
Neste trabalho, o método do “anel dividido” foi analisado numericamente, através
do método dos elementos finitos, usando tubos perfeitamente redondos e concêntricos em
estado plano de deformação e impondo um campo de tensão residual linear através da
espessura. Os resultados para esbeltez de tubos de 10 a 300 foram comparados com a
equação da norma padrão para estimar tensão residual e duas modificações na equação
foram propostas. Uma baseada no teorema de viga de Euler Bernoulli e outra no teorema
de viga curva. O trabalho mostrou que, contrariamente ao erro da equação padrão, o erro
da equação modificada “A” varia muito pouco com a esbeltez do tubo, com maior
precisão. Além disso, a precisão da equação modificada provou ser muito maior do que a
padrão.
Finalmente, sugere-se que a equação modificada “A” apresentada neste texto
substitua a que está em uso na ASTM E1928.
Abstract of Undergraduate Project presented to POLI/UFRJ as a partial fulfillment of
the requirement for the degree of Mechanical Engineer.
PROPOSAL OF A NEW EQUATION FOR ESTIMATING RESIDUAL
STRESS IN PIPES
Ramon Renan Zanow e Silva
Advisor: Fernando Pereira Duda, D.Sc.
Course: Mechanical Engineering
The ASTM E1928 – Standard Practice for Estimating the Approximate Residual
Stress Circumferential in Straight Thin-walled tubing – has been in use in different
industries, namely in the oil industry, for welded and seamless pipes.
Regardless of the pipe’s slenderness, numerically defined by the diameter-to-
thickness ratio, one of the most accepted technical recommendations in use for calculating
pipe performance in well design, API TR 5C3, refers to the “split ring” method described
in ASTM e1928 to estimate the hoop residual stress.
In this work, the “split ring” method was numerically analyzed, through the finite
elements method, by using perfect round and concentric pipes in plane strain conditions
and imposing linear-through-the-thickness residual stress. The results for pipe
slenderness from 10 to 300 were compared to the Standard Practice’s equation for
estimating residual stress and two modifications were suggested to the standard equation.
One modification based on the Euler-Bernoulli’s beam theorem (modification “A”) and
another one based on the theorem of curved beams (modification “B”). The study showed
that, contrariwise to the standard equation’s error, modification “A”’s error varies very
little with the pipe’s slenderness, with increased accuracy. Moreover, accuracy of the
modified equation proved to be much higher than the standard one.
Finally, the modified equation “A” presented in this text is suggested to replace
the one in use in ASTM E1928.
1
SUMÁRIO
1. INTRODUÇÃO .................................................................................................................... 5
1.1. FORMAÇÃO DE TENSÃO RESIDUAL .................................................................... 5
1.2. IMPORTÂNCIA DA ESTIMATIVA DE TENSÃO RESIDUAL ............................... 8
1.3. MÉTODOS DE ESTIMATIVA DE TENSÃO RESIDUAL ...................................... 12
1.4. A NORMA ASTM E1928 ........................................................................................... 13
1.5. OBJETIVO DO TRABALHO .................................................................................... 14
2. METODOLOGIA ............................................................................................................... 16
2.1. DERIVAÇÃO DA EQUAÇÃO DA ASTM E1928 ........................................................ 16
2.2. SUGESTÕES DE MODIFICAÇÃO NA EQUAÇÃO DA ASTM E1928 ..................... 19
2.2.1. SUGESTÃO “A” DE MODIFICAÇÃO NA ASTM E1928 ....................................... 19
2.2.2. SUGESTÃO “B” DE MODIFICAÇÃO NA ASTM E1928 ....................................... 20
2.3. SIMULAÇÃO NUMÉRICA VIA MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS ............... 25
2.3.1. SIMULAÇÃO NUMÉRICA DA NORMA ASTM E1928 ......................................... 26
2.3.2. SIMULAÇÕES PARA VERIFICAR CONVERGÊNCIA DE MALHA ................... 31
2.3.3. MODELOS UTILIZADOS ......................................................................................... 35
3. RESULTADOS ................................................................................................................... 36
3.1. RESULTADOS ASTM E1928 ....................................................................................... 36
3.2. COMPARAÇÃO ASTM E1928 X MODIFICAÇÕES SUGERIDAS ........................... 38
4. CONCLUSÃO .................................................................................................................... 41
ANEXO A - Tabela com resultados das simulações ................................................................... 44
2
TABELA DE FIGURAS
Figura 1 – Esquemático do processo de desempeno de tubulações (K. D. CHELETTE, 2011) ... 6
Figura 2 – Tubo passando pelo processo de desempeno (BEST, 2016) ....................................... 6
Figura 3: a) Seção transversal com excentricidade b) Resfriamento durante movimentação
longitudinal do tubo (K. D. CHELETTE, 2011) ........................................................................... 7
Figura 4 – Tubo aquecido passando pelo processo de mandrilamento (ALVES, 2017) ............... 7
Figura 5 – Esquemático de tubulações em uma coluna de produção de petróleo
(DRILLINGFORMULAS, 2014) .................................................................................................. 8
Figura 6 – Exemplo de colapso em tubos (TOSCANO, 2009) ..................................................... 9
Figura 7 – Exemplo de fratura frágil em uma tubulação (S. NILSSON, 2006) .......................... 10
Figura 8 – Exemplo de trinca devido à fragilização causada por sulfeto (SSC) (JR., 2008) ...... 10
Figura 9 – Esquemático de um tubo após ser cortado durante a prática da ASTM E1928
(ASTM-E1928, 1999) ................................................................................................................. 14
Figura 10 – Tubo cortado sendo interpretado como uma viga curva .......................................... 16
Figura 11 – Seção transversal de uma viga curva, mostrando o deslocamento da linha neutra em
relação ao centroide da seção. ..................................................................................................... 21
Figura 12 – Exemplo de simulação de colapso utilizando a metodologia de análise de elementos
finitos (UNKNOWN) .................................................................................................................. 25
Figura 13 – Processo utilizado para simular e avaliar o ensaio da ASTM E1928 ...................... 26
Figura 14 - Secção transversal do modelo de tubo 2D. Tubo esquerdo antes de ser cortado. Tubo
direito depois de ser cortado. ....................................................................................................... 26
Figura 15 - Seção A: seção de espessura na qual a Figura 16 está exibindo o campo de tensão
residual circunferencial linear ..................................................................................................... 27
Figura 16 - Exemplo de perfil de tensão residual circunferencial linear na seção A, da Figura 15.
..................................................................................................................................................... 27
Figura 17 – Condição de contorno de simetria criada para o modelo 2D ................................... 28
Figura 18 – Processo de corte simulado ao inibir a condição de contorno “Simetria 1” ............ 28
Figura 19 – Exemplo do efeito do passo “Equilíbrio de tensões” no perfil de tensão residual
circunferencial ............................................................................................................................. 29
Figura 20 – Processo de medição do diâmetro externo ............................................................... 30
Figura 21 – Elementos criados inicialmente para realizar a análise de convergência de malha . 32
Figura 22 – Resultado da convergência de malha, variando o número de elementos através da
espessura de parede de 25 até 400, com 200 elementos ao longo da circunferência do tubo
(seção transversal pela metade) ................................................................................................... 32
Figura 23 - Resultado da convergência de malha, variando o número de elementos através da
espessura de parede de 25 até 400, com 200 elementos ao longo da circunferência do tubo
(seção transversal pela metade) ................................................................................................... 33
Figura 24 - Resultado da convergência de malha, variando o número de elementos ao longo da
circunferência do tubo (seção transversal pela metade), de 200 até 800, com 25 elementos ao
longo da espessura do tubo.......................................................................................................... 34
Figura 25 - Resultado da convergência de malha, variando o número de elementos ao longo da
circunferência do tubo (seção transversal pela metade), de 200 até 800, com 25 elementos ao
longo da espessura do tubo.......................................................................................................... 34
Figura 26 - Taxas de erro calculadas usando a Equação 1, para os quatro modelos: 1 (Base)
Modelo de base, 2 (D) Mudança no diâmetro externo, 3 (R) Mudança na magnitude de tensão
residual após o equilíbrio de tensões e 4 (M) Mudança no material ........................................... 36
3
Figura 27 – Comparação entre as taxas de erro calculadas usando a equação da ASTM E1928 e
as modificações sugeridas, para os quatro modelos: 1 (Base) Modelo de base, 2 (D) Mudança no
diâmetro externo, 3 (R) Mudança na magnitude de tensão residual após o equilíbrio de tensões e
4 (M) Mudança no material ......................................................................................................... 38
Figura 28 - Comparação entre as taxas de erro calculadas usando a equação da ASTM E1928 e
as modificações sugeridas, para os quatro modelos. Valores de D/t entre 10 e 40. .................... 38
4
LISTA DE TABELAS
Tabela 1 – Influência da tensão residual na pressão de colapso de tubulações, Segundo alguns
autores (K. D. CHELETTE, 2011) .............................................................................................. 11
Tabela 2 – Tabela indicando o número de normas sobre tensão residual ligada à performance de
tubulações (K. D. CHELETTE, 2011) ........................................................................................ 11
Tabela 3 - Tubo cortado sendo interpretado como uma viga curva ............................................ 16
Tabela 4 - Diferentes modelos criados para executar a simulação ASTM E1928. 1 (Base):
Modelo para atuar como base de comparação. 2 (D): Modelo criado alterando apenas o diâmetro
externo. 3 (R): Modelo criado alterando apenas a magnitude da tensão residual máxima após o
equilíbrio de tensões. 4 (M): Modelo criado alterando apenas as propriedades dos materiais do
tubo. ............................................................................................................................................. 35
Tabela 5 - Taxas de erro, desvio padrão e média calculados usando a Equação 1, para os quatro
modelos: 1 (Base) Modelo de base, 2 (D) Mudança no diâmetro externo, 3 (R) Mudança na
magnitude de tensão residual após o equilíbrio de tensões e 4 (M) Mudança no material ......... 36
Tabela 6 - Taxas de erro, desvio padrão e média calculados usando a usando a equação da
ASTM E1928 e a modificação A, para os quatro modelos: 1 (Base) Modelo de base, 2 (D)
Mudança no diâmetro externo, 3 (R) Mudança na magnitude de tensão residual após o equilíbrio
de tensões e 4 (M) Mudança no material .................................................................................... 39
Tabela 7 - Taxas de erro, desvio padrão e média calculados usando a usando a equação da
ASTM E1928 e a Modificação B, para os quatro modelos: 1 (Base) Modelo de base, 2 (D)
Mudança no diâmetro externo, 3 (R) Mudança na magnitude de tensão residual após o equilíbrio
de tensões e 4 (M) Mudança no material .................................................................................... 39
5
1. INTRODUÇÃO
1.1. FORMAÇÃO DE TENSÃO RESIDUAL
Tensões residuais são tensões elásticas internas a um material que permanecem dentro do
objeto após a sua fabricação e processamento, mesmo que o objeto esteja livre de forças
externas ou gradiente térmico. Essas tensões surgem principalmente por duas razões: em
processos de fabricação que incorporam solidificação de material, como fundição ou
soldagem (HILL, 1996; TOTTEN, 2005) ou quando um componente é tensionado além
de seu limite elástico e ocorre deformação plástica (F. A. KANDIL, 2001; WITHERS,
2007; K. D. CHELETTE, 2011).
A influência dos processos de fabricação ao reter tensão residual em uma seção específica
do comprimento de um tubo é variada e complexa. Por exemplo, durante o processo de
fabricação de tubos sem costura, por exemplo, existem dois momentos importantes onde
as tensões residuais são geradas: durante o desempeno (Figura 1 e Figura 2) e durante o
processo de resfriamento (Figura 3 e Figura 4).
O processo conhecido como “desempeno” dos tubos tem como função adequar as
dimensões de diâmetro externo das tubulações às normas de fabricação. Contudo, o
desempeno somente ocorre quando ele gera deformações plásticas na parede da
tubulação. Esta deformação diferencial produz o desejado desempeno dos tubos, mas, por
outro lado, também gera tensões residuais retidas na parede na tubulação. Uma forma de
evitar tais deformações plásticas, seria aumentar a temperatura de desempeno dos tubos.
Porém, isto poderia fazer com que o tubo voltasse a se distorcer enquanto se resfria, e
perderia as propriedades ótimas de rectidão desejadas após a fabricação (K. D.
CHELETTE, 2011; YUFENG WANG, 2013).
6
Figura 1 – Esquemático do processo de desempeno de tubulações (K. D. CHELETTE, 2011)
Figura 2 – Tubo passando pelo processo de desempeno (BEST, 2016)
Durante o processo de fabricação, os tubos podem atingir temperaturas muito altas (de
1250 a 1300 ºC) para obterem a deformação necessária (KARL-HEINZ BRENSING,
1993). E durante o resfriamento dos tubos, deformidades da parede da tubulação tal como
ovalização, excentricidade e outras deformidades resultam em diferenciais de temperatura
e resfriamento ao longo da parede da tubulação que geram deformações plásticas
circunferenciais não-homogêneas, que são outro fator importante para surgir tensão
residual distribuída através da parede do tubo (K. D. CHELETTE, 2011).
7
Figura 3: a) Seção transversal com excentricidade b) Resfriamento durante movimentação longitudinal do tubo (K. D.
CHELETTE, 2011)
Figura 4 – Tubo aquecido passando pelo processo de mandrilamento (ALVES, 2017)
8
1.2. IMPORTÂNCIA DA ESTIMATIVA DE TENSÃO RESIDUAL
A combinação de programas de perfuração mais profundos, perfuração horizontal, fratura
hidráulica cíclica e recentes aumentos na segurança do design de poços pelos reguladores
governamentais empurrou o desempenho necessário de produtos tubulares da área de óleo
e gás para seus limites naturais. A fim de melhorar o desempenho tubular e a consistência,
um renovado interesse em entender e gerenciar tensão residual está se agitando dentro da
indústria (K. D. CHELETTE, 2011).
Figura 5 – Esquemático de tubulações em uma coluna de produção de petróleo (DRILLINGFORMULAS, 2014)
A tensão residual influencia consideravelmente as propriedades de engenharia de
materiais e componentes estruturais, tais como vida de fadiga, distorção, estabilidade
dimensional, resistência à corrosão e fratura frágil (TOTTEN, 2005; HILL, 1996; K. D.
CHELETTE, 2011; TAMANO, 2004; HEBARD, 1955). Portanto, a tensão residual é um
fator importante para o desempenho mecânico de tubulações, especialmente na indústria
de óleo e gás, onde o dimensionamento das tubulações afeta severamente os custos de
projeto. Um projeto de perfuração e produção de petróleo offshore conta com dezenas de
9
quilômetros de tubulações que, devido aos diversos desafios estruturais tais como altas
pressões, temperaturas severas e ambientes ácidos, possuem custos elevados.
A tensão residual afeta diretamente as equações e os cálculos para o desempenho de tubos
de perfuração, revestimento e produção (Figura 5). Relatórios técnicos internacionais
focados em cálculos de desempenho incluíram fatores de tensão residual nas suas
equações. Na API TR 5C3 Anexo F (API-TR-5C3, 2008), uma das recomendações
técnicas mais aceitas em uso para calcular o desempenho de tubos no design de poços de
petróleo, a equação para calcular o desempenho de colapso tubular (Figura 6) agora inclui
a influência da tensão residual. Além disso, uma nova equação para o desempenho de
fratura frágil (Figura 7) levando em consideração a tensão residual está em
desenvolvimento na API TR 5C3 Anexo D (API-TR-5C3, 2017). Adicionalmente,
pesquisas referentes a testes em ambiente líquido com H2S saturado relataram o impacto
significativo da tensão residual de tração na propagação de trincas superficiais, resultando
em fragilização causada por sulfeto (Figura 8 - SSC – Sulfide Stress Cracking, em inglês)
(LEVESQUE, 1991).
Figura 6 – Exemplo de colapso em tubos (TOSCANO, 2009)
10
Figura 7 – Exemplo de fratura frágil em uma tubulação (S. NILSSON, 2006)
Figura 8 – Exemplo de trinca devido à fragilização causada por sulfeto (SSC) (JR., 2008)
11
Um resumo de alguns estudos avaliando a influência da tensão residual na pressão de
colapso de tubulações está apresentado na Tabela 1:
Tabela 1 – Influência da tensão residual na pressão de colapso de tubulações, segundo alguns autores (adaptado) (K.
D. CHELETTE, 2011)
A Tabela 2 documenta algumas atividades de padronização relacionadas para a questão
de tensão residual circunferencial, conforme encontrado nos trabalhos dos comitês de
normatização de 1938 até 2011:
Tabela 2 – Tabela indicando o número de normas sobre tensão residual ligada à performance de tubulações
(adaptado) (K. D. CHELETTE, 2011)
Baixos níveis Altos níveis
W. M. Frame < 80 ksi 400 Aprox. 0 -1.5 a 55.8 15% a 30%
P. Mehdizadeh 86-95 ksi 12* -3.3 a -2.1 29.5 a 35.8 25% média
R. E. Zingham 121-135 ksi 12 -1.8 a 10.2 21.2 a 46.7 12.6% a 20.2%
* Tubos 7 5/8 26.40 N-80
** Tensão res idual na parede interna (negativa=trativa, pos i tiva = compress iva)
PesquisadorLimite de
escoamento
Quantidade
de amostras
% Redução da
pressão de colapso
Tensão Residual % Lim. Esc.**
Tópico Técnico Ano de discussão ou Publicação de requisito
Performance de Colapso 1938, 1939, 1957, 1974, 1975, 1981
Fragilização causada por sulfeto (SSC) 1991, 2011
Processo de desempeno 1955, 1970*, 1983, 1984, 1985, 1986, 1991, 1998*, 2005*, 2011*
*Novo requis i to imposto à especi ficação de fabricação
Normatização: Tensão residual relacionada à Performance
12
1.3. MÉTODOS DE ESTIMATIVA DE TENSÃO RESIDUAL
A tensão residual final para um tubo pode variar significativamente de tubo para tubo e
ao longo do comprimento de cada tubo desde a extremidade frontal até a extremidade
final (K. D. CHELETTE, 2011). Existem diferentes técnicas para medir tensão residual e
eles podem ser divididos em métodos não-destrutivos e destrutivos.
Os métodos não-destrutivos têm a vantagem de preservar o produto e são particularmente
úteis para controle de qualidade e testes em produtos de alto valor. No entanto, ou eles
são caros ou fornecem apenas resultados empíricos e comparativos.
Os métodos destrutivos de estimativa de tensão residual dependem do fato de que, quando
um corte é introduzido, o objeto se deforma devido ao campo de tensão residual. A tensão
residual então se reduz a zero na superfície recém-formada. Os métodos destrutivos
invariavelmente medem deformações e não tensões, e as tensões residuais são então
deduzidas usando os parâmetros de material apropriados, como o módulo de Young e
coeficiente de Poisson. Muitas vezes, apenas um único valor de tensão é obtido e as
tensões são implicitamente assumidas a variar linearmente através do interior do material.
Esses métodos geralmente são rápidos e exigem apenas equipamentos e cálculos simples
para relacionar a curvatura com as tensões residuais, proporcionando resultados
confiáveis e de aplicação ampla. ASTM E1928, a prática de padrão internacional a ser
avaliada durante o presente trabalho, é um exemplo de um método destrutivo para estimar
tensão residual nos tubos.
13
1.4. A NORMA ASTM E1928
ASTM E1928 descreve uma técnica para estimar tensão residual circunferencial para
tubos de paredes finas, usando um método destrutivo. O mérito desta prática não está no
valor real da tensão residual circunferencial estimada, mas na relação entre a tensão
estimada determinada por esta simples prática e o desempenho subsequente do tubo.
Nesse sentido, a ASTM E1928 incentiva os usuários da norma a desenvolver e manter
registros históricos abrangentes para avaliação, para materiais específicos de tubos,
processos de fabricação e ambientes, as relações entre as tensões estimadas e o
desempenho subsequente (ASTM-E1928, 1999).
A prática da ASTM E1928 consiste em cortar tubos longitudinalmente e medir a diferença
entre o diâmetro externo médio antes e após cortar, de acordo com a Figura 9, para obter
um valor estimado para a tensão residual circunferencial usando a Equação 1. Esta prática
assume o seguinte (ASTM-E1928, 1999):
Existe uma distribuição linear de tensão residual circunferencial através da espessura
de parede do tubo;
O material é elástico, linear e isotrópico;
Deformações pequenas;
A quantidade de tubo retirada devido ao corte é insignificante para os cálculos; e
Estado plano de deformação.
14
Figura 9 – Esquemático de um tubo após ser cortado durante a prática da ASTM E1928 (ASTM-E1928, 1999)
𝜎𝑟𝑒𝑠𝐴𝑆𝑇𝑀 = ±𝐸 × 𝑡
1 − 𝜈2(1
𝐷0−
1
𝐷1)
Equação 1
Onde:
𝜎𝑟𝑒𝑠𝐴𝑆𝑇𝑀 = Tensão residual circunferencial mínima e máxima nas superfícies internas
e externas do tubo;
E = Módulo de Young;
t = Espessura de parede da tubulação;
ν = coeficiente de Poisson;
D0 = Diâmetro externo médio inicial; e
D1 = Diâmetro externo médio final
A norma ASTM E1928 é amplamente utilizada pela indústria pela facilidade de sua
aplicação, onde é necessária apenas uma ferramenta de corte e uma ferramenta simples
de medição, como um paquímeto por exemplo, para estimar a tensão residual.
1.5. OBJETIVO DO TRABALHO
De acordo com ASTM E1928, a prática geralmente é razoável para tubos de paredes finas,
isto é, para tubos em que a espessura da parede não exceda um décimo do diâmetro
externo (ASTM-E1928, 1999). A importância de tal afirmação é que a variação de tensão
residual através da parede de um tubo é diferente para tubos mais espessos e, portanto,
15
requer um modelo diferente para estimar a tensão residual. No entanto, na literatura, são
propostos diferentes valores de D/t para separar os modelos de tubos de parede fina e
espessa (BHANDARI, 2010; JAYARAM, 2007; MIKAEL MÖLLER, 2013) e não
existem estudos para avaliar a relação real entre os resultados da ASTM E1928 e a
esbeltez do tubo. Isso gera uma incerteza sobre a aplicabilidade da ASTM E1928,
especialmente para os tubos em que a esbeltez se aproxima dos limites propostos pela
norma, como os tubos de revestimento utilizados nos poços de petróleo e gás.
O objetivo do presente trabalho, portanto, é avaliar os efeitos das hipóteses assumidas
pela ASTM E1928 para diferentes faixas de D/t e propor uma solução atenuante para
reduzir a dependência da esbeltez do tubo.
16
2. METODOLOGIA
2.1. DERIVAÇÃO DA EQUAÇÃO DA ASTM E1928
Considerando as seguintes hipóteses, de acordo com a seção 1.4:
Existe apenas tensão residual circunferencial linear através da espessura de parede do
tubo;
Modelo de tubulação de parede fina; e
Estado plano de deformação.
Para os fins dos cálculos a seguir, deve considerar-se o tubo cortado como uma viga curva
em que o comprimento do tubo, a espessura de parede e o comprimento circunferencial
do tubo cortado serão respectivamente interpretados como largura, altura e comprimento
da viga curva, conforme mostrado na Figura 10 e na Tabela 3:
Figura 10 – Tubo cortado sendo interpretado como uma viga curva
Tabela 3 - Tubo cortado sendo interpretado como uma viga curva
Parâmetro Tubo Viga curvaDireção
(viga)
A Comprimento Largura z
B Espessura Altura y
CComprimento
circunferencialComprimento
θ
17
Uma vez em que o corte é feito, as duas metades do tubo se enrolam para trás, liberando
assim o momento fletor existente nas duas metades antes da divisão. De acordo com
alguns autores (TOTTEN, 2005; GORDON, 1968; JR., 1949), a equação do momento
fletor de Euler-Bernoulli pode ser usada para definir o maior esforço axial no tubo cortado
(viga curva) mostrado na Figura 10:
𝜎𝜃𝜃 =𝑀𝑐
𝐼=(𝐸𝐼𝜌) 𝑐
𝐼=𝐸𝑖𝑐
𝜌𝐼=𝐸𝑐
𝜌
Equação 2
Onde:
M = momento fletor na viga;
E = módulo de Young do material;
I = Momento de inércia da viga;
ρ = raio médio de curvatura da viga;
σθθ = Tensão circunferencial no tubo (tensão normal na viga na direção θ); e
c = Distância da linha neutra para a parte superior da viga.
Considerando estado plano de deformação, o módulo de Young do material deve ser
corrigido pelo coeficiente de Poisson (TOTTEN, 2005; GORDON, 1968; JR., 1949).
Além disso, considerando o modelo de tubo de paredes finas e a curvatura da viga
constante, o raio de curvatura se aproxima do raio externo do tubo. Assim sendo:
𝜎𝜃𝜃 =𝐸𝑐
𝜌=𝐸′𝑐
𝜌= (
𝐸
1 − 𝜈2)𝑡
2𝑅= (
𝐸
1 − 𝜈2)𝑡
𝐷
Equação 3
18
Onde:
E = módulo de Young corrigido para estado plano de deformação;
t = espessura de parede da tubulação (altura da viga);
R = raio externo do tubo (curvatura da viga); e
D = Diâmetro externo do tubo (duas vezes maior que o raio de curvatura externo do
tubo).
Considerando a tensão residual, o motivo pelo qual o tubo cortado se abre:
𝜎𝜃𝑟𝑒𝑠 = 𝜎𝜃𝑑𝑒𝑝𝑜𝑖𝑠 − 𝜎𝜃𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠
Equação 4
𝜎𝜃𝑟𝑒𝑠 = [(𝐸
1 − 𝜈2)
𝑡
𝐷𝑑𝑒𝑝𝑜𝑖𝑠] − [(
𝐸
1 − 𝜈2)
𝑡
𝐷𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠]
Equação 5
Finalmente, a equação descrita na ASTM E1928 é obtida:
𝜎𝜃𝑟𝑒𝑠 =𝐸 × 𝑡
1 − 𝜈2(
1
𝐷𝑑𝑒𝑝𝑜𝑖𝑠−
1
𝐷𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠) = 𝜎𝑟𝑒𝑠𝐴𝑆𝑇𝑀
Equação 6
A Equação 6 havia sido proposta por G. Sachs e G. Espey (G. SACHS, 1941) antes da
ASTM E1928 incorporá-la a sua prática.
19
2.2. SUGESTÕES DE MODIFICAÇÃO NA EQUAÇÃO DA ASTM E1928
2.2.1. SUGESTÃO “A” DE MODIFICAÇÃO NA ASTM E1928
A Equação 2 aproxima a curvatura da viga para o seu raio externo. No entanto, essa
aproximação só seria válida se a espessura do tubo fosse próxima de zero. No presente
estudo, os tubos de paredes finas são aqueles em que a espessura pode ser negligenciada
devido a um grande diâmetro externo. No entanto, para estes casos, a espessura não é
próxima de zero, o que poderia prejudicar a eficácia da equação da ASTM E1928. Uma
simples mudança na Equação 2 poderia fornecer uma correlação mais precisa entre o raio
de curvatura e a leitura externa, menos dependente da esbeltez da viga, tomando a
curvatura da linha neutra como a curvatura média da viga:
𝜌 = 𝑅 −𝑡
2
Equação 7
Ou:
𝜌 =𝐷 − 𝑡
2
Equação 8
Substituindo a Equação 8 na Equação 2, teremos:
𝜎𝜃𝑟𝑒𝑠 =𝐸 × 𝑡
1 − 𝜈2(
1
𝐷𝑑𝑒𝑝𝑜𝑖𝑠 − 𝑡−
1
𝐷𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 − 𝑡) = 𝜎𝑟𝑒𝑠𝐴
Equação 9
20
A Equação 9 é a equação proposta do presente trabalho. Espera-se que esta equação
reduza a dependência da tensão residual na esbeltez dos tubos.
2.2.2. SUGESTÃO “B” DE MODIFICAÇÃO NA ASTM E1928
Segundo Young et al. (WARREN C. YOUNG, 2002), a Equação 2 somente poderia ser
utilizada para vigas com baixo valor de curvatura em que a relação D/t fosse maior do
que 17. Segundo os autores, a linha neutra se distancia do centroide da seção transversal
da viga em curvaturas muito elevadas (Figura 11) e os resultados obtidos pela Equação 2
não teriam a precisão adequada. Para tanto, os autores sugerem uma equação modificada
à Equação 2:
𝜎𝜃𝜃 =𝑀𝑦
𝐴𝑒𝑟
Equação 10
Onde:
𝜎𝜃𝜃 = Tensão axial na viga curva (tensão circunferencial no tubo);
M=Momento fletor na viga curva;
y= Distância da linha neutra até o ponto de interesse (onde se deseja calcular a tensão);
A = Área da seção transversal da viga curva;
e=fator de correção devido ao deslocamento do centroide da seção da viga; e
r=distância radial até o ponto de interesse (onde se deseja calcular a tensão).
21
Figura 11 – Seção transversal de uma viga curva, mostrando o deslocamento da linha neutra em relação ao centroide
da seção (adaptado) (WARREN C. YOUNG, 2002).
E para calcular o fator de correção (e), os autores sugerem duas equações, dependentes
da relação D/t:
𝑒 = 𝑅𝑚 − 𝑟𝑛 = 𝑅𝑚 −𝐴
∫𝑑𝐴𝑟á𝑟𝑒𝑎
𝑝𝑎𝑟𝑎𝐷
𝑡< 17
Equação 11
𝑒 =𝐼
𝑅𝑚𝐴 𝑝𝑎𝑟𝑎
𝐷
𝑡> 17
Equação 12
Onde:
𝑅𝑚 = raio de curvatura do centróide; e
I = momento de inércia da seção transversal sobre o centroide.
Desta forma, calculando o fator de correção utilizando a Equação 11:
22
𝑒 = 𝑅𝑚 − 𝑟𝑛 = 𝑅𝑚 −𝐿 × 𝑡
(∫ 𝑑𝐴á𝑟𝑒𝑎
)
𝑟
= 𝑅𝑚 −𝐿 × 𝑡
𝐿 × 𝑙𝑛
(
𝑅𝑚𝑡2
+ 1
𝑅𝑚𝑡2
− 1
)
= 𝑅𝑚 −𝑡
𝑙𝑛 (
2𝑅𝑚𝑡
+ 1
2𝑅𝑚𝑡
− 1)
= 𝑅𝑚 −𝑡
𝑙𝑛 (
𝐷𝑚 + 𝑡𝑡
𝐷𝑚 − 𝑡𝑡
)
= 𝑅𝑚 −𝑡
𝑙𝑛 (𝐷𝑚 + 𝑡𝐷𝑚 − 𝑡
)=𝐷𝑚2
−𝑡
𝑙𝑛 (𝐷𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜𝐷𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜
)
=𝐷𝑚 × 𝑙𝑛 (
𝐷𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜𝐷𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜
) − 2 × 𝑡
2 × 𝑙𝑛 (𝐷𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜𝐷𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜
)
𝑒 =𝐷𝑚 × 𝑙𝑛 (
𝐷𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜𝐷𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜
) − 2 × 𝑡
2 × 𝑙𝑛 (𝐷𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜𝐷𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜
)
Equação 13
Onde:
𝐷𝑚 = Diâmetro da linha média da viga curva (do tubo);
𝐷𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜 = Diâmetro externo do tubo;
𝐷𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜 = Diâmetro interno do tubo; e
t = espessura de parede do tubo.
Agora, utilizando a Equação 13 na Equação 10:
23
𝜎𝜃𝜃 =𝑀𝑦
𝐴𝑒𝑟= (𝑀)(𝑅𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜 − 𝑟𝑛)
1
(𝐴)(1
𝑒)
1
(𝑅𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜)
𝜎𝜃𝜃 = (1
1 − 𝑣2) (
2𝐸𝐼
𝐷𝑚)(
𝐷𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜2
−𝑡
𝑙𝑛 (𝐷𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜𝐷𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜
))
1
(𝐿 × 𝑡)(
2 × 𝑙𝑛 (𝐷𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜𝐷𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜
)
𝐷𝑚 × 𝑙𝑛 (𝐷𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜𝐷𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜
) − 2 × 𝑡)
2
(𝐷𝑜)
𝜎𝜃𝜃 = (1
1 − 𝑣2)(
2𝐸 (𝐿 × 𝑡32
12)
𝐷𝑚
)(𝐷𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜
2
𝑡
𝑙𝑛 (𝐷𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜
𝐷𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜))
1
(𝐿 × 𝑡)(
2 × 𝑙𝑛 (𝐷𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜
𝐷𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜)
𝐷𝑚 × 𝑙𝑛 (𝐷𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜
𝐷𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜) − 2 × 𝑡
)2
(𝐷𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜)
𝜎 = (1
1 − 𝑣2) (
𝐸(𝑡²)
3𝐷𝑚𝐷𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜)(
𝐷𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜2
−𝑡
𝑙𝑛 (𝐷𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜𝐷𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜
))(
2 × 𝑙𝑛 (𝐷𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜𝐷𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜
)
𝐷𝑚 × 𝑙𝑛 (𝐷𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜𝐷𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜
) − 2 × 𝑡)
Equação 14
A Equação 14 retorna o valor da tensão axial de uma viga curva, para valores de
D/t menores do que 17.
Agora, para valores de D/t maiores do que 17, utilizando a Equação 12:
24
𝜎𝜃𝜃 =𝑀𝑦
𝐴𝑒𝑟= (𝑀)(𝑦)
1
(𝐴)(1
𝑒)1
(𝑟)
= [(1
1 − 𝑣2) (
𝐸𝐼
𝑅𝑚)] [
𝑡
2+ 𝑒] [
1
(𝐴)] [𝐴𝑅𝑚𝐼
] [1
(𝑅𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜)]
= (1
1 − 𝑣2)
𝐸
𝑅𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜(𝑡
2+ 𝑒)
= (1
1 − 𝑣2)
2𝐸
𝐷𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜(𝑡
2+ (
𝐼
𝐴𝑅𝑚))
= (1
1 − 𝑣2)
2𝐸
𝐷𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜(𝑡
2+ (
2𝐼
𝐴𝐷𝑚))
= (1
1 − 𝑣2)
2𝐸
𝐷𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜
(
𝑡
2+ (
2(𝐿 × 𝑡32
12)
(𝐿 × 𝑡)𝐷𝑚)
)
= (1
1 − 𝑣2)
2𝐸
𝐷𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜(𝑡
2+ (
2𝑡²
3𝐷𝑚 ))
= (1
1 − 𝑣2)
𝐸𝑡
𝐷𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜(1 + (
𝑡
3𝐷𝑚 ))
𝜎𝜃𝜃 = (1
1 − 𝑣2)
𝐸𝑡
𝐷𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜(1 + (
𝑡
3𝐷𝑚 ))
Equação 15
A Equação 15 retorna o valor da tensão axial de uma viga curva, para valores de
D/t maiores do que 17.
E utilizando o mesmo conceito de tensão residual da Equação 4, é possível
calcular a tensão residual utilizando as Equação 14 Equação 15, para os valores
de D/t aplicáveis.
25
2.3. SIMULAÇÃO NUMÉRICA VIA MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS
O método dos elementos finitos é um procedimento numérico para resolver problemas
físicos nos campos da mecânica, dinâmica dos fluidos, termodinâmica, entre outros. O
método dos elementos finitos é particularmente útil para resolver problemas que não
possuem procedimentos analíticos simples ou satisfatórios, devido às possíveis
geometrias complexas que não podem ser modeladas numericamente.
O método dos elementos finitos resolve os problemas ao dividir um corpo em questão em
pequenos elementos de geometria conhecida, cuja solução pode ser facilmente
encontrada. O método gera um conjunto de equações algébricas que podem ser resolvidas
numericamente. Com o advento dos computadores de processamento rápido, esses
procedimentos se tornaram ainda mais simples, rápidos e eficazes.
Figura 12 – Exemplo de simulação de colapso utilizando a metodologia de análise de elementos finitos (UNKNOWN)
Durante o presente trabalho, a técnica foi utilizada para simular a diferença entre a real
tensão residual presente em um tubo, e a subsequente estimativa pela norma ASTM
E1928.
26
2.3.1. SIMULAÇÃO NUMÉRICA DA NORMA ASTM E1928
O software ABAQUS® foi utilizado para simular o procedimento ASTM E1928 e sua
avaliação. Um modelo 2D (Figura 13 e Figura 14) foi criado baseado nas propriedades de
material do aço, como descrito ao longo do presente trabalho, nas hipóteses citadas na
seção 1.4. O processo para realizar a simulação e a análise de resultados está ilustrado na
Figura 13.
Figura 13 – Processo utilizado para simular e avaliar o ensaio da ASTM E1928
Figura 14 - Secção transversal do modelo de tubo 2D. Tubo à esquerda antes de ser cortado. Tubo à direita depois de
ser cortado.
27
O campo de tensão residual foi gerado usando um plug-in, que estabeleceu um campo de
tensão circunferencial linear pré-definido para cada elemento finito dentro da malha do
modelo, criando tensão residual compressiva no diâmetro interno e tensão residual de
tração no diâmetro externo. Esta tensão está exibida na Figura 16 e representa a tensão
residual circunferencial que deve ser avaliada.
Figura 15 - Seção A: seção de espessura na qual a Figura 16 está exibindo o campo de tensão residual circunferencial
linear
Figura 16 - Exemplo de perfil de tensão residual circunferencial linear na seção A, da Figura 15.
28
Para desenvolver tal campo de tensão residual, foram criados elementos quadráticos e em
estado plano de deformação para a simulação (CPE8).
Para simular o processo de "corte" do tubo, o modelo 2D foi criado usando condições de
contorno de simetria, conforme a Figura 17. A condição de contorno "Simetria 1" foi
inibida em um passo subsequente, de modo que o processo de corte ocorresse, conforme
a Figura 18.
Figura 17 – Condição de contorno de simetria criada para o modelo 2D
Figura 18 – Processo de corte simulado ao inibir a condição de contorno “Simetria 1”
29
A simulação tem as seguintes etapas:
1. Inicial - Estático, Geral
Passo em que as condições de contorno de simetria e o campo de tensão residual pré-
definido são aplicados.
2. Equilíbrio de tensões - Estático, Geral
Passo em que o equilíbrio de tensões ocorre. A Figura 19 mostra o efeito desta etapa no
perfil de tensão residual. Nesta etapa, o perfil tem uma ligeira alteração, uma vez que a
variação máxima foi de 2% e o perfil permaneceu linear, conforme especificado pela
ASTM E1928 (ASTM-E1928, 1999). Mudanças na geometria devido ao equilíbrio de
tensões foram negligenciadas.
Figura 19 – Exemplo do efeito do passo “Equilíbrio de tensões” no perfil de tensão residual circunferencial
30
3. Corte – Estático, Geral
Nesta etapa, a condição de contorno "Simetria 1" é inibida e o "processo de corte" é
obtido, conforme a Figura 18.
Os valores do diâmetro externo antes e após cortar o tubo foram medidos tomando a
distância entre os pontos mais oriental e ocidental dos modelos 2D, de acordo com a
Figura 20. Os valores do diâmetro externo foram utilizados na Equação 1 e os valores
obtidos correspondem à tensão residual estimada pela ASTM E1928.
Figura 20 – Processo de medição do diâmetro externo
Para quantificar a eficácia do procedimento ASTM E1928, a diferença entre a tensão
residual real e estimada foi avaliada como:
𝐸𝑟𝑟𝑜 (%) =𝜎𝐴𝑆𝑇𝑀 − 𝜎𝐴𝐵𝐴𝑄𝑈𝑆
𝜎𝐴𝐵𝐴𝑄𝑈𝑆
Equação 16
31
Onde:
σABAQUS = Valor real de tensão residual criado com o campo pré-definido de tensão
relacionado ao diâmetro externo do tubo, após o passo “equilíbrio de tensões” ter
surtido efeito;
σASTM= Valor estimado de tensão residual no diâmetro externo usando a Equação 1.
2.3.2. SIMULAÇÕES PARA VERIFICAR CONVERGÊNCIA DE MALHA
Na modelagem de elementos finitos, uma malha mais fina geralmente resulta em uma
solução mais precisa. No entanto, à medida que uma malha se torna mais fina, o tempo
de cálculo aumenta. Uma maneira de se obter uma malha que equilibre satisfatoriamente
a precisão e os recursos de computação, é executar um estudo de convergência de malha.
Em um estudo de conversão de malha, deve-se usar primeiramente o menor número
razoável de elementos e analisar o modelo. Depois, deve-se recriar a malha com uma
distribuição de elementos mais densa, reavaliá-la e comparar os resultados com os da
malha anterior. Continue a aumentar a densidade da malha e reanalisar o modelo até que
os resultados sejam convergentes de forma satisfatória.
Esse tipo de estudo de convergência de malha pode permitir que você obtenha uma
solução precisa com uma malha suficientemente densa e que não exige o uso excessivo
de recursos de computação.
Para o presente projeto, o estudo de convergência de malha focou em definir o número
correto de elementos através da espessura de parede e ao longo da circunferência do tubo.
De início, um modelo com 25 elementos ao longo da parede do tubo e 200 ao longo da
circunferência (seção transversal pela metade) foi escolhido. O refinamento da malha, se
deu para cada dimensão da tubulação por vez, conforme tabelas e figuras abaixo:
32
Figura 21 – Elementos criados inicialmente para realizar a análise de convergência de malha
Figura 22 – Resultado da convergência de malha, variando o número de elementos através da espessura de parede de
25 até 400, com 200 elementos ao longo da circunferência do tubo (seção transversal pela metade)
33
Figura 23 - Resultado da convergência de malha, variando o número de elementos através da espessura de parede de
25 até 400, com 200 elementos ao longo da circunferência do tubo (seção transversal pela metade)
Como se pode ver, a partir 200 elementos ao longo da parede da tubulação, o incremento
de precisão nos resultados não é relevante o suficiente para justificar o grande aumento
no tempo de processamento e cálculo computacional. A partir de 400 elementos através
da parede, existe um incremento de 17 min, em média, para cada variação percentual do
erro na equação da ASTM E1928.
34
Figura 24 - Resultado da convergência de malha, variando o número de elementos ao longo da circunferência do tubo
(seção transversal pela metade), de 200 até 800, com 25 elementos ao longo da espessura do tubo
Figura 25 - Resultado da convergência de malha, variando o número de elementos ao longo da circunferência do tubo
(seção transversal pela metade), de 200 até 800, com 25 elementos ao longo da espessura do tubo
35
Como se pode ver, a partir de 400 elementos ao longo da circunferência, o incremento de
precisão nos resultados não é relevante o suficiente para justificar o grande aumento no
tempo de processamento e cálculo computacional. A partir de 800 elementos através da
circunferência, existe um incremento de 62 min, em média, para cada variação percentual
do erro na equação da ASTM E1928.
2.3.3. MODELOS UTILIZADOS
Para avaliar o modelo de simulação numérica para diferentes produtos tubulares, foram
criados quatro modelos diferentes para vários valores de D/t, variando de 10 a 300,
reduzindo a espessura de parede do tubo e mantendo o diâmetro externo constante. Os
modelos foram criados de acordo com a tabela abaixo:
Tabela 4 - Diferentes modelos criados para executar a simulação ASTM E1928. 1 (Base): Modelo para atuar como
base de comparação. 2 (D): Modelo criado alterando apenas o diâmetro externo. 3 (R): Modelo criado alterando apenas
a magnitude da tensão residual máxima após o equilíbrio de tensões. 4 (M): Modelo criado alterando apenas as
propriedades dos materiais do tubo.
Modelos 1 (Baes) 2 (D) 3 (R) 4 (M)
D0 [mm] 273 225 273 273
Tensão Res. [Mpa] 151.6 151.6 379 151.6
E [Gpa] 210 210 210 225
v 0.3 0.3 0.3 0.4
36
3. RESULTADOS
3.1. RESULTADOS ASTM E1928
Os resultados estão apresentados resumidamente na Figura 26 e na Tabela 5 e em mais
detalhes no ANEXO A.
Figura 26 - Taxas de erro calculadas usando a Equação 1, para os quatro modelos: 1 (Base) Modelo de base, 2 (D)
Mudança no diâmetro externo, 3 (R) Mudança na magnitude de tensão residual após o equilíbrio de tensões e 4 (M)
Mudança no material
Tabela 5 - Taxas de erro, desvio padrão e média calculados usando a Equação 1, para os quatro modelos: 1 (Base)
Modelo de base, 2 (D) Mudança no diâmetro externo, 3 (R) Mudança na magnitude de tensão residual após o
equilíbrio de tensões e 4 (M) Mudança no material
Desv. Padrão Média
1 (Base) 2 (D) 3 (R) 4 (M) [%] [%]
10 -20.4 -20.3 -20.4 -21.0 0.30 -20.5
15 -13.8 -13.8 -13.8 -14.4 0.24 -14.0
20 -10.5 -10.4 -10.5 -10.9 0.20 -10.6
25 -8.4 -8.4 -8.4 -8.8 0.18 -8.5
30 -7.1 -7.0 -7.1 -7.4 0.16 -7.2
35 -6.1 -6.1 -6.1 -6.4 0.14 -6.2
40 -5.4 -5.3 -5.4 -5.6 0.12 -5.4
45 -4.8 -4.8 -4.8 -5.0 0.11 -4.8
60 -3.6 -3.8 -3.6 -3.9 0.10 -3.7
80 -2.8 -2.6 -2.8 -3.0 0.13 -2.8
100 -2.3 -2.1 -2.3 -2.4 0.14 -2.3
150 -1.6 -1.3 -1.8 -1.8 0.20 -1.6
300 -0.7 -0.4 -0.7 -0.8 0.14 -0.7
Erro [%]
ASTM E1928
D/t
37
De fato, o método de estimação da ASTM E1928 é mais preciso para tubos com paredes
mais finas. Em média, a taxa de erro variou de 21% para cerca de 0,7%, comparando-se
com tubos com relação D/t de 10 e 300, respectivamente.
Além disso, o desvio padrão máximo para cada relação D/t foi de 0,3%, o que significa
que os resultados são precisos, independentemente dos quatro modelos utilizados. É a
evidência de que a taxa de erro do método da ASTM E1928 depende unicamente da
relação D/t. Quanto mais fino for o tubo, mais a taxa de erro aproxima-se de zero. Em
média, as taxas de erro com D/t iguais a 300 são de 0,7%.
38
3.2. COMPARAÇÃO ASTM E1928 X MODIFICAÇÕES SUGERIDAS
Ao usar a mesma definição de erro (Equação 16) e usando os resultados obtidos da
simulação na Equação 9 (Modificação “A”) e nas Equação 14 Equação 15 (Modificação
“B”), temos:
Figura 27 – Comparação entre as taxas de erro calculadas usando a equação da ASTM E1928 e as modificações
sugeridas, para os quatro modelos: 1 (Base) Modelo de base, 2 (D) Mudança no diâmetro externo, 3 (R) Mudança na
magnitude de tensão residual após o equilíbrio de tensões e 4 (M) Mudança no material
Figura 28 - Comparação entre as taxas de erro calculadas usando a equação da ASTM E1928 e as modificações
sugeridas, para os quatro modelos. Valores de D/t entre 10 e 40.
39
Tabela 6 - Taxas de erro, desvio padrão e média calculados usando a usando a equação da ASTM E1928 e a
modificação A, para os quatro modelos: 1 (Base) Modelo de base, 2 (D) Mudança no diâmetro externo, 3 (R)
Mudança na magnitude de tensão residual após o equilíbrio de tensões e 4 (M) Mudança no material
Tabela 7 - Taxas de erro, desvio padrão e média calculados usando a usando a equação da ASTM E1928 e a
Modificação B, para os quatro modelos: 1 (Base) Modelo de base, 2 (D) Mudança no diâmetro externo, 3 (R)
Mudança na magnitude de tensão residual após o equilíbrio de tensões e 4 (M) Mudança no material
Desv. Padrão Média
1 (Base) 2 (D) 3 (R) 4 (M) [%] [%]
10 -1.8 -1.8 -1.8 -2.6 0.35 -2.0
15 -1.2 -1.2 -1.2 -1.8 0.26 -1.3
20 -0.9 -0.9 -0.9 -1.4 0.21 -1.0
25 -0.7 -0.7 -0.7 -1.1 0.17 -0.8
30 -0.6 -0.7 -0.6 -1.0 0.15 -0.7
35 -0.5 -0.6 -0.6 -0.9 0.13 -0.6
40 -0.5 -0.6 -0.5 -0.8 0.12 -0.6
45 -0.5 -0.6 -0.5 -0.7 0.11 -0.6
60 -0.4 -0.6 -0.4 -0.6 0.12 -0.5
80 -0.4 -0.3 -0.4 -0.5 0.10 -0.4
100 -0.4 -0.2 -0.4 -0.5 0.11 -0.4
150 -0.4 -0.2 -0.5 -0.6 0.16 -0.4
300 -0.1 0.1 -0.1 -0.2 0.10 -0.1
D/tErro [%]
Modificação A
Desv. Padrão Média
1 (Base) 2 (D) 3 (R) 4 (M) [%] [%]
10 -15.0 -15.0 -15.0 -15.7 0.31 -15.2
15 -10.0 -9.9 -10.0 -10.5 0.24 -10.1
20 -7.5 -7.4 -7.5 -7.9 0.20 -7.6
25 -6.0 -6.0 -6.0 -6.4 0.17 -6.1
30 -5.0 -5.0 -5.0 -5.4 0.15 -5.1
35 -4.3 -4.3 -4.3 -4.6 0.14 -4.4
40 -3.8 -3.8 -3.8 -4.1 0.12 -3.9
45 -3.4 -3.4 -3.4 -3.6 0.11 -3.5
60 -2.6 -2.7 -2.6 -2.8 0.10 -2.7
80 -2.0 -1.8 -2.0 -2.2 0.12 -2.0
100 -1.7 -1.4 -1.7 -1.8 0.13 -1.6
150 -1.2 -0.9 -1.3 -1.4 0.18 -1.2
300 -0.5 -0.3 -0.5 -0.6 0.13 -0.5
Modificação B
D/tErro [%]
40
Os resultados mostram que a magnitude geral do erro diminuiu substancialmente
utilizando modificação “A”. A taxa de erro máxima, com relação D/t igual a 10, caiu de
20% para cerca de 2%. Além disso, a dependência da tensão residual na esbeltez do tubo
também reduziu em grande parte. Já que a variação da taxa de erro com é de apenas cerca
de 2%, pois para D/t igual a 300 o resultado, assim como os resultados ASTM E1928 ',
também se aproxima de zero.
Utilizando a modificação “B”, também houve redução do erro, porém, menor do que
utilizando a modificação “A”. Além disso, a dependência da tensão residual na esbeltez
do tubo, apesar de ter reduzido em relação a equação da ASTM E1928, ainda se manteve
grande. Já que a variação da taxa de erro de cerca de 15%, pois para D/t igual a 300 o
resultado, assim como os resultados ASTM E1928 e da modificação “A, também se
aproxima de zero.
Além disso, os resultados de ambas modificações mantiveram a precisão da ASTM
E1928 em relação às propriedades da tubulação. O desvio padrão máximo para cada
relação D/t foi de 0,35%. Isso significa que as modificações propostas não só reduziram
a magnitude do erro e a dependência da esbeltez da tubulação, mas a precisão é
conservada e também pode ser aplicada a qualquer produto de tubular,
independentemente de suas dimensões, propriedades dos materiais e magnitude de tensão
residual.
41
4. CONCLUSÃO
A atual prática descrita na ASTM E1928, que é usada como referência para cálculos de
desempenho de tubulação, proporciona maiores magnitudes de erro de magnitude à
medida que os tubos se tornam mais espessos. Esse efeito poderia induzir os fabricantes
de tubulações ao erro na estimativa de performance de seus produtos de tubulares.
Estimativas não confiáveis do desempenho das tubulações podem levar a projetos mais
caros, à busca de projetos conservadores ou até mesmo a falhas em campo, colocando em
risco a segurança das pessoas e do meio ambiente.
Das equações propostas, a modificação “A” reduziu drasticamente a dependência de
esbeltez, quando se trata de estimar a tensão residual usando a prática ASTM E1928. Com
esta equação, a estimativa provou ter resultados semelhantes a qualquer produto de
tubulação, isto é, tubos com diferentes valores de relação D/t, dimensões gerais do tubo,
propriedades dos materiais e magnitude de tensão residual. Essa melhoria permite que
qualquer fator de correção simples seja inserido nos cálculos para garantir uma estimativa
de desempenho precisa e acurada. Ao usar a equação proposta, o erro se torna
aproximadamente constante variando de 0% a 2%, resultando, em até 90% de redução de
erro de magnitude na estimativa.
A equação da modificação “A”, portanto, permite que empresas fabricantes de produtos
tubulares melhorem substancialmente a confiabilidade de seus produtos, simplesmente
usando a modificação sugerida, que pode ser aplicada sem custos adicionais para todos
os testes históricos já realizados usando o procedimento ASTM E1928. Portanto, como
conclusão do presente estudo, sugere-se substituir a equação em uso na ASTM E1928 por
esta equação proposta no presente trabalho.
42
REFERENCIA BIBLIOGRAFICA
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44
ANEXO A - Tabela com resultados das simulações
Modelo 1(Base)
D/tTensão
Residual (MPa)
Dinicial
(mm)
Dfinal
(mm)t (mm) E (MPa) Poisson
ASTM E1928
(MPa)
Mod. "A"
(MPa)
Mod. "B"
(MPa)
Abaqus
(MPa)
Erro ASTM
E1928 (%)
Erro Mod.
"A" (%)
Erro Mod.
"B" (%)
10 151.6 273 274.4 27.30 2.1E+05 0.3 121.5 149.9 129.7 152.6 -20.4 -1.8 -15.0
15 151.6 273 275.3 18.20 2.1E+05 0.3 131.2 150.5 137.0 152.2 -13.8 -1.2 -10.0
20 151.6 273 276.3 13.65 2.1E+05 0.3 136.1 150.7 140.9 152.0 -10.5 -0.9 -7.3
25 151.6 273 277.2 10.92 2.1E+05 0.3 139.0 150.7 142.9 151.8 -8.4 -0.7 -5.9
30 151.6 273 278.1 9.10 2.1E+05 0.3 141.0 150.8 144.2 151.7 -7.1 -0.6 -4.9
35 151.6 273 279.0 7.80 2.1E+05 0.3 142.4 150.8 145.2 151.6 -6.1 -0.5 -4.2
40 151.6 273 280.0 6.83 2.1E+05 0.3 143.5 150.8 145.9 151.6 -5.4 -0.5 -3.7
45 151.6 273 280.9 6.07 2.1E+05 0.3 144.3 150.8 146.5 151.5 -4.8 -0.5 -3.3
60 151.6 273 283.8 4.55 2.1E+05 0.3 145.9 150.8 147.5 151.4 -3.6 -0.4 -2.5
80 151.6 273 287.7 3.41 2.1E+05 0.3 147.1 150.8 148.3 151.3 -2.8 -0.4 -2.0
100 151.6 273 291.7 2.73 2.1E+05 0.3 147.8 150.7 148.8 151.3 -2.3 -0.4 -1.6
150 151.6 273 302.2 1.82 2.1E+05 0.3 148.7 150.6 149.4 151.2 -1.6 -0.4 -1.2
300 151.6 273 339.2 0.91 2.1E+05 0.3 150.1 151.0 150.4 151.1 -0.7 -0.1 -0.5
1 (Base)
45
Modelo 2(D)
D/tTensão
Residual (MPa)
Dinicial
(mm)
Dfinal
(mm)t (mm) E (MPa) Poisson
ASTM E1928
(MPa)
Mod. "A"
(MPa)
Mod.
"B"
(MPa)
Abaqus
(MPa)
Erro
ASTM
E1928 (%)
Erro
Mod. "A"
(%)
Erro
Mod. "B"
(%)
10 151.6 220 221.2 22.00 2.1E+11 0.3 121.5 149.9 129.7 152.6 -20.4 -1.8 -15.0
15 151.6 220 221.9 14.67 2.1E+11 0.3 131.2 150.5 137.0 152.2 -13.8 -1.2 -10.0
20 151.6 220 222.6 11.00 2.1E+11 0.3 136.1 150.7 140.9 152.0 -10.5 -0.9 -7.3
25 151.6 220 223.4 8.80 2.1E+11 0.3 139.0 150.7 142.9 151.8 -8.4 -0.7 -5.9
30 151.6 220 224.1 7.33 2.1E+11 0.3 141.0 150.8 144.2 151.7 -7.1 -0.6 -4.9
35 151.6 220 224.9 6.29 2.1E+11 0.3 142.4 150.8 145.2 151.6 -6.1 -0.6 -4.2
40 151.6 220 225.6 5.50 2.1E+11 0.3 143.5 150.8 145.9 151.6 -5.4 -0.5 -3.7
45 151.6 220 226.4 4.89 2.1E+11 0.3 144.3 150.8 146.5 151.5 -4.8 -0.5 -3.3
60 151.6 220 228.7 3.67 2.1E+11 0.3 145.9 150.8 147.5 151.4 -3.6 -0.4 -2.5
80 151.6 220 231.8 2.75 2.1E+11 0.3 147.1 150.8 148.3 151.3 -2.8 -0.4 -2.0
100 151.6 220 235.1 2.20 2.1E+11 0.3 147.8 150.7 148.8 151.3 -2.3 -0.4 -1.7
150 151.6 220 243.5 1.47 2.1E+11 0.3 148.5 150.4 149.2 151.2 -1.8 -0.5 -1.3
300 151.6 220 273.3 0.73 2.1E+11 0.3 150.1 151.0 150.4 151.1 -0.7 -0.1 -0.5
2 (D)
46
Modelo 3(R)
D/tTensão
Residual (MPa)
Dinicial
(mm)
Dfinal
(mm)t (mm) E (MPa) Poisson
ASTM E1928
(MPa)
Mod. "A"
(MPa)
Mod. "B"
(MPa)Abaqus (MPa)
Erro
ASTM
E1928 (%)
Erro
Mod. "A"
(%)
Erro
Mod. "B"
(%)
10 379 273 276.6 27.30 2.1E+11 0.3 304.0 374.8 324.4 381.5 -20.3 -1.8 -15.0
15 379 273 279.0 18.20 2.1E+11 0.3 328.2 376.2 342.8 380.6 -13.8 -1.2 -9.9
20 379 273 281.3 13.65 2.1E+11 0.3 340.4 376.6 352.5 380.0 -10.4 -0.9 -7.2
25 379 273 283.7 10.92 2.1E+11 0.3 347.7 376.7 357.4 379.6 -8.4 -0.7 -5.8
30 379 273 286.1 9.10 2.1E+11 0.3 352.6 376.8 360.7 379.3 -7.0 -0.7 -4.9
35 379 273 288.6 7.80 2.1E+11 0.3 356.1 376.7 363.0 379.1 -6.1 -0.6 -4.2
40 379 273 291.1 6.83 2.1E+11 0.3 358.6 376.7 364.6 378.9 -5.3 -0.6 -3.8
45 379 273 293.6 6.07 2.1E+11 0.3 360.6 376.6 365.9 378.8 -4.8 -0.6 -3.4
60 379 273 301.6 4.55 2.1E+11 0.3 364.2 376.1 368.2 378.5 -3.8 -0.6 -2.7
80 379 273 313.0 3.41 2.1E+11 0.3 368.4 377.2 371.4 378.3 -2.6 -0.3 -1.8
100 379 273 325.2 2.73 2.1E+11 0.3 370.4 377.3 372.7 378.2 -2.1 -0.2 -1.4
150 379 273 360.4 1.82 2.1E+11 0.3 373.0 377.4 374.4 378.0 -1.3 -0.2 -0.9
300 379 273 534.1 0.91 2.1E+11 0.3 376.0 377.9 376.7 377.7 -0.4 0.1 -0.3
3 (R)
47
Modelo 4(M)
D/tTensão
Residual (MPa)
Dinicial
(mm)
Dfinal
(mm)t (mm) E (MPa) Poisson
ASTM E1928
(MPa)
Mod. "A"
(MPa)
Mod. "B"
(MPa)
Abaqus
(MPa)
Erro
ASTM
E1928 (%)
Erro Mod.
"A" (%)
Erro Mod.
"B" (%)
10 151.6 273 274.2 27.30 2.3E+11 0.4 121.5 149.9 129.7 153.8 -21.0 -2.6 -15.7
15 151.6 273 275.0 18.20 2.3E+11 0.4 131.1 150.4 137.0 153.1 -14.4 -1.8 -10.5
20 151.6 273 275.8 13.65 2.3E+11 0.4 135.9 150.6 140.8 152.6 -10.9 -1.4 -7.7
25 151.6 273 276.6 10.92 2.3E+11 0.4 138.9 150.6 142.8 152.3 -8.8 -1.1 -6.3
30 151.6 273 277.4 9.10 2.3E+11 0.4 140.9 150.7 144.1 152.2 -7.4 -1.0 -5.3
35 151.6 273 278.2 7.80 2.3E+11 0.4 142.3 150.7 145.1 152.0 -6.4 -0.9 -4.6
40 151.6 273 279.0 6.83 2.3E+11 0.4 143.3 150.7 145.8 151.9 -5.6 -0.8 -4.0
45 151.6 273 279.8 6.07 2.3E+11 0.4 144.2 150.7 146.3 151.8 -5.0 -0.7 -3.6
60 151.6 273 282.2 4.55 2.3E+11 0.4 145.8 150.7 147.4 151.6 -3.9 -0.6 -2.8
80 151.6 273 285.5 3.41 2.3E+11 0.4 147.0 150.7 148.2 151.5 -3.0 -0.5 -2.2
100 151.6 273 288.9 2.73 2.3E+11 0.4 147.7 150.6 148.7 151.4 -2.4 -0.5 -1.8
150 151.6 273 297.8 1.82 2.3E+11 0.4 148.5 150.4 149.1 151.3 -1.8 -0.6 -1.4
300 151.6 273 328.1 0.91 2.3E+11 0.4 149.9 150.8 150.2 151.2 -0.8 -0.2 -0.6
4 (M)
