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Universidade Federal de Sergipe

Centro de Ciencias Exatas e Tecnologia

Programa de Pos–Graduacao em Matematica

Mestrado em Matematica

Propriedades de Solucoes para as Equacoes deNavier-Stokes, MHD e Magneto-micropolares

Taynara Batista de Souza

Sao Cristovao – SEFevereiro de 2016

Universidade Federal de Sergipe

Centro de Ciencias Exatas e Tecnologia

Programa de Pos–Graduacao em Matematica

Mestrado em Matematica

Propriedades de Solucoes para as Equacoes deNavier-Stokes, MHD e Magneto-micropolares

por

Taynara Batista de Souza

sob a orientacao do

Prof. Dr. Wilberclay Goncalves Melo

Sao Cristovao – SEFevereiro de 2016

FICHA CATALOGRÁFICA ELABORADA PELA BIBLIOTECA CENTRAL UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE

S729p

Souza, Taynara Batista de Propriedades de soluções para as equações de Navier-Stokes, MHD e magneto-micropolares / Taynara Batista de Souza ; orientador Wilberclay Gonçalves Melo. – São Cristóvão, 2016. 145 f.

Dissertação (Mestrado em Matemática) - Universidade Federal de Sergipe, 2016.

1. Navier-Stokes, equações de. 2. Magnetoidrodinâmica. 3. Sobolev, Espaços de. l. Melo, Wilberclay Gonçalves, orient. lI. Título.

CDU 517.912:537.84


Aos meus pais

Agradecimentos

Aos meus pais, pelo dom da vida.

Ao meu noivo, Reinaldo, pessoa com quem amo estar. Obrigada pelo carinho, compreensao e

capacidade de me fazer feliz.

Ao meu orientador, Wilberclay, por toda forca e amizade. Meu maior exemplo de carater e

sabedoria.

A todos os professores que me acompanharam ate aqui, em especial, aos professores Paulo

Rabelo e Ivanete Batista, por todos os ensinamentos, toda ajuda e pizzas compartilhadas.

Aos meus amigos Suelen Cristina, Alan Gois e Nata Firmino, por todo conhecimento partilhado,

pelos momentos tristes e alegres desde a graduacao. A vida que escolhemos nao e facil! Nao

esquecendo de todos os outros companheiros de luta: Diego, Izabela, Jonisson (Laranja) e Thiago.

Aos professores Paulo Zingano e Manasses Xavier por aceitarem compor a banca examinadora.

A Fundacao de Apoio a Pesquisa e a Inovacao Tecnologica do Estado de Sergipe (FAPITEC/SE)

pelo apoio financeiro.

Resumo

Neste trabalho, discutimos inicialmente resultados de explosao no tempo T ∗ < ∞ para a solucao

(u,b)(·, t) (definida em [0, T ∗)), como tambem para as suas derivadas, do sistema Magnetohi-

drodinamico (MHD). Estes foram obtidos por uma extensao de resultados similares encontrados

para as classicas equacoes de Navier-Stokes. Em ordem a citarmos um exemplo, provamos que

∥(u,b)(·, t)∥q explode a uma taxa (T ∗ − t)− q−3

2q , para todo t ∈ [0, T ∗) e 3 < q < ∞. Em se-

guida, avaliamos algumas condicoes suficientes para a existencia de solucao global no tempo para

as equacoes de Navier-Stokes e MHD. Por fim, generalizamos observacoes de explosao, tambem em

tempo finito, da solucao das equacoes MHD, envolvendo espacos de Sobolev Homogeneos, para o

sistema Magneto-micropolar. Mais precisamente, provamos que se a solucao (u,w,b)(·, t) apre-

senta explosao em T ∗ < ∞, entao ∥(u,w,b)(·, t)∥Hs∥(u,w,b)(·, t)∥2s

1+2δ−1

2 e limitado inferiormente

por C(T ∗ − t)sδ

1+2δ , para todo t ∈ [0, T ∗), se δ ∈ (0, 1) e s ≥ 12 + δ.

Palavras-chave: Equacoes de Navier-Stokes; Equacoes MHD; Equacoes Magneto-micropolares;

Explosao de Solucao.

Abstract

In this work, we study blow-up results in finite time for the solution (u,b)(·, t) (defined in

[0, T ∗)), as well as for their spacial derivatives, of the Magnetohydrodynamic (MHD) system. These

results are obtained by extending some statements found in the literature for the classical Navier-

Stokes equations. In order to cite an example, we prove that ∥(u,b)(·, t)∥q explodes at a rate

(T ∗ − t)− q−3

2q , for all t ∈ [0, T ∗) and 3 < q < ∞. In addition, we prove some sufficient conditions

for the existence of global solution (in time) for the Navier-Stokes and MHD equations. Finally, we

generalize some results established from the MHD equations, involving Sobolev Spaces Homogene-

ous, to the Magneto-micropolar system. More precisely, we show that if the solution (u,w,b)(·, t)presents blow-up in T ∗ < ∞, then ∥(u,w,b)(·, t)∥Hs∥(u,w,b)(·, t)∥

2s1+2δ

−1

2 ≥ C(T ∗ − t)sδ

1+2δ , for all

t ∈ [0, T ∗), where δ ∈ (0, 1) and s ≥ 12 + δ.

Keywords: Navier-Stokes Equations; MHD Equations; Magneto-micropolar Equations; Blow-up

of Solution.

Sumario

Introducao 1

1 Preliminares 7

1.1 Notacoes e definicoes para o Capıtulo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2 Notacoes e definicoes para o Capıtulo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2 Propriedades de Solucoes para as Equacoes MHD 14

2.1 Limitacao da Norma do Sup Implica Limitacao das Derivadas na Norma L2 . . . . . 14

2.2 A Aplicacao Ilimitada ∥(Du, Db)∥q, 32 < q ≤ 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.3 Desigualdade de Leray para o Sistema MHD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.4 A Aplicacao Ilimitada ∥(u,b)(·, t)∥q, 3 < q ≤ ∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.5 Explosao de ∥(u,b)(·, t)∥q e ∥(Du, Db)(·, t)∥r, q ∈ (3,∞), r ∈ (32 ,∞] . . . . . . . . . 48

2.6 Condicoes Suficientes para Existencia Global e Explosao de ∥(Dnu, Dnb)∥q . . . . . 57

2.7 Comparacao das Taxas de Explosao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

2.8 Criterio de Explosao Beale-Kato-Majda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

3 Propriedades de Solucoes para as Equacoes Magneto-micropolares 92

3.1 Limite Inferior Envolvendo ∥(u,w,b)(·, t)∥Hs , s >12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

i

3.2 Limite Inferior para ∥(u, w, b)(·, t)∥1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

3.3 Outro Limite Inferior Envolvendo ∥(u,w,b)(·, t)∥Hs , s >32 . . . . . . . . . . . . . . 113

4 Apendice 116

4.1 Resultados Basicos para o Capıtulo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

4.2 Resultados Basicos para o Capıtulo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

Referencias Bibliograficas 131

ii

Introducao

Neste trabalho, derivamos propriedades de solucao para o seguinte sistema de equacoesmagneto-

micropolar incompressıvel:

ut + u · ∇u + ∇(p+ 12 |b |2) = (µ+ χ)∆u + b · ∇b + χ∇×w,

wt + u · ∇w = γ∆w + κ∇(∇ ·w) + χ∇×u − 2χw,

bt + u · ∇b = ν∆b + b · ∇u,

∇ · u = ∇ · b = 0,

u(·, 0) = u0, w(·, 0) = w0, b(·, 0) = b0,

(1)

onde u(x, t) = (u1(x, t), u2(x, t), u3(x, t)) ∈ R3 denota o campo velocidade incompressıvel,w(x, t) =

(w1(x, t), w2(x, t), w3(x, t)) ∈ R3 descreve a velocidade micro-rotacional, b(x, t) = (b1(x, t), b2(x, t),

b3(x, t)) ∈ R3 o campo magnetico e p(x, t) ∈ R a pressao. As constantes positivas µ, χ, ν, κ, e γ estao

associadas a propriedades especıficas do fluido; mais precisamente, µ e a viscosidade cinematica,

χ e a viscosidade do vortice, κ e γ sao as viscosidades de rotacao e, por ultimo, ν−1 e o numero

magnetico de Reynolds. Os dados iniciais para os campos velocidade e magneticos, dados por u0 e

b0 em (1), sao assumidos livres de divergente, i.e., ∇ · u0 = ∇ · b0 = 0.

O problema de existencia de solucao forte para o sistema magneto-micropolar (1) foi discutido

por J. Yuan [48] em 2008. Tal artigo garante a existencia de solucao (unica) (u,w,b)(·, t) ∈C([0, T ∗);Hs0(R3)) ∩ C1((0, T ∗);Hs0(R3)) ∩ C((0, T ∗);Hs0+2(R3)), definida no intervalo maximal

[0, T ∗), com 0 < T ∗ ≤ ∞ dependendo dos parametros µ, χ, γ, κ e do dado inicial (u0,w0,b0),

atraves do teorema a seguir:

Teorema 0.1 (ver [48]). As seguintes afirmacoes sao validas:

1. (Existencia local). Seja s0 > 32 . Assuma que (u0,w0,b0) ∈ Hs0(R3), com ∇ · u0 = ∇ · b0 =

0, entao existe um instante positivo T ∗ = T ∗(∥(u0,w0,b0)∥Hs0 ), com 0 < T ∗ ≤ ∞, tal

1

que existe uma unica solucao (u,w,b)(·, t) ∈ C([0, T ∗);Hs0(R3)) ∩ C1((0, T ∗);Hs0(R3)) ∩C((0, T ∗);Hs0+2(R3)) para o sistema (1).

2. (Criterio de explosao). Suponha que para s0 > 32 , (u,w,b)(·, t) ∈ C([0, T ∗);Hs0(R3)) ∩

C1((0, T ∗);Hs0(R3)) ∩ C((0, T ∗);Hs0+2(R3)) e uma solucao suave para o sistema (1). Se

existe uma constante absoluta M > 0 tal que

limϵ→0

supj∈Z

∫ T ∗

T ∗−ϵ∥∆j(∇× u)(·, t)∥∞ dt := δ < M,

entao δ = 0, e a solucao pode ser estendida alem de t = T ∗. Se

limϵ→0

supj∈Z

∫ T ∗

T ∗−ϵ∥∆j(∇× u)(·, t)∥∞ dt ≥ M,

entao a solucao (u,w,b)(·, t) explode em t = T ∗.

Ver definicao de ∆j em [48].

Tal como acontece com as equacoes de Navier-Stokes (5), nao sabemos se e verdade que T ∗ < ∞.

De qualquer forma, e facil ver que, pela primeira parte do Teorema 0.1, conclui-se (u,w,b)(·, t) ∈C∞(R3 × (0, T ∗)), com (u,w,b)(·, t) ∈ C((0, T ∗);Hs(R3)) para qualquer s ≥ s0. Mas, a partir da

desigualdade

∥(u,w,b)(·, t)∥2 ≤ ∥(u,w,b)(·, t0)∥2, ∀ 0 ≤ t0 ≤ t < T ∗, (2)

ver Lema 3.1, obtem-se que (u,w,b)(·, t) ∈ C([0, T ∗);Hs(R3)) para cada 0 ≤ s ≤ s0, pois

∥(u,w,b)(·, t)∥Hs ≤ ∥(u,w,b)(·, t)∥1− s

s02 ∥(u,w,b)(·, t)∥

ss0

Hs0,

para cada s. Consequentemente, ∥(u,w,b)(·, t)∥Hs , s ≥ 0, esta bem definida para cada 0 < t < T ∗.

Alem disso, por aplicar a desigualdade (2) e o Teorema 0.1, chegamos a

lim supt↗T ∗

∥(u,w,b)(·, t)∥Hs0 = ∞, T ∗ < ∞. (3)

Em ordem a citar alguns outros resultados envolvendo existencia de solucoes para as equacoes

magneto-micropolares, referimos [6, 27, 30, 36].

Apresentamos detalhadamente, a partir de agora, quais artigos foram estudados, e o que foi

descoberto neste trabalho.

No Capıtulo 2, exibimos detalhadamente alguns resultados que foram obtidos por J. Lorenz e P

2

R. Zingano [31] para as equacoes de Navier-Stokes (5) abaixo; como tambem, estendemos a maioria

das informacoes estabelecidas neste mesmo artigo para o caso mais geral do sistema que descreve

um fluido magnetohidrodinamico (MHD), i.e.,

ut + u · ∇u + ∇(p+ 12 |b |2) = µ∆u + b · ∇b,

bt + u · ∇b = ν∆b + b · ∇u,

∇ · u = ∇ · b = 0,

u(·, 0) = u0(·), b(·, 0) = b0(·).

(4)

E facil ver que tal sistema e um derivativo das equacoes magneto-micropolares (1), basta considerar

w = 0 e χ = 0.

Permita-nos discutir os resultados principais apresentados em [31], os quais foram estudados

e estendidos nesta dissertacao. Mais especificamente, J. Lorenz e P. R. Zingano [31] provaram

algumas propriedades de solucoes, em tempo de explosao, para as classicas equacoes de Navier-

Stokes ut + u · ∇u + ∇p = µ∆u,

∇ · u = 0,

u(·, 0) = u0(·).

(5)

E importante ressaltar que, o sistema acima segue do fato de considerarmos o campo magnetico b

como sendo nulo em (4).

A primeira informacao dada em [31] diz respeito a norma Lq do gradiente da solucao u(·, t)para o sistema de Navier-Stokes (5). Mais precisamente, temos o seguinte Teorema:

Teorema 0.2 (ver [31]). Seja u(·, t) solucao forte do sistema (5) definida no intervalo maximal

[0, T ∗). Assuma que T ∗ < ∞, entao os seguintes itens sao validos:

i) Seja 32 < q ≤ ∞. Entao,

sup0≤t<T ∗

∥Du(·, t)∥q = ∞. (6)

ii) Para cada 32 < q ≤ 3, existe uma constante Cq > 0, independente de t e u0, tal que

∥Du(·, t)∥q ≥ Cq(T∗ − t)

− q− 32

q , ∀ 0 ≤ t < T ∗. (7)

O Corolario 2.9 e a desigualdade (2.78) nos informam que e possıvel estender o Teorema 0.2

3

para o contexto das equacoes MHD (4) (o caso q = 3 e obtido a uma taxa (T ∗ − t)−12+ϵ para ϵ > 0

qualquer).


[0, T ∗). Assuma que T ∗ < ∞ e que 3 ≤ q ≤ ∞, existe uma constante Cq > 0, independente de t e

u0 tal que

∥u(·, t)∥q ≥ Cq(T∗ − t)−k, ∀ 0 ≤ t < T ∗. (8)

com

k =q − 3

2qse 3 ≤ q < ∞, k =

1

2se q = ∞. (9)

Em particular, por (8) e (9), temos limt↗T ∗

∥u(·, t)∥q = ∞, se T ∗ < ∞, para cada 3 < q ≤ ∞.

Nesta dissertacao, e provado que o Teorema 0.3 pode ser estendido, exceto q = 3 e q = ∞, em

um caminho natural para o sistema MHD (4). Os casos q = ∞ e q = 3 nao foram generalizados

neste trabalho. O problema quanto ao caso q = 3 reside no fato que o limite

limt↗T ∗

∥u(·, t)∥3 = ∞, T ∗ < ∞, (10)

o qual foi provado por G. Seregin [42], parece nao ter sido provado para o caso das equacoes MHD

(4). O caso q = ∞ foi estabelecido por Leray [28]; assim sendo, como nao tratamos este artigo

aqui nesta dissertacao, entao foi decidido nao acrescentarmos o caso em questao. Apesar disto,

detalhamos estes dois casos especıficos para as equacoes de Navier-Stokes (5). Para mais detalhes

ver Teorema 2.6.

J. Lorenz e P. R. Zingano [31] tambem provaram o seguinte criterio para garantia de existencia

global no tempo da solucao no caso das equacoes de Navier-Stokes (5).


[0, T ∗). Assuma que 3 ≤ q ≤ ∞. Entao, se existe uma constante Cq > 0 apropriada, dependendo

somente de q, tal que

∥u0∥2q−63q−6

2 ∥u0∥q

3q−6q < Cq, (11)

tem-se T ∗ = ∞.

Pelos mesmos motivos expostos acima, estendemos o Teorema 0.4 para o caso do sistema MHD

(4) no caso em que 3 < q < ∞ (ver Corolario 2.13).

Por fim, um limite de explosao envolvendo a norma ∥Dnu∥q (n ≥ 2 natural) foi encontrado em

[31]. Mais precisamente, J. Lorenz e P. R. Zingano [31] demonstraram o seguinte teorema.

4


[0, T ∗). Seja n ≥ 2 um numero inteiro. Se T ∗ < ∞, entao

limt↗T ∗

∥Dnu(·, t)∥q = ∞ (12)

para cada 1 ≤ q ≤ ∞.

Somente o caso q = 1 e n = 2 do Teorema 0.5 nao foi estendido, nesta dissertacao, para o

sistema MHD (4) (ver Corolario 2.15). Este problema tambem segue da ausencia do limite (10)

para as equacoes MHD (4).

Por fim, permita-nos listar alguns artigos que serviram de inspiracao para a realizacao deste

trabalho. Referimos a [1, 2, 3, 4, 5, 7, 10, 14, 16, 17, 18, 31, 24, 25, 28, 31, 32, 34, 39, 42, 44, 45,

46, 47, 50, 51] quando discutimos as equacoes de Navier-Stokes (5).

No Capıtulo 3, estendemos os limites inferiores obtidos por D. Marcon, W. G. Melo, L. Schutz

e J. S. Ziebell [12] a partir de uma solucao do sistema MHD (4) para a solucao do sistema de

equacoes magneto-micropolar (1). Neste ultimo artigo foi provado o seguinte resultado:

Teorema 0.6 (ver [12]). Fixe s0 > 32 e seja (u0,b0) ∈ Hs0(R3) tal que ∇ · u0 = ∇ · b0 = 0.

Considere (u,b)(·, t) ∈ C([0, T ∗), Hs(R3)) e a solucao forte de (4), definida no intervalo maximal

[0, T ∗). Se T ∗ < ∞, entao

i) Para cada δ ∈ (0, 1) e s ≥ 12 + δ, temos

∥(u,b)(·, t)∥Hs∥(u,b)(·, t)∥p(s,δ)2 ≥Cs,δ,σλ

q(s,δ)

(T ∗ − t)r(s,δ), (13)

onde

p(s, δ) :=2s

1 + 2δ− 1, q(s, δ) :=

(2− δ)s

1 + 2δe r(s, δ) :=

sδ

1 + 2δ.

ii) Para todo t ∈ [0, T ∗), tem-se

∥(u, b)(·, t)∥1 ≥(2π)3λ

12

3√6

(T ∗ − t)−12 , (14)

iii) Para cada s > 32 , conclui-se

∥(u,b)(·, t)∥2s3−1

2 ∥(u,b)(·, t)∥Hs ≥Cs,σλ

s3

(T ∗ − t)s3

, (15)

5

onde λ = min{µ, ν}.

A prova da extensao do Teorema 0.6 para o enredo das equacoes magneto-micropolares (1) e

dada ao longo dos Teoremas 3.1, 3.5 e 3.6 abaixo. Em ordem a listar alguns outros trabalhos que

estao diretamente relacionados as equacoes MHD (4), temos [8, 13, 22, 40, 41, 43, 49]. Em adicao,

e importante ressaltar que a famosa Desigualdade de Leray (ver [28])

∥Du(·, t)∥2 ≥ C(T ∗ − t)−12 , (16)

e consequencia imediata do Teorema 0.6 i).

O esboco do restante do trabalho e dado como segue: no Capıtulo 1, apresentamos as notacoes,

as definicoes e os resultados basicos necessarios para um bom entendimento do conteudo; no

Capıtulo 2, acrescentamos as extensoes obtidas a partir do artigo [31]; no Capıtulo 3, coloca-

mos as generalizacoes das afirmacoes dadas no artigo [12] e, por ultimo, no Capıtulo 4, provamos

alguns resultados que foram aplicados nos Capıtulos 2 e 3 desta dissertacao.

6

Capıtulo 1

Preliminares

Neste capıtulo, estamos interessados em estabelecer uma introducao para as notacoes, definicoes

e alguns resultados (sem provas) que estao expostos ao longo do trabalho.

1.1 Notacoes e definicoes para o Capıtulo 2

Nesta secao, apresentamos algumas notacoes, definicoes e alguns resultados que estao introdu-

zidas no Capıtulo 2.

• A norma Euclidiana de um vetor a = (a1, ..., aN ) ∈ RN e denotada e dada por

|a|2 =N∑i=1

a2i . (1.1)

• Para uma aplicacao f suficientemente diferenciavel temos

∆f =

3∑i=1

D2i f, ∇f = (D1f,D2f,D3f) e ∇ · f =

3∑i=1

Difi. (1.2)

• Seja f ∈ Lp(RN ). A norma Lp de f e dada por

∥f∥p =(∫

R3

|f(x)|p dx) 1

p

, 1 ≤ p < ∞. (1.3)

Para p = ∞, temos

∥f∥∞ = supessx∈RN {|f(x)|}. (1.4)

7

• Definimos o produto interno-L2 (·, ·)2 entre duas funcoes vetoriais por

(a,b)2 :=

∫R3

a(x) · b(x) dx, (1.5)

onde c · d := c1d1 + ...+ cNdN para c = (c1, ..., cN ),d = (d1, ..., dN ) ∈ RN ; e a,b : R3 → RN

(N ∈ N) sao funcoes mensuraveis.

• Para qualquer multi-ındice α, temos

|α| =3∑

i=1

αi, α = (α1, α2, α3). (1.6)

• Denotamos

Dα = Dα11 Dα2

2 Dα33 , (1.7)

onde as derivadas parciais sao dadas por

Di =∂

∂xi. (1.8)

• Denotamos e definimos

∥(Dαu, Dαb)∥22 = ∥Dαu∥22 + ∥Dαb∥22 (1.9)

e tambem

∥u∥∞ = max{|ui| : 1 ≤ i ≤ 3}. (1.10)

• Temos

J2n(t) =

∑|α|=n

∥(Dαu, Dαb)(·, t)∥22, ∀n ∈ N ∪ {0}, (1.11)

onde

∥Dnu∥p =

3∑i=1

3∑j1=1

. . .

3∑jn=1

|Dj1 . . . Djnui(x)p| dx

1p

, 1 ≤ p < ∞, (1.12)

e

∥Dnu∥∞ = sup{|Dαui(x)| : x ∈ R3, 1 ≤ i ≤ 3, |α| = n}. (1.13)

• Dadas duas aplicacoes f e g, definimos para cada j ∈ N, o seguinte produto interno

(f, g)Hj =∑|α|≤j

(Dαf,Dαg)2. (1.14)

8

Desse produto interno, para cada j ∈ N, a norma Hj de uma funcao f e dada por

∥f∥2Hj =∑|α|≤j

∥Dαf∥22. (1.15)

• Definimos a Transformada de Fourier de u por

u(k) := (2π)−32

∫R3

e−ik·xu(x)dx,

onde k · x :=∑3

j=1 kjxj , com k = (k1, k2, k3) e x = (x1, x2, x3).

• Sejam f e g funcoes reais e p e q expoentes conjugados, 1 ≤ p ≤ ∞. A Desigualdade de

Holder nos diz que ∫R3

|f(x)g(x)| dx ≤ ∥f∥p∥g∥q. (1.16)

• Dados dois numeros reais positivos a e b. Entao,

ab ≤ 1

pap +

1

qbq, (1.17)

onde p e q sao expoentes conjugados. A desigualdade (1.17) e conhecida como Desigualdade

de Young.

• Se 1p + 1

q = 1 + 1r , u ∈ Lp(RN ) e v ∈ Lq(RN ), entao u ∗ v ∈ Lr(RN ) e

∥u ∗ v∥r ≤ ∥u∥p∥v∥q. (1.18)

A desigualdade acima e conhecida como Desigualdade de Young para convolucoes.

• Para f ∈ Lp(RN ) e 1 ≤ p ≤ 2, temos

∥f∥p′ ≤ C∥f∥p,1

p′+

1

p= 1. (1.19)

Essa e a conhecida Desigualdade de Hausdorff-Young.

• Se f e g sao funcoes diferenciaveis n-vezes, entao a regra de Leibniz estabelece que a n-esima

derivada do produto fg e dada por

(f · g)(n) =n∑

k=0

(n

k

)f (k)g(n−k), (1.20)

onde(nk

)e o coeficiente binomial de Newton.

9

• Para qualquer 0 < s ≤ r ≤ ∞, 1 ≤ p ≤ ∞, temos

∥v∥r ≤ C∥v∥1−θs ∥∇v∥θp, ∀v ∈ C∞

0 (R3), (1.21)

onde C e uma constante positiva que depende de r, s, p,N ; e θ satisfaz

1

r= θ

(1

p− 1

N

)+ (1− θ)

1

s.

A desigualdade (1.21) e conhecida como Desigualdade de Gagliardo-Nirenberg (para mais

detalhes ver [37]).

• Assuma que m > n. Entao vale a seguinte desigualdade:

J2n(t) ≤ Cn(J

2m(t) + J2

0 (t)), ∀ t ≥ 0, (1.22)

onde Cn e uma constante positiva que depende somente de n. Sua prova e dada no apendice

do livro [26].

• Seja v : R3 → R3 um dado campo vetorial. Entao existe uma simples decomposicao de v em

um campo livre de divergente w e um campo gradiente ∇ϕ,

v = w −∇ϕ, ∇ · w = 0. (1.23)

Entao, em espacos de funcoes adequadas, a aplicacao v → w := PHv define o operador

projecao PH , chamado Projecao de Helmholtz. Um importante e nao trivial resultado e a

limitacao de PH em Lq para cada q com 1 < q < ∞,

∥PHv∥q ≤ Cq∥v∥q, v ∈ C∞0 (R3,R3), (1.24)

onde Cq e uma constante positiva que depende somente de q (para mais detalhes ver [11, 18,

29, 31]).

• As constantes, neste trabalho, podem mudar linha por linha, mas serao denotadas da mesma

maneira. Colocaremos Cq,r,s para denotar constantes que dependem de q, r e s, por exemplo.

C sera sempre constante positiva absoluta. Tambem, em alguns momentos, nao nos preocu-

paremos com a notacao de dependencia em x e t, por exemplo, ∥u∥2 ou ∥u(t)∥2 significara

∥u(·, t)∥2.

• Introduziremos algumas funcoes regularizantes que serao utilizadas no decorrer do trabalho.

10

Consideremos uma funcao S ∈ C(R) tal queS′(v) ≥ 0, ∀v ∈ R;S(0) = 0;

S(v) = sgn(v), |v| ≥ 1 .

e para cada δ > 0, construiremos a funcao regularizadora

Sδ(v) := S(vδ

)e definiremos a funcao aproximacao para |u| por

Lδ(u) :=

∫ u

0S(vδ

)dv. (1.25)

Observemos que, quando δ → 0, temos que S(uδ

)→ sgn(u) e Lδ(u) → |u|, uniformemente

em u. Alem disso, dado u ∈ R e δ > 0 fixo, temos

0 ≤ Lδ(u) ≤ |u|; (1.26)

L′δ(u) ≤ C

|u|δ

(1.27)

e tambem

0 ≤ L′′δ (u) ≤

C

δ. (1.28)

Outra importante propriedade de Lδ(u) e

Lδ(u) · L′′δ (u) → 0, quando δ → 0. (1.29)

Definamos tambem a seguinte funcao auxiliar:

Φδ(u) :=

{u2, se q = 2

(Lδ(u))q, se q > 2,

onde p0 ≤ q < ∞. Para q > 2, temos

Φ′δ(u) = q(Lδ(u))

q−1L′δ(u) (1.30)

e tambem

Φ′′δ (u) = q(q − 1)(Lδ(u))

q−2(L′δ(u))

2 + q(Lδ(u))q−1L′′

δ (u). (1.31)

11

• Sejam f : [0, T ] → R uma funcao de classe C1([0, T ]) e g, h : [0, T ] → R funcoes contınuas nao

negativas, onde [0, T ] ⊆ R e um intervalo (com T > 0). Se

f ′(t) ≤ g(t)f(t) + h(t), ∀ t ∈ [0, T ], (1.32)

entao

f(t) ≤ exp

(∫ t

0g(τ) dτ

)[f(0) +

∫ t

0h(τ) dτ

], ∀ t ∈ [0, T ]. (1.33)

Este e conhecido como o Lema de Gronwall, ver [15].

• A desigualdade abaixo e importante na prova do Lema 4.3. Seja v ∈ C∞0 (R3), entao

∥v∥∞ ≤ C∥v∥H2 , (1.34)

onde C e uma constante positiva. A prova da desigualdade acima e dada em [38].

1.2 Notacoes e definicoes para o Capıtulo 3

Agora descreveremos as notacoes e definicoes que serao utilizadas no Capıtulo 3. Algumas

das definicoes e notacoes do Capıtulo 2 continuam sendo validas para este capıtulo. Alem disso,

exibiremos (sem provas) dois resultados que serao utilizados neste trabalho.

• Para s ∈ R, o espaco de Sobolev Homogeneo Hs(R3,R3) e o espaco das aplicacoes f tais que

∥f∥Hs =

√∫R3

|k|2s |f(k)|2 dk < +∞, (1.35)

onde |f |2 =∑3

i=1 |fi|2.

• Para (u,w,b) ∈ Hs(R3,R3), temos

∥(u,w,b)∥Hs =√

∥u∥2Hs

+ ∥w∥2Hs

+ ∥b∥2Hs

. (1.36)

• O produto interno-Hs e dado por

(f ,g)Hs =

∫R3

|k|2sf(k) · g(k) dk. (1.37)

onde f · g =∑3

i=1 figi.

12

• Se u = (u1, u2, u3) e v = (v1, v2, v3) definimos o produto tensorial u⊗ v por

u⊗ v := (v1u, v2u, v3u). (1.38)

• Seja φ ∈ C1[0,∞). Sejam y(t) e y0(t) funcoes de classe C1[0,∞), nao-negativas, definidas

para todo t ∈ [0, T ]. Se y′(t) ≤ φ(y(t)), y′0(t) = φ(y0(t)), ∀ t ∈ [0, T ] e y(0) ≤ y0(0), entao

y(t) ≤ y0(t), ∀ t ∈ [0, T ]. (1.39)

Essa e uma versao nao linear para o Lema de Gronwall (para mais detalhes ver [35]).

• Sejam η, η′ dois numeros reais positivos tal que η < 32 e η+η′ > 0. Se f, g ∈ Hη(R3)∩Hη′(R3),

entao

∥fg∥Hη+η′− 3

2 (R3)≤ C(η, η′)

(∥f∥Hη(R3)∥g∥Hη′ (R3) + ∥f∥Hη′ (R3)∥g∥Hη(R3)

), (1.40)

onde C(η, η′) e uma constante positiva que depende somente de η e η′. Alem disso, se η′ < 32 ,

entao

∥fg∥Hη+η′− 3

2 (R3)≤ C(η, η′)∥f∥Hη(R3)∥g∥Hη′ (R3), (1.41)

para mais detalhes ver [4, 9].

13

Capıtulo 2

Propriedades de Solucoes para as

Equacoes MHD

2.1 Limitacao da Norma do Sup Implica Limitacao das Derivadas

na Norma L2

Nesta secao, supondo que o supremo sup0≤t<T

∥(u,b)(·, t)∥∞ e finito, estamos interessados em

provar a seguinte limitacao:

∥(Dαu, Dαb)(·, t)∥2 ≤ Kn, ∀ 0 ≤ t < T,

qualquer que seja α multi-ındice tal que |α| = n (n ∈ N). Para este fim, vamos provar o resultado

a seguir, o qual garante um resultado de desigualdade de energia para uma solucao de (4).

Lema 2.1. Seja (u,b)(·, t) solucao forte do sistema (4) definida no intervalo maximal [0, T ∗).

Portanto,1

2

d

dt∥(u,b)(·, t)∥22 ≤ −γ∥(Du, Db)(·, t)∥22, ∀ 0 ≤ t < T ∗. (2.1)

Em particular,

∥(u,b)(·, t)∥2 ≤ ∥(u0,b0)∥2 e

∫ t

0∥(Du, Db)(·, s)∥22ds ≤

1

2γ∥(u0,b0)∥22, (2.2)

para todo 0 ≤ t < T ∗. Aqui γ = min{µ, ν}.

14

Demonstracao. Primeiramente, notemos que

1

2

d

dtJ20 (t) :=

1

2

d

dt∥(u,b)(·, t)∥22 =

1

2

d

dt∥u(·, t)∥22 +

1

2

d

dt∥b(·, t)∥22, (2.3)

para todo 0 ≤ t < T ∗. Agora, realizando o produto interno (u, ·)2 na primeira equacao do sistema

(4), obtemos

1

2

d

dt∥u∥22 = (u,ut)2

= µ(u,∆u)2 − (u,u · ∇u)2 + (u,b · ∇b)2 − (u,∇(p+1

2|b|2))2. (2.4)

Permita-nos analisar algumas das parcelas encontradas no lado direito das igualdades acima. Assim

sendo, usando integracao por partes, e facil concluir que

(u,∆u)2 :=3∑

i=1

(u, D2i u)2 = −

3∑i=1

(Diu, Diu)2 = −∥Du∥22 (2.5)

e tambem

(u,u · ∇u)2 =

3∑i=1

(u, uiDiu)2

= −3∑

i=1

(u, Di(uiu))2

= −3∑

i=1

(u, (Diui)u+ ui(Diu))2

= −(u, (∇ · u)u)2 −3∑

i=1

(u, uiDiu)2

= −3∑

i=1

(u, uiDiu)2

= −(u,u · ∇u)2, (2.6)

onde na quinta igualdade utilizamos o fato ∇·u = 0 (ver (4)). Consequentemente, (u,u ·∇u)2 = 0.

Alem disso, tambem por integracao por partes, encontramos

(u,∇(p+1

2|b|2))2 =

3∑i=1

(ui, Di(p+1

2|b|2))2 = −

3∑i=1

(Diui, p+1

2|b|2)2

= −(∇ · u, p+ 1

2|b|2)2 = 0, (2.7)

15

desde que u e livre de divergente. Por substituir os resultados obtidos em (2.5), (2.6) e (2.7) em

(2.4), obtemos1

2

d

dt∥u∥22 + µ∥Du∥22 = (u,b · ∇b)2. (2.8)

Agora vamos analisar o termo em (2.3) envolvendo a derivada do campo magnetico. Aplicando o

produto interno (b, ·)2 a segunda equacao do sistema (4), inferimos

1

2

d

dt∥b∥22 = (b,bt)2

= ν(b,∆b)2 − (b,u · ∇b)2 + (b,b · ∇u)2. (2.9)

Analogamente ao que foi feito em (2.5), chegamos a

(b,∆b)2 = −∥Db∥22, (2.10)

desde que ∇ · b = 0. Notemos ainda que,

(b,u · ∇b)2 =

3∑i=1

(b, uiDib)2

= −3∑

i=1

(b, Di(uib))2

= −3∑

i=1

(b, (Diui)b+ ui(Dib))2

= −(b, (∇ · u)b)2 − (b,u · ∇b)2

= −(b,u · ∇b)2, (2.11)

onde usamos o fato que ∇ · u = 0 na ultima igualdade. Daı, (b,u · ∇b) = 0. Assim, substituindo

(2.10) e (2.11) em (2.9), obtemos

1

2

d

dt∥b∥22 + ν∥Db∥22 = (b,b · ∇u)2. (2.12)

Por fim, somando as igualdades (2.8) e (2.12), encontramos

1

2

d

dtJ20 (t) + µ∥Du∥22 + ν∥Db∥22 = (u,b · ∇b)2 + (b,b · ∇u)2, (2.13)

ver definicao (1.11).

16

A seguir vamos provar que o lado direito da igualdade (2.13) e nulo. Com efeito,

(u,b · ∇b)2 + (b,b · ∇u)2 =3∑

i=1

(u, biDib)2 +3∑

i=1

(b, biDiu)2

= −3∑

i=1

(Di(biu),b)2 +

3∑i=1

(b, biDiu)2

= −3∑

i=1

((Dibi)u+ bi(Diu),b)2 +

3∑i=1

(b, biDiu)2

= −3∑

i=1

((∇ · b)u,b)2 −3∑

i=1

(biDiu,b)2 +3∑

i=1

(b, biDiu)2

= 0,

pois b e livre de divergente. Logo,

1

2

d

dtJ20 (t) + µ∥Du(·, t)∥22 + ν∥Db(·, t)∥22 = 0, 0 ≤ t < T ∗.

Se considerarmos que γ = min{µ, ν} > 0 e possıvel obter

1

2

d

dtJ20 (t) + γ(∥Du(·, t)∥22 + ∥Db(·, t)∥22) ≤ 0, 0 ≤ t < T ∗,

ou equivalentemente, por (1.11),

1

2

d

dtJ20 (t) ≤ −γJ2

1 (t), ∀ 0 ≤ t < T ∗. (2.14)

A desigualdade acima prova (2.1).

Agora, verifiquemos que (2.2) vale. De fato, integrando de 0 a t (t ∈ [0, T ∗)) a desigualdade

(2.14), chegamos, atraves do Teorema Fundamental do Calculo, a

1

2J20 (t)−

1

2J20 (0) ≤ −γ

∫ t

0J21 (s)ds ≤ 0. (2.15)

Deste modo,

J0(t) ≤ ∥(u0,b0)∥2, ∀ 0 ≤ t < T ∗,

ver (1.11). Analisando (2.15) de outra maneira, podemos alcancar as seguintes desigualdades:

−∥(u0,b0)∥22 ≤ J20 (t)− ∥(u0,b0)∥22 ≤ −2γ

∫ t

0J21 (s)ds.

17

Com isso, ∫ t

0J21 (s)ds ≤

1

2γ∥(u0,b0)∥22, ∀ 0 ≤ t < T ∗,

o que prova (2.2). Por conseguinte, finalizamos a prova do Lema 2.1.

Usando o Lema 2.1, vamos mostrar que quando e possıvel limitar, em algum intervalo de tempo,

a norma do sup da solucao dada pelo sistema (4), inferimos uma limitacao para todas as derivadas

espacias na norma L2 desta mesma solucao no mesmo intervalo de tempo. Mais precisamente,

temos o seguinte resultado.

Teorema 2.1. Seja (u,b)(·, t) solucao forte do sistema (4) definida no intervalo maximal [0, T ∗).

Assuma que

sup0≤t<T

∥(u,b)(·, t)∥∞ < ∞. (2.16)

Entao,

Jn(t) ≤ Kn, ∀ 0 ≤ t < T e n ∈ N,

onde Kn e uma constante positiva que depende somente de n, sup0≤t<T

∥(u,b)(·, t)∥∞, T, µ, ν e ∥(u0,b0)∥Hn.

Demonstracao. A prova deste resultado e feita por inducao sobre n. Primeiramente, segue das

definicoes (1.11) e (1.9), que

1

2

d

dtJ2n(t) =

1

2

d

dt

∑|α|=n

∥(Dαu, Dαb)(·, t)∥22

=1

2

d

dt

∑|α|=n

∥Dαu(·, t)∥22 +1

2

d

dt

∑|α|=n

∥Dαb(·, t)∥22,

para todo 0 ≤ t < T e n ∈ N. Permita-nos examinar as duas somas do lado direito da igualdade

acima separadamente. Assim sendo,

1

2

d

dt

∑|α|=n

∥Dαu∥22 =∑|α|=n

(Dαu, Dαut)2

=∑|α|=n

[µ(Dαu, Dα∆u)2 − (Dαu, Dα(u · ∇u))2 + (Dαu, Dα(b · ∇b))2

− (Dαu, Dα(∇(p+1

2|b|2)))2]. (2.17)

Nosso intuito agora e estudar alguns dos termos do lado direito das igualdades acima. Portanto,

18

use integracao por partes em ordem a obter

∑|α|=n

(Dαu, Dα∆u)2 =∑|α|=n

3∑i=1

(Dαu, DαD2i u)2

= −∑|α|=n

3∑i=1

(DiDαu, DiD

αu)2

= −∑

|β|=n+1

∥Dβu∥22. (2.18)

Integrando por partes e usando o fato que ∇ · u = 0, encontramos

∑|α|=n

(Dαu, Dα(∇(p+1

2|b|2)))2 =

∑|α|=n

3∑i=1

(Dαui, DαDi(p+

1

2|b|2))2

= −∑|α|=n

3∑i=1

(DαDiui, Dα(p+

1

2|b|2))2

= −∑|α|=n

(Dα(∇ · u), Dα(p+1

2|b|2))2

= 0. (2.19)

Daı, substituindo (2.18) e (2.19) em (2.17), inferimos

1

2

d

dt

∑|α|=n

∥Dαu∥22+µ∑

|β|=n+1

∥Dβu∥22 =∑|α|=n

[−(Dαu, Dα(u ·∇u))2+(Dαu, Dα(b ·∇b))2]. (2.20)

Similarmente a (2.18), podemos demonstrar que

1

2

d

dt

∑|α|=n

∥Dαb∥22 =∑|α|=n

(Dαb, Dαbt)2

=∑|α|=n

[ν(Dαb, Dα(∆b))2 − (Dαb, Dα(u · ∇b))2 + (Dαb, Dα(b · ∇u))2]

= −ν∑

|β|=n+1

∥Dβb∥22 +∑|α|=n

[−(Dαb, Dα(u · ∇b))2 + (Dαb, Dα(b · ∇u))2],

isto equivale a,

1

2

d

dt

∑|α|=n

∥Dαb∥22 + ν∑

|β|=n+1

∥Dβb∥22 =∑|α|=n

[−(Dαb, Dα(u · ∇b))2 +(Dαb, Dα(b · ∇u))2]. (2.21)

19

Somando as igualdades (2.20) e (2.21), obtemos

1

2

d

dtJ2n(t) + µ

∑|β|=n+1

∥Dβu∥22 + ν∑

|β|=n+1

∥Dβb∥22 =∑|α|=n

[−(Dαu, Dα(u · ∇u))2

+(Dαu, Dα(b · ∇b))2 − (Dαb, Dα(u · ∇b))2 + (Dαb, Dα(b · ∇u))2].

Assumindo que γ := min{µ, ν}, temos

1

2

d

dtJ2n(t) + γJ2

n+1(t) ≤ Sn(t), (2.22)

onde

Sn(t) :=∑|α|=n

[−(Dαu, Dα(u·∇u))2+(Dαu, Dα(b·∇b))2−(Dαb, Dα(u·∇b))2+(Dαb, Dα(b·∇u))2].

Agora estamos aptos a provar que Jn(t) e limitado em [0, T ), para todo n ∈ N.

Comecemos estimando J1(t) em [0, T ). Para este fim, a desigualdade (2.22) nos diz que e sufi-

ciente estimar S1(t). Mais minuciosamnete, conferindo a definicao de S1(t), vemos que a limitacao

de J1(t) segue da parcela (Du, D(b ·∇b))2, ja que os demais termos que definem S1(t) contribuem

de maneira semelhante nas estimativas que seguem. Com isso exposto, note que

(Du, D(b · ∇b))2 =3∑

i=1

(Du, D(biDib))2

=3∑

i=1

(Du, DbiDib)2 +3∑

i=1

(Du, biDDib)2

= −3∑

i=1

(Di(DuDbi),b)2 +

3∑i=1

(Du, biDDib)2

= −3∑

i=1

((DiDu)Dbi,b)2 −3∑

i=1

(DuDDibi,b)2 +

3∑i=1

(Du, biDDib)2

= −3∑

i=1

((DiDu)Dbi,b)2 − (DuD(∇ · b),b)2 +3∑

i=1

(Du, biDDib)2

= −3∑

i=1

((DiDu)Dbi,b)2 +

3∑i=1

(Du, biDDib)2,

pois ∇ · b = 0. Assim, e suficiente analisarmos os termos da forma (Db,bD2u)2 e (Du,bD2b)2.

20

Vejamos que, pela Desigualdade de Holder, (1.11) e (2.16), temos

|(Db,bD2u)2| ≤ ∥b∥∞∥Db∥2∥D2u∥2 ≤ MJ1(t)J2(t),

onde M = sup0≤t<T

∥(u,b)(·, t)∥∞. Analogamente,

|(Du,bD2b)2| ≤ MJ1(t)J2(t).

Daı,

|(Du, D(b · ∇b))2| ≤ CMJ1(t)J2(t).

Do mesmo modo,

|(Du, D(u · ∇u))2|, |(Db, D(u · ∇b))2|, |(Db, D(b · ∇u))2| ≤ CMJ1(t)J2(t).

Com isso, a partir de (2.22) e Desigualdade de Young (1.17), chegamos a

1

2

d

dtJ21 (t) + γJ2

2 (t) ≤ MJ1(t)J2(t) ≤ CMγ−1J21 (t) +

1

2γJ2

2 (t).

Logo,1

2

d

dtJ21 (t) +

γ

2J22 (t) ≤ CMγ−1J2

1 (t).

Assim, pelo Lema de Gronwall, ver (1.33), encontramos

J21 (t) ≤ exp{CMγ−1t}J2

1 (0)

≤ exp{CMγ−1T}∑|α|=1

∥(Dαu0, Dαb0)∥22

≤ exp{CMγ−1T}∥(u0,b0)∥2H1 ,

para todo 0 ≤ t < T. Portanto, J1(t) esta limitada em [0, T ) por uma constante

K1 := exp{CMγ−1T}∥(u0,b0)∥H1

que depende somente de M,T, µ, ν e ∥(u0,b0)∥H1 .

Agora vejamos que J2(t) e limitada em 0 ≤ t < T (esta limitacao e importante para a utilizacao

da hipotese de inducao a seguir). Por (2.22), temos que

1

2

d

dtJ22 (t) + γJ2

3 (t) ≤ S2(t).

21

Para estimar S2(t) e necessario encontrar uma limitacao para o termo (D2u, D2(b · ∇b))2, desde

que as outras parcelas de S2(t) seguem de modo analogo.

A Regra de Leibniz para derivadas nos informa que

(D2u, D2(b · ∇b))2 =

3∑i=1

(D2u, D2(biDib))2

=3∑

i=1

2∑j=0

(2

j

)(D2u, DjbiD

2−jDib)2

=

3∑i=1

[(20

)(D2u, biD

2Dib)2 +

(2

1

)(D2u, DbiDDib)2 +

(2

2

)(D2u, D2biDib)2

]=

3∑i=1

[(20

)(D2Dib, biD

2u)2 −(2

1

)(D(D2uDDib), bi)2 −

(2

2

)(Di(D

2uD2bi),b)2

]=

3∑i=1

[(20

)(D2Dib, biD

2u)2 −(2

1

)[(D3u, biDDib)2 + (D2Dib, biD

2u)2

]−(2

2

)(DiD

2u,bD2bi)2

]−(2

2

)(D2uD2(∇ · b),b)2

=

3∑i=1

[(20

)(D2Dib, biD

2u)2 −(2

1

)[(D3u, biDDib)2 + (D2Dib, biD

2u)2

]−(2

2

)(DiD

2u,bD2bi)2

],

pois ∇ · b = 0. Assim, e suficiente analisarmos os termos da forma (D3b,bD2u) e (D3u,bD2b).

Pela Desigualdade de Holder e hipotese (2.16), chegamos a

|(D3b,bD2u)2| ≤ ∥b∥∞∥D3b∥2∥D2u∥2 ≤ MJ2(t)J3(t).

Analogamente,

|(D3u,bD2b)2| ≤ MJ2(t)J3(t).

Daı,

|(D2u, D2(b · ∇b))2| ≤ CMJ2(t)J3(t).

Do mesmo modo,

|(D2u, D2(u · ∇u))2|, |(D2b, D2(u · ∇b))2|, |(D2b, D2(b · ∇u))2| ≤ CMJ2(t)J3(t).

22

Com isso, pela Desigualdade de Young (1.17) e (2.22), obtemos

1

2

d

dtJ22 (t) + γJ2

3 (t) ≤ CMJ2(t)J3(t) ≤ CMγ−1J22 (t) +

1

2γJ2

3 (t).

Portanto,

1

2

d

dtJ22 (t) +

1

2γJ2

3 (t) ≤ CMγ−1J22 (t).

Pelo Lema de Gronwall, inferimos

J22 (t) ≤ exp{CMγ−1t}J2

2 (0) ≤ exp{CMγ−1T}∥(u0,b0)∥2H2 ,

para todo 0 ≤ t < T . Portanto, J2(t) esta limitada em [0, T ) por uma constante positiva

K2 := exp{CMγ−1T}∥(u0,b0)∥H2

que depende somente de M,T, µ, ν e ∥(u0,b0)∥H2 .

Agora, consideremos n ≥ 3 e Jn(t) limitada para 0 ≤ t < T . Verifiquemos que Jn+1(t) e

limitada neste mesmo intervalo. Vimos em (2.22) que

1

2

d

dtJ2n+1(t) + γJ2

n+2(t) ≤ Sn+1(t). (2.23)

Em ordem a estimar Sn+1(t) e suficiente limitarmos o termo (Dn+1u, Dn+1(b · ∇b))2, pois as

demais parcelas em Sn+1(t) seguem de modo analogo. Por integracao por partes e pela Regra de

Leibniz para derivadas, temos

(Dn+1u, Dn+1(b · ∇b))2 = −(Dn+2u, Dn(b · ∇b))2

= −3∑

i=1

(Dn+2u, Dn(biDib))2

= −n∑

j=0

3∑i=1

(n

j

)(Dn+2u, DjbiD

n−jDib)2.

Assim, e suficiente analisarmos o termo da forma (Dn+2u, DjbDn+1−jb)2, onde 0 ≤ j ≤ n. Exa-

minemos tres casos:

1o Caso: Considere que 0 ≤ j ≤ n− 2.

23

Pela Desigualdade de Holder, temos que

|(Dn+2u, DjbDn+1−jb)2| ≤ ∥Djb∥∞∥Dn+2u∥2∥Dn+1−jb∥2

≤ ∥Djb∥∞Jn+2(t)Jn+1−j(t)

≤ Cj(Jn(t) + J0(t))Jn+2(t)Cn(Jn+1(t) + J0(t))

≤ Kn(Jn+1(t) + J0(t))Jn+2(t),

onde na terceira passagem utilizamos os Lemas 4.3 e 1.22 e na ultima aplicamos a hipotese de

inducao e o fato de que J0(t) e limitado (ver Lema 2.1).

2o Caso: Assuma que j = n− 1.

Aplicando a Desigualdade de Holder, o Lema 4.3 e o fato que J2(t) e limitado, encontramos

|(Dn+2u, DjbDn+1−jb)2| = |(Dn+2u, Dn−1bD2b)2|

≤ ∥Dn−1b∥∞∥Dn+2u∥2∥D2b∥2

≤ Cn(Jn+1(t) + J0(t))Jn+2(t)J2(t)

≤ Cn(Jn+1(t) + J0(t))Jn+2(t).

3o Caso: Considere, por fim, que j = n.

Novamente pela Desigualdade de Holder, obtemos

|(Dn+2u, DjbDn+1−jb)2| = |(Dn+2u, DnbDb)2|

≤ ∥Db∥∞∥Dn+2u∥2∥Dnb∥2

≤ Cn(J3(t) + J0(t))Jn+2(t)Jn(t)

≤ Kn(Jn+1(t) + J0(t))Jn+2(t),

onde na segunda desigualdade usamos o Lema 4.3, na desigualdade seguinte aplicamos o Lema 1.22

e a hipotese de inducao.

Observando os tres casos estudados acima, concluımos que

|(Dn+1u, Dn+1(b · ∇b))2| ≤ Kn(Jn+1(t) + J0(t))Jn+2(t), ∀ 0 ≤ t < T, (2.24)

onde Kn e uma constante positiva que depende de n,M, T, µ, ν, ∥(u0,b0)∥Hn .

24

Analogamente, prova-se que

(Dn+1u, Dn+1(u · ∇u))2, (Dn+1b, Dn+1(u · ∇b))2, (D

n+1b, Dn+1(b · ∇u))2

podem ser estimados, no mesmo intervalo de tempo, pelo mesmo limite dado em (2.24).

Deste modo, usando a Desigualdade de Young (1.17), (2.23) torna-se

1

2

d

dtJ2n+1(t) + γJ2

n+2(t) ≤ Kn(Jn+1(t) + J0(t))Jn+2(t)

≤ Knγ−1(Jn+1(t) + J0(t))

2 +1

2γJ2

n+2(t).

Logo,d

dtJ2n+1(t) + γJ2

n+2(t) ≤ Knγ−1(J2

n+1(t) + J20 (t)).

Daı, pelo Lema 2.1, obtemos

d

dtJ2n+1(t) + γJ2

n+2(t) ≤ Knγ−1(J2

n+1(t) + ∥(u0,b0)∥22).

Por fim, pelo Lema de Gronwall, chegamos a

J2n+1(t) ≤ exp{Knγ

−1t}[J2n+1(0) +Knγ

−1

∫ t

0∥(u0,b0)∥22dτ

]≤ exp{Knγ

−1t}[∥(u0,b0)∥2Hn+1 +Knγ

−1∥(u0,b0)∥22t]

≤ Kn+1,

para todo 0 ≤ t < T e

Kn+1 := ∥(u0,b0)∥2Hn+1 exp{Knγ−1T}

[1 +Knγ

−1T].

Portanto, Jn+1(t) esta limitada por uma constante positiva que depende somente de n,M, T, µ, ν e

∥(u0,b0)∥Hn+1 . Deste modo, por inducao, o resultado e valido.

2.2 A Aplicacao Ilimitada ∥(Du, Db)∥q, 32 < q ≤ 2

Nesta secao, vamos assumir que a solucao (u,b)(·, t) do sistema (4) em [0, T ∗), com T ∗ < ∞,

apresenta explosao em ordem a provar que

sup0≤t<T ∗

∥(Du, Db)(·, t)∥q = ∞,3

2< q ≤ 2. (2.25)

25

E importante destacar que se ∥(u,b)(·, t)∥∞ e limitada em 0 ≤ t < T para algum T finito, entao

(u,b)(·, t) pode ser continuada a uma solucao suave alem de T . Isto desempenha um papel impor-

tante na demonstracao de (2.25). Mais especificamente, garantiremos que sup0≤t<T ∥(u,b)(·, t)∥∞e limitado por uma constante se (2.25) nao for verdadeira e, por conseguinte, este resultado nos

levara a uma contradicao.

Comecamos as justificativas desta discussao com o caso especıfico q = 2.


Assuma que

sup0≤t<T

∥(Du, Db)(·, t)∥2 < ∞, (2.26)

entao

sup0≤t<T

∥(u,b)(·, t)∥∞ ≤ K2,

onde K2 e uma constante positiva que depende somente de sup0≤t<T

∥(Du, Db)(·, t)∥2, T, µ, ν, ∥(u0, b0)∥1.

Em particular, se T ∗ < ∞, entao

sup0≤t<T ∗

∥(Du, Db)(·, t)∥2 = ∞.

Demonstracao. Aplicando a Transformada de Fourier a primeira equacao do sistema (4), temos

ut(k, t)− µ∆u(k, t) + u · ∇u(k, t)− b · ∇b(k, t) + [∇(p+1

2|b|2)]∧(k, t) = 0, (2.27)

para todo k = (k1, k2, k3) ∈ R3 e t ∈ [0, T ). Consequentemente,

ut + u · ∇u− b · ∇b+ [∇(p+1

2|b|2)]∧ = −µ|k|2u,

desde que

∆u =

3∑i=1

D2i u = −

3∑i=1

k2i u = −|k|2u. (2.28)

Agora, considerando a definicao

Q(x, t) := −u · ∇u(x, t) + b · ∇b(x, t)−∇(p+1

2|b|2)(x, t), ∀x ∈ R3, 0 ≤ t < T,

26

podemos reescrever (2.27) da seguinte forma:

ut = −µ|k|2u+ Q. (2.29)

Por outro lado,

u · ∇u− b · ∇b = −Q− [(∇(p+1

2|b|2)]∧

e a decomposicao ortogonal do vetor u · ∇u− b · ∇b em um vetor ortogonal a k e um vetor paralelo

a k, respectivamente. De fato, por (2.29), temos que

Q · k = ut · k+ µ|k|2(u · k)

= (u · k)t + µ|k|2(u · k)

= −i[(∇ · u)t + µ|k|2(∇ · u)]

= 0,

pois ∇ · u = 0. Logo, Q e ortogonal a k. Alem disso,

[∇(p+1

2|b|2)]∧ = ([D1(p+

1

2|b|2)]∧, [D2(p+

1

2|b|2)]∧, [D3(p+

1

2|b|2)]∧)

= (ik1(p+1

2|b|2)∧, ik2(p+

1

2|b|2)∧, ik3(p+

1

2|b|2)∧)

= [i(p+1

2|b|2)∧]k.

Assim sendo, [∇(p+ 12 |b|

2)]∧ e paralelo a k. Pelo Teorema de Pitagoras, segue que,

|u · ∇u− b · ∇b|2 = |Q|2 + |[∇(p+1

2|b|2)]∧|2.

Daı,

|Q|2 = |u · ∇u− b · ∇b|2 − |[∇(p+1

2|b|2)]∧|2

≤ |u · ∇u− b · ∇b|2

≤ (|u · ∇u|+ |b · ∇b|)2. (2.30)

Aplicando o semigrupo do calor e−µ|k|2(t−s) a igualdade (2.29) e integrando de 0 a t, obtemos∫ t

0e−µ|k|2(t−s)us ds = −µ|k|2

∫ t

0e−µ|k|2(t−s)u ds+

∫ t

0e−µ|k|2(t−s)Q ds,

27

onde 0 ≤ s ≤ t < T . Assim, integrando por partes, chegamos a

u(·, t) = e−µ|k|2tu0 +

∫ t

0e−µ|k|2(t−s)Q ds.

Passando ao modulo, obtemos, atraves de (2.30), que

|u| ≤ e−µ|k|2t|u0|+∫ t

0e−µ|k|2(t−s)|Q| ds

≤ |u0|+∫ t

0e−µ|k|2(t−s)(|u · ∇u|+ |b · ∇b|) ds.

Integrando em relacao a k ∈ R3 a desigualdade acima, inferimos∫R3

|u(k, t)| dk ≤∫R3

|u0(k)| dk+

∫ t

0

∫R3

e−µ|k|2(t−s)(|u · ∇u|+ |b · ∇b|) dkds

= ∥u0∥1 +∫ t

0

∫R3

e−µ|k|2(t−s)(|u · ∇u|+ |b · ∇b|) dkds.

Sabemos que

∥u∥∞ ≤ 1

(2π)32

∥u∥1.

Consequentemente,

∥u∥∞ ≤ 1

(2π)32

∫R3

|u| dk

≤ 1

(2π)32

∥u0∥1 +1

(2π)32

∫ t

0

∫R3

e−µ|k|2(t−s)(|u · ∇u|+ |b · ∇b|) dkds. (2.31)

Observemos que, pela Desigualdade de Holder,

∫R3

e−µ|k|2(t−s)|b · ∇b| dk ≤(∫

R3

e−2µ|k|2(t−s) dk

) 12(∫

R3

|b · ∇b|2 dk) 1

2

. (2.32)

Sabemos que ∫ ∞

−∞e−r2 dr = π

12 .

28

Portanto, por utilizar o Teorema de Mudanca de Variaveis para integrais, temos∫R3

e−2µ|k|2(t−s) dk =

∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞e−2µ(k21+k22+k23)(t−s) dk1dk2dk3

=

∫ ∞

−∞e−2µk21(t−s) dk1

∫ ∞

−∞e−2µk22(t−s) dk2

∫ ∞

−∞e−2µk23(t−s) dk3

=

(1√

2µ(t− s)

)3 ∫ ∞

−∞e−u2

1du1

∫ ∞

−∞e−u2

2du2

∫ ∞

−∞e−u2

3du3

=

(π

2µ

) 32

(t− s)−32 . (2.33)

Alem disso, usando a Identidade de Parseval, temos que

∫R3

|b · ∇b|2 dk =

∫R3

|b · ∇b|2 dx ≤ C

∫R3

3∑i=1

|biDib|2dx

≤ C∥b∥2∞3∑

i=1

∫R3

|Dib|2 dx = C∥b∥2∞∥Db∥22

≤ C∥(u,b)∥2∞∥(Du, Db)∥22 ≤ K21∥(u,b)∥2∞,

onde

K1 := sup0≤t<T

∥(Du, Db)(·, t)∥2, (2.34)

ver (2.26). Aplicando essas estimativas em (2.32), concluımos que,∫R3

e−µ|k|2(t−s)|b · ∇b| dk ≤ K1Cµ(t− s)−34 ∥(u,b)∥∞. (2.35)

Analogamente, conclui-se∫R3

e−µ|k|2(t−s)|u · ∇u| dk ≤ K1Cµ(t− s)−34 ∥(u,b)∥∞, (2.36)

ver (2.26). Assim, por (2.31), chegamos a

∥u∥∞ ≤ 1

(2π)32

∥u0∥1 +K1Cµ

∫ t

0(t− s)−

34 ∥(u,b)∥∞ ds

≤ 1

(2π)32

∥(u0, b0)∥1 +K1Cµ

∫ t

0(t− s)−

34 ∥(u,b)∥∞ ds (2.37)

Agora apliquemos o mesmo processo a segunda equacao do sistema (4). Passando a Transformada

29

de Fourier nesta mesma equacao, obtemos

bt(k, t) = ν∆b(k, t)− u · ∇b(k, t) + b · ∇u(k, t), (2.38)

para todo k ∈ R3, 0 ≤ t < T. Similarmente a (2.28), encontramos

bt = −ν|k|2b− u · ∇b+ b · ∇u. (2.39)

Aplicando o semigrupo do calor e−ν|k|2(t−s) a (2.38) e, em seguida, integrando de 0 a t, obtemos∫ t

0e−ν|k|2(t−s)bs ds = −ν|k|2

∫ t

0e−ν|k|2(t−s)b ds+

∫ t

0e−ν|k|2(t−s)(−u · ∇b+ b · ∇u) ds,

onde 0 ≤ s ≤ t < T. Deste modo,

b(·, t) = e−ν|k|2tb0 +

∫ t

0e−ν|k|2(t−s)(−u · ∇b+ b · ∇u) ds.

Passando ao modulo, infere-se

|b| ≤ e−ν|k|2t|b0|+∫ t

0e−ν|k|2(t−s)|−u · ∇b+ b · ∇u| ds

≤ |b0|+∫ t

0e−ν|k|2(t−s)(|u · ∇b|+ |b · ∇u|) ds.

Integrando em relacao a k ∈ R3, obtemos∫R3

|b| dk ≤∫R3

|b0| dk+

∫ t

0

∫R3

e−ν|k|2(t−s)(|u · ∇b|+ |b · ∇u|) dkds

= ∥b0∥1 +∫ t

0

∫R3

e−ν|k|2(t−s)(|u · ∇b|+ |b · ∇u|) dkds.

Usando a desigualdade

∥b∥∞ ≤ 1

(2π)32

∥b∥1,

concluımos que

∥b∥∞ ≤ 1

(2π)32

∫R3

|b| dk

≤ 1

(2π)32

∥b0∥1 +1

(2π)32

∫ t

0

∫R3

e−ν|k|2(t−s)(|u · ∇b|+ |b · ∇u|) dkds. (2.40)

30

Pela Desigualdade de Holder e argumentos analogos aos encontradados em (2.33) e (2.34), temos

∫R3

e−ν|k|2(t−s)|u · ∇b| dk ≤(∫

R3

e−2ν|k|2(t−s) dk

) 12(∫

R3

|u · ∇b|2 dk) 1

2

≤ Cν(t− s)−34 ∥u∥∞∥Db∥2

≤ Cν(t− s)−34 ∥(u,b)∥∞∥(Du, Db)∥2

≤ K1Cν(t− s)−34 ∥(u,b)∥∞,

Analogamente, ∫R3

e−ν|k|2(t−s)|b · ∇u| dk ≤ Cν(t− s)−34 ∥b∥∞∥Du∥2

≤ K1Cν(t− s)−34 ∥(u,b)∥∞.

Aplicando estas estimativas em (2.40), temos que

∥b∥∞ ≤ 1

(2π)32

∥b0∥1 +K1Cν

∫ t

0(t− s)−

34 ∥(u,b)∥∞ ds

≤ 1

(2π)32

∥(u0, b0)∥1 +K1Cν

∫ t

0(t− s)−

34 ∥(u,b)∥∞ ds. (2.41)

Deste modo, por (2.37) e (2.41), chegamos a

∥(u,b)∥∞ ≤ 1

(2π)32

∥(u0, b0)∥1 +K1Cµ,ν

∫ t

0(t− s)−

34 ∥(u,b)∥∞ ds.

Por fim, pelo Lema do tipo Gronwall 4.1, concluımos que

∥(u,b)(·, t)∥∞ ≤ 1

(2π)32

∥(u0, b0)∥1 exp{K1Cµ,νT}, ∀ 0 ≤ t < T.

Portanto,

sup0≤t<T

∥(u,b)(·, t)∥∞ ≤ K2, ∀ 0 ≤ t < T,

onde K2 depende somente de K1, T, µ, ν, ∥(u0, b0)∥1.

Em particular, se T ∗ < ∞ e K1 < ∞ (ver (2.26)) entao, pela desigualdade acima a solucao de

(4) pode ser continuada alem de T ∗. Isto contradiz a maximalidade de T ∗.

E importante ressaltar que, a prova do Corolario 2.3 abaixo segue facilmente de uma leve

31

reformulacao da demonstracao do Teorema 2.2. Contudo, para a comodidade do leitor, expomos

tal modificacao a seguir.

Corolario 2.3. Seja 32 < q ≤ 2. Seja (u,b)(·, t) solucao forte do sistema (4) definida no intervalo

maximal [0, T ∗). Assuma que

sup0≤t<T

∥(Du, Db)(·, t)∥q < ∞. (2.42)

Entao

sup0≤t<T

∥(u,b)(·, t)∥∞ ≤ K2,q,

onde K2,q e uma constante positiva que depende somente de ∥(u0, b0)∥1, sup0≤t<T

∥(Du, Db)(·, t)∥q,

q, T, µ, ν. Em particular, se T ∗ < ∞, entao

sup0≤t<T ∗

∥(Du, Db)(·, t)∥q = ∞.

Demonstracao. Por (2.31) e (2.40), temos que

∥(u,b)(·, t)∥∞ ≤ 1

(2π)32

∥(u0, b0)∥1 +1

(2π)32

∫ t

0

∫R3

e−µ|k|2(t−s)(|u · ∇u|+ |b · ∇b|) dkds

+1

(2π)32

∫ t

0

∫R3

e−ν|k|2(t−s)(|u · ∇b|+ |b · ∇u|) dkds.

Vamos estimar as integrais do lado direito da desigualdade acima. Primeiramente, pela Desigual-

dade de Holder e por (2.33), chegamos a

∫R3

e−ν|k|2(t−s)|u · ∇b| dk ≤(∫

R3

e−qν|k|2(t−s) dk

) 1q(∫

R3

|u · ∇b|q′ dk) 1

q′

= Cq,ν(t− s)− 3

2q ∥u · ∇b∥q′ ,

onde 1q +

1q′ = 1. Daı, pela Desigualdade de Hausdorff-Young (1.19),∫

R3

e−ν|k|2(t−s)|u · ∇b| dk ≤ Cq,ν(t− s)− 3

2q ∥u · ∇b∥q

= Cq,ν(t− s)− 3

2q

(∫R3

|u · ∇b|q dx) 1

q

32

= Cq,ν(t− s)− 3

2q

(∫R3

∣∣∣∣∣3∑

i=1

uiDib

∣∣∣∣∣q

dx

) 1q

≤ Cq,ν(t− s)− 3

2q

(∫R3

3∑i=1

|uiDib|q dx

) 1q

= Cq,ν(t− s)− 3

2q

(∫R3

3∑i=1

|ui|q|Dib|q dx

) 1q

≤ Cq,ν(t− s)− 3

2q ∥u∥∞

(3∑

i=1

∫R3

|Dib|q dx

) 1q

= Cq,ν(t− s)− 3

2q ∥u∥∞∥Db∥q. (2.43)

Analogamente, ∫R3

e−ν|k|2(t−s)|b · ∇u| dk ≤ Cq,ν(t− s)− 3

2q ∥b∥∞∥Du∥q,∫R3

e−µ|k|2(t−s)|u · ∇u| dk ≤ Cq,µ(t− s)− 3

2q ∥u∥∞∥Du∥q,∫R3

e−µ|k|2(t−s)|b · ∇b| dk ≤ Cq,µ(t− s)− 3

2q ∥b∥∞∥Db∥q.

Deste modo,

∥(u,b)(·, t)∥∞ ≤ 1

(2π)32

∥(u0, b0)∥1 + Cq,µ,νK1,q

∫R3

(t− s)− 3

2q ∥(u,b)∥∞ds,

onde

K1,q := sup0≤t<T

∥(Du, Db)(·, t)∥q, (2.44)

ver (2.42). Pelo Lema 4.1,

∥(u,b)(·, t)∥∞ ≤ K2,q, ∀ 0 ≤ t < T,

onde K2,q := 2(2π)−32 ∥(u0, b0)∥1 exp{2Cq,µ,νK1,qT}. Por fim,

sup0≤t<T

∥(u,b)(·, t)∥∞ ≤ K2,q.

Em particular, se T ∗ < ∞ e K1,q < ∞ (ver (2.42)) entao, pela desigualdade acima a solucao de

(4) pode ser continuada alem de T ∗. Isto contradiz a maximalidade de T ∗.

33

O Teorema 2.2 nos diz que e possıvel encontrar uma limitacao para ∥(u,b)(·, t)∥∞, no intervalo

de tempo [0, T ), sempre que sup0≤t<T ∥(Du, Db)(·, t)∥2 for finito. Modificando a prova deste mesmo

teorema, e possıvel garantir que t34 ∥(u,b)(·, t)∥∞ tambem e limitado em (0, T ) se considerarmos a

mesma hipotese sobre a derivada da solucao (u,b)(·, t) do sistema (4).

Proposicao 2.1. Seja (u,b)(·, t) solucao forte do sistema (4) definida no intervalo maximal [0, T ∗).

Assuma que

sup0≤t<T

∥(Du, Db)(·, t)∥2 < ∞. (2.45)

Entao a seguinte estimativa se faz verdadeira:

sup0<t<T

t34 ∥(u,b)(·, t)∥∞ ≤ K2,

para alguma constante positiva K2 que depende somente dos valores de sup0≤t<T

∥(Du, Db)(·, t)∥2, T, µ, ν

e ∥(u0,b0)∥2.

Demonstracao. Aplique s34 e−µ|k|2(t−s) (0 < s ≤ t < T ) em (2.29) e, em seguida, integre o resultado

sobre [0, t] em ordem a obter∫ t

0s

34 e−µ|k|2(t−s)us ds =

∫ t

0s

34 e−µ|k|2(t−s)[−µ|k|2u+ Q] ds.

Com isso, integrando por partes, chegamos a

t34 u(·, t) = 3

4

∫ t

0s−

14 e−µ|k|2(t−s)u ds+

∫ t

0s

34 e−µ|k|2(t−s)Q ds.

Daı, podemos inferir, a partir de (2.30), que

|t34 u| ≤ 3

4

∫ t

0s−

14 e−µ|k|2(t−s)|u| ds+

∫ t

0s

34 e−µ|k|2(t−s)|Q| ds

≤ 3

4

∫ t

0s−

14 e−µ|k|2(t−s)|u| ds+

∫ t

0s

34 e−µ|k|2(t−s)(|u · ∇u|+ |b · ∇b|) ds.

Integrando sobre R3, obtemos

t34

∫R3

|u| dk ≤ 3

4

∫R3

∫ t

0s−

14 e−µ|k|2(t−s)|u| dsdk

+

∫R3

∫ t

0s

34 e−µ|k|2(t−s)(|u · ∇u|+ |b · ∇b|) dsdk.

34

Sabemos que,

∥u∥∞ ≤ 1

(2π)32

∥u∥1.

Assim sendo,

t34 ∥u∥∞ ≤ 3

4(2π)32

∫ t

0s−

14

∫R3

e−µ|k|2(t−s)|u| dkds

+1

(2π)32

∫ t

0s

34

∫R3

e−µ|k|2(t−s)(|u · ∇u|+ |b · ∇b|) dkds. (2.46)

Utilizando a Desigualdade de Holder para estimar as integrais sobre R3 acima, temos

t34 ∥u∥∞ ≤ 3

4(2π)32

∫ t

0s−

14

(∫R3


) 12(∫

R3

|u|2 dk) 1

2

ds

+1

(2π)32

∫ t

0s

34

(∫R3

e−µ|k|2(t−s)|u · ∇u| dk)

ds

+1

(2π)32

∫ t

0s

34

(∫R3

e−µ|k|2(t−s)|b · ∇b| dk)

ds.

Analogamente ao que foi feito em (2.33), (2.35) e (2.36), e tambem por utilizar a Identidade de

Parseval, concluımos que

t34 ∥u∥∞ ≤ Cµ

∫ t

0s−

14 (t− s)−

34 ∥u∥2ds+K1Cµ

∫ t

0s

34 (t− s)−

34 ∥(u,b)∥∞ ds,

onde K1 e dado em (2.34) (ver (2.45)). Usando o Lema 2.1, encontramos

t34 ∥u∥∞ ≤ Cµ∥(u0,b0)∥2

∫ t

0s−

14 (t− s)−

34 ds+K1Cµ

∫ t

0s

34 (t− s)−

34 ∥(u,b)∥∞ ds. (2.47)

Observemos que,∫ t

0s−

14 (t− s)−

34 ds =

∫ t2

0s−

14 (t− s)−

34 ds+

∫ t

t2

s−14 (t− s)−

34 ds.

Vamos estimar cada uma das parcelas do lado direito da igualdade acima. Sendo assim, para a

primeira parcela temos o seguinte:

∫ t2

0s−

14 (t− s)−

34ds ≤

(t

2

)− 34∫ t

2

0s−

14 ds =

4

3

(t

2

)− 34(t

2

) 34

=4

3.

35

Para segunda parcela, temos

∫ t

t2

s−14 (t− s)−

34ds ≤

(t

2

)− 14∫ t

t2

(t− s)−34ds = 4

(t

2

)− 14(t

2

) 14

= 4.

Deste modo, ∫ t

0s−

14 (t− s)−

34ds ≤ 16

3. (2.48)

Com isso, substituindo esta estimativa em (2.47), chegamos a

t34 ∥u∥∞ ≤ Cµ∥(u0,b0)∥2 +K1Cµ

∫ t

0(t− s)−

34 s

34 ∥(u,b)∥∞ ds. (2.49)

Apliquemos o mesmo processo a segunda equacao do sistema (4). Por usar (2.39), obtemos∫ t

0s

34 e−ν|k|2(t−s)bs ds = −ν|k|2

∫ t

0s

34 e−ν|k|2(t−s)b ds+

∫ t

0s

34 e−ν|k|2(t−s)(−u · ∇b+ b · ∇u) ds.

Assim,

t34 b(·, t) = 3

4

∫ t

0s−

14 e−ν|k|2(t−s)b ds+

∫ t

0s

34 e−ν|k|2(t−s)(−u · ∇b+ b · ∇u) ds.

Passando ao modulo, encontramos

|t34 b(·, t)| ≤ 3

4

∫ t

0s−

14 e−ν|k|2(t−s)|b| ds+

∫ t

0s

34 e−ν|k|2(t−s)| − u · ∇b+ b · ∇u| ds.

Integrando sobre R3, inferimos

t34

∫R3

|b| dk ≤ 3

4

∫R3

∫ t

0s−

14 e−ν|k|2(t−s)|b| dsdk

+

∫R3

∫ t

0s

34 e−ν|k|2(t−s)(|u · ∇b|+ |b · ∇u|) dsdk.

Consequentemente,

t34 ∥b∥∞ ≤ t

34

(2π)32

∥b∥1

≤ 3

4(2π)32

∫ t

0s−

14

∫R3

e−ν|k|2(t−s)|b| dkds

+1

(2π)32

∫ t

0s

34

∫R3

e−ν|k|2(t−s)(|u · ∇b|+ |b · ∇u|) dkds. (2.50)

36

Analogamente a (2.49), obtemos

t34 ∥b∥∞ ≤ Cν∥(u0,b0)∥2 +K1Cν

∫ t

0(t− s)−

34 s

34 ∥(u,b)∥∞ ds, (2.51)

onde K1 e dado em (2.34). Por (2.49) e (2.51), chegamos a

t34 ∥(u,b)∥∞ ≤ Cµ,ν∥(u0,b0)∥2 +K1Cµ,ν

∫ t

0(t− s)−

34 s

34 ∥(u,b)∥∞ ds.

Pelo Lema 4.1, encontramos

t34 ∥(u,b)(·, t)∥∞ ≤ K2, ∀ 0 < t < T,

onde K2 = Cµ,ν∥(u0,b0)∥2 exp{K1Cµ,νT}. Portanto,

sup0<t<T

t34 ∥(u,b)(·, t)∥∞ ≤ K2.

Modificando a prova da Proposicao 2.1 e possıvel garantir que t34 ∥(u,b)(·, t)∥∞ e limitado em

(0, T ) se considerarmos sup0≤t<T

∥(Du, Db)(·, t)∥q, com 32 < q ≤ 2, finito.

Proposicao 2.2. Seja 32 < q ≤ 2. Seja (u,b)(·, t) solucao forte do sistema (4) definida no intervalo

maximal [0, T ∗). Assuma que

sup0≤t<T

∥(Du, Db)(·, t)∥q < ∞, (2.52)

entao

sup0<t<T

t34 ∥(u,b)(·, t)∥∞ ≤ K2,q,

para algum limite positivo K2,q que depende somente dos valores de ∥(u0,b0)∥2, sup0≤t<T

∥(Du, Db)(·, t)∥q,

q, µ, ν, T.

Demonstracao. Em (2.46) vimos que

t34 ∥u(·, t)∥∞ ≤ 3

4(2π)32

∫ t

0s−

14

∫R3

e−µ|k|2(t−s)|u| dkds

+1

(2π)32

∫ t

0s

34

∫R3

e−µ|k|2(t−s)(|u · ∇u|+ |b · ∇b|) dkds.

37

Portanto, pela Desigualdade de Holder, inferimos

t34 ∥u∥∞ ≤ 3

4(2π)32

∫ t

0s−

14

(∫R3


) 12(∫

R3

|u|2 dk) 1

2

ds

+1

(2π)32

∫ t

0s

34

(∫R3

e−qµ|k|2(t−s) dk

) 1q(∫

R3

(|u · ∇u|+ |b · ∇b|)q′ dk) 1

q′

ds,

onde 1q +

1q′ = 1. Por (2.33) e (2.43), obtemos

t34 ∥u∥∞ ≤ Cµ

∫ t

0s−

14 (t− s)−

34 ∥u∥2 ds+K1,qCq,µ

∫ t

0s

34 (t− s)

− 32q ∥(u,b)∥∞ ds,

onde K1,q e dado em (2.44) (ver (2.52)). Usando Identidade de Parseval e o Lema 2.1, concluımos

que

t34 ∥u(·, t)∥∞ ≤ Cµ∥(u0,b0)∥2

∫ t

0s−

14 (t− s)−

34ds+K1,qCq,µ

∫ t

0(t− s)

− 32q s

34 ∥(u,b)∥∞ ds.

Por (2.48), chegamos a

t34 ∥u∥∞ ≤ Cµ∥(u0,b0)∥2 +K1,qCq,µ

∫ t

0(t− s)

− 32q s

34 ∥(u,b)∥∞ ds.

Aplicando um processo analogo a segunda equacao do sistema (4), obtemos

t34 ∥b(·, t)∥∞ ≤ Cν∥(u0,b0)∥2 +K1,qCq,ν

∫ t

0(t− s)

− 32q s

34 ∥(u,b)(·, s)∥∞ ds,

ver (2.50). Assim,

t34 ∥(u,b)(·, t)∥∞ ≤ Cµ,ν∥(u0,b0)∥2 +K1,qCq,µ,ν

∫ t

0(t− s)

− 32q s

34 ∥(u,b)(·, s)∥∞ ds.

Pelo Lema 4.1, chegamos a

t34 ∥(u,b)(·, t)∥∞ ≤ K2,q, ∀ 0 < t < T,

onde K2,q := Cµ,ν∥(u0,b0)∥2 exp{K1,qCq,µ,νT}. Portanto,

sup0<t<T

t34 ∥(u,b)(·, t)∥∞ ≤ K2,q.

38

2.3 Desigualdade de Leray para o Sistema MHD

Nesta secao, considerando que (u,b)(·, t) e a solucao do sistema (4) no intervalo [0, T ∗), pro-

varemos o limite inferior (conhecido no caso das equacoes (5) como Desigualdade de Leray (ver

[28])).

∥(Du, Db)(·, t)∥2 ≥Cµ,ν

(T ∗ − t)14

, ∀ 0 ≤ t < T ∗,

se T ∗ < ∞, o qual nos garante que

limt↗T ∗

∥(Du, Db)(·, t)∥2 = ∞.

Com esta meta em mente, apresentaremos um resultado que estabelece uma desigualdade diferencial

envolvendo ∥(Du, Db)∥2. Mais precisamente, temos o seguinte lema:


Entao,

d

dt∥(Du, Db)(·, t)∥22 ≤ Cγ−3∥(Du, Db)(·, t)∥62, ∀ 0 ≤ t < T ∗,

onde C e uma constante positiva e γ := min{µ, ν}.

Demonstracao. Vamos direto a prova. Primeiramente, notemos que a primeira equacao de (4) nos

permite informar que

1

2

d

dt∥Du(·, t)∥22 =

1

2

d

dt(Du, Du)2

=

3∑j=1

(Dju, Djut)2

=3∑

j=1

[µ(Dju, Dj(∆u))2 − (Dju, Dj(u · ∇u))2 + (Dju, Dj(b · ∇b))2

− (Dju, Dj∇(p+1

2|b|2))2].

Vamos estudar separadamente algumas das parcelas do lado direito das igualdades acima. Assim

39

sendo, por integracao por partes, obtemos

3∑j=1

(Dju, Dj(∆u))2 =

3∑i,j=1

(Dju, D2iDju)2

= −3∑

i,j=1

(DiDju, DiDju)2

= −∥D2u∥22 (2.53)

e tambem

3∑j=1

(Dju, Dj(∇(p+1

2|b|2)))2 =

3∑i,j=1

(Djui, DjDi(p+1

2|b|2))2

= −3∑

i,j=1

(DiDjui, Dj(p+1

2|b|2))2

= −3∑

j=1

(Dj(∇ · u), Dj(p+1

2|b|2))2

= 0,

pois ∇ · u = 0. Deste modo,

1

2

d

dt∥Du∥22 + µ∥D2u∥22 = −

3∑j=1

(Dju, Dj(u · ∇u))2 +

3∑j=1

(Dju, Dj(b · ∇b))2. (2.54)

Por outro lado, avaliando a segunda equacao de (4), concluımos

1

2

d

dt∥Db(·, t)∥22 =

3∑j=1

(Djb, Djbt)2

=

3∑j=1

[ν(Djb, Dj∆b)2 − (Djb, Dj(u · ∇b))2 + (Djb, Dj(b · ∇u))2]

= −ν∥D2b∥22 −3∑

j=1

(Djb, Dj(u · ∇b))2 +3∑

j=1

(Djb, Dj(b · ∇u))2,

onde nesta ultima igualdade usamos (2.53). Logo,

1

2

d

dt∥Db∥22 + ν∥D2b∥22 = −

3∑j=1

(Djb, Dj(u · ∇b)) +

3∑j=1

(Djb, Dj(b · ∇u)). (2.55)

40

Somando as igualdades (2.54) e (2.55), obtemos

1

2

d

dt∥(Du, Db)∥22 + µ∥D2u∥22 + ν∥D2b∥22 =

3∑j=1

[−(Dju, Dj(u · ∇u))2 + (Dju, Dj(b · ∇b))2

− (Djb, Dj(u · ∇b))2 + (Djb, Dj(b · ∇u))2].

(2.56)

Agora, permita-nos examinar os termos do lado direito da igualdade acima.

(Dju, Dj(b · ∇b))2 =

3∑i,k=1

∫R3

DjukDj(biDibk) dx

=3∑

i,k=1

∫R3

DjukDjbiDibk dx+3∑

i,k=1

∫R3

(Djuk)biDjDibk dx

≤3∑

i,k=1

∫R3

|Djuk||Djbi||Dibk| dx+3∑

i,k=1

∫R3

(Djuk)biDjDibk dx

≤ C

∫R3

|Du||Db|2 dx+

3∑i,k=1

∫R3

(Djuk)biDjDibk dx.

Alem disso, por integracao por partes, podemos afirmar que

(Djb, Dj(b · ∇u))2 =

3∑i,k=1

∫R3

DjbkDj(biDiuk) dx

=

3∑i,k=1

∫R3

DjbkDjbiDiuk dx+

3∑i,k=1

∫R3

(Djbk)biDjDiuk dx

≤3∑

i,k=1

∫R3

|Djbk||Djbi||Diuk| dx−3∑

i,k=1

∫R3

Di((Djbk)bi)Djuk dx

≤ C

∫R3

|Db|2|Du| dx−3∑

i,k=1

∫R3

((DiDjbk)bi +DjbkDibi)Djuk dx

= C

∫R3

|Db|2|Du| dx−3∑

i,k=1

∫R3

(DiDjbk)biDjuk dx,

onde na ultima igualdade usamos o fato que b e livre de divergente. Portanto, obtemos

(Dju, Dj(b · ∇b))2 + (Djb, Dj(b · ∇u))2 ≤ C

∫R3

|Du||Db|2 dx. (2.57)

41

Notemos ainda que,

−(Djb, Dj(u · ∇b))2 = −3∑

i,k=1

∫R3

DjbkDj(uiDibk) dx

= −3∑

i,k=1

∫R3

DjbkDjuiDibk dx−3∑

i,k=1

∫R3

(Djbk)uiDjDibk dx

Mas, novamente por integracao por partes, chegamos a

−3∑

i,k=1

∫R3

(Djbk)uiDjDibk dx =3∑

i,k=1

∫R3

Di((Djbk)ui)Djbk dx

=3∑

i,k=1

∫R3

((DiDjbk)ui +DjbkDiui)Djbk dx

=

3∑i,k=1

∫R3

(DiDjbk)uiDjbk dx,

pois, ∇ · u = 0. Dessa forma,

−3∑

i,k=1

∫R3

(Djbk)uiDjDibk dx = 0.

Consequentemente,

− (Djb, Dj(u · ∇b))2 = −3∑

i,k=1

∫R3

DjbkDjuiDibk dx

≤3∑

i,k=1

∫R3

|Djbk||Djui||Dibk| dx

≤ C

∫R3

|Du||Db|2 dx. (2.58)

Analogamente, pode-se provar que

(Dju, Dj(u · ∇u))2 ≤ C

∫R3

|Du|3 dx. (2.59)

Substituindo (2.57), (2.58) e (2.59) em (2.56), concluımos que

1

2

d

dt∥(Du, Db)∥22 + µ∥D2u∥22 + ν∥D2b∥22 ≤ C∥(Du, Db)∥33.

42

Utilizando a Desigualdade de Gagliardo-Nirenberg (1.21),

∥v∥3 ≤ C∥v∥122 ∥Dv∥

122 , ∀ v ∈ H1(R3),

temos que

1

2

d

dt∥(Du, Db)∥22 + µ∥D2u∥22 + ν∥D2b∥22 ≤ C∥(Du, Db)∥

322 ∥(D

2u, D2b)∥322 .

Assuma que γ := min{µ, ν}. Com isso, concluımos que

1

2

d

dt∥(Du, Db)∥22 + γ∥(D2u, D2b)∥22 ≤ C∥(Du, Db)∥

322 ∥(D

2u, D2b)∥322 .

Agora, usando a Desigualdade de Young, encontramos

1

2

d

dt∥(Du, Db)∥22 + γ∥(D2u, D2b)∥22 ≤ Cγ−3∥(Du, Db)∥62 +

γ

2∥(D2u, D2b)∥22.

Por conseguinte,

1

2

d

dt∥(Du, Db)∥22 +

γ

2∥(D2u, D2b)∥22 ≤ Cγ−3∥(Du, Db)(·, t)∥62.

Portanto,d

dt∥(Du, Db)(·, t)∥22 ≤ Cγ−3∥(Du, Db)(·, t)∥62, ∀ 0 ≤ t < T ∗.

Como querıamos demonstrar.

O proximo teorema nos mostra como limitar inferiormente a norma L2 do gradiente da solucao

do sistema (4), em seu intervalo de tempo maximal, assumindo que esta apresenta explosao em

tempo finito. E importante ressaltar que o Teorema 2.4 abaixo remete a Leray no caso em que

b = 0 (ver [28]).

Teorema 2.4 (Desigualdade de Leray). Seja (u,b)(·, t) solucao forte do sistema (4) definida no

intervalo maximal [0, T ∗). Assuma que T ∗ < ∞, entao

∥(Du, Db)(·, t)∥2 ≥ Cγ34 (T ∗ − t)−

14 , ∀ 0 ≤ t < T ∗,

onde C e uma constante positiva e γ = min{µ, ν}.

Demonstracao. Usando o fato que T ∗ < ∞, concluımos, atraves do Teorema 2.2, que

sup0≤t<T ∗

∥(Du, Db)(·, t)∥2 = ∞.

43

Assim, pelo Lema 2.2 e Lema 4.2, chegamos a

∥(Du, Db)(·, t)∥2 ≥(

1

Cγ−3

) 14

(T ∗ − t)−14 , ∀ 0 ≤ t < T ∗.

Isto completa a prova do Teorema 2.4.

2.4 A Aplicacao Ilimitada ∥(u,b)(·, t)∥q, 3 < q ≤ ∞

Nesta secao, estamos interessados em provar que a solucao (u,b) de (4) tem norma Lq, para

3 < q ≤ ∞, ilimitada em seu intervalo de existencia, se esta apresenta explosao em tempo finito.

Mais precisamente, permita-nos enunciar o seguinte resultado.


Seja 3 < q ≤ ∞. Assuma que

sup0≤t<T

∥(u,b)(·, t)∥q < ∞. (2.60)

Entao

sup0≤t<T

∥(Du, Db)(·, t)∥2 ≤ K2,q,

onde K2,q e uma constante positiva que depende somente de sup0≤t<T

∥(u,b)(·, t)∥q, ∥(Du0, Db0)∥2, q, T,

µ, ν. Em particular, se T ∗ < ∞, entao

sup0≤t<T ∗

∥(u,b)(·, t)∥q = ∞.

Demonstracao. Primeiramente considere que 65 < r ≤ 2 e tal que 1

q +12 = 1

r . Como

∇ · (u · ∇u− b · ∇b+∇(p+1

2|b|2)) = −∇ · (ut − µ∆u) = 0,

ja que ∇ · u = 0, temos que a projecao de Helmontz PH esta bem definida e

PH(u · ∇u− b · ∇b) = u · ∇u− b · ∇b+∇(p+1

2|b|2),

ver (1.23). Daı, pela primeira equacao do sistema (4), chegamos a

ut = µ∆u− PH(u · ∇u− b · ∇b).

44

Aplicando o semigrupo do calor eµ∆(t−s) a primeira equacao de (4) e integrando de 0 a t, obtemos∫ t

0eµ∆(t−s)us ds = µ

∫ t

0eµ∆(t−s)∆uds−

∫ t

0eµ∆(t−s)PH(u · ∇u− b · ∇b) ds.

Assim,

u(·, t) = eµ∆tu0 +

∫ t

0eµ∆(t−s)PH(u · ∇u− b · ∇b) ds. (2.61)

Aplicando Dj a equacao acima, encontramos

Dju(·, t) = Djeµ∆tu0 +

∫ t

0Dje

µ∆(t−s)PH(u · ∇u− b · ∇b) ds.

Dessa forma, pelos Lemas 4.7 e 4.12, podemos inferir

∥Dju(·, t)∥2 ≤ ∥eµ∆tDju0∥2 +∫ t

0∥Dj [e

µ∆(t−s)PH(u · ∇u− b · ∇b)]∥2 ds

≤ Cµ∥Dju0∥2 + Cr,µ

∫ t

0(t− s)−λ− 1

2 ∥PH(u · ∇u− b · ∇b)]∥r ds,

onde λ = 32

(1r −

12

). Logo, para k = 3

2

(1r −

12

)+ 1

2 , concluımos, por (1.24), que

∥Dju(·, t)∥2 ≤ Cµ∥Dju0∥2 + Cr,µ

∫ t

0(t− s)−k∥u · ∇u− b · ∇b∥r ds.

Notemos que,

∥u · ∇u− b · ∇b∥rr ≤ Cr[∥u · ∇u∥rr + ∥b · ∇b∥rr]

= Cr

[∫R3

|u · ∇u|r dx+

∫R3

|b · ∇b|r dx]

= Cr

[∫R3

∣∣∣∣∣3∑

i=1

uiDiu

∣∣∣∣∣r

dx+

∫R3

∣∣∣∣∣3∑

i=1

biDib

∣∣∣∣∣r

dx

]

≤ Cr

[∫R3

(3∑

i=1

|uiDiu|

)r

dx+

∫R3

(3∑

i=1

|biDib|

)r

dx

]

≤ Cr

3∑i=1

∫R3

|uiDiu|r dx+ Cr

3∑i=1

∫R3

|biDib|r dx

= Cr

3∑i=1

∫R3

|ui|r|Diu|r dx+ Cr

3∑i=1

∫R3

|bi|r|Dib|r dx.

45


∥u · ∇u− b · ∇b∥rr ≤ Cr

3∑i=1

∥ui∥rq∥Diu∥r2 + Cr

3∑i=1

∥bi∥rq∥Dib∥r2

≤ Cr∥u∥rq∥Du∥r2 + Cr∥b∥rq∥Db∥r2≤ Cr∥(u,b)∥rq∥(Du, Db)∥r2.

Consequentemente,

∥u · ∇u− b · ∇b∥r ≤ CrK1,q∥(Du, Db)∥2,

onde

K1,q := sup0≤t<T

∥(u,b)(·, t)∥q. (2.62)

(Ver (2.60)). Logo,

∥Dju(·, t)∥2 ≤ Cµ∥Dju0∥2 + Cr,µK1,q

∫ t

0(t− s)−k∥(Du, Db)∥2 ds

≤ Cµ∥(Dju0, Djb0)∥2 + Cr,µK1,q

∫ t

0(t− s)−k∥(Du, Db)∥2 ds.

Passando a soma, quando j = 1, 2, 3, obtemos

∥Du(·, t)∥2 ≤ Cµ∥(Du0, Db0)∥2 + Cr,µK1,q

∫ t

0(t− s)−k∥(Du, Db)∥2 ds. (2.63)

Apliquemos o mesmo processo a segunda equacao do sistema (4). Assim sendo, considerando o

semigrupo do calor eν∆(t−s)chegamos a∫ t

0eν∆(t−s)bs ds =

∫ t

0eν∆(t−s)ν∆b ds+

∫ t

0eν∆(t−s)(−u · ∇b+ b · ∇u) ds.

Dessa forma,

b(·, t) = eν∆tb0 +

∫ t

0eν∆(t−s)(−u · ∇b+ b · ∇u)(·, s) ds. (2.64)

Logo, aplicando Dj (1 ≤ j ≤ 3) a igualdade acima, encontramos

Djb(·, t) = eν∆tDjb0 +

∫ t

0Dj [e

ν∆(t−s)(−u · ∇b+ b · ∇u)] ds.

46

Usando os Lemas 4.7 e 4.12, obtemos

∥Djb(·, t)∥2 ≤ ∥eν∆tDjb0∥2 +∫ t

0∥Dj [e

ν∆(t−s)(−u · ∇b+ b · ∇u)]∥2 ds

≤ Cν∥Djb0∥2 + Cr,ν

∫ t

0(t− s)−λ− 1

2 ∥u · ∇b− b · ∇u∥r ds,

Portanto,

∥Djb(·, t)∥2 ≤ Cν∥Djb0∥2 + Cr,ν

∫ t

0(t− s)−k∥u · ∇b− b · ∇u∥r ds.

Agora, observe que, pela Desigualdade de Holder, encontramos

∥u · ∇b− b · ∇u∥rr ≤ Cr∥u∥rq∥Db∥r2 + Cr∥b∥rq∥Du∥r2≤ Cr∥(u,b)∥rq∥(Du, Db)∥r2.


∥u · ∇b− b · ∇u∥r ≤ CrK1,q∥(Du, Db)∥2.

Logo,

∥Djb(·, t)∥2 ≤ Cν∥Djb0∥2 + Cr,νK1,q

∫ t

0(t− s)−k∥(Du, Db)∥2 ds.

Passando a soma, quando j = 1, 2, 3, temos que

∥Db(·, t)∥2 ≤ Cν∥(Du0, Db0)∥2 + Cr,νK1,q

∫ t

0(t− s)−k∥(Du, Db)∥2 ds. (2.65)

Por (2.63) e (2.65), obtemos

∥(Du, Db)∥22 = ∥Du(·, t)∥22 + ∥Db(·, t)∥22

≤[Cµ,ν∥(Du0, Db0)∥2 + Cr,µ,νK1,q

∫ t

0(t− s)−k∥(Du, Db)∥2 ds

]2.

Por fim,

∥(Du, Db)(·, t)∥2 ≤ Cµ,ν∥(Du0, Db0)∥2 + Cr,µ,νK1,q

∫ t

0(t− s)−k∥(Du, Db)∥2 ds.

Pelo Lema 4.1, encontramos

∥(Du, Db)(·, t)∥2 ≤ K2,q, ∀ 0 ≤ t < T,

47

onde K2,q := Cµ,ν∥(Du0, Db0)∥2 exp{Cr,µ,νK1,qT}. Por conseguinte,

sup0≤t<T

∥(Du, Db)(·, t)∥2 ≤ K2,q.

Em particular, se T ∗ < ∞ eK1,q < ∞ (ver (2.62)) entao a limitacao acima gera uma contradicao

com o enunciado do Teorema 2.2. Isto completa a prova do Teorema 2.5.

2.5 Explosao de ∥(u,b)(·, t)∥q e ∥(Du, Db)(·, t)∥r, q ∈ (3,∞), r ∈ (32 ,∞]

Nesta secao, nossa meta e estudar ∥(u,b)(·, t)∥q e ∥(Du, Db)(·, t)∥r, quando 3 < q < ∞ e

32 < r ≤ ∞, em tempo de explosao finito. Alem disso, tambem discutiremos o que ocorre com estas

mesmas normas quando discutimos as equacoes de Navier-Stokes (5).

O lema abaixo estabelece uma desigualdade integral que sera util na busca por uma limitacao

para ∥(u,b)(·, t)∥q.


Sejam 3 < q < ∞ e

k =3

2q+

1

2< 1.

Entao,

∥(u,b)(·, t)∥q ≤ (µ32 + ν

32 )∥(u,b)(·, t0)∥q + Cq,µ,ν

∫ t

t0

(t− s)−k∥(u,b)(·, s)∥2q ds,

sempre que 0 ≤ t0 ≤ t < T ∗, onde Cq,µ,ν e constante positiva que so depende de µ, ν e q.

Demonstracao. Considerando r = q2 temos que k = 3

2

(1r −

1q

)+ 1

2 . Alem disso, passando a norma

Lq em (2.61) obtemos

∥u(·, t)∥q ≤ ∥eµ∆(t−t0)u(·, t0)∥q +∫ t

t0

∥eµ∆(t−s)PH(u · ∇u− b · ∇b)∥q ds

≤ µ32 ∥u(·, t0)∥q +

∫ t

t0

∥PHeµ∆(t−s)(u · ∇u− b · ∇b)∥q ds

≤ µ32 ∥u(·, t0)∥q + Cq

∫ t

t0

∥eµ∆(t−s)(u · ∇u− b · ∇b)∥q ds,

onde na primeira desigualdade acima usamos o fato que PH comuta com o semigrupo eµ∆(t−s), na

48

segunda utilizamos o Lema 4.7 e, por ultimo, a desigualdade (1.24). Observemos que,

∥eµ∆(t−s)(u · ∇u− b · ∇b)∥q = ∥eµ∆(t−s)3∑

i=1

(uiDiu− biDib)∥q

≤3∑

i=1

∥eµ∆(t−s)Di(uiu− bib)∥q

=

3∑i=1

∥Dieµ∆(t−s)(uiu− bib)∥q

≤ Cq,µ(t− s)−λ− 12

3∑i=1

∥uiu− bib∥r,

onde λ = 32

(1r −

1q

). Na primeira desigualdade acima usamos que ∇ · u = ∇ · b = 0, na igual-

dade seguinte usamos o fato que a derivada comuta com o semigrupo eµ∆(t−s) e na ultima das

desigualdades utilizamos o Lema 4.12. Pela Desigualdade de Minkowski, chegamos a

∥eµ∆(t−s)(u · ∇u− b · ∇b)∥q ≤ Cq,µ(t− s)−k3∑

i=1

(∥uiu∥r + ∥bib∥r).

Mas,

∥uiu∥r ≤ ∥(u,b)∥2q e ∥bib∥r ≤ ∥(u,b)∥2q , ∀ i = 1, 2, 3. (2.66)

Com efeito, analisando a primeira desigualdade acima, encontramos, pela Desigualdade de Holder,

o seguinte:

∥uiu∥r =

(∫R3

|ui|r|u|r dx) 1

r

≤(∫

R3

|ui|2r dx) 1

2r(∫

R3

|u|2r dx) 1

2r

= ∥ui∥2r∥u∥2r ≤ ∥u∥2r∥u∥2r

= ∥u∥2q ≤ ∥(u,b)∥2q , (2.67)

desde que q = 2r. Do mesmo modo, verifica-se a segunda desigualdade em (2.66). Logo,

∥eµ∆(t−s)(u · ∇u− b · ∇b)∥q ≤ Cq,µ∥(u,b)∥2q(t− s)−k.

49

Portanto,

∥u(·, t)∥q ≤ µ32 ∥u(·, t0)∥q + Cq,µ

∫ t

t0

(t− s)−k∥(u,b)∥2q ds

≤ µ32 ∥(u,b)(·, t0)∥q + Cq,µ

∫ t

t0

(t− s)−k∥(u,b)∥2q ds.

Analogamente, atraves de (2.64), chega-se a

∥b(·, t)∥q ≤ ∥eν∆(t−t0)b(·, t0)∥q +∫ t

t0

∥eν∆(t−s)(−u · ∇b+ b · ∇u)∥q ds

≤ ν32 ∥b(·, t0)∥q +

∫ t

t0

∥eν∆(t−s)(−u · ∇b+ b · ∇u)∥q ds,

Notemos que,

∥eν∆(t−s)(−u · ∇b+ b · ∇u)∥q = ∥eν∆(t−s)3∑

i=1

(−uiDib+ biDiu)∥q

≤3∑

i=1

∥eν∆(t−s)Di(−uib+ biu)∥q

=3∑

i=1

∥Dieν∆(t−s)(−uib+ biu)∥q

≤ Cq,ν(t− s)−λ− 12

3∑i=1

∥ − uib+ biu∥r,

onde λ = 32

(1r −

1q

). Na primeira desigualdade acima usamos que ∇ · u = ∇ · b = 0, na igual-

dade seguinte usamos o fato que a derivada comuta com o semigrupo eν∆(t−s) e na ultima das

desigualdades utilizamos o Lema 4.10. Por conseguinte,

∥eν∆(t−s)(−u · ∇b+ b · ∇u)∥q ≤ Cq,ν(t− s)−k3∑

i=1

(∥uib∥Lr + ∥biu∥r)

≤ Cq,ν(t− s)−k∥(u,b)∥2q ,

onde na ultima desigualdade aplicamos estimativas analogas a (2.67). Consequentemente,

∥b(·, t)∥q ≤ ν32 ∥b(·, t0)∥q + Cq,ν

∫ t

t0

(t− s)−k∥(u,b)∥2q ds

≤ ν32 ∥(u,b)(·, t0)∥q + Cq,ν

∫ t

t0

(t− s)−k∥(u,b)∥2q ds.

50

Por fim,

∥(u,b)(·, t)∥q =(∥u(·, t)∥qq + ∥b(·, t)∥qq

) 1q

≤ ∥u(·, t)∥q + ∥b(·, t)∥q

≤ (µ32 + ν

32 )∥(u,b)(·, t0)∥q + Cq,µ,ν

∫ t

t0

(t− s)−k∥(u,b)∥2q ds.

Portanto,

∥(u,b)(·, t)∥q ≤ (µ32 + ν

32 )∥(u,b)(·, t0)∥q + Cq,µ,ν

∫ t

t0

(t− s)−k∥(u,b)(·, s)∥2q ds, ∀ 0 ≤ t < T ∗.

Obs 2.1. E importante ressaltar aqui que o caso q = ∞ no Lema 2.3 e verdadeiro no caso b = 0,

i.e., quando estamos estudando as classicas equacoes de Navier-Stokes (5). Para mais detalhes ver

[28].

O teorema a seguir nos garante que uma solucao (u,b) do sistema (4) satisfaz o limite

limt↗T ∗

∥(u,b)(·, t)∥q = ∞, 3 < q < ∞, (2.68)

se esta apresenta tempo de explosao finito. Se considerarmos o caso das equacoes de Navier-Stokes,

o caso q = ∞ tambem e valido, ou seja,

limt↗T ∗

∥u(·, t)∥q = ∞, 3 < q ≤ ∞,

se u e uma solucao de (5) que explode em T ∗ < ∞. (Ver (2.75)).


Assuma que 3 < q < ∞. Se T ∗ < ∞, entao existe uma constante positiva Cq,µ,ν , a qual depende

somente de q, µ, ν, tal que

∥(u,b)(·, t)∥q ≥ Cq,µ,ν(T∗ − t)

− q−32q , ∀ 0 ≤ t < T ∗.

Demonstracao. Vimos no Lema 2.3 que

∥(u,b)(·, t)∥q ≤ (µ32 + ν

32 )∥(u,b)(·, t0)∥q + Cq,µ,ν

∫ t

t0

(t− s)−k∥(u,b)(·, s)∥2q ds, (2.69)

onde t0 ≤ t < T ∗, 3 < q < ∞ e k = 32q + 1

2 < 1. Alem disso, pelo Teorema 2.5, tambem sabemos

51

que

sup0≤t<T ∗

∥(u,b)(·, t)∥q = ∞, (2.70)

desde que T ∗ < ∞.

Agora seja

τ∗ = min

{T ∗, t0 +

[(1− k)(λ− 1)

Cµ,νλ2Cq,µ,ν∥(u,b)(·, t0)∥q

] 11−k

}, (2.71)

onde Cµ,ν = µ32 + ν

32 e λ = 1 + C−1

µ,ν . Afirmamos que

∥(u,b)(·, t)∥q < λCµ,ν∥(u,b)(·, t0)∥q, ∀ t0 ≤ t < τ∗. (2.72)

Com efeito, suponha, por absurdo, que existe t2 ∈ [t0, τ∗) tal que

∥(u,b)(·, t2)∥q ≥ λCµ,ν∥(u,b)(·, t0)∥q.

Pela definicao de λ, temos que

λCµ,ν∥(u,b)(·, t0)∥q > ∥(u,b)(·, t0)∥q.

Agora usufruindo do fato que ∥(u,b)(·, t)∥q e contınua, temos que existe t1 < t2 tal que

∥(u,b)(·, t1)∥q = λCµ,ν∥(u,b)(·, t0)∥q (2.73)

e tambem

∥(u,b)(·, t)∥q < λCµ,ν∥(u,b)(·, t0)∥q, ∀ t0 ≤ t < t1. (2.74)

Por aplicar (2.74) a (2.69), encontramos

∥(u,b)(·, t1)∥q ≤ Cµ,ν∥(u,b)(·, t0)∥q + Cq,µ,ν

∫ t1

t0

(t1 − s)−k∥(u,b)(·, s)∥2q ds

< Cµ,ν∥(u,b)(·, t0)∥q + Cq,µ,νλ2C2

µ,ν∥(u,b)(·, t0)∥2q∫ t1

t0

(t1 − s)−k ds.

52

Dessa forma, por (2.73), obtemos

λCµ,ν∥(u,b)(·, t0)∥q < Cµ,ν∥(u,b)(·, t0)∥q + Cq,µ,νλ2C2

µ,ν∥(u,b)(·, t0)∥2q(t1 − t0)

1−k

1− k

< Cµ,ν∥(u,b)(·, t0)∥q + Cq,µ,νλ2C2

µ,ν∥(u,b)(·, t0)∥2q(τ∗ − t0)

1−k

1− k.

Por outro lado, por nossa escolha de τ∗, ver (2.71), temos que

λCµ,ν∥(u,b)(·, t0)∥q < Cµ,ν∥(u,b)(·, t0)∥q + Cµ,ν∥(u,b)(·, t0)∥q(λ− 1)

= λCµ,ν∥(u,b)(·, t0)∥q,

o que e um absurdo. Isto prova (2.72).

Observe que por (2.70), ∥(u,b)(·, t)∥q e ilimitada em [0, T ∗) e, por continuidade, esta mesma

aplicacao e limitada em [0, t0]. Portanto, ∥(u,b)(·, t)∥q e ilimitada em [t0, T∗). Assim sendo, como

(2.72) nos informa que ∥(u,b)(·, t)∥q e limitada em [t0, τ∗) concluımos que τ∗ < T ∗, i.e.,

τ∗ = t0 +

[(1− k)(λ− 1)


] 11−k

,

ver (2.71). Com isso,

T ∗ > t0 +

[(1− k)(λ− 1)


] 11−k

,

ou equivalentemente,

∥(u,b)(·, t0)∥q ≥(1− k)(λ− 1)

Cµ,νλ2Cq,µ,ν(T ∗ − t0)

−(1−k), ∀ 0 ≤ t0 < T ∗.


O caso q = ∞ no Teorema 2.6 e verdadeiro se considerarmos que o campo magnetico b e nulo,

ou seja, e valida a seguinte desigualdade:

∥u(·, t)∥∞ ≥ C∞,µ(T∗ − t)−

12 , ∀ 0 ≤ t < T ∗, (2.75)

onde u e solucao das equacoes de Navier-Stokes (5), se T ∗ < ∞. Esta afirmacao segue da prova do

Teorema 2.6 juntamente com a Observacao 2.1. Como consequencia imediata deste limite inferior

53

temos que

limt↗T ∗

∥u(·, t)∥∞ = ∞,

se T ∗ < ∞. Alem disso, pela Desigualdade (1.21)

∥v∥∞ ≤ Cq∥v∥1−θ2 ∥Dv∥θq, ∀ v ∈ C∞

0 (R3),

onde θ = 3q5q−6 e 3 < q ≤ ∞, podemos concluir

∥Du(·, t)∥q ≥ C− 1

θq ∥u(·, t)∥

θ−1θ

2 ∥u(·, t)∥1θ∞.

Usando o Lema 2.1 e (2.75), temos que

∥Du(·, t)∥q ≥ Cq,µ∥u0∥− 2q−6

3q

2 (T ∗ − t)− 5q−6

6q , ∀ 0 ≤ t < T ∗, (2.76)

se T ∗ < ∞ para 3 < q ≤ ∞.

O resultado abaixo estabelece limites inferiores para ∥(Du, Db)(·, t)∥q, quando 32 < q ≤ 3.

Corolario 2.7. Seja (u,b)(·, t) solucao forte do sistema (4) definida no intervalo maximal [0, T ∗).

Assuma que 0 < ϵ < 12 . Se T ∗ < ∞, entao existe uma constante positiva Cϵ,µ,ν , a qual depende

somente de ϵ, µ, ν e ∥(u0,b0)∥2, tal que

∥(Du, Db)(·, t)∥3 ≥ Cϵ,µ,ν(T∗ − t)−

12+ϵ, ∀ 0 ≤ t < T ∗. (2.77)

Alem disso, para 32 < q < 3, tem-se

∥(Du, Db)(·, t)∥q ≥ Cq,µ,ν(T∗ − t)

− 2q−32q , ∀ 0 ≤ t < T ∗, (2.78)

onde Cq,µ,ν e uma constante positiva que depende somente de q, µ e ν.

Demonstracao. Seja 0 < ϵ < 12 . Assuma que r = 1+4ϵ

2ϵ (3 < r < ∞). Pela Desigualdade de

Gagliardo-Nirenberg

∥v∥r ≤ Cr∥v∥2r2 ∥Dv∥1−

2r

3 ,

onde 3 ≤ r < ∞ (ver 1.21), inferimos que

∥u∥r ≤ Cr∥u∥2r2 ∥Du∥1−

2r

3

≤ Cr∥(u,b)∥2r2 ∥(Du, Db)∥1−

2r

3

54

e de forma analoga

∥b∥r ≤ Cr∥(u,b)∥2r2 ∥(Du, Db)∥1−

2r

3 .

Somando estas duas desigualdades acima, chegamos a

∥(u,b)∥r ≤ Cr∥(u,b)∥2r2 ∥(Du, Db)∥1−

2r

3 .

Assim sendo, pelos Lemas 2.1 e Teorema 2.6, obtemos

∥(Du, Db)(·, t)∥3 ≥ Cϵ,µ,ν∥(u0,b0)∥−4ϵ2 (T ∗ − t)−

12+ϵ, ∀ 0 ≤ t < T ∗, (2.79)

se T ∗ < ∞. Isto completa a prova de (2.77).

Vamos utilizar a seguinte Desigualdade de Sobolev:

∥v∥ 3q3−q

≤ Cq∥Dv∥q,3

2≤ q < 3. (2.80)

Pelo Teorema 2.6, temos que

∥(u,b)(·, t)∥r ≥ Cr,µ,ν(T∗ − t)−

r−32r , ∀ 0 ≤ t < T ∗,

sempre que T ∗ < ∞ e 3 < r < ∞ Portanto, aplicando a Desigualdade de Sobolev (2.80), obtemos

∥(Du, Db)(·, t)∥q ≥ Cq∥(u,b)(·, t)∥ 3q3−q

≥ Cq,µ,ν(T∗ − t)

− 2q−32q ,

para qualquer 0 ≤ t < T ∗ (T ∗ < ∞). Aqui 3 < 3q3−q < ∞, se 3

2 < q < 3. Isto estabelece (2.78).

Como consequencia imediata do Corolario 2.7, temos que

limt↗T ∗

∥(Du, Db)(·, t)∥q = ∞,3

2< q ≤ 3, (2.81)

se T ∗ < ∞. No caso das equacoes de Navier-Stokes, temos o seguinte limite relacionado ao tempo

finito de explosao:

limt↗T ∗

∥Du(·, t)∥q = ∞,3

2< q ≤ ∞, (2.82)

basta utilizar (2.76), (2.78) e (2.79).

55

Segue diretamente das desigualdades (2.76), (2.78) e (2.79) que, para as equacoes de Navier-

Stokes (5), o seguinte resultado e valido:

sup0≤t<T ∗

∥Du(·, t)∥q = ∞,3

2< q ≤ ∞,

se T ∗ < ∞.


Assuma que 3 < r < ∞ e T ∗ < ∞. Entao,

∥(Du, Db)(·, t)∥q ≥ Cr,q,µ,ν(T∗ − t)

− (r−3)(5q−6)6q(r−2) , ∀ 0 ≤ t < T ∗, (2.83)

sempre que 3rr+3 ≤ q ≤ ∞, onde Cr,q,µ,ν e uma constante positiva que depende somente de r, q, µ, ν

e ∥(u0,b0)∥2.

Demonstracao. Pela Desigualdade de Gagliardo-Nirenberg

∥v∥r ≤ Cr,q∥v∥1−θ2 ∥Dv∥θq,

onde θ = 6q(r−2)2r(5q−6) e 3r

r+3 ≤ q ≤ ∞, tem-se que

∥(u,b)∥r ≤ Cr,q∥(u0,b0)∥1−θ2 ∥(Du, Db)∥θq,

e suficiente aplicar o Lema 2.1. Consequentemente,

∥(Du, Db)∥q ≥ Cr,q∥(u0,b0)∥θ−1θ

2 ∥(u,b)∥1θr .

Ja que 3 < r < ∞ e T ∗ < ∞, concluımos, pelo Teorema 2.6, que

∥(Du, Db)∥q ≥ Cr,q,µ,ν∥(u0,b0)∥θ−1θ

2 (T ∗ − t)− (r−3)(5q−6)

6q(r−2) , ∀ 0 ≤ t < T ∗,

sempre que 3rr+3 ≤ q ≤ ∞. Isto completa a prova do resultado.

O Corolario 2.8 acima implica o seguinte limite:

limt↗T ∗

∥(Du, Db)(·, t)∥q = ∞, ∀ 3 ≤ q ≤ ∞,

56

se T ∗ < ∞. Portanto, por (2.81), chegamos a

limt↗T ∗

∥(Du, Du)(·, t)∥q = ∞, ∀ 3

2< q ≤ ∞,

no caso T ∗ < ∞.


Assuma que 32 < q ≤ ∞. Se T ∗ < ∞, entao

sup0≤t<T ∗

∥(Du, Db)(·, t)∥q = ∞.

Demonstracao. A prova segue imediatamente das desigualdades (2.77), (2.78) e (2.83).

2.6 Condicoes Suficientes para Existencia Global e Explosao de

∥(Dnu, Dnb)∥q

Nesta secao, demonstraremos algumas condicoes suficientes para que as solucoes dos sistemas

(4) e (5) sejam globalmente definidas no tempo. Alem disso, exibiremos limites inferiores para as

normas ∥u(·, t)∥3, ∥Du(·, t)∥3 e ∥Du(·, t)∥ 32, onde a solucao u(·, t) das equacoes (5) goza de explosao

em tempo finito. Por fim, mostraremos alguns limites inferiores, em tempo finito, para as normas

∥(Dnu, Dnb)(·, t)∥q nos casos n ≥ 3 com 1 ≤ q ≤ ∞, e n = 2 com 1 < q ≤ ∞ (valendo q = 1 no

caso das equacoes de Navier-Stokes (5)). Tais estimativas implicarao em explosao destas mesmas

normas. Comecemos com uma desigualdade diferencial que desempenhara papel importante neste

topico.


Assuma que 3 < q < ∞. Entao,

d

dt∥(u,b)(·, t)∥qq ≤ Cq,µ,ν∥(u,b)(·, t)∥

q(q−1)q−3

q , ∀ 0 ≤ t < T ∗,

onde Cq,µ,ν e uma constante positiva que depende somente de q, µ e ν.

Demonstracao. Notemos que, aplicando o divergente a primeira equacao de (4), podemos escrever

−∆(p+1

2|b|2) = ∇ · (u · ∇u− b · ∇b),

57

pois u e livre de divergente. Assim,

−∆(p+1

2|b|2) = ∇ · (u · ∇u− b · ∇b)

=

3∑i,j=1

Di(ujDjui − bjDjbi)

=

3∑i,j=1

(DiujDjui + ujDiDjui −DibjDjbi − bjDiDjbi)

=3∑

i,j=1

[DiDj(uiuj)−DiDj(bibj)]

=

3∑i,j=1

DiDj(uiuj − bibj),

pois ∇·u = ∇·b = 0. Pela teoria de Calderon-Zygmund aplicada a equacao de Poisson acima (ver

[19]), temos que

∥p+ 1

2|b|2∥r ≤ Cr

∥∥∥ 3∑i,j=1

[uiuj − bibj ]∥∥∥r

≤ Cr

[ 3∑i,j=1

(∥uiuj∥r + ∥bibj∥r)]

≤ Cr(∥u∥22r + ∥b∥22r)

≤ Cr∥(u,b)∥22r, (2.84)

onde 1 < r < ∞ (ver (2.67)). Dado δ > 0, sejam L′δ(·) uma funcao sinal regularizada e Φδ(·) :=

Lδ(·)q ver (1.25). Multiplicando a linha i da primeira equacao do sistema (4) por Φ′δ(ui(·, t)) e

integrando em R3, temos∫R3

Φ′δ(ui)uit dx− µ

∫R3

Φ′δ(ui)∆ui dx+

∫R3

Φ′δ(ui)(u · ∇)ui dx

−∫R3

Φ′δ(ui)(b · ∇)bi dx+

∫R3

Φ′δ(ui)Di(p+

1

2|b|2) dx = 0. (2.85)

Analisemos cada uma das integrais exibidas no lado esquerdo da igualdade acima. Com isso,∫R3

Φ′δ(ui)uit dx =

∫R3

d

dt(Φδ(ui)) dx =

d

dt

∫R3

Φδ(ui) dx.

58

Fazendo δ → 0 e usando o Teorema da Convergencia Dominada, obtemos

limδ→0

∫R3

Φ′δ(ui)uit dx =

d

dt∥ui(·, t)∥qq, (2.86)

ver (1.25)-(1.31). Agora, notemos que

∫R3

Φ′δ(ui)∆ui dx =

3∑j=1

∫R3

Φ′δ(ui)D

2jui dx

= −3∑

j=1

∫R3

Dj [Φ′δ(ui)]Djui dx

= −3∑

j=1

∫R3

Φ′′δ (ui)(Djui)

2 dx

= −∫R3

Φ′′δ (ui)|∇ui|2 dx.

Passando ao limite, quando δ → 0, e usando o Teorema da Convergencia Dominada, concluımos

que

limδ→0

∫R3

Φ′δ(ui)∆ui dx = −q(q − 1)

∫R3

|ui|q−2|∇ui|2 dx, (2.87)

ver (1.25)-(1.31).

Observemos, agora, que, por integracao por partes, chegamos a

∫R3

Φ′δ(ui)(u · ∇)ui dx =

3∑j=1

∫R3

Φ′δ(ui)ujDjui dx

=

3∑j=1

∫R3

Dj [Φδ(ui)]uj dx

= −3∑

j=1

∫R3

Φδ(ui)Djuj dx

= 0,

59

pois ∇ · u = 0. Alem disso,

∫R3

Φ′δ(ui)(b · ∇)bi dx =

3∑j=1

∫R3

Φ′δ(ui)bjDjbi dx

= −3∑

j=1

∫R3

Dj [Φ′δ(ui)bj ]bi dx

= −3∑

j=1

∫R3

[Φ′′δ (ui)(Djui)bj +Φ′

δ(ui)Djbj ]bi dx

= −3∑

j=1

∫R3

Φ′′δ (ui)(Djui)bjbi dx,

pois b e livre de divergente. Passando ao limite, quando δ → 0, e usando o Teorema da Convergencia

Dominada, encontramos

limδ→0

∫R3

Φ′δ(ui)(b · ∇)bi dx = −q(q − 1)

3∑j=1

∫R3

|ui|q−2(Djui)bjbi dx,

ver (1.25)-(1.31). Mas, pela Desigualdade de Cauchy-Schwarz, temos que

−q(q − 1)3∑

j=1

∫R3

|ui|q−2(Djui)bjbi dx = −q(q − 1)

∫R3

|ui|q−2( 3∑

j=1

(Djui)bj

)bi dx

≤ q(q − 1)

∫R3

|ui|q−2( 3∑

j=1

|Djui||bj |)|bi| dx

≤ q(q − 1)

∫R3

|ui|q−2( 3∑

j=1

|Djui|2) 1

2( 3∑

j=1

|bj |2) 1

2 |bi| dx

= q(q − 1)

∫R3

|ui|q−2|∇ui||b||bi| dx.

Alem disso, pela Desigualdade de Holder,∫R3

|ui|q−2|∇ui||b||bi| dx ≤∫R3

|ui|q−2|∇ui||b|2 dx

≤(∫

R3

|b|4|ui|q−2 dx) 1

2(∫

R3

|ui|q−2|∇ui|2 dx) 1

2

60

≤[( ∫

R3

|b|q+2 dx) 4

q+2(∫

R3

|ui|q+2 dx) q−2

q+2] 1

2

×(∫

R3

|ui|q−2|∇ui|2 dx) 1

2

= ∥b∥2q+2∥ui∥q−22

q+2

(∫R3

|ui|q−2|∇ui|2 dx) 1

2

≤ ∥(u,b)∥2q+2∥ui∥q−22

q+2

(∫R3

|ui|q−2|∇ui|2 dx) 1

2.

Portanto, passando ao limite, quando δ → 0, obtemos

limδ→0

∫R3

Φ′δ(ui)(b · ∇)bi dx = −q(q − 1)

3∑j=1

∫R3

|ui|q−2(Djui)bjbi dx

≤ q(q − 1)∥(u,b)∥2q+2∥ui∥q−22

q+2

(∫R3

|ui|q−2|∇ui|2 dx) 1

2.

A ultima das integrais em (2.85) nos diz que∫R3

Φ′δ(ui)Di(p+

1

2|b|2) dx = −

∫R3

Φ′′δ (ui)(Diui)(p+

1

2|b|2) dx.

Passando ao limite, quando δ → 0, e usando o Teorema da Convergencia Dominada, temos

limδ→0

∫R3

Φ′δ(ui)Di(p+

1

2|b|2) dx = −q(q − 1)

∫R3

|ui|q−2(Diui)(p+1

2|b|2) dx.

Mas, pela Desigualdade de Holder, e verdade que

−∫R3

|ui|q−2(Diui)(p+1

2|b|2) dx ≤

∫R3

|ui|q−2|Diui||p+1

2|b|2| dx

≤∫R3

|ui|q−2|∇ui||p+1

2|b|2| dx

≤(∫

R3

|p+ 1

2|b|2|2|ui|q−2 dx

) 12

×(∫

R3

|ui|q−2|∇ui|2 dx) 1

2.

Utilizando a Desigualdade de Holder novamente, obtemos

(∫R3

|p+ 1

2|b|2|2|ui|q−2 dx

) 12 ≤

[( ∫R3

|p+ 1

2|b|2|

q+22 dx

) 4q+2(∫

R3

|ui|q+2 dx) q−2

q+2] 1

2

= ∥p+ 1

2|b|2∥ q+2

2∥ui∥

q−22

q+2 .

61

Assim sendo,

−∫R3

|ui|q−2(Diui)(p+1

2|b|2) dx ≤ ∥p+ 1

2|b|2∥ q+2

2∥ui∥

q−22

q+2

(∫R3

|ui|q−2|∇ui|2 dx) 1

2.

Pela desigualdade (2.84), chegamos a

−∫R3

|ui|q−2(Diui)(p+1

2|b|2) dx ≤ Cq∥(u,b)∥2q+2∥ui∥

q−22

q+2

(∫R3

|ui|q−2|∇ui|2 dx) 1

2.

Por fim,

limδ→0

∫R3

Φ′δ(ui)Di(p+

1

2|b|2) dx = −

∫R3

q(q − 1)|ui|q−2(Diui)(p+1

2|b|2) dx

≤ q(q − 1)Cq∥(u,b)∥2q+2∥ui∥q−22

q+2

(∫R3

|ui|q−2|∇ui|2 dx) 1

2.

(2.88)

Deste modo, substituindo (2.86)-(2.88) em (2.85), obtemos

d

dt∥ui∥qq + q(q − 1)µ

∫R3

|ui|q−2|∇ui|2 dx ≤ q(q − 1)Cq∥(u,b)∥2q+2∥ui∥q−22

q+2

(∫R3

|ui|q−2|∇ui|2 dx) 1

2.

(2.89)

Agora apliquemos o mesmo processo a segunda equacao do sistema (4). Multiplicando a linha

i desta equacao por Φ′δ(bi(x, t)) e integrando em R3, obtemos∫

R3

Φ′δ(bi)bit dx− ν

∫R3

Φ′δ(bi)∆bi dx+

∫R3

Φ′δ(bi)(u · ∇)bi dx−

∫R3

Φ′δ(bi)(b · ∇)ui dx = 0. (2.90)

Por (2.86) e (2.87), obtemos

limδ→0

∫R3

Φ′δ(bi)bit dx =

d

dt∥bi(·, t)∥qq

e tambem

limδ→0

∫R3

Φ′δ(bi)∆bi dx = −q(q − 1)

∫R3

|bi|q−2|∇bi|2 dx.

62

Analisemos as duas integrais restantes em (2.90). Notemos que,

∫R3

Φ′δ(bi)(u · ∇)bi dx =

3∑j=1

∫R3

Φ′δ(bi)ujDjbi dx

= −3∑

j=1

∫R3

Dj [Φ′δ(bi)uj ]bi dx

= −3∑

j=1

∫R3

Φ′′δ (bi)(Djbi)ujbi dx,

pois ∇·u = 0. Passando ao limite, quando δ → 0, e usando o Teorema da Convergencia Dominada,

obtemos

limδ→0

∫R3

Φ′δ(bi)(u · ∇)bi dx = −q(q − 1)

3∑j=1

∫R3

|bi|q−2(Djbi)ujbi dx.

Mas, pela Desigualdade de Cauchy-Scharwz,

−q(q − 1)3∑

j=1

∫R3

|bi|q−2(Djbi)ujbi dx ≤ q(q − 1)

∫R3

|bi|q−2|Djbi||uj ||bi| dx

≤ q(q − 1)

∫R3

|bi|q−2|∇bi||(u,b)|2 dx.

Utilizando a Desigualdade de Holder, chegamos a

q(q − 1)

∫R3

|bi|q−2|∇bi||(u,b)|2 dx ≤ q(q − 1)∥(u,b)∥2q+2∥bi∥q−22

q+2

(∫R3

|bi|q−2|∇bi|2 dx) 1

2

.

Assim sendo,

limδ→0

∫R3

Φ′δ(bi)(u · ∇)bi dx = −q(q − 1)

3∑j=1

∫R3

|bi|q−2(Djbi)ujbi dx

≤ q(q − 1)∥(u,b)∥2q+2∥bi∥q−22

q+2

(∫R3

|bi|q−2|∇bi|2 dx) 1

2

.

63

Para ultima integral em (2.90), temos

∫R3

Φ′δ(bi)(b · ∇)ui dx =

3∑j=1

∫R3

Φ′δ(bi)bjDjui dx

= −3∑

j=1

∫R3

Dj [Φ′δ(bi)bj ]ui dx

= −3∑

j=1

∫R3

Φ′′δ (bi)(Djbi)bjui dx,

desde que ∇ · b = 0. Passando ao limite, quando δ → 0, e usando o Teorema da Convergencia

Dominada, encontramos

limδ→0

∫R3

Φ′δ(bi)(b · ∇)ui dx = −q(q − 1)

3∑j=1

∫R3

|bi|q−2(Djbi)bjui dx.

Mas, pela Desigualdade de Cauchy-Scharwz, sabemos que

−q(q − 1)3∑

j=1

∫R3

|bi|q−2(Djbi)bjui dx ≤ q(q − 1)

∫R3

|bi|q−2|∇bi||(u,b)|2 dx.


q(q − 1)

∫R3

|bi|q−2|∇bi||(u,b)|2 dx ≤ q(q − 1)∥(u,b)∥2q+2∥bi∥q−22

q+2

(∫R3

|bi|q−2|∇bi|2 dx) 1

2

.

Assim sendo,

limδ→0

∫R3

Φ′δ(bi)(b · ∇)ui dx = −q(q − 1)

3∑j=1

∫R3

|bi|q−2(Djbi)bjui dx

≤ q(q − 1)∥(u,b)∥2q+2∥bi∥q−22

q+2

(∫R3

|bi|q−2|∇bi|2dx) 1

2

.

Deste modo,

d

dt∥bi∥qq + q(q − 1)ν

∫R3

|bi|q−2|∇bi|2 dx ≤ 2q(q − 1)∥(u,b)∥2q+2∥bi∥q−22

q+2

(∫R3

|bi|q−2|∇bi|2 dx) 1

2

.

(2.91)

64

Somando as desigualdades (2.89) e (2.91), obtemos

d

dt∥(ui, bi)∥qq + q(q − 1)µ

∫R3

|ui|q−2|∇ui|2 dx+ q(q − 1)ν

∫R3

|bi|q−2|∇bi|2 dx

≤ q(q − 1)Cq∥(u,b)∥2q+2∥ui∥q−22

q+2

(∫R3

|ui|q−2|∇ui|2 dx) 1

2

+2q(q − 1)∥(u,b)∥2q+2∥bi∥q−22

q+2

(∫R3

|bi|q−2|∇bi|2 dx) 1

2

. (2.92)

Sejam v(x, t) = (v1(x, t), v2(x, t), v3(x, t)) e r(x, t) = (r1(x, t), r2(x, t), r3(x, t)) dados por

vi(x, t) := |ui(x, t)|q2 e ri(x, t) := |bi(x, t)|

q2 , 1 ≤ i ≤ 3,

Notemos que,

∥vi∥22 = ∥ui∥qq e ∥ri∥22 = ∥bi∥qq.

Logo,

∥(ui, bi)∥qq = ∥ui∥qq + ∥bi∥qq.

= ∥vi∥22 + ∥ri∥22= ∥(vi, ri)∥22.

Passando a soma, quando consideramos i = 1, 2, 3, obtemos

∥(u,b)∥qq = ∥(v, r)∥22. (2.93)

Notemos ainda que,

|∇vi|2 =q2

4|ui|q−2|∇ui|2. (2.94)

Analogamente,

|∇ri|2 =q2

4|bi|q−2|∇bi|2. (2.95)

Aplicando as igualdades (2.94) e (2.95) em (2.92), obtemos

d

dt∥(vi, ri)∥22 + 4µ

(1− 1

q

)∥∇vi∥22 + 4ν

(1− 1

q

)∥∇ri∥22

≤ 2q

(1− 1

q

)Cq∥(u,b)∥2q+2∥ui∥

q−22

q+2∥∇vi∥2 + 4q

(1− 1

q

)∥(u,b)∥2q+2∥bi∥

q−22

q+2∥∇ri∥2.

65

Por outro lado, e facil checar, para β := 2 + 4q , que

∥u∥2q+2 =

(∫R3

|u|q+2 dx

) 2q+2

=

∫R3

(3∑

i=1

u2i

) q+22

dx

2

q+2

=

∫R3

(3∑

i=1

v4q

i

) q+22

dx

2

q+2

≤ Cq

(3∑

i=1

∫R3

|vi|2+4q dx

) 2q+2

= Cq∥v∥4q

β .

Alem disso, segue diretamente da definicao de vi que

∥ui∥q−22

q+2 = ∥vi∥q−2q

β , ∀ i = 1, 2, 3.

Analogamente, tem-se

∥b∥2q+2 ≤ Cq∥r∥4q

β e ∥bi∥q−22

q+2 = ∥ri∥q−2q

β , ∀ i = 1, 2, 3.

Assim,

∥(u,b)∥q+2q+2 := ∥u∥q+2

q+2 + ∥b∥q+2q+2

≤ Cq

(∥v∥

2(q+2)q

β + ∥r∥2(q+2)

q

β

)= Cq∥(v, r)∥

2(q+2)q

β .

Por conseguinte,

∥(u,b)∥2q+2 ≤ Cq∥(v, r)∥4q

β .

Deste modo,

d

dt∥(vi, ri)∥22 + 4µ

(1− 1

q

)∥∇vi∥22 + 4ν

(1− 1

q

)∥∇ri∥22

≤ q

(1− 1

q

)Cq∥(v, r)∥

4q

β ∥(vi, ri)∥q−2q

β ∥(∇vi,∇ri)∥2.

66

Tomando γ := min{µ, ν}, concluımos que

d

dt∥(vi, ri)∥22 + 4γ

(1− 1

q

)∥(∇vi,∇ri)∥22 ≤ q

(1− 1

q

)Cq∥(v, r)∥

q+2q

β ∥(∇vi,∇ri)∥2.

Somando em 1 ≤ i ≤ 3, obtemos

d

dt∥(v, r)∥22 + 4γ

(1− 1

q

)∥(∇v,∇r)∥22 ≤ q

(1− 1

q

)Cq∥(v, r)∥

q+2q

β ∥(∇v,∇r)∥2.

Utilizando a desigualdade

∥v∥β ≤ Cβ∥v∥q−1q+2

2 ∥∇v∥3

q+2

2 , ∀ v ∈ C∞0 (R3),

onde Cβ e uma constante positiva depende somente de β, temos que

d

dt∥(v, r)∥22 + 4γ

(1− 1

q

)∥(∇v,∇r)∥22 ≤ q

(1− 1

q

)Cq∥(v, r)∥

q−1q

2 ∥(∇v,∇r)∥3+qq

2 . (2.96)

(Note que a prova da desigualdade acima vale para 2 < q < ∞). Pela Desigualdade de Young,

chegamos a

q

(1− 1

q

)Cq∥(v, r)∥

q−1q

2 ∥(∇v,∇r)∥3+qq

2 ≤ Cq,µ,ν∥(v, r)∥2(q−1)q−3

2 + 2γ

(1− 1

q

)∥(∇v,∇r)∥22.

Portanto,d

dt∥(v, r)∥22 + 2γ

(1− 1

q

)∥(∇v,∇r)∥22 ≤ Cq,µ,ν∥(v, r)∥

2(q−1)q−3

2 .

Por fim,d

dt∥(u,b)(·, t)∥qq ≤ Cq,µ,ν

(∥(u,b)(·, t)∥qq

) q−1q−3 , ∀ 0 ≤ t < T ∗,

ver (2.93). Isto completa a prova do Lema 2.4.

O resultado a seguir mostra que se o dado inicial de uma solucao (u,b)(·, t) para o sistema

(4) tem norma L3 apropriadamente pequena entao ∥(u,b)(·, t)∥3 e estritamente decrescente no seu

intervalo de existencia.


Assuma que

∥(u0,b0)∥3 <4

3γC−1

3 ,

onde γ = min{µ, ν} e C3 e a constante dada em (2.96). Entao, ∥(u,b)(·, t)∥3 e decrescente em

0 ≤ t < T ∗.

67

Demonstracao. Tomando q = 3 em (2.96), encontramos

d

dt∥(v, r)∥22 +

8

3γ∥(∇v,∇r)∥22 ≤ 2C3∥(v, r)∥

232 ∥(∇v,∇r)∥22, ∀ 0 ≤ t < T ∗, (2.97)

Por hipotese, temos que

∥(v, r)(·, 0)∥2 <(43γC−1

3

) 32,

ver definicoes de v e r. Por continuidade, existe t1 ∈ (0, T ∗) tal que

∥(v, r)(·, t)∥2 <(43γC−1

3

) 32, ∀ 0 ≤ t ≤ t1.

Substituindo a estimativa acima em (2.97), obtemos

d

dt∥(v, r)∥22 +

8

3γ∥(∇v,∇r)∥22 <

8

3γ∥(∇v,∇r)∥22, ∀ 0 ≤ t ≤ t1,

ou seja,d

dt∥(v, r)∥22 < 0, ∀ 0 ≤ t ≤ t1.

Com isso, ∥(v, r)∥2 e decrescente para 0 ≤ t ≤ t1. Logo,

∥(v, r)(·, t1)∥2 < ∥(v, r)(·, 0)∥2 <(4

3γC−1

3

) 32

.

Por continuidade, existe t2 ∈ (t1, T∗) tal que

∥(v, r)(·, t)∥2 <(43γC−1

3

) 32, ∀ t1 ≤ t ≤ t2.

Substituindo a estimativa acima em (2.97), chegamos a

d

dt∥(v, r)∥22 +

8

3γ∥(∇v,∇r)∥22 <

8

3γ∥(∇v,∇r)∥22, ∀ t1 ≤ t ≤ t2,

isto e,d

dt∥(v, r)∥22 < 0, ∀ t1 ≤ t ≤ t2.

Com isso, ∥(v, r)(·, t)∥2 e decrescente para 0 ≤ t ≤ t2. Seguindo esse processo teremos que

∥(v, r)(·, t)∥2 sera decrescente em 0 ≤ t < T ∗. De forma equivalente, usando as definicoes de v

e r, teremos que ∥(u,b)(·, t)∥3 e decrescente para 0 ≤ t < T ∗.

O Corolario 2.10 afirma que uma solucao u(·, t) das classicas equacoes de Navier-Stokes (5)

68

existe globalmente se

∥u0∥3 <4

3µC−1

3 .

De fato, se T ∗ < ∞, terıamos, pelo Corolario 2.10, que

∥u0∥3 > ∥u(·, t)∥3, ∀ 0 < t < T ∗.

Isto e uma contradicao com o fato que

limt↗T ∗

∥u(·, t)∥3 = ∞, T ∗ < ∞, (2.98)

ver [42].

Vejamos abaixo mais algumas implicacoes provinientes desse mesmo limite acima

Corolario 2.11. Seja u(·, t) solucao forte das equacoes de Navier-Stokes (5) definida no intervalo

maximal [0, T ∗). Assuma que T ∗ < ∞. Entao, sao validas as seguintes desigualdades:

i) ∥u(·, t)∥3 ≥4

3µC−1

3 , ∀ 0 ≤ t < T ∗;

ii) ∥Du(·, t)∥ 32≥ 4

3µCC−1

3 , ∀ 0 ≤ t < T ∗;

iii) ∥Du(·, t)∥3 ≥ C(43µC−1

3

)3∥u0∥−2

2 , ∀ 0 ≤ t < T ∗;

iv) supt∈[0,T ∗)

∥Du(·, t)∥3 = ∞.

onde C3 e a constante dada em (2.96) e C provem da Desigualdade de Gagliardo-Nirenberg (2.99).

Demonstracao. Para provarmos i) suponhamos, por absurdo, que existe t1 ∈ [0, T ∗) tal que

∥u(·, t1)∥3 < 43µC

−13 . Como T ∗ < ∞, entao

limt↗T ∗

∥u(·, t)∥3 = ∞,

ver [42]. Dessa forma, escolha t2 ∈ (t1, T∗) tal que ∥u(·, t2)∥3 = 4

3µC−13 e

∥u(·, t)∥3 ≤4

3µC−1

3 , ∀ t1 ≤ t ≤ t2.

69

Substituindo a desigualdade acima em (2.97), temos que

d

dt∥u(·, t)∥33 ≤ 0, ∀ t1 ≤ t ≤ t2.

Consequentemente,4

3µC−1

3 = ∥u(·, t2)∥3 ≤ ∥u(·, t1)∥3.

Isto e um absurdo.

Vamos agora estabelecer uma prova para ii). Por aplicar a Desigualdade de Sobolev

∥v∥3 ≤ C∥Dv∥ 32, ∀ v ∈ C∞

0 (R3),

temos, por i), que

∥Du(·, t)∥ 32≥ C∥u(·, t)∥3 ≥ C

4

3µC−1

3 , ∀ 0 ≤ t < T ∗.

Consideremos, agora, uma demonstracao para iii). Pela Desigualdade de Gagliardo-Nirenberg

∥v∥3 ≤ C∥v∥232 ∥Dv∥1−

23

3 , ∀ v ∈ C∞0 (R3), (2.99)

e pelo Lema 2.1, temos que

∥u(·, t)∥3 ≤ C∥u(·, t)∥232 ∥Du(·, t)∥1−

23

3

≤ C∥u0∥232 ∥Du(·, t)∥

133 . (2.100)

Deste modo, por i), conclui-se que

∥Du(·, t)∥3 ≥ C(43µC−1

3

)3∥u0∥−2

2 , ∀ 0 ≤ t < T ∗.

E facil ver que iv) segue diretamente de

limt↗T ∗

∥u(·, t)∥3 = ∞

e (2.100), ver [42]. Isto completa a prova do Corolario 2.11.

E importante ressaltar aqui que se u(·, t) e a solucao para as equacoes de Navier-Stokes (5) em

70

[0, T ∗), com T ∗ < ∞, entao o Teorema 2.6, o limite inferior (2.75) e o Corolario 2.11 nos garantem

que

∥u(·, t)∥q ≥ Cq,µ(T∗ − t)

− q−32q , ∀ 0 ≤ t < T ∗, (2.101)

para todo 3 ≤ q ≤ ∞. Este mesmo teorema, (2.76), (2.77) e (2.78) nos mostram que

∥Du(·, t)∥q ≥ Cq,µ∥u0∥− 2q−6

3q

2 (T ∗ − t)− 5q−6

6q , ∀ 0 ≤ t < T ∗,

onde 3 < q ≤ ∞,

∥Du(·, t)∥q ≥ Cq,µ(T∗ − t)

− 2q−32q , ∀ 0 ≤ t < T ∗,

onde 32 ≤ q < 3, e tambem que

∥Du(·, t)∥3 ≥ Cϵ,µ(T∗ − t)−

12+ϵ, ∀ 0 ≤ t < T ∗,

0 < ϵ < 12 .

Alem disso, o Corolario 2.11 juntamente com (2.82) implicam

limt↗T ∗

∥Du(·, t)∥q = ∞,3

2≤ q ≤ ∞.

O resultado abaixo exibe uma hipotese suficiente para termos existencia global, com relacao ao

tempo, para as equacoes de Navier-Stokes (5).

Corolario 2.12. Seja u(·, t) solucao forte das equacoes de Navier-Stokes (5) definida no intervalo

maximal [0, T ∗). Assuma que T ∗ < ∞. Entao,

3∑i=1

∫ T ∗

0

∫R3

|ui(x, t)||∇ui(x, t)|2 dxdt = ∞.

Demonstracao. Considere q = 3 em (2.96), assim

d

dt∥v∥22 +

8

3µ∥Dv∥22 ≤ 2C3∥v∥

232 ∥Dv∥22

= 2C3∥v∥232 ∥Dv∥

232 ∥Dv∥

432 .

Daı, pela Desigualdade de Young, temos que

d

dt∥v∥22 +

8

3µ∥Dv∥22 ≤ Cµ∥v∥22∥Dv∥22 +

2

3µ∥Dv∥22.

71

Logo,d

dt∥v∥22 + 2µ∥Dv∥22 ≤ Cµ∥v∥22∥Dv∥22.

Assim,d

dt∥v(·, t)∥22 ≤ Cµ∥v(·, t)∥22∥Dv(·, t)∥22, ∀ 0 ≤ t < T ∗.

Pelo Lema de Gronwall, obtemos

∥u(·, t)∥33 = ∥v(·, t)∥22 ≤ ∥v(·, 0)∥22 exp(Cµ

∫ t

0∥Dv(·, τ)∥22dτ

), ∀ 0 ≤ t < T ∗.

Com isso, se ∥Dv(·, t)∥22 fosse integravel em [0, T ∗), entao ∥u(·, t)∥3 seria limitada neste mesmo

intervalo, o que nao ocorre por (2.98), desde que T ∗ < ∞. Deste modo, ∥Dv(·, t)∥22 nao pode ser

integravel em [0, T ∗), se T ∗ < ∞. Em termos de u(·, t) temos

3∑i=1

∫ T ∗

0

∫R3

|ui(x, t)||∇ui(x, t)|2 dxdt = ∞,

ver (2.94).

O corolario abaixo nos mostra como estabelecer uma condicao suficiente para termos existencia

global no tempo para as equacoes (4).


Assuma que 3 < q < ∞ e

∥(u0,b0)∥2q−63q−6

2 ∥(u0,b0)∥q

3q−6q < (qCqC

′q)

−1, (2.102)

onde γ = min{µ, ν} e Cq e a constante dada em (2.96) e C′q provem da desigualdade de Gagliardo-

Nirenberg (2.103) abaixo. Entao, ∥(u,b)(·, t)∥q e decrescente em 0 ≤ t < T ∗. Em particular,

T ∗ = ∞ se (2.102) for valida.

Demonstracao. Notemos que, para q > 3, tem-se

∥(v, r)∥q−1q

2 ∥(Dv, Dr)∥q+3q

2 = ∥(v, r)∥2

3q−6

2 ∥(v, r)∥3q−23q−6

(1− 3

q

)2 ∥(Dv, Dr)∥

q+3q

2

≤ C′q∥(v, r)∥

23q−6

2 ∥(v, r)∥4q· q−33q−6

4q

∥(Dv, Dr)∥22,

onde na ultima desigualdade usamos o fato que

∥v∥2 ≤ C′r∥v∥

1− 3r−63r−2

4r

∥Dv∥3r−63r−2

2 , ∀ v ∈ C∞0 (R3). (2.103)

72

(Aqui 2 ≤ r < ∞). Aplicando (2.96) e o Lema 2.1, obtemos

d

dt∥(v, r)∥22 + 4γ

(1− 1

q

)∥(Dv, Dr)∥22 ≤ q

(1− 1

q

)CqC

′q∥(v, r)∥

23q−6

2 ∥(v, r)∥4q· q−33q−6

4q

∥(Dv, Dr)∥22

= q(1− 1

q

)CqC

′q∥(u,b)∥

2q−63q−6

2 ∥(u,b)∥q

3q−6q ∥(Dv, Dr)∥22

≤ q(1− 1

q

)CqC

′q∥(u0,b0)∥

2q−63q−6

2 ∥(u,b)∥q

3q−6q ∥(Dv, Dr)∥22,

ver definicoes de v e r. Pelo mesmo argumento de continuidade usado na prova do Corolario 2.10,

concluımos que ∥(u,b)(·, t)∥q e decrescente em [0, T ∗) se

∥(u0,b0)∥2q−63q−6

2 ∥(u0,b0)∥q

3q−6q < 2γ(qCqC

′q)

−1.

Por fim, suponha, por absurdo, que T ∗ < ∞ e

∥(u0,b0)∥2q−63q−6

2 ∥(u0,b0)∥q

3q−6q < (qCqC

′q)

−1.

Dessa forma, pelo que foi provado acima, concluımos que

∥(u0,b0)∥q > ∥(u,b)(·, t)∥q, ∀ 0 < t < T ∗.

Isto e uma contradicao com o fato que

limt↗T ∗

∥(u,b)(·, t)∥q = ∞,

onde 3 < q < ∞, T ∗ < ∞, ver (2.68).

O Corolario 2.13 tambem e valido para uma solucao u(·, t) das classicas equacoes de Navier-

Stokes (5) no caso q = ∞, ou seja,

∥u0∥232 ∥u0∥

13∞ < η∞ ⇒ T ∗ = ∞,

onde η∞ e apropriadamente pequeno (para mais detalhes ver [28]).

O corolario abaixo nos informa que o limite

limt↗T ∗

∥(D2u, D2b)∥q = ∞, ∀ 1 < q <3

2,

e verdadeiro para uma solucao (u,b)(·, t) do sistema (4).

73


Assuma que 1 < q < 32 e T ∗ < ∞. Entao,

∥(D2u, D2b)∥q ≥ Cq,µ,ν(T∗ − t)

− 3q−32q , ∀ 0 ≤ t < T ∗,

Cq,µ,ν e a constante positiva que depende somente de q, µ, ν.

Demonstracao. Para 1 < q < 32 , usando a desigualdade

∥(u,b)∥ 3q3−2q

≤ Cq∥(D2u, D2b)∥q,

e o Teorema 2.6, temos que

∥(D2u, D2b)∥q ≥ Cq,µ,ν(T∗ − t)

− 32· q−1

q , ∀ t ∈ [0, T ∗).

Se u(·, t) e uma solucao das equacoes de Navier-Stokes (5) temos tambem, pela desigualdade

∥u∥3 ≤ C∥D2u∥1 (2.104)

e pelo Corolario 2.11, que

∥D2u(·, t)∥1 ≥ Cµ, ∀ 0 ≤ t < T ∗,

se T ∗ < ∞. Passando ao limite, quando t ↗ T ∗ (com T ∗ < ∞), em (2.104) encontramos

limt↗T ∗

∥D2u(·, t)∥1 = ∞,

basta usar o fato que limt↗T ∗

∥u(·, t)∥3 = ∞.

Provaremos, logo a seguir, que os seguintes limites inferiores para uma solucao (u,b)(·, t) do

sistema (4) sao verdadeiros:

∥(Dnu, Dnb)∥r ≥ Cq,r,n,µ,ν(T∗ − t)

− (q−3)(3r+2nr−6)6r(q−2) , ∀ 0 ≤ t < T ∗,

onde n ≥ 3, 3 < q < ∞, 1 ≤ r ≤ ∞ e Cq,r,n,µ,ν e uma constante positiva que depende somente de

q, r, n, µ, ν e ∥(u0,b0)∥2. No caso n = 2, obtemos

∥(D2u, D2b)∥r ≥ Cq,r,µ,ν(T∗ − t)

− (q−3)(7r−6)6r(q−2) , ∀ 0 ≤ t < T ∗,

74

3 < q < ∞, r ≥ 3q2q+3 e Cq,r,µ,ν e uma constante positiva que depende somente de q, r, µ, ν e

∥(u0,b0)∥2.


Assuma que T ∗ < ∞. Entao, se n ≥ 3, tem-se

limt↗T ∗

∥(Dnu, Dnb)∥q = ∞, ∀ 1 ≤ q ≤ ∞.

Tambem vale

limt↗T ∗

∥(D2u, D2b)∥q = ∞, ∀ 1 < q ≤ ∞.

Demonstracao. A seguir usaremos a seguinte Desigualdade de Gagliardo:

∥v∥q ≤ Cq,r∥v∥1−θ2 ∥Dnv∥θr, ∀ v ∈ C∞

0 (R3),

onde θ =12− 1

q12+n

3− 1

r

, r ≥ max{1, 3q

nq+3

}, n ≥ 2 e 3 ≤ q ≤ ∞, se (n, q, r) =

(2,∞, 32

)e (n, q, r) =

(3,∞, 1). Pelo Lema 2.1, temos que

∥(u,b)∥q ≤ Cq,r∥(u0,b0)∥1−θ2 ∥(Dnu, Dnb)∥θr.

Daı,

∥(Dnu, Dnb)∥r ≥ Cq,r,n∥(u,b)∥1θq ∥(u0,b0)∥

θ−1θ

2 , ∀ r ≥ max

{1,

3q

nq + 3

}. (2.105)

Se n ≥ 3, temos que

∥(Dnu, Dnb)∥r ≥ Cq,r,n∥(u0,b0)∥θ−1θ

2 ∥(u,b)∥1θq , ∀ r ≥ 1.

Pelo Teorema 2.6 (considerando 3 < q < ∞), concluımos que

limt↗T ∗

∥(Dnu, Dnb)∥r = ∞,

onde 1 ≤ r ≤ ∞, n ≥ 3.

Se n = 2 e 3 < q < ∞, entao, por (2.105) e Teorema 2.6 novamente, obtemos

limt↗T ∗

∥(D2u, D2b)∥r = ∞,

75

onde r ≥ 3q2q+3 . Por fim, no Corolario 2.14, vimos que

∥(D2u, D2b)∥r ≥ Cr,µ,ν(T∗ − t)−

3r−32r , ∀ t ∈ [0, T ∗),

se 1 < r < 3q2q+3 , desde que 1 < 3q

2q+3 < 32 . Com isso,

limt↗T ∗

∥(D2u, D2b)∥r = ∞,

onde 1 < r ≤ ∞.

2.7 Comparacao das Taxas de Explosao

Nesta secao, demonstraremos que a taxa de explosao da norma ∥(u,b)(·, t)∥r supera a de

∥(u,b)(·, t)∥q se 3 < q < r < ∞ (3 ≤ q < r ≤ ∞ no caso das equacoes de Navier-Stokes

(5)). Alem disso, mostraremos que ∥(Du, Db)(·, t)∥2 apresenta taxa de explosao superior a da

norma ∥(u,b)(·, t)∥q, quando 2 ≤ q ≤ 6. No caso das equacoes de Navier-Stokes (5), provare-

mos que ∥u(·, t)∥q∞∥u(·, t)∥3 explode mais rapidamente que ∥u(·, t)∥qq∥u(·, t)∥2∞, se considerarmos

3 < q < ∞. Nestes casos, suporemos que a solucao (u,b)(·, t) (ou u(·, t) em relacao a (5)) exibe

explosao em tempo finito.

Aqui tambem provaremos que

sup0≤t<T ∗

{∥(u,b)(·, t)∥q∞∥(u,b)(·, t)∥3∥(u,b)(·, t)∥qq∥(u,b)(·, t)∥2∞

}< ∞,

onde 3 < q < ∞, e uma condicao suficiente para que a solucao (u,b)(·, t) do sistema (4), em [0, T ∗),

seja globalmente definida no tempo (i.e., T ∗ = ∞).

Comecemos com o resultado abaixo, o qual mostra que

limt↗T ∗

∥(u,b)(·, t)∥r∥(u,b)(·, t)∥q

= ∞,

se 3 ≤ q < r < ∞ e (u,b)(·, t) e a solucao do sistema (4) definida no intervalo maximal [0, T ∗)

(com T ∗ < ∞).


Assuma que T ∗ < ∞ e 3 ≤ q < r < ∞. Entao,

∥(u,b)(·, t)∥r∥(u,b)(·, t)∥q

≥ Cq,r,µ,ν(T∗ − t)−γ , ∀ 0 ≤ t < T ∗,

76

onde γ = r−3r−2 ·

r−qqr e Cq,r,µ,ν e uma constante positiva que depende somente de q, r, µ, ν e ∥(u0,b0)∥2.

Demonstracao. Pela desigualdade de interpolacao

∥v∥q ≤ ∥v∥λ2∥v∥1−λr ,

onde 0 < λ < 1 e 1q = λ

2 + 1−λr , e Lema 2.1, temos que

∥(u,b)∥q ≤ ∥(u0,b0)∥λ2∥(u,b)∥1−λr .

Assim sendo, chegamos a

∥(u,b)∥λr ≤ ∥(u0,b0)∥λ2∥(u,b)∥r∥(u,b)∥q

, (2.106)

onde λ =1q− 1

r12− 1

r

(esta desigualdade e valida para r = ∞ tambem). Portanto, aplicando o Teorema

2.6, segue que

∥(u,b)(·, t)∥r∥(u,b)(·, t)∥q

≥ 1

∥(u0,b0)∥λ2Cλr,µ,ν(T

∗ − t)−λ· r−32r , ∀ 0 ≤ t < T ∗.

E importante destacar que se u(·, t) e a solucao das equacoes de Navier-Stokes (5) no intervalo

de tempo [0, T ∗), com T ∗ < ∞, entao

∥u(·, t)∥r∥u(·, t)∥q

≥ Cq,r,µ(T∗ − t)

− r−3r−2

· r−qqr , ∀ 0 ≤ t < T ∗,

onde 3 ≤ q < r ≤ ∞, e Cq,r,µ depende somente de q, r, µ e ∥u0∥2. A prova deste fato segue

precisamente como na prova do Teorema 2.16 juntamente com (2.101). Como consequencia imediata

para a desigualdade acima temos o seguinte limite:

limt↗T ∗

∥u(·, t)∥r∥u(·, t)∥q

= ∞,

onde T ∗ < ∞ e 3 ≤ q < r ≤ ∞.

Ainda considerando as equacoes de Navier-Stokes (5), temos o seguinte resultado.

Teorema 2.17. Seja u(·, t) solucao forte do sistema (5) definida no intervalo maximal [0, T ∗).

Assuma que T ∗ < ∞ e 3 < q < ∞. Entao,

limt↗T ∗

∥u(·, t)∥q∞∥u(·, t)∥qq

· ∥u(·, t)∥3∥u(·, t)∥2∞

= ∞.

77

Demonstracao. Tomando r = ∞ e λ = 2q em (2.106), temos

∥u(·, t)∥2q∞ ≤ ∥u0∥

2q

2

∥u(·, t)∥∞∥u(·, t)∥q

.

Assim sendo, encontramos∥u(·, t)∥q∞∥u(·, t)∥qq

· ∥u(·, t)∥3∥u(·, t)∥2∞

≥ ∥u(·, t)∥3∥u0∥22

.

Passando ao limite, quando t ↗ T ∗, concluımos que

limt↗T ∗

∥u(·, t)∥q∞∥u(·, t)∥qq

· ∥u(·, t)∥3∥u(·, t)∥2∞

= ∞,

desde que limt↗T ∗

∥u(·, t)∥3 = ∞ (T ∗ < ∞).

O teorema abaixo nos informa claramente que a solucao (u,b)(·, t) das equacoes (4), definida

no intervalo maximal [0, T ∗) (com T ∗ < ∞), satisfaz

limt↗T ∗

∥(Du, Db)(·, t)∥2∥(u,b)(·, t)∥q

= ∞, ∀ 2 ≤ q < 6.


Assuma que T ∗ < ∞ e 2 ≤ q ≤ 6. Entao,

∥(Du, Db)(·, t)∥2∥(u,b)(·, t)∥q

≥ Cq,µ,ν(T∗ − t)

− 6−q8q ,

onde Cq,r,µ,ν e uma constante positiva que depende somente de q, r, µ, ν e ∥(u0,b0)∥2.

Demonstracao. Consideremos a desigualdade

∥v∥q ≤ Cq∥v∥1−θ2 ∥Dv∥θ2, ∀ v ∈ C∞

0 (R3),

onde θ = 32 · q−2

q e 2 ≤ q ≤ 6. Usando esta desigualdade, o Lema 2.1 e o Teorema 2.4, concluımos

que

∥(Du, Db)(·, t)∥2∥(u,b)(·, t)∥q

≥ Cq∥(Du, Db)(·, t)∥21−θ

∥(u0,b0)∥21−θ

≥ Cq

∥(u0,b0)∥1−θ2

γ34(1−θ)(T ∗ − t)−

14(1−θ)

≥ Cq,µ,ν(T∗ − t)

− 6−q8q ,

78

onde Cq,µ,ν depende somente de q, µ, ν e ∥(u0,b0)∥2 (desde que T ∗ < ∞).

O resultado a seguir nos garante que uma solucao (u,b)(·, t) do sistema (4), no intervalo de

tempo [0, T ∗), e global no tempo se

sup0≤t<T ∗

{∥(u,b)(·, t)∥q∞∥(u,b)(·, t)∥qq

· ∥(u,b)(·, t)∥3∥(u,b)(·, t)∥2∞

}< ∞,

onde 3 < q < ∞.


Assuma que T ∗ < ∞ e 3 < q < ∞. Entao,

sup0≤t<T ∗

{∥(u,b)(·, t)∥q∞∥(u,b)(·, t)∥qq

· ∥(u,b)(·, t)∥3∥(u,b)(·, t)∥2∞

}= ∞. (2.107)

Demonstracao. Atraves da primeira equacao do sistema (4), temos que

1

q

d

dt∥u(·, t)∥qq =

∫R3

|u|q−2u · ut dx

= µ

∫R3

|u|q−2u ·∆u dx−∫R3

|u|q−2u · (u · ∇)u dx+

∫R3

|u|q−2u · (b · ∇)b dx

−∫R3

|u|q−2u · ∇(p+1

2|b|2) dx. (2.108)

Permita-nos analisar as parcelas do lado direito das igualdades acima. Assim sendo, por integracao

por partes, encontramos

∫R3

|u|q−2u ·∆u dx =

3∑i,j=1

∫R3

|u|q−2uiD2jui dx

= −3∑

i,j=1

∫R3

Dj(|u|q−2ui)Djui dx

= −3∑

i,j,k=1

∫R3

(q − 2)|u|q−4(ukDjuk)(uiDjui) dx−∫R3

|u|q−23∑

i,j=1

(Djui)2 dx

= −(q − 2)3∑

j=1

∫R3

|u|q−4(u ·Dju)2 dx−

∫R3

|u|q−2|Du|2 dx

≤ 0. (2.109)

79

Alem disso, por integracao por partes novamente, chegamos a

−∫R3

|u|q−2u · (u · ∇)u dx = −3∑

i,j=1

∫R3

|u|q−2uiujDjui dx

=3∑

i,j=1

∫R3

Dj(|u|q−2uiuj)ui dx

=

3∑i,j=1

∫R3

Dj(|u|q−2)u2iuj dx+

3∑i,j=1

∫R3

|u|q−2Dj(uiuj)ui dx.

Portanto, usando o fato que ∇ · u = 0, obtemos

−∫R3

|u|q−2u · (u · ∇)u dx =

3∑j=1

∫R3

(q − 2)|u|q−43∑

k=1

ukDjuk

3∑i=1

u2iuj dx

+3∑

i,j=1

∫R3

|u|q−2[(Djui)uj + uiDjuj ]ui dx

=

3∑j,k=1

∫R3

(q − 2)|u|q−4(ukDjuk)|u|2uj dx+

3∑i,j=1

∫R3

|u|q−2(Djui)ujui dx

= (q − 2)3∑

j,k=1

∫R3

|u|q−2uk(Djuk)uj dx+3∑

i,j=1

∫R3

|u|q−2(Djui)ujui dx

= (q − 1)

∫R3

|u|q−2u · (u · ∇)u dx.

Deste modo,

−∫R3

|u|q−2u · (u · ∇)udx = 0. (2.110)

Vejamos ainda que,

∫R3

|u|q−2u · (b · ∇)b dx =3∑

i,j=1

∫R3

|u|q−2uibjDjbi dx

= −3∑

i,j=1

∫R3

Dj(|u|q−2uibj)bi dx

= −(q − 2)

3∑i,j=1

∫R3

|u|q−43∑

k=1

uk(Djuk)uibjbi dx

80

−3∑

i,j=1

∫R3

|u|q−2(Djui)bjbi dx

= −(q − 2)

3∑j,k=1

∫R3

|u|q−4uk(Djuk)(u · b)bj dx

−3∑

i,j=1

∫R3

|u|q−2(Djui)bjbi dx,

onde na terceira igualdade usamos o fato que∇·b = 0. Consequentemente, utilizando a desigualdade

de Cauchy-Scharwz, temos que∫R3

|u|q−2u · (b · ∇)b dx ≤ Cq

∫R3

|u|q−2|Du||b|2 dx

≤ Cq∥u∥q−2∞

∫R3

|Du||b|2 dx.

Utilizando a Desigualdade de Holder, concluımos que∫R3

|u|q−2u · (b · ∇)b dx ≤ Cq∥u∥q−2∞ ∥Du∥2∥b∥24.

Daı, usando a Desigualdade de Gagliardo-Nirenberg,

∥v∥4 ≤ C∥v∥123 ∥Dv∥

122 , ∀ v ∈ C∞

0 (R3), (2.111)

temos que ∫R3

|u|q−2u · (b · ∇)b dx ≤ Cq∥u∥q−2∞ ∥Du∥2∥b∥3∥Db∥2

≤ Cq∥(u,b)∥q−2∞ ∥(u,b)∥3∥(Du, Db)∥22. (2.112)

Por fim, usando o fato que u e livre de divergente, chegamos a

−∫R3

|u|q−2u · ∇(p+1

2|b|2) dx = −

3∑j=1

∫R3

|u|q−2ujDj(p+1

2|b|2) dx

=

3∑j=1

∫R3

Dj(|u|q−2uj)(p+1

2|b|2) dx

=

3∑j=1

∫R3

Dj(|u|q−2)uj(p+1

2|b|2) dx

= (q − 2)3∑

j=1

∫R3

|u|q−4(u ·Dju)uj(p+1

2|b|2) dx.

81

Usando a Desigualdade de Cauchy-Scharwz, obtemos

−∫R3

|u|q−2u · ∇(p+1

2|b|2) dx ≤ Cq

∫R3

|u|q−2|Du||p+ 1

2|b|2| dx

≤ Cq∥u∥q−2∞

∫R3

|Du||p+ 1

2|b|2| dx.

Utilizando a Desigualdade de Holder, encontramos

−∫R3

|u|q−2u · ∇(p+1

2|b|2) dx ≤ Cq∥u∥q−2

∞ ∥Du∥2∥∥∥p+ 1

2|b|2

∥∥∥2

≤ Cq∥(u,b)∥q−2∞ ∥(Du, Db)∥2

∥∥∥p+ 1

2|b|2

∥∥∥2.

Por (2.84) e (2.111), concluımos que

−∫R3

|u|q−2u · ∇(p+1

2|b|2) dx ≤ Cq∥(u,b)∥q−2

∞ ∥(Du, Db)∥2∥(u,b)∥24

≤ Cq∥(u,b)∥q−2∞ ∥(Du, Db)∥2∥(u,b)∥3∥(Du, Db)∥2

= Cq∥(u,b)∥q−2∞ ∥(u,b)∥3∥(Du, Db)∥22. (2.113)

Assim, aplicando as estimativas (2.109), (2.110), (2.112) e (2.113) em (2.108), obtemos

1

q

d

dt∥u(·, t)∥qq ≤ Cq∥(u,b)∥q−2

∞ ∥(u,b)∥3∥(Du, Db)∥22. (2.114)

Observando a segunda equacao do sistema (4), temos que

1

q

d

dt∥b(·, t)∥qq =

∫R3

|b|q−2b · bt dx

= ν

∫R3

|b|q−2b ·∆b dx−∫R3

|b|q−2b · (u · ∇)b dx

+

∫R3

|b|q−2b · (b · ∇)u dx. (2.115)

Permita-nos analisar cada uma das parcelas do lado direito em (2.115). Por (2.109), sabemos que

ν

∫R3

|b|q−2b ·∆bdx ≤ 0. (2.116)

Notemos que,

82

−∫R3

|b|q−2b · (u · ∇)b dx = −3∑

i,j=1

∫R3

|b|q−2biujDjbi dx

=3∑

i,j=1

∫R3

Dj(|b|q−2biuj)bi dx

=

3∑i,j=1

∫R3

(q − 2)|b|q−43∑

k=1

bk(Djbk)biujbi dx

+

3∑i,j=1

∫R3

|b|q−2(Djbi)ujbi dx

= (q − 2)3∑

j=1

∫R3

|b|q−4(b ·Djb)uj |b|2 dx

+

3∑i,j=1

∫R3

|b|q−2(Djbi)ujbi dx.

Utilizando a Desigualdade de Cauchy-Scharwz, temos que

−∫R3

|b|q−2b · (u · ∇)b dx ≤ Cq

∫R3

|b|q−2|Db||(u,b)|2 dx

≤ Cq∥b∥q−2∞

∫R3

|Db||(u,b)|2 dx.

Atraves da Desigualdade de Holder, concluımos que

−∫R3

|b|q−2b · (u · ∇)bdx ≤ Cq∥b∥q−2∞ ∥Db∥2∥(u,b)∥24.

Daı, usando a Desigualdade de Gagliardo-Nirenberg (2.111), obtemos

−∫R3

|b|q−2b · (u · ∇)b dx ≤ Cq∥b∥q−2∞ ∥Db∥2∥(u,b)∥3∥(Du, Db)∥2

≤ Cq∥(u,b)∥q−2∞ ∥(u,b)∥3∥(Du, Db)∥22. (2.117)

Analogamente, prova-se que∫R3

|b|q−2b · (b · ∇)u dx ≤ Cq∥(u,b)∥q−2∞ ∥(u,b)∥3∥(Du, Db)∥22 (2.118)

Por fim, aplicando as estimativas (2.116), (2.117) e (2.118) em (2.115), chegamos a

1

q

d

dt∥b∥qq ≤ Cq∥(u,b)∥q−2

∞ ∥(u,b)∥3∥(Du, Db)∥22. (2.119)

83

Deste modo, somando as desigualdades (2.114) e (2.119), obtemos

d

dt∥(u,b)∥qq ≤ Cq∥(u,b)∥q−2

∞ ∥(u,b)∥3∥(Du, Db)∥22

= Cq∥(u,b)∥q∞∥(u,b)∥qq

∥(u,b)∥3∥(u,b)∥2∞

∥(u,b)∥qq∥(Du, Db)∥22

Suponha, por absurdo, que

M := sup0≤t<T ∗

{∥(u,b)∥q∞∥(u,b)∥qq

· ∥(u,b)∥3∥(u,b)∥2∞

}< ∞.

Logo,

d

dt∥(u,b)∥qq ≤ CqM∥(u,b)∥qq∥(Du, Db)∥22.

Aplicando o Lema de Gronwall e Lema 2.1, obtemos

∥(u,b)(·, t)∥q ≤ ∥(u0,b0)∥q exp(CqM

∫ t

0∥(Du, Db)∥22dτ

)≤ ∥(u0,b0)∥q exp

(Cq,µ,νM∥(u0,b0)∥22

),

onde 0 ≤ t < T ∗ e 3 < q < ∞. Isto contradiz (2.68). Portanto, a igualdade (2.107) e valida.

2.8 Criterio de Explosao Beale-Kato-Majda

Em toda esta secao consideraremos que u(·, t) e a solucao forte do sistema (5) definida no

intervalo maximal [0, T ∗). Com esta solucao em maos, definimos o fluxo vorticidade atraves da

igualdade

ξ(·, t) := ∇× u(·, t), ∀ 0 ≤ t < T ∗,

o qual satisfaz a seguinte equacao

ξt(·, t) + u · ∇ξ(·, t) = µ∆ξ(·, t) + ξ · ∇u(·, t), ∀ 0 ≤ t < T ∗, (2.120)

basta aplicar o operador rotacional em (5). Tal equacao e denominada equacao da vorticidade.

Vamos comecar mostrando um lema que garante que a norma L2 da vorticidade resulta em

∥Du∥2.

84

Lema 2.5. Seja ξ(·, t) a vorticidade, definida em t ≥ 0. Entao,

∥ξ(·, t)∥2 = ∥Du(·, t)∥2, t ≥ 0.

Demonstracao. Com efeito, pela Identidade de Parseval,

∥Du(·, t)∥22 =∑|α|=1

∥Dαu(·, t)∥22 =

3∑j=1

∥Dju(·, t)∥22

=3∑

j=1

∥Dju(·, t)∥22 =3∑

j=1

∥kju(·, t)∥22

=

3∑j=1

∫R3

|kju(·, t)|2 dk =

∫R3

|k|2|u(·, t)|2 dk

=

∫R3

|ξ(k, t)|2 dk =

∫R3

|ξ(x, t)|2 dx

= ∥ξ(·, t)∥22.

O resultado acima e util para provarmos as seguintes estimativas de decaimento.

Teorema 2.20. As seguintes afirmacoes envolvendo a vorticidade ξ(·, t) = (ξ1, ξ2, ξ3)(·, t), no

intervalo de tempo [0, T ∗), sao validas:

i) Se ξi(·, 0) ∈ L1(R3) para algum i = 1, 2, 3, entao ξi(·, t) permanece em L1(R3) para t ∈ [0, T ∗),

com

∥ξi(·, t)∥1 ≤ ∥ξi(·, 0)∥1 +1

2µ∥u0∥22, ∀ 0 ≤ t < T ∗;

ii) Se ξ(·, 0) ∈ L1(R3), entao

∥ξ(·, t)∥1 ≤ ∥ξ(·, 0)∥1 +√3

2µ∥u0∥22, ∀ 0 ≤ t < T ∗.

Demonstracao. Note que a i-esima componente da equacao (2.120) e dada por

ξit + u · ∇ξi = µ∆ξi + ξ · ∇ui.

85

Multiplicando esta mesma equacao pela funcao sinal regularizadora L′δ(ξi(·, t)) e integrando em

R3 × [0, t], obtemos∫R3

∫ t

0L′δ(ξi)ξiτ dτdx+

∫R3

∫ t

0L′δ(ξi)u·∇ξi dτdx = µ

∫R3

∫ t

0L′δ(ξi)∆ξi dτdx+

∫R3

∫ t

0L′δ(ξi)ξ·∇ui dτdx.

Vamos analisar cada uma das integrais que compoe a igualdade acima. Assim sendo, pelo Teorema

Fundamental do Calculo, temos que∫ t

0L′δ(ξi)ξiτdτ =

∫ t

0

d

dτ[Lδ(ξi)]dτ = Lδ(ξi(·, t))− Lδ(ξi(·, 0)).

Alem disso,

∫R3

L′δ(ξi)∆ξi dx =

3∑j=1

∫R3

L′δ(ξi)D

2j ξi dx

= −3∑

j=1

∫R3

Dj [L′δ(ξi)]Djξi dx

= −3∑

j=1

∫R3

L′′δ (ξi)(Djξi)

2 dx

= −∫R3

L′′δ (ξi)|∇ξi|2 dx

≤ 0.

Tambem temos que

∫R3

L′δ(ξi)u · ∇ξi dx =

3∑j=1

∫R3

L′δ(ξi)ujDjξi dx

=3∑

j=1

∫R3

Dj [Lδ(ξi)]uj dx

= −3∑

j=1

∫R3

Lδ(ξi)Djuj dx

= 0,

pois ∇ · u = 0. Deste modo,∫R3

[Lδ(ξi(·, t))− Lδ(ξi(·, 0))] dx ≤∫R3

∫ t

0L′δ(ξi)ξ · ∇ui dτdx.

Passando ao limite, quando δ → 0, e usando o Teorema da Convergencia Dominada, concluımos

86

que ∫R3

|ξi(·, t)| dx ≤∫R3

|ξi(·, 0)| dx+

3∑j=1

∫R3

∫ t

0|ξj ||Djui| dτdx,

isto e,

∥ξi(·, t)∥1 ≤ ∥ξi(·, 0)∥1 +3∑

j=1

∫R3

∫ t

0|ξj ||Djui| dτdx. (2.121)

Utilizando as Desigualdades de Holder e Cauchy-Scharwz, obtemos

∥ξi(·, t)∥1 ≤ ∥ξi(·, 0)∥1 +3∑

j=1

∫ t

0

[( ∫R3

|ξj |2 dx) 1

2(∫

R3

|Djui|2 dx) 1

2]dτ

= ∥ξi(·, 0)∥1 +∫ t

0

[( 3∑j=1

∫R3

|ξj |2 dx) 1

2( 3∑

j=1

∫R3

|Djui|2 dx) 1

2]dτ

≤ ∥ξi(·, 0)∥1 +∫ t

0∥ξ∥2∥Du∥2 dτ

Daı, usando os Lemas 2.5 e 2.1, concluımos que

∥ξi(·, t)∥1 ≤ ∥ξi(·, 0)∥1 +∫ t

0∥Du∥22 dτ

≤ ∥ξi(·, 0)∥1 +1

2µ∥u0∥22,

para todo 0 ≤ t < T ∗. O que prova o item i).

Agora somando em 1 ≤ i ≤ 3 em (2.121), encontramos

3∑i=1

∥ξi(·, t)∥1 ≤3∑

i=1

∥ξi(·, 0)∥1 +3∑

i,j=1

∫ t

0

∫R3

|ξj ||Djui| dxdτ.

Aplicando as Desigualdades de Holder e Cauchy-Scharwz, novamente, obtemos

∥ξ(·, t)∥1 ≤ ∥ξ(·, 0)∥1 +3∑

i,j=1

∫ t

0

[( ∫R3

|ξj |2 dx) 1

2(∫

R3

|Djui|2 dx) 1

2]dτ

≤ ∥ξ(·, 0)∥1 +∫ t

0

[( 3∑i,j=1

∫R3

|ξj |2 dx) 1

2( 3∑

i,j=1

∫R3

|Djui|2 dx) 1

2]dτ

≤ ∥ξ(·, 0)∥1 +√3

∫ t

0∥ξ∥2∥Du∥2 dτ.

87

Assim, pelos Lemas 2.5 e 2.1, concluımos que

∥ξ(·, t)∥1 ≤ ∥ξ(·, 0)∥1 +√3

∫ t

0∥Du∥22 dτ

≤ ∥ξ(·, 0)∥1 +√3

2µ∥u0∥22,

para todo 0 ≤ t < T ∗. O que prova ii).

O resultado a seguir nos mostra uma condicao suficiente, envolvendo a vorticidade, que implica

a existencia global da solucao das equacoes de Navier-Stokes (5).

Teorema 2.21 (Beale-Kato-Majda). Seja ξ(·, t) = (ξ1, ξ2, ξ3)(·, t) a vorticidade, definida no inter-

valo de tempo [0, T ∗). Se T ∗ < ∞, entao∫ T ∗

0∥ξ(·, t)∥∞ dt = ∞.

Demonstracao. Vamos estudar a i-esima componente da equacao (2.120) novamente, a qual nos

informa que

ξit + u · ∇ξi = µ∆ξi + ξ · ∇ui.

Assim sendo,

1

2

d

dt∥ξi(·, t)∥22 =

1

2

d

dt(ξi, ξi)2

= (ξi, ξit)2

= −(ξi,u · ∇ξi)2 + µ(ξi,∆ξi)2 + (ξi, ξ · ∇ui)2.

Analisemos cada parcela obtida no lado direito das igualdades acima. Vejamos, primeiramente, que

(ξi,u · ∇ξi)2 =3∑

j=1

(ξi, ujDjξi)2

= −3∑

j=1

(Dj(ξiuj), ξi)2

= −3∑

j=1

((Djξi)uj + ξi(Djuj), ξi)2

= −3∑

j=1

(ujDjξi, ξi)2

= −(u · ∇ξi, ξi)2,

88

onde na penultima igualdade usamos que ∇ · u = 0. Logo,

(ξi,u · ∇ξi)2 = 0.

Alem disso,

(ξi,∆ξi)2 =

3∑j=1

(ξi, D2j ξi)2

= −3∑

j=1

(Djξi, Djξi)2

= −∥Dξi∥22

e tambem

(ξi, ξ · ∇ui)2 =3∑

j=1

∫R3

ξiξjDjui dx.

Deste modo,

1

2

d

dt∥ξi(·, t)∥22 = −µ∥Dξi(·, t)∥22 +

3∑j=1

∫R3

ξiξjDjui dx.

Somando em 1 ≤ i ≤ 3, chegamos a

1

2

d

dt∥ξ(·, t)∥22 + µ∥Dξ(·, t)∥22 =

3∑i,j=1

∫R3

ξiξjDjui dx

≤3∑

i,j=1

∫R3

|ξi||ξj ||Djui| dx

≤3∑

i,j=1

∫R3

|ξ||ξj ||Djui| dx

≤ ∥ξ(·, t)∥∞3∑

i,j=1

∫R3

|ξj ||Djui| dx.

Utilizando as Desigualdades de Holder e Cauchy-Scharwz, obtemos

1

2

d

dt∥ξ(·, t)∥22 + µ∥Dξ(·, t)∥22 ≤ ∥ξ(·, t)∥∞

3∑i,j=1

(∫R3

|ξj |2 dx) 1

2(∫

R3

|Djui|2 dx) 1

2

≤ ∥ξ(·, t)∥∞( 3∑

i,j=1

∫R3

|ξj |2 dx) 1

2( 3∑

i,j=1

∫R3

|Djui|2 dx) 1

2

≤√3∥ξ(·, t)∥∞∥ξ(·, t)∥2∥Du(·, t)∥2.

89

Pelo Lema 2.5, concluımos que

1

2

d

dt∥ξ(·, t)∥22 + µ∥Dξ(·, t)∥22 ≤

√3∥ξ(·, t)∥∞∥ξ(·, t)∥22, ∀ 0 ≤ t < T ∗.

Daı, pelo Lema de Gronwall, chegamos a

∥ξ(·, t)∥22 ≤ ∥ξ(·, 0)∥22 exp{2√3

∫ t

0∥ξ(·, t)∥∞ dτ

}, ∀ 0 ≤ t < T ∗.

Suponha, por absurdo que ∫ T ∗

0∥ξ(·, t)∥∞ dt < ∞,

entao, pela desigualdade acima, ∥ξ(·, t)∥2 seria limitada em [0, T ∗). Pelo Lema 2.5, terıamos que

∥Du(·, t)∥2 seria limitada em [0, T ∗). Contradizendo o Teorema 2.4. Portanto,∫ T ∗

0∥ξ(·, t)∥∞ dt = ∞.

A partir da proposicao abaixo e facil concluir o seguinte limite:

limt↗T ∗

∥Dnξ(·, t)∥2 = ∞, n ≥ 0,

se T ∗ < ∞. Isto segue diretamente do Teorema 2.4 e Corolario 2.15.

Proposicao 2.3. Seja ξ(·, t) a vorticidade, definida em t ≥ 0. Entao,

∥Dn+1u(·, t)∥2 = ∥Dnξ(·, t)∥2, t ≥ 0, n ≥ 0.

Demonstracao. De fato,

∥Dn+1u(·, t)∥22 =∑|β|=n

∥D(Dβu)∥22

=∑|β|=n

∥∇ × (Dβu)∥22

=∑|β|=n

∥Dβξ∥22

= ∥Dnξ(·, t)∥22.

90

Para finalizar este capıtulo, use a proposicao abaixo em ordem a encontrar o limite:

limt↗T ∗

∥Dnξ(·, t)∥q = ∞, n > 0, 1 < q < ∞,

se T ∗ < ∞. E suficiente aplicar o Teorema 2.4 e o Corolario 2.15. Alem disso,

limt↗T ∗

∥ξ(·, t)∥q = ∞,3

2< q < ∞

basta usar (2.82) e Corolario (2.15).

Proposicao 2.4. Seja ξ(·, t) a vorticidade, definida em t ≥ 0. Entao,

∥Dn+1u(·, t)∥q ≤ Cq,n∥Dnξ(·, t)∥q, t ≥ 0, n ≥ 0,

onde 1 < q < ∞ e Cq,n e uma constante positiva que depende somente de q e n.

Demonstracao. Ver [18].

91

Capıtulo 3

Propriedades de Solucoes para as

Equacoes Magneto-micropolares

Neste capıtulo, apresentaremos limites inferiores para a solucao do sistema (1) envolvendo

Espacos de Lebesgue usuais e Espacos de Sobolev Homogeneos. E importante lembrar neste ponto

que o Teorema 0.1 garante a existencia de uma unica solucao forte para o sistema (1).

3.1 Limite Inferior Envolvendo ∥(u,w,b)(·, t)∥Hs, s > 12

Neste secao, supondo que a solucao (u,w,b)(·, t) de (1) definida no intervalo de tempo [0, T ∗)

apresenta tempo de explosao t = T ∗ finito, estabeleceremos o seguinte limite:

limt↗T ∗

∥(u,w,b)(·, t)∥Hs∥(u,w,b)(·, t)∥2s

1+2δ−1

2 = ∞,

para δ ∈ (0, 1) e s ≥ 12 + δ. Mais precisamente, encontraremos o limite inferior abaixo:

∥(u,w,b)(·, t)∥Hs∥(u,w,b)(·, t)∥2s

1+2δ−1

2 ≥ C(T ∗ − t)−sδ

1+2δ , ∀ t ∈ [0, T ∗),

se δ ∈ (0, 1) e s ≥ 12 + δ.

Em ordem a estabelecermos uma prova para o resultado principal desta secao (Teorema 3.1)

precisaremos do seguinte lema, o qual generaliza uma parte do Lema 2.1 para as equacoes magneto-

micropolares.

Lema 3.1. Seja (u,w,b)(·, t) solucao forte do sistema (1) definida no intervalo maximal [0, T ∗).

92

Portanto,

∥(u,w,b)(·, t)∥2 ≤ ∥(u,w,b)(·, t0)∥2, ∀ 0 ≤ t0 ≤ t < T ∗. (3.1)

Demonstracao. Sabemos que,

1

2

d

dt∥(u,w,b)∥22 =

1

2

d

dt∥u∥22 +

1

2

d

dt∥w∥22 +

1

2

d

dt∥b∥22. (3.2)

Vamos estudar separadamente cada uma das derivadas expostas no lado direito da igualdade acima.

Assim sendo,

1

2

d

dt∥u∥22 = (u,ut)2

= (u,−u · ∇u−∇(p+1

2|b|2) + (µ+ χ)∆u+ b · ∇b+ χ∇×w)2. (3.3)

Pela demonstracao do Lema 2.1, temos que

−(u,u · ∇u)2 = −(u,∇(p+1

2|b|2)2 = 0 e (µ+ χ)(u,∆u)2 = −(µ+ χ)∥Du∥22. (3.4)

Aplicando (3.4) em (3.3), obtemos

1

2

d

dt∥u∥22 + (µ+ χ)∥Du∥22 = (u,b · ∇b)2 + χ(u,∇×w)2. (3.5)

Agora, vejamos que

1

2

d

dt∥w∥22 = (w,wt)2

= (w,−u · ∇w + γ∆w + κ∇(∇ ·w) + χ∇× u− 2χw)2. (3.6)

Pela demonstracao do Lema 2.1, temos tambem que

−(w,u · ∇w)2 = 0 e γ(w,∆w)2 = −γ∥Dw∥22. (3.7)

Notemos que,

(w, κ∇(∇ ·w))2 = κ

3∑j=1

(wj , Dj(∇ ·w))2

= −κ

3∑j=1

(Djwj ,∇ ·w)2

= −κ(∇ ·w,∇ ·w)2

= −κ∥∇ ·w∥22. (3.8)

93

Assim, por substituir (3.7) e (3.8) em (3.6), encontramos

1

2

d

dt∥w∥22 + γ∥Dw∥22 + κ∥∇ ·w∥22 + 2χ∥w∥22 = χ(w,∇× u). (3.9)

Por fim, analisando a terceira equacao de (1), chegamos a

1

2

d

dt∥b∥22 = (b,bt)2

= (b,−u · ∇b+ ν∆b+ b · ∇u)2. (3.10)

Utilizando a demonstracao do Lema 2.1, obtemos

1

2

d

dt∥b∥22 + ν∥Db∥22 = (b,b · ∇u)2. (3.11)

Somando as igualdades (3.5), (3.9) e (3.11), concluımos que

1

2

d

dt∥(u,w,b)∥22 + (µ+ χ)∥Du∥22 + γ∥Dw∥22 + ν∥Db∥22 + κ∥∇ ·w∥22 + 2χ∥w∥22

= (u,b · ∇b)2 + χ(u,∇×w)2 + χ(w,∇× u)2 + (b,b · ∇u)2. (3.12)

Segue da demonstracao do Lema 2.1 que

(u,b · ∇b)2 + (b,b · ∇u)2 = 0. (3.13)

Deste modo,

1

2

d

dt∥(u,w,b)∥22 + (µ+ χ)∥Du∥22 + γ∥Dw∥22 + ν∥Db∥22 + κ∥∇ ·w∥22 + 2χ∥w∥22

= χ(u,∇×w)2 + χ(w,∇× u)2. (3.14)

Usando as igualdades

(u,∇×w)2 = (w,∇× u)2 e ∥∇ × u∥2 = ∥Du∥2 (ver Lema 2.5),

e tambem por aplicar as Desigualdades de Cauchy e Young, concluımos que

1

2

d

dt∥(u,w,b)∥22 + µ∥Du∥22 + γ∥Dw∥22 + ν∥Db∥22 + κ∥∇ ·w∥22 + χ∥w∥22 ≤ 0.

Consequentemente,1

2

d

dt∥(u,w,b)∥22 ≤ 0, ∀ 0 ≤ t < T ∗. (3.15)

94

Integrando (3.15) de t0 a t (t0 ≤ t < T ∗), concluımos, pelo Teorema Fundamental do Calculo, que

∥(u,w,b)(·, t)∥2 ≤ ∥(u,w,b)(·, t0)∥2, ∀ 0 ≤ t0 ≤ t < T ∗.

Isto completa a prova do lema em questao.

E importante ressaltar aqui que, se a solucao (u,w,b)(·, t) de (1) em [0, T ∗) apresenta tempo

de explosao t = T ∗ finito, entao o Lema 3.1 e o teorema abaixo implicam que

∥(u,w,b)(·, t)∥Hs ≥ C∥(u0,w0,b0)∥1− 2s

1+2δ

2 (T ∗ − t)−sδ

1+2δ , ∀ t ∈ [0, T ∗),

para δ ∈ (0, 1) e s ≥ 12 + δ.

Teorema 3.1. Fixe s0 >32 e seja (u0,w0,b0) ∈ Hs0(R3) tal que ∇·u0 = ∇·b0 = 0. Considere que

(u,w,b)(·, t) ∈ C([0, T ∗),Hs(R3)) e solucao forte de (1), definida no intervalo maximal [0, T ∗).

Assuma que T ∗ < ∞. Entao, para cada δ ∈ (0, 1) e s ≥ 12 + δ, temos que

∥(u,w,b)(·, t)∥Hs∥(u,w,b)(·, t)∥p(s,δ)2 ≥ Cs,δ,µ,ν,γ αq(s,δ)(T ∗ − t)−r(s,δ), ∀ t ∈ [0, T ∗), (3.16)

onde α = min{µ, ν, γ}, Cs,δ,µ,ν,γ e uma constante positiva que depende somente de s, δ, µ, ν, γ; e

p(s, δ) :=2s

1 + 2δ− 1, q(s, δ) :=

(2− δ)s

1 + 2δe r(s, δ) :=

sδ

1 + 2δ.

Demonstracao. Primeiramente vamos aplicar o produto interno (u, ·)Hs na primeira equacao do

sistema (1) em ordem a obter

1

2

d

dt∥u∥2

Hs =1

2[(ut,u)Hs + (u,ut)Hs ]

= Re[− (u · ∇u,u)Hs − (∇(p+

1

2|b|2),u)Hs + (µ+ χ)(∆u,u)Hs

+(b · ∇b,u)Hs + χ(∇×w,u)Hs

], (3.17)

onde Re[z] e a parte real do numero complexo z. Permita-nos analisar algumas das parcelas

95

encontradas no lado direito das igualdades acima. Assim sendo,

(∆u,u)Hs =

∫R3

|k|2s∆u · u dk

=

3∑j=1

∫R3

|k|2sD2ju · u dk

= −∫R3

|k|2s|k|2|u|2 dk

= −∫R3

|k|2s|∇u|2 dk

= −∥∇u∥2Hs . (3.18)

Notemos tambem que,

(∇(p+1

2|b|2),u)Hs =

∫R3

|k|2s(∇(p+1

2|b|2))∧ · u dk

=

3∑j=1

∫R3

|k|2s(Dj(p+1

2|b|2))∧ujdk

=3∑

j=1

∫R3

|k|2sikj(p+1

2|b|2)uj dk

= −3∑

j=1

∫R3

|k|2s(p+ 1

2|b|2)ikj uj dk

= −∫R3

|k|2s(p+ 1

2|b|2)∇ · u dk

= 0, (3.19)

pois ∇ · u = 0. Alem disso, conclui-se

− (u · ∇u,u)Hs = −3∑

j=1

(ujDju,u)Hs

= −3∑

j=1

∫R3

|k|2s(ujDju)∧ · u dk

= −3∑

l,j=1

∫R3

|k|2s(ujDjul)∧ul dk. (3.20)

96

Usando o fato que u e livre de divergente, chegamos a

− (u · ∇u,u)Hs = −3∑

l,j=1

∫R3

|k|2s(Dj(ujul))∧ul dk

=

3∑l,j=1

∫R3

|k|2sujulikj ul dk

=3∑

l,j=1

∫R3

|k|2sujulDjul dk

=3∑

j=1

∫R3

|k|2suju · Dju dk

= (u⊗ u,∇u)Hs , (3.21)

onde u⊗ u = (u1u, u2u, u3u). Do mesmo modo, chegamos a

(b · ∇b,u)Hs = −(b⊗ b,∇u)Hs . (3.22)

Com isso, substituindo os resultados encontrados em (3.18), (3.19), (3.20), (3.21) e (3.22) em (3.17),

encontramos

1

2

d

dt∥u∥2

Hs = Re[(u⊗ u,∇u)Hs − (µ+ χ)∥∇u∥2Hs − (b⊗ b,∇u)Hs + χ(∇×w,u)Hs ],

ou seja,

1

2

d

dt∥u∥2

Hs +(µ+χ)∥∇u∥2Hs = Re[(u⊗u,∇u)Hs ]−Re[(b⊗b,∇u)Hs ]+χRe[(∇×w,u)Hs ]. (3.23)

Agora, apliquemos o mesmo processo a segunda equacao do sistema (1). Com efeito, temos que

1

2

d

dt∥w∥2

Hs =1

2[(wt,w)Hs + (w,wt)Hs ]

= Re[−(u · ∇w,w)Hs + γ(∆w,w)Hs + κ(∇(∇ ·w),w)Hs + χ(∇× u,w)Hs

− 2χ(w,w)Hs ]. (3.24)

Permita-nos analisar algumas das parcelas encontradas no lado direito das igualdades acima. Pri-

97

meiramente vejamos que,

− (u · ∇w,w)Hs =

3∑j=1

(ujDjw,w)Hs

= −3∑

j=1

∫R3

|k|2s(ujDjw)∧ · w dk

= −3∑

l,j=1

∫R3

|k|2s(ujDjwl)∧wl dk. (3.25)

E facil obter as seguintes igualdades:

3∑l,j=1

(ujDjwl)∧wl =

3∑l,j=1

(Dj(ujwl))∧wl

=3∑

l,j=1

ikj ujwlwl

= −3∑

l,j=1

ujwlDjwl

= −3∑

j=1

ujw · Djw

= −w ⊗ u · ∇w, (3.26)

onde usamos que ∇ ·u = 0 e w⊗u = (u1w, u2w, u3w). Substituindo (3.26) em (3.25), concluımos

que

− (u · ∇w,w)Hs =

∫R3

|k|2sw ⊗ u · ∇w dk

= (w ⊗ u,∇w)Hs . (3.27)

Analogamente ao que fizemos em (3.18), obtemos

(∆w,w)Hs = −∥∇w∥2Hs . (3.28)

98

Notemos ainda que,

(∇(∇ ·w),w)Hs =

∫R3

|k|2s(∇(∇ ·w))∧ · w dk

=

3∑j=1

∫R3

|k|2s(Dj(∇ ·w))∧wj dk

=

3∑j=1

∫R3

|k|2sikj∇ ·w wj dk

= −3∑

j=1

∫R3

|k|2s∇ ·w Djwj dk

= −3∑

j=1

∫R3

|k|2s∇ ·w ∇ ·w dk

= −∥∇ ·w∥2Hs . (3.29)

Por substituir (3.27), (3.28) e (3.29) em (3.24), concluımos que

1

2

d

dt∥w∥2

Hs = Re[(w ⊗ u,∇w)Hs − γ∥∇w∥2Hs − κ∥∇ ·w∥2

Hs + χ(∇× u,w)Hs − 2χ∥w∥2Hs ],

isto e,

1

2

d

dt∥w∥2

Hs+γ∥∇w∥2Hs+κ∥∇·w∥2

Hs+2χ∥w∥2Hs = Re[(w⊗u,∇w)Hs ]+χRe[(∇×u,w)Hs ]. (3.30)

Por fim, apliquemos o mesmo processo para a terceira equacao do sistema (1). Realizando o produto

interno (b, ·)Hs na terceira equacao do sistema (1), obtemos

1

2

d

dt∥b∥2

Hs =1

2[(bt,b)Hs + (b,bt)Hs ]

= Re[−(u · ∇b,b)Hs + ν(∆b,b)Hs + (b · ∇u,b)Hs ]. (3.31)

Permita-nos examinar algumas das parcelas encontradas no lado direito das igualdades encontradas

acima. Dessa forma,

(b · ∇u,b)Hs =3∑

j=1

(bjDju,b)Hs

=

3∑j=1

∫R3

|k|2s(bjDju)∧ · b dk

=

3∑l,j=1

∫R3

|k|2s(bjDjul)∧bl dk. (3.32)

99

E simples notar que, atraves da condicao ∇ · b = 0, chegamos a

3∑l,j=1

(bjDjul)∧bl =

3∑l,j=1

(Dj(bjul))∧bl

=

3∑l,j=1

ikj bjul bl

= −3∑

l,j=1

bjul Djbl

= −3∑

l,j=1

bju · Djb

= −u⊗ b · ∇b. (3.33)

Daı, substituindo (3.33) em (3.32), obtemos

(b · ∇u,b)Hs = −(u⊗ b,∇b)Hs . (3.34)

Por (3.27) e (3.18), temos que

−(u · ∇b,b)Hs = (b⊗ u,∇b)Hs e (∆b,b)Hs = −∥∇b∥2Hs . (3.35)

Por aplicar (3.34) e (3.35) em (3.31), obtemos

1

2

d

dt∥b∥2

Hs + ν∥∇b∥2Hs = Re[(b⊗ u,∇b)Hs ]− Re[(u⊗ b,∇b)Hs ]. (3.36)

Somando as igualdades (3.23), (3.30) e (3.36), chegamos a

1

2

d

dt∥(u,w,b)∥2

Hs + (µ+ χ)∥∇u∥2Hs + γ∥∇w∥2

Hs + ν∥∇b∥2Hs + κ∥∇ ·w∥2

Hs + 2χ∥w∥2Hs

= Re[(u⊗ u,∇u)Hs ]− Re[(b⊗ b,∇u)Hs ] + χRe[(∇×w,u)Hs ] + Re[(w ⊗ u,∇w)Hs ]

+χRe[(∇× u,w)Hs ] + Re[(b⊗ u,∇b)Hs ]− Re[(u⊗ b,∇b)Hs ]. (3.37)

Usando o fato que ∇ ×w = ik× w, podemos inferir

(∇×w,u)Hs =

∫R3

|k|2s∇ ×w · udk

=

∫R3

|k|2sik× w · udk

100

=

∫R3

|k|2sw · ik× udk

=

∫R3

|k|2sw · ∇ × udk

= (w,∇× u)Hs . (3.38)

Logo, substituindo (3.38) em (3.37), obtemos

1

2

d

dt∥(u,w,b)∥2

Hs + (µ+ χ)∥∇u∥2Hs + γ∥∇w∥2

Hs + ν∥∇b∥2Hs + κ∥∇ ·w∥2

Hs + 2χ∥w∥2Hs

= Re[(u⊗ u,∇u)Hs ]− Re[(b⊗ b,∇u)Hs ] + χRe[(w,∇× u)Hs ] + Re[(w ⊗ u,∇w)Hs ]

+χRe[(∇× u,w)Hs ] + Re[(b⊗ u,∇b)Hs ]− Re[(u⊗ b,∇b)Hs ]. (3.39)

Consequentemente, aplicando a Desigualdade de Cauchy-Scharwz, obtemos

1

2

d

dt∥(u,w,b)∥2

Hs + (µ+ χ)∥∇u∥2Hs + γ∥∇w∥2

Hs + ν∥∇b∥2Hs + κ∥∇ ·w∥2

Hs + 2χ∥w∥2Hs

≤ ∥u⊗ u∥Hs∥∇u∥Hs + ∥b⊗ b∥Hs∥∇u∥Hs + χ∥w∥Hs∥∇ × u∥Hs + ∥w ⊗ u∥Hs∥∇w∥Hs

+χ∥∇ × u∥Hs∥w∥Hs + ∥b⊗ u∥Hs∥∇b∥Hs + ∥u⊗ b∥Hs∥∇b∥Hs . (3.40)

Agora, vamos provar que

∥∇ × u∥Hs = ∥∇u∥Hs . (3.41)

De fato, como ∇ × u = ik× u, |∇u|2 = |k|2|u|2 e k · u = 0 (∇ · u = 0), segue que

∥∇ × u∥2Hs =

∫R3

|k|2s|∇ × u|2dk =

∫R3

|k|2s|ik× u|2dk

=

∫R3

|k|2s|k|2|u|2dk =

∫R3

|k|2s|∇u|2dk

= ∥∇u∥2Hs .

Aplicando (3.41) em (3.40), concluımos que

1

2

d

dt∥(u,w,b)∥2

Hs + (µ+ χ)∥∇u∥2Hs + γ∥∇w∥2

Hs + ν∥∇b∥2Hs + κ∥∇ ·w∥2

Hs + 2χ∥w∥2Hs

≤ ∥u⊗ u∥Hs∥∇u∥Hs + ∥b⊗ b∥Hs∥∇u∥Hs + χ∥w∥Hs∥∇u∥Hs + ∥w ⊗ u∥Hs∥∇w∥Hs

+χ∥∇u∥Hs∥w∥Hs + ∥b⊗ u∥Hs∥∇b∥Hs + ∥u⊗ b∥Hs∥∇b∥Hs . (3.42)

101

Pela Desigualdade de Young, chegamos a

1

2

d

dt∥(u,w,b)∥2

Hs + µ∥∇u∥2Hs + γ∥∇w∥2

Hs + ν∥∇b∥2Hs + κ∥∇ ·w∥2

Hs + χ∥w∥2Hs

≤ ∥u⊗ u∥Hs∥∇u∥Hs + ∥b⊗ b∥Hs∥∇u∥Hs + ∥w ⊗ u∥Hs∥∇w∥Hs + ∥b⊗ u∥Hs∥∇b∥Hs

+ ∥u⊗ b∥Hs∥∇b∥Hs . (3.43)

Utilizando a desigualdade (1.40), encontramos

1

2

d

dt∥(u,w,b)∥2

Hs + µ∥∇u∥2Hs + γ∥∇w∥2

Hs + ν∥∇b∥2Hs + k∥∇ ·w∥2

Hs + χ∥w∥2Hs

≤ Cs,δ[∥u∥Hη∥u∥Hη′∥∇u∥Hs + ∥b∥Hη∥b∥Hη′∥∇u∥Hs + ∥w∥Hη∥u∥Hη′∥∇w∥Hs

+ ∥u∥Hη∥w∥Hη′∥∇w∥Hs + ∥b∥Hη∥u∥Hη′∥∇b∥Hs + ∥u∥Hη∥b∥Hη′∥∇b∥Hs ], (3.44)

onde η := 12 + δ e η′ := s+ 1− δ. Aplicando agora o Lema 4.5 (ver Apendice), obtemos

1

2

d

dt∥(u,w,b)∥2

Hs + µ∥∇u∥2Hs + γ∥∇w∥2

Hs + ν∥∇b∥2Hs + κ∥∇ ·w∥2

Hs + χ∥w∥2Hs

≤ Cs,δ∥(u,w,b)∥Hη∥(u,w,b)∥Hη′∥(∇u,∇w,∇b∥Hs

≤ Cs,δ∥(u,w,b)∥H

12+δ∥(u,w,b)∥δ

Hs∥(∇u,∇w,∇b)∥2−δHs

. (3.45)

Seja α = min{µ, γ, ν}. Logo,

d

dt∥(u,w,b)∥2

Hs + 2α∥(∇u,∇w,∇b∥2Hs + 2κ∥∇ ·w∥2

Hs + 2χ∥w∥2Hs

≤ Cs,δ∥(u,w,b)∥H

12+δ∥(u,w,b)∥δ

Hs∥(∇u,∇w,∇b)∥2−δHs

.

Pela Desigualdade de Young, chegamos a

d

dt∥(u,w,b)∥2

Hs + α∥(∇u,∇w,∇b∥2Hs + 2κ∥∇ ·w∥2

Hs + 2χ∥w∥2Hs

≤ Cs,δ,µ,ν,γ α− 2−δ

δ ∥(u,w,b)∥2δ

H12+δ

∥(u,w,b)∥2Hs .

Em particular,

d

dt∥(u,w,b)∥2

Hs ≤ Cs,δ,µ,ν,γ α− 2−δ

δ ∥(u,w,b)∥2δ

H12+δ

∥(u,w,b)∥2Hs . (3.46)

Deste modo, pelo Lema de Gronwall, com 0 ≤ a ≤ t < T ∗, conclui-se

∥(u,w,b)(·, t)∥2Hs ≤ ∥(u,w,b)(·, a)∥2

Hs exp(Cs,δ,µ,ν,γ α

− 2−δδ

∫ t

a∥(u,w,b)(·, τ)∥

2δ

H12+δ

dτ). (3.47)

102

Notemos, em particular, que para s = s0(>32 > 1

2 + δ), temos∫ T ∗

a∥(u,w,b)(·, τ)∥

2δ

H12+δ

dτ = ∞, (3.48)

desde que lim supt↗T ∗

∥(u,w,b)(·, t)∥Hs0 = ∞, ver (3). Tambem temos, pelo Lema 4.4 (ver Apendice),

que

∥(u,w,b)(·, t)∥2δ

H12+δ

≤ ∥(u,w,b)(·, t)∥2(1−θ)

δ2 ∥(u,w,b)(·, t)∥

2θδ

Hs, ∀ t ∈ [0, T ∗),

onde θ := 1+2δ2s . Logo, por (3.47), infere-se

∥(u,w,b)(·, t)∥2δ

H12+δ

≤ ∥(u,w,b)(·, t)∥2(1−θ)

δ2 ∥(u,w,b)(·, a)∥

2θδ

Hs

× exp(Cs,δ,µ,ν,γ α

− 2−δδ

∫ t

a∥(u,w,b)(·, τ)∥

2δ

H12+δ

dτ).

Usando o Lema 3.1, podemos concluir que

∥(u,w,b)(·, t)∥2δ

H12+δ

exp(− Cs,δ,µ,ν,γ α

− 2−δδ

∫ t

a∥(u,w,b)(·, τ)∥

2δ

H12+δ

dτ)

≤ ∥(u,w,b)(·, a)∥2(1−θ)

δ2 ∥(u,w,b)(·, a)∥

2θδ

Hs. (3.49)

Integrando (3.49) em [a, T ] com T < T ∗, obtemos∫ T

a∥(u,w,b)(·, t)∥

2δ

H12+δ


− 2−δδ

∫ t

a∥(u,w,b)(·, τ)∥

2δ

H12+δ

dτ)dt

≤ ∥(u,w,b)(·, a)∥2(1−θ)

δ2 ∥(u,w,b)(·, a)∥

2θδ

Hs(T − a). (3.50)

Observemos que,

d

dtexp

(− Cs,δ,µ,ν,γ α

− 2−δδ

∫ t

a∥(u,w,b)(·, τ)∥

2δ

H12+δ

dτ)

= −Cs,δ,µ,ν,γ α− 2−δ

δ ∥(u,w,b)(·, t)∥2δ

H12+δ


− 2−δδ

∫ t

a∥(u,w,b)(·, τ)∥

2δ

H12+δ

dτ).

Reescrevendo (3.50) atraves do Teorema Fundamental do Calculo, obtemos

−α2−δδ

Cs,δ,µ,ν,γexp

(− Cs,δ,µ,ν,γ α

− 2−δδ

∫ t

a∥(u,w,b)(·, τ)∥

2δ

H12+δ

dτ)∣∣∣t=T

t=a

≤ ∥(u,w,b)(·, a)∥2(1−θ)

δ2 ∥(u,w,b)(·, a)∥

2θδ

Hs(T − a),

103

ou seja,

1− exp(− Cs,δ,µ,ν,γ α

− 2−δδ

∫ T

a∥(u,w,b)(·, τ)∥

2δ

H12+δ

dτ)

≤ Cs,δ,µ,ν,γ α− 2−δ

δ ∥(u,w,b)(·, a)∥2(1−θ)

δ2 ∥(u,w,b)(·, a)∥

2θδ

Hs(T − a).

Passando ao limite, quando T → T ∗, e usando (3.48), concluımos que

1 ≤ Cs,δ,µ,ν,γ α− 2−δ

δ ∥(u,w,b)(·, a)∥2(1−θ)

δ2 ∥(u,w,b)(·, a)∥

2θδ

Hs(T ∗ − a).

Portanto,

∥(u,w,b)(·, a)∥Hs∥(u,w,b)(·, a)∥1−θθ

2 ≥Cs,δ,µ,ν,γ α

2−δ2θ

(T ∗ − a)δ2θ

.

Por fim, como θ := 1+2δ2s , temos

∥(u,w,b)(·, t)∥Hs∥(u,w,b)(·, t)∥p(s,δ)2 ≥Cs,δ,µ,ν,γ α

q(s,δ)

(T ∗ − t)r(s,δ),

onde p(s, δ) = 2s1+δ − 1, q(s, δ) = s(2−δ)

1+2δ e r(s, δ) = sδ1+2δ . Isto completa a prova do Teorema 3.1.

Segue diretamente do Teorema 3.1 que se (u,w,b)(·, t) e a solucao de (1) definida no intervalo


supt∈[0,T ∗)

{∥(u,w,b)(·, t)∥Hs∥(u,w,b)(·, t)∥

2s1+2δ

−1

2

}= ∞,

para δ ∈ (0, 1) e s ≥ 12 + δ. Isto e equivalente a dizer que se o supremo acima fosse finito, entao a

solucao seria global no tempo.

Abaixo listamos algumas consequencias imediatas do Teorema 3.1. Uma destas implicacoes

e a Desigualdade de Leray para o sistema magneto-micropolar (1) (esta mesma desigualdade foi

provada, neste trabalho, no Teorema 2.4 para as equacoes MHD).

A primeira destas consequencias nos informa que

∥(u,w,b)(·, t)∥Hs ≥ C∥(u0,w0,b0)∥1−s2 (T ∗ − t)−

s4 , ∀ t ∈ [0, T ∗),

se (u,w,b)(·, t) e a solucao do sistema (1) em [0, T ∗) (T ∗ < ∞) e s ≥ 1 (ver Lema 3.1). Mais

precisamente, temos o seguinte corolario.

Corolario 3.2. Seja (u0,w0,b0) ∈ Hs0(R3), com s0 > 32 , tal que ∇ · u0 = ∇ · b0 = 0. Seja

104

(u,w,b)(·, t) ∈ C([0, T ∗), Hs(R3)) a solucao forte do sistema (1) definida no intervalo maximal

[0, T ∗). Se T ∗ < ∞, entao, para cada s ≥ 1, tem-se

∥(u,w,b)(·, t)∥Hs∥(u,w,b)(·, t)∥s−12 ≥ Cs,µ,ν,γ α

3s4 (T ∗ − t)−

s4 , ∀ t ∈ [0, T ∗), (3.51)

onde α = min{µ, ν, γ} e Cs,µ,ν,γ e uma constante positiva que depende somente de s, µ, ν e γ.

Demonstracao. Considere δ = 12(s ≥ 1) no Teorema 3.1. Assim, temos p(s, δ) = s− 1, q(s, δ) = 3s

4

e r(s, δ) = s4 . Consequentemente, pelo Teorema 3.1, encontramos

∥(u,w,b)(·, t)∥Hs∥(u,w,b)(·, t)∥s−12 ≥ Cs,µ,ν,γ α

3s4 (T ∗ − t)−

s4 , ∀ t ∈ [0, T ∗).

Isto completa a prova do resultado.

O Corolario abaixo estabelece que e possıvel estender a Desigualdade de Leray, encontrada em

[28], relacionada as equacoes de Navier-Stokes (5), para o sistema magneto-micropolar (1).

Corolario 3.3 (Desigualdade de Leray). Seja (u0,w0,b0) ∈ Hs0(R3), com s0 >32 , tal que ∇·u0 =

∇ · b0 = 0. Seja (u,w,b)(·, t) ∈ C([0, T ∗),Hs(R3)) a solucao forte do sistema (1) definida no

intervalo maximal [0, T ∗). Se T ∗ < ∞, entao

∥(Du, Dw, Db)(·, t)∥2 ≥ Cα34 (T ∗ − t)−

14 , ∀ t ∈ [0, T ∗),

onde α = min{µ, ν, γ} e C e uma constante positiva absoluta.

Demonstracao. A prova deste resultado segue diretamente por assumir s = 1 no Corolario 3.2, ja

que

∥(u,w,b)∥2H1 =

∫R3

|k|2|(u, w, b)|2 dk

=

∫R3

|(Du, Dw, Db)|2 dk

= ∥(Du, Dw, Db)∥22.

Considere novamente que (u,w,b)(·, t) e a solucao de (1) definida no intervalo de tempo [0, T ∗),

com T ∗ < ∞. O corolario abaixo nos mostra como e possıvel encontrar um limite inferior envolvendo

105

somente Espacos de Sobolev Homogeneos; mais especificamente, ∥(u,w,b)(·, t)∥Hs e maior ou igual

a C(T ∗ − t)14− s

2 , se t ∈ [0, T ∗) e 12 < s < 3

2 .

Corolario 3.4. Seja (u0,w0,b0) ∈ Hs0(R3), com s0 > 32 , tal que ∇ · u0 = ∇ · b0 = 0. Seja

(u,w,b)(·, t) ∈ C([0, T ∗), Hs(R3)) a solucao forte do sistema (1) definida no intervalo maximal

[0, T ∗). Se T ∗ < ∞, entao, para cada 12 < s < 3

2 , tem-se

∥(u,w,b)(·, t)∥Hs(R3) ≥ Cs,µ,ν,γ α54− s

2 (T ∗ − t)14− s

2 , ∀ t ∈ [0, T ∗),

onde α = min{µ, ν, γ} e Cs,µ,ν,γ e uma constante positiva que depende somente de s, µ, ν e γ.

Demonstracao. Considere δ = s− 12 no Teorema 3.1 em ordem a encontrar p(s, δ) = 0, q(s, δ) = 5

4−s2

e r(s, δ) = s2 −

14 . O resultado segue da substituicao de p(s, δ), q(s, δ) e r(s, δ) no Teorema 3.1.

3.2 Limite Inferior para ∥(u, w, b)(·, t)∥1

Neste secao, provaremos que se (u,w,b)(·, t) e a solucao de (1) no intervalo maximal de tempo

[0, T ∗), entao o seguinte limite de explosao e verdadeiro:

limt↗T ∗

∥(u, w, b)(·, t)∥1 = ∞,

se T ∗ < ∞. Mais geralmente, o resultado abaixo vale.


(u,w,b)(·, t) ∈ C([0, T ∗),Hs(R3)) e a solucao forte de (1), definida no intervalo maximal [0, T ∗).

Assuma que T ∗ < ∞. Entao,

∥(u, w, b)(·, t)∥1 ≥2√2α

12π

32

5√3

(T ∗ − t)−12 , ∀ t ∈ [0, T ∗), (3.52)

onde α = min{µ, ν, γ}.

Demonstracao. Seja q = p + 12 |b|

2. Aplicando a transformada de Fourier na primeira equacao do

sistema (1), obtemos

ut + (u · ∇u)∧ + ∇q = (µ+ χ)∆u+ (b · ∇b)∧ + χ∇ ×w.

106

Daı,

1

2∂t|u|2 =

1

2[ut · u+ u · ut]

= Re[−(u · ∇u)∧ · u− ∇q · u+ (µ+ χ)∆u · u+ (b · ∇b)∧ · u

+χ∇ ×w · u]. (3.53)

E facil ver que

∆u · u = −|k|2|u|2 = −|∇u|2. (3.54)

Notemos que,

− ∇q · u = −3∑

j=1

Djq uj = −3∑

j=1

ikj q uj

=

3∑j=1

q Djuj

= 0, (3.55)

pois u e livre de divergente. Alem disso,

∇ ×w · u = ik× w = w · ik× u = w · ∇ × u. (3.56)

Por aplicar (3.54), (3.55) e (3.56) em (3.53), obtemos

1

2∂t|u|2 = Re[−(u · ∇u)∧ · u− (µ+ χ)|∇u|2 + (b · ∇b)∧ · u+ χw · ∇ × u]. (3.57)

Agora, realizaremos o mesmo processo para a segunda equacao do sistema (1). Aplicando a trans-

formada de Fourier na segunda equacao do sistema (1), obtemos

wt + (u · ∇w)∧ = γ∆w + κ[∇(∇ ·w)]∧ + χ∇ × u− 2χw. (3.58)

Logo,

1

2∂t|w|2 =

1

2[wt · w + w · wt]

= Re[−(u · ∇w)∧ · w + γ∆w · w + κ[∇(∇ ·w)]∧ · w + χ∇ × u · w

− 2χw · w]. (3.59)

Sabemos que,

∆w · w = −|∇w|. (3.60)

107

Notemos que,

[∇(∇ ·w)]∧ · w =

3∑j=1

[Dj(∇ ·w)]∧ wj

= −3∑

j=1

∇ ·w Djwj

= −∇ ·w ∇ ·w

= −|∇ ·w|2. (3.61)

Assim, aplicando (3.60) e (3.61) em (3.59), obtemos

1

2∂t|w|2 = Re[−(u · ∇w)∧ · w − γ|∇w| − κ|∇ ·w|2 + χ∇ × u · w − 2χ|w|2]. (3.62)

Por fim, aplicando a transformada de Fourier na terceira equacao do sistema (1), temos

bt + (u · ∇b)∧ = ν∆b+ (b · ∇u)∧. (3.63)

Logo,

1

2∂t|b|2 =

1

2[bt · b+ b · bt]

= Re[−(u · ∇b)∧ · b+ ν∆b · b+ (b · ∇u)∧ · b]

= Re[−(u · ∇b)∧ · b− ν|∇b|2 + (b · ∇u)∧ · b]. (3.64)

Somando (3.57), (3.62) e (3.64), encontramos

1

2∂t|(u, w, b)|2 + (µ+ χ)|∇u|2 + γ|∇w|2 + ν|∇b|2 + κ|∇ ·w|2 + 2χ|w|2

= −Re[(u · ∇u)∧ · u] + Re[(b · ∇b)∧ · u]− Re[(u · ∇w)∧ · w] + χRe[w · ∇ × u]

−Re[(u · ∇b)∧ · b] + Re[(b · ∇u)∧ · b] + χRe[∇ × u · w]. (3.65)

Sabemos, pelas Desigualdades de Cauchy-Scharwz e Holder, que

|∇ × u · w| ≤ |∇ × u||w| = |k× u||w| = |∇u||w| ≤ 1

2|∇u|2 + 1

2|w|2, (3.66)

pois ∇ · u = 0. Substituindo a estimativa (3.66) em (3.65), obtemos

1

2∂t|(u, w, b)|2 + µ|∇u|2 + γ|∇w|2 + ν|∇b|2 + κ|∇ ·w|2 + χ|w|2

≤ |(u · ∇u)∧||u|+ |(b · ∇b)∧||u|+ |(u · ∇w)∧||w|+ |(u · ∇b)∧||b|+ |(b · ∇u)∧||b|.(3.67)

108

Para ϵ > 0 fixado, temos que

1

2∂t|(u, w, b)|2 =

√|(u, w, b)|2 + ϵ ∂t

(√|(u, w, b)|2 + ϵ

). (3.68)

Aplicando a igualdade (3.68) em (3.67), obtemos

∂t

(√|(u, w, b)|2 + ϵ

)+

α|(∇u, ∇w, ∇b)|2√|(u, w, b)|2 + ϵ

≤ [|(u · ∇u)∧|+ |(b · ∇b)∧|+ |(u · ∇w)∧|+ |(u · ∇b)∧|+ |(b · ∇u)∧|] |(u, w, b)|√|(u, w, b)|2 + ϵ

≤ |(u · ∇u)∧|+ |(b · ∇b)∧|+ |(u · ∇w)∧|+ |(u · ∇b)∧|+ |(b · ∇u)∧|, (3.69)

onde α = min{µ, ν, γ}. Fazendo ϵ → 0, encontramos

∂t|(u, w, b)|+ α|(∇u, ∇w, ∇b)|2

|(u, w, b)|≤ |(u · ∇u)∧|+ |(b · ∇b)∧|+ |(u · ∇w)∧|

+ | (u · ∇)b|+ | (b · ∇)u|. (3.70)

Observemos que,

|(∇u, ∇w, ∇b)|2

|(u, w, b)|=

|k|2|u|2 + |k|2|w|2 + |k|2|b|2

|(u, w, b)|= |k|2|(u, w, b)|

= |(∆u, ∆w, ∆b)|. (3.71)

Substituindo (3.71) em (3.70), concluımos que,

∂t|(u, w, b)|+ α|(∆u, ∆w, ∆b)| ≤ |(u · ∇u)∧|+ |(b · ∇b)∧|+ |(u · ∇w)∧|

+ |(u · ∇b)∧|+ |(b · ∇u)∧|. (3.72)

Agora, integrando (3.72) sobre R3, concluımos que,

∂t∥(u, w, b)∥1 + α∥(∆u, ∆w, ∆b)∥1 ≤∫R3

|(u · ∇u)∧| dk+

∫R3

|(b · ∇b)∧| dk

+

∫R3

|(u · ∇w)∧| dk+

∫R3

|(u · ∇b)∧| dk+

∫R3

|(b · ∇u)∧| dk. (3.73)

109

Note que

∫R3

|(u · ∇u)∧| dk =

∫R3

∣∣∣ 3∑j=1

ujDju∣∣∣ dk

=

∫R3

( 3∑l=1

∣∣∣ 3∑j=1

ujDjul

∣∣∣2) 12dk

≤∫R3

3∑l=1

∣∣∣ 3∑j=1

ujDjul

∣∣∣ dk≤

3∑l,j=1

∫R3

|ujDjul| dk.

Usando a igualdade

f ∗ g = (2π)32 fg, (3.74)

chegamos a

∫R3

|(u · ∇u)∧| dk ≤ (2π)−32

3∑l,j=1

∫R3

|uj ∗ Djul| dk

= (2π)−32

3∑l,j=1

∫R3

∣∣∣ ∫R3

uj(k− η)Djul(η) dη∣∣∣ dk

≤ (2π)−32

3∑l,j=1

∫R3

∫R3

|uj(k− η)||Djul(η)| dη dk

= (2π)−32

3∑l,j=1

∫R3

|uj | ∗ |Djul| dk.

Utilizando a Desigualdade de Young para convolucoes, temos

∫R3

|(u · ∇u)∧| dk ≤ (2π)−32

3∑l,j=1

∥uj∥1∥Djul∥1

≤ (2π)−32 ∥u∥1

3∑l,j=1

∥Djul∥1

= (2π)−32 ∥u∥1

3∑l,j=1

∫R3

|Djul| dk

110

= (2π)−32 ∥u∥1

3∑l,j=1

∫R3

|ikj ul| dk

= (2π)−32 ∥u∥1

3∑l,j=1

∫R3

|kj ||ul| dk

= (2π)−32 ∥u∥1

3∑l,j=1

∫R3

|kj ||ul|12 |ul|

12 dk.

Pela Desigualdade de Cauchy-Schwarz, encontramos

∫R3

|(u · ∇u)∧| dk ≤ (2π)−32 ∥u∥1

3∑l,j=1

(∫R3

|kj |2|ul| dk) 1

2(∫

R3

|ul| dk) 1

2

≤ (2π)−32 ∥u∥1

( 3∑l,j=1

∫R3

|kj |2|ul| dk) 1

2( 3∑

l,j=1

∫R3

|ul| dk) 1

2

≤√3(2π)−

32 ∥u∥1

( 3∑l=1

∫R3

|k|2|ul| dk) 1

2( 3∑

l=1

∫R3

|ul| dk) 1

2

≤√3(2π)−

32 ∥u∥1

( 3∑l=1

∫R3

|∆ul| dk) 1

2 ∥u∥121

=√3(2π)−

32 ∥u∥

321 ∥∆u∥

121

≤√3(2π)−

32 ∥(u, w, b)∥

321 ∥(∆u, ∆w, ∆b)∥

121 . (3.75)

Repetindo o mesmo processo, obtemos∫R3

|(b · ∇b)∧| dk ≤√3(2π)−

32 ∥b∥

321 ∥∆b∥

121

≤√3(2π)−

32 ∥(u, w, b)∥

321 ∥(∆u, ∆w, ∆b)∥

121 (3.76)

e tambem ∫R3

|(u · ∇w)∧| dk ≤√3(2π)−

32 ∥u∥1∥∆w∥

121 ∥w∥

121

≤√3(2π)−

32 ∥(u, w, b)∥

321 ∥(∆u, ∆w, ∆b)∥

121 . (3.77)

Analogamente, chegamos a∫R3

|(u · ∇b)∧| dk ≤√3(2π)−

32 ∥u∥1∥∆b∥

121 ∥b∥

121

≤√3(2π)−

32 ∥(u, w, b)∥

321 ∥(∆u, ∆w, ∆b)∥

121 (3.78)

111

e ∫R3

|(b · ∇u)∧| dk ≤√3(2π)−

32 ∥b∥1∥∆u∥

121 ∥u∥

121

≤√3(2π)−

32 ∥(u, w, b)∥

321 ∥(∆u, ∆w, ∆b)∥

121 . (3.79)

Aplicando as estimativas (3.75), (3.76), (3.77), (3.78) e (3.79) em (3.73), concluımos que

∂t∥(u, w, b)∥1 + α∥(∆u, ∆w, ∆b)(t)∥1 ≤ 5√3(2π)−

32 ∥(u, w, b)∥

321 ∥(∆u, ∆w, ∆b)∥

121 .

Utilizando a Desigualdade de Young,

∂t∥(u, w, b)∥1 +α

2∥(∆u, ∆w, ∆b)∥1 ≤

3

16π3α−1∥(u, w, b)∥31

Logo,

∂t∥(u, w, b)∥1 ≤75

16π3α−1∥(u, w, b)∥31. (3.80)

Seja β = 7516π3 . Para t0 ∈ [0, T ∗), consideremos v(t) a solucao do PVI{

v′(t) = βα−1v3(t);

v(t0) = ∥(u, w, b)(·, t0)∥1,(3.81)

Pelo metodo de separacao de variaveis para EDO’s, temos que

v(t)−2 = −2βα−1t− 2c.

Usando o dado inicial do PVI, obtemos

−2c = ∥(u, w, b)(·, t0)∥−21 + 2βα−1t0.

Assim,

v(t)−2 = ∥(u, w, b)(·, t0)∥−21 − 2βα−1(t− t0). (3.82)

Segue que, v(t) explode se

T ∗v = t0 +

α

2β∥(u, w, b)(·, t0)∥21.


∥(u, w, b)(·, t)∥1 ≤ v(t), ∀ 0 ≤ t < T ∗.

112

Daı, T ∗v ≤ T ∗. Com efeito, suponha por absurdo que T ∗ < T ∗

v . Como

(2π)−32 ∥(u,w,b)(·, t)∥∞ ≤ ∥(u, w, b)(·, t)∥1 ≤ v(t), ∀ 0 ≤ t < T ∗,

entao a solucao (u,w,b)(·, t) de (1) poderia ser continuada alem de T ∗ (ja que v(t) e limitada em

[0, T ∗)). Isto e um absurdo, pois T ∗ < ∞ e o tempo maximal de existencia desta solucao. Portanto,

∥(u, w, b)(·, t0)∥1 ≥(2βα

)− 12(T ∗ − t0)

− 12 , ∀ t0 ∈ [0, T ∗),

onde(2βα

)− 12= 2

√2α

12 π

32

5√3

. Isto prova o resultado em questao.

O Teorema 3.5 nos permite concluir que se (u,w,b)(·, t) e a solucao de (1) definida no intervalo


supt∈[0,T ∗)

∥(u, w, b)(·, t)∥1 = ∞.

3.3 Outro Limite Inferior Envolvendo ∥(u,w,b)(·, t)∥Hs, s > 32

Nesta secao, provaremos, para s > 32 , que

limt↗T ∗

∥(u,w,b)(·, t)∥2s3−1

2 ∥(u,w,b)(·, t)∥Hs = ∞,

se (u,w,b)(·, t) e a solucao de (1) definida no intervalo maximal de tempo [0, T ∗), com T ∗ < ∞.

Mais especificamente, estabeleceremos a cota inferior apresentada no teorema abaixo:


(u,w,b)(·, t) ∈ C([0, T ∗),Hs(R3)) e a solucao forte de (1), definida no intervalo maximal [0, T ∗).

Assuma que T ∗ < ∞. Entao, para cada s > 32 , temos que

∥(u,w,b)(·, t)∥2s3−1

2 ∥(u,w,b)(·, t)∥Hs ≥ Csαs3 (T ∗ − t)−

s3 , ∀ t ∈ [0, T ∗), (3.83)

onde α = min{µ, ν, γ} e Cs e uma constante positiva que depende somente de s.

113

Demonstracao. Pelo Lema 4.6 (ver Apendice), temos, para s > 32 ,

∥u∥1 ≤ Cs∥u∥1− 3

2s2 ∥u∥

32s

Hs

≤ Cs∥(u,w,b)∥1−32s

2 ∥(u,w,b)∥32s

Hs. (3.84)

Analogamente, tem-se

∥w∥1 ≤ Cs∥(u,w,b)∥1−32s

2 ∥(u,w,b)∥32s

Hs(3.85)

e tambem

∥b∥1 ≤ Cs∥(u,w,b)∥1−32s

2 ∥(u,w,b)∥32s

Hs. (3.86)

Dessa forma,

∥(u, w, b)∥1 ≤ Cs∥(u,w,b)∥1−32s

2 ∥(u,w,b)∥32s

Hs. (3.87)

Pelo Teorema 3.5, chegamos a

2√2α

12π

32

5√3

(T ∗ − t)−12 ≤ ∥(u, w, b)∥1

≤ Cs∥(u,w,b)∥1−32s

2 ∥(u,w,b)∥32s

Hs.

Logo, [2√2α12π

32

5√3

] 2s3(T ∗ − t)−

s3 ≤ C

2s3s ∥(u,w,b)∥

2s3(1− 3

2s)

2 ∥(u,w,b)∥Hs .

Portanto,

∥(u,w,b)(·, t)∥2s3−1

2 ∥(u,w,b)(·, t)∥Hs ≥ Csαs3 (T ∗ − t)−

s3 , ∀ t ∈ [0, T ∗).


Segue diretamente do Teorema 3.6 que se (u,w,b)(·, t) e a solucao forte de (1) em [0, T ∗), com

T ∗ < ∞, entao

supt∈[0,T ∗)

{∥(u,w,b)(·, t)∥

2s3−1

2 ∥(u,w,b)(·, t)∥Hs

}= ∞,

para s > 32 . Isto equivale a dizer que (u,w,b(·, t)) e solucao global no tempo de (1) se o supremo

acima e finito. E importante destacar tambem que o Teorema 3.6 e o Lema 3.1 nos permitem

114

concluir o seguinte limite inferior para esta mesma solucao (u,w,b)(·, t):

∥(u,w,b)(·, t)∥Hs ≥ Csαs3 ∥(u0,w0,b0)∥

1− 2s3

2 (T ∗ − t)−s3 , ∀ t ∈ [0, T ∗),

onde s > 32 e T ∗ < ∞.

115

Capıtulo 4

Apendice

Neste capıtulo, apresentaremos alguns lemas que foram aplicados nos Capıtulos 2 e 3 desta

dissertacao. Mais precisamente, exibiremos uma prova para cada um destes resultados. Entre

estes, podemos citar algumas estimativas de decaimento para a solucao da classica equacao do

calor e uma desigualdade do tipo Gronwall.

4.1 Resultados Basicos para o Capıtulo 2

Nesta secao, estabelecemos alguns resultados que estao presentes nas provas do Capıtulo 2.

Comecemos com uma desigualdade integral do tipo Gronwall. E importante destacar que o lema

abaixo foi aplicado no Corolario 2.3, no Teorema 2.2 e nas Proposicoes 2.2 e 2.5.

Lema 4.1. Sejam A ≥ 0, B > 0, 0 < ω < 1 e ϕ ∈ C0([0, T [) satisfazendo

0 ≤ ϕ(t) ≤ A+B

∫ t

0(t− s)−ωϕ(s) ds, ∀ 0 ≤ t < T. (4.1)

Entao, ϕ(t) ≤ CT , para todo 0 ≤ t < T, onde CT > 0 e uma constante positiva que depende somente

de A,B, ω e T .

Demonstracao. Primeiramente, escolha ϵ > 0 tal que∫ ϵ

0z−ω dz =

ϵ1−ω

1− ω≤ 1

2B. (4.2)

116

Assim sendo, considere t0 ∈ [0, t], com t ∈ [0, T ), tal que

ϕ(t0) = max0≤s≤t

ϕ(s).

Este maximo existe devido a continuidade de ϕ.

Analisemos dois casos:

Caso 1: Assuma que t0 ≥ ϵ.

Por aplicar (4.1), encontramos

ϕ(t0) ≤ A+B

∫ t0

0(t0 − s)−ωϕ(s) ds

= A+B

∫ t0−ϵ

0(t0 − s)−ωϕ(s)ds+B

∫ t0

t0−ϵ(t0 − s)−ωϕ(s) ds.

A primeira integral da ultima desigualdade acima pode ser estimada da seguinte maneira:∫ t0−ϵ

0(t0 − s)−ωϕ(s) ds ≤ ϵ−ω

∫ t0

0ϕ(s) ds.

Ja para a segunda integral, temos que∫ t0

t0−ϵ(t0 − s)−ωϕ(s) ds ≤

∫ t0

t0−ϵ(t0 − s)−ωϕ(t0) ds

= ϕ(t0)

∫ t0

t0−ϵ(t0 − s)−ω ds

= ϕ(t0) ·ϵ1−ω

1− ω

≤ ϕ(t0)

2B,

onde na ultima desigualdade usamos (4.2). Deste modo, podemos inferir

ϕ(t0) ≤ A+Bϵ−ω

∫ t0

0ϕ(s)ds+

1

2· ϕ(t0),


ϕ(t0) ≤ 2A+ 2Bϵ−ω

∫ t0

0ϕ(s) ds.

Assim, pela definicao de maximo, chegamos a

ϕ(t) ≤ 2A+ 2Bϵ−ω

∫ t0

0ϕ(s) ds, ∀ 0 ≤ t < T.

117

Caso 2: Assuma que 0 ≤ t0 ≤ ϵ.

Neste caso, por (4.2), obtemos

ϕ(t0) ≤ A+B

∫ t0

0(t0 − s)−ωϕ(s) ds

≤ A+B

∫ t0

0(t0 − s)−ωϕ(t0) ds

= A+Bϕ(t0)

∫ t0

0z−ω dz

≤ A+Bϕ(t0)

∫ ϵ

0z−ω dz

≤ A+1

2ϕ(t0).

Consequentemente, ϕ(t) ≤ ϕ(t0) ≤ 2A (ver definicao de t0). Com isso,

ϕ(t) ≤ 2A+ 2Bϵ−ω

∫ t

0ϕ(s) ds, ∀ 0 ≤ t < T.

Por fim, usando o Lema de Gronwall, obtemos, atraves dos dois casos relatados acima, que

ϕ(t) ≤ 2A exp(2Bϵ−ωt)

≤ 2A exp(2Bϵ−ωT ), ∀ 0 ≤ t < T.

Isto completa a prova do Lema 4.1.

O resultado a seguir e util na prova da Desigualdade de Leray obtida no Capıtulo 2 (ver Teorema

2.4).

Lema 4.2. Seja W ∈ C1([0, T )) uma funcao positiva satisfazendo a desigualdade

W ′(t) ≤ CW (t)ω, ∀ 0 ≤ t < T, (4.3)

onde ω > 1 e C > 0 sao constantes positivas. Se T < ∞ e sup0≤t<T W (t) = ∞, entao temos

W (t) ≥ 1

[C(ω − 1)]1

ω−1

(T − t)−1ω−1 , ∀ 0 ≤ t < T. (4.4)

118

Demonstracao. Sejam t0 ∈ [0, T ) arbitrario e v = v(t) a solucao para o problema de valor inicial{v′(t) = Cv(t)ω,

v(t0) = W0,

onde W0 := W (t0). E possıvel determinar v explicitamente aplicando o metodo de separacao de

variaveis para equacoes diferenciais ordinarias. Assim,

v(t) = W0[1− (ω − 1)C(t− t0)]Wω−10 ]−

1ω−1 .

Observe que, v(t) esta definido para todo t0 ≤ t < T∗ := t0 +1

C(ω−1)Wω−10

. Consequentemente, por

(1.39) e pela desigualdade (4.3), temos que

W (t) ≤ v(t), ∀ t0 ≤ t < T∗.

Note que, limt↗T∗ v(t) = ∞; alem disso, v(t) e limitada no intervalo [t0, T∗). Suponhamos, por

absurdo, que T < T∗. Consequentemente,

W (t) ≤ v(t), ∀ t0 ≤ t < T.

Isto implica que W (t) e limitada em [t0, T ). Como W (t) e contınua em [0, T ), entao terıamos W (t)

limitada em [0, t0] tambem. Mas, isto contradiz o fato que sup0≤t<T W (t) = ∞. Deste modo,

T∗ ≤ T , isto e,

t0 +1

C(ω − 1)Wω−10

≤ T,


W (t0) ≥[

1

C(ω − 1)

] 1ω−1

(T − t0)−1ω−1 .

Isto completa a prova do Lema 4.2.

O lema a seguir e utel na prova do Teorema 2.1.


Assuma que m ≥ j + 2. Entao,

∥(Dju, Djb)(·, t)∥∞ ≤ Cj(Jm(t) + J0(t)), ∀ t ∈ [0, T ∗),

onde Cj e uma constante positiva que depende somente de j.

119

Demonstracao. De fato, pela desigualdade (1.34), tem-se que

∥(Dju, Djb)∥2∞ ≤ Cj∥(Dju, Djb)∥2H2

= Cj

∑|α|≤2

∥(DαDju, DαDjb)∥22

≤ Cj(J2j (t) + J2

j+1(t) + J2j+2(t)).

Notemos que, pela desigualdade (1.22), ja que j + 2 > j, obtem-se

J2j (t) ≤ Cj(J

2j+2(t) + J2

0 (t)).

Alem disso,

J2j+1(t) ≤ Cj(J

2j+2(t) + J2

0 (t)),

pois j + 2 > j + 1. Assim,

∥(Dju, Djb)∥2∞ ≤ Cj(J2j+2(t) + J2

0 (t)).

Mas, pela desigualdade (1.22),

J2j+2(t) ≤ Cj(J

2m(t) + J2

0 (t)), ∀m ≥ j + 2.

Portanto,

∥(Dju, Djb)(·, t)∥2∞ ≤ Cj(J2m(t) + J2

0 (t)), ∀m ≥ j + 2,

para todo t ∈ [0, T ∗). Isto prova o resultado em questao.

4.2 Resultados Basicos para o Capıtulo 3

Nesta secao, demonstraremos alguns resultados que foram utilizados no Capıtulo 3 desta dis-

sertacao. Comecemos com dois resultados que desempenham papel importante na prova do Teorema

3.1.

Lema 4.4. Seja f ∈ L2(R3) ∩ Hs(R3), onde s ≥ 12 + δ, com δ > 0. Entao f ∈ H

12+δ(R3). Alem

disso, tem-se

∥f∥H

12+δ ≤ ∥f∥1−θ

2 ∥f∥θHs ,

onde θ = (12 + δ)1s ∈ (0, 1].

120

Demonstracao. Este resultado segue diretamente da Desigualdade de Holder e da Identidade de

Parseval. De fato, pela Desigualdade de Holder, temos que

∥f∥2H

12+δ

:=

∫R3

|k|2(12+δ)|f(k)|2 dk

=

∫R3

|k|1+2δ|f(k)|2θ|f(k)|2(1−θ) dk

≤(∫

R3

|k|2s|f(k)|2 dk)θ (∫

R3

|f(k)|2 dk)1−θ

=: ∥f∥θ2

Hs∥f∥

1−θ2

2 .

O resultado segue da Identidade de Parseval.

Lema 4.5. Seja f ∈ Hs(R3) tal que ∇f ∈ Hs(R3), onde s ≥ 12 + δ, com 0 < δ < 1. Entao,

f ∈ Hs+1−δ(R3). Alem disso,

∥f∥Hs+1−δ ≤ ∥f∥δHs∥∇f∥1−δ

Hs.

Demonstracao. Como |∇f | = |k||f |, entao, pela Desigualdade de Holder, segue que

∥f∥2Hs+1−δ =

∫R3

|k|2(s+1−δ)|f(k)|2 dk

=

∫R3

|k|2sδ|f(k)|2δ|k|2(s+1)(1−δ)|f(k)|2(1−δ) dk

≤(∫

R3

|k|2s|f(k)|2 dk)δ (∫

R3

|k|2s|k|2|f(k)|2 dk)1−δ

= ∥f∥2δHs∥∇f∥2(1−δ)

Hs.

Isto conclui a prova do Lema 4.5.

O Lema a seguir esta aplicado na demonstracao do Teorema 3.6.

Lema 4.6. Seja f ∈ L2(R3) ∩ Hs(R3), onde s > 32 . Entao, f ∈ L1(R3). Alem disso,

∥f∥1 ≤ Cs∥f∥1− 3

2s2 ∥f∥

32s

Hs, (4.5)

onde Cs e uma constante positiva que depende somente de s.

Demonstracao. Primeiramente, vamos provar a desigualdade abaixo.

∥f∥1 ≤ Cs∥f∥Hs . (4.6)

121

Com efeito, pela Desigualdade de Holder, temos que

∥f∥1 =

∫R3

(1 + |k|2)−s2 (1 + |k|2)

s2 |f | dk

≤(∫

R3

(1 + |k|2)−sdk) 1

2 ∥f∥Hs .

Assim, para mostrarmos (4.6), basta verificarmos que∫R3

(1 + |k|2)−sdk < ∞.

Notemos que, por coordenadas polares, encontramos∫R3

(1 + |k|2)−s dk =

∫ ∞

0(1 + r2)−s

∫Br[0]

dSdr

= C

∫ ∞

0(1 + r2)−sr2 dr

= C(∫ 1

0

r2

(1 + r2)sdr +

∫ ∞

1

r2

(1 + r2)sdr)

(4.7)

≤ C(Cs +

∫ ∞

1r2(1−s)dr

)= C

(Cs +

r2(1−s)+1

2(1− s) + 1

∣∣∣∞1

)= C

(Cs +

1

−1− 2(1− s)

)=: Cs,

onde s > 32 . Alem disso, a primeira integral em (4.7) e finita pois consideramos a integracao de

uma funcao contınua definida no compacto [0, 1]. Assim, (4.6) esta demonstrada.

Agora, utilizemos a desigualdade (4.6) e um argumento de escala do tipo g(x) = f(λx), com

λ > 0 a ser escolhido a seguir, para verificarmos (4.5). Observemos que, por uma simples mudanca

de variavel, concluımos

g(k) =1

(2π)32

∫R3

e−ix·kf(λx) dx

=1

λ3· 1

(2π)32

∫R3

e−i(yλ)·kf(y) dy

=1

λ3f(kλ

).

122

Consequentemente, podemos escrever

∥f∥1 =∫R3

|f(k)| dk =

∫R3

λ3|g(λk)| dk =

∫R3

|g(η)| dη = ∥g∥1. (4.8)

Utilizando (4.6) e (4.8), temos que

∥f∥1 ≤ Cs∥g∥Hs

=: Cs

(∫R3

(1 + |k|2)s|g(k)|2 dk) 1

2

= Cs

(∫R3

(1 + |k|2)s 1

λ6|f(kλ

)|2 dk

) 12

=Cs

λ32

(∫R3

(1 + λ2|η|2)s|f(η)| dη) 1

2

≤ Cs

(∫R3

( 1

λ3+ λ2s−3|η|2s

)|f(η)|2 dη

) 12

= Cs

( 1

λ3∥f∥22 + λ2s−3∥f∥2

Hs

) 12. (4.9)

Pela Identidade de Parseval, concluımos que

∥f∥1 ≤ Cs

( 1

λ3∥f∥22 + λ2s−3∥f∥2

Hs

) 12.

Escolhendo λ =(

32s−3

) 12s(

∥f∥2∥f∥Hs

) 1s> 0, encontramos

∥f∥1 ≤ Cs∥f∥1− 3

2s2 ∥f∥

32s

Hs.

Isto prova o resultado em questao.

A seguir estabeleceremos algumas estimativas para a solucao (e suas derivadas espaciais) de um

problema de valor inicial envolvendo a equacao do calor.

Consideremos o problema de Cauchy para equacao do calor ut = σ∆u, t > 0, x ∈ RN ,

u(x, 0) = u0(x), x ∈ RN .(4.10)

Aqui σ > 0 e u0 ∈ Lp0(RN ), para algum p0 ∈ [1,∞]. A solucao para (4.10) e dada por

u(x, t) =

∫RN

ϕ(x− y, t)u0(y)dy, (4.11)

123

onde

ϕ(x, t) :=

1

(4πt)N2e−

|x|24σt , se t > 0

0, se t < 0,

Alem disso,

Dαu(x, t) =

∫RN

Dαxϕ(x− y, t)u0(y) dy,

∫RN

ϕ(x, t) dx = σN2 e 0 < ϕ(x, t) ≤ (4πt)−

N2 , (4.12)

para todo t > 0 (ver [15]).

Comecemos estimando a solucao u(·, t) em funcao do dado inicial u0. Mais precisamente, o

seguinte decaimento e valido:

∥u(·, t)∥r ≤ C∥u0∥r, ∀ t > 0.

A prova da desigualdade acima esta estabelecida no lema abaixo, o qual e um fator importante na

prova do Teorema 2.5 e do Lema 2.3.

Lema 4.7. Seja u(·, t) a solucao do problema (4.10) definida no intervalo de tempo t > 0. Assuma

que 1 ≤ r ≤ ∞. Entao,

∥u(·, t)∥r ≤ σN2 ∥u0∥r, ∀ t > 0.

Demonstracao. Realizaremos esta prova em alguns casos.

Caso 1: Assuma que r = ∞.

Assim, usando (4.11) e (4.12), obtemos

|u(x, t)| ≤∫RN

ϕ(x− y, t)|u0(y)| dy ≤ ∥u0∥∞∫RN

ϕ(z, t) dz = σN2 ∥u0∥∞,

para x ∈ RN . Consequentemente, chegamos a

∥u(·, t)∥∞ ≤ σN2 ∥u0∥∞.

Caso 2: Considere que r = 1.

Dessa forma, por (4.11) e (4.12), encontramos

∥u(·, t)∥1 ≤∫RN

∫RN

ϕ(x− y, t)|u0(y)| dydx =

∫RN

ϕ(z, t) dz

∫RN

|u0(y)| dy = σN2 ∥u0∥1.

Caso 3: Por ultimo, assuma que 1 < r < ∞.

124

Dessa forma, pela Desigualdade de Holder, (4.11) e (4.12), obtemos

|u(x, t)| ≤∫RN

ϕ(x− y, t)|u0(y)| dy

≤(∫

RN

ϕ(x− y, t) dy) 1

r′(∫

RN

ϕ(x− y, t)|u0(y)|r dy) 1

r

= σN2r′(∫

RN

ϕ(x− y, t)|u0(y)|r dy) 1

r,

onde 1r +

1r′ = 1. Consequentemente, por (4.12), chegamos a

∥u(·, t)∥rr ≤ σNr2r′

∫RN

∫RN

ϕ(x− y, t)|u0(y)|r dydx

= σNr2r′

∫RN

ϕ(z, t) dz

∫RN

|u0(y)|r dy

= σNr2 ∥u0∥rr.

Portanto,

∥u(·, t)∥r ≤ σN2 ∥u0∥r, ∀ t > 0.

A seguir provaremos o seguinte limite de decaimento:

limt→∞

∥u(·, t)∥∞ = 0.

onde u(·, t) e solucao do problema (4.10).


que 1 ≤ r < ∞. Entao,

∥u(·, t)∥∞ ≤ (4πt)−N2r σ

N2r′ ∥u0∥r, ∀ t > 0.

Demonstracao. Faremos esta demonstracao em dois casos:

Caso 1: Considere que r = 1.

Assim, por (4.11) e (4.12), temos

|u(x, t)| ≤∫RN

ϕ(x− y, t)|u0(y)| dy ≤ (4πt)−N2 ∥u0∥1,

125

para x ∈ RN . Portanto, podemos escrever

∥u(·, t)∥∞ ≤ (4πt)−N2 ∥u0∥1.

Caso 2: Assuma que 1 < r < ∞.

Usando a Desigualdade de Holder, (4.11) e (4.12), segue que

|u(x, t)| ≤∫RN

ϕ(x− y, t)|u0(y)| dy

=

∫RN

ϕ(x− y, t)1r′ ϕ(x− y, t)

1r |u0(y)| dy

≤ (4πt)−N2r

∫RN

ϕ(x− y, t)1r′ |u0(y)| dy

≤ (4πt)−N2r

(∫RN

ϕ(x− y, t) dy) 1

r′(∫

RN

|u0(y)|r dy) 1

r

= (4πt)−N2r σ

N2r′ ∥u0∥r,

onde 1r +

1r′ = 1 e x ∈ RN . Portanto, o resultado em questao segue.

O lema a seguir alem de generalizar os dois lemas anteriores tambem garante que limt→∞

∥u(·, t)∥q =0, para todo q > 1.


que 1 ≤ r ≤ q ≤ ∞. Entao,

∥u(·, t)∥q ≤ (4πt)−λσN2[ 1r′+

1q]∥u0∥r, ∀ t > 0,

onde λ = N2

[1r −

1q

].

Demonstracao. O caso q = ∞ segue diretamente do Lema 4.8. Para 1 ≤ r ≤ q < ∞, aplique os

Lemas 4.7 e 4.8, em ordem a obter

∥u(·, t)∥qq =

∫RN

|u(x, t)|q−r|u(x, t)|r dx

≤ ∥u(·, t)∥q−r∞ ∥u(·, t)∥rr

≤ (4πt)−N2r

(q−r)σN2r′ (q−r)∥u0∥q−r

r σN2·r∥u0∥rr

= (4πt)−N2 (

qr−1)σ

N2 (

qr′+1)∥u0∥qr

126

Portanto,

∥u(·, t)∥q ≤ (4πt)−λσN2

[1r′+

1q

]∥u0∥r,

para todo t > 0 e λ = N2

[1r −

1q

].

Agora estamos interessados em encontrar estimativas semelhantes as obtidas nos tres lemas

anteriores para as derivadas espaciais da solucao u(·, t) de (4.10).

Primeiramente, definamos

g(z) = e−|z|24 .

Notemos que,

Dαg(z) = pα(z)g(z),

onde pα(z) e um polinomio. Assim,

Dαg(z) → 0 quando |z| → ∞.

Portanto, Dαg(z) e uma funcao limitada. Alem disso,∫RN

|Dαg(z)| dz = Cα,N < ∞,

onde Cα,N e uma constante positiva que depende somente do multi-ındice α e N ; e tambem

ϕ(x, t) = (4πt)−N2 e−

|x|24σt = (4πt)−

N2 g( x√

σt

), ∀ t > 0.

Logo,

Dαϕ(x, t) = (4πt)−N2 Dαg

( x√σt

)( 1√σt

)|α|e |Dαϕ(x, t)| ≤ Cα,Nσ− |α|

2 t−N2− |α|

2 .

Consequentemente, podemos escrever∫RN

|Dαϕ(x, t)| dx = (4πt)−N2 (σt)−

|α|2

∫RN

∣∣∣Dαg( x√

σt

)∣∣∣ dx= (4πt)−

N2 (σt)−

|α|2 (σt)

N2

∫RN

|Dαg(z)| dz

= (4πt)−N2 (σt)−

|α|2+N

2 Cα,N

= Cα,NσN−|α|

2 t−|α|2 .

127

Se u(·, t) e a solucao do problema (4.10) definida para todo tempo, entao podemos provar que

limt→∞

∥Dαu(·, t)∥r = 0, ∀ 1 ≤ r ≤ ∞,

fornecido que |α| > 0. Tal limite segue do resultado abaixo.


que 1 ≤ r ≤ ∞. Entao,

∥Dαu(·, t)∥r ≤ Cα,NσN2− |α|

2 t−|α|2 ∥u0∥r, ∀ t > 0,

onde Cα,N e uma constante positiva que depende somente do multi-ındice α e N.

Demonstracao. Para r = ∞, temos que

|Dαu(x, t)| ≤∫RN

|Dαϕ(x− y, t)||u0(y)| dy

≤ ∥u0∥∞∫RN

|Dαϕ(z, t)| dz

= Cα,NσN−|α|

2 t−|α|2 ∥u0∥∞,

para x ∈ RN . Logo,

∥Dαu(·, t)∥∞ ≤ Cα,NσN−|α|

2 t−|α|2 ∥u0∥∞.

Para r = 1, encontramos

∥Dαu(·, t)∥1 ≤∫RN

∫RN

|Dαϕ(x− y, t)||u0(y)| dydx

=

∫RN

|Dαϕ(z, t)| dz∫RN

|u0(y)| dy

≤ Cα,NσN−|α|

2 t−|α|2 ∥u0∥1.

Por ultimo, para 1 < r < ∞, pela Desigualdade de Holder, obtemos



≤(∫

RN

|Dαϕ(x− y, t)| dy) 1

r′(∫

RN

|Dαϕ(x− y, t)||u0(y)|r dy) 1

r

= C1r′α,Nσ

N−|α|2r′ t−

|α|2r′(∫

RN

|Dαϕ(x− y, t)||u0(y)|r dy) 1

r,

128

onde 1r +

1r′ = 1. Daı,

∥Dαu(·, t)∥rr ≤ Crr′α,Nσ

N−|α|2

· rr′ t−

|α|2· rr′

∫RN

∫RN

|Dαϕ(x− y, t)||u0(y)|r dydx

= Crr′α,Nσ

N−|α|2

· rr′ t−

|α|2· rr′

∫RN

|Dαϕ(z, t)| dz∫RN

|u0(y)|r dy

≤ Crr′α,Nσ

N−|α|2

· rr′ t−

|α|2· rr′ Cα,Nσ

N−|α|2 t−

|α|2 ∥u0∥rr

= Crα,Nσ

N−|α|2

·rt−|α|2·r∥u0∥rr.

O resultado segue.

O lema a seguir estabelece uma estimativa de dacaimento para a norma-L∞ de qualquer derivada

espacial de uma solucao de (4.10).


que 1 ≤ r < ∞. Entao,

∥Dαu(·, t)∥∞ ≤ Cα,NσN2r′−

|α|2 t−

N2r

− |α|2 ∥u0∥r, ∀ t > 0,

onde Cα,N e uma constante positiva que depende somente do multi-ındice α e N.

Demonstracao. Para r = 1, temos



≤ Cα,Nσ− |α|2 t−

N2− |α|

2

∫RN

|u0(y)| dy

= Cα,Nσ− |α|2 t−

N2− |α|

2 ∥u0∥1,

para x ∈ RN . Assim,

∥Dαu(·, t)∥∞ ≤ Cα,Nσ− |α|2 t−

N2− |α|

2 ∥u0∥1.

129

Para 1 < r < ∞, pela Desigualdade de Holder, segue que



=

∫RN

|Dαϕ(x− y, t)|1r′ |Dαϕ(x− y, t)|

1r |u0(y)| dy

≤ C1rα,Nσ− |α|

2· 1r t(−

N2− |α|

2) 1r

∫RN

|Dαϕ(x− y, t)|1r′ |u0(y)| dy

≤ C1rα,Nσ− |α|

2· 1r t(−

N2− |α|

2) 1r

(∫RN

|Dαϕ(x− y, t)| dy) 1

r′(∫

RN

|u0(y)|r dy) 1

r

= Cα,NσN2r′−

|α|2 t−

N2r

− |α|2 ∥u0∥r,

para x ∈ RN . Dessa forma, o resultado em questao segue.

O lema abaixo, alem de generalizar os Lemas 4.10 e 4.11, esta aplicado no Teorema 2.5 e no

Lema 2.3.


que 1 ≤ r ≤ q ≤ ∞. Entao,

∥Dαu(·, t)∥q ≤ Cα,NσN2

[1r′+

1q

]− |α|

2 t−λ− |α|2 ∥u0∥r, ∀ t > 0,

onde λ = N2

[1r −

1q

]e Cα,N e uma constante positiva que depende somente do multi-ındice α e N.

Demonstracao. O caso q = ∞ segue diretamente do Lema 4.11. Para 1 ≤ r ≤ q < ∞, pelos Lemas

4.10 e 4.11, segue que

∥Dαu(·, t)∥qq ≤∫RN

|Dαu(x, t)|q−r|Dαu(x, t)|r dx

≤ ∥Dαu(·, t)∥q−r∞ ∥Dαu(·, t)∥rr

≤ Cq−rα,Nσ

(N2r′−

|α|2

)(q−r)

t

(−N

2r− |α|

2

)(q−r)∥u0∥q−r

r Crα,Nσ

(N2− |α|

2

)rt−

|α|r2 ∥u0∥rr

= Cqα,Nσ

N2 (

q−rr′ +r)− |α|q

2 t−Nq2r

+N2− |α|

2q∥u0∥qr

Portanto,

∥Dαu(·, t)∥q ≤ Cα,NσN2

[1r′+

1q

]− |α|

2 t−λ− |α|2 ∥u0∥r,

para todo t > 0 e λ = N2

[1r −

1q

].

130

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