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Propriedades Ondulatórias da matéria1824 → Postulado de de Broglie:

A luz que apresenta fenômenos como difração e interferência tem também propriedades que só podem ser interpretadas como se ela fosse tratada como um conjunto de corpúsculos (energia, momento linear)

comportamento dual → Dualidade onda-partícula Se aplica também a matéria:

Fóton → tem associado uma onda luminosa que governa seu movimentoPartícula → tem associado uma onda de matéria

Matéria e radiação tem energia total E

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Fótons

Por simetria de Broglie, postulou que: Matéria

Onde λ é o comprimento de onda de de Broglie de uma onda de matéria associada ao movimento de uma partícula material que tem momento p É como no caso da ótica: geométrica e física.Geométrica ⇒ raios (trajetórias)Física ⇒ ondas (interferência, difração, ...)

hE =ν

λν hc

h===

cE p h E ν=

ph =λ

Se λ << a ou λ >> a ⇒ geométrica.Se λ ~ a ⇒ física.

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Corpos macroscópicos ⇒ massa ⇒ momento ⇒ λ pequeno

Objeto de massa de 1 kg com v=10 m/s ⇒ λ = h/mv = 6,6 x 10-34 J.s/10 kg.m/s⇒ λ = 6,6 x 10-35 m = 6,6 x 10-20 fm.

Elétron Qual é o comprimento de onda associado, se este possui energia cinética de 100 eV:

Exemplo:

Α====== 2.112,0)(100.10.5.2

24,122

252

nmeV

keVnmEmc

hcmEh

phλ

E impossível de ser observado

Comprimento de onda parecido como de raios-X

típicos

Propriedades ondulatórias dos e-

podem ser observadas semelhantemente ao efeitos de

difração e interferência parecido como os raios-X

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1927 Davisson e Germer (USA) e G. Thomson (Escócia):• difração de elétrons (feixe de e- acelerados incidem em

um monocristal

Testes experimentais da hipótese de de Broglie

Ee = 54 eV

Potencial faz com que os e- sejam emitidos com E

(eV)

A existência deste pico mostra qualitativamente o

postulado de de Broglie pois só pode ser explicado com

uma interferência construtiva de ondas espalhadas

E a energia que tem corrente máxima no

detector

2cossen2

Máximo ϕθλ ==⇒

d

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G.P. Thomson Nobel em 1937

Difração de feixe de elétrons

Semelhantes experimentos com feixes de prótons, nêutrons e mesmo átomos apresentam o mesmo fenômeno de difração mostrando que as relações de deBroglie são universais.

O pai G. Thomson ganhou o Nobel por ter descoberto e- e ter caracterizado-o como partícula. E o filho ganhou o Nobel por mostrar que o e- é uma onda

Medidas com raios-X ⇒ d = 0,091 nmMáximo em ϕ = 50o⇒λ= 2dcosϕ/2 = 2x0,091x0,906 = 0,165 nmMas nm

eVkeVnm

Emchc

mKh

ph 168,0

)(54.10.5.224,1

22

252≈====λ

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Caso relativístico• Para se determinar uma expressão equivalente que se aplique tanto as

partículas relativísticas como não-relativísticas:

( ) ( )2222 mcpcE += 02 Emc =

Energia de repouso da partícula

KEEE += 0

Energia total ( ) ( ) ( )2

022

0 EpcEE K +=+

( )c

EEEp KK2/12

02 +=

( ) 2/1202

KK EEE

hcph

+==λ Aplicável a qualquer

partícula com qualquer energia

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Associaremos uma função de onda que representa a onda de de Broglie

Função de onda

que é solução da equação de onda

Uma solução simples é a chamada onda harmônica

Cujo no de onda

),( txΨ

2

2

22

2 1tvx ∂Ψ∂

=∂

Ψ∂

v é a velocidade

de fase

( ) )(cos, vtxkAtx −=Ψ( ) )(, vtxAsenktx −=Ψ

λπ2

=k ( ) )cos(, wtkxAtx −=ΨCurva que viaja na

direção de x positivo

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Partícula ↔ onda localizada (pacote de onda).Como produzir um pacote?

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Soma de 2 ondas

kmwm

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( ) ( )txktkxAtx ωω −∆−∆=Ψ+Ψ=Ψ cos21cos2),( 21

( ) ( )tvxktk

xktkx g−∆=

∆∆

−∆=∆−∆21

21

21 ωω

amplitude (envelope)

velocidade de grupo

Podemos interpretar a onda soma como sendo um envelope que modula lentamente uma onda com k e w médios

A velocidade de propagação das ondas individuais vf=w/k

A velocidade de propagação do grupo

dkdvgω

=

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• Para o postulado de de Broglie

ων h== hE

222

2 vmp

mpp

pE

kv f =====

h

h

ω

khh==

λ p

( )( ) v

mp

dpdE

kdd

dkdvg =====

h

hωω

• A velocidade de fase não corresponde a velocidade da partícula

2mp E

2

=

• O pacote de onda se propaga com velocidade do elétron

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( ) ( ) πωω =∆−∆−∆−∆ tkxtkx 12 21

21

( ) π212 =∆∆=−∆ xkxxk

A incerteza ∆x nesta localização

corresponde a distância entre dois nulos consecutivos

do envoltório

Isto mostra que quanto mais tentamos localizar a partícula no espaço ∆x, maior

será o numero de ondas utilizado para a construção do pacote

Para um dado instante a distância entre dois nulos consecutivos será:

π2=∆∆ twe

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A integral de FourierPara construir um pacote de ondas realmente

localizado como um pulso gaussiano devemos somar um no infinito de

ondas

21

=kxσσ

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O princípio da incertezaWerner Heisenberg, 1927:medidas simultâneas de posição e momento conjugados (x e px, por exemplo) apresentam uma relação entre suas incertezas dada por ∆x∆px ≥ ħ/2.

ED

Um feixe de luz incide sobreum anteparo com duas fendas E e D

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Interferência• A luz ao atravessar duas

fendas em um anteparo apresenta um padrão de interferência como o das ondas na superfície da água.

• A luz apresenta também aquelas outras propriedades (superposição, reflexão, refração, ...) ⇒ fenômeno ondulatório.

• Mas...

I DI E

I ED

I D

E D

Detectoresde luz

Fonte deluz

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FótonsFotografias com tempos de

exposição diferentes dão indicações do comportamento corpuscular da luz.

Aumentando o tempo de exposição, a figura da moça fica mais nítida.Luz: onda ou partícula?

G.I. Taylor: fenda dupla com fótons. Muitos juntos ⇒ interferência. Um de cada vez ⇒⇒ interferência. Portanto a interferência ocorre entre partes da onda de 1 partícula.

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Partículas (grandes)

• Um spray é usado para jogar tinta sobre um anteparo coberto por papel.

Spray

Fenda EFenda D

Papel

E D

P E

DE

P DP E

D

DE

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Elétrons e ondasHipóteses:

• Os elétrons dividem-se em dois e essas metades passam pelas fendas.

• Os elétrons do feixe ao atingirem as fendas, interagem e produzem esse padrão coletivo de interferência.

O que precisamos é saber por onde o elétron passou.

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Observando elétrons• Fácil: é só marcar por

qual fenda o elétron passou.

• Isto pode ser feito usando uma fonte de fótons após o anteparo.

P ED??

E e

Dab

erta

s

Fonte deElétrons

Fonte deFótons

Detectoresde fótons

Detectoresde elétrons

P DP E

DD

EE

DEMAS ....

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Tentar observar (hipoteticamente) um 1 e- num microscópioiluminando-o com 1 fóton

2sen2sen2 h

>=

≈∆∆ hhxpx θ

λθλ

ex

x

phpp

ppp

∆===∆⇒

⇒≤≤−

θλ

θ

θθ

sen2sen2

sensen :Fóton

Microscópio: limite na definição da imagem devido à difração ⇒ poder de resolução (∆x)

θλ

sen2=∆x

Portanto:

Se ∆x diminui ⇒ ∆px aumenta. Por ex.: λ↓ ⇒ ∆x↓ ⇒ ∆px↑

θ

px

p

px

Esta análise mostra que o princípio de incerteza é uma

imposição da natureza