Prova 2 MA-602 Analise II 1/6/2009 (=32/5/2009)Nome:

RA:

Escolha 5 questoes

1. Dada uma funcao limitada e integravel f : [a, b] R, seja xn uma sequenciaem [a, b] e defina a sequencia de funcoes fn : [a, b] R por

fn (x) =

{ xaf se x xn xn

af se x > xn.

Mostre que se lim xn = b entao fnu F , onde F (x) = x

af , x [a, b].

Solucao: Para todo n vale

|fn (x) F (x)| ={

0 se x xn xxn f se x > xn.Assim, se x > xn entao |fn (x) F (x)|

xxn|f | e em qualquer caso, isto e,

para todo x, vale a desigualdade

|fn (x) F (x)| bxn

|f | supx[a,b]

|f | |b xn| = ||f || |b xn| .

Dessa forma, dado > 0, seja seja n0 N tal que se n n0 entao |b xn| 0, contradizendo a

hipotese. (Essa ultima implicacao e o enunciado do exerccio 14 da lista 4.Veja tambem o exerccio 3 da prova 1.)

1

Agora, tome = min {|f (x1)| , |f (x2)|} > 0 e suponha, para fixar as ideias,que f (x1) > 0 e f (x2) < 0. Como fn

u f , existe n0 N tal que sen n0 entao para todo x [a, b], |fn (x) f (x)| < . Em particular,|fn (x1) f (x1)| < e |fn (x2) f (x2)| < . Da que f (x1) fn (x1) < e fn (x2) f (x2) < , isto e,

fn (x1) > f (x1) > 0 fn (x2) < f (x2) + < 0pela escolha de > 0. Como isso vale para todo n n0, segue que para essesvalores de n, fn (x1) fn (x2) < 0.

3. Seja f : (0, 1) R a funcao definida por f (x) = 1x. Mostre que nao existe

uma sequencia de polinomios pn tal que pnu f em (0, 1) (isto e, nao tem

convergencia uniforme das restricoes fn de pn a (0, 1)).

Solucao: Suponha por absurdo que exista uma sequencia pn de polinomioscomo no enunciado. Entao, existe n0 N tal que para todo n n0 e todo x (0, 1), vale

pn (x) 1x < 1 (isso pela definicao, com = 1). Em particular,pn0 (x) 1x

< 1, isto e, para todo x (0, 1) valem as desigualdades0 |xpn0 (x) 1| < |x| .

Como existe limx0 |x| = 0, segue que limx0 |xpn0 (x) 1| = 0, o que implicaque limx0 xpn0 (x) = 1. Mas isso nao pode acontecer uma vez que q (x) =xpn0 (x) e um polinomio e, portanto, limx0 q (x) = q (0) = 0pn0 (0) = 0.

4. Denote por C [0, 1] o conjunto das funcoes contnuas f : [0, 1] R. Definaa funcao I : C [0, 1] R por I (f) = 1

0f . Mostre que I e contnua em

toda f0 C [0, 1], no seguinte sentido: > 0, > 0, ||f f0|| < |I (f) I (f0)| < . (Notacao: ||f || = supx[0,1] |f (x)|.)

Solucao: Dado > 0 tome = > 0. Se ||f f0|| < entao,

|I (f) I (f0)| = 1

0

(f f0) 1

0

|f f0| 10

||f f0|| = ||f f0|| < = .

5. Seja f : R R uma funcao analtica tal que para todo n 0, f (n) (0) =f (n) (1). Mostre que f e limitada.

Solucao: Considere a funcao g : R R definida por g (x) = f (x+ 1), quee analtica por ser composta de funcoes analticas. Derivando sucessivamente,

2

se obtem g(n) (x) = f (n) (x+ 1), que vale para todo x R. Em particular,g(n) (0) = f (n) (1), que por sua vez e f (n) (0), pela hipotese. Isto e, para todon 0, g(n) (0) = f (n) (0), o que implica que g = f . Isso significa que para todox R, f (x) = f (x+ 1), isto e, f e periodica de perodo 1. Isso garante quef e limitada. De fato, mostra-se por inducao que se n e um inteiro positivoentao f (x+ n) = f (x) e como f (x n) = f ((x n) + n) = f (x) segue quen Z, f (x+ n) = f (x). Por outro lado, a restricao de f a [0, 1] e limitadapois [0, 1] e um intervalo compacto e f e contnua. Portanto, existe M > 0tal que para todo t [0, 1], |f (t)| < M . Agora, dado x R existem n Z et [0, 1] tal que x = n + t. Entao, |f (x)| = |f (n+ t)| = |f (t)|, mostrandoque f e limitada.

6. Suponha que f : (r, r) R e uma funcao analtica definida no inter-valo (r, r), r > 0, que satisfaz as seguintes relacoes para todo n 0:f (4n) (0) = f (4n+2) (0) = 0, f (4n+1) (0) = 1 e f (4n+3) (0) = 1. Mostre asseguintes propriedades: (i) Existe uma funcao analtica g : R R tal quex (r, r), g (x) = f (x); (ii) g = g.

Solucao: Da expressao dada para as derivadas f (k) (0), segue que a serie deTaylor de f em 0 e

n0

(1)2n+1(2n+ 1)!

x2n+1 = x 13!x3 +

1

5!x5 1

7!x7 +

O raio de convergencia desta serie e (como pode ser visto aplicando o testeda raiz, ou nesse caso o da razao e serie dos termos mpares apenas, ja queexiste o limite da razao).

(i) Defina g : R R por g (x) =n0 (1)2n+1(2n+1)! x2n+1, o que e bem definido poisa serie converge em toda a reta real. Como g e a soma de serie de potenciasconvergente, g e analtica. Alem do mais, g coincide com f numa vizinhancade 0 portanto g e f coincidem em todo intervalo (r, r).(ii) A serie de Taylor em 0 de g e x+ 1

3!x3 1

5!x5+ 1

7!x7 , que e o negativo

da serie de Taylor da g. Como g tambem e analtica segue que g = g.7. Seja f : R R uma funcao analtica que satisfaz x, y R, f (x+ y) =

f (x) f (y) e f (0) = 1. Mostre que x R, f (x) > 0. (Sugestao: derive aigualdade f (x+ y) = f (x) f (y).)

Solucao: Fixa x e deriva f (x+ y) = f (x) f (y) para obter f (x+ y) =f (x) f (y). Como f (0) = 1, pondo y = 0 fica a igualdade f (x) = f (x),que vale para todo x R. Em particular, f (0) = f (0) = 1. Da, como

3

no exerccio (12iii) da lista 8, x R, f (x) 6= 0, pois se existisse x0 tal quef (x0) = 0 entao todas as derivadas f

(n) (x0) = 0, o que implicaria que f = 0,contradizendo o fato de que f (0) = 1. Portanto, f nao muda de sinal (pois econtnua) e como f (0) = 1 segue que x R, f (x) > 0.

8. Para cada uma das afirmacoes a seguir diga se e verdadeira ou falsa. No casoverdadeiro apresente uma justificativa e no falso, um contra-exemplo.

(Escolha 3 subtens desta questao.)

(a) Se a serie de funcoes

n1 fn, fn : D R, converge uniformemente entaoa sequencia fn converge uniformemente para a funcao nula: fn

u 0.(b) Se f : R R e uma funcao analtica tal que o conjunto f1{1} = {x

R : f (x) = 1} nao e enumeravel entao f e constante.(c) Se p (x) = a0+a1x+ +akxk e um polonomio entao a serie

n0

1

n!(p (x))n

converge para todo x R.(d) Se f : R R e uma funcao C tal que para todo x0, a serie de Taylor

n0f (n)(x0)

n!xn em x0 tem raio de convergencia > 0 entao f e analtica.

(e) Se f : (a, b) R e uma funcao analtica tal que para todo n 1,f (a+ 1/n) = 0 entao f e identicamente nula.

Solucao:

(a) Verdadeiro. Se sn e a sequencia das somas parciais da serie entao snconverge uniformemente, portanto fn = sn sn1 u 0.

(b) Verdadeiro, na verdade f e constante = 1. Um conjunto nao enumeravelde R tem pontos que nao sao isolados. Portanto, a funcao analticaf (x) 1 tem zeros nao isolados, o que implica que ela e identicamentenula, isto e, f e constante igual a 1.

(c) Verdadeiro. A serie potencias

n01

n!xn converge para todo x R

definindo a funcao analtica f : R R, f (x) = n0 1n!xn. Entao, acomposta f (p (x)) =

n0

1

n!(p (x))n e analtica e a serie converge para

todo x R.(d) Falso. Para ser analtica e necessario que alem do mais a serie de potencias

convirga para f . Um contra-exemplo e a funcao

f (x) =

{0 se x 0e1/x se x > 0.

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(e) Falso. Por exemplo a funcao analtica f (0, 1) R definida por f (x) =senpi

xsatisfaz a condicao, mas nao e identicamente nula.

9. De, se possvel, exemplos para cada uma das situacoes a seguir. Justifique osexemplos e, caso nao exista um exemplo, forneca uma demonstracao.

(Escolha 3 subtens desta questao.)

(a) Uma sequencia de funcoes integraveis fn : [a, b] R que converge pon-tualmente a` funcao integravel f : [a, b] R e tal que a sequencia dasintegrais

bafn nao converge para

baf .

(b) Uma sequencia de funcoes derivaveis fn : (a, b) R que converge uni-formemente fn

u f e tal que a sequencia das derivadas f n convergeuniformemente e, no entanto, fn (x) nao converge para nenhum valor dex (a, b).

(c) Uma serie de potencias que nao converge uniformemente em seu intervalode convergencia.

(d) Um subconjunto C R tal que a funcao caracterstica C (isto e,C (x) = 1 se x C e C (x) = 0 se x / C) e analtica.

(e) Uma funcao analtica f : R R limitada (superiormente e inferiormente)e nao constante tal que para algum nn0 N, f (n) (1) = 0 se n n0.

Solucao:

(a) Seja fn : [0, 1] R definida por

fn (x) =

{n se x 1/n0 se x > 1/n.

Entao, 10fn =

1n n = 1. No entanto, fn converge pontualmente a f = 0

e 10f = 0.

(b) Nao existe exemplo, pois se f converge uniformemente entao f convergepontualmente.

O exerccio pretendido, na verdade, era

Uma sequencia de funcoes derivaveis fn : (a, b) R tal que a sequenciadas derivadas f n converge uniformemente e, no entanto, fn (x) nao con-verge para nenhum valor de x (a, b).Nesse caso o exemplo e fn constante igual a n.

5

(c) ex =

n01

n!xn. O intervalo de convergencia e (,+). Se tivesse

convergencia uniforme entao > 0,n0 N, n n0, x R,n

k=1

1

k!xk ex

< .No entanto, vale a seguinte negacao dessa afirmacao: n0 N, n =n0 n0,

nk=1 1k!xk ex > 1 se x e suficientemente grande. De fato,

limx+

nk=1 1k!xk ex =.

(d) C = ou C = R. No primeiro caso C = 0 e no segundo C = 1.(e) Nao existe. Uma funcao analtica tal que f (n) (1) = 0 se n n0 e

um polinomio e polinomios nao sao limitados em R, a nao ser que sejaconstante.

6