Universidade Federal do Paraná Setor de tecnologia Programa de Pós-Graduação em Métodos Numéricos em Engenharia

Exame de Seleção PPGMNE/2013 Cálculo – Prof. Guilherme Augusto Pianezzer

Instruções 1. A interpretação das questões é parte do processo de avaliação.

2. As respostas e o desenvolvimento devem ser bem argumentados.

3. A duração da prova é de 4 horas.

4. As questões não precisam ser respondidas na ordem.

Questões Questão 1. Sendo uma função

contínua, definida no intervalo , onde

Pede-se:

(10 pontos) Argumente se esta função

possui raiz no intervalo

Questão 2. Um estudo elaborado pela

Associação Nacional de Agências

Imobiliárias estima que o número de novas

construções na região sudeste, (em

milhões), nos próximos 5 anos está

relacionado com a taxa de financiamento,

(em %), pela equação:

(10 pontos) Qual é a taxa de variação no

tempo do número de novas construções,

quando a taxa de financiamento é de 11%,

aumentando a razão de 1,5% ao ano?

Questão 3. O percentual de homens com

65 anos ou mais de idade na força de

trabalho entre 1950 ( e 2000

( é de aproximadamente:

(15 pontos) Mostre que o percentual de

homens com 65 anos ou mais de idade na

força de trabalho era mínimo, no período

considerado, em meados de setembro de

1991. Qual era esse percentual?

Questão 4. (15 pontos) Usando a

definição de derivada, mostre para

que sendo então

.

Questão 5. Teorema do confronto. Sejam

três funções, onde exista tal

que

para | | Nestas condições, se

, então

A)(10 pontos) Demonstre o teorema do

confronto.

B) (15 pontos) Use o teorema do confronto

para mostrar que

.

Questão 6. (15 pontos) Seja a região R

definida pelas curvas

, determine o volume do sólido de

revolução gerado pela rotação da região

em torno da reta

Questão 7. (10 pontos) Sendo ,

determine a sua derivada de ordem .