UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ

CÁLCULO – PROVA DE TRANSFERÊNCIA FACULTATIVA E PARA

PORTADOR DE DIPLOMA DE CURSO SUPERIOR – 02/12/2012

Candidato:_________________________________________________________

Curso Pretendido: __________________________________________________

OBSERVAÇÕES: 01 – Prova SEM consulta 02 – A prova PODE ser feita a lápis 03 - PROIBIDO o uso de calculadoras e similares 04 - Duração: 2 HORAS

1a Questão (10 pontos):

a) Determine o valor de c para que a função dada por 2

)4()1()(

2

xc

xxxf satisfaça a

igualdade )2()1( ff .

b) Para o valor da constante c obtida no item anterior, determine todos os valores de x para

os quais 0)( xf .

SOLUÇÃO

a) 2

101

cf e

22

302

cf

Igualando:

6030202022

30

2

10cc

cc

b) Devemos resolver a inequação: 042

)4()1( 2

x

xx

Portanto o Conjunto-Solução da inequação é:

+ + + + + + + + + + + + + + + + + - - - - - - - - - - - - - - - -

x

x

x

12 x

4x

x42

4

2

1

xf - - - - - - - - - - - + + + + + + + + + - - - - - - - - - - - - - - -

-

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

- - - - - - - - - - - + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

+ +

4

2

1

x

4c

2

14/ xxS

2a Questão (10 pontos): As retas tangentes ao gráfico da função 754 23 xxxxf pelos

pontos 1x e 3x são concorrentes num ponto P. Encontre as coordenadas desse ponto.

SOLUÇÃO

A equação da reta tangente ao gráfico da função xf pelo ponto 00 , yx é:

000 . xxxfyy

Temos: 583 2 xxxf

Para 0151 00 fyx

Assim, a reta tangente é: 51.05 yxy

Para 8313 00 fyx

Assim, a reta tangente é: . 2583.81 xyxy

Para encontrar o ponto P, basta igualar as equações das retas, ou seja:

2

52085258 xxx

Portanto:

3a Questão (10 pontos): Usando Integração Por Partes, resolver a integral dxarctgxI . .

SOLUÇÃO

O método de Integração por Partes é: duvvudvu ...

xvdxdvdxdv

dxx

duarctgxu21

1

Então:

dxx

xarctgxxI

21.

5,

2

5P

CxarctgxxI 21ln2

1.

4a Questão (10 pontos): Achar yxfz , se yxxy

zcoscos

e xxxf 3cos

22,

SOLUÇÃO

Temos:

dyy

zyxfz ,

xCsenyxxyyxfdyyxxyxf .cos.,coscos,

Como xxxf 3cos22

,

, então: xxCxCxxxx 4cos.

23cos

2

Portanto:

5a Questão (10 pontos): Calcular R

dxdyyxf , , onde R é a região do 1o quadrante limitada por

295 xy :

a) considerando ;6, yxf

b) considerando ., yxyxf

SOLUÇÃO

a) Em ambos os casos a região de integração R é:

295

20:

xy

xR .

2

0

9

5

2

0

2

0

2

0

229

5

2 2

6243065466,x x

R

dxxdxxdxydydxdxdyyxf

2

0

3224, xxdxdyyxfR

xsenyxxyyxf 4.cos.,

R

dxdyyxf 32,

b)

2

0

9

5

2

0

2

0

222

9

5

22

2

2

255

2

99.

2,

x

x

R

dxxx

xxdxy

xydydxyxdxdyyxf

2

0

423

2

255

29

2

819, dxx

xxxxdxdyyxf

R

2

0

423 28

294, dx

xxxxdxdyyxf

R

2

0

53

42 28

103

42,

x

xx

xxdxdyyxf

R

=

565

162448,

R

dxdyyxf

6a Questão (10 pontos): Um menino chutou uma bola. Esta atingiu altura máxima de 12 metros e

voltou ao solo 8 segundos após o chute. Sabendo que uma função quadrática expressa a altura

y da bola em função do tempo t de percurso, encontre esta função.

a) tty 64

3 2 b) tty 43

4 2 c) tty 34

1 2 d) tty 55

3 2

SOLUÇÃO

A função quadrática procurada tem a forma: cbtaty 2 .

Porém, para 0t , temos 0y .

Assim, concluímos que 0c .

Por outro lado, para 8t , temos 0y .

Logo: abba 80864

A altura máxima atingida é a ordenada do vértice, ou seja: 124

a

yv

Assim: 64

312

4

6412

412

4

4 222

baa

a

a

b

a

bac

Portanto:

R

dxdyyxf5

196,

tty 64

3 2

7a Questão (10 pontos): A concentração C de uma certa substância química no fluxo sangüíneo

em t horas após ser injetada no músculo é dada por C = 354

3

t

t

.

Após quantas horas essa concentração será máxima?

a) 2 horas b) 3 horas c) 4 horas d) 5 horas

SOLUÇÃO

Devemos ter 0dt

dC (Ponto Crítico).

23

3

23

23

54

6162

54

3.354.3

t

t

dt

dC

t

ttt

dt

dC

Igualando a zero: 2706162 33 tt

8a Questão (10 pontos): Calculando a integral

8

1 32 x

dxI , obtemos:

a) 1 b) 8 c) 5

26 d) 9

SOLUÇÃO

Fazendo: tdttdxtxtxtxtx 2.2.32222223223233

Para 11 tx

Para 28 tx

Então:

2

1

2

1

3524

2

1

22

43

4

5.644.6

2.6t

ttdtttdt

t

ttI

15

6020312016096.64

3

4

5

18

3

32

5

32.6I

horast 3

5

26I

9a Questão (10 pontos): Qual é a variação percentual no volume de um cilindro circular reto

quando seu raio sofre um aumento de 12% e a sua altura diminui de 8%.?

a) o seu volume permanece constante

b) o volume aumenta de 12%

c) o volume diminui de 4%

d) o volume aumenta de 16%

SOLUÇÃO

O volume de um cilindro de raio r e altura h é hrV 2 .

A Diferencial Total é: dhrrhdrdVdhh

Vdr

r

VdV 22.

Dividindo por hrV 2 , obtemos:

h

dh

r

dr

V

dVdh

hr

rdr

hr

rh

V

dV .2

22

2

2

Tomando 12r

dr e 8

h

dh, temos: 16824

V

dV

10a Questão (10 pontos): Calculando o valor da integral

2

2

cos3

0

22 sen

drdr , obtemos:

a) b) 2 c) 1 d) 5

12

SOLUÇÃO

2

2

2

2

2

2

2223

cos3

0

23

cos.1.9.cos93

dsensendsendsenr

I

5

1

3

1

5

1

3

1.9

53.9

2

2

53

Isensen

I

%16Aumenta

5

12I

UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ

PROGRAMAÇÃO – PROVA DE TRANSFERÊNCIA FACULTATIVA E PARA

PORTADOR DE DIPLOMA DE CURSO SUPERIOR – 02/12/2012

Candidato:_____________________________________________________

Curso Pretendido: _______________________________________________

OBSERVAÇÕES: 01 – Prova SEM consulta

02 – A prova PODE ser feita a lápis

03 - Duração: 2 HORAS

04 - resolva a prova de programação empregando uma pseudo-linguagem

(pseudocódigo, Portugol, etc.) ou uma linguagem de programação (C, C++, Pascal, etc.) de seu

domínio.

1a Questão (10 pontos): O programa-1 abaixo, escrito em pseudocódigo, lê datas nos dados de

entrada: mês e ano da data atual e também mês e ano do nascimento de uma pessoa, calcula e mostra a

idade em anos e meses. Supondo que as datas de entrada sejam: mês = 07, ano = 2010 e nascimento,

mês = 10 e ano = 1989, assinale a alternativa que corresponde ao cálculo realizado.

Programa-1

INTEIRO mes, mesNasc, ano, anoNasc, Idade, Meses

ESCREVA “digite o mes e o ano atual”

LEIA mês, ano

ESCREVA “digite o mes e o ano de seu nascimento”

LEIA mêsNasc, anoNasc

SE anoNasc > ano

ENTÃO ESCREVA “data de nascimento e data atual, incompatíveis”

SENÃO

Idade ano - anoNasc

SE mesNasc > mes

ENTÃO

Idade Idade - 1

Meses 12 – (mesNasc – mês)

SENÃO Meses mes – mesNasc

FIM-SE

FIM-SE

ESCREVA “ Idade: “, Idade, ”anos e“, Meses,” meses“

FIM Programa-1

Obs.: “ “ representa atribuição, por exemplo: a b significa que “a” recebe o valor “b”

( a ) 21 anos e 9 meses ( c ) 20 anos e 9 meses

( b ) 20 anos e 3 meses ( d ) 21 anos e 3 meses

2a Questão (10 pontos): Assinale uma das alternativas que mostra o que será impresso pelo trecho de

programa abaixo escrito em pseudocódigo, assumindo que o usuário forneceu os valores 30 e 15 para as variáveis x e y respectivamente?

LEIA x

LEIA y

SE x > y

ENTÃO

x y + x

y x – y

FIM - SE

ESCREVA x, y

( a ) 30 e 15 ( b ) 30 e 45 ( c ) 15 e 30 ( d ) 45 e 30

3a Questão (10 pontos): Uma empresa está selecionando entre seus empregados os que irão fazer um

treinamento especial. O funcionário selecionado deve satisfazer a dois critérios. O primeiro critério para que um funcionário seja pré-selecionado é que ele deve ter um salário menor ou igual a R$ 700,00 ou maior ou igual a R$ 1.200,00. O segundo critério leva em conta o tempo de trabalho e o funcionário deve ter no mínimo 3 anos na empresa. Marque a alternativa que indica a expressão lógica que representa este critério.

( a ) ((salario ≤ 700,00) E (salario ≥ 1200,00)) OU (tempo > 3)

( b ) ((salario ≤ 700,00) OU (salario ≥ 1200,00)) E (tempo ≥ 3)

( c ) ((salario ≤ 700.00) OU (salario ≥ 1200,00)) E (tempo < 3)

( d ) ((salario ≤ 700.00) E (salario ≥ 1200,00)) OU (tempo ≥ 3)

4a Questão (10 pontos): Dada a série de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... Considere a execução do

trecho de programa a seguir para calcular o N-ésimo termo da série. Suponha que as variáveis têm os

seguintes valores antes de iniciar a execução do cálculo (repetição enquanto ( ) faça...): k = 7, nA = 1 e

nB = 1, assinale qual alternativa contêm o termo Fib(N) calculado.

k N - 2

ENQUANTO k > 0 FAÇA

nAB nA + nB

nA nB

nB nAB

k k - 1

FIM – ENQUANTO

ESCREVA “Fib( “, N, “ ) = “, nAB

( a ) 55 ( b ) 34 ( c ) 21 ( d ) 13

5a Questão (10 pontos): Um algoritmo lê e armazena uma frase com símbolos do alfabeto indicado

abaixo, num arranjo unidimensional de 80 posições (vetor Vet[ ]). Supondo a frase lida e armazenada abaixo, analise o trecho de código que conta a quantidade de vogais diferentes de “A” e assinale a alternativa que melhor representa a contagem realizada:

Alfabeto = {A, B, C, …, X, Y, Z }, com 26 símbolos.

Frase “ESTA FRASE E UM EXEMPLO”

k 1

vogal 0

ENQUANTO k 80 FAÇA

SE (Vet[k] = ‘E’) OU (Vet[k] = ‘I’) OU (Vet[k] = ‘O’) OU (Vet[k] = ‘U’)

ENTÃO vogal vogal + 1

FIM-SE

k k + 1

FIM - ENQUANTO

ESCREVA “número de vogais =”, vogal

( a ) 7 ( b ) 2 ( c ) 6 ( d ) 10

6a Questão (10 pontos): Escreva um programa que lê três números inteiros determina e mostra o maior

e o menor valor.

Programa-6

INTEIRO x, y, z, menor, maior

ESCREVA “digite três números inteiros“

LEIA x, y, z

menor x

maior x

SE menor > y

ENTÃO menor y

FIM-SE

SE maior < y

ENTÃO maior y

FIM-SE

SE menor > z

ENTÃO menor z

FIM-SE

SE maior < z

ENTÃO maior z

FIM-SE

ESCREVA “maior valor = “, maior

ESCREVA “menor valor = “, menor

FIM Programa-6

7a Questão (10 pontos): Escreva um programa que lê e escreve uma palavra, na ordem de entrada e

invertida, exemplo:

Entrada: “palavra-exemplo”

Saída impressa: “palavra-exemplo olpmexe-arvalap” Obs.: armazene o nome em um arranjo unidimensional (um vetor) considerando que após a leitura, todos os elementos do vetor são ocupados por espaço em branco (“b”) ou uma letra (A,B,..Z; a,b,..z).

Programa-7

INTEIRO k

CARACTER Vet[80]

ESCREVA “digite uma palavra“

LEIA Vet

k 1

ENQUANTO Vet[k] ≠ ‘ ‘ FAÇA

ESCREVA Vet[k]

k k + 1

FIM – ENQUANTO

ESCREVA “ “

ENQUANTO k > 0 FAÇA

ESCREVA Vet[k]

k k - 1

FIM – ENQUANTO

FIM Programa-7

8a Questão (10 pontos): Existem muitas formas de determinar o valor do número , dentre as mais

simples podemos utilizar uma expansão em série, como mostrado abaixo. Note que a quantidade de

termos utilizada define a precisão do valor obtido, por exemplo, para 10 termos obtemos = 3,041840 e

para 1.000 termos = 3,140593 e ainda com 1.000.000 de termos obtemos = 3,141592.

Escreva um programa que solicita a informação do número de termos calcula e mostra o valor obtido para

o número usando a série acima para o cálculo.

Programa-8

INTEIRO N, denominador, sinal

REAL Pi

ESCREVA “digite o número de termos para o cálculo“

LEIA N

sinal 1

denominador 1

Pi 0

ENQUANTO N > 0 FAÇA

Pi Pi + sinal/denominador

sinal -1 * sinal

denominador denominador + 2

N N - 1

FIM-ENQUANTO

Pi 4 * Pi

ESCREVA “Pi = “, Pi

FIM Programa-8

9ª Questão (10 pontos): Escreva um programa que lê uma sequencia de N números inteiros positivos

(obs.: valor de N é digitado pelo usuário antes da sequencia e N ≤ 50), armazenando-a em um arranjo unidimensional (um vetor), depois calcula e mostra a soma dos números armazenados nas posições que

são múltiplos de 3. Exemplo: para N = 8, a sequencia armazenada no vetor A = {1, 3, 7, 4, 2, 6, 1, 7},

apresenta: soma = A[3] + A[6] = 7 + 6 = 13.

Programa-9

INTEIRO k, A[50], soma, resto

FAÇA

ESCREVA “digite a quantidade de números (N ≤ 50)“

LEIA N

ENQUANTO (N < 0 OU N > 50)

soma 0

k 1

ENQUANTO k < N FAÇA

ESCREVA “digite o”, k, “número:“

LEIA A[k]

resto k – 3 * (k/3)

SE resto = 0

ENTÃO soma soma + A[k]

FIM-SE

k k + 1

FIM-ENQUANTO

ESCREVA “Soma em posições de múltiplos de 3, S = “, soma

FIM Programa-9

10a Questão (10 pontos): Considere um programa que gerencia a venda de passagens da empresa de

aviação XYZeta. Os dados de cada venda são colocados em um registro com as seguintes informações: número do voo, local de partida e de destino, número da poltrona, data (dia/mês/ano), nome do passageiro e, valor da passagem em reais. Suponha que um conjunto com 300 registros de passagens vendidas nos últimos 19 meses está armazenado no vetor REGp[ ] que contem em cada elemento os dados citados na seguinte estrutura:

VOO PARTIDA DESTINO POLTRONA DIA MÊS ANO PASSAGEIRO VALOR

172 São Paulo Recife 22 12 12 2012 Mario Aeronauta 234,55

579 Brasília Curitiba 13 7 10 2012 Rosa dos Ventos 435,00

414 Vitória Manaus 4 6 9 2012 Ícaro Volterra 1235,33

Escreva a função FaturaMes (um sub-programa), que calcula o número e o valor total de passagens vendidas em um dado mês. Os dados de entrada da função serão os números do mês e do ano a ser feito o cálculo e a saída será a soma calculada e quantas passagens foram vendidas.

FaturaMes ( REGp[ ] )

INTEIRO k, mês, ano, NumPassag

REAL SomaValor

ESCREVA “escreva o mês e o ano da pesquisa“

LEIA mês, ano

k 1

NumPassag 0

SomaValor 0

ENQUANTO k < 300 FAÇA

SE mes = REGp[k].mes E ano = REGp[k].ano

ENTÃO Somavalor Somavalor + REGp[k].valor

NumPassag NumPassag + 1

FIM-SE

k k + 1

FIM - ENQUANTO

ESCREVA “Em: “, mês, ”/”, ano, “foram vendidas “, Numpassag, “passagens”

ESCREVA “totalizando um faturamento de R$ “, SomaValor

FIM FaturaMes