Prova de Matemática Efomm 2014-2015 Resolvida

Resolues elaboradas pelo Prof. Renato Madeira para madematica.blogspot.com.

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PROVA DE MATEMTICA EFOMM 2014-2015 (BRANCA)

DATA 17/08/2014 (ENUNCIADOS)

1) O conjunto de todos os nmeros reais q 1 ,

para os quais 1a , 2a e 3a formam, nessa

ordem, uma progresso geomtrica de razo q

, com primeiro termo 2 e representam as

medidas dos lados de um tringulo,

a) 1 5

1,2

.

b) 1 5

1,2

.

c) 1 5

1,5

.

d) 1 5

1,4

.

e) 1,1 5

.

2) Sabendo-se que

x

x

x 1a lim

x 1

, pode-se

afirmar que o ngulo , em radianos, tal que tg ln a 1 , pode ser

a) 4

b) 2

c) 3

4

d) 4

e) 2

3) Considere o nmero complexo 1z 1 , tal

que 1z seja soluo da equao 6z 1 , com

menor argumento positivo. A soluo 2z da

mesma equao, cujo argumento o triplo do

argumento de 1z , igual a

a) 1 3

i2 2

b) 1 3

i2 2

c) 1

d) 1 3

i2 2

e) 1 3

i2 2

4) Considerando os pontos A 1,1 , B 3,4 ,

C 1,5 , D 3,2 e P como a interseo dos segmentos AB e CD , a expresso 3a 6b , onde a a rea do tringulo APC e b a rea do tringulo BPD , igual a

a) 24

b) 20

c) 10

d) 16 e) 12

5) Uma turma de alunos do 1 ano da

EFOMM tem aulas s segundas, quartas e

sextas, de 8h40 s 10h20 e de 10h30 s 12h . As matrias so Arquitetura Naval, Ingls e

Clculo, cada uma com duas aulas semanais,

em dias diferentes. De quantos modos pode

ser feito o horrio dessa turma?

a) 9

b) 18

c) 36

d) 48

e) 54

6) Sejam as funes f : e g : .

Sabendo que f bijetora e g sobrejetora,

considere as sentenas a seguir:

I - g f injetora;

II - f g bijetora;

III - g f sobrejetora.

Assinalando com verdadeiro (V) ou falso (F) a

cada sentena, obtm-se

a) V V V b) V V F c) F V F



d) F F V e) V F V

7) Sabendo-se que 1

3e 2 3 1

2 3 4 5 6det a

1 2 3 4 5

0 1 3 5 12

3 1 2 0 4

, calcule, em

funo de a ,

1

32e 2 8 24 2

1 2 3 4 5det

2 3 4 5 6

0 1 3 5 12

3 0 5 5 16

.

a) 2a

b) 2a c) a

d) a e) 3a

8) Deseja-se construir uma janela que,

possuindo a forma de um retngulo sob um

semicrculo, conforme figura abaixo, permita

o mximo de passagem de luz possvel.

Sabe-se que: o vidro do retngulo ser

transparente; o vidro do semicrculo ser

colorido, transmitindo, por unidade de rea,

apenas metade da luz incidente em relao ao

vidro transparente; o permetro total da janela

fixo p .

Nessas condies, determine as medidas da

parte retangular da janela, em funo do

permetro p .

Obs.: Ignore a espessura do caixilho.

a) 4

p3 8

e

4p

2 3 8

b) 2

p3 8

e

4p

4 3 8

c) 8

p3 8

e 4

p3 8

d) 6

p3 8

e

3 4p

4 3 8

e) 4

p3 8

e 8

p3 8

9) Um juiz de futebol trapalho tem no bolso

um carto amarelo, um carto vermelho e um

carto com uma face amarela e uma outro face

vermelha. Depois de uma jogada violenta, o

juiz mostra um carto, retirado do bolso ao

acaso, para um atleta. Se a face que o jogador

v amarela, a probabilidade de a face voltada

para o juiz ser vermelha ser

a) 1

6.

b) 1

3.

c) 2

3.

d) 1

2.

e) 3

2.

10) Assinale a alternativa que apresenta

equaes paramtricas da reta r , sabendo-se

que o ponto A , cujas coordenadas so

2, 3,4 , pertence a r e que r ortogonal s

retas 1

x 2 t

r : y t

z 3

e 2y x 1

r :z 3

.

a) x 2 y 3

r : 4 z6 6

b)

x 2 6t

r : y 3 5t

z 4

c) y x 5

r :z 6 x



d)

x 2 6t

r : y 3 3t

z 4

e)

x 2 6t

r : y 3 6t

z 4 t

11) Assinale a alternativa que apresenta o

polinmio P de grau mnimo, com

coeficientes reais, de modo que P i 2 e

P 1 i 0 .

a) 3 21

2x 3x 2x 25

b) 3 22

2x 3x 2x 25

c) 3 22

2x 3x 2x 25

d) 3 21

2x 3x 2x 25

e) 3 22

x x 2x 33

12) Dada uma funo F: , sabe-se que:

i) F' x sen 3x cos 5x , onde F' x a derivada da funo F , em relao varivel

independente x ;

ii) F 0 0 .

O valor de F16

a) 1 2 2 3

4 2 4

b) 1 2 2 3

4 2 4

c) 1 2 2 3

4 2 4

d) 1 2 2 3

4 2 4

e) 1 2 2 3

4 2 4

13) Os nmeros reais positivos 1 2 na ,a , ,a

formam, nessa ordem, uma progresso

geomtrica de razo q . Nesse caso, correto

afirmar que a sequncia

1 2 nloga ,loga , , loga forma

a) uma progresso geomtrica crescente, se

q 1 .

b) uma progresso aritmtica crescente, se

q 1 .

c) uma progresso geomtrica decrescente, se

0 q 1 .

d) uma progresso aritmtica crescente, se

0 q 1 .

e) uma progresso aritmtica crescente, desde

que q 0 .

14) Um tanque em forma de cone circular de

altura h encontra-se com vrtice para baixo e

com eixo na vertical. Esse tanque, quando

completamente cheio, comporta 6000 litros de gua. O volume de gua, quando o nvel

est a 1

4 da altura, igual a

a) 1500 litros.

b) 150 litros.

c) 93,75 litros.

d) 30 litros.

e) 125 litros.

15) Um astronauta, em sua nave espacial,

consegue observar em certo momento

exatamente 1

6 da superfcie de um planeta.

Determine a que distncia ele est da

superfcie desse planeta. Considere o raio do

planeta igual a 12800 km .

a) 1300 km

b) 1500 km

c) 1600 km

d) 3200 km

e) 6400 km

16) O valor da integral 2xxe dx

a) 2x1 e c

4

b) 2xx e c

2



c) 2x1 e c

2

d) x1

e c2

e) x1

e c4

17) O valor da expresso

1

36

4

3

2710

64

8

a) 25

3

b) 3

5

c) 6

25

d) 6

5

e) 3

25

18) Sabe-se que uma partcula move-se

segundo a equao 3 21 1

S t t t t 23 2

,

onde t o tempo em segundos e S a posio em metros. Pode-se afirmar que a

acelerao da partcula, quando t 2 s ,

a) 23 m s

b) 25 m s

c) 27 m s

d) 28 m s

e) 210 m s

19) Seja ij 3 3A a uma matriz quadrada de ordem 3, onde cada termo dado pela lei

ij

i j, se i j para

i j, se i j mpar

. Pode-se afirmar

que o valor de det A

a) 0 b) 12 c) 12

d) 4

e) 4

20) Seja C uma circunferncia de raio 2

centrada na origem do plano xy . Um ponto P

do 1 quadrante fixado sobre C determina um

segmento OP , onde O a origem, que forma

um ngulo de 4

radianos com o eixo das

abscissas. Pode-se afirmar que a reta tangente

ao grfico de C passando por P dada por

a) x y 2 0

b) 2x y 1 0

c) 2x y 2 0

d) x y 2 2 0

e) x y 2 2 0



PROVA DE MATEMTICA EFOMM 2014-2015 (BRANCA)

DATA 17/08/2014 (RESPOSTAS E RESOLUO)

RESPOSTAS E QUADRO RESUMO DOS ASSUNTOS ABORDADOS

QUESTO RESPOSTA ASSUNTO

1 b Progresso geomtrica e tringulos.

2 d Limites e equao trigonomtrica

3 c Nmeros complexos

4 e Geometria Analtica coordenadas no plano

5 d Anlise combinatria

6 d Funes

7 b Determinantes

8 a Geometria plana e funo quadrtica

9 b Probabilidade

10 e Geometria analtica no espao

11 c (*) Polinmios

12 c Integral

13 b Progresses

14 c (*) Geometria Espacial

15 e Geometria Espacial

16 c Integral

17 e Potncias e razes

18 b Derivada

19 a Matrizes e determinantes

20 d Geometria analtica - reta

(*) Enunciado adaptado, pois a questo proposta originalmente foi anulada.



RESOLUO

1) O conjunto de todos os nmeros reais q 1 , para os quais 1a , 2a e 3a formam, nessa ordem, uma

progresso geomtrica de razo q , com primeiro termo 2 e representam as medidas dos lados de um

tringulo,

a) 1 5

1,2

.

b) 1 5

1,2

.

c) 1 5

1,5

.

d) 1 5

1,4

.

e) 1,1 5

.

RESPOSTA: b

RESOLUO:

Os termos da progresso geomtrica so 1a 2 , 2a 2q e 2

3a 2q .

Como q 1 , a progresso geomtrica crescente.

Os termos da P.G. representam as medidas dos lados de um tringulo, ento devem satisfazer a

desigualdade triangular. Assim, devemos ter:

2 23 1 2

1 5 1 5a a a 2q 2 2q q q 1 0 q

2 2

.

Fazendo a interseo da desigualdade acima com a condio q 1 estabelecida no enunciado,

obtemos 1 5

1,2

.

2) Sabendo-se que

x

x

x 1a lim

x 1

, pode-se afirmar que o ngulo , em radianos, tal que

tg ln a 1 , pode ser

a) 4

b) 2

c) 3

4

d) 4



e) 2

RESPOSTA: d

RESOLUO: (O enunciado dessa questo foi alterado, pois a mesma estava incorreta da forma

como foi proposta.)

1 SOLUO:

x

x

2x 2xlim

x 1 x 1x 1 x 1x2 2

x x x

2lim

x 1 11

2 x 2

x

x 1 2 2a lim lim 1 lim 1

x 1 x 1 x 1

2lim 1 e

x 1

2tg ln a 1 ln e 1 2 1 1 k , k4

Para k 0 , temos 4

.

2 SOLUO DO LIMITE:

x x 1 1 x 1 1

x x x

2x 1

x 1 1 12

x x x x

x

x 1 2 2 2a lim lim 1 lim 1 1

x 1 x 1 x 1 x 1

2 2 2 2lim 1 lim 1 lim 1 lim 1

x 1 x 1 x 1 x 1

2lim 1

x 1

2x 1

12 2 2

x

2lim 1 e 1 e

x 1

3 SOLUO DO LIMITE:

x x *

x x x x

22

2 2 2x x x x

2

2

x 1ln

x 1 x 1 x 1 x 1ln a ln lim lim ln lim x ln lim1x 1 x 1 x 1

x

x 1 1 x 1 x 1 1 2

x 1 2x 2x 1 x 1 x 1lim lim lim lim 21x x x 1 1x

ln a 2 a e

(*) Aplicou-se o teorema de LHpital na indeterminao 0

0.

4 SOLUO DO LIMITE:



2xx 1 x 1x2

x x

2xx 1 x 1x 12 2

x x

x 1

2

x x

x 1 2a lim lim 1

x 1 x 1

2 2x 2ln a lim ln 1 lim ln 1

x 1 x 1 x 1

2x 2lim ln lim 1 2 ln

x 1 x 1

2

e 2

ln a 2 a e

5 SOLUO DO LIMITE:

xx

x

xx x x

x

x 2

1 1x

x

1x 11

x 1 xxa lim lim limx 1x 1 1

1x x

1lim 1

ex ee

1lim 1

x

3) Considere o nmero complexo 1z 1 , tal que 1z seja soluo da equao 6z 1 , com menor

argumento positivo. A soluo 2z da mesma equao, cujo argumento o triplo do argumento de 1z ,

igual a

a) 1 3

i2 2

b) 1 3

i2 2

c) 1

d) 1 3

i2 2

e) 1 3

i2 2

RESPOSTA: c

RESOLUO:

Pela segunda frmula de De Moivre, temos:

6 6 0 2k kz 1 1 cis0 z 1 cis 1 cis , k 0,1,2, ,56 3



Assim, as solues da equao so: 1 cis0 1 , 1 3

1 cis i3 2 2

,

2 1 31 cis i

3 2 2

,

31 cis 1

3

,

4 1 31 cis i

3 2 2

e

5 1 31 cis i

3 2 2

.

Como 1z 1 a soluo de menor argumento positivo, ento 11 3

z 1cis i3 2 2

.

Como 2z soluo dessa mesma equao e possui argumento igual do triplo do argumento de 1z ,

ento o argumento de 2z 33

e 2z 1 cis 1 .

4) Considerando os pontos A 1,1 , B 3,4 , C 1,5 , D 3,2 e P como a interseo dos segmentos AB e CD , a expresso 3a 6b , onde a a rea do tringulo APC e b a rea do tringulo BPD , igual a

a) 24

b) 20

c) 10

d) 16 e) 12

RESPOSTA: e

RESOLUO:

A reta que passa por A 1,1 e B 3,4 tem equao dada por

y 1 4 1 3 3 1

y 1 x 1 y xx 1 3 1 2 2 2

.



A reta que passa por C 1,5 e D 3,2 tem equao dada por

y 5 5 2 3 3 13

y 5 x 1 y xx 1 1 3 2 2 2

.

O ponto P a interseo das retas 3 1

AB: y x2 2

e 3 13

CD : y x2 2

. Assim, suas coordenadas

so 3 1 3 13 7

x x 3x 7 x2 2 2 2 3

e 3 7 1

y 32 3 2

. Portanto, 7

P ,33

.

A rea do tringulo APC APC

1 1 11 1 16 8

a S 1 7 3 12 2 3 3

1 3 5

e a rea do tringulo BPD

BPD

1 1 11 1 4 2

b S 3 7 3 32 2 3 3

4 3 2

. Portanto, 8 2

3a 6b 3 6 123 3

.

5) Uma turma de alunos do 1 ano da EFOMM tem aulas s segundas, quartas e sextas, de 8h40 s

10h20 e de 10h30 s 12h . As matrias so Arquitetura Naval, Ingls e Clculo, cada uma com duas aulas semanais, em dias diferentes. De quantos modos pode ser feito o horrio dessa turma?

a) 9

b) 18

c) 36

d) 48

e) 54

RESPOSTA: d

RESOLUO:

Inicialmente, vamos contar o nmero de maneiras de marcar as aulas de Arquitetura Naval. Temos

que escolher 2 dentre os 3 dias e, em cada dia, temos 2 possibilidades de horrio. Assim, o nmero

de maneiras de marcar essas aulas 3

2 2 3 2 2 122

.

Vamos agora contar o nmero de maneiras de marcar as aulas de Ingls. Uma das aulas deve ocorrer

em um dos 2 dias j ocupados pela aula de Arquitetura Naval e a outra em um dos 2 horrios no dia

que est livre. Assim, o nmero de maneiras de marcar essas aulas 2 2 4 . As aulas de Clculo ocorrero necessariamente nos dois horrios restantes, ou seja, h uma nica

maneira de marc-las.

Pelo princpio multiplicativo, o nmero de modos que pode ser feito o horrio 12 4 1 48 .

6) Sejam as funes f : e g : . Sabendo que f bijetora e g sobrejetora, considere

as sentenas a seguir:

I - g f injetora;

II - f g bijetora;

III - g f sobrejetora.

Assinalando com verdadeiro (V) ou falso (F) a cada sentena, obtm-se



a) V V V b) V V F c) F V F d) F F V e) V F V

RESPOSTA: d

RESOLUO:

I FALSA

Contra-exemplo: Se f x x que uma funo bijetora, ento g f x g f x g x que no necessariamente injetora.

II FALSA

Como no foi afirmado que g injetora, ento podemos supor que existam 1 2x , x , com 1 2x x

, tais que 1 2g x g x . Aplicando a funo f nos dois lados dessa igualdade, temos

1 2 1 2f g x f g x f g x f g x , com 1 2x x , o que implica que a funo f g no injetora e, consequentemente, no bijetora.

III VERDADEIRA

Devemos provar que y , existe x tal que g f x y . Como g sobrejetora, ento

y , existe z tal que g z y . Como f bijetora, ento existe 1f a funo inversa de f .

Assim, basta tomar 1f x z x f z . Dessa forma, temos y , existe z tal que

g z y e 1x f z tais que 1g f x g f x g f f z g z y . Portanto, g f sobrejetora.

7) Sabendo-se que

1

3e 2 3 1

2 3 4 5 6det a

1 2 3 4 5

0 1 3 5 12

3 1 2 0 4

, calcule, em funo de a ,

1

32e 2 8 24 2

1 2 3 4 5det

2 3 4 5 6

0 1 3 5 12

3 0 5 5 16

.

a) 2a

b) 2a c) a

d) a e) 3a

RESPOSTA: b



RESOLUO:

1 1 1

3 3 3

1

1

3

2

2e 2 8 24 2 2e 2 2 2 2 3 2 1 e 2 3 1

1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5det det 2 det

2 3 4 5 6 2 3 4 5 6 2 3 4 5 6

0 1 3 5 12 0 1 3 5 12 0 1 3 5 12

3 0 5 5 16 3 0 5 5 16 3 0 5 5 16

e 2 3 1

2 3 4 5 62 det

1 2 3

1

3

3

e 2 3 1

2 3 4 5 62 det 2a

4 5 1 2 3 4 5

0 1 3 5 12 0 1 3 5 12

3 0 5 5 16 3 1 2 0 4

1 Colocamos o 2 em evidncia na primeira linha do determinante, o que implica que o determinante fica multiplicado por 2 .

2 Invertemos a segunda linha com a terceira, o que implica o que determinante fica multiplicado por 1 .

3 Substitumos a quinta linha pela diferena entre a quinta e a quarta linha, o que no altera o determinante (teorema de Jacobi).

8) Deseja-se construir uma janela que, possuindo a forma de um retngulo sob um semicrculo,

conforme figura abaixo, permita o mximo de passagem de luz possvel.

Sabe-se que: o vidro do retngulo ser transparente; o vidro do semicrculo ser colorido,

transmitindo, por unidade de rea, apenas metade da luz incidente em relao ao vidro transparente;

o permetro total da janela fixo p .

Nessas condies, determine as medidas da parte retangular da janela, em funo do permetro p .

Obs.: Ignore a espessura do caixilho.

a) 4

p3 8

e

4p

2 3 8

b) 2

p3 8

e

4p

4 3 8

c) 8

p3 8

e 4

p3 8



d) 6

p3 8

e

3 4p

4 3 8

e) 4

p3 8

e 8

p3 8

RESPOSTA: a

RESOLUO:

Seja 2r a base do retngulo, ento a sua altura ser dada por:

p r p 2p 2r 2h r h r r

2 2 2 2

.

Seja a incidncia de luz igual k por unidade de rea, ento a luz transmitida pelo retngulo

p 2k 2r r k r p r 22 2

e a luz transmitida pelo semicrculo 2 21 r r

k k2 2 4

.

Assim, a passagem de luz total 2 23 8 32 r pr k r pr k

4 4

que uma funo

do 2 grau em r e assume seu valor mximo quando p 2p

r8 3 8 3

24

.

Portanto, as medidas do retngulo so:

4p2r

8 3

e

p 2 2p 1 2 4h p p

2 2 3 8 2 3 8 2 3 8

.

Note que o valor de r foi obtido utilizando que uma funo quadrtica da forma 2y ax bx c

possui um vrtice de coordenadas Vb

x2a

e Vy4a

, onde

2b 4ac , e que esse vrtice um

ponto de mximo, se a 0 , ou um ponto de mnimo, se a 0 .

9) Um juiz de futebol trapalho tem no bolso um carto amarelo, um carto vermelho e um carto

com uma face amarela e uma outro face vermelha. Depois de uma jogada violenta, o juiz mostra um

carto, retirado do bolso ao acaso, para um atleta. Se a face que o jogador v amarela, a

probabilidade de a face voltada para o juiz ser vermelha ser

a) 1

6.

b) 1

3.

c) 2

3.

d) 1

2.

e) 3

2.

RESPOSTA: b



RESOLUO:

Considere os cartes 1 2A ,A , 1 2V ,V e 3 3A ,V identificados pela cor de suas faces. Vamos analisar o experimento no qual o juiz retira o carto e mostra uma das faces para o jogador

aleatoriamente. Se a face que o jogador v amarela, ou seja, 1A , 2A ou 3A , ento esse o nosso

espao amostral. Assim, n 3 .

Para que a face voltada para o juiz seja vermelha, o jogador deve estar vendo a face 3A . Assim, h

um nico caso favorvel e n A 1 .

Logo, a probabilidade pedida

n A 1P A

n 3

.

Esse problema pode ser feito tambm com auxlio do diagrama de rvore a seguir, onde foi adotada a

mesma nomenclatura para os cartes e suas faces.

Se a face que o jogador v amarela, ento ele v uma das trs faces marcadas por retngulos no

diagrama. Para que a face voltada para o juiz ser vermelha, ento o jogador deve estar vendo a face

3A . Portanto, a probabilidade pedida

3

1 2 3

P A 1 6 1P

P A P A P A 1 6 1 6 1 6 3

.

10) Assinale a alternativa que apresenta equaes paramtricas da reta r , sabendo-se que o ponto A ,

cujas coordenadas so 2, 3,4 , pertence a r e que r ortogonal s retas 1

x 2 t

r : y t

z 3

e

2

y x 1r :

z 3

.

a) x 2 y 3

r : 4 z6 6

b)

x 2 6t

r : y 3 5t

z 4



c) y x 5

r :z 6 x

d)

x 2 6t

r : y 3 3t

z 4

e)

x 2 6t

r : y 3 6t

z 4 t

RESPOSTA: e

RESOLUO:

Sejam 1d , 2d e 0 0 0 0d x , y ,z os vetores diretores das retas 1r , 2r e r , respectivamente.

1 1

x 2 t

r : y t d 1, 1,0

z 3

2 2 2

x ty x 1

r : r : y 1 x d 1, 1,0z 3

z 3

1 2 1 2d d r r

1 2 0 1 0 0 0r r r r d d 0 x y 0 d a,a,b ; a,b

x 2 at

2, 3,4 r r : y 3 at

z 4 bt

Fazendo, a 6 e b 1 , temos a reta da alternativa e). Note que a reta da alternativa e) a mesma da alternativa b), mas em b) apresentada a equao simtrica da reta e em e) a equao paramtrica

pedida.

11) Assinale a alternativa que apresenta o polinmio P de grau mnimo, com coeficientes reais, de

modo que P i 2 e P 1 i 0 .

a) 3 21

2x 3x 2x 25

b) 3 22

2x 3x 2x 25

c) 3 22

2x 3x 2x 25

d) 3 21

2x 3x 2x 25

e) 3 22

x x 2x 33



RESPOSTA: c

RESOLUO: (As alternativas foram alteradas, pois no havia resposta correta)

Inicialmente, lembremos que se um nmero complexo (no real) raiz de multiplicidade m de um

polinmio de coeficientes reais, ento o seu conjugado tambm raiz de multiplicidade m desse

polinmio.

Se P x possui coeficientes reais e P 1 i 0 , ento P 1 i 0 .

Logo, P x tem um fator 2x 1 i x 1 i x 2x 2 e pode ser escrito como

2P x x 2x 2 q x .

22 2 1 2i 2

P i i 2i 2 q i 2 1 2i q i 2 q i 1 2i1 2i 1 4 5

Para que P x tenha coeficientes reais e grau mnimo, q x deve possuir coeficientes reais e ser do

primeiro grau.

Fazendo q x ax b , com a,b , temos:

2 4 4 2 2

q i a i b i a b q x 2x 15 5 5 5 5

.

Portanto, 2 3 22 2

P x 2x 1 x 2x 2 2x 3x 2x 25 5

.

12) Dada uma funo F: , sabe-se que:

i) F' x sen 3x cos 5x , onde F' x a derivada da funo F , em relao varivel independente x ;

ii) F 0 0 .

O valor de F16

a) 1 2 2 3

4 2 4

b) 1 2 2 3

4 2 4

c) 1 2 2 3

4 2 4

d) 1 2 2 3

4 2 4

e) 1 2 2 3

4 2 4

RESPOSTA: c

RESOLUO:

Aplicando a transformao de produto em soma, temos: 1

sen 3x cos 5x sen 8x sen 2x2

.



Vamos recordar a integral cos kx

sen kx dx ck

.

1 cos 8x cos 2x

F x F' x dx c sen 8x sen 2x dx c c2 16 4

cos 8 0 cos 2 0 3

F 0 c 0 c16 4 16

cos 8x cos 2x 3

F x16 4 16

cos 8 cos 2 coscos3 3 1 2 2 316 16 82F

16 16 4 16 16 4 16 4 2 4

2 2

21

2 2 2 22cos 2cos 1 cos cos4 8 8 2 4 8 2

13) Os nmeros reais positivos 1 2 na ,a , ,a formam, nessa ordem, uma progresso geomtrica de

razo q . Nesse caso, correto afirmar que a sequncia 1 2 nloga ,loga , , loga forma

a) uma progresso geomtrica crescente, se q 1 .

b) uma progresso aritmtica crescente, se q 1 .

c) uma progresso geomtrica decrescente, se 0 q 1 .

d) uma progresso aritmtica crescente, se 0 q 1 .

e) uma progresso aritmtica crescente, desde que q 0 .

RESPOSTA: b

RESOLUO:

k 1 k 11 2 n k 1 k

k k

a aPG : a ,a , ,a q log logq loga loga logq

a a

Portanto, a sequncia 1 2 nloga ,loga , , loga uma progresso aritmtica de razo r logq .

Se 0 q 1 , ento r logq 0 e a PA decrescente.

Se q 1 , ento r logq 0 e a PA crescente.

14) Um tanque em forma de cone circular de altura h encontra-se com vrtice para baixo e com eixo

na vertical. Esse tanque, quando completamente cheio, comporta 6000 litros de gua. O volume de

gua, quando o nvel est a 1

4 da altura, igual a

a) 1500 litros.

b) 150 litros.

c) 93,75 litros.

d) 30 litros.

e) 125 litros.



RESPOSTA: c

RESOLUO: (As alternativas foram alteradas, pois no havia resposta correta)

O tanque cheio e o tanque com gua a 1

4 da altura so representados por dois cones semelhantes. A

relao entre seus volumes igual ao cubo da razo de semelhana. Assim, temos: 3

1 4 1 41 4

cheio

V Vh 4 1V 93,75

V h 6000 64

.

15) Um astronauta, em sua nave espacial, consegue observar em certo momento exatamente 1

6 da

superfcie de um planeta. Determine a que distncia ele est da superfcie desse planeta. Considere o

raio do planeta igual a 12800 km .

a) 1300 km

b) 1500 km

c) 1600 km

d) 3200 km

e) 6400 km

RESPOSTA: e

RESOLUO:

A figura abaixo representa a situao descrita no enunciado e o ponto A representa o astronauta.

Observe que a superfcie da Terra foi considerada uma superfcie esfrica.



A rea CS que o astronauta consegue observar a rea de uma calota esfrica em uma esfera de raio

r 12800 e altura h PM .

A superfcie da esfera 2

eS 4 r , ento a rea que o astronauta observa 2

c e

1 4 rS S

6 6

.

A rea da calota esfrica de raio r e altura h cS 2 rh .

Igualando as duas expresses para a rea da calota, temos: 24 r r

2 rh h6 3

.

r 2rOM OP PM r

3 3

No tringulo retngulo 2AOT , temos:

2 22

2r 3r 3OT AO OM r AO AO 12800 19200

3 2 2

A distncia do astronauta superfcie da Terra d AP AO OP 19200 12800 6400 km .

16) O valor da integral 2xxe dx

a) 2x1 e c

4

b) 2xx e c

2



c) 2x1 e c

2

d) x1

e c2

e) x1

e c4

RESPOSTA: c

RESOLUO: 2x u 2xdx du

2 2x u u u xdu 1 1 1xe dx e e du e c e c2 2 2 2

17) O valor da expresso

1

36

4

3

2710

64

8

a) 25

3

b) 3

5

c) 6

25

d) 6

5

e) 3

25

RESPOSTA: e

RESOLUO:

13 11 631

33 363 16 23 4 43 3

4 4 4 2 2 2 24333 3 3

310327 31010 10

3 2 3 2 364 4 4 4

4 252 10 2 2 528 2

18) Sabe-se que uma partcula move-se segundo a equao 3 21 1

S t t t t 23 2

, onde t o

tempo em segundos e S a posio em metros. Pode-se afirmar que a acelerao da partcula,

quando t 2 s ,

a) 23 m s



b) 25 m s

c) 27 m s

d) 28 m s

e) 210 m s

RESPOSTA: b

RESOLUO:

3 21 1

S t t t t 23 2

2dS

v t t t t 1dt

dv

a t t 2t 1dt

2t 2 s a 2 2 2 1 5 m s

19) Seja ij 3 3A a uma matriz quadrada de ordem 3, onde cada termo dado pela lei

ij

i j, se i j para

i j, se i j mpar

. Pode-se afirmar que o valor de det A

a) 0 b) 12 c) 12

d) 4

e) 4

RESPOSTA: a

RESOLUO:

11a 1 1 0

12a 1 2 1

13a 1 3 2

21a 2 1 1

22a 2 2 0

23a 2 3 1

31a 3 1 2

32a 3 2 1

33a 3 3 0

0 1 2

det A 1 0 1 2 2 0

2 1 0

20) Seja C uma circunferncia de raio 2 centrada na origem do plano xy . Um ponto P do 1

quadrante fixado sobre C determina um segmento OP , onde O a origem, que forma um ngulo de



4

radianos com o eixo das abscissas. Pode-se afirmar que a reta tangente ao grfico de C passando

por P dada por

a) x y 2 0

b) 2x y 1 0

c) 2x y 2 0

d) x y 2 2 0

e) x y 2 2 0

RESPOSTA: d

RESOLUO:

Seja t a reta tangente circunferncia em P e sejam A e B os pontos onde t corta o eixo das

abscissas e das ordenadas, respectivamente.

Como AOP rad 454

, ento AOB um tringulo retngulo issceles. Assim, temos:

OP 2OA OB 2 2

2 2cos 45 .

A equao segmentria de t dada por x y x y

1 1 x y 2 2 0OA OB 2 2 2 2

.

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Prova de Matemática Efomm 2014-2015 Resolvida