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PROVA DE MATEMÁTICA - TURMAS DO 3O ANO DO ENSINO MÉDIO COLÉGIO ANCHIETA-BA - SETEMBRO DE 2010.

ELABORAÇÃO: PROFESSORES OCTAMAR MARQUES E ADRIANO CARIBÉ.

RESOLUÇÃO: PROFESSORA MARIA ANTÔNIA C. GOUVEIA

QUESTÕES DE 01 A 09. Assinale as proposições verdadeiras, some os valores obtidos e marque os resultados na Folha de Respostas.

01. Os dados da tabela ao lado a seguir referem-se aos alunos matriculados nas duas turmas de um curso de Inglês.

HOMENS MULHERES Turma A 35 15 Turma B 10 20

Com base nesses dados, é correto afirmar: (01) A probabilidade de, sorteando-se um aluno deste curso, encontrarmos um homem é 56,25%. (02) A probabilidade de, sorteando-se um aluno deste curso, encontrarmos uma mulher ou um aluno da turma B é

81,25%. (04) A probabilidade de, sorteando-se três alunos da turma B, encontrarmos um homem e duas mulheres é de

aproximadamente 16,6%. (08) O número de duplas que podem ser formadas apenas com mulheres é igual a 595. (16) O número de comissões que podem ser formadas com duas mulheres de cada turma é igual a 295. (32) Se os Homens da turma B vão disputar uma prova de atletismo onde não há possibilidade de empate entre dois

concorrentes então o número de resultados possíveis para esta disputa considerando apenas os três primeiros lugares é 720.

RESOLUÇÃO:

HOMENS MULHERES TOTAL DE ALUNOS Turma A 35 15 50 Turma B 10 20 30 TOTAL 45 35 80

(01) VERDADEIRA.

Seja E o conjunto de todos os alunos do curso, então, n(E) = 80. O número de homens matriculados no curso é n(H) = 45. Logo a probabilidade de, sorteando-se um aluno deste curso, encontrarmos um homem é:

%25,565625,080

45

)E(n

)H(n=== .

(02) FALSA.

Representando por M∪B, a união dos conjuntos de alunos da turma B com o conjunto de mulheres que frequentam o curso, tem-se n(M∪B) = n(M) + n(B) – n(M∩B) = 35 + 30 – 20 = 45. Assim a probabilidade de, sorteando-se um aluno deste curso, encontrarmos uma mulher ou um aluno da turma B é

56,25%0,562580

45

)E(n

)BM(n===

∪

(04) FALSA..

A probabilidade de, sorteando-se três alunos da turma B, encontrarmos um homem e duas mulheres é de aproximadamente 16,6%. O universo desta questão é o conjunto dos alunos da turma B, n(B) = 30

Sorteando–se ao acaso 3 alunos dessa turma, existem

××=

××

××= 28295

123

282930C 3,30 maneiras diferentes de

fazer esse sorteio.

Nesse total de ocorrências, existem

=

×

××=× 1900

12

192010CC 2,201,10 maneiras distintas de encontrarmos um

homem e duas mulheres.

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A probabilidade pedida é: 46,8%0,4680203

95

29140

1900

C

CC

3,30

2,201,10===

×=

×

(08) VERDADEIRA.

O número de duplas que podem ser formadas apenas com mulheres é igual a

=

×= 595

2

3435C 2,35 .

(16) FALSA. HOMENS MULHERES TOTAL DE ALUNOS Turma A 35 15 50 Turma B 10 20 30 TOTAL 45 35 80

O número de comissões que podem ser formadas com duas mulheres de cada turma é igual a

=×=

××

×=× 19950190105

2

1920

2

1415CC 2,202,15 .

(32) VERDADEIRA. Se os Homens da turma B vão disputar uma prova de atletismo onde não há possibilidade de empate entre dois concorrentes então Como a turma B tem 10 homens, o número de resultados possíveis para esta disputa considerando apenas os três primeiros lugares é 10 × 9 × 8 =720.

02.

Na figura está representado um círculo tangente externamente, nos pontos M e N, à reta r e ao triângulo equilátero de lado

34=l cm. Sabe-se que a altura do triângulo equilátero tem a mesma medida do diâmetro do círculo. Pode-se afirmar que:

(01) A altura do triângulo equilátero mede 6cm. (02) O ângulo MÂN mede 150°.

(04) A medida do raio do círculo é igual a 32 cm.

(08) AM = 3 cm.

(16) A área do quadrilátero OMAN é igual a 33 cm². (32) A área do círculo é 125% a mais que a área do círculo inscrito no triângulo equilátero.

RESOLUÇÃO:

FIGURA I

FIGURA II

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(01) VERDADEIRA.

Na figura I, fixando o triângulo retângulo BCH , tem-se: h = 62

33460sen34 =×=°× .

(02) FALSA. O ângulo MÂN (figura I ) é externo ao triângulo eqüilátero ABC, logo ele mede 180° – 60° = 120°. (04) FALSA. Sendo o diâmetro do círculo congruente à altura do triângulo ABC, então medida do raio do círculo é igual a 3cm. (08) VERDADEIRA.

No triângulo retângulo OMA (figura I) , OM = 3 e MÂO = 60°, logo:AM = 33

3360gcotOM =×=°× ,

(16) VERDADEIRA.

O quadrilátero OMAN é formado por dois triângulos congruentes, assim sua área é: 33332

OMAM2 =×=

× cm².

(32) VERDADEIRA. Na figura II, o triângulo eqüilátero ABC é circunscrito ao círculo de centro O’, então sua altura equivale ao triplo do raio. Então 3r = 6cm ⇒ r = 2cm. A área do círculo tangente externamente ao triângulo é S1 = 9π cm² e a do círculo inscrito no triângulo é S2 = 4πcm².

22212

1 S25,1SS25,2S4

9

S

S+==⇒=

π

π

03. A figura representa um cubo de aresta a = 6cm. É verdade que:

(01) Existem, exatamente, 4 arestas contidas em retas reversas à reta que contém a aresta CG .

(02) A diagonal do cubo é igual a 4 3 cm.

(04) A área da esfera circunscrita ao cubo é igual a 108π cm². (08) Toda pirâmide com vértice no plano EFG e base ABCD tem volume igual a 72cm³.

(16) A área lateral do cone circular reto inscrito nesse cubo é igual a 59π cm².

(32) Prolongando a aresta AB obtém-se o ponto M tal que BM = 2cm. Então, HM= 262 cm

RESOLUÇÃO:

01) VERDADEIRA. Analisando a figura ao lado pode-se concluir que existem exatamente quatro retas

( EH e EF ,AD ,AB ) reversas à reta CG .

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(02) FALSA.

Do triângulo retângulo ABD : BD = 26723636 ==+ .

Do triângulo retângulo HBD : BH = 361087236 ==+ cm.

(04) VERDADEIRA.

Da resolução do item acima: BH = 2R = ⇒36 R = 33 cm.

S = 4πR² = ( )2334π = 108π

(08) VERDADEIRA. Toda pirâmide com vértice no plano EFG e com base ABCD tem a mesma altura 6cm (comprimento da aresta do cubo) e área da base medindo 36cm². Assim o

volume de qualquer uma dessas pirâmides é: V = 723

636=

×

(16) VERDADEIRA. No triângulo retângulo VOM: ⇒+=⇒+= ²6²3²g²VO²OM²VM

5345g == .

A área lateral do cone é determinada pela S =π Rg= ππ 59533 =×× cm².

(32) FALSA

Do triângulo retângulo AMD : DM = 101006436AMAD 22==+=+ .

Do triângulo retângulo HMD : MH = 34213610036 ==+ cm.

04. Considere um empréstimo de um capital de R$2.000,00 a uma taxa mensal de 5%. Nessas condições, é correto afirmar:

(01) Se for considerada a capitalização simples, o montante F(n), expresso em reais, ao final de n meses, será dado por F(n) = 2000 (1+ 0,05n).

(02) Ao final de dois meses, o valor dos juros na capitalização composta será igual a R$205,00. (04) Na capitalização composta, o montante G, expresso em reais e dado em função do número n de meses, pode ser

representado pelo gráfico abaixo.

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(08) Se for considerada a capitalização simples, a sequência dos montantes mensais será uma progressão aritmética de razão R$100,00.

(16) Se a capitalização for composta, o capital dobrará em menos de 20 meses. (Considere log2 = 0,301 e log1,05 = 0,021

RESOLUÇÃO: (01) VERDADEIRA. F(n) = C + C × i × n = C( 1 + i × n ) ⇒ F(n) = 2000 (1+ 0,05n). (02) VERDADEIRA. Na capitalização composta, j = C× (1 + i)n – C = [ ((1 + i)n – 1]. J = 2000(1,05² – 1) = 2000(1,1025 – 1) = R$205,00. (04) FALSA. O gráfico do montante G(n) = 2000 × 1,05n , expresso em reais e dado em função do número n de meses, pode ser representado pelo gráfico ao lado.

(08) VERDADEIRA. F(n) C( 1 + i × n )

meses 0 1 2 3 ....

F(n) 2.000 F(1) = 2000 (1,05)=2100 F(1) = 2000 (1,1)=2200 F(1) = 2000 (1,15)=2300 .....

Analisando a tabela acima percebe-se que os valores dos montantes formam a sequência: (2000, 2100, 2200, 2300, 2400, ...) que é uma progressão aritmética de razão R$100,00. (16) VERDADEIRA.

⇒>⇒>×⇒>⇒>×05,1log

2logn2log05,1logn205,1400005,12000 nn

15n20n 14333,140,021

0,301n =⇒<<⇒≅>

05. Considere a sequência: (bn) = (a, 2a + x, 3a + 2x, 4a + 3x,.....) É verdade que:

(01) (bn) é uma PA de razão r = x + a.. (02) O vigésimo termo dessa sequência é 21a + 20x.. (04) A soma dos 20 primeiros termos dessa sequência é 10(21a + 19x).

(08) Se a = 1 e a soma dos 20 primeiros termos for igual a 305, então x = 2

1. .

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(16) Se a = 1 e x = 2, então a soma dos primeiros termos que são menores que 60 é igual a 590. (32) Se (bn) possui 25 termos, então seu termo central é igual a 12a +11x.

RESOLUÇÃO:

(01) VERDADEIRA. 2a + x – a = 4a + 3x – (3a + 2x) ⇒ a + x = a + x = r. (02) FALSA. Como an = a1 + r(n – 1) ⇒ a20 = a + 19(x + a) = 20a + 19x. (04) VERDADEIRA.

Sendo Sn = ( )

2

r aa n1 + ⇒

( )( )x19a2110

2

20x19a20aS20 +=

++=

(08) VERDADEIRA.

S20 = 10(21a + 19x) ⇒ 10(21 + 19x) = 305 ⇒ 2(21+19x) = 61 ⇒ 42 + 38x = 61 ⇒ 38x = 19 ⇒ x = 2

1.

(16) VERDADEIRA. an = a + (n – 1)(x + a) , fazendo a = 1 e x = 2 ⇒ an = 1 + (n – 1)(3) ⇒ an = 3n – 2

3n – 2 < 60 ⇒ n < 3

62 ⇒ n < 20,666.... ⇒ n = 20.

a1 = 1 e a20 = 3 × 20 – 2 = 58 ⇒ S20( )

5902

20581=

+=

(32) FALSA.

Se (bn) possui 25 termos, então seu termo central é o termo de ordem 132

125=

+.

a13 = a + (13 – 1)(a + x) = a + 12a + 12x = 13a + 12x.

06. Sobre plano cartesiano, produto cartesiano , relações binárias e funções, é verdade que:

(01) Se o ponto P(m – 3; 2m – 4) pertence ao eixo das abscissas então m = 3.

(02) A área da região que representa graficamente o conjunto {(x; y) ∈ R2 / 2 ≤ x ≤ 7 , 0 ≤ y ≤ 5 e y ≤ x } é 20,5 u.a. (04) A representação gráfica do produto cartesiano [2; 6[×{3; 5} é

(08) O domínio da relação W = {(x; y) ∈ N × N / x + 3y = 20} possui apenas 7 elementos.

(16) A imagem da relação binária real definida pela sentença 2

2

x

2xy

+= é R*

+.

(32) Se f(g(x)) = 4x2 – 10x + 5 e g(x) = 2x – 5, então a soma dos coeficientes de f(x) é igual a 13.

(64) Se f(x) = x2 – 2x e g(x) = 1x

x2

−, então f(g(x)) =

1x2x

x42

+−.

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RESOLUÇÃO:

(01) FALSA.

Se o ponto P(m – 3; 2m – 4) pertence ao eixo das abscissas então 2m – 4 = 0 ⇒ m = 2.

(02) VERDADEIRA. Representando o conjunto {(x; y) ∈ R2 / 2 ≤ x ≤ 7 , 0 ≤ y ≤ 5 e y ≤ x } no plano cartesiano, tem-se o pentágono ABCDEF ao lado cuja área é:

SABCF + SCDEF = ( )

5,205,10102

32525 =+=

×++× .

(04) VERDADEIRA.

A representação gráfica do produto cartesiano [2; 6[×{3; 5} é a interseção das duas retas y =5 e y = 3 com a região retangular determinada pelo intervalo [2; 6[.

(08) VERDADEIRA.

De x + 3y = 20 ⇒ 3y = 20 – x ⇒ 3

x20y

−= ∈ N.

x 3

x20y

−=

2 9 5 5 8 4

11 3 14 2 17 1 20 0

Pelo preenchimento da tabela ao lado, se conclui que o domínio da relação W = {(x; y) ∈ N × N / x + 3y = 20} é o conjunto {2, 5, 8, 11, 14, 17, 20} que possui 7 elementos.

(16) A imagem da relação binária real definida pela sentença 2

2

x

2xy

+= é R*

+.

Trocando o x pelo na relação 2

2

x

2xy

+= :

( )1x

2y

1x

2y2y1x2yxy

y

2yx 2222

2

2

−±=⇒

−=⇒=−⇒+=⇒

+=

O domínio da relação 1x

2y

−±= , {x ∈ R; x >1} é o conjunto imagem da relação

2

2

x

2xy

+= .

(32) FALSA. f(g(x)) = 4x2 – 10x + 5 e g(x) = 2x – 5 ⇒ f(2x – 5) = 4x2 – 10x + 5.

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Fazendo 2x – 5 = X ⇒ 2x = X + 5 ⇒ x = 2

5X +. Substituindo este valor de x na igualdade f(2x – 5) = 4x2 – 10x + 5:

f(X) = =⇒+

+−

+5

2

5X10

2

5X4

2

f(X) = ( )

⇒+−−++

525X54

25X10X4 2

f(X) = X2 +5X+5.

Pode-se agora escrever: f(x) = x2 +5x+5. Então a soma dos coeficientes de f(x) é 11 e não 13. (64) VERDADEIRA.

Se f(x) = x2 – 2x e g(x) = 1x

x2

−, então f(g(x)) =

−−

−=

− 1x

x22

1x

x2

1x

x2f

2

⇒

f(g(x)) = ( )

( )=

−

−−=

−−

−2

2

2

2

1x

1xx4x4

1x

x4

)1x(

x4

1x2x

x42

+−.

07.

As regiões hachuradas são quadrados cujas áreas são os termos de uma sequência infinita (an). Sendo l o lado do primeiro quadrado, é verdade que:

(01) (an) =

... ,

16 ,

4 ,

222 lll .

(02) O termo geral de (an) é 2n22n 2a l×=

− .

(04) Se o produto dos 10 primeiros termos de (an) é igual a 415, então 65>l .

(08) Supondo 4=l , o número de termos de (an) maiores que 104− é igual a 12.

(16) Se m5

a l= e n25

a l= , então 2

nm

15a+

= l .

(32) O limite da soma dos termos de ordem ímpar de (an) é igual a 2

15

16l .

RESOLUÇÃO:

(01) VERDADEIRA.

A sequência das áreas representadas pelas regiões hachuradas realmente formam a sequência infinita

(an) =

,...

64 ,

16 ,

4 ,

2222 llll .

(02) VERDADEIRA.

A razão da PG

,...

64 ,

16 ,

4 ,

2222 llll é:

4

1

4q 2

2

=÷= ll

.

O termo geral de (an) é ( ) 2n221n221n

2n 22

4

1a lll ×=×=

×=

−−−

−

.

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(04) FALSA.

O produto dos n primeiros termos de uma PG é dado por uma das duas fórmulas ( )

2

1nnn

1n qaP−

×= e ( )nn1n aaP ×= .

Usando a fórmula( )

⇒×=

−

2

1nnn

1n qaP ( )( )

( ) 29045222

11010

2 224

1llllllllllll

−−

−

=×=

×

6564222242 612020302090152090<==⇒=⇒=⇒=

−−llllllllllllllll

(08) VERDADEIRA.

O termo geral da PG em questão é 2n22n 2a l×=

− . Substituindo l por 4:

( ) 12n13n26n220n262 22 2 24 16 2 20-n26-1024n2210-n22=⇒<⇒<⇒−>−⇒>⇒>×⇒>×

−−−

(16) FALSA.

Sendo 285 2a l×=

− , 24825 2a l×=

− e 22815 2a l×=

−

(32) VERDADEIRA.

Os termos de ordem impar formam a seguinte PG infinita e decrescente:

... ,

256 ,

16 ,

222 lll de razão

16

1.

Logo o limite da soma de seus termos é: 15

16

16

15

16

11 S

222lll

==

−

=

08. Considere a função f(x) = xlog2 3+ e g(x) = )1x(log

31 −− .

Pode-se afirmar que:

(01) f(x) = 0 ⇔ x = 9

1.

(02) f(70) > 6.

(04) 9

3)x(f

x1

=− .

(08) A função g é composta das funções h, llll e m, tais que h(x) = −x, llll (x) = xlog3

1 , m(x) = x – 1 é uma função

crescente. (16) A equação f(x) = g(x) tem solução. (32) g(x) < 0 ⇔ 1 < x < 2.

RESOLUÇÃO:

(01) VERDADEIRA.

xlog2 3+ = 0 ⇒ 2xlog3 −= ⇒ 9

1x =

(02) FALSA.

f(70) = )falso(81703log70log470log670log2 43333 >⇒>⇒>⇒>+ .

(04) VERDADEIRA. Sendo f(x) = xlog2 3+ , a sua inversa é determinada trocando-se o x pelo y:

x = ⇒−=⇒+ 2xylogylog2 33 y = 9

3

3

3yf3

x

2

x12x

===⇒ −−

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(08) VERDADEIRA. h( llll (m)) = g(x) ⇒

)x(g)1x(log)1x(log)1x(logh3

1

3

1

3

1 =−−⇒−−=

− .

g(x) = )1x(log3

1 −− .

A função n(x) = )1x(log3

1 − é decrescente, pois a base do logaritmo é um número positivo menor que 1, então

g(x) = − n(x) = )1x(log3

1 −− é uma função crescente..

(16) FALSA. O domínio da equação xlog2 3+ = )1x(log

31 −− é o conjunto formado pelos valores de x que satisfazem ao sistema:

1x1x

0x

01x

0x>⇒

>

>⇒

>−

>

Resolvendo a equação xlog2 3+ = )1x(log3

1 −− ⇒ =+ xlog9log 33 )1x(log 13−− − ⇒ =x9log3 )1x(log3 − ⇒

⇒ =+ xlog9log 33 )1x(log 13−− − ⇒ =x9log3 )1x(log3 − ⇒ 9x = x – 1 ⇒ x =

9

1− ( que não pertence ao domínio

da equação). Logo a equação f(x) = g(x) não tem solução. (32) VERDADEIRA. g(x) < 0 ⇒ )1x(log

31 −− < 0 ⇒ 0)1x(log

31 >− ⇒ 1log)1x(log

31

31 >− ⇒

x – 1 < 1 ⇒ x < 2. Sendo o domínio da função formado pelos valores de x > 1, então é verdade que g(x) < 0 ⇔ 1 < x < 2.

09. Considere a matriz ( )

==

210

032

121

aA ij . É verdade que:

(01) A é uma matriz inversível. (02) A é uma matriz simétrica.

(04) A inversa da matriz B =

2221

1211

aa

aa é

−

−=

−

12

23B 1 .

(08) O elemento x22 da matriz X tal que IA3

XA2=

+, onde I é a matriz identidade de 3a ordem, é igual a 6.

(16) O sistema AX = O, onde X =

z

y

x

e O =

0

0

0

, é determinado.

(32) Sendo Y a inversa da matriz A + I, então 4

1y31 =

RESOLUÇÃO:

(01) FALSA.

Para que a matriz

=

210

032

121

A seja inversível detA ≠ 0.

0826

210

032

121

Adet =−+== ⇒ que a matriz A não é inversível.

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(02) FALSA.

Uma matriz quadrada é simétrica quando qualquer elemento am n = an m. Na matriz

=

210

032

121

A , a1 3 ≠ a3 1.

(04) VERDADEIRA.

B =

=

32

21

aa

aa

2221

1211 ⇒

−

−=

−

−

−

=−

12

23

43

12

23

B 1 .

(08) FALSA.

=⇒−=⇒=+⇒=+

XA2A3XIA3XA2IA3

XA2

=

210

032

121

A ⇒ x22 = 3

(16) FALSA.

Sendo o sistema

210

032

121

z

y

x

=

0

0

0

homogêneo e 0

210

032

121

= , então esse é um sistema indeterminado.

(32) FALSA.

=

+

=+

310

042

122

100

010

001

210

032

121

IA .

Considerando Y =

ihg

fed

cba

, onde y31 = g, tem-se:

=+

=+

=++

⇒

=

0g3d

0d4a2

1gd2a2

100

010

001

ihg

fed

cba

310

042

122

==

=

⇒

=−

=+−

−=

⇒

=+

=+

=++

7

1yg

1g7

0g12a2

1gg6a2

g3d

0g3d

0d4a2

1gd2a2

31

QUESTÕES ABERTAS

10. Numa reserva florestal existem 2.500 animais de certa espécie. O crescimento da população desses animais é de 20% ao ano. Quantos anos, no mínimo, são necessários para a população desses animais ser superior a 7.500? (Dados: 30,02log = e 48,03log = ).

RESOLUÇÃO:

⇒>⇒>×⇒>⇒>⇒>×2,1log

3logn3log2,1logn3log2,1log32,1500.72,1500.2 nnn

6n08,0

48,0n

148,030,02

48,0n

13log2log

48,0n

10log12log

3logn

2>⇒>⇒

−+×>⇒

−+>⇒

−> .

RESPOSTA: 7 anos.

09-1797(M)_2ªAval-Matem-3ºEM-U1(prof)_15-04_ado 12

11. (UFBA/2008/Modificada) Em um terreno plano horizontal, está fixado um mastro vertical com 13,5 metros de altura. Do topo do mastro, é lançado um projétil, descrevendo uma trajetória de modo que sua altura, em relação ao terreno, é uma função quadrática (f(x) = ax2 + bx + c) de sua distância à reta que contém o mastro. O projétil alcança a altura de 16 metros, quando essa distância é de 3 metros, e atinge o solo, quando a distância é de 27 metros. Calcule a altura do projétil quando essa distancia é de 9 metros.

RESOLUÇÃO:

f(x) = ax²+bx+c ⇒

−=+

=+⇒

=++

=++⇒++=⇒

=

=

=

5,13b27a729

5,2b3a9

05,13b27a729

165,13b3a95,13bxax)x(f

0)27(f

16)3(f

5,13)0(f2

f(0) = 13,5

⇒++−=⇒

=

−=⇒

=

=+−⇒

−=

−=

⇒

−=+

=+5,13xx

18

1)x(f

1b18

1a

3b3

5,2b32

1

18

1a

4a72

5,1b3a81

5,2b3a9 2

185,225,45,13918

81)9(f =+−=++−=

RESPOSTA: f(9) = 18