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Instituto de Matemtica - IM/UFRJGabarito da Prova Final
Unificada de Clculo I - 2014.1
Politcnica e Engenharia Qumica - 29/05/2014
Questo 1: (2.0 pontos)
(a) Calcule:
limx0
ex2 tg xex x .
(b) Determine se a seguinte integral imprpria finita: e
1x ln xdx.
Soluo:
(a) ex2 tg xexx
= ex2
ex cosxsen xx
limx0
ex2 tg xexx
=(
e02
e0 cos 0
)(limx0
sen xx
)= 1
(b) Substituindo u = ln x e du = 1xdx, temos
1x ln xdx =
1udu = ln |u|+ C = ln |ln x|+ C.
Assim, e
1x ln xdx = limb
be
1x ln xdx = limb ln | ln b| ln | ln e|
=0
.
A integral imprpria em questo infinita, pois ln | ln b| cresce
indefinidamente com b.
Questo 2: (2.0 pontos)Calcule a rea da regio
R ={(x, y) R2
x4 x y x e2x, x [1, 2]}.
Soluo:
A = 21
(xe2x x
4 x
)dx =
21xe2xdx
21
x4 xdx
Integrando por partes, temos que
21xe2xdx =
211e
2x
2 dx+(xe2x
2
)2
1
= (e2x
4
)2
1+ e4 e
2
2
= 3e4 e24 .
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Substituindo u = 4 x e du = dx, temos que x = 4 u e portanto x4
xdx =
4 uudu = 4
1udu+
udu
= 4(2u)+ 23u3 + C = 2(u 12)3
u+ C
= 2(x+ 8)34 x+ C
Assim, 21
x4 xdx =
(2(x+ 8)3
4 x
)2
1= 63 20
2
3 .
e, portanto,
A = 3e4 e24 +
202
3 63.
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Questo 3: (2.0 pontos)Calcule o volume do slido de revoluo
obtido pela rotao do semi-crculo
R = {(x, y) R2 |x2 + y2 1, y 0}
em torno da reta y = 3.
Soluo:
3
1 x2 + 3
Integrando fatias ortogonais ao eixo de rotao, obtemos
V = 11pi((
1 x2 + 3)2 9) dx = pi 1
1
(1 x2
)dx+ 6pi
11
1 x2dx.
Calculamos primeiro 11
(1 x2
)dx =
(x x
3
3
)1
1= 43 .
A integral 11
1 x2dx pode ser reconhecida como a rea do semi-crculo de raio 1
(ver figura
abaixo), portanto igual a pi2 .
1 1x
1 x2
Outra opo calcul-la diretamente, atravs da substituio
trigonomtrica sen = x, queimplica em dx = cos d. Neste caso, 11
1 x2dx =
pi2
pi2
1 sen2 cos d =
pi2
pi2cos2 d
= pi
2
pi2
1 + cos(2)2 d =
(
2 +sen(2)
4
)pi2
pi2= pi2
Assim,V = 4pi3 + 3pi
2.
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Outra opo ainda calcular o volume fatiando o slido por cascas
cilndricas, como indicadona figura abaixo:
y
33 + y
21 y2
Temos entoV =
102pi(3 + y)
(21 y2
)dy
= 12pi 10
1 y2dy
1/4 da reado crculo unitrio
+4pi 10y1 y2dy
substituio:u = 1 y2
= 12pipi4 + 4pi(13
(1 y2)3
)10
= 3pi2 + 4pi3 .
Questo 4: (2.0 pontos)Um rio tem 400 m de largura. Deseja-se
estender um cabo de comunicao ligando os pontos A eC, situados em
margens opostas. O ponto C est 1 km a jusante (isto , rio abaixo)
do ponto A,conforme a figura.
A
C
O custo de instalao do cabo de R$ 130,00 por metro no leito do
rio e de R$ 50,00 por metro nosolo seco. Determine quantos metros
de cabo devero ser instalados no rio e quantos em terra paraque o
custo total seja mnimo.
Soluo:Seja 0 x 1000 a distncia (em metros) indicada na
figura.
A
C
1000x
400
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O custo total em reais dado pela seguinte funo de x:
c(x) = 1304002 + x2 + 50(1000 x).
Para identificar os intervalos de crescimento/decrescimento de
c, analisamos o sinal da derivada:
c(x) = 130x4002 + x2
50 = 0 13x = 54002 + x2
169x2 = 25(4002 + x2)
x = 5003No intervalo [0, 1000], a derivada se anula apenas em x
= 500/3. Para verificar o sinal de cantes e depois de x,
calculamos
c(0) = 50 < 0 e
c(1000) = 1300004002 + 10002
50 = 1300116 50 > 1100
121 50 = 50 > 0.
Como a funo decresce em [0, x] e cresce em [x, 1000], podemos
concluir que x ponto demnimo absoluto no intervalo de interesse [0,
1000].
O custo mnimo se d para x = 500/3, o que corresponda a4002 +
(500/3)2 = 1300/3 metros
de cabo submerso e 2500/3 metros de cabo em solo.
Questo 5: (2.0 pontos)Considere a funo p(x) = 2x3 3x2 12x.(a)
Determine:
(i) os limites de p(x) quando x tende a e quando x tende a ;(ii)
os intervalos onde p crescente e aqueles onde decrescente;(iii) os
pontos de mximo e mnimo locais e/ou globais (abscissas e
ordenadas);(iv) os intervalos onde a concavidade para cima (funo
convexa) e aqueles onde para
baixo (funo cncava);(v) os pontos de inflexo de p.
(b) Esboce o grfico de p, respeitando todos os aspectos do
grfico identificados no item (a).
Soluo:
(a) (i)lim
x p(x) = e limx p(x) =
(ii) necessrio estudar o sinal de p(x) = 6x26x12 = 6(x+1)(x2).
Observa-se que:p(x) = 0 em 1 e 2; p(x) < 0 em (1, 2) e p(x) >
0 para x < 1 e x > 2. Assim, p crescente nos intervalos (,1]
e [2,) e decrescente no intervalo [1, 2].
(iii) Como (pelo item i) a funo no limitada nem por cima nem por
baixo, no hextremos absolutos. Como o domnio a reta inteira, os
extremos locais ocorremem pontos crticos. Como a derivada existe
sempre, eles ocorrem em pontos onde a
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Gabarito da Prova Final Unificada de Clculo I - 2014.1Politcnica
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derivada se anula: 1 e 2. Analisando-se o sinal da derivada,
conclui-se que 1 ponto de mximo local e que 2 ponto de mnimo local.
Os respectivos valores dafuno so f(1) = 7 e f(2) = 20.
(iv)p(x) = 12x 6 = 12(x 1/2)
Assim, a funo cncava (concavidade para baixo) em (, 1/2] e
convexa (conca-vidade para cima) em [1/2,).
(v) H um ponto de inflexo em (1/2, p(1/2)) = (1/2,13/2).(b)
21
1/27
2013/2
mx
mn
inf
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