34
Faculdade de Engenharia Óptica de Fourier OE – MIEEC 2014/2015 z x 0 , x U z x 0 , sin k A

Óptica de Fouriermines/OE/Teoricas/Fourier/OE_Fourier.pdf · Faculdade de Engenharia Fourier Transformada de Fourier espacial – exemplos A k z U x z ejk x dx x, , x x jk x U x

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Faculdade de Engenharia

Óptica de Fourier

OE – MIEEC 2014/2015

z

x

0,xU

z

x

0,sinkA

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Faculdade de Engenharia

Fourier

Introdução à Óptica de Fourier

transformada de Fourier espacial 1D

função de transferência para a propagação em espaço livre

aproximação de Fresnel

equação de propagação paraxial

exemplos de evolução paraxial de ondas

aproximação de Fraunhofer

difracção através de fendas

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Faculdade de Engenharia

Fourier

Transformada de Fourier espacial – 1D

Transformada de Fourier temporal

dtetgG tj

deGtg tj

21

Transformada de Fourier espacial

dxexgkG xjkx

x

xxjk

x dkekGxg x

21

decomposição em sinais com diferentes frequências

decomposição em sinais com diferentes componentes do número de onda segundo x

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Faculdade de Engenharia

Fourier

pzxUE ˆ,

Consideremos uma onda que se propaga no plano xz, cujo campo eléctrico é definido pelo fasor:

versor que indica polarização

amplitude complexa(inclui fase adquirida durante propagação)

Transformada de Fourier espacial – onda no plano xz

Para um dado z, esta amplitude complexa pode ser descrita à custa de uma transformada de Fourier unidimensional:

dxezxUzkA xjkx

x,,

xxjk

x dkezkAzxU x,21,

zxUFzkA x ,,

zkAFzxU x ,, -1

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Faculdade de Engenharia

Fourier

Transformada de Fourier espacial – exemplos

Exemplo 1

zjkezxU ,

dxee xjkzjk x 1Fe zjk zjkx ek 2

dxeezkA xjkzjkx

x,

dxezxUzkA xjkx

x,,

xxjk

x dkezkAzxU x,21,

onda plana com amplitude unitária que se propaga segundo +z:

z

x

xk

A

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Faculdade de Engenharia

Fourier

Transformada de Fourier espacial – exemplos

dxezxUzkA xjkx

x,,

xxjk

x dkezkAzxU x,21,

Exemplo 2

onda plana com amplitude unitária que se propaga segundo:

zjkxxx

zekkzkA 02,

xxjkzjk

xx dkeekkzxU xz02

21,

xxjk

xxzjk dkekke xz

0 xjkzjk xz ee 0 zkxkj zxe 0

kukuka zzxx

nˆˆˆ 0

nakk ˆ

z

x

zk

0xk

no caso geral

k

22zx kkk

kkxsin

xk

A

0xk

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Faculdade de Engenharia

Fourier

Espectro angular

dxezxUzkA xjkx

x,,

xxjk

x dkezkAzxU x,21,

é também conhecido como espectro angular

z

x

0,xU

z

x sinkkx

0,sinkA

zkA x ,

a transformada de Fourier espacial corresponde à decomposição em ondas planas de diferentes direcções e amplitudes

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Faculdade de Engenharia

Fourier

Propagação de onda EM em meio LHI

dxezxUzkA xjkx

x,,

xxjk

x dkezkAzxU x,21,

Desprezando efeitos associados à polarização, a propagação de uma onda EM num meio LHI sem fontes é governada pela equação de Helmholtz escalar:

022 UkU onde k

2

2

2

22 ,

zU

xUzxU

AUF

AjkxUF x

AjkxUF x

22

2

Akx2

022

22

AkzAAkx 02

2

2

Ak

zA

z222zx kkk

no domínio de Fourier:

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Faculdade de Engenharia

Fourier

Função de transferência associada à propagação

dxezxUzkA xjkx

x,,

xxjk

x dkezkAzxU x,21,

022

2

Ak

zA

z

zjkzjkxx

zz BeAekFzkA ,

método da separação das variáveis:

para propagação segundo +z:

zGkFzkA xx ,

solução não trivial :

zjkxx

zekAzkA 0,,

022

2

Gkdz

Gdz zjkzjk zz BeAezG

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Faculdade de Engenharia

Fourier

Função de transferência associada à propagação

dxezxUzkA xjkx

x,,

xxjk

x dkezkAzxU x,21,

zjkxx

zekAzkA 0,,

222zx kkk

zkkjxx

xekAzkA22

0,, transformada após distância z

transformada em z = 0

propagação ao longo de

distância z 0,xU zxU ,

0,xkA zkA x , xx kHkA 0, xkH

função de transferênciada propagação

zkkjx

xekH22

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Faculdade de Engenharia

Fourier

Campo após propagação

dxezxUzkA xjkx

x,,

xxjk

x dkezkAzxU x,21,

0,xU zxU ,

0,xkA zkA x , xx kHkA 0,

xxjk

x dkezkAzxU x,21,

xxjk

xx dkekHkA x0,21

x

xjkx

xjk dkekHdxexU xx '0,'21 '

'0,'21 ' dxdkekHxU x

xxjkx

x

zkkjx

xekH22

'0,'21, '22

dxdkeexUzxU xxxjkzkkj xx

zkkjx

xekH22

0,xkA

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Faculdade de Engenharia

Fourier

Função de transferência associada à propagação

0,xU zxU ,

0,xkA zkA x, xx kHkA 0,

1. depende do meio e da frequência da onda através de xkH k da distância z

2. xk

k22xz kkk

kkx se zk real onda em propagação

kkx se zk imaginário onda evanescente amplitude decresce exponencialmente com z

necessário considerar apenas os tais quexk kkx para z suficientemente

elevados

zkkjx

xekH22

Notas:

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Faculdade de Engenharia

Fourier

Aproximação de Fresnel

dxezxUzkA xjkx

x,,

xxjk

x dkezkAzxU x,21,

zkkjx

xekH22

Admitamos que kkx

22xkk 2

21

xkk

k

zk

kjzjkx

x

eekH 2FRESNEL

2

Nota: consideram-se apenas as ondas planas com componentes segundo x do vector de onda muito menores do que k

kkx

z

x

pequenos ângulos

aproximação de Fresnel é também conhecida como aproximação paraxial

aproximação de Fresnel

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Faculdade de Engenharia

Fourier

Aproximação de Fresnel

dxezxUzkA xjkx

x,,

xxjk

x dkezkAzxU x,21,

zk

kjzjkx

x

eekH 2FRESNEL

2

'0,'21, ' dxdkekHxUzxU x

xxjkx

x

'0,'21,

'2

2

dxdkexUezxU x

kxxkkzj

zjk xx

ab

adxe bxax

4exp

22

'0,',

2'2 dxexUe

zjzxU

xxz

kjzjk

a resposta impulsional associada à propagação paraxial é

2

2,x

zkjzjk ee

zjzxh

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Faculdade de Engenharia

Fourier

Relação entre aproximação de Fresnel e equação paraxial

'0,',

2'2 dxexUe

zjzxU

xxz

kjzjk

zjkezxu ),(

onde '0,',

2'2 dxexU

zjzxu

xxz

kj

satisfaz a equação:

02 2

2

xu

zukj equação de onda paraxial

NOTA – Substituindo na equação de Helmholtz escalar resulta na equação:

0),(, 22 zxUkzxU

zjkezxuzxU ),(),(

02 2

2

2

2

xu

zukj

zu

equação paraxial resulta de considerar z

ukzu

2

2u(x,z) varia lentamente ao longo de distâncias da ordem de

dxezxUzkA xjkx

x,,

xxjk

x dkezkAzxU x,21,

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Faculdade de Engenharia

Fourier

Exemplos da evolução paraxial de algumas ondas

A óptica de Fourier permite estudar facilmente a evolução linear de feixes ópticos.

zk

kjzjkx

x

eekH 2FRESNEL

2

dxezxUzkA xjkx

x,,

xxjk

x dkezkAzxU x,21,

zkA x , xx kHkA 0,

Exemplos

ondas gaussianas:

ondas de Airy:

feixe de laser tem frequentemente perfil gaussiano

ondas que se propagam segundo trajectória parabólica sem alterar a forma (ondas de energia infinita)

2

wx

e

xAi

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 40

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

x/w

e-(x/w)2

-20 -18 -16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5 Ai(x)

x

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Faculdade de Engenharia

Fourier

Evolução paraxial da onda gaussiana 1D

zk

kjzjkx

x

eekH 2FRESNEL

2

dxezxUzkA xjkx

x,,

xxjk

x dkezkAzxU x,21,

zkA x , xx kHkA 0,

20

2

0,w

x

exU ?, zxU

0,xkA zkA x , xx kHkA 0,zdistância

dxexUkA xjkx

x0,0,

dxexjk

wx

x20

2

220

40

xkw

ew

xxjk

x dkezkAzxU x,21,

dxeew xx jxkkkzjw

jkz2

20

240

2 kzjw

x

jkzee

kzjw

w 2

20

20

20

2

2

zkA x , xx kHkA 0,2

20

240

xkkzjw

jkzeew

1. espectro inicial

2. espectro final

3. envelope complexo final

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Faculdade de Engenharia

Fourier

Evolução paraxial da onda gaussiana 1D

zk

kjzjkx

x

eekH 2FRESNEL

2

dxezxUzkA xjkx

x,,

xxjk

x dkezkAzxU x,21,

zkA x , xx kHkA 0,

2

0 1

Rzzwzw

onda mantém forma gaussiana, mas com largura e amplitude variáveis

kzjw

x

jkzee

kzjw

wzxU2

20

20

20

2

2,

2

0wzR

2

1zzzzR R

Rzzj

zRkxj

zwx

jkz eeeezw

wzxU1

2

2

2tan

21

20, zw

x

ezw

wzxU2

2

0,

definindo

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Faculdade de Engenharia

Nota

Fourier

Evolução paraxial da onda gaussiana 1D

2

0 1

Rzzwzw

onda mantém forma gaussiana, com largura e amplitude variáveis

2

0wzR zw

x

ezw

wzxU2

2

0,

constante!!

22, 0

202 wzwzw

wdxzxU

conservação de energia

-20-10

010

20

0

2

4

60

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x

z

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Faculdade de Engenharia

Fourier

Evolução paraxial da onda gaussiana 1D

2

0 1

Rzzwzw

2

0wzR

zw

x

ezw

wzxU2

2

0,

0

0

0w

Rz

20w

0 1

50w

Rz2

Nota

Para ,

ângulo divergência:

Rzz zzwzw

R

0

quanto menor , mais elevado0

0

wzw

R 0w

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Faculdade de Engenharia

Fourier

Evolução paraxial da onda de Airy infinita

zk

kjzjkx

x

eekH 2FRESNEL

2

dxezxUzkA xjkx

x,,

xxjk

x dkezkAzxU x,21,

zkA x , xx kHkA 0,

xAxU i0, ?, zxU

0,xkA zkA x, xx kHkA 0,zdistância

3

3

0,xkj

x ekA

23

22232

2, k

zxkzj

kzj

zjki eee

kzxAzxU

zkA x,

23

23

3 xx kkzkj

jkzee

para x real:

0

3

3cos1 dtxttxAi

323

23223

kzjk

kzj

kzkj

jkz eeeexx

1. espectro inicial:

2. espectro final:

3. envelope complexo final:

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Faculdade de Engenharia

Fourier

Evolução paraxial da onda de Airy infinita

2

2,

kzxAzxU i

23

22232

2, k

zxkzj

kzj

zjki eee

kzxAzxU

perfil da onda mantém-se inalterado durante a propagação

onda de Airy infinita não difracta

onda tem trajectória parabólica

z

traje

ctór

ia

z

x

01

23

45

67

89

10

-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40

Estas ondas têm energia infinita e por isso só existem na teoria

Importante

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Faculdade de Engenharia

Fourier

Evolução paraxial da onda de Airy finita

zk

kjzjkx

x

eekH 2FRESNEL

2

dxezxUzkA xjkx

x,,

xxjk

x dkezkAzxU x,21,

zkA x , xx kHkA 0,

axi exAxU 0, ?, zxU

0,xkA zkA x, xx kHkA 0,zdistância

seja axi exAxU )0,( 0a,

-40 -35 -30 -25 -20 -15 -10 -5 0 50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

x

|Ai(x)|

|Ai(x)|*e0.15x

Estas ondas têm energia finita e já foram obtidas experimentalmente

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Faculdade de Engenharia

Fourier

Evolução paraxial da onda de Airy finita

zk

kjzjkx

x

eekH 2FRESNEL

2

dxezxUzkA xjkx

x,,

xxjk

x dkezkAzxU x,21,

zkA x , xx kHkA 0,

axi exAxU )0,( jaxj

i exA

propriedade do deslocamento da transformada de Fourier

xkAxu )( bkAexu x

jbx )(

xxk

kz

kjazj

kzjakj

kza

kzj

kzjajkz eeeeee

23232

2231

2231

2

3

3

)(xkj

i exA

331

0,jakj

xxekA

23

231

, xx kkzjjakjjkz

x eeezkA

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Faculdade de Engenharia

Fourier

Evolução paraxial da onda de Airy finita

zk

kjzjkx

x

eekH 2FRESNEL

2

dxezxUzkA xjkx

x,,

zkA x , xx kHkA 0,

x

kkjaz

kzxj

kzjakj

kza

kzjz

kajjkz dkeeeeeezxU

xx

23232

2232231

2

21),(

xxjk

x dkezkAzxU x,21,

32

2

2121

22222

2, k

zkzx

kzazkj

kzxa

i eekazj

kzxAzxU

argumento da função de Airy é agora complexo!

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Faculdade de Engenharia

Fourier

Evolução paraxial da onda de Airy finita

32

2

2121

22222

2, k

zkzx

kzazkj

kzxa

i eekazj

kzxAzxU

como o argumento da função de Airy é complexo, o perfil da onda varia durante a propagação

2

222

2, k

zxa

i ekazj

kzxAzxU

onda também é atenuada à medida que se propaga

-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 400

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

x

|U(x

,z)|

z=0z=1z=2z=3

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Faculdade de Engenharia

Fourier

Evolução paraxial da onda de Airy finita

15.0a

z

x

01

23

45

67

89

10

-40

-30

-20

-10 0 10 20 30 40

0a

z

x

01

23

45

67

89

10

-40

-30

-20

-10 0 10 20 30 40

onda finita mantém trajectória parabólica por alguma distância

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Faculdade de Engenharia

Fourier

Aproximação de Fraunhofer

Admitamos que

'0,','

2'

2

22

dxeexUeezjzxU z

kxxjz

kxjxz

kjzjk

'max xX onde2

2kXz

12

2

z

kX 12

2

zkXj

e 12'2

zkxj

e

'0,''

22

dxexUeezj x

zkxjx

zkjzjk

0,

zkxA

0,,2

2

zkxAee

zjzxU

xz

kjzjk

'0,',

2'2 dxexUe

zjzxU

xxz

kjzjk

dxezxUzkA xjkx

x,,

amplitude do campo em z é versão escalada da transformada de Fourier em z=0

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Faculdade de Engenharia

Fourier

Aproximação de Fraunhofer – difracção através de uma fenda

dxezxUzkA xjkx

x,,

xxjk

x dkezkAzxU x,21,

0,,2

2

zkxAee

zjzxU

xz

kjzjk

XxXx

xU,0,1

0,

dxexUkA xjkx

x0,0,

X

X

xjk dxe x

Consideremos a difracção através de uma fenda de largura 2X localizada em z = 0:

X

Xx

xjk

jke x

x

XjkXjk

jkee xx

x

x

kXksin2

2

2 0,1,

zkxA

zzxU

2

2

2sin

4,

zkx

zkXx

zzxU

0,xU

xX X

1

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Faculdade de Engenharia

Fourier

Aproximação de Fraunhofer – difracção através de uma fenda

2

2

2sin

4,

zkx

zkXx

zzxU

2

MAX2 ,0, zUzxU

zX

24

MAX

2

2

,

,

zxU

zxU2

2sin

xz

KX

xz

kX

xz

KX2 2

1

intensidadenormalizada

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Faculdade de Engenharia

Fourier

Aproximação de Fraunhofer – difracção através de uma fenda

xz

KX

2

2

W

z W

X W

intensidade normalizada no alvo

fenda alvo

z

X2

z

kXxkXzx

X

z2

WXz

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Faculdade de Engenharia

Fourier

Aproximação de Fraunhofer – difracção através de N fendas

dxezxUzkA xjkx

x,,

xxjk

x dkezkAzxU x,21,

1

00 2

10,N

i

aNiaxUxU

Consideremos a difracção através de N fendas de largura 2X e separadas de uma distância a:

0,xU

x

1

a

X2

XxXx

xU,0,1

0onde

dxexUkA xjkx

x0,0,

1

0

21

21

N

i

XaNia

XaNia

xjk dxe x

1

0

21

21

N

i

XaNia

XaNiax

xjk

jke x

1

0

21sin2 N

i

aNiajk

x

x x

ek

Xk

1

0

21sin2 N

i

iajkaNjk

x

x xx ee

kXk

ajk

NajkaNjk

x

xx

xx

eee

kXk

11sin2 2

1

2sin

2sin

sin2ak

Nak

kXk

x

x

x

x

importante: Xa 2

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Faculdade de Engenharia

Fourier

Aproximação de Fraunhofer – difracção através de N fendas

dxezxUzkA xjkx

x,,

xxjk

x dkezkAzxU x,21,

2sin

2sin

sin20,ak

Nak

kXkkA

x

x

x

xx

2

2 0,1,

zkxA

zzxU

zkax

zkNax

zkx

zkXx

zzxU

2sin

2sinsin

4,2

2

2

2

2

2

MAX

2 ,0, zUzxU zNX

224

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Faculdade de Engenharia

Fourier

Aproximação de Fraunhofer – difracção através de N fendas

MAX

2

2

,

,anormalizadeintensidad

zxU

zxU

zkaxN

zkNax

zkXx

zkXx

2sin

2sinsin

22

2

2

2

difracção padrão de interferência

Se Xa 825N

zkax20 223 3

1