أ“ptica de Fourier mines/OE/Teoricas/Fourier/OE_ آ  Faculdade de Engenharia Fourier Transformada

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  • Faculdade de Engenharia

    Óptica de Fourier

    OE – MIEEC 2014/2015

    z

    x

     0,xU

    z

    x 

     0,sinkA

  • Faculdade de Engenharia

    Fourier

    Introdução à Óptica de Fourier

    transformada de Fourier espacial 1D

    função de transferência para a propagação em espaço livre

    aproximação de Fresnel

    equação de propagação paraxial

    exemplos de evolução paraxial de ondas

    aproximação de Fraunhofer

    difracção através de fendas

  • Faculdade de Engenharia

    Fourier

    Transformada de Fourier espacial – 1D

    Transformada de Fourier temporal

        

    

     dtetgG tj

        

    

      

     deGtg tj 2 1

    Transformada de Fourier espacial

        

    

     dxexgkG xjkx x

        

    

     x xjk

    x dkekGxg x2 1

    decomposição em sinais com diferentes frequências

    decomposição em sinais com diferentes componentes do número de onda segundo x

  • Faculdade de Engenharia

    Fourier

      pzxUE ˆ, 

    Consideremos uma onda que se propaga no plano xz, cujo campo eléctrico é definido pelo fasor:

    versor que indica polarização

    amplitude complexa (inclui fase adquirida durante propagação)

    Transformada de Fourier espacial – onda no plano xz

    Para um dado z, esta amplitude complexa pode ser descrita à custa de uma transformada de Fourier unidimensional:

        

    

     dxezxUzkA xjkx x,,

        

    

     x xjk

    x dkezkAzxU x,2 1, 

        zxUFzkA x ,, 

        zkAFzxU x ,, -1

  • Faculdade de Engenharia

    Fourier

    Transformada de Fourier espacial – exemplos

    Exemplo 1

      zjkezxU ,

     

    

     dxee xjkzjk x 1Fe zjk   zjkx ek  2   

    

     dxeezkA xjkzjkx x,

        

    

     dxezxUzkA xjkx x,,

        

    

     x xjk

    x dkezkAzxU x,2 1, 

    onda plana com amplitude unitária que se propaga segundo +z:

    z

    x

    xk

    A

  • Faculdade de Engenharia

    Fourier

    Transformada de Fourier espacial – exemplos

        

    

     dxezxUzkA xjkx x,,

        

    

     x xjk

    x dkezkAzxU x,2 1, 

    Exemplo 2

    onda plana com amplitude unitária que se propaga segundo:

        zjkxxx zekkzkA  02, 

        

    

     x xjkzjk

    xx dkeekkzxU xz022 1,  

      

    

      x xjk

    xx zjk dkekke xz 0 xjkzjk xz ee 0  zkxkj zxe  0

    k ukuka zzxxn ˆˆˆ 0 

    nakk ˆ 

    z

    x

    zk

    0xk

    no caso geral

    k

    22 zx kkk 

    k kxsin

    xk

    A

    0xk

  • Faculdade de Engenharia

    Fourier

    Espectro angular

        

    

     dxezxUzkA xjkx x,,

        

    

     x xjk

    x dkezkAzxU x,2 1, 

    é também conhecido como espectro angular

    z

    x

     0,xU

    z

    x  sinkkx 

     0,sinkA

     zkA x ,

    a transformada de Fourier espacial corresponde à decomposição em ondas planas de diferentes direcções e amplitudes

  • Faculdade de Engenharia

    Fourier

    Propagação de onda EM em meio LHI

        

    

     dxezxUzkA xjkx x,,

        

    

     x xjk

    x dkezkAzxU x,2 1, 

    Desprezando efeitos associados à polarização, a propagação de uma onda EM num meio LHI sem fontes é governada pela equação de Helmholtz escalar:

    022  UkU onde k

      2 2

    2

    2 2 ,

    z U

    x UzxU

     

      

    

      AUF 

    Ajk x UF x   

        

      Ajk x UF x

    2 2

    2

       

      

     

    Akx 2

    022 2

    2   

     Ak z AAkx 0

    2 2

    2

       Ak

    z A

    z 222 zx kkk 

    no domínio de Fourier:

  • Faculdade de Engenharia

    Fourier

    Função de transferência associada à propagação

        

    

     dxezxUzkA xjkx x,,

        

    

     x xjk

    x dkezkAzxU x,2 1, 

    022 2

       Ak

    z A

    z

         zjkzjkxx zz BeAekFzkA  ,

    método da separação das variáveis:

    para propagação segundo +z:

         zGkFzkA xx ,

    solução não trivial :

        zjkxx zekAzkA  0,,

    022 2

     Gk dz

    Gd z   zjkzjk zz BeAezG  

  • Faculdade de Engenharia

    Fourier

    Função de transferência associada à propagação

        

    

     dxezxUzkA xjkx x,,

        

    

     x xjk

    x dkezkAzxU x,2 1, 

        zjkxx zekAzkA  0,,

    222 zx kkk 

        zkkjxx xekAzkA 22

    0,,  transformada após distância z

    transformada em z = 0

    propagação ao longo de

    distância z  0,xU  zxU ,

     0,xkA  zkA x ,    xx kHkA  0, xkH

    função de transferência da propagação

      zkkjx xekH 22

  • Faculdade de Engenharia

    Fourier

    Campo após propagação

        

    

     dxezxUzkA xjkx x,,

        

    

     x xjk

    x dkezkAzxU x,2 1, 

     0,xU  zxU ,  0,xkA  zkA x ,    xx kHkA  0,

        

    

     x xjk

    x dkezkAzxU x,2 1, 

        

    

     x xjk

    xx dkekHkA x0,2 1 

         

    

     

       

      

      x

    xjk x

    xjk dkekHdxexU xx '0,' 2 1 ' 

          '0,' 2 1 ' dxdkekHxU x

    xxjk x

    x  

    

    

    

      

      

     

      zkkjx xekH 22

          '0,' 2 1, '

    22

    dxdkeexUzxU x xxjkzkkj xx 

    

    

    

    

    

      

      

     

      zkkjx xekH 22

     0,xkA

  • Faculdade de Engenharia

    Fourier

    Função de transferência associada à propagação

     0,xU  zxU ,  0,xkA  zkA x,    xx kHkA  0,

    1. depende  do meio e da frequência da onda através de  xkH k  da distância z

    2.  xk

    k 22 xz kkk 

    kkx se zk real onda em propagação

    kkx se zk imaginário onda evanescente amplitude decresce exponencialmente com z

    necessário considerar apenas os tais quexk kkx  para z suficientemente

    elevados

      zkkjx xekH 22

    Notas:

  • Faculdade de Engenharia

    Fourier

    Aproximação de Fresnel

        

    

     dxezxUzkA xjkx x,,

        

    

     x xjk

    x dkezkAzxU x,2 1, 

      zkkjx xekH 22

    Admitamos que kkx 

    22 xkk  22

    1 xkk

    k 

      zk kjzjk

    x

    x

    eekH 2FRESNEL

    2

    

    Nota: consideram-se apenas as ondas planas com componentes segundo x do vector de onda muito menores do que k

    kkx 

    z

    x

    pequenos ângulos

    aproximação de Fresnel é também conhecida como aproximação paraxial

    aproximação de Fresnel

  • Faculdade de Engenharia

    Fourier

    Aproximação de Fresnel

        

    

     dxezxUzkA xjkx x,,

        

    

     x xjk

    x dkezkAzxU x,2 1, 

      zk kjzjk

    x

    x