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UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA

FACULDADE DE TECNOLOGIA

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL E AMBIENTAL

PUNÇÃO EM LAJES COGUMELO PROTENDIDAS COM

PILARES DE EXTREMIDADE

CARLOS EDUARDO LUNA DE MELO

ORIENTADOR: GUILHERME SALES S. A. MELO

DISSERTAÇÃO DE MESTRADO EM ESTRUTURAS E

CONSTRUÇÃO CIVIL

PUBLICAÇÃO: E.DM-005 A/05

BRASÍLIA/DF: MARÇO – 2005

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UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA FACULDADE DE TECNOLOGIA

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL E AMBIENTAL

PUNÇÃO EM LAJES COGUMELO PROTENDIDAS COM PILARES DE EXTREMIDADE

ENG.º CARLOS EDUARDO LUNA DE MELO

DISSERTAÇÃO DE MESTRADO SUBMETIDA AO DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL E AMBIENTAL DA FACULDADE DE TECNOLOGIA DA UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA, COMO PARTE DOS REQUISÍTOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE EM ESTRUTURAS E CONSTRUÇÃO CIVIL.

APROVADA POR: _________________________________________________ Prof. Guilherme Sales S. de A. Melo (Orientador – Ph.D. – UnB) _______________________________________________ Prof. Yosiaki Nagato (Examinador Interno – D.Sc. – UnB) _________________________________________________ Prof. Dênio Ramam Carvalho de Oliveira (Examinador Externo – D.Sc. – UFPA) BRASÍLIA/DF, 23 DE MARÇO DE 2005

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FICHA CATALOGRÁFICA

MELO, CARLOS EDUARDO LUNA DE Punção em Lajes Cogumelo Protendidas com Pilares de Extremidade [Distrito Federal] 2005. xvi, 169p., 210 x 297 mm (ENC/FT/UnB, Mestre, Estruturas e Construção Civil, 2005). Dissertação de Mestrado – Universidade de Brasília. Faculdade de Tecnologia. Departamento de Engenharia Civil e Ambiental. 1.Punção 2.Lajes Cogumelo 3.Protensão não aderente 4.Cordoalha Engraxada 5. Pilares de Extremidade I. ENC/FT/UnB II. Título (série)

REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA

MELO, C. E. L. (2005). Punção em Lajes Cogumelo Protendidas com Pilares de

Extremidade. Dissertação de Mestrado em Estruturas e Construção Civil, Publicação

E.DM-005 A/05, Departamento de Engenharia Civil e Ambiental, Universidade de

Brasília, Brasília, DF, 169p.

CESSÃO DE DIREITOS

AUTOR: Carlos Eduardo Luna de Melo

TÍTULO: Punção em Lajes Cogumelo Protendidas com Pilares de Extremidade.

GRAU: Mestre ANO: 2005

É concedida à Universidade de Brasília permissão para reproduzir cópias desta dissertação

de mestrado e para emprestar ou vender tais cópias somente para propósitos acadêmicos e

científicos. O autor reserva outros direitos de publicação e nenhuma parte dessa dissertação

de mestrado pode ser reproduzida sem autorização por escrito do autor.

____________________________________

Carlos Eduardo Luna de Melo Rua João Araripe, 120 - Apto 901 - Fátima 60.410-750 Fortaleza - CE - Brasil.

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“Comece logo a fazer, que o sentimento aparece, as coisas mudam fora e dentro de

você. Intenção sem ação é ilusão. Ouse a fazer e o poder lhe será dado.”

Dr. Lair Ribeiro

Dedico este trabalho a minha mãe, Nilma e

a Angélica, pelo amor e paciência.

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AGRADECIMENTOS

A DEUS, a luz que ilumina os meus passos, pela saúde, dom da vida e graças alcançadas;

Aos meus pais, familiares e amigos, pelo incentivo e apoio à realização deste trabalho;

Ao Professor Guilherme Sales S. de A. Melo, pela confiança, orientação segura, motivação

e apoio constante para a realização deste trabalho;

Ao Professor Paul Regan, pelas contribuições nos ensaios e pela troca constante de

informações;

Ao Professor Yosiaki Nagato, pela disponibilidade, paciência e importante auxílio no

Laboratório de Estruturas;

Ao Professor da graduação, Gulielmo Viana Dantas, pela motivação e incentivo em

realizar atividades científicas;

Ao amigo Ricardo Carvalho Silva, pela ajuda e apoio durante o mestrado;

Aos colegas: Fábio, Ronaldson, Selênio, Neres, Nélvio, Vladimir e Washington, pelo

convívio, ajuda nos programas MAPLE e SAP 2000 e auxílio nos ensaios das lajes;

A Delane Palácio, pela ajuda nos momentos mais difíceis;

Aos técnicos: Leonardo, Severino e Xavier, pela colaboração na realização dos ensaios;

A Sra. Rejane e Sr. Barreira (Intergraf), pelas cópias desta dissertação;

A UFG, pelo fornecimento das cunhas e cones de ancoragem para a protensão;

À Impacto Protensão, pelo apoio na área de protensão e pelo fornecimento das cordoalhas;

Ao CNPq, pelo suporte financeiro durante o período do Mestrado.

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RESUMO

Foram ensaiadas 7 lajes cogumelo protendidas de 2000 x 1200 x 120 mm, com pilar de

extremidade de seção quadrada, de 200 x 200 mm, com cabos não-aderentes com perfil

curvo. O modelo experimental é do tipo local, simulando uma ligação laje cogumelo-pilar

de extremidade. A principal variável do presente estudo foi a relação entre as cargas

aplicadas, perpendicular (P1) e paralela (P2) à extremidade da laje, levando a relações M/V

de 0,15 (laje L1) a 0,70 (laje L7), entre o momento fletor perpendicular à extremidade da

laje (M), calculado na face interna do pilar, e a força cortante total na ligação laje-pilar (V).

Resultados de cargas últimas e tipos de ruptura, fissuração, flechas, deformações do

concreto, da armadura passiva e variação da força de protensão dos cabos são apresentados

e analisados. Os resultados foram analisados também em comparação com as estimativas

das normas ACI-318:2002, NBR 6118:2003, FIP:1998 e EC2:2002.

Foram obtidas rupturas por punção, flexão/punção, flexão/punção/torção e flexão/torção,

em função da variação da relação M/V atuante na laje.

O FIP:1998 apresentou as estimativas menos conservadoras dentre as normas analisadas,

seguido da NBR 6118:2003, que apresentaria estimativas um pouco menos conservadoras

caso a parcela de compressão do concreto devido à protensão (Vcp) fosse incorporada à

resistência da laje.

O EC2:2002 apresentou as estimativas mais conservadores dentre as quatro normas

estudadas, em função de considerar, ao contrário do FIP:1998 e da NBR 6118:2003, um

limite para a parcela que leva em conta a resistência do concreto e taxa de armadura

passiva (Vc).

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ABSTRACT

Seven post-tensioned flat slabs, 2000 x 1200 x 120 mm, with square (200 x 200 mm)

columns at the border, using curved unbonded tendons, were tested submitted to punching

shear. It’s a local model simulating the connection between the column and the flat slab.

The main variable of the study was the ratio between the applied loads, perpendicular (P1)

and parallel to the border of the slab (P2), leading to ratios M/V from 0,15 (slab L1) to 0,70

(slab L7), between the bending moment perpendicular to the edge of the slab (M), taken at

the column edge, and the total shear force at the connection (V).

Results of ultimate loads and failure types, cracking, deflections, concrete and non

prestressed reinforcement strains, and variation of the cables forces are presented and

analyzed. The test results were also compared with the estimations from ACI-318:2002,

NBR 6118:2003, FIP:1998 and EC2:2002.

Ruptures by punching, bending / punching, bending / punching / torsion, and bending /

torsion were obtained.

FIP:1998 presented the least conservative estimates, followed by the NBR 6118:2003, that

would present less conservatives estimates if the concrete compression component due to

the prestress (Vcp) was incorporated to the slab resistance.

EC2:2002 presented the most conservative estimates among the four codes studied, as it

considers a limit for the component that takes into account the concrete resistance and the

ratio of non prestressed reinforcement (Vc), opposite to is done by FIP:1998 and NBR

6118:2003.

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SUMÁRIO 1 - INTRODUÇÃO 1 1.1 - MOTIVAÇÃO DA PESQUISA 1 1.2 - OBJETIVOS E METODOLOGIA 2 1.3 - ESTRUTURAÇÃO DO TRABALHO 3 2 - REVISÃO BIBLIOGRÁFICA 5 2.1 - PESQUISAS REALIZADAS NO EXTERIOR 5 2.1.1 - Foutch, Gamble e Sunidja (1990) 5 2.1.2 - Gardner e Shao (1996) 9 2.1.3 - Gardner e Kallage (1998) 12 2.1.4 - Gardner e Sharifi (2000) 16 2.2 - PESQUISAS REALIZADAS NA UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA – UnB 19 2.2.1 - Corrêa (2001) 19 2.2.2 - Alves (2002) 23 2.2.3 - Villaverde (2003) 24 2.2.4 - Silva (2005) 25 2.2.5 - Carvalho (2005) 25 2.3 - PRESCRIÇÕES NORMATIVAS 27 2.3.1 - ACI-318:2002 27 2.3.2 - NBR 6118:2003 31 2.3.3 - FIP:1998 (Fédération Internationale de la Précontrainte) 35 2.3.4 - EC2:2002 40 3 - PROGRAMA EXPERIMENTAL 43 3.1 - LAJES ENSAIADAS E ESQUEMA DE ENSAIO 43 3.2 - ARMADURAS 49 3.2.1 - Armadura passiva 49 3.2.2 - Armadura ativa 52 3.2.3 - Resumo das armaduras das lajes 53 3.3 - CARACTERÍZAÇÃO DOS MATERIAIS 54 3.3.1 - Concreto 54 3.3.2 - Armadura passiva 55 3.3.3 - Armadura ativa 55 3.4 - INSTRUMENTAÇÃO 56 3.4.1 - Instrumentação da armadura de flexão 56 3.4.2 - Instrumentação do concreto 58 3.4.3 - Instrumentação da armadura ativa 59 3.4.4 - Deslocamentos verticais e fissuras 61 3.5 - SISTEMA DE PROTENSÃO ADOTADO 63 3.6 - PROCEDIMENTO DE ENSAIO 66 3.6.1 - Protensão 66 3.6.2 - Carregamento até a ruptura 66 3.6.3 - Medição de deformações na armadura e no concreto 66 3.6.4 - Medição de deslocamentos verticais 68

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4 - RESULTADOS EXPERIMENTAIS – APRESENTAÇÃO E ANÁLISE 69 4.1 - CONCRETO 69 4.1.1 - Módulo de Elasticidade do Concreto 70 4.1.2 - Resistência à Tração do Concreto 70 4.2 - ARMADURA 71 4.2.1 - Armadura Passiva 71 4.2.2 - Armadura Ativa 72 4.3 - PROTENSÃO INICIAL E PERDAS IMEDIATAS 73 4.4 - VARIAÇÃO DA PROTENSÃO NAS CORDOALHAS 82 4.5 - FISSURAÇÃO E CONE DE RUPTURA 88 4.6 - DEFORMAÇÕES DAS ARMADURAS 94 4.6.1 - Armadura de flexão 94 4.7 - DEFORMAÇÃO DO CONCRETO 99 4.8 - DESLOCAMENTOS VERTICAIS 104 4.9 - CARREGAMENTOS E MODOS DE RUPTURA 111 5 - ANÁLISE DOS RESULTADOS DA CARGA E MODO DE RUPTURA 117 5.1 - RESUMO DE DADOS E RESULTADOS EXPERIMENTAIS 117 5.2 - COMPARAÇÃO DOS RESULTADOS COM AS NORMAS 119 5.3 - COMPARAÇÃO ENTRE OS MODOS DE RUPTURA ESTIMADOS E

OBTIDOS EXPERIMENTALMENTE 133 6 - CONCLUSÕES E SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS 137 6.1 - CONCLUSÕES 137 6.1.1 - Comportamento das lajes 138 6.1.2 - Comparação com as normas 139 6.2 - SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS 141 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 143 ANEXO A – EQUAÇÕES PARA O CÁLCULO DA PARCELA VP 147 ANEXO B – EXEMPLO DE CÁLCULO DE RESISTÊNCIA À PUNÇÃO 151 ANEXO C – CÁLCULO DO MÓDULO DE RESISTÊNCIA PLÁSTICA W1 166 ANEXO D – PERFIL DOS CABOS DAS LAJES ENSAIADAS 169

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LISTA DE TABELAS Tabela 2.1 – Resultados dos ensaios – Foutch, Gamble e Sunidja (1990) 7 Tabela 2.2 – Comparação de resultados – Gardner e Shao (1996) 11 Tabela 2.3 – Comparação dos resultados experimentais – Gardner e Kallage (1998) 14 Tabela 2.4 – Comparação dos resultados com as equações do ACI 318:1995 – Gardner e

Sharifi (2000) 18 Tabela 2.5 – Comparação dos resultados com a equação de Gardner e Kallage (1998) –

Gardner e Sharifi (2000) 18 Tabela 2.6 – Resumo das Lajes – (Corrêa 2001) 22 Tabela 2.7 – Resumo dos resultados experimentais (Corrêa 2001) 23 Tabela 2.8 – Valores estabelecidos para K1 (NBR 6118:2003) 33 Tabela 2.9 – Determinação do coeficiente k (FIP:1998) 35 Tabela 3.1 – Relações P1/P2 utilizadas nos ensaios 44 Tabela 3.2 – Resumo das armaduras 53 Tabela 3.3 – Traço em peso do concreto utilizado 54 Tabela 3.4 – Dosagem para 1 m3 de concreto 54 Tabela 3.5 – Propriedades mecânicas exigidas da armadura passiva 55 Tabela 3.6 – Características de massa e seção da armadura passiva (fabricante) 55 Tabela 4.1 – Resultados experimentais do concreto 69 Tabela 4.2 – Características mecânicas da armadura passiva utilizada 72 Tabela 4.3 – Características das cordoalhas engraxadas 72 Tabela 4.4 – Forças de protensão nos cabos – Laje L1. 74 Tabela 4.5 – Forças de protensão nos cabos – Laje L2. 75 Tabela 4.6 – Forças de protensão nos cabos – Laje L3. 76 Tabela 4.7 – Forças de protensão nos cabos – Laje L4. 77 Tabela 4.8 – Forças de protensão nos cabos – Laje L5. 78 Tabela 4.9 – Forças de protensão nos cabos – Laje L6. 79 Tabela 4.10 – Forças de protensão nos cabos – Laje L7. 80 Tabela 4.11 – Resumo das perdas totais médias em cada direção 81 Tabela 4.12 – Variação da força de protensão – Cabos paralelos à extremidade 86 Tabela 4.13 – Variação da força de protensão – Cabos perpendiculares à extremidade 87 Tabela 4.14 – Variação da força de protensão – Cabos 2, 3, 4 e 5 87 Tabela 4.15 – Carga de fissuração de flexão visível e direção de propagação 89 Tabela 4.16 – Cargas de ruptura das lajes ensaiadas 111 Tabela 5.1 – Resumo dos resultados experimentais 117 Tabela 5.2 – Dados das lajes ensaiadas 118 Tabela 5.3 – Dados para o cálculo pelo FIP:1998 120 Tabela 5.4 – Relações M/V utilizadas 121 Tabela 5.5 – Cargas últimas de punção – Laje L1 122 Tabela 5.6 – Cargas últimas de punção – Laje L2 122 Tabela 5.7 – Cargas últimas de punção – Laje L3 123 Tabela 5.8 – Cargas últimas de punção – Laje L4 123 Tabela 5.9 – Cargas últimas de punção – Laje L5 124 Tabela 5.10 – Cargas últimas de punção – Laje L6 124 Tabela 5.11 – Cargas últimas de punção – Laje L7 125 Tabela 5.12 – Cargas últimas de punção pelo ACI-318: 2002 127 Tabela 5.13 – Cargas últimas de punção pelo ACI-318: 2002* 128 Tabela 5.14 – Cargas últimas de punção pelo FIP:1998 129 Tabela 5.15 – Cargas últimas de punção pelo EC2:2002 130

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Tabela 5.16 – Cargas últimas de punção pela NBR 6118:2003 131 Tabela 5.17 – Valores de M/V para cada ensaio 134 Tabela 5.18 – Valores de VFlexão nas duas direções para cada relação P1/P2 134 Tabela 5.19 – Modo de ruptura estimado e de ensaio 136

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LISTA DE FIGURAS Figura 1.1 – Momento torçor na extremidade da laje – McGregor (1997) 2 Figura 2.1 – Esquema de Ensaio – Foutch, Gamble e Sunidja (1990) 5 Figura 2.2 – Arranjo das cordoalhas – Foutch, Gamble e Sunidja (1990) 6 Figura 2.3 – Esquema de Ensaio - Gardner e Shao (1996) 10 Figura 2.4 – Esquema de ensaio – Gardner e Kallage (1998) 13 Figura 2.5 – Perfil dos cabos de protensão – Gardner e Kallage (1998) 13 Figura 2.6 – Arranjo dos cabos e numeração dos pilares – Gardner e Sharifi (2000) 16 Figura 2.7 – Esquema de ensaio – Vista superior – Corrêa (2001) 20 Figura 2.8 – Esquema de ensaio – Vista lateral – Corrêa (2001) 20 Figura 2.9 – Detalhe das lajes – Corrêa (2001) 21 Figura 2.10 – Seção crítica e distribuição das tensões assumidas (ACI-318:2002) 28 Figura 2.11 – Determinação de Vp – Mitchell e Collins (1991) 29 Figura 2.12 – Perímetro crítico de punção (NBR 6118:2003) 31 Figura 2.13 – Representação da carga equilibrante (NBR 6118:2003) 33 Figura 2.14 – Perímetro de controle de punção (FIP:1998) 36 Figura 2.15 – Parcela da carga equilibrante (FIP:1990) 37 Figura 2.16 – Perímetro de controle de punção (EC2:2002) 41 Figura 3.1 – Detalhe das lajes ensaiadas 43 Figura 3.2 – Esquema de ensaio – Vista Lateral 45 Figura 3.3 – Esquema de ensaio 46 Figura 3.4 – Bomba elétrica utilizada 47 Figura 3.5 – Sistema de rótula utilizado para aplicação da carga P2 47 Figura 3.6 – Fixação do pilar ao pórtico de ensaios 48 Figura 3.7 – Detalhe da armadura passiva superior. 50 Figura 3.8 – Detalhe da armadura passiva inferior. 50 Figura 3.9 – Armadura passiva – Vista Lateral 51 Figura 3.10 – Traçado dos cabos de protensão e disposição das armaduras 51 Figura 3.11 – Traçado em planta dos cabos de protensão 52 Figura 3.12 – Perfil dos cabos poligonais na direção paralela à extremidade – Laje L1 53 Figura 3.13 – Perfil dos cabos perpendiculares à extremidade – Laje L1 53 Figura 3.14 – Extensômetro colado na barra de aço 56 Figura 3.15 – Extensômetro colado e protegido com ARALDITE 56 Figura 3.16 – Localização dos extensômetros 57 Figura 3.17 – Extensômetros na posição definitiva 57 Figura 3.18 – Localização dos extensômetros na face inferior do concreto 58 Figura 3.19 – Extensômetros colados na superfície inferior do concreto 59 Figura 3.20 – Instrumentação da armadura ativa 60 Figura 3.21 – Numeração e posicionamento das células de carga 60 Figura 3.22 – Numeração e posicionamento dos defletômetros 61 Figura 3.23 – Defletômetros na face superior da laje 61 Figura 3.24 – Fissuras iniciais na laje L4 62 Figura 3.25 – Marcação de fissuras após a ruptura da laje L4 62 Figura 3.26 – Detalhe da armadura e ancoragem ativa 63 Figura 3.27 – Sistema de protensão adotado – Villaverde (2003) 64 Figura 3.28 – Reprotensão e desprotensão do cabo 65 Figura 3.29 – Sistema de aquisição de dados utilizado 67 Figura 3.30 – Ensaio montado – Vista lateral 68 Figura 4.1 – Gráfico tensão x deformação. Armadura passiva - φ 6,3 mm 71

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Figura 4.2 – Gráfico tensão x deformação. Armadura passiva - φ 8,0 mm 72 Figura 4.3 – Força nos cabos versus tempo, em horas 73 Figura 4.4 – Forças de protensão nas cordoalhas – Laje L1. 74 Figura 4.5 – Forças de protensão nas cordoalhas – Laje L2. 75 Figura 4.6 – Forças de protensão nas cordoalhas – Laje L3. 76 Figura 4.7 – Forças de protensão nas cordoalhas – Laje L4. 77 Figura 4.8 – Forças de protensão nas cordoalhas – Laje L5. 78 Figura 4.9 – Forças de protensão nas cordoalhas – Laje L6. 79 Figura 4.10 – Forças de protensão nas cordoalhas – Laje L7. 80 Figura 4.11 – Variação das forças de protensão durante o ensaio – Laje L1. 82 Figura 4.12 – Variação das forças de protensão durante o ensaio – Laje L2. 83 Figura 4.13 – Variação das forças de protensão durante o ensaio – Laje L3. 83 Figura 4.14 – Variação das forças de protensão durante o ensaio – Laje L4. 84 Figura 4.15 – Variação das forças de protensão durante o ensaio – Laje L5. 84 Figura 4.16 – Variação das forças de protensão durante o ensaio – Laje L6. 85 Figura 4.17 – Variação das forças de protensão durante o ensaio – Laje L7. 85 Figura 4.18 – Mapeamento das fissuras e cone de ruptura – Laje L1 90 Figura 4.19 – Mapeamento das fissuras e cone de ruptura – Laje L2 90 Figura 4.20 – Mapeamento das fissuras e cone de ruptura – Laje L3 91 Figura 4.21 – Mapeamento das fissuras e cone de ruptura – Laje L4 91 Figura 4.22 – Mapeamento das fissuras e cone de ruptura – Laje L5 92 Figura 4.23 – Mapeamento das fissuras – Laje L6 92 Figura 4.24 – Mapeamento das fissuras – Laje L7 93 Figura 4.25 – Reação do pilar versus deformação nas armaduras de flexão – Laje L1 94 Figura 4.26 – Reação do pilar versus deformação nas armaduras de flexão – Laje L2 95 Figura 4.27 – Reação do pilar versus deformação nas armaduras de flexão – Laje L3 95 Figura 4.28 – Reação do pilar versus deformação nas armaduras de flexão – Laje L4 96 Figura 4.29 – Reação do pilar versus deformação nas armaduras de flexão – Laje L5 96 Figura 4.30 – Reação do pilar versus deformação nas armaduras de flexão – Laje L6 97 Figura 4.31 – Reação do pilar versus deformação nas armaduras de flexão – Laje L7 97 Figura 4.32 – Reação do pilar versus deformação no concreto – Laje L1 99 Figura 4.33 – Reação do pilar versus deformação no concreto – Laje L2 100 Figura 4.34 – Reação do pilar versus deformação no concreto – Laje L3 100 Figura 4.35 – Reação do pilar versus deformação no concreto – Laje L4 101 Figura 4.36 – Reação do pilar versus deformação no concreto – Laje L5 101 Figura 4.37 – Reação do pilar versus deformação no concreto – Laje L6 102 Figura 4.38 – Reação do pilar versus deformação no concreto – Laje L7 102 Figura 4.39 – Fissura de torção – Laje L6 103 Figura 4.40 – Reação do pilar versus flecha – Laje L1 104 Figura 4.41 – Reação do pilar versus flecha – Laje L2 105 Figura 4.42 – Reação do pilar versus flecha – Laje L3 105 Figura 4.43 – Reação do pilar versus flecha – Laje L4 106 Figura 4.44 – Reação do pilar versus flecha – Laje L5 106 Figura 4.45 – Reação do pilar versus flecha – Laje L6 107 Figura 4.46 – Reação do pilar versus flecha – Laje L7 107 Figura 4.47 – Deslocamentos da laje L1 108 Figura 4.48 – Deslocamentos da laje L7 108 Figura 4.49 – Reação do pilar versus flecha – Defletômetro 10 109 Figura 4.50 – Reação do pilar versus flecha – Defletômetro 11 109 Figura 4.51 – Reação do pilar versus flecha – Defletômetro 13 110

xiv

Figura 4.52 – Ruptura da laje L1 112 Figura 4.53 – Ruptura da laje L2 113 Figura 4.54 – Ruptura da laje L3 113 Figura 4.55 – Ruptura da laje L4 114 Figura 4.56 – Ruptura da laje L5 114 Figura 4.57 – Ruptura da laje L6 115 Figura 4.58 – Ruptura da laje L7 – Fissuras de flexão e torção 115 Figura 4.59 – Ruptura da laje L7 – Fissuras de torção 116 Figura 5.1 – Discretização utilizada no programa SAP 2000 121 Figura 5.2 – Carga atuante versus carga resistente pelo ACI-318:2002 128 Figura 5.3 – Tensão atuante versus tensão resistente pelo ACI-318:2002* 129 Figura 5.4 – Tensão atuante versus tensão resistente pelo FIP:1998 130 Figura 5.5 – Tensão atuante versus tensão resistente pelo EC2:2002 131 Figura 5.6 – Tensão atuante versus tensão resistente pela NBR 6118:2003 132 Figura 5.7 – Equilíbrio das forças da seção da laje na ruptura por flexão 133 Figura 5.8 – Modo de ruptura estimado das lajes ensaiadas 135

xv

LISTA DE SÍMBOLOS

As - área da armadura passiva;

Asp - área total da armadura de protensão em uma direção;

bo - comprimento do perímetro de controle à d/2 da face do pilar definido pelo ACI-

318:2002;

β coeficiente de majoração da carga atuante em uma laje cogumelo com

transferência de momento entre a laje e o pilar;

d - altura útil da armadura passiva;

d (ACI) - Altura útil considerada para o ACI-318:2002;

dp - altura útil dos cabos de protensão;

f 'c - resistência a compressão de corpos de provas cilíndricos;

fck - resistência característica da compressão de corpos de provas cilíndricos;

fcm - resistência à compressão de corpos de provas cilíndricos;

fpc - tensão média no plano da laje, devido as cargas de protensão iniciais;

fyp - tensão convencional de escoamento da armadura de protensão;

fys - tensão de escoamento da armadura passiva;

h - altura da laje;

m'- média dos momentos devido as cargas verticais aplicadas na laje, no alinhamento

da face do pilar;

m’pe - momento devido às excentricidades dos cabos devido à protensão;

m’po - momento devido à compressão da superfície superior da laje promovido pela

protensão;

Mu - momento perpendicular à extremidade no momento da ruptura;

P - força aplicada nos cabos de protensão por um macaco hidráulico de protensão;

P0 - força no cabos de protensão após as perdas imediatas;

Pi - força de protensão inicial aplicada pelo macaco hidráulico de protensão;

PSd - valor de dimensionamento da força de punção atuante;

PSd,eff - força efetiva de punção;

Pu - carga de ruptura observada nos ensaios;

Pc - carga de ruptura calculada;

u1 - comprimento do perímetro de controle a 2d da face do pilar (FIP:1998, EC2:2001

e NBR 6118:2003);

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u1* - comprimento do perímetro de controle reduzido a 2d da face do pilar (FIP:1998,

EC2:2001 e NBR 6118:2003);

uo - comprimento do perímetro do pilar;

V - reação do apoio da laje para uma carga unitária aplicada na laje;

Vn - resistência à punção calculada sem ponderação;

Vc - parcela de Vn independente da protensão;

Vcp - parcela de Vn dependente da tensão no plano devido a protensão;

Vp - parcela de Vn dependente das componentes verticais das forças de protensão;

VR,c - resistência de uma laje cogumelo de concreto armado;

VRk - resistência característica do valor de VR;

VRk,c - resistência característica do valor de VR,c;

Vu - carga de ruptura experimental;

ρ - taxa de armadura passiva;

σcp - tensão média de compressão no plano;

φ - Fator de redução da resistência nominal;

1

1 - INTRODUÇÃO

1.1 - MOTIVAÇÃO DA PESQUISA

A solução em lajes cogumelo em concreto protendido vem sendo uma alternativa cada vez

mais utilizada, pela simplicidade de execução, economia de material e diminuição da altura

final da estrutura, possibilitando em muitos casos obter estruturas mais leves e com

fundações mais econômicas. Outras vantagens que podem ser citadas: graças aos efeitos da

protensão há a possibilidade de se obterem vãos maiores; redução das flechas em relação

às lajes de concreto armado; valorização da estrutura esteticamente. A protensão influencia

bastante a resistência de uma laje cogumelo, podendo a resistência variar de acordo com a

força de protensão, a distribuição e o traçado dos cabos.

Um dos fatores que exigem atenção em se tratando de lajes cogumelo em concreto armado

ou protendido, é a possibilidade de ruptura da laje por punção. Entende-se por punção um

tipo de ruptura transversal por cisalhamento em torno de carregamentos localizados, que

ocorre de maneira brusca e que pode acarretar um colapso parcial ou total da estrutura.

O fenômeno da punção é ainda mais complexo em lajes cogumelo com pilares de

extremidade e de canto, devido à grande transferência de momento entre a laje e o pilar,

fazendo com que a resistência da laje seja reduzida.

Segundo MacGregor (1997), quando existe a transferência de momento entre a laje e o

pilar, ou vice-versa, o comportamento é complexo, pois envolve combinações de tensões

devidas à flexão, ao esforço cortante e ao momento de torção atuantes na porção da

extremidade da laje que está ligada ao pilar, e dependendo do nível de concentração dessas

tensões, diversos tipos de ruptura podem ser esperados. A Figura 1.1 esquerda mostra as

ações em uma laje cogumelo com pilar de extremidade. Verifica-se que existem rotações

diferentes em relação à extremidade da laje (Figura 1.1 direita), destacando o surgimento

do momento torçor na extremidade da laje.

2

Diversos estudos em lajes cogumelo protendidas com pilares internos foram realizados,

podendo ser citados os trabalhos de Shehata (1982), Regan (1985), Melges (2001), Corrêa

(2001), Alves (2002), Ramos (2003), Villaverde (2003), Silva (2005) e Carvalho (2005).

Porém, em se tratando de laje com pilar de extremidade ou de canto submetida à punção,

existem poucos estudos relacionados com o assunto, podendo ser citados os trabalhos de

Foutch, Gamble e Sunidja (1990), Gardner e Kallage (1998) e Gardner e Sharifi (2000), e

somente com estudos teóricos e experimentais pode-se definir uma base sólida para a

criação de uma teoria consistente para o caso de lajes com pilares de extremidade ou de

canto submetidas à punção.

A

C

B

D

A'

B'

A

Aθ

CθC

Aθ

Figura 1.1 – Momento torçor na extremidade da laje – McGregor (1997)

1.2 - OBJETIVOS E METODOLOGIA

Esse trabalho dá continuidade aos estudos sobre punção em lajes cogumelo protendidas

realizados por Corrêa (2001), Alves (2002), Villaverde (2003), Silva (2005) e Carvalho

(2005) na Universidade de Brasília.

O principal objetivo deste trabalho é contribuir para o melhor conhecimento do mecanismo

de resistência à punção de lajes cogumelo protendidas com pilar de extremidade, sendo

este o primeiro a ser realizado na Universidade de Brasília sobre o assunto. Os objetivos

específicos deste trabalho são:

3

Analisar a influência da variação do momento fletor e do esforço cortante atuantes na

ligação laje-pilar de extremidade, na resistência ao puncionamento da laje;

• Verificar as contribuições das parcelas de compressão no plano (Vcp) e parcela da carga

equilibrante ou vertical (Vp), na resistência à punção de uma laje cogumelo com pilar

de extremidade;

• Comparar os resultados experimentais obtidos com os estimados segundo as normas:

ACI 318:2002, NBR 6118:2003, FIP:1998 e EC2:2002;

• Verificar as restrições impostas pelo ACI 318:2002 e NBR 6118:2003 na contribuição

da parcela da compressão no plano (Vcp) no cálculo da resistência da laje à punção.

Para se atingir os objetivos propostos, a metodologia será a realização de ensaios de

ruptura de 7 lajes com pilar de extremidade, protendidas com cabos não aderentes

(cordoalhas engraxadas) e carregadas com diferentes relações entre o momento fletor e o

esforço cortante atuantes na ligação laje-pilar. Esta série de ensaios faz parte do projeto de

tese de doutorado do Eng. Vladimir Villaverde Barbán, em andamento na Universidade de

Brasília.

1.3 - ESTRUTURAÇÃO DO TRABALHO

Além deste Capítulo 1, este trabalho está estruturado da seguinte forma:

O Capítulo 2 apresenta uma revisão bibliográfica na qual são descritos os trabalhos

realizados recentemente em lajes de concreto armado e protendido com armadura não

aderente, possuindo pilares de extremidade. Também são apresentadas quatro

recomendações normativas para se estimar a resistência à punção de lajes cogumelo

protendidas com pilares de extremidade.

No Capítulo 3 é apresentado detalhadamente todo o programa experimental realizado,

destacando os materiais e processos utilizados para a realização dos ensaios.

4

No Capítulo 4 são apresentados e analisados os resultados experimentais das lajes, tais

como: propriedades dos materiais utilizados, protensão inicial, cargas e tipos de ruptura,

variação da força de protensão nos cabos durante os ensaios, deformações da armadura

passiva e do concreto, deslocamentos verticais, fissuração e inclinação das fissuras do cone

de ruptura.

O Capítulo 5 apresenta as comparações dos resultados experimentais da carga e do modo

de ruptura das lajes com as estimativas segundo normas.

No Capítulo 6 são apresentadas as conclusões desta pesquisa e sugestões para trabalhos

futuros.

As Referências Bibliográficas são apresentadas após o Capítulo 6, seguindo-se os Anexos,

A, B ,C e D.

O Anexo A apresenta o desenvolvimento das expressões para a determinação da parcela

Vp. O Anexo B apresenta um exemplo resolvido e comentado do cálculo da resistência à

punção da laje L5 pelas diferentes normas apresentadas no trabalho. O Anexo C apresenta

o cálculo do módulo de resistência plástica da seção crítica W1, para pilares de

extremidade, pois as normas não apresentam este desenvolvimento. O Anexo D apresenta

os perfis dos cabos observados para todas as lajes.

5

2 - REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

São apresentadas neste capítulo as recentes pesquisas realizadas no exterior em punção em

lajes cogumelo protendidas com pilares de extremidade, e as pesquisas realizadas na

Universidade de Brasília na área de punção em lajes cogumelo protendidas.

2.1 - PESQUISAS REALIZADAS NO EXTERIOR

2.1.1 - Foutch, Gamble e Sunidja (1990)

Apresentaram resultados de ensaios de quatro lajes quadradas protendidas de 1524 mm x

1524 mm x 102 mm, com pilares de extremidade de concreto armado, quadrados, de 305

mm x 305 mm, com cordoalhas não aderentes dispostas de duas maneiras: concentradas na

região do pilar na direção perpendicular à extremidade da laje e uniformemente

distribuídas na outra direção.

PLANTA

D

A

S4

A

305

S2

S3

S1

D (mm)

610

610

1067

CORTE A - A

CÉLULA DE CARGA

MACACO HIDRÁULICO

MECANISMO DE CARGA

LAJE DE REAÇÃO

1524

305

305

1524

305

102D

Figura 2.1 – Esquema de Ensaio – Foutch, Gamble e Sunidja (1990)

Os objetivos desse trabalho foram estudar o efeito da relação momento/cortante na resposta

da ligação laje-pilar, estudar o aumento das tensões nos cabos e o mecanismo de ruptura e

desenvolver um procedimento de cálculo simples para avaliar a resistência das ligações

laje-pilar de extremidade. As principais variáveis foram a distribuição das cordoalhas

consideradas e a distância do carregamento em relação à face do pilar, no sentido

6

perpendicular à extremidade livre da laje, para estudar o efeito da relação

momento/cortante.

Os autores compararam os resultados dos ensaios com as formulações prescritas pelo ACI

318:1983, que apresentava as equações para o cálculo de resistência à punção em lajes com

pilares de extremidade sem levar em consideração os efeitos da protensão.

A restrição da resistência à compressão do concreto imposta pelo ACI 318:1983 em 35

MPa também foi testada utilizando-se um concreto com uma média de resistência de 45,8

MPa para as 4 lajes ensaiadas.

As lajes S1 e S2 tiveram o mesmo tipo de armadura ativa e passiva, possuíam 11

cordoalhas concentradas próximas ao eixo do pilar, dispostas perpendicularmente à

extremidade livre da laje, e na outra direção foram dispostas 5 cordoalhas. As lajes S3 e S4

tiveram também o mesmo tipo de armadura ativa e passiva, possuíam 6 cordoalhas

concentradas próximas ao eixo do pilar, dispostas paralelamente à extremidade livre da

laje, enquanto na outra direção foram dispostas 4 cordoalhas. A Figura 2.2 mostra o arranjo

das cordoalhas utilizado.

343

114

114

343

76

LAJES S1 E S2

76

7676

7676

7676

LAJES S3 E S4

279

406

152

406

279

40676 152 406406 76 7676 11476 7676 1029

Figura 2.2 – Arranjo das cordoalhas – Foutch, Gamble e Sunidja (1990)

A força máxima de protensão em cada cabo no início do ensaio foi cerca de 70% da carga

última do cabo para prover uma certa margem de segurança durante os ensaios.

7

O carregamento foi aplicado gradualmente até a ruptura em diferentes distâncias da face do

pilar (1067, 610, 610 e 305 mm), utilizando dois macacos hidráulicos de 30 ton. ancorados

à laje de reação, e produzindo força de cima para baixo na laje. As relações Mu/Vu das

lajes ensaiadas foram: 1,00 (S1), 0,60 (S2), 0,59 (S3) e 0,31 (S4), considerando o momento

na face do pilar.

O pilar foi armado de tal forma a resistir à transferência de momento da laje e estava preso

a um sistema que impedia a sua rotação.

A laje S1 rompeu por flexão com superfície de ruptura passando ao longo da face do pilar,

enquanto a laje S2 teve um modo de ruptura frágil por punção, com um colapso súbito da

zona de compressão ao longo de uma superfície formada por fissuras inclinadas nas

vizinhanças imediatas do pilar. A ruptura da laje S3 ocorreu de forma dúctil por flexão ao

longo de uma linha de ruptura passando pela laje e a face do pilar.

A laje S4 era idêntica à S3, exceto pelo ponto de carregamento, e apresentou uma relação

Mu/Vu = 0,31, pelo fato do carregamento estar bastante próximo da face do pilar. A

ruptura da laje S4 foi semelhante à laje S2 e ocorreu de forma frágil. Os resultados dos

ensaios, destacando os modos de ruptura, são apresentados na Tabela 2.1

Tabela 2.1 – Resultados dos ensaios – Foutch, Gamble e Sunidja (1990)

Modelo D* (mm)

Md* (kN.m) ACI 318-77

Md* (kN.m) Forças Internas

Mu* (kN.m)

Mu** (kN.m)

Vu (kN)

Modo de

Ruptura S1 1067 55,53 56,48 58,62 67,28 58,15 Flexão

S2 610 50,31 49,45 50,19 62,74 83,82 Punção

S3 610 37,83 39,72 40,40 50,50 67,65 Flexão

S4 305 33,47 35,38 35,78 52,99 114,64 Punção * Em relaçao à face do pilar. ** Em relação ao centro do pilar Foi verificado que a seção mais apropriada para se calcular os momentos atuantes na seção

crítica é em relação ao eixo que passa na face do pilar, sendo também a seção apropriada

para considerar a resistência à flexão usando a teoria das linhas de ruptura.

8

Em relação ao aumento das tensões nos cabos, os autores verificaram que em nenhum

ensaio o aumento da tensão no cabo em relação ao nível de tensão no início do ensaio foi

maior que 50% do aumento estimado pelo ACI 318:1977 e foi de apenas 84% do esperado

pelo ACI 318:1983. O aumento médio das tensões das cordoalhas nos ensaios foi de 65 a

81% do maior aumento registrado numa cordoalha. Os autores verificaram que o aumento

das tensões nos cabos é similar à relação momento versus deflexão dos modelos.

Em relação aos efeitos da protensão, os autores verificaram que a parcela da compressão

no plano Vcp aumenta significativamente a resistência à punção, e a não consideração dessa

parcela em lajes cogumelo protendidas com pilares de extremidade, como recomenda o

ACI 318:1983, acarretaria resultados subestimados de resistência das lajes. Os autores

concluíram que é recomendado o uso da equação de cálculo da resistência à punção para

ligações laje-pilar de interior no cálculo da resistência à punção de ligações laje-pilar de

extremidade, considerando a contribuição da compressão do concreto devido à protensão.

Os autores observaram também que para o caso de uma ruptura por punção, a armadura

passiva superior não é efetiva no combate ao pós-puncionamento, porque tende a arrancar

uma área significativa de concreto na parte superior da laje.

Os autores concluíram também que os limites de 35 MPa para a resistência do concreto e

de 3,5 MPa para a tensão de compressão do concreto devido à protensão, tal como

recomenda o ACI 318:1983, podem ser estendidos respectivamente para 50 MPa e 3,9

MPa.

9

2.1.2 - Gardner e Shao (1996)

Apresentaram resultados experimentais para punção de uma laje cogumelo contínua de

concreto armado, com 9 pilares e um comprimento de vão de 2743 mm, que foi carregada

até a ruptura, simulando uma carga uniformemente distribuída por meio de 40 pontos de

cargas concentradas na laje. A laje possuía 4 pilares de extremidade, 4 pilares de canto e 1

pilar de interior, sendo que 1 pilar de extremidade e 1 pilar de canto eram de seção circular,

com diâmetro de 254 mm e os demais eram de seção quadrada de 254 x 254 mm. A

espessura da laje foi de 140 mm, com uma altura útil de 120 mm e as extremidades norte e

leste tinham uma aba de 125 mm.

O objetivos do estudo foram: 1) investigar a adequabilidade de se usar modelos isolados

para representar lajes contínuas reais ; 2) o estudo da validade das prescrições do ACI

318:1989, BS 8110:1985 e o código CEB-FIP:1990 na punção; 3) o comportamento das

ligações laje-pilar de interior, extremidade e de canto; 4) os efeitos das escoras ao redor

dos pilares na resistência da laje.

A armadura foi calculada de acordo com o ACI 318:1989 e distribuída para assegurar que

a laje tivesse rupturas por punção antes de rupturas por flexão.

Os cálculos de resistência da laje cogumelo foram feitos desconsiderando as restrições de

resistência do concreto impostas pelo ACI 318:1989, BS 8110:1985 e o Código Modelo do

CEB-FIP:1990.

A metodologia do ensaio consistiu da aplicação gradual de 40 cargas concentradas

simultâneas, simulando uma carga uniformemente distribuída, até verificar a ruptura de

alguma ligação laje-pilar. Inicialmente rompeu o pilar de interior para uma carga de 34,4

kN/m2. Para dar prosseguimento ao ensaio, a ligação laje-pilar de centro foi escorada. Após

mais incremento de carga, os pilares de extremidade nº 2 e nº 5 romperam a uma carga de

34,4 kN/m2. As ligações nº 2 e nº 5 foram escoradas e o ensaio prosseguiu até a ruptura da

ligação laje-pilar de canto. A ligação laje-pilar de extremidade 3 e a ligação laje-pilar de

canto romperam a uma carga de 44,8 kN/m2. A Figura 2.3 mostra o esquema de ensaio

utilizado, destacando os pontos de aplicação de carga, numeração dos pilares e localização

das escoras.

10

5867

2743

686

2743

458

8

914

L12

L11

5

913458

L14

L37

L32

L13

L36

L31

L38

L33

Escoras de 95 x 95 mm

L9

3

L10

6

L17 L18 L19

L28

L23

L27

L22

1

L24

L1 L22

5867

2743

685

9

L8

L7

127458458228 228

L15

L39

L34

L16

L40

L35

12768

6

N

S

127O L

458

228

45822

8

4

7

L6

L5L20 L21

L29

L25

L30

L26

L3

D = 254 mm

L4

2743

914

458

458

D = 254 mm

127

127

Figura 2.3 – Esquema de Ensaio - Gardner e Shao (1996)

Todas as rupturas observadas nas ligações laje-pilar foram combinadas de flexão e punção,

apresentando fissuras grandes o bastante para indicar que o aço teria escoado devido aos

momentos negativos.

Os autores assumiram que a carga uniformemente distribuída aplicada na laje foi

distribuída da seguinte forma: a ligação laje-pilar de interior recebeu 26,2%, a ligação laje-

pilar nº 2 recebeu 12,14% e a ligação de canto recebeu 5,7%.

Verificou-se que a ligação laje-pilar de interior é mais crítica em punção que a ligação laje-

pilar de extremidade e de canto, numa laje contínua corretamente projetada e com taxa de

armaduras aproximadamente iguais. As ligações laje-pilar 2 e 6, que possuíam pilares de

seção circular, romperam com cargas mais baixas que as ligações análogas usando pilares

de seção quadrada (ligações laje-pilar 4 e 9). Os comentários do ACI 318:1989 sugerem

que um pilar de seção circular pode ser tratado como um pilar de seção quadrada para o

cálculo da resistência à punção.

11

A equação linear de interação de momento e cortante do ACI 318:1989 é não-conservadora

no cálculo dos coeficientes das ligações nº 2 e nº 5, mas conservadora para a ligação nº 6.

A comparação das ligações de extremidade com as normas é exposto na Tabela 2.2.

Tabela 2.2 – Comparação de resultados – Gardner e Shao (1996)

Pc (kN/m2) Pu (kN/m2) Pu/Pc Pc (kN/m2) Pu (kN/m2) Pu/Pc

ACI 45,2 0,76 43,6 0,79

BS 8110 31,7 1,09 31,7 1,09

CEB 38,1 0,90 31,8 1,08

Método proposto 36,5 0,94 35,5 0,97

Coeficiente Proposto 34,5 1,00 33,1 1,04

Taxa de armadura (ρ)

FORMULAÇÕES LIGAÇÃO 2

0,0057 0,0057

LIGAÇÃO 5

34,4 34,4

Os autores concluíram que os ensaios isolados de punção podem representar o

comportamento de punção em ligações laje-pilar de interior em sistema de lajes contínuas,

por darem valores próximos aos estimados.

O mais fiel resultado experimental foi para o pilar de interior, pois os resultados para os

pilares de extremidade e de canto foram baixos devido à ruptura das ligações iniciais que

transferem carga para as ligações laje-pilar que não romperam.

Em relação às ligações laje-pilar de extremidade e de canto, verificou-se que uma interação

momento-cisalhamento é adequada para determinar a resistência à punção com

transferência de momento entre a laje e o pilar.

Os autores afirmaram que a punção não é um fenômeno de cisalhamento puro e sempre

ocorre em locais de grandes momentos e é um fenômeno de flexo-punção e sugerem que

um modelo de bielas e tirantes pode ser mais válido que os atuais métodos que utilizam

perímetros críticos de punção.

Os autores sugerem que sejam incorporadas às equações do ACI 318:1989 termos que

considerem o efeito do tamanho da laje.

12

2.1.3 - Gardner e Kallage (1998)

Apresentaram resultados experimentais de ruptura por punção de uma laje cogumelo

contínua, de 5690mm x 5690 mm, com protensão não-aderente, calculada de acordo com

as provisões do ACI 318-95, exceto que não foi adicionada nenhuma armadura aderente. A

laje possuía em vão de 2700 mm entre os pilares, espessura de 89 mm e era apoiada em

nove pilares, sendo seis pilares quadrados com lado de 203 mm e três pilares circulares

com diâmetro de 203 mm. Uma carga uniformemente distribuída foi simulada por meio de

40 pontos de carregamento afastados de 914 mm em cada direção principal.

A laje foi protendida com cabos não-aderentes, sendo 20 cabos em cada direção. Na

direção leste-oeste os cabos foram dispostos em faixas passando pelos pilares e na direção

norte-sul os cabos foram uniformemente distribuídos. A tensão nos cabos de protensão foi

medida por meio de 19 células de carga. O arranjo dos cabos, pontos de aplicação de carga

e a identificação das células de carga é mostrado na Figura 2.4 e o perfil dos cabos é

mostrado na Figura 2.5.

Os cabos de protensão eram do tipo engraxado, com sete fios e diâmetro de 13 mm,

envolvidos por um plástico para eliminar a aderência, satisfazendo as especificações do

ASTM-A416-88b e GSA-G279 e foram protendidos aproximadamente 60 dias após a

concretagem da laje com uma força de 96 kN, apresentando uma força final de 89 kN por

cabo após as perdas de ancoragem. A tensão no concreto após a protensão foi de 3,5 MPa

em ambas direções.

O concreto apresentou uma resistência à compressão média de 44 MPa no dia do ensaio.

13

8

2,74

m92

5 m

m

2,74 m340 mm

1 7

32

A

4

64

7

2,74

m

2,74 m

2 9

B

1 3

15

C 914

mm

9

914 mm

610

11 1312 14

DN

19

5

16 17 18

8

Figura 2.4 – Esquema de ensaio – Gardner e Kallage (1998)

2,74 m

50 m

m

75 m

m

2,74 m

20 m

m

90 m

m

Figura 2.5 – Perfil dos cabos de protensão – Gardner e Kallage (1998)

14

A laje foi carregada de modo a obter rupturas em todas as ligações laje-pilar existentes.

Primeiramente rompeu a ligação laje-pilar nº 2. Os ângulos da superfície de ruptura da

ligação laje-pilar nº 2 foram medidos na face da extremidade da laje e foram de 16 e 20º.

Houve um acréscimo de tensão na ordem de 25% dos dois cabos que passavam dentro do

pilar 2, na direção norte-sul.

Após a ruptura da ligação laje-pilar nº 2, a carga foi aliviada e a laje foi escorada ao redor

da ligação rompida. Após o escoramento a laje foi novamente carregada até a ruptura de

outra ligação. O pilar de interior rompeu com uma carga 10% menor que a carga aplicada

para romper a ligação laje-pilar nº 2, provavelmente por uma redistribuição de cargas do

sistema, ou uma redução da protensão dos cabos, ou a ligação laje-pilar de interior sofreu

uma ruptura por punção iniciada por uma fissura diagonal interna na ordem de 1/2 a 2/3 da

carga última.

Após essa etapa, a carga foi novamente aliviada, a laje foi escorada ao redor da ligação

laje-pilar de interior e foi aplicado novamente o carregamento, rompendo então o pilar de

canto.

O resultado mais fiel foi para a ligação laje-pilar de extremidade, pois a redistribuição das

cargas das ligações rompidas e a degradação da laje provavelmente afetaram a resistência

das ligações laje-pilar de interior e de canto. A Tabela 2.3 mostra a comparação dos

resultados obtidos com os valores prescritos e com o método proposto pelo autor somente

para a ligação laje-pilar de extremidade.

Tabela 2.3 – Comparação dos resultados experimentais – Gardner e Kallage (1998)

Carga Experimental

(kN/m2)

Vu (kN)

dp (mm)

fcp(1) (Mpa)

ACI 318-95(2) (d = def) (kN)

ACI 318-95(3) (d = 0,8h) (kN)

BS 8110 (kN)

Método Proposto 1

(kN)

Método Proposto 2

(kN)

32,9 135 50 9,84 95 56 133 128 114

Vu/Vn - - - - 1,42 2,41 1,02 1,05 1,18

Método Proposto 1 - Proposta de um fator de acréscimo da carga efetiva.

Método Proposto 2 - Resistência de cálculo proposta considerando uma excentricidade do cortante

Ligação Nº 2

(1) Tensão no concreto calculada na face do pilar

(2) Desconsiderando o efeito da componente vertical Vp da força de protensão(3) Desconsiderando o efeito da compressão no plano

15

Os autores propuseram um método de cálculo para prever resistência de ligações laje-pilar

de interior de concreto armado e protendido, que foi estendido dos trabalhos de Shehata e

Regan (1989) e Shehata (1990), considerando uma excentricidade do cortante na ligação

laje-pilar de extremidade e também propôs um simples coeficiente para determinação da

carga efetiva aplicada na laje.

Os autores concluíram que:

- O comportamento à flexão das lajes de concreto protendido com cabos não-aderentes é

excelente, com as lajes sustentando grandes cargas após a fissuração.

- A protensão é efetiva para a extremidade da laje e pode ser usada nos cálculos da

resistência estimada à punção.

- As simplificações do perímetro de punção retangular e a altura efetiva da laje, em no

mínimo a 80% da altura da laje permitida pelo ACI 318:1995 nos cálculos da capacidade

de punção de lajes de concreto protendido, deveriam ser eliminadas.

- Não é adequado desprezar o efeito do desvio dos cabos na vertical e o efeito da

descompressão da protensão, pois nesse caso o cálculo da resistência da ligação seria

subestimado.

- A consideração de punção e transferência de momentos pode ser realizada com um

simples fator multiplicador ou através de uma equação de excentricidade de cortante para

prever a resistência da laje.

16

2.1.4 - Gardner e Sharifi (2000)

Apresentaram resultados de uma investigação experimental de uma laje cogumelo contínua

de concreto protendido com 9 pilares, com 89 mm de espessura e com 3200 mm de vão,

projetada para investigar o efeito da protensão em ligações laje-pilar de extremidade. Os

resultados foram comparados com a prescrição do ACI 318:1995 e com a proposta de

Gardner e Kallage (1998).

Os pilares de extremidade e de canto eram quadrados de 203 mm de lado e o pilar de

interior era de 305 mm de lado para evitar uma ruptura por punção. O modelo da laje foi

protendido com 18 cabos em cada direção. Foram usadas células de carga para medir as

forças em cabos selecionados, que após as perdas foi de 85 kN (859 MPa). Os cabos foram

colocados a uma altura dp = 70 mm. A Figura 2.6 mostra o arranjo dos cabos da laje de

ensaio.

5 6 7

304

375

304

375375375

3

305

305

375305

305305305

4

457

305305457

457457

357

357

357

357

357

304

304

76 357

357

357

2

9

76426

426

426

1

8

76 N

Figura 2.6 – Arranjo dos cabos e numeração dos pilares – Gardner e Sharifi (2000)

17

O concreto utilizado possuía uma resistência especificada de 35 MPa aos 28 dias, 70 mm

de slump e um tamanho máximo de agregado de 19 mm. A resistência obtida do concreto

no dia do ensaio foi de 45 MPa.

Os cabos protendidos eram de 13 mm de diâmetro, engraxados, com sete fios, envoltos em

uma proteção plástica para eliminar a aderência com o concreto, satisfazendo as

especificações do ASTM-A416-88b e CSA-G279. A resistência última dada pelo

fabricante foi de 1860 MPa.

Para simular uma carga uniformemente distribuída, a laje foi carregada para baixo por 48

pontos de carga espaçados 914 mm em cada direção. Cada carga foi aplicada por meio de

uma barra de aço de 15 mm de diâmetro e fixada numa laje de reação e foi carregada com

macacos hidráulicos situados abaixo da laje de reação que reagia contra a superfície

inferior da laje de reação.

A ruptura por punção ocorreu para uma carga de 24 kN/m2 na ligação laje-pilar nº 2. Após

a ruptura a carga da laje foi aliviada, a protensão dos cabos que passavam pelo pilar 2 foi

liberada e foi feita uma recuperação da ligação laje-pilar rompida. Após 10 dias, os cabos

foram novamente protendidos e a ligação foi escorada. Por causa da redução de tensões no

cabos passando entre os pilares 2 e 6 na direção norte-sul, a laje ao redor do pilar 6 foi

também escorada para prevenir uma ruptura.

A laje foi novamente carregada e a ligação laje-pilar 8 rompeu para uma carga de 26

kN/m2 e foi feito o mesmo procedimento de recuperação já descrito. As ligações laje-pilar

2 e 8 foram escoradas e as escoras ao redor do pilar 6 foram removidas.

Foi aplicada novamente uma carga na laje e houve uma ruptura na conexão 6 para uma

carga de 25,7 kN/m2. Para aumentar a velocidade do ensaio, a ligação 6 não foi reparada,

mas foi escorada com 2 filas de apoios. Todas as ligações exceto a ligação 4 foi escorada.

A laje foi recarregada e a ligação 4 rompeu à uma carga entre 23,3 e 23,9 kN/m2. Após

esse procedimento todas as ligações laje-pilar foram escoradas, exceto as ligações de canto.

A laje foi novamente carregada até a ruptura das ligações de canto. A Tabela 2.4 mostra

uma comparação entre as cargas estimadas pelo ACI 318:1995 com as cargas de ensaio,

desconsiderando o efeito da compressão do concreto.

18

Tabela 2.4 – Comparação dos resultados com as equações do ACI 318:1995 – Gardner e Sharifi (2000)

Ligação Laje-PilarMu

(kN.m)Vu

(kN)νu

(MPa)νc

(MPa)fpc

(MPa)νu/νc

(MPa)

2 22,7 94,1 3,63 1,72 - 2,11

8 28 122 4,59 1,72 - 2,68Calculado usando fck = 35 MPa e d = 0,8h

A Tabela 2.5 compara as tensões atuantes de punção e estas são calculadas usando a

equação desenvolvida por Gardner e Kallage (1998). Estimar a compressão devida à

protensão para ser usada na equação desenvolvida por Gardner e Kallage (1998) é difícil,

porque é diferente nas duas direções e na direção perpendicular com a extremidade,

dependendo do espaçamento do cabo, pode ser consideravelmente maior localmente do

que a calculada, tornando-se a largura do painel da laje toda.

Tabela 2.5 – Comparação dos resultados com a equação de Gardner e Kallage (1998) – Gardner e Sharifi (2000)

νc (kN) νu/νc νu (MPa) νu/νc

2 5,08 0,0105 64,6 4,59 7,39 1,61 4,63 1,01

8 3,43 0,0071 42,3 3,80 9,28 2,44 6,00 1,58

Interação Linear Simples Coeficiente

Calculado usando fck = 35 MPa e d = 0,8h

νc

(MPa)Ligação

Laje-Pilarfpc

(MPa)ρp

Vd

(kN)

Os autores concluíram que ao desconsiderar o efeito da compressão do concreto devido à

protensão, como considerado pelo ACI 318:1989, torna o valor calculado da resistência à

punção da ligação subestimado. Uma estimativa fornecida pela protensão pode ser

determinada pelo método proposto por Gardner e Kallage (1998), que considera o efeito da

protensão e a armadura aderente. Em pilares de extremidade e de canto, deve ser ressaltado

que cabos aderentes promovem menos compressão do concreto do que cabos não

aderentes.

19

2.2 - PESQUISAS REALIZADAS NA UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA – UnB

Corrêa (2001), Alves (2002), Villaverde (2003), Silva (2005) e Carvalho (2005)

apresentaram resultados de ensaios em lajes de concreto protendidas com pilares internos.

Apesar desses estudos serem para lajes cogumelo protendidas com pilares internos, é

relevante citá-los, pois existem conclusões inerentes às lajes protendidas que se aplicam

tanto para lajes com pilares internos quanto para pilares de extremidade, como: traçado dos

cabos, força de protensão, altura e distribuição dos cabos, fissuração da laje e modo de

ruptura.

2.2.1 - Corrêa (2001)

O trabalho desenvolvido por Corrêa foi o primeiro trabalho realizado na UnB na linha de

punção em lajes cogumelo protendidas. O sistema de protensão utilizado foi do tipo não-

aderente com cordoalhas engraxadas e teve como objetivo avaliar os efeitos da protensão

na resistência última à punção.

Foram avaliados o efeito da compressão no plano e o efeito da força equilibrante nas lajes,

adotando-se para o primeiro caso um traçado reto em planta e em perfil, com os cabos

situados no plano médio da laje, para que os efeitos de desvio da força vertical fossem

minimizados, e para o segundo caso adotando-se um traçado reto em planta e semi-

poligonal em perfil, composto por dois traçados retilíneos e por uma pequena curvatura no

centro da laje.

O estudo consistiu no ensaio de 6 lajes de dimensões 2000 x 2000 mm e com espessura de

120 mm, com mesma armadura passiva aderente, mesma armadura de fretagem e mesmo

tipo de aço de protensão, e tendo como principais variáveis o traçado, disposição e

quantidade de cabos, exceto para a laje LP1, que não possuía armadura ativa e que era de

referência.

O sistema de ensaio utilizado consistiu na aplicação de uma carga por meio de um macaco

hidráulico situado no centro da laje, que transmitia a carga através de uma placa metálica

20

de 150 x 150 mm, simulando um pilar. A laje, por sua vez, reagia com uma laje de reação

por meio de vigas metálicas que estavam situadas em seus bordos e ancoradas com

parafusos de alta resistência. A Figura 2.7, a Figura 2.8 e a Figura 2.9 apresentam detalhes

das lajes ensaiadas.

280

800

10001000

ReaçãoVigas de

800

280

150x150Placa Metálica

Figura 2.7 – Esquema de ensaio – Vista superior – Corrêa (2001)

Laje de Reação

Macaco900 kN

ReaçãoViga de

Célula de Carga

Placa Metálica

Figura 2.8 – Esquema de ensaio – Vista lateral – Corrêa (2001)

21

Figura 2.9 – Detalhe das lajes – Corrêa (2001)

Foram utilizadas mono cordoalhas engraxadas do tipo CP190RB de 12,7 mm, com fptk =

1873 MPa, fp0,1k = 1686 MPa e Ep = 1,96x105 MPa, concreto com resistência de 40 MPa

aos 28 dias e aço aderente de CA50, fyk = 500 MPa e Es = 2,1x105 MPa. A armadura de

flexão consistia de barras de 12,5 mm, espaçadas a cada 100 mm em cada direção, com

altura efetiva nas duas direções de 105 mm e empregou-se uma malha inferior de barras de

6,3 mm a cada 100 mm. As lajes LP2 e LP3 foram executadas com um traçado reto nos

cabos e com 6 e 10 cabos por seção, respectivamente. As lajes LP4, LP5 e LP6 foram

executadas com um traçado poligonal e com 2, 4 e 6 cabos por seção, respectivamente. A

laje LP1 foi utilizada como referência e não possuía armadura ativa. O resumo das lajes

ensaiadas é mostrado na Tabela 2.6.

150mm x 150mm

1125mm

LP2 LP3

1125mm

150mm x 150mm

LP4

70mm

150mm x 150mm

LP5

210mm

150mm x 150mm

LP6

350mm

150mm x 150mm

22

Tabela 2.6 – Resumo das Lajes – (Corrêa 2001)

Sup. Inf. Seção crítica Toda a laje

LP1 - 1,1 0,3 - - - -

LP2 Reto 1,1 0,3 0,8 0,37 6 100

LP3 Reto 1,1 0,3 0,8 0,62 10 100

LP4 Poligonal 1,1 0,3 0,8 0,12 2 100

LP5 Poligonal 1,1 0,3 1,6 0,25 4 100

LP6 Poligonal 1,1 0,3 1,6 0,37 6 100

Laje nºρp (%)

Nº cabos

P/cabo (kN)

ρs (%)Traçado

O estudo verificou que os ângulos de inclinação das superfícies de ruptura em forma de

troncos de cone, medidos externamente, diminuem com a inserção de protensão, quando se

compara a laje LP1 com as demais. A laje LP1 teve o ângulo variando de 22º a 37º, a laje

LP2 teve o ângulo variando de 14º a 27º, a laje LP3 teve o ângulo variando de 17º a 19º, a

laje LP5 teve o ângulo de 19º e a laje LP6 teve o ângulo variando de 13º a 29º. As lajes

LP2 e LP3 fissuraram menos que a laje de referência e menos ainda que as lajes destinadas

à avaliação do efeito da força de desvio. A Tabela 2.7 apresenta os resultados dos ensaios.

Para as cargas de ruptura por punção, obteve-se um melhor resultado utilizando-se as

expressões do FIP/98, seguido pelas expressões da EC2/98. Apesar de ser simplificada a

formulação do ACI-318/95 mostrou resultados que menos se aproximaram dos ensaios

experimentais. A parcela da compressão no plano foi 1,5 vez maior que a estimada nas

expressões do FIP/98 e EC2/98 e cerca de 3 vezes menor no caso do ACI-318/95,

indicando que a expressão do ACI está mal aferida para o estudo. As expressões da FIP/98

trazem expressões do MC/90 adotadas pela NB2/00, obtendo-se os melhores resultados.

Em relação aos efeitos da protensão, Corrêa observou que houve uma contribuição maior

na resistência à punção nas lajes em que foram estudados os efeitos da força equilibrante,

na ordem de 25% de aumento médio da resistência efetiva das lajes, e um aumento por

volta de 10% da resistência nas lajes onde foi estudado o efeito da compressão no plano.

23

Tabela 2.7 – Resumo dos resultados experimentais (Corrêa 2001)

Laje Nº cabo/ direção Traçado fc (Mpa) fct (Mpa) Pt (kN)

LP1 - - 52,2 3,3 327,5

LP2 6 Reto 50,6 3,3 355,4

LP3 10 Reto 53,9 4,1 415,4

LP4 2 Poligonal 49,2 3,7 390,0

LP5 4 Poligonal 49,2 3,7 475,0

LP6 6 Poligonal 52,9 3,5 437,0

Vale ressaltar que não houve uma correção da protensão inicial nos ensaios de Corrêa

(2001), ficando os cabos de protensão com força bem inferior à prevista. O autor usou de 2

a 10 cabos em cada direção e controlou a força de protensão em apenas dois cabos em cada

ensaio, obtendo-se nos cabos controlados forças variando de 76 a 111 kN, com uma força

de protensão prevista de 100 kN.

2.2.2 - Alves (2002)

O trabalho desenvolvido por Alves (2002) teve como objetivo investigar a influência da

curvatura vertical e da curvatura horizontal dos cabos de protensão, decorrentes do não

alinhamento dos pilares, na resistência à punção de lajes cogumelo protendidas com pilares

internos e utilizando cabos não aderentes. O autor utilizou o mesmo esquema de ensaio de

Corrêa (2001), utilizando também apenas duas células de carga para medição da variação

da força de protensão nos cabos.

O autor concluiu que os cabos com configuração reta apresentam em geral uma variação

maior da tensão de protensão em comparação com os cabos curvos, apresentando um

acréscimo de 8% e 5% durante os ensaios, respectivamente.

Alves, concluiu também que os melhores resultados foram para as lajes que apresentavam

os cabos que permaneciam dentro da superfície de ruptura do tronco de cone.

24

Em relação aos efeitos da protensão, o autor concluiu que houve uma contribuição maior

na resistência à punção nas lajes que foram estudadas os efeitos da força equilibrante (Vp),

na ordem de 25%, obtendo 10% no estudo do efeito da compressão no plano (Vcp).

O autor concluiu que todos os resultados obtidos nas lajes de Corrêa foram superiores aos

resultados das lajes com cabos curvos na horizontal apresentadas em seu trabalho, exceto

para duas lajes que foram calculadas pelo EC2:1998.

2.2.3 - Villaverde (2003)

Seguindo a mesma linha de pesquisa desenvolvida por Alves (2002), Villaverde (2003)

investigou de forma mais aprofundada a influência da curvatura vertical e da curvatura

horizontal dos cabos de protensão, decorrentes do não alinhamento dos pilares, na

resistência à punção de lajes cogumelo com pilares de interior.

O autor concluiu que a resistência última à punção pouco varia quando se inclinam os

cabos em até 30º, apresentando uma maior variação na resistência na ordem de 3,5%.

Em relação à parcela da carga equilibrante (Vp), o autor recomendou a consideração das

componentes verticais das forças de protensão dos cabos que passam dentro de um suposto

cone formado a 45º a partir da face do pilar, uma vez que este procedimento apresentou os

melhores resultados.

Em relação à parcela de compressão no plano, o autor concluiu que esta parcela influi

cerca de 10% na resistência última por punção em níveis usuais de tensão e recomendou a

consideração desta parcela pela NBR 6118:2003 no cálculo da resistência de uma laje

cogumelo protendida com pilar de interior.

25

2.2.4 - Silva (2005)

O trabalho desenvolvido por Silva (2005) teve os seguintes objetivos: realizar um estudo

detalhado da resistência ao puncionamento em lajes cogumelo protendidas com pilares de

interior, destacando principalmente as parcelas de compressão no plano (Vcp) e a

equilibrante (Vp); estudar a resistência ao puncionamento para lajes com diferentes

relações “lado do pilar”/ “altura útil da laje” (c/d); e estudar a resistência ao

puncionamento para lajes com a cablagem passando dentro e fora da seção transversal do

pilar.

Foi observado um crescimento da carga de protensão durante os ensaios, para as lajes com

pilar de 300 x 300 mm, entre 8% e 17%. Observou-se também que esses aumentos da

carga de protensão foram maiores nas cordoalhas próximas ao pilar.

O autor concluiu que a localização dos cabos de protensão fora do pilar reduz a resistência

à punção da laje. Também se verificou que as lajes com menor espaçamento entre os

cabos, possuem mais resistência que as lajes com o mesmo número de cabos, com maior

espaçamento.

O autor apresentou resultados em que a parcela da resistência relativa à compressão do

concreto devido à protensão (Vcp) é superior à parcela devido à curvatura dos cabos na

vertical (Vp).

2.2.5 - Carvalho (2005)

O trabalho apresentado por Carvalho (2005) teve como objetivo estudar o comportamento

e resistência de lajes cogumelo protendidas com pilares internos, com cabos não aderentes

e armadura de cisalhamento, submetidas à punção, tendo como principais variáveis a área,

a distribuição e o número de camadas da armadura de cisalhamento e o comprimento do

lado do pilar.

26

O autor concluiu que o acréscimo de armadura de cisalhamento nas lajes protendidas

aumentou a resistência à punção de 16% a 60% em relação às lajes de referência e a altura

efetiva da laje também exerceu importante influência na resistência ao puncionamento.

Em relação ao aumento na força de protensão, o autor observou um incremento entre 5% e

27% da força de protensão em relação à força média de protensão no início do ensaio,

observando incrementos maiores em carregamentos próximos ao aparecimento da primeira

fissura circunferencial.

27

2.3 - PRESCRIÇÕES NORMATIVAS

2.3.1 - ACI-318:2002

O dimensionamento de uma seção sujeita à uma transferência de momento entre a laje e o

pilar e sem armadura de cisalhamento deve ser baseado em:

un vv ≥φ (2.1)

onde:

uv = tensão de cisalhamento atuante na seção considerada;

nv = tensão resistente nominal ao cisalhamento, dada por db

Vv c

n0

φφ = ;

cV = resistência nominal de punção;

ob = perímetro crítico;

d = altura útil da laje;

φ = fator de redução da resistência nominal, igual a 0,85 para peças solicitadas por

cisalhamento.

A distribuição de tensões é assumida como ilustrado na Figura 2.10 e as tensões de

cisalhamento atuantes podem ser calculadas usando as seguintes expressões:

c

ABuv

c

uABu J

cMAV γ

ν +=)( (2.2)

c

CDuv

c

uCDu J

cMAV γ

ν −=)( (2.3)

)1( fv γγ −= (2.4)

21 /)3/2(11

bbf+

=γ (2.5)

onde:

Vu = força ou reação do pilar;

Mu = momento perpendicular à extremidade da laje em relação ao eixo que passa no centro

de gravidade da seção crítica;

28

b1 = largura da seção crítica medida na direção do vão para quais os momentos são

determinados;

b2 = largura da seção crítica medida na direção perpendicular a b1;

Ac = área de concreto da seção crítica assumida = bo.d;

Jc = momento polar de inércia da seção crítica assumida;

cAB = centro de gravidade do perímetro crítico..

Seção CríticaC

CABCCD

c

BCisalhamentoTensão de

D

b1= c2 + d

c AvCD

V

M

C.G. Pilar

vAB

c

cb2 = c1 + d/2

Figura 2.10 – Seção crítica e distribuição das tensões assumidas (ACI-318:2002)

O valor da resistência à punção, Vc, para lajes cogumelo protendidas é dado pela equação:

p0pc'cpc Vdbf3,0fV +⋅⋅

+= β (2.6)

onde:

sα =

'cf = resistência à compressão especificada do concreto;

ob = perímetro crítico (mm), dado por: b0 = 3c + 2d, para pilares com seção quadrada;

c = lado da seção quadrada do pilar;

d = altura útil da laje considerando a armadura ativa e passiva. d ≥ 0,8h;

pβ : o menor valor entre

0,29

12

5,1bd

os

+⋅α

;

40 para pilares de interior 30 para pilares de extremidade; 20 para pilares de canto

29

pcf = valor médio da tensão no concreto nas duas direções;

pV = componente vertical da força de protensão efetiva que atravessa a seção critica.

Observa-se que o valor de Vc na expressão anterior está em função de três fatores:

resistência do concreto, resistência acrescida ao concreto pelo confinamento causado pela

componente horizontal da protensão, e finalmente a resistência devida à carga equilibrante

ou de desvio, causada pelas componentes verticais da força de protensão dentro do

perímetro crítico, como se observa na Figura 2.11.

O perímetro crítico é dado pelo contorno distante a d/2 do contorno do pilar, da carga

concentrada ou da região carregada, como mostra a Figura 2.10.

A equação apresentada para o cálculo da parcela Vp é sugerida por Mitchell e Collins

(1991) e vale para o esquema da Figura 2.11.

( )( )dc

lhPVp +⋅

⋅⋅= 12

1

22β

(2.7)

onde:

P = força de protensão aplicada no cabo;

Βl1 = corresponde à distancia do centro do pilar ao ponto de inflexão do cabo;

h2 = altura vertical do ponto de inflexão à altura máxima do cabo.

1c

do caboPonto de inflexão

Vp

β

Seção crítica parad/2a punção

2h

1l

Figura 2.11 – Determinação de Vp – Mitchell e Collins (1991)

30

As restrições para o cálculo da parcela Vc são:

- Nenhuma porção da seção transversal do pilar deve estar mais próxima de uma

descontinuidade menor do que quatro vezes a espessura da laje;

- 'cf na equação não deve ser maior do que 35 MPa;

- pcf em cada direção não deve ser menor do que 0,9 MPa, e não maior do que 3,5 MPa.

De acordo com o ACI-318:2002, para o caso da laje estudada, a protensão no perímetro

crítico não é totalmente efetiva no cálculo da resistência da laje à punção e devem ser

desprezadas as parcelas devidas ao efeito da protensão.

Para possibilitar uma análise de quanto carga atuante é majorada, será considerado um

termo β, que será o coeficiente de majoração da carga atuante e que é fruto da interação

momento/cortante atuante na laje. A Equação 2.2 pode ser escrita então da seguinte forma:

dbV

o

uABu βν =)(

(2.8)

onde:

+=

cu

ABuv

JVdbcM 01

γβ

(2.9)

Vale ressaltar que a relação M/V é constante para cada laje ensaiada, por isso o termo β

pode ser tratado como um coeficiente de redução da capacidade resistente, visto que é

necessário saber com que carga vertical a laje vai romper em cada ensaio.

Dessa forma, pode-se determinar a equação da capacidade resistente à punção de uma laje

cogumelo protendida com pilar de extremidade, de acordo com o ACI-318:2002.

( )[ ]ppccpn VdbffV +⋅⋅+= 0' 3,01

ββ

(2.10)

31

2.3.2 - NBR 6118:2003

A verificação à punção em lajes pela norma NBR 6118:2003 analisa três superfícies

criticas: na primeira superfície critica (Contorno C), do pilar ou da carga concentrada, deve

ser verificada a tensão de compressão diagonal do concreto através da tensão de

cisalhamento; na segunda superfície (Contorno C’), afastada a 2d do contorno do pilar,

deve ser verificada a capacidade da ligação à punção associada à tensão resistente da

compressão diagonal; e a terceira superfície (Contorno C’’) apenas é verificada quando for

preciso colocar armadura transversal de cisalhamento.

2d2d da lajeda laje

reduzido u*Perímetro crítico

Perímetro crítico u

Borda livreC1

C2

2d2d

Borda livre

1,5d e 0,5C1

Figura 2.12 – Perímetro crítico de punção (NBR 6118:2003)

Deve ser verificada indiretamente a tensão de compressão diagonal do concreto através da

tensão de cisalhamento no contorno do pilar (Contorno C), em lajes submetidas à punção,

com ou sem armadura de punção, de acordo com a Equação 2.11.

cdvRdefsd fαττ 27,02, =≤ (2.11)

onde:

)250f1( ck

v −=α ; com fck em MPa. (2.12)

32

Além da verificação da tensão resistente no contorno crítico C, deve ser feita uma

verificação da tensão resistente na superfície crítica C’, de acordo com a Equação 2.13.

3/1

1, )..100)(/201(13,0 ckRdefsd fd ρττ +=≤ (2.13)

onde:

d = altura útil da laje ao longo da superfície crítica C’ da área da aplicação da força (cm);

ρ = taxa de armadura de flexão aderente calculada para uma faixa igual a 3d da face do

pilar;

A tensão atuante na superfície crítica é calculada fazendo uma interação entre o momento e

o cortante atuante na laje, levando em consideração as características do pilar e da laje.

Quando não agir momento no plano paralelo à borda livre a tensão atuante deve ser

calculada usando a Expressão 2.14.

dWMK

duF

p

SdSdSd

1

11

*+

⋅=τ (2.14)

onde:

0*)(1 ≥−= SdSdSd MMM (2.15)

Fsd = força ou reação concentrada de cálculo;

d = altura útil da laje = 0,5(dx+dy);

u* = perímetro crítico reduzido;

MSd = momento de cálculo no plano perpendicular à borda livre em relação ao eixo que

passa pelo centro do pilar;

MSd* = momento de cálculo resultante da excentricidade do perímetro crítico reduzido u*

em relação ao centro do pilar;

WP1 = módulo de resistência plástica perpendicular à borda livre, calculado para o

perímetro crítico u.

O desenvolvimento para se chegar à equação de WP1 para lajes cogumelo com pilares

interior e de extremidade é apresentado no Anexo C. A norma NBR 6118:2003 adota o

33

mesmo critério para o cálculo de W1 utilizado pelo EC2:2002 e pelo FIP:1998. O valor de

WP1 para lajes cogumelo com pilares de extremidade pode ser tomado por:

12

221

21

1 8222

dcddcccc

WP π++++= (2.16)

Tabela 2.8 – Valores estabelecidos para K1 (NBR 6118:2003)

C1/C2 0,5 1,0 2,0 3,0K1 0,45 0,60 0,70 0,80

C1 é a dimensão do pilar paralela à excentricidade da força;C2 é a dimensão do pilar perpendicular à excentricidade da força;

Com relação aos efeitos da protensão, a norma introduziu como redução da força efetiva o

valor correspondente à força devida ao efeito da inclinação dos cabos que atravessam o

contorno considerado e passam a menos de d/2 da face do pilar. Dos cabos que passam a

menos de d/2 da face do pilar, a parcela da carga equilibrante deve ser calculada de acordo

com o esquema da Figura 2.13.

2P.sen

P.sen

P

α

2d

α

α2d

P.senα

P

α

Figura 2.13 – Representação da carga equilibrante (NBR 6118:2003)

A tensão atuante efetiva, τSd,ef, deve ser calculada levando em consideração o efeito dos

cabos inclinados que atravessam o contorno considerado e passam a menos de d/2 da face

do pilar e deve ser calculada usando a seguinte expressão:

PdSdefSd τττ −=, (2.17)

onde:

34

dusenP iik

Pd .inf,∑=

ατ (2.18)

onde:

τPd = tensão devida ao efeito da inclinação dos cabos;

Pkinf,i = força de protensão do cabo i;

αi = inclinação do cabo i em relação ao plano da laje no contorno considerado;

u = perímetro crítico considerado, em que se calculam τSd,ef e τSd.

Tal como mostrado no item 2.3.1, será considerado um coeficiente β que será o coeficiente

de majoração da carga atuante. Dessa forma, a Equação 2.14 pode ser escrita da seguinte

forma:

duFSd

Sd ⋅=

*βτ ; (2.19)

onde:

+=

1

11 *1

pSd

Sd

WFuMK

β ; (2.20)

Como a relação M/V é constante para cada ensaio, a capacidade resistente à punção de

uma laje cogumelo protendida com pilar de extremidade, de acordo com a norma NBR

6118:2003, pode ser calculada pela equação:

( )pcR VVP +=β1 ; (2.21)

onde:

Vc = parcela da resistência do concreto juntamente com contribuição da armadura passiva;

Vp = parcela devido à curvatura vertical dos cabos que atravessam o contorno considerado.

35

2.3.3 - FIP:1998 (Fédération Internationale de la Précontrainte)

As recomendações do FIP:1998 para as verificações de punção em lajes cogumelo

protendidas consideram lajes com altura constante dentro de uma área crítica, podendo ter

diferentes níveis de protensão nas duas direções ou ser protendida em apenas uma direção.

A carga efetiva atuante de punção pode ser definida levando-se em conta os efeitos de um

possível momento transmitido entre a laje e o pilar. A carga efetiva aplicada é dada pela

seguinte expressão:

),(, PPPP SdSdeffSd β= (2.22)

PSd(PSd,p,P) é obtido pela análise de cargas externas e cargas de protensão. PSd é a carga

atuante na laje e pode ser reduzida da carga equilibrante de protensão que age dentro de um

perímetro que dista 0,5h da face do pilar ou da carga aplicada.

O coeficiente β para ligações laje-pilar de extremidade, na qual a excentricidade

perpendicular à extremidade livre da laje é na direção do interior da laje, é dado por:

+=

1

1*1

1

wPuM

kuu

Sd

Sdβ (2.23)

O valor de k depende da relação entre as dimensões do pilar, e é mostrado na Tabela 2.9.

Tabela 2.9 – Determinação do coeficiente k (FIP:1998)

c1/c2 0,5 1,0 2,0 3,0 k 0,45 0,60 0,70 0,80 c1 (paralelo à excentricidade, dada por e = MSd/PSd) e c2 (perpendicular à excentricidade)

O parâmetro w1 pode ser determinado por:

∫= 1

01

udlew (2.24)

onde:

dl = comprimento infinitesimal do perímetro crítico u1;

e = distância de dl ao eixo em que atua o momento MSd.

36

De acordo com o exposto no Anexo C, o valor de w1, para lajes cogumelo com pilares de

extremidade, pode ser determinado pela seguinte equação:

12

221

21

1 8222

dcddccccw π++++= (2.25)

O perímetro de controle u1 e o perímetro de controle reduzido, u1* são obtidos a partir do

contorno afastado de 2d da face do pilar ou área carregada de acordo com a Figura 2.14.

Zona de ancoragem

Perímetro de controle

reduzido u*1

2d

2d

C1

C2

2d

2d

1,5d e 0,5C1

Menor valor entre

Perímetro de controle u1

Figura 2.14 – Perímetro de controle de punção (FIP:1998)

A carga efetiva de punção, apresentada na Equação 2.22, pode ser reduzida pela carga de

punção de descompressão equivalente Pp0.

0, ),( pSdSdeffSd PPPPP −= β (2.26)

O efeito da compressão da protensão pode ser obtido pela equação:

yx

yxxyp bb

bPbPP

+

+= 00

0 (2.27)

onde bx e by são as dimensões do perímetro de controle em x e em y. Px0 e Py0 são as forças

de descompressão correspondentes às forças de protensão nas duas direções.

As forças de descompressão devem ser calculadas usando:

37

SdySd

yx P

MM

P 00 = e Sd

xSd

xy P

MM

P 00 = (2.28)

onde PSd = PSd(PSd,P) é a força de punção de projeto e MxSd(PSd,P) e MySd(PSd,P) sãos os

momentos fletores na face do pilar para a largura bx e by, respectivamente, definido como:

6

2

0hbM x

cpyx σ= e 6

2

0

hbM y

cpxy σ= (2.29)

onde σcpx e σcpy são as tensões principais na seção transversal da laje devido a protensão.

A Equação 2.26 pode ser tomada como sendo:

0,, )( ppSdSdeffSd PPPP −−= β (2.30)

onde:

PSd = carga vertical atuante na laje (reação do pilar);

PSd,p = parcela da carga equilibrante de protensão que age dentro de um perímetro que dista

0,5h da face do pilar ou da carga aplicada;

Pp0 = parcela carga de punção de descompressão equivalente ou de compressão no plano.

O valor de PSd,p, ou parcela da carga equilibrante deve ser obtido pelo esquema da Figura

2.15.

P.tan

P

α

0,5h

α

α0,5h

P.tan α

P

α

2P.tan

Figura 2.15 – Parcela da carga equilibrante (FIP:1990)

38

O valor da carga resistente à punção, em Newtons, com fck em MPa, pode ser obtido pela

expressão:

dufP ckRd ..).100(12,0 1

3/1ρξ= (2.31) onde:

d2001+=ξ , d em milímetros;

ρ = taxa de armadura de flexão aderente calculada para uma faixa igual a 2d da face do

pilar;

u1 = perímetro de controle;

d = altura útil da laje;

Fck = resistência característica do concreto.

Para a verificação ser satisfeita é necessário que PSd,eff ≤ PRd.

Dessa maneira, pode-se criar uma expressão para a carga resistente da punção em lajes

cogumelo protendidas com pilares de extremidade:

[ ] pSdpckRd PPdufP ,013/1 ..).100(12,01

++= ρξβ

(2.32)

SdeffSd PP =, (2.33)

Silva (2005) apresenta a equação da carga resistente de uma laje cogumelo protendida com

pilar interno pelo FIP:1998 da seguinte forma:

pe

ppPcRkRk mm

mVVVVV

'''

)( 0, −

−++= (2.34)

O mesmo autor apresenta a Equação 2.34 de modo que a relação de V/m’ seja conhecida e

apresenta a Equação 2.35.

( ) ( ) ( )[ ] 0'''

''' 0,,0

2 =++

+

+++

− pppcRkpepcRkpepRkRk VmVVm

mVVVmm

mVVV (2.35)

39

Porém, a Equação 2.35 considera uma relação V/m’ constante para as duas direções e

considera a média dos efeitos da protensão nas duas direções. Considerando-se, no entanto,

os efeitos da protensão em cada sentido da laje e as devidas relações V/m’ em cada

direção, chega-se a Equação 2.36 para o cálculo da resistência à punção de uma laje

cogumelo de seção quadrada, de extremidade ou não.

( )

0''''

2''

2''

''''

''

''

2'

''2

''

'

2''

2''

''''

2'

''2

''

'

,,

,,0,,0,,

,,,

,0,

,0,

,,0,,0,,

,0,

,0,

23

=

+

+

++

−

−

+

+

+

+

+

+

+

+

++

+

+

++

+

+

+

−

yPexPeyx

c

xPeypyPexpyPexPe

yxp

xPex

yPey

cRk

ypyPe

y

xpxPe

xp

xPeypyPexpyPexPe

yx

Rk

pcyp

yPey

xpxPe

xRkRk

mmmV

mVV

mmmmmm

mV

mVV

mmVm

mVV

mm

mVm

mmVV

mmmmmm

mV

mV

V

VVm

mmVm

mmVVV

β

ββ

β

ββββ

(2.36)

onde:

VRk = carga resistente de uma laje cogumelo protendida com pilar de extremidade;

β = coeficiente de minoração da resistência da laje (β = 1 para pilar interno sem

transferência de momento entre a laje e o pilar);

V = reação de apoio para uma carga unitária aplicada na laje;

m’ = momento em relação à face do pilar, calculado para uma carga unitária na laje;

m’p0 = momento devido à compressão da superfície superior da laje promovido pela

protensão = Ph/6;

m’pe = momento devido à protensão = P.e

A Equação 2.35 apresentada por Silva (2005) torna-se então um caso particular da equação

2.36.

40

2.3.4 - EC2:2002

De acordo com o EC2:2002, a verificação de punção em lajes cogumelo protendidas com

pilares de extremidade deve ser feita em relação às tensões atuantes e resistentes em um

perímetro de controle afastado a 2d da face do pilar e deve obedecer à seguinte condição:

cRdEd vv ,< (2.37)

O código determina também que seja feita uma verificação resistência à punção no

contorno do pilar, de modo que:

)250

1(5,0max,0

ckRd

EdEd

fv

duV

v −=≤= com fck em MPa (2.38)

yxx ccdcu 230 +≤+= ; (2.39)

onde:

cx e cy são as dimensões do pilar, com cx paralelo e cy perpendicular à extremidade.

A tensão atuante no perímetro de controle deve ser calculada de acordo com a seguinte

equação:

duV

vi

EdEd β= (2.40)

onde:

vEd = tensão atuante no perímetro crítico considerado;

VEd = força ou reação no pilar;

β = coeficiente de majoração da carga atuante;

ui = perímetro de controle considerado;

d = altura útil da laje.

Para ligações laje-pilar de extremidade, na qual a excentricidade seja perpendicular à

extremidade da laje, na direção interna da laje, e que não exista excentricidade paralela

com a extremidade devido a um momento desbalanceado, a força atuante deve ser

41

considerada uniformemente distribuída ao longo do perímetro de controle u1* apresentado

na Figura 2.16. O valor de β deve ser calculado então pela seguinte equação:

+=

1

1.1Wu

VM

kEd

Edβ (2.41)

O perímetro de controle u1 e o perímetro de controle reduzido u1* para pilar de

extremidade são mostrados na Figura 2.16.

2d

2d

reduzido u*

Perímetro de controle

C1

C2

2d2d

1,5d e 0,5C1

Menor valor entre

1

Perímetro de controle u1

Figura 2.16 – Perímetro de controle de punção (EC2:2002)

Como a relação M/V é constante para cada ensaio, a capacidade resistente à punção de

uma laje cogumelo pode ser calculada pela seguinte equação:

[ ]{ }PcpckRd VdufKV ++= *1

3/11 .10,0).100(18,01

σρβ

(2.42)

( ) PcpctdRd VufV ++≥ *1.10,0.4,01

σβ

(2.43)

onde:

dK /2001+= ≤ 2, com d em milímetros;

d = altura útil da armadura passiva = 0,5(dx+dy);

ρ1 = taxa de armadura passiva calculada para uma faixa igual a 3d da face do pilar ≤ 0,02;

f’c = resistência à compressão especificada do concreto ≤ 90 MPa;

σcp = tensão de compressão no concreto devido à protensão;

42

Vp = somatório das componentes verticais das forças dos cabos que passam dentro do

perímetro de controle u;

fctd = resistência à tração do concreto;

W1 = módulo resistente da seção crítica.

W1 pode ser determinado por:

∫= 1

01

udlew (2.44)

onde:

dl = comprimento infinitesimal do perímetro de controle u;

e = distância de dl ao eixo em que atua o momento MEd.

De acordo com o exposto no Anexo C, o valor de w1, para lajes cogumelo com pilares de

extremidade, pode ser determinado pela seguinte equação:

12

221

21

1 8222

dcddccccW π++++= (2.45)

O valor de σcp deve ser obtido pela força dos cabos que atravessam o perímetro crítico,

pela seguinte equação:

2/)( czcycp σσσ += (2.46)

onde:

σcy e σcz = tensões normais no concreto na seção crítica nas direções y e z (perpendicular e

paralela à extremidade) e devem ser calculadas dividindo-se a força de protensão pela área

da seção crítica da direção considerada.

A norma não define as equações para o cálculo da parcela da carga equilibrante ou de

desvio, Vp, podendo-se usar qualquer uma das equações mostradas no Anexo A.

43

3 - PROGRAMA EXPERIMENTAL

3.1 - LAJES ENSAIADAS E ESQUEMA DE ENSAIO

O presente trabalho consiste na análise experimental de ensaios à punção de 7 lajes

cogumelo protendidas de 2000 x 1200 x 120 mm, com pilar de extremidade de concreto

armado, de seção quadrada de 200 x 200 mm e altura de 600 mm acima e abaixo da laje. O

modelo experimental proposto é do tipo local, simulando uma ligação laje-pilar de

extremidade e a principal variável estudada foi a relação das cargas P1/P2 (Figura 3.1).

Locação das cargas em planta

Locação das vigas de reação de cargas

Vista lateral

Vista frontal

Figura 3.1 – Detalhe das lajes ensaiadas

44

A principal variável do presente estudo foi a relação P1/P2 aplicada na laje, fazendo com

que em cada ensaio fosse possível obter uma combinação entre o momento fletor e o

esforço cortante atuante na laje. Foram esperadas rupturas por flexão para relação P1/P2 <

0,5 e rupturas por punção para relação P1/P2 > 0,5. Na laje L1 só atua a carga P1 enquanto

na laje L7 só atua a carga P2. A Tabela 3.1 mostra as variáveis, destacando as relações

P1/P2 utilizada nos ensaios.

Tabela 3.1 – Relações P1/P2 utilizadas nos ensaios

Laje P1 P2 P1/P2

L1 P1 0 ∞

L2 P1 0,25.P1 4

L3 P1 0,5.P1 2

L4 P1 P1 1

L5 P1 2.P1 0,5

L6 P1 4.P1 0,25

L7 0 P2 0

O esquema de ensaio consistiu na fixação do pilar no quadro metálico de ensaios do

laboratório, o qual teve de ser adaptado para esta pesquisa, aumentando-se tanto sua altura

como sua largura. O pilar ficava apoiado na viga inferior do quadro e a laje ficava em

balanço, como mostra a Figura 3.2.

O tirante duplo superior serviu para fixar inicialmente o pilar à coluna do pórtico e também

para oferecer parte da reação horizontal (tração) necessária para equilibrar o momento

gerado pela carga aplicada na laje durante o ensaio. O tirante duplo inferior serviu para

fixar inicialmente o pilar apertando-o contra a coluna do pórtico, tendo uma viga metálica

entre eles.

A viga metálica serviu para fornecer a outra parte da reação horizontal (compressão)

necessária para equilibrar a carga aplicada na laje. Da Figura 3.2 à Figura 3.30 são

mostrados os detalhes do esquema de ensaio.

45

Viga de Reação

Macaco Hidráulico

Rótula

Célula de Carga

Viga Metálica

Tirante

Tirante

Pórtico de Ensaios

Laje de Reação

Laje

Suporte

Viga Superior

Placa de Aço

Viga Metálica

Viga Inferior

Figura 3.2 – Esquema de ensaio – Vista Lateral

Como mostram a Figura 3.1e a Tabela 3.1, o carregamento foi aplicado em 2 pontos (laje

L7), 4 pontos (laje L1) ou 6 pontos (lajes L2 a L6) sobre a laje, usando de um a três

macacos hidráulicos. Para a aplicação das cargas P1 foram utilizados dois macacos

hidráulicos com furo central por onde passava um tirante ancorado inferiormente na laje de

reação e superiormente acima de uma célula de carga colocada sobre o cilindro de carga.

Cada cilindro se apoiava numa viga metálica de distribuição que aplicava a carga em dois

pontos sobre a laje (Figura 3.2 e Figura 3.30). Uma bomba hidráulica elétrica (Figura 3.4)

foi usada para aplicar pressão simultaneamente nos dois macacos hidráulicos. Como foi a

primeira vez que se usou a bomba elétrica, foi feito um ensaio preliminar com uma viga de

concreto armado moldada especialmente para esse fim, comprovando-se

experimentalmente a eficácia do sistema.

46

Para a aplicação da carga P2 fez-se uso de uma bomba hidráulica manual que acionava um

cilindro de carga fixado na viga de reação ajustável do pórtico, tendo uma célula de carga

intermediária. O macaco hidráulico se apoiava numa viga metálica de distribuição que

aplicava a carga em dois pontos sobre a laje. Como a laje se deforma com o carregamento,

foi colocada uma rótula entre o cilindro de carga e a viga metálica de modo que esta

pudesse acompanhar a deformação da laje (Figura 3.5). Foi colocado também um

dispositivo de segurança fixando a viga metálica à laje de modo a impedir a queda da viga

quando a laje se rompesse.

Figura 3.3 – Esquema de ensaio

47

Figura 3.4 – Bomba elétrica utilizada

Figura 3.5 – Sistema de rótula utilizado para aplicação da carga P2

48

Figura 3.6 – Fixação do pilar ao pórtico de ensaios

49

3.2 - ARMADURAS

3.2.1 - Armadura passiva

A armadura passiva foi a mesma nas 7 lajes ensaiadas. A armadura superior de cada laje

foi de 16φ8,0 mm na direção perpendicular à extremidade, sendo 8 barras concentradas

numa faixa de 350 mm passando pelo eixo do pilar e mais 8 barras com espaçamentos de

100 e 300 mm. A armadura superior na direção paralela à extremidade foi de 15φ8,0 mm

espaçados uniformemente a cada 75 mm. O detalhe da disposição da armadura superior é

mostrado na Figura 3.7. Cada laje foi armada na face inferior com barras de φ6,3 mm,

espaçadas de 200 mm nas duas direções, como mostra a Figura 3.8. O recobrimento da

armadura foi de 12 mm.

Para manter a distância especificada entre a armadura inferior e superior optou-se por

colocar espaçadores do tipo caranguejo fora da zona de carregamento da laje para que este

não influenciasse na resistência da laje. Para garantir a distância adequada da armadura no

restante da laje, optou-se em amarrar a armadura superior junto à armadura longitudinal do

pilar, de forma que a armadura se mantivesse na sua altura prevista durante a montagem e

concretagem. Os detalhes da ancoragem da armadura de flexão são mostrados na Figura

3.9.

O pilar foi armado de forma que pudesse resistir os efeitos da flexão composta normal

causada pela transmissão do momento entre a laje e o pilar e aos efeitos do esforço cortante

atuantes durante os ensaios, principalmente no ensaio da laje L7, cuja relação P1/P2 foi

igual a zero, ou seja, quando apenas fosse aplicada a carga P2. Foram utilizadas 6φ16,0 mm

de armadura longitudinal e estribos de φ6,3 espaçados a cada 10 mm como armadura do

pilar.

Foi utilizada também uma armadura de fretagem de 2φ12,5 mm em cada face da laje

próximas as ancoragens dos cabos para promover uma melhor distribuição de esforços e a

Figura 3.10 mostra duas lajes preparadas para serem concretadas (formas geminadas).

50

100

2000

14x7

5=10

50

30025 300

7575

3007x50=350 100100 300100 25

Ø8,0

Figura 3.7 – Detalhe da armadura passiva superior.

5x20

=100

0

9x20=1800100

100

100

100

Ø6,3 c 200

Figura 3.8 – Detalhe da armadura passiva inferior.

51

1000

121212

0

Ø6,3 mmArmadura Inferior

200

2Ø12,5 mmZona de Ancoragem

Pilar

Ø8,0 mmArmadura Superior

Figura 3.9 – Armadura passiva – Vista Lateral

Figura 3.10 – Traçado dos cabos de protensão e disposição das armaduras

52

3.2.2 - Armadura ativa

A armadura não-aderente foi composta por monocordoalhas engraxadas de φ12,7 mm. Na

direção perpendicular à extremidade foram colocados 4 cabos espaçados de 100 mm na

região do eixo do pilar e 2 cabos afastados de 250 mm da borda em cada lado. Na direção

paralela à extremidade foram dispostos 3 cabos afastados 50, 150 e 850 mm da

extremidade livre da laje, respectivamente, como mostra a Figura 3.11.

700

250

100

50

600600 3x100=300 250

350

(r)(r)

Figura 3.11 – Traçado em planta dos cabos de protensão

Com exceção dos cabos afastados do pilar e marcados com “r” na Figura 3.11, todos os

cabos tiveram um traçado na vertical do tipo poligonal, para que se pudesse tirar proveito

da parcela vertical Vp devido a curvatura vertical dos cabos de protensão. Os dois cabos

afastados do pilar ficaram retos devido a impossibilidade de serem poligonais, pois se

chocariam com os cabos paralelos à extremidade da laje. Com isso pôde-se avaliar também

o acréscimo das tensões nesses cabos retos durante os ensaios. A Figura 3.12 e a Figura

3.13 mostram os perfis dos cabos na direção paralela e perpendicular à extremidade.

53

200

92

250

61

600

78

50

92

Pilar

25060050

92

78 61

Figura 3.12 – Perfil dos cabos poligonais na direção paralela à extremidade – Laje L1

69

Cabos que cruzam o pilar

325350

60

350

Cabos afastados do pilar

250200325

7674

Pilar

6076

200

63

400

Pilar

63

Figura 3.13 – Perfil dos cabos perpendiculares à extremidade – Laje L1

3.2.3 - Resumo das armaduras das lajes

A Tabela 3.2 mostra um resumo das armaduras ativa e passivas que foram utilizadas em todas as lajes:

Tabela 3.2 – Resumo das armaduras

Sup. Inf. Direção Y Direção X

Poligonal 0,62 0,14 0,40 6 3 130

Armadura Passiva Armadura AtivaTraçado dos

cabos na vertical

ρs (%) Nº de Cabos P /cabo (kN)ρp (%)

Para o cálculo da taxa de armadura ativa e passiva, utilizou-se o critério adotado pela NBR

6118:2003, considerando-se uma faixa igual à dimensão do pilar acrescida de 3d para cada

um dos lados e que equivale a taxa de armadura média geométrica das duas direções.

54

3.3 - CARACTERÍZAÇÃO DOS MATERIAIS

Serão apresentadas a seguir as propriedades especificadas para os materiais usados na

pesquisa. Os resultados dos ensaios de caracterização serão apresentados no Capítulo 4.

3.3.1 - Concreto

Todas as lajes foram concretadas no mesmo dia com um único caminhão betoneira. Foi

utilizado um concreto do tipo bombeável fornecido pela empresa Supermix, com fck28 = 40

MPa, slump = 16 ± 2 cm, com diâmetro máximo do agregado de 6,3 mm e massa

específica do concreto fresco de 2428 Kg/m3. O traço em peso do concreto é mostrado na

Tabela 3.3 e a dosagem para 1 m3 de concreto é mostrado na Tabela 3.4. Todos os dados

foram fornecidos pelo fabricante.

Tabela 3.3 – Traço em peso do concreto utilizado

Cimento Areia Natural Areia Artificial Calcário 0 Água/Cimento

1 1,315 0,564 1,999 0,426

Tabela 3.4 – Dosagem para 1 m3 de concreto

Consumo de Materiais para 1 m3 de Concreto Material Unidade Quantidade

Cimento (CP-II F32) kg 458 Areia Natural m3 0,494 Areia Artificial m3 0,216 Brita de Calcário 0 m3 0,584 Água Litros 195 Aditivo (MBT 390 RB) Litros 2,746

Para cada grupo de 2 lajes foram utilizados 3 corpos de prova para o ensaio de compressão,

3 corpos de prova para o ensaio de tração por compressão diametral e 3 corpos de prova

para o ensaio do módulo de elasticidade secante do concreto. Os ensaios dos corpos de

prova foram realizados no dia do ensaio da primeira laje do grupo de 2 lajes. O tempo de

ensaio entre a primeira e a segunda laje de cada grupo de 2 lajes não foi superior a 7 dias.

55

Para os ensaios de compressão, tração e módulo de elasticidade secante do concreto, foram

utilizadas as normas: NBR 5739:1994, NBR 7222:1994 e NBR 8522:2003,

respectivamente.

3.3.2 - Armadura passiva

Foram utilizadas barras de aço CA50 com superfícies nervuradas, obtidas por laminação a

quente, fabricados pela Companhia Belgo Mineira. A armadura passiva utilizada foi

produzida de acordo com as especificações da norma NBR 7480:1996, segundo o

fabricante. A Tabela 3.5 apresenta as propriedades mecânicas das barras de aço e a Tabela

3.6 apresenta as características de massa e seção das barras de aço utilizadas.

Tabela 3.5 – Propriedades mecânicas exigidas da armadura passiva

Ensaio de Tração (valores mínimos) Ensaio de Dobramento a 180º Aderência

Diâmetro de Pino

(mm)

fy (MPa)

fst (MPa)

Alongamento (%)

φ<20 φ≥20

Coeficiente de conformação mínimo para

φ 10 mm

500 1,1 fy 8 4φ 6φ 1,5 fy: resistência característica de escoamento fst: limite de resistência

Tabela 3.6 – Características de massa e seção da armadura passiva (fabricante)

Bitola (mm)

Massa Nominal (kg/m)

Tolerância (%)

Seção Nominal (mm2)

6,3 0,245 ±10 31,2 8,0 0,395 ±10 50,3 16,0 1,578 ±6 202,1

3.3.3 - Armadura ativa

Os dados da armadura ativa serão apresentados no subitem 3.5.

56

3.4 - INSTRUMENTAÇÃO

3.4.1 - Instrumentação da armadura de flexão

Foram utilizados extensômetros elétricos de resistência da marca KYOWA para medir as

deformações específicas da armadura de flexão em 8 barras. Foram colocados 2

extensômetros em cada barra à meia altura, para se avaliar as deformações próximas à face

do pilar nas duas direções durante os ensaios. Os extensômetros foram colados com cola

específica para extensômetros e foram soldados os fios que estavam fixos na barra com

abraçadeiras de plástico e protegidos com cola ARALDITE 10 min. Após essa etapa os

extensômetros receberam uma proteção de silicone e depois foram protegidos com fita de

autofusão. A Figura 3.14 mostra um extensômetro utilizado colado na barra de aço e a

Figura 3.15 mostra um extensômetro colado e protegido com ARALDITE. A Figura 3.17

apresenta as barras instrumentadas e posicionadas na laje.

Figura 3.14 – Extensômetro colado na barra de aço

Figura 3.15 – Extensômetro colado e protegido com ARALDITE

57

1160

180

180

1200

880

678

9020

0

1 2 3 4

880

90

5

200

Figura 3.16 – Localização dos extensômetros

Figura 3.17 – Extensômetros na posição definitiva

58

3.4.2 - Instrumentação do concreto

O concreto foi instrumentado em sua face inferior, ao redor do pilar, com 6 extensômetros

elétricos de resistência, para se poder avaliar o que ocorre na região de compressão durante

os ensaios. Foram usadas três marcas de extensômetros: EXCEL, com fator de

extensômetro de 2,06, KYOWA, com fator de extensômetro de 2,10 e TOKYO SOKKI

KENKYUJO, com fator de extensômetro de 2,09. Todos os fatores de extensômetro foram

corrigidos no programa de controle do sistema de aquisição de dados, CATMAN 4.5,

como observado anteriormente.

A superfície do concreto foi lixada para reduzir as imperfeições e posteriormente foi

regularizada com cola ARALDITE (10 min). Após essa etapa os extensômetros foram

colados com cola específica para extensômetros e os fios foram soldados. A Figura 3.18

apresenta a localização dos extensômetros utilizados e a Figura 3.19 apresenta os

extensômetros posicionados antes do ensaio.

C3 C1

C5C4

100 100

150

C6C2

200 10

010

0

Figura 3.18 – Localização dos extensômetros na face inferior do concreto

59

Figura 3.19 – Extensômetros colados na superfície inferior do concreto

3.4.3 - Instrumentação da armadura ativa

Os cabos foram instrumentados com células de carga posicionadas na ancoragem passiva

de cada cabo para poder avaliar o comportamento da tensão nos cabos durante a protensão

e realização dos ensaios. As células de carga foram previamente calibradas em prensa

hidráulica juntamente com a célula de carga utilizada na protensão. Após essa calibração

foi possível alimentar o sistema de aquisição de dados para que a resposta da excitação já

saísse em unidade de carga, dispensando um cálculo posterior para poder se determinar a

carga de cada cabo por meio da deformação lida.

O projeto das células de carga utilizadas é de autoria do Professor Yosiaki Nagato, do

Programa de Pós-Graduação em Estruturas e Construção Civil da Universidade de Brasília.

Foram colados em cada célula de carga 4 extensômetros elétricos de resistência do tipo

KFG-5-120-C1-11 da marca KYOWA e com fator de calibração de 2,10, ligados em ponte

completa, sendo dois extensômetros da posição transversal e dois na posição longitudinal.

A Figura 3.20 apresenta uma parte das células de carga instaladas nos cabos de uma das

lajes e a Figura 3.21 apresenta a numeração das células de carga.

60

Figura 3.20 – Instrumentação da armadura ativa

7

1 32 4 5 6

8

9

Figura 3.21 – Numeração e posicionamento das células de carga

61

3.4.4 - Deslocamentos verticais e fissuras

Para medir as flechas (deslocamentos verticais) das lajes foram utilizados quinze

defletômetros, sendo nove na face superior da laje (1 a 9), três na face inferior (10, 11 e 13)

e três no pilar (12, 14 e 15) para correção do deslocamento da laje devido ao alongamento

do parafuso de fixação do pilar ao pórtico de ensaios e para a determinação da rotação do

pilar. A localização e numeração dos defletômetros é mostrada na Figura 3.22.

11

200

200

200

50

10

1 32

8

7 4

50

5

50

200 200

13

9200

6

Figura 3.22 – Numeração e posicionamento dos defletômetros

Figura 3.23 – Defletômetros na face superior da laje

62

As fissuras da laje e do pilar foram acompanhadas marcadas com pincel atômico ao final

cada incremento de carga, após serem feitas as leituras dos defletômetros. A Figura 3.24

mostra as fissuras iniciais da laje L4 e a Figura 3.25 a marcação das fissuras após a ruptura.

Figura 3.24 – Fissuras iniciais na laje L4

Figura 3.25 – Marcação de fissuras após a ruptura da laje L4

63

3.5 - SISTEMA DE PROTENSÃO ADOTADO

Foram utilizadas monocordoalhas engraxadas de aço CP190 RB φ12,7 mm, produzidas

pela Companhia Belgo Mineira, atendendo as especificações da norma NBR 7483 e

revestidas com PEAD (Polietileno de Alta Densidade), produzido de acordo com

especificações do “PTI – POST-TENSIONING INSTITUTE”, de acordo com o fabricante.

A cordoalha possui uma lubrificação com graxa entre o cabo de aço e a capa de

revestimento, proporcionando uma redução considerável de perda por atrito, além de dar

proteção contra corrosão do cabo de aço. A massa aproximada da cordoalha foi de

aproximadamente 890 kg/km. A Figura 3.26 mostra o detalhe da armadura e da ancoragem

ativa utilizada.

Figura 3.26 – Detalhe da armadura e ancoragem ativa

Para obter a protensão desejada nos cabos de protensão, utilizou-se um macaco hidráulico

para tracionar cada cordoalha, com a atuação de seu êmbolo, e uma célula de carga,

posicionada entre o macaco e o barrilete, que serviu para medir a força aplicada no cabo. O

barrilete serviu de apoio para a célula de carga e o macaco hidráulico, todos situados em

um dos bordos da laje.

A aplicação da protensão é possível graças a um dispositivo colocado atrás do macaco que

se prende ao cabo por meio de uma cunha de ancoragem e com a abertura do êmbolo do

macaco, o cabo é esticado. O sistema de protensão adotado foi o mesmo utilizado nos

ensaios de Villaverde (2003) e Silva (2005) e é mostrado na Figura 3.27.

64

Figura 3.27 – Sistema de protensão adotado – Villaverde (2003)

Inicialmente, com a aplicação das primeiras cargas no cabo, a cunha da ancoragem passiva

ficou cravada no cone de ancoragem. Após essa verificação, continuou-se aplicando carga

no macaco hidráulico até chegar na carga de 150 kN. Nesse momento, posicionou-se a

cunha de ancoragem ativa no cone de ancoragem e a carga do macaco foi liberada, de

modo que a cunha da ancoragem ativa ficou cravada no cone de ancoragem. Em virtude da

grande perda de carga ocorrida neste processo, aproximadamente 30% da carga inicial

aplicada, houve a necessidade de se fazer a reprotensão do cabo para elevar a força de

protensão.

No processo de reprotensão, o cabo foi novamente protendido a uma carga de 150 kN e o

conjunto cunha-cone de ancoragem, como está preso no cabo, foi deslocado e deixou um

pequeno espaço entre o cone de ancoragem e a laje. Colocou-se então uma chapa metálica

com uma espessura de 2 a 5 mm entre a laje e o cone de ancoragem para ocupar o espaço

disponibilizado após a reprotensão e o macaco foi novamente liberado. Com isso, as perdas

de cravação da ancoragem que eram inicialmente de 30% passam a ser de

aproximadamente de 10%, obtendo-se uma carga de protensão de aproximadamente 130

kN por cabo, como requerido.

Dispositivo para segurar o macaco

Macaco

Célula de carga

Chapa Metálica

Barrilete

Ancoragem ativa

Face da laje

Ancoragem passiva

Célula de carga

Macaco hidráulico

65

Após o ensaio, por medida de segurança, foi necessário fazer a desprotensão dos cabos.

Inicialmente, aplicou-se uma carga no macaco hidráulico para retirar a chapa metálica que

foi colocada durante a protensão. Após esse procedimento liberou-se a carga do macaco,

colocou-se uma chapa entre o barrilete e o cone de ancoragem e aplicou-se uma carga no

macaco até a cunha se deslocar e ser retirada com o auxílio de uma chave de fenda. Feito

isso, a carga do macaco foi liberada e o cabo ficou desprotendido. A Figura 3.28 mostra a

reprotensão, a colocação da chapa e a retirada da cunha de ancoragem após a desprotensão

do cabo.

Figura 3.28 – Reprotensão e desprotensão do cabo

66

3.6 - PROCEDIMENTO DE ENSAIO

3.6.1 - Protensão

A seqüência de protensão dos cabos utilizada foi seguindo a numeração das células de

carga da armadura ativa, para facilitar a movimentação e por medida de segurança. A força

de protensão prevista após as perdas iniciais era de aproximadamente 130 kN.

3.6.2 - Carregamento até a ruptura

O carregamento da laje foi feito inicialmente com incrementos de carga de 10 kN, mas

para se obter mais dados optou-se posteriormente por incrementos de 5 kN, tomando-se

sempre como referência a maior carga aplicada (P1 ou P2). As leituras foram feitas

imediatamente após a aplicação de cada passo de carregamento, demorando cerca de 5 a 10

minutos entre um carregamento e outro.

3.6.3 - Medição de deformações na armadura e no concreto

As leituras dos extensômetros foram feitas com um sistema de aquisição de dados,

SPIDER 8, que pela primeira vez foi utilizado nos ensaios do Laboratório de Estruturas da

UnB e que foi controlado pelo “software” CATMAN 4.5, no qual foram inseridos os

fatores de cada extensômetro e a calibração de cada célula de carga dos cabos. Ao todo

foram utilizados 5 módulos de aquisição de dados SPIDER 8 ligados em série, totalizando

31 canais. As leituras foram tomadas ao final de cada passo de carga e registravam as

deformações específicas dos extensômetros e as leituras das cargas registradas nas células

de carga dos cabos de protensão. O módulo de aquisição de dados foi aterrado em local

apropriado para evitar erros de leituras, durante os ensaios, pois durante a calibração da

primeira célula de carga, observou-se grandes variações nas leituras depois que os

extensômetros da célula de carga foram zerados. A Figura 3.29 mostra o sistema de

aquisição de dados ligado em um computador.

67

Figura 3.29 – Sistema de aquisição de dados utilizado

Foram desenvolvidos ainda dois suportes ajustáveis, para que após a ruptura a laje não

caísse bruscamente e causasse algum acidente, e também para preservar a integridade da

laje para análises posteriores. Esses suportes foram ajustados para ficarem cerca de 15 cm

abaixo da laje e também foram utilizados para nivelar a laje durante a montagem. Os

suportes funcionaram muito bem durante os ensaios, principalmente após a ruptura da laje

L1 que foi de forma brusca.

A Figura 3.30 mostra a vista lateral do ensaio montado, o carregamento aplicado, os

parafusos de fixação e os suportes ajustáveis.

68

Figura 3.30 – Ensaio montado – Vista lateral

3.6.4 - Medição de deslocamentos verticais

As leituras das cargas P1 e P2 e dos defletômetros foram realizadas visualmente em

indicadores digitais (cargas) ou analógicos (defletômetros) ao final de cada passo de carga.

69

4 - RESULTADOS EXPERIMENTAIS – APRESENTAÇÃO E

ANÁLISE

São apresentados neste capítulo os resultados experimentais dos materiais utilizados para a

confecção das lajes e os resultados dos ensaios experimentais das sete lajes estudadas. Uma

análise dos resultados é feita juntamente com a apresentação.

4.1 - CONCRETO

Na Tabela 4.1 são apresentados os resultados experimentais dos ensaios de compressão, de

tração por compressão diametral e resultados de ensaio de módulo de elasticidade do

concreto, realizados com corpos-de-prova com 300 mm de comprimento e 150 mm de

diâmetro, moldados no dia da concretagem das lajes ensaiadas.

Tabela 4.1 – Resultados experimentais do concreto

LAJES Idade (dias)

Peso Esp. (kg/m2)

fcj (MPa)f'c

médio (MPa)(1)

fct (MPa)fct

médio (MPa)(2)

Esec, 0,4fc

(GPa)

Esec, 0,4fc

médio (GPa)(3)

-40,842,445,351,949,443,343,341,047,647,847,343,648,747,051,549,850,446,4

-46,447,047,546,7

(1) NBR 5739;(2) NBR 7222;(3) NBR 8522;

4,5

2277 46,8

L7

L1

97

97

4,3

27,1

28,04,7 27,9

3,7 29,0

3,9

3,8

26,6

26,03,9 26,6

3,7 24,7

2277 48,5

L5

L6

88

88

3,0

3,2

26,8

27,92,9 26,8

3,5 30,2

2282 45,1

L3

L4

70

70

3,7

3,1

26,5

26,12,9 25,8

2,7 26,1

L2 57 2219 46,0

70

4.1.1 - Módulo de Elasticidade do Concreto

Para a determinação do módulo de elasticidade do concreto utilizou-se a NBR 8522:2003,

optando-se pela determinação do módulo de elasticidade secante (Ecs), determinado através

do coeficiente angular da reta secante ao diagrama tensão-deformação específica,

correspondente à tensão de 0,5 MPa e a tensão considerada no ensaio. Foram utilizados

três corpos-de-prova no ensaio, juntamente com um equipamento com base de medição de

145 mm, aplicando-se carregamentos com incrementos de 0,1 até 0,8 da carga de ruptura

média do ensaio de compressão (fc), e fazendo-se leituras das deformações com pausas de

60 segundos entre os carregamentos. O módulo de elasticidade secante para uma tensão

indicada σn, em gigapascais, é dado pela equação:

33 1010 −−

−−

=∆∆

=an

ancsE

εεσσ

εσ (4.1)

onde:

Ecs = módulo de elasticidade secante;

σn = tensão considerada para o cálculo do módulo de elasticidade secante;

σa = tensão básica, em megapascais (σa=0,5 MPa);

εn = deformação específica média dos corpos-de-prova ensaiados sob a tensão σn;

εn = deformação específica média dos corpos-de-prova ensaiados sob a tensão σa.

A NBR 8522:2003 não define para qual carregamento deve-se calcular o módulo de

elasticidade secante, porém o exposto na Tabela 4.1 foi calculado para uma carga

correspondente a 40% da carga de ruptura por ser o carregamento mais utilizado para a

determinação do módulo de elasticidade do concreto.

4.1.2 - Resistência à Tração do Concreto

Para a determinação da resistência à tração do concreto por compressão diametral, utilizou-

se o ensaio desenvolvido pelo ilustre Prof. Lobo Carneiro e conhecido mundialmente como

“Ensaio Brasileiro” (Sussekind 1). Foram ensaiados três corpos-de-prova de 300 mm de

71

comprimento por 150 mm de diâmetro para cada conjunto de duas lajes consecutivas e foi

utilizada a seguinte equação para a determinação de sua resistência:

dhFf ctj

55,0= (4.2)

onde: F = carga de ruptura do corpo-de-prova; d = diâmetro do corpo-de prova; h = altura do corpo-de-prova.

4.2 - ARMADURA

4.2.1 - Armadura Passiva

A Figura 4.1 e a Tabela 4.2 apresentam os resultados experimentais do ensaio da armadura

passiva utilizada, apresentando a tensão de escoamento (fy), tensão de ruptura (fu) e

deformações correspondentes e o módulo de elasticidade Es. Para a armadura passiva de

6,3 mm a tensão de escoamento foi obtida pela interseção do trecho curvo com uma reta

paralela ao trecho linear do gráfico, traçado a partir da deformação específica residual de 2

‰, especificada pela NBR 7480:1996.

Tensão x Deformação

y = 199x + 4

0100200300400500600700800

0 2 4 6 8 10 12Deformação (º/oo)

Tens

ão (M

Pa)

Figura 4.1 – Gráfico tensão x deformação. Armadura passiva - φ 6,3 mm

Vale ressaltar que devido provavelmente a problemas da máquina de ensaio, o módulo de

elasticidade não deu 210 GPa, como esperado.

72

Tensão x Deformação

y = 209x + 9

0

100

200

300

400

500

600

700

800

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30Deformação (º/oo)

Tens

ão (M

Pa)

Figura 4.2 – Gráfico tensão x deformação. Armadura passiva - φ 8,0 mm

Tabela 4.2 – Características mecânicas da armadura passiva utilizada

φ (mm)Área efetiva

(mm2)fy (MPa) εy ( ‰) fu (MPa) Es (Gpa)

6,3 32,53 568 4,9 765 1988,0 53,23 592 2,8 711 206

4.2.2 - Armadura Ativa

A Tabela 4.3 apresenta as características da armadura ativa, obtidas do Catálogo de Fios e

Cordoalhas para Concreto Protendido, fornecido pela CIA Siderúrgica Belgo-Mineira. As

cordoalhas não foram ensaiadas nos laboratórios da UnB.

Tabela 4.3 – Características das cordoalhas engraxadas

Tipo CP 190RB, 7 fios

Diâmetro Nominal (mm) 12,7

Área Aproximada (mm2) 101,4

Área Mínima (mm2) 98,7

Massa Aproximada (Kg/m) 0,89

Carga de Ruptura (kN) 187,3

Módulo de Elasticidade (GPa) 202

73

4.3 - PROTENSÃO INICIAL E PERDAS IMEDIATAS

Neste item são apresentados os resultados das forças de protensão nos cabos durante o

procedimento de protensão e reprotensão dos cabos.

Os cabos foram instrumentados com nove células de carga e os dados foram obtidos

utilizando o sistema de aquisição de dados SPYDER 8, juntamente com o programa

CATMAN 4.5, como descrito anteriormente. As células de carga foram calibradas duas

vezes durante a série de ensaios e os dados da calibração foram inseridos no programa

CATMAN 4.5, que transformava automaticamente as leituras dadas em mv/v para kN.

O procedimento de protensão e reprotensão dos cabos durou cerca de uma hora para cada

laje ensaiada. A Figura 4.3 mostra a ordem de protensão e a força nos cabos da laje L1

versus a hora em que o procedimento foi realizado. Observa-se que o procedimento de

protensão funcionou perfeitamente.

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

9:33 9:38 9:42 9:46 9:51 9:55 9:59 10:03 10:08 10:12 10:16 10:21 10:25 10:29

TEMPO (h)

FOR

ÇA

NO

S C

AB

OS

(kN

)

CC 1

CC 2

CC 3

CC 4

CC 5

CC 6

CC 7

CC 8

CC 9

Figura 4.3 – Força nos cabos versus tempo, em horas

Da Tabela 4.4 à Tabela 4.10 e da Figura 4.4 à Figura 4.10 são apresentadas as forças de

protensão efetivas obtidas para cada laje, durante o procedimento de protensão e

reprotensão.

74

Tabela 4.4 – Forças de protensão nos cabos – Laje L1.

Ppi (kN) Pp0 (kN) Pri (kN) Pr0 (kN)1 Reto 153,0 96,0 153,7 120,9 120,42 Poligonal 149,2 98,0 148,9 124,5 122,13 Poligonal 152,0 99,8 146,0 125,7 123,64 Poligonal 147,3 93,7 142,0 117,8 115,65 Poligonal 150,5 103,6 154,2 139,4 138,16 Reto 150,5 102,2 153,3 137,3 136,07 Poligonal 152,8 119,9 147,4 136,9 135,18 Poligonal 149,1 114,7 150,4 130,5 126,99 Poligonal 145,4 109,8 146,0 127,8 126,8

Ppi - Força de protensão aplicada na etapa de protensão;Pp0 - Força de protensão após as perdas de ancoragem;Pri - Força de protensão aplicada na etapa de reprotensão;Pr0 - Força de protensão após as perdas na etapa de reprotensão;P0 - Força de protensão no início do ensaio.

P0 (kN)

Valores fornecidos pelas células de cargaCabos

Traçado do cabo na vertical

Protensão dos cabos Reprotensão dos cabos

70

80

90

100

110

120

130

140

150

160

170

Protensão Cravação Reprotensão Carga Final de Protensão

PASSOS DE PROTENSÃO

FOR

ÇA

APL

ICA

DA

(kN

)

CC 1CC 2CC 3CC 4CC 5CC 6CC 7CC 8CC 9

Figura 4.4 – Forças de protensão nas cordoalhas – Laje L1.

75

Tabela 4.5 – Forças de protensão nos cabos – Laje L2.

Ppi (kN) Pp0 (kN) Pri (kN) Pr0 (kN)1 Reto 153,0 102,9 154,1 113,4 113,12 Poligonal 150,2 107,7 151,0 122,4 119,63 Poligonal 141,4 99,3 146,2 111,1 106,54 Poligonal 149,7 111,2 156,5 123,7 120,35 Poligonal 144,9 92,0 150,7 112,2 111,36 Reto 156,7 111,6 160,6 122,4 119,47 Poligonal 142,4 102,0 143,7 119,6 117,18 Poligonal 150,8 103,5 155,4 134,2 133,39 Poligonal 148,2 121,9 150,7 140,3 136,8

Ppi - Força de protensão aplicada na etapa de protensão;Pp0 - Força de protensão após as perdas de ancoragem;Pri - Força de protensão aplicada na etapa de reprotensão;Pr0 - Força de protensão após as perdas na etapa de reprotensão;P0 - Força de protensão no início do ensaio.

P0 (kN)

Valores fornecidos pelas células de cargaCabos

Traçado do cabo na vertical

Protensão dos cabos Reprotensão dos cabos

70

80

90

100

110

120

130

140

150

160

170

Protensão Cravação Reprotensão Carga Final de Protensão

PASSOS DE PROTENSÃO

FOR

ÇA

APL

ICA

DA

(kN

)

CC 1CC 2CC 3CC 4CC 5CC 6CC 7CC 8CC 9

Figura 4.5 – Forças de protensão nas cordoalhas – Laje L2.

76

Tabela 4.6 – Forças de protensão nos cabos – Laje L3.

Ppi (kN) Pp0 (kN) Pri (kN) Pr0 (kN)1 Reto 155,1 100,2 165,9 142,8 142,22 Poligonal 142,7 79,1 143,7 109.8 104,93 Poligonal 148,6 89,6 150,3 121,3 118,14 Poligonal 145,3 88,8 146,7 120,7 117,65 Poligonal 160,5 100,5 160,4 136,0 130,06 Reto 148,2 96,7 150,6 127,2 124,47 Poligonal 148,1 111,3 153,7 144,6 142,48 Poligonal 153,5 113,0 156,9 146,2 142,49 Poligonal 152,3 111,2 157,3 146,8 144,9

Ppi - Força de protensão aplicada na etapa de protensão;Pp0 - Força de protensão após as perdas de ancoragem;Pri - Força de protensão aplicada na etapa de reprotensão;Pr0 - Força de protensão após as perdas na etapa de reprotensão;P0 - Força de protensão no início do ensaio.

P0 (kN)

Valores fornecidos pelas células de cargaCabos

Traçado do cabo na vertical

Protensão dos cabos Reprotensão dos cabos

70

80

90

100

110

120

130

140

150

160

170

Protensão Cravação Reprotensão Final

PASSOS DE PROTENSÃO

FOR

ÇA

NO

S C

AB

OS

(kN

) CC 1CC 2CC 3CC 4CC 5CC 6CC 7CC 8CC 9

Figura 4.6 – Forças de protensão nas cordoalhas – Laje L3.

77

Tabela 4.7 – Forças de protensão nos cabos – Laje L4.

Ppi (kN) Pp0 (kN) Pri (kN) Pr0 (kN)1 Reto 149,2 96,4 150,6 128,1 126,82 Poligonal 149,9 95,1 150,0 131,7 127,53 Poligonal 151,3 93,9 151,7 129,2 124,54 Poligonal 150,2 105,1 154,6 138,0 135,65 Poligonal 154,3 104,0 155,4 138,3 135,96 Reto 147,0 83,0 147,6 115,9 115,27 Poligonal 149,2 115,0 150,0 138,4 136,78 Poligonal 150,8 111,4 149,4 134,0 129,69 Poligonal 143,2 98,9 149,4 134,2 132,3

Ppi - Força de protensão aplicada na etapa de protensão;Pp0 - Força de protensão após as perdas de ancoragem;Pri - Força de protensão aplicada na etapa de reprotensão;Pr0 - Força de protensão após as perdas na etapa de reprotensão;P0 - Força de protensão no início do ensaio.

P0 (kN)

Valores fornecidos pelas células de cargaCabos

Traçado do cabo na vertical

Protensão dos cabos Reprotensão dos cabos

70

80

90

100

110

120

130

140

150

160

170

Protensão Cravação Reprotensão Final

PASSOS DE PROTENSÃO

FOR

ÇA

NO

S C

AB

OS

(kN

) CC 1CC 2CC 3CC 4CC 5CC 6CC 7CC 8CC 9

Figura 4.7 – Forças de protensão nas cordoalhas – Laje L4.

78

Tabela 4.8 – Forças de protensão nos cabos – Laje L5.

Ppi (kN) Pp0 (kN) Pri (kN) Pr0 (kN)1 Reto 146,1 101,6 150,6 133,0 130,82 Poligonal 155,7 92,6 154,3 126,8 124,03 Poligonal 149,6 105,5 153,7 141,3 140,64 Poligonal 146,3 84,1 147,2 118,0 118,05 Poligonal 154,9 102,3 158,4 134,0 130,56 Reto 150,3 102,2 156,3 135,6 134,07 Poligonal 142,7 107,6 145,3 131,5 130,08 Poligonal 152,6 119,2 153,2 143,5 139,89 Poligonal 144,5 106,7 145,5 131,2 130,3

Ppi - Força de protensão aplicada na etapa de protensão;Pp0 - Força de protensão após as perdas de ancoragem;Pri - Força de protensão aplicada na etapa de reprotensão;Pr0 - Força de protensão após as perdas na etapa de reprotensão;P0 - Força de protensão no início do ensaio.

P0 (kN)

Valores fornecidos pelas células de cargaCabos

Traçado do cabo na vertical

Protensão dos cabos Reprotensão dos cabos

70

80

90

100

110

120

130

140

150

160

170

Protensão Cravação Reprotensão Final

PASSOS DE PROTENSÃO

FOR

ÇA

NO

S C

AB

OS

(kN

) CC 1CC 2CC 3CC 4CC 5CC 6CC 7CC 8CC 9

Figura 4.8 – Forças de protensão nas cordoalhas – Laje L5.

79

Tabela 4.9 – Forças de protensão nos cabos – Laje L6.

Ppi (kN) Pp0 (kN) Pri (kN) Pr0 (kN)1 Reto 148,9 103,4 152,5 135,9 135,62 Poligonal 146,0 85,8 150,1 115,9 113,83 Poligonal 148,3 95,7 153,4 128,9 123,84 Poligonal 149,7 93,2 151,3 127,3 125,95 Poligonal 154,2 101,8 156,1 136,0 135,46 Reto 152,2 103,1 161,4 137,7 136,17 Poligonal 143,2 110,0 144,6 132,6 131,78 Poligonal 159,5 127,8 158,8 142,8 140,69 Poligonal 135,3 98,4 137,0 120,2 119,1

Ppi - Força de protensão aplicada na etapa de protensão;Pp0 - Força de protensão após as perdas de ancoragem;Pri - Força de protensão aplicada na etapa de reprotensão;Pr0 - Força de protensão após as perdas na etapa de reprotensão;P0 - Força de protensão no início do ensaio.

P0 (kN)

Valores fornecidos pelas células de cargaCabos

Traçado do cabo na vertical

Protensão dos cabos Reprotensão dos cabos

70

80

90

100

110

120

130

140

150

160

170

Protensão Cravação Reprotensão Final

PASSOS DE PROTENSÃO

FOR

ÇA

NO

S C

AB

OS

(kN

) CC 1CC 2CC 3CC 4CC 5CC 6CC 7CC 8CC 9

Figura 4.9 – Forças de protensão nas cordoalhas – Laje L6.

80

Tabela 4.10 – Forças de protensão nos cabos – Laje L7.

Ppi (kN) Pp0 (kN) Pri (kN) Pr0 (kN)1 Reto 150,6 102,9 154,6 137,6 137,12 Poligonal 149,6 93,2 154,4 124,6 122,23 Poligonal 147,0 88,9 150,0 123,2 120,74 Poligonal 152,1 91,6 153,6 127,0 125,45 Poligonal 153,5 103,5 154,9 138,8 137,66 Reto 149,3 96,2 151,6 130,0 130,07 Poligonal 147,5 109,5 145,2 129,4 124,88 Poligonal 146,9 111,6 148,9 133,1 130,19 Poligonal 145,8 110,7 146,4 134,7 132,7

Ppi - Força de protensão aplicada na etapa de protensão;Pp0 - Força de protensão após as perdas de ancoragem;Pri - Força de protensão aplicada na etapa de reprotensão;Pr0 - Força de protensão após as perdas na etapa de reprotensão;P0 - Força de protensão no início do ensaio.

P0 (kN)

Valores fornecidos pelas células de cargaCabos

Traçado do cabo na vertical

Protensão dos cabos Reprotensão dos cabos

70

80

90

100

110

120

130

140

150

160

170

Protensão Cravação Reprotensão Protensão Final

PASSOS DE PROTENSÃO

FOR

ÇA

NO

S C

AB

OS

(kN

) CC 1CC 2CC 3CC 4CC 5CC 6CC 7CC 8CC 9

Figura 4.10 – Forças de protensão nas cordoalhas – Laje L7.

81

A Tabela 4.11 apresenta um resumo de perdas totais médias verificadas em cada direção

(paralela e perpendicular à extremidade da laje).

Tabela 4.11 – Resumo das perdas totais médias em cada direção

Laje Pi ⊥ (kN) P0 ⊥ (kN) ΔP ⊥ (%) Pi ║ (kN) P0 ║ (kN) ΔP ║ (%)

L1 150,4 126,0 16,2 149,1 129,6 13,1L2 149,3 115,0 23,0 147,1 129,1 12,2L3 150,1 122,9 18,1 151,3 143,2 5,4L4 150,3 127,6 15,1 147,7 132,9 10,0L5 150,5 129,7 13,8 146,6 133,4 9,0L6 149,9 128,4 14,3 146,0 130,5 10,6L7 150,4 128,8 14,4 146,7 129,2 11,9

Pi - Força média de protensão aplicada na etapa de protensão;P0 - Força média de protensão após as perdas imediatas;

⊥,║ - Cabos perpendiculares e paralelos à extremidade da laje, respectivamente.ΔP - Perda total média em relação à força média de protensão na etapa de protensão.

Verifica-se uma perda maior nos cabos perpendiculares à extremidade na laje L2,

provavelmente pelo uso de chapas metálicas finas entre o barrilete e o cone de ancoragem

utilizadas no procedimento de protensão da laje. É verificado que a perda de força de

protensão foi maior nos cabos perpendiculares à extremidade que eram mais curtos do que

os paralelos à extremidade.

82

4.4 - VARIAÇÃO DA PROTENSÃO NAS CORDOALHAS

Da Figura 4.11 à Figura 4.17 são apresentados para todas as lajes a variação das forças de

protensão nos cabos durante os ensaios (a numeração dos cabos é a da Figura 3.21). De

uma maneira geral, observou-se que os cabos que tiveram maior variação da força de

protensão foram os cabos paralelos à extremidade e que passavam dentro do pilar (cabos 7

e 8), e os que tiveram menor variação da força de protensão foram os cabos retos,

perpendiculares à extremidade, situados fora da região do puncionamento (cabos 1 e 6).

110

115

120

125

130

135

140

145

150

155

160

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260

REAÇÃO DO PILAR (kN)

FOR

ÇA

NO

S C

AB

OS

(kN

)

CC 1

CC 2

CC 3

CC 4

CC 5

CC 6

CC 7

CC 8

CC 9

Figura 4.11 – Variação das forças de protensão durante o ensaio – Laje L1.

83

105

110

115

120

125

130

135

140

145

150

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220

REAÇÃO DO PILAR (kN)

FOR

ÇA

NO

CA

BO

(kN

)

CC 1

CC 2

CC 3

CC 4

CC 5

CC 6

CC 7

CC 8

CC 9

Figura 4.12 – Variação das forças de protensão durante o ensaio – Laje L2.

100

110

120

130

140

150

160

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

REAÇÃO DO PILAR (kN)

FOR

ÇA

NO

CA

BO

(kN

)

CC 1

CC 2

CC 3

CC 4

CC 5

CC 6

CC 7

CC 8

CC 9

Figura 4.13 – Variação das forças de protensão durante o ensaio – Laje L3.

84

110

115

120

125

130

135

140

145

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

REAÇÃO DO PILAR (kN)

FOR

ÇA

NO

CA

BO

(kN

)

CC 1

CC 2

CC 3

CC 4

CC 5

CC 6

CC 7

CC 8

CC 9

Figura 4.14 – Variação das forças de protensão durante o ensaio – Laje L4.

115

120

125

130

135

140

145

150

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

REAÇÃO DO PILAR (kN)

FOR

ÇA

NO

S C

AB

OS

(kN

)

CC 1

CC 2

CC 3

CC 4

CC 5

CC 6

CC 7

CC 8

CC 9

Figura 4.15 – Variação das forças de protensão durante o ensaio – Laje L5.

85

110

115

120

125

130

135

140

145

0 20 40 60 80 100 120 140

REAÇÃO DO PILAR (kN)

FOR

ÇA

NO

S C

AB

OS

(kN

) CC 1

CC 2

CC 3

CC 4

CC 5

CC 6

CC 7

CC 8

CC 9

Figura 4.16 – Variação das forças de protensão durante o ensaio – Laje L6.

115

120

125

130

135

140

145

0,0 20,0 40,0 60,0 80,0 100,0 120,0

REAÇÃO DO PILAR (kN)

FOR

ÇA

NO

S C

AB

OS

(kN

)

CC 1

CC 2

CC 3

CC 4

CC 5

CC 6

CC 7

CC 8

CC 9

Figura 4.17 – Variação das forças de protensão durante o ensaio – Laje L7.

A Tabela 4.12 e a

86

Tabela 4.13 apresentam as variações das forças de protensão médias para todas as lajes,

para os cabos paralelos à extremidade e para os cabos perpendiculares à extremidade,

respectivamente. A Tabela 4.14 apresenta as variações médias para os cabos

perpendiculares à extremidade que passam junto (2 e 5) ou atravessam o pilar (3 e 4).

Verifica-se na Tabela 4.12 que as maiores variações para os cabos paralelos à extremidade

(cabos 7, 8 e 9) foram observadas nas lajes L1 e L2, respectivamente com 16 e 11%

justificavel, pois as lajes L1 e L2 tiveram carregamentos preponderantes pela carga P1 (P1

= 1; P2 = 0 e P1 = 1; P2 = 0,25), respectivamente.

Para os cabos perpendiculares à extremidade (

Tabela 4.13) observa-se que os cabos retos (1 e 6), e que estão fora da região do

puncionamento, tiveram a menor variação da força de protensão, com no máximo 0,3% do

aumento (laje L2), havendo inclusive cabos que diminuíram força de protensão ao longo

do ensaio (laje L6 e L7). A única razão aparente para esta diminuição de tensão nos cabos

é o tipo do carregamento preponderante para a carga P2 (P1 = 0,25; P2 = 1 e P1 = 0; P2 = 1).

Já os cabos com traçado poligonal tiveram aumento médio de até 8,4% (L6). O menor

aumento dos cabos de L7 (6,7%) em relação aos de L6 se explica pelo modo de ruptura,

prevalecendo a flexão junto ao pilar e a torção na extremidade da laje.

Tabela 4.12 – Variação da força de protensão – Cabos paralelos à extremidade

LajeP0 ║

(kN)Pu ║

(kN)Pu ║ − P0 ║

(kN)ΔP ║ (%) Δσ ║

(MPa)

L1 129,6 150,4 20,8 16,0 205,1L2 129,1 143,3 14,2 11,0 140,0L3 143,2 150,1 6,9 4,8 68,0L4 132,9 139,5 6,6 5,0 65,1L5 133,4 136,6 3,2 2,4 31,6L6 130,5 132,4 1,9 1,5 18,7L7 129,2 129,5 0,3 0,2 3,0

Pu - Força média de protensão antes da ruptura;

P0 - Força média de protensão no início do ensaio;

║ - Cabos paralelos à extremidade da laje;Δσ - Acréscimo de tensão em cada cabo durante o ensaio.

87

Tabela 4.13 – Variação da força de protensão – Cabos perpendiculares à extremidade

LajePu ⊥

(kN) (1)Pu ⊥ − P0 ⊥

(kN) (1)ΔP ⊥

(%) (1)Δσ ⊥

(MPa) (1)Pu ⊥

(kN) (2)Pu ⊥ − P0 ⊥

(kN) (2)ΔP ⊥

(%) (2)Δσ ⊥

(MPa) (2)

L1 128,4 0,2 0,2 2,0 129,5 4,6 3,7 45,4L2 116,6 0,3 0,3 3,0 119,4 5,0 4,4 49,3L3 133,4 0,1 0,1 1,0 122,6 4,9 4,2 48,3L4 121,1 0,1 0,1 1,0 136,5 5,6 4,3 55,2L5 132,4 0,0 0,0 0,0 135,6 7,3 5,7 72,0L6 135,4 -0,5 -0,4 -4,9 135,3 10,5 8,4 103,6L7 133,5 -0,1 -0,1 -1,0 135,0 8,5 6,7 83,8

Pu - Força média de protensão antes da ruptura;

P0 - Força média de protensão no início do ensaio;

⊥ - Cabos perpendiculares à extremidade da laje;Δσ - Acréscimo de tensão em cada cabo durante o ensaio;(1) - Cabos com traçado reto na vertical;(2) - Cabos com traçado poligonal na vertical.

Tabela 4.14 – Variação da força de protensão – Cabos 2, 3, 4 e 5

LajePu ⊥

(kN) (1)Pu ⊥ − P0 ⊥

(kN) (1)ΔP ⊥

(%) (1)Δσ ⊥

(MPa) (1)Pu ⊥

(kN) (2)Pu ⊥ − P0 ⊥

(kN) (2)ΔP ⊥

(%) (2)Δσ ⊥

(MPa) (2)

L1 127,5 7,9 6,6 77,9 131,5 1,4 1,1 13,8L2 120,9 7,5 6,6 74,0 117,9 2,5 2,2 24,7L3 124,4 6,5 5,5 64,1 120,9 3,5 3,0 34,5L4 138,3 8,2 6,3 80,9 134,7 3,0 2,3 29,6L5 138,9 9,5 7,3 93,7 132,4 5,1 4,0 50,3L6 137,0 12,2 9,8 120,3 133,5 8,9 7,1 87,8L7 133,6 10,5 8,5 103,6 129,9 6,5 5,3 64,1

Pu - Força média de protensão antes da ruptura;

P0 - Força média de protensão no início do ensaio;

⊥ - Cabos perpendiculares à extremidade da laje;Δσ - Acréscimo de tensão em cada cabo durante o ensaio;(1) - Cabos que atravessavam o pilar (cabos 3 e 4);(2) - Cabos que não atravessavam o pilar (cabos 2 e 5). A Tabela 4.14 mostra que os cabos perpendiculares à extremidade que atravessam o pilar

(cabos 3 e 4) sofrem maior acréscimo de tensão do que os que não atravessam (cabos 2 e

5).

88

4.5 - FISSURAÇÃO E CONE DE RUPTURA

Não foi possível se determinar um padrão de fissuração que abrangesse todas as lajes, visto

que as lajes foram carregadas com diversas combinações de carga P1 e P2.

Nas lajes L1 e L2, as fissuras iniciavam na extremidade da laje, próximas ao pilar (L1), ou

na face do pilar (L2), e seguiam perpendicularmente em relação à extremidade em direção

ao ponto de carregamento P2, à medida em que os incrementos de carga aumentavam, e

posteriormente surgiram fissuras circunferenciais, radiais e de torção próximas ao pilar. As

fissuras circunferenciais surgiram para cargas correspondentes a 43% da carga de ruptura

para a laje L1 e 71% da carga de ruptura para a laje L2.

Nas lajes L3 e L4, observou-se que as fissuras iniciavam na extremidade da laje e próximas

ao pilar (L3) e na face do pilar (L4) e seguiam o padrão de fissuração observado por

Villaverde (2003), Alves (2002) e Corrêa (2001), com o aparecimento de fissuras radiais

em torno do pilar, com tendência de prosseguir até a extremidade. Com o decorrer do

ensaio foram aparecendo fissuras circunferenciais, para cargas correspondentes a 76% da

carga de ruptura da laje L3 e 86% da carga de ruptura para a laje L2, porém em menor

número. Além disso foram aparecendo fissuras características de torção próximas ao pilar,

porém em maior número do que as verificadas nas lajes L1 e L2.

O padrão de fissuração da laje L5 foi semelhante ao da laje L4, com o detalhe de que a

primeira fissura iniciou exatamente na ligação entre a laje e o pilar, na direção paralela à

extremidade da laje. Em seguida foram observadas fissuras radiais em torno do pilar, só

que em maior número na direção do carregamento P1. Posteriormente surgiu uma fissura

circunferencial para uma carga correspondente a 99% da carga de ruptura. Além disso,

várias fissuras características de torção foram observadas próximas ao pilar na face

superior e extremidade da laje. A laje L5 também rompeu de forma brusca, mas não tão

bruscamente como a laje L4.

Na laje L6 as fissuras iniciavam exatamente na ligação entre a laje e o pilar, na direção

paralela à extremidade da laje e prosseguiam em direção ao carregamento P1. À medida

em que o ensaio prosseguia poucas fissuras radiais surgiram na direção perpendicular à

extremidade e várias fissuras de torção surgiram próximas ao pilar, tanto na face superior

89

quanto na extremidade da laje. Além disso, foram observadas fissuras circunferenciais em

torno do pilar, porém em menor número. Em seguida a laje rompeu de forma brusca,

porém o cone de ruptura não chegou a se formar na extremidade da laje.

A laje L7 teve um padrão de fissuração distinto de todas as outras lajes, caracterizando

uma fissuração de flexão, com fissuras iniciando na face do pilar paralela à extremidade da

laje e prosseguindo em direção à extremidade da laje. Várias fissuras características de

torção foram observadas na face superior e na extremidade da laje e uma abertura

considerável dessas fissuras no momento da ruptura. A Tabela 4.15 mostra a carga de

ocorrência da primeira fissura visível.

Tabela 4.15 – Carga de fissuração de flexão visível e direção de propagação

Laje Carga de ocorrência da primeira fissura visível* (kN) Direção de propagação da fissura

1 48,9 Perpendicular à extremidade, acima do cabo 2

2 98,3 Perpendicular à extremidade, acima do cabo 3

3 60,3 Perpendicular à extremidade, acima do cabo 2

4 84,9 Perpendicular à extremidade, acima do cabo 3

5 60,4 Paralela à extremidade, entre a laje e o pilar

6 47,3 Paralela à extremidade, entre a laje e o pilar

7 33,3 Paralela à extremidade, entre a laje e o pilar* Reação do pilar obtida somando-se as cargas aplicadas (2xP1 + P2 + Peso Próprio da laje) Da Figura 4.18 à Figura 4.24 são apresentados os mapeamentos das fissuras e cone de

ruptura, com os respectivos ângulos de inclinação, de todas as lajes ensaiadas. As fissuras

características de torção estão representadas pela cor azul e a primeira fissura e o cone de

ruptura estão representados pela cor vermelha.

90

27° 27°

L1

Figura 4.18 – Mapeamento das fissuras e cone de ruptura – Laje L1

L2

30° 25°

Figura 4.19 – Mapeamento das fissuras e cone de ruptura – Laje L2

91

31°27°

27°

L3

Figura 4.20 – Mapeamento das fissuras e cone de ruptura – Laje L3

L4

25° 23°

Figura 4.21 – Mapeamento das fissuras e cone de ruptura – Laje L4

92

40°

L5

38°

Figura 4.22 – Mapeamento das fissuras e cone de ruptura – Laje L5

L6

Figura 4.23 – Mapeamento das fissuras – Laje L6

93

L7

Figura 4.24 – Mapeamento das fissuras – Laje L7

As lajes L1, L2 e L3 apresentaram uma inclinação do cone de ruptura em torno de 30º.

Esta inclinação diminuiu para aproximadamente para 25º na laje L4 e chegando a quase

40º de inclinação, no ensaio da laje L5.

Seria necessário se fazer um corte perpendicular à extremidade da laje, atravessando o

pilar, para se poder verificar a mudança de inclinação do cone de ruptura nessa direção,

principalmente para se verificar o cone de ruptura da laje L6, que rompeu de forma brusca,

caracterizando uma ruptura por punção e apresentou um cone de ruptura reduzido que não

chegou a contornar toda a periferia do pilar.

94

4.6 - DEFORMAÇÕES DAS ARMADURAS

4.6.1 - Armadura de flexão

Da Figura 4.25 à Figura 4.31 são apresentadas as curvas da reação do pilar versus a

deformação da armadura passiva. Os gráficos mostram também a carga de ruptura da laje e

a carga em que a primeira fissura visível foi observada destacando a carga de ruptura da

laje e a carga em que a primeira fissura visível foi observada. A numeração dos

extensômetros é a da Figura 3.16.

Como já comentado, a reação do pilar é obtida somando-se o carregamento atuante (2xP1 +

P2) mais o peso próprio da laje. Foi tomada a média aritmética dos valores da deformação

de dois extensômetros de cada barra. As deformações são apresentadas a partir da carga

correspondente ao peso próprio da laje, com valores iniciais devidos à protensão. Note-se

que tanto a escala vertical como a horizontal mudam de gráfico para gráfico.

0

50

100

150

200

250

300

-1.000 1.000 3.000 5.000 7.000 9.000 11.000 13.000 15.000 17.000 19.000 21.000

DEFORMAÇÃO (xE-06)

REA

ÇÃ

O D

O P

ILA

R (k

N)

EA 1EA 2EA 3EA 4EA 5EA 6EA 7EA 8Ruptura1ª Fissura visível

Figura 4.25 – Reação do pilar versus deformação nas armaduras de flexão – Laje L1

95

0

50

100

150

200

250

-1.000 1.000 3.000 5.000 7.000 9.000 11.000 13.000 15.000

DEFORMAÇÃO (xE-06)

REA

ÇÃ

O D

O P

ILA

R (k

N)

EA 1

EA 2

EA 3

EA 4

EA 5

EA 6

EA 7

EA 8

Ruptura

1ª Fissura visível

Figura 4.26 – Reação do pilar versus deformação nas armaduras de flexão – Laje L2

0

50

100

150

200

250

-500 -250 0 250 500 750 1.000 1.250 1.500 1.750 2.000 2.250 2.500 2.750 3.000 3.250 3.500

DEFORMAÇÃO (xE-06)

REA

ÇÃ

O D

O P

ILA

R (k

N)

EA 1

EA 2

EA 3

EA 4

EA 5

EA 6

EA 7

EA 8

Ruptura

1ª Fissura visível

Figura 4.27 – Reação do pilar versus deformação nas armaduras de flexão – Laje L3

96

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

-500 -250 0 250 500 750 1.000 1.250 1.500 1.750 2.000 2.250 2.500 2.750 3.000 3.250 3.500

DEFORMAÇÃO (xE-06)

REA

ÇÃ

O D

O P

ILA

R (k

N)

EA 1

EA 2

EA 3

EA 4

EA 5

EA 6

EA 7

EA 8

Ruptura

1ª Fissura visível

Figura 4.28 – Reação do pilar versus deformação nas armaduras de flexão – Laje L4

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

-500 -250 0 250 500 750 1.000 1.250 1.500 1.750 2.000 2.250 2.500 2.750 3.000 3.250 3.500

DEFORMAÇÃO (xE-06)

REA

ÇÃ

O D

O P

ILA

R (k

N)

EA 1

EA 2

EA 3

EA 4

EA 5

EA 6

EA 7

EA 8

Ruptura

1ª Fissura visível

Figura 4.29 – Reação do pilar versus deformação nas armaduras de flexão – Laje L5

97

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-500 -250 0 250 500 750 1.000 1.250 1.500 1.750 2.000 2.250 2.500 2.750 3.000 3.250 3.500

DEFORMAÇÃO (xE-06)

REA

ÇÃ

O D

O P

ILA

R (k

N)

EA 1

EA 2

EA 3

EA 4

EA 5

EA 6

EA 7

EA 8

Ruptura

1ª Fissura visível

Figura 4.30 – Reação do pilar versus deformação nas armaduras de flexão – Laje L6

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

120

-500 -250 0 250 500 750 1.000 1.250 1.500 1.750 2.000 2.250 2.500 2.750 3.000 3.250 3.500

DEFORMAÇÃO (xE-06)

REA

ÇÃ

O D

O P

ILA

R (k

N)

EA 1

EA 2

EA 3

EA 4

EA 5

EA 6

EA 7

EA 8

Ruptura

1ª Fissura visível

Figura 4.31 – Reação do pilar versus deformação nas armaduras de flexão – Laje L7

98

Verifica-se que as três barras paralelas e próximas à extremidade da laje L1 (EA6, EA7 e

EA8), que foram instrumentadas junto à face do pilar, apresentaram uma deformação

plástica excessiva, mostrando inclusive uma provável perda de aderência entre o aço e o

concreto ou entre o aço e o extensômetro, com o extensômetro deixando de funcionar.

Como era esperado, as barras perpendiculares à extremidade da laje sofreram pequenas

deformações, exceto para as barras que atravessavam o pilar (EA 4 e EA5), e que foram as

que sofreram as maiores deformações obtidas.

A laje L2 se comportou de maneira análoga à laje L1, com a diferença de que apenas uma

barra paralela à extremidade (EA 6) apresentou deformação plástica excessiva. Apenas

duas barras escoaram (EA 6 e EA 8).

As lajes L3 e L4 se comportaram de maneira semelhante, com deformações maiores nas

armaduras que atravessavam o pilar. Nenhuma barra chegou a escoar durante o ensaio.

Nas lajes L5, L6 e L7, verifica-se um aumento das deformações das barras perpendiculares

à extremidade da laje em relação às barras paralelas, o que era esperado, visto que a

parcela de carregamento P2 tornava-se maior em relação à P1 em cada laje estudada.

Apenas a barra perpendicular que estava passando praticamente pelo centro do pilar escoou

nos ensaios das lajes L5, L6 e L7 e as barras mais afastadas do pilar sofreram menos

deformações do que as que atravessavam o pilar.

Nenhuma conclusão sobre as deformações das barras que atravessam o pilar pode ser

tomada pelas barras instrumentadas distantes do pilar, caso só sejam instrumentadas as

barras afastadas do pilar. A conclusão, no caso, é apenas para a barra específica e não para

todas as barras.

99

4.7 - DEFORMAÇÃO DO CONCRETO

Da Figura 4.32 à Figura 4.38 são apresentadas as curvas reação do pilar versus deformação

do concreto. O gráfico mostra também a carga de ruptura da laje e a carga em que a

primeira fissura visível foi observada. A numeração dos extensômetros é a da Figura 3.18.

0

50

100

150

200

250

300

-3.000 -2.500 -2.000 -1.500 -1.000 -500 0 500

DEFORMAÇÃO (xE-06)

REA

ÇÃ

O D

O P

ILA

R (k

N)

EC 1

EC 2

EC 3

EC 4

EC 5

EC 6

Ruptura

1ª Fissura visível

Figura 4.32 – Reação do pilar versus deformação no concreto – Laje L1

100

0

50

100

150

200

250

-3.000 -2.500 -2.000 -1.500 -1.000 -500 0

DEFORMAÇÃO (xE-06)

REA

ÇÃ

O D

O P

ILA

R (k

N)

EC 1

EC 2

EC 3

EC 4

EC 5

EC 6

Ruptura

1ª Fissura visível

Figura 4.33 – Reação do pilar versus deformação no concreto – Laje L2

0

50

100

150

200

250

-2.500 -2.250 -2.000 -1.750 -1.500 -1.250 -1.000 -750 -500 -250 0

DEFORMAÇÃO (xE-06)

REA

ÇÃ

O D

O P

ILA

R (k

N)

EC 1

EC 2

EC 3

EC 4

EC 5

EC 6

Ruptura

1ª Fissura visível

Figura 4.34 – Reação do pilar versus deformação no concreto – Laje L3

101

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

-2.000 -1.750 -1.500 -1.250 -1.000 -750 -500 -250 0 250

DEFORMAÇÃO (xE-06)

REA

ÇÃ

O D

O P

ILA

R (k

N)

CC 1

EC 2

EC 3

EC 4

EC 5

EC 6

Ruptura

1ª Fissura visível

Figura 4.35 – Reação do pilar versus deformação no concreto – Laje L4

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

-3.500 -3.000 -2.500 -2.000 -1.500 -1.000 -500 0 500 1.000 1.500 2.000

DEFORMAÇÃO (xE-06)

REA

ÇÃ

O D

O P

ILA

R (k

N)

EC 1

EC 2

EC 3

EC 4

EC 5

EC 6

Ruptura

1ª Fissura visível

Figura 4.36 – Reação do pilar versus deformação no concreto – Laje L5

102

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-2.500 -2.000 -1.500 -1.000 -500 0 500 1.000 1.500 2.000

DEFORMAÇÃO (xE-06)

REA

ÇÃ

O D

O P

ILA

R (k

N)

EC 1

EC 2

EC 3

EC 4

EC 5

EC 6

Ruptura

1ª Fissura visível

Figura 4.37 – Reação do pilar versus deformação no concreto – Laje L6

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

120

-2.500 -2.000 -1.500 -1.000 -500 0 500 1.000 1.500 2.000 2.500

DEFORMAÇÃO (xE-06)

REA

ÇÃ

O D

O P

ILA

R (k

N)

EC 1

EC 2

EC 3

EC 4

EC 5

EC 6

Ruptura

1ª Fissura visível

Figura 4.38 – Reação do pilar versus deformação no concreto – Laje L7

103

Verifica-se que a deformação medida no eixo do pilar, centro da laje (EC 3), é sempre

maior do que a medida de deformação da superfície inferior da laje na direção do canto do

pilar (EC2), exceto para a laje L6.

Em relação às deformações paralelas à extremidade da laje, verifica-se que nos ensaios das

lajes L4, L5 e L6 há uma mudança de direção da curva, caracterizando uma perda de

compressão na região do pilar. Esta descompressão, chegando a provocar tração no

concreto nesta região, provavelmente deve-se ao fato do aparecimento das fissuras de

torção na laje. A Figura 4.39 mostra a fissura de torção na laje L6 para uma carga P1 =

16,25 kN, que equivale nesse caso a uma reação no pilar no valor de 107,6 kN,

considerando o carregamento total mais o peso próprio da laje.

Figura 4.39 – Fissura de torção – Laje L6

Após o aparecimento dessa fissura na laje L6, os gráficos dos extensômetros EC 4 e EC6

mudam totalmente de sentido, mostrando uma tração no concreto, como se verifica na

Figura 4.37. O mesmo tipo de comportamento ocorreu nas lajes L5 e L7

104

4.8 - DESLOCAMENTOS VERTICAIS

As medidas dos deslocamentos verticais (flechas) foram obtidas com o uso de 13

defletômetros mecânicos, sendo 12 para medir os deslocamentos verticais e 1 defletômetro

colocado na lateral superior do pilar para medir o alongamento do parafuso que impedia a

rotação do pilar. A partir desses alongamentos, as leituras foram corrigidas, considerando

que a rotação causada pelo alongamento do parafuso era a mesma rotação causada na laje

devido a esse efeito.

Nas lajes L2 e L3 o deslocamento vertical do ponto de aplicação da carga P2 foi estimado a

partir da leitura do defletômetro 9, considerando que a laje teve um ângulo de inclinação

constante na direção da carga P2 em relação a horizontal. Com isso puderam-se analisar as

flechas próximas aos pontos de aplicação de carga. Este procedimento foi necessário, pois

não foram colocados defletômetros naquele ponto nas lajes L2 e L3.

Da Figura 4.40 à Figura 4.46 são mostrados os gráficos de deslocamentos para os três

extensômetros situados a 800 mm do eixo do pilar. A numeração dos defletômetros é a da

Figura 3.22.

0

50

100

150

200

250

300

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

FLECHA (mm)

REA

ÇÃ

O D

O P

ILA

R (k

N)

D 10

D 11

D 13

Figura 4.40 – Reação do pilar versus flecha – Laje L1

105

0

50

100

150

200

250

-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

FLECHA (mm)

REA

ÇÃ

O D

O P

ILA

R (k

N)

D 10

D 11

D 9

D 13 (Estimado)

Figura 4.41 – Reação do pilar versus flecha – Laje L2

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

-2 0 2 4 6 8 10 12

FLECHA (mm)

REA

ÇÃ

O D

O P

ILA

R (k

N)

D 10

D 11

D 9

D 13 (Estimado)

Figura 4.42 – Reação do pilar versus flecha – Laje L3

106

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

0 2 4 6 8 10 12 14 16

FLECHA (mm)

REA

ÇÃ

O D

O P

ILA

R (k

N)

D 10

D 11

D 13

Figura 4.43 – Reação do pilar versus flecha – Laje L4

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

-5 0 5 10 15 20

FLECHA (mm)

REA

ÇÃ

O D

O P

ILA

R (k

N)

D 10

D 11

D 13

Figura 4.44 – Reação do pilar versus flecha – Laje L5

107

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-5 0 5 10 15 20 25

FLECHA (mm)

REA

ÇÃ

O D

O P

ILA

R (k

N)

D 10

D 11

D 13

Figura 4.45 – Reação do pilar versus flecha – Laje L6

0

20

40

60

80

100

120

-5 0 5 10 15 20

FLECHA (mm)

REA

ÇÃ

O D

O P

ILA

R (k

N)

D 10

D 11

D 13

Figura 4.46 – Reação do pilar versus flecha – Laje L7

108

A Figura 4.47 e a Figura 4.48 apresentam gráficos de iso-deslocamentos para as lajes L1 e

L7, que foram plotados utilizando os dados dos deslocamentos máximos obtidos nos

ensaios, que foram inseridos no programa SURFER 8.0, que fez a devida interpolação dos

deslocamentos verticais.

-30

-28

-26

-24

-22

-20

-18

-16

-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

Figura 4.47 – Deslocamentos da laje L1

-24

-22

-20

-18

-16

-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

Figura 4.48 – Deslocamentos da laje L7

109

Da Figura 4.49 à Figura 4.51 são apresentadas comparações entre os deslocamentos

obtidos na laje para os pontos de aplicação de carga (defletômetros 10, 11 e 13).

0

50

100

150

200

250

300

-5 0 5 10 15 20

FLECHA (mm)

REA

ÇÃ

O D

O P

ILA

R (k

N)

L1

L2

L3

L4

L5

L6

L7

Figura 4.49 – Reação do pilar versus flecha – Defletômetro 10

0

50

100

150

200

250

300

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

FLECHA (mm)

REA

ÇÃ

O D

O P

ILA

R (k

N)

L1

L2

L3

L4

L5

L6

L7

Figura 4.50 – Reação do pilar versus flecha – Defletômetro 11

110

0

50

100

150

200

250

300

-5 0 5 10 15 20 25

FLECHA (mm)

REA

ÇÃ

O D

O P

ILA

R (k

N)

L1

L2

L3

L4

L5

L6

L7

Figura 4.51 – Reação do pilar versus flecha – Defletômetro 13

Verifica-se em todos os gráficos que as lajes apresentam uma acomodação após terem

apresentado deslocamentos diferentes na direção das cargas P1. A existência desse

deslocamento é pelo fato do pilar não estar totalmente preso ao pórtico de ensaios na

direção paralela à extremidade e no início do ensaio existe uma acomodação do sistema.

Após essa acomodação as lajes deformam-se normalmente.

Nota-se que para os defletômetros 10 e 11 os maiores deslocamentos (laje L1) foram

obtidos para as lajes com carregamento preponderante naquela direção, enquanto que para

o defletômetro 13 o maior deslocamento foi obtido para a laje L6, ao contrário da laje L7,

que teve o maior carregamento nessa direção, indicando que essa laje poderia ainda

deformar-se mais não fosse a ruptura por flexo-torção.

Pode-se dizer que as lajes L1 e L6 foram as que apresentaram então o comportamento mais

dúctil.

111

4.9 - CARREGAMENTOS E MODOS DE RUPTURA

A Tabela 4.16 apresenta as cargas de ruptura das lajes e os modos de ruptura determinados

através dos ensaios, mostrando inclusive uma boa concordância dos valores das cargas P1

que não foram controlados individualmente. A carga Vu é a soma de P1(E), P1(D) e P2,

acrescido do peso próprio da laje (7,1 kN).

Tabela 4.16 – Cargas de ruptura das lajes ensaiadas

LajeP1 (E)

(kN)P1 (D)

(kN)P2

(kN)Vu (kN) Mu ⊥

(1)

(kN.m)Mu ⊥

(2)

(kN.m)Modo de Ruptura

(Ensaio)

L1 124,1 122,3 0,0 253,5 39,9 65,2 Flexão/Punção

L2 103,6 101,1 25,2 237,0 51,3 75,0 Flexão/Punção

L3 82,6 81,5 39,2 210,4 55,0 76,0 Punção

L4 58,1 60,1 58,2 183,5 61,4 79,7 Punção

L5 39,1 38,4 78,2 162,8 69,3 85,6 Flexão/Punção

L6 19,8 21,9 85,2 134,0 68,8 82,2 Flexão/Punção/Torção

L7 0,0 0,0 98,4 105,5 71,8 82,3 Flexão/Torção(1) Momento em relação à face do pilar(2) Momento em relação ao centro do pilar

Obs: Peso próprio da laje = 7,1 kN

Para a determinação do modo de ruptura através dos ensaios foi verificado o tipo de

ruptura havido durante os ensaios, as deformações na armadura passiva, abertura de

fissuras e deformações do concreto.

Foram definidas rupturas por punção para as lajes L3 e L4 que tiveram a ruptura mais

brusca, e nas quais as aberturas das fissuras não foram grandes e a armadura passiva não

escoou.

A ruptura das lajes L1, L2 e L5 foram definidas como flexão/punção, pois além dessas

lajes terem rompido por punção, a armadura passiva atingiu o escoamento e as fissuras de

flexão foram grandes. Já a laje L6 teve o modo de ruptura definido como

112

flexão/punção/torção, pois além da punção e de flexão, como observado nas lajes L1, L2 e

L5, verificou-se torção.

O mecanismo de ruptura da laje L7 foi definido como flexão/torção, o que ficou

evidenciado com a configuração final da ruptura.

Da Figura 4.52 à Figura 4.59 são apresentadas as configurações finais de ruptura para as

lajes e os modos de ruptura então podem ser verificados.

Figura 4.52 – Ruptura da laje L1

Laje L1 Mu

(1) = 39,9 kN.m Vu = 253,5 kN.m

113

Figura 4.53 – Ruptura da laje L2

Figura 4.54 – Ruptura da laje L3

Laje L2 Mu

(1) = 51,3 kN.m Vu = 237,0 kN.m

Laje L3 Mu

(1) = 55,0 kN.m Vu = 210,4 kN.m

114

Figura 4.55 – Ruptura da laje L4

Figura 4.56 – Ruptura da laje L5

Laje L4 Mu

(1) = 61,4 kN.m Vu = 183,5 kN.m

Laje L5 Mu

(1) = 69,3 kN.m Vu = 162,8 kN.m

115

Figura 4.57 – Ruptura da laje L6

Figura 4.58 – Ruptura da laje L7 – Fissuras de flexão e torção

Laje L6 Mu

(1) = 68,8 kN.m Vu = 134,0 kN.m

Laje L7 Mu

(1) = 71,8 kN.m Vu = 105,5 kN.m

116

Figura 4.59 – Ruptura da laje L7 – Fissuras de torção

Laje L7 Mu

(1) = 71,8 kN.m Vu = 105,5 kN.m

117

5 - ANÁLISE DOS RESULTADOS DA CARGA E MODO DE

RUPTURA

5.1 - RESUMO DE DADOS E RESULTADOS EXPERIMENTAIS

Neste capítulo são apresentadas comparações entre os resultados obtidos nos ensaios das

sete lajes com os estimados pelas normas: FIP:1998, ACI-318:2002, EC2:2002 e NBR

6118:2003. Todas as lajes possuíam a mesma geometria e quantidade de armadura passiva

e ativa, porém pequenas variações foram observadas na seção transversal dos pilares, altura

útil da laje, bem como no perfil e força de protensão dos cabos.

A Tabela 5.1 apresenta um resumo dos resultados experimentais e de alguns parâmetros

necessários para o cálculo da resistência efetiva de cada laje. P0 é a média da força de

protensão na direção paralela (P0║) e perpendicular (P0⊥) à extremidade no início do

ensaio, e Vu é a reação do pilar, obtida como o somatório das cargas verticais aplicadas na

laje no momento da ruptura, adicionado do peso próprio da laje. Mu e Mu(ACI) são os

momentos fletores perpendiculares ao pilar, e determinados respectivamente em relação ao

eixo do pilar (Mu), e ao centro de gravidade da seção crítica (Mu(ACI)), considerando

também o momento do peso próprio da laje. Mu é utilizado pelas normas: FIP:1998,

EC2:2002 e NBR 6118:2003, enquanto que Mu(ACI) é utilizado pelo ACI-318:2002.

Tabela 5.1 – Resumo dos resultados experimentais

Laje f'c (MPa) fct (MPa) P0║ (kN) P0⊥ (kN) Vu (kN) Mu (kN.m)

Mu(ACI)

(kN.m)

L1 46,8 4,3 129,6 126,0 253,5 65,2 46,5

L2 46,0 3,1 129,1 115,0 237,0 75,0 57,4

L3 45,1 3,2 143,2 122,9 210,4 76,0 60,4

L4 45,1 3,2 132,9 127,6 183,5 79,7 66,2

L5 48,5 3,8 133,4 129,7 162,8 85,6 73,4

L6 48,5 3,8 130,5 128,4 134,0 82,2 72,2

L7 46,8 4,3 129,2 128,8 105,5 82,3 74,5 Mu

(ACI) - Em relação ao centro de gravidade da seção crítica do ACI-318:2002; Mu - Em relação ao centro do pilar.

118

Vale ressaltar que o momento em relação ao eixo perpendicular à extremidade da laje não

é considerado no cálculo da resistência da laje por nenhuma norma, apenas quando este é

desbalanceado.

A Tabela 5.2 apresenta mais alguns dados das lajes ensaiadas: a tensão de compressão

média na laje devido à protensão pelo ACI-318:2002 (fcp(ACI)), determinada dividindo-se a

força dos cabos em cada direção pela área da seção total da laje em cada direção e

tomando-se a média; a tensão de compressão média na laje devido à protensão pelo

EC2:2002 (fcp(EC2)), determinada dividindo-se a força dos cabos presentes na seção crítica

em cada direção pela área da seção transversal da seção crítica em cada direção, e

tomando-se a média; a altura útil referente ao ACI-318:2002 (d (ACI)), determinada pelo

centróide da armadura de tração (passiva e ativa) em cada direção e tomando-se a média,

mas tomando-se no mínimo 0,8h como prescrito pelo código; a altura útil determinada

segundo o FIP:1998 e que foi utilizada para o EC2:2002, FIP:1998 e NBR 6118:2003; a

altura total da laje (h); o tamanho do lado do pilar (c); a taxa de armadura passiva,

determinada tomando 3d a partir de cada lado do pilar, como recomendado pelo EC2:2002

e pela NBR 6118:2003; e a mesma taxa tomando-se 2d a partir de cada lado do pilar, como

recomendado pelo FIP:1998.

Tabela 5.2 – Dados das lajes ensaiadas

Laje fcp(ACI)

(MPa) fcp

(EC2) (MPa)

d(ACI) (mm)

d(EC2, FIP e NBR)

(mm) h

(mm) c

(mm) ρ(NBR e

EC2) (%) ρ(FIP) (%)

L1 2,81 8,87 100 100 125 203 0,55 0,59

L2 2,65 8,35 101 100 126 203 0,55 0,59

L3 2,98 9,29 98 102 122 202 0,56 0,60

L4 2,93 9,22 98 101 122 202 0,56 0,60

L5 2,78 8,84 104 99 130 203 0,53 0,57

L6 2,78 8,79 102 100 128 203 0,54 0,58

L7 2,77 8,73 102 101 128 202 0,54 0,57 .

119

5.2 - COMPARAÇÃO DOS RESULTADOS COM AS NORMAS

A resistência última à punção de uma laje cogumelo protendida pode ser expressa pela

Equação 5.1.

pcpcn VVVV ++= (5.1)

A parcela Vc corresponde à resistência do concreto juntamente com a contribuição da

armadura passiva na região do puncionamento, enquanto que os efeitos da protensão são

considerados pelas outras duas parcelas: a parcela da compressão do concreto devido à

protensão (Vcp) e a parcela devido à curvatura vertical dos cabos que passam pelo

perímetro crítico (Vp).

Devido aos efeitos da transmissão de momento entre a laje e o pilar, ou momentos

desbalanceados, a capacidade resistente à punção pode ser reduzida por um coeficiente β,

explicitamente nas normas FIP:1998 e EC2:2002, que leva em consideração as

características da seção de controle, o momento aplicado e a reação do pilar.

As normas ACI-318:2002 e NBR 6118:2003 não consideram um coeficiente β diretamente

no cálculo, mas este coeficiente pode ser facilmente considerado com a manipulação das

equações utilizadas, tal como visto no Capítulo 2.

Vale ressaltar que a NBR 6118:2003 não considera a parcela da compressão devido à

protensão nos cálculos da resistência à punção de uma laje cogumelo protendida.

O cálculo pelo ACI-318:2002 foi feito de duas maneiras: considerando ou não as restrições

da resistência e da tensão de compressão no concreto devido à protensão.

A Tabela 5.3 apresenta os parâmetros necessários para a determinação da resistência das

lajes utilizando o FIP:1998, através da Equação 2.3 sugerida pelo autor. Os parâmetros,

calculados nas duas direções, x (paralelo à extremidade da laje) e y (perpendicular à

extremidade da laje) são: V/m’, razão entre a reação do pilar unitária e o momento no eixo

da face do pilar; m’po, momento necessário para descomprimir a fibra comprimida; e m’pe,

120

momento devido à excentricidade dos cabos em relação ao centro de gravidade da laje. O

momento na face do pilar (m’) foi determinado usando o Método dos Elementos Finitos

com o programa SAP 2000, para o qual foi utilizada a descrição apresentada na Figura 5.1,

para uma carga unitária (somatório das cargas verticais igual a 1), de acordo com a relação

entre P1 e P2 para cada laje. Depois de algumas tentativas, os melhores resultados foram

obtidos com a laje representada com elementos de placa e com o pilar representado com

elemento sólido de 8 nós. Os valores de m’po e m’pe foram obtidos utilizando-se a média

aritmética da força de protensão no início de cada ensaio em cada direção.

Tabela 5.3 – Dados para o cálculo pelo FIP:1998

Laje V/m'║ (x) m'po║ (x) (kN.m)

m'pe║ (x) (kN.m) V/m'┴ (y)

m'po┴ (y) (kN.m)

m'pe┴ (y) (kN.m)

L1 4,56 5,40 5,57 6,89 10,50 10,84

L2 4,79 5,42 5,42 5,58 9,66 9,66

L3 4,98 5,82 7,16 4,85 10,00 12,29

L4 5,27 5,40 6,38 4,05 10,38 12,25

L5 5,70 5,78 4,80 3,36 11,24 9,34

L6 6,40 5,57 5,22 2,87 10,96 10,27

L7 7,40 5,51 5,43 2,22 10,99 10,82

onde:

V = reação do pilar unitária;

m’ = momento na face do pilar em cada direção;

m’po = momento necessário para descomprimir a fibra comprimida;

m’pe = momento devido à excentricidade dos cabos em relação ao centro de gravidade da

laje;

121

Figura 5.1 – Discretização utilizada no programa SAP 2000

A Tabela 5.1 mostra as relações M/V que permanecem constantes durante cada ensaio e

que foram utilizadas para o cálculo de β. Vale ressaltar que as normas ACI-318:2002 e a

NBR 6118:2003 não possuem este coeficiente, mas este foi considerado com a

manipulação das equações para a determinação da carga de ruptura de cada laje.

Tabela 5.4 – Relações M/V utilizadas

Laje Msd1/V (m) (NBR) M/V (m) (EC2,FIP) M/V (m) (ACI)

L1 0,042 0,250 0,200

L2 0,103 0,311 0,222

L3 0,152 0,360 0,280

L4 0,225 0,433 0,367

L5 0,342 0,550 0,450

L6 0,392 0,600 0,533

L7 0,592 0,800 0,700

122

Da Tabela 5.5 à Tabela 5.11 são apresentadas comparações entre os resultados das cargas

de ruptura (reação do pilar) e as cargas resistente de cada laje estudada, mostrando os

valores de cada parcela para o cálculo da carga resistente à punção. Também foi

considerada uma carga de ruptura estimada, considerando a resistência do concreto de 45

MPa, força de protensão de 130 kN, traçado dos cabos, espessura da laje e largura do pilar

antes da concretagem.

Tabela 5.5 – Cargas últimas de punção – Laje L1

Laje CódigoVc

(kN)Vcp

(kN)Vp

(kN)β

Vn

(kN)Vn (Est.)

(kN)Vu

(kN)Mu

(kN.m)Vu / Vn Vu / Vn (Est.)

ACI-318:2002 138,8 68,2 9,0 1,79 120,7 114,1 46,5 2,10 2,22

ACI-318:2002* 160,5 68,2 9,0 1,79 132,8 123,8 46,5 1,91 2,05

FIP:1998 162,3 89,6 9,7 2,02 134,4 139,1 65,2 1,89 1,82

NBR 6118:2003 134,3 - 16,7 1,12 134,8 133,1 65,2 1,88 1,90

EC2:2002 110,0 61,3 16,7 1,82 103,3 103,8 65,2 2,45 2,44

253,5L1

+=

cu

ABuvACI JV

dbcM 0)( 1

γβ

+=

1

11)(

*1

pSd

SdNBR WF

uMKβ

* Desconsiderando a restrição da resistência e tensão de compressão do concreto.

Obs: β(ACI) e β(NBR) obtidos por manipulação das equações.

Tabela 5.6 – Cargas últimas de punção – Laje L2

Laje CódigoVc

(kN)Vcp

(kN)Vp

(kN)β

Vn

(kN)Vn (Est.)

(kN)Vu

(kN)Mu

(kN.m)Vu / Vn Vu / Vn (Est.)

ACI-318:2002 140,5 65,1 8,4 1,87 114,4 108,7 57,2 2,07 2,18

ACI-318:2002* 161,1 65,1 8,4 1,87 125,5 117,9 57,2 1,89 2,01

FIP:1998 160,9 64,0 9,0 2,22 110,3 118,0 75,0 2,15 2,01

NBR 6118:2003 133,5 - 15,4 1,28 116,3 115,6 75,0 2,04 2,05

EC2:2002 109,4 57,6 15,4 2,02 90,3 93,5 75,0 2,62 2,53

237,0L2

+=

cu

ABuvACI JV

dbcM 0)( 1

γβ

+=

1

11)(

*1

pSd

SdNBR WF

uMKβ

* Desconsiderando a restrição da resistência e tensão de compressão do concreto.

Obs: β(ACI) e β(NBR) obtidos por manipulação das equações.

123

Tabela 5.7 – Cargas últimas de punção – Laje L3

Laje CódigoVc

(kN)Vcp

(kN)Vp

(kN)β

Vn

(kN)Vn (Est.)

(kN)Vu

(kN)Mu

(kN.m)Vu / Vn Vu / Vn (Est.)

ACI-318:2002 134,8 70,3 7,9 2,12 100,5 96,5 60,8 2,09 2,18

ACI-318:2002* 153,1 70,3 7,9 2,12 109,1 104,7 60,8 1,93 2,01

FIP:1998 164,9 69,9 8,5 2,36 108,0 109,9 76,0 1,95 1,91

NBR 6118:2003 136,6 - 15,2 1,41 107,7 107,1 76,0 1,95 1,96

EC2:2002 112,6 66,0 15,2 2,17 89,3 89,2 76,0 2,36 2,36

210,4L3

+=

cu

ABuvACI JV

dbcM 0)( 1

γβ

+=

1

11)(

*1

pSd

SdNBR WF

uMKβ

* Desconsiderando a restrição da resistência e tensão de compressão do concreto.

Obs: β(ACI) e β(NBR) obtidos por manipulação das equações.

Tabela 5.8 – Cargas últimas de punção – Laje L4

Laje CódigoVc

(kN)Vcp

(kN)Vp

(kN)β

Vn

(kN)Vn (Est.)

(kN)Vu

(kN)Mu

(kN.m)Vu / Vn Vu / Vn (Est.)

ACI-318:2002 134,8 69,1 9,1 2,47 86,2 82,9 66,5 2,13 2,21

ACI-318:2002* 153,1 69,1 9,1 2,47 93,6 90,0 66,5 1,96 2,04

FIP:1998 163,5 59,4 9,7 2,61 95,1 95,1 79,7 1,93 1,93

NBR 6118:2003 134,9 - 16,8 1,62 93,6 92,8 79,7 1,96 1,98

EC2:2002 110,8 64,5 16,8 2,42 79,4 79,3 79,7 2,31 2,31

183,5L4

+=

cu

ABuvACI JV

dbcM 0)( 1

γβ

+=

1

11)(

*1

pSd

SdNBR WF

uMKβ

* Desconsiderando a restrição da resistência e tensão de compressão do concreto.

Obs: β(ACI) e β(NBR) obtidos por manipulação das equações.

124

Tabela 5.9 – Cargas últimas de punção – Laje L5

Laje CódigoVc

(kN)Vcp

(kN)Vp

(kN)β

Vn

(kN)Vn (Est.)

(kN)Vu

(kN)Mu

(kN.m)Vu / Vn Vu / Vn (Est.)

ACI-318:2002 145,8 70,9 8,4 2,76 81,6 73,0 73,4 2,00 2,23

ACI-318:2002* 171,6 70,9 8,4 2,76 90,9 79,2 73,4 1,79 2,06

FIP:1998 160,7 50,1 9,0 3,02 78,8 79,5 85,6 2,07 2,05

NBR 6118:2003 132,5 - 15,2 1,95 75,7 75,5 85,6 2,15 2,16

EC2:2002 108,2 60,0 15,2 2,82 65,0 66,2 85,6 2,50 2,46

162,8L5

+=

cu

ABuvACI JV

dbcM 0)( 1

γβ

+=

1

11)(

*1

pSd

SdNBR WF

uMKβ

* Desconsiderando a restrição da resistência e tensão de compressão do concreto.

Obs: β(ACI) e β(NBR) obtidos por manipulação das equações.

Tabela 5.10 – Cargas últimas de punção – Laje L6

Laje CódigoVc

(kN)Vcp

(kN)Vp

(kN)β

Vn

(kN)Vn (Est.)

(kN)Vu

(kN)Mu

(kN.m)Vu / Vn Vu / Vn (Est.)

ACI-318:2002 142,3 69,2 10,5 3,08 72,1 65,1 72,2 1,86 2,06

ACI-318:2002* 167,5 69,2 10,5 3,08 80,3 70,7 72,2 1,67 1,90

FIP:1998 162,9 48,2 11,2 3,17 77,8 75,7 82,2 1,72 1,77

NBR 6118:2003 135,1 - 18,7 2,08 73,9 71,3 82,2 1,81 1,88

EC2:2002 110,7 60,7 18,7 2,97 64,0 63,7 82,2 2,09 2,10

134,0L6

+=

cu

ABuvACI JV

dbcM 0)( 1

γβ

+=

1

11)(

*1

pSd

SdNBR WF

uMKβ

* Desconsiderando a restrição da resistência e tensão de compressão do concreto.

Obs: β(ACI) e β(NBR) obtidos por manipulação das equações.

125

Tabela 5.11 – Cargas últimas de punção – Laje L7

Laje CódigoVc

(kN)Vcp

(kN)Vp

(kN)β

Vn

(kN)Vn (Est.)

(kN)Vu

(kN)Mu

(kN.m)Vu / Vn Vu / Vn (Est.)

ACI-318:2002 141,7 68,7 8,4 3,76 58,2 53,6 74,5 1,81 1,97

ACI-318:2002* 163,9 68,7 8,4 3,76 64,1 58,2 74,5 1,65 1,81

FIP:1998 162,9 60,0 9,0 3,81 67,5 67,4 82,3 1,56 1,57

NBR 6118:2003 134,9 - 15,2 2,62 57,3 57,1 82,3 1,84 1,85

EC2:2002 110,9 61,1 15,2 3,62 51,7 52,8 82,3 2,04 2,00

105,5L7

+=

cu

ABuvACI JV

dbcM 0)( 1

γβ

+=

1

11)(

*1

pSd

SdNBR WF

uMKβ

* Desconsiderando a restrição da resistência e tensão de compressão do concreto.

Obs: β(ACI) e β(NBR) obtidos por manipulação das equações.

Observa-se que Vn não é obtido simplesmente somando-se as parcelas Vc, Vcp e Vp, pois o

cálculo da resistência de cada laje foi feito considerando o coeficiente β, pelo qual a soma

das parcelas é dividida. No caso do FIP:1998, no entanto, somente as duas primeiras

parcelas (Vc e Vcp) são divididas pelo coeficiente β e então é somada a terceira parcela

(Vp).

Para o cálculo da parcela da compressão no plano (Vcp) e da carga equilibrante (Vp), foram

tomadas respectivamente a média da força de protensão nos cabos em cada direção no

início do ensaio e no fim do ensaio, tal como considerado por Silva (2005).

Verifica-se que todas as lajes tiveram uma relação Vu/Vn bem maior que 1, com todas as

normas consideradas. A menor relação Vu/Vn foi de 1,56, obtida para a laje L7 pelo

FIP:1998.

A NBR 6118:2003 e o EC2:2002 apresentam algumas semelhanças e muitas diferenças. As

semelhanças são o perímetro de controle e o valor de β (considerado pela manipulação das

equações da NBR 6118:2003). As diferenças são: a pequena diferença na determinação de

Vc; a tensão resistente de compressão diagonal do concreto no contorno do pilar (3c para a

NBR 6118:2003), o momento atuante considerado, pois o EC2:2002 considera o momento

126

total enquanto que a NBR 6118:2003 considera um momento reduzido, igual ao momento

total subtraído do momento de cálculo resultante da excentricidade do perímetro crítico

reduzido em relação ao centro do pilar; e na determinação do Vp, pois a NBR 6118:2003

considera em cada direção os cabos que passam até d/2 da face do pilar, enquanto que o

EC2:2002 considera todos os cabos que passam no perímetro crítico

O FIP:1998 apresenta valores de β superiores para todas as lajes. Este conservadorismo de

β mostrado pelo FIP:1998 pode ser verificado pelo termo u1/u1* considerado no cálculo

deste coeficiente, que para o caso das lajes estudadas é em torno de 1,20, porém este

conservadorismo de β não afetou os resultados e apresentou os melhores resultados para

todas as lajes, exceto para as lajes L1 e L2 que apresentaram os melhores resultados pela

NBR 6118:2003.

Verifica-se que o procedimento utilizado pelo EC2:2002 para a determinação da

resistência à punção mostra-se ser menos adequado em comparação com a NBR

6118:2003, obtendo valores mais conservadores para todas as lajes. A NBR 6118:2003 não

considera a parcela da compressão do concreto devido à protensão e pelo exposto nota-se

que se esta parcela fosse considerada o conservadorismo seria reduzido, obtendo-se os

melhores resultados entre as normas apresentadas.

O EC2:2002 apresentou os resultados mais conservadores para todas as lajes, com Vu/Vn

entre 2,04 para a laje L7 e 2,62 para a laje L2, em virtude da limitação do termo K

considerado no cálculo da parcela Vc e que é limitado a 2,0 e que não é limitado na

NBR6118:2003 e no FIP:1998.

Na laje L5 o resultado do ACI-318:2002 não foi tão conservador quanto as demais lajes

devido a essa laje ter sido a mais espessa (h = 130 mm), o que acarretou uma altura útil

maior pelo código, que preconiza que seja utilizado no mínimo d = 0,8h. Neste caso a

altura útil pelo ACI-318:2002 foi de 104 mm, enquanto que pelas outras normas essa altura

útil foi de 99mm. Por outro lado a laje tinha sido especificada com h =120 mm, mas

especialmente no caso de cobrimentos maiores, o ACI-318:2002 pode deixar de ser o mais

conservador.

127

Observa-se também que sem atender as restrições de resistência do concreto (≤ 35 MPa) e

tensão de compressão devido à protensão (≤ 3,5 MPa), o ACI apresentou os melhores

resultados para as lajes L2, L3, L5 e L6, indicando que este conservadorismo pode ser

eliminado.

A curvatura vertical dos cabos que passavam pelo perímetro crítico apresentou pouca

contribuição na resistência das lajes estudadas, exceto para a NBR 6118:2003 e o

EC2:2002, que consideram a contribuição da parcela vertical Vp a uma distância de 2d da

face do pilar.

A Tabela 5.12 e a Figura 5.2 apresentam os resultados obtidos pelo ACI-318:2002, a

Tabela 5.13 e a Figura 5.3 apresentam os resultados obtidos pelo ACI-318:2002 sem as

restrições da resistência do concreto e da tensão de compressão do concreto devido à

protensão, a Tabela 5.14 e a Figura 5.4 apresentam os resultados obtidos pelo FIP:1998

para as lajes ensaiadas, a Tabela 5.15 e a Figura 5.5 apresentam os resultados obtidos pelo

EC2:2002 e a Tabela 5.16 e a Figura 5.6 apresentam os resultados obtidos pela NBR

6118:2003.

Tabela 5.12 – Cargas últimas de punção pelo ACI-318: 2002

Laje Vc (kN)

Vcp (kN)

Vp (kN) β

Vn (kN)

Vu (kN)

Mu (kN.m) Vu/ Vn

L1 138,8 68,2 9,0 1,79 120,7 253,5 46,5 2,10

L2 140,5 65,1 8,4 1,87 114,4 237,0 57,2 2,07

L3 134,8 70,3 7,9 2,12 100,5 210,4 60,8 2,09

L4 134,8 69,1 9,1 2,47 86,2 183,5 66,5 2,13

L5 145,8 70,9 8,4 2,76 81,6 162,8 73,4 2,00

L6 142,3 69,2 10,5 3,08 72,1 134,0 72,2 1,86

L7 141,7 68,7 8,4 3,76 58,2 105,5 74,5 1,81

Obs: β(ACI) e β(NBR) obtidos por manipulação das equações.

128

0

50

100

150

200

250

300

0 50 100 150 200 250 300

Vn (kN)

V u (k

N)

L1

L2

L3

L4

L5

L6

L7

Média Aritmética (Vu/Vn) = 2,01Desvio Padrão (Vu/Vn) = 0,126Coef. de variação (Vu/Vn) = 6,3%

Figura 5.2 – Carga atuante versus carga resistente pelo ACI-318:2002

Tabela 5.13 – Cargas últimas de punção pelo ACI-318: 2002*

Laje Vc (kN)

Vcp (kN)

Vp (kN) β

Vn (kN)

Vu (kN)

Mu (kN.m) Vu/ Vn

L1 160,5 68,2 9,0 1,79 132,8 253,5 46,5 1,91

L2 161,1 65,1 8,4 1,87 125,5 237,0 57,2 1,89

L3 153,1 70,3 7,9 2,12 109,1 210,4 60,8 1,93

L4 153,1 69,1 9,1 2,47 93,6 183,5 66,5 1,96

L5 171,6 70,9 8,4 2,76 90,9 162,8 73,4 1,79

L6 167,5 69,2 10,5 3,08 80,3 134,0 72,2 1,67

L7 163,9 68,7 8,4 3,76 64,1 105,5 74,5 1,65 * Desconsiderando a restrição da resistência e tensão de compressão do concreto.

Obs: β(ACI) e β(NBR) obtidos por manipulação das equações.

129

0

50

100

150

200

250

300

0 50 100 150 200 250 300

Vn (kN)

V u (k

N)

L1

L2

L3

L4

L5

L6

L7

Média Aritmética (Vu/Vn) = 1,83Desvio Padrão (Vu/Vn) = 0,128Coef. de variação (Vu/Vn) = 7,0%

Figura 5.3 – Tensão atuante versus tensão resistente pelo ACI-318:2002*

Tabela 5.14 – Cargas últimas de punção pelo FIP:1998

Laje Vc (kN)

Vcp (kN)

Vp (kN) β

Vn (kN)

Vu (kN)

Mu (kN.m) Vu/ Vn

L1 162,3 89,6 9,7 2,02 134,4 253,5 65,2 1,89

L2 160,9 64,0 9,0 2,22 110,3 237,0 75,0 2,15

L3 164,9 69,9 8,5 2,36 108,0 210,4 76,0 1,95

L4 163,5 59,4 9,7 2,61 95,1 183,5 79,7 1,93

L5 160,7 50,1 9,0 3,02 78,8 162,8 85,6 2,07

L6 162,9 48,2 11,2 3,17 77,8 134,0 82,2 1,72

L7 162,9 60,0 9,0 3,81 67,5 105,5 82,3 1,56

Obs: β(ACI) e β(NBR) obtidos por manipulação das equações.

130

0

50

100

150

200

250

300

0 50 100 150 200 250 300

Vn (kN)

V u (k

N)

L1

L2

L3

L4

L5

L6

L7

Média Aritmética (Vu/Vn) = 1,89Desvio Padrão (Vu/Vn) = 0,199Coef. de variação (Vu/Vn) = 10,5%

Figura 5.4 – Tensão atuante versus tensão resistente pelo FIP:1998

Tabela 5.15 – Cargas últimas de punção pelo EC2:2002

Laje Vc (kN)

Vcp (kN)

Vp (kN) β

Vn (kN)

Vu (kN)

Mu (kN.m) Vu/ Vn

L1 110,0 61,3 16,7 1,82 103,3 253,5 65,2 2,45

L2 109,4 57,6 15,4 2,02 90,3 237,0 75,0 2,62

L3 112,6 66,0 15,2 2,17 89,3 210,4 76,0 2,36

L4 110,8 64,5 16,8 2,42 79,4 183,5 79,7 2,31

L5 108,2 60,0 15,2 2,82 65,0 162,8 85,6 2,50

L6 110,7 60,7 18,7 2,97 64,0 134,0 82,2 2,09

L7 110,9 61,1 15,2 3,62 51,7 105,5 82,3 2,04

Obs: β(ACI) e β(NBR) obtidos por manipulação das equações.

131

0

50

100

150

200

250

300

0 50 100 150 200 250 300

Vn (kN)

V u (k

N)

L1

L2

L3

L4

L5

L6

L7

Média Aritmética (Vu/Vn) = 2,34Desvio Padrão (Vu/Vn) = 0,213Coef. de variação (Vu/Vn) = 9,1%

Figura 5.5 – Tensão atuante versus tensão resistente pelo EC2:2002

Tabela 5.16 – Cargas últimas de punção pela NBR 6118:2003

Laje Vc (kN)

Vcp (kN)

Vp (kN) β

Vn (kN)

Vu (kN)

Mu (kN.m) Vu/ Vn

L1 134,3 - 16,7 1,12 134,8 253,5 65,2 1,88

L2 133,5 - 15,4 1,28 116,3 237,0 75,0 2,04

L3 136,6 - 15,2 1,41 107,7 210,4 76,0 1,95

L4 134,9 - 16,8 1,62 93,6 183,5 79,7 1,96

L5 132,5 - 15,2 1,95 75,7 162,8 85,6 2,15

L6 135,1 - 18,7 2,08 73,9 134,0 82,2 1,81

L7 134,9 - 15,2 2,62 57,3 105,5 82,3 1,84

Obs: β(ACI) e β(NBR) obtidos por manipulação das equações.

132

0

50

100

150

200

250

300

0 50 100 150 200 250 300

Vn (kN)

V u (k

N)

L1

L2

L3

L4

L5

L6

L7

Média Aritmética (Vu/Vn) = 1,95Desvio Padrão (Vu/Vn) = 0,118Coef. de variação (Vu/Vn) = 6,1%

Figura 5.6 – Tensão atuante versus tensão resistente pela NBR 6118:2003

Verifica-se que o critério utilizado pelas normas de majorar o valor da carga atuante em

uma laje cogumelo protendida com pilar de extremidade é adequado, porém pode ser

revisto, pois leva a valores subestimados de resistência das lajes.

O FIP:1998 apresentou os melhores resultados em relação aos demais códigos analisados,

com uma média aritmética de Vu/Vn = 1,89 e coeficiente de variação de 10,5%.

Os ACI-318:2002 quando utilizado com todas as restrições prescritas de resistência do

concreto e tensão de compressão devido à protensão, apresentou uma média aritmética de

Vu/Vn = 2,01 e coeficiente de variação de 6,3% em relação às lajes ensaiadas.

Quando se utiliza o ACI-318:2002 sem levar em consideração as restrições impostas

descritas acima, Vu/Vn em média foi igual a 1,83 e apresentou um coeficiente de variação

de 7,0%.

Os resultados estimados pela NBR 6118:2003 são bons, e seriam ainda melhores se a

parcela de compressão no plano, Vcp, fosse considerada nos cálculos da resistência da laje à

133

punção. A NBR 6118:2003 apresentou uma média aritmética de Vu/Vn = 1,95 e coeficiente

de variação de 6,1%.

O EC2:2002 apresentou os piores resultados em relação às lajes ensaiadas, apresentando

uma média aritmética de Vu/Vn = 2,34 e um coeficiente de variação de 9,1%, podendo ser

atribuído pela limitação do coeficiente K na parcela Vc que é limitado a 2,0 e que não é

limitado para as normas NBR 6118:2003 e FIP:1998.

5.3 - COMPARAÇÃO ENTRE OS MODOS DE RUPTURA ESTIMADOS E

OBTIDOS EXPERIMENTALMENTE

Para a determinação do modo de ruptura da laje foi utilizado o cálculo apresentado pelo

FIP:1998 para a determinação de VPunção, e para a determinação do VFlexão foi utilizado o

equilíbrio das forças tal como sugerido pelo Professor Paul Regan e apresentado por Silva

(2005). A Figura 5.7 mostra o equilíbrio de forças considerado para a determinação do

VFlexão.

y = 0,8x Rc = 0,8 b x σc

Fs = ΣAs fy

Fp = ΣP

dp ds

σc = c1 c2 c3 fc = 0,95 fc

c1 = 1 (acréscimo da resistência do concreto após 28 dias);

c2 = 0,95 (a resistência em corpo de prova é superior a da peça estrutural);

c3 = 1 (efeito da carga de longa duração).

Figura 5.7 – Equilíbrio das forças da seção da laje na ruptura por flexão

Para a determinação da carga de ruptura de cada laje, foi considerado o peso próprio de

todos os equipamentos utilizados para aplicação de carga na laje e o peso próprio da laje. A

Tabela 5.17 apresenta valores para a relação M/V para as lajes ensaiadas, obtidas a partir

134

de uma reação unitária no pilar para cada laje, e observando-se as relações entre P1 e P2 de

cada caso. Esses momentos são calculados em relação à face do pilar.

Tabela 5.17 – Valores de M/V para cada ensaio

M/V (mm) M/V (mm)Momento perpendicular à extremidade Momento paralelo à extremidade

Face do pilar Face do pilarL1 ∞ 150 350L2 4 211 322L3 2 260 300L4 1 330 267L5 0,5 425 225L6 0,25 520 183L7 0 700 100

P1/P2Laje

VFlexão da laje, em cada direção, pode ser obtido dividindo-se o momento resistente da laje

pela relação M/V. A Tabela 5.18 apresenta os valores de VFlexão calculados para todas as

lajes ensaiadas, considerando uma faixa de 600 mm (FIP:1998) para a determinação do

momento resistente na direção perpendicular à extremidade e toda a largura da laje para a

determinação do momento resistente na direção paralela à extremidade. Esses momentos

resistentes são iguais a 65,1 kN.m na direção perpendicular à extremidade, e 65,7 kN.m na

direção paralela à extremidade.

Tabela 5.18 – Valores de VFlexão nas duas direções para cada relação P1/P2

Para M⊥ Para M║

L1 ∞ 434 193L2 4 309 210L3 2 250 225L4 1 197 253L5 0,5 153 300L6 0,25 125 369L7 0 93 675

VFlexão (kN) (FIP)LAJE P1/P2

135

A Figura 5.8 apresenta um gráfico da relação Vu/VPunção (FIP) versus a relação Vu/VFlexão

(FIP). O VPunção (FIP) foi obtido da Tabela 5.14 e o VFlexão (FIP) obtido da Tabela 5.18, que

representa em o modo de ruptura estimado usando os dados obtidos pelo FIP:1998.

L6

L7

L1

L2L3

L4

L5

0,00

0,50

1,00

1,50

2,00

2,50

0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50

Vu/VFlexão

V u/V

Punç

ão

Figura 5.8 – Modo de ruptura estimado das lajes ensaiadas

A partir dessa figura podem ser estimados os modos de ruptura das lajes. Esse

procedimento foi sugerido por Silva (2005).

Observa-se pela Figura 5.8 que as lajes L3 e L4 teriam modos de ruptura estimados como

punção, enquanto que as demais lajes apresentariam modo de ruptura por punção. A

Tabela 5.19 apresenta uma comparação entre os modos de ruptura estimados, utilizando o

FIP:1998 e os modos de ruptura obtidos nos ensaios.

136

Tabela 5.19 – Modo de ruptura estimado e de ensaio

VFlexão Modo de ruptura LAJE

Para M⊥ Para M║ VPunção Vu

Estimado Ensaio

L1 193,0 434,0 139,1 253,5 Punção Flexão/Punção

L2 210,0 309,0 118,0 237,0 Punção Flexão/Punção

L3 225,0 250,0 109,9 210,4 Punção Punção

L4 253,0 197,0 95,1 183,5 Punção Punção

L5 300,0 153,0 79,5 162,8 Punção Flexão/Punção

L6 369,0 125,0 75,7 134,0 Punção Flexão/Punção/Torção

L7 675,0 93,0 67,4 105,5 Punção Flexão/Torção

Observa-se na Tabela 5.19 que o modo de ruptura estimado foi diferente ao ocorrido nos

ensaios para todas as lajes. Isto se deve ao conservadorismo já detectado das estimativas de

ruptura por punção no item 5.1.

Já as lajes L3 e L4 tiveram nos ensaios exatamente o modo de ruptura estimado (punção).

Como visto no Capítulo 4, as lajes L1, L2, L3, L4 e L5 tiveram rupturas bruscas

características de ruptura de punção. A ruptura da laje L1 foi a mais brusca de todas as

lajes ensaiadas, apesar de grandes aberturas de fissuras observadas durante o ensaio e uma

considerável deformação da armadura de flexão.

Para a laje L6 o mesmo comentário feito para as lajes L1, L2 e L5 pode ser repetido,

caracterizando-se o fato de ter surgido claramente torção, o que o critério não prevê. Na

realidade o critério poderia ser estendido para a conclusão de torção.

A laje L7 foi a que mais se afastou da previsão inicial, devido a forte presença da torção.

Como visto para a laje L6, estimativas melhores deverão ser obtidas com a inclusão da

torção no critério de ruptura.

137

6 - CONCLUSÕES E SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS

6.1 - CONCLUSÕES

As conclusões apresentadas a seguir são baseadas em resultados de um pequeno número de

ensaios realizados com lajes cogumelo protendidas com pilares de extremidade. Foram

ensaiadas sete lajes cogumelo protendidas, simulando uma ligação laje-pilar de

extremidade, com nível de protensão e taxas de armadura aproximadamente iguais para

todas as lajes, com o objetivo de se avaliar o comportamento das lajes submetidas às

diversas combinações de momento fletor e esforço cortante aplicados às lajes.

Devido às diversas combinações de P1 e P2 utilizadas foi possível obter então várias

relações entre o momento fletor e o esforço cortante aplicado nas lajes, partindo de uma

relação Mu/Vu = 0,157 para a laje L1 e chegando a uma relação Mu/Vu = 0,681, para a laje

L7, em relação aos momentos desequilibrantes medidos na face do pilar, de tal forma que

foram obtidas rupturas variadas nas lajes ensaiadas. Esta variação da relação Mu/Vu

influenciou fortemente o comportamento das lajes em todos os aspectos analisados: carga e

modo de ruptura, fissuração, deformação da armadura e do concreto, variação da força de

protensão.

O aparato utilizado nos ensaios funcionou satisfatoriamente, seja para a aplicação e

medição do carregamento aplicado, para as medições das deformações e deslocamentos, e

para a leitura das células de carga dos cabos de protensão. Também funcionou muito bem o

sistema de aquisição utilizado pela primeira vez no laboratório de estruturas da UnB,

composto pelo sistema de aquisição de dados SPIDER 8 em conjunto com o programa

CATMAN 4.5. No entanto, recomenda-se que seja criada também uma restrição de

movimento do pilar em relação ao pórtico de ensaio (extremidade da laje), para que a laje

fique ainda mais estável durante a fase de acomodação nos estágios iniciais de

carregamento.

138

6.1.1 - Comportamento das lajes

Fissuração – As lajes não apresentaram um padrão único de fissuração, o que se justifica

pelas lajes terem sido carregadas com diversas combinações de cargas P1 e P2. Nas lajes L1

e L2, as fissuras iniciavam na região do pilar, e seguiram perpendicularmente em relação à

extremidade em direção ao ponto de carregamento P2, e posteriormente surgiram fissuras

circunferenciais, radiais e de torção próximas ao pilar. Nas lajes L3 e L4 as fissuras

também iniciaram na região do pilar e seguiram o padrão de fissuração observado por

Villaverde (2003), Alves (2002) e Corrêa (2001), com o aparecimento de fissuras radiais

em torno do pilar, com tendência de prosseguir até a extremidade da laje. As lajes L5 e L6

apresentaram um padrão semelhante à laje L4, mas com o aparecimento de um maior

número de fissuras de torção. A laje L7 teve um padrão de fissuração distinto de todas as

outras lajes, caracterizando uma fissuração de flexão, e com várias fissuras de torção

observadas na face superior e na extremidade da laje, fissuras essas com grandes aberturas

na ruptura.

Deformação da armadura – As barras paralelas à extremidade foram as mais solicitadas

e apresentaram deformação plástica excessiva nas lajes L1 e L2, como esperado em função

do carregamento. Nas lajes L3 e L4 nenhuma barra chegou a escoar durante o ensaio,

caracterizando comportamento típico de punção. Nas lajes L5, L6 e L7, verifica-se um

aumento das deformações das barras perpendiculares à extremidade da laje, o que era

esperado também em função do carregamento, e com as barras que atravessavam o pilar

apresentando as maiores deformações. A barra com o EA5 atingiu o escoamento nas lajes

L5 a L7.

Deformação do Concreto – Com exceção de uma laje (L6), as deformações medidas no

eixo do pilar, no centro da laje foram sempre superiores às obtidas na região do canto do

pilar. Observou-se uma descompressão nas lajes L4, L5 e L6, que chegou a se tornar

tração, provocada pelas fissuras de torção na laje. As deformações do concreto requerem

uma análise mais apurada que considere em detalhe a torção.

Protensão – De uma maneira geral observou-se que os cabos que tiveram maior variação

da força de protensão foram os cabos paralelos à extremidade e que passavam dentro do

pilar, principalmente nas lajes L1 e L2, que apresentaram acréscimos de 16% e 11%,

139

respectivamente. Recomenda-se inclusive, por segurança, que seja utilizada uma protensão

inferior, por exemplo, em 10%, nas lajes com transferência de momentos grandes na

direção paralela à extremidade, ou com relação Mu/Vu < 0,26.

Ruptura – As lajes L3 (Mu/Vu = 0,261) e L4 (Mu/Vu = 0,335) tiveram a ruptura definida

como punção, mais brusca, as aberturas das fissuras não foram grandes e a armadura

passiva não escoou. A ruptura das lajes L1 (Mu/Vu = 0,157), L2 (Mu/Vu = 0,216) e L5

(Mu/Vu = 0,426) foram definidas como flexão/punção, pois além dessas lajes terem

rompido por punção, a armadura passiva atingiu o escoamento e as fissuras de flexão

foram grandes. Já a laje L6 (Mu/Vu = 0,513) teve o modo de ruptura definido como

flexão/punção/torção, pois além da punção e de flexão, como observado nas lajes L1, L2 e

L5, verificou-se torção. O mecanismo de ruptura da laje L7 (Mu/Vu = 0,681) foi definido

como flexão/torção, o que ficou evidenciado com a configuração final da ruptura. Com

mais resultados deverá ser possível relacionar o tipo de ruptura obtido com a relação

Mu/Vu.

Estimativa do modo de ruptura - O procedimento sugerido pelo Professor Paul Regan e

apresentado por Silva (2005) para a determinação do modo de ruptura da laje, que utiliza

VPunção calculado pelo FIP:1998, apresentou bons resultados, apesar de sempre estimar a

ruptura por punção antes da de flexão, o que não aconteceu nos ensaios, indicando o

conservadorismo presente na formulação de punção. No entanto, a formulação deve ser

estendida para levar em conta a torção, de grande importância, por exemplo, nas lajes L6 e

L7 (Mu/Vu = 0,513, e 0,681, respectivamente).

6.1.2 - Comparação com as normas

Verifica-se que o critério utilizado pelas normas de majorar o valor da carga atuante de

uma laje cogumelo protendida com pilar de extremidade é adequado, porém pode ser

revisto, pois subestima a resistência das lajes.

O FIP:1998 apresentou os melhores resultados em relação aos demais códigos analisados,

com uma média aritmética de Vu/Vn = 1,89 e coeficiente de variação de 10,5%.

140

O procedimento utilizado pela NBR 6118:2003 para a determinação da resistência à

punção mostrou-se de uma maneira geral ser mais adequado do que o do EC2:2002. A

NBR 6118:2003 não considera a parcela da compressão do concreto devido à protensão e

com essa consideração o conservadorismo seria reduzido, e os melhores resultados seriam

obtidos entre as normas apresentadas.

O EC2:2002 apresentou os resultados mais conservadores para todas as lajes, apresentando

uma média aritmética de Vu/Vn = 2,34 e um coeficiente de variação de 9,1%. Tal

conservadorismo pode ser justificado pela limitação do termo K utilizado no cálculo da

resistência da laje (parcela Vc) e que é limitado a 2,0. Este termo não possui esta limitação

na NBR 6118:2003 e FIP:1998, apesar de ser calculado da mesma forma.

Na laje L5 o resultado do ACI-318:2002 não foi o mais conservador devido a essa laje ter

sido a mais espessa (h = 130 mm), o que acarretou uma altura útil maior pela norma, que

preconiza que seja utilizado no mínimo d = 0,8h. Como conseqüência, no caso de

cobrimentos maiores o ACI-318:2002 pode deixar de ser o mais conservador. Observou-se

também que sem atender as restrições de resistência do concreto (≤ 35 MPa), e de tensão

de compressão devido à protensão (≤ 3,5 MPa), o ACI apresenta bons resultados,

indicando que este conservadorismo pode ser eliminado. Resultados conservadores pelo

ACI foram também encontrados por Foutch, Gamble e Sunidja (1990), Gardner e Kallage

(1998) e Gardner e Sharifi (2000).

Os resultados estimados pela NBR 6118:2003 são bons, e seriam ainda melhores se a

parcela de compressão no plano, Vcp, fosse considerada nos cálculos da resistência da laje à

punção. A NBR 6118:2003 apresentou uma média aritmética de Vu/Vn = 1,95 e coeficiente

de variação de 6,1%.

A NBR 6118:2003 e o EC2:2002 apresentam algumas semelhanças e muitas diferenças: As

semelhanças são o perímetro de controle e o valor de β, coeficiente para levar em conta o

efeito da transmissão de momento entre a laje e o pilar. As diferenças estão na

determinação de Vc, tensão resistente de compressão diagonal do concreto no contorno do

pilar, quanto ao momento considerado, pois o EC2:2002 considera o momento total

enquanto que a NBR 6118:2003 considera um momento reduzido, igual ao momento total

141

subtraído do momento de cálculo resultante da excentricidade do perímetro crítico

reduzido em relação ao centro do pilar; e na determinação do Vp, pois a NBR 6118:2003

considera em cada direção os cabos que passam até d/2 da face do pilar, enquanto que o

EC2:2002 considera todos os cabos que passam no perímetro crítico.

6.2 - SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS

Com relação a novos ensaios a serem realizados em lajes com pilares de extremidade,

recomenda-se:

- Uso de cunha tri-partida ao invés da bi-partida, pois falhas em seu ajuste podem

acarretar rupturas dos cabos durante a protensão ou durante os ensaios;

- Substituição das células de carga dos cabos por células mais robustas para que os

resultados das leituras sejam ainda mais precisos.

- Utilização de mais medidores de deformação do concreto em torno do pilar, para

um melhor entendimento da torção nessa região;

- Restringir a rotação do conjunto laje-pilar no plano paralelo à extremidade

causada por eventual desequilíbrio entre as cargas P1 aplicadas sem controle

individual. Uma viga metálica colocada entre o pilar e o pórtico na posição do

tirante superior e um carregamento inicial do tirante poderiam resolver tanto este

problema como o da rotação do pilar pelo alongamento do tirante. A compressão

inicial da viga deve ser tal que a descompressão provocada pelo carregamento da

laje não elimine a compressão liberando a viga. De qualquer modo, a viga deve

ser fixada de modo a não cair, seja durante o ensaio ou durante a montagem;

- Marcação de fissuras na face inferior da laje, de modo a se avaliar a torção na

extremidade da laje;

142

- Utilização de placas finas associadas a placas de diversas espessuras para

preencher melhor o espaço criado pela reprotensão e assim diminuir a perda de

protensão na reprotensão;

- Análise da influência do momento fletor paralelo à extremidade, mesmo quando

equilibrado.

Sugestão da realização de mais ensaios em lajes cogumelo protendidas:

- Com pilares de extremidade, variando-se a taxa de armadura ativa e passiva, seção

do pilar, e aplicando-se momento desbalanceado em relação ao eixo perpendicular

à extremidade da laje. Deverá ser possível então relacionar o tipo de ruptura

obtido com a relação M/V;

- Com armadura de punção e / ou com furos próximos à face do pilar;

- Com pilares de canto e diversas combinações de cargas aplicadas e de taxas de

armadura ativa e passiva;

- Com armadura de combate ao colapso progressivo, atravessando o perímetro

crítico, para tentar preservar a laje após a ruptura por punção;

Realização de um estudo numérico em Elementos Finitos, para fazer uma comparação com

os resultados experimentais e para a realização de uma análise paramétrica.

143

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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structural concrete (ACI 318M-02) and commentary (ACI 318RM-02). Farmington

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Brasília, Faculdade de Tecnologia, Departamento de Engenharia Civil e Ambiental. Março,

2003.

147

ANEXO A

EQUAÇÕES PARA O CÁLCULO DA PARCELA Vp Neste anexo são apresentadas as diversas equações para o cálculo da parcela da carga

equilibrante ou de desvio, Vp, para facilitar a compreensão dos termos utilizados nas

normas utilizadas e mostrar que esta parcela pode ser calculada por qualquer método

prescrito nas normas ou pelas equações de Mitchell e Collins (1991), obtendo-se os

mesmos resultados.

Segundo Mitchell e Collins (1991) a parcela da carga equilibrante ou de desvio pode ser

calculada pela equação Vp = P/R, onde esta parcela é expressa em unidade de

comprimento. A Figura A.1 mostra o arranjo considerado por Mitchell e Collins (1991)

para o cálculo do Vp e as considerações iniciais para as normas NBR 6118:2003 e

FIP:1998, lembrando que para o FIP:1998 o termo sen(α/2) é substituído pelo termo

tan(α/2). O códigos ACI-318:2002 e o EC2:2002 não definem de que maneira a parcela

pode ser calculada.

P

Pcos( /2)α

Psen( /2)α

/2α

Psen( /2)

V

α

p

R = raio

α

pV = P/R

αPcos( /2)

P

L

comprimento)(Por unidade de

Figura A.1 – Parcela Vp por Michell e Collins

Para ângulos pequenos, podemos considerar que a tangente de um ângulo se aproxima do

seno deste ângulo, portanto, podemos utilizar tanto o termo tan(α/2) quanto o termo

148

sen(α/2) nas equações do FIP:1998 ou NBR 6118:2003, caso os ângulos de inclinação

sejam pequenos. Além da diferença entre os termos tan(α/2) e sen(α/2) do FIP:1998 e NBR

6118:2003, o ponto de consideração do ângulo é diferente, mas as deduções valem para as

duas normas.

Utilizando-se da Figura A.1 e considerando a somatória das forças verticais sendo igual a

zero, temos a seguinte equação:

pVsenP =

2.2 α A.1

Podemos afirmar pela Figura A.1 que:

RLsen 2/

2=

α A.2

Substituindo a Equação A.2 em A.1, temos:

RLPVp.

= A.3

Com isso, comprovamos que podemos utilizar a Equação A.3 e a Equação A.1 para o

cálculo da parcela da carga equilibrante Vp.

1c

do caboPonto de inflexão

Vp

β

Seção crítica parad/2a punção

2h

1l

Figura A.2 – Determinação de Vp – Mitchell e Collins (1991)

149

Mitchell e Collins (1991) apresentam também a Equação A.4, que pode ser usada para o

cálculo de Vp e que é função da distância horizontal e vertical do ponto máximo da curva

ao ponto de inflexão do cabo. Esta equação é baseada no esquema da Figura A.2.

( )( )dc

lhPVp +⋅

⋅⋅= 12

1

22β

(A.4)

Para determinarmos o raio da curva consideraremos a Figura A.2, que utiliza a equação do

círculo. Serão considerados os termos da equação A.4 no cálculo do raio da curva e a

equação do raio obtida será substituída por R na Equação A.3, comprovando a utilização

da Equação A.4 para o cálculo da parcela da carga equilibrante ou desvio dos cabos.

R

B

(0,0)

lβA

1

y

x

Ay

h2

Figura A.3 – Considerações para o cálculo do raio da curva dos cabos

Partindo do esquema da Figura 4.2, temos o seguinte sistema de equações considerando a

equação do círculo nos pontos A e B:

222

1 Ryl A =+β

(A.5) ( ) 22

220 RhyA =++

Considerando que R = yA + h2 e resolvendo o sistema de equações, obtém-se a Equação

A.6 que é a equação do raio da curva.

2

22

21

.2 hhlR +

=β (A.6)

150

Substituindo R na Equação A.3, obtém-se a seguinte expressão:

Lhl

hPVp ...2

22

21

2

+=

β (A.7)

Considerando o termo h2

2 muito pequeno em relação à βl1 e a distância L igual a c1+d

obtém-se a Equação A.8 que é a mesma sugerida por Mitchell e Collins (1991).

( )( )dc

lhPVp +⋅

⋅⋅= 12

1

22β

(A.8)

Pelo exposto acima fica claro que a parcela da carga equilibrante ou de desvio, Vp, pode

ser calculada por qualquer uma das equações apresentadas, obtendo-se os mesmos

resultados.

151

ANEXO B

EXEMPLO DE CÁLCULO DE RESISTÊNCIA À PUNÇÃO Neste anexo são apresentados os cálculos de resistência à punção de uma laje cogumelo

protendida com pilar de extremidade pelas normas apresentadas no Capítulo 2. Para os

cálculos de resistência última à punção foi escolhida laje L5.

Os dados para o cálculo da resistência da laje L5 são apresentados a seguir:

h = 130 mm

dmédio = 99 mm ; d (ACI) = 104 mm (0,8h);

dp,médio = 83 mm

c = 203 mm

fcj = 48,5 MPa

fctj = 3,8 MPa

fyd = 592 MPa

ρ = 0,53 % (NBR 6118:2003 e EC2:2002)

ρp = 0,36 % (NBR 6118:2003 e EC2:2002)

ρ = 0,57 % (FIP:1998)

ρp = 0,46 % (FIP:1998)

σcp = 3,58 MPa(1) (ACI-318:2002)

σcp = 8,84 MPa (2) (EC2:2002)

(1) Considerando a largura total da laje (2000 mm e 1200mm) e a média da protensão dos

cabos que passavam dentro do perímetro crítico nas duas direções (2 cabos na direção x e 4

cabos na direção y), no início do ensaio.

(2) Considerando a força dos cabos que passam pela seção crítica e a área da seção crítica

em cada direção, como recomenda o código.

152

B.1 - ACI-318:2002

Este cálculo não considera as restrições da norma em relação à resistência do concreto,

limitada a 35 MPa e a tensão de compressão do concreto devido à protensão, limitada a 3,5

MPa.

B.1.1 - Determinação da resistência efetiva

dbfV cpc .. 0'β=

d = 92 mm

d deve ser no mínimo 0,8h, portanto, d = 0,8*130 = 104 mm

+

=

=

≤

12

5,1.

29,0

0bd

sp αβ

αs = 30 para pilares de extremidade

;29,044,012

5,1817104.30

>=

+

=pβ βp = 0,29

b0 = 3.c + 2.d = 3 . 203 + 2 . (104) = 817 mm

kNVc 6,17110481748,50,29 =⋅⋅=

B.1.2 - Determinação da parcela Vp segundo Mitchell e Collins (1991)

As parcelas serão calculadas na direção paralela (direção x) e perpendicular (direção y) à

extremidade de acordo com as seguintes expressões:

).()(

..22

1

2, xxp L

lhPV

β= e ).(

)(..2

21

2, yyp L

lhPV

β=

153

onde:

Lx = comprimento horizontal da curvatura dos cabos dentro do perímetro crítico, na

direção x;

Ly = comprimento horizontal da curvatura dos cabos dentro do perímetro crítico, na

direção y

1c

do caboPonto de inflexão

Vp

β

Seção crítica parad/2a punção

2h

1l

Figura B.1 – Determinação de Vp – Mitchell e Collins (1991)

Direção x

βl1 = 300 mm

h2 = 2,69 mm

Px = 139,0 kN (Média da protensão antes da ruptura na direção x)

kNV xp 1,5)307(300

69,2)0,1392.(22, =⋅

⋅⋅=

Direção y

βl1 = 300 mm

h2 = 1,07 mm

154

Py = 135,6 kN (Média da protensão antes da ruptura na direção y)

kNV yp 3,3)255(300

07,1)6,1354.(22, =⋅

⋅⋅=

ypxpp VVV ,, +=

kNVp 4,8=

B.1.3 - Determinação da parcela Vcp, ou parcela de compressão no plano

Para este cálculo foi considerado toda a largura da laje, igual a bx = 2000 mm e by = 1200

mm.

dbfV pccp ...3,0 0=

fpc = 2,78 Mpa

104.817.78,2.3,0=cpV

kNVcp 9,70=

B.1.4 - Cálculo do coeficiente β

O ACI-318:2002 não apresenta o coeficiente β, mas por manipulações algébricas na

equação da tensão atuante podemos determinar facilmente este coeficiente para compará-lo

com as outras normas, tal como visto no Capítulo 2.

A relação M/V = 0,450 devido a relação P1/P2 permanecer constante durante todo o

ensaio, considerando o momento no centro de gravidade do perímetro crítico.

+=

cu

ABuv

JVdbcM 01

γβ

21 /)3/2(11

bbf+

=γ

155

mmdcb 2552/1042032/1 =+=+=

mmdcb 3071042032 =+=+=

62,0307/255)3/2(1

1=

+=fγ

38,062,01)1( =−=−= fv γγ

dbdbbdbcAB

21

11

).(22/)..(2

+=

mmcAB 80104.307)104.255.(22/255).104.255.(2

=+

=

22

21

1

31

31 )..(

2)...(2

12.

.212.

.2 ABABc cdbcbdbbddbJ +

−+

+

=

2233

80)104307(802

255)104255(212

255104.212

104255.2 ⋅⋅+

−⋅⋅⋅+

⋅+

⋅=cJ

4659227920mmJ c =

76,2659227920

10481780)1000*450,0(38,01 =

⋅⋅⋅⋅

+=β

B.1.5 - Determinação da carga de ruptura

( )pcpcn VVVV ++=β1

( )4,89,706,17176,21

++=nV

kNVn ⋅= 9,90

156

B.2 - NBR 6118:2003

B.2.1 - Determinação da resistência efetiva Vc

Para a determinação da resistência de uma laje cogumelo protendida com pilar de

extremidade a norma estabelece que devem ser feitas verificações de resistência no

perímetro c (contorno do pilar) e no perímetro c’ (perímetro crítico).

Perímetro c

Vc = 0,27.αv.fcd.(u0.d)

81,0250

5,481250

1 =

−=

−= ck

vf

α

u0 = 3 . c = 3.203 = 609 mm

Vc = 0,27 . 0,81 . 48,5 . 609 . 99

Vc = 639,5 kN

Perímetro c’

+= duf

dV ckc .*.)..100(201.13,0.4,1 3/1ρ

=⋅=⋅

≤≤5,1012035,0

5,148995,1.5,0.5,1cd

a a = 102 mm

u* = 2.a + c + π.(2.d) = 2 . 102 + 203 + 3,1415 . (2 . 99) = 1029 mm

⋅⋅⋅⋅

+= 991029)5,480053,0100(

9,9201.13,0.4,1 3/1

cV

Vc = 132,5 kN

Adotando o menor valor, temos que:

Vc = 132,5 kN

157

B.2.2 - Determinação da parcela da carga equilibrante Vp

Uma especial atenção foi tomada para obter os valores dos ângulos de inclinação dos

cabos, visto que os cabos não possuíam uma curvatura vertical em todo o perímetro crítico.

Os ângulos foram obtidos considerando a distância horizontal efetiva de inclinação dentro

do perímetro crítico. Como as distâncias horizontais eram pequenas, os ângulos tiveram

valores pequenos.

2P.sen

P.sen

P

α

2d

α

α2d

P.senα

P

α

Figura B.2 – Representação da carga equilibrante.(NBR 6118:2003)

αx = 1,04º

αy = 0,27º

Vp,x = 2 . nº cabosx . Px . sen(αx) = 2 . 2 . 139 . sen(1,04) = 10,1 kN

Vp,y = 2 . nº cabosx . Py . sen(αy) = 2 . 4 . 135,6 . sen(0,27) = 5,1 kN

Vp = Vp,x + Vp,y = 15,2 kN

B.2.3 - Cálculo do coeficiente β

+=

1

11 *1

pSd

Sd

WFuMK

β

u* = 1029 mm

158

K1 = 0,60 (Tabela)

12

221

21

1 8222

cdddccccWp ⋅⋅+⋅+⋅⋅++= π

2221 22294620399998992032203 mmWp =⋅⋅+⋅+⋅⋅+= π

212

2121

* 822

dcdcdccaacWp ⋅+⋅⋅+⋅⋅++−⋅= π

222

2* 212643998203992039922

203102102203 mmWp =⋅+⋅⋅+⋅⋅++−⋅= π

mmuW

e p 2071029

212643*

**

===

A relação MSd1/FSd = 0,342 devido a relação P1/P2 permanecer constante durante todo o

ensaio, considerando o momento no eixo do pilar menos o momento devido à

excentricidade do perímetro crítico.

95,1222946

1029)1000342,0(60,01 =

⋅⋅⋅

+=β

B.2.4 - Determinação da carga de ruptura

( )pcR VVP +=β1

( )2,155,13295,11

+=RP

kNPR ⋅= 7,75

159

B.3 - EC2:2002

B.3.1 - Determinação da resistência efetiva Vc

O código recomenda que sejam feitas verificações de resistência no contorno do pilar e no

perímetro crítico.

Contorno do Pilar

dufvV cdc ⋅⋅⋅⋅= 05,0

806,0250

5,481250

1 =

−=

−= ckfv

=⋅+=⋅+

≤

⋅+⋅+

≤mm

mmccdc

uyx

x

6092032203500993203

23

0

u0 = 500 mm

995005,48806,05,0 ⋅⋅⋅⋅=cV

kNVc ⋅= 5,967

Perímetro de controle

u1* = 1029 mm

dufKV ckc ⋅⋅⋅⋅⋅⋅= *1

3/1)100(18,0 ρ

0,22001 ≤

+=

dK

4213,2992001 =

+=K

, portanto K = 2.

991029)5,480053,0100(218,0 3/1 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=cV

kNVc ⋅= 2,108

160

Adotando o menor valor, temos:

kNVc ⋅= 2,108

B.3.2 - Determinação da parcela da carga equilibrante Vp

A norma não especifica a equação para o cálculo do Vp, mas como demonstrado no Anexo

A, podemos calcular por qualquer método, obtendo-se os mesmos valores. Para o exemplo

do EC2:2002 será apresentado a equação sugerida por Mitchell e Collins, considerando as

duas direções:

x

xxxp R

LPV ., =

e y

yyyp R

LPV

., =

kNV xp ⋅=⋅⋅

= 0,1016681

5991392,

kNV yp ⋅=⋅⋅

= 2,542007

4016,1354,

kNVVV ypxpp ⋅=+= 2,15,,

B.3.3 - Determinação da parcela Vcp, ou parcela de compressão no plano

Para este cálculo foram consideradas as larguras do perímetro crítico bx = 599 mm e by =

401 mm e os cabos que passavam dentro do perímetro crítico, tal como recomenda o

código.

dufV pccp ...1,0 *1=

fpc = 5,89 Mpa

99102989,51,0 ⋅⋅⋅=cpV

kNVcp ⋅= 0,60

161

B.3.4 - Cálculo do coeficiente β

+=

1

1.1Wu

VM

kEd

Edβ

u1 = 3 . c + π . 2d = 3 . 203 + π . 2 . 99 = 1231 mm

12

221

21

1 8222

cdddccccW ⋅⋅+⋅+⋅⋅++= π

2221 22294620399998992032203 mmW =⋅⋅+⋅+⋅⋅+= π

k = 0,60 (Tabela)

A relação M/V = 0,550 devido a relação P1/P2 permanecer constante durante todo o

ensaio, considerando o momento no eixo do pilar.

82,2222946

1231)1000550,0(60,01 =

⋅⋅

+=β

B.3.5 - Determinação da carga de ruptura

( )pcpcRd VVVV ++=β1

( )2,150,602,10882,21

++=RdV

kNVRd ⋅= 0,65

162

B.4 - FIP:1998

O cálculo da resistência da laje L5 pelo FIP:1998 foi feito utilizando-se da equação

apresentada pelo autor no Capítulo 2.

B.4.1 - Determinação da resistência efetiva Vc

[ ]dufV ckc ..).100(12,05,1 13/1ρξ⋅=

4213,22001 =

+=

dξ

u1 = 3 . c + π . 2d = 3 . 203 + π . 2 . 99 = 1231 mm

[ ]991231)5,480057,0100(4213,212,05,1 3/1 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=cV

kNVc ⋅= 7,160

B.4.2 - Determinação da parcela da carga equilibrante Vp

A equação para o cálculo do Vp pelo FIP:1998 é idêntico ao da NBR 6118:2003, apenas

trocando-se o termo sen(α) por tan(α), porém a NBR 6118:2003 considera a parcela Vp

apenas dos cabos que estão até h/2 da face do pilar. A parcela Vp desses cabos é

considerada a uma distância de 2d da face do pilar e o FIP:1998 considera os cabos que

atravessam o perímetro crítico afastado à h/2 da face do pilar.

αx = 0,58º

αy = 0,18º

Vp,x = 2 . nº cabosx . Px . tan(αx) = 2 . 2 . 139 . tan(0,58) = 5,6 kN

Vp,y = 2 . nº cabosx . Py . tan(αy) = 2 . 4 . 135,6 . tan(0,18) = 3,4 kN

Vp = Vp,x + Vp,y = 9,0 Kn

163

B.4.3 - Cálculo do coeficiente β

+=

1

1*1

1

wPuM

kuu

Sd

Sdβ

u1 = 1231 mm

u1* = 1029 mm

k = 0,60 (Tabela)

A relação M/V = 0,550 devido a relação P1/P2 permanecer constante durante todo o

ensaio, considerando o momento no eixo do pilar.

2221 22294620399998992032203 mmw =⋅⋅+⋅+⋅⋅+= π

02,3222946

1231)1000550,0(60,010291231

=

⋅⋅

⋅+=β

B.4.4 - Cálculo dos momentos de desprotensão m’po e m’pe nas duas direções

6 P cabos nº

6b

bP

cabos nº m (x) ,0(x)

2y

y

(x) ,0(x)po(x)

hhh

⋅⋅=⋅

⋅⋅

⋅=

6 P cabos nº

6b

bP

cabos nº m (y) ,0(y)

2x

x

(y) ,0(y)po(y)

hhh

⋅⋅=⋅

⋅⋅

⋅=

mkN.78,56

130 4,133 2 m po(x) ⋅=⋅⋅=

mkN.24,116

130 7,129 4 m po(y) ⋅=⋅⋅=

e⋅⋅= (x) ,0(x)pe(x) P cabos nºm'

e⋅⋅= (y) ,0(y)pe(y) P cabos nº m'

164

e = (dp – h/2)

dp = 83 mm

mkN.80,4)2/13083(133,4 2 m'pe(x) ⋅=−⋅⋅=

mkN.34,9)2/13083(7,291 4 m'pe(y) ⋅=−⋅⋅=

A equação do FIP:1998 que foi apresentada no Capítulo 2 pelo autor, foi desenvolvida para

que ficasse em função da relação V/m’. Esta relação foi obtida após análise da laje por

Elementos Finitos, aplicando-se uma carga unitária seguindo às relações P1/P2 de cada

ensaio. Os dados necessários para o cálculo da resistência à punção da laje L5 são

mostrados na Tabela B.1.

Tabela B.1 – Dados para o cálculo pelo FIP:1998 – Laje L5

Laje V/m’ (x) m’po (x) (kN.m)

m’pe (x) (kN.m) V/m’ (y)

m’po (y) (kN.m)

m'pe (y) (kN.m)

L5 5,70 5,78 4,80 3,36 11,24 9,34

( )

0''''

2''

2''

''''

''

''

2'

''2

''

'

2''

2''

''''

2'

''2

''

'

,,

,,0,,0,,

,,,

,0,

,0,

,,0,,0,,

,0,

,0,

23

=

+

+

++

−

−

+

+

+

+

+

+

+

+

++

+

+

++

+

+

+

−

yPexPeyx

c

xPeypyPexpyPexPe

yxp

xPex

yPey

cRk

ypyPe

y

xpxPe

xp

xPeypyPexpyPexPe

yx

Rk

pcyp

yPey

xpxPe

xRkRk

mmmV

mVV

mmmmmm

mV

mVV

mmVm

mVV

mm

mVm

mmVV

mmmmmm

mV

mV

V

VVm

mmVm

mmVVV

β

ββ

β

ββββ

(B.1)

Aplicando-se os valores da Tabela B.1, as parcelas Vp e Vc e o coeficiente β na Equação

B.1 temos a seguinte equação cúbica:

165

0170620-Vr14981+Vr400,6-Vr3,02 23 =⋅⋅⋅

Resolvendo a equação cúbica temos as seguintes raízes:

VR1 = 24,1 kN

VR2 = 29,7 kN

VR3 = 78,8 kN

Verifica-se que as raízes VR1 e VR2 não expressam a ordem de grandeza da resistência da

laje, portanto a resistência à punção da laje L5 calculada pelo FIP:1998 vale:

VR = 78,8 kN

B.4.5 - Cálculo da parcela da descompressão, Vcp

A parcela da descompressão está embutida na Equação B.1, portanto o cálculo da parcela

da descompressão pode ser calculado utilizando a seguinte equação:

cpRcp VVVV −⋅−⋅= ββ

7,1600,902,38,7802,3 −⋅−⋅=cpV

kNVcp ⋅= 1,50

166

ANEXO C

CÁLCULO DO MÓDULO DE RESISTÊNCIA PLÁSTICA W1 Neste anexo são apresentados os cálculos para a determinação do módulo de resistência

plástica W1, considerando uma laje cogumelo com pilares internos e com pilares de

extremidade.

As normas EC2:2001, NBR:2003 e FIP:1998 consideram o módulo de resistência plástica

para a determinação do coeficiente de redução da resistência efetiva, porém fornecem

apenas a equação de W1 para lajes cogumelo com pilares internos. Para o cálculo de W1 as

normas fornecem a seguinte equação:

∫= 1

01

udlew (C.1)

onde:

dl = comprimento infinitesimal do perímetro crítico u1;

e = distância de dl ao eixo em que atua o momento MSd.

A seguir é mostrado que não há a necessidade de se usar a Equação C.1, pois com cálculos

simples podemos demonstrar a equação para o cálculo de W1 fornecida pelas normas para

lajes cogumelo com pilares internos e seguindo o mesmo critério, podemos demonstrar a

equação para lajes cogumelo com pilares de extremidade.

Para a demonstração do cálculo de W1 para lajes cogumelo com pilares internos e de

extremidade consideraremos a Figura A.1, que mostra os perímetros de controle divididos

em segmentos A, B e C.

167

Eixo

c1/4

xcc1/2

B

2dc1/2

A

C

A

c1/2

c1/2

c1/4

Eixo

xc

B

B

C2d

Figura C.1 – Perímetros de controle considerados

O valor de W para cada segmento será calculado apenas multiplicando-se o comprimento

de cada segmento pelo centro de gravidade de cada segmento em relação ao eixo que passa

no centro do pilar.

Pilar interno

CBA WWWW ⋅+⋅+⋅= 2441 (C.2)

2424

2111 cccWA =

⋅⋅=

21

11 162)2(222

)2(422

)2(4 ddcdcdxcdW cB +=

⋅

+⋅⋅

⋅=

+⋅

⋅⋅= π

πππ

2211

2 422

2 dcccdccWC +=

+⋅⋅=

21221

21

1 16242

ddcdccccW ++++= π (C.3)

168

Pilar de extremidade

CBA WWWW +⋅+⋅= 241 (C.4)

2424

2111 cccWA =

⋅⋅=

21

11 8)2(222

)2(422

)2(2 ddcdcdxcdW cB +=

⋅

+⋅⋅

⋅=

+⋅

⋅⋅= π

πππ

dcccdccWC 2211

2 22

22

+=

+⋅=

12

221

21

1 8222

dcddccccW π++++= (C.5)

169

ANEXO D

PERFIL DOS CABOS DAS LAJES ENSAIADAS A seguir são apresentados os perfis dos cabos observados para as lajes ensaiadas e que

foram utilizados para o cálculo da parcela devido à curvatura vertical dos cabos (Vp). A

Figura D.1 e a Figura D.2 apresentam os perfis as variáveis observadas. As variáveis estão

consolidadas na Tabela D.1.

Figura D.1 – Cabos perpendiculares à extremidade

Figura D.2 – Cabos paralelos à extremidade

Tabela D.1 – Dados dos perfis dos cabos

LAJE A (mm) B (mm) C (mm) D (mm) L1 92 76 95 79 L2 92 76 92 76 L3 94 78 94 78 L4 93 77 96 80 L5 91 75 94 78 L6 92 76 95 79 L7 93 77 96 80

Laje Pilar

120

200 650 350

C A 62

B

50 50 250 600

D 62 A B

200

60