Qualificação-1

5/28/2018 Qualificao-1

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Universidade Federal de Uberlndia

Coordenao do Programa de Ps Graduao emEngenharia Mecnica

Relatr io de Qual i f icao

Otimizao Robusta Multiobjetivo para o

Projeto de Sistemas de Engenharia

Autor: Fernando Ricardo MoreiraOrientador: Prof. Dr. Valder Steffen JrCo-Orientador: Prof. Dr. Fran Srgio Lobato

Relatrio a ser apresentado Universidade Federal de Uberlndia como parte dos requisitos paraobteno do ttulo de Doutor em Engenharia Mecnica.


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Otimizao Robusta Multiobjetivo para o Projeto de Sistemas de Engenharia

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Otimizao Robusta Multiobjetivo

para o Projeto de Sistemas de

Engenharia

Relatrio a ser apresentado ao Programa de Ps-graduaoem Engenharia Mecnica da Universidade Federal deUberlndia, como parte dos requisitos para obteno dottulo de DOUTOR EM ENGENHARIA MECNICA.

rea de Concentrao: Mecnica dos Slidos e Vibraes.

Orientador: Prof. Dr. Valder Steffen Jr.Co-Orientador: Prof. Dr. Fran Srgio Lobato

_______________________________ ____________________________________Orientado: Fernando Ricardo Moreira Co-Orientador: Prof. Dr. Fran Srgio Lobato

______________________________________Orientador: Prof. Dr. Valder Steffen Jr.

UBERLNDIA - MG


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Sumrio

Resumo ............................................................................................................................................. 4

1 Introduo ...................................................................................................................................... 5

2 Otimizao Multiobjetivo .............................................................................................................. 7

3 Otimizao Robusta ..................................................................................................................... 10

3.1 Medidas de Robustez ............................................................................................................ 12

3.1.1 Estimativa para Medidas de Robustez ........................................................................... 12

3.2 Definio de Soluo para um Problema Multiobjetivo Robusto ....................................... 13

4 Algoritmo de Otimizao baseado em Colnia de Vagalumes ................................................... 15

4.1 O Algoritmo FireFly ..................................................................................................... 16

5 Problemas Testes ......................................................................................................................... 18

6 Resultados da Simulao ............................................................................................................ 19

6.1 Resultados do Problema (1) .......................................................................................... 21

6.2 Resultados do Problema (2) ......................................................................................... 22

6.2 Resultados do Problema (3) .......................................................................................... 24

7 Objetivos da Tese ........................................................................................................................ 26

7.1 Objetivo Geral .............................................................................................................. 26

7.2 Objetivos Especficos ................................................................................................... 26

8 Sntese dos Principais Resultados Obtidos at o Momento ......................................................... 279 Dificuldades Encontradas ............................................................................................................ 27

10 Etapas Desenvolvidas e Cronograma Atualizado ..................................................................... 28

10.1 Etapas Desenvolvidas ................................................................................................. 28

10.2 Cronograma Atualizado das Etapas a serem Desenvolvidas ...................................... 29

Referncias Bibliogrficas ............................................................................................................. 31

Apndice ......................................................................................................................................... 34

Apndice AEtapas e Cronograma originais do Plano de Tese ....................................... 34


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Resumo

A otimizao est presente nas mais diversas reas e aparece com frequncia nos problemas mais

variados de engenharia. medida que o conhecimento matemtico foi sendo aprimorado

(ferramentas tericas) e a disponibilidade e qualidade de recursos computacionais (ferramentas

numricas) aumentou, ento, paralelamente, a complexidade de problemas de otimizao

possveis de serem considerados tambm evoluiu. A necessidade do atendimento de vrios

objetivos simultaneamente levou a comunidade acadmica a estender conceitos e definir outros

referentes otimizao mono-objetivo, criando assim uma teoria consistente para problemas de

otimizao multiobjetivos. Porm, natural pensar que uma soluo terica, na grande maioria

dos casos, no possa ser implementada na prtica devido existncia de tolerncias de fabricao

ou devido impreciso de atuadores (caso de sistemas controlados), por exemplo. Assim, caso os

objetivos sejam muito sensveis em torno da soluo terica, prefervel uma soluo sub-timaestvel em detrimento de uma soluo que, apesar de tima, instvel. Assim, a otimizao

robusta multiobjetivo representa atualmente um papel fundamental na rea de otimizao de

projetos em engenharia, pois de grande importncia considerar imprecises nas variveis de

projeto e nos parmetros associados aos objetivos pretendidos. Sendo assim, faz-se necessrio um

amplo estudo das estratgias de incorporar e medir as incertezas associadas s variveis e

parmetros, alm do desenvolvimento de uma ferramenta computacional que seja capaz de

resolver problemas de otimizao multiobjetivos robustos.

Palavras ChaveOtimizao Multiobjetivo Robusta, Hipercubo Latino, Vagalumes.


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1Introduo

A origem de problemas de otimizao muito remota e anterior ao desenvolvimento de

ferramentas computacionais e matemticas para a sua resoluo. Podemos citar como exemplo o

problema de se encontrar qual a maior rea que pode ser cercada por uma conhecida quantidade

de corda (Problema da Princesa Dido). Na obra Eneida de Viglio, encontramos uma referncia

a este problema: No sculo IX antes de Cristo, a princesa fencia Dido, chegando s terras do

norte da frica junto com seu irmo Pigmalio, fizeram um acordo com os habitantes locais. Ao

querer a princesa Dido comprar terra para se estabelecer com seu povo, o rei daquele lugar

somente lhe permitiu comprar a parcela de terra que poderia ser cercada pela pele de um touro.

Neste caso, a princesa Dido cortou a pele em pequenas tiras formando uma larga corda (entre

1000 a 2000 metros) e a disps de maneira que cobrisse a maior parte de terreno possvel.... A

rea que a princesa cercou tinha o formato de um crculo. Em 1870, o matemtico K. Weirstrass

apresentou uma soluo para o problema baseando-se no Clculo Variacional (Moreira; Saldanha

(1993); Figueiredo (1989)). Outro problema bastante interessante que tambm envolve

otimizao o Problema da Braquistcrona, do grego brakhisto (o mais curto) e chronos

(tempo). O problema consiste em encontrar qual a trajetria que uma partcula deve percorrer

com o menor tempo possvel sendo conhecidos os pontos de sada e chegada, com velocidade

inicial nula, sem atrito e sujeita apenas a ao da gravidade (Bennaton (2001)).

medida que foram sendo desenvolvidas as ferramentas matemticas e com o aumento

da popularidade das tcnicas computacionais, aumentou tambm a complexidade dos problemas

de otimizao possveis de serem considerados. Quando atacamos um problema real em

engenharia lidamos com muitas variveis de projeto, vrias restries tecnolgicas e/ou

econmicas e, na maioria das vezes, com mltiplos objetivos. Deve ser salientado que a extenso

do conceito de timo para o caso multiobjetivo no trivial e, ao contrrio do caso mono-

objetivo, onde h apenas um timo global, em problemas multiobjetivos h uma curva contendo

solues possveis, denominada curva de Pareto, formada pelas solues no dominadas ou no

inferiores do problema. Alm da convergncia de um algoritmo, meta comum nos casos mono emultiobjetivo, uma meta especfica para o caso multiobjetivo a diversidade das solues. Os

pontos da Curva de Pareto devem estar bem espaados (diversidade) para facilitar a escolha de

uma soluo adequada, pelo responsvel pela tomada de decises.

Do ponto de vista prtico, existem alguns problemas que dificultam a identificao de um

timo para o problema de otimizao, como por exemplo, multimodalidade das funes


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objetivos. Uma questo interessante surge quando se deseja encontrar um ponto no espao de

projeto com uma alta preciso. Neste caso alguns pontos podem ser ressaltados

(Leidemer(2009)):

a) Mesmo que o timo verdadeiro seja localizado, talvez nunca possa ser possvelimplement-lo na prtica, pois existem incertezas associadas ao processo de construoou at mesmo por se exigir um alto grau de preciso na fabricao, esta pode ser

demasiadamente cara, portanto economicamente invivel;

b) A formulao do problema de otimizao inerentemente esttica. A realidade essencialmente dinmica. Neste contexto, o problema pode estar associado flutuao de

parmetros ambientais como temperatura, velocidade do vento, umidade ou mesmo pode

haver desgaste de alguns componentes.

Diante do exposto, os sistemas a serem otimizados podem ser bastante sensveis a

pequenas alteraes das variveis de projeto e assim pequenas variaes nas variveis de projeto

podem causar enormes variaes dos objetivos (Leidemer (2009)), conforme argumentado

anteriormente. Portanto, faz-se necessrio encontrar uma metodologia que produza solues que

sejam pouco sensveis a pequenas variaes no projeto. Solues com esta caracterstica so

chamadas de robustas e o procedimento para encontrar tais solues denominado Otimizao

Robusta. O apelo para a otimizao robusta que suas solues e o desempenho dos resultados

(funes objetivos) permaneam relativamente sem mudanas quando expostas a certascondies de incerteza. A Otimizao Robusta tem suas razes na engenharia, sendo diretamente

relacionado ao nome G. Taguchi, que considerado o precursor desta rea (Taguchi (1984)).

Com o advento de computadores de alta velocidade e devido ao crescimento exponencial da taxa

FLOPS (Floating Point Operations Per Second), a otimizao de projetos robustos tem atrado

crescente interesse nos ltimos anos. Reflexo disto uma edio da ASME Journal of

Mechanical Design, inteiramente devotada a projetos robustos e tambm um artigo de Park et

al.(2006) e Beyer; Sendhoff (2007).

Este trabalho surge naturalmente como consequncia das atividades de pesquisa na rea

de Otimizao de Projetos Mecnicos desenvolvidas na Faculdade de Engenharia Mecnica da

UFU. Os trabalhos que possuem maior afinidade com a atual proposta so apresentados a seguir

em ordem cronolgica. Saramago (1998) foi a pioneira entre os alunos da FEMEC da rea de

otimizao e estudou a otimizao de trajetrias de robs manipuladores.


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Assis (1999) estudou tcnicas mono e multiobjetivo aplicadas ao projeto e identificao de

parmetros de mquinas rotativas. Butkewitsch (1998) apresentou um estudo, por mtodos

clssicos, da otimizao de componentes automotivos. Braga (1998), em sua dissertao, utilizou

a heurstica Algoritmos Genticos para resoluo de problemas mono-objetivo em engenharia.

Oliveira (2005) realizou um estudo terico de tcnicas, no baseadas no conceito de dominncia,de resoluo de problemas de otimizao multiobjetivo. Santos (2007) estudou sobre o

planejamento da trajetria de robs atravs de elementos de dinmica, controle e otimizao.

Lima (2007) usou o algoritmo NSGA II (Nondominated Sorti ng i n Genetic A lgori thms

(Srinivas;Deb, 1994))para a otimizao multiobjetivo robusta de sistemas mecnicos na presena

de amortecimento viscoeltico. Lobato (2008) apresentou na sua tese o desenvolvimento de um

algoritmo multiobjetivo baseado na heurstica Evoluo Diferencial e realizou um estudo em

aplicaes matemticas e nas engenharias mecnica e qumica. Viana (2008) desenvolveu, em

ambiente Matlab, o pacote Simple Optimization Toobox com tcnicas de metamodelagem

aplicadas a problemas de otimizao. Borges (2008) usou tcnicas de otimizao robusta no

estudo sobre absorvedores dinmicos de vibraes.

A presente proposta de trabalho tem por principal objetivo o desenvolvimento de uma

ferramenta baseada em populao que seja capaz de produzir solues timas do ponto de vista

multiobjetivo e que sejam tambm robustas, isto , imunes a pequenas perturbaes dos

objetivos, das variveis de projeto e tambm imunes a violao das restries.

2Otimi zao Multi objetivo

Esta seo tem por finalidade a descrio do Problema de Otimizao Multiobjetivo (POMO)

(multicritrios ou otimizao vetorial) (Schaffer (1984); Deb (2001); Babu et al. (2005); Lobato

(2008)). Este surge naturalmente em aplicaes reais devido crescente necessidade do mercado

na busca de solues que atendam a mais de um objetivo simultaneamente. Estes so

inerentemente constitudos por sistemas de equaes algbricas e/ou diferenciais.

Quando lidamos com o problema multiobjetivo, fazem-se necessrias algumasobservaes:

i . Em problemas mono-objetivos o timo um ponto do espao de projetos queminimizam (ou maximizam) a funo objetivo. No POMO, a soluo do problema

uma superfcie. Alm disso, geralmente, os objetivos considerados so


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conflitantes, isto , a melhora em um objetivo pode acarretar na piora de outro

(Deb (2001)).

i i . Em problemas mono-objetivos existe o valor timo global. J no POMO, o timoglobal contm um conjunto de solues que, do ponto de vista matemtico, so

igualmente timas e que visam preservar a diversidade de solues, sendo que no possvel dizer que uma soluo melhor que outra. Este conjunto de pontos que

formam a soluo do POMO denominado de Curva (Frente) de Pareto.

Na literatura, diferentemente no que acontece em problemas mono-objetivo, no h um

consenso sobre o conceito de timo para um POMO, o que dificulta a comparao de resultados

de um mtodo para outro. A noo de timo para POMO devida a um economista ingls

Francis Ysidro Edgeworth (Edgeworth, 1881) e posteriormente aprimorada por outro economista,

mas agora italiano, Vilfredo Pareto (Pareto(1986)). A noo de timo segundo Edgeworth-Pareto

que um ponto para estar na soluo de um POMO deve satisfazer a condio de que nenhum

critrio utilizado pode melhorar a soluo sem piorar pelo menos outro critrio. Hoje em dia o

postulado de Edgewort-Pareto mais conhecido na literatura por postulado de Pareto e fornece

para o POMO no uma nica soluo, mas uma superfcie (curva) que contm as solues

denominadas no dominadas ou no inferiores.

No que diz respeito s metodologias para a obteno de solues em POMO, assim como

no caso mono-objetivo, os mtodos determinsticos e mtodos heursticos so os empregados. Nafigura 2.1 abaixo esto listadas as principais tcnicas determinsticas e heursticas da literatura.

Figura 2.1Mtodos de Otimizao Clssicos e Heursticos (Reproduzida de Viana, 2008).


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Os mtodos determinsticos so mtodos de busca ponto-a-ponto e por isto no possvel

obter a soluo de um POMO em apenas uma nica execuo. Alm disso, aplicaes sucessivas

de mtodos determinsticos no garantem uma boa aproximao da soluo e nem tampouco a

diversidade das solues. Assim, os mtodos heursticos, que trabalham com uma populao de

pontos, consistem em metodologias mais apropriadas na resoluo do POMO, pois podemalcanar a soluo em uma nica execuo (Deb, 2001).

O pioneiro na implementao de um algoritmo multiobjetivo foi Schaffer (1984), que em

sua tese de doutorado, utilizou a heurstica Algoritmos Genticos no contexto multiobjetivo.

Aps este trabalho, vrios outros tm sido publicados com o intuito de fornecer novas tcnicas de

resoluo do POMO e tambm na aplicao das tcnicas emergentes a problemas nas mais

diversas reas do conhecimento. Vrios pesquisadores tm se empenhado na publicao de

trabalhos sobre otimizao multiobjetivo, dentre os quais se podem citar: Osyzka (1984) uma

referncia clssica quando se trata de otimizao multicritrio. Em sua obra so tratados

problemas multiobjetivo aplicados engenharia e com programas na linguagem Fortran. Deb

(2001) realiza, em seu livro, um estudo de otimizao multiobjetivo utilizando conceitos de

otimizao evolutiva. Coelho (2004) utiliza a otimizao multiobjetivo na otimizao de projetos

mecnicos. Fang et al. (2005) realizam um estudo comparativo de mtodos de meta-modelagem

para problemas multiobjetivo de resistncia coliso. Lobato (2008) utilizou um algoritmo

multiobjetivo envolvendo a heurstica Evoluo Diferencial para a soluo de problemas de

projeto de sistemas em engenharia.

No contexto multiobjetivo, cabe ressaltar algumas diferenas (Deb (2001)):

Em um problema mono-objetivo a meta encontrar uma nica soluo doproblema de otimizao. Em um multiobjetivo a meta encontrar um conjunto de

pontos que formam a soluo do problema de otimizao multiobjetivo (curva de

Pareto), visando preservar a diversidade neste conjunto de pontos;

Na otimizao mono-objetivo trabalha-se apenas com o espao de projetos. Nocaso multiobjetivo trabalha-se simultaneamente com dois espaos: o de projetos eo de objetivos. Manter a diversidade de solues no espao de objetivos

fundamental para a qualidade de solues, pois ajuda na tomada de decises pela

melhor soluo. Outro detalhe importante que nem sempre possvel garantir

que a proximidade de solues no espao de projetos implique na proximidade de

solues no espao de objetivos.


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O problema de minimizao do vetor de objetivos no significa simplesmente aminimizao de cada uma das funes objetivo que compem o vetor de objetivos, pois em

muitas situaes os objetivos so conflitantes, isto , a melhora em um dos objetivos pode

acarretar na piora do valor de outros objetivos (Deb (2001)).

Conforme dissemos anteriormente existem duas metas em um algoritmo de otimizao

multiobjetivo: convergncia e diversidade. Os autores Deb (2001) e Zitzler et al. (2000)

propuseram mtricas para medir a convergncia e diversidade, respectivamente. As mtricas de

convergncia so bastante utilizadas para validar cdigos computacionais desenvolvidos, pois

medem a distncia entre o conjunto de solues obtidas pelo algoritmo e o conjunto de solues

analticas de um problema e as mtricas de diversidade so utilizadas para garantir um bom

espalhamento das solues e assim fornecer melhores condies para a escolha de uma soluo

particular.

3Otimizao Robusta

Em muitos problemas de otimizao, um ou mais objetivos podem ser sensveis a pequenas

variaes das variveis de projeto e/ou parmetros. Por exemplo, observe a figura 3.1 abaixo,

onde um caso mono-objetivo com apenas uma varivel considerada. Podemos observar que a

soluo tima global muito sensvel a pequenas perturbaes da varivel e que a soluo tima

local estvel no que diz respeito s perturbaes da varivel.

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.00.9

1.0

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

1.7

1.8

1.9

2.0

timo Global

f(x)

x

timo Local

Figura 3.1Soluo Robusta e Soluo Sensvel realizao de perturbaes.

Na prtica, natural que uma soluo de um problema de engenharia possa ser produzida

sob tolerncias de fabricao, pois ser muito exigente na preciso das variveis e/ou dos


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parmetros pode inviabilizar financeiramente ou tecnicamente um projeto. Neste contexto, obter

uma metodologia para resolver POMOs que sejam imunes a pequenas variaes das variveis de

projeto e dos parmetros se torna indispensvel para muitas situaes reais em engenharia. Um

POMO que objetive encontrar tais solues denominado Probl ema de Otimi zao

Mul tiobjetivo Robusto(POMOR).Segundo Paenk et. al (2006) de longe a maioria das atividades de pesquisa em otimizao

robusta se trata de problemas mono-objetivo. Tambm corrobora com esta afirmao um dos

pesquisadores com atividade reconhecida na rea de otimizao evolucionria multiobjetivo.

Deb; Gupta (2006) afirmam que, considerando o que conhecem sobre o tema, no h um estudo

sistemtico introduzindo robustez na otimizao multiobjetivo.

Para incorporar as incertezas ao problema de otimizao ordinrio, Taguchi (1984)

definiu algumas funes denominadas, por ele, de medidas de sinais de rudos. Basicamente estas

medidas so realizadas atravs de pequenas perturbaes em torno das variveis de projeto e/ou

parmetros e ento se calcula a mdia ou desvio padro dos objetivos aplicados nestas

perturbaes. Taguchi (1984) no utilizou nenhum procedimento automatizado para otimizar as

funes medidas de sinais de rudo, ao invs disto ele utilizou uma anlise estatstica sobre uma

matriz de experimentos para identificar qual era o melhor desempenho da funo objetivo. H

tambm uma forma de incorporar incertezas ao problema de otimizao denominada de

regularizao robusta. Esta metodologia consiste em considerar o mximo que o objetivo

assume sobre as variveis de projeto e/ou parmetros para ento, posteriormente, minimizar o

objetivo robustecido.

A metodologia de incorporao de incertezas (medidas de robustez) ao problema de

otimizao que mais comum na literatura consiste no clculo de integrais sobre os intervalos de

variao dos parmetros de incerteza e levam em conta a distribuio estatstica dos parmetros

de incerteza. Estas medidas so denominadas medidas de expectncia e de varincia (Deb;Gupta

(2006), Jin;Sendhoff (2003), Paenk et al. (2006)). Como afirmam Paenk et al. (2006), estas

medidas de robustez no podem ser calculadas analiticamente e alternativamente as medidaspodem ser estimadas atravs da amostragem de Monte Carlo (Metropolis; Ulam (1949)). Porm

o Mtodo de Monte Carlo padece do mal das dimenses, isto , se a quantidade de variveis de

projeto e de parmetros nos objetivos for grande, a estimativa das integrais pode ser

demasiadamente demorada e ento se faz necessrio a utilizao de uma tcnica de amostragem

mais eficiente no quesito tempo e que fornea uma boa estimativa para a integral. Segundo Paenk


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et al. (2006) um dos principais esforos de pesquisas em otimizao robusta est em reduzir o

esforo computacional na estimativa das medidas de robustez. Uma tcnica que tem sido

utilizada como alternativa ao mtodo de Monte Carlo o mtodo denominadoHipercubo Latino

(Viana et al. (2010)).

Sendo assim um dos principais esforos desta pesquisa em otimizao multiobjetivorobusta est na estimativa das medidas de robustez e tambm no entendimento da influncia

exercida pelos fatores de incerteza na obteno da curva de Pareto.

3.1Medidas de Robustez

Segundo Paenk et al. (2006) e Deb;Gupta (2006) as principais medidas de robustez so baseadas

no clculo de uma integral sobre os parmetros de incertezas associados s variveis de projeto e

aos parmetros dos objetivos. So comumente denominadas de medidas de expectncia, pois em

muitos casos atribui-se que os parmetros de incerteza seguem alguma distribuio conhecida.

Abaixo ser definida, via expresso matemtica, uma medida de robustez que ser utilizada em

simulaes futuras:

onde e o produto das distribuies estatsticas de cada um dosparmetros

.

Quando os parmetros de incerteza possuem distribuio uniforme sobre um intervalo

simtrico, a equao acima fica da seguinte forma:

onde . A funo definida pela equao (2) tambm denominada demdia efetiva ( ).

3.1.1Estimativa para a Medida de Robustez

Em vrias situaes reais a funo mdia efetiva, definida pela equao (2), no pode ser

calculada analiticamente, sendo ento, necessrio calcular uma estimativa para a integral acima.

Existem muitas tcnicas numricas para calcular uma estimativa para a integral dada pela

equao (2), como, por exemplo: frmulas de quadratura de Gauss, Regra dos Trapzios e Regras


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de Simpson. Porm todas carecem de se obter uma amostragem de pontos sobre o domnio de

integrao (a integral realizada sobre os parmetros de incerteza). Um fato importante que

quanto maior o nmero de amostras melhor a estimativa em qualquer mtodo de aproximao

de integrais, sendo que quando o nmero de amostras tende ao infinito o valor estimado tende ao

valor real da integral. inerente ao processo de otimizao robusta o aumento do nmero de avaliaes dos

objetivos, sendo assim, uma boa tcnica de amostragem no aquela que somente ajuda a estimar

a integral definida na equao (2), porm aquela que fornece amostras pequenas e que podem

ser utilizadas para estimar a mdia efetiva. Uma tcnica de amostragem bastante popular e ainda

muito utilizada o chamado Mtodo de Monte Carlo (Metropolis; Ulam (1949), Bauer (1958)).

Porm o Mtodo de Monte Carlo padece do mal das dimenses, isto , se tivermos variveis equisermos particionar o domnio de cada varivel em

intervalos, ento o Mtodo de Monte

Carlo amostrar pontos. Se ou for grande ento o nmero de amostras ser enorme. Ummtodo de amostragem, variante do Mtodo de Monte Carlo, que est sendo bastante utilizado

o mtodo denominado Hipercubo Latino (Viana (2008); Viana et al. (2010)). Este ltimo no

depende do nmero de variveis, mas somente do tamanho da amostra que deseja-se extrair. As

figuras 3.1.1 (a) e 3.1.1(b) exemplificam, para um caso com duas variveis, uma mostra do

Mtodo de Monte Carlo e outra do Hipercubo Latino.

(a) Mtodo Hipercubo Latino (b) Mtodo de Monte Carlo

Figura 3.1. Amostragem pelo Mtodo de Monte Carlo e pelo Hipercubo Latino (Reproduzidas de Paenk et al., 2006).

Neste trabalho ser usado o Mtodo Hipercubo Latino para amostrar os pontos e ento

estimar a medida de robustez mdia efetiva.

3.2Defi nio de Soluo para um Problema Multi objetivo Robusto

Nesta seo ser definida soluo multiobjetivo robusta. Inicialmente note que no faz sentido

considerar problemas de otimizao com restries de igualdade, pois pequenas perturbaes nas

variveis de projeto e/ou nos parmetros certamente violariam estas desigualdades.


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Definio 1Um ponto do espao de projetos chamado de soluo multi objetivo robustasefor uma soluo Pareto tima para o seguinte problema multiobjetivo de minimizao (definido

com respeito a uma -vizinhana de um ponto de projeto ): (3)Sujeito a

(4)onde a funo mdia efetiva calculada a partir do objetivo original ,as funes so as mdias efetivas das restries de desigualdade, e so as restries laterais que determinam um limite inferior e superior, respectivamente, para a i-

sima varivel de projeto.Note que se uma soluo multiobjetivo robusta, isto , satisfaz a definio acima, ento

menos sensvel a pequenas variaes das variveis de projeto e/ou dos parmetros e tambm se

mantm vivel mesmo efetuando pequenas perturbaes nos pontos de projetos e/ou nos

parmetros.

de se esperar a curva de Pareto para o problema robustecido, isto , para o problema

definido pelas equaes (3) e (4) possua piores valores dos objetivos quando comparados aos

objetivos originais, porm claro que a curva robusta deve estar prxima curva de Pareto

original para aquelas solues que forem pouco sensveis realizao de pequenas perturbaes.

A figura 3.2.1 abaixo mostra a comparao da sensibilidade dos objetivos numa pequena

vizinhana de duas solues:

Figura 3.2.1Sensibilidade de duas solues para um POMO (Reproduzido de Deb;Gupta, 2006)

Quando realizada a anlise da sensibilidade de todas solues de Pareto, podemos esperar

as seguintes situaes: (a) - A curva de Pareto original totalmente robusta, isto , todos pontos


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da curva de Pareto so pouco sensveis a pequenas perturbaes e (b) Uma parte dos pontos sobre

a curva de Pareto no pertencem curva robusta. A figura 3.2.2 abaixo retrata estas duas

situaes:

(a) Curva de Pareto Totalmente Robusta (b) Curva de Pareto Parcialmente Robusta

Figura 3.2.2 Curva de Pareto Robusta (Reproduzidas de Deb;Gupta, 2006).

4Algor i tmo de Otimizao Baseado em Colni a de Vagalumes

Os vagalumes so sem dvida um dos insetos mais fascinantes de toda a natureza. So insetos

noturnos da famlia Lampyridae (ordem Coleoptera) e so famosos por sua caracterstica

bioluminescente. Habitam principalmente as regies tropicais e temperadas e sua populao

composta por mais de 1900 espcies (Encyclopedia Britannica (2009)).

Baseado no comportamento destes insetos, Xin-She Yang (Yang (2008)) props, na

Universidade de Cambridge, um algoritmo heurstico de otimizao. Segundo Yang (2008), a

biologia ainda no possui um conhecimento completo de todas as utilidades que a luminescncia

pode trazer aos vagalumes, mas pelo menos trs funes j foram identificadas:

i . A luminescncia uma ferramenta de comunicao e de atrao parapotenciais parceiros de reproduo;

i i . Serve como isca para a atrao de alguma eventual presa;i i i .Tambm serve como um mecanismo de defesa, pois um sinal de alerta aos

predadores lembrando-os que os vagalumes possuem um sabor amargo.

O algoritmo Firefly (Firefly Algorithm - FA) baseado principalmente na primeira

caracterstica, isto , na atrao de parceiros para reproduo. Esta caracterstica vista em

algumas espcies de vagalumes, onde a taxa de intermitncia e a intensidade de cada flash parte

essencial do mecanismo de atrao do sexo oposto para acasalamento. Na maioria dos casos, as

fmeas que so atradas pelo brilho emitido pelos machos. Observa-se tambm que quando h


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uma grande quantidade de vagalumes numa mesma regio, ento h uma sincronizao na

emisso dos flashes, que torna evidente uma caracterstica de organizao emergente (Yang

(2008)). Mecanismos de comunicao via flashes luminescentes e sua sincronizao tem sido

emulados com sucesso e sido aplicados em vrios projetos de Rede Wireless (Leidenfrost;

Elmenreich (2008)), Dinmica de Preos de Mercado (Jumadinova; Dasgupta (2008)) e robticamvel (Krishnanand;Ghose (2006)). Lobato et al. (2011) utilizaram um algoritmo multiobjetivo

baseado em Colnia de Vagalumes no estudo do desempenho de hidrociclones usando a

metodologia de superfcie de resposta.

4.1O algori tmo Fir efly

Para a implementao do algoritmo FA, Yang (2008) definiu trs regras simplificadoras para o

delineamento da execuo do algoritmo, so elas:

Os vagalumes no possuem sexo, isto qualquer vagalume do enxame poder seratrado ou atrair;

A atratividade de um vagalume diretamente proporcional ao brilho emitido einversamente proporcional distncia entre os vagalumes (esta regra baseada no

comportamento real destes insetos);

O brilho emitido determinado em comparao com seu valor na funo objetivo,isto , quanto melhor avaliado maior ser o seu brilho.

Para entender o algoritmo FA deve-se compreender como se d a variao da intensidade

do brilho percebido pelo vagalume e como formulada a atratividade entre eles. Ainda segundo

Yang (2008), a atratividade de um vagalume determinada pela intensidade do brilho emitido

por ele, e esta intensidade funo de sua avaliao. Como a atratividade entre dois vagalumes

inversamente proporcional distncia entre eles, devemos escolher uma funo decrescente, em

relao distncia entre os vagalumes. Tem sido amplamente utilizada a seguintefuno

onde e so parmetros pr-determinados do algoritmo: atratividade mxima (quando egeralmente ) e coeficiente de absoro, respectivamente.

Para explorar eficazmente o espao de projetos, cada vagalume do enxame move-se

iterativamente de acordo com dois fatores:


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17

i . A atratividade de outros membros do enxame com maior intensidade de luzemitida que varia de acordo com a distncia;

i i . Um vetor de passo aleatrio.Assim, na

-sima iterao, a movimentao de um vagalume

em direo a um melhor

vagalume definida pela seguinte equao:

em que, o segundo termo da equao insere o fator de atratividade e o terceiro termo, reguladopelo parmetro , regula a insero de certa aleatoriedade no caminho percorrido pelo vagalumee um nmero aleatrio entre 0 e 1.

Tabela 4.1Pseudocdigo de Implementao do Algoritmo FAPseudocdigo para o Algoritmo FA

Dados de entrada:

, onde {funo custo} {espao de projeto} = tamanho da populao, e {parmetros do algoritmo}

Dado de sada:

Incio:

Para faa fim

Realizar

Para faaPara faaPara cada vagalume encontrar o vagalume mais atrativo baseado em

Calcular

fim

fimAt que algum critrio de parada seja satisfeito

Fim


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18

5Problemas Testes

Problema (1)A curva de Pareto deste problema similar ao caso descrito na figura 3.2.2 (a)

acima:

Sujeito a .onde

Aqui ser usado e . A soluo de Pareto formada pelos pontos por e todo valor de e, temos que, sobre a soluo temos que .Ento a curva de Pareto dada pela seguinte relao entre os objetivos: . Calculandoa mdia efetiva definida na equao (2), obtemos:

onde

Problema (2)A curva de Pareto deste problema similar figura 3.2.2(b). Este problema

similar ao problema (1), porm com e A fronteira de Pareto idntica a fronteirado problema (1) e as funes mdias efetivas tambm, lembrando da substituio dos valores dos

parmetros acima.

Problema (3) Neste problema aparece a figura das curvas de Pareto Local e Global. O

problema descrito a seguir.

Sujeito a .

onde


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19

Novamente a Fronteira de Pareto corresponde a . Neste caso, sobre afronteira, temos que . Como , a fronteira de Pareto Local eGlobal corresponde aos mnimos local e global, respectivamente, da funo . O grfico dafuno o grfico da figura 3.1, e os valores do mnimo local e mnimo global so 1,2 e0,9853, respectivamente.

Ento a relao existente entre os objetivos e a seguinte: (Pareto Global), Pareto Local

As funes mdias efetivas de cada um dos objetivos eso:

onde

Existem resultados matemticos que garantem a existncia da integral acima, porm no existe

primitiva, expressa em termos de funes conhecidas, para o integrando

. Assim, apesar da

forma simples da funo objetivo no possvel calcular, em termos de funes conhecidas, amdia efetiva definida pela equao (2), sendo que a mesma deve ser estimada por algum

processo de integrao numrica.

6Resultados da Simu lao

O objetivo central desta seo testar um algoritmo computacional, feito em ambiente MatLab

e que baseado no comportamento social de vagalumes. O algoritmo ser denominado por

MOFA (Mul tiobjective Optimization Fi refly Algori thm). Para isto definiremos trs problemas

testes com soluo (curva de Pareto) conhecida e cujas mdias efetivas dos objetivos podem ser

calculadas analiticamente. Temos, para cada um dos trs casos, a soluo analtica do problema.

Ento avaliaremos a questo da convergncia do algoritmo MOFA calculando uma mtrica de

convergncia denominada Convergncia Mtr ica(Deb, 2001). Para medir a diversidade tambm

calculamos uma mtrica de diversidade denominada Diversidade Mtr ica (Deb, 2001).


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20

A seguir sero apresentadas as frmulas matemticas para cada uma das mtricas que

foram utilizadas nas simulaes:

Convergncia Mtr ica (CM ) Esta mtrica calcula a mdia aritmtica das distncias

entre o conjunto de solues no dominadas obtidas e o conjunto de solues analticas. expressa atravs da frmula (Deb (2001)):

Onde a distncia euclidiana (no espao de objetivos) entre a soluo e a soluo de mais prxima. Isto

Quanto menor for o valor de CM melhor ser a convergncia do algoritmo.

Diversidade Mtr ica (DM)Esta uma mtrica proposta por Deb (2001) e tambm serve

para medir o espalhamento das solues no conjunto de solues obtidas pelo algoritmo. dada por:

Na frmula acima, e representam a distncia euclidiana entre as solues extremas dafronteira de Pareto e do conjunto de solues no dominadas . O nmero a distnciaentre a soluo

e o membro mais prximo da fronteira de Pareto

e

a mdia destas

distncias.

Os parmetros do algoritmo MOFA so: populao de vagalumes; nmero de geraesigual a ; coeficiente de absoro igual a e coeficiente de atratividade igual a ; nmero deamostras (para estimar a integral) iguais a . Para o caso nominal, isto , sem robustez sonecessrias 50 so dos objetivos na avaliao da populao inicial e depois so avaliaes emcada uma das geraes, como temos dois objetivos, o nmero de avaliaes do algoritmoMOFA

. Para o caso com robustez o nmero total de avaliaes

em cada gerao deve ser multiplicado pelo nmero de amostras, ento para o caso robusto o

nmero de avaliaes . Observamos ento que h umgrande acrscimo nas avaliaes dos objetivos para o problema robusto.

Cada um dos trs problemas foram simulados dez vezes e como semente inicial no

gerador de nmeros aleatrios do Matlab rand foi utilizado o vetor .Usamos apenas cinco variveis de projeto e os desvios, para cada varivel, definidos da seguinte


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21

forma , onde vamos variar os valores de , para os doisprimeiros problemas e , para o terceiro estudo de caso.

6.1Resul tados do Problema (1)

Inicialmente sero apresentados os resultados do problema (1) sem robustez. Em todassimulaes realizadas o algoritmo convergiu para soluo analtica do problema. Na Tabela 5.1.1

so apresentados os resultados das mtricas de convergncia e de diversidade bem como a curva

de Pareto analtica e os vagalumes da 250 gerao obtidos pelo algoritmo MOFA.

Figura 6.1.1Resultados do MOFA e Fronteira de Pareto analtica. Problema (1 e 2)

Tabela 6.1.2: CMConvergncia Mtrica e DMDiversidade MtricaCaso Nominal (1)Mtrica Simulaes

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10CM 0,003 0,003 0,003 0,002 0,004 0,002 0,002 0,003 0,002 0,003DM 0,855 0,975 0,806 0,828 0,812 0,640 0,938 0,810 0,872 1,021

Atravs de uma anlise desta tabela observado que a mtrica CM bem pequena. Esta

mtrica mede a distncia entre o conjunto soluo analtica (curva de Pareto original) e a curva de

solues no dominadas obtidas pelo algoritmo. Logo o algoritmo MOFA apresenta bons

resultados no que diz respeito convergncia neste estudo de caso, isto , em todas simulaes o

algoritmo convergiu para a Fronteira de Pareto.

Abaixo sero apresentados os resultados obtidos para a verso robusta do problema (1).

As curvas robustas para este caso tipificam o que foi descrito na figura 3.2.2(a), onde a curva de

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,70,8

0,9

1,0

f 2

f1

timo de ParetoMOFA


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22

Pareto permanece completamente robusta. Como so conhecidas as curvas robustas analticas,

podemos calcular a convergncia do algoritmo MOFA via mtrica de convergncia. Abaixo esto

os resultados das mtricas para alguns valores de e para cada uma das dez simulaes bemcomo os grficos mostrando as curvas robustas tericas e as curvas robustas obtidas pelo

algoritmo MOFA.

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,00,00

0,250,500,751,001,251,501,752,002,252,502,753,00

=0,007=0,008

=0,009

f2

f1

timo de Pareto(Nominal)

=0,01

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,00,0

0,30,60,91,21,51,82,12,42,73,0

=0,007

=0,009

=0,008

f2

f1

timo de Pareto (Nominal)

=0,01

Figura 6.1.3 - (a) Mdia efetiva terica

(efeito do parmetro ).Figura 6.1.3 - (b) Soluo robusta obtida peloalgoritmo MOFA (efeito do parmetro ).

Abaixo apresentada a tabela com os resultados obtidos para as mtricas, para cada uma

das dez simulaes e para os valores de descritos na figura acima.

Tabela 6.1.4: CMConvergncia Mtrica e DMDiversidade MtricaCaso Robusto (1) Mtrica Simulaes1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0,01 CM 0,003 0,003 0,002 0,002 0,004 0,003 0,002 0,002 0,001 0,003DM 0,844 0,871 0,868 0,817 0,823 0,828 0,926 0,868 0,741 0,803

0,009 CM 0,003 0,002 0,005 0,002 0,004 0,003 0,003 0,003 0,004 0,003DM 0,791 0,769 0,924 0,950 0,964 0,825 0,921 0,985 0,894 0,956

0,008 CM 0,002 0,002 0,003 0,003 0,003 0,001 0,002 0,004 0,003 0,003DM 0,832 0,879 0,838 0,945 1,067 0,989 0,856 0,972 0,940 0,859

0,007 CM 0,002 0,003 0,003 0,005 0,003 0,002 0,003 0,003 0,003 0,003DM 0,834 0,741 1,056 0,844 0,900 0,654 0,890 0,780 0,896 1,053

Observamos, tanto graficamente quanto na tabela, que o algoritmo MOFA convergiu, para

cada valor de , para a curva robusta terica.


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6.2Resul tados do Problema (2)

O problema (2) similar ao problema (1), muda somente o valor do parmetro que passa depara . Assim os resultados do caso nominal, so bastante parecidos e ser feita apenas a anlisepara o caso robusto. As curvas robustas tipificam o que foi descrito na figura 3.2.2(b), onde

apenas uma parte da fronteira de Pareto original permanece robusta. A seguir apresentada atabela com os resultados das mtricas para cada uma das dez execues do algoritmo bem como

grficos mostrando as curvas robustas tericas e as curvas robustas obtidas pelo algoritmo.

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,00,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

1,6

1,8

2,0

=0,004

=0,005

=0,006

f2

f1


=0,007

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,00,00,20,40,60,81,01,21,41,61,82,0

=0,004

=0,005=0,006

f2

f1


=0,007

Figura 6.2.1(a) Mdia efetiva terica (efeito do

parmetro ).Figura 6.2.1(b) Soluo robusta obtida pelo algoritmo

MOFA (efeito do parmetro ).

A Tabela 6.2.2 apresenta os resultados das mtricas de convergncia e de diversidade para

cada uma das dez simulaes.

Tabela 6.2.2: CMConvergncia Mtrica e DMDiversidade MtricaProblema (2) Mtrica Simulaes

1 2 3 4 5 6 7 8 9 100,004 CM 0,001 0,001 0,001 0,002 0,002 0,002 0,003 0,002 0,002 0,002

DM 0,849 0,816 0,808 1,038 0,847 0,889 0,814 0,823 0,863 0,9820,005 CM 0,001 0,001 0,001 0,001 0,001 0,001 0,001 0,001 0,001 0,001

DM 0,755 0,753 0,670 0,928 0,978 0,755 0,859 0,678 0,989 0,7880,006 CM 0,001 0,001 0,001 0,001 0,001 0,002 0,001 0,001 0,001 0,001

DM 0,718 0,827 0,745 0,733 0,656 0,989 0,744 0,833 0,767 0,6770,007 CM 0,001 0,001 0,001 0,002 0,001 0,001 0,001 0,001 0,001 0,001

DM 0,726 0,744 0,879 0,989 0,656 0,767 0,894 0,799 0,989 0,748

Neste caso possvel observar claramente que o algoritmo MOFA cumpre fielmente a tarefa de

buscar a soluo robusta dado um valor especfico de . Para todos os valores de dados e emtodas as dez execues do algoritmo, pode-se observar graficamente e pelos valores da mtrica

CM que o algoritmo converge em todos os casos.


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6.3Resul tados Problema (3)

Neste caso ser feita a anlise do problema nominal e do problema robusto. Aqui aparece a figura

da fronteira de Pareto Local. Assim este problema de grande interesse para a validao de uma

metodologia, pois pode mostrar que o algoritmo converge para a soluo Global e no para a

Local. A figura abaixo mostra as curvas de Pareto Global e Local, bem como os resultados deuma das simulaes do nosso algoritmo.

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

timo de Pareto (Global)timo de Pareto (Local)MOFA

f 2

f1

Figura 6.3.1 - Resultados do MOFA e Fronteira de Pareto analtica. Problema (3)

A Tabela 6.3.2 apresenta os resultados das mtricas CM e DM para cada uma das

simulaes.Tabela 6.3.2: CMConvergncia Mtrica e DMDiversidade MtricaProblema (3)

Mtrica Simulaes1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

CM 0,056 0,009 0,014 0,013 0,021 0,007 0,020 0,009 0,015 0,012DM 0,423 0,810 1,117 0,660 1,201 0,745 1,190 0,832 1,160 0,970

timo Local Global Global Global Global Global Global Global Global Global

Pode-se observar nesta tabela que em apenas uma das dez execues o algoritmo no

convergiu para a soluo global do problema nominal, caracterizando assim sua eficincia, pois,

em geral, os algoritmos tm dificuldade de driblarsolues locais. observado tambm que, no

caso da convergncia local, os valores tanto da mtrica CM quanto da mtrica de diversidade DM

no so satisfatrios quando comparados aos outros valores das mtricas.

Neste momento ser realizada a anlise do problema (3) com robustez associada. Abaixo

encontra-se a tabela com os valores das mtricas CM e DM para cada uma das dez simulaes e


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para cada um dos valores de dados e tambm h um grfico mostrando a convergncia doalgoritmo MOFA para cada um dos valores de .

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,00,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,41,6

1,8

2,0 Global (=0,05)

Local (=0,05)

timo Global (Nominal)

f 2

f1

timo Local (Nominal)

Global (=0,04)

Local (=0,04)

Global (=0,03)

Local (=0,03)

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,00,00,20,40,60,81,01,21,41,6

1,82,0

Global(=0,03)

Global(=0,05)

Global(=0,04)

f2

f1

timo Global (Nominal)

Figura 6.3.3(a) Mdia efetiva terica

(efeito do parmetro ).

Figura 6.3.3(b) Soluo robusta global obtida pelo

algoritmo MOFA (efeito do parmetro ).

Tabela 6.3.4: CMConvergncia Mtrica e DMDiversidade MtricaProblema (3) Robusto Mtrica Simulaes1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0,03 CM 0,007 0,006 0,006 0,005 0,006 0,006 0,004 0,007 0,005 0,005DM 0,772 0,819 0,946 0,901 1,062 0,838 1,329 0,703 0,793 0,903

timo Global Global Global Global Global Global Global Global Global Global0,04 CM 0,005 0,004 0,006 0,003 0,005 0,004 0,001 0,002 0,004 0,003

DM 0,905 0,765 0,888 0,876 0,874 0,915 0,875 0,985 0,577 0,751timo Global Global Global Global Global Global Global Global Global Global

0,05 CM 0,003 0,005 0,004 0,005 0,005 0,004 0,005 0,004 0,005 0,003

DM 0,878 0,951 0,885 0,951 0,889 0,844 0,781 0,998 0,778 0,985timo Global Global Global Global Global Global Global Global Global Global

Observa-se tanto pelas figuras 6.3.3(a) e 6.3.3(b) quanto pela tabela 6.3.4 que o algoritmo

converge, em todos os casos, para as curvas de Pareto globais. Assim o algoritmo mostra, mesmo

na existncia de curvas solues locais, que ele converge para a soluo global, isto , para a

curva de Pareto do Problema.

De forma geral constatado que a metodologia proposta e aplicada aos estudos de caso,

com diferentes graus de complexidade, pode ser usada para obter solues robustasmultiobjetivos em situaes reais da engenharia. Como proposta futura, sero realizadas

aplicaes em outros problemas matemticos com o objetivo de testar a metodologia para o caso

de problemas com restries. Por ltimo a metodologia desenvolvida em problemas

multiobjetivos de engenharia, tais como; estimao de coeficientes em problemas inversos de

transferncia radiativa e em problemas estruturais (vigas).


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7Objetivos da Tese

Nesta seo sero apresentados os objetivos a serem alcanados com esta proposta de tese.

7.1Objetivo Geral

A presente proposta de trabalho, de carter terico-computacional, tem por principal objetivo odesenvolvimento de uma ferramenta baseada em populao, e que seja capaz de produzir

solues timas do ponto de vista multiobjetivo que sejam tambm robustas, isto , imunes a

pequenas perturbaes dos objetivos, das variveis de projeto e tambm imunes a violao das

restries.

7.2Objetivos Especficos

Conforme foi citado anteriormente a grande maioria atividades de pesquisa em otimizao

robusta se concentram no campo mono-objetivo. Na literatura corrente, h sim trabalhos em

otimizao robusta multiobjetivo, porm, os autores no visam apresentar uma discusso ampla

sobre fatores como:

Definio de soluo multiobjetivo robusta; Aps amostrar uma perturbao das variveis de projeto e dos parmetros pelo

mtodo do Hipercubo Latino deve-se ter em mente qual a melhor forma de

aproximar as integrais que aparecem nas principais medidas de robustez;

Influncia das principais medidas de robustez sobre os objetivos originais; Caracterizao do tamanho da robustez induzida a partir das principais medidas

de robustez, pois se uma medida de robustez influencia muito no problema

original ento pode ser que a perda de qualidade seja muito significativa,

inviabilizando assim o projeto;

Entendimento da dualidade Robustez versus Otimalidade; Uma hiptese comum que os parmetros de incertezas possuem distribuio

normal com mdia zero e varincia conhecida, ento se faz necessrio entendera influncia do tamanho da varincia sobre a curva soluo de Pareto; Diferenas em supor que os parmetros de incerteza possuem distribuio normal

ou uniforme.

De acordo com o que foi exposto, tem-se tambm como proposta discutir e analisar de

forma minuciosa cada uma das situaes acima.


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8Sntese dos principais resul tados obtidos ato momento

Vamos apresentar a seguir quais foram os principais resultados, planejados no cronograma do

plano de tese, que foram obtidos at o momento.

Foi realizado de forma bem satisfatria um estudo terico e prtico das principaisheursticas que so utilizadas pela comunidade cientfica mundial. Estes estudosforam apresentados de forma oral e atravs de relatrios;

Foi obtido excelente entendimento dos principais mtodos clssicos de otimizao(formao geral do doutorando);

Foram realizados estudos tericos e prticos e relatrio sobre Caracterizao dePOMOs e das principais metodologias de resoluo;

Foram realizados estudos tericos e prticos e relatrio sobre as principaisestratgias de manipulao de restries;

Foi realizado amplo estudo e relatrio sobre caracterizao do POMOR e dasprincipais estratgias de robustecimento;

Foi desenvolvido um algoritmo para a resoluo de POMORs denominadoMOFA;

Foram realizadas simulaes do algoritmo desenvolvido para resoluo de trsproblemas matemticos com o intuito de validar o cdigo computacional

desenvolvido e tambm para ter uma melhor forma de abordar o problema

robusto.9Di fi culdades Encontradas

Abaixo listamos as principais dificuldades encontradas pelo doutorando para o desenvolvimento

das etapas listadas no plano de tese aprovado pelo Colegiado do Programa de Ps-Graduao em

Engenharia Mecnica da UFU.

Devido formao acadmica do doutorando (Bacharel e Mestre em Matemtica)foram encontradas grandes dificuldades na compreenso geral das heursticas

estudadas, pois no objeto de estudo dos matemticos;

O doutorando tinha uma boa base de otimizao, pois a rea de concentrao deseu mestrado, apesar disto no tinha conhecimento sobre otimizao multiobjetivo

e das principais caractersticas de problemas multiobjetivo, como por exemplo,

mtodos determinsticos no serem indicados para resoluo de POMOs e sim


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mtodos baseados em populao. Outro problema enfrentado pelo orientando foi

na extenso de alguns conceitos e na formalizao de outros especficos da

otimizao multiobjetivo; Apesar da rea de concentrao do meu mestrado ser em otimizao, sempre

trabalhei com problemas irrestritos e os simples problemas restritos que trabalheieram resolvidos atravs de Multiplicadores de Lagrange. Outra dificuldade

encontrada foi o entendimento das principais tcnicas de manipulao das

restries; Outra dificuldade encontrada a forma de estimar as principais medidas de

robustez encontradas na literatura. Inicialmente pensamos no Mtodo de Monte

Carlo para a amostragem, porm utilizamos o Hipercubo Latino e para a

aproximao da integral devemos definir qual o melhor mtodo, como por

exemplo: Regras de Simpson, Trapzios ou alguma outra frmula de quadratura; A maior dificuldade at o momento foi o desenvolvimento da ferramenta

computacionalpara resoluo de POMORs.

10Etapas Desenvolvidas e Cronograma atual izado

Nesta seo, as etapas desenvolvidas bem como as que sero desenvolvidas so apresentadas.

Alm disso, apresentado o cronograma de atividades atualizado, com as etapas a serem

desenvolvidas, para o desenvolvimento do plano de trabalho de tese aprovado pelo colegiado do

curso de Ps-Graduao em Engenharia Mecnica da UFU.

10.1Etapas Desenvolvidas

O projeto de Tese tem natureza terico-computacional, sendo que as seguintes etapas de sua

execuo j foram desenvolvidas:

A) Entendimento terico e prtico das principais heursticas existentes e/ou daquelasemergentes que esto consolidadas ou surgindo como estratgias eficientes para

problemas de otimizao global.

B) Caracterizao e tratamento do Problema de Otimizao Multiobjetivo (POMO),levando em considerao a modelagem matemtica em comparao com o caso onde

apenas uma varivel de projeto levada em considerao.

C) Tratamento das restries em um POMO.


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29

D) Caracterizao de um Problema de Otimizao MultiObjetivo Robusto (POMOR) edos meios de incorporao das incertezas nas funes objetivo (Estratgias de

Robustecimento).

E) Desenvolvimento de um algoritmo para resoluo de POMOR baseado nocomportamento social de insetos (MOFA).

F) Aplicao destes algoritmos a problemas matemticos com o intuito de validar oscdigos computacionais desenvolvidos e a forma de abordar os problemas de

otimizao robustos.

10.2Cronograma Atual izado das Etapas a serem desenvolvidas

Abaixo sero apresentadas as etapas a serem desenvolvidas bem como uma tabela contendo o

cronograma de execuo das etapas finais do plano de tese.

Etapas a serem desenvolvidas:

A Desenvolvimento e comparao de algoritmos para resoluo de Problemas de

Otimizao Multiobjetivos Robustos (POMOR) utilizando mtodos heursticos baseados em

estratgias evolutivas (GA e ED) e no comportamento social de insetos (MOFA). Para este fim

utilizaremos algoritmos j existentes na literatura como NSGA II (Nondominated Sorting in

Genetic Algorithms (Srinivas; Deb (1994)) e MODE (MultiObjective Diferencial Evolution

(Lobato (2008)), porm, acrescentaremos um operador que realizar o robustecimento dos

objetivos e das restries.

B Aplicao destes algoritmos a problemas matemticos com o intuito de validar a os

cdigos computacionais desenvolvidos e a forma de abordar os problemas de otimizao

robustos.

C Aplicao a problemas de engenharia, com a finalidade de consolidar a metodologia

proposta neste trabalho. Estas aplicaes se daro em problemas com modelagem conhecida, no

demandando assim, a utilizao de mtodos numricos para a modelagem dos mesmos. As

aplicaes sero realizadas em problemas estruturais (Vigas), Problemas Inversos (Estimao deCoeficientes em problemas de Transferncia de Calor, de Parmetros Radiativos e Trmicos).

DRedao da Tese


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Tabela 10.2.1Cronograma Atualizado para a Continuidade do Plano de Tese

Trimestre 2013 2014

Etapas 2 3 4 1 2

A X

B XC X X

D X X X


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Apndice A Etapas e Cronograma originais do Plano de Tese

A Entendimento terico e prtico das principais heursticas existentes e/ou daquelas emergentes que esto

consolidadas ou surgindo como estratgias eficientes para problemas de otimizao global.

B Caracterizao e tratamento do Problema de Otimizao Multi-Objetivo (POMO), levando em considerao a

modelagem matemtica em comparao com o caso onde apenas uma varivel de projeto levada em considerao.

CTratamento das restries em um POMO.

DCaracterizao de um Problema de Otimizao Multi-Objetivo Robusto (POMOR) e dos meios de incorporao

das incertezas nas funes objetivo (Estratgias de Robustecimento).

E Desenvolvimento e comparao de algoritmos para resoluo de POMOR utilizando mtodos heursticos

baseados em estratgias evolutivas (GA e ED) e no comportamento social de insetos (Vagalumes - FireFly). Para

este fim utilizaremos algoritmos j existentes na literatura como NSGA II (Nondominated Sorting in Genetic

Algorithms (Srinivas;Deb (1994)) e MODE (Multi-Objective Diferencial Evolution (Lobato (2008))), porm,

acrescentaremos um operador que realizar o robustecimento dos objetivos e das restries.

F Aplicao destes algoritmos a problemas matemticos com o intuito de validar a os cdigos computacionais

desenvolvidos e a forma de abordar os problemas de otimizao robustos.

G Aplicao a problemas de engenharia, com a finalidade de consolidar a metodologia proposta neste trabalho.

Estas aplicaes se daro em problemas com modelagem conhecida, no demandando assim, a utilizao de mtodos

numricos para a modelagem dos mesmos. As aplicaes sero realizadas em problemas estruturais (Vigas),

Problemas Inversos (Estimao de Coeficientes em problemas de Transferncia de Calor, de Parmetros Radiativos e

Trmicos).

HRedao da tese.

Cronograma Fsico da Execuo do Plano de Trabalho

Tabela Apndice ACronograma de Execuo das Atividades Propostas no Projeto.

Trimestre 2010 2011 2012 2013 2014

Etapas 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2

A X X X X

B X X X X

C X X X

D X X X XE X X X X

F X X X

G X X X

H X X X X

Documents

Qualificação-1