Quádricas

Carlos Vidigal

Superfícies Quádricas

Alguns tipos de

Superfícies Quádricas

Elipsóide

2 2 2

2 2 21

x y z

a b c

O traço nos planos coordenados são elipses, como também são elipses os traços em planos paralelos aos planos coordenados, que interceptam a superfície em mais de um ponto.

0, 0, 0para a b c

Hiperbolóide de uma folha

2 2 2

2 2 21

x y z

a b c

0, 0, 0para a b c

O traço no plano é uma elipse, como são os traços nos planos paralelos ao plano . Os traços nos planos e são hipérboles, bem como os traços nos planos paralelos a eles que não passam pelos interceptos e . Nestes interceptos, os traços são pares de retas concorrentes.

xy

xy yz xz

x y

Hiperbolóide de duas folha

2 2 2

2 2 21

x y z

a b c

0, 0, 0para a b c

Não há traço no plano . Em planos paralelos ao plano que interceptam a superfície em mais que um ponto os traços são elipses. Nos planos , e nos planos paralelos a eles que interceptam a superfície em mais de um ponto, os traços são hipérboles.

xyxy

xzyz

Cone Elíptico

2 22

2 2

x yz

a b

0, 0para a b

O traço no plano é um ponto (a origem) e os traços em planos paralelos ao plano são elipses. Os traços nos planos e são pares de retas que se interceptam na origem. Os traços em planos paralelos a estes são hipérboles.

xyxy

yz xy

Parabolóide elíptico

2 2

2 2

x yz

a b

0, 0para a b

O traço no plano é um ponto (a origem) e os traços em planos paralelos e acima dele são elipses. Os traços nos planos e , bem como em planos paralelos a eles são parábolas.

xy

yz xy

Parabolóide Hiperbólico

2 2

2 2

y xz

b a

0, 0para a b

O traço no plano é um par de retas que se cruzam na origem. Os traços em planos paralelos ao plano são hipérboles. As hipérboles acima do plano abrem se na direção de e as abaixo na direção de .Os traços nos planos e são parábolas, assim como os traços nos planos paralelos a estes.

xy

xyxy y

x yz xz

Técnicas para identificar Superfícies Quádricas

Equações Características Classificação

Nenhum sinal de menos. Elipsóide

Um sinal de menos. Hiperbolóide de uma folha

Dois sinais de menos. Hiperbolóide de duas folha

Nenhum termo linear. Cone elíptico

Um termo linear; dois termos quadráticos com o mesmo sinal.

Parabolóide elíptico

Um termo linear; dois termos quadráticos com sinais opostos.

Parabolóide hiperbólico

2 2 2

2 2 21

x y z

a b c

2 2 2

2 2 21

x y z

a b c

2 2 2

2 2 21

z x y

c a b

2 2

2 20

y xz

b a

2 2

2 20

x yz

a b

2 22

2 20

x yz

a b

Quádricas

Quádricas

Quádricas

Quádricas

Quádricas