Concurseiros nota 10 Preparatrio para Concursos / Fone: (55) 3312 6204cMatemtica: SlidosGeomtricos1(MACK-SP)Determineo nmerode vrtices de um poliedro que temtrs faces triangulares,uma face quadrangular,uma pentagonale duas hexagonais.A 2(UnB-DF) Qual o nmerode lados das faces de um poliedro regularcom 20 vrtices e 30 arestas?Em questes comoa 3, a resposta dada pela somados nmerosque identificamas alternativascorretas.3(UFSC) Dado o poliedro regular, corretoafirmar:(01) um tetraedro.(08) Obedece relao de Euler.(02) um octaedro.(16) Suas faces so tringuloseqilteros.(04)Todas as arestasso iguais.(32) Tem 12 arestas.

4(Faap-SP) Num poliedro convexo, o nmerode arestasexcede o nmerode vrtices em 6 unidades.Calcule o nmerode faces.5(PUC-RS)Um poliedro convexo tem cinco faces triangularese trs pentagonais.O nmerode arestase o nmerode vrtices desse poliedro so, respectivamente:a)30 e 40c) 30 e 8 e) 15 e 9b)30 e 24 d)15 e 256uma publicao cientfica de 1985, foi divulgada a descoberta de umamolculatridimensionalde carbono, na qual os tomos ocupam os vrtices de um poliedro convexo cujas faces so 12 pentgonos e 20 hexgonos regulares,como numabola de futebol. Em homenagemao arquitetonorte-americanoBuckminsterFuller, a molculafoi denominadafulereno.Determineo nmerode tomos de carbono nessa molcula e o nmerode ligaes entreeles.7(UFPel-RS)Quando Joo entrouna sala do professor, fez umaobservao sobre a beleza do objeto de vidro que estava sobre os papis do mestre.Este, no resistindo tentaode proporumproblema, caractersticado matemtico,apresentouao alunoa seguintequesto: Calcule o nmerode arestase de vrtices deste peso de papel, que umpoliedro convexo de 6 (seis) faces quadrangularese 2 (duas) hexagonais.1Responda questo proposta no texto acima.8Um poliedro convexo temcomo faces 2 hexgonos regularese 6 quadrados.Sabendo que todasas arestasdesse poliedro medema, determinea rea total da superfcie dessepoliedro.6a1 2Sb9Sabendo que as arestasmedem 4 cm cada uma, determinea rea totalda superfcie dos seguintespoliedros:a) hexaedroregularb) icosaedroregular10 (Fuvest-SP) O nmerode faces triangularesde umapirmide 11. Pode-se, ento, afirmar que essa pirmide possui:a)33 vrtices e 22 arestasc) 22 vrtices e 11 arestase) 12 vrtices e 22 arestasb)12 vrtices e 11 arestasd)11 vrtices e 22 arestas11 (Cesgranrio-RJ) Um poliedro convexo formado por quatrofaces triangulares,duas faces quadrangularese umaface hexagonal. O nmerode vrtices desse poliedro :a)6 c) 8 e) 10b)7 d)912 (PUC-PR)Um poliedro convexo temsete faces. De um dos seus vrtices partemseis arestase de cada um dos vrtices restantespartemtrs arestas.Quantas arestastemesse poliedro?a)8 c) 12e) 16 b)10 d)1413 (UFPE) Uma formiga (ignore seu tamanho)encontra-seno vrtice A do paraleleppedo retoilustrado ao lado. Qual a menordistnciaque ela precisa percorrerpara chegarao vrtice B (caminhandosobre a superfcie do paraleleppedo)?14(UFPA) Num prismaregularde base hexagonal, a rea lateral mede 36 m2 e a altura 3 m. A aresta da base :a)2 mc) 6 me) 10 m b)4 md)8 m 15 (UFC) As dimenses de um paraleleppedo retnguloso proporcionaisa 3, 5 e 7. Sabendo que adiagonal mede4 83cm, calcule o volume do paraleleppedo.16 (FGV-SP) Um arquitetotem dois projetos para construode uma piscina retangularcom 1 m de profundidade:Projeto 1: dimenses do retngulo:16 m 3 25 mProjeto 2: dimenses do retngulo:10 m 3 40 mSabendo que as paredes lateraise o fundo so revestidos de azulejos cujo preo R$ 10,00 o metro quadrado:a) qual a despesa com azulejos em cada projeto?R$ b)se a rea do retngulofor de 400 m2e x uma de suas dimenses, expresse o custo dos azulejos em funo de x.400 x17 Uma barra de chocolatetem o formato da figura ao lado. Calcule o volumede chocolatecontido nessa barra.Use 1,73=1,73.83,04 18 (UEPG-PR) As medidas internasde uma caixa-dgua em forma de paraleleppedo retnguloso:1,2 m, 1 m e 0,7 m. Sua capacidade de:a)8 400 litros c) 840 e) n.d.a.b)84 l i t r o s d)8,4 19 (Unesp-SP) Area da superfcie da Terra estimadaem 510 000 000 km2. Por outrolado, estima- se que, se todo o vapor de gua da atmosfera terrestrefosse condensado, o volume de lquido resultanteseria de 13 000 km3. Imaginandoque toda essa gua fosse colocada no interiorde um paraleleppedo retngulo,cuja rea da base fosse a mesmada superfcie da Terra, a medida que mais se aproxima da alturaque o nvel da gua alcanaria :a)2,54 mmc) 25,4 cme) 0,254 kmb)2,54 cmd)2,54 m20(UnB-DF) A figura ao lado ilustraalguns degraus de uma escada de concreto.Cada degrau um prismatriangularreto de dimenses 15 cm, 30 cm e 60 cm. Se a escada tem20 degraus, qual o volume (em decmetroscbicos) do concreto usado para30 cmcmconstruira escada?270 d21(UFPel-RS) De um reservatriode forma cbica cheio de gua foram retirados2 dessa gua.Verificando-se que houve umavariao de 5 cm no nvel do lquido, calcule quantomede a aresta internadacaixa-reservatrio. 22(FCMSC-SP)Dispondo de umafolha de cartolinamedindo 50 cm de comprimentopor 30 cm de largura,pode-se construiruma caixa aberta cortando-seum quadradode 8 cm de lado em cada cantoda folha (ver figura ao lado).cm30 cmQual ser o volume dessa caixa, em centmetros cbicos?808 50 cm23(Vunesp-SP) Calcule o volume de ar contido em um galpo com a forma eas dimenses dadas pela figura. 384 3 m 5 m8 m

24(UENF-RJ)Na construode um hangar,com a forma de um paraleleppedo retngulo,que possa abrigar um Airbus, foram consideradas as medidas apresentadasabaixo.Airbus A3XX-100ENVERGADURA COMPRIMENTO E ALTURA TOTAL-----------79,8 m--------24,1 metros73 metrosCalcule o volume mnimodesse hangar.(AdaptadoVeja, 14/6/2000) 25(ITA-SP) Uma pirmide regulartem por base um quadrado de lado 2 cm. Sabe-se que as faces formam com a base ngulos de 45. Calcular a razo entrea rea da base e a rea lateral. 26 (PUC-BA)A aresta de um tetraedroregularmede 4 cm. Sua rea total, em centmetros quadrados, :27(UFOP-MG)A figura ao lado mostraduas pirmides regularescujas bases coincidem com duas faces de um cubo de aresta a. Sabe-se que as alturasdas pirmides so iguais diagonal do cubo. Determinea rea totaldo slido formado pelas pirmides e o cubo.28(Unifor-CE) A aresta da base de uma pirmideregularhexagonal mede 4 cm. Qual o volume dessa pirmide,se sua alturamede6 3cm ?a)432 cm3 c)286 cm3 e)132 cm3b)392 cm3 d)144 cm3:p29(FUC-MT)Determineo volume de umapirmide cuja planificao : 163 222 22 30(UFPA) Uma pirmide triangularregulartem 9 cm3 de volume e4 3cmde altura.Qual a medida de aresta da base?a) 2cmc)2 2cm e)cmb)3 cm d)Resoluo:cmV5 1 S ?h3b95 1 S4 3 S 93 cm23b b4Sb5 3 2 5 9 3 cm31(UFRN) Uma pirmide regulartem base quadradainscritaem um crculode raio 8 cm e seu aptema igual ao semipermetroda base. Calcular o volumeda pirmide. 512 303Resoluo: 25 16a hr 85 8 2a5 4?8 2O282cma 25 h21 a5 16 2cm16 2 h21 42 5 4 30cmV5 1 S ?h3b5 1 82 ? 4 30 V 5512 30332(MACK-SP)Uma pirmide,cuja base um quadradode lado 2a, temo mesmo volume que um prisma, cuja base um quadradode lado a. Determinea razo entreas alturasda pirmide e do prisma. 34Resoluo:Vpirmide 1 Smidepirmide4a 2Vpirmide 5)pirmide irmide 5 hpirmideVprismaSbmaprismaVprismaa isma)(I)5 (II):4 a 2? h3midea 2? hmarmiderisma 3 0322 2233(Unicamp-SP) Dado um cubo de aresta , qual o volume do octaedrocujos vrtices so os centrosdas faces do cubo?Resoluo:3 2EMhaCSejam:a 5 medida da aresta do octaedroo5 volume do octaedrop5 volume da pirmidequadrangularregularcuja aresta da base mede aO EMC retngulo:(EC)25 (ME)2 1 (MC)2a 25 1 a5 24 4 2h5 a5 2 2 5 2 2 2 2V5 2V V5 2? 1 2 V o po3 2 2o634(Vunesp-SP) Em cada um dos vrtices de um cubo de madeira se recortauma pirmideAMNP, em que M, N e P so os pontosmdios das arestas, comoM Pse mostrana ilustrao.Se V o volume do cubo, o volume do poliedro que Aresta ao retiraras 8 pirmides igual a:Na) 1 Vc)2b) 3 Vd)4Resoluo:VVVV5 a 3a5 3 Vdamidetiradatem S25 1? a a ae h5b2 2 2 8 2 11 a 2

aa 3 aVpir5?h5b3 5 (II)482 a 2Substituindo(I) em (II), temos:33Vpir55 V48aComo o volume do cubo V , e o volume de cada pirmide V , o volume48do poliedro ser: 8? V 5Vpol5 V 8VpirV2 5 V6

2 235(PUC-RS)Em uma pirmidequadrangularregular,a seco feita a 3 dm do vrtice temrea igual a45 dm2. Calcular o volume da pirmide,sabendo que a sua altura de 6 dm.Resoluo:360 dm3 b 5 dBh2 45 35 180 dm2V5 13?hV5 1 180? 65 360 dm336(PUC-SP) Um troncode pirmide de bases quadradas tem2 814 cm3 de volume. A alturado troncomede 18 cm e o lado do quadradoda base maior mede 20 cm. Ento, o lado do quadradoda base menormede:a)8 cmc) 3 cme) 14 cm b)6 cmd) 12 cmResoluo: kVT 51b1 bB 5 2025 400b5 25 400 cm22 8145-4001400222 1 20 2 695 0Portanto,5 3 cm. 5 35 223 (no convm)37Uma frma de gelo, como a da figura abaixo, tema forma de troncode pirmide,de bases retangulares,com as medidas indicadas.cma)Qual a quantidadede gua, em mililitros,necessria para encher3 cmcompletamenteessa frma de gelo? 28,62 mb)Sabendo-se que, ao congelar, o volume de gua aumentaem 8%,1,8 cmqual o volume de gelo que teremosaps o congelamento?30,91 cm33 cmResoluo:a)V h B1b bh5 3 cm B 5 4,5?3,25 14,4 cm2 5 3? 1,85 5,4 cm2V5 3 14,413V5 28,62 cm314,4?5,428,62 m5, 4b)V 5 1,08 VV 5 1,08?28,62V 5 30,91 cm3

22p.10838Uma bobina de papel para a fabricao de jornal tem a forma cilndrica. Sabendo que essa bobina tem102 cm de dimetropor 137 cm de comprimento,qual a quantidademnima(rea) de papel utilizado paraembalar cada um desses rolos cilndricos? (Use 5 3,14.)Resoluo:6,02 m2102r r 137 5 102 r 5 51 cmt 5 2r(h 1 r)t 5 2 ? 3,14 ? 51 (137 1 51)t 5 60 212,64 cm St 6,02 m39(ITA-SP) Num cilindro circularreto,sabe-se que a alturah e o raio da base r so tais que os nmeros, h, r formam, nessa ordem,umaPA de soma 6. O valor da rea totaldesse cilindro :a)3 c)153 e)303b)23 d)203Resoluo:)1 h1 r5 61 r5 5h2 5 r2 h 2 r5 Resolvendo o sistema,temos: h5 2 5 3St 5 2r (h1 r)St23 (21 3) St3040(UFLA-MG)Um retngulode lados a e b, girando em tornode b, gera um bcilindro de volume 324 cm3 e, girando em tornode a, gera outrocilindro devolume de 144 cm3. Calcule os valores de a e b.Resoluo:15 b)(a 5 9 cm e b 5 4 cma a25 aCilindro 1: h15 aCilindro 2: bh25 bV 5 ? r2? h 1445 b2? aab25 1441 1 1V5 ? r2? h 3245 a 2? b 2? b5 324b5324)2 2(II) em (I): a? 144 35 7295 9 cm9b25 144b5 4 cm

A222SSB2S241Um prismaregularhexagonal de altura15 cm e aresta da base medindo20 cm apresentaum furo cilndricocujo raio 8 cm. Sendo 2,5 g/cm3 adensidade do material,determinea massa, em quilogramas,desse slido.(Use 5 3,14 e3Resoluo:1,73.)31,39 kgVprismaSb5 6?2315sma15 570 cm3VcilindroSb5 ?8 15ndro3 014 cm (aprox.)Vslido15 5702 3 014lido12 556 cmm5 d? V m5 2,53 12 556 5 31,39 kg42(FGV-SP) Um produto embalado em recipientescom formato de cilindrosretos.O cilindro A temaltura20 cm e raio da base 5 cm.O cilindro B temaltura10 cm e raio da base 10 cm.a)Em qual das duas embalagens gasta-se menosmaterial?Ab)O produtoembalado no cilindro A vendido a R$ 4,00 a unidade, e o do cilindro B a R$ 7,00 a unidade.Para o consumidor,qual a embalagem mais vantajosa?Resoluo:a)Cilindro A: h 5 20 cm; r 5 5 cmClculo dos volumes:5 2rh Cilindro A: VA? 52 ? 20 V 500 cm35 2 ? 5 ? 20 S 200 cm2 Cilindro B: VB ? 102 ? 10 V000 cm3Sb 5 rSb 5 ? 5 b 5 25 cmClculo do preo de cada centmetrocbico doproduto(em reais):4 8St 5 S 1 2SbEmbalagem A: PA25500000St 5 200 1 2 ? 25 St5 250 cmCilindro B: h 5 10 cm; r 5 10 cmEmbalagem B: PB50005 2 ? 10 ? 10 S 200 cm2Logo, para o consumidora embalagem B maisSb 5 ? 10b 100 cm2vantajosa.St 5 200 1 2 ? 100 St5 400 cmGasta-se menosmaterialna embalagem A.43(PUCC-SP)Uma piscina circulartem5 m de dimetro.Um produtoqumico deve ser misturado gua na razo de 25 g por 500 de gua. Se a piscina tem 1,6 m de profundidadee est totalmente cheia, quantodo produto deve ser misturado gua? (Use 5 3,1.)a)1,45 kg c) 1,65 kg e) 1,85 kg b)1,55 kg d) 1,75 kgResoluo:V 5 r2h ? (2,5)2 ? 1,6 5 31V 5 31 m3 5 31 000 dm3 5 31 000 Mistura-se 25 g por 500 :x 5 310005005 1 550 5 1 550 g5 1,55 kg

2244Atira-se uma pedra em um vaso cilndricode 1,2 m de dimetroda base, parcialmentecheio de gua.Determineo volume da pedra se, em conseqnciada imerso, a gua elevou-se 0,54 m.Resoluo:0,61 m3r5 1,225 0,6 m; h5 0,54 mO volume da pedra igual ao volume de gua deslocada. Logo: V 5 ? r2 ? hV 5 ? (0,6)2 ? 0,54 V 0,61 m345Duzentos litros de um lquido sero armazenadosem latas cilndricas de raio 5 cm e altura13 cm. Cada lata dever ser preenchidaem at 80% do seu volume. Quantas latas, no mnimo,sero necessrias?Resoluo:1 5 1 dm3Vlata5 r hVlata5 ? 5V 5 0,8Vlata13 Vlata021 cm3245 latasV 5 0,8 ? 1 021 V 817 cm3 ou 0,817 dm31 latan latas0,817 dm3200 dm3n52000,817244,8245 latas46Uma fbrica de sopa em lata decidiu aumentarem 20% a alturade suas latas cilndricas, mas mantendoo mesmo volume. Qual dever ser a diminuio,em porcentagem,do raio da lata para que ovolume permaneaconstante?Resoluo:8,71%lata 1 lata 2raio da baser1alturah1V25 V12r2h2 5 1,2h1r21,2?h1)5 r1 h1r25251,2r2 0,91287 r1r12 0,91287r15 0,08712 r1diminuiodo raio 8,71%

c47(UFPE) Interceptando-seum cilindro retocom raio da base igual a 2 cm e altura5 cm com dois planos que passam pelo eixo do cilindro e formam um ngulode 36 entreeles, obtm-seo slido ilustradoao lado.Indique o inteiromais prximo do volume desse slido, em36ocentmetroscbicos. 6Resoluo:Se 5 36, o volume do slido 1do volume do cilindro.10V5 r2h5 ?22 205 2020 cm3Vs5 102s 6,28 cmO inteiromais prximo o 6.B48(Unicamp-SP) Um cilindro circularreto cortado por um plano no paralelo sua base, resultandono slido ilustradona figura. Calcule o volume desse slido aDem termosdo raio da base r, da alturamxima AB 5 a e da alturamnimaCD 5b.bJustifique seu raciocnio. 1 2r2 r(a b)CResoluo:a brO volume do slido a soma do volume do cilindro de raio r e alturab, com a metade do volume do cilindro de raio r e alturaa 2 b.2V5 r2b1bbrV5 1 r2 (a2(ab)b)49(UFPA) Num cone reto,a altura 3 m e o dimetroda base 8 m. Ento,a rea total, em metrosquadrados, vale:a)52 c) 20 e) 12b)36 d)16Resoluo:Sb2bg2 5 h2 1 r2 g2 5 32 1 42 g 5 5 m5 rg 5 ? 4 ? 5 S 20 m2h g S5 r2 ? 42 S 16 m2St 5 S 1 Sb 5 20 1 16 St 5 36 mr

3212950(UFES) Com um setor circular,cujo ngulocentralmede 120, constri-seum cone circular retoderaio igual a 3 cm. Determineo volume do cone assim obtido.Resoluo:5 1205 2 rad3m32r5 ?g?35 2 5 9 cmg25 h21 r2925 h21 5 6 2cmV5 1 r2h35 1 ?32? 6 2 5 18m351Na figura, a base do cone retoest inscritanumaface do cubo e seu vrtice est no centroda face oposta. Se a rea totaldo cubo 54 m2, determineo volume do cone.Resoluo:2,25 m32 2VSt 5 6a6a 54a 25 95 3 maV 5 a ? aAV 52 2 ?35 4 a V 5 2,25 m3252(UniSantos-SP) Com um semicrculode papel, com raio igual a 20 cm, um pipoqueiro faz saquinhospara vender pipocas, com a forma de cone circularreto.O volume desses saquinhos, usando 3, maisprximo de:a)1 100 cm3 c)1 500 cm3 e)1 900 cm3b)1 300 cm3 d)1 700 cm3Resoluo:O desenvolvimento de um cone eqiltero um semicrculo.2g22rg 202020 h5 g 20 5 10 cmrh520310 3h5 10 3cmV5 1 r2h5310210 3 700 V1 700 cm3

2V2p.10953(UFV-MG) O trapzio retnguloao lado sofre umarotao de360 em tornoda base maior. Sabendo-se que AB 5 3 cm, CE 5 5 cm cmC5 cme que o volume do slido obtido 84cm3, determine AC.Resoluo:cmBD ECDE: CE25 DE21 CD2E 52 5 h2 1 32 h 5 4 cm5 cmhC3 cm Dconecone 1 ? r2? h 1 ?32? 4ne12 cm3Vcilindro 5 Vslido2 Vconexcilindro84 2 12 Vcilindro72 cm3Como Vcilindro 5 rtemos:AB3 cm72 5 ? 32 x 5 8 cm54Deseja-se utilizarum cone retode papelo com 16 cm de dimetroe 30 cm de alturacomo embalagem para um produto.Nessas condies:a)qual a quantidadede papelo (em m2) utilizadoem cada embalagem?0,098089 m2b)qual a capacidade, em litros, dessa embalagem?Resoluo:2,0096 a)g25 3021 825 964b)V 5r2h5 13,14?82? 303 3g5964 31,048 cmV2 009,6 cm3 2,0096 St 5 r(g1 r)30St 5 3,14?8? (31,0481 8)2 2St 980,89 cm 0,098089 m855(UFPel-RS) Duas substncias,A e B, que no se misturam,so colocadas num recipientede forma cnica, de modo que a substnciaA ocupe at a metadeda alturado cone e a substnciaB, o restante(conforme a figura). A razo entreo hBvolume de A e o volume de B :a)8b)1 72Asoluo:c)1 d) 18e)7Ah 2R) A um cone de raio r e alturahV 5 1 r2h 5 1 RhB hr2 B um troncode cone32 h 42 R 2 7R 2 h VB5 2 31R ? 1 54 2 3 4Ah2 r VA12r5 R 5 25VB7

3h56(UFPE) Um cone circularreto,com alturaigual a 60 cm, interceptadopor um plano perpendicularao seu eixo, resultandonumacircunfernciade raio igual a 40 cm. Se a distncia desse plano base do cone 30 cm, quantomede, em centmetros,o raio da base do cone?Resoluo:cmd5 h2 30 5 602 30 5 30 cm r5 d405 30 5 80 cmR hR 6057 (UFRN) A figura abaixo registrao momentoem que 7volume de areia da ampulhetaencontra-sena parte inferior.8RyrO volume de um cone circularreto dado porV5 1 R2h,sendoR o raio e h a alturado cone. Calcule o valor da frao numricaque representaa proporo entrey e h nesse momento.Sugesto: expresse ovalor da alturay em funo de h.h5 12yResoluo:RyrhNo cone superior:2h yh 2y r h3h r 5y1R2 yV25 V322 1R h 1 r2(h2 y) 5 8 (h2y))28 3 3r2 hSubstituindo(I) em (II), temos: R5 8rR38r3R 5 2r(III)r2De (I) e (III), vem: r 5 h2y5 12rhh2

rh(58(UnB-DF) A figura ao lado representaum coador de caf (em forma de um troncode cone) apoiado sobre um vaso cilndricocom permetroda base igual ao permetroda boca do coador. Calcule r, de acordo com os dados da figura e sabendo que a capacidade do coador 2r45rum quartoda capacidade do vaso.Resoluo:5 12 h 282r145 r1 r2h 28h tg 455 1 rh15 rV 5 1 V142 22 7 3V15 VTh1?)2r? r1 r]15 3rV25 Vci(2r)h2 5 112r7 r33 1 112r2 5 1259(UFPR) Um slido tem o formato de um troncode cone circularretocom uma cavidade na forma de cone com a mesmaalturado troncoe com base igual base menordo tronco, conformea figura. Calcule o volume do slido, sabendo que as medidas do tronco so: 16 cm de altura,250 cm2 de rea da base maior e 40 cm2de rea da base menor.Resoluo:600 3b5 r2405 r2 5 40cmB 5 ? R22505 R2 5 250cm) tronco 51 Rr1 r)531 1 Vk 226 250 100 40Vtronco2 080 cm3V 5 1? r2? k5 1 ? 16 V 6403coneVslidoVslidoVtronco 5 600Vcone 5 2 08023cone 3 0h60Na figura ao lado tem-seum recipientecom a forma de um cone circularreto,com um lquido que atinge metade de sua altura.Se V a capacidade do cone,qual o volume do lquido? V8Resoluo:3h h 32d5 hV 5 d V 52V 5 V2 Vh3 Vh3 861Uma taa em forma de cone tem raio da base5igual a 5 cm e altura10 cm. Coloca-se champanheemseu interiorat que atinja, a partirdo vrtice da taa, 105 cm de altura,conformemostraa figura 1. Vedando a5taa e virando-a para baixo, conformemostraa figura102, pergunta-se:em que altura(h), a partirda base docone, ficar o nvel do champanhenessa nova posio?h(Considere 3 71,91.)0,45 cmFigura 1 Figura 2Resoluo:525105Figura 110rh5Figura 2 1 2 h2 2Vchamp 5 (2,5) ?5 Vchamp 55 1 5r1 r)33Da resulta: h (251 5r1 r2)5 5 (2,5)2Substituindo(II) em (I):(251 5r1 r2) (102 2r)5 31,253 3(251 5r1 r2) h5 31,25(I)Desenvolvendo e simplificando:10 102 h r108r35 875r3Voltando em (II): 5 8755 75 3 7rhh5 102 2r (II)h5 102 2? ? 3 72102 5 3 75h5 102 5? 1,915 0,45 cm

222p.11462(Fuvest-SP) Uma superfcie esfrica de raio 13 cm cortada por um plano situado a uma distncia de12 cm do centroda superfcie esfrica, determinandouma circunferncia.O raio dessa circunferncia, emcentmetros,:a)1 c) 3 e) 5 b)2d)4Resoluo:r1213 132 5 122 1 r2 r2 5 169 2 144 r 5 5 cm63Sabendo que a rea de uma superfcie esfrica 8 cm2, calcule o raio da esfera.Resoluo:cmS5 4r285 4? r25m64Uma esfera cuja superfcie tem rea igual a 676 cm2 cortada por um plano situado a uma distncia de 12 cm do seu centro,determinandoum crculo. Nessas condies, determine:a)a rea desse crculo; cm2b)o comprimentoda circunfernciamxima dessa esfera; cmc)o volume do cone retocujo vrtice o centroda esfera e a base o crculodeterminadopela intersecodo plano com a esfera. (Faa um desenho representativodessa situao.) 100 cm3Resoluo:a)Sesfera 5 4r 676R2 5 169 R 5 13 cmr21 122 5 132r25 25 r 5 5 cmO12 13Scrculo5 r52 Scrculo5 25 cm rb)C 5 2r5 2? 13 5 26 cmc)VV 1 r2h 1 52? 12 V 5 100 cm3

65Uma firma de arquiteturaapresentoua maquetede uma construona forma de uma semi-esfera. Nessa maquete,o dimetroda semi-esfera 20 cm. Sabendo que a escala utilizada foi 1 : 400, responda(use 5 3,14):a)Qual a rea da superfcie dessa construo?048 m2b)Qual o volume dessa construo?Resoluo:a)Esc. 1 : 400133 973 m3) 1 cm400 cm10 cm R10 cmR 5 4 000 cm5 40 mS5 12r25 2r2S5 2?4025 10 048 m2b)V 1 4 r3 5r3V5 2 ?40335 133 973 m366(UFJF-MG)Duas esferas so concntricas,a menortem19cmde raio. A rea da seco feita na esfera maior por um plano tangente esfera menor 81 cm2. Calcule:a)o raio da esfera maior; cmb)o volume da esfera maior.Resoluo:0003Sd19Ra)S5 d2815 d2b)V 4 1030004 000 3d5 9 5 9 cm V5 cm3R25 d21 R 5 10 cm25 811 195 100

)2220367(Unitau-SP) Uma esfera est inscritaem um cubo de aresta 4 cm.Calcule a rea da superfcie esfrica e o volume da esfera.Resoluo: cm2 e 3235 2? r 5 2? r 5 2 cmS5 4 r2S5 4?225 16 cm2V5 4 r33V5?23 5 368(UFRGS)Uma panela cilndricade 20 cm de dimetroest completamentecheia de massa para doce, sem exceder a sua altura,que 16 cm. O nmerode doces em formato de bolinhas de 2 cm de raio que se podem obter com toda a massa :a)300 c) 200 e) 100 b)250 d)150Resoluo:V panela 5r ?hanela 5 ? 2V panela 5 1 600 cmV doce 4 R3V doce 4 ?23 doce 5 cm31 doce cm3n5 600 5 150n doces1 600 cm 369O recipienteda figura feito de madeira com densidade 0,7 g/cm3, com formato de umasemi-esfera com raio externo de 20 cm e raio interno20 cm17 cmde 17 cm. Calcule a massa, em quilogramas,desse recipiente.Resoluo:4,53 kgV 5 V ext2 V intV 5 124 R31 4 r3V 5 2 ? (203173) V 2 058 cm3d5 mV0,75 m058 4 526 g ou 4,53 kg

2370(UnB-DF) Um sorveteirovende sorvetes em casquinhasde biscoito que tma forma de cone de 3 cm de dimetroe6 cm de profundidade.As casquinhasso totalmente preenchidasde sorvete e, ainda, nelas superpostauma meia bola de sorvete de mesmo dimetrodo cone. Os recipientes onde armazenadoo sorvete tm forma cilndricade 18 cm de dimetroe 5 cm de profundidade.Determineo nmerode casquinhasque podem ser servidas com o sorvete armazenadoem um recipientecheio.60 casquinhas SorveteRecipienteResoluo:r5 32; R 5 18 5 9 cmV 5 1 r2h V5 1 ? 3 ? 6V 9 3cone 3cone 32cone 2Vsemi-esfera 5 2? r Vsemi-esfera 2 mi-esfera1 4 3 2 3V 943VcasquinhaVconeVsemi-raVcasquinha 529Vcasquinha 27 3VcilindroR2? Hndro? 92? 5ndro405 cm3Seja n o nmerode casquinhas. Logo:n5 VcilindroVcasquinhan5 5 5 60 casquinhas71(UFPE) A figura ilustraa esfera de maior raio contida no cone retode raio da base igual a 6 e alturaigual a 8, tangenteao plano da base do cone. Qual o inteiromais prximo da metade do volume da regio docone exterior esfera? 94Resoluo:VVOB: VB25 VO21 OB2g25 821 62Dg5 10CrV DC V OBr V B A B OBO VC CD1056 1 22 r5 3V5 VconeVesferaV5 ? R 2 rV5 1 ? 62? 82 4 ?33 5 605 30 94,253 3 2Logo, o inteiromais prximo 94.

372(PUC-PR)Tem-se um recipientecilndrico, de raio 3 cm, com gua. Se mergulharmos inteiramenteuma bolinha esfrica nesse recipiente,o nvel da gua subir cerca de 1,2 cm. Sabe-se, ento, que o raio da bolinha vale, aproximadamente:a)1 cmc) 2 cme) 3 cm b)1,5 cmd) 2,5 cmResoluo:V5r2hV5 ?32? 1,2 V10,8 cm3Vbolinha 4 r3 4 r3310,8r3 5 8,1r58,1 2 cmp.11573(UFMG)Observe esta figura:BD EAFCNessa figura, ABC um quadrantede crculode raio 3 cm e ADEF um quadrado, cujo lado mede 1 cm. Considere o slido gerado pela rotao de 360, em tornoda reta AB, da regio colorida na figura.Sabe-se que o volume de umaesfera de raio r igual a 4 r .3Assim sendo, esse slido tem um volume de:a)14 cm3 b)15 cm3 c)16 cm3 d)17 cm3Resoluo:Volume da semi-esfera:B 3 3V15 r1 2 ?3118 cm3Volume do cilindro gerado por ADEF:2 2 3CEV25 r2 h5 ? 1Volume do slido:25 cmA 1 F3V5 V12 V25 182 5 17 cm3

74(PUC-SP) Um cone circularreto,cujo raio da base 3 cm, est inscritoem umaesfera de raio 5 cm, conforme mostraa figura.5 cm O volume do cone correspondea que porcentagemdo volume da esfera?a)26,4% c)19,5% e)16,2%b)21,4% d)18,6%3 cmResoluo:R25 d2 1 r2Rd2 5 52 2 32d 5 4 cmRh 5 R 1 drh 5 5 1 4 h 5 9 cm1 21 23 4 3435003Vc 5 rh5?3 c 5 27 cme5 R3 ?5e 53cmVc 5 27 5 0,1625 16,2% Ve 50 0 375Uma esfera est inscritanumoctaedroregularde aresta 12 cm. Calcule:a)o raio da esfera;Resoluo:a)6cm b)o volume da esfera. 6cm3AH 6 3rAOM: AM ? OH 5 OA62OMMO6Hr r5 6 2 5 2 6cmM6 Ob)Vesfera 4 r3 4 2 6 3Vesfera64 m

76(FGV-SP) Um clice com a forma de cone contmV cm3 de umabebida. Uma cereja de forma esfrica, com dimetrode 2 cm, colocada dentrodo clice. Supondo-se que a cereja repousa apoiada nas paredes lateraisdo clice e o lquido recobre exatamente a cereja a umaalturade 4 cm a partirdo vrtice do cone,determinaro valor de V.Resoluo:5 43 4 cmADRB1OrCCO2 1 CE25 32CE25 8CE 5 2 2cmBDE OCE4 cm32 2DE CE DBCO 42 RR 5452 2ER 5mV1 4 r31 R2h1 4 13 2? 41 4 5 8 5 4 33 3 333 3 377(PUC-RS) A regio R da figura est limitada por trs semicrculos.yRSabendo que R efetua umavolta completaem tornodo eixo do x,calcule o volume do slido gerado. 82 101 2xResoluo:Sejam (1) a esfera de raio 2 e (2) a esfera de raio 1V5 V(1) 2 2V(2)V5 4 ?2332? 4 ? 13 V5 cm35 8 78(Cesgranrio-RJ) Uma laranjapode ser considerada umaesfera de raio R, composta de 12 gomos exatamenteiguais. A superfcie total de cada gomo mede:a)2R2c) 3 R24e) 4 R23b)4 R2Resoluo:d)3R2S 5 S 1 SS 5 2? 2 ? R21 R2gomofusocrculogomo 12Sgomo R21 2gomo 4 R2

22279(UEL-PR)Um cilindro circularretoe uma esfera so equivalentes (mesmo volume). Se o raio da esfera e o raio de base do cilindro tmmedida 1, a rea lateral desse cilindro :a) 14 3b) 11 3Resoluo:c) 11 4d) 8 322e)5 4O volume do cilindro Vcrhc 5 ? 1 5h.O volume da esfera Ve5? r3Ve 4? 134 .Como VcVe, temos: ?h5h5 3 .48A rea lateral do cilindro : A L2rh5 2?? 1? 5 3 .80(MACK-SP)A razo entrea rea lateral do cilindro eqilteroe a superfcie esfrica nele inscrita :a) 13c) 23e) 12b) 14Resoluo:d)1No cilindro eqilteroh 5 2r, logo, a rea lateral ser: AL 5 2 ? ? h ? r 5 2 ? ? 2r ? r 5 4rNa esfera inscritao raio r, temos: Ae5 4 ? rA razo entreessas medidas :4 r1.4 r281(ITA-SP) A razo do volume de uma esfera para o volume de um cubo nela inscrito:a) 3 2 2c)2e) 3 2b) 2Resoluo:volume da esfera Ve 2 4 3? r.32O cubo inscritotem diagonal igual ao dimetroda esfera, da temos: d5 2r5 (em que a aresta do cubo).5 3O volume do cubo ser: V3 " 2r 3 5r33 8r3 .,3 4 327 9? r1 r3 3A razo entreessas medidas : 3

3? ?? 53 353? 5 3 35 ? 3 2 3 36 2

82(Unitau-SP) Aumentandoem 10% o raio de umaesfera, a sua superfcie aumentar:a)11% c) 21% e) 30%b)24% d)31%Resoluo:Se o raio for r, a superfcie ser S 5 4 ? ? r2.Aumentando o raio em 10%, o novo raio ser 1,1r e a superfcieS 5 4 ? ? (1 ? 1)2 r2 5 4 ? ? 1,21 5 4,84r2.O aumentoda superfcie foi de 0,84r2, ento:4 r20,84 r2100%xr2x5 0,84r2? r 25 5 21%r2p.11683(MACK-SP)Um tanquede gs tema forma de um cilindro de 4 m de comprimento,acrescido de duas semi-esferas, de raio 2 m, uma em cada extremidade, como mostraa figura.Adotando 5 3, a capacidade totaldo tanque,em m3, :a)80 c)60 e)50b)70 d)55Resoluo:A capacidade do tanquecorresponde soma dos volumes de um cilindro de raio da base 2 m e altura4 m com duas semi-esferas de raio 2 m, logo:V5 ? r2? h1 2??? r3V5 3?22? 41 4?23481 325 80 m384(MACK-SP)Um frasco de perfume de forma esfrica, com raio de 4 cm, contmperfume em 14de seu volume total. Se uma pessoa utilizar,todos os dias, 2 m do perfume, das alternativasabaixo, a queindicar o maior perodo de tempo de durao do perfume ser:a)16 dias c) 26 dias e) 43 dias b)31 dias d) 54 diasResoluo:O volume do frasco V 4?4353 256 O volume do perfume 14total,ou seja,64 Utilizando 2 m por dia, ter perfume para 64 , ou seja, 64 33 dias.362 dias85(UFPA) Um cone retotem raio de base R e alturaH. Se uma esfera tem raio R e volume igual ao dobro do volume desse cone, podemos afirmar que:a)H5 R c)H5 R e)H5 R3 2 b)H5 2R d)H5 3RResoluo:ne 1? R2 Vesfera5 4? R3Vesfera2?Vcone 4? R32? 1? R2? H5 2R 086(MACK-SP)Um recipientecilndricoreto,com raio da base igual a 4 cm, contmgua at a metade de sua altura.Uma esfera macia, colocada no seu interior,fica totalmentesubmersa, elevando a alturada gua em 2 cm. O raio da esfera :a)2 3 3 c)3 3 23e)2b)4Resoluo:d)5 2Pelo Princpiode Arquimedes, o volume da esfera correspondeao volume de gua deslocado. Este volume correspondeao volume de um cilindro reto,de raio da base igual a 4 cm e altura2 cm. Chamando de R o raio da esfera, temos:2 2Vcilindro?45 32 cm% 43) Como VcilindroVesfera , teremos:Vesfera 5 3? R],, 325 4 ? R33R3 96 R324 R 5 24 2 3 3cm.87(UERJ) Uma cuba de superfcie semi-esfrica, com dimetrode 8 cm, est fixada sobre uma mesa plana. Uma bola de gude de forma esfrica, com raio igual a 1 cm, encontra-sesob essa cuba.Desprezando-se a espessurado materialusado para fabricar a cuba, determine:a)a maior rea, em cm2, pela qual a bola de gude poderse deslocar na superfcie da mesa; cm2b)o volume, em cm3, da maior esfera que poderia serResoluo:colocada embaixo dessa cuba. 3a)Considerandoa bola de gude junto cuba temos,representadona figura abaixo:b)A maior esfera que pode ser colocada embaixo da cuba deve terraio igual metade do raio dacuba, ou seja, o raio deve ser 2 cm.1 cm3 cm2 cm1 cm RPor Pitgoras: 325 121 R2R25 92 1R25 8R 5 2 2cmEsse valor correspondeao raio da maior rea que a bola de gude poder se deslocar sobre a mesa, como mostra (em vista superior) a figura abaixo:cmtanto:V5 cm?23 3RA 5? R25 ? 2 2 2A5 8 cm2

88(ITA-SP) Um cone circularretotemaltura12 cm e raio da base 5 cm. O raio da esfera inscrita nesse cone mede, em centmetros:a)2 b)3Resoluo:c) 125d) 74e)103DConsiderando a situao sugerida e fazendo um corte (passando pelo centroda base e o vrtice do cone) teremos,como mostraa figura ao lado:Sendo BD a geratrizdo cone, temos:BD25 52 1 122 BD25 169 BD 5 13 cmDa semelhanaentreos tringulosBOD e CTD conclumosque:D12 cmr T C1355D2 r13r5 602 5r5 60rA O Br5 601810cm5 cm121312 rO 5 BT r C89(UFG) Considere um cone circularretode alturah e raio r, h . r, inscritoem umaesfera de raio R.Determinea alturado cone quandor5 3 R.55 9 RResoluo:CNo tringuloBCD, temos:Chgh g g2 5 h2 1 r2 ID rA BD r BE

525No tringuloEBC, temos:Considerando r5 3 R e aplicando a propriedade5transitivaa eII , teremos:g g2 5 2R ? h IIh2Rh2 1 3 R2Rhh22 2Rh1 9R5 0252 2 5 (22R)2 2 4? 1? 9R5 4R22 36R5100R22 36 R2525 8R25R22(22R)h5R2 8R55h 51 18R 9R5 9 R52 ? 122R 2 8Rh 5 5 5 2R R o serve, poisPortanto,h5 9 R.5210h. r)90(FGV-SP) Deseja-se construirum galpo em forma de um hemisfrio, para uma exposio. Se, para o revestimentototaldo piso, utilizaram-se78,5 m2 de lona, quantosmetrosquadrados de lona se utilizariamna coberturacompletado galpo? (Considerar 5 3,14.)a)31,4 c) 157 e) 261,66 b)80 d)208,2Resoluo:A rea do piso 78,5 m2, logo: ? r2 5 78,5 3,14r2 5 78,5 r25 51425 255 5 mO galpo ter a superfcie de uma semi-esfera de raio 5 m:2A5 4 r 5 2r25 2?3,14?255 157 m22

391(UEL-PR)Um joalheiroresolveu presentearumaamiga com umajia exclusiva. Para isso, imaginouum pingente,com o formato de um octaedroregular,contendouma prola inscrita,com o formato de uma esfera de raio r, conformerepresentadona figura a segui r.Se a aresta do octaedro regulartem 2 cm de comprimento,o volume da prola, em cm3, :ra)2 3c)8 29e) 8 627b) 8 3d) 4 69Resoluo:Considerando o tringuloABC da figura:CAC a alturada face: h5 35 2 3 5cm.2 2AB5 2 cmDr5 1 cm AEC, temos:22 2AC25 AE2 1 EC2 B5 EC EC 5 mAENo AEC, DE a alturarelativa base AC e igual a r.Pelas relaes mtricasnos tringulosretngulossabemos queC cateto3 cateto5 hipotenusaaltura,logo:23 15 ? rr5 2 ? 56 cm3Sendo6 cm o raio da prola, seu volume ser:D3V5 4? 6 4? 6 65 24 65 8 cm3.A E B 33 3 27 81 2792(UFPI) A esfera circunscritaa um octaedro regularde aresta a tem raio igual a:a) a2 2c)2ae) a3 2b)aResoluo:d)a 3O raio da esfera circunscritaser igual a metade da diagonal do quadradoABCDrepresentadona figura abaixo:BCA DSendo a a aresta do octaedro,a diagonal do quadradosera 2 ,logo, o raio da esfera ser:r5 a 22