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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL ESCOLA DE ENGENHARIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL ENG 01201 – MECÂNICA ESTRUTURAL I QUESTÕES DE PROVAS QUESTÕES APROFUNDADAS ISOSTÁTICA Prof. Eduardo Bittencourt Prof. João Ricardo Masuero Porto Alegre Outubro de 1998

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL

ESCOLA DE ENGENHARIA

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL

ENG 01201 – MECÂNICA ESTRUTURAL I

QUESTÕES DE PROVAS

QUESTÕES APROFUNDADAS

ISOSTÁTICA

Prof. Eduardo Bittencourt

Prof. João Ricardo Masuero

Porto Alegre

Outubro de 1998

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QUESTÕES DE PROVASA-1) Calcular as reações vinculares:

A

B C

D

30 kN/m

30 kN/m

80 kNm

3 m 2 m 3 m

4 m

E

F

2 m

A-2) Calcular as reações vinculares:

A

B

C

D

60 kN/m

30 kN/m

50 kNm

3 m 2 m 3 m

4 m

E

F

2 m

A-3) Calcular as reações externas no pórtico abaixo:

A

B C

D

4m

1m

2m

2m3m

10KN/m

20KN/m

30KN/m

80 KNm

A-4) Calcular as reaçoes do pórtico abaixo, incluindo as reaçoes da rótula interna B.

B

200KN

20KN/m

C

DA

45o

2m 5m 3m

2m

4m

50KN/m

100KN

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A-5) Calcular as reações do pórtico ao lado.

A

B

D

C30 kN/m

50 kN/m

300 kNm

9 m 4 m

3 m

A-6) Calcular as reações do pórtico ao lado.

A

B

D

C40 kN/m

50 kN/m100 kN

200 kNm

6 m 3 m

4 m

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B-1) Escrever as equações das funções solicitações para o trecho BC:

6 m 3 m

18 kN/m

A BC

15 kNm

B-2) Escrever as equações das solicitações Esforço Cortante e Momento Fletor da viga abaixo:

B-3) Escrever as equações das solicitações Esforço Cortante e Momento Fletor da viga abaixo:

10 kN/m30 kN/m

15 kN

3m 3m 3m 2m

B-4) Escrever as equações das solicitações Esforço Cortante e Momento Fletor da viga abaixo:

20 kN/m20 kN/m

15 kNm

3m 3m 4m 2m

B-5) Escrever as equações das solicitações da viga abaixo

q = 50 KN/m

100 KN

0.5 m 0.5 m 1 m 1 m 1 m

R = 108,33 KN R = 41,66 KN

EDC

AB

E

CA B D

D C BE A

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4 m 2 m 2 m3 m

A B C DE

30 kN/m

60 kN

13,33 kN 120,67 kN 16 kN

B-6) Calcular as reações vinculares e escrever as equações das funçõessolicitações para os trechos BC e CD

30 KN

28 KN/m 10 KN/m

AB C D

4m 3m 6m

B-7) Calcular as reações vinculares e escrever as equações das funções solicitações para os trechos BC eCD

50 KNm28 KN/m 10 KN/m

AB C D

3 m 1,5 m 4,5 m

B-8) Calcular as reações vinculares e escrever as equações das funções solicitações para os trechos BC eCD

40 KNm

37 KN/m

10 KN/m

AB C D

3m 2m 4m

B-9) Esboçar os diagramas de solicitações para a viga ao lado, indicando os pontos de momento máximo emomento nulo:

A B DC

40 kN/m200 kN

2 m2m

30 kN/m

EF

2 m 4 m 2m2m2m

250 kN

71,7 kN113,3 kN 568,4 kN

143,4 kNm

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B-10) Esboçar os diagramas de solicitações para a viga ao lado, indicando os pontos de momento máximo emomento nulo:

A B DC

30 kN/m

50 kN/m 100 kN

2 m4 mE

F

2 m2 m2 m 3 m3 m

150 kN

103,3 kN 427,6 kN 50,9 kN

161,8 kNm

B-11) Esbocaçar os diagramas de esforço cortante e momento fletor.

M1 M2M1>M2

qq

P1 P2

PP1 2>

B-12) Quantas seções(quantos trechos) seriam necessárias para escrever as funções solicitações para aviga abaixo. Indicar o grau da função do cortante e do fletor em cada trecho. Escrever as funçõescortante e fletor para a seção S.

S

3m 6m 4m

200KN 30KN/m

70KN/m

200KNmx

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C-1) Esboçar os diagramas de solicitações para o pórtico abaixo:

A

B C

D

20 kN

30 kNm

5 kN/m

4 m 3 m

4 m

C-2) Esboçar os diagramas de solicitações para o pórtico abaixo. VD=34,15 KN:

A

B C

D

30 kN

40 kNm

10 kN/m

4 m 4 m

3 m

2 m

C-3) Esboçar os diagramas de solicitações para o pórtico abaixo.

A

B C

D

60 kN

50 kNm

20 kN/m

4 m 4 m

3 m

2 m

C-4) Esboçar os diagramas de solicitações para o pórtico abaixo:

A

B C

D

30 kN

30 kNm10 kN/m

5 m 3 m

4 m

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C-5) Esboçar os diagramas de solicitações, indicando valores de início e término dos diagramas e pontos demáximo. VA= -12,5 kN, HA=179,375 kN, MA=-667,5 kNm, RD=165,625 kN. Sentidos positivos das reações:direita, para cima e anti-horário.

A

B C

D

60 kN

50 kNm

20 kN/m

2 m 3 m

2 m

2 m

2 m

80 kNm

C-6) Esboçar os diagramas de solicitações, indicando valores de início e término dos diagramas e pontos demáximo. VA= -71,24 kN, HA=293,44 kN, MA=-1213,76 kNm, RD=289,06 kN. Sentidos positivos das reações:direita, para cima e anti-horário:

A

B C

D

70 kN

40 kNm

30 kN/m

2 m 3 m

2 m

2 m

2 m

90 kNm

C-7) Esboçar os diagramas de solicitações, indicando valores de início e término dos diagramas e pontos demáximo. VA= 68,54 kN, HA=38,9 kN, MA=-6,7 kNm, RD=51,83 kN. Sentidos positivos das reações: direita,para cima e anti-horário:

A

B C

D

70 kN

40 kN

10 kN/m

2 m 4 m

1,5 m

2 m

1,5 m

50 kNm

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C-8) Calcular as reações e solicitações para o caso abaixo:

C-9) Desenhar os diagramas de solicitações do pórtico plano abaixo:

A

B C

D

10 kN/m

50 kN/m

100 kNm

3 m 4 m 3 m

4 m

C-10) Esboçar os diagramas de solicitações para o pórtico abaixo:

2 m 2 m5 m

2 m

2 m

10 kN/m

100 kN

60 kNm

45 kN

32,5 kN67,5 kN

140 kNm

45 kN

2 m

2 m

2 m 3 m

q = 20 KN/m

q = 40 KN/m

50KNm

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D-1) Desenhar os diagramas da Grelha abaixo:

x

z

y

3 m

5 m 50kNm

80kNm

40kN

D-2) Desenhar os diagramas da Grelha abaixo

x

z

y

4 m

6 m 60 kNm

60 kNm

15 kN

2 m

D-3) Esboçar os diagramas de solicitações para a grelha abaixo:

A

B

C

D

F

20 kN

15 kN30 kNm

10 kN/m

3 m

3 m

4 m

2 m

D-4) Esboçar os diagramas de solicitações para a grelha abaixo:

A

B

C

D

E

10 kN

10 kN20 kNm

20 kN/m

3 m

5 m3 m

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D-5) Esboçar os diagramas de solicitações, indicando valores de início e término dos diagramas e pontos demáximo

z

xy

50KN

3m

2m

4m

4m

80KN

150KNm

20KN/m

A

BC

DE

F

D-6) Esboçar os diagramas de solicitações, indicando valores de início e término dos diagramas e pontos demáximo.

z

xy

50KN

3m

2m

4m

4m

80KN

260KNm

30KN/m

A

B

C

D

E

F

2m

D-7) Esboçar os diagramas de solicitações para a grelha abaixo :

100 KN

200 KNm

80 KN/m

80 KNm

3 m

3 m

2 m

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D-8) Desenhar os diagramas de solicitações da grelha abaixo, calculando possíveis valores de máximo

20 kN/m

A

B

CD

80 kNm

3 m 4 m

5 m

90 kNm

60 kNm

100 kNm

D-9) Desenhar os diagramas de solicitações da grelha abaixo.

A

B C

D

30KN/m

50KN/m

100KNm

4m

5m

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E-1) Calcular as solicitações nas barras pontilhadas na treliça abaixo:

E-2) Calcular as solicitações nas barras 2-10, 4-5, 4-13, 7-15, 8-16, 12-13 e 15-16

1 2 3 4 5 7 86

9 10 11 12 13 15 1614

5 kN 5 kN 5 kN 5 kN 5 kN 5 kN 5 kN

2 m 2 m 2 m 2 m 2 m 2 m 2 m

2 m

E-3) Calcular as solicitações nas barras 2-10, 4-5, 4-13, 7-15, 8-16, 12-13 e 15-16

1 2 3 4 5 7 86

9 10 11 12 13 15 1614

5 kN 5 kN 5 kN 5 kN 5 kN 5 kN 5 kN

2 m 2 m 2 m 2 m 2 m 2 m 2 m

2 m

E-4) Encontrar as solicitações das barras 4, 7, 11, 14, 17, 19, 22, 28 e 29

1 2

15 16 17 18 19

8 9

3 4

20 21 22 23

10 11

5 6

24 25 26 27

12 13

7

28 29

14

1 2 3 4 5 6 7 8

9 10 11 12 13 14 15 16

5 kN 5 kN 5 kN 5 kN

20 kN

2m

2m

2m2m2m2m2m2m

2m

100 KN

50 KN

20 KN

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E-5) Encontrar as solicitações das barras 4, 7, 11, 14, 17, 19, 22, 28 e 29

1 2

15 16 17 18 19

8 9

3 4

20 21 22 23

10 11

5 6

24 25 26 27

12 13

7

28 29

14

1 2 3 4 5 6 7 8

9 10 11 12 13 14 15 16

5 kN 5 kN 5 kN 5 kN

20 kN

E-6) Indicar o valor do esforço normal nas barras 8, 10, 13. Calcular o esforço normal nas barras 3 e 9usando o método dos nós. Calcular o esforço normal nas barras 2, 7 e 12 usando Método de Ritter.

4m

4m

6m 3m 4m

100 KN 100 KN 100 KN

1 2 3 4

5 6

7 8

1 32

45

6

7 89 10

1112

13

E-7) Calcular as solicitações nas barras que unem os nós 1-2, 3-4 e 5-6

20 kN 10 kN40 kN

30 kN

3 m 3 m 3 m 3 m

2 m

2 m

1 2

3 4 5 6

78

9

E-8) Calcular as solicitações nas barras que unem os nós 1-2, 3-4 e 5-6

40 kN 100 kN30 kN

50 kN

3 m 3 m 3 m 3 m

2 m

2 m

1 2

34 5

6

78

9

20 kN

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E-9) Calcular as solicitações nas barras indicadas

2 KN2 KN

2 KN

2 KN

2 KN2 KN

2 KN

2

1

3

4

5

6

7

2m

2m

1,5 m 1,5 m 1,5 m 1,5 m 1,5 m 1,5 m 1,5 m 1,5 m

E-10) Calcular as solicitações nas barras indicadas

3 KN3 KN2 KN3 KN 2 KN2 KN

1

3

4

5

6

7

2m

2m

1,5 m 1,5 m 1,5 m 1,5 m 1,5 m 1,5 m 1,5 m 1,5 m

2 KN

3 KN

2

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F-1) Escrever as funções solicitações para o arco abaixo:

20 kN/m

30 kN/m 4 m

F-2) Escrever as funções solicitações para o arco abaixo:

30 kN/m

20 kN/m 4 m

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QUESTÕES APROFUNDADAS

Parâmetros A e B: A=2, B=5

Esboçar os diagramas para as estruturas abaixo:

G-1)

B.10 kN/m 20 kN/m30 kN/m

50 kNA.10 kN

100 kN/m

150 kNm

AB C D E F

6m 3m 4m 3m 2m 2m

G-2)

A.5 kN/m (A+B).2 kN/m50 kNm

B.15 kN

50 kN/m

200 kNm

AB C D

GF

5m 4m 4m 4m2m 2m

E

G-3)

A.10 kN/m30 kN/m120 kN

A

2m 5m 5m 4m

BC

DE

200 kNm

2m

G-4)

A.20 kN/m30 kN/m

45 kN

A

1m6m 6m 2m

BC

DE

100 +B*10 kNm

3m

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G-5)

80 kN/m

30 kN/m

B C

D

6m 3m

5m

A

A.10 kNmB.10 kNm

(A+B).10 kN

40 kN/m

60o

G-6)

30 kN/m

50 kN/m

B C

D

3m 3m

5m

A

B.10 kNm

A.10 kNm

(A+B).10 kN

90 kN/m

45o

2m

G-7)

40 kN/m

30 kN/m

B C

D

4m 3m

5m

A

A.5 kNm

(A+B).10 kN

60 kN/m

60o

3m

20 kN/m

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G-8)

BC

D

2m 3mA

60 kN/m

E

A.10 kN/m

B.10 kN/m4m

G-9)

B C

D

3m 4m

A

90 kN/m

E

A.5 kN/m

B.10 kN/m5m

40 kN/m

G-10)

A

B C

EF

D

30kN/m 40kN/m

40kN/m

100 kN

A.10 kNm

B.10 kNm

xy

z

3m

3m

4m 1m 3m

G-11)

A

B C

EF

D

30kN/m

40kN/m

50 kN/m

200 kN

A.15 kNm

B.10 kNm

xy

z

3m

3m

3m 1m 2m 4m

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G-12)

A

B C

E

F

D

20kN/m30kN/m

40 kN/m200 kN

A.5 kNm

B.15 kNm

x

y

z

5m

3m

3m 1m 2m 4m

5m

G-13) Esboçar os diagramas de solicitações do poste de sinalização rodoviária abaixo, considerando a açãodo vento e do peso próprio sobre a placa e sobre os tubos, sendo a ação do vento sobre estes últimos tomadapela área em projeção. Massa específica do Aço: 7850 kg/m3.

Diam. ext.=150mmDiam. int.=130mm

Diam. ext.=100mmDiam. int.=85mm

Diam. ext.=50mmDiam. int.=40mm

Espessura: 5mm

4m

4m

2m

4m

Pressão do Vento

Área emProjeção

z

Variação da pressão do vento coma altura em relação nível do chão

Nível do chão

q =A.10.z kN/m2

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Respostas - Área 1

A-1) Ax = 36,4 KN → Ay = 93,5 KN ↑ Fx = 0 KN Fy = 41,6 KN ↑ Dx = - 23,5 KN ←A-2) Ax = 40,1 KN → Ay = 113,5 KN ↑ Fx = 43,7 KN → Fy = 66,77 KN ↑ Dx = - 36 KN ←A-3) Ax = 55,53 KN → Ay = 76,7 KN ↑ MA = - 60,3 KNm H Dx = - 4,47 KN ← Dy = 53,3 KN ↑A-4) Ax = 339 KN → Ay = - 165 KN ↑ MA = 2538 KNm H D = 515 KN Bx = 409 KN By = 236 KNA-5) Ax = 404,3 KN → Ay = 108,6 KN ↑ MA = 1515,8 KNm H D = 394,1 KNA-6) Ax = 387,5 KN → Ay = 66,66 KN ↑ MA = 1750 KNm H D = 379,17 KN

B-1) Q = - x² +12 M = -x³/3 +12x +15

B-2) Trecho AB: Q = 108,33 KN M = 108,33x KNm Trecho BC: Q = 8,33 KN M = 108,33x – 100(x – 0,5) KNm Trecho CD: Q = 8,33 – (25(x -1)²)/2 KN M = 108,33x – 100(x - 0,5) – 25(x -1)³/6 KNm Trecho DE: Q = - 41,66 KN M = 41,66x KNm

B-3) Trecho AC: Q = - 10x +15 KN M = - 5x² +15x KNm TrechoCD: Q = - 5(x - 6)² + 35 KN M = 15x – 60(x - 3) + 80(x - 6) – 10(x - 6)³ / 6 Trecho DE: Q = 15 KN M = - 15x KNm

B-4) Trecho AB: Q = 0 M = - 15 KNm Trecho BC: Q = - 21,25 + 20(x -2) KN M = -15 + 21,25(x -2) – 10(x -2)² KNm Trecho CE: Q = - 35 + 1,67(x - 6)² M = -15 +21,25(x - 2) - 80(x - 4) + 93,75(x - 6) - 0,55(x-6)³ KNm

B-5) Trecho AC: Q = - 2,5x² +13 KN M = - 13,33x + 0,83x³ KNm Trecho CD: Q = 44 KN M = 16x - 60(x - 2) KNm Trecho DE: Q = - 16 KN M = 16x KNm

B-6) Ay = 16,7 KN ↑ Dx = 0 Dy = 184,3 KN ↑ M = 853,9 KNm H Trecho CD: Q = -184,3 + 10x +x² KN M = -853,9 + 184,3x – 5x² - 0,33x³ KNm Trecho BC: Q = x² +10x – 154,3 KN M = -x³/3 – 5x² + 154,3x – 673,9 KNm

B-7) Ay = 17,74 KN ↑ Dy = 96,26 KN ← M = 286,34 KNm H Trecho DC: Q = 1,5x² +10x - 96,26 KN M = -286,34 + 96,26x –5x² - 0,5x³ KNm Trecho BC: Q = 1,5x² + 10x - 96,26 KN M = -0,5x³ - 5x² + 96,26 x - 236,34 KNm

B-8) Ay = 5,2 KN Dy = 135,8 KN M = 335,2 KNm Trecho BC: Q = 5,2 - 10(x - 3) - 2,25(x - 3)² KN M = 5,2x - 5(x - 3)² - 0,75(x - 3)³ KNm Trecho CD: Q = 5,2 - 10(x - 3) - 2,25(x - 3)² KN M = - 40 + 5,2x -5(x - 3)² - 0,75(x - 3)³ KNm

B-9) 271,7 KN

-143,4

-686,8

-93M(KNm)

-40 KN

73,3 KN

-46,67 KN

-297,7 KN

71,7 KN

X (m)

Q(KN)

2

2,44

41,56 2 2 2

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B-10)

C-2)

X(m)

M(KNm)

93,3

-66,6-93,5

-683,6

161,8

X(m)

53,3

-46,7

-196,7

50,9

230,9

-50

X(m)

Q(KN)

2

3

4 3

6

N(KN)

20,49

24

Q(KN)

50,49

12,68

-2,15

20,49

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C-3)

C-4)

C-5)

N(KN)

-54,4

19,2

48

-217,6

-286,8 M(KNm)

-205,2

-267,6

-217,6

80

22

-56,5

-51,5

-27,5N(KN)

-26,50

-56,5

-22

32

Q(KN)

12,5

-165

N(KN)

0,12-25

668

359

309

-250-170

M(KNm)

-250

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C-6)

C-7)

C-9)

71,24

-293,44

-289,06

N(KN)-293,44

-71,24

150

Q(KN)

-68,54

1,1

N(KN)

6,7

-51,65

-50

137,8

134,16

134,15

M(KNm)

66,6

-112

-88

N(KN)-228,31

-299,71

-99,71

80,2M(KNm)

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C-10)

D-1)

D-2)

D-3)

45-45

-32.5

N(KN)

-140

-65

-70 -70

-5-5

M(KNm)

31,25

-40

200

Q(KN)Mt(KNm)

15

-15

30

Q(KN)

60

-90

-60

M(KNm)

60

20

Mt(KNm)

20

95

65

45

Q(KN)

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D-4)

D-6)

D-7)

-15

30

60

Mt(KNm)

-30 20

-280

-730

M(KNm)

-160

135

Mt(KNm)-90

-80

220

130

Q(KN)

-200

Mt(KNm)

200

-200

120

M(KNm)

160

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D-8)

D-9)

E-1) Barras: AB = 14,42 KN CD = 50 KN FE = 0 HI = - 360 KN GH = -30 KN GJ = 466,69 KNE-2) Barras: (7 - 15) = -5 KN (10 - 2) = 0 (15 -6) = 0 (8 -16) = 0 (12 -13) = -50 KN (4 -5) = 30 KN (4 -13) = 28,28 KNE-3) Barras: (2 -10) = 5 KN (4 - 5) = 30 KN (4 -13 ) = 28,28 KN (7 - 15 ) = 0 (8 - 16 ) = 5 KN (12 - 13) = - 50 KN (15 -16) = 0E-4) Barras: 4 = 0 7 = 5 KN 11 = -10 KN 14 = 20 KN 17 = 0 19 = 0 22 = 42,42 KN 28 = -7,07 KN 29 = 0E-5) Barras: 4 = 70 KN 7 = 20 KN 11 = -50 KN 14 = 0 KN 17 = 0 19 = 0 22 = 42,42 KN 28 = - 28,28 KN 29 = 20 KNE-6) Barras: 8 = -100 KN 10 = 0 13 = 0 3 = -100 KN 9 = -141,42 KN 2 = 3 = -100 KN 12 = -200 KNE-7) Barras: (! - 2) = -35 KN (3 - 4) = 0 (5 - 6) = 0E-8) Barras: (! - 2) = 6,25 KN (3 - 4) = 0 (5 - 6) = 0E-9) Barras: 1 = 0 2 = 0 3 = 0 4 = 0 5 = 9 KN 6 = 10 KN 7 = -15 KNE- 10) Barras: 1 = 3 KN 2 = 31,88 KN 3 = 3 KN 4 = 0 5 = 41,25 KN 6 = -18,75 KN 7 = -27 KN

-52

52

82,7

-48

Q(KN)

308Mt(KNm)

-625

-1140

Mt(KNm)

-370

250370

Q(KN)