Raciocinio Logico 2

Raciocnio Lgico

Prof. Daniel Dudan

Secretaria Estadual da Sade

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Raciocnio Lgico

Professor: Daniel Dudan

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Mdulo 1

PRINCPIO DA CONTAGEM

Os primeiros passos da humanidade na matemtica estavam ligados a necessidade de contagem de objetos de um conjunto, enumerando seus elementos. Mas as situaes se tornavam mais complexas, ficando cada vez mais difcil fazer contagens a partir da enumerao dos elementos.

Problema: Para eleio de uma comisso de tica, h quatro candidatos a presidente (Adolfo, Mrcio, Bernardo e Roberta) e trs a vice-presidente (Luana, Diogo e Carlos).Quais os possveis resultados para essa eleio?

Para facilitar, vamos montar um esquema...

12RESULTADOS

POSSVEISPARA ELEIO

RESULTADOS POSSVEIS PARA ELEIOVICE-PRESIDENTEPRESIDENTE

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PRINCPIO MULTIPLICATIVO

Voc sabe como determinar o nmero de possibilidades de ocorrncia de um evento, sem necessidade de descrever todas as possibilidades?

Vamos considerar a seguinte situao:

Edgar tem 2 calas (preta e azul) e 4 camisetas (marrom, verde, rosa e branca).

Quantas so as maneiras diferentes que ele poder se vestir usando uma cala e uma camiseta?

Construindo a rvore de possibilidades:

Edgar tem duas possibilidades de escolher uma cala, para cada uma delas, so quatro as possibilidades de escolher uma camiseta. Logo, o nmero de maneiras diferentes de Edgar se vestir 2.4 = 8.

Como o nmero de resultados foi obtido por meio de uma multiplicao, dizemos que foi aplicado o PRINCIPIO MULTIPLICATIVO.

De maneira mais simples poderamos dizer que: Se um evento determinado por duas escolhas ordenadas e h n opes para primeira escolha e m opes para segunda, o nmero total de maneiras de o evento ocorrer igual a n.m.

De acordo com o princpio fundamental da contagem, se um evento composto por duas ou mais etapas sucessivas e independentes, o nmero de combinaes ser determinado pelo produto entre as possibilidades de cada conjunto.

Exemplo:

Vamos supor que uma fbrica produza motos de tamanhos grande, mdio e pequeno, com motores de 125 ou 250 cilindradas de potncia. O cliente ainda pode escolher as seguintes cores: preto, vermelha e prata. Quais so as possibilidades de venda que a empresa pode oferecer?

Tipos de venda: 3 . 2 . 3 = 18 possibilidades

CAMISETAS

MANEIRAS DE EDGAR SE VESTIR

CALAS

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Listando as possibilidades, tem-se:

Problema:

Os nmeros dos telefones da cidade de Porto Alegre tm oito dgitos. Determine a quantidade mxima de nmeros telefnicos, sabendo que os nmeros no devem comear com zero.

Resoluo:

9.10.10.10.10.10.10.10 = 90.000.000

Problema:

Utilizando os nmeros 1,2,3,4 e 5, qual o total de nmeros de cinco algarismos distintos que consigo formar?

Resoluo:

5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120


Questes

1. Quantos e quais nmeros de trs algarismos distintos podemos formar com os algarismos 1, 8 e 9?

2. Um restaurante oferece no cardpio 2 saladas distintas, 4 tipos de pratos de carne, 5 variedades de bebidas e 3 sobremesas diferentes. Uma pessoa deseja uma salada, um prato de carne, uma bebida e uma sobremesa. De quantas maneiras a pessoa poder fazer o pedido?

a) 2!b) 3!c) 4!d) 5!e) 6!

3. Uma pessoa est dentro de uma sala onde h sete portas (nenhuma trancada). Calcule de quantas maneiras distintas essa pessoa pode sair da sala e retornar sem utilizar a mesma porta.

a) 77

b) 49c) 42d) 14e) 8

4. Para colocar preo em seus produtos, uma empresa desenvolveu um sistema simplificado de cdigo de barras formado por cinco linhas separadas por espaos. Podem ser usadas linhas de trs larguras possveis e espaos de duas larguras possveis.

O nmero total de preos que podem ser representados por esse cdigo

a) 1440.b) 2880.c) 3125.d) 3888.e) 4320.


5. Uma melodia uma sequncia de notas musicais. Para compor um trecho de trs notas musicais sem repeti-las, um msico pode utilizar as sete notas que existem na escala musical. O nmero de melodias diferentes possveis de serem escritas :

a) 3b) 21c) 35d) 210e) 5040

6. Quantos nmeros inteiros positivos, com 3 algarismos significativos distintos, so mltiplos de 5?

a) 128b) 136c) 144d) 162e) 648

7. Os nmeros pares com 4 algarismos distintos, que podemos obter com os elementos do conjunto {0; 3; 4; 5; 6; 7; 8}, so em nmero de:

a) 6!b) 420c) 5.6!d) 5.4!e) 380

8. A figura abaixo pode ser colorida de diferentes maneiras, usando-se pelo menos duas de quatro cores disponveis.

Sabendo-se que duas faixas consecutivas no podem ter cores iguais, o nmero de modos de colorir a figura

a) 12b) 24c) 48d) 72e) 108



11

9. Lucia est se preparando para uma festa e separou 5 blusas de cores diferentes (amarelo, preto, rosa , vermelho e azul) , 2 saias (preta, branca) e dois pares de sapatos (preto e rosa). Se nem o sapato nem a blusa podem repetir a cor da saia, de quantas maneiras Lucia poder se arrumar para ir a festa?

a) 26.b) 320.c) 14.d) 30.e) 15.

10. No Nordeste brasileiro, comum encontrarmos peas de artesanato constitudas por garrafas preenchidas com areia de diferentes cores, formando desenhos. Um arteso deseja fazer peas com areia de cores cinza, azul, verde e amarela, mantendo o mesmo desenho, mas variando as cores da paisagem (casa, palmeira e fundo), conforme a figura.

O fundo pode ser representado nas cores azul ou cinza; a casa, nas cores azul, verde ou amarela; e a palmeira, nas cores cinza ou verde. Se o fundo no pode ter a mesma cor nem da casa nem da palmeira, por uma questo de contraste, ento o nmero de variaes que podem ser obtidas para a paisagem

a) 6. b) 7.c) 8.d) 9.e) 10.


11. O nmero de fraes diferentes entre si e diferentes de 1 que podem ser formados com os nmeros 3, 5, 7, 11, 13, 19 e 23

a) 35b) 42c) 49d) 60e) 120

12. (CESGRANRIO 2012) A vitrinista de uma loja de roupas femininas dispe de 9 vestidos de modelos diferentes e dever escolher 3 para serem exibidos na vitrine. Quantas so as escolhas possveis?

a) 84b) 96c) 168d) 243e) 504

13. ( FCC - 2012 - TRF ) Sidnei marcou o telefone de uma garota em um pedao de papel a fim de marcar um posterior encontro. No dia seguinte, sem perceber o pedao de papel no bolso da camisa que Sidnei usara, sua me colocou-a na mquina de lavar roupas, destruindo assim parte do pedao de papel e, consequentemente, parte do nmero marcado. Ento, para sua sorte, Sidnei se lembrou de alguns detalhes de tal nmero:

- o prefixo era 2204, j que moravam no mesmo bairro;

- os quatro ltimos dgitos eram dois a dois distintos entre si e formavam um nmero par que comeava por 67.

Nessas condies, a maior quantidade possvel de nmeros de telefone que satisfazem as condies que Sidnei lembrava

a) 24.b) 28.c) 32.d) 35.e) 36.

14. (CESGRANRIO 2012) Para montar a senha de segurana de sua conta bancria, que deve ser formada por seis dgitos, Joo escolheu 1, 2, 5, 5, 7 e 8. Os dgitos escolhidos no sero dispostos na ordem apresentada, pois, para Joo, importante que a senha seja um nmero maior do que 500.000.

Com os dgitos escolhidos por Joo, quantas senhas maiores do que 500.000 podem ser formadas?

a) 720b) 600c) 360d) 240e) 120



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15. Um posto policial est situado na interseco de duas rodovias federais perpendiculares de tal forma que podemos assumir que uma delas representa o eixo das abscissas e , consequentemente a outra o eixo das ordenadas.

Num certo dia ao atender um chamado de emergncia uma viatura deixou o posto em direo ao acidente ocorrido percorrendo 243 km pela rodovia que representa o eixo das abscissas no seu sentido positivo.

Socorridos os feridos , o policial iniciou o processo de investigao para descobrir o paradeiro do outro veiculo envolvido que havia evadido o local do acidente sem sequer prestar socorro s vitimas.

O motorista de um terceiro veculo que vinha passando no exato momento do acidente disse que havia conseguido ler a placa desse veiculo (formada com 3 letras e 4 algarismos) , mas ao fornecer os dados ao policial, ele ficou em dvida sobre a posio exata das trs letras que formavam a placa do carro (as letras eram J, K e G ) e tambm no lembrava o seu ultimo algarismo.

Pelo relato da testemunha podemos afirmar que h menos de 64 placas possveis que podem ser a placa exata do veiculo que fugiu do acidente.

( ) Certo ( ) Errado

16. O Grfico abaixo representa o nmero de ligaes feitas por um departamento do Tribunal no ano de 2012.

Ao tentar realizar uma ligao, um funcionrio no lembrava do nmero correto mas sabia que este comeava com os algarismos 9 e 2 ,nessa ordem e que terminava com os algarismos 7 e 6, tambm nessa ordem.

Alm disso tambm recordou que os algarismos 3,5 e 4 estavam presentes, que no havia nenhum digito repetido no numero do telefone (com 8 dgitos no total) a ser discado e entre eles havia apenas 3 algarismos pares.

O numero mximo tentativas possveis que esse funcionrio deveria fazer at conseguir ligar para o telefone desejado superior a 25.

( ) Certo ( ) Errado


17. (CESGRANRIO-2008) Quantos so os nmeros naturais pares que se escrevem (na base 10) com trs algarismos distintos?

a) 256b) 288c) 320d) 328e) 360

18. (CESGRANRIO-2009) Em uma ambulncia da Defesa Civil h, sempre, exatamente 3 bombeiros: um sargento e dois cabos.

Se no quadro de bombeiros disponveis h exatamente 3 sargentos e 4 cabos, quantas equipes diferentes podem ser formadas?

a) 7b) 9c) 12d) 18e) 36

19. (CESGRANRIO 2012) Para cadastrar-se em um site de compras coletivas, Guilherme precisar criar uma senha numrica com, no mnimo, 4 e, no mximo, 6 dgitos. Ele utilizar apenas algarismos de sua data de nascimento: 26/03/1980.

Quantas senhas diferentes Guilherme poder criar se optar por uma senha sem algarismos repetidos?

a) 5.040b) 8.400c) 16.870d) 20.160e) 28.560

20. (CESGRANRIO 2011) Deseja-se identificar cinco vagas de um estacionamento para uso da diretoria de uma empresa, cada uma com uma cor. Entretanto, h restries: as vagas esto dispostas linearmente e so adjacentes, s h trs cores diferentes no almoxarifado e duas vagas consecutivas no podem ter a mesma cor.

De quantas maneiras essa identificao possvel?

a) 15b) 32c) 48d) 125e) 243

Gabarito:1. 62. D3.C4.D5.D6.B7.B8.E9.C10.B11. B12. A13.B14.D15.C16.E17. D

18. D19.B20.C


Mdulo 2

Anlise Combinatria

Fatorial

Ao produto dos nmeros naturais comeando em n e decrescendo at 1 denominamos de fatorial de n e representamos por n!.

n! = n.(n - 1).(n - 2).(n - 3)..... 3. 2. 1

Exemplo:

7! = 7.6.5.4.3.2.1 12! = 12.11.10.9.8.7.6.5.4.3.2.1

Faa voc

1. Determine:

a) 5! = b) 6! = c) 4! + 2! =

Ateno!

a) (x + 4)! = ( ). ( ). ( ). ( )!b) (x - 4)! = ( ). ( ). ( ). ( )!c) 10! = ( ). ( ). ( )!

Cuidado!1! = 1 e 0! = 1

2. Simplifique:

a) =

b) =


Identificao

SIM NO

SIM NO

Importa a ordem entreos selecionados?

PERMUTAO

ARRANJO COMBINAO

Sobra Algum?

Permutao Simples

caracterizada por envolver todos os elementos, nunca deixando nenhum de fora. Muito comum em questes que envolvem anagramas de palavras.

Frmula: Pn = n!

Exemplo:

Quantos anagramas possui a palavra AMOR.

Um anagrama formado com A, M, O, R corresponde a qualquer permutao dessas letras, de modo a formar ou no palavras.

Temos 4 possibilidades para a primeira posio, 3 possibilidades para a segunda posio, 2 possibilidades para a 3 posio e 1 possibilidade para a quarta posio.

Pelo princpio fundamental da contagem temos 4 * 3 * 2 * 1 = 24 possibilidades ou 24 anagramas.

Pela prpria frmula faremos P4 = 4! = 4.3.2.1= 24 anagramas.

Alguns anagramas: ROMA, AMRO, MARO, ARMO, MORA . . .



Permutao com repetio

Pn(, , ...) =

n!! ! ! ...

Exemplo1: Quantos so os anagramas da palavra BANANA?

Exemplo2: Quantos anagramas tm a palavra CONCURSO?


Faa voc5. Calcule:

a) P3 =b) P5 =c) P4 + P6 =

6. Quantos anagramas possui a palavra CHAPU?

7. Quantos anagramas possui a palavra GACHOS de modo que as vogais fiquem juntas?

8. Carlos e Rose tm trs filhos: Srgio, Adriano e Fabola. Eles querem tirar uma foto de recordao na qual todos apaream lado a lado. Quantas fotos diferentes podem ser registradas?

9. Seis amigos Ana, Bernardo, Carlos, Dbora, Elisa e Fbio esto sentados num banco de uma praa. Calcule de quantas maneiras podemos disp-los sendo que Ana, Bernardo e Carlos sempre estejam juntos.



Arranjo

uma seleo (no se usam todos ao mesmo tempo!!), em que a ordem faz diferena.

Muito comum em questes de criao de senhas, nmeros, telefones, placas de carro, competies, disputas, situaes em que houver hierarquia.

Frmula: Anp = n!

(n - p)!

Exemplo:

Um cofre possui um disco marcado com os dgitos 0, 1, 2, ..., 9. O segredo do cofre marcado por uma sequncia de 3 dgitos distintos. Se uma pessoa tentar abrir o cofre, quantas tentativas dever fazer (no mximo) para conseguir abri-lo?

Soluo: As sequncias sero do tipo xyz. Para a primeira posio teremos 10 alternativas, para a segunda, 9 e para a terceira, 8. Podemos aplicar a frmula de arranjos, mas pelo princpio fundamental de contagem, chegaremos ao mesmo resultado:

10. 9. 8 = 720. Observe que 720 = A10,3

Dica:Pode ser resolvido usando o P. F da Contagem


Faa voc

10. Calcule:

a) A5, 2 =b) A7, 3 =c) A9, 1 =

11. Determine a quantidade de nmeros de quatro algarismos formados por dgitos pares distintos.

a) 96b) 20c) 40d) 60e) 24

12. Dez atletas participaro de uma maratona. Determine a quantidade mxima de pdios possveis.

13. Um hotel possui quartos numerados diferente do tradicional. Cada quarto composto por um nmero de trs ou quatro dgitos mpares distintos. Calcule o nmero mximo de quartos que esse hotel poder possuir.



Combinao

uma seleo (no se usam todos ao mesmo tempo!!) em que a ordem NO faz diferena. Muito comum em questes de criao de grupos, comisses, agrupamentos em que no h distino pela ordem dos elementos escolhidos.

Frmula: Cpn = Cn,p = n!

(n - p) !p!

Exemplo:

Uma prova consta de 5 questes das quais o aluno deve resolver 2. De quantas formas ele poder escolher as 2 questes?

Soluo: Observe que a ordem das questes no muda o teste. Logo, podemos concluir que se trata de um problema de combinao de 15 elementos com taxa 10.

Aplicando simplesmente a frmula chegaremos a:

C5,2 = 5! / [(5-2)! . 2!] = 5! / (3! . 2!) = 5.4.3.2.1. / 3.2.1.2! = 20/2 = 10

mas poderamos aplicar o mtodo prtico:

C5,2 = 5.42.1

= 20/2 = 10

Faa voc

14. Calcule pelo Mtodo Prtico:

a) C5, 2 =b) C10, 4 =c) C8, 1 =d) C5, 5 =e) C7, 5 =f) C6, 5 =

Exemplo:

a) C20, 18 = C20 , 2b) C9, 6 = C9, 3c) C10, 4 = C 10 ,6

Dica:S pode ser resolvido usando a frmula, mas iremos aprender o mtodo prtico!!

Dica:Combinaes Complementares agilizam os clculos:

C 5,2 = C 5,3 pois 2 e 3 se complementam para somar 5.


Faa voc

15. Uma lanchonete dispe de seis frutas tropicais diferentes para a venda de sucos. No cardpio possvel escolher sucos com trs ou quatro frutas misturadas. O nmero mximo de sucos distintos que essa lanchonete poder vender de:

a) 720b) 70c) 150d) 300e) 35

16. Os 32 times que jogaro a copa do mundo 2014 no Brasil esto agrupados em oito grupos de quatro selees cada. As quatro selees de cada grupo se enfrentaro uma nica vez entre si formando a primeira etapa da copa. Calcule a quantidade de jogos que cada grupo ter.

17. O nmero de anagramas da palavra GACHO que comeam e terminam por vogal :

a) 24b) 48 c) 96d) 120e) 144

18. Em uma viagem de estudos realizada pelos alunos dos Cursos de Matemtica e Engenharia Mecnica da UFSM, observou-se que, dos 40 passageiros, 25 eram conhecidos entre si. Feitas as apresentaes, os que no se conheciam apertaram-se as mos, uns aos outros. O nmero de apertos de mo

a) 156b) 200c) 210d) 300e) 480



19. Assinale V nas afirmativas verdadeiras e F nas falsas.

( ) Na placa da figura, o algarismo da unidade igual ao da centena, bem como o algarismo da dezena igual ao do milhar. Assim, a quantidade de placas distintas com essa caracterstica e com as letras PN nessa ordem 100.

( ) Considerando placas formadas por 3 letras e 4 algarismos, a quantidade de placas distintas que contm apenas as letras P e N e que tm os algarismos da unidade e da centena iguais 6.10.

( ) Considerando placas formadas por 3 letras e 4 algarismos, a quantidade de placas distintas que contm apenas as letras P e N e que tm os algarismos da dezena e do milhar iguais C(3, 2) . A(4, 2).

A sequncia correta

a) F - F - V.b) V - F - V.c) V - V - F.d) F - V - F.e) F - F - F.

20. Um torneio de xadrez, no qual cada jogador joga com todos os outros, tem 435 partidas.

Quantos jogadores o disputaram?

a) 25. b) 23. c) 20. d) 24. e) 30.

21. Numa Cmara de Vereadores, trabalham 6 vereadores do partido A, 5 vereadores do partido B e 4 vereadores do partido C. O nmero de comisses de 7 vereadores que podem ser formadas, devendo cada comisso ser constituda de 3 vereadores do partido A, 2 do partido B e 2 vereadores do partido C, igual a

a) 7b) 36c) 152d) 1200e) 28800


22. Uma pessoa dispe de 4 livros de matemtica, 2 livros de fsica e 3 livros de qumica, todos distintos entre si. O nmero de maneiras diferentes de arrumar esses livros numa fileira de modo que os livros de cada matria fiquem sempre juntos

a) 1728.b) 1287.c) 1872.d) 2781.e) 2000.

23. Ao participar de uma comemorao de final de ano na empresa em que trabalha, o gerente, para testar os seus conhecimentos matemticos, queria descobrir quantas pessoas estavam presentes na festa. Entretanto no queria fazer a contagem das pessoas pela maneira tradicional e sim pelo nmero de apertos de mos dados naquela festa. Sabendo que todos apertaram-se s mos uma nica vez e que o total de apertos de mo foi 190, ento, se ele fez a conta correta, o nmero de pessoas na festa era de:

a) 20b) 19c) 21d) 18e) 22

24. Durante a Copa do Mundo, que foi disputada por 24 pases, as tampinhas de Coca-Cola traziam palpites sobre os pases que se classificariam nos trs primeiros lugares (por exemplo: primeiro lugar, Brasil; segundo lugar, Nigria; terceiro lugar, Holanda).

Se, em cada tampinha, os trs pases so distintos, quantas tampinhas diferentes poderiam existir?

a) 69b) 2024c) 9562d) 12144e) 13824



25. O nmero de agrupamentos de 6 letras que podemos formar com as letras da palavra PEDRAS, comeando e terminando com uma letra que represente consoante,

a) 72b) 480c) 192d) 432e) 288

26. Em uma sala existem 10 pessoas, sendo 8 mulheres e 2 homens. O nmero de possibilidades de formar, com essas 10 pessoas, um grupo que contenha exatamente 3 mulheres e 2 homens

a) C38b) C510c) 2C38d) A510e) A38

27. Uma associao recm-formada vai constituir uma diretoria composta de 1 presidente, 1 tesoureiro e 2 secretrios. Entre os membros da associao, 6 deles se candidataram a presidente, 4 outros se ofereceram para tesoureiro e 8 outros para a secretaria. O nmero de maneiras distintas que se tem para a formao dessa diretoria igual a:

a) 1344b) 672c) 432d) 384e) 192

28. Voc faz parte de um grupo de 12 pessoas, 5 das quais devero ser selecionadas para formar um grupo de trabalho. De quantos modos voc poder fazer parte do grupo a ser formado?

a) 182b) 330c) 462d) 782e) 7920


29. Considere que um professor de arqueologia tenha obtido recursos para visitar 5 museus, sendo 3 deles no Brasil e 2 fora do pas. Ele decidiu restringir sua escolha aos museus nacionais e internacionais relacionados na tabela a seguir.

De acordo com os recursos obtidos, de quantas maneiras diferentes esse professor pode escolher os 5 museus para visitar?

a) 6 b) 8 c) 20 d) 24 e) 36

30. Uma pizzaria permite que seus clientes escolham pizzas com 1, 2 ou 3 sabores diferentes dentre os 7 sabores que constam no cardpio. O nmero de pizzas diferentes oferecidas por essa pizzaria, considerando somente os tipos e nmero de sabores possveis, igual a

a) 210.b) 269.c) 63.d) 70.e) 98.

31. O nmero de anagramas da palavra CASA que comeam por consoante :

a) 4b) 6 c) 8d) 12e) 14

32. Quantos anagramas da palavra PALCO podemos formar de maneira que as letras A e L apaream sempre juntas?

a) 48b) 24c) 96d) 120e) 36



33. (CESGRANRIO 2011) De um grupo de seis operadores de equipamentos de produo e refino de petrleo, quatro sero escolhidos para trabalhar na mesma equipe. De quantos modos distintos possvel escolher os operadores que integraro esta equipe?

a) 15b) 30c) 60d) 125e) 360

34. (AOCP -2011) Quantos subconjuntos podemos formar com 3 bolas azuis e 2 vermelhas, de um conjunto contendo 7 bolas azuis e 5 vermelhas?

a) 250b) 5040c) 210d) 350e) 270

35. (CESGRANRIO 2010) Um treinador de futebol dispe de 3 goleiros, 5 atacantes, 6 jogadores de meio de campo e 4 zagueiros para compor um time de 11 jogadores. Se o time ser composto por 1 goleiro, 3 atacantes, 5 jogadores de meio de campo e 2 zagueiros, de quantos modos diferentes esse time poder ser montado?

a) 25b) 120c) 360d) 745e) 1080

36. (CESGRANRIO 2011) Em uma loja, trabalham 8 funcionrias, dentre as quais Diana e Sandra. O gerente da loja precisa escolher duas funcionrias para trabalharem no prximo feriado. Sandra e Diana trabalharam no ltimo feriado e, por isso, no podem ser escolhidas.

Sendo assim, de quantos modos distintos esse gerente poder fazer a escolha?

a) 15b) 28c) 32d) 45e) 56

Gabarito:1. *2. *3. D4. C5. *6.*7. *8. *9. *10. *11. A12. *13. *14. *15. *16. *17. B

18. E19. C20. E21. D22. A23. A24. D25. B26. A27. B28. B29. D30. C31. B32. A33. A

34. D35. E36.A

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