RACIOCÍNIO LÓGICO

CURSO EM PDF – RACIOCÍNIO LÓGICO – POLÍCIA FEDERAL Prof. Ana Luísa

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AULA DEMONSTRATIVA

Olá concurseiros, sou a professora Ana Luísa Duboc! Sou formada em Ciências da Computação pela Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ), tenho mestrado em Inteligência Artificial e atualmente estou terminando o meu doutorado na mesma área, ambos pela COPPE/UFRJ. Para quem não sabe, e falando de uma forma leiga, Inteligência Artificial é uma área de pesquisa da ciência da computação que estuda como fazer os computadores realizarem coisas que, atualmente, os humanos fazem melhor, e como tal, exige muito estudo da Lógica!

Já fui monitora várias vezes da disciplina de Lógica ao longo do meu mestrado, e também já dei aulas particulares de raciocínio lógico para concursos.

Atualmente sou professora substituta da Universidade Estadual do Rio de Janeiro (UERJ), e professora contratada da Unigranrio, ambas na área de computação. Também sou professora de Raciocínio Lógico no curso preparatório SOFEP, e professora particular de matemática para todas as séries.

Raciocínio Lógico sempre foi uma paixão pra mim, e acreditem, estou tendo um prazer enorme em preparar estas aulas para vocês!

Mas afinal, por que os concursos cobram raciocínio lógico? Essa é fácil de responder! Estudar raciocínio lógico ajuda a desenvolver a capacidade de resolver problemas, ensina a como pensar de uma forma lógica e rápida, e isso é importante para qualquer trabalho que se venha a fazer! No início pode até parecer um pouco complicado, mas depois que pega o jeito fica muito divertido!

Estas aulas são voltadas para concursos organizados pela CESPE. Todas as questões comentadas e propostas neste curso foram, portanto, retiradas de provas anteriores da CESPE. Eu coletei mais de 350 questões, e pude perceber que a maioria delas é a respeito de lógica de argumentação e princípios de contagem e probabilidade. Veremos estes dois tópicos exaustivamente, focando, principalmente, em resolver muitas questões! Da parte de Lógica de Argumentação temos mais de 70 questões, e da parte de contagem e probabilidade, mais de 120 questões!



Além disso, veremos também a parte de associação lógica, que incluem aquelas questões do tipo: quem é casado com quem, quem tem o carro tal, quem tem tal profissão,... E veremos aquelas questões de identificar quem fala a verdade e quem mente, quem é o culpado e quem é o inocente. Esses dois assuntos não são tão cobrados quanto os anteriores, mas está no edital, e podem cair!

Por fim consideraremos a parte de operação de conjuntos e problemas aritméticos, geométricos e matriciais.

Nesta primeira aula nos focaremos na parte básica do raciocínio lógico, que envolve as definições de proposição e sentença, apresentação dos conectivos e suas respectivas tabelas-verdade, negação de proposições compostas (que é muito cobrado!), representação simbólica das proposições, ou seja, transformar em símbolos uma determinada frase, e equivalência de proposições. Todos esses assuntos são muito importantes, e precisam sem muito bem entendidos, porque a partir disto o resto fica fácil!

Ao longo do curso irei mostrar a vocês os vários tipos de questões que podem ser cobradas, e como resolver cada uma delas, de forma que vocês não terão surpresas na hora da prova!

Segue abaixo o cronograma das nossas aulas, para que vocês possam se preparar.

Aula DEMO Compreensão de Estruturas Lógicas

Aula 1 Lógica de 1ª Ordem, Lógica de Argumentação (Diagramas Lógicos)

Aula 2 Continuação Lógica de Argumentação, Associação Lógica, Verdade/Mentira, Inocente/Culpado

Aula 3 Princípio da Contagem e Probabilidade

Aula 4 Operação com Conjuntos

Aula 5 Problemas Aritméticos, Geométricos e Matriciais

Aula 6 Resolução de Provas da CESPE, começando pelas da Polícia Federal. Questões propostas da CESPE

Então vamos começar?



FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

Esta primeira aula será mais teórica, pois é preciso introduzir alguns conceitos básicos tais como o que são sentenças, proposições e conectivos, o que significa uma proposição ter um valor lógico e como se constrói as famosas tabelas-verdade, e o mais importante, sem ter que decorá-las! Mesclaremos teoria com algumas questões comentadas da CESPE, e após estas definições, que são a base do raciocínio lógico, seremos capazes de resolver a maior parte das questões cobradas pela CESPE.

I) Sentença

Forma de se expressar, declarada por meio de palavras ou símbolos, e que estabelece um pensamento completo. Dentre os vários tipos de sentença, os mais comuns estão exemplificados abaixo:

• Exclamativa: “Feliz Aniversário!” • Interrogativa: “Quantos anos você tem?” • Imperativa: “Faça o dever de casa” • Declarativa: “A casa é amarela”

Estamos interessados apenas nas sentenças declarativas, também chamadas de sentenças fechadas, às quais se pode atribuir um valor verdadeiro ou falso. Perceba que não é possível atribuir um valor verdadeiro ou falso às demais formas de sentenças como as interrogativas, exclamativas e imperativas.

II) Proposição

É o conceito mais elementar no estudo da lógica. É definida como sendo uma sentença cujo conteúdo pode ser considerado verdadeiro ou falso. Ou seja, proposições nada mais são do que sentenças declarativas (ou fechadas)!

Alguns exemplos de proposições:



• A Terra é redonda. (verdadeira) • 2 + 2 = 7 (falsa) • O Brasil é um país da Europa. (falsa) • O número 6 é par. (verdadeira)

Há dois princípios importantes que devem ser considerados quando pensamos em proposições:

1) Princípio da não-contradição: “nenhuma proposição pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo”.

2) Princípio do terceiro-excluído: “uma proposição ou será verdadeira ou será falsa: não há outra possibilidade”.

A partir destes princípios podemos definir o conceito de valor lógico, expressão muita usada nas questões de concurso público, que nada mais é do que a classificação da proposição em verdadeira(V) ou falsa(F).

A questão abaixo exemplifica um tipo de questão acerca de definição de proposição que é muito cobrada em provas de concurso público, inclusive pela CESPE.

(BB – 2007) Há duas proposições no seguinte conjunto de sentenças:

I. O BB foi criado em 1980 II. Faça seu trabalho corretamente.

III. Manuela tem mais de 40 anos de idade.

Observe a primeira sentença: “O BB foi criado em 1980”. Vocês poderiam se perguntar: “Eu não faço a menor idéia se o Banco do Brasil foi criado em 1980! Como que eu vou saber se isso é verdadeiro ou falso? Como que vou saber se se isso é uma proposição?!”

Aí que está o ponto! Vocês não precisam saber se é verdadeiro ou falso para afirmar que é uma proposição ou não, basta saber que a sentença pode ter um valor lógico (de acordo com os princípios



declarados acima), e isso a gente sabe, pois o Banco do Brasil foi criado em algum ano, com certeza! Se foi em 1980, então a sentença é verdadeira, caso contrário, ela é falsa. Mas de qualquer jeito ela pode ser classificada, e, portanto, é uma proposição!

Este é o mesmo caso da terceira sentença: “Manuela tem mais de 40 anos de idade”. Apesar de vocês não saberem quem é Manuela, essa sentença pode ser verdadeira ou falsa, e, portanto, também é uma proposição.

O único caso que foge à regra é a segunda sentença: “Faça seu trabalho corretamente” que é uma sentença imperativa, e, portanto, não é considerada uma proposição.

Logo, apenas a primeira e a terceira sentença são consideradas proposições, confirmando o enunciado a questão, que afirma que há duas proposições no conjunto de sentenças.

Gabarito: Certa

Atenção! Existe um tipo de sentença que muitas vezes os concurseiros confundem com proposições lógicas e acabam errando as questões. São as sentenças abertas!

Sentenças abertas são aquelas que vêm com uma variável, um elemento desconhecido, e que, portanto, não podemos garantir que sejam verdadeiras ou falsas.

• X é um famoso jogador de futebol.

Como não sabemos quem é X, não podemos dizer se a sentença acima é verdadeira ou falsa. Dependendo do valor que X assumir, a sentença pode ter valor lógico V ou F.

• Pelé é um famoso jogador de futebol. (V) • Pedro Bial é um famoso jogador de futebol. (F)

Sabemos que Pelé é realmente um famoso jogador de futebol, o que torna a sentença verdadeira, mas claramente Pedro Bial não é, tornando a sentença falsa.



Pode parecer desnecessário saber disso, mas ignorar tal definição pode acarretar em perder uma questão. Observe a questão abaixo:

(SEGER-ES – 2007) Na lista de afirmações abaixo, há exatamente 3 proposições.

I. Mariana mora em Piúma. II. Em Vila Velha, visite o Convento da Penha.

III. A expressão algébrica x + y é positiva. IV. Se Joana é economista, então ela não entende de

políticas públicas. V. A SEGER oferece 220 vagas em concurso público.

Nesta lista de sentenças já sabemos, logo de cara, que a I e a V são proposições, pois seguem o mesmo raciocínio da questão anterior. Sabemos também que a sentença II não é uma proposição, e sim uma sentença imperativa, à qual não podemos atribuir um valor lógico. Quanto à sentença IV, acreditem, por agora, que ela é uma proposição, ou seja, que ela pode ser classificada como verdadeira ou falsa. Isto ficará mais claro mais adiante, quando estudarmos as proposições compostas e os conectivos lógicos.

Até o momento temos 3 proposições, e só falta analisarmos a sentença III: “A expressão algébrica x + y é positiva”, e essa análise será definitiva para decidir se a questão está certa ou errada. Alguém desprevenido poderia pensar: “bom, dependendo do valor que x e y assumirem, essa sentença pode ser verdadeira ou falsa, logo ela é uma proposição”. Errado!! Nós sabemos que a sentença III é uma sentença aberta, já que temos as variáveis x e y que não possuem um valor específico, e que impedem a classificação da sentença como verdadeira ou falsa, não sendo considerada como uma proposição. Portanto, temos apenas 3 proposições, e a questão está certa.

Observe que a sentença III só seria uma proposição se a questão definisse o valor de x e y, o que nos leva a outro tipo de questão, conforme mostrada abaixo.

(MPE/TO – 2006) A proposição “para cada x, (x + 2) > 7” é interpretada como V para x pertencente ao conjunto {6, 7, 8, 9}.



A sentença “para cada x, (x+2) > 7”, por si só, não pode ser classificada como verdadeira ou falsa, pois não sabemos quais os valores de x estão sendo considerados. A partir do momento em que a questão define o conjunto ao qual x pertence, aí sim podemos considerar a sentença como uma proposição e avaliar o seu valor lógico.

Neste caso, x pertence ao conjunto {6, 7, 8, 9}, e substituindo na sentença temos:

• (6+2) > 7. • (7+2) > 7. • (8+2) > 7. • (9+2) > 7.

Todas as sentenças acima são verdadeiras, portanto a proposição “Para cada x, (x+2) > 7” torna-se verdadeira para este conjunto.

Gabarito: Certa

Uma proposição pode ser dividida em duas categorias:

Proposição Simples (ou atômica): não contém nenhuma proposição como parte integrante de si mesma. Geralmente são simbolizadas por letras do alfabeto (p, q, r, ...).

p: Marte é um planeta. q: 7 é um número par.

Observe que para as proposições p e q acima, o valor lógico de p é V e o de q é F.

Proposição Composta: formada pela combinação de uma ou mais proposições, ligadas por conectivos.

• Carlos é inteligente e Mário é torcedor do Flamengo. • Maria vai ao teatro ou Paulo vai ao cinema. • Se chover amanhã, então não irei à praia. • Comprarei uma casa se e somente se eu ganhar na loteria.

As palavras marcadas em negrito são o que chamamos de conectivos, pois elas conectam duas proposições simples, cada uma



podendo assumir um valor lógico diferente. Mas como podemos saber se a proposição composta é verdadeira ou falsa a partir do valor lógico atribuído a cada uma de suas proposições simples constituintes?! Através das Tabelas-Verdade!!! Vamos entender o que cada conectivo significa e como criamos cada tabela-verdade? III) Conectivos e suas Tabelas-Verdade

Cada conectivo é representado por um símbolo diferente e possui uma tabela-verdade correspondente, que nada mais é do que uma tabela que mostra que valores a proposição composta por assumir dependendo da combinação dos valores lógicos que as proposições simples possuem. Muitos professores recomendariam que vocês decorassem as tabelas-verdade, mas de fato, se vocês entenderem o conceito por trás de cada conectivo, não será preciso decorar.

1. Conjunção (˄)

Denominamos conjunção à proposição composta formada por duas proposições quaisquer ligadas pelo conectivo “e” ou equivalente, representado pelo símbolo ˄. Suponha as proposições p e q:

p: Paulo é dentista. q: Laura gosta de chocolate.

A conjunção destas duas proposições é dada por “Paulo é dentista e Laura gosta de chocolate”, e é representada por p˄q.

Além do “e”, as seguintes expressões podem ser usadas para denotar a conjunção:

“Tanto Paulo é dentista como Laura gosta de chocolate”.

“Paulo é dentista mas Laura gosta de chocolate”. (apesar do “mas” sugerir sentido contrário, logicamente falando, o “mas” é equivalente ao “e”).

O que precisaria para que a proposição composta “Paulo é dentista e Laura gosta de chocolate” fosse verdadeira? Digamos que Paulo seja



realmente dentista, mas suponha que Laura odeie chocolate. Eu posso dizer que é verdade que “Paulo é dentista e Laura gosta de chocolate” ? Não! porque, se pensarmos intuitivamente, essa proposição só seria verdade se Laura gostasse de chocolate, porque aí teríamos ambas as proposições verdadeiras.

Para que uma conjunção seja verdadeira, ambas as proposições que a compõe, ou seja, que estão interligadas pelo conectivo “e”, devem ser verdadeiras.

A tabela-verdade da conjunção é dada por:

p q p ˄ q V V V V F F F V F F F F

Perceba na tabela acima que a conjunção p ˄ q só é verdadeira quando p e q são verdadeiras. Em todas as outras linhas, quando pelo menos uma das proposições p ou q é falsa, a conjunção se torna falsa.

Outra forma de assimilar esse conectivo e os próximos é pensar em proposições que possam ser interpretadas como uma promessa.

Suponha que um pai promete à sua filha que acabou de completar 15 anos: “Eu te darei uma viagem e te darei uma festa”. O que a filha vai entender? que ela vai ganhar a viagem e a festa! Sortuda né?! Caso o pai não dê nenhum presente ou dê apenas um deles, a promessa será falsa. A promessa só será verdadeira se ambas as partes forem verdadeiras.

2. Disjunção (˅)

Denominamos disjunção à proposição composta formada por duas proposições quaisquer ligadas pelo conectivo “ou”, representado pelo símbolo ˅. Supondo as mesmas proposições p e q do item anterior, a disjunção destas duas proposições é dada por “Paulo é dentista ou Laura gosta de chocolate”, e é representada por p ˅ q.



Ao contrário da conjunção, para que a disjunção seja verdadeira basta que uma das proposições que a compõe seja verdadeira.

Voltando ao exemplo da promessa. Se o pai promete: “Eu te darei a viagem ou te darei a festa”, a filha sabe que a promessa é por apenas um dos presentes: viagem ou festa! Ganhando um dos dois, a promessa já foi cumprida! Se o pai for abastado e resolver dar os dois presentes? A promessa foi mais do que cumprida! O único caso em que a promessa não é cumprida é se o pai não der nem a viagem e nem a festa.

A tabela-verdade da disjunção é dada por:

p q p ˅ q V V V V F V F V V F F F

Perceba na tabela acima que a disjunção p ˅ q só é falsa quando p e q são falsas. Em todas as outras linhas, quando pelo menos uma das proposições p ou q é verdadeira, a disjunção se torna verdadeira.

3. Disjunção exclusiva (∨)

Agora compare as duas proposições a seguir:

“Te darei a viagem ou te darei a festa” “Ou te darei a viagem ou te darei a festa” Qual a diferença entre as duas?

Na primeira sentença, se a primeira parte for verdade, isto não impede que a segunda também o seja, conforme vimos no item anterior. Já na segunda sentença, se a filha ganhar a viagem ela não ganhará a festa, e vice-versa, porque é um ou outro, nunca os dois ao mesmo tempo.

Na disjunção exclusiva, também conhecida como ou-exclusivo, as proposições são ligadas pelo conectivo ou...ou, tal que as proposições



são mutualmente excludentes, ou seja, não podem ser verdadeiras e nem falsas ao mesmo tempo, pois em ambos os casos a promessa é falsa.

A disjunção exclusiva é representada pelo símbolo ∨ e sua tabela-verdade é mostrada a seguir:

P q p ∨ q V V F V F V F V V F F F

Perceba na tabela acima que a disjunção exclusiva p ∨ q é falsa quando p e q são ambos verdadeiros ou ambos falsos. Em todas as outras linhas, quando pelo menos uma das proposições p ou q é verdadeira, a disjunção exclusiva se torna verdadeira.

4. Condicional ou Implicação (→)

Denominamos condicional a proposição composta formada por duas proposições quaisquer que estejam ligadas pelo conectivo “Se ... então” ou por uma de suas formas equivalentes. Dadas as proposições:

p: Paulo é médico. q: Laura gosta de chocolate.

A condicional “Se Paulo é médico então Laura gosta de chocolate” pode ser representada por p→q. A proposição p é chamada de condição ou antecedente, e a proposição q é chamada de conclusão ou consequente.

A condicional é o conectivo que mais confunde os estudantes, por não ser nada intuitivo. Observe a proposição dada: “Se Paulo é médico então Laura gosta de chocolate”. Primeiro vocês podem se perguntar: O



que o fato de Paulo ser médico tem a ver com Laura gostar ou não de chocolate?

Pois então guardem a primeira lição: a sentença representada pela condicional pode, aparentemente, não fazer sentido nenhum e ainda assim ser avaliada como verdadeira, pois o que importa é o valor lógico de cada proposição isolada.

Ok! Aceitando então que a sentença pode não fazer sentido, como avaliar então se ela é verdadeira?

Vamos voltar para o exemplo da promessa. Suponha que o pai coloque uma condição para a filha ganhar o presente: “Se você passar de ano então eu te darei a festa”. Analisando os possíveis casos:

1º) A filha passou de ano e o pai deu a festa: Neste caso a promessa do pai foi cumprida.

2º) A filha não passou de ano e o pai não deu a festa: Como o pai só tinha prometido a festa se a filha tivesse passado de ano, então ele não descumpriu a promessa.

3º) A filha não passou de ano e o pai deu a festa: O pai pode ter ficado com pena da filha, e apesar dela não ter passado de ano, ainda assim o pai deu a festa. Ele descumpriu a promessa? Não! Porque a promessa era para o caso da filha passar de ano. A promessa não diz nada a respeito do que aconteceria se ela não passasse. Esse é o maior erro dos estudantes, assumirem que a proposição composta é falsa só porque a primeira parte é falsa! Cuidado com isso!

4º) A filha passou de ano e o pai não deu a festa: Agora sim é claro que o pai descumpriu a promessa! A filha fez a parte dela, passou de ano, e o pai não cumpriu com a sua palavra, ou seja, não deu a festa! Este é o único caso em que a condicional é falsa, quando a primeira parte é verdadeira, mas a segunda é falsa!

A tabela-verdade da condicional é dada por:



p q p → q V V V V F F F V V F F V

Agora observe a seguinte condicional:

“Se eu nasci na Bahia então sou brasileiro”

Qual a única forma desta proposição estar errada? Se a primeira parte for verdadeira e a segunda for falsa. Ora, se é verdade que nasci na Bahia, então necessariamente é verdade que sou brasileiro! Afinal de contas a Bahia fica no Brasil!

O fato de eu ter nascido na Bahia é condição suficiente (basta isso!) para que se torne um resultado necessário que eu seja brasileiro. Uma condição suficiente gera um resultado necessário.

Se alguém disser que: “Pedro ser rico é condição suficiente para Maria ser médica”, então nós podemos reescrever essa sentença usando a condicional:

“Se Pedro for rico, então Maria é médica”

O oposto também vale. “Maria ser médica é condição necessária para que Pedro seja rico” pode ser traduzido para:

“Se Pedro for rico, então Maria é médica”

A tradução das palavras suficiente e necessário para a forma condicional já foi bastante exigida em concursos. Veja a questão abaixo:

(BB – 2008) A proposição “Se as reservas internacionais em moeda forte aumentam, então o país fica protegido de ataques especulativos” pode também ser corretamente expressa por “O país ficar protegido de ataques especulativos é condição necessária para que as reservas internacionais aumentem”.



Pelo que acabamos de aprender, a proposição “as reservas internacionais em moeda forte aumentarem” é condição suficiente para “o país ficar protegido de ataques especulativos”. Assim como, “o país ficar protegido de ataques especulativos” é condição necessária para “as reservas internacionais em moeda forte aumentarem”, conforme enunciado pela questão.

Gabarito: Certa

Outras expressões podem ser usadas para representar a condicional, além das duas acima, e são equivalentes a “Se p então q”, onde p e q são proposições. Algumas delas estão enumeradas a seguir.

Se p, q. q, Se p. Quando p, q. p implica q. p somente se q. Todo p é q. Exemplos: Se chove, o chão fica molhado. O chão fica molhado, se chove. Quando chove, o chão fica molhado. Chover implica o chão ficar molhado. Chove somente se o chão fica molhado. Toda vez que chove o chão fica molhado. 5. Bicondicional ou dupla implicação (↔)

Denominamos bicondicional a proposição composta formada por duas proposições quaisquer que estejam ligadas pelo conectivo “Se e somente se”.

A bicondicional “Paulo é médico se e somente se Laura gosta de chocolate” pode ser representada por p↔q.



A bicondicional é a mesma coisa que fazer a conjunção de duas proposições condicionais. A proposição acima também poderá ser escrita como “Se Paulo é médico então Laura gosta de chocolate e Laura gosta de chocolate se Paulo é médico”, e pode ser representada por (p→q)˄(q→p).

Na proposição bicondicional, as duas partes componentes estão, por assim dizer, amarradas: se uma for verdadeira, a outra também terá que ser verdadeira; se uma for falsa, a outra também terá que ser falsa. A tabela-verdade da bicondicional é dada por:

p q p ↔ q V V V V F F F V F F F V

Algumas expressões equivalentes a “p se e somente se q”: p se e só se q. p é condição suficiente para q e q é condição suficiente para p. q é condição necessária para p e p é condição necessária para

q. Todo p é q e todo q é p.

Todo p é q e reciprocamente.

6. Negação (¬)

A negação, a princípio, é o conectivo mais simples. Ele também pode ser representado pelo símbolo ~, mas nas questões da CESPE ele normalmente é representado por ¬.

Dada uma proposição qualquer p, denominamos negação de p à proposição composta que se obtém a partir da proposição p acrescida do conectivo lógico “não” ou de outro equivalente. Suponha, por exemplo, que a proposição p seja dada por:



p: Paulo é médico. As seguintes proposições compostas serão consideradas negação de p: Paulo não é médico. Não é verdade que Paulo é médico. É falso que Paulo é médico. Simbolicamente falando, todas as proposições acima serão representadas da mesma forma, ou seja, por ¬p.

Negar uma proposição nada mais é do que inverter o seu valor lógico, ou seja, se a proposição simples for verdadeira, a proposição correspondente à negação dela será falsa, e vice-versa. Sua tabela verdade é dada por:

p ¬p V F F V

Cuidado com o seguinte tipo de questão:

(SEBRAE – 2008) A negação da proposição “2 + 5 = 9” é a proposição “2 + 5 = 7”.

Apesar de “2 + 5 = 7” ser verdadeiro e “2 + 5 = 9” ser falso, a proposição “2 + 5 = 7” não é a negação de “2 + 5 = 9” ! Pense na proposição acima sem ser escrita na forma matemática: “2 mais 5 é igual a 9”. Para a negarmos precisamos usar algum conectivo de negação, tal como o “não”, resultando na proposição “2 mais 5 não é igual a 9”, que na forma matemática poderia sem simbolizada por “2 + 5 ≠9”

Gabarito: Errada Muitas questões da CESPE se referem a negar uma proposição composta, que é quando o conectivo de negação começa a complicar.



O caso mais simples é a negação de uma negação, ou seja, quando a proposição composta a ser negada é uma negação. Por exemplo, se temos a proposição composta ¬p dada por “João não é médico”, então a negação desta proposição, representada por ¬(¬p), será a proposição p original “João é médico”, ou seja, negar uma negativa significa tirar a palavra “não”.

Como negar uma conjunção, uma disjunção, uma disjunção exclusiva, uma condicional e uma bicondicional? Começaremos pela negação da conjunção e da disjunção. As formas de representação da negação destes dois conectivos fazem parte das chamadas Leis de De Morgan. Vamos ver cada caso separadamente. 6.1) Negação de uma conjunção Representamos a negação de uma conjunção p ˄ q, onde p e q são proposições quaisquer, por ¬( p ˄q). Para fazer a negação devemos seguir os seguintes passos:

1º) Negar a primeira proposição: ¬p 2º) Negar a segunda proposição: ¬q 3º) trocar o e por ou ( ˄por ˅ ) Portanto ¬( p ˄q) também pode ser representada por ¬p ˅¬q (uma das leis de De Morgan).

(Técnico Judiciário – 2010) A negação da proposição “O presidente é o membro mais antigo do tribunal e o corregedor é o vice-presidente” é “O presidente é o membro mais novo do tribunal e o corregedor não é o vice-presidente”. Primeiramente vamos identificar as proposições simples que constituem essa proposição composta e representá-las por letras.

p: O presidente é o membro mais antigo do tribunal. q: O corregedor é o vice-presidente.

A proposição composta, antes de ser negada, pode então ser representada por p ˄q.



Seguindo os passos descritos anteriormente para negar esta proposição, teremos:

1º) Negar a primeira proposição: O presidente não é o membro mais antigo do tribunal. 2º) Negar a segunda proposição: O corregedor não é o vice-presidente. 3º) trocar o e por ou ( ˄por ˅): O presidente não é o membro mais antigo do tribunal ou o corregedor não é o vice-presidente.

Claramente a resposta dada pelo enunciado está errada. Primeiro porque a negação de “mais antigo” não é “mais novo”, e segundo por o conectivo e não foi trocado.

6.2) Negação de uma disjunção Representamos a negação de uma disjunção p ˅ q, onde p e q são proposições quaisquer, por ¬( p ˅ q). Para fazer a negação devemos seguir os seguintes passos:

1º) Negar a primeira proposição: ¬p 2º) Negar a segunda proposição: ¬q 3º) trocar o ou por e ( ˅por ˄ )

Portanto ¬( p ˅q) também pode ser representada por ¬p ˄¬q (outra lei de De Morgan).

(PRODEST – 2006) A proposição “O estado do Espírito Santo não é produtor de petróleo ou Guarapari não tem lindas praias” corresponde à negação da proposição “O estado do Espírito Santo é produtor de petróleo e Guarapari tem lindas praias.”

Representando por p e q as proposições simples:

p: O estado do Espírito Santo é produtor de petróleo. q: Guarapari tem lindas praias.



Seguindo os passos descritos anteriormente para negar a proposição composta:

1º) Negar a primeira proposição: O estado do Espírito Santo não é produtor de petróleo. 2º) Negar a segunda proposição: Guarapari não tem lindas praias. 3º) trocar o ou por e ( ˅ por ˄): O estado do Espírito Santo não é produtor de petróleo e Guarapari não tem lindas praias. (que é exatamente a resposta dada pelo enunciado) Gabarito: Certa

6.3) Negação de uma disjunção exclusiva e de uma bicondicional

Estes dois casos geralmente não são cobrados, mas mesmo assim vamos colocar aqui para que fique claro. Eles são bem simples. A negação de uma disjunção exclusiva é a bicondicional e vice-versa, ou seja:

¬(p ˅ q) é o mesmo que p ↔ q

¬(p ↔ q) é o mesmo que p ˅ q

Portanto, se tivermos a proposição “Ou te darei a viagem ou te darei a festa”, a negação desta proposição será “te darei a viagem se e somente se te der a festa”, e vice-versa.

Se olharmos as tabelas-verdade de ambos os conectivos, a disjunção exclusiva e a bicondicional, veremos que elas são exatamente opostas, ou seja, quando a disjunção exclusiva é verdadeira, a bicondicional é falsa, e quando a disjunção exclusiva é falsa, a bicondicional é verdadeira.

6.4) Negação de uma condicional

Representamos a negação de uma condicional p → q, onde p e q são proposições quaisquer, por ¬( p → q). Para fazer a negação devemos seguir os seguintes passos:



1º) Manter a primeira proposição: p 2º) Trocar o Se..então (ou equivalente) por e 3º) Negar a segunda proposição: ¬q

Portanto ¬( p → q) também pode ser representada por p ˄ ¬q.

(Agente Administrativo – 2008) Considere as seguintes proposições.

A: Está frio.

B: Eu levo agasalho.

Nesse caso, a negação da proposição composta “Se está frio, então eu levo agasalho” — A→B — pode ser corretamente dada pela proposição “Está frio e eu não levo agasalho” — A˄(¬B). Seguindo os passos:

1º) Manter a primeira: Está frio. 2º) Trocar o Se..então por e 3º) Negar a segunda: Eu não levo agasalho.

Proposição resultante: Está frio e eu não levo agasalho. (conforme descrito no enunciado).

Gabarito: Certa

IV) Proposições compostas por mais de um conectivo e suas

representações simbólicas

Além das proposições compostas que vimos nos itens anteriores, podemos formar proposições compostas que possuem mais de um conectivo. Por exemplo:

1. Se Paulo é médico ou Maria é professora, então Carlos é engenheiro.



2. Luiza gosta de sorvete e chocolate, ou ela não gosta de sorvete e bala.

Percebe-se que as duas proposições acima misturam diferentes conectivos, mas como representa-las simbolicamente? E como saber se são verdadeiras ou falsas dado que até agora só aprendemos a definir os valores lógicos de proposições compostas por um único conectivo?

A primeira pergunta será respondida agora, e a segunda ficará para a próxima seção.

Muitas questões de concurso correspondem a representar simbolicamente esses tipos de proposições compostas, que combinam vários conectivos. O primeiro passo para isso é identificar as proposições simples que compõe a proposição composta. As proposições simples serão representadas por uma letra do alfabeto qualquer. Considera a primeira proposição mostrada acima:

Se Paulo é médico ou Maria é professora, então Carlos é engenheiro.

As proposições simples encontradas, ou seja, aquelas que não possuem nenhum conectivo e que podem ter atribuídas um valor lógico, são: p: Paulo é médico q: Maria é professora r: Carlos é engenheiro Substituindo-se na proposição original, temos:

Se p ou q então r.

Agora é preciso substituir os conectivos por seus respectivos símbolos pré-definidos.

Para substituirmos o Se..então por → precisamos identificar quem é o antecedente e o consequente. Nesta proposição temos:



Antecedente: p ou q Consequente: r

Portanto a proposição pode ser escrita como: (p ou q) → r

Neste momento colocamos os parêntesis para identificar corretamente quem é o antecedente da condicional.

Para terminar substituímos o ou pelo seu símbolo correspondente: (p ˅ q) → r

Finalizando a representação simbólica. (Analista SEBRAE – 2008) A proposição “Tanto João não é norte-americano como Lucas não é brasileiro, se Alberto é francês” poderia ser representada por uma expressão do tipo P→[(¬Q)˄(¬R)].

Percebemos que as proposições “João não é norte-americano” e “Lucas não é brasileiro” são proposições com o conectivo “não”, e de acordo com a expressão dada pelo enunciado, as proposições negadas estão representadas por ¬Q e ¬R. Logo podemos assumir que:

¬Q: João não é norte-americano ¬R: Lucas não é brasileiro Logo sobrou a letra P para representar “Alberto é francês”. Substituindo na proposição original temos:

Tanto ¬Q como ¬R, se P.

Sabemos que uma das expressões equivalentes a “Se A então B”, onde A e B são proposições quaisquer, é “B, se A”, que tem a mesma estrutura da proposição acima, e que pode portanto ser representada por A → B.

Substituindo: P → (Tanto ¬Q como ¬R).

Por fim, sabemos que a expressão Tanto..como é equivalente ao e. Logo temos: P→[(¬Q)˄(¬R)]



Perceba que coloquei parêntesis para identificar quais as proposições ligadas pelo ˄ e colchetes para identificar o consequente da condicional.

Gabarito: Certa

(Auxiliar Técnico de Perícia – SEAD – 2007) Considere a proposição composta (A˄B)˅¬(A˄C), em que A, B e C têm os seguintes significados: A: Carla lê livros de ficção. B: Carla lê revistas de moda. C: Carla lê jornais.

Assinale a opção correspondente à tradução adequada e correta para a proposição composta apresentada acima, referente a uma personagem fictícia denominada Carla, considerando-se ainda as proposições A, B e C acima definidas.

A. Carla lê livros de ficção e revistas de moda, mas não lê livros de ficção ou lê jornais.

B. Carla lê somente livros de ficção e revistas de moda, e não lê jornais.

C. Carla lê livros de ficção e revistas de moda, ou ela não lê livros de ficção e jornais.

D. Carla lê livros de ficção e revistas ao mesmo tempo, e não lê livros de ficção nem jornais.

Vamos por partes. Considere primeiramente a proposição (A˄B). Substituindo-se A e B por suas respectivas traduções e o conectivo ˄ por e, temos:

Carla lê livros de ficção e Carla lê revistas de moda.

que pode ser reescrita como: Carla lê livros de ficção e revistas de moda.

Agora vamos traduzir a proposição (A˄C), substituindo-se A e C por suas respectivas traduções:



Carla lê livros de ficção e jornais. Na proposição inicial, o (A˄C) está negado, ou seja, temos ¬(A˄C), portanto precisamos negar a proposição acima, obtendo:

Carla não lê livros de ficção ou não lê jornais. Ou, apenas colocando o não na frente da conjunção:

Carla não lê livros de ficção e jornais. Por fim, juntamos as proposições traduzidas pelo conectivo ou, obtendo a opção C das possíveis respostas:

Carla lê livros de ficção e revistas de moda, ou ela não lê livros de ficção e jornais.

V. Valor lógico de proposições compostas

Para determinarmos o valor lógico de uma proposição composta que possui um ou mais conectivos, basta montarmos a tabela-verdade para esta proposição, considerando todos os possíveis valores lógicos que cada uma das suas proposições simples pode assumir, e usando como auxílio as tabelas verdades já vistas para cada conectivo.

(Técnico Judiciário – 2009) Para todos os possíveis valores lógicos atribuídos às proposições simples A e B, a proposição composta [A˄(¬B)]˅B tem exatamente 3 valores lógicos V e um F.

A tabela-verdade é criada considerando-se uma coluna para cada proposição simples (neste caso A e B), e para cada proposição composta que é parte de outra proposição composta.

Aqui vai uma dica muito importante! A tabela-verdade terá 2n linhas (sem considerar a linha correspondente às proposições), onde n é o número de proposições simples. Esse valor corresponde exatamente ao



número de combinações possíveis de V e F que podemos ter para n proposições. Para esta questão temos duas proposições simples A e B, e a tabela, com 22 = 4 linhas (a serem preenchidas), e parcialmente preenchida com as possíveis combinações de V e F para as proposições simples A e B, é mostrada abaixo:

A B ¬B A˄(¬B) [A˄(¬B)]˅B V V V F F V F F

Para preencher a coluna do ¬B é só usar a tabela-verdade auxiliar da negação, ou seja, inverter o valor lógico de B para cada possível valor:

A B ¬B A˄(¬B) [A˄(¬B)]˅B V V F V F V F V F F F V

Para preencher a coluna do A˄(¬B) usaremos a tabela-verdade da conjunção, considerando os possíveis valores de A e de ¬B, que estão, respectivamente, na primeira e terceira coluna.

A B ¬B A˄(¬B) [A˄(¬B)]˅B V V F F V F V V F V F F F F V F

Por fim, para preencher a coluna do [A˄(¬B)]˅B, usaremos a tabela-verdade da disjunção, considerando os possíveis valores das



proposições A˄(¬B) (que acabamos de preencher) e B, que estão, respectivamente, na quarta e segunda coluna:

A B ¬B A˄(¬B) [A˄(¬B)]˅B V V F F V V F V V V F V F F V F F V F F

O enunciado da questão nos diz que a proposição composta [A˄(¬B)]˅B tem exatamente três valores lógicos V e um F. Podemos ver pela tabela-verdade construída que isso está certo.

Aqui cabem duas definições importantes e que são muito usadas em questões:

• Uma proposição composta é chamada de Tautologia, se para todas as possíveis combinações de valores lógicos para suas proposições componentes, o valor lógico obtido para a proposição composta é sempre V. (Olhando para a tabela-verdade, que tem na última coluna a proposição composta que se quer avaliar, esta coluna só possui V em todas as linhas)

• Uma proposição composta é chamada de Contradição, se para todas as possíveis combinações de valores lógicos para suas proposições componentes, o valor lógico obtido para a proposição composta é sempre F.

(Analista SEBRAE – 2008) A proposição [(P→Q)˄(Q→R)]→(P→R) é uma tautologia.

Esta proposição possui 3 proposições simples (P, Q e R), e portanto a tabela-verdade terá 23 = 8 linhas.

P Q R P→Q Q→R P→R (P→Q)˄(Q→R) [(P→Q)˄(Q→R)]→(P→R) V V V V V V V V V V F V F F F V V F V F V V F V



V F F F V F F V F V V V V V V V F V F V F V F V F F V V V V V V F F F V V V V V Pela tabela acima podemos ver que a última coluna está toda preenchida com V, ou seja, para qualquer combinação das proposições componentes, a proposição composta sempre tem valor lógico V, e portanto é uma tautologia.

Gabarito: Certa

Aqui vai uma DICA na hora de preencher as possíveis combinações das três variáveis (considerando uma tabela de 8 linhas, mas a regra vale para qualquer número de linhas). Se temos 8 linhas, na primeira coluna colocamos metade das linhas com V’s (ou seja, 4) e metade com F’s. (4 é metade de 8. Se fossem 16 linhas, a metade seria 8, e assim por diante).

P Q R V V V V F F F F

Na segunda coluna dividimos novamente à metade, ou seja, colocamos 2 V’s seguidos de 2 F’s ( e fazemos isso intercaladamente).

P Q R V V V V V F V F



F V F V F F F F

Por fim dividimos novamente à metade, ou seja, intercalamos um V com um F.

P Q R V V V V V F V F V V F F F V V F V F F F V F F F

Pronto! Não precisa mais decorar as combinações! Aprendeu?

VI. Equivalência de proposições

Outro tipo de questão que vemos muitos em concurso público é de verificar se duas proposições dadas são equivalentes ou não.

Duas proposições são equivalentes se os valores lógicos obtidos para as proposições compostas são os mesmos, para cada possível combinação de valores das suas proposições simples, ou seja, se as suas tabelas-verdade forem iguais (considerando-se as colunas das proposições simples e a última coluna correspondente à proposição composta sendo avaliada).

Ao longo desta aula vimos algumas equivalências de proposições:

¬(¬p) é equivalente a p

¬(p ˄ q) é equivalente a ¬p ˅ ¬q (lei de De Morgan)

¬(p ˅ q) é equivalente a ¬p ˄ ¬q (lei de De Morgan)



¬(p ˅ q) é equivalente a p ↔ q

¬(p → q) é equivalente a p ˄ ¬q

(p ↔ q) é equivalente a (p → q) ˄ (q → p) Fique à vontade para comprovar a equivalência de cada uma destas proposições através da construção de suas tabelas-verdade.

Outras equivalências muito conhecidas são:

p ˄ (q ˅ r) é equivalente a (p ˄ q) ˅ (p ˄ r)

p ˅ (q ˄ r) é equivalente a (p ˅ q) ˄ (p ˅ r)

p → q é equivalente a ¬p ˅ q

(MPE/RR – 2008) Se A e B são proposições, então ¬(A↔B) tem as mesmas valorações que [(¬A)→(¬B)]˄[(¬B)→(¬A)]. O que a questão está afirmando é que as duas proposições apresentadas são equivalentes. Vamos verificar? Ao invés de construir uma tabela-verdade para cada uma, irei construir uma tabela-verdade única, e olhar se as colunas correspondentes às proposições dadas são iguais ou não.

A tabela-verdade é dada por: A B ¬A ¬B A ↔ B ¬(A ↔ B) (¬A) →(¬B) (¬B) →(¬A) [(¬A)→(¬B)]˄[(¬B)→(¬A)]

V V F F V F V V V V F F V F V V F F F V V F F V F V F F F V V V F V V V

Observe, pela tabela, que as colunas que representas as duas proposições do enunciado (colunas em vermelho), não são iguais. Na primeira linha, por exemplo, a proposição ¬(A ↔ B) valor lógico F, enquanto que a proposição [(¬A)→(¬B)]˄[(¬B)→(¬A)] tem valor lógico V. Portanto as proposições não são equivalentes.



Gabarito: Errada

(MCT/FINEP - 2009) Considere todas as possíveis valorações V ou F atribuídas às proposições simples P, Q e R. Nesse caso, a proposição composta ¬[(P→R)˄(Q→R)] tem exatamente os mesmos valores lógicos da proposição

A. R˅[¬(P˅Q)]. B. [(¬P)˅R]˄[(¬Q)˅R]. C. [¬(P˅R)]˄[¬(Q˅R)]. D. [P˄(¬R)]˅[Q˄(¬R)]. E. (P˅Q)→R.

A questão quer achar qual das opções de proposições é equivalente à proposição ¬[(P→R)˄(Q→R)]. Neste caso, se formos construir uma tabela-verdade para cada opção para depois verificar qual delas é igual à tabela-verdade da proposição do enunciado, perderemos muito tempo. A melhor maneira de resolver esse tipo de questão é buscando equivalências da proposição enunciada usando as equivalências mais conhecidas.

A proposição ¬[(P→R)˄(Q→R)] é uma negação de uma conjunção. Sabemos que ¬(A ˄ B) é equivalente a ¬A˅¬B, sendo A e B proposições quaisquer. Para essa questão podemos assumir A e B como sendo: A: (P→R) B: (Q→R)

Portanto, ¬[(P→R)˄(Q→R)] é equivalente a [¬(P→R)] ˅ [¬(Q→R)]. Esta proposição ainda não corresponde a nenhuma das opções de resposta, então continuemos buscando equivalências.

Considerando agora a proposição achada [¬(P→R)] ˅ [¬(Q→R)], olhemos para a primeira parte: [¬(P→R)]. Esta proposição nada mais é do que a negação da condicional, e sabemos que é equivalente a P˄¬R. O mesmo vale para a segunda parte [¬(Q→R)], que é equivalente a Q˄¬R. A proposição [¬(P→R)] ˅ [¬(Q→R)] é, portanto, equivalente a [P˄¬R] ˅ [Q˄¬R)].



Olhando as opções de resposta, vemos que esta proposição corresponde justamente à letra D.

VII. Resumo

Nesta seção encontra-se um resumo dos principais pontos vistos nesta aula, e que serão úteis quando vocês estiverem fazendo os exercícios. Estrutura lógica É V quando É F quando

p ˄ q p e q são, ambos, V um dos dois for F p ˅ q um dos dois for F p e q são, ambos, F p ˅ q p e q tiverem valores

lógicos diferentes p e q tiverem valores lógicos

iguais p → q nos demais casos p é V e q é F p ↔ q p e q tiverem valores

lógicos iguais p e q tiverem valores lógicos

diferentes ¬p p é F p é V

¬(p ˄ q) é ¬p ˅ ¬q (lei de De Morgan) ¬(p ˅ q) é ¬p ˄ ¬q (lei de De Morgan) ¬(p ˅ q) é p ↔ q ¬(p → q) é p ˄ ¬q ¬(p ↔ q) é p ˅ q ¬(¬p) é p

p ˄ (q ˅ r) É equivalente a (p ˄ q) ˅ (p ˄ r) p ˅ (q ˄ r) É equivalente a (p ˅ q) ˄ (p ˅ r)

p → q É equivalente a ¬p ˅ q

Por hoje é só pessoal! Façam os exercícios propostos na seção de Questões propostas abaixo e treinem bastante, mesmo com questões de outras bancas, para ficarem bem afiados com o que está por vir.



Na próxima aula veremos as proposições universais e particulares, que são aquelas que usam as palavras Todo, Algum, Nenhum,... Veremos também a maior parte de lógica de argumentação, que trata de avaliar uma conclusão dadas as premissas. Esta é a matéria que mais é cobrada pela CESPE, e existem várias formas de se resolver esse tipo de questão, dependendo do formato do enunciado. Iremos ver 4 tipos de resolução.

Até a próxima aula e bons estudos!



QUESTÕES COMENTADAS

As questões abaixo são as mesmas que se encontram nas questões propostas, então, antes de olhar o gabarito comentado, vá para a seção de questões propostas e tente resolvê-las.

1. (MPE-TO – Analista – 2006) Uma proposição é uma afirmativa que pode ser interpretada como verdadeira (V) ou falsa (F), mas não de ambas as formas. (...)

Na lista abaixo, há exatamente três proposições.

• Faça suas tarefas. • Ele é um procurador de justiça muito competente. • Celina não terminou seu trabalho. • Esta proposição é falsa. • O número 1.024 é uma potência de 2.

Comentários:

A primeira sentença “Faça suas tarefas” é uma sentença imperativa. Reconhecemos isso através do verbo “Faça”, que dá um sentido de ordem. Vimos que sentenças imperativas não podem ser classificadas como verdadeiras ou falsas, e, portanto, tal sentença não é uma proposição.

Todas as outras quatro sentenças são proposições, pois podem ter um valor lógico atribuído. Vejamos cada uma:

“Ele é um procurador de justiça muito competente”: Seja lá quem ele for, se ele for realmente competente, esta proposição é verdadeira, caso contrário será falsa.

“Celina não terminou seu trabalho”: Se Celina realmente terminou o trabalho que lhe foi atribuído, então a proposição é verdadeira, caso contrário é falsa.



“Esta proposição é falsa”: Seja lá qual for a proposição a que a sentença se refere, se ela for realmente falsa, então a sentença é verdadeira, caso contrário será falsa. Essa sentença pode confundir um pouco, mas o importante é que vocês podem avalia-la como verdadeira ou falsa.

“O número 1024 é uma potência de 2”: Essa sentença a gente não tem nem dúvida de que é uma proposição! Sabemos que, inclusive, podemos classifica-la como verdadeira, visto que realmente 1024 é potência de 2!.

Portanto temos, no total, 4 proposições, ao contrário do que o enunciado diz.

Gabarito: Errada

(Analista SEBRAE – 2008) Com relação à lógica formal, julgue os itens subsequentes.

2. Toda proposição lógica pode assumir no mínimo dois valores lógicos.

Comentários:

Toda proposição pode assumir EXATAMENTE dois valores lógicos (verdadeira e falsa). A expressão “no mínimo” dá a entender que pode ter mais valores, o que está errado.

Gabarito: Errada

3. A proposição “Ninguém ensina a ninguém” é um exemplo de sentença aberta.

Comentários:



Para ser uma sentença aberta tem que ter uma variável de valor desconhecido, o que não acontece nesta proposição. Além disso, essa sentença pode ser classificada como verdadeira ou falsa, logo não é uma sentença aberta.

Gabarito: Errada

4. A proposição “João viajou para Paris e Roberto viajou para Roma” é um exemplo de proposição formada por duas proposições simples relacionadas por um conectivo de conjunção.

Comentários:

Esta questão está certa. As duas proposições simples às quais o enunciado se refere são:

“João viajou para Paris” “Roberto viajou para Roma”

Estas duas proposições estão, justamente, conectadas pelo “e”, que é o conectivo de conjunção.

Gabarito: Certa

5. (MCT – 2008) Considere que A seja a seguinte proposição: O concurso será regido por este edital e executado pelo CESPE/UnB. Nesse caso, a proposição ¬A é assim expressa: O concurso não será regido por este edital ou não será executado pelo CESPE/UnB.

Comentários:

Neste caso a proposição A é uma conjunção. Para negar uma conjunção seguimos os seguintes passos:

1º) Negamos a primeira proposição: “O concurso não será regido por este edital”



2º) Negamos a segunda proposição: “não será executado pelo CESPE/UNB”

3º) Trocamos o “e” por “ou”, resultando na proposição final:

“O concurso não será regido por este edital ou não será executado pelo CESPE/UnB” (que é, exatamente, o que o enunciado dá como resposta).

Gabarito: Certa

6. (Técnico Judiciário – 2009) A proposição “A constituição

brasileira é moderna ou precisa ser refeita” será V quando a proposição “A constituição brasileira não é moderna nem precisa ser refeita” for F, e vice-versa.

Comentários:

Ao ler o enunciado da questão, a gente suspeita de que uma sentença seja a negação da outra, porque quando uma é verdadeira a outra é falsa, e na segunda proposição (“A constituição brasileira não é moderna nem precisa ser refeita”), as proposições simples estão negadas. Então vamos confirmar.

Considere a primeira proposição: “A constituição brasileira é moderna ou precisa ser refeita”. Vamos negá-la seguindo os passos da negação de uma proposição disjuntiva:

1º) Nega a primeira parte: “A constituição brasileira não é moderna”

2º) Nega a segunda parte: “não precisa ser refeita”

3º) troca o “ou” pelo “e”:

“A constituição brasileira não é moderna e não precisa ser refeita”

Apesar de não estar escrito exatamente deste modo, podemos ver que a segunda proposição do enunciado (“A constituição brasileira não é moderna nem precisa ser refeita”) tem o mesmo sentido que a que a



gente encontrou, pois “e não” é equivalente a “nem”. Portanto a questão está correta.

Gabarito: Certa

7. (Polícia Militar/CE – 2008) Se A é a proposição “O soldado Vítor fará a ronda noturna e o soldado Vicente verificará os cadeados das celas”, então a proposição ¬A estará corretamente escrita como: “O soldado Vítor não fará a ronda noturna nem o soldado Vicente verificará os cadeados das celas”.

Comentários:

Vejamos a primeira proposição: “O soldado Vítor fará a ronda noturna e o soldado Vicente verificará os cadeados das celas”. Ela é formada por duas proposições simples e o conectivo “e”, então claramente temos uma proposição conjuntiva. Vamos negá-la:

1º) Nega a primeira parte: “O soldado Vítor não fará a ronda noturna”

2º) Nega a segunda parte: “o soldado Vicente não verificará os cadeados das celas”

3º) Troca o “e” pelo “ou”: “O soldado Vítor não fará a ronda noturna ou o soldado Vicente não verificará os cadeados das celas”.

Agora vamos comparar o que achamos com a proposição que o enunciado dá:

“O soldado Vítor não fará a ronda noturna nem o soldado Vicente verificará os cadeados das celas”

A proposição dada pelo enunciado, ao invés de usar o “ou”, usa o “nem”, que como vimos é equivalente a “e não”, que não é o que deveria ter sido usado, logo, a questão está errada.

Gabarito: Errada



8. (Administrador/Acre - 2008) A proposição “Se a vítima não estava ferida ou a arma foi encontrada, então o criminoso errou o alvo” fica corretamente simbolizada na forma (¬A) ˅ B → C.

Comentários:

Vamos dar uma olhada nesta proposição: “Se a vítima não estava ferida ou a arma foi encontrada, então o criminoso errou o alvo”

Nesta proposição encontramos os conectivos “Se..então”, “não” e “ou”. Isolando as proposições simples e representando-as pelas letras A, B e C, temos:

A: “A vítima estava ferida”

B: “a arma foi encontrada” C: “o criminoso errou o alvo”

Perceba que na proposição composta, a primeira proposição simples, representada pela letra A, está negada (“A vítima não estava ferida”), portanto temos ¬A.

Substituindo cada proposição simples por sua respectiva letra, temos:

Se ¬A ou B então C.

Falta só substituir os conectivos. Substituindo primeiro o “ou” temos:

Se ¬A ˅ B então C.

Substituindo a condicional temos: ¬A ˅ B → C

No enunciado tem um parêntesis no ¬A, que não influencia na resposta. Aqui vai uma observação: Se não tiver parêntesis, a precedência das operações é sempre da esquerda para a direita.

Gabarito: Certa



9. (MPE/RR – 2008) Considere como V as seguintes proposições.

A: Jorge briga com sua namorada Sílvia. B: Sílvia vai ao teatro.

Nesse caso, ¬(A→B) é a proposição C: “Se Jorge não briga com sua namorada Sílvia, então Sílvia não vai ao teatro”.

Comentários:

Nesta questão temos que traduzir ¬(A→B) para ver se realmente resulta na proposição C dada. Antes de traduzir, vamos aplicar a negação da condicional:

¬(A→B) é a mesma coisa que A ˄ ¬B.

Substituindo as letras A e B, e já negando B, temos:

Jorge briga com sua namorada Sílvia ˄ Sílvia não vai ao teatro

Por fim, trocando o ˄ “e” temos:

Jorge briga com sua namorada Sílvia e Sílvia não vai ao teatro

que é diferente da proposição C dada no enunciado.

Gabarito: Errada

10. (MPE/TO – 2006) Ao empregar os símbolos P, Q e R para as proposições primitivas “Paulo lê revistas científicas”, “Paulo lê jornais” e “Paulo lê gibis” respectivamente, é correto simbolizar a proposição composta “Paulo lê gibis ou não lê jornais e não lê revistas científicas” por ¬((R ˅ Q) ˄ ¬P).

Comentários:

P: “Paulo lê revistas científicas” Q: “Paulo lê jornais”



R: “Paulo lê gibis” Queremos simbolizar “Paulo lê gibis ou não lê jornais e não lê

revistas científicas”. Substituindo-se as proposições simples por suas respectivas letras temos:

“R ou não Q e não P”

Substituindo os conectivos por seus respectivos símbolos temos: R ˅ ¬Q ˄ ¬P

Para confirmar que esta fórmula que achamos não é igual a do enunciado, que está negada, vamos substituir a do enunciado pela sua equivalente: Primeiro fazendo a negação da conjunção:

¬((R ˅ Q) ˄ ¬P) é igual a ¬(R ˅ Q) ˅ P

Agora negando apenas ¬(R ˅ Q) :

¬R ˄ ¬Q ˅ P Agora compara com o que achamos: R ˅ ¬Q ˄ ¬P (não é a mesma coisa!).

Obs: Lembrem-se de que se a fórmula estiver negada, sempre a transformem na equivalente não negada antes de comparar com a resposta que vocês acharam!

Gabarito: Errada

(TCU – 2004) Suponha que P represente a proposição Hoje choveu, Q represente a proposição José foi à praia e R represente a proposição Maria foi ao comércio. Com base nessas informações, julgue o item seguinte.



11. A sentença Hoje não choveu então Maria não foi ao comércio e José não foi à praia pode ser corretamente representada por ¬ P → (¬ R ˄ ¬Q).

Comentários:

Queremos simbolizar “Hoje não choveu então Maria não foi ao comércio e José não foi à praia”. “Hoje não choveu” é representado por ¬P. “Maria não foi ao comércio” é representado por ¬R. “José não foi à praia” é representado por ¬Q. Substituindo temos: “¬P então ¬R e ¬Q”. Substituindo o “e” temos: ¬P então ¬R ˄ ¬Q Falta substituir a condicional. Nesse caso, o ¬P é o antecedente (perceba que o “Se” tá implícito) e o ¬R ˄ ¬Q é o consequente, que precisa ser colocado entre parêntesis porque está mais à direita. Se não tiver o parêntesis e seguirmos a regra da precedência, lendo da esquerda para a direita, o consequente da condicional será o ¬R. Temos: ¬P → (¬R ˄ ¬Q) (exatamente o que o enunciado dá como resposta). Gabarito: Certa

(CENSIPAM – Analista Gerencial – 2006) Considere que P, Q, R e S representem as sentenças listadas abaixo.

P: O homem precisa de limites. Q: A justiça deve ser severa. R: A repressão ao crime é importante. S: A liberdade é fundamental.



Com base nessas informações, julgue os próximos itens.

12. A sentença “A liberdade é fundamental, mas o homem precisa de limites.” pode ser corretamente representada por P ˅ ¬S.

Comentários:

Substituindo primeiro as proposições simples por suas respectivas letras, temos: S, mas P.

Já sabemos que o “mas” é equivalente ao “e”, portanto a proposição final é: S ˄ P.

Gabarito: Errada

13. A sentença “A repressão ao crime é importante, se a justiça deve ser severa.” pode ser corretamente representada por R→Q.

Comentários:

Substituindo primeiro as proposições simples por suas respectivas letras, temos: R, se Q.

Vimos que esse “se” é outra forma de representar condicional. Neste caso, Q é o antecedente e R é o consequente. Então a representação simbólica certa é: Q→R.

Gabarito: Errada

(BB – 2007) Julgue os itens a seguir:

14. A proposição simbólica (P˄Q)˅R possui, no máximo, 4 avaliações V.

Comentários:



Precisamos montar a tabela-verdade para saber. Como temos 3 letras, a tabela terá 23 = 8 linhas:

P Q R P ˄ Q (P ˄ Q) ˅ R V V V V V V V F V V V F V F V V F F F F F V V F V F V F F F F F V F V F F F F F

Olhando a tabela vemos que temos 5 avaliações V, portanto a resposta está errada.

Gabarito: Errada

15. A proposição simbolizada por (A→B)→(B→A) possui uma única valoração F.

Comentários:

Fazendo a tabela-verdade, temos:

A B A→B B→A (A→B )→( B→A) V V V V V V F F V V F V V F F F F V V V

Olhando a tabela vemos apenas uma valoração F, conforme enunciado.

Gabarito: Certa



16. Uma expressão da forma ¬(A˄¬B) é uma proposição que tem exatamente as mesmas valorações V ou F da proposição A→B.

Comentários:

Esta é uma questão de equivalência de proposições. Vamos montar uma tabela-verdade para as duas proposições acima e comparar se elas têm as mesmas valorações:

A B ¬B A˄¬B ¬(A˄¬B) A→B V V F F V V V F V V F F F V F F V V F F V F V V

As duas últimas colunas possuem as mesmas valorações;

Gabarito: Certa

(SERPRO – 2010) Julgue os itens a seguir:

17. Considerando todas as possibilidades de julgamento V ou F das proposições simples que formam a proposição “Se Pedro for aprovado no concurso, então ele comprará uma bicicleta”, é correto afirmar que há apenas uma possibilidade de essa proposição ser verdadeira.

Comentários:

O primeiro passo é simbolizar a proposição composta dada. Vamos supor a seguinte representação:

P: “Pedro é aprovado no concurso” Q: “ele comprará uma bicicleta”

Substituindo: Se P então Q



Trocando a condicional pelo conectivo correspondente: P→Q. Bom, a tabela-verdade da condicional nós conhecemos, e sabemos que ela tem três valorações V e uma F. Portanto tem mais de uma possibilidade da proposição ser verdadeira. Gabarito: Errada

18. Considerando todas as possibilidades de julgamento V ou F

das proposições simples que formam a proposição “O SERPRO processará as folhas de pagamento se e somente se seus servidores estiverem treinados para isso”, é correto afirmar que há apenas uma possibilidade de essa proposição ser julgada como V.

Comentários:

O primeiro passo é simbolizar a proposição composta dada. Vamos supor a seguinte representação:

P: “O SERPRO processará as folhas de pagamento” Q: “seus servidores estiverem treinados para isso”

Substituindo: P se e somente se Q

Trocando a bicondicional pelo conectivo correspondente: P↔Q. Bom, a tabela-verdade da bicondicional nós conhecemos, e sabemos que ela tem duas valorações V e duas F. Portanto tem mais de uma possibilidade da proposição ser verdadeira. Gabarito: Errada

19. As proposições A˄B→A˅B e A˅B→A˄B são, ambas, tautologias.

Comentários:



Vamos montar uma tabela-verdade para as duas proposições, e se as valorações das duas forem todas V, então elas são tautologias.

A B A˄B A˅B A˄B→A˅B A˅B→A˄B V V V V V V V F F V V F F V F V V F F F F F V V

A primeira proposição realmente é uma tautologia, mas a segunda não é.

Gabarito: Errada

20. (Técnico Judiciário – 2009) Considere que uma proposição Q seja composta apenas das proposições A e B cujos valores lógicos V ocorram somente nos casos apresentados na tabela abaixo.

A B Q V F V F F V

Nessa situação, uma forma simbólica correta para Q é [A˄(¬B)]˅[(¬A)˄(¬B)]. Comentários:

A forma mais fácil de fazer essa questão é testando cada combinação de valores lógicos dada na tabela acima e verificar se realmente Q recebe V.

1ª combinação: A – V e B – F

Substituindo na fórmula Q, temos: [V ˄(¬F)]˅[(¬V)˄(¬F)]

¬F é a mesma coisa que V, pois o contrário de Falso é Verdadeiro.

¬V é a mesma coisa que F, pois o contrário de Verdadeiro é Falso.



Portanto ficamos com: [V ˄(V)]˅[(F)˄(V)]

Sabemos, pela tabela da conjunção, que: (V)˄(V) = V (F)˄(V) = F Portanto ficamos com: V ˅ F (que pela tabela da disjunção é V). Logo a primeira combinação resultou em V.

2ª combinação: A – F e B – F

Substituindo na fórmula Q, temos: [F ˄(¬F)]˅[(¬F)˄(¬F)]

Já vimos que ¬F é a mesma coisa que V.

Portanto ficamos com: [F ˄(V)]˅[(V)˄(V)]

Sabemos, pela tabela da conjunção, que: (V)˄(V) = V (F)˄(V) = F Portanto ficamos com: F ˅ V (que pela tabela da disjunção é V). Logo a segunda combinação resultou em V. Como ambas as combinações resultaram em V, a resposta está certa. Gabarito: Certa

21. (MPE/RR – 2008) A proposição I: A↔B é equivalente à

proposição II: (A→B)˅(B→A), isto é, independentemente das valorações V ou F de A e B, as proposições I e II têm sempre as mesmas valorações.

Comentários:

Montando a tabela-verdade:



A B A→B B→A (A→B)˅(B→A) A↔B V V V V V V V F F V V F F V V F V F F F V V V V

As duas últimas colunas são diferentes, portanto as proposições não são equivalentes. Gabarito: Errada (TCE/AC – 2006) Proposições das formas A → B, ¬A ˅ B e ¬B → ¬A são sempre equivalentes. A partir dessa informação e das definições incluídas no texto, julgue os itens a seguir. 22. As proposições “Se Hélio é conselheiro do TCE/AC, então

Hélio é formado em Contabilidade” e “Hélio não é conselheiro do TCE/AC ou Hélio é formado em Contabilidade” são equivalentes.

Comentários:

Suponha que temos: A: “Hélio é conselheiro do TCE/AC” B: “Hélio é formado em Contabilidade” A primeira proposição é corretamente representada por A→B, pois se trata de uma condicional. A segunda proposição é corretamente representada por ¬A ˅ B, pois a primeira parte é a negação da proposição simples A, e além disso, temos o conectivo “ou”. Segundo o enunciado, A→B e ¬A ˅ B são equivalentes. Gabarito: Certa



(Analista de Banco de Dados – Amazonas – 2008) Duas proposições são denominadas equivalentes quando têm exatamente as mesmas valorações V e F. Por exemplo, são equivalentes as proposições (¬A) ˅ B e A →B.

Supondo que A simboliza a proposição “Alice perseguiu o Coelho Branco” e B simboliza a proposição “O Coelho Branco olhou o relógio”, julgue os itens a seguir.

23. A proposição “Se o Coelho Branco não olhou o relógio, então Alice não perseguiu o Coelho Branco” pode ser simbolizada por (¬B) → (¬A).

Comentários:

“O Coelho Branco não olhou o relógio” é corretamente representado por ¬B.

“Alice não perseguiu o Coelho Branco” é corretamente representado por ¬A.

Substituindo na proposição composta dada temos: Se ¬B então ¬A

Substituindo a condicional pelo conectivo correspondente temos: ¬B → ¬A

Gabarito: Certa

24. A proposição “Se o Coelho Branco olhou o relógio, então

Alice não perseguiu o Coelho Branco” é equivalente à proposição “O Coelho Branco não olhou o relógio ou Alice não perseguiu o Coelho Branco”.

Comentários:

A primeira proposição é corretamente representada por B → ¬A.

A segunda proposição é corretamente representada por ¬B ˅ ¬A.



Lembra quando falamos de equivalências? Eu disse que uma equivalência muito conhecida era a seguinte:

P → Q é equivalente a ¬P ˅ Q.

Se, nessa questão, dissermos que P = B, e Q = ¬A, teremos:

B → ¬A é equivalente a ¬B ˅ ¬A.

que é exatamente o que diz o enunciado.

Gabarito: Certa



QUESTÕES PROPOSTAS

As questões abaixo foram formuladas pela CESPE e devem ser julgadas como Certa(C) ou Errada (E).

1. (MPE-TO – Analista – 2006) Uma proposição é uma afirmativa que pode ser interpretada como verdadeira (V) ou falsa (F), mas não de ambas as formas. (...)

Na lista abaixo, há exatamente três proposições.

• Faça suas tarefas. • Ele é um procurador de justiça muito competente. • Celina não terminou seu trabalho. • Esta proposição é falsa. • O número 1.024 é uma potência de 2.

(Analista SEBRAE – 2008) Com relação à lógica formal, julgue os itens subsequentes.

2. Toda proposição lógica pode assumir no mínimo dois valores lógicos.

3. A proposição “Ninguém ensina a ninguém” é um exemplo de sentença aberta.

4. A proposição “João viajou para Paris e Roberto viajou para Roma” é um exemplo de proposição formada por duas proposições simples relacionadas por um conectivo de conjunção.

5. (MCT – 2008) Considere que A seja a seguinte proposição: O concurso será regido por este edital e executado pelo



CESPE/UnB. Nesse caso, a proposição ¬A é assim expressa: O concurso não será regido por este edital ou não será executado pelo CESPE/UnB.

6. (Técnico Judiciário – 2009) A proposição “A constituição brasileira é moderna ou precisa ser refeita” será V quando a proposição “A constituição brasileira não é moderna nem precisa ser refeita” for F, e vice-versa.

7. (Polícia Militar/CE – 2008) Se A é a proposição “O soldado Vítor fará a ronda noturna e o soldado Vicente verificará os cadeados das celas”, então a proposição ¬A estará corretamente escrita como: “O soldado Vítor não fará a ronda noturna nem o soldado Vicente verificará os cadeados das celas”.

8. (Administrador/Acre - 2008) A proposição “Se a vítima não estava ferida ou a arma foi encontrada, então o criminoso errou o alvo” fica corretamente simbolizada na forma (¬A) ˅ B → C.

9. (MPE/RR – 2008) Considere como V as seguintes proposições.

A: Jorge briga com sua namorada Sílvia. B: Sílvia vai ao teatro.

Nesse caso, ¬(A→B) é a proposição C: “Se Jorge não briga com sua namorada Sílvia, então Sílvia não vai ao teatro”.

10. (MPE/TO – 2006) Ao empregar os símbolos P, Q e R para as proposições primitivas “Paulo lê revistas científicas”, “Paulo lê jornais” e “Paulo lê gibis” respectivamente, é correto



simbolizar a proposição composta “Paulo lê gibis ou não lê jornais e não lê revistas científicas” por ¬((R ˅ Q) ˄ ¬P).

(TCU – 2004) Suponha que P represente a proposição Hoje choveu, Q represente a proposição José foi à praia e R represente a proposição Maria foi ao comércio. Com base nessas informações e no texto, julgue o item seguinte. 11. A sentença Hoje não choveu então Maria não foi ao

comércio e José não foi à praia pode ser corretamente representada por ¬ P → (¬ R ˄ ¬Q).

(CENSIPAM – Analista Gerencial – 2006) Considere que P, Q, R e S representem as sentenças listadas abaixo.

P: O homem precisa de limites. Q: A justiça deve ser severa. R: A repressão ao crime é importante. S: A liberdade é fundamental.

Com base nessas informações, julgue os próximos itens.

12. A sentença “A liberdade é fundamental, mas o homem precisa de limites.” pode ser corretamente representada por P ˅ ¬S.

13. A sentença “A repressão ao crime é importante, se a justiça deve ser severa.” pode ser corretamente representada por R→Q.

(BB – 2007) Julgue os itens a seguir:

14. A proposição simbólica (P˄Q)˅R possui, no máximo, 4 avaliações V.

15. A proposição simbolizada por (A→B)→(B→A) possui uma única valoração F.



16. Uma expressão da forma ¬(A˄¬B) é uma proposição que tem exatamente as mesmas valorações V ou F da proposição A→B.

(SERPRO – 2010) Julgue os itens a seguir:

17. Considerando todas as possibilidades de julgamento V ou F das proposições simples que formam a proposição “Se Pedro for aprovado no concurso, então ele comprará uma bicicleta”, é correto afirmar que há apenas uma possibilidade de essa proposição ser verdadeira.

18. Considerando todas as possibilidades de julgamento V ou F das proposições simples que formam a proposição “O SERPRO processará as folhas de pagamento se e somente se seus servidores estiverem treinados para isso”, é correto afirmar que há apenas uma possibilidade de essa proposição ser julgada como V.

19. As proposições A˄B→A˅B e A˅B→A˄B são, ambas, tautologias.

20. (Técnico Judiciário – 2009) Considere que uma proposição Q seja composta apenas das proposições A e B cujos valores lógicos V ocorram somente nos casos apresentados na tabela abaixo.

A B Q V F V F F V

Nessa situação, uma forma simbólica correta para Q é [A˄(¬B)]˅[(¬A)˄(¬B)].



21. (MPE/RR – 2008) A proposição I: A↔B é equivalente à proposição II: (A→B)˅(B→A), isto é, independentemente das valorações V ou F de A e B, as proposições I e II têm sempre as mesmas valorações.

(TCE/AC – 2006) Proposições das formas A → B, ¬A ˅ B e ¬B → ¬A são sempre equivalentes. A partir dessa informação e das definições incluídas no texto, julgue o item a seguir. 22. As proposições “Se Hélio é conselheiro do TCE/AC, então

Hélio é formado em Contabilidade” e “Hélio não é conselheiro do TCE/AC ou Hélio é formado em Contabilidade” são equivalentes.

(Analista de Banco de Dados – Amazonas – 2008) Duas proposições são denominadas equivalentes quando têm exatamente as mesmas valorações V e F. Por exemplo, são equivalentes as proposições (¬A) ˅ B e A →B.

Supondo que A simboliza a proposição “Alice perseguiu o Coelho Branco” e B simboliza a proposição “O Coelho Branco olhou o relógio”, julgue os itens a seguir.

23. A proposição “Se o Coelho Branco não olhou o relógio, então Alice não perseguiu o Coelho Branco” pode ser simbolizada por (¬B) → (¬A).

24. A proposição “Se o Coelho Branco olhou o relógio, então Alice não perseguiu o Coelho Branco” é equivalente à proposição “O Coelho Branco não olhou o relógio ou Alice não perseguiu o Coelho Branco”.



GABARITO

01 - E 02 – E 03 - E 04 - C 05 - C

06 - C 07 - E 08 - C 09 - E 10 - E

11 - C 12 - E 13 - E 14 - E 15 - C

16 - C 17 - E 18 - E 19 - E 20 - C

21 - E 22 - C 23 - C 24 - C

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