Raciocinio Lógico

Aula 01

Matemtica e Raciocnio Lgico p/ SEFAZ/RS - Auditor FiscalProfessor: Arthur Lima

MATEMTICA E RACIOCNIO LGICO P/ SEFAZ/RS TEORIA E EXERCCIOS COMENTADOS

Prof. Arthur Lima Aula 01

Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 1

AULA 01: PROPORO E PORCENTAGEM

SUMRIO PGINA 1. Teoria 01 2. Resoluo de exerccios 18 3. Lista de exerccios resolvidos 113 4. Gabarito 150

Prezado aluno,

Em nossa primeira aula veremos os tpicos a seguir do seu edital:

Razes e Propores; Regras de trs simples e compostas; Porcentagem;

Tenha uma boa aula, e me procure em caso de dvida!

1. TEORIA: Proporo uma igualdade entre duas razes (divises, fraes). Dizemos que duas grandezas so proporcionais quando possvel criar, entre elas, razes que permanecem constantes. Ex.: quando estamos dizendo que as idades de duas pessoas, A e B, so proporcionais aos nmeros 5 e 7, podemos criar a seguinte igualdade:

5 7A B

ou

57

AB

Precisamos conhecer dois tipos de razes: aquelas com grandezas diretamente proporcionais, e aquelas com grandezas inversamente proporcionais.




1.1 Grandezas diretamente proporcionais: dizemos que duas grandezas so diretamente proporcionais quando uma cresce medida que a outra tambm cresce. Ex.: imagine uma empresa onde o salrio dos profissionais diretamente proporcional ao tempo de servio. Isso quer dizer que, medida que o tempo de servio aumenta, o salrio do profissional tambm aumenta, e vice-versa. Esse crescimento ocorre de maneira proporcional, isto , de maneira a manter a mesma razo entre o salrio e o tempo trabalhado. Assim, se S1 o salrio de um empregado e T1 o tempo trabalhado por ele atualmente, e S2 o salrio de outro empregado que j trabalhou pelo perodo T2, podemos dizer que:

1 21 2

S ST T

Podemos ainda usar a regra de trs simples para relacionar essas grandezas:

Tempo...........................................Salrio T1 S1 T2 S2

As setas apontadas no mesmo sentido indicam que as duas grandezas aumentam (ou diminuem) juntas, ou seja, so diretamente proporcionais. Uma vez PRQWDGDHVVDUHJUDGHWUrVEDVWDXVDUDPXOWLSOLFDomRFUX]DGDLVWRpPXOWLSOLFDUos termos das diagonais para obter a seguinte igualdade:

1 2 2 1T S T Su u

Vamos usar nmeros para entender melhor esse exemplo: nessa empresa onde salrios e tempos de servio so diretamente proporcionais, Joo tem 5 anos de servio e ganha R$1000 por ms. Se o salrio de Klber de R$1500 por ms, h quanto tempo ele trabalha nesta empresa?

Temos duas grandezas envolvidas (tempo trabalhado e salrio). Para encontrar o tempo trabalhado por Klber (que chamaremos de T), montamos a seguinte regra de trs:

Tempo (anos)...........................................Salrio (reais) 5 1000 T 1500




Assim, basta multiplicar os termos de uma diagonal (5 x 1500) e igualar multiplicao dos termos da outra diagonal (T x 1000):

5 1500 10007500 1000

7500 7,51000

TT

T

u u u

Portanto, Klber trabalha na empresa h 7,5 anos.

1.2 Grandezas inversamente proporcionais: dizemos que duas grandezas so inversamente proporcionais quando uma cresce medida que a outra diminui. Por exemplo, imagine que 2 pedreiros trabalhando juntos levam 6 horas para erguer uma parede. Quanto tempo levariam 3 pedreiros? Temos duas grandezas inversamente proporcionais: nmero de pedreiros e tempo para erguer a parede. Isso porque, quanto mais pedreiros, menos tempo necessrio. Vamos montar a regra de trs:

Nmero de pedreiros Tempo (hr) 2 6 3 T Veja que neste caso as setas esto invertidas. Isto porque o nmero de pedreiros aumenta em ordem inversa ao tempo. Por isso, devemos inverter a ordem de uma das grandezas antes de multiplicar as diagonais. Vamos inverter a ordem do nmero de pedreiros:

Nmero de pedreiros Tempo (hr) 3 6 2 T Veja que agora as setas apontam na mesma direo. Podemos, ento, efetuar a multiplicao cruzada:

3 2 612 43

T

T

u u

Portanto, o aumento de nmero de pedreiros (de 2 para 3) reduz o tempo necessrio para erguer a parede de 6 para 4 horas.




1.3 Regra de trs composta: at aqui trabalhamos apenas com duas grandezas. Ao trabalhar com 3 ou mais grandezas proporcionais entre si (direta ou inversamente), temos uma regra de trs composta. Vamos entender como funciona atravs de um exemplo: 2 pedreiros constroem 4 paredes em 1 ms. Quantas paredes sero construdas por 5 pedreiros em 7 meses? Temos, portanto, 3 grandezas: nmero de pedreiros, nmero de paredes e tempo de construo. Veja o esquema abaixo:

Nmero de pedreiros Nmero de paredes Tempo de construo 2 4 1 5 X 7 A seguir, colocamos a seta na coluna onde est a grandeza que precisamos descobrir (X), apontando para baixo ou para cima (como voc quiser):

Nmero de pedreiros Nmero de paredes Tempo de construo 2 4 1 5 X 7

Agora, vamos comparar as demais grandezas com aquela onde est o X (nmero de paredes), para descobrir se h uma relao direta ou inversamente proporcional entre elas. Observe que, quanto maior o nmero de paredes, mais pedreiros sero necessrios para constru-las. Portanto, trata-se de uma relao diretamente proporcional. Assim, colocamos a seta no mesmo sentido (isto , para baixo) na coluna do Nmero de pedreiros:

Nmero de pedreiros Nmero de paredes Tempo de construo 2 4 1 5 X 7 Da mesma forma, vemos que quanto maior o nmero de paredes, maior ser o tempo de construo. Portanto, essas grandezas tambm so diretamente proporcionais, e podemos colocar a seta no mesmo sentido:




Nmero de pedreiros Nmero de paredes Tempo de construo 2 4 1 5 X 7 Obs.: se alguma grandeza fosse inversamente proporcional, colocaramos a seta no sentido oposto. Depois, para colocar a seta no mesmo sentido das demais, precisaramos inverter os termos daquela grandeza (troc-los de linha). Veremos exerccios tratando sobre isso.

Uma vez alinhadas as setas, podemos igualar a razo onde est a grandeza X com o produto das duas outras razes, montando a seguinte proporo:

4 2 15 7X u

Feito isso, fica fcil obter o valor de X:

4 2 15 7

4 2 15 7

4 235

2 4 3570

X

X

XX

X

uu u

u

Portanto, seria possvel erguer 70 paredes com 5 pedreiros trabalhando por 7 meses.

Resumindo os passos utilizados na resoluo de exerccios de regra de trs composta: 1. Encontrar quais so as grandezas envolvidas e montar uma tabela com as mesmas;

2. Colocar uma seta na coluna onde estiver o valor a ser descoberto (X) 3. Comparar as demais grandezas da coluna do X, verificando se so direta ou inversamente proporcionais ela, e colocando setas no mesmo sentido ou no sentido oposto; 4. Alinhar todas as setas, invertendo os termos das colunas onde for necessrio;




5. Montar a proporo, igualando a razo da coluna com o termo X com o produto das demais razes. 6. Obter X. Quanto ao passo 5, cabe uma observao: em alguns exerccios, o prprio HQXQFLDGRMiPRQWDDSURSRUomRGL]HQGRTXDOUD]mRpSURSRUFLRQDOjVGHPDLVLVWR, qual coluna deve ser igualada ao produto das demais. Veremos isso nos exerccios.

1.4 Diferenas de rendimento Imagine que Paulo e Marcos levam 1 hora para arrumar 600 livros na estante. Sabemos ainda que Paulo, trabalhando sozinho, levaria 3 horas para completar este servio. Quanto tempo levaria Marcos, trabalhando sozinho, para completar o servio? Esse um tipo de questo que pode aparecer em provas como a sua. Aqui, o exerccio deixa implcito que podem haver diferenas de rendimento entre os trabalhadores. Isto , pode ser que Paulo seja mais eficiente que Marcos, sendo capaz de guardar os livros mais rapidamente. Assim, Paulo gastaria menos tempo que Marcos, se cada um tivesse que executar o trabalho inteiro sozinho. Neste tipo de exerccio, o enunciado sempre informar dados sobre: a) o desempenho dos 2 funcionrios trabalhando juntos (neste caso, eles levam 1 hora para arrumar 600 livros); b) o desempenho de um dos funcionrios trabalhando sozinho (neste caso, Paulo levaria 3 horas). Com base nisso, voc precisar deduzir qual o desempenho do outro funcionrio, para ento calcular o tempo que ele levaria para executar o trabalho sozinho. Se Paulo leva 3 horas para guardar 600 livros, em 1 hora ele guarda 200 livros (600 / 3). Esta foi a parcela de trabalho executada por Paulo quando eles trabalharam juntos por 1 hora: 200 livros. Os outros 400 foram guardados por Marcos! Ou seja, Marcos capaz de guardar 400 livros em 1 hora. Descobrimos o desempenho de Marcos. Com isso, podemos calcular o que foi pedido pelo enunciado: se Marcos guarda 400 livros em 1 hora, ele levar 1,5 hora para guardar os 600 livros, trabalhando sozinho. Vamos escrever as regras de trs que seriam necessrias para resolver este exerccio:




1. Descobrir a parcela do trabalho de Paulo no tempo que trabalharam juntos:

Horas de trabalho Livros guardados 3 600 1 P

3 1 600200

PP livros

u

2. Descobrir a parcela de trabalho de Marcos no tempo que trabalharam juntos: P + M = 600

M = 600 P = 600 200 = 400livros

3. Descobrir o tempo gasto por Marcos para efetuar a tarefa sozinho: Horas de trabalho Livros guardados

1 400 T 600

1 600 400600 1,5400

T

T hora

u

Voc deve ter reparado que a segunda informao dada pelo enunciado (tempo gasto por um dos funcionrios para executar o trabalho sozinho) serviu para obtermos a capacidade de trabalho daquele funcionrio. Em alguns exerccios, o enunciado pode fornecer a capacidade operacional daquele funcionrio. Por exemplo: ao invs de ter dito que Paulo leva 3 horas para executar o trabalho sozinho, o exerccio poderia ter dito que a capacidade operacional de Paulo 50% da capacidade operacional de Marcos (afinal, Paulo guarda 200 livros por hora, enquanto Marcos guarda 400). Com essa informao da capacidade operacional em mos, tambm seria possvel resolver o exerccio. Bastaria observar que, se Marcos capaz de guardar M livros em 1 hora, ento Paulo capaz de guardar 50% de M, ou seja, 0,5M livros




no mesmo tempo. Portanto, juntos eles guardam M + 0,5M, ou seja, 1,5M livros em 1 hora. Com a regra de trs abaixo obteramos a capacidade de trabalho de Marcos (M):

1,5M ----------------------- 600 livros M ------------------------- X livros

1,5 600600 4001,5

M X M

X

u u

Ou seja, Marcos capaz de guardar 400 livros por hora, como j havamos constatado no caso anterior. Ao longo dos exerccios voc se acostumar a tratar casos onde existem diferenas de rendimento.

1.5 Diviso em partes proporcionais Uma propriedade importante das propores pode ser enunciada assim:

Se a cb d

, ento a a cb b d

, e tambm c a c

d b d

Esta propriedade muito utilizada na resoluo de questes de concursos que versam sobre diviso proporcional. Para voc entender melhor, vamos trabalhar com um exemplo. Suponha que Andr, Bruno e Carlos so pedreiros, e trabalharam juntos na construo de uma casa. O patro combinou de pagar um total de R$40000, sendo que cada pedreiro receberia um valor proporcional ao tempo que trabalhasse. Ao final, Andr trabalhou 200 horas, Bruno trabalhou 300 horas e Carlos trabalhou 500 horas. Quanto foi recebido por cada rapaz?

Chamando de a, b e c os valores recebidos por cada um, sabemos que os eles so proporcionais 200, 300 e 500 respectivamente, ou seja:

200 300 500a b c

Usando a propriedade acima, podemos dizer que:




200 300 500 200 300 500

200 300 500 1000

a b c a b c

a b c a b c

Sabemos que o total recebido (ou seja, a + b + c) de 40000 reais. Assim, 40000

200 300 500 1000a b c

Assim, podemos encontrar os valores de a, b e c: 40000

200 1000a

40000 200 80001000

a reais u

40000300 1000b

40000 300 120001000

b reais u

40000500 1000

c 40000 500 200001000

c reais u

Note que, de fato, a soma dos valores recebidos por cada um igual a 40000 reais. Ao longo dos exerccios de hoje veremos mais alguns exemplos como este. Uma outra forma de efetuar divises proporcionais consiste no uso de FRQVWDQWHVGHSURSRUFLRQDOLGDGH$FRPSDQKHDUHVROXomRGRH[HUFtFLRDEDL[RSDUDentender como efetuar este tipo de diviso proporcional:

EXERCCIO DE FIXAO) O nmero 772 foi dividido em partes diretamente proporcionais a 7, 4 e 8 e inversamente proporcionais a 2, 3 e 5, respectivamente. Assinale a alternativa que apresenta o menor desses nmeros. (A) 120.




(B) 160. (C) 180. (D) 200. (E) 240. RESOLUO: Devemos dividir 772 em trs partes, que ao mesmo tempo so diretamente proporcionais a 7, 4 e 8, e inversamente proporcionais a 2, 3 e 5. Isto significa que podemos escrever cada uma das trs partes da seguinte forma:

-

72

Ku (diretamente proporcional a 7 e inversamente proporcional a 2);

-

43


-

85


1HVWHFDVRFKDPDPRV.GHFRQVWDQWHGHSURSRUFLRQDOLGDGHA soma dos 3 nmeros igual a 772, ou seja:

7 4 87722 3 5

K K K u u u

105 40 4877230

K K K

23160 193K

120K

Portanto, a constante K igual a 120. Deste modo, os 3 nmeros so: 72

Ku = 120 x (7/2) = 420

43

Ku = 120 x (4/3) = 160 85

Ku = 120 x (8/5) = 192

Repare que, de fato, 160 + 192 + 420 = 772. O menor dos 3 nmeros 160. Resposta: B

1.6 Regra de sociedade




Imagine que eu e voc resolvemos montar um negcio uma banca de jornal. Como voc ainda concurseiro, decidimos que eu entraria com R$1.000,00 e voc entraria com R$500,00 para iniciarmos o empreendimento. Com esse capital inicial de R$1.500,00 ns iniciamos as operaes da nossa banca, e ao final do primeiro ano apuramos um lucro de R$3.000,00. Nada mal! A pergunta : quanto desse lucro cabe a mim? E quanto cabe a voc? A regra de sociedade nos diz que o lucro deve ser distribudo proporcionalmente ao valor investido por cada um de ns. Assim, podemos escrever a seguinte relao entre lucros e investimentos iniciais para calcular a minha parcela de lucro:

Lucro total ------------------------- Investimento total Lucro Arthur ---------------------- Investimento Arthur

Colocando os valores: 3000 reais ------------------------- 1500 reais Lucro Arthur ---------------------- 1000 reais

Efetuando os clculos: 3000 x 1000 = Lucro Arthur x 1500 3000 x 1000 / 1500 = Lucro Arthur

Lucro Arthur = 2000 reais

Quanto ao seu lucro, podemos montar uma regra de trs similar: 3000 reais ------------------------- 1500 reais

Seu lucro ---------------------- 500 reais

Seu lucro = 1000 reais

Repare que, de fato, Lucro Arthur + Seu lucro = 3000 reais.

Assim, grave isso: na hora de repartir o lucro de uma sociedade, devemos faz-lo de maneira proporcional ao valor investido por cada scio! Trata-se de uma mera aplicao do conceito de diviso proporcional que estudamos anteriormente.




1.7 Percentagem A porcentagem nada mais do que uma diviso onde o denominador o nmero 100. Voc certamente deve estar bem habituado a ver porcentagens nas QRWtFLDV GD LPSUHQVD 'L]HU TXH OHLD doze SRU FHQWR GRV EUDVLOHLURV VmRdesempregados igual a dizer que 12 a cada grupo de 100 brasileiros no tem emprego. Veja outros exemplos:

- GRVHXVDOiULRGHYHVHUSDJRDWtWXORGHFRQWULEXLomRSUHYLGHQFLiULDGHFDGD100 reais que voc recebe como salrio, 11 devem ser pagos para a previdncia.

- DWD[DGHDQDOIDEHWLVPRGHDGXOWRVQR%UDVLOpGHGHFDGDDGXOWRVQRBrasil, 20 so analfabetos.

- RQ~PHURGHDGROHVFHQWHVJUiYLGDVFUHVFHXHPHP UHODomRDRDQRDQWHULRUSDUDFDGDDGROHVFHQWHVJUiYLGDVTXHH[LVWLDPem 2010, passaram a existir 10 a mais em 2011, isto , 110 adolescentes grvidas.

- RQ~PHURGHIXPDQWHVKRMHpPHQRUTXHDTXHOHGR LQtFLRGDGpFDGD SDUDcada 100 fumantes existentes no incio da dcada, hoje temos 100 5, isto , 95 fumantes.

Para calcular qual a porcentagem que uma certa quantia representa de um todo, basta efetuar a seguinte diviso:

quantia de interessePorcentagem = 100%total

u

Por exemplo, se queremos saber qual o percentual que 3 crianas representam em um total de 4 crianas, temos:

quantia de interesse 3Porcentagem = 100% 100% 0,75 100% 75%total 4

u u u




Podemos transformar um nmero porcentual (ex.: 75%) em um nmero decimal (ex.: 0,75), e vice-YHUVDOHPEUDQGRTXHRVtPERORVLJQLILFDGLYLGLGRSRU,VWRppLJXDODGLYLGLGRSRUTXHpLJXDOD

7575% 0,75100

Da mesma forma, se temos um nmero decimal (ex.: 0,025) e queremos saber o valor percentual correspondente, basta multiplic-lo por 100%:

1000,025 0,025 0,025 100% 2,5%100 u u

Por fim, se quantia de interessePorcentagem = 100%total

u , ento tambm podemos dizer que:

quantia de interesse = porcentagem totalu

(Obs.: veja que omiti o 100% desta ltima frmula, afinal 100100% 1100 )

Esta frmula acima nos diz que, se queremos saber quanto 20% de 300, basta multiplicar 20% por 300:

20% de 300 = 20% x 300 = 0,2 x 300 = 60

Isto , 60 pessoas correspondem a 20% de um total de 300 pessoas. Portanto, grave isso: HPPDWHPiWLFDRGHHTXLYDOHjPXOWLSOLFDomR3RUWDQWRde 300 igual a 20% x 300, e assim por diante.

Por ora, vejamos uma questo sobre o assunto:

1. FCC MPE/RS 2010) Devido a uma promoo, um televisor est sendo vendido com 12% de desconto sobre o preo normal. Cludio, funcionrio da loja,




est interessado em comprar o televisor. Sabendo que, como funcionrio da loja, ele tem direito a 25% de desconto sobre o preo promocional, o desconto que Cludio ter sobre o preo normal do televisor, caso decida adquiri-lo, ser de a) 37% b) 36% c) 35% d) 34% e) 33% RESOLUO: Se o preo normal do televisor T, com o desconto de 12% ela est sendo vendida pelo preo promocional abaixo:

Preo Promocional = T 12%T = T 0,12T = 0,88T

Como Cludio tem desconto de 25% sobre o preo promocional, ele deve pagar:

Preo para Cludio = Preo Promocional 25% do Preo Promocional Preo para Cludio = 0,88T 25% x 0,88T

Preo para Cludio = 0,88T 0,25 x 0,88T = 0,66T

Isto , Cludio pagar apenas 66% do preo normal da televiso, tendo um desconto de 100% - 66% = 34%. Resposta: D

Ainda na questo acima, observe que uma reduo de 12% corresponde a multiplicar o valor inicial por 0,88, ou seja, por 88%. Da mesma forma, uma reduo de 25% corresponde a multiplicar o valor inicial por 0,75, ou 75%. Repare que, de fato, 0,88T x 0,75 igual a 0,66T. Em termos gerais: - para aumentar um valor em x%, basta multiplic-lo por (1 + x%); - para reduzir um valor em x%, basta multiplic-lo por (1 x%).




Exemplificando, imagine uma blusa que custa 250 reais. Se na semana anterior Black Friday elevarmos o preo em 25%, o novo preo ser:

250 x (1 + 25%) = 250 x 1,25 = 312,50 reais

Se na Black Friday GHUPRVXPPHJDGHVFRQWRGHFKHJDPRVD 312,50 x (1 30%) = 312,50 x 0,70 = 218,75 reais

(veja que podemos anunciar: de R$312,50 por R$218,75!!)

Veja que poderamos ter feito as duas operaes de uma vez, para chegar diretamente no preo final, assim:

250 x (1,25) x (0,70) = 250 x 0,875 = 218,75 reais

Repare que, no fim das contas, vendemos por 0,875 vezes o preo inicial, ou 87,5% do preo inicial. Assim, o desconto real foi de apenas 12,5%.

Veja mais essa questo:

2. FCC TCE/SP 2010) Suponha que certo medicamento seja obtido adicionando- se uma substncia A a uma mistura homognea W, composta de apenas duas substncias X e Y. Sabe-se que:

- o teor de X em W de 60%;

- se pode obter tal medicamento retirando-se 15 de 50 litros de W e substituindo-os por 5 litros de A e 10 litros de Y, resultando em nova mistura homognea.

Nessas condies, o teor de Y no medicamento assim obtido de a) 52% b) 48% c) 45% d) 44% e) 42% RESOLUO:




Se a mistura W contm apenas as substncias X e Y, sendo 60% de X, temos ento 100% - 60% = 40% de Y. Retirando 15 litros de W, sobram 35 litros dessa mistura. Sabemos que X 60% de W, portanto, temos:

Volume de X = 60% do Volume de W = 60% x 35 litros = 0,6 x 35 = 21 litros

Se ao todo temos 35 litros, o volume de Y ser:

Volume de Y = Volume de W Volume de X = 35 21 = 14 litros (voc tambm poderia ter feito 40% x 35 litros = 14 litros)

Veja que ainda devemos adicionar 5 litros de A e 10 litros de Y. Ficamos, ao todo, com 21 litros de X, 14 + 10 = 24 litros de Y e 5 litros de A, totalizando 21 + 24 + 5 = 50 litros. Deste total de 50 litros, temos 24 litros de Y, que representam a porcentagem:


24Porcentagem = 100% 0,48 100% 48%50

u

u u

Resposta: B

1.7.1 Propores e porcentagens em clculos bsicos de compra e venda de mercadorias Alm do que vimos at aqui, interessante que voc tenha uma noo bsica sobre operaes de compra e venda de mercadorias. De maneira bem simples, para um comerciante que trabalha simplesmente comprando e vendendo mercadorias, chamamos de Lucro a diferena entre o valor que ele cobra por seus produtos e o custo que tivemos para adquiri-lo. Isto ,

Lucro na venda de um produto = Valor da venda Custo de aquisio

Simplificando,




L = V C

Na maioria dos exerccios, o custo de aquisio simplesmente o preo pago pelo comerciante ao adquirir aquele produto. Na vida real, o custo de um produto envolve diversas outras variveis, pois neste custo deve ser includo o custo direto de aquisio e os diversos custos indiretos (luz, energia, salrio dos funcionrios, aluguel da loja etc.), alm dos tributos e outras despesas. De qualquer forma, tendo a relao acima em mente, e sabendo trabalhar com porcentagens, voc resolve uma vasta gama de questes, como essa a seguir:

3. VUNESP TJ-SP 2007) Um comerciante estabeleceu que o seu lucro bruto (diferena entre os preos de venda e compra) na venda de um determinado produto dever ser igual a 40% do seu preo de venda. Assim, se o preo unitrio de compra desse produto for R$ 750,00, ele dever vender cada unidade por (A) R$ 1.050,00. (B) R$ 1.100,00. (C) R$ 1.150,00. (D) R$ 1.200,00. (E) R$ 1.250,00. RESOLUO: Sendo L o lucro bruto, V o preo de venda e C o preo de compra de um produto, o enunciado nos disse que L igual a 40% de V, ou seja:

L = 40% x V L = 0,40V

2HQXQFLDGRWDPEpPGL]TXHRSUHoRGHFRPSUDIRL& HTXH/pLJXDOD9PHQRV&$VVLP

L = V C 0,40V = V 750 750 = V 0,40V

750 = 0,60V V = 750 / 0,60 = 1250 reais

Resposta: E




2. RESOLUO DE EXERCCIOS Caro aluno, propositalmente coloquei uma grande quantidade de questes nesta aula para que voc possa exercitar bastante. Alm de propores e porcentagem serem assunto quase certo na prova, esses tpicos so a base para trabalharmos outros itens do seu edital, em especial aqueles de matemtica financeira (juros, descontos etc). Na parte final desta lista voc encontrar 31 questes da FUNDATEC, para sentir como a banca j cobrou esses assuntos.

4. FCC TRT/19 2011) Em uma campanha publicitria, foram encomendados, em uma grfica, quarenta e oito mil folhetos. O servio foi realizado em seis dias, utilizando duas mquinas de mesmo rendimento, oito horas por dia. Dado o sucesso da campanha, uma nova encomenda foi feita, sendo desta vez de setenta e dois mil folhetos. Com uma das mquinas quebradas, a grfica prontificou-se a trabalhar doze horas por dia, entregando a encomenda em:

a) 7 dias. b) 8 dias. c) 10 dias. d) 12 dias. e) 15 dias.

RESOLUO: Temos quatro grandezas em jogo nesta questo: nmero de folhetos produzidos, nmero de dias de trabalho, nmero de mquinas trabalhando e jornada diria de cada mquina. Veja abaixo:

Folhetos Dias Mquinas Jornada

48000 6 2 8

72000 X 1 12

Veja que j colocamos uma seta para cima (podia ter sido para baixo) na coluna onde est a varivel que precisamos descobrir. O prximo passo verificar se as outras grandezas so direta ou inversamente proporcionais ao nmero de Dias.




Quanto mais folhetos, mais dias sero necessrios. Logo, Folhetos e Dias so diretamente proporcionais. Devemos colocar a seta na coluna Folhetos na mesma direo que colocamos na coluna Dias.

Quanto mais mquinas, menos dias so necessrios. So grandezas inversamente proporcionais. A seta ser colocada em sentido contrrio na coluna Mquinas.

Quanto maior a Jornada diria das mquinas, menos dias sero necessrios. So tambm inversamente proporcionais, e a coluna Jornada ter seta em sentido contrrio. Veja tudo isso abaixo:


48000 6 2 8

72000 X 1 12

O prximo passo inverter as colunas cuja seta est no sentido contrrio, para deixar todas as setas alinhadas:


48000 6 1 12

72000 X 2 8

Feito isso, podemos igualar a coluna onde est a varivel X ao produto das outras colunas, montando a seguinte proporo:

6 48000 1 1272000 2 8X u u

Resolvendo, temos:




6 48 1 372 2 2

6 2 1 33 2 2

1 1 1 13 2 2

12

X

X

XX

u u

u u

u u

Portanto, sero necessrios 12 dias para finalizar o trabalho.

Resposta: D.

5. FCC TRT/4 2011) Ultimamente tem havido muito interesse no aproveitamento da energia solar para suprir outras fontes de energia. Isso fez com que, aps uma reforma, parte do teto de um salo de uma empresa fosse substituda por uma superfcie retangular totalmente revestida por clulas solares, todas feitas de um mesmo material. Considere que:

- clulas solares podem converter a energia solar em energia eltrica e que para cada centmetro quadrado de celular solar que recebe diretamente a luz do sol gerada 0,01 watt de potncia eltrica;

- a superfcie revestida pelas clulas solares tem 3,5 m de largura e 8,4 m de comprimento.

Assim sendo, se a luz do sol incidir diretamente sobre tais clulas, a potncia eltrica que elas sero capazes de gerar em conjunto, em watts, :

a) 294000 b) 38200 c) 29400 d) 3820 e) 2940

RESOLUO: 1 metro igual a 100 centmetros. Portanto, 3,5m = 350cm e 8,4m = 840cm. Lembrando ainda que a rea de um retngulo dada pela multiplicao de sua




largura pelo seu comprimento, podemos dizer que a rea da superfcie de clulas solares :

2

larguracomprimento350 840294000

rearea cm cmrea cm

u

Se 21cm gera 0,01 watt, ento com uma regra de trs podemos descobrir

quantos watts sero gerados por 2294000cm :

21cm ----------------------------- 0,01 watt

2294000cm ------------------------------- P

Portanto,

1 294000 0,012940

PP

u u

Resposta: E.

6. FCC TRT/4 2011) Ao saber que alguns processos deviam ser analisados, dois Analistas Judicirios do Tribunal Regional do Trabalho Sebastio e Johnny se incumbiram dessa tarefa. Sabe-se que:

- dividiram o total de processos entre si, em partes inversamente proporcionais a seus respectivos tempos de servio no Tribunal: 15 e 5 anos

- Sebastio levou 4 horas para, sozinho, analisar todos os processos que lhe couberam, enquanto que, sozinho, Johnny analisou todos os seus em 6 horas.

Se no tivessem dividido o total de processos entre si e trabalhassem simultaneamente em processos distintos, quanto tempo seria necessrio at que todos os processos fossem analisados?

a) 5 horas e 20 minutos b) 5 horas c) 4 horas e 40 minutos d) 4 horas e 30 minutos




e) 4 horas RESOLUO: Seja S o nmero de processos que ficaram para Sebastio e J os que ficaram para Johnny ao efetuarem a diviso dos processos. Sabemos que S e J so inversamente proporcionais a 15 e 5 anos. Ou seja:

515

SJ

Observe que, para montar a proporo acima, foi preciso inverter a ordem da coluna dos tempos de servio. Da igualdade acima, podemos dizer que:

15 53

S JS J

O total de processos igual a S + J. Como 3S = J, ento o total de processos igual a S + 3S = 4S.

O enunciado diz que Sebastio levou 4 horas para analisar S processos. Vejamos quantos processos ele capaz de analisar em 1 hora:

4 horas S processos

1 hora X processos

4 1

4

X SSX

u u

Logo, Sebastio capaz de analisar 4S

processos por hora.

Johnny levou 6 horas para analisar todos os seus 3S processos. fcil obter quantos processos ele capaz de analisar em 1 hora:

6 horas 3S processos

1 hora Y processos

6 1 3

2

Y SSY

u u




Percebemos com isso que Johnny seria capaz de analisar 2S

processos em

1 hora. Note que Johnny analisa o dobro de processos que Sebastio em 1 hora. Ou seja, Johnny duas vezes mais eficiente que Sebastio. Esse o detalhe mais importante dessa questo: em momento algum foi dito que os servidores tinham a mesma eficincia! Vamos continuar.

Juntos, Sebastio e Johnny so capazes de analisar 34 2 4S S S processos

por hora. Vejamos quanto tempo eles precisam para analisar todos os 4S processos:

34S

processos 1 hora

4S processos T

3 4 14

3 4 14

16 15 1 153 3 3 3

S T S

T

T

u u

u u

Portanto, o tempo total necessrio de 5 horas, mais 13

de hora (isto , 20

minutos). Resposta: A.

7. FCC TRT/22 2010) Dois funcionrios de uma Unidade do Tribunal Regional do Trabalho Moiss e Nuno foram incumbidos da manuteno de n equipamentos de informtica. Sabe-se que, Moiss capaz de executar essa tarefa sozinho em 4 horas de trabalho ininterrupto e que Nuno tem 80% da capacidade operacional de Moiss. Assim sendo, se, num mesmo instante, ambos iniciarem simultaneamente a manuteno dos n equipamentos, ento, aps um perodo de duas horas,

a) O trabalho estar concludo




b) Ainda dever ser feita a manuteno de 20% dos n equipamentos c) Ainda dever ser feita a manuteno de 10% dos n equipamentos

d) Ter sido executada a manuteno de 38

dos n equipamentos

e) Ter sido executada a manuteno de 45

dos n equipamentos

RESOLUO: Dado que Moiss executa a manuteno de n equipamentos em 4 horas, vejamos em quantos equipamentos ele executa o trabalho a cada 1 hora:

n equipamentos 4 horas

X 1 hora

1 4n Xu u

4nX

Sabemos que a capacidade operacional de Nuno 80% da de Moiss. Ou seja, em 1 hora, Nuno executa a manuteno em 80% dos equipamentos que

0RLVpV H[HFXWD 9RFr GHYH JUDYDU TXH GH4n SRGH VHU HVFULWR

matematicamente como 0,84nu

EDVWDPXOWLSOLFDURGHSHODPXOWLSOLFDomR

Trabalhando juntos, Moiss ir executar a manuteno em 4n

equipamentos

e Nuno em 0,84nu

equipamentos em 1 hora. Ou seja, juntos eles atuam sobre

0,8 1,84 4 4n n n u u equipamentos em 1 hora. Vejamos quantos equipamentos sero tratados em 2 horas, conforme pede o exerccio:

1 hora 1,84nu

2 horas X




1 2 1,84

2 1,8 3,6 0,94 4

nX

n nX n

u u u

u u u u

Se 0,9n equipamentos (ou seja, 90% dos n equipamentos) j tiverem sido tratados, faltar executar a manuteno em 10% deles (isto , n 0,9n = 0,1n). Resposta: C.

Ateno: para responder s duas prximas questes, use os dados do texto seguinte.

Sabe-se que Julio tem 30 anos de idade e Cosme tem 45 e que ambos so Tcnicos Judicirios de uma mesma Unidade do Tribunal Regional do Trabalho da 4 Regio h 6 e 15 anos, respectivamente.

8. FCC TRT/4 2011) Certo dia, Julio e Cosme foram incumbidos de arquivar alguns documentos e dividiram o total entre si na razo inversa de suas respectivas idades. Considerando que os dois executaram a sua parte da tarefa com a mesma capacidade operacional, ento, se Julio levou 2 horas e 30 minutos para arquivar a sua parte, Cosme arquivou a sua em:

a) 2 horas e 40 minutos b) 2 horas e 10 minutos c) 1 hora e 50 minutos d) 1 hora e 40 minutos e) 1 hora e 30 minutos RESOLUO: Imagine novamente que temos um total de P processos a serem arquivados, ficando J processos a cargo de Julio e C processos a cargo de Cosme. Assim, temos:




Quantidade de processos Idade

J 30

C 45

No esquema acima j coloquei uma seta nas quantidades de processos. A diviso dos processos foi na razo inversa das idades. Portanto, devemos colocar uma seta no sentido inverso na coluna das idades:


J 30

C 45

Antes de efetuar a multiplicao cruzada, devemos inverter a coluna das idades:


J 45

C 30

Assim, temos:

30 4530 245 3

J C

C J J

u u u u

Ou seja, a quantidade de processos de Cosme igual quantidade de Julio, multiplicada por 2/3. Sabendo que Julio levou 2,5 horas para finalizar os seus processos, a regra de trs abaixo nos permite obter o tempo gasto por Cosme:

Quantidade de processos Tempo de trabalho

J 2,5




23

J u T

Efetuando a multiplicao cruzada, temos:

2 2,53

2 2 5 52,53 3 2 3

J T J

T

u u u

u u

Ou seja, Cosme precisa de 5/3 horas para finalizar seu trabalho, ou seja, 1 hora e 40 minutos.

Resposta: D

9. FCC TRT/4 2011) Suponha que as quantidades de horas extras cumpridas por Julio e Cosme ao longo de certo ms eram diretamente proporcionais aos seus respectivos tempos de servio no Tribunal. Assim sendo, se, juntos, eles cumpriram o total de 28 horas extras, correto afirmar que: a) Julio cumpriu 12 horas extras a menos que Cosme b) Julio cumpriu 8 horas extras a mais do que Cosme c) o nmero de horas extras cumpridas por Julio era 30% do de Cosme d) o nmero de horas extras cumpridas por Cosme era 62% do de Julio e) Cosme cumpriu 4/7 do total de horas extras RESOLUO: Sendo J o nmero de horas extras cumpridas por Julio e C as cumpridas por Cosme, sabemos que J + C = 28.

Podemos montar ainda a regra de trs abaixo, lembrando que as horas extras so diretamente proporcionais aos tempos de servio:

Horas extras Tempo de servio

J 6

C 15

A multiplicao cruzada nos d:




15 6J Cu u ou seja,

15 615 56 2

J C

C J J

u u u u

Como 52

C J u , podemos efetuar a substituio de C na primeira equao:

285 282

7 282

28 2 87

J C

J J

J

J

u

u u

Como Julio cumpriu 8 horas extras, e o total era de 28 horas extras, ento Cosme cumpriu 20 horas extras. Podemos afirmar que Julio cumpriu 12 horas extras a menos que Cosme, como diz a letra A.

Resposta: A

10. FCC TRF/4 2010) Sejam x , y e z trs nmeros inteiros e positivos, tais que x < y < z. Sabe-se que o maior a soma dos outros dois, e que o menor um sexto do maior. Nessas condies, x, y e z so, nesta ordem, diretamente proporcionais a (A) 1, 3 e 6. (B) 1, 4 e 6. (C) 1, 5 e 6. (D) 1, 6 e 7. (E) 1, 7 e 8. RESOLUO: O exerccio diz que o maior nmero (z) igual soma dos outros dois. Isto :

z x y Alm disso, o menor (x) igual a um sexto do maior (z):




16

x z

Substituindo esta ltima relao na primeira equao, podemos escrever y em termos de z:

16

1 56 6

z x y

z z y

y z z z

Portanto, colocando os 3 nmeros em ordem crescente, temos:

x, y e z

ou melhor:

1 5, e

6 6z z z

Observe que, ao dividir x por 1, obtm-se o mesmo resultado da diviso de y por 5, ou da diviso de z por 6:

11 6x

z

516

=

5 5 6

zyz

16 6z

z

Ou seja, x, y e z so proporcionais a 1, 5 e 6:

1 5 6x y z

Resposta: C

11. FCC TRF/4 2010) Oito trabalhadores, trabalhando com desempenhos constantes e iguais, so contratados para realizar uma tarefa no prazo estabelecido de 10 dias. Decorridos 6 dias, como apenas 40% da tarefa havia sido concluda,




decidiu-se contratar mais trabalhadores a partir do 7o dia, com as mesmas caractersticas dos anteriores, para concluir a tarefa no prazo inicialmente estabelecido. A quantidade de trabalhadores contratados a mais, a partir do 7o dia, foi de (A) 6. (B) 8. (C) 10. (D) 12. (E) 18. RESOLUO: Vamos imaginar que a tarefa completa a ser realizada seja T. Sabemos que 8 trabalhadores executaram em 6 dias 0,4T (40% da tarefa). Precisamos saber quantos homens sero necessrios para, nos 4 dias restantes, executar 0,6T (isto , completar a tarefa). Vamos preparar a regra de trs com as grandezas dadas no exerccio:

Homens trabalhando Tarefa Dias de trabalho

8 0,4T 6

X 0,6T 4

Uma vez montada a tabela acima, onde j coloquei uma seta na grandeza que queremos descobrir, precisamos avaliar se as demais grandezas so direta ou inversamente proporcionais.

Quanto mais homens trabalhando, uma quantidade maior da tarefa pode ser concluda. Portanto, essas duas grandezas so diretamente proporcionais. Vamos colocar uma seta no mesmo sentido (para baixo) na grandeza Tarefa. Quanto mais homens trabalhando, menos dias de trabalho so necessrios. Estamos diante de grandezas inversamente proporcionais. Vamos colocar uma seta no sentido contrrio (para cima) na grandeza Dias de trabalho. Assim, temos:


8 0,4T 6




X 0,6T 4

Invertendo a ltima coluna, temos as 3 setas alinhadas:


8 0,4T 4

X 0,6T 6

Feito isso, basta montar a proporo, igualando a razo onde se encontra a varivel X ao produto das demais razes:

8 0,4 40,6 6

TX T

u

Podemos cortar a varivel T, que no nos interessa, e isolar X, obtendo seu valor:

8 0,4 40,6 6

1 0,2 10,6 63,6 36 180,2 2

X

X

X

u

u

Portanto, sero necessrios 18 homens trabalhando nos 4 dias restantes para finalizar o trabalho. Como j tnhamos 8 homens trabalhando, ser preciso contratar mais 10 pessoas.

Resposta: C

12. FCC TRT/4 2011) Certo dia, Jaso Analista Judicirio do Tribunal Regional do Trabalho recebeu um lote de processos, em cada um dos quais deveria emitir seu parecer. Sabe-se que ele executou a tarefa em duas etapas: pela manh, em que emitiu pareceres para 60% do total de processos e, tarde, em que os emitiu para os processos restantes. Se, na execuo dessa tarefa, a capacidade




operacional de Jaso no perodo da tarde foi 75% da do perodo da manh, ento, se pela manh ele gastou 1 hora e 30 minutos na emisso dos pareceres, o tempo que gasto na emisso dos pareceres tarde foi:

a) 1 hora e 20 minutos b) 1 hora e 30 minutos c) 1 hora e 40 minutos d) 2 horas e 20 minutos e) 2 horas e 30 minutos

RESOLUO: Sendo P o total de pareceres, sabemos que Jaso emitiu pareceres em 60% de P (ou 0,6P) em 90 minutos (1 hora e 30 minutos). Restaram 0,4P para o perodo vespertino.

tarde a eficincia de Jaso caiu para 75% da eficincia da manh, ou seja, nos mesmos 90 minutos Jaso no seria capaz de emitir pareceres em 0,6P, mas apenas em 75% desta quantidade, isto , 0,75 (0,6 )Pu , ou simplesmente 0,45P. Portanto, tarde, Jaso capaz de emitir pareceres em 0,45P em 90 minutos. Como restam 0,4P, podemos montar a seguinte regra de trs:

Nmero de pareceres Tempo de trabalho

0,45P 90

0,40P T

Logo, 0,45 0,40 90P T Pu u . Simplificando para obter T, teremos: 0,45 0,40 90

0,40 900,45

40 90 40 2 8045 1

T

T

T

u uu u u

Portanto, Jaso precisar de 80 minutos (1 hora e 20 minutos) para emitir pareceres nos 0,4P que ficaram para o perodo da tarde.

Resposta: A.




13. FCC TRT/9 2010) Certo dia, Zelda e Gandi, funcionrios de certa unidade do Tribunal Regional do Trabalho, receberam alguns processos para emitir pareceres e os dividiram entre si na razo inversa de suas respectivas idades: 28 e 42 anos. Considerando que, na execuo dessa tarefa, a capacidade operacional de Gandi foi 80% da de Zelda e que ambos a iniciaram em um mesmo horrio, trabalhando ininterruptamente at complet-la, ento, se Gandi levou 2 horas e 10 minutos para terminar a sua parte, o tempo que Zelda levou para completar a dela foi de:

a) 1 hora e 24 minutos b) 1 hora e 38 minutos c) 1 hora e 52 minutos d) 2 horas e 36 minutos e) 2 horas e 42 minutos

RESOLUO: Vamos resolver mais rpido, dado que voc j deve ter pegado a prtica at aqui. Sendo Z os processos de Zelda e G os de Gandi, temos:

42 328 232

ZGZ G

Obtendo a quantidade de processos trabalhados por Gandi em 1 hora (60 minutos):

G processos 130 minutos (2 horas e 10 minutos) X processos 60 minutos

60 1306

13

G X

X G

u u u

Seja N o nmero de processos que Zelda trabalha em 1 hora. Sabemos que X (processos de Gandi em 1 hora) igual a 80% de N, ou seja:




0,86 80

13 1006 100 6 5 15

13 80 13 4 26

X N

G N

N G G G

uu u

u u u u u

Portanto, Zelda trabalha 1526

Gu processos em 1 hora. Calculemos ento

quanto tempo ser preciso para trabalhar todos os seus processos ( 32

G , calculado

acima): 1526

Gu processos 60 minutos

32

G processos T minutos

15 3 6026 2

15 3 6026 2

3 26 3 13 3 1360 60 4 1562 15 1 15 1 1

G T G

T

T

u u u

u u

u u u u u u

Zelda precisar de 156 minutos, ou seja, 2 horas e 36 minutos. Resposta: D.

14. FCC TRF/2 2012) Duas empresas X e Y tm, respectivamente, 60 e 90 funcionrios. Sabe-se que, certo dia, em virtude de uma greve dos motoristas de nibus, apenas 42 funcionrios de X compareceram ao trabalho e que, em Y, a frequncia dos funcionrios ocorreu na mesma razo. Nessas condies, quantos funcionrios de Y faltaram ao trabalho nesse dia?

a) 36 b) 33 c) 30 d) 27




e) 20 RESOLUO: Se 42 funcionrios de X compareceram, ento 18 faltaram. Chamando de Z o nmero de funcionrios que faltaram na empresa Y, podemos montar a seguinte proporo:

Total de funcionrios de X --------------------- Nmero de faltantes em X

Total de funcionrios de Y --------------------- Nmero de faltantes em Y

Colocando os valores que o enunciado forneceu, temos:

60 ------------------------ 18

90 ------------------------ Z

Logo, Z = 90 x 18 / 60 = 27. Isto , 27 funcionrios de Y faltaram ao trabalho.

Resposta: D

15. FCC TRF/2 2012) Suponha que, pelo consumo de energia eltrica de uma mquina, que durante 30 dias funciona ininterruptamente 8 horas por dia, paga-se o total de R$288,00. Se essa mquina passar a funcionar 5 horas por dia, a despesa que ela acarretar em 6 dias de funcionamento ininterrupto ser de:

a) R$36,00 b) R$36,80 c) R$40,00 d) R$42,60 e) R$42,80 RESOLUO: Aqui temos 3 grandezas: dias de funcionamento, horas de funcionamento por dia, e valor da conta de energia. Assim, temos:




30 dias ------------ 8 horas por dia -------------- 288 reais

6 dias ------------ 5 horas por dia -------------- X reais

Sabemos que, quanto maior o nmero de dias, maior a conta de energia. Essas grandezas so diretamente proporcionais. Da mesma forma, quanto maior o nmero de horas de funcionamento por dia, maior a conta de energia. Tambm so grandezas diretamente proporcionais. Assim, basta montar a proporo, igualando a razo da coluna onde est o X com a multiplicao das demais razes:

288 30 86 5

288 855

36

X

X

X reais

u

u

Resposta: A

16. FCC MPE/PE 2012) Um casal de idosos determinou, em testamento, que a quantia de R$ 4.950,00 fosse doada aos trs filhos de seu sobrinho que os ajudara nos ltimos anos. O casal determinou, tambm, que a quantia fosse distribuda em razo inversamente proporcional idade de cada filho por ocasio da doao. Sabendo que as idades dos filhos eram 2, 5 e x anos respectivamente, e que o filho de x anos recebeu R$ 750,00, a idade desconhecida , em anos, (A) 4. (B) 6. (C) 7. (D) 9. (E) 8. RESOLUO: Como os valores so inversamente proporcionais s idades, podemos tambm dizer que os valores recebidos so diretamente proporcionais aos inversos das idades, ou seja:




4950 -------------------------- 1 1 12 5x

750 ---------------------------- 1x

Assim, temos:

1750

1 1 149502 5

x

x

1750

10 5 2495010 10 10

xx x

x x x

1750

10 7495010

xx

x

750 1 104950 10 7

x

x x u

750 1 104950 1 10 7x

u

x = 8

Resposta: E

17. FCC MPE/PE 2012) O dono de uma obra verificou que, com o ritmo de trabalho de 15 trabalhadores, todos trabalhando apenas 4 horas por dia, o restante de sua obra ainda levaria 12 dias para ser encerrado. Para terminar a obra com 9 dias de trabalho o dono da obra resolveu alterar o nmero de horas de trabalho por dia dos trabalhadores. Com a proposta feita, cinco trabalhadores se desligaram da obra. Com o pessoal reduzido, o nmero de horas de trabalho por dia aumentou ainda mais e, mesmo assim, houve acordo e as obras foram retomadas, mantendo-se o prazo final de 9 dias. Aps trs dias de trabalho nesse novo ritmo de mais




horas de trabalho por dia, cinco trabalhadores se desligaram da obra. O dono desistiu de manter fixa a previso do prazo, mas manteve o nmero de horas de trabalho por dia conforme o acordo. Sendo assim, os trabalhadores restantes terminaram o que faltava da obra em uma quantidade de dias igual a

(A) 42. (B) 36. (C) 24. (D) 12. (E) 8. RESOLUO: Temos 3 grandezas envolvidas nesse exerccio: nmero de trabalhadores, horas trabalhadas por dia, e tempo para finalizar a obra. Vejamos os dados fornecidos inicialmente:

Trabalhadores Horas/Dia Tempo restante

15 4 12

A seguir temos uma reduo de 12 para 9 dias e uma reduo de 15 para 10 trabalhadores. Vejamos qual passa a ser a jornada diria:


15 4 12

10 x 9

Observe que quanto mais horas por dia de trabalho, menos trabalhadores so necessrios, e menor o tempo restante da obra. Assim, temos grandezas LQYHUVDPHQWH SURSRUFLRQDLV ,QYHUWHQGR DV FROXQDV WUDEDOKDGRUHV H WHPSRUHVWDQWHWHPRV





10 4 9

15 x 12

4 10 915 12x u

x = 8 horas/dia

Durante os 3 primeiros dias, o trabalho foi feito por esses 10 trabalhadores, trabalhando 8 horas por dia. Sendo T o trabalho total a ser executado, vejamos quanto foi feito nestes primeiros dias. O que sabemos que, em 9 dias, eles finalizariam o trabalho. Assim:

9 dias --------------- T

3 dias --------------- X

9X = 3T

X = T/3

Portanto, 1/3 do trabalho foi executado nos primeiros 3 dias, restando 2/3. Neste momento mais 5 trabalhadores abandonaram o servio, ficando apenas os outros 5. Vejamos em quanto tempo eles finalizam o trabalho:

Trabalhadores Tempo restante

10 6

5 x




Observe que quanto mais trabalhadores, menos tempo ser necessrio para acabar o servio. Isto , essas grandezas so inversamente proporcionais. Invertendo uma das colunas temos:

Trabalhadores Tempo restante

10 x

5 6

10 x 6 = 5x

x = 12 dias

Resposta: D

18. FCC Banco do Brasil 2006) Trs pessoas formaram, na data de hoje, uma sociedade com a soma dos capitais investidos igual a R$ 100 000,00. Aps um ano, o lucro auferido de R$ 7 500,00 dividido entre os scios em partes diretamente proporcionais aos capitais iniciais investidos. Sabendo-se que o valor da parte do lucro que coube ao scio que recebeu o menor valor igual ao mdulo da diferena entre os valores que receberam os outros dois, tem-se que o valor do capital inicial do scio que entrou com maior valor

(A) R$ 75 000,00 (B) R$ 60 000,00 (C) R$ 50 000,00 (D) R$ 40 000,00 (E) R$ 37 500,00 RESOLUO: Sejam X, Y e Z os valores investidos por cada scio. Vamos assumir que X o menor valor, Y o valor intermedirio e Z o maior valor. A soma de 100000 reais:




X + Y + Z = 100000

X = 100000 Y Z

Se o valor da parte do lucro que coube ao scio que recebeu o menor valor igual ao mdulo da diferena entre os valores que receberam os outros dois, o mesmo vale para os valores investidos. Ou seja, o menor valor investido (X) igual diferena Z Y:

X = Z Y

Como X = 100000 Y Z e tambm X = Z Y, ento: Z Y = 100000 Y Z Z + Z = 100000 Y + Y

2Z = 100000

Z = 50000 reais

Portanto, o scio que investiu o maior valor aplicou 50000 reais.

Resposta: C

19. FCC Banco do Brasil 2006) Em um determinado banco, o funcionrio Antnio, trabalhando sozinho, realiza uma tarefa em 10 dias. Dando incio ao trabalho e tendo trabalhado sozinho apenas 2 dias, no terceiro dia Antnio junta-se ao funcionrio Bernardo e em 3 dias de trabalho concluram a tarefa. Supondo constante o desempenho desenvolvido por esses funcionrios para realizarem seus trabalhos, tem-se que Bernardo, trabalhando sozinho, realizaria toda a tarefa em

(A) 10 dias. (B) 8 dias. (C) 6 dias. (D) 5 dias.




(E) 4 dias. RESOLUO: Seja T a tarefa total a ser executada. Veja que Antnio trabalhou sozinho por 2 dias, e com Bernardo por mais 3 dias, totalizando 5 dias. Vejamos quanto trabalho foi executado por Antnio neste perodo:

T ------------------------------ 10 dias

X ------------------------------ 5 dias

X = T/2

Portanto, ao longo dos 5 dias que trabalhou, Antnio executou metade da tarefa. A outra metade (T/2) foi executada por Bernardo ao longo dos 3 dias que ele trabalhou. Vejamos quanto tempo Bernardo precisaria para, sozinho, executar toda a tarefa:

T/2 -------------------------- 3 dias

T ----------------------------- Y dias

Y = 6 dias

Assim, Bernardo executaria toda a tarefa sozinho em 6 dias.

Resposta: C

20. FCC Banco do Brasil 2010) Pesquisadores descobriram que o uso do fundo preto nas pginas de busca da internet produz um consumo menor de energia em relao tela branca. Se todas as buscas fossem feitas com tela preta, a economia total em um tempo mdio de 10 segundos seria equivalente energia gasta por 77 milhes de geladeiras ligadas ininterruptamente durante 1 hora. Nessas condies, a economia total em um tempo mdio de buscas de 30 minutos seria equivalente energia gasta por essas geladeiras ligadas ininterruptamente durante

(A) 2 dias e meio.




(B) 3 dias. (C) 5 dias. (D) 7 dias e meio. (E) 8 dias. RESOLUO: Temos 3 grandezas no enunciado: tempo de buscas, nmero de geladeiras, tempo com geladeira ligada. Vejamos os dados fornecidos:

Tempo de buscas N de geladeiras Tempo c/ geladeira ligada

10 segundos 77.000.000 1 hora

30 minutos 77.000.000 X horas

30 minutos correspondem a 30 x 60 = 1800 segundos. Assim, temos:

Tempo de buscas N de geladeiras Tempo c/ geladeira ligada

10 segundos 77.000.000 1 hora

1800 segundos 77.000.000 X horas

Quanto mais tempo de buscas, a energia economizada permite manter as geladeiras ligadas por mais tempo. So grandezas diretamente proporcionais. Assim, temos:

1 10 770000001800 77000000X u

X = 180 horas

Como um dia tem 24 horas, 180 horas correspondem a 7,5 dias (sete dias e meio). Resposta: D




21. FCC Banco do Brasil 2011) Relativamente aos tempos de servio de dois funcionrios do Banco do Brasil, sabe-se que sua soma 5 anos e 10 meses e que esto entre si na razo 3/2. Nessas condies, a diferena positiva entre os tempos de servio desses funcionrios de

(A) 2 anos e 8 meses. (B) 2 anos e 6 meses. (C) 2 anos e 3 meses. (D) 1 ano e 5 meses. (E) 1 ano e 2 meses. RESOLUO: Veja que 5 anos e 10 meses correspondem a 70 meses. Sendo X o tempo de servio de um dos funcionrios e Y o do outro, temos que:

X + Y = 70 meses

Como X e Y esto na razo de 3/2, podemos dizer que:

32

XY

32

X Y

Substituindo X por 32

Y na equao X + Y = 70, temos:

3 702

Y Y

5 702

Y

28Y meses




Logo, 3 3 28 422 2

X Y meses.

A diferena entre estes tempos de servio de 42 28 = 14 meses = 1 ano e 2 meses.

Resposta: E

22. FCC Banco do Brasil 2011) Pretendendo fazer uma viagem Europa, Mazza foi certo dia a uma Agncia do Banco do Brasil comprar euros e dlares. Sabe-se que ela usou R$ 6 132,00 para comprar H TXH FRP 5 200,00 comprou US$ 2 500,00. Com base nessas duas transaes, correto afirmar que, nesse dia, a cotao do euro em relao ao dlar, era de 1 para

(A) 1,3036. (B) 1,3606. (C) 1,3844. (D) 1,4028. (E) 1,4204. RESOLUO: 6132 reais equivalem a 2800 euros. Vejamos a quantos euros corresponde 1 real:

6132 reais -------------------- 2800 euros

1 real ---------------------------- X euros

6132X = 2800

X = 0,456 euros

4200 reais equivalem a 2500 dlares. Vejamos a quantos dlares corresponde 1 real:

4200 reais -------------------- 2500 dlares




1 real ----------------------------- Y dlares

4200Y = 2500

Y = 0,595 dlares

Assim, vemos que 1 real = 0,456 euros = 0,595 dlares. Vejamos a quantos dlares corresponde 1 euro:

0,456 euros -------------------------- 0,595 dlares

1 euro ------------------------------------ Z dlares

0,456Z = 0,595

Z = 1,30 dlares

Temos aproximadamente (devido aos arredondamentos) a alternativa A. Resposta: A

23. FCC BANESE 2012) Atualmente, o reservatrio de combustvel de um posto de gasolina abastecido por uma nica tubulao. A bomba nela instalada bombeia combustvel a uma vazo de X litros por hora, conseguindo encher totalmente o reservatrio, inicialmente vazio, em 5 horas. O dono do posto vai construir outra tubulao que atenda o reservatrio, instalando nela uma bomba que, trabalhando junto com a atual, possa encher totalmente o reservatrio em 2 horas. Para que isso seja possvel, o novo equipamento dever bombear combustvel a uma vazo, em litros por hora, de

(A) X. (B) 3X/2 (C) 2X (D) 5X/2 (E) 3X




RESOLUO: Seja Y a vazo da segunda bomba. Quando ela for instalada, a vazo total ser de X + Y litros por hora. Assim, temos:

Vazo Tempo para encher

X 5 horas

X + Y 2 horas

Quanto maior a vazo, menos tempo gasto para encher o reservatrio. Logo, temos grandezas inversamente proporcionais. Invertendo uma das colunas, temos:

Vazo Tempo para encher

X 2 horas

X + Y 5 horas

5X = 2X + 2Y

3X = 2Y

Y = 3X/2

Resposta: B

24. FCC SPPREV 2012) Um pai dispe de R$ 10.000,00 para dividir entre seus trs filhos em partes diretamente proporcionais s suas idades: 5, 7 e 13 anos. Dessa forma, o filho (A) mais novo ir receber R$ 2.000,00. (B) mais velho ir receber R$ 5.000,00. (C) do meio ir receber R$ 3.000,00. (D) mais velho ir receber o dobro da quantia do filho mais novo. (E) do meio ir receber a mdia aritmtica das quantias que seus irmos recebero. RESOLUO:




Seja S o valor recebido pelo filho mais novo. Utilizando a propriedade que vimos ao estudar diviso proporcional, temos que:

510000 5 7 13

S

2000S reais Resposta: A

25. FCC SPPREV 2012) Uma empresa com 350 funcionrios comprou refeies congeladas suficientes para o almoo deles durante 25 dias. Se essa empresa tivesse 100 funcionrios a menos, a quantidade de refeies adquiridas seria suficiente para

(A) 28 dias. (B) 30 dias. (C) 35 dias. (D) 40 dias. (E) 45 dias. RESOLUO: Nesta questo temos:

Nmero de funcionrios Durao das refeies

350 25 dias

250 X dias

Quanto mais funcionrios, menos tempo duraro as refeies. So grandezas inversamente proporcionais. Invertendo uma das colunas, temos:

Nmero de funcionrios Durao das refeies

250 25 dias




350 X dias

Assim,

250X = 350 x 25

X = 35 dias

Resposta: C

26. FCC TRT/1 2013) Um site da internet que auxilia os usurios a calcularem a quantidade de carne que deve ser comprada para um churrasco considera que quatro homens consomem a mesma quantidade de carne que cinco mulheres. Se esse site aconselha que, para 11 homens, devem ser comprados 4.400 gramas de carnes, a quantidade de carne, em gramas, que ele deve indicar para um churrasco realizado para apenas sete mulheres igual a (A) 2.100. (B) 2.240. (C) 2.800. (D) 2.520. (E) 2.450. RESOLUO: Inicialmente podemos verificar a quantos homens correspondem 7 mulheres:

4 homens ------------------- 5 mulheres X homens --------------- 7 mulheres

X = 28/5 homens

Sabemos ainda que 11 homens consomem 4400g de carne. Vejamos quanto seria necessrio para 28/5 homens (isto , 7 mulheres):

11 homens -------------- 4400g 28/5 homens ------------ C

C = (28/5) X 4400 / 11 = 2240g Resposta: B




27. FCC TRT/12 2013) A partir de meio-dia um relgio de ponteiros comea a atrasar 2 segundos e 2 dcimos de segundo a cada 1 minuto. Sendo assim, no horrio correto das 16h desse mesmo dia, o ponteiro dos segundos desse relgio estar apontando para a marcao do mostrador correspondente ao nmero (A) 12. (B) 43. (C) 34. (D) 48. (E) 17. RESOLUO: Do meio dia (12h) s 16h temos um espao de 4 horas, ou 4 x 60 minutos, isto , 240 minutos. Se em 1 minuto o relgio atrasa 2,2 segundos, em 240 minutos o atraso do relgio :

1 minuto ------------------------ 2,2 segundos 240 minutos -------------------- T segundos

1 x T = 240 x 2,2 T = 528 segundos

Isto significa que quando a hora certa for 16h, o relgio estar 528 segundos atrs. Lembrando que 1 minuto contm 60 segundos, vemos que:

1 minuto ---------------------- 60 segundos N minutos -------------------528 segundos

1 x 528 = N x 60 N = 528 / 60 minutos

Dividindo 528 por 60, obtemos quociente 8 e resto 48. Assim, o relgio estar 8 minutos e 48 segundos atrs. Para isso, ao invs de marcar 16:00:00, ele estar marcando 15:51:12 (veja que, de fato, somando mais 8 minutos e 48 segundos, chegamos a 16h). Deste modo, o ponteiro dos segundos estar na posio 12. Resposta: A




28. CESGRANRIO FINEP 2011) Pensando em aumentar as vendas, certo supermercado lanou uma promoo: o cliente comprava 5 kg de arroz e pagava o preo de 4 kg.

Quem aproveitou essa promoo recebeu um desconto, em relao ao preo normal do arroz, de a) 10% b) 12% c) 16% d) 20% e) 25% RESOLUO: Seja P o preo de 5kg de arroz. Logo, o preo de 4kg de arroz seria:

5kg -------------- P 4kg -------------- X

5X = 4P X = 0,8P

Portanto, atravs da promoo foi possvel pagar apenas 80% do valor de 5kg de arroz, de modo que houve um desconto de 20%. Resposta: D

29. IBFC Seplag/FHA 2012) Paulo pagou R$ 15,62 por 4 kg de um produto A e R$ 19,53 por 5 kg de um produto B. Nessas condies, e sem arredondar as casas decimais, pode-se dizer que: a) o valor de 10 kg do produto A maior que o valor de 10 kg do produto B. b) o valor de 10 kg do produto A igual ao valor de 10 kg do produto B. c) o valor de 10 kg do produto A menor que o valor de 10 kg do produto B. d) s possvel resolver a questo se arredondarmos as casas decimais. RESOLUO: possvel obter o valor de 10kg de cada produto atravs de regras de trs:

4kg de A ------------ 15,62 reais 10kg de A ---------------- R reais




4R = 156,2 R = 39,05 reais

5kg de B --------------- 19,53 reais 10kg de B --------------- T reais

5T = 195,3 T = 39,06 reais

Assim, o valor de 10 kg do produto A menor que o valor de 10 kg do produto B. Resposta: C

30. IBFC Pref. Campinas 2012) Para completar uma obra foram necessrios 12 pedreiros trabalhando 6 horas por dia. Se a obra tivesse que ser feita com 3 pedreiros a menos ento o total de horas necessrias para completar a obra seria de: a) 8 b) 9 c) 4,5 d) 10 RESOLUO: Aqui temos:

Pedreiros Horas por dia 12 6 9 H

Quanto MAIS pedreiros, MENOS horas por dia so necessrias. Assim, devemos inverter uma das colunas:

Pedreiros Horas por dia 9 6 12 H

Assim:




9/12 = 6/H 12/9 = H/6

H = 8 horas por dia Resposta: A

31. IBFC MPE/SP 2011) As sequncias (1, 2, x) e (12, y, 3) so progresses, cujos termos so, respectivamente, grandezas inversamente proporcionais. Assim, o produto entre as razes dessas progresses vale: a) (1/2) b) 1 c) 4 d) 6 RESOLUO: Comparando termos equivalentes das duas sequncias, temos:

Termo da 1 sequncia Termo da 2 sequncia 1 12 2 y

Como os termos so inversamente proporcionais, devemos inverter uma das colunas:

Termo da 1 sequncia Termo da 2 sequncia 1 y

2 12

1 x 12 = 2y y = 6

Prosseguindo, podemos obter x de maneira anloga:

Termo da 1 sequncia Termo da 2 sequncia 1 12 x 3




Invertendo:

Termo da 1 sequncia Termo da 2 sequncia 1 3 x 12

1 x 12 = 3x x = 4

Assim, as duas sequncias so: (1, 2, 4) e (12, 6, 3)

Observe que a razo da primeira sequncia 2 (pois o termo seguinte o dobro do termo anterior), e a razo da segunda sequncia (pois o termo seguinte a metade do anterior). O produto dessas duas razes :

2 x = 1 Resposta: B

32. FGV CAERN 2010) Dividindo-se 11 700 em partes proporcionais a 1, 3 e 5, a diferena entre a maior das partes e a menor delas a) 6 500. b) 5 500. c) 5 800. d) 5 200. e) 5 000. RESOLUO: Chamando de A, B e C as partes proporcionais a 1, 3 e 5, respectivamente, temos:

11 3 5 11700

A 1300A




31 3 5 11700

B 3900B

51 3 5 11700

C 6500C

Assim, a diferena entre a maior e menor partes : 6500 1300 = 5200. Resposta: D

33. FGV CAERN 2010) Um carro faz 66 km com 12 litros de combustvel. Mantida a proporo do consumo, quantos litros de combustvel sero necessrios para percorrer 27,5 km? a) 4,5. b) 5. c) 6. d) 5,5. e) 6,5. RESOLUO: Podemos resolver com uma regra de trs:

66km ------------------------------ 12 litros 27,5km ------------------------- L litros

66L = 27,5 x 12 L = 5 litros

Resposta: B

34. FGV SENADO 2008) Admita que 3 operrios, trabalhando 8 horas por dia, construam um muro de 36 metros em 5 dias. O tempo necessrio para que 5 operrios, trabalhando 6 horas por dia, construam um muro de 30 metros de: a) 3 dias mais 2 horas. b) 3 dias mais 4 horas. c) 3 dias mais 8 horas.




d) 4 dias mais 3 horas. e) 4 dias mais 4 horas. RESOLUO: Montando a tabela com os dados fornecidos, temos:

Operrios Horas por dia Metros Dias 3 8 36 5 5 6 30 D

Quanto MAIS dias disponveis, MENOS operrios so necessrios, MENOS horas por dia so necessrias, e MAIS metros de muro podem ser construdos. Assim, devemos inverter as duas primeiras colunas:

Operrios Horas por dia Metros Dias 5 6 36 5 3 8 30 D

Assim, a nossa proporo : 5 5 6 36

3 8 30D u u

D = 40/12 = 3,333 dias D = 3 dias + 1/3 dia D = 3 dias e 8 horas

Resposta: C

35. FGV CAERN 2010) Cinco mquinas com a mesma capacidade de trabalho enchem 30 garrafas de 250 mL em 12 minutos. Trs dessas mquinas sero utilizadas para encher 15 garrafas de 500 mL. Para realizar essa tarefa, sero necessrios a) 18 minutos. b) 24 minutos. c) 20 minutos. d) 15 minutos. e) 30 minutos.




RESOLUO: Aqui temos:

Mquinas Volume Tempo 5 30 x 250 12 3 15 x 500 T

Quanto MAIS tempo disponvel, MENOS mquinas so necessrias, e MAIS volume pode ser produzido. Assim, devemos inverter a coluna das mquinas:

Mquinas Volume Tempo 3 7500 12 5 7500 T

Montando a proporo: 12 3 7500

5 7500T u

T = 20 minutos

Resposta: C

36. FCC TRT/4 2011) Relativamente aos 75 funcionrios de uma Unidade do Tribunal Regional do Trabalho, que participaram certo dia de um seminrio sobre Primeiros Socorros, sabe-se que: - no perodo da manh, 48% do total de participantes eram do sexo feminino; - todas as mulheres participaram do incio ao fim do seminrio; - no perodo da tarde foi notada a ausncia de alguns funcionrios do sexo masculino e, assim, a quantidade destes passou a ser igual a 3/7 do total de participantes na ocasio. Nessas condies, o nmero de homens que se ausentaram no perodo da tarde : a) 6 b) 7 c) 9 d) 10 e) 12




RESOLUO: Aqui, o total de funcionrios 75, e o percentual de mulheres no perodo da manh era 48%. Portanto, a quantidade de mulheres (quantia de interesse) pode ser calculada lembrando que:

quantia de interesse = porcentagem totalu

mulheres = 48% 75 = 0,48 75 = 36u u

Se haviam 36 mulheres no total de 75 funcionrios, o restante eram homens: 75 36 = 39 homens

Assim, pela manh haviam 39 homens presentes, que representavam 52% (100% - 48%) do total de funcionrios. Com a sada de H homens tarde, os homens passaram a ser 3/7 do total. Os homens que restaram eram 39 H, e as mulheres que restaram eram 36. Assim:


3 39 =

7 (39 ) 363 [(39 ) 36] 7 (39 )

3 [75 ] 273 7225 3 273 7

4 48

12

HH

H H

H H

H H

H

H

u

u u

u

Portanto, o nmero de homens que se ausentaram no perodo da tarde H = 12. Resposta: E

37. FCC TRF/1 2011) Na compra de um computador, um Tcnico recebeu um desconto de 10% sobre o preo de M reais. Aps certo tempo, comprou um novo computador por R$ 2 370,00 e, para fazer o pagamento, deu o primeiro computador como entrada, com prejuzo de 10% sobre a quantia que havia pago, e mais trs parcelas sem juros de R$ 250,00 cada. Nessas condies, M igual a a) 2000




b) 2050 c) 2100 d) 2105 e) 2110 RESOLUO: Se o tcnico recebeu desconto de 10% sobre o preo M do primeiro computador, ele pagou:

M 10% de M = M 10%M = M 0,1M = 0,9M

Para comprar o segundo computador, foi dado de entrada o primeiro, com prejuzo de 10% em relao ao valor pago. Isto , o primeiro computador foi entregue pelo preo P abaixo:

P = 0,9M 10% x 0,9M = 0,9M 0,09M = 0,81M

Para pagar os 2370 reais do segundo computador, foi entregue o primeiro computador (pelo valor 0,81M) e mais 3 parcelas de 250 reais. Portanto:

2370 = 0,81M + 3 x 250 0,81M = 1620

M = 2000 Resposta: A

38. FCC TRF/1 2007) Do total de processos que recebeu certo dia, sabe-se que um tcnico judicirio arquivou 8% no perodo da manh e 8% do nmero restante tarde. Relativamente ao total de processos que recebeu, o nmero daqueles que deixaram de ser arquivados corresponde a a) 84,64% b) 85,68% c) 86,76% d) 87,98% e) 89,84% RESOLUO:




Se o tcnico recebeu P processos, e arquivou 8% de manh, sobraram ao final deste perodo:

P 8% de P = P 0,08P = 0,92P

A tarde foram arquivados mais 8% do restante, isto , 8% de 0,92P. Portanto, sobraram:

0,92P 8% x 0,92P = 0,92P 0,0736P = 0,8464P

Portanto, sobraram 84,64% do total de processos. Resposta: A

39. FCC Banco do Brasil 2011) Em dezembro de 2007, um investidor comprou um lote de aes de uma empresa por R$ 8000,00. Sabe-se que: em 2008 as aes dessa empresa sofreram uma valorizao de 20%; em 2009, sofreram uma desvalorizao de 20%, em relao ao seu valor no ano anterior; em 2010, se valorizaram em 20%, em relao ao seu valor em 2009. De acordo com essas informaes, verdade que, nesses trs anos, o rendimento percentual do investimento foi de: (A) 20%. (B) 18,4%. (C) 18%. (D) 15,2%. (E) 15%. RESOLUO: Se em 2008 as aes sofreram valorizao de 20%, o seu valor ao final deste ano foi:

P2008 = 8000 + 20%x8000 = 9600

J em 2009 essas aes sofreram desvalorizao de 20% em relao ao valor do ano anterior, isto , em relao a 9600. Assim, o valor no final de 2009 foi:

P2009 = 9600 - 20%x9600 = 7680




Em 2010, voltaram a valorizar 20% em relao ao ano anterior: P2010 = 7680 + 20%x7680 = 9216

Assim, ao longo desses trs anos as aes foram de 8000 para 9216 reais. A valorizao percentual, em relao ao valor inicial (8000), foi de:

9216 1 0,152 15,2%8000

Resposta: D

40. FCC TRF/2 2012) Certo dia, no incio do expediente, um Tcnico Judicirio constatou que no almoxarifado do Tribunal havia 120 pastas, 60% das quais eram verdes e as demais, azuis. Sabe-se que, tendo sido retiradas algumas pastas do almoxarifado, no final do expediente ele constatou que a porcentagem do nmero de pastas verdes havia se reduzido a 52% do total de pastas que l restavam. Assim, considerando que o nmero de pastas azuis era o mesmo que havia inicialmente, a quantidade de pastas verdes que foram retiradas um nmero: a) menor que 10 b) compreendido entre 10 e 18 c) compreendido entre 18 e 25 d) compreendido entre 25 e 30 e) maior que 30 RESOLUO: Vamos calcular o nmero de pastas de cada cor que haviam inicialmente, lembrando que o total era de 120: Verdes = 60% de 120 = 60% x 120 = 0,6 x 120 = 72 Azuis = 120 72 = 48

Ao final do expediente, as pastas verdes eram apenas 52% do total, de modo que as pastas azuis passaram a representar 48% do total. Deste modo, podemos calcular o nmero total de pastas restantes:

48 pastas azuis ------------------- 48% Total de pastas restantes-------- 100%




Logo, Total de pastas restantes = 100 pastas. Destas, as pastas verdes so 100 48 (azuis) = 52. Se haviam 72 pastas verdes no incio do expediente e, ao final, apenas 52, ento podemos dizer que 20 pastas verdes foram retiradas. Resposta: C

41. FCC Banco do Brasil 2010) As estatsticas da Campanha Nacional de Preveno ao Cncer de Pele, organizada h 11 anos pela Sociedade Brasileira de Dermatologia, revelam que o brasileiro no se protege adequadamente do sol: 70% dos entrevistados afirmaram no usar qualquer tipo de proteo solar, nem mesmo quando vo praia (adaptado de www.sbd.org.br). Se foram entrevistadas 34 430 pessoas, o nmero delas que usam protetor solar

(A) 24 101 (B) 15 307 (C) 13 725 (D) 12 483 (E) 10 329 RESOLUO: Se 70% no usam proteo solar, ento 30% usam. Como o total de entrevistados de 34430 pessoas, ento:

Usam proteo = 30% de 34430 pessoas

Usam proteo = 30% x 34430

Usam proteo = 0,30 x 34430 = 10329 pessoas

Resposta: E

42. FCC Banco do Brasil 2011) Certo ms, um comerciante promoveu uma liquidao em que todos os artigos de sua loja tiveram os preos rebaixados em 20%. Se, ao encerrar a liquidao o comerciante pretende voltar a vender os artigos pelos preos anteriores aos dela, ento os preos oferecidos na liquidao devem ser aumentados em




(A) 18,5%. (B) 20%. (C) 22,5%. (D) 25%. (E) 27,5%. RESOLUO: Seja P o preo inicial do produto. Retirando 20%, ficamos com:

P 0,20 x P = 0,80P Queremos multiplicar o preo com desconto (0,80P) por um fator F tal que este preo retorne ao valor original (P). Isto :

F x (0,80P) = P F x 0,80 = 1

F = 1 / 0,80 = 1,25

Assim, para retornar o preo ao valor original preciso multiplicar por 1,25, isto , promover um aumento de 25%.

Resposta: D

43. VUNESP TJ/SP 2006) Na maquete de uma praa pblica construda na escala 1:75, o edifcio da prefeitura, de 13,5 m de altura, est representado com uma altura de (A) 16 cm. (B) 18 cm. (C) 20 cm. (D) 22 cm. (E) 24 cm. RESOLUO:




A escala 1:75 significa que 1 unidade na maquete corresponde a 75 unidades no mundo real. Assim, podemos fazer uma regra de trs para saber quanto 13,5m na vida real (altura do edifcio) correspondem na maquete:

75 unidades no mundo real ---------------------------- 1 unidade na maquete 13,5m no mundo real -------------------------------------- X unidades na maquete

75X = 1 x 13,5 X = 13,5 / 75 = 0,18m = 18cm

Assim, a representao do prdio na maquete ter 18cm de altura. Resposta: B

44. VUNESP Pref. Diadema 2011) Trinta e uma moedas, algumas de 50 centavos e as outras de 25 centavos somam juntas R$ 12,00. A diferena entre o nmero de moedas de 50 centavos e de 25 centavos (A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3. (E) 4. RESOLUO: Seja G o nmero de moedas grandes (50 centavos) e P o nmero de moedas pequenas (25 centavos). Ao todo temos 31 moedas:

31 = P + G P = 31 G

O valor dessas moedas soma 12 reais: 12 = 0,50 x G + 0,25 x P

Multiplicando os membros da ltima equao por 4: 48 = 2G + P

48 = 2G + (31 G) G = 17 moedas




Assim, P = 31 17 = 14 moedas

Portanto, temos 3 moedas de 50 centavos a mais do que de 25 centavos. Resposta: D

45. FGV CAERN 2010) Em um cofrinho h R$6,00 em moedas de 10 centavos e de 25 centavos. A quantidade de moedas de 10 centavos um mltiplo de 7. Quantas moedas de 10 centavos h a mais do que moedas de 25 centavos? a) 32 b) 25 c) 18 d) 11 e) 4 RESOLUO: Como o nmero de moedas de 10 centavos mltiplo de 7, vamos dizer que WHPRV1PRHGDVGHFHQWDYRVH0PRHGDVGHFHQWDYRV Ao todo, sabemos que temos 6 reais, isto :

6 = 7N x 0,10 + M x 0,25 6 = 0,7N + 0,25M

No temos mais informaes, mas sabemos que N e M devem ser nmeros naturais (afinal no h nmero negativo de moedas, ou fracionrio). Para simplificar as contas, podemos multiplicar ambos os lados da equao acima por 4 (pois 0,25 x 4 = 1). Veja:

4 6 4 0,7 4 0,2524 2,8

24 2,8

N MN M

M N

u u u

Podemos, agora, ir testando valores para N (1, 2, 3, 4, 5 etc.) at obter um nmero natural para M. Se N = 1, temos:

M = 24 2,8 x 1 = 21,2 Veja que N no pode ser 1, pois com isso M seria um nmero fracionrio. Testando outros valores de N, veja o que acontece quando N = 5:

M = 24 2,8 x 5 = 24 14 = 10


Prof. Arthur L

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