Raciocínio Lógico e Matemática Financeira Prof. Edgar …€¦ · Edital RACIOCÍNIO LÓGICO-QUANTITATIVO: Conceitos básicos de raciocínio lógico: sentenças abertas; proposições

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  • Raciocnio Lgico e Matemtica Financeira

    Prof. Edgar Abreu

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    Raciocnio Lgico e Matemtica Financeira

    Professor Edgar Abreu

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    Edital

    RACIOCNIO LGICO-QUANTITATIVO: Conceitos bsicos de raciocnio lgico: sentenas abertas; proposies simples e compostas; conectivos (conjuno, disjuno, disjuno exclusiva, condicional e bicondicional); negaes; nmero de linhas de uma tabela-verdade; valores lgicos das proposies e construo de tabelas-verdade; Equivalncias lgicas; tautologia; contradio; contingncia; Operaes lgicas sobre sentenas abertas; quantificadores lgicos e suas negaes; Lgica de argumentao; Operaes entre nmeros reais (adio, subtrao, multiplicao e diviso). Teoria dos conjuntos: operaes entre conjuntos e. Regra de trs simples (direta e inversa) e composta. Porcentagem. Sistema monetrio brasileiro. Sistema de medidas: comprimento, capacidade, superfcie, massa e tempo (unidades e transformaes de unidades). Equaes e sistema de equaes do primeiro grau. Matemtica Financeira: Juros simples e compostos; Taxas proporcionais e equivalentes. Estatstica: Interpretao de dados (grficos e tabelas); clculo de medidas de tendncia central: mdia, mediana e moda. Anlise Combinatria e Probabilidade. Aplicao dos contedos acima listados em resoluo de problemas.

    QUANTIDADE DE QUESTES PROVA: 10 de 80. (12,5%) Mnimo 3 (todas disciplinas peso 1)

    QUANTIDADE DE QUESTES DE RAC. LGICO: 4 Ed e 6 Dudan.

    ---- Os assuntos destacados sero ministrados pelo professor Dudan.

    BANCA: Fundatec La Salle

    CARGO: Agente Penitencirio e Agente Penitencirio Administrativo

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    Sumrio

    Como foi o a ltima prova da SUSEPE? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

    1. TAXAS DE JUROS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

    1.1 TAXA UNITRIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

    1.2 FATOR DE CAPITALIZAO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

    1.3 FATOR DE DESCAPITALIZAO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

    1.4 ACRSCIMO E DESCONTO SUCESSIVO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

    1.5 TAXA PROPORCIONAL. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

    1.6 TAXA EQUIVALENTE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

    2. CAPITALIZAO SIMPLES E COMPOSTA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

    2.1 CAPITALIZAO SIMPLES X CAPITALIZAO COMPOSTA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

    2.2 JUROS SIMPLES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

    2.3 JUROS COMPOSTOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

    4. INTRODUO A RACIOCNIO LGICO? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

    4.1 PROPOSIO E SENTENA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

    4.2 OU NO PROPOSIO? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

    5. NEGAO SIMPLES. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

    6. PROPOSIES COMPOSTAS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

    7. CONECTIVOS LGICOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

    7.1 CONJUNO E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

    7.2 DISJUNO OU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

    7.3 CONDICIONAL SE......ENTO...... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

    7.4 BICONDICIONAL .....SE SOMENTE SE....... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

    7.5 CONETIVOS OCULTOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

    8 NEGAO DE UMA PROPOSIO COMPOSTA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

    8.1 NEGAO DE UMA DISJUNO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

    8.2 NEGAO DE UMA CONJUNO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

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    8.3 NEGAO DE UMA CONDICIONAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

    8.4 NEGAO DE UMA BICONDICIONAL. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

    9. EQUIVALENCIA DE PROPOSIES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

    9.1 EQUIVALNCIA DE UMA CONDICIONAL.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

    9.2 CONTRAPOSITIVA: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

    10. TAUTOLOGIA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

    11. CONTRADIO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

    12. DIAGRAMA LGICO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

    12.1 ALGUM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

    12.2 NENHUM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

    12.3 TODO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

    13. NEGAO DE TODO, ALGUM E NENHUM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

    QUESTES MATEMTICA FINANCEIRA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

    QUESTES DE CONCURSOS ANTERIORES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

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    Como foi a ltima prova?

    31. Sejam dadas as proposies a seguir:

    I. 3x69.

    II. 4 + 5 = 8.

    III. O lucro da empresa cresceu apenas 2% em 2013.

    IV. 2 o nico nmero primo que par.

    Quais delas so proposies lgicas?

    a) Apenas I.b) Apenas III.c) Apenas I e III.d) Apenas II e III.e) Apenas II e IV.

    32. Considerando que a proposio Todos os alunos sero aprovados FALSA, qual das seguintes alternativas apresenta uma proposio verdadeira?

    a) Todos os alunos sero reprovados.b) Todos os alunos no sero reprovados.c) Alguns alunos sero reprovados.d) Nenhum aluno ser reprovado.e) Nenhum aluno ser aprovado.

    33. Tomando-se como base a Tabela-Verdade a seguir, assinale a alternativa correta.

    a) As colunas III e VII so contradies.b) As colunas V e VIII so tautologias.c) As colunas VI e VIII so equivalentes.d) As colunas VII e VIII so equivalentes.e) As colunas IV e VII so contingncias.

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    34. Dadas as proposies verdadeiras:

    P: Hoje est chovendo e eu sa de casa. e

    Q: Estou na empresa ou no aeroporto.

    NO se pode concluir como verdadeira a proposio:

    a) PQ .b) PQ .c) PQ .d) QP .e) QP

    35. Dada a proposio composta "Se Antnio saiu de casa e est chovendo, ento ele est na empresa.", identifique, dentre as alternativas a seguir, aquela que a torna FALSA.

    a) Antnio saiu de casa. verdadeira.b) Est chovendo. falsa.c) Antnio est na empresa. falsa.d) Antnio saiu de casa falsa, Est chovendo." verdadeira, e Antnio est na empresa.

    falsa. e) Antnio saiu de casa verdadeira, Est chovendo." verdadeira, e "Antnio est na

    empresa. falsa

    36. Dadas as proposies, assinale V, se verdadeiro, ou F, se falso, para os valores lgicos.

    ()7>4e3+7=8.

    ()11>3ou61=3.

    ()Se9>3,ento2>7.

    ()Se3>7,ento9>3.

    A ordem correta de preenchimento dos parnteses, de cima para baixo, :

    a) F V F V.b) F V F F.c) F F V V.d) V V F F.e) V V V V.

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    37. O quadro a seguir apresenta, na coluna da esquerda, proposies categricas em linguagem corrente, e, na coluna da direita, proposies categricas representadas por meio de diagramas lgicos.

    Associe corretamente as proposies categricas em linguagem corrente com suas respectivas representaes em diagramas lgicos.

    a) IC, IIA, IIIB, IVD.b) IC, IID, IIIA, IVB.c) IA, IID, IIIC, IVB.d) ID, IIA, IIIB, IVC.e) ID, IIC, IIIB, IVA.

    38. A NEGAO da sentena Todos os candidatos foram aprovados no concurso. :

    a) Todos os candidatos foram reprovados.b) Nenhum candidato foi aprovado.c) Existe candidato que foi aprovado.d) Existe candidato que foi reprovado.e) Todos os candidatos so estudiosos.

    39. Uma turma de uma escola de nvel fundamental constituda por 16 meninos e 14 meninas. Um torneio de xadrez ser disputado somente entre duplas com crianas do mesmo sexo. A quantidade total de duplas que se pode formar :

    a) 224.b) 211.c) 112.d) 91.e) 15.

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    40. O nmero de anagramas da palavra SUSEPE que comeam com a letra P igual a:

    a) 12.b) 30.c) 120.d) 360.e) 720.

    Gabarito:31.E32.C33.D34.C35.E36.A37.A38.D39.B40. B

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    RACIOCNIO LGICO E MATEMTICA FINANCEIRA

    MATEMTICA FINANCEIRA

    1. TAXA DE JUROS

    1.1 TAXA UNITRIA

    DEFINIO: Quando pegamos uma taxa de juros e dividimos o seu valor por 100, encontramos a taxa unitria.

    A taxa unitria importante para nos auxiliar a desenvolver todos os clculos em matemtica financeira.

    Pense na expresso 20% (vinte por cento), ou seja, esta taxa pode ser representada por uma frao, cujo o numerador igual a 20 e o denominador igual a 100.

    COMO FAZER 1.2.1 AGORA A SUA VEZ:

    15%20%4,5%254%0%

    22,3%60%6%

    10% = 10100

    = 0,10

    20% = 20100

    = 0,20

    5% = 5100

    = 0,05

    38% = 38100

    = 0,38

    1,5% = 1,5100

    = 0,015

    230% = 230100

    = 2,3

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    1.2 FATOR DE CAPITALIZAO

    Vamos imaginar que certo produto sofreu um aumento de 20% sobre o seu valor inicial. Qual o novo valor deste produto?

    Claro que se no soubermos o valor inicial deste produto fica complicado para calcularmos, mas podemos fazer a afirmao a seguir:

    O produto valia 100%, sofreu um aumento de 20%, logo est valendo 120% do seu valor inicial.

    Como vimos no tpico anterior (1.2 taxas unitrias), podemos calcular qual o fator que podemos utilizar para determinarmos o novo preo deste produto, aps o acrscimo.

    Fator de Capitalizao = 120100

    = 1,2

    O Fator de capitalizao trata-se de um nmero no qual devo multiplicar o meu produto para obter como resultado final o seu novo preo, acrescido do percentual de aumento que desejo utilizar.

    Assim se o meu produto custava R$ 50,00, por exemplo, basta multiplicar R$ 50,00 pelo fator de capitalizao 1,2 para conhecer seu novo preo, neste exemplo ser de R$ 60,00.

    CALCULANDO O FATOR DE CAPITALIZAO: Basta somar 1 com a taxa unitria, lembre-se que 1 = 100/100 = 100%.

    COMO CALCULAR:

    o Acrscimo de 45% = 100% + 45% = 145% = 145/100 = 1,45o Acrscimo de 20% = 100% + 20% = 120% = 120/100 = 1,2

    ENTENDENDO O RESULTADO:

    Para aumentar o preo do meu produto em 20% devo multiplicar por 1,2.

    Exemplo 1.3.1: Um produto que custa R$ 1.500,00 ao sofrer um acrscimo de 20% passar a custar 1.500 x 1,2 (fator de capitalizao para 20%) = R$ 1.800,00.

    COMO FAZER:

    Acrscimo de 30% = 100% + 30% = 130% = 130100

    = 1,3

    Acrscimo de 15% = 100% + 15% = 115% = 115100

    = 1,15

    Acrscimo de 3% = 100% + 3% = 103% = 103100

    = 1,03

    Acrscimo de 200% = 100% + 200% = 300% = 300100

    = 3

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    1.2.1 AGORA A SUA VEZ:

    Acrscimo Clculo Fator

    15%

    20%

    4,5%

    254%

    0%

    22,3%

    60%

    6%

    1.3 FATOR DE DESCAPITALIZAO

    Vamos imaginar que certo produto sofreu um desconto de 20% sobre o seu valor inicial. Qual o novo valor deste produto?

    Claro que se no soubermos o valor inicial deste produto fica complicado para calcularmos, mas podemos fazer a afirmao a seguir:

    O produto valia 100%, sofreu um desconto de 20%, logo est valendo 80% do seu valor inicial.

    Como vimos no tpico anterior (1.2 taxas unitrias), podemos calcular qual o fator que conseguimos utilizar para aferir o novo preo deste produto, aps o acrscimo.

    Fator de Descapitalizao = 80100

    = 0,8

    O Fator de descapitalizao trata-se de um nmero no qual devo multiplicar o meu produto para obter como resultado final o seu novo preo, considerando o percentual de desconto que desejo utilizar.

    Assim se o meu produto custava R$ 50,00, por exemplo, basta multiplicar R$ 50,00 pelo fator de descapitalizao 0,8 para conhecer seu novo preo, neste exemplo ser de R$ 40,00.

    CALCULANDO O FATOR DE DESCAPITALIZAO: Basta subtrair o valor do desconto expresso em taxa unitria de 1, lembre-se que 1 = 100/100 = 100%.

    COMO CALCULAR:

    o Desconto de 45% = 100% 45% = 65% = 55/100 = 0,55o Desconto de 20% = 100% 20% = 80% = 80/100 = 0,8

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    ENTENDENDO O RESULTADO:

    Para calcularmos um desconto no preo do meu produto de 20% devo multiplicar o valor deste produto por 0,80.

    Exemplo 1.4.1: Um produto que custa R$ 1.500,00 ao sofrer um desconto de 20% passar a custar 1.500 x 0,80 (fator de descapitalizao para 20%) = R$ 1.200,00

    COMO FAZER:

    Desconto de 30% = 100% 30% = 70% = 70100

    = 0,7

    Desconto de 15% = 100% 15% = 85% = 85100

    = 0,85

    Desconto de 3% = 100% 3% = 97% = 97100

    = 0,97

    Desconto de 50% = 100% 50% = 50% = 50100

    = 0,5

    1.3.1. Agora a Sua Vez:

    Acrscimo Clculo Fator

    15%

    20%

    4,5%

    254%

    0%

    22,3%

    60%

    6%

    1.4 ACRSCIMO E DESCONTO SUCESSIVO

    Temas muito comuns abordados nos concursos so os acrscimos e os descontos sucessivos. Isto acontece pela facilidade que os candidatos tm em se confundirem ao resolver uma questo deste tipo.

    O erro cometido neste tipo de questo bsico, o de somar ou subtrair os percentuais, sendo que na verdade o candidato deveria multiplicar os fatores de capitalizao e descapitalizao.

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    Vejamos abaixo um exemplo de como fcil se confundir se no tivermos estes conceitos bem definidos:

    Exemplo 1.4.1: Os bancos vm aumentando significativamente as suas tarifas de manuteno de contas. Estudos mostraram um aumento mdio de 30% nas tarifas bancrias no 1 semestre de 2009 e de 20% no 2 semestre de 2009. Assim podemos concluir que as tarifas bancrias tiveram em mdia suas tarifas aumentadas em:

    a) 50%b) 30%c) 150%d) 56%e) 20%

    Ao ler esta questo, muitos candidatos de deslumbram com a facilidade e quase por impulso marcam como certa a alternativa a (a de apressadinho).

    Ora, estamos falando de acrscimo sucessivo, vamos considerar que a tarifa mdia mensal de manuteno de conta no incio de 2009 seja de R$ 10,00, logo teremos:

    Aps receber um acrscimo de 30%.

    10,00 x 1,3 (ver tpico 1.3) = 13,00

    Agora vamos acrescentar mais 20% referente ao aumento dado no 2 semestre de 2009.

    13,00 x 1,2 (ver tpico 1.3) = 15,60

    Ou seja, as tarifas esto 5,60 mais caras que no incio do ano.

    Como o valor inicial das tarifas era de R$ 10,00, conclumos que as mesmas sofreram uma alta de 56% e no de 50% como achvamos anteriormente.

    COMO RESOLVER A QUESTO ANTERIOR DE UMA FORMA MAIS DIRETA:

    Basta multiplicar os fatores de capitalizao, como aprendemos no tpico 1.3

    Fator de Capitalizao para acrscimo de 30% = 1,3 Fator de Capitalizao para acrscimo de 20% = 1,2

    1,3 x 1,2 = 1,56

    Como o produto custava inicialmente 100% e sabemos que 100% igual a 1 (ver mdulo 1.2)

    Logo as tarifas sofreram uma alta mdia de: 1,56 1 = 0,56 = 56%.

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    COMO FAZER

    Exemplo 1.5.2: Um produto sofreu em janeiro de 2009 um acrscimo de 20% sobre o seu valor, em fevereiro outro acrscimo de 40% e em maro um desconto de 50%. Neste caso podemos afirmar que o valor do produto aps a 3 alterao em relao ao preo inicial :

    a) 10% maiorb) 10% menorc) Acrscimo superior a 5%d) Desconto de 84%e) Desconto de 16%

    Resoluo:

    Aumento de 20% = 1,2

    Aumento de 40% = 1,4

    Desconto de 50% = 0,5

    Assim: 1,2 x 1,4 x 0,5 = 0,84 (valor final do produto)

    Como o valor inicial do produto era de 100% e 100% = 1, temos:

    1 0,84 = 0,16

    Conclui-se ento que este produto sofreu um desconto de 16% sobre o seu valor inicial. (Alternativa E)

    Exemplo 1.5.3: O professor Ed perdeu 20% do seu peso de tanto trabalhar na vspera da prova do concurso pblico da CEF. Aps este susto, comeou a se alimentar melhor e acabou aumentando em 25% do seu peso no primeiro ms e mais 25% no segundo ms. Preocupado com o excesso de peso, comeou a fazer um regime e praticar esporte e conseguiu perder 20% do seu peso. Assim o peso do professor Ed em relao ao peso que tinha no incio :

    a) 8% maiorb) 10% maiorc) 12% maiord) 10% menore) Exatamente igual

    Resoluo:

    Perda de 20% = 0,8Aumento de 25% = 1,25Aumento de 25% = 1,25Perda de 20% = 0,8Assim: 0,8 x 1,25 x 1,25 x 0,8 = 1

    Conclui-se ento que o professor possui o mesmo peso que tinha no incio. (Alternativa E).

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    1.5 TAXA PROPORCIONAL

    Calculada em regime de capitalizao SIMPLES: Resolve-se apenas multiplicando ou dividindo a taxa de juros:

    Exemplo 2.1: Qual a taxa de juros anual proporcional a taxa de 2% ao ms?

    Resposta: Se temos uma taxa ao ms e procuramos uma taxa ao ano, basta multiplicarmos essa taxa por 12, j que um ano possui 12 meses.

    Logo a taxa proporcional de 2% x 12 = 24% ao ano.

    Exemplo 2.2: Qual a taxa de juros bimestral proporcional a 15% ao semestre?

    Resposta: Neste caso temos uma taxa ao semestre e queremos transform-la em taxa bimestral. Note que agora essa taxa vai diminuir e no aumentar, o que faz com que tenhamos que dividir essa taxa ao invs de multiplic-la, dividir por 3, j que um semestre possui 3 bimestres.

    Assim a taxa procurada de 15% 5%3

    = ao bimestre.

    COMO FAZER

    TAXA TAXA PROPORCIONAL

    25% a.m (ao ms) 300% a.a (ao ano)

    15% a.tri (ao trimestre) 5% a.m

    60% a. sem (ao semestre) 40% ao. Quad. (quadrimestre)

    25% a.bim (ao bimestre) 150% (ao ano)

    AGORA A SUA VEZ

    QUESTES TAXA TAXA PROPORCIONAL

    2.1.1 50% a.bim. ___________a.ano

    2.1.2 6% a.ms _________a.quad.

    2.1.3 12% a.ano _________ a.Trim.

    2.1.4 20% a. quadri. __________a.Trim.

    1.6 TAXA EQUIVALENTE

    Calculada em regime de capitalizao COMPOSTA. Para efetuar o clculo de taxas equivalentes necessrio utilizar uma frmula.

    Para facilitar o nosso estudo iremos utilizar a ideia de capitalizao de taxas de juros de uma forma simplificada e mais direta.

    Gabarito:2.1.1.300%2.1.2.24%2.1.3 3%2.1.4 15%

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    Exemplo 2.2.1: Qual a taxa de juros ao bimestre equivalente a taxa de 10% ao ms?

    1 passo: Transformar a taxa de juros em unitria e somar 1 (100%). Assim:

    1 + 0,10 = 1,10

    2 passo: elevar esta taxa ao perodo de capitalizao. Neste caso 2, pois um bimestre possui dois meses.

    (1,10)2 = 1,21

    3 passo: Identificar a taxa correspondente.

    1,21 = 21%

    Exemplo 2.2.2: Qual a taxa de juros ao semestre equivalente a taxa de 20% ao bimestre?

    1 passo: Transformar a taxa de juros em unitria e somar 1 (100%). Assim:

    1 + 0,20 = 1,20

    2 passo: elevar esta taxa ao perodo de capitalizao. Neste caso 3, pois um semestre possui trs bimestres.

    (1,20)3 = 1,728

    3 passo: Identificar a taxa correspondente.

    1,728 = 72,8%

    COMO FAZER

    10% a.m equivale a:

    Ao Bimestre (1,1)2 = 1,21 = 21%

    Ao Trimestre (1,1)3 = 1,331 = 33,10%

    20% a.bim equivale a:

    Ao Quadrimestre (1,2)2 = 1,44 = 44%

    Ao Semestre (1,2)3 = 1,728 = 72,8%

    AGORA A SUA VEZ

    QUESTO 2.2.1

    21% a.sem. equivale a:

    Ao Ano

    Ao Trimestre

    QUESTO 2.2.2

    30% a.ms. equivale a:

    Ao Bimestre

    Ao Trimestre

    Gabarito:2.2.1.46,41%aoanoe10%aotrimestre2.2.2. 69% ao bimestre e 119,7% ao trimestre

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    2. CAPITALIZAO E DESCONTOS SIMPLES E COMPOSTA

    2.1 CAPITALIZAO SIMPLES X CAPITALIZAO COMPOSTA

    Como vimos no tpico 1.1 a definio de capitalizao uma operao de adio dos juros ao capital.

    Bom, vamos adicionar estes juros ao capital de dias de duas maneiras: uma maneira simples e outra composta e depois compararmos.

    Vamos analisar o exemplo abaixo:

    Exemplo 3.1.1: Jos realizou um emprstimo de antecipao de seu 13 salrio no Banco do Brasil no valor de R$ 100,00 reais, a uma taxa de juros de 10% ao ms. Qual o valor pago por Jos se ele quitou o emprstimo aps 5 meses, quando recebeu seu 13?

    Valor dos juros que este emprstimo de Jos gerou em cada ms.

    Em juros simples, os juros so cobrados sobre o valor do emprstimo (capital)

    CAPITALIZAO COMPOSTA

    MS JUROS COBRADO SALDO DEVEDOR

    1 10% de R$ 100,00 = R$ 10,00 R$ 100,00 + R$ 10,00 = R$ 110,00

    2 10% de R$ 100,00 = R$ 10,00 R$ 110,00 + R$ 10,00 = R$ 120,00

    3 10% de R$ 100,00 = R$ 10,00 R$ 120,00 + R$ 10,00 = R$ 130,00

    4 10% de R$ 100,10 = R$ 10,00 R$ 130,00 + R$ 10,00 = R$ 140,00

    5 10% de R$ 100,00 = R$ 10,00 R$ 140,00 + R$ 10,00 = R$ 150,00

    Em juros composto, os juros so cobrados sobre o saldo devedor (capital+ juros do perodo anterior)

    CAPITALIZAO COMPOSTA

    MS JUROS COBRADO SALDO DEVEDOR

    1 10% de R$ 100,00 = R$ 10,00 R$ 100,00 + R$ 10,00 = R$ 110,00

    2 10% de R$ 110,00 = R$ 11,00 R$ 110,00 + R$ 11,00 = R$ 121,00

    3 10% de R$ 121,00 = R$ 12,10 R$ 121,00 + R$ 12,10 = R$ 133,10

    4 10% de R$ 133,10 = R$ 13,31 R$ 133,10 + R$ 13,31 = R$ 146,41

    5 10% de R$ 146,41 = R$ 14,64 R$ 146,41 + R$ 14,64 = R$ 161,05

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    Assim notamos que o Sr. jos ter que pagar aps 5 meses R$ 150,00 se o banco cobrar juros simples ou R$ 161,05 se o banco cobrar juros compostos.

    GRFICO DO EXEMPLO 3.1.1

    Note que o crescimento dos juros compostos mais rpido que os juros simples.

    2.2 JUROS SIMPLES

    FRMULAS:

    CLCULO DOS JUROS CLCULO DO MONTANTE

    J = C i t M = C (1+ i t)

    OBSERVAO: Lembre-se que o Montante igual ao Capital + Juros

    Onde:

    J = JurosM = MontanteC = Capital (Valor Presente)i = Taxa de juros;t = Prazo.

    A maioria das questes relacionadas a juros simples podem ser resolvidas sem a necessidade de utilizar frmula matemtica.

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    APLICANDO A FRMULA

    Vamos ver um exemplo bem simples aplicando a frmula para encontrarmos a soluo.

    Exemplo 3.2.1: Considere um emprstimo, a juros simples, no valor de R$ 100 mil, prazo de 3 meses e taxa de 2% ao ms. Qual o valor dos juros?

    Dados do problema:

    C = 100.000,00t = 3 mesesi = 2% ao ms

    OBS.: Cuide para ver se a taxa e o ms esto em mesmo perodo. Neste exemplo no tem problema para resolver, j que tanto a taxa quanto o prazo foram expressos em meses.

    J = C x i x tJ = 100.000 x 0,02 (taxa unitria) x 3J = 6.000,00

    Resposta: Os juros cobrados sero de R$ 6.000,00.

    RESOLVENDO SEM A UTILIZAO DE FRMULAS:

    Vamos resolver o mesmo exemplo 3.2.1, mas agora sem utilizar frmula, apenas o conceito de taxa de juros proporcional.

    Resoluo:

    Sabemos que 6% ao trimestre proporcional a 2% ao ms (ver tpico 2.1).

    Logo os juros pagos sero de 6% de 100.000,00 = 6.000,00.

    PROBLEMAS COM A RELAO PRAZO X TAXA

    Agora veremos um exemplo em que a taxa e o prazo no so dados em uma mesma unidade, necessitando assim transformar um deles para dar continuidade a resoluo da questo.

    Sempre que houver uma divergncia de unidade entre taxa e prazo melhor alterar o prazo do que mudar a taxa de juros. Para uma questo de juros simples, esta escolha indiferente, porm, caso o candidato se acostume a alterar a taxa de juros, ir encontrar dificuldades para responder as questes de juros compostos, pois estas alteraes de taxa de juros no so simples, proporcional, e sim equivalentes.

    Exemplo 3.2.2: Considere um emprstimo, a juros simples, no valor de R$ 100 mil, prazo de 3 meses e taxa de 12% ao ano. Qual o valor dos juros?

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    Dados:

    C = 100.000,00t = 3 mesesi = 12% ao ano

    Vamos adaptar o prazo em relao a taxa. Como a taxa est expressa ao ano, vamos transformar o prazo em ano. Assim teremos:

    C = 100.000,00

    t = 3 meses =

    i = 12% ao ano

    Agora sim podemos aplicar a frmula:

    J = C x i x t

    J = 100.000 x 0,12 x

    J = 3.000,00

    ENCONTRANDO A TAXA DE JUROS

    Vamos ver como encontrar a taxa de juros de uma maneira mais prtica. Primeiramente vamos resolver pelo mtodo tradicional, depois faremos direto.

    Exemplo 3.2.3: Considere um emprstimo, a juros simples, no valor de R$ 100 mil, sabendo que o valor do montante acumulado em aps 1 semestre foi de 118.000,00. Qual a taxa de juros mensal cobrada pelo banco?

    Como o exemplo pede a taxa de juros ao ms, necessrio transformar o prazo em ms. Neste caso 1 semestre corresponde a 6 meses, assim:

    Dados:

    C = 100.000,00t = 6 mesesM = 118.000,00J = 18.000,00 (Lembre-se que juros a diferena entre o Montante e o Capital)

    Aplicando a frmula teremos:

    18.000 = 100.000 6 i

    i = 18.000100.000 6

    = 18.000600.000

    = 0,03

    i = 3% ao ms

    Agora vamos resolver esta questo sem a utilizao de frmula, de uma maneira bem simples.

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    Para saber o valor dos juros acumulados no perodo, basta dividirmos o montante pelo capital:

    juros acumulado = 118.000100.000

    = 1,18

    Agora subtraimos o valor do capital da taxa de juros (1 = 100%) e encontramos:

    1,18 1 = 0,18 = 18%

    18% so os juros do perodo, um semestre, para encontrar os juros mensais, basta calcular a taxa proporcional e assim encontrar 3% ao ms.

    ESTO FALTANDO DADOS?

    Alguns exerccios parecem no informar dados suficientes para resoluo do problema. Coisas do tipo: o capital dobrou, triplicou, o dobro do tempo, a metade do tempo, o triplo da taxa e etc. Vamos ver como resolver este tipo de problema, mas em geral bem simples, basta atribuirmos um valor para o dado que est faltando.

    Exemplo 3.2.4: Um cliente aplicou uma certa quantia em um fundo de investimento em aes. Aps 8 meses resgatou todo o valor investido e percebeu que a sua aplicao inicial dobrou. Qual a rentabilidade mdia ao ms que este fundo rendeu?

    Para quem vai resolver com frmula, a sugesto dar um valor para o capital e assim teremos um montante que ser o dobro deste valor. Para facilitar o clculo vamos utilizar um capital igual a R$ 100,00, mas poderia utilizar qualquer outro valor.

    Dados:

    C = 100,00t = 8 mesesM = 200,00 (o dobro)J = 100,00 (Lembre-se que juros a diferena entre o Montante e o Capital)

    Substituindo na frmula teremos:

    100 = 1008 i

    i = 1001008

    = 100800

    = 0,125

    i = 12,5% ao ms

    COMO RESOLVER

    Exemplo 3.2.5: A que taxa de juros simples, em porcento ao ano, deve-se emprestar R$ 2 mil, para que no fim de cinco anos este duplique de valor?

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    Dados:

    C = 2.000,00t = 5 anosM = 4.000,00 (o dobro)J = 2.000,00 (Lembre-se que juros a diferena entre o Montante e o Capital)i = ?? a.a

    Substituindo na frmula teremos

    2.000 = 2.0005 i

    i = 2.0002.0005

    = 2.00010.000

    = 0,2

    i = 20% ao ano

    Exemplo 3.2.6: Considere o emprstimo de R$ 5 mil, no regime de juros simples, taxa de 2% ao ms e prazo de 1 ano e meio. Qual o total de juros pagos nesta operao?

    Dados:

    C = 5.000,00i = 2 % ao mst = 1,5 anos = 18 mesesJ = ???

    Substituindo na frmula teremos

    J = 5.000 x 18 x 0,02J = 1.800,00

    3.3 JUROS COMPOSTOS

    FRMULAS:

    CLCULO DOS JUROS CLCULO DO MONTANTE

    J = M C M = C (1+ i)t

    OBSERVAO: Lembre-se que o Montante igual ao Capital + Juros.

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    Onde:

    J = JurosM = MontanteC = Capital (Valor Presente)i = Taxa de jurost = Prazo

    RESOLUO DE QUESTES DE JUROS COMPOSTOS

    Como notamos na frmula de juros compostos, a grande diferena para juros simples que o prazo (varivel t ) uma potncia da taxa de juros e no um fator multiplicativo.

    Assim poderemos encontrar algumas dificuldades para resolvermos questes de juros compostos em provas de concurso pblico, onde no permitido o uso de equipamentos eletrnicos que poderiam facilitar estes clculos.

    Por este motivo, juros compostos podem ser cobrados de 3 maneiras nas provas de concurso pblico.

    1. Questes que necessitam da utilizao de tabela.

    2. Questes que so resolvidas com substituio de dados fornecidos na prpria questo.

    3. Questes que possibilitam a resoluo sem a necessidade de substituio de valores.

    Vamos ver um exemplo de cada um dos modelos.

    JUROS COMPOSTOS COM A UTILIZAO DE TABELA

    Este mtodo de cobrana de questes de matemtica financeira j foi muito utilizado em concurso pblico, porm hoje so raras as provas que fornecem tabela para clculo de juros compostos. Vamos ver um exemplo.

    Exemplo 3.3.1: Considere um emprstimo, a juros compostos, no valor de R$ 100 mil, prazo de 8 meses e taxa de 10% ao ms. Qual o valor do montante?

    Dados do problema:

    C = 100.000,00t = 8 mesesi = 10% ao ms

    M = C x (1 + i)t

    M = 100.000 x (1 + 0,10)8

    M = 100.000 x (1,10)8

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    O problema est em calcular 1,10 elevado a 8. Sem a utilizao de calculadora fica complicado. A soluo olhar em uma tabela fornecida na prova em anexo, algo semelhante a tabela a seguir.

    Vamos localizar o fator de capitalizao para uma taxa de 10% e um prazo igual a 8.

    (1+i)t TAXA5% 10% 15% 20%

    PRAZO

    1 1,050 1,100 1,150 1,200

    2 1,103 1,210 1,323 1,440

    3 1,158 1,331 1,521 1,728

    4 1,216 1,464 1,749 2,074

    5 1,276 1,611 2,011 2,488

    6 1,340 1,772 2,313 2,986

    7 1,407 1,949 2,660 3,583

    8 1,477 2,144 3,059 4,300

    9 1,551 2,358 3,518 5,160

    10 1,629 2,594 4,046 6,192

    Consultando a tabela encontramos que (1,10)8 = 2,144.

    Substituindo na nossa frmula temos:

    M = 100.000 x (1,10)8

    M = 100.000 x 2,144

    M= 214.400,00

    O valor do montante neste caso ser de R$ 214.400,00.

    JUROS COMPOSTOS COM A SUBSTITUIO DE VALORES

    Mais simples que substituir tabela, algumas questes disponibilizam o resultado da potncia no prprio texto da questo, conforme a seguir.

    Exemplo 3.3.2: Considere um emprstimo, a juros compostos, no valor de R$ 100 mil, prazo de 8 meses e taxa de 10% ao ms. Qual o valor do montante? Considere (1,10)8 = 2,144.

    Assim fica at mais fcil, pois basta substituir na frmula e encontrar o resultado, conforme o exemplo anterior.

    JUROS COMPOSTOS SEM SUBSTITUIOA maioria das provas de matemtica financeira para concurso pblico, busca avaliar a habilidade do candidato em entender matemtica financeira e no se ele sabe fazer contas de multiplicao.

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    Assim as questes de matemtica financeira podero ser resolvidas sem a necessidade de efetuar contas muito complexas, conforme abaixo.

    Exemplo 3.3.3: Considere um emprstimo, a juros compostos, no valor de R$ 100 mil, prazo de 2 meses e taxa de 10% ao ms. Qual o valor do montante?

    Dados do problema:

    C = 100.000,00t = 2 mesesi = 10% ao ms

    M = C x (1 + i)t

    M = 100.000 x (1 + 0,10)2

    M = 100.000 x (1,10)2

    M = 100.00 x 1,21M= 121.000,00

    Resposta: O valor do montante ser de R$ 121.000,00.

    COMO RESOLVER

    Exemplo 3.3.4: Qual o montante obtido de uma aplicao de R$ 2.000,00 feita por 2 anos a uma taxa de juros compostos de 20% ao ano?

    Dados do problema:

    C = 2.000,00t = 2 anosi = 10% ao anoM = ???

    M = C x (1 + i)t

    M = 2.000 x (1 + 0,20)2

    M = 2.000 x (1,20)2

    M = 2.000 x 1,44

    M = 2.880,00

    Exemplo 3.3.5: Quais os juros obtidos de uma aplicao de R$ 5.000,00 feita por 1 ano a uma taxa de juros compostos de 10% ao semestre?

    Dados:

    C = 5.000,00t = 1 ano ou 2 semestresi = 10% ao ano

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    M = C x (1 + i)t

    M = 5.000 x (1 + 0,10)2

    M = 5.000 x (1,10)2

    M = 5.000 x 1,21M = 6.050,00

    Como a questo quer saber quais os juros, temos:

    J = M CJ = 6.050 5.000J = 1.050,00

    Assim os juros sero de R$ 1.050,00.

    Exemplo 3.3.6: Uma aplicao de R$ 10.000,00 em um fundo de aes, foi resgatada aps 2 meses em R$ 11.025,00 (desconsiderando despesas com encargos e tributos), qual foi a taxa de juros mensal que este fundo remunerou o investidor?

    Dados:

    C = 10.000,00t = 2 mesesM = 11.025,00i = ??? ao ms

    M = C (1+ i)t

    11.025= 10.000 (1+ i)2

    (1+ i)2 = 11.02510.000

    (1+ i)2 = 11.02510.000

    (1+ i) = 105100

    i = 1,051= 0,05i = 5% ao ms

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    RACIOCNIO LGICO

    4. INTRODUO A RACIOCNIO LGICO

    A Lgica tem, por objeto de estudo, as leis gerais do pensamento e as formasdeaplicaressasleiscorretamentenainvestigaodaverdade.

    A partir dos conhecimentos tidos como verdadeiros, caberia Lgica a formulao de leis gerais de encadeamentos lgicos que levariam descoberta de novas verdades. Essa forma de encadeamento chamada, em Lgica, de argumento.

    4.1 PROPOSIO E SENTENA

    Um argumento uma sequncia de proposies na qual uma delas a concluso e as demais so premissas. As premissas justificam a concluso.

    Proposio: Toda frase que voc consiga atribuir um valor lgico proposio, ou seja, frases que podem ser verdadeiras ou falsas.

    Exemplos:

    1) Saiu o edital da Susepe.

    2) Os primeiros colocados sero alunos da Casa.

    3) 5 + 3 = 8.

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    No so proposies frases que voc no consegue julgar se verdadeira ou falsa, por exemplo:

    1) Vai estudar?

    2) Mas que legal!

    Sentena: Nem sempre permite julgar se verdadeiro ou falso. Pode no ter valor lgico.

    Frasesinterrogativaseexclamativasnosoproposies.

    QUESTO COMENTADA

    (CESPE Banco do Brasil 2007) Na lista de frases apresentadas a seguir, h exatamente trs proposies.

    I. A frase dentro destas aspas uma mentira.

    II. A expresso X + Y positiva.

    III. O valor de 4 +3= 7

    IV. Pel marcou dez gols para a seleo brasileira.

    V. O que isto?

    Soluo:

    Item I: No possvel atribuir um nico valor lgico para esta sentena, j que, se considerarmos que verdadeiro, teremos uma resposta falsa (mentira) e vice-versa. Logo no proposio.

    Item II: Como se trata de uma sentena aberta, na qual no esto definidos os valores de X e Y, logo tambm no proposio.

    Item III: Como a expresso matemtica no contm varivel, logo uma proposio. Conseguimos atribuir um valor lgico, que, neste caso, seria falso.

    Item IV: Trata-se de uma simples proposio, j que conseguimos atribuir um nico valor lgico.

    Item V: Como se trata de uma interrogativa, logo no possvel atribuir valor lgico. Assim, no proposio.

    Concluso: Errado, pois existem apenas duas proposies: item III e IV.

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    4.2 OU NO PROPOSIO?

    Cuidado com a generalizao. Nas questes da CESPE, nem sempre que aparecerem pontos de ? ou de ! poderemos generalizar afirmando que no se trata de uma proposio.

    O critrio para afirmao sempre tem que ser o mesmo: perguntar se a sentena aceita atribuio de um valor lgico (Verdadeiro ou Falso).

    CESPE 2008 SEBRAE-BA Superior

    Uma proposio uma sentena afirmativa ou negativa que pode ser julgada como verdadeira (V) ou falsa (F), mas no como ambas.

    Nesse sentido, considere o seguinte dilogo:

    (1) Voc sabe dividir? perguntou Ana.

    (2) Claro que sei! respondeu Mauro.

    (3) Ento, qual o resto da diviso de onze milhares, onze centenas e onze por trs? perguntou Ana.

    (4) O resto dois. respondeu Mauro, aps fazer a conta.

    (5) Est errado! Voc no sabe dividir respondeu Ana.

    A partir das informaes e do dilogo acima, julgue o item que se segue.

    1. A frase indicada por (3) no uma proposio.

    ()Certo()Errado

    2. A frase (2) uma proposio.

    ()Certo()Errado

    Gabarito:1.Errado2. Certo

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    5. NEGAO SIMPLES

    1) Zambeli feio.

    Como negamos essa frase?

    Quem tambm disse: Zambeli bonito errou. Negar uma proposio no significa dizer o oposto, mas sim escrever todos os casos possveis diferentes do que est sugerido.

    Zambeli NO feio.

    A negao de uma proposio uma nova proposio, que verdadeira se a primeira for falsa e falsa se a primeira for verdadeira.

    PARA GABARITARPara negar uma sentena acrescentamos o no, sem mudar a estrutura da frase.

    2) Andr Vieira no louco.

    Negao: Andr Vieira louco.

    Para negar uma negao, exclumos o no.

    Simbologia: Assim como na Matemtica representamos valores desconhecidos por x, y, z..., na Lgica tambm simbolizamos frases por letras. Exemplo:

    Zambeli feio.

    Z

    Proposio: Z

    Para simbolizar a negao usaremos ou .

    Negao: Zambeli no feio.

    Simbologia: ~Z.

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    Andr Vieira no Louco.

    A

    Proposio: ~A

    Negao: Andr Louco.

    Simbologia: ~(~A)= A

    p = Thiago Machado gosta de matemtica.

    ~p = Thiago Machado no gosta de matemtica.

    Caso eu queira negar que Thiago Machado no gosta de matemtica, a frase voltaria para a proposio p: Thiago Machado gosta de matemtica.

    ~p = Thiago Machado no gosta de matemtica.

    ~(~p) = No verdade que Thiago Machado no gosta de matemtica.

    ou

    ~(~p) = Thiago Machado gosta de matemtica.

    6. PROPOSIES COMPOSTAS

    Proposio composta a unio de proposies simples por meio de um conector lgico. Esse conector ir ser decisivo para o valor lgico da expresso.

    Proposies podem ser ligadas entre si por meio de conectivos lgicos. Conectores que criam novas sentenas mudando ou no seu valor lgico (Verdadeiro ou Falso).

    Uma proposio simples possui apenas dois valores lgicos, verdadeiro ou falso.

    J proposies compostas tero mais do que duas possibilidades distintas de combinaes dos seus valores lgicos, conforme demonstrado no exemplo a seguir:

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    Consideramos as duas proposies abaixo, chove e faz frio.

    Chove e faz frio.

    Para cada proposio, existem duas possibilidades distintas, falsa ou verdadeira. Numa sentena composta, teremos mais de duas possibilidades.

    E se essa sentena ganhasse outra proposio, totalizando agora trs proposies em uma nica sentena?

    Chove e faz frio e estudo.

    A sentena composta ter outras possibilidades.

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    PARA GABARITAR

    possvel identificar quantas possibilidades distintas teremos de acordo com o nmero de proposio em que a sentena apresentar. Para isso, devemos apenas elevar o nmero 2 quantidade de proposio, conforme o raciocnio abaixo:

    Proposies Possibilidades

    1 2

    2 4

    3 8

    n 2n

    QUESTO COMENTADA

    (CESPE Banco do Brasil 2007) A proposio simblica PQR possui, no mximo, 4 avaliaes.

    Soluo:

    Como a sentena possui 3 proposies distintas (P, Q e R), logo a quantidade de avaliaes ser dada por: 2proposies = 23 = 8

    Resposta: Errado, pois teremos um total de 8 avaliaes.

    7. CONECTIVOS LGICOS

    Um conectivo lgico (tambm chamado de operador lgico) um smbolo ou uma palavra usada para conectar duas ou mais sentenas (tanto na linguagem formal quanto na linguagem informal) de uma maneira gramaticalmente vlida, de modo que o sentido da sentena composta produzida dependa apenas das sentenas originais.

    Muitas das proposies que encontramos na prtica podem ser consideradas como construdas a partir de uma, ou mais, proposies mais simples por utilizao de instrumentos lgicos, a que se costuma dar o nome de conectivos, de tal modo que o valor de verdade da proposio inicial fica determinado pelos valores de verdade da, ou das, proposies mais simples que contriburam para a sua formao.

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    Os principais conectivos lgicos so:

    I. "e" (conjuno)

    II. "ou" (disjuno)

    III. "se...ento" (implicao)

    IV. "se e somente se" (equivalncia)

    7.1 CONJUNO E

    Proposies compostas ligadas entre si pelo conectivo e.

    Simbolicamente, esse conectivo pode ser representado por .

    Exemplo:

    Chove e faz frio.

    Tabela verdade: Tabela verdade uma forma de analisarmos a frase de acordo com suas possibilidades, o que ocorreria se cada caso acontecesse.

    Exemplo:

    Fui aprovado no concurso da DPE e serei aprovado no concurso do Susepe.

    Proposio 1: Fui aprovado no concurso da DPE.

    Proposio 2: Serei aprovado no concurso do Susepe.

    Conetivo: e

    Vamos chamar a primeira proposio de p, a segunda de q e o conetivo de .

    Assim, podemos representar a frase acima da seguinte forma: pq

    Vamos preencher a tabela a seguir com as seguintes hipteses:

    H1:

    p: No fui aprovado no concurso da DPE.q: Serei aprovado no concurso do Susepe.

    H2:

    p: Fui aprovado no concurso da DPE.q: No serei aprovado no concurso do Susepe.

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    H3:

    p: No fui aprovado no concurso da DPE.q: No serei aprovado no concurso do Susepe.

    H4:

    p: Fui aprovado no concurso da DPE.q: Serei aprovado no concurso do Susepe.

    Tabela Verdade: Aqui vamos analisar o resultado da sentena como um todo, considerando cada uma das hipteses acima.

    p q PQ

    H1 F V F

    H2 V F F

    H3 F F F

    H4 V V V

    Concluso:

    7.2 DISJUNO OU

    Recebe o nome de disjuno toda a proposio composta em que as partes estejam unidas pelo conectivo "ou". Simbolicamente, representaremos esse conectivo por v.

    Exemplo:

    Estudo para o concurso ou assisto aos jogos da Copa.

    Proposio 1: Estudo para o concurso.

    Proposio 2: Assisto aos jogos da Copa.

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    Conetivo: ou

    Vamos chamar a primeira proposio de p, a segunda de q e o conetivo de .

    Assim, podemos representar a sentena acima da seguinte forma: pq

    Vamos preencher a tabela abaixo com as seguintes hipteses:

    H1:

    p: Estudo para o concurso.q: Assisto aos jogos da Copa.

    H2:

    p: No Estudo para o concurso.q: Assisto aos jogos da Copa.

    H3:

    p: Estudo para o concurso.q: No assisto aos jogos da Copa.

    H4:

    p: No Estudo para o concurso.q: No assisto aos jogos da Copa.

    Tabela Verdade:

    p q PQ

    H1 V V V

    H2 F V V

    H3 V F V

    H4 F F F

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    7.3 CONDICIONAL SE......ENTO......

    Recebe o nome de condicional toda proposio composta em que as partes estejam unidas peloconectivo"Se...ento".Simbolicamenterepresentaremosesseconectivopor.

    Em alguns casos o condicional apresentado com uma vrgula substituindo a palavra ento, ficando a sentena com a seguinte caracterstica: Se proposio 1 , proposio 2.

    Exemplo: Se estudo, ento sou aprovado.

    Proposio 1: estudo (Condio Suficiente)

    Proposio 2: sou aprovado (Condio Necessria)

    Conetivo: se... ento

    Vamos chamar a primeira proposio de p, a segunda de qeoconetivode.

    Assim,podemosrepresentarafraseacimadaseguinteforma:pq

    Agora vamos preencher a tabela abaixo com as seguintes hipteses:

    H1:

    p: Estudo.q: Sou aprovado.

    H2:

    p: No estudo.q: Sou aprovado.

    H3:

    p: No estudo.q: No sou aprovado.

    H4:

    p: Estudo.q: No sou aprovado.

    p q P Q

    H1 V V V

    H2 F V V

    H3 F F V

    H4 V F F

    A tabela verdade do condicional a mais cobrada em provas de concurso pblico.

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    A primeira proposio, que compe uma condicional, chamamos de condio suficiente da sentena, e a segunda a condio necessria.

    No exemplo anterior, temos:

    Condio suficiente: Estudo.

    Condio necessria: Sou aprovado.

    Para detonar uma prova de Raciocnio Lgico em um concurso pblico, voc precisa saber que uma condicional s ser falsa se a primeira proposio for verdadeira e a segunda for falsa.

    7.4 BICONDICIONAL ...SE SOMENTE SE...

    Recebe o nome de bicondicional toda proposio composta em que as partes estejam unidas pelo conectivo "...se somente se...". Simbolicamente, representaremos esse conectivo por . Portanto, se temos a sentena:

    Exemplo: Maria compra o sapato se e somente se o sapato combina com a bolsa.

    Proposio 1: Maria compra o sapato.

    Proposio 2: O sapato combina com a bolsa.

    Conetivo: se e somente se.

    Vamos chamar a primeira proposio de p a segunda de q e o conetivo de

    Assim podemos representar a frase acima da seguinte forma: pq

    Vamos preencher a tabela a seguir com as seguintes hipteses:

    H1:

    p: Maria compra o sapato.q: O sapato no combina com a bolsa.

    H2:

    p: Maria no compra o sapato.q: O sapato combina com a bolsa.

    H3:

    p: Maria compra o sapato.q: O sapato combina com a bolsa.

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    H4:

    p: Maria no compra o sapato.q: O sapato no combina com a bolsa.

    p q P Q

    H1 V F F

    H2 F V F

    H3 V V V

    H4 F F V

    O bicondicional s ser verdadeiro quando ambas as proposies possurem o mesmo valor lgico, ou quando as duas forem verdadeiras ou as duas proposies forem falsas.

    Uma proposio bicondicional pode ser escrita como duas condicionais. como se tivssemos duas implicaes, uma seta da esquerda para direita e outra seta da direita para esquerda, conforme exemplo abaixo:

    p q (p q) (q p)

    Nesse caso, transformamos um bicondicional em duas condicionais conectadas por uma conjuno. Essas sentenas so equivalentes, ou seja, possuem o mesmo valor lgico.

    PARA GABARITAR

    SENTENA LGICA VERDADEIRO SE... FALSO SE..

    p q p e q so, ambos, verdade um dos dois for falso

    p q um dos dois for verdade ambos, so falsos

    p q nos demais casos que no for falso p = V e q = F

    p q p e q tiverem valores lgicos iguaisp e q tiverem valores

    lgicos diferentes

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    QUESTO COMENTADA(FCC MP-RS 2006) Um argumento composto pelas seguintes premissas:

    I. Se as metas de inflao no so reais, ento a crise econmica no demorar a ser superada.

    II. Se as metas de inflao so reais, ento os supervits primrios no sero fantasiosos.

    III. Os supervits sero fantasiosos.

    Para que o argumento seja vlido, a concluso deve ser:

    a) A crise econmica no demorar a ser superada.b) As metas de inflao so irreais ou os supervits sero fantasiosos.c) As metas de inflao so irreais e os supervits so fantasiosos.d) Os supervits econmicos sero fantasiosos.e) As metas de inflao no so irreais e a crise econmica no demorar a ser

    superada.

    Soluo:

    Devemos considerar as premissas como verdadeiras e tentar descobrir o valor lgico de cada uma das proposies.

    Passo 1: Do portugus para os smbolos lgicos:

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    Passo 2: Considere as premissas como verdade.

    PREMISSA 1 PREMISSA 2 PREMISSA 3

    VERDADE VERDADE VERDADE

    ~ P~Q P~ R R

    No possvel determinar o valor lgico de P e Q, j que existem 3

    possibilidades distintas que tornam o condicional

    verdadeiro.

    No possvel determinar o valor lgico de P e Q, j que existem 3

    possibilidades distintas que tornam o condicional

    verdadeiro.

    CONCLUSO: R = V

    Passo 3: Substitui a premissa 3 em 2 e analise.

    Como na premissa 3 vimos que R V logo ~R = F.

    Como P uma proposio, o mesmo pode ser F ou V. Vamos testar:

    P R

    F F

    V F

    P R

    F V F

    V F F

    Como a premissa 2 verdade e caso a proposio P tenha valor V, teremos uma premissa falsa. Logo chegamos concluso que P = F.

    Passo 3: Substitui a premissa 2 em 1 e analise.

    Como na premissa 2 vimos que P F, logo ~P = V.

    Como Q uma proposio, o mesmo pode ser F ou V.

    Analisando o condicional, temos:

    P Q

    V V V

    V F F

    Logo ~Q = V, assim Q = F

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    Passo 4: Traduzir as concluses para o portugus.

    Premissa 1: P = F

    as metas de inflao no so reais.

    Premissa 2: Q = F

    crise econmica no demorar a ser superada.

    Concluso: Alternativa A

    7.5 CONETIVOS OCULTOS

    Nem sempre as proposies sero apresentadas de forma tradicional e usual, logo necessrio tomar cuidado com as maneiras como a Cespe pode declarar determinados conetivos, conforme a tabela abaixo:

    Conetivos Lgicos Como pode aparecer

    Conjuno (p e q)p, mas qp , q (Vrgula, desde que d uma ideia de contradio)Tanto p, como q

    Condicional (p q)

    Quando p, qq, se p

    OBS.: Sempre que der a ideia de causa x consequncia, temos uma condicional.

    8. NEGAO DE UMA PROPOSIO COMPOSTA

    Agora vamos aprender a negar proposies compostas. Para isso, devemos considerar que:

    Para negarmos uma proposio conjunta devemos utilizar a propriedade distributiva, similar quela utilizada em lgebra na Matemtica.

    8.1 NEGAO DE UMA DISJUNO

    Negar uma sentena composta apenas escrever quando essa sentena assume o valor lgico de falso, lembrando as nossas tabelas verdade construdas anteriormente.

    Para uma disjuno ser falsa (negao), a primeira e a segunda proposio precisam ser falsas, conforme a tabela verdade a seguir, hiptese 4:

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    p q P v Q

    H1 V V V

    H2 F V V

    H3 V F V

    H4 F F F

    Assim, conclumos que, para negar uma sentena do tipo P v Q, basta negar a primeira (falso) E negar a segunda (falso), logo a negao da disjuno (ou) uma conjuno (e).

    Exemplo 1:

    1) Estudo ou trabalho.

    p = estudo.

    q = trabalho.

    p q

    Conectivo = v

    Vamos agora negar essa proposio composta por uma disjuno.

    ~ p q( ) = ~ p ~ qNo estudo e no trabalho.

    Para negar uma proposio composta por uma disjuno, ns negamos a primeira proposio, negamos a segunda e trocamos ou por e.

    Exemplo 2:

    No estudo ou sou aprovado.

    p = estudo

    q = sou aprovado

    ~p = no estudo

    ~ p q

    Conectivo: v

    Vamos agora negar essa proposio composta por uma disjuno.

    ~ ~ p q( ) = p ~ qLembrando que negar uma negao uma afirmao; trocamos ou por e e negamos a afirmativa.

    Estudo e no sou aprovado.

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    8.2 NEGAO DE UMA CONJUNO

    Vimos no captulo de negao simples que a negao de uma negao uma afirmao, ou seja, quando negamos duas vezes uma mesma sentena, encontramos uma equivalncia.

    Vimos que a negao da disjuno uma conjuno, logo a negao da conjuno ser uma disjuno.

    Para negar uma proposio composta por uma conjuno, ns devemos negar a primeira proposio e depois negar a segunda e trocarmos e por ou.

    Exemplo 1:Vou praia e no sou apanhado.

    p = Vou praia.

    q = No sou apanhado

    p ~ q

    Conectivo =

    Vamos agora negar essa proposio composta por uma conjuno.

    ~ p ~ q( ) = ~ p qNo vou praia ou sou aprovado.

    PARA GABARITARVejamos abaixo mais exemplos de negaes de conjuno e disjuno:

    ~(p v q) = ~(p) ~(v) ~(q) = (~p ~q)

    ~(~p v q) = ~(~p) ~(v) ~(q) = (p ~q)

    ~(p ~q) = ~(p) ~( ) ~(~q) = (~p v q)

    ~(~p ~q) = ~(~p) ~( ) ~(~q) = (p v q)

    8.3 NEGAO DE UMA CONDICIONAL

    Conforme citamos anteriormente, negar uma proposio composta escrever a(s) linha(s) em que a tabela verdade tem como resultado falso.

    Sabemos que uma condicional s ser falsa quando a primeira proposio for verdadeira e a segunda for falsa.

    Assim, para negarmos uma sentena composta com condicional, basta repetirmos a primeira proposio (primeira verdadeira), substiturmos o conetivo se...ento por e e negarmos a segunda proposio (segunda falsa).

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    Vejamos um exemplo:

    1) Se bebo, ento sou feliz.

    p = bebo.

    q = sou feliz.

    p q

    Conectivo =

    Negao de uma condicional.

    ~ p q( ) = p ~ qResposta: Bebo e no sou feliz.

    Exemplo 2: Se no estudo, ento no sou aprovado.

    p = estudo.

    ~p = no estudo.

    q = sou aprovado.

    ~q = no sou aprovado.

    ~ p ~ q

    Conectivo =

    Negando: ~ ~ p~ q( ) = ~ p qResposta: No estudo e sou aprovado.

    Exemplo 3: Se estudo, ento sou aprovado ou o curso no ruim.

    p = estudo.

    q = sou aprovado.

    r = curso ruim.

    ~r = curso no ruim.

    p q ~ r

    Negando, ~ p q ~ r( )Negamos a condicional, mantemos a primeira e, negamos a segunda proposio, como a segunda proposio uma disjuno, negamos a disjuno, usando suas regras (negar as duas proposies trocando ou por e).

    ~ p q ~ r( ) = p ~ q ~ r( ) = p ~ q rEstudo e no sou aprovado e o curso ruim.

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    8.4 NEGAO DE UMA BICONDICIONAL

    Negar uma bicondicional negar duas condicionais, ida e volta. Temos, ento, que negar uma conjuno composta por duas condicionais. Negamos a primeira condicional ou negamos a segunda, usando a regra da condicional em cada uma delas.

    Exemplo 1:

    Estudo se e somente se no vou praia.

    p = estudo.

    q = vou praia.

    ~q = no vou praia.

    p~ q = p~ q ~ q p

    Conectivo =

    Uma bicondicional so duas condicionais, ida e volta.

    Negando,

    ~ p~ q( ) =~ p~ q ~ q p =~ p~ q( ) =~ p~ q ~ q p =~ p~ q ~ ~ q p =

    p q ~ q ~ p.

    Estudo e vou praia ou no vou praia e no estudo.

    PARA GABARITAR

    ~ =

    ~ =

    ~ p q = p ~ q

    ~ p q =~ p q ~ q p

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    QUESTO COMENTADA(ESAF Fiscal Trabalho 98) A negao da afirmao condicional "se estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva" :

    a) se no estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva.b) no est chovendo e eu levo o guarda-chuva.c) no est chovendo e eu no levo o guarda-chuva.d) se estiver chovendo, eu no levo o guarda-chuva.e) est chovendo e eu no levo o guarda-chuva.

    Passo 1: Traduzir do texto para smbolos lgicos.

    o P = Estar chovendo

    o Q = Levar guarda-chuva

    o Conetivo:Se...Ento()

    PQ

    Passo 2: Aplicar as propriedades de negao. Nesse caso, repetir a primeira proposio E negar a segunda.

    ~ (PQ) = P ~Q

    Passo 3: Traduzir o resultado encontrado para texto novamente.

    Est chovendo e no levo o guarda-chuva.

    Soluo: Alternativa E

    9. EQUIVALNCIA DE PROPOSIES

    Dizemos que duas proposies so logicamente equivalentes (ou simplesmente que so equivalentes) quando so compostas pelas mesmas proposies simples e os resultados de suas tabelas verdade so idnticos.

    Equivalncia de uma conjuno e uma disjuno.

    Exemplo.

    1) No vou praia e vou estudar.

    p = Vou praia

    ~p = No vou praia

    ~ p q

    q = vou estudar

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    Vamos negar essa proposio.

    ~ ~ p q = p ~ q

    Negaremos agora a negao da proposio.

    ~ p ~ q =~ p q

    Voltamos para a proposio inicial, ou seja, numa conjuno, negar uma negao resulta numa equivalncia.

    Essa equivalncia tambm vale para a disjuno.

    ~ p q =~ p ~ q

    ~ ~ p ~ q = p q

    9.1 EQUIVALNCIA DE UMA CONDICIONAL

    Vamos descobrir qual a sentena equivalente a uma condicional utilizando o mesmo mtodo anterior, negando duas vezes a mesma sentena.

    Exemplo: Se estudo sozinho, ento sou autodidata.

    Simbolizando temos:

    p = estudo sozinho.

    p = sou autodidata.

    p q

    conectivo=

    Simbolicamente: p q

    Vamos negar, ~ p q = p ~ q

    Agora vamos negar a negao para encontrarmos uma equivalncia.

    Negamos a negao da condicional p q = pq

    Soluo: No estudo sozinho ou sou autodidata.

    Massermesmoqueestasproposies,pqe~pvqsomesmoequivalentes?Veremosatravs da tabela verdade.

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    p Q ~p p q ~ p v q

    V V F V V

    V F F F F

    F V V V V

    F F V V V

    Perceba,natabelaverdade,quepqe~pv q tm o mesmo valor lgico. Assim, essas duas proposies so equivalentes.

    Exemplo 2: Vamos encontrar uma proposio equivalente sentena Se sou gremista ento no sou feliz.

    p = Sou gremista.

    q = Sou feliz.

    ~q = No sou feliz.

    p ~ q

    Negao: ~ p~ q = p q

    Sou gremista e sou feliz.

    Equivalncia: negao da negao.

    ~ p~ q = p q

    ~ p q =~ p ~ q

    Logo, no sou gremista ou no sou feliz uma sentena equivalente.

    Exemplo 3: Agora procuramos uma sentena equivalente a Canto ou no estudo.

    c = Canto.

    e = Estudo.

    ~e = No estudo.

    c ~ e

    Negao: ~ c ~ e =~ c e

    Equivalncia: Negar a negao: ~ ~ c e = c ~ e

    Voltamos para a mesma proposio, tem algo errado, teremos que buscar alternativa. Vamos l:

    Vamos para a regra de equivalncia de uma condicional.

    p q ~ p q = , podemos mudar a ordem da igualdade.

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    ~ p q = p q

    Veja que o valor lgico de p mudou e q continuou com o mesmo valor lgico.

    Usando essa regra, vamos transformar a proposio inicial composta de uma disjuno em uma condicional.

    c ~ e = p q

    Para chegar condicional, mudamos o valor lgico de p,

    Troco ou por se...ento e mantenho o valor lgico de q, ficando:

    Se no canto, ento no estudo.

    Exemplo 4: Estudo ou no sou aprovado. Qual a sentena equivalente?

    e = Estudo.

    a = Sou aprovado.

    ~a = No sou aprovado.

    e ~ a

    Dica: quando for ou a equivalncia sempre ser se...ento.

    Assim, temos que transformar ou em se...ento. Mas como?

    p q = ~ p q (equivalentes), vamos inverter.

    ~ p q = p q

    Inverte o primeiro e mantm o segundo, trocando ou por se...ento, transferimos isso para nossa proposio.

    e ~ a =~ e~ a

    Trocamos e por ~e, mantemos ~a e trocamos "v" por " ".

    Logo, se no estudo ento no sou aprovado.

    No podemos esquecer que ou comutativo, assim, a opo de resposta pode estar trocada. Atente, ento, para isso: ao invs de e a pode ser ae , assim, a resposta ficaria:

    Se sou aprovado, ento estudo.

    Quaisquer das respostas estaro certas, ento muita ateno!

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    9.2 CONTRAPOSITIVA

    Utilizamos como exemplo a sentena abaixo:

    Se estudo lgica, ento sou aprovado.

    p = Estudo lgica.

    q = Sou aprovado.

    p q

    Vamos primeiro negar essa sentena:

    ~ (p q) =p ~ q

    Lembrando da tabela verdade da conjuno e, notamos que ela comutativa, ou seja, se alterarmos a ordem das premissas, o valor lgico da sentena no ser alterado. Assim, vamos reescrever a sentena encontrada na negao, alterando o valor lgico das proposies.

    p ~ q =~ q p

    Agora vamos negar mais uma vez para encontrar uma equivalncia da primeira proposio.

    ~ (~ q p) q ~ p

    Agora vamos utilizar a regra de equivalncia que aprendemos anteriormente.

    Regra:p q~ p q

    Em nosso exemplo temos :q ~ p~ q~ p

    Logo encontramos uma outra equivalncia para a nossa sentena inicial.

    Esta outra equivalncia chamamos de contrapositiva e muito fcil de encontrar, basta comutar as proposies (trocar a ordem) e negar ambas.

    p q =~ q~ p

    Exemplo 2: Encontrar a contrapositiva (equivalente) da proposio Se estudo muito, ento minha cabea di

    p = Estudo muito.

    q = Minha cabea di.

    p q

    Encontramos a contrapositiva, invertendo e negando ambas proposies.

    p q =~ q~ p

    Logo, temos que: Se minha cabea no di, ento no estudo muito.

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    PARA GABARITAR

    EQUIVALNCIA 1: p q =~ p q

    EQUIVALNCIA 2: p q =~ q~ p (contrapositiva)

    Como saber qual das duas regras devemos utilizar na hora da prova? Note que a equivalncia 1 transforma uma condicional se ento em uma disjuno ou, enquanto a equivalncia dois transforma uma condicional em outra condicional. Assim, apenas olhando as resposta, na maioria das questes, ser possvel identificar qual das duas regras devemos utilizar.

    QUESTO COMENTADA

    (ESAF Fiscal Trabalho 98) Dizer que "Pedro no pedreiro ou Paulo paulista" , do ponto de vista lgico, o mesmo que dizer que:

    a) se Pedro pedreiro, ento Paulo paulista.b) se Paulo paulista, ento Pedro pedreiro.c) se Pedro no pedreiro, ento Paulo paulista.d) se Pedro pedreiro, ento Paulo no paulista.e) se Pedro no pedreiro, ento Paulo no paulista.

    Soluo:

    Observe que temos uma disjuno, logo a regra que devemos utilizar aquela que transforma uma disjuno em uma condicional.

    p q =~ p q

    Simbolizando a sentena dada na questo, temos:

    ~p = Pedro no pedreiro.

    q = Paulo paulista.

    ~ p q

    Conetivo: v

    Utilizando a nossa regra de equivalncia, temos:~ p q p q

    Logo, conclumos que:

    Se Pedro pedreiro, ento Paulo paulista. Alternativa A.

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    10. TAUTOLOGIA

    Uma proposio composta formada por duas ou mais proposies p, q, r, ... ser considerada uma Tautologia se ela for sempre verdadeira, independentemente dos valores lgicos das proposies p, q, r, ... que a compem.

    Exemplo:

    Grmio cai para segunda diviso ou o Grmio no cai para segunda diviso.

    Vamos chamar a primeira proposio de p, a segunda de ~p e o conetivo de v.Assim podemos representar a sentena acima da seguinte forma: p v ~p

    Agora, vamos construir as hipteses:

    H1:

    p: Grmio cai para segunda diviso.~p: Grmio no cai para segunda diviso.

    H2:

    p: Grmio no cai para segunda diviso.~p: Grmio cai para segunda diviso.

    p ~p p v ~p

    H1 V F V

    H2 F V V

    Como os valores lgicos encontrados foram todos verdadeiros, logo temos uma TAUTOLOGIA!

    Exemplo 2: verificamos se a sentena abaixo uma tautologia:

    Se Joo alto, ento Joo alto ou Guilherme gordo.

    p = Joo alto.

    q = Guilherme gordo.

    p p q

    Agora, vamos construir a tabela verdade da sentena acima:

    p q p v q p p v q

    H1 V F V V

    H2 F V V V

    H3 F V V V

    H4 F F F V

    Como para todas as combinaes possveis, sempre o valor lgico da sentena ser verdadeiro, logo temos uma tautologia.

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    11. CONTRADIO

    Uma proposio composta formada por duas ou mais proposies p, q, r, ... ser dita uma contradio se ela for sempre falsa, independentemente dos valores lgicos das proposies p, q, r, ... que a compem.

    Exemplo: Lula o presidente do Brasil e Lula no o presidente do Brasil.

    Vamos chamar a primeira proposio de p a segunda de ~p e o conetivo de ^.

    Assim, podemos representar a frase acima da seguinte forma: p ^ ~p

    p ~p p ^ ~p

    H1 V F F

    H2 F V F

    Logo, temos uma CONTRADIO!

    PARA GABARITAR

    Sempre Verdadeiro = Tautologia

    Sempre Falso = Contradio

    12. DIAGRAMA LGICO

    Chama-se argumento a afirmao de que um grupo de proposies iniciais redunda em uma outra proposio final, que ser consequncia das primeiras. Estudaremos aqui apenas os argumentos que podemos resolver por diagrama, contendo as expresses: todo, algum, nenhum ou outros similares.

    Um argumento vlido tem obrigatoriamente a concluso como consequncia das premissas. Assim, quando um argumento vlido, a conjuno das premissas verdadeiras implica logicamente a concluso.

    Exemplo: Considere o silogismo abaixo:

    1. Todo aluno da Casa do Concurseiro aprovado.

    2. Algum aprovado funcionrio da defensoria.

    Concluso:

    Existem alunos da Casa que so funcionrios da defensoria.

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    Para concluirmos se um silogismo verdadeiro ou no, devemos construir conjuntos com as premissas dadas. Para isso, devemos considerar todos os casos possveis, limitando a escrever apenas o que a proposio afirma.

    Pelo exemplo acima, vimos que nem sempre a concluso verdadeira. Veja que, quando ele afirma que existem alunos da Casa que so funcionrios da defensoria, ele est dizendo que sempre isso vai acontecer, mas vimos por esse diagrama que nem sempre acontece.

    Funcionrio da Defensoria

    Alunos aprovados

    Aluno da casa

    Nesse diagrama, isso acontece, mas pelo dito na concluso, sempre vai existir, e vimos que no, logo a concluso falsa.

    No mesmo exemplo, se a concluso fosse:

    Existem funcionrios da defensoria que no so alunos da Casa.

    Qualquer diagrama que fizermos (de acordo com as premissas), essa concluso ser verdadeira, tanto no diagrama 1 quanto no diagrama 2 sempre vai ter algum de fora do desenho.

    Logo, teramos um silogismo!

    Silogismo uma palavra cujo significado o de clculo. Etimologicamente, silogismo significa reunir com o pensamento e foi empregado pela primeira vez por Plato (429-348 a.C.). Aqui o sentido adotado o de um raciocnio no qual, a partir de proposies iniciais, conclui-se uma proposio final. Aristteles (384-346 a.C.) utilizou tal palavra para designar um argumento composto por duas premissas e uma concluso.

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    12.1 ALGUM

    Vamos representar graficamente as premissas que contenham a expresso algum.

    So considerados sinnimos de algum as expresses: existe(m), h pelo menos um ou qualquer outra similar.

    Analise o desenho abaixo, que representa o conjunto dos A e B. O que podemos inferir a partir do desenho?

    A B

    Concluses:

    Existem elementos em A que so B.

    Existem elementos em B que so A.

    Existem elementos A que no so B.

    Existem elementos B que no esto em A.

    12.2 NENHUM

    Vejamos agora as premissas que contm a expresso nenhum ou outro termo equivalente.

    Analise o desenho abaixo, que representa o conjunto dos A e B. O que podemos inferir a partir do desenho?

    A B

    Concluses:

    Nenhum A B.

    Nenhum B A.

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    12.3 TODO

    Vamos representar graficamente as premissas que contenham a expresso todo.

    Pode ser utilizado como sinnimo de todo a expresso qualquer um ou outra similar.

    Analise o desenho abaixo, que representa o conjunto dos A e B. O que podemos inferir a partir do desenho?

    A

    B

    Concluso:

    Todo A B.

    Alguns elementos de B so A ou existem B que so A.

    PARA GABARITAR

    Como vou reconhecer um problema onde tenho que usar conjuntos?

    Quando, na questo, existirem expresses como todo, algum, nenhum ou outras similares, usaremos o mtodo dos conjuntos para solucionar a questo.

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    QUESTO COMENTADA

    (FCC TCE-SP 2010) Considere as seguintes afirmaes:

    I. Todo escriturrio deve ter noes de Matemtica.

    II. Alguns funcionrios do Tribunal de Contas do Estado de So Paulo so escriturrios.

    Se as duas afirmaes so verdadeiras, ento correto afirmar que:

    a) Todo funcionrio do Tribunal de Contas do Estado de So Paulo deve ter noes de Matemtica.

    b) Se Joaquim tem noes de Matemtica, ento ele escriturrio.c) Se Joaquim funcionrio do Tribunal de Contas do Estado de So Paulo, ento

    ele escriturrio.d) Se Joaquim escriturrio, ento ele funcionrio do Tribunal de Contas do

    Estado de So Paulo.e) Alguns funcionrios do Tribunal de Contas do Estado de So Paulo podem no

    ter noes de Matemtica.

    Resoluo:

    Primeiramente, vamos representar a primeira premissa.

    I. Todo escriturrio deve ter noes de Matemtica.

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    II. Alguns funcionrios do Tribunal de Contas do Estado de So Paulo so escriturrios.

    Vejamos uma hiptese para a segunda premissa.

    Vamos considerar agora a possibilidade de todos os funcionrios terem noes de Matemtica. Ficamos agora com duas possibilidades distintas.

    Analisamos, agora, as alternativas:

    Alternativa A: Todo funcionrio do Tribunal de Contas do Estado de So Paulo deve ter noes de Matemtica.

    Soluo:

    Observe que o nosso smbolo representa um funcionrio do TCE que no possui noo de Matemtica. Logo, a concluso precipitada.

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    Alternativa B: Se Joaquim tem noes de Matemtica, ento ele escriturrio.

    Soluo:

    O ponto em destaque representa algum que possui noo de Matemtica, porm no escriturrio, logo a concluso precipitada e est errada.

    Alternativa C: Se Joaquim funcionrio do Tribunal de Contas do Estado de So Paulo, ento ele escriturrio.

    Soluo:

    O ponto em destaque representa algum que funcionrio do TCE, porm no escriturrio, logo a concluso precipitada e est errada.

    Alternativa D: Se Joaquim escriturrio, ento ele funcionrio do Tribunal de Contas do Estado de So Paulo.

    Soluo:

    O ponto em destaque representa algum que escriturrio, porm no funcionrio do TCE, logo a concluso precipitada e essa alternativa est errada.

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    Alternativa E: Alguns funcionrios do Tribunal de Contas do Estado de So Paulo podem no ter noes de Matemtica.

    Soluo:

    O ponto em destaque representa um funcionrio do TCE que no tem noo de matemtica, como a questo afirma que podem, logo est correta.

    13. NEGAO DE TODO, ALGUM E NENHUM

    As Proposies da forma Algum A B estabelecem que o conjunto A tem pelo menos um elemento em comum com o conjunto B.

    As Proposies da forma Todo A B estabelecem que o conjunto A um subconjunto de B. Note que no podemos concluir que A = B, pois no sabemos se todo B A.

    Como negamos estas Proposies:

    Exemplos:

    1) Toda mulher friorenta.

    Negao: Alguma mulher no friorenta.

    2) Algum aluno da casa ser aprovado.

    Negao: Nenhum aluno da Casa vai ser aprovado.

    3) Nenhum gremista campeo.

    Negao: Pelo menos um gremista campeo.

    4) Todos os estudantes no trabalham.

    Negao: Algum estudante trabalha.

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    PARA GABARITAR

    NENHUM ALGUM

    negao

    negao

    Cuide os sinnimos, como por exemplo, existem, algum, etc.

    TODOS Algum no

    negao

    negao

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    Questes - Matemtica Financeira

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    1. (2016 FCC TRF 3 REGIO Analista Judicirio Contadoria)

    Em um contrato estabelecido que uma pessoa dever pagar o valor de R$ 5.000,00 daqui a 3 meses e o valor de R$ 10.665,50 daqui a 6 meses. Esta pessoa decide ento aplicar em um banco, na data de hoje, um capital no valor de R$ 15.000,00, durante 3 meses, sob o regime de capitalizao sim-ples a uma taxa de 10% ao ano. No final de 3 meses, ela resgatar todo o montante correspondente, pagar o primeiro valor de R$ 5.000,00 e aplicar o restante sob o re-gime de capitalizao simples, tambm du-rante 3 meses, em outro banco. Se o valor do montante desta ltima aplicao no final do perodo exatamente igual ao segundo valor de R$ 10.665,50, ento a taxa anual fornecida por este outro banco , em %, de

    a) 10,8. b) 9,6. c) 11,2. d) 12,0. e) 11,7.

    2. (2015 FCC DPE-RR Engenheiro Civil)

    Em sala de aula com 25 alunos e 20 alunas, 60% desse total est com gripe. Se x% das meninas dessa sala esto com gripe, o me-nor valor possvel para x igual a

    a) 8.b) 15.c) 10.d) 6.e) 12.

    3. (2015 FUNDATEC BRDE Assistente Ad-ministrativo)

    O Sr. Deodoro da Fonseca aplicou determi-nado valor em um banco de investimentos por 48 meses, que rendeu juros equivalen-tes a 4 vezes o valor aplicado. Considerando que a operao foi realizada pelo regime de capitalizao simples, determine a taxa de juros da operao.

    a) 8,33% no perodo.b) 8,33% ao ms.c) 8,33% ao ano.d) 0,0833% ao ms.e) 0,0833% ao ano.

    4. (2015 FUNDATEC BRDE Assistente Ad-ministrativo)

    Um ttulo de crdito com prazo de 10 anos foi emitido rendendo juros compostos de 4% ao ano, com capitalizao anual, tendo sido resgatado, na data do vencimento, por R$ 22.203,66. Qual o valor aplicado nesse ttulo na data de sua emisso?

    a) R$ 16.851,07.b) R$ 15.859,76.c) R$ 15.589,75.d) R$ 15.000,00.e) R$ 12.651,07.

    5. (2015 FCC MANAUSPREV Analista Previdencirio Economia)

    Jos fez uma aplicao financeira de R$ 1.000,00 para o perodo de 6 meses em um ttulo de renda fixa com uma taxa de juros simples de 3% ao trimestre. Infeliz-mente, Jos teve um problema financeiro e precisou resgatar sua aplicao no 4 ms. Considerando essas informaes, o valor resgatado por Jos foi de, em reais,

    a) 1.040,00. b) 1.140,00. c) 1.400,00. d) 1.440,00. e) 1.004,00.

    6. (2014 FCC TRT 13 Regio (PB) Ana-lista Judicirio Contabilidade)

    A aplicao a juros de um capital de R$ 3.000,00 resultou em um montante de R$ 3.300,00 ao final do perodo de 2 meses e meio. A taxa de juros simples anual desse investimento, em %, foi de

    a) 4b) 48.

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    SUSEPE 2017 Raciocnio Lgico e Matemtica Financeira Prof. Edgar Abreu

    c) 10.d) 60.e) 38.

    7. (2014 FUNDATEC SEFAZ-RS Tcnico Tri-butrio da Receita Estadual Prova 1)

    Mrcia de Lurdes aplicou R$ 10.000,00 em um ttulo de renda fixa que rende ju-ros simples. Aps 15 meses, ela resgatou R$ 12.250,00. Qual a taxa de juros simples proporcionada por essa aplicao financeira?

    a) 1,23% ao ms.b) 1,36% ao ms.c) 1,50% ao ms.d) 21,36% ao ano.e) 22,50% ao ano.

    8. (2014 FCC METR-SP Analista Desen-volvimento Gesto Jnior Administrao de Empresas)

    Josefa necessitava de R$ 5.000,00. Para tan-to buscou um determinado banco, que pro-ps o emprstimo para sua quitao em 3 meses, a uma taxa de juros de 4% ao ms. Considerando juros compostos, ao final dos 3 meses Josefa ter pago o valor total de :

    a) R$ 6.249,72.b) R$ 5.600,00.c) R$ 5.800,00.d) R$ 5.624,32.e) R$ 6.100,00.

    9. (2014 FCC TRF 3 REGIO Analista Judicirio Contadoria)Dois capitais, apresentando uma soma igual a R$ 40.000,00, so aplicados sob o regime de capitalizao simples. O primeiro capital aplicado, durante 9 meses, a uma taxa de 12,0% ao ano. O segundo capital aplicado, durante 10 meses, a uma taxa de 14,4% ao ano. Se, no final dos respectivos prazos de aplicao, o valor do montante da segunda aplicao supera o valor do montante da primeira aplicao em R$ 11.650,00, ento a soma dos valores dos juros correspondentes das duas aplicaes , em R$, igual a

    a) 4.350,00. b) 4.500,00. c) 3.650,00.d) 3.400,00. e) 4.000,00.

    10. (2014 FCC SEFAZ-RJ Auditor Fiscal da Receita Estadual)

    A aplicao de um capital sob o regime de capitalizao simples, durante 10 meses, apresentou, no final deste prazo, um mon-tante igual a R$ 15.660,00. A aplicao de um outro capital de valor igual ao dobro do valor do capital anterior sob o regime de ca-pitalizao simples, durante 15 meses, apre-sentou, no final deste prazo, um montante igual a R$ 32.480,00. Considerando que as duas aplicaes foram feitas com a mesma taxa de juros, ento a soma dos respectivos juros igual a.

    a) R$ 6.660,00 b) R$ 3.480,00c) R$ 4.640,00 d) R$ 5.600,00e) R$ 6.040,00

    11. (2014 FCC SEFAZ-RJ Auditor Fiscal da Receita Estadual)

    Um capital aplicado sob o regime de capita-lizao composta, durante 1 semestre, apre-sentou, no final deste prazo, um total de juros de R$ 580,00. Caso esse capital fosse aplicado sob o regime de capitalizao com-posta, durante 1 ano, apresentaria no final deste prazo um total de juros de R$ 1.183,20. Sabe-se que em ambos os casos considerou--seataxadeiaosemestre(i>0).Umoutrocapital, no valor de R$ 15.000,00, aplicado, durante 1 ano, sob o regime de capitalizao composta a uma taxa de i ao semestre, apre-sentar no final deste prazo um montante de

    a) R$ 16.242,00b) R$ 16.200,00 c) R$ 16.212,00d) R$ 16.224,00 e) R$ 16.236,00

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    12. (2013 FCC SEFAZ-SP Agente Fiscal de Rendas Gesto Tributria)

    Em 17/01/2012, uma pessoa tomou R$ 20.000,00 emprestados do Banco A, por um ano, a juro simples, taxa de 4% ao ms. Aps certo tempo, soube que o Banco B em-prestava, a juros simples, taxa de 3% ao ms. Tomou, ento, R$ 20.000,00 empresta-dos do Banco B at 17/01/2013 e no mes-mo dia liquidou sua dvida com o Banco A. Em 17/01/2013, os juros pagos aos Bancos A e B totalizaram R$ 8.200,00. O nmero de meses correspondente ao prazo de segundo emprstimo

    a) 4b) 5c) 6d) 7e) 8

    13. (2012 FCC TST Analista Judicirio Contabilidade)

    Uma pessoa desejava comprar uma televi-so e a loja lhe ofereceu as seguintes con-dies:

    a. Preo vista = R$ 1.500,00; b. Preo a prazo = entrada de R$ 550,00 e R$ 1.035,50 em 90 dias.

    A taxa de juros simples mensal cobrada pela loja, na venda a prazo, foi de

    a) 1,87% a.m., aproximadamente.b) 1,90% a.m.c) 2,91% a.m., aproximadamente.d) 3,0% a.m.e) 4,50% a.m.

    14. (2012 FCC TST Analista Judicirio Contabilidade)

    Em 31/12/2011, Joo obteve um emprsti-mo de R$ 5.000,00 para pag-lo 3 meses de-pois. Sabendo que a taxa de juros compos-tos cobrada pela instituio foi de 2,0% ao ms, o valor que Joo pagou para quitar o emprstimo foi, em reais, de

    a) 5.100,00.b) 5.202,00.c) 5.300,00.d) 5.306,04.e) 5.314,20.

    15. (2012 FCC TST Analista Judicirio Contabilidade)

    Sr. Jos deseja adquirir um caminho e, para tal, realiza uma pesquisa junto a 3 conces-sionrias especializadas que lhe oferecem as seguintes condies de financiamento:

    Concessionria Alfa: Entrada de R$ 25.100,00 + 1 prestao de R$ 15.600,00, com vencimento para 30 dias aps a entrada. Concessionria Gama: Entrada de R$ 20.100,00 + 1 prestao de R$ 21.632,00, com vencimento para 60 dias aps a entrada. Concessionria Beta: Entrada de R$ 30.000,00 + 2 prestaes R$ 5.408,00, com vencimentos para 30 e 60 dias aps a entrada.

    Sabendo que a taxa de juros compostos co-brada pelas trs concessionrias de 4% ao ms, a melhor condio de financiamento a oferecida pela concessionria

    a) Alfa.b) Alfa e pela concessionria Gama.c) Alfa e pela concessionria Beta.d) Gama e pela concessionria Beta.e) Beta.

    16. (2012 FCC TST Analista Judicirio Contabilidade)

    Um produto custa R$ 100,00 vista, mas o comprador deseja pag-lo a prazo. A menor taxa de juros compostos mensal compreen-de efetuar o pagamento

    a) em um ms em uma parcela nica de R$ 110,00.

    b) em dois meses em uma parcela nica de R$ 125,00.

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    SUSEPE 2017 Raciocnio Lgico e Matemtica Financeira Prof. Edgar Abreu

    c) de R$ 50,00 vista e R$ 56,00 em uma nica parcela que vence em um ms.

    d) de R$ 30,00 vista e R$ 80,00 em uma nica parcela que vence em um ms.

    e) de R$ 53,00 em uma parcela que ven-ce em um ms e outra de R$ 56,18 que vence em dois meses.

    17. (2012 FCC TST Analista Judicirio Contabilidade)

    Determinada empresa possui as seguintes dvidas:

    R$ 40.800,00 que vence em 30 dias. R$ 62.424,00 que vence em 60 dias.

    Caso a empresa decida pagar as suas dvidas antecipadamente e o credor cobre 2% de ju-ros compostos ao ms, o valor a ser desem-bolsado ser de

    a) R$ 101.200,00.b) R$ 101.159,52.c) R$ 100.000,00.d) R$ 99.927,04.e) R$ 99.911,04.

    18. (2012 FCC TST Analista Judicirio Contabilidade)

    Uma pessoa deve R$ 2.040,00 a um amigo. Prope-se a pagar o valor total da dvida em duas prestaes de valores iguais, vencveis em 30 e 60 dias, respectivamente. Sabendo que a taxa de juros compostos estipulada pelo amigo de 4% ao ms, o valor das par-celas a serem pagas , em reais, de

    a) 1.103,23.b) 1.101,60.c) 1.081,60.d) 1.060,80.e) 1.020,00.

    19. (2012 FCC TRT 6 Regio (PE) Analis-ta Judicirio Contabilidade)

    Um eletrodomstico est sendo vendido nas seguintes condies:

    Preo vista = R$ 2.580,00; Condies a prazo = entrada de

    R$ 680,00 e R$ 1.995,00 em 60 dias.

    A taxa de juros simples mensal cobrada na venda a prazo

    a) aproximadamente 1,84% a.m.b) 2,30% a.m.c) 2,50% a.m.d) aproximadamente 3,68% a.m.e) 5,00% a.m.

    20. (2012 FCC TRT 6 Regio (PE) Analis-ta Judicirio Contabilidade)

    No tendo recursos para saldar um emprs-timo de R$ 110.000,00 (na data do venci-mento), determinada empresa fez um acor-do com a instituio financeira para pag-lo 90 dias aps o vencimento. Sabendo que a taxa de juros compostos cobrada pelo banco foi de 5% ao ms, o valor pago pela empresa foi, em reais,

    a) 115.500,00b) 115.762,50c) 121.275,00d) 126.500,00e) 127.338,75

    21. (2012 FCC TRT 6 Regio (PE) Analis-ta Judicirio Contabilidade)

    Para comprar um carro, Maria realiza uma pesquisa em 3 Instituies Financeiras e ob-tm as seguintes propostas de financiamento:

    Instituio A: Entrada de R$ 7.900,00 + 1 prestao de R$ 8.240,00 para 30 dias aps a entrada. Instituio B: Entrada de R$ 7.800,00 + 1 prestao de R$ 8.487,20 para 60 dias aps a entrada. Instituio C: Entrada de R$ 7.652,80 + 2 prestaes de R$ 4.243,60 para 30 e 60 dias aps a entrada.

    Sabendo que a taxa de juros compostos de 3% ao ms, a proposta de financiamento

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    a) da instituio A a melhor.b) da instituio B a melhor.c) da instituio C a melhor.d) das instituies A e C so equivalentes.e) das instituies A, B e C so equivalen-

    tes.

    22. (2012 FCC Prefeitura de So Paulo SP Auditor Fiscal do Municpio)

    Em 05 de janeiro de certo ano, uma pessoa tomou R$ 10.000,00 emprestados por 10 meses, a juros simples, com taxa de 6% ao ms. Aps certo tempo, encontrou um ou-tro credor que cobrava taxa de 4% ao ms. Tomou, ento, R$ 13.000,00 emprestados do segundo credor pelo resto do prazo e, no mesmo dia, liquidou a dvida com o primei-ro. Em 05 de novembro desse ano, ao liqui-dar a segunda dvida, havia pago um total de R$ 5.560,00 de juros aos dois credores. O prazo do segundo emprstimo foi

    a) 4 meses.b) 4 meses e meio.c) 5 meses.d) 5 meses e meio.e) 6 meses.

    23. (2012 FCC Prefeitura de So Paulo SP Auditor Fiscal do Municpio)

    Em uma loja, um computador, cujo preo R$ 2.200,00, pode ser vendido nas seguintes condies:

    vista, com abatimento de 10% no preo ou

    em duas parcelas, sendo a primeira delas dada como entrada, correspondendo a 25% do preo. A segunda, que corresponde ao restante financiado a juros compostos taxa de 4% ao ms, deve ser paga ao completar 2 meses da data da compra.

    Se R e S so, respectivamente, os totais pa-gos no primeiro e no segundo casos, ver-dade que

    a) S = R + R$ 354,64.b) S + R = R$ 4.312,00.c) R = S R$ 179,52.d) S R = R$ 99,52.e) S = 2R.

    24. (2012 FCC TRF 2 REGIO Tcnico Ju-dicirio Contabilidade)

    Um capital de R$ 25.000,00, aplicado a juros simples e taxa anual de 12%, ao final de um perodo de 15 meses produzir o mon-tante de

    a) R$ 37 000,00.b) R$ 37 250,00.c) R$ 32 500,00.d) R$ 28 750,00.e) R$ 25 250,00.

    25. (2012 FCC TRE-PR Analista Judicirio Contabilidade)

    Dois capitais, cuja soma igual a R$ 35.000,00, so aplicados a juros simples com uma taxa de 15% ao ano. O capital de maior valor aplicado durante 10 meses e o outro durante 8 meses. Se a soma dos juros destas duas aplicaes igual a R$ 4.000,00, ento o montante de maior valor supera o montante de menor valor em

    a) R$ 4.500,00.b) R$ 5.000,00.c) R$ 5.500,00.d) R$ 6.000,00.e) R$ 6.500,00.

    26. (2012 FCC TRE-PR Analista Judicirio Contabilidade)

    Um capital aplicado a juros compostos, durante um ano, com uma taxa de 4% ao se-mestre. O valor dos juros desta aplicao foi igual a R$ 1.020,00. Caso este capital tives-se sido aplicado a juros compostos, durante dois anos, com uma taxa de 10% ao ano, en-to o montante no final deste perodo apre-sentaria um valor igual a

    a) R$ 15.125,00.

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    SUSEPE 2017 Raciocnio Lgico e Matemtica Financeira Prof. Edgar Abreu

    b) R$ 15.000,00.c) R$ 14.750,00.d) R$ 14.500,00.e) R$ 14.225,00.

    27. (2012 FCC TJ-PE Analista Judicirio Contabilidade)

    Um valor X foi aplicado a juros compostos de 10% ao ms durante dois meses em um fundo de investimentos A. O mesmo valor X foi aplicado a juros compostos de 20% ao ms durante dois meses em um fundo de investimentos B. Em relao ao rendimento da aplicao no fundo A, o rendimento ob-tido na aplicao no fundo B o supera em, aproximadamente,

    a) 23%.b) 44%.c) 65%.d) 110%.e) 210%.

    28. (2011 FCC TCE-PR Analista de Controle)

    Um capital no valor de R$ 18.000,00 apli-cado durante 8 meses a juros simples, com uma taxa de 18% ao ano. No final do pero-do, o montante resgatado e aplicado a ju-ros compostos, durante um ano, a uma taxa de 5% ao semes