Raciocínio Lógico Matemático - MATEMATICANDO · 10. 10. 10. 10 = 90 000 000 . Capítulo 7 Professor: Sérgio Destácio Faro 5 Observe que são 90 milhões de números de telefones

Capítulo 7 Professor: Sérgio Destácio Faro

Raciocínio Lógico Matemático

Cap. 7 - Princípio da Contagem,

Noções de Probabilidade e Estatística


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Princípio da Contagem, Noções de Probabilidade e Estatística

Caro aluno, este capítulo não tem a pretensão de abordar todos os aspectos atrelados a Análise Combinatória e sim estudar alguns problemas de contagem, assim como algumas noções da Probabilidade e Estatística. Se você pensou que vamos estudar arranjos, combinações e permutações por meio de fórmulas, você se enganou! Primeiramente vamos conceituar o campo de abrangência da Análise Combinatória. Foi a necessidade de calcular o número de possibilidades existentes nos chamados jogos de azar que levou ao desenvolvimento da Análise Combinatória, parte da Matemática que estuda os métodos de contagem. É muito comum, em nosso cotidiano, nos depararmos com situações que envolvem estes métodos. Análise Combinatória Preocupa-se em estudar o número de possibilidades de ocorrência de um determinado acontecimento (evento) sem, necessariamente, descrever todas as possibilidades. Vamos compreender melhor isto, por meio de exemplos:

1. Três pilotos (p1 , p2, p3) disputam uma corrida. Quantas são as possibilidades de chegada para os três primeiros lugares?

Para a determinação da quantidade de possibilidades, vamos pensar inicialmente nas possibilidades para o 1º lugar, depois para o 2º lugar e finalmente para o 3º lugar.

• Para o 1º lugar, temos três possibilidades: p1 ou p2 ou p3.

• Para o 2º lugar, temos duas possibilidades de sequência para p1, duas para o p2 e duas para o p3.

• Para o 3º lugar, temos uma possibilidade para cada seqüência; isto é aquele elemento que sobrou.

Desta forma, temos:

Lugar Possibilidades

1º 3 2º 2 3º 1


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Veja como fica:

O que acabamos de construir é o que chamamos de árvore das possibilidades. Perceba como fica mais organizado e facilita a compreensão da contagem. R.: São 6 possibilidades de chegada para os três primeiros lugares. Já que não foi pedido para especificar as possibilidades e sim a quantidade delas. Podemos fazer de uma forma prática: Basta multiplicar as possibilidades para cada lugar:

Lugar Possibilidades

1º 3 2º 2 3º 1

3. 2 . 1 = 6 possibilidades Vamos para outro exemplo:

2) Suponhamos que num dos prédios da Uniban existam 5 catracas de entrada ( c1, c2, c3 , c4 ,c5) que dão para um saguão onde há 2 elevadores ( e1 , e2 ). Um estudante deve se dirigir ao 2º andar utilizando-se de um dos elevadores. De quantas maneiras diferentes poderá fazê-lo?

Veja como fica a árvore de possibilidades:


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Desta forma, temos:

Etapas Possibilidades

1a 5 2ª 2

5 . 2 = 10 possibilidades. Se um acontecimento pode ocorrer por várias etapas sucessivas e independentes, basta multiplicar o número de possibilidades de cada etapa para obter o número total de possibilidades. (Princípio Fundamental da Contagem). E qual é a vantagem deste Princípio? A vantagem é que não precisamos descrever todas as possibilidades como nas árvores de possibilidades para determinar a sua quantidade. Ficou claro? Veja este próximo exemplo para entender melhor esta vantagem.

3) Os números dos telefones de São Paulo têm 8 algarismos. Determinar o número máximo de telefones que podem ser instalados, sabendo-se que os números não podem começar com zero.

Com os algarismos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9) temos :

• Para o 1º algarismo (dígito), 9 possibilidades, pois o zero (0) não pode ser incluído.

• Para os demais algarismos,10 possibilidades, ou seja com os algarismos de 0 a 10.

Logo, pelo Princípio Fundamental da Contagem, temos:

9 . 10. 10. 10. 10. 10. 10. 10 = 90 000 000 .


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Observe que são 90 milhões de números de telefones que podem ser instalados. Já pensou se tivéssemos que fazer a árvore das possibilidades! Seria inviável!

Vamos para mais um exemplo deste tipo, isto é, quando a árvore de possibilidades fica inviável.

4) Determinar o número de placas de carros que podem ser construídas com o uso de três letras e quatro algarismos.

Você já parou para pensar na quantidade de placas que podem ser construídas desta forma? E quando será que teremos que modificar as quantidades de letras ou de algarismos, ou de ambos, pois teremos mais carros do que as possibilidades de placas formadas?

Para resolver o problema, primeiro vamos determinar quantas possibilidades de placas existem formadas com três letras. Como sabemos, o alfabeto possui 26 letras e é permitida a repetição, neste caso, há 26 maneiras para a escolha da primeira letra, 26 para a segunda e 26 para a terceira. Portanto, existem, pelo Princípio Fundamental da Contagem:

26 x 26 x 26 = 17.576 possibilidades.

Agora vamos pensar nos algarismos de forma análoga ao que fizemos com as letras. Vamos determinar quantas possibilidades de placas existem formadas com 4 algarismos. Há 10 maneiras para escolha do primeiro algarismo (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9), e 10 maneiras para cada um dos outros algarismos. Sendo assim, temos pelo Princípio Fundamental da Contagem:

10.10.10.10 = 10 000 possibilidades

E agora, o que fazer?

Fácil, basta multiplicar 10 000 por 17 576

Logo, o número total de placas é:

10.000 x 17.576 = 175.760.000 (nº total de possibilidades de placas)

Tudo bem até aqui? E a segunda pergunta, já pensou sobre ela?

E quando será que teremos que modificar as quantidades de letras ou de algarismos, ou de ambos, pois teremos mais carros do que as possibilidades de placas formadas?

Observe que se no país existissem 175.760.001 (Cento e setenta e cinco milhões, setecentos e sessenta mil e um) veículos, o sistema de códigos de emplacamento no Brasil teria que ser modificado, já que não existiriam números


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suficientes de placas para todos os veículos. Percebe quando se faz necessária uma mudança?

É fato que, ultimamente, o número de veículos emplacados tem batido recordes históricos!

O Brasil fabricou o número recorde de 2,72 milhões de veículos nos nove primeiros meses deste ano, ou seja, 17,3% mais que no mesmo período de 2009, informou nesta quinta-feira (07-10-10) a Associação Nacional de Fabricantes de Veículos Automotores (Anfavea).

5) Quantos números de 2 algarismos (elementos) distintos podem ser formados usando-se os algarismos (elementos) 3, 5 e 6?

Vamos construir a árvore das possibilidades:

Desta forma, temos:

algarismos possibilidades

1º 3 2º 2

3 . 2 = 6


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Observe que os números obtidos são denominados arranjos simples dos 3 elementos tomados dois a dois. E a ordem importa isto é: 35≠ 53, 36≠ 63 e 56≠ 65, logo os agrupamentos são diferentes pela ordem dos elementos. R.: Podem ser formados 6 números com dois algarismos distintos usando os algarismos 3, 5 e 6. Obs.: Este tipo de agrupamento sem repetição em que um grupo é diferente do outro pela ordem ou pela natureza dos elementos componentes é chamado de arranjo simples.

6) Quantos números de 3 algarismos distintos podem ser formados usando-se os algarismos (elementos) 4, 6 e 8?

Os grupos (os números) obtidos são denominados permutações simples dos 3 elementos tomados 3 a 3. R.: Podem ser formados 6 números de 3 algarismos distintos usando-se os algarismos (elementos) 4, 6 e 8. Obs.: Este tipo de agrupamento ordenado, sem repetição, em que todos os elementos entram em cada grupo é chamado de permutação simples. Perceba que é um caso particular de arranjo simples (a ordem dos algarismos importa, pois mudando a sua ordem, mudam-se os números). Agora veja este próximo exemplo, mas cuidado com a questão da ordem dos elementos!

7) Quantas comissões de 2 pessoas podem ser formadas com 3 alunos (A, B e C) de uma classe?


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Observe que neste caso, temos que tomar um certo cuidado, pois AB = BA, são as mesmas 2 pessoas. Da mesma forma AC=CA e BC=CB. Podemos, então concluir que temos que dividir por 2 o número de comissões obtido com o uso da árvore de possibilidades, para que não contemos duas vezes cada comissão. Logo, temos: 6 : 2 = 3. Observe que, neste caso, os grupos obtidos diferem entre si pelos elementos componentes (natureza), não importando a ordem (posição) em que aparecem. Este tipo de agrupamento é chamado de combinação simples de 3 elementos tomados 2 a 2. R.: Podem ser formadas 3 comissões de pessoas. Esperamos que você tenha compreendido que há casos em que a construção da árvore de possibilidades torna-se inviável, porém há outros em que ela é decisiva. Sua importância consiste na idéia de ordenação (organização) dos elementos de modo a assegurar a correta contagem ou uso do princípio multiplicativo. De acordo com os Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio - PCNEM:

“A Contagem, ao mesmo tempo que possibilita uma abordagem mais completa da probabilidade por si só, permite também o desenvolvimento de uma nova forma de pensar em Matemática denominada raciocínio combinatório. Ou seja, decidir sobre a forma mais adequada de organizar números ou informações para poder contar os casos possíveis não deve ser aprendido como uma lista de fórmulas, mas como um processo que exige a construção de um modelo simplificado e explicativo da situação. As fórmulas devem ser conseqüência do raciocínio combinatório desenvolvido frente à resolução de problemas diversos e devem ter a função de simplificar cálculos quando a quantidade de dados é muito grande” (PCNEM: Matemática, 2000, p. 126-127).

Veja um último exemplo para mostrar este raciocínio combinatório: As pessoas geralmente dizem que precisam comprar peças de vestuário, pois estão cansadas de repetir a forma de se vestirem. Mas até que ponto isto é uma verdade?


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Vamos determinar a quantidade de diferentes formas que uma pessoa que tenha 3 calças(A, B e C), 4 camisas( D, E, F e G) e 3 pares de sapatos (H, I e J) tem para se vestir.

vestuário possibilidades

calças 3 camisas 4 sapatos 3

Pelo Princípio Fundamental da Contagem que estudamos, temos: 3. 4. 3 = 12. 3 = 36 possibilidades. Se preferir, construa a árvore das possibilidades (*). Isto significa que, com apenas as quantidades de peças de vestuário citadas, uma pessoa pode se vestir de 36 formas diferentes. Lembre-se que o mês comercial tem 30 dias! Logo a pessoa poderia mudar todos os dias, pelo menos uma das peças. (*) Veja ao final deste guia de estudos. De forma análoga, a partir de um cardápio de um restaurante, composto de 6 aperitivos, 8 entradas e 4 sobremesas, um cliente pode compor 6. 8. 4 = 192 maneiras diferentes, desde que peça os três, sendo um aperitivo, uma entrada e uma sobremesa. Você já parou para pensar na quantidade de opções, como esta, ao fazer suas escolhas em restaurantes? Vamos agora ver alguns conceitos de Probabilidade e Estatística. Probabilidade e Estatística: Hoje em dia, sabemos que para a tomada de decisões é importante dispor de conhecimentos de probabilidade e estatística. Podemos justificar isto por meio de inúmeros exemplos, mas vamos pensar em alguns deles:

• Nos anos eleitorais, ao ler os resultados de uma pesquisa de opinião, conceitos estatísticos podem estar embutidos; da mesma forma quando se fala da probabilidade de um determinado candidato ser eleito;

• Interpretação de diversos relatórios com tabelas e gráficos; • Entendimento do mundo em que vivemos, pois conhecer e estabelecer

relações é uma questão de cidadania. • A relação entre o número de vagas e o número de candidatos para um

determinado concurso dá ideia da probabilidade de aprovação;

• As estatísticas de trânsito são úteis para organizar o policiamento;

• Determinação da probabilidade de ocorrência de um evento

Mas não é só isto que o estudo de Estatística e Probabilidade nos ensina. Existem alguns conceitos que desafiam o senso comum e que podem significar a


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diferença nas tomadas de decisão, para que possamos fazer as melhores escolhas. Este capítulo apresenta, de forma intuitiva, os principais conceitos que devemos ter em relação aos eventos estocásticos e como a matemática pode, sem fórmulas complicadas, nos auxiliar no entendimento do mundo em que estamos inseridos.

Os conhecimentos de Probabilidade e Estatística são utilizados nas mais diversas áreas, tais como: Administração, Economia, Engenharia, Medicina, Agronomia, Psicologia, Pedagogia, etc.

Estatística

O termo Estatística provém da palavra Estado e foi utilizado originalmente para denominar levantamentos de dados, cuja finalidade era orientar o Estado em suas decisões. A Estatística fornece métodos para a coleta, organização, descrição, análise e interpretação de dados e para a utilização na tomada de decisões.

A Estatística é considerada por alguns autores como Ciência no sentido do estudo de uma população. É considerada como método quando utilizada como instrumento por outra Ciência.

A Estatística mantém com a Matemática uma relação de dependência, solicitando-lhe auxílio, sem o qual não poderia desenvolver-se.

Para que possamos fazer algumas abordagens, faz-se necessário trabalhar inicialmente alguns conceitos. Vamos a eles!

1. Variáveis

Variável é, convencionalmente, o conjunto de resultados possíveis de um fenômeno.

As variáveis podem ser classificadas como:

i) Qualitativa: quando seus valores são expressos por atributos. Ex.: sexo (masculino - feminino), cor da pele, estado civil, etc.

ii) Quantitativa: quando seus valores são expressos em números.

Ex.: salário, idade, número de filhos, etc. Neste item, temos uma subdivisão; isto é, as variáveis quantitativas podem ser:

• variável contínua- pode assumir, teoricamente, qualquer valor entre dois limites.

Ex.: “peso” de uma pessoa (75 kg, mas podemos ter 75,2kg ou 75,25kg dependendo da medição efetuada)


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• variável discreta.- só pode assumir valores pertencentes a um conjunto que

se possa enumerar. Atenção:

De um modo geral, as medições dão origem a variáveis contínuas e as contagens ou enumerações, as variáveis discretas.

2. População e Amostra

Ao coletar os dados estatísticos referentes a uma pesquisa de eleição, é

muitas vezes impossível ou impraticável observar todo o grupo, especialmente se for muito grande. Ao invés de entrevistar todo o grupo, denominado população, entrevista-se uma pequena parte chamada amostra. É óbvio que a amostra deve ser representativa do todo que é a população. A amostra deve possuir as mesmas características básicas da população, no que diz respeito ao fenômeno que desejamos pesquisar. Por este motivo, existem as técnicas de amostragem. Essas técnicas não serão objetos de nossos estudos neste capítulo, o que não te impede, caro aluno, de fazer uma pesquisa à parte. Veja o seguinte link: http://www.dcce.ibilce.unesp.br/~adriana/engali/Formasdeamostragem.pdf

Um outro exemplo que podemos pensar é o seguinte: Quando você faz uma refeição num determinado restaurante, você não

necessita consumir tudo que há no restaurante para que possa emitir um julgamento sobre a qualidade dos alimentos, (se achar mais conveniente, pense no sistema “self-service”). De forma análoga, não é preciso consumir todo o conteúdo de um prato de sopa para dizer se ela está ou não salgada! Se a amostra é representativa do todo, basta uma colher! Estatística e suas Divisões

A estatística pode ser dividida em duas áreas:

Estatística Descritiva – é a parte da Estatística que tem por objetivo coletar, organizar e descrever os dados observados. Nem precisamos dizer que as tabelas e os diferentes tipos de gráficos são importantíssimos para este estudo, assim como os cálculos das freqüências e determinadas medidas como médias, modas, medianas, variâncias e desvios-padrão. Estas noções são fundamentais, mas devido as escolhas feitas neste capítulo, daremos ênfase às noções de probabilidade.


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Estatística Indutiva ou Inferencial – é a parte da Estatística que tem

por objetivo obter, interpretar e generalizar conclusões a partir de uma amostra, através do cálculo de probabilidade. O cálculo de probabilidade é que viabiliza a inferência estatística. Daí a razão de estudarmos algumas noções de probabilidade.

Probabilidade Caro aluno, estamos estudando, como já foi dito, alguns aspectos que julgamos importantes para que você possa ter subsídios para um aprofundamento posterior. A história da teoria das probabilidades teve início com os jogos de cartas, dados e de roleta. Daí a razão pela qual aparecem muitos exemplos de jogos de azar no estudo da probabilidade. A teoria da probabilidade permite que se calcule a chance de ocorrência de um determinado evento. Os jogadores da época recorriam a matemáticos, solicitando-lhes informações que os favorecessem nos jogos de dados e de baralho. A teoria das probabilidades permite construir modelos matemáticos que explicam um grande número de fenômenos coletivos e fornecem estratégias para a tomada de decisões.

Para que possamos abordar a teoria das probabilidades, faz-se necessário estudar alguns conceitos para o cálculo das probabilidades. Vamos a eles! 1-Fenômenos ou experimentos aleatórios Chamamos de experimentos aleatórios aqueles que, repetidos em idênticas condições, produzem resultados que não podem ser previstos com certeza. Embora não saibamos qual o resultado que irá ocorrer num experimento, em geral conseguimos descrever o conjunto de todos os resultados possíveis que podem ocorrer. As variações de resultados, de experimento para experimento, são devidas a uma multiplicidade de causas que não podemos controlar, as quais denominamos acaso. Ex: O resgate dos mineiros no Chile, por mais que se tenha sido feito todo um planejamento com especialistas de ponta, a ação ficou sujeita a inúmeros fatores. Ao discutirmos sobre a probabilidade de que a operação tivesse 100% de êxito, sabíamos que vários testes tinham sido realizados, mas algo poderia dar errado, mesmo porque neste caso tínhamos uma situação inédita! Vamos ver alguns exemplos clássicos: a) Lançar uma moeda e observar a face de cima.


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b) Lançar um dado e observar o número da face de cima.

c) De um baralho de 52 cartas, selecionar uma carta e observar seu naipe.

d) Numa cidade onde 5% dos habitantes possuem determinada moléstia, selecionar 10 pessoas e observar o número de portadores da moléstia.


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2. Espaço amostral Chamamos de espaço amostral, e indicamos por Ω, um conjunto formado por todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. Exemplos: a) Lançar uma moeda e observar a face de cima. Ω = Ca, Co b) Lançar um dado e observar o número da face de cima. Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6 3. Evento Consideremos um experimento aleatório, cujo espaço amostral é Ω. Chamaremos de evento todo subconjunto de Ω (espaço amostral). Em geral indicamos um evento por uma letra maiúscula do alfabeto: A, B, C, ..., Z. Chega de conceitos e vamos aplicá-los em algumas situações! 1ª) Calcular a probabilidade de obter um número par na face superior no lançamento de um dado. Denominaremos este evento de letra E. (Obs.: O dado não é viciado!) Atenção:

A probabilidade de ocorrência do evento E (“obter um número par na face superior”) no lançamento de um dado pode ser calculada pela razão(quociente) entre a quantidade de seus elementos e a quantidade dos elementos do espaço amostral.

Primeiramente, pense nos possíveis resultados, pois eles serão os elementos do espaço amostral Ω. Neste caso, temos para o espaço amostral: Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6. Temos 6 elementos no espaço amostral, então n(Ω)= 6 O evento “obter um número par na face superior” E = 2,4,6. Temos 3 elementos neste conjunto, então n(E) = 3

Ca = cara Co = coroa


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Logo, podemos dizer que: P(E) = n(E) = 3/6 Simplificando temos, n(Ω) P(E) = ½ = 0,5 = 50 %. Concluímos que, neste caso, a probabilidade de “obter um número par na face superior” é de 50%. 2) Calcular a probabilidade de “obter um número maior que 6 na face superior. Neste caso, temos para o espaço amostral: Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6 O evento “obter um número maior que 6 na face superior. E = . Observe que não há número maior do que 6 num dado. Logo, podemos dizer que: P(E) = n(E) = 0/6 Podemos, então dizer que: n(Ω) P(E) = 0= 0%. Temos, neste caso, a probabilidade de um evento impossível, pois a probabilidade é igual a zero. 3) Calcular a probabilidade de “obter um número menor ou igual a 6 na face superior. Neste caso, temos para o espaço amostral: Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6 O evento “obter um número menor ou igual a 6 na face superior.. E = 1, 2, 3, 4, 5, 6 . Logo, podemos dizer que: P(E) = n(E) = 6/6 Simplificando temos, n(Ω) P(E) = 1 = 100%. Temos neste caso, a probabilidade de um evento certo, pois a probabilidade é igual a 1 (100%).

ATENÇÃO: P = probabilidade E = evento – elementos determinados pelo problema Ω = espaço amostral- todos os resultados possíveis


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4) Qual a probabilidade de sair o dois de ouros, quando retiramos uma carta de um baralho de 52 cartas? Como há apenas uma carta dois de ouros, o número de elementos do evento é 1, logo: P(E) = n(E) = 1/52. n(Ω) Você deve estar se perguntando: Esta é a resposta final? Sim a probabilidade pode ser expressa sob a forma de fração (1/52) ou de número decimal (neste caso dividindo-se 1 por 52), ou ainda na sua forma de taxa percentual.(multiplica-se por 100 o número decimal obtido). Resumindo, podemos dizer que: P(E) = n(E) = 1/52 que é aproximadamente igual a 0,019 = 1,9 %. n(Ω) Veja que a probabilidade de ocorrência deste evento; isto é, de obter o dois de ouros é menor que 2 %. 5) Em um lote de 100 tijolos, 4 são defeituosos. Sendo retirado um dos tijolos, calcular:

a) A probabilidade desse tijolo ser defeituoso. E1........obter tijolo defeituoso Neste caso, o número de elementos do evento E1 é n(E1) = 4, pois são 4 tijolos defeituosos. Logo, a probabilidade de ocorrência deste evento; isto é do tijolo retirado ser defeituoso será obtido pela razão entre o número de tijolos defeituosos e o número total de tijolos. Podemos indicar matematicamente por: P(E) = n(E1) = 4/100 n(Ω) Simplificando esta fração, isto é, dividindo-se por 4 o seu numerador e o seu denominador, obtemos 1/25. Portanto: P(E) = 1/25. R.: A probabilidade desse tijolo retirado ser defeituoso é igual a 1/25 = 0,04 = 4%.

b) A probabilidade desse tijolo não ser defeituoso E2........obter tijolo não defeituoso


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Veja que para esta situação, basta pensar que este evento é complementar do anterior, logo a soma de suas probabilidades é igual a 1 (100%), isto é:

P(E1) + P(E2) = 1 . Desta forma, temos: P(E2) = 1 - P(E1). P(E2) = 1 - 1/25 = 24/25. De outra forma: n(E2) = 100 – 4 = 96 P(E2) = n(E2) = 96/100 Simplificando, temos: n(Ω) P(E2) = 24/25 - Retirar

P(E1) + P(E2) = 100 % Como P(E1) = 4%, temos que P(E2) = 96%. Obs.: 96% = 96/100. Simplificando a fração; isto é, dividindo-se o seu numerador e seu denominador por 4, obtemos 24/25. R.: A probabilidade desse tijolo retirado não ser defeituoso é igual a 96 % = 0,96 = 24/25. Antes de passarmos para um outro exemplo, vale fazer uma observação: Se o enunciado não especifica que você tenha que dar a resposta da probabilidade nas 3 diferentes formas, você tem a liberdade de escolher uma delas, aquela que julgar mais conveniente. 6) Sejam dois baralhos de 52 cartas. Tiram-se, simultaneamente, uma carta do primeiro baralho e uma carta do segundo. Qual a probabilidade da carta do primeiro baralho ser um valete e a do segundo, o 4 de ouros? Vamos considerar : E1.........obter um valete E2............. obter o 4 de ouros. Cabem aqui os seguintes lembretes:

i) Há 4 valetes em cada baralho, logo a probabilidade de obter um valete no primeiro baralho é:


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P(E1) = 4/52 = 1/13.

ii) Há apenas uma carta 4 de ouros no baralho. P(E2) = 1/52. Veja que temos dois eventos independentes e simultâneos, logo: Para calcularmos a probabilidade de ocorrência de ambos os eventos (P) basta efetuar o produto: P = 1/13 . 1/52 = 1/676. Observe que como calculamos a probabilidade de ocorrência de ambos os eventos simultâneos e independentes*, o seu valor é menor do que as probabilidades de cada um deles. Isto faz sentido para você? Caso não faça sentido para você, transforme as frações obtidas em números decimais e será mais fácil comprovar esta afirmação. Veja as transformações seguintes com as devidas aproximações:

1/13 = 0,0769 1/52 = 0,0192 1/676 = 0,0015

*Eventos simultâneos e independentes: • Simultâneos- ocorrem ao mesmo tempo; • Independentes- a realização ou não realização de um dos eventos não afeta a probabilidade da realização do outro e vice-versa.

7) Vamos agora para um exemplo que mobiliza muitas discussões. Determinar a probabilidade de ganhar na Mega-sena escolhendo seis dezenas (aposta mínima), dentre as 60 disponíveis. Primeiramente, vamos pensar na quantidade de jogos distintos com seis dezenas e considerar que a ordem de escolha dos números seja importante. 60 x 59 x 58 x 57 x 56 x 55 = 36 045 979 200 (que número enorme!!!) Entenda melhor: Caso você não tenha compreendido este produto, pense desta forma: Vamos iniciar as escolhas das dezenas, tenho sessenta possibilidades para a primeira escolha. Certo? Feita a primeira escolha, passo a ter 59 possibilidades


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para a segunda escolha, depois 58 e assim até 55 possibilidades para a última escolha. É importante que você observe que estamos escolhendo dezenas diferentes, por este motivo diminuímos uma unidade a cada escolha. Agora, basta multiplicar o número de possibilidades de cada etapa para obter o número total de possibilidades. (Princípio Fundamental da Contagem). Entendo o que é permutação Temos que tomar cuidado, pois a ordem das dezenas aqui não importa e no produto que acabamos de efetuar, estão sendo consideradas as diferentes possíveis ordens das dezenas escolhidas. Você concorda que se mudarmos a ordem das dezenas escolhidas, a aposta será a mesma? Neste caso, são 6 dezenas, logo temos que considerar a permutação destas 6 dezenas; e desta forma determinar quantas apostas iguais teríamos trocando apenas a ordem das dezenas. 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720 Caso ainda não tenha entendido o produto, perceba que o raciocínio é análogo aquele mostrado anteriormente; isto é, temos 6 dezenas escolhidas (aposta mínima) e temos que determinar todas as formas diferentes de arranjá-las. Deste modo, temos inicialmente 6 possibilidades, depois 5 possibilidades e assim por diante. Efetuando-se o produto, obtemos 720 maneiras diferentes de ordem das 6 dezenas escolhidas, mas como já foi dito, a ordem das escolhas não altera a aposta! Para concluir nossa resolução, basta dividir aquele número enorme obtido por 720. 36 045 979 200 : 720 = 50 063 860 possibilidades de escolhas das 6 dezenas, dentre as 60 dezenas disponíveis neste jogo. Mas qual a probabilidade de uma pessoa ganhar com a aposta mínima de 6 dezenas um jogo da Mega-sena? Terá uma possibilidade em 50 063 860 de ser o ganhador. De outra forma, podemos dizer que: P(E) = 1/ 50 063 860. Este valor é relativamente pequeno! Não só pequeno, é muito pequeno mesmo! Pequeno mesmo! Em porcentagem, podemos dizer que este número equivale a 0,000001997%, que aproximadamente é igual a zero. Conclusão: É quase impossível ganhar na Mega-sena!!! Esperamos que tenha ficado claro para você o quanto é importante ter domínio destas noções que aparecem em várias situações do nosso cotidiano.

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