Raciocínio Lógico Matemático - MATEMATICANDO · Raciocínio Lógico Matemático ... Com o auxílio de um processo que utiliza a noção das proporções, resolveremos problemas,

Raciocínio Lógico Matemático

Cap. 6 – Relações entre Grandezas

Capítulo 6 Professor: Sérgio Destácio Faro


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Aqui aparecem situações-problema que exploram o raciocínio lógico

matemático, envolvendo diversos tópicos matemáticos, dentre eles:

- Relações entre Grandezas

- Princípio da Contagem, Noções de Probabilidade e Estatística

- Sequências Lógicas e suas Leis de Formação

Relações entre Grandezas

Caro aluno, está se iniciando o 3º bloco, que certamente será muito útil para

você, pois temos uma aplicação direta do conteúdo matemático em seu dia-a-dia. E

para começar, vamos estudar determinadas grandezas e suas relações.

Temos como objetivo, que você estabeleça relações com o cotidiano e não

teremos o foco nas definições. Vamos então, para algumas situações de ordem

prática.

Quando compramos uma unidade de determinado produto, sabemos que

tem um custo e caso queira dobrar a quantidade, sabemos que pagaremos o dobro

do valor. Isto é lógico!

Podemos então afirmar que o valor a ser pago pelo(s) produto(s) é

diretamente proporcional à quantidade. Logo, as grandezas aqui envolvidas:

quantidade de um produto e custo são grandezas diretamente proporcionais; isto

é, se aumentarmos a quantidade, certamente pagaremos proporcionalmente um

valor maior. Aqui não estamos discutindo as possíveis promoções de “descontos”

que possam existir nas vendas conforme se aumenta a quantidade de produto a ser

adquirido, se é que de fato temos algum desconto. Vamos deixar este aspecto para

um outro momento.

Veja a situação a seguir ainda para reforçar esta ideia:


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Se você decide comprar um caderno universitário pagará R$ 12,00.

Caso queira comprar dois cadernos do mesmo tipo, terá que desembolsar R$

24,00, se optar pela compra de três cadernos do mesmo tipo pagará R$ 36,00. E

assim por diante. Mas, isto é óbvio!

Vamos para uma outra situação:

Imagine que você tenha que fazer uma certa viagem de carro e que você

percorrerá uma distância de 80 km a cada 1 hora. Sabendo-se que a viagem

demorará 2 horas, quantos quilômetros você terá que percorrer?

Veja que se o tempo passa de 1 hora para 2 horas, significa que a distância

percorrida passará de 80 km para 160 km, evidentemente mantendo-se a mesma

velocidade, é claro! Podemos dizer então, que as grandezas tempo e distância

percorrida são diretamente proporcionais, isto é se aumentarmos uma delas a outra

também deverá aumentar.

Mas será que sempre é assim, quando aumentamos uma

grandeza, a outra também aumenta proporcionalmente?

A resposta é clara. Nem sempre!

Vamos ver uma situação em que aumentamos uma delas, porém a outra

diminui.

Se percorro um trecho de uma estrada e gasto um tempo de 1 hora, a uma

velocidade de 40 km/h, qual seria o tempo gasto, para percorrer o mesmo trecho de

estrada, se dobrássemos a velocidade?

Observe que ao dobrar a velocidade, isto significa que faremos o mesmo

percurso num intervalo de tempo menor! Nesta situação descrita, aumentamos a

velocidade e o tempo diminui, logo as grandezas “velocidade” e “tempo” são

grandezas inversamente proporcionais. Observe que, ao dobrar a velocidade, o


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tempo cai para metade do tempo inicial, ou seja o mesmo percurso é cumprido em

meia hora.

Com o auxílio de um processo que utiliza a noção das proporções,

resolveremos problemas, como os citados anteriormente, que envolvem grandezas

diretamente ou inversamente proporcionais. Chamamos este processo de regra de

três. Você está lembrado de ter estudado este tópico lá no Ensino Fundamental e

depois no Ensino Médio para resolver inúmeras situações-problema, inclusive de

outras disciplinas como Física e Química? A regra de três pode ser denominada

de: simples quando relacionamos apenas duas grandezas ou compostas quando

relacionamos mais de duas grandezas. Trataremos aqui, de estudar as situações

que envolvem apenas regra de três simples, pois têm uma vasta aplicação em

nosso dia-a-dia. Para tanto precisamos abordar o conceito de proporção.

Proporção é a igualdade entre duas ou mais razões. Vale lembrar que razão é a

divisão entre dois números a e b, tal que b ≠ 0 e pode ser escrito na forma de a/b.

Está vago? Vamos para alguns exemplos de proporção:

a) 1 = 2 é uma proporção, pois 1: 2= 2:4 = 0,5 2 4 b) 6 = 9 é uma proporção, pois 6:2 = 9:3 = 3 2 3

Você já ouviu falar em multiplicar em cruz (multiplicação cruzada)?

Se tomarmos o item a) 1 = 2 e efetuarmos a multiplicação cruzada, 2 4

teremos: 2. 2 = 1. 4 ( obs.: o “ponto . ” indica multiplicação)

4 = 4 (V), logo o exemplo dado é de fato uma proporção.

Vamos utilizar o mesmo procedimento para o item b):

b) 6 = 9 2 3


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2. 9 = 6.3

18 = 18 (V), logo este exemplo também é uma proporção.

Feitas estas considerações a respeito da noção de proporção, retomaremos

as situações dadas inicialmente:

Quantidade de Cadernos Custo

1 R$ 12,00

3 x

Podemos facilmente determinar o valor desconhecido, que denominamos de

x, bastando para isto pensar na questão da proporcionalidade.

1 caderno...................... custo de R$ 12,00

2 cadernos....................custo de R$ 36,00; isto é o triplo da quantidade

de cadernos implica no triplo do custo. (valor a ser pago).

Regras de Três Simples:

Veja como ficaria a resolução pela regra de três simples:

Primeiramente, escrevemos as razões:

1........... razão entre as quantidades de cadernos 3

12 .......... razão entre os custos x

Agora igualamos, estas razões, formando portanto a seguinte proporção:

1 = 12 3 x


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Para resolver esta proporção precisamos conhecer a propriedade fundamental das

proporções, que diz:

Propriedade Fundamental das Proporções:

O produto dos meios é igual ao produto dos extremos.

Você deve estar pensando meios, extremos, como assim?

Veja só:

1 significa meio, ou seja 1 é igual a 1 : 3. 3 3

Da mesma forma: 12 é igual a 12: x x

Assim sendo, podemos escrever: 1 = 12 é equivalente a 1 : 3 = 12: x 3 x e agora fica mais fácil de localizar os meios que são os números 3 e 12 e os

extremos que são 1 e x.

Vamos então aplicar a propriedade fundamental das proporções (o produto dos

meios é igual ao produto dos extremos):

3 . 12 = 1. x

produto dos meios produto dos extremos

Se trocarmos a ordem, podemos dizer:

1. x = 3. 12

produto dos extremos produto dos meios

Logo: x = 36 (*) Resposta: R$ 36,00

(*) Perceba que não colocamos a vírgula seguida do 00 por uma questão de praticidade.

Comparando as formas apresentadas para a determinação do custo de três

cadernos, talvez você tenha achado a primeira forma mais simples, porém há

determinadas situações em que o Método da regra de três é bem prático.


Veja mais alguns exemplos:

1) Se, para pintar uma parede de 100 m² são necessárias 2 latas de tinta, qual

a superfície que poderia ser pintada, dessa mesma parede, com 5 latas de tinta?

Solução:

Parede (m²) Tinta (latas)

100 2

x 5

A proporção fica: 100

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= 2 (basta multiplicar em cruz) x 5 2.x = 100. 5 (efetue o produto)

2.x = 500 (divida ambos os membros por 2)

x = 250

R.: Com 5 latas de tinta poderiam ser pintados 250 m² de superfície, dessa mesma

parede.

2) Leia o trecho de notícia da tragédia dos mineiros soterrados no Chile:

Perfuradora alcança refúgio de mineiros no Chile

Resgate dos 33 homens deverá começar na próxima terça-feira (12)

“A sonda T-130, do chamado plano B, chegou ao refúgio onde estão 33 mineiros chilenos

desde o último 5 de agosto na mina San José, em Copiapó, no norte do Chile, na manhã

deste sábado (9), informou o jornal chileno La Tercera. Foram 33 dias de perfuração para

resgatar os 33 operários”.

Fonte: http://noticias.r7.com/internacional/noticias/perfuradora-alcanca-refugio-de-mineiros-no-chile-20101009.html

http://noticias.r7.com/internacional/noticias/perfuradora-alcanca-refugio-de-mineiros-no-chile-20101009.html


Vamos pensar agora na escavadeira utilizada no plano B ( Schramm T-130),

cuja velocidade de perfuração é de aproximadamente 70m/dia. Sabendo-se que a

profundidade visada é de 700 m, quantos dias são necessários para uma

perfuração desta profundidade?

Vamos organizar as informações dadas numa tabela e aplicar a regra de três

simples direta:

Perfuração (m) Tempo (dias)

70 1

700 x

A proporção fica: 70 = 1 (basta multiplicar em cruz) 700 x 70.x = 700. 1 (efetue o produto)


x = 10

R.: São necessários 10 dias para uma perfuração desta profundidade.

Obs.:

70m de perfuração em 1 dia.

700m (10 vezes a profundidade anterior) de perfuração em 10 dias. (10

vezes o tempo anterior)- Raciocínio (ideia) da proporcionalidade.

3) Supondo que a Copiadora de sua Universidade, faz um determinado serviço

utilizando 3 máquinas e leva 5 dias, quantos dias seriam gastos se utilizassem 5

máquinas iguais àquelas para realizarem o mesmo serviço?

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Quantidade de Máquinas Tempo (dias)

3 5

5 x

Atenção: Aqui temos um caso de regra de três simples inversa e não direta, pois

aumentando-se a quantidade de máquinas, levará proporcionalmente menos

tempo. As grandezas quantidade de máquinas e tempo são inversamente

proporcionais; isto é aumentando-se o número de máquinas, diminuirá o tempo

gasto para execução do mesmo serviço.Temos que ter cuidado ao montarmos a

proporção, pois esta deverá ter uma das razões construídas de forma invertida.

Veja como fica a proporção:

3 = x (basta multiplicar em cruz) Obs.: Invertemos a segunda razão! 5 5 5.x = 3.5 (efetue o produto)


x = 3

R.: Seriam gastos 3 dias, se utilizassem 5 máquinas iguais àquelas para realizarem

o mesmo serviço.

Vamos verificar como fica, invertendo a primeira razão:

5 = 5 (basta multiplicar em cruz) 3 x 5.x = 3.5 (efetue o produto)


x = 3

Percebeu que é indiferente, inverter a primeira ou a segunda razão que

compõem a proporção? O que não se pode fazer é inverter as duas razões, pois se

fizer isto formará uma proporção equivalente àquela quando consideramos as


grandezas diretamente proporcionais. Lembre-se que neste caso temos grandezas

que são inversamente proporcionais!

4) Vamos supor que você tenha aproveitado o feriado passado para fazer uma

viagem de carro. Sabendo-se que na volta para casa pegou um intenso

congestionamento e a velocidade média do seu veículo foi de 20 km/h, levando 6

horas no trânsito, quanto tempo gastaria para retornar a sua casa se a velocidade

média fosse de 80 km/h?

Velocidade média (km/h) Tempo (h)

20 6

80 x

Veja como fica a proporção:

20 = x (basta multiplicar em cruz) Obs.: Invertemos a segunda razão! 80 6 80.x = 20.6 (efetue o produto)


x = 120 80 x = 1,5

R.: Gastaria 1,5 h para retornar a casa se a velocidade média fosse de 80 km/h.

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Observe que quando aumentamos a velocidade do carro, o tempo diminui.

Neste exemplo, quadruplicamos a velocidade (de 20k/h para 80 km/h) e o tempo

caiu para sua quarta parte (de 6h para 1,5h). As grandezas “velocidade média” e

“tempo” são inversamente proporcionais. Isto faz sentido para você? É intuitivo?

Bem, agora que retomamos a noção de regra de três simples, vamos fazer

algumas aplicações deste método para situações que envolvem as porcentagens.

A porcentagem é de grande utilidade em

nosso cotidiano, quer seja nas compras que

fazemos de uma forma geral, analisando a

melhor forma de pagamento, os descontos, os

acréscimos, quer seja nos empréstimos

efetuados, nas taxas de juros entre outros. No

campo da Estatística aparece na apresentação

de dados comparativos e organizacionais. Você

notou como as taxas percentuais estão tão

presentes numa campanha eleitoral?

As taxas percentuais possuem representações na forma de fração centesimal

(denominador igual a 100), quando escritos de maneira formal devem aparecer na

presença do símbolo de porcentagem (%). Também podem ser escritos na forma

de número decimal. Observe os números a seguir, eles serão apresentados através

das três formas citadas:

10 % = 10 = 0,10 ( =0,1) 100 14 % = 14 = 0,14 100

Veremos a porcentagem sendo utilizada em exemplos que envolvem

situações cotidianas. Acompanhe:

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1) Um produto é vendido em, no máximo, três prestações mensais e iguais,

totalizando o valor de R$ 450,00. Caso seja adquirido à vista, a loja oferece um

desconto de 10% sobre o valor a prazo. Qual o preço do produto na compra à

vista?

Primeiramente, vamos calcular o valor do desconto. Para isto, considere 100

% para o valor total a prazo.

Porcentagem (%) Preço (R$)

100 450

10 x



x = 45 (valor do desconto)

Agora que sabemos o valor do desconto, basta subtrairmos do valor total a prazo

para obtermos o valor a ser pago a vista.

450 – 45 = 405

R.: O preço do produto na compra a vista é de R$ 405,00.

Importante: Os problemas deste tipo envolvem a noção de regra de três simples

direta.

Evidentemente, temos outras formas de resolver esta questão proposta.

Podemos utilizar a razão centesimal ou o número decimal correspondente.

10% = 10/100 = 0,1

http://www.brasilescola.com/matematica/porcentagem.htm

http://www.brasilescola.com/matematica/porcentagem.htm


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Utilizando razão centesimal

10 x 450 = 10x 450 = 4500 = 45 reais 100 100 100 450 – 45 = 405 reais

Utilizando número decimal

0,10 x 450 = 45 reais (desconto)

450 – 45 = 405 reais (valor a vista).

Caro aluno, é importante que você entenda que ao apresentarmos o método

da regra de três simples e aplicar em diversas situações não implica em dizer que

você terá que fazer sempre uso dele. Há casos em que resolver de uma forma

sistemática por meio deste método é bastante conveniente, mas devemos valorizar

as outras formas de resolução existentes. E vale destacar, que ainda há outras

formas de resolução além daquelas aqui apresentadas, e o próprio cálculo mental

deve ser estimulado.

2) O FGTS (Fundo de Garantia por Tempo de Serviço) é um direito do

trabalhador com carteira assinada, no qual o empregador é obrigado por lei a

depositar em uma conta na Caixa Econômica Federal o valor de 8% do salário bruto

do funcionário. Esse dinheiro deverá ser sacado pelo funcionário na ocorrência de

demissão sem justa causa. Determine o valor do depósito efetuado pelo

empregador, calculado o FGTS sobre um salário bruto de R$ 2.400,00.

Porcentagem (%) Quantia (R$)

100 2400 ( salário bruto)

8 x (depósito no FGTS)



x = 192


Como foi dito anteriormente, você pode resolver de outra maneira.

8% = 8/100 = 0,08

Utilizando razão centesimal

8 x 2400 = 8x2400 = 19200 = 192 reais 100 100 100 Utilizando número decimal

0,08 x 2400 = 192 reais

O depósito efetuado será de R$ 192,00.

Juros simples e compostos

Você verá uma aplicação do que foi visto até aqui. As noções de

porcentagem são imprescindíveis para a compreensão dos juros simples e

compostos. O conceito de juros é importante para que possamos de fato entender o

processo de financiamento de um veículo, ou de uma casa, ou de outro bem

qualquer, assim como os empréstimos realizados e os preços praticados a vista ou

a prazo de um determinado produto. Para a tomada de decisões com relação a

situações que envolvem juros, vamos buscar diferenciar os juros simples dos

compostos. Há fórmulas para a determinação de juros, porém este enfoque não

fará parte dos nossos estudos.

Veja as situações seguintes:

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1ª Situação: Juros Simples

Você faz um empréstimo de R$ 4000,00 por três meses. Foi cobrada uma

taxa de 5% de juros (simples) ao mês. Quanto você deve pagar ao final dos três

meses?

Veja que 5% de 4000 reais é igual a 0,05 x 4000 reais que é igual a 200 reais.

Logo, deve pagar R$ 200,00 por mês. Como são três meses, deve pagar

R$ 600,00 de juros.

"Então você pega R$ 4000,00 e paga só R$ 600,00?"

Não, você paga R$ 4000,00 mais R$ 600,00 o que totaliza R$ 4600,00.

De outra forma, podemos aplicar a regra de três simples direta:

Quantia (R$) Porcentagem (%)

4000 100

x 5

A proporção fica: 4000 = 100 (basta multiplicar em cruz) x 5 100.x = 4000. 5 (efetue o produto)


x = 200 (por mês)...

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R.: Deve pagar R$ 4000,00 mais R$ 600,00 o que totaliza R$ 4600,00.

2ª Situação: Juros Compostos

Você faz um empréstimo de R$ 4000,00 por três meses. Foi cobrada uma

taxa de 5% de juros (compostos) ao mês. Quanto você deve pagar ao final dos três

meses?

Vamos resolver esta situação com muita calma, pois temos que considerar

que os juros são compostos. Sendo assim, vamos verificar o que acontece com o

passar dos meses.

1º mês: R$ 4000,00 + 5% de R$ 4000,00 = R$ 4000,00 + R$ 200,00 = R$ 4200,00

2º mês: R$ 4200,00 + 5% de R$ 4200,00 = R$ 4200,00 + R$ 210,00 = R$ 4410,00

cálculo auxiliar:

5% de R$ 4200,00 = 0,05 x R$ 4200,00 = R$ 210,00

3º mês: R$ 4410,00 + 5% de R$ 4410,00 = R$ 4410,00 + R$ 220,50 = R$ 4630,50

cálculo auxiliar:

5% de R$ 4410,00 = 0,05 x R$ 4410,00 = R$ 220,50

Logo ao final do terceiro mês a dívida seria de R$ 4630,50.

Estabeleça uma comparação com o valor obtido na 1ª situação. É fácil

perceber que os juros compostos fizeram com que a dívida ficasse maior do que

aquela em que consideramos apenas os juros simples. Veja o quadro abaixo:

Dívida no final dos três meses:

1ª situação – Juros Simples 2ª situação- Juros Compostos

R$ 4600,00. R$ 4630,50.

Em resumo, pode-se concluir que no caso dos juros simples, basta calcular

os juros para o 1º mês e multiplicar pelo total de meses para determinarmos os

juros do período considerado. A dívida será a quantia emprestada ou capital

acrescida dos juros do período. E para os juros compostos? Você saberia concluir

como é determinada a dívida?


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No caso dos juros compostos, temos que considerar que mensalmente, o

valor é alterado por meio do que é chamado de “juros sobre juros”, isto é, os juros

são incorporados ao principal e passam, por sua vez, a render juros.

Os juros compostos são especialmente utilizados na prática, pois há uma

diferença com relação aos juros simples, como foi explicado. Devemos considerar

esta diferença e especialmente quando se aumenta o período do empréstimo.

Perceba que para quem empresta, isto não é apenas um detalhe. O ganho é maior!

Para aqueles que tomam emprestado uma quantia, considerando os juros

compostos, a “perda” é ainda maior!

Esperamos que as noções vistas neste capítulo sejam consideradas

relevantes por você, pois certamente são conceitos aplicáveis no cotidiano das

pessoas.

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