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Raciocínio Lógico Matemático Prof. Marcone Sotéro [email protected]

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Raciocínio LógicoMatemático

Prof. Marcone Soté[email protected]

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Programa

• Introdução à lógica.

• Lógica proposicional

• Argumento

• Tabela-verdade

• Tautologias, Contradições e Contingências

• Operações lógicas

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Livros

• Introdução à Lógica Matemática– PINHO, Antonio A.

• Introdução à Lógica para a Ciência da Computação– ABE, Jair Minoro; SCALZITTI, Alexandre;

FILHO, João Inácio da Silva.

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Provas

• Provas – Composta de questões objetivas e subjetivas (1ª, 2ª, Final e 2ª chamada)

• Os assuntos serão cumulativos para todas as provas

• Trabalhos acadêmicos – No máximo 30% das notas

• As provas serão corrigidas em sala de aula na primeira semana posterior a semana de prova

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Chamadas

• Todas as aulas haverá chamada

• Abonos de faltas só na secretária

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Lógica

“A Lógica tem, por objeto de estudo, as leis gerais do pensamento, e as formas de aplicar essas leis corretamente na investigação da verdade”

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Origem

Aristóteles (384-322 a.C.)

• Sistematizou e organizou o conhecimento sobre a Lógica, elevando-o à categoria de ciência.

• Estabeleceu princípios tão gerais e tão sólidos que até hoje são considerados válidos.

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Origem

• Preocupava-se com as formas de raciocínio que, a partir de conhecimentos considerados verdadeiros, permitiam obter novos conhecimentos.

• A partir dos conhecimentos tidos como verdadeiros, caberia à Lógica a formulação de leis gerais de encadeamentos lógicos que levariam à descoberta de novas verdades. Essa forma de encadeamento é chamada, em Lógica, de argumento.

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Proposições

• Todo o conjunto de palavras ou símbolos que exprimem um pensamento de sentido completo

• Uma proposição é uma declaração (afirmativa ou negativa)

• Axioma: sempre será possível atribuir um valor lógico, ou V ou F, a uma proposição, conforme ela seja verdadeira ou falsa

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Lógica Matemática

• Princípio da não contradição

• Princípio do terceiro excluído

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Proposições

• Sete mais três é igual a dez.– Declaração (afirmativa)

• Marcone é professor de Contabilidade.– Declaração (afirmativa ou negativa)

• Maria é linda?– Interrogativa

• Levante-se.– Imperativa

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Exercício

Sejam 9 moedas idênticas na aparência mas com uma falsa que não se sabe se mais leve ou mais pesada. Com uma balança de dois pratos, com três pesadas, determinar a moeda falsa determinando se é mais leve ou mais pesada.

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Exercício

Dois monges estão perdidos numa mata e estão passando fome. E só existe uma planta que podem comer. Mas para comê-la deverá ser fervida durante exatos 30 segundos senão os matara. Mas para marcar o tempo eles só tem 2 ampulhetas uma que marca 22 e outra de 14 segundos. Como é que conseguirão marcar o tempo?

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Exercício

Há 05 casas de 05 cores diferentes. Em cada casa mora uma pessoa de diferente nacionalidade. Esses 05 proprietários bebem diferentes bebidas, fumam diferentes tipos de cigarro e têm, cada um diferente dos demais, certo animal de estimação. Nenhum deles tem o mesmo animal, fuma o mesmo cigarro ou bebe a mesma bebida. A questão é: quem tem um peixe ?????

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Dicas• O homem que fuma Blends vive ao lado de quem tem gatos;• O homem que cria cavalos vive ao lado de quem fuma Dunhill;• O homem que fuma Bluemaster bebe cerveja;• O alemã o fuma Prince;• O Norueguês vive ao lado da casa azul;• O homem que fuma Blends é vizinho do que bebe água.• O inglês vive na casa vermelha;• O Sueco tem um cachorro;• O Dinamarquês bebe chá;• A casa verde fica à esquerda da casa branca;• O dono da casa verde bebe café;• A pessoa que fuma Pall Mall cria pássaros;• O dono da casa amarela fuma Dunhill;• O homem que vive na casa do centro bebe leite;• O Norueguês vive na primeira casa;

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Tabela-Verdade

• É uma tabela por meio da qual relacionam-se e analisam-se os valores lógicos das proposições

Proposição

Verdadeiro Falso

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Conectivos

• Negação: “Não” (~ ou ¬)

• Conjunção: “E” (^)

• Disjunção: “OU” (v)

• Disjunção Exclusiva: “Ou, .... Ou,... (v)

• Condicional: “Se..... Então” ()

• Bi-Condicional: “Se......somente se” ()

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Negação: “Não” (~ ou ¬)

Não Q tem valor lógico oposto daquele de Q.

Q = João é médico

~Q = João não é médico

Negação

Q ~Q

Verdadeiro Falso

Falso Verdadeiro

Q = Todos os estudantes são espertos

~Q = Nem todos os estudantes são espertos

P = Nenhum estudante é esperto

~P = Algum estudante é esperto

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Conjunção: “E” (^)

A proposição (p ^ q) é verdadeira se e somente se ambas as proposições p e q são verdadeiras

Conjunção

p q p ^ q

Verdadeiro Verdadeiro V

Verdadeiro Falso F

Falso Verdadeiro F

Falso Falso F

Eduardo é professor e George é administrador

Eduardo é professor = Q

George é administrador = P

Q ^ P = ?

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Disjunção: “OU” (v)

A proposição (p v q) é verdadeira se e somente se uma das proposições (ou ambas) p ou q são verdadeiras

Disjunção

P Q P v Q

Verdadeiro Verdadeiro V

Verdadeiro Falso V

Falso Verdadeiro V

Falso Falso F

Eduardo é professor ou George é administrador

Eduardo é professor = Q

George é administrador = P

Q v P = ?

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Disjunção Exclusiva: “Ou, .... Ou,... (v)A proposição (p v q) é verdadeira se e somente se uma das proposições p ou q são verdadeiras. Não quando ambas são verdadeiras

Disjunção Exclusiva

P Q P v Q

Verdadeiro Verdadeiro F

Verdadeiro Falso V

Falso Verdadeiro V

Falso Falso F

Eduardo é Pernambucano ou Paraibano

Eduardo é Pernambucano = Q

Eduardo é Paraibano = P

Q v P = ?

Eduardo é ou Pernambucano ou Paraibano

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Condicional: “Se..... Então” ()

Se p então q o valor lógico é falso no caso em que p é verdadeiro e q é falso nos demais casos o resultado é verdadeiro A primeira proposição (p) é chamada de antecedente ou hipótese; a segunda (q), de conseqüente

Condicional

P Q P Q

Verdadeiro Verdadeiro V

Verdadeiro Falso F

Falso Verdadeiro V

Falso Falso V

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Condicional: “Se..... Então” ()

Se 4 é maior que 2, então 10 é menor que 20

p: 4 é maior que 2

q: 10 é menor que 20

p q

V V Resultado V

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Condicional: “Se..... Então” ()

Se o mês de Maio tem 31 dias, então a Terra é plana

O mês de Maio tem 31 dias: p

A Terra é plana: q

p q

V F Resultado F

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Bi-Condicional: “Se......somente se” ()

A proposição composta resultante da operação da dupla implicação de uma proposição em outra só será verdadeira se ambas as proposições envolvidas na operação tiverem o mesmo valor lógico (ambas verdadeiras ou ambas falsas)

Condicional

P Q P Q

Verdadeiro Verdadeiro V

Verdadeiro Falso F

Falso Verdadeiro F

Falso Falso V

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Bi-Condicional: “Se......somente se” ()

Roma fica na Europa se e somente se a neve é branca

p: Roma fica na Europaq: Neve é brancap q Resultado V Roma fica na Europa se e somente se a neve

é azulp: Roma fica na Europaq: Neve é azulp q Resultado F

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Bi-Condicional: “Se......somente se” ()

Roma fica na África se e somente se a neve é branca

p: Roma fica na Áfricaq: Neve é brancap q Resultado F Roma fica na África se e somente se a neve é

azulp: Roma fica na Áfricaq: Neve é azulp q Resultado V