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Raciocnio Lgico-Matemtico

Professor Edgar Abreu

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Raciocnio Lgico

PROPOSIO

PROPOSIO SIMPLES

Um argumento uma sequncia de proposies na qual uma delas a concluso e as demais so premissas. As premissas justificam a concluso.

Proposio: Toda frase que voc consiga atribuir um valor lgico proposio, ou seja, frases que podem ser verdadeiras ou falsas.

Exemplos:

1) Ed feliz.

2) Joo estuda.

3) Zambeli desdentado

No so proposies frases onde voc no consegue julgar, se verdadeira ou falsa, por exemplo:

1) Vai estudar?

2) Mas que legal!

Sentena: Nem sempre permite julgar se verdadeiro ou falso. Pode no ter valor lgico.

Frases interrogativas, no imperativo, exclamativas e com sujeito indeterminado, no so proposies.

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Sentenas Abertas: So sentenas nas quais no podemos determinar o sujeito. Uma forma simples de identific-las o fato de que no podem ser nem Verdadeiras nem Falsas. Essas sentenas tambm no so proposies

Aquele cantor famoso.

A + B + C = 60.

Ela viajou.

QUESTO COMENTADA

(Cespe Banco do Brasil 2007) Na lista de frases apresentadas a seguir, h exatamente trs proposies.

I A frase dentro destas aspas uma mentira.

II A expresso X + Y positiva.

III O valor de

IV Pel marcou dez gols para a seleo brasileira.

V O que isto?

Soluo:

Item I: No possvel atribuir um nico valor lgico para esta sentena, j que se considerar que verdadeiro, teremos uma resposta falsa (mentira) e vice-versa. Logo no proposio.

Item II: Como se trata de uma sentena aberta, onde no esto definidos os valores de X e Y, logo tambm no proposio.

Item III: Como a expresso matemtica no contm varivel, logo uma proposio, conseguimos atribuir um valor lgico, que neste caso seria falso.

Item IV: Uma simples proposio, j que conseguimos atribuir um nico valor lgico.

Item V: Como trata-se de uma interrogativa, logo no possvel atribuir valor lgico, assim no proposio.

Concluso: Errado, pois existem apenas 2 proposies, Item III e IV.

PROPOSIES COMPOSTAS

Proposio Composta a unio de proposies simples por meio de um conector lgico. Este conector ir ser decisivo para o valor lgico da expresso.

Proposies podem ser ligadas entre si por meio de conectivos lgicos. Conectores que criam novas sentenas mudando ou no seu valor lgico (Verdadeiro ou Falso).

Uma proposio simples possui apenas dois valores lgicos, verdadeiro ou falso.

Raciocnio Lgico Proposio Prof. Edgar Abreu

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J proposies compostas tero mais do que 2 possibilidades distintas de combinaes dos seus valores lgicos, conforme demonstrado no exemplo abaixo:Consideramos as duas proposies abaixo, chove e faz frioChove e faz frio.

Cada proposio existe duas possibilidades distintas, falsa ou verdadeira, numa sentena composta teremos mais de duas possibilidades.

E se caso essa sentena ganhasse outra proposio, totalizando agora 3 proposies em uma nica sentena:Chove e faz frio e estudo.

A sentena composta ter outras possibilidades,

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PARA GABARITAR

possvel identificar quantas possibilidades distintas teremos de acordo com o nmero de proposio em que a sentena apresentar. Para isso devemos apenas elevar o numero 2 a quantidade de proposio, conforme o raciocnio abaixo:

Proposies Possibilidades

1 2

2 4

3 8

n 2n

QUESTO COMENTADA

(CESPE Banco do Brasil 2007) A proposio simblica P Q V R possui, no mximo, 4 avaliaes.

Soluo:

Como a sentena possui 3 proposies distintas (P, Q e R), logo a quantidade de avaliaes ser dada por:

2proposies = 23= 8

Resposta: Errado, pois teremos um total de 8 avaliaes.

Raciocnio Lgico Proposio Prof. Edgar Abreu

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Slides Proposio

Prova: UESPI - 2014 - PC-PI - Escrivo de Polcia Civil Assinale, dentre as alterna>vas a seguir, aquela que NO caracteriza uma proposio. a) 107 - 1 divisvel por 5 b) Scrates estudioso. c) 3 - 1 > 1 d) e) Este um nmero primo.

Prova: CESPE - 2014 - MEC - Todos os Cargos Considerando a proposio P: Nos processos sele?vos, se o candidato for ps-graduado ou souber falar ingls, mas apresentar deficincias em lngua portuguesa, essas deficincias no sero toleradas, julgue os itens seguintes acerca da lgica sentencial. A tabela verdade associada proposio P possui mais de 20 linhas ( ) Certo ( )Errado

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Prova: CESPE - 2013 - SEGER-ES - Analista Execu

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Raciocnio Lgico

NEGAO SIMPLES

1. der Feio.Como negamos essa frase?

Para quem, tambm disse: der bonito, errou. Negar uma proposio no significa dizer o oposto, mas sim escrever todos os casos possveis diferentes do que est sugerido.

der NO feio.

A negao de uma proposio uma nova proposio que verdadeira se a primeira for falsa e falsa se a primeira for verdadeira

PARA GABARITARPara negar uma sentena acrescentamos o no, sem mudar a estrutura da frase.

2. Maria Rita no louca.

Negao: Maria Rita louca.

Para negar uma negao exclumos o no

Simbologia: Assim como na matemtica representamos valores desconhecidos por x, y, z... Na lgica tambm simbolizamos frases por letras. Exemplo:

Proposio: Z

Para simbolizar a negao usaremos ~ ou .

Negao: der no feio.

Simbologia: ~ Z.

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Proposio: ~ A

Negao: Aline louca.

Simbologia: ~ (~A)= A

p= Thiago Machado gosta de matemtica.

~p = Thiago Machado no gosta de matemtica.

Caso eu queira negar que Thiago Machado no gosta de matemtica a frase voltaria para a proposio p, Thiago Machado gosta de matemtica.

~p = Thiago Machado no gosta de matemtica.

~(~p) = No verdade que Thiago Machado no gosta de matemtica.

ou

~(~p) = Thiago Machado gosta de matemtica.

EXCEESCuidado, em casos que s existirem duas possibilidades, se aceita como negao o "contrrio", alternando assim a proposio inicial. Exemplo:

p: Joo ser aprovado no concurso.

~p: Joo ser reprovado no concurso

q: O deputado foi julgado como inocente no esquema "lava-jato".

~q: O deputado foi julgado como culpado no esquema "lava jato".

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Raciocnio Lgico

CONECTIVOS LGICOS

Um conectivo lgico (tambm chamado de operador lgico) um smbolo ou palavra usado para conectar duas ou mais sentenas (tanto na linguagem formal quanto na linguagem natural) de uma maneira gramaticalmente vlida, de modo que o sentido da sentena composta produzida dependa apenas das sentenas originais.

Muitas das proposies que encontramos na prtica podem ser consideradas como construdas a partir de uma, ou mais, proposies mais simples por utilizao de uns instrumentos lgicos, a que se costuma dar o nome de conectivos, de tal modo que o valor de verdade da proposio inicial fica determinado pelos valores de verdade da ou das, proposies mais simples que contriburam para a sua formao.

Os principais conectivos lgicos so:

I "e" (conjuno).

II "ou" (disjuno).

III "se...ento" (implicao).

IV "se e somente se" (equivalncia).

CONJUNO E

Proposies compostas ligadas entre si pelo conectivo e.

Simbolicamente, esse conectivo pode ser representado por ^.

Exemplo:

Chove e faz frio

Tabela verdade: Tabela verdade uma forma de analisarmos a frase de acordo com suas possibilidades, o que aconteceria se cada caso acontecesse.

Exemplo:

Fui aprovado no concurso da PF e Serei aprovado no concurso da PRF

Proposio 1: Fui aprovado no concurso da PF.

Proposio 2: Serei aprovado no concurso da PRF.

Conetivo: e.

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Vamos chamar a primeira proposio de p a segunda de q e o conetivo de ^.

Assim podemos representar a frase acima da seguinte forma: p^q.

Vamos preencher a tabela abaixo com as seguintes hipteses:

H1:

p: No fui aprovado no concurso da PF.q: Serei aprovado no concurso da PRF.

H2:

p: Fui aprovado no concurso da PF.q: No serei aprovado no concurso da PRF.

H3:

p: No fui aprovado no concurso da PF.q: No serei aprovado no concurso da PRF.

H4:

p: Fui aprovado no concurso da PF.q: Serei aprovado no concurso da PRF.

Tabela Verdade: Aqui vamos analisar o resultado da sentena como um todo, considerando cada uma das hipteses acima.

p q P ^ Q

H1 F V F

H2 V F F

H3 F F F

H4 V V V

Concluso

Raciocnio Lgico Conectivo E (Conjuno) Prof. Edgar Abreu

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Slides Conectivo E (Conjuno)

1. Prova: CESPE - 2014 - TJ-SE - Tcnico Judicirio

Julgue o item que se segue, relacionado lgica proposicional.

A sentena O reitor declarou estar contente com as polticas relacionadas educao superior adotadas pelo governo de seu pas e com os rumosatuais do movimento estudantil uma proposio lgica simples.( ) Certo ( ) Errado

2. Prova: FCC - 2009 - TJ-SE Tcnico Judicirio

Considere as seguintes premissas:

p : Trabalhar saudvelq : O cigarro mata.

A afirmao "Trabalhar no saudvel" ou "o cigarro mata" FALSA sea) p falsa e ~q falsa.b) p falsa e q falsa.c) p e q so verdadeiras.d) p verdadeira e q falsa.e) ~p verdadeira e q falsa.

Gabarito:1. Errado2. D

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Raciocnio Lgico

DISJUNO OU

Recebe o nome de disjuno toda a proposio composta em que as partes estejam unidas pelo conectivo ou. Simbolicamente, representaremos esse conectivo por v.

Exemplo:

Estudo para o concurso ou assisto o Big Brother.

Proposio 1: Estudo para o concurso.

Proposio 2: assisto o Big Brother.

Conetivo: ou.

Vamos chamar a primeira proposio de p a segunda de q e o conetivo de v.

Assim podemos representar a sentena acima da seguinte forma: p v q.

Vamos preencher a tabela abaixo com as seguintes hipteses:

H1:

p: Estudo para o concurso.

q: assisto o Futebol.

H2:

p: No Estudo para o concurso.

q: assisto o Futebol.

H3:

p: Estudo para o concurso.

q: No assisto o Futebol...

H4:

p: No Estudo para o concurso.

q: No assisto o Futebol.

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Tabela Verdade:

p q P v QH1 V V VH2 F V VH3 V F VH4 F F F

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Raciocnio Lgico

DISJUNO EXCLUSIVA OU...OU

Recebe o nome de disjuno exclusiva toda a proposio composta em que as partes estejam unidas pelo conectivo ou primeira proposio ou segunda proposio. Simbolicamente, representaremos esse conectivo por v.

Exemplo:

Ou vou a praia ou estudo para o concurso.

Proposio 1: Vou a Praia.

Proposio 2: estudo para o concurso.

Conetivo: ou.

Vamos chamar a primeira proposio de p a segunda de q e o conetivo de " v "

Assim podemos representar a sentena acima da seguinte forma: p v q

Vamos preencher a tabela abaixo com as seguintes hipteses:

H1:

p: Vou praia.

q: estudo para o concurso do Banco do Brasil.

H2:

p: No Vou praia.

q: estudo para o concurso do Banco do Brasil.

H3:

p: Vou praia.

q: No estudo para o concurso do Banco do Brasil.

H4:

p: No Vou praia.

q: No estudo para o concursodo Banco do Brasil.

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Tabela Verdade:

p q P v QH1 V V FH2 F V VH3 V F VH4 F F F

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Raciocnio Lgico

CONDICIONAL SE...ENTO...

Recebe o nome de condicional toda proposio composta em que as partes estejam unidas pelo conectivo Se... ento, simbolicamente representaremos esse conectivo por .

Em alguns casos o condicional apresentado com uma vrgula substituindo a palavra ento, ficando a sentena com a seguinte caracterstica: Se proposio 1, proposio 2.

Exemplo: Se estudo, ento sou aprovado.

Proposio 1: estudo (Condio Suficiente).

Proposio 2: sou aprovado (Condio Necessria).

Conetivo: se... ento.

Vamos chamar a primeira proposio de p a segunda de q e o conetivo de

Assim podemos representar a frase acima da seguinte forma: p q

Agora vamos preencher a tabela abaixo com as seguintes hipteses:

H1:

p: estudo.q: sou aprovado.

H2:

p: No estudo.q: sou aprovado.

H3:

p: No estudo.q: No sou aprovado.

H4:

p: estudo.q: No sou aprovado.

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p q P Q

H1 V V V

H2 F V V

H3 F F V

H4 V F F

A tabela verdade do condicional a mais cobrada em provas de concurso pblico.

A primeira proposio, que compe uma condicional, chamamos de condio suficiente da sentena e a segunda a condio necessria.

No exemplo anterior temos:

Estudo condio necessria para ser aprovado.

Ser aprovado condio suficiente para estudar.

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Raciocnio Lgico

BICONDICIONAL ... SE SOMENTE SE ...

Recebe o nome de bicondicional toda proposio composta em que as partes estejam unidas pelo conectivo ... se somente se ... Simbolicamente, representaremos esse conectivo por . Portanto, se temos a sentena:

Exemplo: Maria compra o sapato se e somente se o sapato combina com a bolsa.

Proposio 1: Maria compra o sapato.

Proposio 2: O sapato combina com a bolsa.

Conetivo: se e somente se.

Vamos chamar a primeira proposio de p a segunda de q e o conetivo de .

Assim podemos representar a frase acima da seguinte forma: p q.

Vamos preencher a tabela abaixo com as seguintes hipteses:

H1:

p: Maria compra o sapato.

q: O sapato no combina com a bolsa.

H2:

p: Maria no compra o sapato.

q: O sapato combina com a bolsa.

H3:

p: Maria compra o sapato.

q: O sapato combina com a bolsa.

H4:

p: Maria no compra o sapato.

q: O sapato no combina com a bolsa.

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p q P Q

H1 V F F

H2 F V F

H3 V V V

H4 F F V

O bicondicional s ser verdadeiro quando ambas as proposies possurem o mesmo valor lgico, ou quando as duas forem verdadeiras ou as duas proposies forem falsas.

Uma proposio bicondicional pode ser escrita como duas condicionais, como se tivssemos duas implicaes, uma seta da esquerda para direita e outra seta da direita para esquerda, conforme exemplo abaixo:

Neste caso, transformamos um bicondicional em duas condicionais conectadas por uma conjuno. Estas sentenas so equivalentes, ou seja, possuem o mesmo valor lgico.

PARA GABARITAR

SENTENA LGICA VERDADEIROS SE... FALSO SE...

p q p e q so, ambos, verdade um dos dois for falso

p q um dos dois for verdade ambos, so falsos

p q nos demais casos que no for falso p = V e q = F

p q p e q tiverem valores lgicos iguais p e q tiverem valores lgicos diferentes

Raciocnio Lgico Conectivo se e somente se (Bicondicional) Prof. Edgar Abreu

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Slides Conectivo se e somente se (Bicondicional)

1. Prova: FJG - RIO - 2014 - Cmara Municipal -RJ - Analista

Os valores lgicos que devem substituir x, y e z so, respectivamente:

a) V, F e Fb) F, V e Vc) F, F e Fd) V, V e F

P Q ~ Q PV V F

VF

F xV y

F F z

2. Prova: CESPE - 2012 - Banco da Amaznia - Tcnico Cientfico

Com base nessa situao, julgue os itens seguintes.

A especificao E pode ser simbolicamente representada por A[BC], em que A, B eC sejam proposies adequadas e os smbolos e representem, respectivamente,a bicondicional e a disjuno.

( ) Certo ( ) Errado

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3. Prova: CESPE - 2012 - TC-DF - Auditor de Controle Externo

Com a finalidade de reduzir as despesas mensais com energia eltrica na suarepartio, o gestor mandou instalar, nas reas de circulao, sensores de presena ede claridade natural que atendem seguinte especificao:

P: A luz permanece acesa se, e somente se, h movimento e no h claridade natural suficiente no recinto.

Acerca dessa situao, julgue os itens seguintes.

A especificao P pode ser corretamente representada por p (q r ), em que p, q er correspondem a proposies adequadas e os smbolos e representam,respectivamente, a bicondicional e a conjuno

( ) Certo ( ) Errado

Gabarito:1. D2. Certo3. Certo

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Raciocnio Lgico

TAUTOLOGIA

Uma proposio composta formada por duas ou mais proposies p, q, r, ... ser dita uma Tautologia se ela for sempre verdadeira, independentemente dos valores lgicos das proposies p, q, r, ... que a compem.

Exemplo:

Grmio cai para segunda diviso ou o Grmio no cai para segunda diviso.

Vamos chamar a primeira proposio de p a segunda de ~p e o conetivo de v.

Assim podemos representar a sentena acima da seguinte forma: p v ~p.

Agora vamos construir as hipteses:

H1:

p: Grmio cai para segunda diviso.

~p: Grmio no cai para segunda diviso.

H2:

p: Grmio no cai para segunda diviso.

~p: Grmio cai para segunda diviso.

p ~p p v ~p

H1 V F V

H2 F V V

Como os valores lgicos encontrados foram todos verdadeiros, logo temos uma TAUTOLOGIA!

Exemplo 2, verificamos se a sentena abaixo uma tautologia:

Se Joo alto, ento Joo alto ou Guilherme gordo.

p = Joo alto. ppv qq = Guilherme gordo.

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Agora vamos construir a tabela verdade da sentena anterior:

p q p v q p p v q

H1 V F V V

H2 F V V V

H3 F V V V

H4 F F F V

Como para todas as combinaes possveis, sempre o valor lgico da sentena ser verdadeiro, logo temos uma tautologia.

Raciocnio Lgico Tautologia Prof. Edgar Abreu

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Slides Tautologia

1. Prova: Uespi - 2014 - PC-PI - Escrivo de Polcia Civil

Um enunciado uma tautologia quando no puder ser falso, um exemplo :

a) Est fazendo sol e no est fazendo sol.b) Est fazendo sol.c) Se est fazendo sol, ento no est fazendo sol.d) no est fazendo sol.e) Est fazendo sol ou no est fazendo sol.

2. Prova: Cespe - 2014 - TJ-SE - Tcnico Judicirio

Julgue os prximos itens, considerando os conectivos lgicos usuais , , , , e que P, Q e R representam proposies lgicas simples.

A proposio uma tautologia.

( ) Certo ( ) Errado

Gabarito:1. E2. C

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Raciocnio Lgico

CONTRADIO

Uma proposio composta formada por duas ou mais proposies p, q, r, ... ser dita uma contradio se ela for sempre falsa, independentemente dos valores lgicos das proposies p, q, r, ... que a compem.

Exemplo: Lula o presidente do Brasil e Lula no o presidente do Brasil.

Vamos chamar a primeira proposio de p a segunda de ~p e o conetivo de ^.

Assim podemos representar a frase acima da seguinte forma: p ^ ~p.

p ~p p ^ ~p

H1 V F F

H2 F V F

Logo temos uma CONTRADIO!

PARA GABARITAR Sempre verdadeiro = Tautologia Sempre Falso = Contradio Verdadeiro e Falso = Contigncia

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Raciocnio Lgico

NEGAO DE UMA PROPOSIO COMPOSTA

Agora vamos aprender a negar proposies compostas, para isto devemos considerar que:

Para negarmos uma proposio conjunta devemos utilizar a propriedade distributiva, similar aquela utilizada em lgebra na matemtica.

NEGAO DE UMA DISJUNO.

Negar uma sentena composta apenas escrever quando esta sentena assume o valor lgico de falso, lembrando as nossas tabelas verdade construdas anteriormente.

Para uma disjuno ser falsa (negao) a primeira e a segunda proposio tem que ser falsas, conforme a tabela verdade abaixo, hiptese 4:

p q P QH1 V V V

H2 F V V

H3 V F V

H4 F F F

Assim conclumos que para negar uma sentena do tipo P v Q, basta negar a primeira (falso) E negar a segunda (falso), logo a negao da disjuno (ou) uma conjuno (e).

Exemplo 1:

1. Estudo ou trabalho.

p = estudo.

q = trabalho P Q

Conectivo =

Vamos agora negar essa proposio composta por uma disjuno.

(p q) = p q

No estudo e no trabalho.

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Para negar uma proposio composta por uma disjuno, ns negamos a primeira proposio, negamos a segunda e trocamos ou por e.

Exemplo 2:

No estudo ou sou aprovado.

p = estudo

q = sou aprovado p q~p = no estudo

Conectivo:

Vamos agora negar essa proposio composta por uma disjuno.

(p q) = p q

Lembrando que negar uma negao uma afirmao e que trocamos ou por e e negamos a afirmativa.

Estudo e no sou aprovado.

NEGAO DE UMA CONJUNO.

Vimos no captulo de negao simples que a negao de uma negao uma afirmao, ou seja, quando eu nego duas vezes uma mesma sentena, encontro uma equivalncia.

Vimos que a negao da disjuno uma conjuno, logo a negao da conjuno ser uma disjuno.

Para negar uma proposio composta por uma conjuno, ns devemos negamos a primeira proposio e depois negarmos a segunda e trocamos e por ou.

Exemplo 1:

Vou a praia e no sou apanhado.

p = vou a praia.

q = no sou apanhado p q

Conectivo =

Vamos agora negar essa proposio composta por uma conjuno.

No vou praia ou sou apanhado.

Raciocnio Lgico Negao da conjuno e disjuno inclusiva (Lei de Morgan) Prof. Edgar Abreu

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PARA GABARITARVejamos abaixo mais exemplo de negaes de conjuno e disjuno:

~(p v q) = ~(p) ~(v) ~(q) = (~p ~q)

~(~p v q) = ~(~p) ~(v) ~(q) = (p ~q)

~(p~q) = ~(p) ~() ~(~q) = (~p v q)

~(~p ~q) = ~(~p) ~() ~(~q) = (p v q)

Na linguagem falada ou escrita, o elemento primitivo a sentena, ou proposio simples, formada basicamentepor um sujeito e um predicado. Nessas consideraes, esto includas apenas as proposies afirmativas ounegativas, excluindo, portanto, as proposies interrogativas, exclamativas etc. S so consideradas proposiesaquelas sentenas bem definidas, isto , aquelas sobre as quais pode decidir serem verdadeiras (V) ou falsas (F).Toda proposio tem um valor lgico, ou uma valorao, V ou F, excluindo-se qualquer outro. As proposies serodesignadas por letras maisculas A, B, C etc. A partir de determinadas proposies, denominadas proposiessimples, so formadas novas proposies, empregando-se os conectivos e, indicado por v, ou, indicado por w,se ... ento, indicado por , se ... e somente se, indicado por . A relao AB significa que (AB) v (BA).Emprega-se tambm o modificador no, indicado por . Se A e B so duas proposies, constroem-se astabelas-verdade, como as mostradas abaixo, das proposies compostas formadas utilizando-se dos conectivos emodificadores citados a coluna correspondente a determinada proposio composta a tabelaverdade daquelaproposio.

1. Prova: CESPE 2008 - TRT 5 Regio(BA) - Tc. Judicirio

A B R

V V F

V F F

F V F

F F V

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H expresses s quais no se pode atribuir um valor lgico V ou F, por exemplo: Ele juiz do TRT da 5.Regio, ou x + 3 = 9. O sujeito uma varivel que pode ser substitudo por um elemento arbitrrio,transformando a expresso em uma proposio que pode ser valorada como V ou F. Expresses dessa formaso denominadas sentenas abertas, ou funes proposicionais. Pode-se passar de uma sentena aberta auma proposio por meio dos quantificadores qualquer que seja, ou para todo, indicado por oe, eexiste, indicado por . Por exemplo: a proposio (oex)(x 0 R)(x + 3 = 9) valorada como F, enquanto aproposio (x)(x 0 R)(x + 3 = 9) valorada como V. Uma proposio composta que apresenta em suatabelaverdade somente V, independentemente das valoraes das proposies que a compem, denominada logicamente verdadeira ou tautologia. Por exemplo, independentemente das valoraes V ou Fde uma proposio A, todos os elementos da tabela-verdade da proposio Aw(A) so V, isto , Aw(A) uma tautologia.

Considerando as informaes do texto e a proposio P: "Mrio pratica natao e jud", julgue os itens seguintes.

A negao da proposio P a proposio R: Mrio no pratica natao nem jud, cuja tabela-verdade a apresentada ao lado.

Certo Errado

2. Prova: FCC - 2014 - AL-PE - Agente Legislativo

A negao da frase Ele no artista, nem jogador de futebol equivalente a:

a) ele artista ou jogador de futebol.b) ele artista ou no jogador de futebol.c) no certo que ele seja artista e jogador de futebol.d) ele artista e jogador de futebol.e) ele no artista ou no jogador de futebol.

Gabarito:1. E2. A

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Raciocnio Lgico

NEGAO DE UMA CONDICIONAL

Conforme citamos anteriormente, negar uma proposio composta escrever a(s) linha(s) em que a tabela verdade tem como resultado falso.

Sabemos que uma condicional s ser falsa, quando a primeira proposio for verdadeira e a segunda for falsa.

Assim para negarmos uma sentena composta com condicional, basta repetir a primeira proposio (primeira verdadeira), substituir o conetivo se...ento por e e negar a segunda proposio (segunda falsa).

Vejamos um exemplo:

1. Se bebo ento sou feliz.

p = bebo. p qq = sou feliz.

Conectivo =

Negao de uma condicional.

~ (p q) = p ~ q

Resposta: Bebo e no sou feliz.

2. Se no estudo ento no sou aprovado.

p = estudo.

~p = no estudo. ~p~qq = sou aprovado.

~q = no sou aprovado

Conectivo =

Negando: ~(~p~q)=~pq

Resposta: No estudo e sou aprovado.

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3. Se estudo ento sou aprovado ou o curso no ruim.

p = estudo.

q = sou aprovado. pq~rr = curso ruim.

~r = curso no ruim.

Negando, ~(pq~r).

Negamos a condicional, mantm a primeira e negamos a segunda proposio, como a segunda proposio uma disjuno, negamos a disjuno, usando suas regras (negar as duas proposies trocando ou por e).

~(pq~r)=p~(q~r)=p~qr.

Estudo e no sou aprovado e o curso ruim.

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Raciocnio Lgico

NEGAO DE UMA BICONDICIONAL.

Existe duas maneiras de negar uma bicondicional. Uma a trivial onde apenas substitumos o conetivo bicondiciona pela disjuno exclusiva, conforme exemplo abaixo:

Sentena: Estudo se e somente se no vou praia.

p = estudo.q = vou praia. ~[ p ~ q ] = [ p ~ q ]~ q = no vou praia

Conectivo =

Logo sua negao ser: Ou Estudo ou no vou praia.

A segunda maneira de negar uma bicondicional utilizando a propriedade de equivalncia e negando as duas condicionais, ida e volta, temos ento que negar uma conjuno composta por duas condicionais.

Negamos a primeira condicional ou negamos a segunda, usando a regra da condicional em cada uma delas.

Exemplo 1:

Estudo se e somente se no vou praia.

p = estudo.q = vou praia. p ~ q = [ p ~ q ] [ ~ q p]~ q = no vou praia

Conectivo =

Uma bicondicional so duas condicionais, ida e volta.

Negando,

~ (p ~ q) = ~ [[p ~ q] [~ q p]] =

~ [p ~ q] ~ [~ q p ]

p q ~ q ~ p.

Estudo e vou praia ou no vou praia e no estudo.

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Raciocnio Lgico

EQUIVALNCIA DE UMA CONDICIONAL

Vamos descobrir qual a sentena equivalente a uma condicional, negando duas vezes a mesma sentena.

Exemplo: Se estudo sozinho ento sou autodidata.

Simbolizando temos:

p = estudo sozinho p qp = sou autodidata

conectivo =

Simbolicamente: p q

Vamos negar, ~ [ p q ] = p ~ q

Agora vamos negar a negao para encontrarmos uma equivalncia.

Negamos a negao da condicional ~ [p ~ q] = ~ p q

Soluo: No estudo sozinho ou sou autodidata.

Mas ser mesmo que estas proposies, p q e ~ p q so mesmo equivalentes? Veremos atravs da tabela verdade.

p Q ~p p q ~ p v q

V V F V V

V F F F F

F V V V V

F F V V V

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Perceba na tabela verdade que p q e ~ p q tem o mesmo valor lgico, assim essas duas proposies so equivalentes.

Exemplo 2: Vamos encontrar uma proposio equivalente a sentena Se sou gremista ento no sou feliz.

p = Sou gremista.q = Sou feliz. p ~ q~ q = No sou feliz.

Negao: ~ [ p ~ q ] = p q

Sou gremista e sou feliz.

Equivalncia: negao da negao.

~ [ p ~ q ] = p q

~ [ p q ] = p ~ q

Logo, No sou gremista ou no sou feliz uma sentena equivalente.

Exemplo 3: Agora procuramos uma sentena equivalente a Canto ou no estudo.

c = Canto.e = Estudo .c~ e~ e = No estudo.

Negao: ~ [ c ~ e ] = ~ c e

Equivalncia: Negar a negao: ~ [ ~ c e ] = c ~e

Voltamos para a mesma proposio, tem algo errado, teremos que buscar alternativa. Vamos l:

Vamos para a regra de equivalncia de uma condicional.

p q = ~ p q

, podemos mudar a ordem da igualdade.

~ p q = p q

Veja que o valor lgico de p mudou e q continuou com o mesmo valor lgico.

Usando a regra acima vamos transformar a proposio inicial composta de uma disjuno em numa condicional.

c ~ e = p q

Para chegar condicional, mudo o valor lgico de p,

Raciocnio Lgico Equivalncia de uma Condicional e Disjuno Inclusiva Prof. Edgar Abreu

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Troco ou por se...ento e mantenho o valor lgico de q, ficando

Se no canto ento no estudo.

Exemplo 4: Estudo ou no sou aprovado. Qual a sentena equivalente?

e = Estudo.a = Sou aprovado. e~ a~ a = No sou aprovado.

Dica: quando for ou a equivalncia sempre ser se...ento.

Assim, temos que transformar ou em se...ento. Mas como?

p q = ~ p q (equivalentes), vamos inverter.

~ p q = p q

Inverte o primeiro e mantm o segundo, trocando ou por se...ento, transferimos isso para nossa proposio.

e ~ a = ~ e ~ a

Trocamos e por ~ e, mantemos ~ a e trocamos " " por " ".

Logo, Se no estudo ento no sou aprovado.

No podemos esquecer que ou comutativo, assim a opo de resposta pode estar trocada, ento atente nisto, ao invs de e ~ a pode ser ~ a e , assim a resposta ficaria:

Se sou aprovado ento estudo.

Quaisquer das respostas estaro certas, ento muita ateno!

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Raciocnio Lgico

CONTRAPOSITIVA

Utilizamos como exemplo a sentena abaixo:

Se estudo lgica ento sou aprovado

p = estudo lgica. p qq = sou aprovado.

Vamos primeiro negar esta sentena:

(p q) = p q

Lembrando da tabela verdade da conjuno e, notamos que a mesma comutativa, ou seja, se alterarmos a ordem das premissas o valor lgico da sentena no ser alterado. Assim vamos reescrever a sentena encontrada na negao, alterando o valor lgico das proposies.

p q = q p

Agora vamos negar mais uma vez para encontrar uma equivalncia da primeira proposio.

(q p) q p

Agora vamos utilizar a regra de equivalncia que aprendemos anteriormente.

Regra:p q p q

Em nosso exemplo temos:q p q p

Logo encontramos uma outra equivalncia para a nossa sentena inicial.

Esta outra equivalncia chamamos de contrapositiva e muito fcil de encontrar, basta comutar as proposies (trocar a ordem) e negar ambas.

p q = q pExemplo 2: Encontrar a contrapositiva (equivalente) da proposio Se estudo muito ento minha cabea di

p = estudo muito. p qq = minha cabea di.

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Encontramos a contrapositiva, invertendo e negando ambas proposies.

p q = q p

Logo temos que: Se minha cabea no di ento no estudo muito.

PARA GABARITAR

EQUIVALNCIA 1: p q = p q

EQUIVALNCIA 2: p q = q p (contrapositiva)

Raciocnio Lgico Equivalncia Contrapositiva Prof. Edgar Abreu

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Slides Equivalncia Contrapositiva

''

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Raciocnio Lgico

EQUIVALNCIA BICONDICIONAL E CONDICIONAL

Recebe o nome de bicondicional toda proposio composta em que as partes estejam unidas pelo conectivo ... se somente se... Simbolicamente, representaremos esse conectivo por . Portanto, se temos a sentena:

Exemplo: Estudo se e somente se sou aprovado

Proposio 1: Estudo.

Proposio 2: Sou aprovado.

Conetivo: se e somente se.

Vamos chamar a primeira proposio de p a segunda de q e o conetivo de

Assim podemos representar a frase acima da seguinte forma: p q

Sua tabela verdade :

p q p q

H1 V F F

H2 F V F

H3 V V V

H4 F F V

Uma proposio bicondicional pode ser escrita como duas condicionais, como se tivssemos duas implicaes, uma seta da esquerda para direita e outra seta da direita para esquerda, conforme exemplo abaixo:

Neste caso, transformamos um bicondicional em duas condicionais conectadas por uma conjuno. Estas sentenas so equivalentes, ou seja, possuem o mesmo valor lgico.

p q p q p q (p q) (p q) p q

V V V V V V

F F V V V V

F V V F F F

V F F V F F

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Raciocnio Lgico

QUANTIFICADORES LGICOS

Chama-se argumento a afirmao de que um grupo de proposies iniciais redunda em uma outra proposio final, que ser conseqncia das primeiras. Estudaremos aqui apenas os argumentos que podemos resolver por diagrama, contendo as expresses: Todo, algum, nenhum ou outras similares.

Um argumento vlido tem obrigatoriamente a concluso como consequncia das premissas. Assim, quando um argumento vlido, a conjuno das premissas verdadeiras implica logicamente a concluso.

Exemplo: Considere o silogismo abaixo:

1. Todo aluno da Casa do Concurseiro aprovado.

2. Algum aprovado funcionrio da defensoria.

Concluso:

Existem alunos da casa que so funcionrios da defensoria.

Para concluir se um silogismo verdadeiro ou no, devemos construir conjuntos com as premissas dadas. Para isso devemos considerar todos os casos possveis, limitando a escrever apenas o que a proposio afirma.

Pelo exemplo acima vimos que nem sempre a concluso acima verdadeira, veja que quando ele afirma que existem alunos da casa que so funcionrios da defensoria, ele est dizendo que sempre isso vai acontecer, mas vimos por esse diagrama que nem sempre acontece.

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Nesse diagrama isso acontece, mas pelo dito na concluso, sempre vai existir, e vimos que no, logo a concluso falsa.

No mesmo exemplo, se a concluso fosse:

Existem funcionrios da defensoria que no so alunos da casa.

Qualquer diagrama que fizermos (de acordo com as premissas) essa concluso ser verdadeira, tanto no diagrama 1 quanto no diagrama 2, sempre vai ter algum de fora do desenho.

Logo, teramos um silogismo!

Silogismo uma palavra cujo significado o de clculo. Etimologicamente, silogismo significa reunir com o pensamento e foi empregado pela primeira vez por Plato (429-348 a.C.). Aqui o sentido adotado o de um raciocnio no qual, a partir de proposies iniciais, conclui-se uma proposio final. Aristteles (384-346 a.C.) utilizou tal palavra para designar um argumento composto por duas premissas e uma concluso.

ALGUM

Vamos representar graficamente as premissas que contenham a expresso algum.

So considerados sinnimos de algum as expresses: existe(m), h pelo menos um ou qualquer outra similar.

Analise o desenho abaixo, que representa o conjunto dos A e B. O que podemos inferir a partir do desenho?

Concluses:Existem elementos em A que so B. Existem elementos em B que so A.Existem elementos A que no so B.Existem elementos B que no esto em A.

Raciocnio Lgico Quantificadores Lgicos: Todo, Nenhum e Existe Prof. Edgar Abreu

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NENHUM

Vejamos agora as premissas que contm a expresso nenhum ou outro termo equivalente.

Analise o desenho abaixo, que representa o conjunto dos A e B. O que podemos inferir a partir do desenho?

Concluses:

Nenhum A B.

Nenhum B A.

TODO

Vamos representar graficamente as premissas que contenham a expresso todo.

Pode ser utilizado como sinnimo de todo a expresso qualquer um ou outra similar.

Analise o desenho abaixo, que representa o conjunto dos A e B. O que podemos inferir a partir do desenho?

Concluso:

Todo A B.

Alguns elementos de B A ou existem B que so A.

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Prova: FGV - 2014 - AL-BA - Tc.Nvel Mdio

Afirma-se que: Toda pessoa gorda come muito.

correto concluir que:

a) se uma pessoa come muito, ento gorda.b) se uma pessoa no gorda, ento no come muito.c) se uma pessoa no come muito, ento no gorda.d) existe uma pessoa gorda que no come muito.e) no existe pessoa que coma muito e no seja gorda.

Gabarito:1. C

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Raciocnio Lgico

NEGAO DE TODO, ALGUM E NENHUM

As Proposies da forma Algum A B estabelecem que o conjunto A tem pelo menos um elemento em comum com o conjunto B.

As Proposies da forma Todo A B estabelecem que o conjunto A um subconjunto de B. Note que no podemos concluir que A = B, pois no sabemos se todo B A.

Como negamos estas Proposies:

Exemplos:

1. Toda mulher friorenta.

Negao: Alguma mulher no friorenta

2. Algum aluno da casa ser aprovado.

Negao: Nenhum aluno da casa vai ser aprovado.

3. Nenhum gremista campeo.

Negao: Pelo menos um gremista campeo.

4. Todos os estudantes no trabalham

Negao: Algum estudante trabalha.

PARA GABARITAR

Cuide os sinnimos como por exemplo, existem, algum e etc.

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1. Prova: Instituto AOCP 2014 UFGD Analista de Tecnologia da Informao

Assinale a alternativa que apresenta a negao de Todosos pes so recheados.

a) Existem pes que no so recheados.b) Nenhum po recheado.c) Apenas um po recheado.d) Pelo menos um po recheado.e) Nenhuma das alternativas.

2. Prova: FJG-RIO 2014 Cmara Municipal do Rio de Janeiro Analista Legislativo

Seja a seguinte proposio: existem pessoas que no acordam cedo e comem demais no almoo.

A negao dessa proposio est corretamente indicada na seguinte alternativa:

a) Todas as pessoas acordam cedo ou no comem demais no almoo.b) No existem pessoas que comem demais no almoo.c) No existem pessoas que acordam cedo.d) Todas as pessoas que no acordam cedo comem demais no almoo.

Raciocnio Lgico Negao Todo, Nenhum e Existe Prof. Edgar Abreu

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3. Prova: CESPE 2014 Cmara dos Deputados Tcnico Legislativo

Considerando que P seja a proposio Se o bem pblico, entono de ningum, julgue os itens subsequentes.

A negao da proposio P est corretamente expressa por Obem pblico e de todos.

( ) Certo ( ) Errado

4. Prova: FGV - 2013 TJ/AM - Analista Judicirio - Servio Social

Jos afirmou: Todos os jogadores de futebol que no so ricos jogamno Brasil ou jogam mal.

Assinale a alternativa que indica a sentena que representa a negao do queJos afirmou:

a) Nenhum jogador de futebol que no rico joga no Brasil ou joga mal.b) Todos os jogadores de futebol que no jogam no Brasil e no jogam mal.c) Algum jogador de futebol que no rico no joga no Brasil e no joga mal.d) Algum jogador de futebol rico mas joga no Brasil ou joga mal.e) Nenhum jogador de futebol que rico joga no Brasil ou joga mal.

Gabarito:1. A2. A3. Errado4. C

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Raciocnio Lgico

SILOGISMO

Silogismo Categrico uma forma de raciocnio lgico na qual h duas premissas e uma concluso distinta destas premissas, sendo todas proposies categricas ou singulares. Existem casos onde teremos mais de duas premissas.Devemos sempre considerar as premissas como verdadeira e tentar descobrir o valor lgico de cada uma das proposies, com objetivo de identificar se a concluso ou no verdadeira.Sempre que possvel devemos comear nossa linha de raciocnio por uma proposio simples ou se for composta conectada pela conjuno e.Abaixo um exemplo de como resolver uma questo envolvendo silogismo.

QUESTO COMENTADA(FCC: BACEN - 2006) Um argumento composto pelas seguintes premissas:

I Se as metas de inflao no so reais, ento a crise econmica no demorar a ser superada.II Se as metas de inflao so reais, ento os supervits primrios no sero fantasioso.III Os supervits sero fantasiosos.Para que o argumento seja vlido, a concluso deve ser:

a) A crise econmica no demorar a ser superada.b) As metas de inflao so irreais ou os supervits sero fantasiosos.c) As metas de inflao so irreais e os supervits so fantasiosos.d) Os supervits econmicos sero fantasiosos.e) As metas de inflao no so irreais e a crise econmica no demorar a ser

superada.

Soluo:

Devemos considerar as premissas como verdadeiras e tentar descobrir o valor lgico de cada uma das proposies.Passo 1: Do portugus para os smbolos lgicos.

I Se as metas de inflao no so reais, ento a crise econmica no demorar a ser superada

~ P Q ~

II Se as metas de inflao so reais, ento os supervits primrios no sero fantasiosos.

~ P R ~

III Os supervits sero fantasiosos.

Passo 2: Considere as premissas como verdade.

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PREMISSA 1 PREMISSA 2 PREMISSA 3

VERDADE VERDADE VERDADE

~ P ~ Q ~ P ~ R R

No possvel determinar o valor lgico de P e Q, j

que existem 3 possibilidades distintas que torna o

condicional verdadeiro.

No possvel determinar o valor lgico de P e Q, j

que existem 3 possibilidades distintas que torna o

condicional verdadeiro.

CONCLUSO: R=V

Passo 3: Substitui a premissa 3 em 2 e analise.

Como na premissa 3 vimos que R V logo ~ R = F. Como P uma proposio, o mesmo pode ser F ou V.

Vamos testar:

P ~ R P ~ RF F F V F

V F V F F

Como a premissa 2 verdade e caso a proposio P tenha valor V teremos uma premissa falsa, logo chegamos a concluso que P = F.

Passo 3: Substitui a premissa 2 em 1 e analise.

Como na premissa 2 vimos que P F logo ~ P = V. Como Q uma proposio, o mesmo pode ser F ou V. Analisando o condicional temos:

~ P ~ QV V V

V F F

Logo ~ Q = V, assim Q = F

Passo 4: Traduzir as concluses para o portugus.

Premissa 1: P = F

as metas de inflao no so reais.

Premissa 2: Q = F

crise econmica no demorar a ser superada.

Concluso: Alternativa A

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Raciocnio Lgico

ARGUMENTO COM QUANTIFICADORES VLIDO SILOGISMO

QUESTO COMENTADA

FCC: TCE-SP 2010

Considere as seguintes afirmaes:

I Todo escriturrio deve ter noes de Matemtica.

II Alguns funcionrios do Tribunal de Contas do Estado de So Paulo so escriturrios.

Se as duas afirmaes so verdadeiras, ento correto afirmar que:

a) Todo funcionrio do Tribunal de Contas do Estado de So Paulo deve ter noes de Matemtica.

b) Se Joaquim tem noes de Matemtica, ento ele escriturrio.c) Se Joaquim funcionrio do Tribunal de Contas do Estado de So Paulo, ento ele

escriturrio.d) Se Joaquim escriturrio, ento ele funcionrio do Tribunal de Contas do Estado de So

Paulo.e) Alguns funcionrios do Tribunal de Contas do Estado de So Paulo podem no ter noes

de Matemtica.

Resoluo:

Primeiramente vamos representar a primeira premissa.

I Todo escriturrio deve ter noes de Matemtica.

II Alguns funcionrios do Tribunal de Contas do Estado de So Paulo so escriturrios.

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Vejamos uma hiptese para a segunda premissa.

Vamos considerar agora a possibilidade de todos os funcionrios terem noes de Matemtica, ficamos agora com duas possibilidades distintas.

Analisamos agora as alternativas:

Alternativa A: Todo funcionrio do Tribunal de Contas do Estado de So Paulo deve ter noes de Matemtica

Soluo:

Observe que o nosso smbolo representa um funcionrio do TCE que no possui noo de matemtica. Logo a concluso precipitada.

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Alternativa B: Se Joaquim tem noes de Matemtica, ento ele escriturrio.

Soluo:

O ponto em destaque representa algum que possui noo de matemtica, porm no escriturrio, logo a concluso precipitada e est errada.

Alternativa C: Se Joaquim funcionrio do Tribunal de Contas do Estado de So Paulo, ento ele escriturrio.

Soluo:

O ponto em destaque representa algum que possui funcionrio do TCE, porm no escriturrio, logo a concluso precipitada e est errada.

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Alternativa D: Se Joaquim escriturrio, ento ele funcionrio do Tribunal de Contas do Estado de So Paulo.

Soluo:

O ponto em destaque representa algum que escriturrio, porm no funcionrio do TCE, logo a concluso precipitada e est alternativa est errada.

Alternativa E: Alguns funcionrios do Tribunal de Contas do Estado de So Paulo podem no ter noes de Matemtica.

Soluo:

O ponto em destaque representa um funcionrio do TCE que no tem noo de matemtica, como a questo afirma que podem, logo est correta.

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Prova: IESES - 2014 - IGP-SC - Auxiliar Pericial Criminalstico

Considere que as seguintes frases so verdadeiras e assinale a alternativa correta:

- Algum policial alto; - Todo policial educado.

a) Todo policial educado alto.b) Algum policial alto no educado.c) Algum policial no educado alto.d) Algum policial educado alto.

Prova: FDRH - 2008 - IGP-RS - Papiloscopista Policial

Considere os argumentos abaixo:

I Todos os gatos so pretos. Alguns animais pretos mordem. Logo, alguns gatos mordem.

II Se 11 um nmero primo, ento, 8 no um nmero par. Ora 8 um nmero par, portanto, 11 no um nmero primo.

III Todos os X so Y. Todos os Z so Y. Alguns X esto quebrados. Logo, alguns Y esto quebrados.

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Quais so vlidos?

a) Apenas o I.b) Apenas o II. c) Apenas o III.d) Apenas o II e o III. e) O I, o II e o III.

Gabarito:1. D2. D

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Raciocnio Lgico

CDIGOS E ANAGRAMAS

1. (Prova: FCC 2014 - TJ-AP Analista Judicirio) Bruno criou um cdigo secreto para se comunicar por escrito com seus amigos. A tabela mostra algumas palavras traduzidas para esse cdigo.

A palavra MEL, no cdigo de Bruno, seria traduzida como:

a) LDK.b) NFM.c) LFK.d) NDM.e) OGN.

2. (Prova: FCC 2012 PREF. So Paulo-SP Auditor Fiscal) Considere a multiplicao abaixo, em que letras iguais representam o mesmo dgito e o resultado um nmero de 5 algarismos.

A soma (S + O + M + A + R) igual a:

a) 33.b) 31.c) 29.d) 27.e) 25.

Gabarito:1. D2. D

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Raciocnio Lgico

QUESTES DE RESTO DE UMA DIVISO

So comuns as questes de raciocnio lgico que envolva resto de uma diviso. Normalmente essas questes abordam assuntos relacionados a calendrio, mltiplo ou divisores ou qualquer outra sequncia que seja cclica.Estas questes so resolvidas todas de forma semelhante, vejamos os exemplos abaixo:

QUESTO COMENTADA 1

CESGRANRIO: CAPES 2008

Em um certo ano, o ms de abril termina em um domingo. possvel determinar o prximo ms a terminar em um domingo?

a) Sim, ser o ms de setembro do mesmo ano.b) Sim, ser o ms de outubro do mesmo ano.c) Sim, ser o ms de dezembro do mesmo ano.d) Sim, ser o ms de janeiro do ano seguinte.e) No se pode determinar porque no se sabe se o ano seguinte bissexto ou no.

Soluo:

Sabendo que o ms de Abril possui 30 dias, logo sabemos que dia 30 de abril foi um domingo. Vamos identificar quantos dias teremos at o ltimo dia de cada ms, assim verificamos se esta distncia mltipla de 7, j que a semana tem 7 dias e os domingos acontecero sempre um nmero mltiplo de 7 aps o dia 30 de Abril:

MS QUANT. DIAS DO MS DIAS AT 30/04 MLTIPLO DE 7

MAIO 31 31 NO

JUNHO 30 61 NO

JULHO 31 92 NO

AGOSTO 31 123 NO

SETEMBRO 30 153 NO

OUTUBRO 31 184 NO

NOVEMBRO 30 214 NO

DEZEMBRO 31 245 SIM (245/7 = 35)

Soluo ser dia 31 de Dezembro do mesmo ano, alternativa C.

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QUESTO COMENTADA 2

FCC: TST 2012

Pedro um atleta que se exercita diariamente. Seu treinador orientou-o a fazer flexes de brao com a frequncia indicada na tabela abaixo:

Dia da semana Nmero de flexes

2 e 5 feiras 40

3 e 6 feiras 10

4 feiras 20

Sbados 30

Domingos nenhuma

No dia de seu aniversrio, Pedro fez 20 flexes de brao. No dia do aniversrio de sua namorada, 260 dias depois do seu, Pedro:

a) no fez flexo.b) fez 10 flexes.c) fez 20 flexes.d) fez 30 flexes.e) fez 40 flexes.

Soluo:

Com Pedro fez 20 flexes em seu aniversrio, logo conclumos que caiu em uma quarta-feira. Devemos descobrir qual o dia da semana ser aps 260 dias. Primeiramente vamos descobrir quantas semanas se passaram at este dia, dividindo 260 por 7, j que uma semana tem 7 dias.

260 = 37 (resto 1) 7

Assim sabemos que se passaram 37 semanas e mais um dia.

Como ele fez aniversrio na quarta, se somarmos 1 dia temos quinta-feira e o total de flexes para este dia ser de 40, segundo a tabela. Alternativa E

Raciocnio Lgico Problemas Cclicos/Calendrio e Datas Prof. Edgar Abreu

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Prova: FCC - 2014 - AL-PE - Agente Legislativo

O dia 04 de maro de 2014 foi uma tera-feira. Sendo assim, correto afirmar que o dia 04 de maro de 2015 ser:

a) segunda-feira.b) quarta-feira.c) quinta-feira.d) domingo.e) tera-feira.

Prova: FCC - 2013 - TRT - 5 Regio (BA) - Analista Judicirio

Um ano bissexto possui 366 dias, o que significa que ele composto por52 semanas completas mais 2 dias. Se em um determinado ano bissextoo dia 1 de janeiro caiu em um sbado, ento o dia 31 de dezembro cairem:

a) um sbado.b) um domingo.c) uma 2 feira.d) uma 3 feira.e) uma 4 feira.

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Em uma montadora, so pintados, a partir do incio de um turno deproduo, 68 carros a cada hora, de acordo com a seguinte sequncia decores: os 33 primeiros so pintados de prata, os 20 seguintes de preto, osprximos 8 de branco, os 5 seguintes de azul e os 2 ltimos de vermelho.A cada hora de funcionamento, essa sequncia se repete.

Dessa forma, o 530 carro pintado em um turno de produo ter a cor:

a) prata.b) preta.c) branca.d) azul.e) vermelha.

Prova(s): FCC - 2013 - DPE-RS - Tcnico de Apoio Especializado

Gabarito:1. B2. B3. C

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Raciocnio Lgico

PROBLEMAS DE MNIMO E MXIMO

1. Prova: FCC - 2012 - TJ-RJ - Analista Judicirio

A cmara municipal de uma cidade composta por 21 vereadores, sendo10 do partido A, 6 do partido B e 5 do partido C. A cada semestre, sosorteados n vereadores, que tm os gastos de seus gabinetes auditadospor uma comisso independente. Para que se garanta que, em todosemestre, pelo menos um vereador de cada partido seja necessariamentesorteado, o valor de n deve ser, no mnimo,

a) 11.b) 10.c) 17.d) 16.e) 14.

2. Prova: FCC - 2009 - SEFAZ-SP - Agente Fiscal de Rendas - Prova 1

Numa cidade existem 10 milhes de pessoas. Nenhuma delas possui mais do que 200 mil fios de cabelo. Com esses dados, correto afirmar que, necessariamente,

a) existem nessa cidade duas pessoas com o mesmo nmero de fios de cabelo.b) existem nessa cidade pessoas sem nenhum fio de cabelo.c) existem nessa cidade duas pessoas com quantidades diferentes de fios decabelo.d) o nmero mdio de fios de cabelo por habitante dessa cidade maior do que100 mil.e) somando-se os nmeros de fios de cabelo de todas as pessoas dessa cidadeobtm-se 2 1012.

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3. Prova: FCC - 2014 - TRT - 16 REGIO (MA) - Analista Judicirio

Em uma floresta com 1002 rvores, cada rvore tem de 900 a 1900 folhas.De acordo apenas com essa informao, correto afirmar que,necessariamente,

a) ao menos duas rvores dessa floresta tm o mesmo nmero de folhas.b) apenas duas rvores dessa floresta tm o mesmo nmero de folhas.c) a diferena de folhas entre duas rvores dessa floresta no pode sermaior do que 900.d) no h rvores com o mesmo nmero de folhas nessa floresta.e) a mdia de folhas por rvore nessa floresta de 1400.

Gabarito:1. C2. A3. A

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Raciocnio Lgico

PROBLEMAS ENVOLVENDO FUTEBOL

1. (Prova: FCC 2014 - TRT 2 Regio (SP) Tcnico Judicirio) Um jogo de vlei entre duas equipes ganho por aquela que primeiro vencer trs sets, podendo o placar terminar em 3 a 0, 3 a 1 ou 3 a 2. Cada set ganho pela equipe que atingir 25 pontos, com uma diferena mnima de dois pontos a seu favor. Em caso de igualdade 24 a 24, o jogo continua at haver uma diferena de dois pontos (26 a 24, 27 a 25, e assim por diante). Em caso de igualdade de sets 2 a 2, o quinto e decisivo set jogado at os 15 pontos, tambm devendo haver uma diferena mnima de dois pontos. Dessa forma, uma equipe pode perder um jogo de vlei mesmo fazendo mais pontos do que a equipe adversria, considerando-se a soma dos pontos de todos os sets da partida. O nmero total de pontos da equipe derrotada pode superar o da equipe vencedora, em at:

a) 47 pontos.b) 44 pontos.c) 50 pontos.d) 19 pontos.e) 25 pontos.

2. (Prova: SHDIAS 2014 CEASA-Campinas Assistente Administrativo) No basquete, uma cesta pode valer 1, 2, ou 3 pontos, Na partida final do campeonato, Leonardo fez 5 cestas, em um total de 11 pontos. Nesse caso, no possvel que Leonardo tenha feito exatamente:

a) Uma cesta de 1 ponto.b) Quatro cestas de 2 pontos. c) Trs cestas de 3 pontos. d) Trs cestas de 2 pontos.

3. (Prova: CESPE 2014 SUFRAMA Nvel Superior) Em um campeonato de futebol, a pontuao acumulada de um time a soma dos pontos obtidos em cada jogo disputado. Por jogo, cada time ganha trs pontos por vitria, um ponto por empate e nenhum ponto em caso de derrota. Com base nessas informaes, julgue o item seguinte.

Nesse campeonato, os critrios de desempate maior nmero de vitrias e menor nmero de derrotas so equivalentes.

( ) CERTO

( ) ERRADO

Gabarito:1. B2. D3. Errado

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PROBLEMAS COM DIREO E SENTIDO

1. (Prova: FCC 2014 METR-SP Tcnico de Sistemas Metrovirios) M, N, O e P so quatro cidades prximas umas das outras. A cidade M est ao sul da cidade N. A cidade O est leste da cidade M. Se a cidade P est sudoeste da cidade O, ento N est a:

a) noroeste de P.b) nordeste de P.c) norte de P.d) sudeste de P.e) sudoeste de P.

2. (Prova: FCC 2014 SABESP Tecnlogo) Partindo de um ponto inicial A, Laura caminhou 4 km para leste, 2 km para sul, 3 km para leste, 6 km para norte, 6 km para oeste e, finalmente, 1 km para sul, chegando no ponto B. Artur partiu do mesmo ponto A de Laura percorrendo X km para norte e 1 km para a direo Y, chegando no mesmo ponto B em que Laura chegou. Sendo Y uma das quatro direes da rosa dos ventos (norte, sul, leste ou oeste), X e Y so, respectivamente,

a) 6 e sul.b) 2 e norte. c) 4 e oeste.d) 3 e leste. e) 4 e leste.

3. (Prova: FCC 2014 TRF 3 Regio Tcnico Judicirio) Partindo do ponto A, um automvel percorreu 4,5 km no sentido Leste; percorreu 2,7 km no sentido Sul; percorreu 7,1 km no sentido Leste; percorreu 3,4 km no sentido Norte; percorreu 8,7 km no sentido Oeste; percorreu 4,8 km no sentido Norte; percorreu 5,4 km no sentido Oeste; per- correu 7,2 km no sentido Sul, percorreu 0,7 km no sentido Leste; percorreu 5,9 km no sentido Sul; percorreu 1,8 km no sentido Leste e parou. A distncia entre o ponto em que o automvel parou e o ponto A, inicial, igual a :

a) 7,6 km.b) 14,1 km.c) 13,4 km. d) 5,4 km.e) 0,4 km.

Gabarito:1. C2. D3. A

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QUESTES ENVOLVENDO SEQUNCIA DE NMEROS

comum aparecer em provas de concurso questes envolvendo sequncias de nmeros, onde o candidato ter que descobrir a lgica da sequncia para solucionar o problema.

A verdade que no existe uma regra de resoluo destas questes, cada sequncia diferente das demais, depende da lgica que o autor est cobrando.

O que vamos aprender neste captulo a resolver algumas das sequncias que j foram cobradas em concursos anteriores, este tipo de questo, s existe uma nica maneira de aprender a resolver, fazendo!

QUESTO COMENTADA

FCC: BACEN 2006

No quadriculado seguinte os nmeros foram colocados nas clulas obedecendo a um determinado padro.

16 34 27 X

13 19 28 42

29 15 55 66

Seguindo esse padro, o nmero X deve ser tal que:

a) X > 100b) 90 < X < 100c) 80 < X < 90d) 70 < X < 80e) X < 70

Soluo:

Quando a sequencia se apresenta em tabelas, similares a esta, procure sempre encontrar uma lgica nas linhas ou nas colunas. A lgica da sequencia desta questo est na relao da linha trs com as linhas 1 e 2.

A linha 3 a soma das linhas 1 e 2 quando a coluna for impar e a subtrao das linhas 1 e 2 quando a coluna for par, note:

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Coluna 1: 16 + 13 = 29

Coluna 2: 34 - 19 = 15

Coluna 3: 27 + 28 = 55

Logo a coluna 4, que par, teremos uma subtrao:

x 42 = 66 => x = 66 + 42 = 108

Alternativa A

QUESTO COMENTADA 2

FCC : TRT 2011

Na sequncia de operaes seguinte, os produtos obtidos obedecem a determinado padro.

1 x 1 = 111 x 11 = 121

111 x 111 = 12.3211.111 x 1111 = 1.234.321

11.111 x 11.111 = 123.454.321

Assim sendo, correto afirmar que, ao se efetuar 111 111 111 111 111 111, obtm-se um nmero cuja soma dos algarismos est compreendida entre:

a) 85 e 100.b) 70 e 85.c) 55 e 70.d) 40 e 55.e) 25 e 40.

Soluo:

Note que o termo centra do resultado da multiplicao sempre a quantidade de nmero 1 que estamos multiplicando, conforme destacado na tabela abaixo:

1 x 1 1

11 x 11 121

111 x 111 12. 321

1. 111 x 1. 111 1. 234. 321

11. 111 x 11. 111 123. 454. 321

Perceba tambm que o resultado da multiplicao formado por um nmero que comea com 1 e vai at a quantidade de nmeros 1 que tem a multiplicao e depois comea a reduzir at o nmero 1 de volta.

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Logo a multiplicao de 111 111 111 111 111 111 temos 9 nmeros 1, assim o resultado certamente ser composto pelo nmero 12345678 9 87654321. Agora basta apenas somar os algarismos e encontra como resposta o nmero 81, alternativa B.

QUESTO COMENTADA 3

CESGRANRIO: TCE/RO 2007

O sistema binrio de numerao, s se utilizam os algarismos 0 e 1. Os nmeros naturais, normalmente representados na base decimal, podem ser tambm escritos na base binria como mostrado:

DECIMAL BINRIO

0 0

1 1

2 10

3 11

4 100

5 101

6 110

7 111

De acordo com esse padro lgico, o nmero 15 na base decimal, ao ser representado na base binria, corresponder a:

a) 1000b) 1010c) 1100d) 1111e) 10000

Soluo:

No sistema decimal que conhecemos, cada vez que conhecemos, a cada 10 de uma casa decimal forma-se outra casa decimal. Exemplo: 10 unidades igual uma dezena, 10 dezenas igual a uma centena e assim sucessivamente.

J no sistema binrio, a lgica a mesma, porm a cada 2 unidades iremos formar uma nova casa decimal. Assim para transformar um nmero decimal em binrio, basta dividirmos este nmero sucessivamente por dois e analisar sempre o resto, conforme exemplo abaixo.

Transformando 6 em binrio:

6 / 2 = 3 (resto zero, logo zero ir ocupar primeira casa binria).

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3 / 2 = 1 (resto 1, logo o 1 do resto ir ocupar a segunda casa binria enquanto o 1 quociente da diviso ir ocupar a terceira casa binria).

Resultado: 110

Para saber se est certo, basta resolver a seguinte multiplicao:

110 = 1 x 2 + 1 x 2 + 0 x 20 = 4 + 2 + 0 = 6

Utilizando esta linha de raciocnio temos que:

15 / 2 = 7 (resto 1)

7 / 2 = 3 (resto 1)

3 / 2 = 1 (resto 1)

Logo o nmero ser 1111, Alternativa D

1. Prova: IDECAN - 2014 - AGU - Agente Administrativo

Observe a sequncia: 49, 64, 81, 100, ...

Qual ser o stimo termo?

a) 144.b) 169.c) 196.d) 225.e) 256.

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2. Prova: Instituto AOCP - 2014 - UFGD - Analista Administrativo

A sequncia a seguir apresenta um padro:

1; 8; 15; 22; ...

Qual o quinto termo desta sequncia?

a) 27.b) 28.c) 29.d) 30.e) 31.

3. Prova: FCC - 2010 - TCE-SP - Auxiliar da Fiscalizao Financeira

Considere que os nmeros inteiros e positivos que aparecem no quadro abaixo foram dispostos segundo determinado critrio.

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3. Completando corretamente esse quadro de acordo com tal critrio, a soma dos nmeros que esto faltando :

a) maior que 19.b) 19.c) 16.d) 14.e) menor que 14.

4. Prova: FCC - 2014 - TRF - 4 REGIO AnalistaJudicirio Informtica

A sequncia numrica 1, 7, 8, 3, 4, 1, 7, 8, 3, 4, 1, 7, 8, 3, 4, 1, ..., cujosdezesseis primeiros termos esto explicitados, segue o mesmo padro deformao infinitamente. A soma dos primeiros 999 termos dessasequncia igual a:

a) 4596.b) 22954.c) 4995.d) 22996.e) 5746.

Gabarito:1. B2. C3. A4. A

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IMAGENS E FIGURAS

1. Prova: FCC 2014 TRT 16 REGIO (AM) Tc. Judicirio

Considere as figuras abaixo:

Seguindo o mesmo padro de formao das dez primeiras figuras dessa sequncia, a dcima primeira figura :

a)

b)

c)

d)

e)

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2. Prova: FCC 2012 TST Tc. Judicirio

Marina possui um jogo de montar composto por vrias peas quadradas,todas de mesmo tamanho. A nica forma de juntar duas peas unindo-asde modo que elas fiquem com um nico lado em comum. Juntando-se trsdessas peas, possvel formar apenas dois tipos diferentes de figuras,mostradas abaixo.

Note que as duas figuras podem aparecer emdiferentes posies, o que no caracterizanovos tipos de figuras. O nmero de tiposdiferentes de figuras que podem ser formadosjuntando-se quatro dessas peas igual a

a) 4.b) 5.c) 6.d) 7.e) 8.

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3. Prova: FCC 2012 TRT Analista Judicirio

Partindo de um quadriculado n n formado por palitos de fsforo, em que n um nmero mpar maior ou igual a 3, possvel, retirando alguns palitos, obter um X composto por 2n-1 quadrados. As figuras a seguir mostram como obter esse X para quadriculados 3 3 e 5 5.

Seguindo o mesmo padro dos exemplos acima, partindo de um quadriculado 9 9, o total de palitos que devero ser retirados para obter o X igual a

a) 64.b) 96.c) 112.d) 144.e) 168.

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Gabarito

1. B 2. B 3. C

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LETRAS

1. (Prova: CEPERJ 2014 RIOPREVIDNCIA Assistente Previdencirio) Observe atentamente a sequncia a seguir:

ABCDEEDCBAABCDE...

A centsima primeira letra nessa sequncia ser:

a) Ab) Bc) Cd) De) E

2. (Prova: FCC 2014 TJ-AP Tcnico Judicirio) Cada termo da sequncia a seguir formado por seis vogais:

(AAAEEI; EEEIIO; IIIOOU; OOOUUA; UUUAAE; AAAEEI; EEEIIO; . . . )

Mantido o mesmo padro de formao da sequncia, se forem escritos os 12, 24, 36 e 45 termos, o nmero de vezes que a vogal U ser escrita nesses termos igual a

a) 1b) 6c) 5d) 2e) 3

3. Prova: FCC 2014 TRT 19 Regio (AL) Tcnico Judicirio

Gabriel descobriu pastas antigas arquivadas cronologicamente, organizadas e etiquetadas na seguinte sequncia:

07_55A; 07_55B; 08_55A; 09_55A; 09_55B; 09_55C;

09_55D; 09_55E; 10_55A; 10_55B; 11_55A; 12_55A;

12_55B; 12_55C; 01_56A; 01_56B; 02_56A; 02_56B;

03_56A; xx_xxx; yy_yyy; zz_zzz; 04_56B.

Sabendo-se que as etiquetas xx_xxx; yy_yyy; zz_zzz representam que o cdigo foi encoberto, a etiqueta com as letras yy_yyy deveria, para manter o mesmo padro das demais, conter o cdigo

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a) 03_56C.b) 04_57Cc) 04_56C.d) 03_56B.e) 04_56.

Gabarito:1. A2. C3. A